Автоматика и телемеханика, № 5, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ

ЛИНЕАРИЗУЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

АФФИННОЙ СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ

ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ¹

Рассматриваются представимые в каноническом (нормальном) виде

нелинейные аффинные системы с ограниченным векторным управлени-

ем, замкнутые обратными связями специального вида, линеаризующими

систему в окрестности начала координат. Ставится задача построения

оценки области притяжения положения равновесия замкнутой нелиней-

ной системы. Предложен метод нахождения оценки области притяжения,

основанный на результатах теории абсолютной устойчивости. Оценка об-

ласти притяжения ищется в виде декартового произведения положитель-

ных инвариантных множеств составляющих систему подсистем. В слу-

чае эллипсоидальных инвариантных множеств построение оценки обла-

сти притяжения сведено к решению систем линейных матричных нера-

венств. Изложение иллюстрируется численными примерами.

Ключевые слова: нелинейные аффинные системы с ограниченным вектор-

ным управлением, линеаризация с помощью обратной связи, область при-

тяжения, теория абсолютной устойчивости, линейные матричные нера-

венства.

DOI: 10.1134/S0005231019050040

1. Введение

Ограниченность ресурсов управления в реальных системах автоматиче-

ского регулирования приводит к тому, что орган управления выходит на

насыщение, когда сигнал обратной связи превышает некоторое предельное

значение. Функционирование системы, спроектированной без учета этого об-

стоятельства, в режиме насыщения может приводить к существенному сни-

жению эффективности регулирования и часто к потере устойчивости. Таким

образом, требуется, с одной стороны, проектировать контроллер с учетом воз-

можного выхода органа управления на насыщение и, с другой стороны, иметь

оценку области притяжения рассматриваемой нелинейной системы управле-

ния с насыщением для гарантированного вывода ее на желаемый режим ра-

боты.

Преодолению негативных эффектов, вызванных насыщением в органах

управления, посвящены многочисленные публикации (см., например, [1-6]

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 18-08-00531а) и Президиума РАН (Программа № 29 “Актуальные

проблемы робототехнических систем”).

и приведенные там ссылки). В подавляющем большинстве публикаций рас-

сматриваются линейные системы, для которых ставится либо задача синтеза

контроллера, учитывающего возможность насыщения в органах управления,

либо задача разработки отдельного компонента контроллера, который акти-

визируется только при выходе на насыщение, в дополнение к линейному кон-

троллеру, спроектированному без учета ограничений. Учет ограниченности

управления в нелинейных системах представляет собой значительно более

сложную задачу, и число публикаций на эту тему не так велико. В боль-

шей части их делается попытка адаптировать методы, разработанные для

линейных систем, на нелинейный случай. В ряде публикаций для разработки

специальных контроллеров используются методы адаптивного управления и

нейронных сетей, а также методы, основанные на линеаризации с помощью

обратной связи (например, [7, 8]).

В статье рассматриваются представимые в нормальном (каноническом)

виде [9, 10] n-мерные аффинные системы управления с m ограниченными по

величине входами. Для стабилизации систем используются линеаризующие

обратные связи [10]. Ограничения на управления реализуются применени-

ем к соответствующим сигналам обратной связи функций насыщения (сату-

раторов). Из-за ограниченности ресурса управления полученная замкнутая

система линейна только в некоторой окрестности положения равновесия и

нелинейна во всей области определения. Для замкнутой нелинейной систе-

мы ставится задача нахождения оценки области притяжения (ОП) нулевого

решения. Задача разработки контроллера, учитывающего ограничения, не

ставится, так что коэффициенты обратной системы предполагаются заранее

известными.

Предлагаемый в настоящей статье подход к построению оценок ОП осно-

ван на результатах теории абсолютной устойчивости и является обобщением

на случай векторного управления разработанного в [11] метода нахождения

эллипсоидальных оценок ОП аффинных систем с ограниченным скалярным

управлением. В свою очередь, указанный метод опирается на результаты ра-

бот [5, 12], в которых теория абсолютной устойчивости применялась для на-

хождения оценок ОП для некоторых аффинных систем малой размерности

(см. также обсуждение в [11]). Например, в [12] строилась эллипсоидальная

оценка ОП для нелинейной системы второго порядка, возникающей в задаче

стабилизации колесного робота вдоль прямого или кругового целевого пу-

ти. Модификации предложенного в [12] подхода применительно к различ-

ным моделям колесных роботов, описываемых аффинными системами 2-го и

3-го порядков, и произвольным допустимым целевым путям рассматривались

в [13-15].

2. Постановка задачи

Рассмотрим многомерную аффинную систему управления с векторным

входом, представленную в виде совокупности m связанных подсистем вида

(1)

xi1 = xi2,... , x^ir

=x^ir

x^ir

= f_i(x) + g_i(x)u_i

, i = 1,...,m.

i-1

Здесь x — n-мерный вектор состояний, x ≡ (x¹, . . . , x^m) ∈ D_x ⊆ Rⁿ, xⁱ ∈ Rri ,

f_i(x) и g_i(x) = 0 — непрерывные функции,

(2)

r₁ + ··· + r_m

= n,

ui — непрерывные управления, удовлетворяющие двусторонним ограниче-

ниям

(3)

-u_i ≤u_i ≤ u_i.

Система (1) называется каноническим представлением [9] или нормальной

формой [10] аффинной системы управления с m-мерными входом и выходом².

К виду (1) приводятся аффинные системы управления с векторной отно-

сительной степенью выхода {r₁, . . . , r_m}, удовлетворяющей условию (2) [10].

Легко видеть, что если ресурс управления не ограничен, то система линеа-

ризуется с помощью обратной связи

(4)

u_i(x) = -(σ_i(x) + f_i(x))/g_i

(x),

где σ_i(x) ≡ σ_i(xⁱ) = cTixⁱ, cTi = [ci1, . . . , ciri ], c_ij > 0. При этом замкнутая

система распадается на m независимых подсистем

xi1 = xi2,... , xiri-1 = x^r ,_i

xiri = -σi(xi), или в матричном виде xi = Aixi, i = 1,... ,m, где

⎡

⎤

···

⎢

···

⎥

⎢

⎥

(5)

A_i =^⎢⎢

^⎥.

⎥

⎣

⎦

···

−ci1

-ci2

-ci3

···

-ciri

Решение x = 0 системы (1) с обратной связью (4) глобально асимптотически

устойчиво тогда и только тогда, когда матрицы A_i всех подсистем гурвицевы.

Всюду далее будем полагать, что это условие выполнено.

Ограниченность ресурсов управления делает невозможной линеаризацию

системы (1) с помощью обратной связи (4) во всей области определения си-

стемы. Определим в этом случае управления формулой

(6)

u_i(x) = -satui[(σ_i(x) + f_i(x))/g_i

(x)],

получающейся применением функции насыщения к правой части форму-

лы (4), определяющей линеаризующую обратную связь.

Замыкание системы (1) обратной связью (6) дает систему m нелинейных

подсистем вида

(7)

xi1 = xi2,... , x^ir

= xri, xri = -Φ_i(σ_i

,x), i = 1,... ,m,

i-1

² В общем случае нормальной формы правая часть i-й подсистемы может зависеть от

всех управлений [10]. Вводя новые управления, всегда можно записать нормальную фор-

му системы в виде (1). Если управления не ограничены, то оба представления, очевидно,

эквивалентны. Однако в случае ограниченного ресурса управления новые управления удо-

влетворяют более сложным ограничениям, не рассматриваемым в настоящей статье, так

что исследуемая система (1) является частным случаем общей нормальной формы.

связанных друг с другом через правые части Φ_i(σ_i, x), которые при выхо-

де управлений на ограничения в общем случае зависят от всех компонент

вектора x:

(8)

Φ_i(σ_i,x) = -f_i(x) + |g_i(x)|u_i sign(σ_i(xⁱ) + f_i

(x)).

В некоторой же окрестности начала координат, где управление не выходит

на насыщение, Φ_i(σ, x) = σ_i(xⁱ) и подсистемы линейны и независимы. Вклю-

чение σ_i в число аргументов функций Φ_i подчеркивает, что правая часть

системы зависит не только от текущих значений переменных состояния, но и

от значения линейной функции σ_i(xⁱ).

Ставится задача нахождения оценки области притяжения нулевого реше-

ния системы (7). Для того чтобы x = 0 было устойчивым положением равно-

весия системы (7), необходимо выполнение условий



fi(0)

(9)



u_i

, i = 1,...,m.

^<

^g_i(0)

Заметим, что если x = 0 - положение равновесия разомкнутой системы, т.е.

f_i(0) = 0, i = 1,... ,m, то условия (9) заведомо выполняются.

Всюду далее будем полагать, что область определения системы (1) в общем

случае не совпадает со всем пространством, D_x ⊆ Rⁿ, и что ее правая часть

удовлетворяет условиям (9).

3. Система сравнения

Наряду с системой (7) рассмотрим m линейных нестационарных систем

(10)

xi1 = xi2,... , x^ir

=x^ir

x^ir

= -β_i(t)σ_i(xⁱ

), i = 1, . . . , m,

i-1

где

(11)

0<βi0 <β_i

(t) ≤ 1,

и будем называть систему (10) системой сравнения для нелинейной систе-

мы (7).

Пусть подсистемы системы сравнения абсолютно устойчивы в секторах

(βi0, 1], i = 1, . . . , m, соответственно. Напомним, что линейная нестационар-

ная система называется абсолютно устойчивой в секторе (угле) (βi0, 1], если

ее нулевое решение асимптотически устойчиво при любых измеримых функ-

циях β_i(t), удовлетворяющих неравенствам (11) [16, 17].

Если бы правая часть i-й подсистемы в (7) при любых x ∈ Rⁿ удовлетво-

ряла “секторному” условию

(12)

0 < βi0σ2i < Φ_i(σ_i,x)σ_i ≤ σ2i ,

то xⁱ = 0 было бы асимптотически устойчивым решением этой подсистемы

в целом (из абсолютной устойчивости линейной нестационарной системы в

угле (βi0, 1] следует абсолютная устойчивость соответствующей нелинейной

подсистемы в (7) в угле (βi0, 1] [17]). Соответственно выполнение условий (12)

при всех i = 1, . . . , m означало бы абсолютную устойчивость состоящей из

m подсистем n-мерной нелинейной системы (7).

Для одномерных подсистем (r_i = 1) в (7) нулевое решение соответствую-

щей (скалярной) системы сравнения асимптотически устойчиво при любых

β_i(t) > 0, т.е. βi0 = 0, и секторное условие (12) принимает вид Φ_i(xⁱ,x)xⁱ > 0.

Условия (12), однако, в общем случае не выполняется во всем коорди-

натном пространстве Rⁿ (не говоря уже о том, что система (1) определена не

во всем координатном пространстве). Однако и в этом случае исследование

устойчивости нулевого решения нелинейной системы (7) можно свести к ис-

следованию абсолютной устойчивости линейных нестационарных систем (10),

если потребовать выполнение секторных условий (12) не во всем координат-

ном пространстве, а только в положительной инвариантной области (далее

просто инвариантной области) n-мерной системы (7) [11], т.е. в таком мно-

жестве в Rⁿ, которое вместе с любой принадлежащей ей точкой содержит

всю полутраекторию системы (7), начинающуюся в этой точке [4]. Возникает

вопрос: “Как найти инвариантную область системы (7)?”

4. Инвариантная область нелинейной системы

В [11] доказано, что в случае скалярного управления (m = 1) в качестве

инвариантной области исходной нелинейной системы можно взять инвари-

антную область абсолютно устойчивой системы сравнения, если правая часть

нелинейного уравнения удовлетворяет секторному условию в этой области.

Покажем, что указанный результат может быть обобщен на случай много-

мерного управления. А именно будем искать инвариантную область нелиней-

ной системы в виде декартова произведения инвариантных областей систем

сравнения Υ = Υ₁ × · · · × Υ_m, где Υ_i - (положительная) инвариантная об-

ласть i-й системы сравнения (10), и докажем (теорема 1), что для того чтобы

Υ было инвариантной областью, достаточно чтобы правые части системы

удовлетворяли секторным условиям в Υ. Прежде чем доказать это, найдем

необходимые условия выполнения секторных условий в заданной области Υ.

Областью насыщения N_i ⊂ Υ i-й нелинейной подсистемы (7) будем назы-

вать множество точек x ∈ Υ, в которых управление (6) принимает предель-

ные значения ±u_i. Выполнение i-го секторного условия достаточно проверять

только в области N_i, так как в области линейности подсистемы секторное

условие тривиально выполняется: Φ_i(σ_i, x)σ_i = σ2i.

Лемма 1. Пусть в области Υ ⊆ D_x выполняется i-е секторные усло-

вие (12). Тогда: а) множество N_i не имеет пересечений с гиперплоскостью

σ_i(x) = 0 и б) знак i-го насыщенного управления в области Υ определяется

только знаками функций g_i(x) и σ_i(x)

(13)

u_i(x) = -u_i sign(g_i(x)σ_i(x)) ∀x ∈ N_i.

Доказательство леммы 1. Докажем утверждение а). Предположим

противное: найдется точка x_∗ ∈ Υ, в которой i-е управление достигает насы-

щения, и при этом σ_i(x_∗) = 0. Пусть для определенности u_i(x_∗) = +u_i. В си-

лу (6) при этом должно выполняться неравенство σ_i(x_∗) + f_i(x_∗) < -g_i(x_∗)u_i.

Отсюда с учетом определения функций Φ_i имеем

Φ_i(σ_i(x_∗),x_∗) = -f_i(x_∗) - g_i(x_∗)u_i > σ_i(x_∗) = 0.

В силу непрерывности функции Φ_i(σ_i, x) по x найдется окрестность точ-

ки x_∗, в которой Φ_i(σ_i(x), x) > 0. С другой стороны, линейная функция σ_i(x)

в окрестности x_∗ может принимать как положительные, так и отрицательные

значения. Во втором случае секторное условие (12), очевидно, не выполня-

ется. Аналогично доказывается, что секторное условие не выполняется, если

u_i(x^∗) = -u_i.

б) Из сравнения (6) и (13) видно, что условие (13) эквивалентно условию

(14)

sign(σ_i(x) + f_i(x)) = sign(σ_i(x)) ∀x ∈ N_i.

Докажем это утверждение. Так как g_i(x) = 0 в D_x, g_i(x) — знакоопределе-

ная функция. Пусть для определенности g_i(x) > 0. Предположим, что най-

дется точка x_∗ ∈ N_i такая, что σ_i(x_∗) > 0 и σ_i(x_∗) + f_i(x_∗) < 0. Тогда в си-

лу (8) Φ_i(σ_i, x_∗) = -f_i(x_∗) - g_i(x_∗)u_i. В силу (6) u_i(x_∗) = u_i и f_i(x_∗) + σ_i(x_∗) <

< -g_i(x_∗)u_i, или -g_i(x_∗)u_i - f_i(x_∗) > σ_i > 0, т.е. Φ_i(σ_i,x_∗)σ_i > σ2i > 0, что

противоречит предположению о том, в Ω выполнены секторные условия (12).

Аналогично доказывается, что не найдется точки, в которой σ_i(x) < 0 и

σ_i(x) + f_i(x) > 0. Случай отрицательного g_i(x) рассматривается аналогично.

Лемма 1 доказана.

Утверждения леммы 1 означают, что при выполнении i-го секторного

условия в Υ i-я подсистема (7) линейна на пересечении Υ и гиперплоско-

сти σ_i(x) = 0, а область N_i состоит из двух несвязных компонент, лежащих

по разные стороны от гиперплоскости, знак управления в которых (с уче-

том знакопостоянства функции g_i(x)) определяется только знаком линейной

функции σ_i(x). Формула (8) для правых частей системы (7) в области, удо-

влетворяющей секторному условию, принимает более простой вид

(15)

Φ_i(σ_i,x) = -f_i(x) + |g_i(x)|u_i sign(σ_i

Теорема 1. Пусть система сравнения (10) абсолютно устойчива при

любых измеримых функциях β_i(t), удовлетворяющих неравенствам (11).

Пусть Υ_i ⊆Rri - инвариантные области подсистем такие, что Υ = Υ₁ ×· · ·

··· × Υ_m ⊆ D_x. Если правые части нелинейной системы (7) удовлетворяют

секторным условиям (12) в области Υ, то Υ - инвариантная область си-

стемы (7).

Доказательство теоремы 1. Предположим, что утверждение тео-

ремы неверно: область Υ удовлетворяет условиям теоремы 1 и не является

инвариантной для системы (7). Тогда найдется точка x₀ ∈ Υ такая, что реше-

ние x(t) системы (7), соответствующее начальному условию x(t₀) = x₀, выхо-

дит за пределы области Υ, т.е. найдется t_∗ > t₀ такое, что x_∗ ≡ x(t_∗) ∈ Υ.

Последнее означает, что для некоторого l l-я компонента вектора x_∗ не

принадлежит l-му инвариантному множеству, x^l∗ ∈ Υ_l. Рассмотрим участок

траектории между точками x₀ и x_∗. Обозначим через σ_l(t) иΦl(t) опре-

деленные на [t₀, t_∗] функции, получающиеся подстановкой x^l(t) и x(t) вме-

сто x^l и x в σ_l(x^l) и в правую часть l-й подсистемы (7) соответственно:

σl(t) = σl(x^l(t)),

Φ_l(t) = Φ(σ(t),x(t)). Определим функцию

β_l(t) на отрезке

[t₀, t_∗] как

β_l(t) =Φl(t)/σ_l(t). Так как в силу леммы 1 на участках насыще-

ния σ_l(t) = 0, а в области линейности, очевидно

β_l(t) = 1, функцияβl(t) удо-

влетворяет условию существования непрерывного решения системы (10) и

x_l(t) является решением этой системы при β_l(t)

β_l(t). Так как функция Φ_l

по условию утверждения удовлетворяет секторному ограничению (12), то

функцияΦl(t) удовлетворяет неравенствам β₀σ2l(t) ≤Φl(t)σ_l(t) ≤ σ2l(t), от-

куда следует, что функцияβl(t) удовлетворяет условию (11). Так как Υ_l —

инвариантная область системы (10) при любых β_l(t), удовлетворяющих нера-

венствам (11) и xl0 ∈ Υ_l, то траектория x^l(t) должна целиком лежать в Υ_l

и x^l∗ ∈ Υ_l, что противоречит полученному выше условию x^l∗ ∈ Υ_l. Теорема 1

доказана.

Установим теперь достаточные условия выполнения секторных неравенств

в произвольном множестве Υ ∈ Rⁿ. Введем обозначения Σ_i(σ₀) = {xⁱ ∈ Rri :

|σ_i(xⁱ)| < σ₀} и

Σ_i(σ₀) = {x ∈ Rⁿ : |σ_i(x)| < σ₀} (расширение Σ_i(σ₀) на все

пространство Rⁿ).

Лемма 2. Пусть а) ∀x ∈ Υ

(16)

U_i(x) ≥ Ui0

> 0,

где

(17)

U_i(x) = |g_i(x)|u_i - |f_i

(x)|,

и б) Υ⊆Σi(Ui0/βi0). Тогда в области Υ выполнено i-е секторное условие (12).

Доказательство леммы 2. Легко проверить, что из определений на-

сыщенного управления (6) и функций Φ_i(σ_i, x) следует, что если g_i(x) > 0 и

u_i = -u_i или g_i(x) < 0 и u_i = u_i, то σ_i + f_i(x) > |g_i(x)|u_i и Φ_i(σ_i,x) = -f_i(x)+

+|g_i(x)|u_i, т.е. Φ_i(σ_i, x) < σ_i. С другой стороны, в силу условий леммы 2 име-

ем Φ_i(σ_i, x) = -f_i(x) + |g_i(x)|u_i ≥ |g_i(x)|u_i - |f_i(x)| ≥ Ui0 > 0. Откуда следу-

ет, что σ_i > 0 и Φ_iσ_i ≥ Ui0σ_i. Аналогично при g_i(x) > 0 и u_i = u_i или при

g_i(x) < 0 и u_i = -u_i, σ_i + f_i(x) < -|g_i(x)|u_i и Φ_i(σ_i,x) = -f_i(x) - |g_i(x)|u_i,

т.е. Φ_i(σ_i, x) > σ_i. В силу условия леммы 2 Φ_i(σ_i, x) = -f_i(x) - |g_i(x)|u_i ≤

≤ -(|g_i(x)|u_i - |f_i(x)|) ≤ -Ui0 < 0. Отсюда σ_i < 0 и Φ_iσ_i ≥ Ui0|σ_i|. Из полу-

ченных неравенств следует выполнение правого неравенства (12) и строгая

положительность Φ_iσ_i в N_i (функции Φ_i и σ_i имеют одинаковые знаки в Υ).

Далее, для любых x ∈ Υ, для которых i-е управление достигает насыще-

ния, справедлива цепочка неравенств

Ui0σ2i

Ui0

(18)

Φ_iσ_i ≥ Ui0|σ_i| ≥

σ2i,

|σ_i|

σi0

где σi0 - максимум функции |σ_i(xⁱ)| в Υ. В силу условия б) леммы 2 и по

определению множестваΣi(σ₀), σi0 ≤ Ui0/βi0 и, таким образом, Φ_iσ_i > βi0σ2i.

Лемма 2 доказана.

Из теоремы 1 и леммы 2 очевидным образом следуют достаточные условия

инвариантности декартового произведения инвариантных множеств систем

сравнения.

Теорема 2. Пусть в области Υ = Υ₁ × ··· × Υ_m ⊆ D_x, где Υ_i - инва-

риантная область i-й системы сравнения (10), для любого i: a) выполнены

условия (16) и б) Υ_i ⊂ Σ_i(Ui0/βi0). Тогда Υ - инвариантная область нели-

нейной системы (7).

Таким образом, построение оценки области притяжения нелинейной систе-

мы (7) сводится, по существу, к: a) определению секторов (βi0, 1], i = 1, . . . , m,

в которых абсолютно устойчивы подсистемы системы сравнения (10); б) на-

хождению семейств инвариантных множеств подсистем системы сравнения;

в) выбору (возможно с применением некоторого критерия оптимальности) из

этих семейств таких множеств Υ_i, для которых выполняются условия (16) и

Υ_i ⊂ Σ_i(Ui0/βi0).

Первая задача является стандартной задачей теории абсолютной устойчи-

вости и в статье не рассматривается. Для решения второй задачи достаточ-

но найти функции Ляпунова подсистем системы сравнения (10), (11). Реше-

ние третьей задачи, как будет видно из дальнейшего, может быть сведено

к вписыванию инвариантных множеств в некоторые области в Rri . В на-

стоящей статье ограничимся квадратичными функциями Ляпунова L_i(xⁱ) =

= (xⁱ)^TP_ixⁱ, где P_i - положительно определенная матрица порядка r_i, т.е.

будем искать оценку ОП нелинейной системы (7) в виде декартова произве-

дения

(19)

Ω = Ω₁(P₁) × ··· × Ω_m(P_m)

инвариантных эллипсоидов [18, 19] подсистем системы сравнения (10), (11)

{

}

(20)

Ω_i(P_i) =

xⁱ : (xⁱ)^TP_ixⁱ ≤ 1

5. Построение оценок областей притяжения в виде

декартова произведения инвариантных эллипсоидов систем сравнения

5.1. Инвариантные эллипсоиды систем сравнения

Перепишем i-е уравнение в (10) при r_i > 1 в эквивалентном матричном

виде

(21)

xⁱ = A_β

(t)xⁱ,

где

⎡

⎤

···

⎢

···

⎥

⎢

⎥

(22)

Aβi(t) =^⎢⎢

^⎥.

⎥

⎣

⎦

···

−β_i(t)ci1

-β_i(t)ci2

-β_i(t)ci3

···

-β_i(t)ciri

Обозначим через Aβi0 постоянную матрицу, получающуюся из (22) подстанов-

кой β_i(t) ≡ βi0. При β_i(t) ≡ 1 имеем матрицу A_i, определенную формулой (5).

Известно [20], что для того чтобы система (21) была абсолютно устойчи-

ва в секторе [βi0, 1], достаточно, чтобы существовала общая квадратичная

функция Ляпунова у линейных систем xⁱ = A_ixⁱ и xⁱ = Aβi0 xⁱ.

В свою очередь, чтобы у этих систем существовала общая квадратичная

функция Ляпунова L_i = (xⁱ)^TP_ixⁱ, необходимо и достаточно [18, 20], чтобы

имела решение система линейных матричных неравенств (л.м.н.)

(23)

P_iA_i + ATiP_i < 0, P_iA_β

+ATβ

P_i

< 0.

Следовательно, чтобы линейная нестационарная система (21) была абсолют-

но устойчива в секторе [βi0, 1], достаточно, чтобы существовала положитель-

но определенная матрица P_i, удовлетворяющая неравенствам (23). Эллипсо-

ид (20), матрица которого удовлетворяет л.м.н. (23), будем называть инва-

риантным эллипсоидом i-й подсистемы системы сравнения или просто ин-

вариантным эллипсоидом. Искомые матрицы P_i находятся независимо для

каждой из подсистем системы сравнения.

При r_i = 1 i-я (одномерная) подсистема системы сравнения абсолютно

устойчива при любых положительных β_i(t) > 0 и ее инвариантным множе-

ством будет любой содержащий нулевую точку отрезок оси xⁱ, при этом ин-

вариантный эллипсоид вырождается в симметричный относительно нулевой

точки отрезок (P_i > 0 - скаляр).

В соответствии с теоремой 1 декартово произведение эллипсоидов (19),

матрицы которых являются решениями л.м.н. (23), будет инвариантным мно-

жеством замкнутой системы (7), если в области Ω выполняются секторные

неравенства (12).

5.2. Обеспечение выполнения секторных условий

Согласно теореме 2 для выполнения секторных условий (12) в Ω доста-

точно, чтобы ∀i выполнялись условия а) U_i(x) ≥ Ui0 > 0 ∀x ∈ Ω и б) Ω_i ⊂

⊂ Σ_i(Ui0/βi0).

Обеспечить выполнение первого условия можно следующим образом. Бу-

дем искать эллипсоиды Ω_i в некоторых, более простых, областях Π_i ⊆ Rri ,

таких что Π ≡ Π₁ × · · · × Π_m ⊆ D_x и при любых x ∈ Π выполняются усло-

вия U_i(x) > 0, i = 1, . . . , m. Условия (16) в этом случае будут естественным

образом выполнены и на декартовом произведении эллипсоидов Ω_i, если в

качестве Ui0 взять нижнюю грань функции U_i(x) на множестве Π. Такие об-

ласти заведомо существуют в силу условий (9) и непрерывности функций

f_i(x) и g_i(x). При этом возникает задача вписывания эллипсоида в заданную

область Π_i, которая решается наиболее просто, когда эта область выпукла, а

ее граница образована поверхностями первого и/или второго порядков. При-

надлежность эллипсоида Ω_i(P_i) такой области может быть записана в виде

системы л.м.н. [11]

(24)

l^ij(P_i) ≤ 0, j = 1,... ,s_i,

где l^ij (P_i) - линейная форма от матрицы P_i. Область Π_i, условия принад-

лежности к которой эллипсоида Ω_i(P_i) могут быть записаны в виде системы

л.м.н. (24), будем называть областью с простой границей (всюду далее обо-

значение Π_i используется только для областей с простой границей). Обла-

сти Π_i могут быть выбраны, вообще говоря, не единственным образом. Кон-

кретный вид области Π_i выбирается с учетом специфики рассматриваемой

задачи и зависит от вида функций в правой части системы (1).

Чтобы на построенном множестве Ω выполнялись секторные ограничения,

остается ограничить диапазоны изменения функций σ_i, что достигается впи-

сыванием i-го эллипсоида в слой |σ_i| ≤ σ₀, σ₀ = Ui0/βi0. Покажем, что для

этого достаточно, чтобы матрица P_i удовлетворяла одному дополнительному

л.м.н.

Лемма 3. Эллипсоид Ωi ⊆ Rri целиком лежит в области Σ_i(σ₀), σ₀ > 0,

тогда и только тогда, когда матрица P_i эллипсоида удовлетворяет л.м.н.

c_icTi

(25)

P_i ≥

σ²

Доказательство леммы 3. Пусть выполнено неравенство (25). Умно-

жая обе части неравенства слева на cTiP-1i и справа на P-1ic_i, получаем

(cTiP-1ic_i)(cTiP-1ic_i)

cTiP-1ic_i ≥

σ²

√

откуда cTiP-1ic_i ≤ σ²⁰. С учетом формулы max_xi∈Ω

σ_i(xⁱ) = cTiP-1ic_i [12], из

последнего неравенства следует неравенство σ2i(xⁱ) ≤ σ²⁰ ∀xⁱ ∈ Ω_i, т.е. Ω_i ⊂

⊂ Σ_i(σ₀).

Обратно. Предположим, что Ω_i ⊂ Σ_i(σ₀) и при этом условие (25) не выпол-

няется. Тогда найдется вектор y такой, что

y^Tcc^Ty

σ²(y)

y^TP_iy <

σ²⁰

σ²

Выберем длину y так, чтобы конец вектора y принадлежал поверхности эл-

липсоида, т.е. y^TP_iy = 1. Тогда из предыдущего неравенства следует, что

σ²(y) > σ²⁰, а это противоречит предположению о том, что Ω_i ⊂ Σ_i(σ₀). Лем-

ма 3 доказана.

Из леммы 3 следует, что условие Ω_i ⊂ Σ_i(Ui0/βi0) выполняется тогда и

только тогда, когда

β2i0

(26)

P_i ≥ c_ic^T

ⁱ U²

5.3. Алгоритм построения оценки области притяжения

Из изложенного следует, что задача построения оценки области притяже-

ния, по существу, решается в два этапа. На первом этапе строится принадле-

жащая области определения системы подобласть Π⊆D_x⊆Rⁿ вида Π = Π₁×· · ·

···×Π_m, где Πi ⊆Rri - области с простой границей, в которых выполняются

условия (16). Если D_x = Rⁿ и ∀i Ui0 = infx∈Dx U_i(x) > 0, то можно положить

Π_i = Rri и Π = Rⁿ. Как только указанные области Π_i построены, задача рас-

падается на m независимых задач нахождения вписанных в области Π_i эл-

липсоидальных оценок областей притяжения составляющих систему (7) под-

систем со скалярным управлением, т.е. к задаче, рассмотренной в [11].

Напомним, как находится оценка области притяжения системы со ска-

лярным управлением, когда известна аппроксимация области определения

системы областью с простой границей (в данном случае это — области Π_i,

i = 1,...,m). Выбирается некоторое значение βi0 ∈ (β∗i0,1], где (β∗i0,1] — наи-

больший сектор, в котором система (10), во-первых, абсолютно устойчива и,

во-вторых, имеет квадратичную функцию Ляпунова, производная которой в

силу системы отрицательна при любых β_i(t), принадлежащих сектору. Для

малых размерностей r_i и/или при специальном выборе коэффициентов обрат-

ной связи величина β∗i0 может быть найдена аналитически. Так, например,

для r_i = 1 система сравнения, очевидно, абсолютно устойчива при любых по-

ложительных функциях β_i(t), т.е. β∗i0 = 0. При r_i > 1 если матрица A_i имеет

одно кратное собственное значение λ < 0, то величина β∗i0 не зависит от λ [21]

и, в частности, для r_i = 2 β∗i0 = 1/9 [22]. Численное нахождение оценки гра-

ницы сектора устойчивости в общем случае произвольного распределения

собственных значений гурвицевой матрицы A_i не представляет трудностей.

Для этого достаточно решить систему (23) для нескольких значений βi0 и

выбрать в качестве оценки наименьшего значения β∗i0 минимальное из этих

значений, при котором система имела решения [11]. Далее, решается система

л.м.н. (23), (24), (26) и строится эллипсоид Ω_i(P_i).

Следует отметить, что для одномерных подсистем (r_i = 1) необходимость

во втором этапе отпадает. Действительно, в этом случае соответствующая си-

стема сравнения абсолютно устойчива при любых положительных β_i(t) и ее

(положительным) инвариантным множеством является любой содержащий

нулевую точку отрезок оси xⁱ. С другой стороны, областью с простой грани-

цей Π_i в одномерном случае может быть только отрезок (в общем случае -

неограниченный), на котором выполняется условие (16). Так как условие (16)

выполняется в любой точке Π_i, то в качестве Ω_i можно взять любой принад-

лежащий Π_i отрезок оси xⁱ и, в частности, весь отрезок Π_i. Из приведенных

выше рассуждений также следует, что полученная оценка области притяже-

ния не зависит от конкретных значений (положительных) коэффициентов

обратной связи в одномерных подсистемах.

Построенная таким образом оценка области притяжения, очевидно, будет

зависеть от выбранных размеров областей Π_i и нижних границ βi0 секторов.

Варьируя указанные параметры, можно получать различные оценки ОП. На-

хождение “наилучшей” в том или ином смысле оценки области притяжения -

сложная задача, требующая отдельного исследования. Здесь же заметим, что

при определенных допущениях построение “наилучшей” оценки ОП может

быть сведено к решению задачи конечномерной условной оптимизации ана-

логично тому, как это было сделано в случае скалярного управления в [11],

где нахождение матрицы эллипсоида с наименьшим следом сведено к ми-

нимизации функции двух переменных при интервальных ограничениях на

переменные.

В заключение отметим, какую форму может принимать искомая оценка Ω

для рассматриваемых в статье канонических систем при малых n и m > 1

(при m = 1 Ω — n-мерный эллипсоид [11]). При n = m = 2 (аффинная система

с векторной относительной степенью {1, 1} [10]) роль “инвариантных эллип-

соидов” играют отрезки двух осей координат, так что оценка области при-

тяжения системы - прямоугольник (декартово произведение двух отрезков).

При n = 3, существуют две нормальные формы с относительными степеня-

ми {1, 1, 1} (m = 3) и {2, 1} (m = 2). В первом случае имеем три одномерных

подсистемы, а оценка области притяжения - параллелепипед. Во втором слу-

чае (одномерная и двумерная подсистемы) оценкой служит эллиптический

цилиндр (декартово произведение эллипса и отрезка). Отметим также, что

при произвольном n и m = n оценкой служит n-мерный параллелепипед.

6. Численные примеры

Пример 1. Рассмотрим представленную в нормальной форме двумерную

управляемую систему с двумя входами:

(27)

x₁ = f₁(x) + u₁, x2 = f2(x) + u2,

где x ≡ [x₁, x₂]^T, D_x = R²,

(28)

f₁(x) = 3x²¹ sign(x₁) + x²² sign(x₂), f₂(x) = x³¹ + 3x³².

Разомкнутая система имеет одно неустойчивое положение равновесия в на-

чале координат. Будем стабилизировать систему в нуле с помощью ограни-

ченных управлений |u₁| ≤ 1 и |u₂| ≤ 1 в виде обратной связи

(29)

u_i(x) = -sat₁(f_i(x) + μ_ix_i)), μ_i

> 0, i = 1, 2.

В соответствии с описанным алгоритмом ищем области с простой грани-

цей Π₁ и Π₂ такие, что U_i(x) > 0, i = 1, 2, ∀x ∈ Π = Π₁ × Π₂, где U₁(x) = 1-

-|3x²¹ sign(x₁) + x²² sign(x₂)| и U₂(x) = 1 - |x³¹ + 3x³²|. Так как подсистемы од-

номерны, кандидатами на роль Π₁ и Π₂ могут быть только содержащие нуле-

вую точку отрезки осей x₁ и x₂, длины которых не зависят от коэффициентов

обратной связи μ₁ и μ₂ (см. подраздел 5.3), при этом область Π - прямоуголь-

ник. Из соображений симметрии положим Π₁(α₁) = {x₁ : -α₁ < x₁ < α₁} и

Π₂(α₂) = {x₂ : -α₂ < x₂ < α₂}, α₁,α₂ > 0. Минимум функций U₁(x) и U₂(x)

на множестве Π₁(α₁) × Π₂(α₂), очевидно, достигается в углах прямоугольни-

ка с координатами (α₁, α₂) и (-α₁, -α₂). Подставляя α₁ и α₂ вместо x₁ и x₂

в функции U₁(x) и U₂(x), находим условия, которым должны удовлетворять

длины отрезков Π₁ и Π₂ для того, чтобы прямоугольник Π = Π₁(α₁) × Π₂(α₂)

был оценкой области притяжения системы:

(30)

1 - 3α²¹ - α²² ≥ 0, 1 - α³¹ - 3α³²

≥ 0.

Рис. 1. Фазовый портрет замкнутой системы (27)-(29) и наилучшая прямо-

угольная оценка области притяжения.

Оценка с наибольшей площадью находится решением задачи условной оп-

тимизации: найти максимум функции max F (α₁, α₂), где F (α₁, α₂) = 4α₁α₂,

при ограничениях (30). Нетрудно показать, что максимум достигается в точ-

ке, в которой оба неравенства выполняются как равенства. Решение полу-

ченной системы из двух нелинейных уравнений легко находится численно:

α∗1 = 0,426 и α∗2 = 0,675. Можно показать, что найденный прямоугольник

Π₁(α∗1) × Π₂(α∗2) имеет не только наибольшую площадь среди всех инвари-

антных прямоугольников, но и наибольший периметр.

Фазовый портрет замкнутой системы (с коэффициентами μ₁ = μ₂ = 5)

изображен на рис. 1. Жирными линиями на рисунке показаны сепаратрисы,

две из которых служат границами ОП нулевого решения, и две пары кривых,

ограничивающих области линейности подсистем. Из рис. 1 также видно, что,

кроме устойчивой точки равновесия в начале координат, замкнутая система

имеет восемь неустойчивых положений равновесия: четыре седла, лежащих

на пересечении границы области устойчивости с осями координат и четыре

фокуса в “углах” границы области устойчивости. Оптимальный инвариант-

ный прямоугольник показан тонкой линией. Из рис. 1 видно, что полученная

оценка намного больше области линейности системы (пересечение двух кри-

волинейных полос, в которых одна из подсистем линейна) и довольно хорошо

аппроксимирует область притяжения.

Пример 2. Рассмотрим задачу стабилизации в вертикальном положении

двух перевернутых маятников. Обозначим через x₁ и x₂ угловые отклонения

маятников от вертикальной оси, а через y₁ и y₂ - их угловые скорости. Ма-

ятники связаны друг с другом угловой пружиной жесткости μ, создающей

момент μ(x₁ - x₂), пропорциональный относительному угловому отклонению

маятников. Входами системы служат приложенные к маятникам моменты u₁

и u₂. Для простоты рассмотрим одинаковые маятники и обозначим a = g/l,

где g - ускорение свободного падения и l - длина подвеса маятника. Деля обе

части уравнений колебаний маятников на момент инерции и оставляя преж-

ние обозначения для управлений и жесткости угловой пружины, получим

уравнения движения системы в виде:

x₁ = y₁, y1 = asin x1 - μ(x1 - x2) + u1,

(31)

x₂ = y₂, y2 = asin x2 + μ(x1 - x2) + u2.

Легко показать, что разомкнутая система имеет в области |x_i| < 2π, i = 1, 2,

одно устойчивое положение равновесия в точке x₁ = x₂ = π, y₁ = y₂ = 0 и

одно неустойчивое положение равновесия в начале координат. Пусть ресурсы

управления ограничены |u₁| ≤ u₁ и |u₂| ≤ u₂. Будем стабилизировать систему

в нуле с помощью линеаризующей обратной связи с насыщением вида (6):

u₁ = -satu1 [σ₁(x₁,y₁) + asin x₁ - μ(x₁ - x₂)],

(32)

u₂ = -satu2 [σ₂(x₂,y₂) + asin x₂ + μ(x₁ - x₂)].

Для простоты возьмем одинаковые коэффициенты в линейных функциях σ₁

и σ₂, c₁₁ = c₂₁ = c₁ и c₁₂ = c₂₂ = c₂, и будем считать, что ресурсы управления

одинаковы u₁ = u₂ = u и удовлетворяют условию u < a (в противном случае

система может быть стабилизирована из любой начальной точки).

Замыкая систему (31) обратной связью (32), получим нелинейную дина-

мическую систему 4-го порядка:

x₁ = y₁,

y₁ = asin x₁ - μ(x₁ - x₂) - sat_u[σ(x₁,y₁) + asin x₁ - μ(x₁ - x₂)],

(33)

x₂ = y₂,

y₂ = asin x₂ + μ(x₁ - x₂) - sat_u[σ(x₂,y₂) + asin x₂ + μ(x₁ - x₂)].

Нетрудно показать, что, кроме нулевого решения, замкнутая система (33) бу-

дет иметь от двух до восьми (в зависимости от жесткости угловой пружины)

устойчивых положений равновесия и столько же неустойчивых положений.

При любой жесткости пружины система имеет два неустойчивых положения

равновесия x₁ = x₂ = ± arcsin(u/a), y₁ = y₂ = 0 и два устойчивых положения

x₁ = x₂ = π ± arcsin(u/a), y₁ = y₂ = 0. Если ресурс управления недостаточен

для приведения системы из заданного начального положения в начало коор-

динат, то маятники будут совершать (в общем случае - довольно сложные)

незатухающие колебания вдали от положения равновесия. Если добавить вяз-

кое трение, то система “свалится” в одно из устойчивых положений равнове-

сия, отличное от желаемого.

Напомним вкратце, как строится оценка ОП для системы

(34)

x=y, y = asinx - satu

[σ(x, y) + a sin x],

описывающей колебания одного маятника, стабилизируемого с помощью ли-

неаризующей обратной связи с насыщением вида (6), в рамках предложен-

ного в [11] подхода для систем со скалярным управлением. Сначала ищет-

ся область с простой границей, такая что в ней выполняется условие U₀ =

= inf U(x, y) > 0, где U(x, y) = u - |a sin x|. Так как U(x, y) зависит только

от первой координаты, то естественно в качестве такой области взять полосу

|x| ≤ x₀, где x₀ ≤ arcsin((u - U₀)/a). Для заданных 0 < U₀ < u и β∗0 < β₀ ≤ 1,

где β∗0 - минимальное значение β₀, при котором система (23) имеет решение,

оценка области притяжения ищется в виде вписанного в полосу инвариант-

ного эллипса системы, который находится путем решения системы линейных

матричных неравенств (см. [11]). Если требуется как можно большая (в том

или ином смысле) оценка, то решается задача условной оптимизации функ-

ции двух переменных U₀ и β₀ [11].

Вернемся к системе (33). Согласно рассмотренному алгоритму на пер-

вом этапе требуется найти области с простой границей Π₁ и Π₂ в под-

пространствах переменных (x₁, y₁) и (x₂, y₂), такие что на множестве

Π = Π₁ × Π₂ выполняются условия Ui0 = infx∈Π U_i(x) > 0, i = 1,2, где x обо-

значает точку 4-мерного пространства состояний, x = [x₁, y₁, x₂, y₂]^T, U₁(x) =

= u - |asinx₁ - μ(x₁ - x₂)| и U₂(x) = u - |asinx₂ + μ(x₁ - x₂)|. После того

как области Π₁ и Π₂ найдены, задача распадается на две независимые задачи

нахождения вписанных в Π₁ и Π₂ инвариантных эллипсов Ω₁ и Ω₂ двумерных

систем со скалярными входами [11] (см. также предыдущий абзац). Искомая

же оценка ОП нулевого решения системы (33) строится в виде декартова

произведения эллипсов Ω₁ и Ω₂.

Как и в случае одного маятника, логично выбрать области Π_i, i = 1, 2,

в виде полос |x_i| ≤ xi0. Для удобства иллюстраций возьмем полосы одина-

ковыми для обоих маятников: x₁₀ = x₂₀ = x₀. Нетрудно показать, что если

жесткость пружины, связывающей маятники, не слишком велика, а именно

(

u⁾

(35)

μ ≤ acos arcsin

то минимум функций U_i(x), i = 1, 2, на множестве Π₁ × Π₂ достигается при

x₁ = x₂ = x₀ и не зависит от μ и при этом совпадает с минимумом функ-

ции U(x₁, y₁) в полосе |x₁| ≤ x₀ в случае одного маятника: U₁₀ = U₂₀ = U₀ =

= u - |asinx₀|. Т.е. при выполнении условия (35) оценка ОП для двух свя-

занных одинаковых маятников находится как декартово произведение оценок

для двух несвязанных маятников. Нахождение оценки в случае более жесткой

пружины и/или различных маятников также не представляет трудностей, но

приводит к более громоздким формулам.

В качестве численной иллюстрации найдем оценку ОП для системы (33)

со следующими значениями параметров: a = 1, u = 0,5 (a cos(arcsin(u/a)) ≈

≈ 0,87), μ = 0,25, c₁ = λ², c₂ = 2λ, λ = 2. Легко видеть, что при таком выборе

коэффициентов обратной связи в области, где управление не достигает на-

сыщения, матрицы линейных подсистем имеют кратные корни (-λ). В [22]

доказано, что в этом случае система л.м.н. (23) имеет решения при любых

1/9 < β₀ ≤ 1.

0,4

0,3

0,2

0,1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,1

0,2

0,3

0,4

Рис. 2. Эллипсоидальная оценка области притяжения системы (34).

На рис. 2 показан инвариантный эллипс Ω(P ) системы (34), найденный в

результате решения задачи условной оптимизации (см. [11])

tr P (U₀, β₀) → min, 0 < U₀ < 0,5, 1/9 < β₀ ≤ 1,

где P (U₀, β₀) - решение системы л.м.н. (23), (26) и неравенства

)

⁽ 1/x²⁰

(36)

P ≥

обеспечивающего принадлежность эллипса полосе |x| ≤ x₀, x₀ = arcsin(0,5 -

- U₀). Оптимальная матрица

)

⁽ 10, 63 3, 66

P =

3, 66

11, 08

была получена при β₀ = 0,121 и U₀ = 0,18 (x₀ ≈ 0,32). Эллипс Ω(P ) являет-

ся наилучшей (в смысле указанного критерия) эллипсоидальной оценкой ОП

для системы (34) (один маятник). Две пересекающие эллипс линии, задан-

ные уравнениями |a sin x + σ(x, y)| = ±u, ограничивают область линейности

системы (34). Как установлено выше, при заданных значениях параметров си-

стемы множество Ω(P )×Ω(P ) принадлежит ОП системы (33) (два связанных

маятника), т.е. принадлежность каждой из точек (x₁(0), y₁(0)) и (x₂(0), y₂(0))

эллипсу Ω(P ) гарантирует стабилизацию системы в положении равновесия.

К сожалению, в отличие от случая системы второго порядка (см., напри-

мер, [11] и пример 1 выше), не представляется возможным сравнить полу-

ченную оценку с истинной ОП системы, так как численное нахождение ОП

Рис. 3. Фазовые траектории маятников с начальными точками, принадлежа-

щими найденной оценке области притяжения системы (33).

требует значительных вычислительных затрат, связанных с перебором то-

чек 4-мерного пространства и решением системы уравнений (33) для каждой

из них. Другая нетривиальная задача, возникающая в этой связи, связана

с визуализацией полученных численных результатов. Действительно, любое

сечение (не представимой в виде декартова произведения) 4-мерной ОП плос-

костью, перпендикулярной осям x_i и y_i, где i = 1 или i = 2, дает множество

гарантирующих стабилизацию системы начальных значений одного из маят-

ников только при одном фиксированном начальном значении фазовых коор-

динат второго маятника и поэтому мало информативно.

В последующих иллюстрациях (рис. 3 и 4) 4-мерная траектория систе-

мы визуализирована в виде двух плоских кривых (x₁(t), y₁(t)) и (x₂(t), y₂(t)),

фазовых траекторий маятников, изображенных на одном рисунке. Так как в

действительности кривые принадлежат разным подпространствам, на каж-

дом из рис. 3 и 4 показаны две фазовые плоскости с совмещенными осями x₁

и x₂ (ось x на рис. 3 и 4) и осями y₁ и y₂ (ось y).

Целью проведенных численных экспериментов было проверить, действи-

тельно ли попадание начальных точек каждой из подсистем в соответствую-

щий эллипс Ω(P ) гарантирует стабилизацию системы в нулевой точке, и по-

казать, что найдутся не принадлежащие найденной оценке начальные точ-

ки, из которых система не может быть стабилизирована. Многочисленные

эксперименты со случайным размещением двух пар начальных точек как в

области Ω(P ), так и вне ее подтвердили корректность полученной оценки.

На рис. 3 показаны две начинающиеся внутри области Ω(P ) траектории

с начальными условиями x(0) = (0,3; 0; -0,3; 0) и x(0) = (0; 0,3; -0,28; 0,23)

(обозначены цифрами 1 и 2 соответственно). Фазовые траектории первого и

второго маятников нарисованы жирными и тонкими линиями соответствен-

но. Заметим, что в обоих случаях в начале движения управления достигают

насыщения и, соответственно, правые части систем нелинейны. Символами ◦

Рис. 4. Фазовые траектории маятников с начальными точками, не принадле-

жащими найденной оценке области притяжения системы (33).

на оси x обозначены ближайшие к нулю точки неустойчивого равновесия си-

стемы (-0,52; 0) и (0,52; 0).

На рис. 4 показаны две траектории системы, начальные точки которых не

принадлежат найденной оценке ОП Ω(P ) × Ω(P ). Первая начальная точка

x(0) = (-0,13; 0,55; -0,55; 0,17) тем не менее принадлежит ОП системы, так

как начинающаяся из нее траектория (обозначена цифрой 1) стремится к ну-

лю. Вторая точка x(0) = (0,44; 0,22; 0,26; -0,10), из которой начинается траек-

тория, обозначенная цифрой 2, как видно из рис. 4, не принадлежит ОП (при

этом начальная точка фазовой траектории второго маятника принадлежат

эллипсу Ω(P )). Ресурса управления в данном случае недостаточно и система

“сваливается” в положение устойчивого равновесия системы (33) с коорди-

натами x₁ = x₂ = π - arcsin(u/a) ≈ 2,62, y₁ = y₂ = 0, при этом в окрестности

этой точки u₁ = u₂ = u³.

7. Заключение

Рассмотрена задача нахождения оценки области притяжения аффинной

системы со многими входами, замкнутой линеаризующей обратной связью,

при ограниченном ресурсе управления. Предлагаемый подход к построе-

нию оценок областей притяжения основан на результатах теории абсолютной

устойчивости и является обобщением на случай векторного управления раз-

работанного ранее автором метода нахождения эллипсоидальных оценок ОП

аффинных систем с ограниченным скалярным управлением [11]. Оценка об-

ласти притяжения ищется в виде декартового произведения положительных

инвариантных множеств составляющих систему подсистем. В случае эллип-

соидальных инвариантных множеств построение оценки области притяжения

³ В численных экспериментах чтобы сделать картину колебаний более наглядной, в

правые части уравнений колебаний маятников были добавлены слагаемые α y1 и α y2, α =

= 0,1, моделирующие небольшое вязкое трение.

сведено к решению систем линейных матричных неравенств. Приведенные

численные примеры иллюстрируют применение предлагаемого метода для

построения оценок области притяжения положения равновесия неустойчивых

систем второго и четвертого порядков с двумя входами, стабилизируемых с

помощью ограниченной линеаризующей обратной связи.

Отметим некоторые возможные направления дальнейшего развития пред-

лагаемого в статье метода. Представляет интерес исследование возможности

использования неквадратичных функций Ляпунова с целью получения неэл-

липсоидальных инвариантных областей подсистем и тем самым более точных

аппроксимаций областей притяжения. Актуально также обобщение предлага-

емого метода на более общий случай нормальной формы, когда правая часть

каждой подсистемы зависит от нескольких, в общем случае всех, управлений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Tarbouriech S., Garcia G., Gomes da Silva Jr. J.M., Queinnec I. Stability and

Stabilization of Linear Systems with Saturating Actuators. London: Springer, 2011.

Tarbouriech S, Turner M. Anti-Windup Design: An Overview of Some Recent

Advances and Open Problems // IET Control Theor. Appl. 2009. V. 3. No. 1.

P. 1-19.

Turner M.C., Herrmann G., Postlethwaite I. Anti-windup compensation and

the control of input-constrained systems. Mathematical Methods for Robust and

Nonlinear Control / Turner M.C., Bates D.G., Eds. Berlin: Springer, 2007. P. 143-

174.

Blanchini F., Miani S. Set-theoretic Methods in Control. Boston: Birkhauser, 2008.

Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ре-

сурсами. М.: Наука, 1974.

Rapoport L.B. Estimation of an Attraction Domain for Multivariable Lur’e Systems

Using Looseless Extension of the S-Procedure // Proc. Am. Control Conf., San Diego,

1999. P. 2395-2396.

Herrmann G., Turner M.C., Menon P.P., Bates D.G., Postlethwaite I. Anti-windup

Synthesis for Nonlinear Dynamic Inversion Controllers // Proc. IFAC Robust

Controller Design Symp. (ROCOND). Toulouse, 2006.

Kapoor N., Daoutidis P. An Observer Based Anti-windup Scheme for Nonlinear

Systems with Input Constraints // Int. J. Control. 1999. V. 72. No. 1. P. 18-29.

Жевнин Ф.Ф., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез ал-

горитмов управления // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258. № 4. С. 805-809.

10.

Isidori A. Nonlinear Control Systems. London: Springer, 1995.

11.

Пестерев А.В. Оценка области притяжения нулевого решения для аффинных

систем с ограниченным управлением // АиТ. 2017. № 4. С. 3-20.

Pesterev A.V. Attraction Domain Estimate for Single-Input Affine Systems with

Constrained Control // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 4. P. 581-594.

12.

Рапопорт Л.Б. Оценка области притяжения в задаче управления колесным ро-

ботом // АиТ. 2006. № 9. С. 69-89.

Rapoport L.B. Estimation of Attraction Domain in a Wheeled Robot Control

Problem // Autom. Remote Control. 2006. V. 67. No. 9. P. 1416-1435.

13.

Пестерев А.В., Рапопорт Л.Б. Построение инвариантных эллипсоидов в задаче

стабилизации движения колесного робота вдоль криволинейного пути // АиТ.

2009. № 2. С. 52-67.

Pesterev A.V., Rapoport L.B. Construction of Invariant Ellipsoids in the Stabilization

Problem for a Wheeled Robot Following a Curvilinear Path // Autom. Remote

Control. 2009. V. 70. No. 2. P. 219-232.

14.

Пестерев А.В. Алгоритм построения инвариантных эллипсоидов в задаче ста-

билизации движения колесного робота // АиТ. 2009. № 9. С. 100-112.

Pesterev A.V. Algorithm to Construct Invariant Ellipsoids in the Problem of

Stabilization of Wheeled Robot Motion // Autom. Remote Control. 2009. V. 70.

No. 9. P. 1528-1539.

15.

Pesterev A.V. Maximum-volume Ellipsoidal Approximation of Attraction Domain in

Stabilization Problem for Wheeled Robot // Proc. 18th IFAC World Congr., Milan,

2011. CD ROM.

16.

Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых си-

стем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

17.

Пятницкий Е.С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных си-

стем // АиТ. 1970. № 1. С. 5-15.

Pyatnitskij E.S. Absolute Stability of Nonstationary Nonlinear Systems // Autom.

Remote Control. 1970. No. 1. P. 1-9.

18.

Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управляемость. М.: Нау-

ка, 2002.

19.

Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод

эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

20.

Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in

system and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

21.

Pesterev A.V. Absolute Stability Analysis for a Linear Time Varying System of

Special Form // 2016 Int. Conf. “Stability and Oscillations of Nonlinear Control

Systems” (Pyatnitskiy’s Conf.), June 1-3, 2016. DOI: 10.1109/STAB.2016.7541213

22.

Пестерев А.В. Построение наилучшей эллипсоидальной аппроксимации области

притяжения в задаче стабилизации движения колесного робота // АиТ. 2011.

№ 3. С. 51-68.

Pesterev A.V. Construction of the Best Ellipsoidal Approximation of the Attraction

Domain in Stabilization Problem for a Wheeled Robot // Autom. Remote Control.

2011. V. 72. No. 3. P. 512-528.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.П. Крищенко.

Поступила в редакцию 25.07.2018

После доработки 25.07.2018

Принята к публикации 08.11.2018