Автоматика и телемеханика, № 6, 2019

Нелинейные системы

Н.А. СТЕПЕНКО, канд. физ.-мат. наук (nick_st@mail.ru)

(Санкт-Петербургский государственный университет),

С.Ю. КУПЦОВ, канд. физ.-мат. наук (srgkuptsov@yandex.ru)

(OOO “О.Г.С. Руссия”, Санкт-Петербург)

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПОКОЯ ДЛЯ ОДНОГО

КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

Исследуется предельное поведение решений систем дифференциаль-

ных уравнений с запаздывающим аргументом. Рассматривается случай,

когда у решений системы существует нулевое предельное положение, ко-

торое может не являться инвариантным множеством рассматриваемой си-

стемы. Вводится понятие асимптотического положения покоя для траек-

торий систем с запаздыванием. Исследование проводится методом функ-

ций Ляпунова при использовании подхода Разумихина. Получены доста-

точные условия существования асимптотического положения покоя в од-

ном классе систем дифференциально-разностных уравнений. Приведены

примеры нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием,

имеющих асимптотическое положение покоя, на которых продемонстри-

ровано применение полученных результатов.

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, нелинейные системы диффе-

ренциальных уравнений с запаздывающим аргументом, асимптотическое

положение покоя, функция Ляпунова, подход Разумихина.

DOI: 10.1134/S0005231019060023

1. Введение

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом широко

применяются для описания и моделирования различных динамических про-

цессов, в которых необходимо учитывать зависимость скорости процесса не

только от текущего, но и от прошлых состояний системы. Развитие теории

устойчивости движений систем дифференциально-разностных уравнений, бе-

рущее начало в работах Н.Н. Красовского [1], Р. Беллмана и К.Л. Кука [2],

Дж. Хейла [3] и В.И. Зубова [4, 5], актуально и по сей день. В предложенной

статье затрагивается вопрос появления в системах дифференциально-раз-

ностных уравнений асимптотических положений покоя. Понятие асимптото-

тического положения покоя для систем дифференциальных уравнений было

введено В.И. Зубовым в [6] в связи с необходимостью изучения таких движе-

ний, которые имеют предельное поведение при неограниченном возрастании

времени, причем сами предельные множества не являются инвариантными

множествами исходных дифференциальных уравнений. Исследование таких

движений для систем дифференциальных уравнений проводилось в [7-10],

для систем разностных уравнений — в [11, 12]. В настоящей статье это поня-

тие распространяется на системы дифференциальных уравнений с запазды-

вающим аргументом. Основным методом исследования качественного пове-

дения решений систем дифференциальных уравнений является второй метод

Ляпунова. Для дифференциально-разностных уравнений этот метод разделя-

ется на два подхода. В первом, который получил название подход Красовско-

го, в качестве функций Ляпунова для исследования устойчивости уравнений

предлагается использовать функционалы Ляпунова-Красовского. Во втором,

который получил название подход Разумихина [13, 14], уравнения движения

исследуются при помощи классической функции Ляпунова, но оценка про-

изводной этой функции в силу системы оценивается не на всем множестве

интегральных кривых, а на некотором его подмножестве. В данной статье

исследование поведения решений систем дифференциально-разностных урав-

нений проводится при помощи подхода Разумихина.

В широком классе случаев асимптотическое положение покоя возникает в

системах с возмущениями, причем если возмущения являются исчезающими

с течением времени, то появление асимптотического положения покоя вполне

ожидаемо в том случае, если невозмущенная система имела асимптотически

устойчивое нулевое решение. Некоторые достаточные условия существования

асимптотического положения покоя для такого рода возмущений были полу-

чены в [15, 16]. Но асимптотическое положение покоя может возникать и в

таких системах, где возмущения вовсе не стремятся к нулю и могут прини-

мать сколь угодно большие значения. Один такой класс систем исследуется

в данной статье.

2. Основные определения и понятия

Рассмотрим систему уравнений

(1)

x(t) = f(t, x(t), x(t - h)),

где x(t) = (x₁(t), . . . , x_n(t))^⊤ — неизвестный n-мерный вектор, h > 0 — запаз-

дывание, f(t, x, y) = (f₁, . . . , f_n)^⊤ — n-мерная вектор-функция, относительно

которой предполагаем, что она определена и непрерывна на множестве t ≥ 0,

x ∈ Rⁿ, y ∈ Rⁿ и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начи-

ная со второго, т.е. для любого числа H > 0 найдется число L = L(H) ≥ 0

такое, что для любых n-мерных векторов x, x, y и y, удовлетворяющих усло-

виям ∥x∥ ≤ H, ∥x∥ ≤ H, ∥y∥ ≤ H, ∥y∥ ≤ H, и для любого t ≥ 0 выполнено

неравенство

(

)

∥f(t, x, y) - f(t, x, y)∥ ≤ L

∥x - x∥ + ∥y - y)∥

Под ∥z∥ здесь и далее понимается евклидова норма вектора.

(

)

Обозначим через P C

[a, b], Rⁿ

бесконечномерное пространство кусочно-

непрерывных на отрезке [a, b] n-мерных вектор-функций с конечным чис-

лом точек разрыва первого рода, через x(t, t₀, ϕ) — решение системы (1),

удовлетворяющее следующим начальным условиям: x(t, t₀, ϕ) ≡ ϕ(t - t₀) при

(

)

t ∈ [t₀ - h,t₀] и ϕ ∈ PC

[-h, 0], Rⁿ

. Здесь и далее предполагаем, что t₀ ∈ R¹⁺,

{



}

где R¹⁺ =

t∈R¹

t≥0

. Известно из [3, c. 45], что при выполнении условий,

наложенных на правую часть системы, найдется β > 0 такое, что x(t, t₀, ϕ)

будет продолжимо по крайней мере на множество [t₀ - h, t₀ + β], причем

x(t, t₀, ϕ) будет непрерывной функцией на отрезке [t₀, t₀ + β].

Под состоянием системы в момент t ≥ t₀ будем понимать сегмент решения

x(t, t₀, ϕ), принадлежащий отрезку [t - h, t], т.е.

x_t(t₀,ϕ) : s → x(t + s,t₀,ϕ), s ∈ [-h,0].

При этом начальное состояние системы определится так:

xt0 (t₀,ϕ) : s → ϕ(s), s ∈ [-h,0].

(

)

Обозначим X = P C

[-h, 0], Rⁿ

и пусть ϕ - произвольный элемент множе-

ства X. Введем норму ϕ:

∥ϕ∥_h = sup

∥ϕ(s)∥.

s∈[-h,0]

Определение 1. Положение x = 0 назовем асимптотическим поло-

жением покоя для траекторий системы (1), если существует число ε > 0

такое, что при ∥ϕ∥_h < ε решение x(t, t₀, ϕ) системы (1) будет определено

на множестве t ≥ t₀ и

(2)

∥x(t, t₀

, ϕ)∥ -→ 0 при t -→ +∞.

Определение 2. Положение x = 0 назовем асимптотическим поло-

жением покоя в целом, если все решения системы (1) определены на мно-

жестве t ≥ t₀ и обладают свойством (2).

Пусть при каждом t ∈ R¹⁺ на множестве X определен функционал W (t, ϕ).

Под функционалом будем понимать отображение W : R¹⁺ × X → R¹.

Определение 3. Функционал W(t,ϕ) будем называть непрерывным на

множестве R¹⁺ × X, если для любых ε > 0, t ∈ R¹⁺ и ϕ ∈ X существует чис-

ло δ > 0 такое, что для любых τ ∈ R¹⁺ и ψ ∈ X, удовлетворяющих соотно-

шению |t - τ| + ∥ϕ - ψ∥_h < δ, выполнено |W(t,ϕ) - W(τ,ψ)| < ε.

Рассмотрим непрерывную на множестве R¹⁺ × Rⁿ функцию Z(t, x).

Определение 4

[6, c. 87]. Будем говорить, что функция Z(t, x) “слабо”

стремится к нулю при t → +∞, если

∫

(

)

t,x(t)

dt -→ 0

при a -→ +∞

для любых конечных чисел a и b (a < b) при любом выборе непрерывной функ-

ции x(t), заданной и ограниченной на множестве t ≥ 0.

Рассмотрим непрерывную на множестве R¹⁺ × Rⁿ функцию V (t, x). После

подс(ановки в V)(t, x) решения x(t, t0, ϕ) получим функцию времени v(t) =

= V

t,x(t,t₀,ϕ)

. Под производной функции V (t, x) вдоль решений систе-

мы (1) будем понимать производную по времени от функции v(t) и обозна-

чать ее

V |₍₁₎. В случае существования у V (t,x) частных производных

V|₍₁₎

может быть найдена так:

(

)

(3)

V|₍₁₎ =^∂V

∇V,f

= W(t,x_t

∂t

Понятно, что для рассматриваемых в статье систем, функционал W (t, x_t) =

=^W(t,x(t),x(t - h)).

Определение 5. Функционал W(t,ϕ) будем называть равномерно огра-

ниченным по отношению к t ≥ 0 на множестве ∥ϕ∥_h ≤ H, если существует

константа M = M(H) > 0 такая, что



(

)

≤M

sup

^W

t,ϕ(t + s)

s∈[-h,0]

для всех t ≥ 0 и любой ϕ ∈ X, удовлетворяющей соотношению ∥ϕ(t + s)∥_h ≤

≤H.

Если W (t, x_t) =^W(t, x(t), x(t - h)), то под равномерной ограниченностью

функционала будем понимать равномерную ограниченность по отношению к

t ≥ 0 функции ^W(t,x,y) на множестве ∥x∥ ≤ H и ∥y∥ ≤ H.

Определение 6. Будем говорить, что функционал W(t,ϕ)

“слабо”

стремится к нулю при t → +∞, если

 ∫



(

)



sup

t,ϕ(t + s)

→0

при a -→ +∞



^-

s∈[-h,0]

для любых конечных чисел a и b (a < b) при любом выборе непрерывной функ-

ции ϕ(t), заданной и ограниченной на множестве t ≥ 0.

Введем еще одно вспомогательное определение, которое будем использо-

вать в доказательствах теорем.

Определение 7. Пусть v(t) - непрерывная на множестве t ≥ t₀ функ-

ция. Будем говорить, что для некоторого числа c точка t₁ > t₀ обладает

свойством (A) на множестве t ∈ [t₁ - Δ, t₁], если для некоторого Δ > 0 бу-

дут выполнены соотношения:

{

v(t₁) = c,

v(t) < c, t ∈ [t₁ - Δ, t₁).

3. Условия существования асимптотического положения покоя

3.1. Достаточные условия существования локального

асимптотического положения покоя

Пусть H — некоторое положительное число. Обозначим

{



}

Ω=

(t, x)

 t ∈ R¹⁺, ∥x∥ ≤ H

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если для системы

(1) существуют непрерывно диффе-

ренцируемая на множестве Ω функция V (t,x), непрерывная на множе-

стве r ≥ 0 функция g(r) и непрерывный на множестве R¹⁺ × X функцио-

нал W (t, x_t), такие что:

1) g(r) — строго монотонно возрастает на множестве r ≥ 0 и удовле-

творяет условию g(r) > r при r > 0;

2) V (t, x) положительно определена и допускает бесконечно малый выс-

ший предел;

V |₍₁₎ = W(t,x_t), где функционал W(t,x_t) равномерно ограничен по

отношению к t ≥ 0 на множестве ∥x_t∥_h ≤ H и таков, что вдоль

и(тегральных) кр(вы(х системы

(1), удовлетворяющих условию

))

ξ,x(ξ,t₀,ϕ)

≤g

t,x(t,t₀,ϕ)

для всех ξ ∈ [t - h, t), допускает

оценку

W (t, x_t) ≤ Z(t, x) + Z₁(t, x),

где функция Z(t, x) отрицательно определена на множестве Ω, а

функция Z₁(t, x) “слабо” стремится к нулю при t → +∞;

4) существуют числа 0 < ε₁ < ε₂ ≤ H такие, что

sup

V (t, x) <

inf

V (t, x)

∥x∥≤ε₁, t≥0

∥x∥=ε₂, t≥0

и Z(t,x) + Z₁(t,x) < 0 при ∥x∥ ∈ [ε₁,ε₂] и t ≥ 0,

— тогда x = 0 является асимптотическим положением покоя для траек-

торий системы (1).

Доказательство теоремы

1. Рассмотрим произвольный момент

t₀ ≥ 0, произвольную кусочно-непрерывную на [t₀ - h,t₀] начальную функ-

цию ϕ(t) и интегральную кривую x(t, t₀, ϕ).

Замечание 1. По условиям теоремы

функционал W (t, x_t) задан

и непрерывен на множестве R¹⁺ × X, следовательно, у функции v(t) =

= V (t,x(t,t₀,ϕ)) будет существовать производн[я v(t)=w))=W(t,xt(t0,ϕ))

на всем интервале существования решения t ∈

t₀,T(t₀,ϕ)

за исключением,

быть может, конечного ч⋂ [t0, T (t0, ϕ))зрыва первого рода, расположенных

на множестве [t₀, t₀ + h]

. Причем если ξ является точкой, в

которой у функции v(t) не существует производной, то в этой точке будут

определены v_-(ξ) и v₊(ξ) — левая и правая производные функции v(t) в точ-

ке ξ соответственно, которые будут удовлетворять равенствам:

v_-(ξ) = lim

w(t) и

v₊(ξ) = lim w(t).

t→ξ-0

t→ξ+0

1. Покажем, что если ∥ϕ∥_h < ε₁, то

(4)

∥x(t, t₀, ϕ)∥ < ε₂ для любого t ≥ t₀.

Пусть это не так, тогда найдется момент t_∗ > t₀ такой, что ∥x(t_∗)∥ = ε₂ и

∥x(t)∥ < ε₂ при t ∈ [t₀, t_∗). Определим числа

l₁ =

sup

V (t, x) и l₂ =

inf

V (t, x)

∥x∥≤ε₁, t≥0

∥x∥=ε₂, t≥0

и рассмотрим функцию v(t). В силу выполнения неравенств v(t₀) ≤ l₁, v(t_∗) ≥

≥ l₂, l₁ < l₂ и непрерывности v(t) для числа l₂ найдется точка t₁ > t₀, обла-

дающая свойством (A) на множестве t ∈ [t₀ - h, t₁], тогда, с одной стороны,

v_-(t₁) ≥ 0. С другой стороны, в силу выполнения третьего и четвертого усло-

вий теоремы 1

v_-(t₁) < 0. Полученное противоречие говорит о том, что ука-

занного момента t_∗ не существует, т.е. выполнено соотношение (4).

2. Покажем, что x(t, t₀, ϕ) → 0 при t → +∞. Для этого достаточно пока-

зать, что v(t) → 0 при t → +∞, т.е. что для любого γ > 0 найдется момент

T = T(γ) > 0 такой, что

(5)

v(t) ≤ γ при t ≥ T.

Обозначим через Γ множество всех чисел γ, для которых соотношение (5)

выполнено. Это множество не пусто, так как число l₂ из п. 1 доказатель-

ства теоремы 1 принадлежит Γ. Заметим, что для доказательства утвержде-

ния п. 2 достаточно установить, что inf Γ = 0. Предположим, что это не так,

пусть

(6)

inf Γ = γ₀

> 0.

Из свойств функции g следует, что существует η₀ = η₀(γ₀) > 0 такая, что

(7)

g(r) - r > 2η₀ при γ₀ - η₀ ≤ r ≤ γ₀ + η₀.

Заметим, что если соотношение (7) справедливо для некоторого η₀ > 0, то

оно остается справедливым для всех η ∈ (0, η₀), в частности и для η = η₀/2.

Число γ₀ + η₀ ∈ Γ, следовательно, существует момент T₀ ≥ t₀ + h такой,

что v(t) ≤ γ₀ + η₀ при t ≥ T₀. Число γ₀ - η₀ ∈ Γ, следовательно, возможны

два случая:

(a) существует момент T₁ ≥ T₀ такой, что v(t) > γ₀ - η₀ для любого t ≥ T₁;

(б) существуют последовательности t_k → +∞ и t^k → +∞ при k → +∞,

t¹ > T₀ и t₁ > T₀ такие, что v(t_k) < γ₀ - η₀ и v(t^k) > γ₀ - η₀.

В случае (a) на всем множестве t ≥ T₁ будут справедливы неравенства γ₀ -

-η₀ < v(t) < γ₀+η₀, тогда из (7) получим, что на том же множестве g(v(t))-

- v(t) > 2η₀ и, следовательно, g(v(t)) > v(t) + 2η₀ > γ₀ + η₀. Тогда для всех

t ≥ T₁ будет выполнено неравенство

v(ξ) < γ₀ + η₀ < g(v(t)) для любого ξ ∈ [t - h, t)

и, следовательно, исходя из третьего условия теоремы 1, при t ≥ T₁ будет

справедлива оценка

(

)

(

)

(8)

v(t) ≤ Z

t,x(t,t₀,ϕ)

+Z₁

t,x(t,t₀,ϕ)

Из второго условия теоремы 1 следует, что существуют положительно опре-

деленные на множестве ∥x∥ ≤ H функции V₁(x) и V₂(x) такие, что

V₁(x) ≤ V (t,x) ≤ V₂(x) для всех (t,x) ∈ Ω.

Определим числа

l₃ = max

V₂(x) и β =

min

∥x∥.

∥x∥≤ε₂

γ₀-η₀≤V₂(x)≤l₃

Из отрицательной определенности функции Z(t, x) следует существование

положительно определенной на множестве ∥x∥ ≤ H функции Z₂(x) такой,

что

Z(t, x) ≤ -Z₂(x) на множестве

∥x∥ ≤ H.

Определим число

(9)

α = min Z₂

(x), α > 0,

∥x∥∈[β,ε₂]

тогда

(

)

(10)

v(t) ≤ -α + Z₁

t,x(t,t₀,ϕ)

при t ≥ T₁.

Выберем положительное число Δ так, чтобы выполнялось нера(енство αΔ )

> 3η₀. Пользуясь “слабым” стремлением к нулю функции Z₁

t,x(t,t₀,ϕ)

найдем числа a ≥ T₁ и b = a + Δ таким образом, чтобы



∫



(

)



Z₁

τ,x(τ,t₀,ϕ)

dτ<η0.



Интегрируя неравенство (10) в пределах от a до b, придем к противоречию,

что

γ₀ - η₀ < v(b) ≤ v(a) - αΔ + η₀ < γ₀ + η₀ - 3η₀ + η₀ = γ₀ - η₀.

Следовательно, случай (a) невозможен.

В случае (б) выберем последовательность t^k таким образом, чтобы v(t^k) >

>γ₀-η₀/2 для всех k≥1. Это возможно сделать, так как число γ₀-η₀/2∈Γ.

По последовательностям t_k и t^k, пользуясь непрерывностью функции v(t),

определим последовательность отрезков [τ_s, τ^s], τ_s → +∞ при s → +∞ та-

кую, что v(τ_s) = γ₀ - η₀, v(τ^s) = γ₀ - η₀/2 и v(t) ∈ (γ₀ - η₀, γ₀ - η₀/2) при

t ∈ (τ_s,τ^s). Тогда, исходя из (7) и проводя аналогичные, что и в случае (a),

рассуждения, для любого t ∈ [τ_s, τ^s] установим справедливость неравенств

v(ξ) < γ₀ + η₀ < g(v(t)) для любого ξ ∈ [t - h, t).

Следовательно, при t ∈ [τ_s, τ^s] будет справедлива оценка (8). Положим

M = sup W(t,x_t), M > 0,

∥xt∥h≤ε2

и, пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях [17], оценим длины

отрезков [τ_s, τ^s]:

η₀ = |v(τ^s) - v(τ_s)| = |v(ξ)|(τ^s - τ_s) ≤ M(τ^s - τ_s),

где ξ — некоторая точка из отрезка [τ_s, τ^s]. Отсюда получим оценку:

η₀

(11)

τ^s - τ_s ≥

= δ.

Далее, по величине αδ найдем номер s_∗ такой, что при s ≥ s_∗ будет справед-

ливо неравенство



∫

τ^s



(

)



αδ



(12)

Z₁

τ,x(τ,t₀,ϕ)

dτ



τs

Проинтегрируем неравенство (8) в пределах от τ_s до τ^s при s > s_∗, используя

(9), (11), (12):

αδ

v(τ^s) - v(τ_s) < -αδ +

откуда получим очевидное противоречие

η₀

αδ

γ₀ -

<γ₀ -η₀ -

которое устанавливает невозможность случая (б).

Таким образом, предположение (6) не верно и, следовательно, γ₀ = 0. Тео-

рема 1 доказана.

Замечание 2. Заметим, что четвертое условие теоремы 1 использова-

лось только для доказательства ограниченности решений системы (1). Поэто-

му если ограниченность решений системы установлена заранее каким-либо

другим способом, то четвертое условие теоремы 1 становится излишним.

3.2. Достаточные условия существования асимптотического

положения покоя в целом

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если для системы (1) существуют непрерывно дифферен-

цируемая на множестве R¹⁺ × Rⁿ функция V (t,x), непрерывная на множе-

стве r ≥ 0 функция g(r) и непрерывный на множестве R¹⁺ × X функционал

W (t, x_t), такие что:

1) g(r) строго монотонно возрастает на множестве r ≥ 0 и удовле-

творяет условию g(r) > r при r > 0;

2) V₁(x) ≤ V (t, x) ≤ V₂(x), где функции V₁(x) и V₂(x) положительно

определены в Rⁿ и V₁(x) → +∞ при ∥x∥ → +∞;

V |₍₁₎ = W(t,x_t), где функционал W(t,x_t) равномерно ограничен по от-

ношению к t ≥ 0 на множестве ∥x_t∥_h ≤ H и таков, что вдоль инте-

гральных кривых системы (1), удовлетворяющих условию

(

)

(

))

ξ,x(ξ,t₀,ϕ)

≤g

t,x(t,t₀,ϕ)

для всех ξ ∈ [t - h, t),

допускает оценку

W (t, x_t) ≤ Z(t, x) + Z₁(t, x),

где функция Z(t, x) отрицательно определена на множестве R¹⁺ ×Rⁿ,

а функция Z₁(t, x) “слабо” стремится к нулю при t → +∞;

4) существует число Λ > 0 такое, что Z(t, x) + Z₁(t, x) < 0 на множе-

стве ∥x∥ ≥ Λ

— тогда x = 0 является асимптотическим положением покоя в целом для

траекторий системы (1).

Доказательство теоремы 2. Выберем произвольный момент t₀ ≥ 0,

произвольную кусочно-непрерывную на [t₀ - h, t₀] начальную функцию ϕ(t)

и рассмотрим решение x(t, t₀, ϕ).

1. Покажем продолжимость решения x(t, t₀, ϕ) на интервал [t₀, +∞). Пусть

это не так, тогда найдется момент t_∗ ≥ t₀ такой, что решение x(t, t₀, ϕ) опре-

делено на множестве t ∈ [t₀, t_∗) и не определено при t = t_∗. Тогда либо суще-

ствуют некоторое число H₀ > 0 и последовательность τ_k → t_∗ - 0 такие, что

∥x(τ_k, t₀, ϕ)∥ ≤ H₀ для любого k ≥ 1, что противоречит теореме существова-

ния и единственности решения основной начальной задачи [3], либо

(13)

∥x(t, t₀, ϕ)∥ -→ +∞ при t -→ t_∗

− 0,

что, исходя из первого условия теоремы 2, влечет за собой выполнение усло-

вия

(14)

v(t) -→ +∞ при t -→ t_∗

− 0.

В силу того что w(t) может иметь только лишь конечное число точек раз-

рыва первого рода на отрезке [t₀, t₀ + h], существует Δ₁ > 0 такое, что w(t)

будет непрерывной при t ∈ (t_∗ - Δ₁, t_∗). Из (13) следует, что существует

величина Δ₂ > 0 такая, что ∥x(t, t₀, ϕ)∥ > Λ при t ∈ [t_∗ - Δ₂, t_∗). Положим

Δ = min{Δ₁,Δ₂} и определим положительное число

L₀ = max v(t).

[t₀-h,t∗-Δ]

В силу соотношения (14) для числа 2L₀ найдется точка t₁ ∈ (t_∗ - Δ, t_∗), об-

ладающая на [t_∗ - Δ, t₁] свойством (A), следовательно, v(t₁) ≥ 0. С другой

стороны, v(t) < v(t₁) < g(v(t₁)) для любого t ∈ [t₁ - h, t₁), следовательно, в

силу третьего и четвертого условий теоремы 2, v(t₁) < 0. Полученное проти-

воречие устанавливает продолжимость x(t, t₀, ϕ) на множество t ≥ t₀.

2. Покажем ограниченность решения x(t, t₀, ϕ) на множестве t ≥ t₀. Заме-

тим, что в силу второго условия теоремы 2 для этого достаточно показать

ограниченность функции v(t). Пусть

L = max V₂(x), L > 0.

∥x∥≤Λ

Предположим, что функция v(t) не является ограниченной, тогда для чис-

ла L существует число T = T (L) ≥ t₀ + h такое, что v(T ) > L. Определим

константу

L₀ = max v(t).

[t₀,T]

Для числа 2L₀ найдется точка t₁ > T , обладающая на отрезке [t₀, t₁] свой-

ством (A), следовательно, v(t₁) ≥ 0. В то же время v(t) < v(t₁) < g(v(t₁)) для

любого t ∈ [t₁ - h, t₁) и ∥x(t₁, t₀, ϕ)∥ > Λ, следовательно, v(t₁) < 0. Получен-

ное противоречие свидетельствует о том, что v(t) ≤ 2L₀ для любого t ≥ t₀,

что доказывает ограниченность решения x(t, t₀, ϕ).

Доказательство стремления к нулю решения x(t, t₀, ϕ) при установленной

его продолжимости и ограниченности на множестве t ≥ t₀ будет полностью

повторять п. 2 доказательства теоремы 1. Теорема 2 доказана.

Замечание 3. Здесь справедливо замечание, аналогичное замечанию 2.

Четвертое условие теоремы 2 является излишним, если продолжимость и

ограниченность решений рассматриваемой системы установлена заранее.

Замечание 4. В теоремах 1 и 2 оценка отрицательной определенно-

сти производной функции V (t, x) производится на множес(ве интегра)ь-

ных кривых системы, удовлетворяющих соотношению V

ξ,x(ξ,t₀,ϕ)

≤

(

))

≤g

t,x(t,t₀,ϕ)

для всех ξ ∈ [t - h, t), где g(r) > r при r > 0. Отме-

(

)

тим, что это условие является более жестким, чем условие V

ξ,x(ξ,t₀,ϕ)

≤

(

)

≤V

t,x(t,t₀,ϕ)

для всех ξ ∈ [t - h, t), используемое Б.С. Разумихиным в [14]

при доказательстве асимптотической устойчивости нулевого решения.

Замечание 5. Отметим, что применение теорем 1 и 2 может быть по-

лезно в случае исследования поведения решений систем с возмущениями

x(t) = F (t, x(t), x(t - h)) + R(t, x_t),

если относительно системы x(t) = F (t, x(t), x(t - h)) известно, что она име-

ет асимптотически устойчивое нулевое решение и все компоненты R_i(t, x_t)

вектора возмущений R(t, x_t) “слабо” стремятся к нулю.

Замечание 6. “Слабое” стремление к нулю функции Z₁(t,x) и функцио-

налов R_i(t, x_t), внесенное в условие теорем 1 и 2 и замечание 5 по своему виду

имеет неконструктивный характер. Однако оно легко проверяется для широ-

кого класса возмущений, действующих как в линейных, так и в нелинейных

системах.

4. Примеры

Приведем несколько примеров применения теорем 1 и 2.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

(15)

x(t) = -2x³(t) + x³(t - h) + sin t².

В качестве функции Ляпунова возьмем V (x) = x² и вычислим

(

)

V |₍₁₅₎ = -4x⁴(t) + 2x(t)x³(t - h) + 2x(t)sint² = W

t,x(t),x(t - h)

Очевидно, что функция V (x) удовлетворяет второму условию теоремы 2 и

функционал W непрерывен в смысле определения 3. Обозначим x = x(t) и

√

y = x(t-h), выберем произвольное число p ∈ (1, ³

2) и рассмотрим множество

{



}

{



}

V(y)<pV(x)

M =

(x, y)

 |y| < p|x|

Здесь в качестве функции g(r) из первого и третьего условий теоремы 2 взята

функция pr. На множестве M функционал W допускает оценку

W (t, x, y) < -4x⁴ + 2p³|x|⁴ + 2x sin t² = -(4 - 2p³)x⁴ + 2x sin t² =

= Z(t,x) + Z₁(t,x),

где Z(t, x) = -qx⁴, Z₁(t, x) = 2x sin t² и q = 4 - 2p³ > 0. В силу оценки

Z(t, x) + Z₁(t, x) ≤ -qx⁴ + 2|x|

на множестве |x| ≥ 1 + 2/q будет выполнено неравенство Z(t, x) + Z₁(t, x) < 0.

Что, исходя из доказательства теоремы 2, гарантирует существование и огра-

ниченность решения x(t, t₀, ϕ) для произвол(ной начал)ной функции ϕ ∈

∈ PC[-h,0] на множестве t ≥ t₀. Функция Z₁

t,x(t,t₀,ϕ)

будет в этом слу-

чае “слабо” стремиться к нулю. Это было доказано в [6, с. 23]. Таким образом,

выполнены все условия теоремы 2, поэтому положение x = 0 является для

уравнения (15) асимптотическим положением покоя в целом.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

(16)

x(t) = -8x³(t) + x³(t - h) + x⁵(t) + sin t².

Построим функции V (t, x), g(r), Z(t, x), Z₁(t, x) и функционал W (t, x(t),

x(t - h)) из условий теоремы 1. В качестве функции V (t, x) возьмем V (x) =

= x²/2 и вычислим

(

)

V |₍₁₆₎ = -8x⁴(t) + x(t)x³(t - h) + x⁶(t) + x(t)sint² = W

t,x(t),x(t - h)

Обозначим x = x(t) и y = x(t - h) и представим функционал W в виде

W (t, x, y) = -8x⁴ + xy³ + x⁶ + x sin t² = W (x, y) + x⁶ + x sin t².

На плоскости (x, y) построим множество

{

}



N = (x,y)

_W(x,y) < 0

{



}⋃ {

}

= (x, y)

 y < 2x, x > 0

(x, y) : y > 2x, x < 0

Очевидно, что множество

{

}

{

}



M = (x,y)

_V (y) <³V (x)

= (x, y)

 |y| < ³|x|

⊂ N.

Здесь в качестве функции g(r) из первого и третьего условий теоремы 1 взята

функция 3r/2. Оценим W (t, x, y) на множестве M:

W (t, x, y) < -8x⁴ +

|x|⁴ + x⁶ + x sin t² ≤ -4x⁴ + x⁶ + x sin t² =

= Z(t,x) + Z₁(t,x),

где Z(t, x) = -4x⁴ + x⁶, Z₁(t, x) = x sin t². В силу оценки

Z(t, x) + Z₁(t, x) ≤ -4x⁴ + x⁶ + |x|

на множестве |x| ∈ [1, 3/2] будет выполнено неравенство Z(t, x) + Z₁(t, x) < 0,

а так как

1 = sup

V (x) < inf V (x) = 9/4,

|x|≤1

|x|=3/2

то четвертое условие теоремы 1 выполнено. Опять же отметим, что выпол-

нение этого условия гарантирует существование и ограниченность решения

x(t, t₀, ϕ) на множестве t ≥ t₀ для любой ϕ ∈ P C[-h, 0], удовлетворяющей

условию ∥ϕ∥_h < 1. Также заметим, что фун(ция Z(t, x))отрицательно опре-

делена на множестве |x| ≤ 3/2, а функция Z₁

t,x(t,t₀,ϕ)

, как это было заме-

чено ранее, “слабо” стремится к нулю. Таким образом, все условия теоремы 1

выполнены и, следовательно, все решения x(t, t₀, ϕ) уравнения (16) при вы-

полнении условия ∥ϕ∥_h < 1 будут стремиться к нулю при t → +∞.

5. Заключение

В результате применения подхода Разумихина к исследованию предель-

ного поведения решений систем дифференциальных уравнений с запазды-

вающим аргументом были получены достаточные условия, при выполнении

которых в одном классе систем появляется асимптотическое положение по-

коя. Данный класс систем можно описать как класс систем с возмущения-

ми, представляющими колебания с неограниченно возрастающей частотой.

Возникновение асимптотического положения покоя в системах такого вида

часто называется вибрационной стабилизацией и может найти применение в

разделах теории управления, касающихся задач стабилизации программных

движений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. M.: Гос.

изд-во физ.-мат. лит., 1959.

Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / Пер. с англ. под

ред. Л.Э. Эльсгольца. M.: Мир, 1967.

Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Пер. с англ.

под ред. А.Д. Мышкиса. M.: Мир, 1984.

Зубов В.И. Лекции по теории управления. M.: Наука, 1975.

Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргу-

ментом // Изв. вузов. Математика. 1958. № 6. С. 86-95.

Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989.

Купцова С.Е. Асимптотически инвариантные множества // Процессы управле-

ния и устойчивость. Тр. 37-й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов /

Под ред. А.В. Платонова, Н.В. Смирнова. 2006. С. 50-56.

Купцова С.Е. Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных

нестационарных дифференциальных уравнений // Тр. Средневолжск. матема-

тич. общества. 2006. Т. 8. № 1. С. 235-243.

Жабко А.П., Тихомиров О.Г., Чижова О.Н. Устойчивость асимптотического

положения покоя возмущенных однородных нестационарных систем // Журн.

Средневолжск. математич. общества. 2018. Т. 20. № 1. С. 13-22.

10.

Ekimov A.V., Svirkin M.V. Analysis of Asymptotic Equilibrium State of Differential

Systems Using Lyapunov Function Method // 2015 Int. conf. “Stability and control

processes” in memory of V.I. Zubov (SCP). IEEE. 2015. P. 45-47.

11.

Купцова С.Е. Асимптотические положения покоя в системах разностных урав-

нений // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56. № 2.

С. 67-71.

12.

Kuptsov S.Yu., Kuptsova S.E., Zaranik U.P. On Asymptotic Quiescent Position of

Nonlinear Difference Systems with Perturbations // 2015 Int. conf. “Stability and

control processes” in memory of V.I. Zubov (SCP). IEEE. 2015. P. 20-22.

13.

Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математи-

ка и механика. 1956. Т. 56. № 2. С. 500-512.

14.

Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем

с запаздыванием // АиТ. 1960. Т. 21. № 6. С. 740-748.

15.

Купцова С.Е., Купцов С.Ю., Степенко Н.А. О предельном поведении решений

систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вест.

Санкт-Петербург. ун-та. Прикл. математика. Информатика. Процессы управле-

ния. 2018. Т. 14. Вып. 2. С. 173-182.

16.

Зараник У.П., Купцова С.Е., Степенко Н.А. Достаточные условия существова-

ния асимптотического положения покоя в системах с запаздыванием // Журн.

СВМО. 2018. Т. 20. № 2. С. 175-186.

17.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. 2-е изд., перераб. и доп.,

М.: Высш. шк., 1988.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 01.06.2018

После доработки 03.07.2018

Принята к публикации 08.11.2018