Автоматика и телемеханика, № 6, 2019
Нелинейные системы
© 2019 г. С.Е. КУПЦОВА, канд. физ.-мат. наук (sekuptsova@yandex.ru),
Н.А. СТЕПЕНКО, канд. физ.-мат. наук (nick_st@mail.ru)
(Санкт-Петербургский государственный университет),
С.Ю. КУПЦОВ, канд. физ.-мат. наук (srgkuptsov@yandex.ru)
(OOO “О.Г.С. Руссия”, Санкт-Петербург)
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПОКОЯ ДЛЯ ОДНОГО
КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ
Исследуется предельное поведение решений систем дифференциаль-
ных уравнений с запаздывающим аргументом. Рассматривается случай,
когда у решений системы существует нулевое предельное положение, ко-
торое может не являться инвариантным множеством рассматриваемой си-
стемы. Вводится понятие асимптотического положения покоя для траек-
торий систем с запаздыванием. Исследование проводится методом функ-
ций Ляпунова при использовании подхода Разумихина. Получены доста-
точные условия существования асимптотического положения покоя в од-
ном классе систем дифференциально-разностных уравнений. Приведены
примеры нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием,
имеющих асимптотическое положение покоя, на которых продемонстри-
ровано применение полученных результатов.
Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, нелинейные системы диффе-
ренциальных уравнений с запаздывающим аргументом, асимптотическое
положение покоя, функция Ляпунова, подход Разумихина.
DOI: 10.1134/S0005231019060023
1. Введение
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом широко
применяются для описания и моделирования различных динамических про-
цессов, в которых необходимо учитывать зависимость скорости процесса не
только от текущего, но и от прошлых состояний системы. Развитие теории
устойчивости движений систем дифференциально-разностных уравнений, бе-
рущее начало в работах Н.Н. Красовского [1], Р. Беллмана и К.Л. Кука [2],
Дж. Хейла [3] и В.И. Зубова [4, 5], актуально и по сей день. В предложенной
статье затрагивается вопрос появления в системах дифференциально-раз-
ностных уравнений асимптотических положений покоя. Понятие асимптото-
тического положения покоя для систем дифференциальных уравнений было
введено В.И. Зубовым в [6] в связи с необходимостью изучения таких движе-
ний, которые имеют предельное поведение при неограниченном возрастании
времени, причем сами предельные множества не являются инвариантными
множествами исходных дифференциальных уравнений. Исследование таких
38
движений для систем дифференциальных уравнений проводилось в [7-10],
для систем разностных уравнений — в [11, 12]. В настоящей статье это поня-
тие распространяется на системы дифференциальных уравнений с запазды-
вающим аргументом. Основным методом исследования качественного пове-
дения решений систем дифференциальных уравнений является второй метод
Ляпунова. Для дифференциально-разностных уравнений этот метод разделя-
ется на два подхода. В первом, который получил название подход Красовско-
го, в качестве функций Ляпунова для исследования устойчивости уравнений
предлагается использовать функционалы Ляпунова-Красовского. Во втором,
который получил название подход Разумихина [13, 14], уравнения движения
исследуются при помощи классической функции Ляпунова, но оценка про-
изводной этой функции в силу системы оценивается не на всем множестве
интегральных кривых, а на некотором его подмножестве. В данной статье
исследование поведения решений систем дифференциально-разностных урав-
нений проводится при помощи подхода Разумихина.
В широком классе случаев асимптотическое положение покоя возникает в
системах с возмущениями, причем если возмущения являются исчезающими
с течением времени, то появление асимптотического положения покоя вполне
ожидаемо в том случае, если невозмущенная система имела асимптотически
устойчивое нулевое решение. Некоторые достаточные условия существования
асимптотического положения покоя для такого рода возмущений были полу-
чены в [15, 16]. Но асимптотическое положение покоя может возникать и в
таких системах, где возмущения вовсе не стремятся к нулю и могут прини-
мать сколь угодно большие значения. Один такой класс систем исследуется
в данной статье.
2. Основные определения и понятия
Рассмотрим систему уравнений
(1)
x(t) = f(t, x(t), x(t - h)),
где x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))⊤ — неизвестный n-мерный вектор, h > 0 — запаз-
дывание, f(t, x, y) = (f1, . . . , fn)⊤ — n-мерная вектор-функция, относительно
которой предполагаем, что она определена и непрерывна на множестве t ≥ 0,
x ∈ Rn, y ∈ Rn и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начи-
ная со второго, т.е. для любого числа H > 0 найдется число L = L(H) ≥ 0
такое, что для любых n-мерных векторов x, x, y и y, удовлетворяющих усло-
виям ∥x∥ ≤ H, ∥x∥ ≤ H, ∥y∥ ≤ H, ∥y∥ ≤ H, и для любого t ≥ 0 выполнено
неравенство
(
)
∥f(t, x, y) - f(t, x, y)∥ ≤ L
∥x - x∥ + ∥y - y)∥
Под ∥z∥ здесь и далее понимается евклидова норма вектора.
(
)
Обозначим через P C
[a, b], Rn
бесконечномерное пространство кусочно-
непрерывных на отрезке [a, b] n-мерных вектор-функций с конечным чис-
лом точек разрыва первого рода, через x(t, t0, ϕ) — решение системы (1),
удовлетворяющее следующим начальным условиям: x(t, t0, ϕ) ≡ ϕ(t - t0) при
39
(
)
t ∈ [t0 - h,t0] и ϕ ∈ PC
[-h, 0], Rn
. Здесь и далее предполагаем, что t0 ∈ R1+,
{
}
где R1+ =
t∈R1
t≥0
. Известно из [3, c. 45], что при выполнении условий,
наложенных на правую часть системы, найдется β > 0 такое, что x(t, t0, ϕ)
будет продолжимо по крайней мере на множество [t0 - h, t0 + β], причем
x(t, t0, ϕ) будет непрерывной функцией на отрезке [t0, t0 + β].
Под состоянием системы в момент t ≥ t0 будем понимать сегмент решения
x(t, t0, ϕ), принадлежащий отрезку [t - h, t], т.е.
xt(t0,ϕ) : s → x(t + s,t0,ϕ), s ∈ [-h,0].
При этом начальное состояние системы определится так:
xt0 (t0,ϕ) : s → ϕ(s), s ∈ [-h,0].
(
)
Обозначим X = P C
[-h, 0], Rn
и пусть ϕ - произвольный элемент множе-
ства X. Введем норму ϕ:
∥ϕ∥h = sup
∥ϕ(s)∥.
s∈[-h,0]
Определение 1. Положение x = 0 назовем асимптотическим поло-
жением покоя для траекторий системы (1), если существует число ε > 0
такое, что при ∥ϕ∥h < ε решение x(t, t0, ϕ) системы (1) будет определено
на множестве t ≥ t0 и
(2)
∥x(t, t0
, ϕ)∥ -→ 0 при t -→ +∞.
Определение 2. Положение x = 0 назовем асимптотическим поло-
жением покоя в целом, если все решения системы (1) определены на мно-
жестве t ≥ t0 и обладают свойством (2).
Пусть при каждом t ∈ R1+ на множестве X определен функционал W (t, ϕ).
Под функционалом будем понимать отображение W : R1+ × X → R1.
Определение 3. Функционал W(t,ϕ) будем называть непрерывным на
множестве R1+ × X, если для любых ε > 0, t ∈ R1+ и ϕ ∈ X существует чис-
ло δ > 0 такое, что для любых τ ∈ R1+ и ψ ∈ X, удовлетворяющих соотно-
шению |t - τ| + ∥ϕ - ψ∥h < δ, выполнено |W(t,ϕ) - W(τ,ψ)| < ε.
Рассмотрим непрерывную на множестве R1+ × Rn функцию Z(t, x).
Определение 4
[6, c. 87]. Будем говорить, что функция Z(t, x) “слабо”
стремится к нулю при t → +∞, если
∫
b
(
)
Z
t,x(t)
dt -→ 0
при a -→ +∞
a
для любых конечных чисел a и b (a < b) при любом выборе непрерывной функ-
ции x(t), заданной и ограниченной на множестве t ≥ 0.
40
Рассмотрим непрерывную на множестве R1+ × Rn функцию V (t, x). После
подс(ановки в V)(t, x) решения x(t, t0, ϕ) получим функцию времени v(t) =
= V
t,x(t,t0,ϕ)
. Под производной функции V (t, x) вдоль решений систе-
мы (1) будем понимать производную по времени от функции v(t) и обозна-
чать ее
V |(1). В случае существования у V (t,x) частных производных
V|(1)
может быть найдена так:
(
)
(3)
V|(1) =∂V
+
∇V,f
= W(t,xt
).
∂t
Понятно, что для рассматриваемых в статье систем, функционал W (t, xt) =
=W(t,x(t),x(t - h)).
Определение 5. Функционал W(t,ϕ) будем называть равномерно огра-
ниченным по отношению к t ≥ 0 на множестве ∥ϕ∥h ≤ H, если существует
константа M = M(H) > 0 такая, что
(
)
≤M
sup
W
t,ϕ(t + s)
s∈[-h,0]
для всех t ≥ 0 и любой ϕ ∈ X, удовлетворяющей соотношению ∥ϕ(t + s)∥h ≤
≤H.
Если W (t, xt) =W(t, x(t), x(t - h)), то под равномерной ограниченностью
функционала будем понимать равномерную ограниченность по отношению к
t ≥ 0 функции W(t,x,y) на множестве ∥x∥ ≤ H и ∥y∥ ≤ H.
Определение 6. Будем говорить, что функционал W(t,ϕ)
“слабо”
стремится к нулю при t → +∞, если
∫
b
(
)
sup
W
t,ϕ(t + s)
dt
→0
при a -→ +∞
-
s∈[-h,0]
a
для любых конечных чисел a и b (a < b) при любом выборе непрерывной функ-
ции ϕ(t), заданной и ограниченной на множестве t ≥ 0.
Введем еще одно вспомогательное определение, которое будем использо-
вать в доказательствах теорем.
Определение 7. Пусть v(t) - непрерывная на множестве t ≥ t0 функ-
ция. Будем говорить, что для некоторого числа c точка t1 > t0 обладает
свойством (A) на множестве t ∈ [t1 - Δ, t1], если для некоторого Δ > 0 бу-
дут выполнены соотношения:
{
v(t1) = c,
v(t) < c, t ∈ [t1 - Δ, t1).
3. Условия существования асимптотического положения покоя
3.1. Достаточные условия существования локального
асимптотического положения покоя
Пусть H — некоторое положительное число. Обозначим
{
}
Ω=
(t, x)
t ∈ R1+, ∥x∥ ≤ H
41
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если для системы
(1) существуют непрерывно диффе-
ренцируемая на множестве Ω функция V (t,x), непрерывная на множе-
стве r ≥ 0 функция g(r) и непрерывный на множестве R1+ × X функцио-
нал W (t, xt), такие что:
1) g(r) — строго монотонно возрастает на множестве r ≥ 0 и удовле-
творяет условию g(r) > r при r > 0;
2) V (t, x) положительно определена и допускает бесконечно малый выс-
ший предел;
3)
V |(1) = W(t,xt), где функционал W(t,xt) равномерно ограничен по
отношению к t ≥ 0 на множестве ∥xt∥h ≤ H и таков, что вдоль
и(тегральных) кр(вы(х системы
(1), удовлетворяющих условию
))
V
ξ,x(ξ,t0,ϕ)
≤g
V
t,x(t,t0,ϕ)
для всех ξ ∈ [t - h, t), допускает
оценку
W (t, xt) ≤ Z(t, x) + Z1(t, x),
где функция Z(t, x) отрицательно определена на множестве Ω, а
функция Z1(t, x) “слабо” стремится к нулю при t → +∞;
4) существуют числа 0 < ε1 < ε2 ≤ H такие, что
sup
V (t, x) <
inf
V (t, x)
∥x∥≤ε1, t≥0
∥x∥=ε2, t≥0
и Z(t,x) + Z1(t,x) < 0 при ∥x∥ ∈ [ε1,ε2] и t ≥ 0,
— тогда x = 0 является асимптотическим положением покоя для траек-
торий системы (1).
Доказательство теоремы
1. Рассмотрим произвольный момент
t0 ≥ 0, произвольную кусочно-непрерывную на [t0 - h,t0] начальную функ-
цию ϕ(t) и интегральную кривую x(t, t0, ϕ).
Замечание 1. По условиям теоремы
1
функционал W (t, xt) задан
и непрерывен на множестве R1+ × X, следовательно, у функции v(t) =
= V (t,x(t,t0,ϕ)) будет существовать производн[я v(t)=w))=W(t,xt(t0,ϕ))
на всем интервале существования решения t ∈
t0,T(t0,ϕ)
за исключением,
быть может, конечного ч⋂ [t0, T (t0, ϕ))зрыва первого рода, расположенных
на множестве [t0, t0 + h]
. Причем если ξ является точкой, в
которой у функции v(t) не существует производной, то в этой точке будут
определены v-(ξ) и v+(ξ) — левая и правая производные функции v(t) в точ-
ке ξ соответственно, которые будут удовлетворять равенствам:
v-(ξ) = lim
w(t) и
v+(ξ) = lim w(t).
t→ξ-0
t→ξ+0
1. Покажем, что если ∥ϕ∥h < ε1, то
(4)
∥x(t, t0, ϕ)∥ < ε2 для любого t ≥ t0.
42
Пусть это не так, тогда найдется момент t∗ > t0 такой, что ∥x(t∗)∥ = ε2 и
∥x(t)∥ < ε2 при t ∈ [t0, t∗). Определим числа
l1 =
sup
V (t, x) и l2 =
inf
V (t, x)
∥x∥≤ε1, t≥0
∥x∥=ε2, t≥0
и рассмотрим функцию v(t). В силу выполнения неравенств v(t0) ≤ l1, v(t∗) ≥
≥ l2, l1 < l2 и непрерывности v(t) для числа l2 найдется точка t1 > t0, обла-
дающая свойством (A) на множестве t ∈ [t0 - h, t1], тогда, с одной стороны,
v-(t1) ≥ 0. С другой стороны, в силу выполнения третьего и четвертого усло-
вий теоремы 1
v-(t1) < 0. Полученное противоречие говорит о том, что ука-
занного момента t∗ не существует, т.е. выполнено соотношение (4).
2. Покажем, что x(t, t0, ϕ) → 0 при t → +∞. Для этого достаточно пока-
зать, что v(t) → 0 при t → +∞, т.е. что для любого γ > 0 найдется момент
T = T(γ) > 0 такой, что
(5)
v(t) ≤ γ при t ≥ T.
Обозначим через Γ множество всех чисел γ, для которых соотношение (5)
выполнено. Это множество не пусто, так как число l2 из п. 1 доказатель-
ства теоремы 1 принадлежит Γ. Заметим, что для доказательства утвержде-
ния п. 2 достаточно установить, что inf Γ = 0. Предположим, что это не так,
пусть
(6)
inf Γ = γ0
> 0.
Из свойств функции g следует, что существует η0 = η0(γ0) > 0 такая, что
(7)
g(r) - r > 2η0 при γ0 - η0 ≤ r ≤ γ0 + η0.
Заметим, что если соотношение (7) справедливо для некоторого η0 > 0, то
оно остается справедливым для всех η ∈ (0, η0), в частности и для η = η0/2.
Число γ0 + η0 ∈ Γ, следовательно, существует момент T0 ≥ t0 + h такой,
что v(t) ≤ γ0 + η0 при t ≥ T0. Число γ0 - η0 ∈ Γ, следовательно, возможны
два случая:
(a) существует момент T1 ≥ T0 такой, что v(t) > γ0 - η0 для любого t ≥ T1;
(б) существуют последовательности tk → +∞ и tk → +∞ при k → +∞,
t1 > T0 и t1 > T0 такие, что v(tk) < γ0 - η0 и v(tk) > γ0 - η0.
В случае (a) на всем множестве t ≥ T1 будут справедливы неравенства γ0 -
-η0 < v(t) < γ0+η0, тогда из (7) получим, что на том же множестве g(v(t))-
- v(t) > 2η0 и, следовательно, g(v(t)) > v(t) + 2η0 > γ0 + η0. Тогда для всех
t ≥ T1 будет выполнено неравенство
v(ξ) < γ0 + η0 < g(v(t)) для любого ξ ∈ [t - h, t)
и, следовательно, исходя из третьего условия теоремы 1, при t ≥ T1 будет
справедлива оценка
(
)
(
)
(8)
v(t) ≤ Z
t,x(t,t0,ϕ)
+Z1
t,x(t,t0,ϕ)
43
Из второго условия теоремы 1 следует, что существуют положительно опре-
деленные на множестве ∥x∥ ≤ H функции V1(x) и V2(x) такие, что
V1(x) ≤ V (t,x) ≤ V2(x) для всех (t,x) ∈ Ω.
Определим числа
l3 = max
V2(x) и β =
min
∥x∥.
∥x∥≤ε2
γ0-η0≤V2(x)≤l3
Из отрицательной определенности функции Z(t, x) следует существование
положительно определенной на множестве ∥x∥ ≤ H функции Z2(x) такой,
что
Z(t, x) ≤ -Z2(x) на множестве
∥x∥ ≤ H.
Определим число
(9)
α = min Z2
(x), α > 0,
∥x∥∈[β,ε2]
тогда
(
)
(10)
v(t) ≤ -α + Z1
t,x(t,t0,ϕ)
при t ≥ T1.
Выберем положительное число Δ так, чтобы выполнялось нера(енство αΔ )
> 3η0. Пользуясь “слабым” стремлением к нулю функции Z1
t,x(t,t0,ϕ)
,
найдем числа a ≥ T1 и b = a + Δ таким образом, чтобы
∫
b
(
)
Z1
τ,x(τ,t0,ϕ)
dτ<η0.
a
Интегрируя неравенство (10) в пределах от a до b, придем к противоречию,
что
γ0 - η0 < v(b) ≤ v(a) - αΔ + η0 < γ0 + η0 - 3η0 + η0 = γ0 - η0.
Следовательно, случай (a) невозможен.
В случае (б) выберем последовательность tk таким образом, чтобы v(tk) >
>γ0-η0/2 для всех k≥1. Это возможно сделать, так как число γ0-η0/2∈Γ.
По последовательностям tk и tk, пользуясь непрерывностью функции v(t),
определим последовательность отрезков [τs, τs], τs → +∞ при s → +∞ та-
кую, что v(τs) = γ0 - η0, v(τs) = γ0 - η0/2 и v(t) ∈ (γ0 - η0, γ0 - η0/2) при
t ∈ (τs,τs). Тогда, исходя из (7) и проводя аналогичные, что и в случае (a),
рассуждения, для любого t ∈ [τs, τs] установим справедливость неравенств
v(ξ) < γ0 + η0 < g(v(t)) для любого ξ ∈ [t - h, t).
Следовательно, при t ∈ [τs, τs] будет справедлива оценка (8). Положим
M = sup W(t,xt), M > 0,
∥xt∥h≤ε2
44
и, пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях [17], оценим длины
отрезков [τs, τs]:
1
η0 = |v(τs) - v(τs)| = |v(ξ)|(τs - τs) ≤ M(τs - τs),
2
где ξ — некоторая точка из отрезка [τs, τs]. Отсюда получим оценку:
η0
(11)
τs - τs ≥
= δ.
2M
Далее, по величине αδ найдем номер s∗ такой, что при s ≥ s∗ будет справед-
ливо неравенство
∫
τs
(
)
αδ
(12)
Z1
τ,x(τ,t0,ϕ)
dτ
<
2
τs
Проинтегрируем неравенство (8) в пределах от τs до τs при s > s∗, используя
(9), (11), (12):
αδ
v(τs) - v(τs) < -αδ +
,
2
откуда получим очевидное противоречие
η0
αδ
γ0 -
<γ0 -η0 -
,
2
2
которое устанавливает невозможность случая (б).
Таким образом, предположение (6) не верно и, следовательно, γ0 = 0. Тео-
рема 1 доказана.
Замечание 2. Заметим, что четвертое условие теоремы 1 использова-
лось только для доказательства ограниченности решений системы (1). Поэто-
му если ограниченность решений системы установлена заранее каким-либо
другим способом, то четвертое условие теоремы 1 становится излишним.
3.2. Достаточные условия существования асимптотического
положения покоя в целом
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если для системы (1) существуют непрерывно дифферен-
цируемая на множестве R1+ × Rn функция V (t,x), непрерывная на множе-
стве r ≥ 0 функция g(r) и непрерывный на множестве R1+ × X функционал
W (t, xt), такие что:
1) g(r) строго монотонно возрастает на множестве r ≥ 0 и удовле-
творяет условию g(r) > r при r > 0;
2) V1(x) ≤ V (t, x) ≤ V2(x), где функции V1(x) и V2(x) положительно
определены в Rn и V1(x) → +∞ при ∥x∥ → +∞;
45
3)
V |(1) = W(t,xt), где функционал W(t,xt) равномерно ограничен по от-
ношению к t ≥ 0 на множестве ∥xt∥h ≤ H и таков, что вдоль инте-
гральных кривых системы (1), удовлетворяющих условию
(
)
(
(
))
V
ξ,x(ξ,t0,ϕ)
≤g
V
t,x(t,t0,ϕ)
для всех ξ ∈ [t - h, t),
допускает оценку
W (t, xt) ≤ Z(t, x) + Z1(t, x),
где функция Z(t, x) отрицательно определена на множестве R1+ ×Rn,
а функция Z1(t, x) “слабо” стремится к нулю при t → +∞;
4) существует число Λ > 0 такое, что Z(t, x) + Z1(t, x) < 0 на множе-
стве ∥x∥ ≥ Λ
— тогда x = 0 является асимптотическим положением покоя в целом для
траекторий системы (1).
Доказательство теоремы 2. Выберем произвольный момент t0 ≥ 0,
произвольную кусочно-непрерывную на [t0 - h, t0] начальную функцию ϕ(t)
и рассмотрим решение x(t, t0, ϕ).
1. Покажем продолжимость решения x(t, t0, ϕ) на интервал [t0, +∞). Пусть
это не так, тогда найдется момент t∗ ≥ t0 такой, что решение x(t, t0, ϕ) опре-
делено на множестве t ∈ [t0, t∗) и не определено при t = t∗. Тогда либо суще-
ствуют некоторое число H0 > 0 и последовательность τk → t∗ - 0 такие, что
∥x(τk, t0, ϕ)∥ ≤ H0 для любого k ≥ 1, что противоречит теореме существова-
ния и единственности решения основной начальной задачи [3], либо
(13)
∥x(t, t0, ϕ)∥ -→ +∞ при t -→ t∗
− 0,
что, исходя из первого условия теоремы 2, влечет за собой выполнение усло-
вия
(14)
v(t) -→ +∞ при t -→ t∗
− 0.
В силу того что w(t) может иметь только лишь конечное число точек раз-
рыва первого рода на отрезке [t0, t0 + h], существует Δ1 > 0 такое, что w(t)
будет непрерывной при t ∈ (t∗ - Δ1, t∗). Из (13) следует, что существует
величина Δ2 > 0 такая, что ∥x(t, t0, ϕ)∥ > Λ при t ∈ [t∗ - Δ2, t∗). Положим
Δ = min{Δ1,Δ2} и определим положительное число
L0 = max v(t).
[t0-h,t∗-Δ]
В силу соотношения (14) для числа 2L0 найдется точка t1 ∈ (t∗ - Δ, t∗), об-
ладающая на [t∗ - Δ, t1] свойством (A), следовательно, v(t1) ≥ 0. С другой
стороны, v(t) < v(t1) < g(v(t1)) для любого t ∈ [t1 - h, t1), следовательно, в
силу третьего и четвертого условий теоремы 2, v(t1) < 0. Полученное проти-
воречие устанавливает продолжимость x(t, t0, ϕ) на множество t ≥ t0.
46
2. Покажем ограниченность решения x(t, t0, ϕ) на множестве t ≥ t0. Заме-
тим, что в силу второго условия теоремы 2 для этого достаточно показать
ограниченность функции v(t). Пусть
L = max V2(x), L > 0.
∥x∥≤Λ
Предположим, что функция v(t) не является ограниченной, тогда для чис-
ла L существует число T = T (L) ≥ t0 + h такое, что v(T ) > L. Определим
константу
L0 = max v(t).
[t0,T]
Для числа 2L0 найдется точка t1 > T , обладающая на отрезке [t0, t1] свой-
ством (A), следовательно, v(t1) ≥ 0. В то же время v(t) < v(t1) < g(v(t1)) для
любого t ∈ [t1 - h, t1) и ∥x(t1, t0, ϕ)∥ > Λ, следовательно, v(t1) < 0. Получен-
ное противоречие свидетельствует о том, что v(t) ≤ 2L0 для любого t ≥ t0,
что доказывает ограниченность решения x(t, t0, ϕ).
Доказательство стремления к нулю решения x(t, t0, ϕ) при установленной
его продолжимости и ограниченности на множестве t ≥ t0 будет полностью
повторять п. 2 доказательства теоремы 1. Теорема 2 доказана.
Замечание 3. Здесь справедливо замечание, аналогичное замечанию 2.
Четвертое условие теоремы 2 является излишним, если продолжимость и
ограниченность решений рассматриваемой системы установлена заранее.
Замечание 4. В теоремах 1 и 2 оценка отрицательной определенно-
сти производной функции V (t, x) производится на множес(ве интегра)ь-
ных кривых системы, удовлетворяющих соотношению V
ξ,x(ξ,t0,ϕ)
≤
(
(
))
≤g
V
t,x(t,t0,ϕ)
для всех ξ ∈ [t - h, t), где g(r) > r при r > 0. Отме-
(
)
тим, что это условие является более жестким, чем условие V
ξ,x(ξ,t0,ϕ)
≤
(
)
≤V
t,x(t,t0,ϕ)
для всех ξ ∈ [t - h, t), используемое Б.С. Разумихиным в [14]
при доказательстве асимптотической устойчивости нулевого решения.
Замечание 5. Отметим, что применение теорем 1 и 2 может быть по-
лезно в случае исследования поведения решений систем с возмущениями
x(t) = F (t, x(t), x(t - h)) + R(t, xt),
если относительно системы x(t) = F (t, x(t), x(t - h)) известно, что она име-
ет асимптотически устойчивое нулевое решение и все компоненты Ri(t, xt)
вектора возмущений R(t, xt) “слабо” стремятся к нулю.
Замечание 6. “Слабое” стремление к нулю функции Z1(t,x) и функцио-
налов Ri(t, xt), внесенное в условие теорем 1 и 2 и замечание 5 по своему виду
имеет неконструктивный характер. Однако оно легко проверяется для широ-
кого класса возмущений, действующих как в линейных, так и в нелинейных
системах.
47
4. Примеры
Приведем несколько примеров применения теорем 1 и 2.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
(15)
x(t) = -2x3(t) + x3(t - h) + sin t2.
В качестве функции Ляпунова возьмем V (x) = x2 и вычислим
(
)
V |(15) = -4x4(t) + 2x(t)x3(t - h) + 2x(t)sint2 = W
t,x(t),x(t - h)
Очевидно, что функция V (x) удовлетворяет второму условию теоремы 2 и
функционал W непрерывен в смысле определения 3. Обозначим x = x(t) и
√
y = x(t-h), выберем произвольное число p ∈ (1, 3
2) и рассмотрим множество
{
}
{
}
V(y)<pV(x)
M =
(x, y)
=
(x, y)
|y| < p|x|
Здесь в качестве функции g(r) из первого и третьего условий теоремы 2 взята
функция pr. На множестве M функционал W допускает оценку
W (t, x, y) < -4x4 + 2p3|x|4 + 2x sin t2 = -(4 - 2p3)x4 + 2x sin t2 =
= Z(t,x) + Z1(t,x),
где Z(t, x) = -qx4, Z1(t, x) = 2x sin t2 и q = 4 - 2p3 > 0. В силу оценки
Z(t, x) + Z1(t, x) ≤ -qx4 + 2|x|
на множестве |x| ≥ 1 + 2/q будет выполнено неравенство Z(t, x) + Z1(t, x) < 0.
Что, исходя из доказательства теоремы 2, гарантирует существование и огра-
ниченность решения x(t, t0, ϕ) для произвол(ной начал)ной функции ϕ ∈
∈ PC[-h,0] на множестве t ≥ t0. Функция Z1
t,x(t,t0,ϕ)
будет в этом слу-
чае “слабо” стремиться к нулю. Это было доказано в [6, с. 23]. Таким образом,
выполнены все условия теоремы 2, поэтому положение x = 0 является для
уравнения (15) асимптотическим положением покоя в целом.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
(16)
x(t) = -8x3(t) + x3(t - h) + x5(t) + sin t2.
Построим функции V (t, x), g(r), Z(t, x), Z1(t, x) и функционал W (t, x(t),
x(t - h)) из условий теоремы 1. В качестве функции V (t, x) возьмем V (x) =
= x2/2 и вычислим
(
)
V |(16) = -8x4(t) + x(t)x3(t - h) + x6(t) + x(t)sint2 = W
t,x(t),x(t - h)
Обозначим x = x(t) и y = x(t - h) и представим функционал W в виде
W (t, x, y) = -8x4 + xy3 + x6 + x sin t2 = W (x, y) + x6 + x sin t2.
48
На плоскости (x, y) построим множество
{
}
N = (x,y)
W(x,y) < 0
=
{
}⋃ {
}
= (x, y)
y < 2x, x > 0
(x, y) : y > 2x, x < 0
Очевидно, что множество
{
}
{
}
M = (x,y)
V (y) <3V (x)
= (x, y)
|y| < 3|x|
⊂ N.
2
2
Здесь в качестве функции g(r) из первого и третьего условий теоремы 1 взята
функция 3r/2. Оценим W (t, x, y) на множестве M:
27
W (t, x, y) < -8x4 +
|x|4 + x6 + x sin t2 ≤ -4x4 + x6 + x sin t2 =
8
= Z(t,x) + Z1(t,x),
где Z(t, x) = -4x4 + x6, Z1(t, x) = x sin t2. В силу оценки
Z(t, x) + Z1(t, x) ≤ -4x4 + x6 + |x|
на множестве |x| ∈ [1, 3/2] будет выполнено неравенство Z(t, x) + Z1(t, x) < 0,
а так как
1 = sup
V (x) < inf V (x) = 9/4,
|x|≤1
|x|=3/2
то четвертое условие теоремы 1 выполнено. Опять же отметим, что выпол-
нение этого условия гарантирует существование и ограниченность решения
x(t, t0, ϕ) на множестве t ≥ t0 для любой ϕ ∈ P C[-h, 0], удовлетворяющей
условию ∥ϕ∥h < 1. Также заметим, что фун(ция Z(t, x))отрицательно опре-
делена на множестве |x| ≤ 3/2, а функция Z1
t,x(t,t0,ϕ)
, как это было заме-
чено ранее, “слабо” стремится к нулю. Таким образом, все условия теоремы 1
выполнены и, следовательно, все решения x(t, t0, ϕ) уравнения (16) при вы-
полнении условия ∥ϕ∥h < 1 будут стремиться к нулю при t → +∞.
5. Заключение
В результате применения подхода Разумихина к исследованию предель-
ного поведения решений систем дифференциальных уравнений с запазды-
вающим аргументом были получены достаточные условия, при выполнении
которых в одном классе систем появляется асимптотическое положение по-
коя. Данный класс систем можно описать как класс систем с возмущения-
ми, представляющими колебания с неограниченно возрастающей частотой.
Возникновение асимптотического положения покоя в системах такого вида
часто называется вибрационной стабилизацией и может найти применение в
разделах теории управления, касающихся задач стабилизации программных
движений.
49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. M.: Гос.
изд-во физ.-мат. лит., 1959.
2.
Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / Пер. с англ. под
ред. Л.Э. Эльсгольца. M.: Мир, 1967.
3.
Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Пер. с англ.
под ред. А.Д. Мышкиса. M.: Мир, 1984.
4.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. M.: Наука, 1975.
5.
Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргу-
ментом // Изв. вузов. Математика. 1958. № 6. С. 86-95.
6.
Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989.
7.
Купцова С.Е. Асимптотически инвариантные множества // Процессы управле-
ния и устойчивость. Тр. 37-й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов /
Под ред. А.В. Платонова, Н.В. Смирнова. 2006. С. 50-56.
8.
Купцова С.Е. Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных
нестационарных дифференциальных уравнений // Тр. Средневолжск. матема-
тич. общества. 2006. Т. 8. № 1. С. 235-243.
9.
Жабко А.П., Тихомиров О.Г., Чижова О.Н. Устойчивость асимптотического
положения покоя возмущенных однородных нестационарных систем // Журн.
Средневолжск. математич. общества. 2018. Т. 20. № 1. С. 13-22.
10.
Ekimov A.V., Svirkin M.V. Analysis of Asymptotic Equilibrium State of Differential
Systems Using Lyapunov Function Method // 2015 Int. conf. “Stability and control
processes” in memory of V.I. Zubov (SCP). IEEE. 2015. P. 45-47.
11.
Купцова С.Е. Асимптотические положения покоя в системах разностных урав-
нений // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56. № 2.
С. 67-71.
12.
Kuptsov S.Yu., Kuptsova S.E., Zaranik U.P. On Asymptotic Quiescent Position of
Nonlinear Difference Systems with Perturbations // 2015 Int. conf. “Stability and
control processes” in memory of V.I. Zubov (SCP). IEEE. 2015. P. 20-22.
13.
Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математи-
ка и механика. 1956. Т. 56. № 2. С. 500-512.
14.
Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем
с запаздыванием // АиТ. 1960. Т. 21. № 6. С. 740-748.
15.
Купцова С.Е., Купцов С.Ю., Степенко Н.А. О предельном поведении решений
систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вест.
Санкт-Петербург. ун-та. Прикл. математика. Информатика. Процессы управле-
ния. 2018. Т. 14. Вып. 2. С. 173-182.
16.
Зараник У.П., Купцова С.Е., Степенко Н.А. Достаточные условия существова-
ния асимптотического положения покоя в системах с запаздыванием // Журн.
СВМО. 2018. Т. 20. № 2. С. 175-186.
17.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. 2-е изд., перераб. и доп.,
М.: Высш. шк., 1988.
Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.
Поступила в редакцию 01.06.2018
После доработки 03.07.2018
Принята к публикации 08.11.2018
50