Автоматика и телемеханика, № 5, 2019

Интеллектуальные системы управления,

анализ данных

(baghir.suleymanov@socar.az),

Н.И. ГУСЕЙНОВА, канд. техн. наук (nahide.huseynova@socar.az)

(НИПИ «Нефтегаз» SOCAR, Баку)

АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ РАЗРАБОТКИ МЕСТОРОЖДЕНИЯ

НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

ФИШЕРА И ШЕННОНА

Для временных рядов, составленных по объемам добываемой и зака-

чиваемой продукции, выполняется расчет энтропий Фишера, Шеннона и

других информационных показателей. По их динамике проводится ран-

няя диагностика временных границ стадийной эволюции месторождения

и его отдельных зон, оценка соответствия состояния нефтедобычи плани-

руемым воздействиям на пласт.

Предложенный метод реализован на примере данных нефтяного место-

рождения Фортис (Fortis). Анализ полученных результатов показал, что

эксплуатация месторождения без учета динамики информационных пока-

зателей приводит к снижению добычи нефти, увеличению обводненности

продукции, нерациональному режиму воздействия на пласт.

Ключевые слова: разработка месторождения, принятие решений, энтро-

пия, количество информации, анализ временных рядов.

DOI: 10.1134/S0005231019050076

1. Введение

Нефтегазовое месторождение представляет собой сложную, неоднородную

динамическую многоэлементную систему, внутренние взаимодействия в ко-

торой разнообразны, непостоянны, а иногда и случайны. По этой причине не

всегда удается выделить причинно-следственные связи между ее элементами,

что очень важно при выборе стратегии разработки месторождения, включа-

ющей в себя своевременное применение методов увеличения нефтеотдачи.

Для диагностирования текущего состояния пластовой системы месторож-

дений нефти и газа используются различные подходы к анализу промысло-

вых данных. Наиболее популярны гидродинамические и вероятностно-стати-

стические методы [1, 2]. Однако круг задач, решаемых в нефтедобыче, тре-

бует использования новых методов, дающих дополнительные сведения о ди-

намике пластовых процессов. Это позволяет принимать обоснованные техно-

логические решения с учетом постоянно меняющегося состояния пластовой

системы.

118

В настоящее время активно развиваются методы анализа временных ря-

дов, основанные на положениях теории динамических систем, теории фрак-

тальной размерности и теории информации. Подобные виды анализа приме-

няются в экономике, метрологии, биологии и т.д. [3-14].

В представленной работе для анализа состояния разработки месторож-

дения предлагается использовать подход, основанный на определении дина-

мики энтропии временных рядов по Фишеру и Шеннону [7-12]. Результаты

исследования предназначены для применения при обосновании принятия тех-

нологических решений, связанных с выбором стратегии воздействия на пласт

и его целенаправленного корректирования на различных стадиях разработки

месторождения.

2. Необходимые сведения из теории информации

и математические выкладки

Коротко остановимся на понятиях и математических переходах, исполь-

зуемых в статье.

Информация - это сведения, являющиеся объектом хранения, передачи и

преобразования, как правило, используемые для осуществления каких-либо

управляющих воздействий. Для перенесения в пространстве и времени ин-

формация представляется в форме сообщений. Сообщение, вне зависимости

от его содержания, всегда отображается в виде сигнала. Сигналы могут быть

непрерывными и дискретными как по времени, так и по множеству значений

[13, с. 8-9].

Временным рядом называется массив из N чисел, представляющих со-

бой значения некоторой измеренной (наблюдаемой) динамической перемен-

ной x(t) с некоторым постоянным шагом Δt по времени [5, с. 99].

Энтропия. В настоящее время существует множество определений этого

понятия в том или ином контексте. В данной работе используется инфор-

мационная энтропия — мера неопределенности или непредсказуемости, упо-

рядоченности некоторой системы [5, с. 103]. Дифференциальная энтропия —

энтропия для непрерывных случайных величин [6, с. 24-27].

Энтропия по Фишеру (Функция информации по Фишеру). Мера количе-

ства информации (по Фишеру) о параметре θ, содержащейся в одном выбо-

рочном наблюдении x из генеральной совокупности X, рассчитывается по

формуле [2, с. 239]:

[

]

(1)

FIM(θ) = E_θ

U (x, θ)²

где E_θ

— знак математического ожидания; U(x, θ) =^∂L∂θ и U(x, θ) =

= ∂∂θ lnP(x,θ) - функция вклада выборки в случаях соответственно непре-

рывной генеральной совокупности с функцией плотности f_X (x, θ) распреде-

ления F_X (x) и дискретной генеральной совокупности с распределением веро-_∑∑

ятностей P (x, θ) (_x P (x, θ) = 1); L =_k(ln f_X (x, θ)) - функция логарифми-

ческого правдоподобия; θ = (θ₁, . . . , θ_k) ∈ Θ - параметр распределения F_X (x)

случайной действительной величины x. В качестве параметра θ может быть

119

рассмотрена любая числовая характеристика этой случайной величины (ма-

тематическое ожидание a, дисперсия σ и т.п.) или любая константа, явным

образом входящая в выражение F_X (x).

Распределение заданных временных рядов подчиняется нормальному за-

кону Гаусса, если F_X (x) характеризуется двумя параметрами θ₁ = a, θ₂ = σ

[15, с. 575]:

[

)]

⁽x-a

(2)

FX (x) =

1 + erf

√

где erf - функция ошибок.

Функция f_X (x, θ) при нормальном распределении [15, с. 575]:

(x-a)2

(3)

f_X(x,a,σ) =

√ e^- 2σ² .

2π

Функция L при нормальном распределении для n независимых испытаний

определяется следующим образом:

(

∑

(x_k - a)²

(4)

L_n =

ln(f_X (x, a, σ)) = n ln

√

2πσ

2σ²

k=1

Функции вклада выборки при нормальном распределении:

U₁ = U(X,θ₁) =

и U₂ = U(X,θ₂) =

dL .

dθ₁

dθ₂

Для n независимых испытаний значения U1n и U2n определяются следую-

щим образом:

∑

(a - x_k)

(5)

U1n =

σ²

∑

(x_k - a)²

(6)

U2n =

dσ

σ³

Определение вышеперечисленных функций с учетом времени. Все опре-

деляемые выше функции явным образом зависят от x, a и σ, а неявным об-

разом от способа упорядочения вариационного ряда. Исходными данными в

поставленной задаче служат временные ряды, следовательно, упорядочение

данных изначально проведено по времени t. Зависимость F_X (x(t)) от времени

неявная. Для учета фактора времени предлагается использовать полиноми-

альную зависимость, которая в общем виде имеет следующий вид [16, с. 17]:

(7)

p(t_i) = p₁t^mi + p₂tm-1i + . . . + p_mt_i + pm+1.

Степень полинома m выбирается так, чтобы зависимость p(t) описывала

x(t) с наименьшей погрешностью. Аналогичный подход можно применить не

120

только при нормальном распределении данных, но и к любому типу распре-

деления данных, неявно изменяющихся во времени.

Перепишем формулы (2) и (3) с учетом (7):

[

)]

⁽p₁t^m + p₂tm-1 + ... + p_mt + pm+1 - a

(8)

FX (p(t)) =

1 + erf

√

(p1^tm+p2tm-1+...+pmt+pm+1-a)2

(9)

f_X(p(t),a,σ,t) =

√ e^-

2σ²

2π

где t_i = t, θ₁ = a, θ₂ = σ, θ₃ = t.

Соответственно

(

)

∑

(p1^tm+p2tm-1+...+pmt+pm+1-a)2

L_n =

√ e^-

2σ²

2πσ

k=1

(10)

(

)

(

)

∑

(p1^tk+p2tm-1k+...+pmtk+pm+1-a)2

= nln

√

- ln e^-

2σ²

2πσ

k=1

Так как распределение характеризуется тремя параметрами θ₁ = a, θ₂ = σ,

θ₃ = t, имеем:

U₁ = U(X,θ₁) =

;

U₂ = U(X,θ₂) =

;

U₃ = U(X,θ₃) =

dL .

dθ₁

dθ₂

dθ₃

В поставленной задаче основной интерес представляет U₃. Для n незави-

симых испытаний значение U₃ имеет вид

(

)

(

)

∑

m-1

(p₁t^mk+p₂t

+...+pmtk+pm+1-a)²

d nln

√

2πσ

- k

2σ²

(11)

U3n =

∑(p1tmk + p2tm-1k + . . .+ pmtk + pm+1 - a)(p1mtm-1k + p2(m - 1)tm-2k + . . . + pm)

σ²

Далее в соответствии с формулой (1) определяем F IM(θ₃) по параметру

θ₃ = t.

Энтропия по Шеннону (Мера количества информации по Шеннону). Ме-

ра количества информации, предложенная Шенноном, рассматривает не само

сообщение, а информацию о нем. Мерой неопределенности системы принята

энтропия H_X . Для значений временного ряда с функцией плотности распре-

деления f_X (p(t)) используется следующая формула [12, с. 15]:

+^∞

(12)

H_X = - f_X(p(t))log f_X

(p(t))dt.

∞

Мощность энтропии определяется по формуле

(13)

N_X =

e2HX .

2πe

121

В случае дискретной генеральной совокупности с распределением вероят-

ностей q_i = P (x_i):

(14)

H_X = -Σ(q_i log(q_i

)),

где qi - вероятность i-го события, одного из n возможных событий (i =

= 1, . . . , n) (Σq_i = 1).

Для равновероятных событий:

q_i =

i = 1,...,N,

где m - количество появлений события, N - общее количество состояний.

Для событий временного ряда, имеющих разную вероятность появления:

xнi

q_i =

^∑Xн^,

где xнi - элемент нормализованного ряда X^н [17, с. 7].

Количество информации по Фишеру I_f и Шеннону I_sh для каждого эле-

мента временного ряда, заключенное в сообщении, измеряется уменьшением

неопределенности в системе под действием этого сообщения, поэтому опре-

деляется как приращение энтропии, вычисляемое как разность между двумя

последовательными значениями соответствующего временного ряда:

(15)

по Фишеру I_f = F IM(ti+1) - F IM(t_i

(16)

по Шеннону I_sh = H_X (ti+1) - H_X (t_i

где F IM(t_i) и F IM(ti+1), H_X (t_i) и H_X (ti+1) - соответственно значения эн-

тропий Фишера и Шеннона до и после получения сообщения.

Скорость изменения энтропии используется для анализа неоднородности

распределения информации временного ряда и определяется как отношение

приращения энтропии к приращению времени:

FIM(ti+1) - FIM(t_i)

(17)

по Фишеру DI_f =

ti+1 - t_i

H_X(ti+1) - H_X(t_i)

(18)

по Шеннону DI_sh =

ti+1 - t_i

3. Постановка задачи

Требуется разработать метод оценки временных границ стадийной эволю-

ции месторождения на основе адаптированного для временных рядов алго-

ритма расчета информационных показателей.

Промысловые данные с математической точки зрения представляют собой

временной ряд. В качестве входного потока данных в систему, к которой бу-

дут применены теоретико-информационные критерии, используются данные

122

об объеме закачки в пласт жидкости (газа) Z(T ) = {z₁, . . . , z_n}, а в качестве

выходных данных - данные об объеме добычи X(T ) = {x₁, . . . , x_n} (нефть

(газ)), Y (T ) = {y₁, . . . , y_n} (вода), где T = {t₁, . . . , t_n} - даты замера исход-

ных данных.

По рассчитанной динамике количества информации Фишера и Шеннона

построить и проанализировать план Шеннона - Фишера (графики F IM(H)

или I_f (I_sh)) и выявить закономерности, показывающие единство изменения

информационных показателей и показателей нефтедобычи на примере реаль-

ных данных.

4. Алгоритм решения задачи на примере реальных данных

Задача решается на примере промысловых данных нефтяного месторож-

дения Фортис (Fortis) за 27 лет (n = 324). Динамика этих параметров пред-

ставлена на рис. 1.

1. Стандартной процедурой проверки определяется распределение задан-

ных временных рядов. Выявлено, что распределения подчиняются нормаль-

Рис. 1. Динамика дебита нефти X(T ), воды Y (T ) и объема закачиваемой воды

Z(T ) на месторождении Фортис.

123

X, p(T)

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,985

0,990

0,995

1,000

Рис. 2. Распределение ряда X(T ) (о) и его полиномиальной аппроксимации

во времени (-).

ному закону Гаусса. Значения в представленных рядах являются дискретным

представлением сигнала непрерывной природы и имеют разную вероятность

появления, что существенно влияет на оценку энтропии. Поэтому для рас-

четов используются формулы с функцией распределения плотности вероят-

ности. Для каждого из временных рядов X(T ), Y (T ), Z(T ) выполняются

следующие расчеты:

а. После нормирования проводится полиномиальная аппроксимация рас-

пределения во времени (рис. 2). Рассчитываются математические ожидания

и дисперсии: a_X = 0,6425, σ_X = 0,0344; a_Y = 0,2080, σ_Y = 0,0136; a_Z = 0,4361,

σ_Z = 0,1528.

б. По формулам

(8),

(9) определяются F_X (p(t)), F_Y (p(t)), F_Z (p(t)),

f_X(p(t),a,σ,t), f_Y (p(t),a,σ,t), f_Z(p(t),a,σ,t). По формулам (10), (11) опре-

деляются L и U_t (рис. 3). По формулам (1), (12), (13) для каждого ряда опре-

деляется F IM, H и N (рис. 4).

в. По формулам (15), (16) определяются I_f и I_sh (рис. 5 и рис. 6), по фор-

мулам (17), (18) определяется динамика DI_f и DI_sh. Пример графика DI_f для

ряда Y (T ) представлен на рис. 7.

2. Строится план Фишера - Шеннона. Пример графика для ряда X(T )

приведен на рис. 4. График F IM(H) в полулогарифмических координатах

для ряда X(T ), представлен на рис. 8.

124

10⁷

0,985

0,990

0,995

1,000

10⁶

0,985

0,990

0,995

1,000

10⁷

0,985

0,990

0,995

1,000

Рис. 3. Функция вклада выборки U_t для рядов X(T ), Y (T ), Z(T ).

3. На основе приведенных ниже принципов, справедливых для любого вре-

менного ряда, проводится интерпретация полученных результатов:

а. Если H = 0 и F IM = 0, то состояние пластовой системы месторожде-

ния не меняется. Чем меньше неопределенностей в рассматриваемой системе,

тем меньше состояний она способна реализовать (H убывает). Чем больше

неопределенности в системе, тем больше состояний она способна реализо-

вать (H возрастает). Максимально возможное значение энтропия принимает

в случае, когда все возможные состояния равновероятны.

б. F IM характеризует изменение дисперсии функции вклада выборки вре-

менного ряда, поэтому интерпретируется как мера неопределенности откло-

нения значений ряда от среднего на каждой новой стадии развития место-

рождения. Это хорошо видно из графика функции вклада выборки (рис. 3).

На графике есть экстремумы функции разной амплитуды (скачки), после-

довательно следующие друг за другом. Их наличие позволяет распознать

условия для возможного перехода пластовой системы к следующей стадии

развития.

в. План Фишера - Шеннона показывает, как изменение внутреннего со-

стояния системы, проявляющееся в количественном изменении показателей,

характеризует условия перехода системы от одной стадии развития к другой.

Данная зависимость имеет ступенчатый характер. Каждая ступень соответ-

ствует периоду действия стадии развития системы.

г. Наличие экстремумов в зависимости I_f (I_sh) интерпретируется как на-

ступление предпереходного состояния, ведущего к смене стадии разработки

125

10¹³

Jan75

Jan80

Jan85

Jan90

Jan95

Jan00

Jan05

10¹³

0,015

0,010

0,005

Jan75

Jan80

Jan85

Jan90

Jan95

Jan00

Jan05

0,062

0,060

0,058

Jan75

Jan80

Jan85

Jan90

Jan95

Jan00

Jan05

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,0584 0,0586 0,0588 0,0590 0,0592 0,0594 0,0596 0,0598 0,0600 0,0602 0,0604

Рис. 4. Изменение энтропий Фишера и Шеннона во времени и план Фишера -

Шеннона для X(T ).

месторождения. Причем начало этого периода совпадает по времени с изме-

нением DI_f . Большое значение имеет знак, величина и характер изменения

DI_f и DI_sh, по которым можно судить о темпах, фазе и направлении эво-

люции пластовой системы в текущий момент. Если значения, принимаемые

этими функциями, увеличиваются с течением времени, то система стремится

к своему наиболее вероятному состоянию с увеличением энтропии - в пласте

происходят релаксационные процессы. Если же значения DI_f и DI_sh умень-

шаются, то система входит в фазу самоорганизации, в ней возникает и раз-

вивается некая новая упорядоченность. Если же DI_f и DI_sh не изменяются

во времени, то система находится в фазе застоя.

д. Более детальный анализ предпереходного периода стадии разработки

позволяет использование полулогарифмических координат. При таком гра-

фическом представлении временного ряда выделяются малейшие изменения

в режиме поступления информации и выявляются закономерности, которые

не позволяет обнаружить декартова система координат. Так, динамика I_f (T ),

представленная в полулогарифмических координатах, позволяет не только

распознать переход к новой стадии непосредственно по данным разработки,

126

Jan 75

Jan 80

Jan 85

Jan 90

Jan 95

Jan 00

Jan 05

Рис. 7. Скорость поступления информации по Фишеру DI_f для ряда Y (T ).

но и выделить предпереходные периоды. Динамика I_sh(T ) в полулогарифми-

ческих координатах показывает, что все значения делятся на 4 группы, каж-

дая из которых характеризует состояние системы и имеет свою закономерную

частоту появления. Наиболее часто встречаются значения верхней амплиту-

ды. Это позволяет прогнозировать динамику неопределенности системы и

выявить, какие состояния она способна реализовать. График зависимости

I_f(T) от I_sh(T) в полулогарифмических координатах показывает, насколько

состояние системы соответствует той или иной стадии. Массовое скопление

точек выделяет временные участки, когда состояние пластовой системы ме-

няется в рамках одной стадии.

4. Проводится совместный сравнительный анализ результатов расчета и

визуализации информационных характеристик по Фишеру и Шеннону для

рядов X(T ), Y (T ), Z(T ) на выделенном временном участке. На примере ре-

альных данных покажем порядок проведения информационного анализа раз-

работки месторождения:

По результатам расчета, проведенного по накопленной истории разработ-

ки месторождения (рис. 1-8), выделяются временные границы пройденных

стадий разработки месторождения. По изменению функции U_t выбирается

временной период для более детального анализа состояния разработки ме-

128

10¹⁴

10¹³

10¹²

10¹¹

10¹⁰

10⁹

10⁸

10⁷

10⁶

10⁵

10⁴

10^4,42

10^4,41

10^4,40

10^4,39

10^4,38

I_sh

Рис. 8. Зависимость между I_f и I_sh в полулогарифмических координатах для

ряда X(T ).

сторождения. Это позволяет уточнить сложившуюся в пласте ситуацию с

целью принятия решений для воздействия на пласт, актуального именно для

рассматриваемого периода времени и состояния пластовой системы. Весь вре-

менной период разделяется на локальные временные участки, для которых

повторно проводятся расчеты вышеперечисленных информационных харак-

теристик. В качестве примера рассмотрим временной промежуток, охваты-

вающий период 1974-1986 гг.

Анализ показывает, что в этот период времени U(X, t) ряда X(T ) имеет

один скачок, который состоит из минимума и максимума, следующих друг

за другом. Назовем тип такого скачка «минимум - максимум». Заранее обго-

ворим, что в зависимости от полученного в расчете экстремума могут быть

и другие типы скачков: «минимум», «максимум», «максимум - минимум».

Время появления скачка соответствует окончанию периода неуклонного ро-

ста нефтедобычи и формированию условий для перехода к ее следующей

стадии. Модуль амплитуды точки минимума превышает модуль амплитуды

точки максимума почти в 2 раза. U(Y, t) ряда Y (T ) имеет два скачка ти-

па «минимум - максимум». Первый скачок соответствует времени появления

воды в добываемой продукции, второй является предвестником увеличения

объема добываемой воды. U(Z, t) ряда Z(T ) имеет один скачок типа «мини-

129

10⁶

0,994

0,995

0,996

0,997

0,998

0,999

1,000

1,001

10⁷

1,0

0,5

1,0

0,994

0,995

0,996

0,997

0,998

0,999

1,000

1,001

10⁷

0,994

0,995

0,996

0,997

0,998

0,999

1,000

1,001

Рис. 9. Функция вклада выборки U_t по ряду X(T ), Y (T ), Z(T ).

мум», совпадающий с периодом стабилизации процесса закачки воды в пласт

(рис. 9).

Анализ информационного плана Фишера - Шеннона (рис. 10) для каждо-

го ряда показал, что переход к новой стадии нефтедобычи на месторождении

начался намного раньше (первая декада 1984 г.), чем это показал расчет, ос-

нованный на истории разработки (конец 1984 - начало 1985 г.) (рис. 4). Из-

менение DI_f предсказывает начало переходного процесса уже в конце 1983 г.

(рис. 11,а). Аналогичная ситуация складывается и с добычей воды. Первые

признаки воды в продукции появляются во втором полугодии 1976 г., и только

в 1977 г. этот процесс активизируется. DI_f по временному ряду Y (T ) увели-

чивается в конце 1974 г. В этот же период происходит смена режима закачки

воды в пласт, о чем свидетельствуют разрыв на плане Фишера - Шеннона

и изменение соответствующей скорости поступления информации. Динами-

ка I_f (T ) в полулогарифмических координатах показывает, что первая стадия

разработки месторождения по добыче нефти и воды состоит из трех частей, а

предпереходный период ко второй стадии разработки начался в начале 1982 г.

(рис. 12,а,б ). Однако режим закачки воды в пласт, который должен менять-

ся в зависимости от состояния пласта и его стадий разработки, состоит из

двух частей, причем изменение режима закачки воды в пласт наблюдается

только в начальной стадии разработки и далее не соответствует динамике ин-

формационных показателей, составленных по данным добычи воды и нефти

(рис. 12,в). В результате на месторождении происходит постепенное уве-

130

личение количества добываемой воды в продукции. Закономерно, что в 1987 г.

закачка воды в пласт была уменьшена, но необходимый момент был упущен

(рис. 1). Связано это с тем, что распознать переход месторождения на новую

стадию непосредственно по данным разработки сложно, потому что кривая

добычи нефти и воды в этот период мало отклоняется от ожидаемой и имеет

небольшие значения дисперсии. Совместный сравнительный анализ I_f и I_sh

для рядов X(T ), Y (T ), Z(T ) позволяет выбрать режим воздействия на пласт

в соответствии с динамикой нефтедобычи и содержанием воды в добываемой

продукции текущей стадии разработки.

5. Заключение

Предложен метод анализа состояния разработки месторождений, основан-

ный на расчете энтропии Фишера и Шеннона и других информационных по-

казателей для временных рядов, составленных по данным нормальной экс-

плуатации скважин.

Совместный анализ динамики информационных показателей, рассчитан-

ных по данным временных рядов значений дебита нефти, воды и объема

закачиваемой воды позволяет произвести раннее диагностирование времен-

ных границ стадийной эволюции как месторождения в целом, так его отдель-

ных зон, оценить соответствие воздействия на пласт с состоянием разработки

месторождения. При анализе не требуются сведения об изменении физико-

механических и литологических свойств пород и насыщающих их флюидов.

Анализ разработки месторождения Фортис с использованием предложен-

ного информационного метода показал, что эксплуатация месторождения без

учета динамики информационных показателей приводит к снижению добы-

чи нефти, увеличению обводненности продукции и нерациональному режиму

воздействия на пласт.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

2. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

3. Suleimanov B.A., Ismayilov F.S., Dyshin O.A., Huseynova N.I. Fractal Analysis of

Oil - Water Displacement Front // SOCAR Proc. 2011. No. 4. C. 36-43.

4. Сулейманов Б.А., Дышин О.А. Статистическое моделирование жизненного цик-

ла разработки нефтяного месторождения // Нефтепромысловое дело. 2013. № 5.

C. 10-18.

5. Лоскутов А.Ю., Козлов А.А., Хаханов Ю.М. Энтропия и прогноз временных

рядов в теории динамических систем // Изв. вузов «ПНД». 2009. T. 17. № 4.

C. 98-113.

6. Цветков О.В. Энтропийный анализ данных в физике, биологии и технике.

СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2015.

7. Romera E., Dehesa J.S. The Fisher-Shannon Information Plane, an Electron

Correlation Tool // J. Сhem. Рhys. 2004. V. 120. No. 19. P. 8906-8912.

8. Pierini J.О., Lovallo M., Alberto E. Fisher-Shannon Analysis of the Time Variability

of Remotely Sensed Sea Surface Temperature at the Brazil-Malvinas Confluence //

Oceanologia. 2016. V. 58(3). Р. 187-195.

134

9. Lovallo M., Lopez C., Marti J., Abella R. Using the Fisher-Shannon Method to

Characterize Continuous Seismic Signal During Volcanic Eruptions: Application to

2011-2012 El Hierro (Canary Islands) eruption Terra Nova-June 2014.

10. Vignat C., Bercher J.F. Analysis of Signals in the Fisher-Shannon Information

Plane // Phys. Lett. A. 2003. V. 312. P. 27-33.

11. Lanorte A., Lasaponara R., Lovallo M. Fisher-Shannon Information Plane Analysis

of SPOT/VEGETATION Normalized Difference Vegetation Index (NDVI) Time

Series to Characterize Vegetation Recovery after Fire Disturbance // Int. J. Appl.

Earth Observat. Geoinform. 2014. V. 26(1). P. 441-446.

12. Telescal L., Lovallo M. Analysis of Time Dynamics in Wind Records by Means

of Multifractal Detrended Fluctuation Analysis and Fisher-Shannon Information

Plane // J. Statist. Mechanics: Theory Experiment. 2011. Article P07001.

13. Фурсов В.А. Лекции по теории информации. Самара: Изд-во СГАУ, 2006.

14. Фарафонов В.Г., Фарафонов Вяч.Г., Устимов В.И., Бутенина Д.В. Теория ве-

роятностей и математическая статистика. Ч. 2. СПб.: ГУАП, 2009.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инже-

неров. М.: Наука, 1968.

16. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab 5.x. T. 2. М.:

«Диалог» МИФИ, 1999.

17. Бекман И.Н. Информатика. Курс лекций. Москва-Рим: 2009.

http://profbeckman.narod.ru/InformLekc.files/Inf08.pdf

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.

Поступила в редакцию 09.12.2017

После доработки 09.10.2018

Принята к публикации 08.11.2018

135