Автоматика и телемеханика, № 5, 2019

(Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого)

К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ МНОГОМЕРНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

С ПОРЯДКОМ СИЛЬНОЙ СХОДИМОСТИ 2,5

Разрабатываются численные методы моделирования с порядком силь-

ной сходимости 2,5 для многомерных динамических систем при случай-

ных возмущениях, описываемых стохастическими дифференциальными

уравнениями Ито. Особое внимание уделяется методам численного мо-

делирования повторных стохастических интегралов Ито кратностей 1-5

(исходя из среднеквадратического критерия cходимости), необходимых

для реализации указанного численного метода.

Ключевые слова: повторный стохастический интеграл Ито, ряд Фурье,

численный метод, среднеквадратическая сходимость.

DOI: 10.1134/S0005231019050064

1. Введение

Настоящая статья является продолжением исследований автора [1] по чис-

ленным методам для стохастических дифференциальных уравнений (СДУ)

Ито, имеющих достаточно высокие порядки так называемой сильной сходи-

мости (определение сильной сходимости будет дано ниже).

Актуальность построения указанных численных методов обусловливается

широким кругом применений СДУ Ито [2-11]. Данные уравнения исполь-

зуются, в частности, в задачах оптимального стохастического управления,

фильтрации сигналов на фоне случайных помех, оценивания параметров сто-

хастических систем, а также в задачах о стохастической устойчивости и би-

фуркациях [2-4]. Кроме этого, СДУ Ито являются адекватными математиче-

скими моделями динамических систем различной физической природы, на-

ходящихся под воздействием случайных возмущений. Они применяются в

качестве математических моделей в стохастической финансовой математике

[3-6], гидрологии и сейсмологии [3], геофизике [3, 8], химической кинетике и

популяционной динамике [3], электродинамике [3, 7, 8], медицине [3] и ряде

других областей [9-11].

С другой стороны, актуальность построения численных методов для СДУ

Ито, имеющих достаточно высокие порядки сильной сходимости, обусловли-

вается тем обстоятельством, что точности одного из простейших численных

методов — метода Эйлера (при стандартных условиях [3, 9, 10]) оказывается

в ряде случаев недостаточно при численном решении практических задач.

Данная работа выполнена в рамках перспективного подхода [3, 4, 9, 10]

к численному интегрированию СДУ Ито, основанного на стохастических

аналогах формулы Тейлора (так называемых разложениях Тейлора-Ито и

Тейлора-Стратоновича) [12-15] для решений СДУ Ито. Этот подход подра-

зумевает конечную дискретизацию временнóй переменной и численное моде-

лирование решения СДУ Ито в дискретные моменты времени с помощью сто-

хастических аналогов формулы Тейлора. На примере численного метода с по-

рядком сильной сходимости 2,5 в статье показывается, что более целесообраз-

но применение разложения Тейлора-Ито, нежели Тейлора-Стратоновича, по-

скольку повторные стохастические интегралы Ито (особенно кратности 3-5),

необходимые для реализации численного метода, допускают более простые и

эффективные процедуры численного моделирования в сравнении с повтор-

ными стохастическими интегралами Стратоновича.

В работе применяется так называемое унифицированное разложение Тей-

лора-Ито [14], позволяющее использовать минимальную совокупность по-

вторных стохастических интегралов Ито, что является упрощающим фак-

тором на стадии реализации численного метода. Для аппроксимации повтор-

ных стохастических интегралов Ито, входящих в рассматриваемую числен-

ную схему с порядком сильной сходимости 2,5, используется метод кратных

рядов Фурье-Лежандра, рассмотренный в ряде работ автора [1, 15, 17-19].

В [1] отмечается, что указанный метод кратных рядов Фурье не приводит

к дроблению промежутка интегрирования [t, T ] упомянутых повторных сто-

хастических интегралов Ито, длина T - t которого представляет собой шаг

интегрирования численных методов для СДУ Ито и поэтому является до-

статочно малой величиной. Численные эксперименты показывают [15], что

дробление промежутка [t, T ] приводит к неприемлемо большим вычислитель-

ным затратам (обычно дробление промежутка [t, T ] используется в методах

аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанных на

интегральных суммах [20]).

Как отмечалось в [1], ряд публикаций [3, 4, 9, 10] содержит численные схе-

мы с высокими порядами сильной сходимости (1,5, 2,0 и 2,5) для СДУ Ито, од-

нако без эффективных процедур среднеквадратической аппроксимации, вхо-

дящих в них, повторных стохастических интегралов для случая многомер-

ного неаддитивного шума. Как правило, авторы [3, 4, 9, 10] вводят упрощаю-

щие предположения об аддитивности, коммутативности или малости шума,

что ведет к существенному упрощению проблемы численного моделирования

поторных стохастических интегралов. Данная статья, также как и работа [1],

частично устраняет указанный пробел.

Отметим, что в [3, 4, 9, 10] достаточно хорошо изучены свойства числен-

ных схем для СДУ Ито (в том числе и численных схем с порядком силь-

ной сходимости 2,5), в частности их устойчивость. Целью же настоящнй ста-

тьи является разработка эффектиных процедур численного моделирования

повторных стохастических интегралов Ито кратности 1-5, включая точное

вычисление и эффективное оценивание среднеквадратических погрешностей

аппроксимации указанных стохастических интегралов.

Пусть задано фиксированное вероятностное пространство (Ω, F, P), неубы-

вающая совокупность σ-алгебр {F_t, t ∈ [0, T ]} на нем и F_t-измеримый при

всех t ∈ [0, T ] m-мерный стандартный винеровский процесс f_t с независимы-

ми компонентами f(i)t; i = 1, . . . , m.

100

Рассмотрим СДУ Ито в интегральной форме:

∫t

∫

(1.1)

x_t = x₀ + a(x_τ ,τ)dτ + B(x_τ ,τ)df_τ , x₀

= x(0, ω),

где x_τ ∈ ℜⁿ — случайный процесс, являющийся сильным решением уравне-

ния (1.1); второй интеграл в правой части (1.1) понимается как стохастиче-

ский интеграл Ито [21]; a: ℜⁿ × [0, T ] → ℜⁿ, B : ℜⁿ × [0, T ] → ℜ^n×m — функ-

ции, для которых существует правая часть (1.1) и которые удовлетворяют

стандартным условиям существования и единственности сильного решения

x_t ∈ ℜⁿ уравнения (1.1) [21]; x₀ и f_t - f₀ (t > 0) предполагаются независи-

мыми, причем x₀ ∈ ℜⁿ — F₀-измеримая случайная величина, для которой

M{|x₀|²} < ∞; M — оператор математического ожидания.

2. Явная одношаговая численная схема с порядком

сильной сходимости 2,5, основанная

на унифицированном разложении Тейлора-Ито

Дадим определение сильной сходимости численного метода для СДУ Ито.

Рассмотрим разбиение {τ_p}Np=0 промежутка [0, T ] с рангом дробления Δ_N

= y_p; p = 0,1,... ,N обо-

значим дискретную аппроксимацию процесса x_t, t ∈ [0, T ] (решение СДУ

Ито (1.1)), соответствующую максимальному шагу дискретизации Δ_N .

Определение 1 [3]. Будем говорить, что дискретная аппроксимация

(численный метод) y_j ; j = 0, 1, . . . , N, соответствующая максимальному

шагу дискретизации Δ_N , сходится сильно с порядком γ > 0 к процессу x_t,

t ∈ [0,T], если существуют постоянная C > 0, которая не зависит от Δ_N

и j (j = 0,1,...,N), а также число δ > 0 такие, что

(2.1)

M{|x_j - y_j |} ≤ C(Δ_N )^γ

(j = 0, 1, . . . , N)

для всех Δ_N ∈ (0, δ).

В ряде публикаций [9, 10] авторы рассматривают вместо сильной схо-

димости среднеквадратическую сходимость, что соответствует замене усло-

вия (2.1) на следующее условие:

(

{

})1/2

(2.2)

|x_j - y_j|²

≤ C(Δ_N)^γ

(j = 0, 1, . . . , N).

= x_j; j = 0,1,...,N.

Очевидно, что в силу неравенства Ляпунова [16] среднедвадратическая

сходимость влечет сильную сходимость.

Достаточно непростым оказался вопрос, какие повторные стохастические

интегралы (Ито или Стратоновича) более удобны для численного моделиро-

вания с корректной оценкой среднеквадратической погрешности аппрокси-

мации. В разделе 3 настоящей статьи показывается, что по внешнему виду

101

аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича проще,

чем соответствующие аппроксимации повторных стохастических интегралов

Ито. Однако процедура оценки среднеквадратической погрешности аппрок-

симации оказывается гораздо проще для повторных стохастических интегра-

лов Ито, что является серьезным мотивом использования интегралов указан-

ного типа.

Рассмотрим явную одношаговую численную схему для СДУ Ито, осно-

ванную на унифицированном разложении Тейлора-Ито [15] и имеющую при

стандартных условиях [3, 15] порядок сильной сходимости 2,5:

∑

yp+1 = y_p +

Bi1

I(i1)

+ Δa +

Gi₂ Bi₁

I(i2i¹)

(0)τp+1,τp

(00)τp+1,τp

i₁=1

i₁,i₂=1

(

)

∑

(

)

Gi₁ a

I(i1)(0)τ

I(i1)(1)τ

- LBi1

I(i1)

p+1,τp

(1)τp+1,τp

i₁=1

∑

Δ²

Δ³

Gi₃ Gi₂ Bi₁

I(i3i²i¹)(000)τ

La +

LLa +

p+1,τp

i₁,i₂,i₃=1

(

∑

(

)

Gi₂ LBi₁

I(i2i¹)(10)τ

I(i2i¹)(01)τ

- LGi2Bi1

I(i2i¹)

p+1,τp

(10)τp+1,τp

i₁,i₂=1

)

(

)

+Gi2 Gi1 a

I(i2i¹)(01)τ

I(i2i¹)

p+1,τp

(00)τp+1,τp

∑

Gi₄ Gi₃ Gi₂ Bi₁

I(i4i³i²i¹)

(0000)τp+1,τp

i₁,i₂,i₃,i₄=1

(

)

∑

⁽1

Δ²

Gi₁ La

I(i1)(2)τ

I(i1)(1)τ

I(i1)

p+1,τp

(0)τp+1,τp

i₁=1

)

(

)

LLBi1

I(i1)(2)τ

- LGi1a

I(i1)(2)τ

I(i1)

p+1,τp

(1)τp+1,τp

(

∑

(

)

Gi₃ LGi₂ Bi₁

I(i3i²i¹)(100)τ

I(i3i²i¹)

p+1,τp

(010)τp+1 ,τp

i₁,i₂,i₃=1

(

)

+ Gi3Gi2LBi1

I(i3i²i¹)(010)τ

I(i3i²i¹)

p+1 ,τp

(001)τp+1,τp

(

)

+Gi3Gi2Gi1a

I(i3i²i¹)(000)τ

I(i3i²i¹)

p+1,τp

(001)τp+1,τp

)

−LGi3 Gi2 Bi1

I(i3i²i¹)

(100)τp+1,τp

∑

(2.3)

Gi₅ Gi₄ Gi₃ Gi₂ Bi₁

I(i5i⁴i³i²i¹)

(00000)τp+1,τp

i₁,i₂,i₃,i₄,i₅=1

102

где Δ = T/N (N > 1) — постоянный шаг интегрирования; τ_p = pΔ (p =

= 0, 1, . . . , N)

I(i1...ik)(l

— аппроксимация повторного стохастического инте-

1...lk)s,t

грала Ито кратности k вида

∫

τ₂

(2.4)

I(i1...ik)(l

= (t - τ_k)lk . . . (t - τ₁)l1 df(i1)_τ

...df(ik);

)s,t

τ_k

1...lk

∑

∂

∂²

a_i(x,t)

B_lj(x,t)B_ij(x,t)

;

∂t

∂x_i

∂x_l∂x_i

i=1

j=1 l,i=1

∑

∂

Gi =

B_ji(x,t)

;

i = 1,...,m;

∂x_j

j=1

l₁,... ,l_k = 0,1,2; i₁,... ,i_k = 1,... ,m; k = 1,... ,5; B_i — i-й столбец матрич-

ной функции B; B_ij — ij-й элемент матричной функции B; a_i — i-й элемент

векторной функции a; x_i — i-й элемент столбца x; функции Bi1 , a, Gi2 Bi1 ,

Gi₁ a, LBi₁ , Gi₃ Gi₂ Bi₁ , La, LLa, Gi₂ LBi₁ , LGi₂ Bi₁ , Gi₂ Gi₁ a, Gi₄ Gi₃ Gi₂ Bi₁ ,

Gi₁ La, LLBi₁ , LGi₁ a, Gi₃ LGi₂ Bi₁ , Gi₃ Gi₂ LBi₁ , Gi₃ Gi₂ Gi₁ a, LGi₃ Gi₂ Bi₁ ,

Gi₅ Gi₄ Gi₃ Gi₂ Bi₁ вычислены в точке (yp, p).

Хорошо известно [3, 15], что при стандартных условиях численная схе-

ма (2.3) имеет порядок сильной сходимости 2,5. Среди указанных условий

отметим только условие для аппроксимаций повторных стохастических ин-

тегралов Ито, входящих в (2.3) [3, 15], поскольку основное внимание будет

уделяться именно аппроксимации отмеченных интегралов:

{(

)₂}

(2.5)

M I(i1...ik)(l

I(i1...ik)

≤CΔ⁶,

1...lk)τp+1,τp

(l₁...l_k)τp+1,τp

где постоянная C не зависит от Δ.

Отметим, что на основе численной схемы (2.3) или ее модификации, ос-

нованной на разложении Тейлора-Ито [12, 13], можно строить неявные или

многошаговые аналоги (2.3) [3, 9, 10, 15, 19]. При этом набор повторных сто-

хастических интегралов, подлежащий аппроксимации для численной реали-

зации указанных модификаций численной схемы (2.3), будет таким же, как

и для численной схемы (2.3).

Заметим, что усеченное унифицированное разложение Тейлора-Ито (на

основе которого построена численная схема (2.3)) содержит 12 различных

повторных стохастических интегралов Ито вида (2.4), которые не могут

быть связаны линейными соотношениями [14, 15]. Аналогичное разложение

Тейлора-Ито [3, 12, 13] содержит 17 различных повторных стохастических

интегралов Ито, часть из которых связаны друг с другом линейными соотно-

шениями и часть из которых имеют большую кратность, нежели повторные

стохастические интегралы Ито вида (2.4). Этим обусловливается мотивация

применения численной схемы (2.3).

Одной из основных проблем на стадии реализации численной схемы (2.3)

является проблема совместного численного моделирования повторных сто-

103

хастических интегралов Ито, входящих в (2.3). В следующем разделе рас-

смотрим эффективный метод численного моделирования повторных стоха-

стических интегралов Ито, а также покажем, какие стохастические интегра-

лы (Ито или Стратоновича) являются более удобными для численного моде-

лирования с учетом корректной оценки среднеквадратической погрешности

аппроксимации.

3. Метод численного моделирования повторных стохастических

интегралов, основанный на кратных рядах Фурье

В [1] (см. также [15, 17-19]) был рассмотрен эффективный метод числен-

ного моделирования повторных стохастических интегралов Ито, основанный

на кратных рядах Фурье. Приведем формулировку теоремы, на которой ос-

нован данный метод.

Теорема 1 [1, 15, 17-19]. Пусть выполнены следующие условия:

1) ψ_i(τ); i = 1, . . . , k — непрерывные на промежутке [t, T ] функции;

2) {φ_j (x)}∞j=0 — полная ортонормированная система полиномов Лежанд-

ра или тригонометрических функций в пространстве L₂([t, T ]).

Тогда повторный стохастический интеграл Ито J[ψ(k)]_T,t вида

t₂

∫T

∫

J [ψ(k)]_T,t =

ψ_k(t_k)...

ψ₁(t₁)dw(i1)_t

...dw(ik)_t

(3.1)

(i₁, . . . , i_k = 0, 1, . . . , m),

где wτi) =

τ (i = 1, . . . , m) и wτ0) = τ, разлагается в сходящийся в средне-

квадратическом смысле кратный ряд

(

∑

∏

(3.2) J[ψ(k)]_T,t = l.i.m.

Cjk...j₁

ζ(il)-_j

p₁,...,p_k→∞

j₁=0

j_k=0

l=1

)

∑

- l.i.m.

φj1 (τl1 )Δw(i1)_τ

... φjk(τlk)Δw(ik)

τ_l

N→∞

^l1

(l₁,...,l_k)∈G_k

где l.i.m. — предел в среднеквадратическом смысле,

G_k = H_k\L_k, H_k = {(l₁,... ,l_k) : l₁,... ,l_k = 0, 1,... ,N - 1},

{

}

L_k = (l₁,... ,l_k) : l₁,... ,l_k = 0, 1, . . . , N - 1; lg = lr (g = r); g, r = 1, . . . , k ,

∫

∏

Cjk...j₁ =

K(t₁, . . . , t_k)

φjl(t_l)dt₁ ... dt_k,

l=1

[t,T ]^k

∏

K(t₁, . . . , t_k) =

ψ_l(t_l)

1{tl<tl+1}; t1,... ,tk ∈ [t,T] (k ≥ 2)

l=1

104

и K(t₁) = ψ₁(t₁); t₁ ∈ [t,T] (1_A — индикатор множества A);

∫T

ζ(i)j =

φ_j(s)dw(i)s

— независимые стандартные гауссовские случайные величины при различ-

ных i или j (если i = 0), Δwτi)j = wτi)j+1 - wτi)j (i = 0, 1,... ,m), {τ_j}N-1j=0 —

разбиение промежутка [t, T ], удовлетворяющее условию

t = τ₀ < ... < τ_N = T, Δ_N = max

Δτ_j → 0 при N → ∞, Δτ_j = τj+1 - τ_j.

0≤j≤N-1

Отметим, что интегралы J[ψ(k)]_T,t допускают точное вычисление средне-

квадратической погрешности аппроксимации, а также эффективное оценива-

ние указанной погрешности. В частности, справедливы следующие две тео-

ремы.

Теорема 2 [19]. Пусть выполнены условия теоремы 1 при i₁,...,i_k =

= 1, . . . , m. Тогда

}

∫

{(

)₂

(3.3)

M J[ψ(k)]_T,t - J[ψ(k)]^qT,t

= K²(t₁,... ,t_k)dt₁ ... dt_k -

[t,T ]^k

⎧

⎫

t₂

⎨

∫

⎬

∑

Cjk...j₁M⎩J[ψ(k)

]_T,t

φjk (t_k)...

φj1 (t₁)df(i1)_t

...df(ik)

⎭

j₁,...,j_k=0

(j₁,...,j_k) t

где J[ψ(k)]^qT,t — допредельное выражение в (3.2) при p₁ = . . . = p_k = q :

(

∑

∏

(3.4) J[ψ(k)]^q

Cjk...j₁

ζ(il)-_j

T,t

j₁,...,j_k=0

l=1

)

∑

- l.i.m.

φj1 (τl1 )Δw(i1)_τ

... φjk(τlk)Δw(ik)

τ_lk

N→∞

^l1

(l₁,...,l_k)∈G_k

∑

— сумма по всем возможным перестановкам (j₁,... ,j_k), причем,

(j₁,...,j_k)

если j_r в перестановке (j₁, . . . , j_k) поменяется местами с j_q, то и i_r по-

меняется местами с i_q в перестановке (i₁,... ,i_k); остальные обозначения

такие же, как в теореме 1.

Отметим, что

⎧

⎫

t₂

⎨

∫

⎬

]_T,t

φjk (t_k)...

φj1(t₁)df(i1)_t

...df(ik)

M⎩J[ψ(k)

⎭

∫T

∫

t₂

= ψ_k(t_k)φjk(t_k)... ψ₁(t₁)φj1(t₁)dt1 ...dt_k = Cjk...j₁.

105

Поэтому, в частности, в случае попарно различных чисел i₁, . . . , i_k из (3.3)

получим

}

{(

)₂

M J[ψ(k)]_T,t - J[ψ(k)]^qT,t

∫

(3.5)

∑

= K²(t₁,... ,t_k)dt₁ ... dt_k -

C²

j_k...j₁

j₁,...,j_k=0

[t,T ]^k

Отметим, что формула (3.5) может быть независимо получена другим ме-

тодом, рассмотренным в [15].

Теорема 3 [18, 19]. Пусть выполнены условия теоремы 1 при i₁,...,i_k =

= 1, . . . , m. Тогда справедлива оценка

}

{(

)₂

M J[ψ(k)]_T,t - J[ψ(k)]^qT,t

≤

⎛

⎞

∫

∑

⎜

⎟

≤ k!⎝ K2(t1,... ,tk)dt1 ... dtk -

C2j

⎠,

k...j1

j₁,...,j_k=0

[t,T ]^k

где сохранен смысл обозначений теоремы 2.

В противоположность повторным стохастическим интегралам Ито повтор-

ные стохастические интегралы Стратоновича допускают более простые раз-

ложения, чем (3.2), однако проблема вычисления (или оценивания) средне-

квадратической погрешности аппроксимации повторных стохастических ин-

тегралов Стратоновича оказывается гораздо более сложной, чем для повтор-

ных стохастических интегралов Ито. Рассмотрим более подробно данный во-

прос.

Введем в рассмотрение повторные стохастические интегралы Стратонови-

ча вида

∗t2

∫∗

∫

(3.6)

J^∗[ψ(k)]_T,t =

ψ_k(t_k)...

ψ₁(t₁)dw(i1)_t

...dw(ik),

где сохранен смысл обозначений формулы (3.1).

Приведем несколько видоизмененный и расширенный вариант теоремы [1],

которая адаптирует теорему 1 для интегралов (3.6) кратностей 2-5 [17-19, 22].

Теорема 4 [1, 17-19, 22]. Пусть {φ_j(x)}∞j=0 — полная ортонормирован-

ная система полиномов Лежандра или система тригонометрических функ-

ций в L₂([t, T ]). При этом ψ₂(s) — непрерывно дифференцируемая на интер-

вале [t, T ] функция, а ψ₁(s), ψ₃(s) — дважды непрерывно дифференцируемые

на интервале [t,T] функции. Тогда

∑

(3.7)

J^∗[ψ(k)]_T,t = l.i.m.

Cjk...j₁

...ζ(ik),

j₁

j_k

p→∞

j₁,...,j_k=0

106

где k = 2, 3, 4, 5, причем ψ₁(s), . . . , ψ_k(s) ≡ 1 и i₁, . . . , i_k = 0, 1, . . . , m в (3.7)

при k = 4,5, а i₁,... ,i_k = 1,... ,m в (3.7) при k = 2,3; другие обозначения

соответствуют обозначениям теоремы 1.

Очевидно, что разложение (3.7) проще, нежели разложение (3.2). Однако

покажем, что вычисление среднеквадратической погрешности аппроксима-

ции на основе разложения (3.7) существенно сложнее, чем вычисление ана-

логичной погрешности на основе разложения (3.2) (см. теоремы 2 и 3).

Случаи k = 1, 2 не представляют интерес, поскольку для случая k = 1, как

известно, стохастические интегралы Ито и Стратоновича от гладкой неслу-

чайной функции совпадают с вероятностью 1 (далее “с в. 1”), а стохастические

интегралы Ито второй кратности, входящие в численную схему (2.3), отлича-

ются с в. 1 (в силу стандартных формул связи стохастических интегралов Ито

и Стратоновича [3]) от соответствующих стохастических интегралов Страто-

новича на постоянные величины.

Рассмотрим повторный стохастический интеграл Стратоновича кратно-

сти 3 вида

∗T

∫

I∗(i1i²i³)(000)T,t =

df(i1)_tdf(i2)tdf(i3)t

(i₁, i₂, i₃ = 1, . . . , m).

t t t

Учитывая стандартные формулы связи стохастических интегралов Ито и

Стратоновича [3], а также теоремы 1 и 4 (k = 3), получим

⎧

⎛

}

⎨

∫

{(

)₂

M I∗(i1i²i³)(000)T,t-I∗(i1i²i³)q(000)T,t

⎝I(i1i²i³)

+1{i1=i₂}₂

dsdf(i3)_τ+

(000)T,t

=M⎪⎩

t t

⎫

⎞

∫

⎬

⎠

+1{i2=i₃}₂

df(i1)_sdτ - I∗(i1i²i³)q(000)T,t

⎭

t t

(3.8)

⎧

⎛

⎨

⎝I(i1i²i³)

-I(i1i²i³)q(000)T,t + I(i1i²i³)q(000)T,t +

(000)T,t

=M⎪⎩

⎫

⎞

∫

⎬

dsdf(i3)

df(i1)_sdτ - I∗(i1i²i³)q(000)T,t

⎠

+ 1{i1=i₂}₂

+ 1{i2=i₃}₂

⎭

t t

(

∑

(i₁)

I(i1i²i³)^q

ζ_j

ζ(i2)_jζ(i3)j

(000)T,t

Cj3j₂j₁

-1{i1=i₂}1{j₁=j₂}

j₃

j₁,j₂,j₃=0

(3.9)

)

-1{i2=i₃}1{j₂=j₃}

- 1{i1=i₃}1{j₁=j₃}ζji2)

j₁

107

∑

∗(i₁i₂i₃)q

(3.10)

Cj3j₂j₁

ζ(i2)_j

ζ(i3),

(000)T,t

j₁

j₃

j₁,j₂,j₃=0

где I(i1i²i³)q(000)T,t

— аппроксимация, полученная по формуле (3.4) при k = 3, а

I∗(i1i²i³)q(000)T,t — аппроксимация, полученная по теореме 4 при k = 3.

Подставим (3.9) и (3.10) в (3.8):

⎧⎛

}

{(

)₂

⎨

M I∗(i1i²i³)(000)T,t - I∗(i1i²i³)q(000)T,t

⎝I(i1i²i³)

-I(i1i²i³)q(000)T,t +

(000)T,t

=M⎩

⎛

⎞

∫

∑

⎠₊

+ 1{i1=i₂} ⎝1

dsdf(i3)_τ -

Cj3j₁j₁ζji3)

j₁,j₃=0

t t

⎛

⎞

∫

∑

df(i1)_sdτ -

⎠_-

+1{i2=i₃}⎝1

Cj3j₃j₁ ζji1)

(3.11)

j₁,j₃=0

t t

⎞

⎫

∑

⎬

⎠

Cj1j₂j₁

≤

- 1{i1=i₃}

j₂

⎭

j₁,j₂=0

(

}

{(

)₂

≤4

M I(i1i²i³)(000)T,t - I(i1i²i³)q(000)T,t

+1{i1=i₂}

)

+1{i2=i₃}Gqi1) + 1{i₁=i₃}

где

⎧

⎛

⎞₂⎫

⎨

∫

⎬

∑

F(i3)_q = M

⎝¹

dsdf(i3)_τ -

⎠

Cj3j₁j₁

j₃

⎩

j₁,j₃=0

⎪

t t

⎧

⎛

⎞₂⎫

⎨

∫

⎬

∑

G(i1)_q = M

⎝¹

df(i1)_sdτ -

⎠

Cj3j₃j₁

j₁

⎩

⎪

j₁,j₃=0

t t

⎧

⎛

⎞₂⎫

⎨

∑

⎬

⎝

⎠

H(i2)

Cj1j₂j₁

j₂

=M⎩

⎭

j₁,j₂=0

При доказательстве теоремы 4 при k = 3 [17-19] было показано, что для

случаев полиномов Лежандра и тригонометрических функций выполняются

равенства

lim

F(i3)_q = 0, lim

G(i1)_q = 0, lim

H(i2)_q = 0.

q→∞

108

Однако согласно (3.11) величина

}

{(

)₂

M I∗(i1i²i³)(000)T,t - I∗(i1i²i³

(000)T,t

при конечном q оценивается величиной

}

{(

)₂

4M I(i1i²i³)(000)T,t - I(i1i²i³)q(000)T,t

которая либо вычисляется точно по теореме 2, либо оценивается с помощью

теоремы 3 (k = 3) и тремя дополнительными слагаемыми достаточно слож-

ной структуры.

Нетрудно видеть, что приведенная особенность будет присутствовать и

при рассмотрении повторных стохастических интегралов Стратоновича крат-

ности 4 и 5 с единственным отличием, что число дополнительных слагаемых,

подобных

,Gqi1) и

, будет существенно бóльшим и они будут иметь

более сложную структуру.

Таким образом, платой за относительную простоту аппроксимаций по-

вторных стохастических интегралов Стратоновича (теорема 4) является су-

щественно более сложное в сравнении с повторными стохастическими ин-

тегралами Ито (теоремы 2 и 3) вычисление или оценивание их среднеквад-

ратических погрешностей аппроксимации.

Именно по указанной выше причине в данной статье обращается основное

внимание на аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, вхо-

дящих в численную схему (2.3). При этом для аппроксимации используется

теорема 1 при k = 1, . . . , 5 и полная ортонормированная система полиномов

Лежандра в пространстве L₂([t, T ]) (в [1] пояснялось, что полиномы Лежанд-

ра имеют ряд преимуществ перед тригонометрическими функциями при ап-

проксимации повторных стохастических интегралов с помощью теоремы 1).

Рассмотрим аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито,

входящих в численную схему (2.3), с использованием теоремы 1 и полной

ортонормированной системы полиномов Лежандра в пространстве L₂([t, T ]):

√

(3.12)

I(i1)(0)τ

Δζ(i1)0,

p+1,τp

(

)

3/2

(3.13)

I(i1)(1)τ

ζ(i1)0 +

√

ζ(i1)

p+1,τp

(

√

)

5/2

(3.14)

I(i1)(2)τ

ζ(i1)0 +

ζ(i1)1 +

√

ζ(i1)

p+1,τp

(

I(i1i²)q(00)τ

ζ(i1)0ζ(i2)0 +

p+1,τp

(3.15)

)

∑

(

)

√

ζ(i1)i-1ζ(i2)_i - ζ(i1)_iζ(i2)

i-1

- 1{i1=i₂}

4i² - 1

i=1

109

(

(i₁i₂)q

Δ²

I(i1i²)q(00)τ

√

ζ(i1)0ζ(i2)1+

(01)τp+1,τp

p+1,τp

(3.16)

(

))

∑

(i + 2)ζ(i1)_iζ(i2)i+2 - (i + 1)ζ(i1)i+2ζ(i2)_i

ζ(i1)_iζ(i2)_i

√

(2i + 1)(2i + 5)(2i + 3)

(2i - 1)(2i + 3)

i=0

(

I(i1i²)q(10)τ

I(i1i²)q(00)τ

√

ζ(i2)0ζ(i1)1+

p+1,τp

(3.17)

(

))

∑

(i + 1)ζ(i2)i+2ζ(i1)_i - (i + 2)ζ(i2)_iζ(i1)i+2

ζ(i1)_iζ(i2)_i

√

(2i + 1)(2i + 5)(2i + 3)

(2i - 1)(2i + 3)

i=0

(

∑

I(i1i²i³)^q

C_kji ζ(i1)_iζ(i2)_jζ(i3)_k-

(000)τp+1,τp

i,j,k=0

(3.18)

)

-1{i1=i₂}1{i=j}ζki3) - 1{i₂=i₃}1{j=k}

- 1{i1=i₃}1{i=k}ζji2)

(

∑

I(i1i²i³)^q

C⁰⁰¹

ζ(i1)_iζ(i2)_jζ(i3)_k-

(001)τp+1,τp

kji

i,j,k=0

(3.19)

)

-1{i1=i₂}1{i=j}ζki3) - 1{i₂=i₃}1{j=k}

- 1{i1=i₃}1{i=k}ζji2)

(

∑

I(i1i²i³)^q

C⁰¹⁰

ζ(i1)_iζ(i2)_jζ(i3)_k-

(010)τp+1,τp

kji

i,j,k=0

(3.20)

)

-1{i1=i₂}1{i=j}ζki3) - 1{i₂=i₃}1{j=k}

- 1{i1=i₃}1{i=k}ζji2)

(

∑

I(i1i²i³)^q

C¹⁰⁰

kji

ζ(i1)_iζ(i2)_jζ(i3)_k-

(100)τp+1,τp

i,j,k=0

(3.21)

)

-1{i1=i₂}1{i=j}ζki3) - 1{i₂=i₃}1{j=k}

- 1{i1=i₃}1{i=k}ζji2)

(

∑

I(i1i²i³i⁴)^q

C_lkji ζ(i1)_iζ(i2)_jζ(i3)_kζ(i4)_l-1_{i

(0000)τp+1 ,τp

1=i2}1{i=j}ζki3)

i,j,k,l=0

ζ(i4)_l - 1_{i

ζ(i3)_k -

-1{i1=i₃}1{i=k}

1=i4}1{i=l}

(3.22)

ζ(i4)_l - 1_{i

ζ(i3)_k -

-1{i2=i₃}1{j=k}

2=i4}1{j=l}

−1{i3=i₄}1{k=l}

ζ(i2)_j + 1_{i

1=i2}1{i=j}¹{i3=i4}¹{k=l}⁺

)

+ 1{i1=i₃}1{i=k}1{i₂=i₄}1{j=l} + 1{i₁=i₄}1{i=l}1{j₂=j₃}1{j=k}

110

(

∑

(i₁i₂i₃i₄i₅)q

C_rlkji ζ(i5)_rζ(i4)_lζ(i3)_kζ(i2)_jζ(i1)_i-

(00000)τp+1 ,τp

i,j,k,l,r=0

ζ(i5)_r - 1_{i

ζ(i4)_lζ(i5)_r-

-1{i1=i₂}1{i=j}ζki3)

1=i3}1{i=k}

ζ(i3)_kζ(i5)_r - 1_{i

ζ(i3)_kζ(i4)_l-

−1{i1=i₄}1{i=l}

1=i5}1{i=r}

ζ(i4)_lζ(i5)_r - 1_{i

ζ(i3)_kζ(i5)_r-

−1{i2=i₃}1{j=k}

2=i4}1{j=l}

ζ(i3)_kζ(i4)_l - 1_{i

ζ(i2)_jζ(i5)_r-

−1{i2=i₅}1{j=r}

3=i4}1{k=l}

ζ(i2)_jζ(i4)_l - 1_{i

ζ(i2)_jζ(i3)_k+

−1{i3=i₅}1{k=r}

4=i5}1{l=r}

+1{i1=i₂}1{i=j}1{i₃=i₄}1{k=l}

+1{i1=i₂}1{i=j}1{i₃=i₅}1{k=r}

(3.23)

+1{i1=i₂}1{i=j}1{i₄=i₅}1{l=r}ζki3) + 1{i₁=i₃}1{i=k}1{i₂=i₄}1{j=l}

+1{i1=i₃}1{i=k}1{i₂=i₅}1{j=r}

+1{i1=i₃}1{i=k}1{i₄=i₅}1{l=r}

+1{i1=i₄}1{i=l}1{i₂=i₃}1{j=k}

+ 1{i1=i₄}1{i=l}1{i₂=i₅}1{j=r}ζki3)+

+1{i1=i₄}1{i=l}1{i₃=i₅}1{k=r}

+1{i1=i₅}1{i=r}1{i₂=i₃}1{j=k}

+1{i1=i₅}1{i=r}1{i₂=i₄}1{j=l}ζki3) + 1{i₁=i₅}1{i=r}1{i₃=i₄}1{k=l}

+1{i2=i₃}1{j=k}1{i₄=i₅}1{l=r}

+1{i2=i₄}1{j=l}1{i₃=i₅}1{k=r}

)

+1{i2=i₅}1{j=r}1{i₃=i₄}1{k=l}

где

∫

Δ3/2

C_kji =

φ_k(z) φ_j(y) φ_i(x)dxdydz = L_ijk

C_kji,

τp

∫

Δ5/2

C⁰⁰¹

kji

= (τ_p - z)φ_k(z) φ_j (y) φ_i(x)dxdydz = L_ijk

C001kji,

τp

∫

Δ5/2

C⁰¹⁰

= φ_k(z) (τ_p - y)φ_j(y) φ_i(x)dxdydz = L_ijk

C010kji,

kji

τp

∫

Δ5/2

C¹⁰⁰

= φ_k(z) φ_j(y) (τ_p - x)φ_i(x)dxdydz = L_ijk

C100kji,

kji

τp

111

∫

Δ²

C_lkji =

φ_l(u) φ_k(z) φ_j(y) φ_i(x)dxdydzdu = M_ijkl

C_lkji,

τp

∫

Δ5/2

C_rlkji =

φ_r(v) φ_l(u) φ_k(z) φ_j(y) φ_i(x)dxdydzdudv = N_ijklr

C_rlkji,

τp

∫1

∫

(3.24)

C_kji = P_k(z) P_j(y) P_i

(x)dxdydz,

-1

∫1

∫

(3.25)

C100kji = - P_k(z) P_j(y) P_i

(x)(x + 1)dxdydz,

-1

∫1

∫

(3.26)

C010kji = - P_k(z) P_j(y)(y + 1) P_i

(x)dxdydz,

-1

∫¹

∫

(3.27)

C001kji = - P_k(z)(z + 1) P_j(y) P_i

(x)dxdydz,

-1

∫1

∫

(3.28)

C_lkji = P_l(u) P_k(z) P_j(y) P_i

(x)dxdydzdu,

-1

∫¹

∫

(3.29)

C_rlkji = P_r(v) P_l(u) P_k(z) P_j(y) P_i

(x)dxdydzdudv,

-1

√

L_ijk =

(2i + 1)(2j + 1)(2k + 1),

√

M_ijkl =

(2i + 1)(2j + 1)(2k + 1)(2l + 1),

√

N_ijklr =

(2i + 1)(2j + 1)(2k + 1)(2l + 1)(2r + 1),

P_i(x); i = 0,1,2,... — ортонормированные на отрезке [-1,1] полиномы Ле-

жандра [23, с. 120]; ζ(i)j (i = 1, . . . , m : j = 0, 1, . . . , q + 2) — независимые при

различных i или j стандартные гауссовские случайные величины; 1_A — ин-

дикатор множества A;

√

((

)

2i + 1

φ_i(x) =

P_i

x-τ_p -

;

i = 0,1,2,

112

В [1] отмечалось, что коэффициенты Фурь

C_kji и

C_lkji (то же самое ка-

сается и коэффициентов Фурь

C001kji,

C010kji,

C100kji,

C_rlkji) могут быть вычис-

лены точно с помощью компьютерных пакетов символьных преобразований

таких, как, например, DERIVE. В монографии [15] составлены таблицы точ-

но вычисленных с помощью программы DERIVE указанных коэффициентов

Фурье. Важно отметить, что коэффициенты Фурье (3.24)-(3.29) не зависят

от шага интегрирования τp+1 - τ_p численного метода, который может быть

переменным.

Вообще говоря, минимальные числа q, обеспечивающие выполнение усло-

вия (2.5) для каждой из аппроксимаций (3.15)-(3.23), различны и резко убы-

вают с ростом порядка малости аппроксимации повторного стохастического

интеграла по величине Δ.

Рассмотрим более подробно выбор указанных чисел q.

В [1, 17-19] с помощью теоремы 2 получены следующие точные форму-

лы для среднеквадратических погрешностей аппроксимации стохастических

интегралов Ито кратности 2:

}

(

)

{(

)₂

∑

Δ²

(3.30)

M I(i1i²)(00)τ

-I(i1i²)q(00)τ

p+1,τp

4i² - 1

i=1

}

{(

)₂

M I(i1i²)(10)τ

-I(i1i²)q1

p+1,τp

(10)τp+1,τp

}

{(

)₂

=M I(i1i²)(01)τ

-I(i1i²)q1

p+1,τp

(01)τp+1,τp

(

(3.31)

∑

-2

4i² - 1

(2i - 1)²(2i + 3)²

i=2

i=1

)

∑

(i + 2)² + (i + 1)²

(i₁ = i₂),

(2i + 1)(2i + 5)(2i + 3)²

i=0

}

{(

)₂

M I(i1i¹)(10)τ

-I(i1i¹)q2

p+1,τp

(10)τp+1,τp

}

{(

)₂

=M I(i1i¹)

-I(i1i¹)q2

(3.32)

(01)τp+1,τp

(

)

∑

-2

(2i + 1)(2i + 5)(2i + 3)²

(2i - 1)²(2i +

3)²

i=0

i=1

С помощью теоремы 3 получим следующие оценки для среднеквадрати-

ческих погрешностей аппроксимации повторных стохастических интегралов

113

Ито кратности 3-5, входящих в численную схему (2.3):

⎛

⎞

}

{(

)₂

∑

(3.33)

M I(i1i²i³)(000)τ

≤6⎝Δ3

C²

⎠_,

p+1,τp

00)τp+1,τp

kji

i,j,k=0

⎛

⎞

}

{(

)₂

∑

(

(3.34)

M I(i1i²i³)(100)τ

≤6⎝Δ5

C100kji)2⎠,

p+1,τp

00)τp+1,τp

i,j,k=0

⎛

⎞

}

{(

)₂

∑

(

(3.35)

M I(i1i²i³)(010)τ

≤6⎝Δ5

C010kji)2⎠,

p+1,τp

10)τp+1,τp

i,j,k=0

⎛

⎞

}

{(

)₂

∑

(

(3.36)

M I(i1i²i³)(001)τ

≤6⎝Δ5

C001kji)2⎠,

p+1,τp

01)τp+1,τp

i,j,k=0

⎛

⎞

}

{(

)₂

∑

⎠_,

(3.37)

M I(i1i²i³i⁴)(0000)τ

≤ 24⎝Δ4

C²

lkji

p+1 ,τp

000)τp+1,τp

i,j,k,l=0

⎛

⎞

}

{(

)₂

∑

(3.38) M I(i1i²i³i⁴i⁵)(00000)τ

≤ 120^⎝Δ5

C²

⎠_.

p+1 ,τp

0000)τp+1 ,τp

rlkji

120

i,j,k,l,r=0

Отметим, что при попарно различных i₁, . . . , i₅ = 1, . . . , m по теореме

при q₃ = 6, q₄ = . . . = q₇ = 2, q₈ = 1 имеем:

}

{(

)₂

∑

Δ³

(3.39) M I(i1i²i³)(000)τ

-I(i1i²i³)6(000)τ

C2kji ≈ 0,01956000Δ³,

p+1,τp

p+1 ,τp

i,j,k=0

}

{(

)₂

Δ⁵

∑

(

)₂

(3.40) M I(i1i²i³)(100)τ

-I(i1i²i³)2(100)τ

C100kji

≈ 0,00815429Δ⁵,

p+1,τp

i,j,k=0

}

{(

)₂

Δ⁵

∑

(

)₂

(3.41) M I(i1i²i³)(010)τ

-I(i1i²i³)2(010)τ

C010kji

≈ 0,01739030Δ⁵,

p+1,τp

i,j,k=0

}

{(

)₂

Δ⁵

∑

(

)₂

(3.42) M I(i1i²i³)(001)τ

-I(i1i²i³)2(001)τ

C001kji

≈ 0,02528010Δ⁵,

p+1,τp

i,j,k=0

}

{(

)₂

∑

Δ⁴

(3.43) M I(i1i²i³i⁴)(0000)τ

-I(i1i²i³i⁴)2(0000)τ

C2lkji ≈ 0,02360840Δ⁴,

p+1 ,τp

p+1,τp

i,j,k,l=0

}

{(

)₂

∑

Δ⁵

(3.44) M I(i1i²i³i⁴i⁵)(00000)τ

-I(i1i²i³i⁴i⁵)1(00000)τ

C2rlkji ≈ 0,00759105Δ⁵.

p+1 ,τp

120

i,j,k,l,r=0

114

Учитывая, что величина Δ играет роль шага интегрирования численного

метода (2.3) для СДУ Ито (1.1) и является в силу этого достаточно малой

величиной, получим, что уже при q₃ = 6, q₄ = . . . = q₇ = 2, q₈ = 1 среднеквад-

ратические погрешности аппроксимации (3.39)-(3.44) повторных стохастиче-

ских интегралов Ито кратности 3-5 достаточно малы.

Следует отметить, что в [3, 9, 10, 24] в рамках метода аппроксимации

повторных стохастических интегралов, основанного на тригонометрических

разложениях Фурье компонет векторного винеровского процесса [9], пред-

лагается оценивать среднеквадратическую погрешность аппроксимации по-

вторных стохастических интегралов кратности 3 и выше (здесь учитываются

интегрирования как по компонентам векторного винеровского процесса, так

и по времени) величиной вида

C₁Δ²

где C₁ — постоянная, а Δ и q имеют тот же смысл, что и в (3.30). Очевидно,

что указанный подход является более грубым, чем подход, основанный на

теоремах 2 и 3 (см. (3.30)-(3.44)).

4. Алгоритм численного моделирования

с порядком сильной сходимости 2,5

Сформулируем в виде алгоритма приведенные формулы и рекомендации,

касающиеся численного метода (2.3) с порядком сильной сходимости 2,5.

Будем считать, что необходимые коэффициенты Фурь

C_kji,

C_lkji,

C001kji,

C010kji,

C100kji,

C_rlkji уже вычислены (в частности, в [15] приведены таблицы точ-

но вычисленных с помощью компьютерной программы DERIVE указанных

коэффициентов).

Алгоритм 1.

Шаг 1. Задаются исходные параметры задачи: промежуток интегриро-

вания [0, T ], шаг интегрирования Δ (например постоянный Δ = T/N ; N > 1,

хотя допускается выбор переменного шага интегрирования), начальное усло-

вие y₀, постоянная C, входящая в условие (2.5).

Шаг 2. Полагаем p = 0.

Шаг 3. Выбор минимальных чисел q и q₁,...,q₈ (q₁,...,q₈ < q), при ко-

торых правые части (3.30)-(3.38) не превосходят правую часть неравенства

(2.5).

Шаг 4. Моделирование последовательности независимых стандартных

гауссовских случайных величин ζ(i)l (l = 0, 1, . . . , q; i = 1, . . . , m).

Шаг 5. Моделирование стохастических интегралов Ито

I(i1)(0)τ

, I(i1)(1)τ

, I(i1)(2)τ

, I(i1i²)(00)τ

, I(i1i²)(10)τ

, I(i1i²)

p+1,τp

(01)τp+1,τp

I(i1i²i³)(000)τ

, I(i1i²i³)(100)τ

, I(i1i²i³)(010)τ

, I(i1i²i³)(001)τ

, I(i1i²i³i⁴)(0000)τ

, I(i1i²i³i⁴i⁵)(00000)τ

p+1,τp

p+1 ,τp

p+1,τp

по формулам (3.12)-(3.23) с учетом выбранных на шаге 3 чисел q и q₁, . . . , q₈.

115

Шаг 6. Производим вычисление yp+1 по формуле (2.3).

Шаг 7. Если p < N - 1, то полагаем p = p + 1 и переходим к шагу 4.

В противном случае переходим к шагу 8.

Шаг 8. Конец работы алгоритма.

5. Заключение

В статье получены эффективные процедуры среднеквадратической ап-

проксимации повторных стохастических интегралов Ито кратности 1-5, осно-

ванные на кратных рядах Фурье-Лежандра. Данные результаты могут быть

использованы для реализации численных методов с порядком сильной схо-

димости 2,5 для СДУ Ито с многомерным неаддитивным шумом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кузнецов Д.Ф. К численному моделированию многомерных динамических си-

стем при случайных возмущениях с порядками сильной сходимости 1,5 и 2,0 //

АиТ. 2018. № 7. С. 80-98.

Kuznetsov D.F. On Numerical Modeling of the Multidimensional Dynamic Systems

under Random Perturbations with the 1.5 and 2.0 Orders of Strong Convergence //

Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 7. P. 1240-1254.

Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов: Нелинейная

фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.

Kloeden P.E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations.

Berlin: Springer, 1992.

Kloeden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer

experiments. Berlin: Springer, 2003.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: Фа-

зис, 1998.

Platen E., Bruti-Liberati N. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations

with Jumps in Finance. Berlin-Heidelberg: Springer, 2010.

Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.:

Советское радио, 1961.

Arato M. Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical

Approach. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer, 1982.

Мильштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциаль-

ных уравнений. Свердловск: Изд-во Урал. ун-та, 1988.

10.

Milstein G.N., Tretyakov M.V. Stochastic Numerics for Mathematical Physics.

Berlin: Springer, 2004.

11.

Han X., Kloeden P.E. Random Ordinary Differential Equations and Their Numerical

Solution. Singapore: Springer, 2017.

12.

Platen E., Wagner W. On a Taylor formula for a class of Ito processes // Probab.

Math. Statist. 1982. No. 3. P. 37-51.

13.

Kloeden P.E., Platen E. The Stratonovich and Ito-Taylor Expansions // Math.

Nachr. 1991. V. 151. P. 33-50.

14.

Кульчицкий О.Ю., Кузнецов Д.Ф. Унифицированное разложение Тейлора-

Ито // Зап. научн. семинаров ПОМИ РАН. Вероятность и статистика. 2. СПб.:

1997. Т. 244. С. 186-204.

116

15. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных

уравнений. 2. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006.

16. Ширяев А.Н. Вероятность. М:. Наука, 1989.

17. Kuznetsov D.F. Strong Approximation of Multiple Ito and Stratonovich Stochastic

Integrals: Multiple Fourier Series Approach. 2nd Ed. S.-Petersburg: Polytechn. Univ.

Publ. House, 2011.

18. Kuznetsov D.F. Multiple Ito and Stratonovich Stochastic Integrals: Fourier-Legendre

and Trigonometric Expansions, Approximations, Formulas // Electr. J. Differ. Equat.

Control Proc. 2017. No. 1. P. A.1-A.385.

19. Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и прак-

тика численного решения. С программами в среде MatLab. Изд. 5-е. // Электр.

журн. Диффер. уравнения и проц. управления. 2017. № 2. С. A.1-A.1000.

20. Allen E. Approximation of Triple Stochastic Integrals Through Region

Subdivision // Commun. Appl. Anal. Special Tribute Issue Prof. V. Lakshmikan-

tham. 2013. V. 17. P. 355-366.

21. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и

их приложения. Киев: Наук. думка, 1982.

22. Kuznetsov D.F. Expansion of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth

Multiplicity, Based on Generalized Multiple Fourier Series. arXiv:1802.00643

[math.PR]. 2018, 21 pp.

23. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 2005.

24. Kloeden P.E., Platen E., Wright I.W. The Approximation of Multiple Stochastic

Integrals // Stoch. Anal. Appl. 1992. V. 10. No. 4. P. 431-441.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.М. Миллером.

Поступила в редакцию 15.07.2018

После доработки 02.11.2018

Принята к публикации 08.11.2018

117