Автоматика и телемеханика, № 5, 2019

Стохастические системы

(Уральский федеральный университет, Екатеринбург),

Ю.Г. МАРТЫШЕНКО, канд. физ.-мат. наук (j-mart@mail.ru)

(Российский государственный университет нефти и газа, Москва)

К ЗАДАЧЕ ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ВЕРОЯТНОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматривается общий класс нелинейных нестационарных систем сто-

хастических дифференциальных уравнений в форме Ито. Изучаются две

задачи частичной устойчивости по вероятности: 1) устойчивости по части

переменных нулевого положения равновесия; 2) устойчивости по части

переменных «частичного» (нулевого) положения равновесия. Получены

условия частичной устойчивости по вероятности в контексте стохастиче-

ского варианта метода функций Ляпунова. Наряду с основной функцией

Ляпунова рассматривается дополнительная (векторная, вообще говоря)

вспомогательная функция для корректировки области, в которой строит-

ся основная функция Ляпунова. Дается сравнение с известными результа-

тами по частичной устойчивости систем стохастических дифференциаль-

ных уравнений. Рассмотрен пример, иллюстрирующий особенности пред-

ложенного подхода. Также рассматривается вопрос унификации исследо-

ваний частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем

стохастических дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: системы стохастических дифференциальных уравнений

Ито, частичная устойчивость по вероятности, метод функций Ляпунова.

DOI: 10.1134/S0005231019050052

1. Введение

Системы стохастических дифференциальных уравнений широко при-

меняются при математическом моделировании процессов, подверженных воз-

действию различных случайных факторов [1-3].

Разработка подходов к исследованию устойчивости систем стохастических

дифференциальных уравнений началась во второй половине XX столетия.

Конструктивной оказалась идея И.Я. Каца и Н.Н. Красовского [4] исполь-

зования усредненной производной V -функции, предложенная для изучения

систем стохастических дифференциальных уравнений вида x^′ = F(t, x, η(t)),

где η(t) — однородная марковская цепь с конечным числом состояний. В этом

случае для вычисления производной V -функции достаточно знать лишь пра-

вые части системы и вероятностные характеристики случайного процесса.

Предложенный подход в значительной степени предопределил последую-

щие исследования устойчивости систем стохастических дифференциальных

уравнений в форме Ито [1, 2], решения которых являются непрерывными

марковскими процессами. Более того, оказалось возможным исследование

устойчивости и более общих систем стохастических дифференциальных урав-

нений, совмещающих свойства систем указанных типов, включая системы,

где в момент скачкообразного изменения марковской цепи η(t) решение так-

же может меняться скачком (случайным или неслучайным образом) [5, 6].

В данной статье рассматривается нелинейная нестационарная система сто-

хастических дифференциальных уравнений в форме Ито общего вида. Сна-

чала рассматривается случай, когда система допускает нулевое положение

равновесия. Устойчивость данного положения равновесия анализируется по

отношению не ко всем фазовым переменным, определяющим состояние си-

стемы, а только по их заданной части. При этом делается допущение о том,

что начальные возмущения «неконтролируемых» переменных, устойчивость

по которым не анализируется, могут быть большими (принадлежащими про-

извольному компактному множеству) по одной их части и произвольными по

оставшейся части. Затем рассматривается система, допускающая «частич-

ное» (по некоторой части переменных) нулевое положение равновесия; «пол-

ного» положения равновесия при этом может и не существовать. Устойчи-

вость данного «частичного» положения равновесия в свою очередь анали-

зируется также по отношению не ко всем определяющим его переменным,

а только по их заданной части. При этом делается допущение о том, что

начальные значения переменных, не определяющих «частичное» положение

равновесия, могут быть большими по одной части и произвольными по остав-

шейся части этих переменных.

Ранее такие задачи рассматривались для детерминированных систем

обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью

[7-10], функционально-дифференциальных систем с последействием [11], а

также для дискретных (конечно-разностных) систем [12, 13].

Для решения поставленных задач частичной устойчивости применяется

стохастический вариант метода функций Ляпунова в соответствующей моди-

фикации. Получены условия частичной устойчивости указанного вида, обоб-

щающие известные результаты по частичной устойчивости систем стохасти-

ческих дифференциальных уравнений [14-21]. В отличие от указанных ра-

бот наряду с основной функцией Ляпунова рассматривается дополнительная

(векторная, вообще говоря) вспомогательная функция для корректировки об-

ласти, в которой строится основная функция Ляпунова.

Общий обзор задач частичной устойчивости (стабилизации) динамических

систем, область приложений которых в последние годы расширяется, можно

найти в [10, 22, 23]. Для случая детерминированных систем обыкновенных

дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью основополага-

ющие результаты получены В.В. Румянцевым [24].

Теория устойчивости систем стохастических дифференциальных уравне-

ний возникла [1, 2] в связи с потребностями теории управляемых систем и,

в частности, в связи с решением задач стабилизации (по всем переменным)

управляемых систем при случайных воздействиях. Однако в последние годы

все чаще рассматриваются задачи частичной (по части переменных) стаби-

лизации нелинейных управляемых систем [10, 23], определяющие возможные

приложения полученных в статье результатов.

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейное действительное конечномерное пространство векто-

ров x с стандартной евклидовой нормой ∥x∥. Введем разбиение x = (y^T, z^T)^T

(T — обозначает транспонирование).

Пусть дана система нелинейных нестационарных стохастических диффе-

ренциальных уравнений в форме Ито [1-3]

∑

dx = X(t, x)dt + σ_k(t, x)dw_k(t),

k=1

которую с учетом сделанного разбиения x = (y^T, z^T)^T представим в виде двух

групп дифференциальных уравнений

∑

dy = Y(t, y, z)dt + σyk(t, y, z)dw_k (t),

k=1

(1)

∑

dz = Z(t, y, z)dt +

σzk(t,y,z)dw_k(t).

k=1

Вектор-функции X = (Y^T, Z^T)^T, σ_k = (σTyk, σTzk)^T, определяющие правые

части системы (1), непрерывны по t, x в области t ≥ 0, ∥x∥ < ∞; w_k — неза-

висимые одномерные винеровские процессы.

Если выполняются условия X(t, 0) ≡ 0, σ_k(t, 0) ≡ 0, то система (1) допус-

кает нулевое положение равновесия x = (y^T, z^T)^T = 0.

Считаем также, что вектор-функции X, σ_k равномерно по t удовлетворяют

локальным условиям Коши - Липшица. Это значит, что для всякого числа

h > 0 существует постоянная K(h) > 0 такая, что при t ≥ t₀, ∥x∥ ≤ h имеют

место неравенства

∥X(t, x^′) - X(t, x^′′)∥ ≤ K∥x^′ - x^′′∥,

∥σ_k(t, x^′) - σ_k(t, x^′′)∥ ≤ K∥x^′ - x^′′∥.

Тогда для любых t₀ ≥ 0, x₀ существует [1-3] единственный непрерывный

почти наверное марковский процесс x(t) = x(t; t₀, x₀) с феллеровской пере-

ходной функцией, являющийся решением системы стохастических диффе-

ренциальных уравнений (1). Данный процесс (решение) рассматривается на

вероятностном пространстве [1-3] с вероятностной мерой P.

Продолжимость при всех t ≥ t₀ указанных решений гарантируют условия

«линейного роста»

∥X(t, x)∥ ≤ M(1 + ∥x∥),

∥σ_k(t, x)∥ ≤ M(1 + ∥x∥),

выполняющиеся при t ≥ t₀, ∥x∥ < ∞, M = const > 0. Эти условия можно за-

менить на более слабые условия, которые определяются соответствующими

требованиями к некоторым вспомогательным функциям Ляпунова [1-3].

Представим компоненту z вектора x в виде z = (z^T1, z^T2) и обозначим че-

рез D_δ область значений x₀ таких, что ∥y₀∥ < δ, ∥z₁₀∥ ≤ L, ∥z₂₀∥ < ∞.

Определение 1. Положение равновесия x = 0 системы (1) при боль-

ших значениях z₁₀ в целом по z₂₀ (for a large z₁₀ in the whole of z₂₀):

1) y-устойчиво по вероятности (устойчиво по вероятности по отноше-

нию к y), если для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно малых чисел

ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0 найдется

число δ(ε, γ, L, t₀) > 0 такое, что неравенство

{

}

(2)

P sup ∥y(t;t₀,x₀)∥ > ε

<γ

t≥t₀

выполняется для всех t ≥ t₀ и x₀ ∈ D_δ;

2) равномерно y-устойчиво, если δ = δ(ε, γ, L).

Если выполняются условия Y(t, 0, z) ≡ 0, σyk(t, 0, z) ≡ 0, то множество

M = {x : y = 0} является «частичным» положением равновесия системы (1).

(Нулевого положения равновесия x = 0 может при этом и не существовать.)

Имея в виду анализ устойчивости положения равновесия y = 0 по отноше-

нию не ко всем определяющим его переменным, а только по их некоторой

части, предположим также, что y = (y^T1, y^T2)^T.

Определение 2. «Частичное» положение равновесия y = 0 систе-

мы (1) при больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀:

1) y₁-устойчиво по вероятности (устойчиво по вероятности по отно-

шению к y₁), если для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно малых чисел

ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0 найдется

число δ(ε, γ, L, t₀) > 0 такое, что

{

}

(3)

P sup ∥y₁(t;t₀,x₀)∥ > ε

<γ

t≥t₀

для всех t ≥ t₀ и x₀ ∈ D_δ;

2) равномерно y₁-устойчиво, если δ = δ(ε, γ, L).

Замечание 1. В определениях 1, 2 значение x₀ предполагается детерми-

нированным. Однако можно показать [3], что если x₀ — случайная величина

и включение x₀ ∈ D_δ выполняется почти наверное (с вероятностью 1), то

получаем определения, эквивалентные введенным определениям частичной

устойчивости.

Замечание 2. Рассмотренное в [14-19] понятие y-устойчивости по веро-

ятности положения равновесия x = 0 системы (1) предполагает, что ∥x₀∥ < δ.

Понятие устойчивости (y-устойчивости) по вероятности «частичного» поло-

жения равновесия y = 0 предполагает [20, 21], что ∥y₀∥ < δ, ∥z₀∥ < ∞, где δ

может зависеть не только от ε, γ, t₀, но и от z₀ (это условие эквивалентно

условиям ∥y₀∥ < δ, ∥z₀∥ ≤ L, где δ зависит не только от ε, γ, t₀, но и от L).

Поскольку в введенных определениях 1, 2 имеет место включение x₀ ∈ D_δ,

то данные определения устойчивости более общие.

Замечание 3. Несмотря на определенное формально-математическое

сходство рассматриваемых двух задач частичной устойчивости, имеется их

существенное фактическое различие [10]. Это обстоятельство оправдывает

отдельное рассмотрение данных задач. Кроме того, будет показано, что рас-

смотрение задачи устойчивости по части переменных «частичного» положе-

ния равновесия позволяет унифицировать исследования частичной устойчи-

вости стационарных и нестационарных систем стохастических дифференци-

альных уравнений Ито.

3. Условия частичной устойчивости по вероятности

3.1. Условия y-устойчивости положения равновесия x = 0

Введем вспомогательные V -функции Ляпунова, V (t, 0) ≡ 0, непрерывные

и дважды непрерывно дифференцируемые по x и один раз по t в области

G = {t ≥ 0,∥y∥ < h,∥z∥ < ∞}.

Обозначим через L дифференциальный производящий оператор, ассо-

циированный с системой стохастических дифференциальных уравнений (1)

(<, > - знак скалярного произведения векторов) [1-3],

.)₂

∑

∂

+ X(t, x),

σTk(t,x),

∂t

∂x

k=1

∑

∂

∂²

X_i(t,x)

a_ij(t,x)

∂t

∂x_i

∂x_i∂x_j

i=1

i,j=1

(

)_T

(

)_T

X = (X₁,...,X_n)^T =

Y^T,Z^T

σ_k =

σTyk,σTzk

σ = (σ₁,...,σ_r),

{a_ij (t, x)} = σ · σ^T.

При действии оператора L на V -функцию ее образ LV является стохасти-

ческим аналогом производной V -функции в силу детерминированной систе-

мы дифференциальных уравнений.

Для нахождения условий частичной устойчивости также рассмотрим:

1) вспомогательные скалярные функции V^∗(t, y, z₁), V^∗(y, z₁) и вектор-

функцию μ(t, x), непрерывные в области G;

2) непрерывную монотонно возрастающую по r > 0 скалярную функ-

цию a(r), a(0) = 0 (функцию типа Хана [22]).

Теорема 1. Допустим, что для системы стохастических дифференци-

альных уравнений (5), наряду со скалярной V -функцией, можно указать век-

торную функцию μ(t,x), μ(t,0) ≡ 0 такие, что в области

(4)

t ≥ 0,

∥y∥ + ∥μ(t, x)∥ < h₁

< h,

∥z∥ < ∞

выполняются условия:

(5)

V (t, x) ≥ a(∥y∥ + ∥μ(t, x)∥);

(6)

V (t, x) ≤ V ^∗(t, y, z₁), V ^∗(t, 0, z₁

) ≡ 0;

(7)

LV (t,x) ≤ 0.

Тогда положение равновесия x = 0 системы (1) y-устойчиво по вероят-

ности при больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀.

Если условия (6) теоремы 1 заменить условиями

(8)

V (t, x) ≤ V ^∗(y, z₁), V ^∗(0, z₁

) ≡ 0,

то положение равновесия x = 0 системы (1) равномерно y-устойчиво по

вероятности при больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀.

Доказательство теоремы 1 дано в Приложении.

Замечание 4. В теореме 1 вспомогательная V -функция, а также функ-

ция LV , являющаяся образом V -функции при действии на нее дифференци-

ального производящего оператора L, ассоциированного с системой (1), могут

быть знакопеременными в области

(9)

t ≥ 0,

∥y∥ < h₁

< h,

∥z∥ < ∞,

которая обычно рассматривается [14-19] при анализе y-устойчивости.

Замечание 5. В рамках предложенного подхода нелинейные V -функ-

ции могут быть построены как квадратичные формы V (t, x)≡V^∗(t, y, μ(t, x))

переменных y, μ, знакоопределенные по всем переменным (но имеющие зна-

копеременные в области (9) функции LV ).

Замечание 6. Сформулированные результаты являются обобщением

соответствующих результатов, полученных в [1-4, 14-19]. Для сравнения

устойчивость по отношению ко всем переменным положения равновесия

x = 0 системы стохастических дифференциальных уравнений (1) рассмотре-

на в [1-4]. Условия устойчивости по части переменных (y-устойчивости) по-

ложения равновесия x = 0 системы (1) получены в [14-19] с помощью одной

V -функции (условие μ(t, x) ≡ 0), рассматриваемой в области (9), при пред-

положении ∥x₀∥ < δ. Поскольку в теореме 1 вспомогательная V -функция, а

также функция LV могут быть знакопеременными в области (9), то полу-

ченные результаты являются более общими. Они основаны на использовании

двух вспомогательных функций Ляпунова: наряду с основной V -функцией

для наиболее рациональной замены области (9) областью (4) вводится до-

полнительная вспомогательная μ-функция.

Замечание 7. В случае μ(t,x) ≡ 0, σ_k(t,x) ≡ 0, ∥x₀∥ < δ при выполне-

нии условий (5), (7) имеем классическую теорему В.В. Румянцева [24], а в

случае δ_k(t, x) ≡ 0, ∥x₀∥ < δ получаем теорему из [25]. В случае μ_k(t, x) ≡ 0

теорема 1 переходит в соответствующую теорему из [9].

Замечание 8. Устойчивость по части переменных нулевого положения

равновесия систем стохастических дифференциальных уравнений с разрыв-

ными решениями рассмотрена в [26, 27] с помощью одной функции Ляпунова.

3.2. Условия y₁-устойчивости «частичного» положения равновесия y = 0

Введем вспомогательные V -функции, V (t, 0) ≡ 0, являющиеся в области

G₁ = {t ≥ 0,∥y₁∥ < h,∥y₂∥+∥z∥ < ∞} непрерывными и дважды непрерывно

дифференцируемыми по x и один раз по t. Функции V^∗(t, y, z₁), V^∗(y, z₁) и

вектор-функцию μ(t, x) считаем непрерывными в области G₁.

Теорема 2. Допустим, что для системы (1), наряду со скалярной

V -функцией, можно указать векторную функцию μ(t, x), μ(t, 0) ≡ 0 такие,

что в области

(10)

t ≥ 0,

∥y₁∥ + ∥μ(t, x)∥ < h₁ < h,

∥y₂

∥ + ∥z∥ < ∞,

наряду с условиями (6), (7), также выполняется условие

(11)

V (t, x) ≥ a(∥y₁

∥ + ∥μ(t,x)∥).

Тогда «частичное» положение равновесия y = 0 системы (1) y₁-устой-

чиво по вероятности при больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀.

Если условия (6) заменить условиями (8), то «частичное» положение

равновесия y = 0 системы (1) равномерно y₁-устойчиво по вероятности при

больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀.

Доказательство теоремы 2 также дано в Приложении.

Замечание 9. В [20, 21] с помощью одной V -функции рассмотрена

устойчивоcть по всем переменным (y-устойчивость) «частичного» положения

равновесия y = 0 системы (1) при предположении ∥y₀∥ < δ, ∥z₀∥ < ∞, где δ

может зависеть не только от ε, γ, t₀, но и от z₀ (как уже отмечалось, это

условие эквивалентно условиям ∥y₀∥ < δ, ∥z₀∥ ≤ L, где δ зависит не только

от ε, γ, t₀, но и от L). При этом V -функция, а также функция LV пред-

полагаются знакоопределенными в области (9). В то же время в теореме 2

вспомогательная V -функция, а также функция LV могут быть знакопере-

менными в области t ≥ 0, ∥y₁∥ < h₁ < h, ∥y₂∥ + ∥z∥ < ∞ или в области (9) в

случае y₁ = y.

Кроме того, условия (6) и (8) являются «промежуточными» по отноше-

нию к условиям V (t, 0, z) ≡ 0 и V ≤ V^∗(y) в [20, 21], что можно использовать

для поиска компромисса между содержательным смыслом понятия частич-

ной устойчивости и соответствующими требованиями к функциям Ляпунова.

Замечание 10. В случае σ_k(t,x) ≡ 0 теорема 1 переходит в соответст-

вующую теорему из [9].

4. Пример

Пусть система (1) состоит из уравнений

dy₁ = y₁(-1 + z₁ sin z₂)dt + 0,1y₁dw₁,

(12)

dz₁ = -z₁[1 + sin(ty₁) cos z₂]dt + 0,2z₁dw₂,

dz₂ = [sin(ty₁) sin z₂]dt.

Рассмотрим две вспомогательные функции

(

)

(13)

V =

y²¹

1 + z21 sin2 z₂

μ₁ = z₁ sin z₂,

для которых выполняются условия

(

)

V =

y²¹

1+μ²¹

≤ V ^∗(y₁,z₁) =

y²¹(1 + z²¹), V^∗(0,z₁) ≡ 0,

причем нелинейная по фазовым переменным V -функция является квадра-

тичной формой переменных y₁ и μ₁.

В данном случае имеют место соотношения

σ_k = (σk1,σk2,σk3)^T (k = 1,2);

σ₁₁ = 0,1y₁; σ₂₂ = 0,2z₁; σ₃₃ = 0; σ_ij = 0 (i = j);

.)₂

∑

∂

∂²V

σTk(t,x),

V =σ²

+σ²

= 0,01y²¹ + 0,04μ²¹.

∂x

¹¹ ∂y²

²² ∂z²

k=1

Для V -функции (13) вдоль траекторий системы (12) в области (4) полу-

чаем следующие оценки:

LV = -y²¹ - μ²¹ + y²²μ₁ +

+ 0,005y²¹ + 0,02μ²¹ ≤ -l(y²¹ + μ²¹) ≤ 0, l = const > 0.

На основании теоремы 1 положение равновесия y₁ = z₁ = z₂ = 0 систе-

мы (12) равномерно y₁-устойчиво по вероятности при большом z₁₀ в целом

по z₂₀.

Отметим, что функция LV , являющаяся образом V -функции (13) при дей-

ствии на нее дифференциального производящего оператора L, ассоциирован-

ного с системой (12), знакопеременна в области (9).

5. К унификации исследований частичной устойчивости

Вводя обозначения u = t, τ = t - t₀, нестационарную систему стохасти-

ческих дифференциальных уравнений (1) представим в виде стационарной

системы стохастических дифференциальных уравнений [20, 21]

∑

dx(τ) = X(x(τ), u(τ))dτ +

σ_k(x(τ),u(τ))dw_k(τ),

(14)

k=1

du(τ) = dτ.

Заметим, что решение x(t; t₀, x₀), t ≥ t₀ нестационарной системы (1) эквива-

лентно определяется решением x(τ; 0, x₀), τ ≥ 0 стационарной системы сто-

хастических дифференциальных уравнений (14).

Если система (1) допускает положение равновесия x = 0, то система (14)

допускает «частичное» положение равновесия x = 0. В результате как задача

устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия, так и за-

дача устойчивости по части переменных «частичного» положения равновесия

нестационарной системы стохастических дифференциальных уравнений (1)

сводятся к задаче устойчивости по части переменных «частичного» поло-

жения равновесия стационарной системы стохастических дифференциаль-

ных уравнений (14). А именно, задача y-устойчивости положения равновесия

x = 0 системы (1) сводится к задаче y-устойчивости «частичного» положе-

ния равновесия x = 0 системы (14), а задача y₁-устойчивости «частичного»

положения равновесия y = 0 системы (1) сводится к задаче y₁-устойчивости

«частичного» положения равновесия y = 0 системы (14).

Особенность такого сведения в том, что в случае равномерной (или нерав-

номерной) по t₀ частичной устойчивости исходной системы (1) постановки

обеих задач частичной устойчивости для системы (14) должны отвечать тре-

бованию «в целом по u₀» (или «при большом u₀»). Поскольку при этом по-

становки обеих задач частичной устойчивости для системы (14) допускают

как требование «в целом по z₀», так и требование «при большом z₀», то в

результате приходим к необходимости анализа задачи устойчивости по части

переменных «частичного» положения равновесия, рассмотренной в разделе 2.

Отметим, что ранее обсуждались вопросы:

1) унификации исследований в задачах устойчивости по всем переменным

нестационарных систем стохастических дифференциальных уравнений и за-

дачах частичной устойчивости стационарных систем стохастических диффе-

ренциальных уравнений [20, 21];

2) унификации исследований частичной устойчивости стационарных и

нестационарных детерминированных систем обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений (непрерывных и дискретных) [9, 12].

6. Заключение

Для нелинейных нестационарных систем стохастических дифференциаль-

ных уравнений Ито получены условия частичной устойчивости по вероятно-

сти для двух задач: 1) устойчивости по части переменных нулевого положе-

ния равновесия; 2) устойчивости по части переменных «частичного» (нуле-

вого) положения равновесия. При этом вводятся более общие в сравнении с

известными определения частичной устойчивости.

Использован стохастический вариант метода функций Ляпунова в соот-

ветствующей модификации. А именно, в отличие от ранее выполненных ра-

бот по частичной устойчивости систем стохастических дифференциальных

уравнений наряду с основной функцией Ляпунова рассматривается дополни-

тельная (векторная, вообще говоря) вспомогательная функция для коррек-

тировки области, в которой строится основная функция Ляпунова.

Целесообразность такого подхода заключается в том, что в результате ос-

новная V -функция Ляпунова, а также функция LV , являющаяся образом

V -функции при действии на нее дифференциального производящего опера-

тора L, ассоциированного с изучаемой системой, могут быть знакоперемен-

ными в обычно рассматриваемой при изучении частичной устойчивости об-

ласти фазового пространства системы. Кроме того, появляется возможность

построения основной функции Ляпунова в виде квадратичной формы новых

переменных, включающих переменные, устойчивость по которым исследует-

ся, и компоненты вспомогательной функции. Рассмотрен пример, иллюстри-

рующий особенности указанного подхода.

Показано, что на базе задачи устойчивости по части переменных «частич-

ного» положения равновесия возможна унификация исследований частичной

устойчивости стационарных и нестационарных систем стохастических диф-

ференциальных уравнений.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Возьмем произвольное ε (0 < ε < h₁),

произвольный момент времени t₀, а также начальную точку x₀ из обла-

сти D_ε = {∥y₀∥ < ε, ∥z₁₀∥ ≤ L, ∥z₂₀∥ < ∞}. Рассмотрим решение x(t; t₀, x₀)

(t ≥ t₀) системы (1) и обозначим через τ_ε момент первого достижения процес-

сом x(t; t₀, x₀) поверхности ∥y∥ = ε. Если некоторые траектории этого про-

цесса ни за какое конечное время не достигают поверхности ∥y∥ = ε, то для

них τ_ε считаем равным ∞. Положим τ_ε(t) = min(τ_ε, t).

На основании теории марковских процессов [1] имеем равенство (E — знак

математического ожидания)

E [V (τ_ε(t), x(τ_ε(t); t₀, x₀)) - V (t₀, x₀)] =

∫

(Π.1)

= E LV (s,x(s;t₀,x₀))ds.

t₀

Поэтому из равенства (П.1) в силу условия (6) следует, что

(Π.2)

E[V (τ_ε(t), x(τ_ε(t); t₀, x₀))] ≤ V (t₀, x₀

Если справедливо неравенство t > τ_ε (в этом случае имеем τ_ε(t) = τ_ε),

то выполняются соотношения ∥y(τ_ε(t); t₀, x₀)∥ = ∥y(τ_ε; t₀, x₀)∥ = ε. Если же

справедливо неравенство t < τ_ε (в этом случае имеем τ_ε(t) = t), то на основа-

нии неравенства Чебышева и оценки (П.2) находим

P[∥y(t; t₀, x₀)∥ > ε] ≤ a-1(ε)E[a(∥y(t; t₀, x₀)∥)] ≤

≤ a-1(ε)E[a(∥y(t;t₀,x₀)∥ + ∥μ(t,x(t;t₀,x₀))∥)] ≤

(Π.3)

≤ a-1(ε)E[V (t,x(t;t₀,x₀))] =

= a-1(ε)E[V (τ_ε(t),x(τ_ε(t);t₀,x₀))] ≤ a-1(ε)V (t₀,x₀).

Поскольку функция V (t, x) непрерывна, V (t, 0) ≡ 0, а также выполняются

условия (6), то для всех t₀ ≥ 0 и для любого заданного числа L > 0 предель-

ное соотношение

(Π.4)

lim

V (t₀, x₀

)=0

y₀→0

выполняется при ∥z₁₀∥ ≤ L равномерно по ∥z₂₀∥ < ∞.

Поэтому для всех t₀ ≤ 0 и для любого заданного числа L > 0 на основании

неравенств (П.3), (П.4) имеем предельное соотношение

[

]

lim

P lim ∥y(t; t₀, x₀)∥ > ε

= 0,

y₀→0

t>t₀

выполняющееся при ∥z₁₀∥ ≤ L равномерно по ∥z₂₀∥ < ∞.

В результате для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно малых чисел

ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0 найдется

число δ(ε, γ, L, t₀) > 0 такое, что неравенство (2) имеет место для всех t ≥ t₀

и x₀ ∈ D_δ. Следовательно, при больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀ положе-

ние равновесия x = 0 системы (1) y-устойчиво по вероятности. Первая часть

теоремы 1 доказана.

При выполнении условий (8) для любого заданного числа L > 0 предель-

ное соотношение (П.4) выполняется при ∥z₁₀∥ ≤ L равномерно не только по

∥z₂₀∥ < ∞, но и по t₀ ≥ 0. В результате для каждого t₀ ≥ 0 и для любых

сколь угодно малых чисел ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед задан-

ного числа L > 0 найдется не зависимое от t₀ число δ(ε, γ, L) > 0 такое, что

неравенство (2) имеет место для всех t ≥ t₀ и x₀ ∈ D_δ. Следовательно, при

больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀ положение равновесия x = 0 систе-

мы (1) равномерно y-устойчиво по вероятности. Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Возьмем произвольное ε (0 < ε < h₁),

произвольный момент времени t₀, а также начальную точку x₀ из обла-

сти D_ε. Рассмотрим решение x(t; t₀, x₀) (t ≥ t₀) системы дифференциальных

уравнений (1) и обозначим через τ^∗ε момент первого достижения процессом

x(t; t₀, x₀) поверхности ∥y₁∥ = ε. Если некоторые траектории этого процесса

ни за какое конечное время не достигают поверхности ∥y₁∥ = ε, то для них

τ^∗ε считаем равным ∞. Положим τ^∗ε(t) = min(τ^∗ε,t).

Из равенства (П.1) на основании условия (7) следует неравенство (П.2).

Если справедливо неравенство t > τ^∗ε (в этом случае имеем τ^∗ε(t) = τ^∗ε), то

выполняются соотношения ∥y₁(τ^∗ε(t); t₀, x₀)∥ = ∥y₁(τ^∗ε; t₀, x₀)∥ = ε. Если же

справедливо неравенство t < τ^∗ε (в этом случае имеем τ^∗ε(t) = t), то на осно-

вании неравенства Чебышева и оценки (П.2) аналогично (П.3) находим

P[∥y₁(t;t₀,x₀)∥ > ε] ≤

(Π.5)

≤ a-1(ε)E [V (τ_ε(t),x(τ_ε(t);t₀,x₀))] ≤ a-1(ε)V (t₀,x₀).

Имея в виду предельное соотношение (П.4), для всех t₀ ≥ 0 и для любого

заданного числа L > 0 на основании неравенств (П.5) получим предельное

соотношение

[

]

lim

P lim ∥y₁(t; t₀, x₀)∥ > ε

= 0,

y₀→0

t>t₀

выполняющееся при ∥z₁₀∥ ≤ L равномерно по ∥z₂₀∥ < ∞.

В результате для каждого t₀ ≤ 0 и для любых сколь угодно малых чисел

ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0 найдется

число δ(ε, γ, L, t₀) > 0 такое, что неравенство (3) имеет место для всех t ≥ t₀ и

x₀ ∈ D_δ. Следовательно, при больших значениях z₁₀ в целом по z₂₀ «частич-

ное» положение равновесия y = 0 системы (1) y₁-устойчиво по вероятности.

Первая часть теоремы 2 доказана.

При выполнении условий (8) для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно

малых чисел ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0

найдется не зависимое от t₀ число δ(ε, γ, L) > 0 такое, что неравенство (3)

имеет место для всех t ≥ t₀ и x₀ ∈ D_δ. Следовательно, при больших значени-

ях z₁₀ в целом по z₂₀ «частичное» положение равновесия y = 0 системы (1)

равномерно y₁-устойчиво по вероятности. Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при слу-

чайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление / Пер. с англ. М.:

Мир, 1969.

Mao X.R. Stochastic Differential Equations and Applications. 2nd ed. Oxford:

Woodhead Publ., 2008.

Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметра-

ми // Прикл. матем. и механика. 1960. Т. 24. Вып. 5. С. 809-823.

Kats I.Ya., Martynyuk A.A. Stability and Stabilization of Nonlinear Systems with

Random Structure. London: Taylor & Francis, 2002.

Mao X.R., Yuan C.G. Stochastic Differential Equations with Markovian Switching.

London: Imperial College Press, 2006.

Воротников В.И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации

понятий и единым условиям разрешимости // Докл. РАН. 2002. Т. 384. № 1.

С. 47-51.

Vorotnikov V.I. Two Classes of Partial Stability Problems: Unification of the Notions

and Common Conditions of Solvability // Dokl. Physics. 2002. V. 47. No. 5.

P. 377-381.

Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной детектируемости

нелинейных динамических систем // АиT. 2009. № 1. С. 25-38.

Vorotnikov V.I., Martyshenko Yu.G. On Partial Detectability of the Nonlinear

Dynamic Systems // Autom. Remote Control. 2009. V. 70. No. 1. P. 20-32.

Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К теории частичной устойчивости нели-

нейных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010.

Т. 51. Вып. 5. С. 23-31.

Vorotnikov V.I., Martyshenko Yu.G. On the Partial Stability of Nonlinear Dynamical

Systems // J. Comp. Syst. Sci. Int. 2010. V. 49. No. 5. P. 702-709.

10.

Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и

перспективы развития // АиТ. 2005. № 4. С. 3-59.

Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control: the State of the Art and Developing

Prospects // Autom. Remote Control. 2005. V. 66. No. 4. P. 511-561.

11.

Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. Об устойчивости по части переменных

«частичных» положений равновесия систем с последействием // Мат. заметки.

2014. Т. 96. Вып. 4. С. 496-503.

Vorotnikov V.I., Martyshenko Yu.G. Stability in a Part of Variables of “Partial”

Equilibria of Systems with Aftereffect // Math. Notes. 2014. V. 96. No. 4. P. 477-483.

12.

Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной устойчивости нели-

нейных дискретных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2017.

Т. 18. № 6. С. 371-375.

13.

Ramirez-Llanos, E., Martinez S. Distributed and Robust Fair Optimization Applied

to Virus Diffusion Control // IEEE Trans. Network Sci. Engineer. 2017. V. 4. No. 1.

P. 41-54.

14.

Шаров В.Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению

к части переменных // АиT. 1978. № 11. С. 63-71.

Sharov V.F. Stability and Stabilization of Stochastic Systems vis-a-vis Some of the

Variables // Autom. Remote Control. 1978. V. 39. No. 11. P. 1629-1636.

15.

Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998.

16.

Potcovaru G. On the Partial Stability of a Dynamical Systems with Random

Parameters // An. Univ. Bucur. Mat. 1999. V. 48. No. 2. P. 163-168.

17.

Ignatyev O. Partial Asymptotic Stability in Probability of Stochastic Differential

Equations // Statist. Probab. Lett. 2009. V. 79. No. 5. P. 597-601.

18.

Ignatyev O. New Criterion of Partial Asymptotic Stability in Probability of

Stochastic Differential Equations // Appl. Math. Comp. 2013. V. 219. No. 23.

P. 10961-10966.

19.

Зуев А.Л., Игнатьев А.О., Ковалев А.М. Устойчивость и стабилизация нели-

нейных систем. Киев: Наук. думка, 2013.

20.

Rajpurohit T., Haddad W.M. Stochastic Finite-Time Partial Stability, Partial-State

Stabilization, and Finite-Time Optimal Feedback Control // Math. Control, Signals,

Syst. 2017. V. 29. No. 2. art. 10.

21.

Rajpurohit T., Haddad W.M. Partial-State Stabilization and Optimal Feedback

Control for Stochastic Dynamical Systems // J. Dynam. Syst., Measurement,

Control. 2017. V. 139. No. 9. P. DS-15-1602.

22.

Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по от-

ношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

23.

Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное

управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

24.

Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных //

Вест. МГУ. Сер. Матем. Механика. Физика. Астрономия. Химия. 1957. № 4.

С. 9-16.

25.

Воротников В.И. К теории устойчивости по отношению к части переменных //

Прикл. матем. и механика. 1995. Т. 59. Вып. 4. С. 553-561.

Vorotnikov V.I. On the Theory of Partial Stability // J. Appl. Math. Mech. 1995.

V. 59. No. 4. P. 525-531.

26.

Kao Y., Wang C., Zha F., Cao H. Stability in Mean of Partial Variables for

Stochastic Reaction-Diffusion Systems with Markovian Switching // J. Franklin

Institute. 2014. V. 351. No. 1. P. 500-512.

27.

Socha L., Zhu Q.X. Exponential Stability with Respect to Part of the Variables for

a Class of Nonlinear Stochastic Systems with Markovian Switching // Math. Comp.

Simul. 2019. V. 155. P. 2-14.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.М. Хрусталевым.

Поступила в редакцию 20.04.2018

После доработки 10.09.2018

Принята к публикации 08.11.2018