Автоматика и телемеханика, № 7, 2019

Обзоры

Н.О. СЕДОВА, д-р физ.-мат. наук (sedovano@ulsu.ru)

(Ульяновский государственный университет)

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА-РАЗУМИХИНА В ЗАДАЧЕ

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ¹

Представлена история развития и современное состояние теории устой-

чивости систем с запаздыванием, построенной на основе одного из эффек-

тивных обобщений прямого метода Ляпунова - метода, использующего

“классические” функции в сочетании с условием Разумихина.

Ключевые слова: уравнения с запаздыванием, устойчивость, прямой ме-

тод Ляпунова, условие Разумихина.

DOI: 10.1134/S0005231019070018

1. Введение

Математическое описание различных систем с учетом присущего им после-

действия, запаздывания различного вида и происхождения в последние де-

сятилетия стало привычным. Если поначалу недостаток теоретической базы

приводил к стремлению всевозможными способами избежать явного присут-

ствия запаздывания в математической модели, то в последнее время ситуация

изменилась на противоположную и запаздывание теперь, например, намерен-

но вводится в структуру регулятора для улучшения его характеристик или

упрощения реализации.

Непрерывные модели систем с запаздыванием описываются функцио-

нально-дифференциальными уравнениями (ФДУ) запаздывающего и ней-

трального типов как с обыкновенными, так и с частными производными.

В данном обзоре будут рассматриваться уравнения запаздывающего типа с

обыкновенными производными.

Для уравнений, записанных в нормальной форме, учет запаздывания в

этом случае означает, что искомая функция x(t) зависит от одного скаляр-

ного аргумента (“времени”) и величина производной x(t) определяется зна-

чениями x(s) при t - r(t) ≤ s ≤ t. Здесь 0 ≤ r(t) ≤ +∞ определяет величину

запаздывания. Если существует r > 0 такое, что r(t) ≤ r для всех t, то соот-

ветствующее уравнение называют уравнением с конечным (или ограничен-

ным) запаздыванием, если r(t) - неограниченная при t → +∞ функция, то

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках Госу-

дарственного задания по НИР (проект 9.5994.2017/БЧ) и Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 18-41-730022).

говорят о неограниченном запаздывании или если в уравнение входят значе-

ния x(s) при всех s ≤ t, то запаздывание считается бесконечным.

Отдельные дифференциальные уравнения с запаздыванием были рассмот-

рены еще в XVIII в. в трудах Эйлера и Бернулли, а систематически были

впервые изучены В. Вольтеррой [1, 2] при рассмотрении задач математиче-

ской биологии и механики. Затем, в начале XX в., такие уравнения возникли

в математических моделях, связанных с устойчивостью и управлением раз-

личными техническими устройствами (см., например, [3, 4] и библиографию

в [5]). Широкие возможности применения таких уравнений в качестве ма-

тематических моделей разнообразных и важных для приложений процессов

стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений с запаздыва-

нием на современном уровне строгости.

Начиная с середины XX в. это развитие происходило очень интенсивно. За

несколько десятилетий появились десятки монографий, посвященных урав-

нениям с запаздыванием, в основном на английском языке. Среди них стоит

особо выделить книгу Дж. Хейла, которая была издана в 1977 г. и затем

появилась в русском переводе [6]. Эта книга на тот момент была самым раз-

носторонним изложением различных аспектов теории ФДУ, в том числе урав-

нений с запаздыванием, и стала основой многих дальнейших исследований.

Цитируемость [6] не падает и сегодня.

В России история теории уравнений с запаздыванием связана прежде все-

го с именами А.Д. Мышкиса, Н.Н. Красовского, Н.В. Азбелева, В.Б. Колма-

новского, В.Р. Носова, Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина. Работы этих авторов

не только стали значительным вкладом в теорию, но и привлекли внимание

к изучаемой ими тематике, вызвали интерес и вдохновили последующие по-

коления исследователей. Несмотря на впечатляющие темпы развития теории

уравнений с запаздыванием, актуальность этой темы не иссякла; более того,

появление новых сфер приложения и новых мощных вычислительных ин-

струментов привело к новой волне интереса к уравнениям с запаздыванием:

начало XXI в. часто характеризуют как “delay boom” [7].

Исследования показали, что уравнения с запаздыванием обладают суще-

ственными особенностями и к ним неприменимы напрямую результаты, по-

лученные для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Изуче-

ние систем с запаздыванием сопряжено со значительными трудностями, а

построение точных решений возможно лишь в исключительных частных слу-

чаях. С другой стороны, при должном осмыслении поведение таких уравне-

ний во многом можно характеризовать на основе методов и конструкций, до

определенной степени аналогичных существующим в теории ОДУ.

При построении теории уравнений с запаздыванием важнейшее значение

имеет тот факт, что получить даже частные точные решения даже очень

простых по структуре уравнений (например линейных) удается лишь в ис-

ключительных случаях; в этом смысле ситуация еще более сложная, чем с

ОДУ. Поэтому первостепенное значение приобретают качественные методы

исследования в “тандеме” с современными вычислительными средствами.

Среди качественных свойств эволюционной системы, интересных как тео-

ретику, так и практику, - устойчивость в ее различных определениях. Здесь

под устойчивостью будем понимать классическую устойчивость в смысле Ля-

пунова и обсуждать методы исследования этой устойчивости, основанные на

идеях А.М. Ляпунова. Замечательность этих идей, как известно, в том, что

развитые на их основе подходы и теоретические построения на практике не

требуют нахождения решений исследуемых уравнений, кроме того, они могут

быть адаптированы и к другим важным задачам, связанным с исследованием

поведения системы.

Проблема распространения прямого метода Ляпунова на задачи устойчи-

вости уравнений с запаздыванием возникла в 50-х гг. XX в. прошлого столе-

тия и с тех пор исследуется достаточно активно. Истоками этих исследований

можно считать статьи Н.Н. Красовского [8] и Б.С. Разумихина [9], в которых

были сформулированы два подхода к этой задаче.

Первый из подходов основан на идее обобщения метода Ляпунова путем

использования знакоопределенных функционалов, заданных на отрезках ин-

тегральных линий. Этот подход разрабатывался не только Н.Н. Красовским

и его учениками, но и многими другими исследователями, в том числе

зарубежными (см., например, [10-24]), и получил широкое распростране-

ние. Название “функционалы Ляпунова-Красовского” или просто функцио-

налы Красовского стало общепринятым термином современной теории устой-

чивости.

Стремление сохранить знакоопределенные функции в качестве меры воз-

мущений привело к другому пути построения теории устойчивости систем с

последействием. При этом оказалось, что формальное перенесение формули-

ровок теорем типа Ляпунова на случай уравнений с запаздыванием имеет

весьма ограниченное применение на практике, и конструктивные результа-

ты в этом направлении были получены на основе дополнительных ограниче-

ний относительно производной функции Ляпунова [8, 9]. Эти дополнитель-

ные ограничения (в том числе затем модифицированные) стали называться

условием Разумихина, а конечномерные функции, используемые при иссле-

довании устойчивости решений уравнений с запаздыванием, получили назва-

ние функций Ляпунова-Разумихина (интересно, что название это возникло

изначально в англоязычных публикациях, см. [25-40] и др.).

Именно это направление, история его развития и особенности применения

и являются предметом настоящего обзора.

Надо сказать, что функционалы Красовского можно рассматривать как

естественное обобщение конечномерных функций Ляпунова с точки зрения

функциональной трактовки решений уравнений с запаздыванием, для кото-

рых фазовое пространство является бесконечномерным. Многие исследова-

тели, обращаясь к устойчивости уравнений с запаздыванием, пишут о ме-

тоде функционалов как о безальтернативном варианте прямого метода для

таких уравнений. “Адаптация” же обычных функций к новому типу урав-

нений и необходимость дополнительных условий представляются несколько

искусственными. Возможно, определенную роль сыграл и тот факт, что пер-

воначальная версия Разумихина теоремы об асимптотической устойчивости

потребовала уточнения в общем случае (подробнее см. об этом в подразде-

ле 2.2). Как бы то ни было, поначалу метод не вызвал энтузиазма, особенно

в отечественной научной среде. Однако в 1970-х гг. метод начал активно раз-

виваться, преимущественно зарубежными математиками, и был обобщен для

других классов уравнений с запаздыванием, а также распространен на анализ

других, отличных от классической устойчивости, свойств решений.

Данный обзор посвящен исключительно развитию метода функций с усло-

вием Разумихина в применении к исследованию устойчивости по Ляпунову

решений уравнений с запаздыванием. Объектом рассмотрения является де-

терминированная нелинейная система общего вида в нормальной форме с

непрерывной по фазовой переменной правой частью, а для простоты изло-

жения предполагается, что на устойчивость исследуется нулевое решение.

Другие виды систем обсуждаться не будут (ограничимся лишь некоторыми

ссылками). Кроме того, обзор включает только результаты, основанные на

использовании “канонической” скалярной функции для общего нелинейного

уравнения; методы, сочетающие условие Разумихина с использованием спе-

циальной структуры (например, анализ устойчивости по первому приближе-

нию), заслуживают отдельного рассмотрения и остаются за пределами дан-

ного обзора. Этими ограничениями и отчасти научными интересами авторов

определяется выбор излагаемого материала. Тем не менее количество пуб-

ликаций, заслуживающих упоминания в связи с рассматриваемой (довольно

узкой) темой, велико, и список литературы не может претендовать на пол-

ноту. В список вошли прежде всего те публикации, результаты которых об-

суждаются в статье, а также несколько публикаций обзорного характера с

обширной библиографией; в ряде случаев предпочтение было отдано наибо-

лее новым или общедоступным источникам.

Основное содержание обзора состоит из двух частей. В первой части

рассматривается уравнение с конечным запаздыванием. В подразделе 2.1

приводятся основные понятия, определения и утверждения, необходимые

для дальнейшего изложения и “классические” теоремы метода Ляпунова-

Разумихина. В подразделе 2.2 обсуждаются основные направления развития

метода. В подразделе 2.3 излагается концепция метода предельных уравне-

ний и демонстрируются возможности применения этого метода в исследова-

нии асимптотической устойчивости, а подраздел 2.4 демонстрирует некото-

рые подходы к использованию метода функций в установлении неустойчиво-

сти. Заключительный подраздел 2.5 посвящен сочетанию метода функций с

идеями принципа сравнения.

Содержание второй части составляет менее подробный обзор аналогичных

результатов для уравнений с неограниченным и бесконечным запаздыванием,

с акцентом на возникающие в этом случае особенности. В подразделе 3.1 об-

суждаются понятия и свойства, существенные с точки зрения устойчивости,

в частности фундаментальное определение допустимого пространства. Под-

раздел 3.2 содержит обзор способов обобщения условия Разумихина с учетом

неограниченности запаздывания.

Отметим, что в стремлении унифицировать обозначения и терминологию

и не перегружать изложение вид некоторых формулировок изменен по срав-

нению с первоисточниками.

2. Уравнения с конечным запаздыванием

2.1. Основные определения и первоначальные результаты

Пусть R⁺ = [0, +∞), Rⁿ — действительное линейное пространство n-век-

торов с нормой |·|, r > 0 — фиксированная постоянная. Определим простран-

ство C := C([-r, 0], Rⁿ) функций ϕ с нормой ∥ϕ∥ = max{|ϕ(s)| : -r ≤ s ≤ 0} и

множества C_a = {ϕ ∈ C : ∥ϕ∥ < a}

C_a = {ϕ ∈ C : ∥ϕ∥ ≤ a} для произволь-

ного числа a > 0.

Если x(t) ∈ C([α - r, α + β), Rⁿ) (α ∈ R⁺, β > 0), то элемент x_t ∈ C для

каждого t ∈ [α, α + β) определяется равенством x_t(s) = x(t + s), -r ≤ s ≤ 0.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение запаздываю-

щего типа

(1)

x(t) = f(t, x_t

f (t, 0) ≡ 0,

где f : R⁺ × C_H → Rⁿ для некоторого H ∈ (0, +∞].

Предположим, что для каждой начальной точки (α₀, ϕ) ∈ R⁺ × C_H су-

ществует непродолжаемое решение уравнения (1), определенное для t ∈

∈ [α₀ - r, β) (β > α₀) и такое, что xα0 = ϕ (будем обозначать его x(t; α₀, ϕ)).

Из условия f(t, 0) ≡ 0 следует существование нулевого решения x(t; α₀, 0) ≡ 0

для любого α₀ ∈ R⁺.

Заметим, что в отличие от ОДУ роль начальной точки играет не конечно-

мерный вектор, а функция (“предыстория”, элемент пространства C). Фазо-

вое пространство уравнения (1) становится при этом функциональным бес-

конечномерным. Это свойство оказалось краеугольным камнем всей теории

уравнений с запаздыванием.

Отразилось это свойство, в том числе на свойствах устойчивости, начиная

с определений: по форме определения не отличаются от известных определе-

ний для ОДУ, но начальные возмущения оцениваются теперь не в векторном,

а в функциональном пространстве. Приведем здесь используемые далее опре-

деления для полноты изложения.

Определение 1. Нулевое решение уравнения (1) называется устойчи-

вым, если для любого начального момента α ∈ R⁺ и любого малого чис-

ла ε > 0 существует число δ = δ(α, ε) > 0, такое что для всех ϕ ∈ C_δ и

всех t ≥ α выполняется неравенство |x(t; α, ϕ)| < ε. Если число δ не зависит

от начального момента α, т.е. δ = δ(ε), то нулевое решение уравнения (1)

равномерно устойчиво.

Определение 2. Нулевое решение уравнения (1) называется:

1) притягивающим, если для любого α ∈ R⁺ существует число Δ =

= Δ(α) > 0, для любого малого ε > 0 и каждого ϕ ∈ C_Δ найдется значе-

ние T = T(ε,α,ϕ) > 0, такое что для всех t ≥ α + T справедливо неравен-

ство |x(t;α,ϕ)| < ε;

2) эквипритягивающим, если T = T (α, ε) > 0, т.е. число T можно вы-

брать одним и тем же для всех ϕ ∈ C_Δ;

3) равномерно притягивающим, если существует Δ > 0 и для любо-

го ε > 0 найдется значение T = T (ε) > 0 такое, что для всех ϕ ∈ C_Δ и

всех t ≥ α + T выполняется неравенство |x(t; α, ϕ)| < ε.

Определение 3. Нулевое решение уравнения (1) называется:

1) асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и притягивающее;

2) эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритя-

гивающее;

3) равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устой-

чивое и равномерно притягивающее.

Пусть G_H = {x ∈ Rⁿ : |x| < H}. Функцией Ляпунова назовем скалярную

функцию V (t, x) ∈ C¹(R × G_H , R⁺), удовлетворяющую равенству V (t, 0) = 0

для всех t ∈ R⁺, а ее производной в силу уравнения (1) - функционал

V ′ ∈ C(R⁺ × C_H,R), определяемый соотношением:

∑

∂V (t,ϕ(0))

V ′(t,ϕ) =

f_i(t,ϕ).

∂t

∂x_i

i=1

Заметим, что условие непрерывной дифференцируемости функции V пред-

полагается здесь для простоты и может быть ослаблено (с корректировкой

определения производной в силу уравнения). Более того, многие из приводи-

мых далее утверждений в оригинале обоснованы при несколько иных предпо-

ложениях относительно правой части уравнения по сравнению с принятыми

в данном обзоре. Соответствующие изменения будут обсуждаться лишь в

принципиально важных случаях.

Если x(t; α₀, ϕ₀) — некоторое решение (1), определенное для всех t ≥ α₀,

то функция v(t) = V (t, x(t; α₀, ϕ₀)) представляет собой непрерывно диффе-

ренцируемую функцию иdv(t)dt = V^′(t, x_t(α₀, ϕ₀)).

При исследовании устойчивости и асимптотической устойчивости нуле-

вого решения уравнения (1) традиционно используются знакопостоянные и

знакоопределенные функции. Если V (t, 0) = 0 и V (t, x) ≥ 0 (или V (t, x) ≤ 0)

для всех (t, x) ∈ R⁺ × G_H , то функция V называется знакопостоянной. Знако-

определенные функции удобно определять при помощи следующего класса,

широко используемого в современных качественных исследованиях:

{

}

K = σ ∈ C(R⁺,R⁺), σ(u) строго возрастает и σ(0) = 0 .

(такие функции также называют функциями типа Хана

[41]). Функ-

ция V (t, x) является положительно определенной, если V (t, 0) = 0 и суще-

ствует функция a ∈ K такая, что a(|x|) ≤ V (t, x) для всех (t, x) ∈ R⁺ × GH0

при некотором H₀ ≤ H. Аналогично отрицательно определенная функция

определяется соотношениями V (t, 0) = 0 и V (t, x) ≤ -c(|x|), c ∈ K. Условие

существования бесконечно малого высшего предела, которое также часто тре-

буется от функции Ляпунова, опять же удобно выражать через функцию из

класса K неравенством V (t, x) ≤ b(|x|), b ∈ K.

Первые попытки применения конечномерных функций для исследования

устойчивости уравнений с запаздыванием были предприняты Л.Э. Эльсголь-

цем (см. [42]) и представляли собой непосредственное обобщение классиче-

ских теорем Ляпунова. Например, достаточные условия устойчивости нуле-

вого решения уравнения (1) выглядели так: существует непрерывно диффе-

ренцируемая функция V (t, x) : R⁺ × G_H → R⁺ и функции a, b ∈ K такие, что

a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|) и V^′(t, ϕ) ≤ 0 для всех t ∈ R⁺, x ∈ G_H и ϕ ∈ C_H . Спра-

ведливость этого утверждения сомнения не вызывает: оно легко доказывается

повторением доказательства классической теоремы Ляпунова. Однако если в

прямом методе Ляпунова для ОДУ условие монотонности функции Ляпуно-

ва вполне естественно, то при использовании функций в случае уравнений с

запаздыванием это требование оказывается слишком ограничительным и по-

строить соответствующую функцию Ляпунова представляется возможным

лишь в исключительных случаях.

Рассмотрим для примера простейший вариант - линейное уравнение с

постоянными коэффициентами: x(t) = ax(t) + bx(t - r) при b = 0. Естествен-

ной для его исследования является функция V (x) = x²/2. Производная этой

функции равна

⎛

⎞

(

)

⎟

x(t)

V (x(t)) = ax²(t) + bx(t)x(t - r) = (x(t) x(t - r))^⎝

⎠

x(t - r)

т.е. представляет собой квадратичную форму, которая не может быть ни зна-

коопределенной, ни даже знакопостоянной ни при каких значениях парамет-

ров.

Таким образом, чтобы гарантировать знакоопределенность производной,

необходимо “компенсировать” слагаемое x(t - r).

Как же это сделать? В рамках решения этой проблемы была предложена

модификация, позволившая сделать конструктивными результаты об устой-

чивости, использующие функции Ляпунова.

Идея этой модификации состоит в следующем. Условие неположитель-

ности производной функции Ляпунова необходимо для доказательства то-

го, что все решения, начинающиеся в малой окрестности нуля, не пересе-

кут границу этой окрестности. При этом нет необходимости в том, чтобы

функция V все время не возрастала вдоль решения: если окрестность задана

неравенством V (x) ≤ l, то достаточно, чтобы производная была неположи-

тельной лишь в те моменты, когда V (x(t)) = l (при этом предполагается, что

V (x(t + s)) < l при s < 0, т.е. t - первый момент выхода на границу окрестно-

сти). Таким образом, достаточно проверять знак производной V^′ в каждый

момент времени не на всем множестве C_H , а только на его подмножестве вида

Ω_t(V ) = {ϕ ∈ C_H : V (t + s,ϕ(s)) ≤ V (t,ϕ(0)), -r ≤ s ≤ 0}.

Эти соображения привели к доказательству следующей теоремы.

Теорема 1

[9]. Если существует функция V (t, x) такая, что для неко-

торой функции a(u) ∈ K и всех t ∈ R⁺ выполняются условия:

1) V (t, x) ≥ a(|x|) для x ∈ Rⁿ,

2) V^′(t, ϕ) ≤ 0 для ϕ ∈ Ω_t(V ),

то нулевое решение уравнения (1) устойчиво. Если, кроме того, существует

функция b ∈ K такая, что V (t, x) ≤ b(|x|) при (t, x) ∈ R⁺ × Rⁿ, то нулевое

решение уравнения (1) равномерно устойчиво.

Аналогичный результат об асимптотической устойчивости, с заменой нера-

венства для производной на V^′(t, ϕ) ≤ -c(|ϕ(0)|), c ∈ K, был представлен

Б.С. Разумихиным в [9].

Однако позднее в [43] был построен пример, демонстрирующий, что в та-

кой формулировке результат в общем случае неверен (но верен при опре-

деленных дополнительных условиях, см. далее). В то же время Н.Н. Кра-

совским в [8] была предложена несколько иная формулировка достаточных

условий асимптотической устойчивости, которая стала отправной точкой для

многих дальнейших исследований и приложений.

Отличие теоремы Н.Н. Красовского от результата Б.С. Разумихина со-

стояло в использовании вместо множества Ω_t(V ) “чуть более широкого” мно-

жества

{

}

Ω_t(V,η) = ϕ ∈ C_H : V (t + s,ϕ(s)) ≤ η(V (t,ϕ(0))), -r ≤ s ≤ 0 ,

в котором функция η ∈ K такая, что η(u) > u для u > 0.

Итак, в приведенных обозначениях теорема Н.Н. Красовского имеет сле-

дующий вид.

Теорема 2

[8]. Если существует функция V (t, x) такая, что для неко-

торых функций a(u),b(u),c(u),η(u) ∈ K (η(u) > u при u > 0) и всех t ∈ R⁺

выполняются условия:

1) a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|) для x ∈ Rⁿ,

2) V^′(t, ϕ) ≤ -c(|ϕ(0)|) для ϕ ∈ Ω_t(V, η),

то нулевое решение уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво.

Тем не менее, как уже упоминалось, техника использования функций

Ляпунова для анализа уравнений с запаздыванием с учетом дополнитель-

ных условий при оценке производной (независимо от конкретного вида

этих условий) стала применяться под названием метода функций Ляпунова-

Разумихина или просто метода Разумихина.

Вернемся теперь к рассмотренному выше линейному уравнению, доба-

вив зависимость параметров от времени: x(t) = a(t)x(t) + b(t)x(t - h(t)). Для

функции V (x) = x²/2 при ϕ ∈ Ω(V ) = {ϕ : |ϕ(s)| ≤ |ϕ(0)|, s ∈ [-r, 0]} име-

ем V^′(t, ϕ) = ϕ(0)(a(t)ϕ(0) + b(t)ϕ(-h(t))) ≤ ϕ²(0)(a(t) + |b(t)|). Следователь-

но, если параметры непрерывны и ограничены и a(t) + |b(t)| ≤ 0, то в си-

лу теоремы 1 нулевое решение уравнения равномерно устойчиво. Если же

a(t) + |b(t)| ≤ -ε < 0, то для некоторых q > 1 и δ > 0 выполняется соотноше-

ние a(t) + q|b(t)| ≤ -δ < 0, и нулевое решение уравнения равномерно асимп-

тотически устойчиво в силу теоремы 2 (можно взять η(r) = q²r, c(r) = -2δr²).

Заметим, что в приведенном примере оценки коэффициентов, обеспечи-

вающие устойчивость, не зависят от величины запаздывания, поэтому за-

паздывание в рассмотренном уравнении может быть произвольным (любой

ограниченной функцией времени). Такая особенность характерна для метода

функций и удобна с точки зрения приложений, поскольку для реальных объ-

ектов часто оказывается, что наличие запаздывания очевидно, но величина

его неизвестна. Отметим, что получить условия устойчивости для уравнений

с переменным запаздыванием, не зависящих от диапазона значений ни самой

функции запаздывания, ни скорости ее изменения, не удается с использова-

нием функционала даже для такого простого уравнения.

В целом ряде задач преимущество метода функций перед функционалами

состоит в том, что построение функций и проверка их знакоопределенности

оказывается гораздо проще, чем построение функционалов, обладающих за-

данными свойствами. Вычисление производной функции в силу уравнения

также не вызывает трудностей, тем более если функция непрерывно диф-

ференцируема. Использование функций более естественно в задачах анали-

за геометрических характеристик уравнения, например для оценки областей

притяжения или множеств достижимости [44, 45]. Наконец, метод функций

до сих пор остается единственным методом, позволяющим получать условия

устойчивости для систем с быстро меняющимся запаздыванием (например,

такими являются системы с сетевым управлением) [7].

С другой стороны, во многих задачах учет характеристик запаздывания

может привести к менее ограничительным параметрическим условиям устой-

чивости (например, если величина запаздывания постоянна и мала), и в та-

ких случаях зависимость функционалов Ляпунова-Красовского от “предыс-

тории” дает им преимущества перед методом функций. Для некоторых клас-

сов уравнений разработаны процедуры трансформации квадратичных функ-

ций в квадратичные функционалы (см. ссылки в [46]) и другие методы по-

строения подходящих для анализа устойчивости функционалов [47]; для ли-

нейных стационарных систем как запаздывающего, так и нейтрального типов

на основе комбинации метода функционалов с идеей Б.С. Разумихина уда-

лось разработать конструктивные методы, позволяющие получать не только

достаточные, но и необходимые условия экспоненциальной устойчивости и

неустойчивости [48, 49].

Таким образом, нельзя говорить о явном преимуществе одного из двух

описанных направлений прямого метода; все зависит от конкретного уравне-

ния и его изучаемых свойств. Поэтому уже более шестидесяти лет оба направ-

ления - метод функций и метод функционалов - продолжают развиваться и

использоваться, не конкурируя между собой.

2.2. Основные направления развития метода

Прямой метод Ляпунова, начиная с классического его варианта, развива-

ется главным образом вдоль двух траекторий.

Во-первых, это расширение области применимости метода, распростране-

ние его на другие постановки задач и анализ новых свойств систем. В рам-

ках только задачи анализа свойств устойчивости уравнения вида (1), помимо

наиболее используемой в приложениях классической устойчивости по Ляпу-

нову с применением функций Ляпунова-Разумихина исследовались и другие

виды устойчивости, для которых пришлось так или иначе модифицировать

условия классических теорем ([50-53] и др.).

Во-вторых, это попытки ослабления условий, налагаемых на функцию Ля-

пунова и ее производную. Причина активных исследований в этом направ-

лении - известное “противоречие” между универсальностью теорем метода

в приложении к широкому классу нелинейных систем, с одной стороны, и

трудностями практического применения, т.е. построения подходящей функ-

ции Ляпунова для конкретной задачи. Именно это направление рассматри-

ваемого метода будет главным образом обсуждаться далее.

Б.С. Разумихиным [54-56] большое внимание уделяется практическому

применению теорем об устойчивости и асимптотической устойчивости и их

обобщений, полученных на основе уточнений множества, на котором оцени-

вается производная функции Ляпунова. Эти уточнения основаны на следую-

щем соображении: для устойчивости нулевого решения фактически доста-

точно, чтобы производная функции V (t, x) была неположительна на мно-

жестве Ω(x, t) отрезков интегральных линий x_t, удовлетворяющих условию

x(t) = x и содержащихся в Ω_t(V ) (Б.С. Разумихин назвал это множество во-

ронкой интегральных линий с вершиной в точке (x, t)). А.Д. Мышкис в [57]

эту идею оформил (для автономного уравнения) в следующей теореме.

Теорема 3. Предположим, что существует положительно определен-

ная функция Ляпунова V : Rⁿ → R⁺ и натуральное число N такое, что

V ′(x_t) < 0 для любой непрерывной функции x(t) : [-(N + 1)r,0] → Rⁿ, для

которой V (x(t)) < V (x(0)) для всех t ∈ [-(N + 1)r,0) и которая удовле-

творяет уравнению для t ∈ [-Nr, 0]. Тогда нулевое решение уравнения (1)

устойчиво.

Итак, множество Ω_t(V ) можно рассматривать как грубую оценку мно-

жества Ω(x, t) ⊂ Ω_t(V ). Более точные оценки можно получить из дополни-

тельных условий, вытекающих из свойств исследуемого уравнения на множе-

стве Ω_t(V ). Прежде всего, такими условиями являются двусторонние оценки

производных x, x, . . . решений.

Например, если V (x) = x²/2, то вдоль интегральных линий уравнения

x(t) = -bx(t-r) (b > 0), удовлетворяющих условиям V (x(t+s)) ≤ V (x(t)) при

s ∈ [-2r,0] и x(t) > 0, справедлива оценка x(t + s) ≤ bx(t), s ∈ [-2r,0]. Отсю-

да x(t - r) ≥ (1 - br)x(t). Следовательно, если 0 ≤ br ≤ 1, то -bx(t - r)x(t) =

= V ^′(x_t) ≤ 0. Проведя аналогичные рассуждения для случая x(t) < 0, делаем

вывод об устойчивости нулевого решения уравнения.

Подходы, описанные в [56], были позднее оформлены в виде так называе-

мого метода преобразований, позволяющего расширить область устойчиво-

сти. Идея метода состоит в использовании при оценке производной функции

Ляпунова дополнительной информации о решении, получаемой из уравнения;

например, x(t - r) выражается по формуле конечных приращений Лагранжа

или по формуле Тейлора через x(t) и значения производных в точках t и t - τ,

где τ ∈ [0, r], с последующим исключением всех производных с помощью той

же системы. В [56] описанные методы проиллюстрированы на ряде примеров,

в которых приведены довольно сложные вычисления для последовательно-

го уточнения оценок множества Ω(x, t). Однако способы такого уточнения не

очевидны даже для простых скалярных уравнений и квадратичной функции,

а в более сложных случаях громоздкость вычислений может стать серьезным

препятствием.

Дальнейшее развитие метод преобразований получил главным образом в

публикациях E. Fridman (см. ссылки в [7]), где на некоторых классах систем

с запаздыванием показано, как использование различных форм записи ис-

ходного уравнения (не всегда, кстати, эквивалентных) позволяет по крайней

мере в линейном случае уточнить оценки производной функции или функцио-

нала в силу уравнения и улучшить параметрические условия устойчивости.

Следует отметить, что не только оценка области устойчивости, но и проце-

дура построения самой функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям клас-

сических теорем, может превратиться в довольно сложную задачу. Многие

специалисты в области математики и механики работали над этой пробле-

мой; в настоящее время известны некоторые классы уравнений, для которых

функцию (или функционал) Ляпунова можно построить, используя вполне

определенный алгоритм. Понятно, что чем более узкий класс уравнений рас-

сматривается, тем больше принципиальная возможность получить точные и

эффективно проверяемые признаки. Однако в общем случае не существует

не только формального алгоритма, но и никаких конкретных рекомендаций.

Поэтому даже доказательство “обратных” теорем прямого метода (гаран-

тирующих, что не только существование функции с заданными свойствами

влечет за собой тот или иной вид устойчивости, но и наоборот, см., напри-

мер, [58]) не решает проблему практического применения классических тео-

рем.

Одна из возникающих трудностей заключается в том, что требования,

предъявляемые к вспомогательной функции, удобны для доказательств в тео-

ремах (более того, для некоторых видов устойчивости существование функ-

ции с требуемыми свойствами является не только достаточным, но и необхо-

димым условием), но не всегда удобны для изучения конкретных уравнений.

В случае когда в конкретном примере удается построить функцию, удо-

влетворяющую некоторым (но не всем!) условиям имеющейся теоремы, у ис-

следователя согласно [59] есть выбор по крайней мере из трех возможностей:

получить новый результат, ослабляющий требования к функции Ляпунова;

построить новую функцию Ляпунова; рассмотреть другую задачу.

Оставив размышления о привлекательности третьего пути и сомнитель-

ных гарантиях второго, обратимся к сторонникам первого. А их, судя по ко-

личеству публикаций, посвященных различным обобщениям теорем прямого

метода, оказалось довольно много.

Например, очень часто “естественная” функция Ляпунова для рассматри-

ваемой системы не удовлетворяет требованию знакоопределенности произ-

водной. Иногда бывает довольно просто построить знакопостоянную функ-

цию с монотонным поведением вдоль решения, а нахождение подходящей

знакоопределенной функции встречается с большими трудностями.

Наконец, специфика метода функций Разумихина определяет еще один

“камень преткновения”: множество, на котором необходимо проверять знак

производной функции, а точнее - два множества, поскольку они разные в

классических условиях устойчивости и асимптотической устойчивости. Оцен-

ка производной на этих множествах не всегда удобна, поэтому были предпри-

няты попытки заменить их некоторым “третьим” множеством. Модификация

оценок функции V и ее производной при этом осуществлялась за счет допол-

нительных ограничений на функцию и (или) правую часть уравнения.

Например, в [39] предлагается вместо множества Ω_t(V, η) использовать_{}

множество Q = ϕ : max |ϕ(s)| < q|ϕ(0)|

, где q > 1, при условии, что

-r≤s≤0

функция V удовлетворяет условиям u(|x|) ≤ V (t, x) ≤ v(|x|) для некоторых

функций u, v ∈ K. Доказательство правомерности этой замены основывается

на факте, что Q ⊂ Ω_t(V, η) для некоторой функции η. Однако эти множе-

ства не совпадают (хотя бы потому, что второе может зависеть от t, а первое

не может), и результат в общем случае не может быть верным. Это отме-

чено в [60]. Сразу после заметки [60] публикуется “ответ” с исправленным

вариантом теоремы [61], в котором добавляется требование, чтобы для фик-

сированного q₁ > 1 и некоторого q₂ ≥ 1/q₁ из неравенства

max

V (t + s, ϕ(s)) < q₁V (t, ϕ(0))

r-≤s≤0

следовало неравенство

∥ϕ∥ ≤ q₁q₂|ϕ(0)| < u-1[q₁v(|ϕ(0)|)].

Это означает, что в принятых в этом абзаце обозначениях Ω_t(V, η) ⊂ Q при

η(u) = q₁u и q = q₁q₂, а это, очевидно, обеспечивает выполнение условий тео-

ремы 2 при замене Ω_t(V, η) на Q. Однако предложенное условие фактически

сужает класс функций V , применимых для исследования устойчивости.

В [62] авторы совсем отказываются от использования множеств Ω_t(V )

и Ω_t(V,η), рассматривая систему вида

x(t) = f(x(t)) + g(x(t), x(t - r), t) с

непрерывно дифференцируемыми функциями f и g, f(0) = 0, g(x, 0, t) ≡ 0.

Если тогда известна функция, гарантирующая равномерную асимптотиче-

скую устойчивость нулевого решения системы x(t) = f(x(t)), то дополнитель-

ная оценка разности производных этой функций в силу исходной и “усечен-

ной” систем обеспечивает асимптотическую устойчивость для системы с за-

паздыванием. Все эти ограничения делают приведенный результат справед-

ливым лишь для очень узкого класса систем.

В целом, подобные результаты не получили широкого использования.

В других публикациях менее радикальное изменение классических усло-

вий позволило рассмотреть более общие виды систем.

Перед изложением соответствующих результатов вернемся к следующему

вопросу: можно ли в теореме об асимптотической устойчивости множество

Ω_t(V,η) заменить на Ω_t(V ) (второе множество, очевидно, всегда является под-

множеством первого, поэтому “выгоднее” проверять знак производной именно

на нем).

Этот вопрос уже обсуждался в подразделе 2.1, там же приведена ссылка

на опубликованный пример, демонстрирующий, что такая замена в общем

случае неравноценна. С другой стороны, пример этот имеет весьма специ-

альный вид и вряд ли может возникнуть в исследовании реальной системы.

Если же рассматривать достаточно широкие классы систем, встречающихся

в приложениях, то оказывается, что дополнительные ограничения на правую

часть уравнения (1) делают рассматриваемую замену возможной.

Для начала обратим внимание на публикацию [36], в которой для функ-

ции v(t) = V (t, x(t)) предлагаются более общие по сравнению с теоремой 2

условия, удобные при анализе неавтономного уравнения (1): оценка произ-

водной вдоль решения v(t) ≤ -c(t, v(t)) при условии, что

max v(t + s) ≤ η(t, v(t)).

-r≤s≤0

Здесь функция c(t, u) положительно определена и не убывает при каждом

фиксированном t, а функция η(t, u) - u - положительная и неубывающая

при u > 0. Если при этом существуют непрерывные функции k(u) и K(u),

такие что для каждого фиксированного u > 0 выполняются условия

∫∞

η(t, u) - u ≥ k(u),

0 ≤ c(t,u) ≤ K(u),

c(t, u)dt = ∞,

то v(t) → 0 при t → +∞, а при дополнительном условии положительной опре-

деленности и существования бесконечно малого высшего предела для функ-

ции V (t, x) обеспечивается асимптотическая устойчивость нулевого решения

уравнения (1) (в ряде публикаций предлагались модификации и частные слу-

чаи этих условий; например, в [32] представлен результат об асимптотиче-

ской устойчивости с оценкой V^′ ≤ -k(t)c(|ϕ(0)|) для ϕ ∈ Ω_t(V, η), где c ∈ K,

∫+∞

k:R⁺ →R⁺,

k(s) ds = ∞).

В той же публикации [36] обосновано, что при некоторых дополнительных

условиях в этом случае существует и “обычная” функция Ляпунова w(t), для

которой v(t) ≤ w(t) ≤ max

v(t + s) и

w(t) ≤ -c1(t,w(t)) при всех t. Этот

-r≤s≤0

важный с точки зрения теории результат, однако, мало полезен при решении

конкретной задачи, подобно обратным теоремам прямого метода.

Интересно другое утверждение из [36], что указанные условия на про-

изводную

v(t) будут при некоторых дополнительных условиях на V (t, x)

и V ^′(t,x_t) справедливы в случае выполнения оценки

V ′(t,x_t) ≤ -c^∗(t,V (t,x(t))) для x_t ∈ Ω_t(V ),

где функция c^∗(t, u) также положительно определена и не убывает при каж-

дом фиксированном t. Для этого, во-первых, V^′ должна быть равномерно

непрерывна по второму аргументу при фиксированном t, во-вторых, для

некоторой функции η^∗(t, ε, u), свойства которой аналогичны свойствам функ-

ции η(t, u), из условий ε > 0, max V (t + s, ϕ(s)) ≤ η^∗(t, ε, V (t, ϕ(0))) следует

-r≤s≤0

существование ψ ∈ C такого, что

∥ϕ - ψ∥ ≤ ε и V (t, ψ(0)) = max V (t + s, ψ(s)) ≥ V (t, ϕ(0)).

-r≤s≤0

Это утверждение свидетельствует о том, что теорема Разумихина об асимпто-

тической устойчивости верна при дополнительных условиях. Однако сформу-

лированные условия довольно ограничительны, а корректная проверка уточ-

ненного в такой форме утверждения об асимптотической устойчивости тре-

бует нетривиальных усилий.

Первый конструктивный результат в этом направлении был получен для

автономного уравнения (1), т.е. для случая f = f(ϕ), на основе обобщен-

ного принципа инвариантности [29]. Для формулировки соответствующе-

го утверждения используем традиционные определения, которые приведем

здесь для полноты изложения.

Определение 4. Точка ψ ∈ C_H называется положительной предель-

ной (или ω-предельной) точкой решения x(t;α,ϕ), если существует после-

довательность t_n → +∞ такая, что xtn (α,ϕ) → ψ при n → ∞. Множество

всех точек ψ называется положительным предельным (или ω-предельным)

множеством и обозначается ω⁺(x_t(α,ϕ)).

Определение 5. Множество M ⊂ C_H называется положительно ин-

вариантным относительно уравнения (1), если при любых α₀ ∈ R⁺ и ϕ₀ ∈ M

для всех t ≥ α₀ решение x(t; α₀, ϕ₀) этого уравнения определено и x_t ∈ M.

Множество M(t) ⊂ C_H (зависящее от t) называется положительно

инвариантным относительно уравнения (1), если при любых α₀ ∈ R⁺ и

ϕ₀ ∈ M(α₀) для всех t ≥ α₀ решение x(t;α₀,ϕ₀) этого уравнения определено

и x_t ∈ M(t).

Теорема 4 (принцип инвариантности, см. [29]). Предположим, что в

уравнении (1) f(t, ϕ) = f(ϕ) и существует функция Ляпунова V = V (x) та-

кая, что V^′(ϕ) ≤ 0 для всех ϕ ∈ C_H таких, что

V (ϕ(0)) = max V (ϕ(s)).

-r≤s≤0

Тогда для каждой начальной точки ϕ, определяющей ограниченное на

[-r, ∞) решение, ω⁺(x_t(0, ϕ)) содержится в максимально инвариантном

относительно уравнения x(t) = f(x_t) подмножестве M_V множества

{

}

E_V = ϕ ∈ C_H : max

V (x(t + s; 0, ϕ)) = max V (ϕ(s)) для всех t ≥ 0

-r≤s≤0

Использование этого результата для анализа конкретных уравнений мо-

жет оказаться довольно эффективным с точки зрения получения информа-

ции об асимптотических свойствах решений. Проиллюстрируем это примером

из [29].

Пример 1. Рассмотрим скалярное уравнение

x(t) = bx(t - r)(1 - x(t)) - cx(t),

которое изучалось в целом ряде публикаций, в том числе в качестве моде-

ли распространения инфекции. Здесь все параметры предполагаются поло-

жительными. Пусть сначала b = c. Рассмотрим положительно инвариантное

множество G = {ϕ ∈ C : ϕ(s) ≥ 0, -r ≤ s ≤ 0} и функцию V (x) = x²/2. Тогда

для ϕ ∈ G ∩ Ω(V ) получаем V^′(ϕ) ≤ -bϕ²(0)ϕ(-r) ≤ 0. Найдем множество_{

}

E_V (G) = ϕ ∈ G : max

V (x(t + s; 0, ϕ)) = max V (ϕ(s)) для всех t ≥ 0

-r≤s≤0

Пусть ϕ ∈ E_V (G), т.е. ∥ϕ∥ = ∥x_t(0, ϕ)∥ для всех t ∈ R⁺. Заметим, что если

x_t∗(0,ϕ) ∈ Ω(V ), то x(t^∗ -r) ≤ x(t^∗) и V^′(x_t∗ (0,ϕ)) = 0, откуда x²(t^∗)x(t^∗ -r) =

= 0, а значит, x(t^∗) = ∥x_t∗ (0, ϕ)∥ = 0. Учитывая, что ϕ ∈ E_V (G), получаем от-

сюда ϕ = 0. В итоге E_V (G) = M_V (G) = {0} и x_t(0, ϕ) → 0 при t → +∞ для

любой ϕ ∈ G.

Аналогичные рассуждения справедливы в случае 0 < b < c. Если же 0 <

< c < b, то уравнение имеет положительное равновесие в точке 1 - c/b, и,

используя ту же функцию Ляпунова и соответствующую замену переменной,

можно показать, что все решения, начинающиеся в множестве G₀ = {ϕ ∈ C :

ϕ(s) > 0, -r ≤ s ≤ 0}, асимптотически приближаются к этому равновесию.

Следует заметить, что приведенные результаты можно получить также и

с помощью функционала Ляпунова. Однако, в отличие от метода функциона-

лов используемый здесь подход непосредственно распространяется (в случае

0 < b ≤ c), к примеру, на более общее уравнение вида x(t) = bh(x(t - r))(1 -

- x(t)) - cx(t) с непрерывной функцией h такой, что |h(u)| ≤ |u| и uh(u) > 0,

или вида x(t) = bh(x(t - r))(1- x(t))- ch(x(t)) cо строго возрастающей функ-

цией h (h(0) = 0).

Как следствие теоремы 4 в [29] была доказана теорема 5.

Теорема 5. Предположим, что в уравнении (1) f(t,ϕ) = f(ϕ), f(0) = 0,

и существует функция Ляпунова V = V (x) и α > 0 такие, что:

1) V (0) = 0, V (x) > 0 для всех 0 = |x| < α;

2) V^′(0) = 0;

3) V^′(ϕ) < 0 для всех 0 = ∥ϕ∥ < α таких, что max V (ϕ(s)) = V (ϕ(0)).

-r≤s≤0

Тогда нулевое решение уравнения x(t) = f(x_t) (равномерно) асимптотически

устойчиво.

Интересно, что в теореме 5 требуется знакоопределенность производ-

ной V^′, в отличие от известного результата для автономных и периодических

ОДУ. Для периодического уравнения (и периодической функции Ляпунова)

это требование ослабляется в [12], где условия для производной в теореме об

асимптотической устойчивости принимают вид: V^′(t, ϕ) ≤ 0 при ϕ ∈ Ω_t(V, η),

множество {(t, ϕ) ∈ R⁺ × Ω_t(V, η) : V^′(t, ϕ) = 0} не содержит целых полутра-

екторий (исключая нулевое решение). Заметим, что при этом опять происхо-

дит возврат к множеству Ω_t(V, η).

Тем не менее оценка производной функции Разумихина на множе-

стве Ω_t(V ) может при некоторых дополнительных условиях оказаться доста-

точной для асимптотической устойчивости не только в автономном и перио-

дическом случае, но и для некоторого более широкого класса неавтономных

уравнений.

В [63] приводится доказательство теоремы Разумихина об асимптотиче-

ской устойчивости из [9] (с множеством Ω_t(V )) при условии, что правая часть

уравнения (1) удовлетворяет условию Липшица |f(t, ϕ) - f(t, ψ)| ≤ L∥ϕ - ψ∥

при t ∈ R⁺ и ϕ, ψ ∈ C_H (заметим, что пример из [43] не удовлетворяет этому

условию), а функция Ляпунова имеет непрерывные ограниченные частные

производные на множестве R⁺ × G_H . Доказательство свойства притяжения

в [63] проводится путем обоснования, что l(t) = sup V (s, x(s)) при t → +∞

s≥t

(равномерность притяжения при этом не доказывается).

Другой путь, позволяющий в более общей форме выявить предельные

свойства решений, обобщить на неавтономный случай принцип инвариант-

ности и обосновать достаточные условия различных видов устойчивости

(в частности, равномерной асимптотической), основан на использовании так

называемого метода предельных уравнений. Отметим, что ослабить требова-

ние знакоопределенности при этом удается не только для производной V^′, но

и для самой функции.

Метод предельных уравнений был впервые систематически изложен в [64]

для ОДУ. Для уравнений с бесконечномерным фазовым пространством по-

дробное изложение метода можно найти в [10, 65-67]. Одним из главных ре-

зультатов применения этого метода с позиции теории устойчивости является

обобщение свойства инвариантности положительного предельного множества

решения на случай неавтономного уравнения. Результатам об устойчивости

для уравнений с конечным запаздыванием, полученным на основе метода

предельных уравнений, посвящен подраздел 2.3.

2.3. Анализ устойчивости с использованием

метода предельных уравнений

Введем дополнительные предположения относительно правой части урав-

нения (1).

Предположение 1. Для каждого числа q ∈ (0,H) существует неубы-

вающая функция μ_q ∈ C(R⁺, R⁺), μ_q(0) = 0, такая, что для любой функции

u∈C([a,b]

C_q) и любых t₁,t₂ ∈ [a,b] выполняется неравенство



∫

t₂



f (τ, u(τ))dτ≤μq(|t2 - t1|).



t₁

Это предположение, в частности, выполняется, если f ограничена на каж-

дом множестве R⁺

C_q, где q ∈ (0,H).

Пусть {q_n} - последовательность чисел, такая что q₁ < q₂ < · · · < q_n → H

при n → ∞. Для каждого q_i определим множество K_i ⊂ C всех функций

ϕ ∈ C таких, что для s,s₁,s₂ ∈ [-r,0] справедливы оценки

|ϕ(s)| ≤ q_i,

|ϕ(s₂) - ϕ(s₁)| ≤ μqi (|s₂ - s₁|).

⋃

Тогда множество K_i компактно. Положим Γ = K_i.

i=1

Пусть F_f = C(R⁺ × Γ → Rⁿ). Обозначим через f^τ сдвиг функционала f,

определяемый равенством f^τ (t, ϕ) = f(τ + t, ϕ). Тогда для f ∈ F_f семейство

сдвигов F0f = {f^τ : τ ∈ R⁺} ⊂ F_f .

Определим сходимость в F_f как равномерную на каждом компакте K^′⊂

⊂R⁺ × Γ. Заметим, что в силу определения области Γ эта сходимость метри-

зуема [10].

В ряде последующих утверждений используется также следующее более

сильное предположение.

Предположение 2. Функционал f(t,ϕ) ограничен и равномерно не-

прерывен на каждом множестве R⁺ × K, где K ⊂ C_H — компакт.

В этом случае семейство сдвигов F0f предкомпактно в пространстве F_f и

уравнению (1) можно сопоставить семейство предельных уравнений [10]

(2)

x(t) = f^∗(t, x_t

где f^∗(t, ϕ) есть предельный к f функционал, определенный в области R × Γ

как предел последовательности {f(t+t_k, ϕ) : t_k → +∞}, при этом сходимость

равномерна на каждом множестве [0, T ] × K, где T > 0 и K ⊂ Γ - компакт.

Предположение 3. Функционал f(t,ϕ) удовлетворяет условию Лип-

шица: для каждого компакта K ⊂ C_H существует l = l(K) > 0 такое, что для

всех ϕ₁, ϕ₂ ∈ K выполняется неравенство |f(t, ϕ₂) - f(t, ϕ₁)| ≤ l∥ϕ₂ - ϕ₁∥.

Если указанное условие Липшица выполняется для функционала f, то

любой предельный функционал f^∗ удовлетворяет аналогичному условию и

решения уравнений (1) и (2) для каждой точки (α, ϕ) ∈ R⁺ × C_H и (α, ϕ) ∈

∈ R⁺ × Γ соответственно единственны.

Заметим, что если x(t; α, ϕ) — решение (1), определенное на интервале

[α - r, +∞), то в условиях предположения 2 x_t(α, ϕ) ∈ Γ для t ≥ α + r. По-

этому для функционала, удовлетворяющего предположению 2, динамические

свойства решений уравнений (1) и (2) не зависят от сужения области опреде-

ления f на множество R⁺ × Γ.

В предположениях 2 и 3 имеет место свойство инвариантности — теоре-

ма 6.

Теорема 6

[10]. Пусть решение x = x(t; α, ϕ) определено и ограничено

при всех t ≥ α-r, |x(t;α,ϕ)| ≤ q < H. Тогда множество ω⁺(x_t(α,ϕ)) инвари-

антно по отношению к семейству предельных уравнений { x(t) = f^∗(t, x_t)},

а именно: для каждого элемента ψ ∈ ω⁺(x_t(α,ϕ)) существует предельное

уравнение x(t) = f^∗(t, x_t) такое, что для решения этого уравнения x^∗(t; 0, ψ)

выполняется соотношение {x^∗t(0, ψ) : t ∈ R} ⊂ ω⁺(x_t(α, ϕ)).

Замечание 1. Так как сдвиг f_τ(t,ϕ) при большом τ ≥ T > 0 определен

для значений (t, ϕ) ∈ [-T, +∞) × C_H , то по построению уравнения (2) его

областью определения можно принять R × Γ; решение x^∗t(t; 0, ψ) в теореме 6

также по построению продолжимо для всех t ∈ R.

Задача об исследовании связи свойств устойчивости и предельного пове-

дения решений исходной и предельных систем с запаздыванием изучалась

многими авторами, см., например, [10, 65, 66, 68-72] и ссылки в них. Некото-

рые “устойчивоподобные” свойства “наследуются” всем семейством предель-

ных уравнений [70], что позволяет сделать вывод о свойствах целого класса

уравнений, изучив лишь одно. С практической точки зрения представляют

интерес результаты, позволяющие на основе свойств предельных уравнений

делать вывод о поведении решений исходного уравнения. Такие утвержде-

ния особенно удобно применять в тех случаях, когда предельные уравнения

имеют более простую структуру, чем исходное, например являются автоном-

ными, и для уравнений с исчезающими в различных смыслах возмущениями.

Однако совместное использование свойств предельных уравнений и вспо-

могательных функций (функционалов) позволяет получить более мощный и

гибкий метод исследования. Первой известной попыткой получить подобные

утверждения на основе метода Разумихина была, вероятно, публикация [33].

Определим для функции Ляпунова следующие предельные множества

уровня.

Определение 6. Пусть tn →+∞ есть некоторая последовательность,

t∈R, c0 ∈R. Множество N_∞(t,c₀,t_n)⊂C_H есть множество точек ϕ∈C_H,

для каждой из которых существует последовательность {ϕ_n ∈ C_H : ϕ_n → ϕ

при n → +∞} такая, что lim

max

V (t_n + t + s, ϕ_n(s)) = c₀. При этом

n→∞

-r≤s≤0

ϕ∈M_∞(t,c₀,t_n) ⊂ N_∞(t,c₀,t_n), если одновременно lim

V (t_n + t, ϕ_n(0)) = c₀.

n→∞

Пусть U : R⁺ × C_H → R есть функционал, ограниченный и равномерно

непрерывный на каждом множестве R⁺ × K, K ⊂ C_H — компакт. Тогда се-

мейство {U_τ (t, ϕ) = U(τ + t, ϕ), τ ∈ R⁺} предкомпактно в функциональном

пространстве F_U = C(R⁺ × Γ, R) с метризуемой компактно открытой топо-

логией, и для него можно определить семейство предельных функционалов

U^∗ : R⁺ × Γ → R.

Будем говорить, что предельное уравнение (2) и предельный функцио-

нал U^∗ образуют предельную пару (f^∗, U^∗), если они определяются для одной

и той же последовательности t_n → +∞. По отношению к этой последователь-

ности t_n → +∞ можно определить соответствующие множества N_∞(t, c, t_n)

и M_∞(t,c,t_n). В приведенных обозначениях справедлива следующая теорема

о локализации положительного предельного множества [10].

Теорема 7. Предположим, что для правой части уравнения (1) спра-

ведливы предположения 2 и 3, кроме того:

1) существует функция V : R × G_H → R, ограниченная снизу на множе-

стве R⁺ × GH1 (0 < H₁ < H), V (t,x) ≥ m(H₁) для (t,x) ∈ R⁺ × GH1 , произ-

водная которой V^′(t, ϕ) ≤ 0 для t ∈ R⁺, ϕ

CH1 ∩ Ω_t(V );

2) существует функционал U : R⁺ × C_H → R⁺, ограниченный и равномер-

но непрерывный на множествах R⁺ × K для каждого компакта K ⊂ C_H и

такой, что |V^′(t, ϕ)| ≥ U(t, ϕ) для всех (t, ϕ) ∈ R⁺ × C_H ;

3) некоторое решение x = x(t; α, ϕ), (α, ϕ) ⊂ R⁺ × C_H , ограничено,

|x(t; α, ϕ)| ≤ H₁ < H для всех t ≥ α - r.

Тогда существует значение c₀ = const такое, что для любой точ-

ки ψ ∈ ω⁺(α, ϕ) существует предельная пара (f^∗, U^∗) такая, что реше-

ние x^∗(t; 0,ψ) предельного уравнения x(t) = f^∗(t,x_t) обладает свойствами:

{x^∗t|t ∈ R} ⊂ ω⁺(α, ϕ); x^∗t ∈ N_∞(t, c₀, t_n) для всех t ∈ R; для каждого τ ∈ R

существует θ ∈ [τ - r, τ], при котором x^∗θ ∈ M_∞(θ, c₀, t_n) и U^∗(θ, x^∗θ) = 0.

Это утверждение можно рассматривать как обобщение принципа инва-

риантности (теорема 4). Замечательно, что схема доказательства теоремы 7

допускает некоторые вариации требований как к правой части уравнения,

так и к функции Ляпунова (при этом меняются технические детали доказа-

тельств). В результате расширяются возможности применения соответствую-

щего утверждения.

Рассмотрим, например, случай, когда для функции V (t, x) выполнено сле-

дующее дополнительное предположение, аналогичное предположению 2.

Предположение 4. Функция V (t,x) равномерно непрерывна и огра-

ничена на каждом множестве R⁺ ×Gq,Gq = {x ∈ Rⁿ : |x| ≤ q < H}.

В предположении

семейство сдвигов

{V_τ (t, x) = V (τ + t, x), τ ∈ R⁺}

предкомпактно в пространстве F_V = C(R⁺ × G_H , R⁺) с открыто-компактной

топологией.

Для t, c ∈ R и последовательности t_n → +∞ можно тогда определить мно-

жества:

{

}

N (t, c, V^∗) = ϕ ∈ C_H : max

V∗

(t + s, ϕ(s)) = c₀

-r≤s≤0

{

}

M (t, c, V^∗) = ϕ ∈ N(t, c₀, V^∗) : V^∗(t, ϕ(0)) = c0

{

}

L(t, U^∗) = ϕ ∈ C_H : U^∗(t, ϕ) = 0

В данных предположениях доказана, в частности, основная теорема

из [33], которая принимает вид теоремы 8.

Теорема 8. Пусть V (t,x) ∈ C¹(R × G_H,R) - функция, удовлетворяю-

щая условию V^′(t, ϕ) ≤ 0 для t ∈ R⁺ и ϕ ∈ Ω_t(V ). Тогда для любой точ-

ки ϕ ∈ C_H такой, что x(t; α, ϕ) определено и ограничено на [α - r, ∞), су-

ществует c ∈ R такое, что для ψ ∈ ω⁺(x_t(α,ϕ)) справедливо x^∗t(0,ψ) ∈

∈ N(t,c,V ^∗) для всех t ∈ R, где f^∗ и V ^∗ являются предельными к f и V

для некоторой (одной и той же) последовательности t_k → +∞, x^∗(t; 0, ψ) -

решение уравнения x(t) = f^∗(t,x_t).

Замечание 2. В оригинале теорема 8 сформулирована для положитель-

но инвариантного относительно уравнения (1) подмножества D ⊂ C_H . Здесь

формулировка изменена для простоты. Заметим, что во всех приведенных в

обзоре утверждениях шар C_H можно заменить его положительно инвариант-

ным относительно уравнения подмножеством, внеся очевидные изменения в

формулировки.

В то же время из теоремы 7 следует близкий результат, но с уточненной

информацией о структуре положительного предельного множества: помимо

x^∗t ∈ N(t,c₀,V^∗) для всех t, можно утверждать, что для каждого t ∈ R суще-

ствует θ ∈ [t - r, t] такое, что x^∗θ ∈ M(θ, c₀, V^∗) ∩ L(θ, U^∗) (см. [73]). Это по-

следнее свойство осталось без внимания в формулировке теоремы 8, а именно

оно играет важную роль в приложениях.

Если правая часть уравнения (1) и функция V (t, x) являются периоди-

ческими с периодом T > 0, то функции, предельные к f, V и U, имеют вид

f (t + τ, ϕ), V (t + τ, x) и U(t + τ, ϕ), где 0 ≤ τ < T , а решения исходного и пре-

дельного уравнений связаны соотношением x^∗(t; α, ϕ) = x(t+τ; α, ϕ). Поэтому

в периодическом, в частности в автономном, случае теорему 7 можно сфор-

мулировать в терминах только исходного уравнения (сравните с теоремой 4).

Приведенные принципы инвариантности дают возможность получить до-

статочные условия асимптотической устойчивости, предъявляющие менее

жесткие требования к функции Ляпунова. В частности, множество Ω_t(V, η)

удается заменить на Ω_t(V ) (заметим, что упомянутый выше контрпример

из [43] не удовлетворяет предположению 2). Кроме того, накладывая допол-

нительные ограничения на предельные уравнения, условие отрицательной

определенности производной в теоремах об асимптотической устойчивости

(см. теорему 2) можно ослабить, требуя лишь ее неположительность.

Для этого дополнительно введем следующее определение.

Определение 7. Для последовательности t_n → +∞ и соответствую-

щей предельной пары (f^∗, U^∗) определим множество K_∞(t_k, c), состоящее из

решений x^∗(t;0,ψ) уравнения x(t) = f^∗(t,x_t) таких, что x^∗t ∈ N_∞(t,c,t_n) для

всех t ∈ R, и для каждого τ ∈ R существует значение θ ∈ [τ - r, τ], такое

что x^∗θ ∈ M_∞(θ, c, t_n) ∩ L(θ, U^∗).

В предположениях 2 и 3 из теоремы 7 выводятся следующие результа-

ты [10].

Теорема 9. Предположим, что существует функция Ляпунова V =

= V (t,x) такая, что:

1) функция V (t, x) ≥ a₁(|x|) для всех (t, x) ∈ R⁺ × GH1

(0 < H₁ < H,

α₁(u) ∈ K), V^′(t,ϕ) ≤ 0 для каждой функции ϕ ∈ CH1 ∩ Ω_t(V );

2) существует функционал U : R⁺ ×C_H → R⁺, ограниченный и равномер-

но непрерывный на множествах R⁺ × K с компактными K ⊂ C_H и такой,

что производная |V^′(t, ϕ)| ≥ U(t, ϕ) ≥ 0 для всех (t, ϕ) ∈ R⁺ × CH1 ;

3) для каждой последовательности t_n → +∞ и каждого c ≥ 0 множе-

ство K_∞(t_n,c) состоит только из нулевого решения.

Тогда решение x = 0 уравнения (1) асимптотически устойчиво.

Теорема 10. Допустим, что выполнены условия 1 и 2 теоремы 9, а

также условие

3) существует последовательность t_n → +∞, для которой при каждом

c > 0 множество K_∞(t_n,c) пусто.

Тогда решение x = 0 уравнения (1) эквиасимптотически устойчиво. Если

дополнительно выполняется предположение 4 и множество K_∞(t_n,c) пу-

сто для любой последовательности t_n → +∞ и каждого c > 0, то нулевое

решение уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво.

Замечание 3. Заметим, что для асимптотической и эквиасимптотиче-

ской устойчивости не требуется существование бесконечно малого высшего

предела функции V (в теореме 10 оно следует из предположения 4). Кро-

ме того, теорема 10 позволяет определить асимптотическую устойчивость

нулевого решения, когда уравнение (1), а также функция V (t, x) и функ-

ционал U(t, ϕ) удовлетворяют условиям предкомпактности (т.е. предполо-

жениям 2 и 4) лишь на некоторой последовательности отрезков [t_k, t_k + T_k]

(t_k → +∞, T_k

≥ T₀ > r). Вне этих отрезков достаточно, чтобы правая

часть уравнения (1) удовлетворяла только условиям существования реше-

ний. В этом случае предельная тройка (f^∗, V^∗, U^∗) будет задаваться подпо-

следовательностью tkj → +∞ и предельные функции будут определены для

t ∈ [0,T], T ≥ T₀.

Пример 2. Для скалярного уравнения

∫⁰

(3)

x(t) = -x³(t) + f(t) x³

(t + s)ds,

-1

⎧

⎪

sin πt, t ∈ [0, 1];

⎨

где f(t) =

0, t ∈ [22k, 22k+1];

⎪

^⎩ sin(k + 1)πt, t ∈ [22k+1,22k+2], k = 0,1,... ,

функция f(t) не является равномерно непрерывной, однако на последова-

тельности интервалов [t_k, t_k + T_k], где t_k = 22k и T_k = 22k, f(t) удовлетворяет

условиям предкомпактности и f(t_k + t) → f(t) ≡ 0 при k → ∞ равномерно на

каждом отрезке [0, T ]. Уравнение, предельное к (3), имеет вид x(t) = -x³(t),

производная функции V (x) = x²/2 в силу уравнения (3) равна

∫0

V ′(t,x_t) = -x⁴(t) + x(t)f(t) x³(t + s)ds,

-1

и если ϕ ∈ Ω(V ), то V^′(t, ϕ) ≤ 0, а U(t, ϕ) = ϕ⁴(0) при t ∈ [22k, 22k+1]. Таким

образом, выполнены все условия теоремы 10, и нулевое решение уравнения (3)

эквиасимптотически устойчиво.

В статье [33] на основе теоремы 8 доказана теорема об асимптотической

устойчивости, которая в принятых здесь обозначениях имеет вид теоремы 11.

Теорема 11. Пусть дополнительно к предположениям

2-4

функ-

ция V (t, x) удовлетворяет условиям: V (t, x) ≥ a(|x|) для некоторой функ-

ции a(u) ∈ K и всех x ∈ Rⁿ, V (t, 0) → 0 при t → ∞, U(t, ϕ) = V^′(t, ϕ) ≤ 0

для всех (t, ϕ) ∈ R⁺ × Ω_t(V ), и для любой последовательности t_k → +∞

U^∗(t,ψ) < 0, если ψ ∈ ω⁺(x_t(α,ϕ))∩M(t,c,V^∗)\{0} (здесь x(t;α,ϕ) - решение

уравнения (1), ψ = lim

xt+tk (α,ϕ), V^∗(t,x) = lim

V (t + t_k, x) и U^∗(t, ϕ) =

k→∞

= lim

U (t + t_k, ϕ)).

k→∞

Тогда нулевое решение уравнения

(1) эвентуально асимптотически

устойчиво.

Замечание 4. Эвентуальная асимптотическая устойчивость означает,

что начальный момент в определении устойчивости не произволен, а должен

превышать некоторое число α = α(ε). Если условие V (t, 0) → 0 при t → ∞

заменить более традиционным условием V (t, 0) ≡ 0, то условия теоремы 11

обеспечивают обычную асимптотическую устойчивость.

Теорема 11 является следствием теоремы 10, более того, в силу теоремы 10

в условиях теоремы 11 имеет место равномерная асимптотическая устойчи-

вость.

Аналогичные результаты можно доказать для неавтономного уравне-

ния (1), правая часть которого удовлетворяет лишь предположению 1. Этого

предположения достаточно для свойства предкомпактности положительной

орбиты ограниченного решения уравнения (1) [10], существенного для дока-

зательства представленных теорем о локализации положительного предель-

ного множества и об асимптотической устойчивости. Поэтому можно исклю-

чить из соответствующих формулировок предельные уравнения, а предель-

ные множества рассматривать как состоящие из непрерывных отображений

R → C_H, как в следующей теореме.

Теорема 12 ([10], см. также [74]). Предположим, что функционал f

удовлетворяет предположению 1 и выполняются условия 1-3 теоремы 7.

Тогда существует число c₀ ≥ m(H₁), при котором для каждой последо-

вательности t_n → +∞ и соответствующей предельной точки ψ ∈ ω⁺(α, ϕ)

можно определить непрерывное отображение u : R

CH1 и функционал

U^∗ ∈ F_U , такие что {u(t)|t ∈ R} ⊂ ω⁺(α,ϕ) и u(t) ∈ N_∞(t,c₀,t_n) для всех

t ∈ R, кроме того, для каждого τ ∈ R найдется значение θ ∈ [τ - r,τ] та-

кое, что u(θ) ∈ M_∞(θ, c₀, t_n) ∩ L(θ, U^∗).

Заметим, что на основе теоремы 7 и более общей теоремы 12 можно в ряде

случаев сделать выводы об асимптотическом поведении решений уравнения.

Пример 3

[10]. Рассмотрим скалярное уравнение

∫0

(4)

x(t) = a(t)(x(t - h) - x(t)) - x(t)x(t - h) b(t, s)(x(t + s) - x(t))²

ds,

-h

где коэффициенты a(t) и b(t, s) - ограниченные, равномерно непрерывные

по t ∈ R⁺ функции, при этом a(t) ≥ 0 и b(t, s) ≥ b₀ > 0 для всех t ∈ R⁺,

s ∈ [-h,0].

Множество {x : x ≥ 0} инвариантно относительно (4). Для производной

функции V = x² вдоль решения, содержащегося в этом множестве, имеем

оценку

V ′(t,ϕ) ≤ -2b₀hϕ²(0)ϕ(-h) inf (ϕ(s) - ϕ(0))² ≤ 0,

-h≤s≤0

если ϕ²(s) ≤ ϕ²(0) для s ∈ [-h, 0]. Отсюда следует, что рассматриваемое ре-

шение x(t; α₀, ϕ) ограничено для всех t ≥ α₀ - h.

По теореме 12 множество ω⁺(α, ϕ) решения x = x(t; α, ϕ) состоит из непре-

рывных кривых u : R → C_H таких, что ∥u(t)∥ = c₀ для некоторого c₀ ≥ 0 и

для всех t ∈ R, при этом существуют значения θ₀ ∈ [τ - h, τ], для которых

(u(θ))(0) = c₀ ≥ 0,











U^∗(θ,u(θ)) = a^∗(θ)(u(θ))(0)(u(θ))(-h) - (u(θ))(0)+

(5)

∫



(

)



+

u²(θ)

(0)(u(θ))(-h)

b^∗(θ,s)((u(θ))(s) - (u(θ))(0))² ds = 0,

-h

где a^∗(t) и b^∗(t, s) - функции, предельные к a(t) и b(t, s). Функции a^∗(t) и

b^∗(t,s) удовлетворяют тем же условиям, что и a(t) и b(t,s). Отсюда несложно

найти, что равенства (5) возможны, только если u(t) ≡ c₀ = const ≥ 0 для

всех t ∈ R. Следовательно, x(t; α, ϕ) → c₀ при t → +∞.

На основе теоремы 12 получаются также результаты об асимптотической

устойчивости, аналогичные теоремам 9 и 10. При этом в формулировках из-

меняются только требования к предельным множествам уровня. Например,

достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости можно за-

писать в виде следующей теоремы.

Теорема 13

[74]. Предположим, что существует функция Ляпунова

V = V (t,x), удовлетворяющая предположению 4 и такая, что:

1) V (t, x) ≥ a₁(|x|) для всех (t, x) ∈ R⁺ × DH1 (где 0 < H₁ < H), a₁ ∈ K,

V ′(t,ϕ) ≤ 0 для каждой функции ϕ ∈ CH1 ∩ Ω_t(V );

2) существует функционал U : R⁺ ×C_H → R⁺, ограниченный, равномерно

непрерывный на множествах вида R⁺ ×K с компактными K ⊂C_H и такой,

что производная |V^′(t, ϕ)| ≥ U(t, ϕ) ≥ 0 для всех (t, ϕ) ∈ R⁺ × CH1 ;

3) для каждого c₀ > 0 и каждой пары (V^∗, U^∗) не существует непрерыв-

ного отображения u : R → CH1 ∩ N(t,c₀,V^∗), такого что для любого τ ∈ R

найдется θ ∈ [τ - h, τ], при котором u(θ) ∈ M(θ, c₀, V^∗) ∩ L(θ, U^∗).

Тогда нулевое решение уравнения (1) равномерно асимптотически устой-

чиво.

Пример 4. Рассмотрим систему

(6)

x(t) = f(a(t)x(t) - b(t)x(t - r(t))),

где x ∈ Rⁿ с евклидовой нормой |x|, функция f : R^p → Rⁿ непрерывна, ска-

лярное произведение x · f(y) < 0 для любых x, y ∈ Rⁿ, таких что x · y > 0;

|b(t)| ≤ a(t) для t ∈ R, 0 ≤ r(t) ≤ r.

Положим V (x) = |x|²/2. В силу неравенства

|b(t)(ϕ(0) · ϕ(s))| ≤ |b(t)||ϕ(0)| · |ϕ(s)|

производная

V ′(t,ϕ) = ϕ(0) · f(a(t)ϕ(0) - b(t)ϕ(-r(t))) ≤ 0

для |ϕ(s)| ≤ |ϕ(0)|, -r(t) ≤ s ≤ 0, так что решение x = 0 уравнения (6) рав-

номерно устойчиво.

Допустим также, что a(t) ≥ a₀(t), |b(t)| ≤ b₀(t), где a₀(t), b₀(t) — некото-

рые ограниченные равномерно непрерывные функции по t ∈ R⁺ такие, что

существует последовательность отрезков I = {[t_n, t_n + γ], γ > h}, на которых

b₀(t) ≤ a₀(t) - ε. Тогда, используя теорему 13, можно убедиться, что при

tn+1 - t_n ≤ ν = const и ν ≥ γ нулевое решение системы (6) равномерно асимп-

тотически устойчиво.

Дальнейшее развитие теоремы об устойчивости получают на основе ис-

пользования так называемых вырожденных вспомогательных функций. От-

личие их от классических функций Ляпунова заключается в том, что они не

обязательно положительно определены, а лишь неотрицательны (знакопосто-

янны). Такое ослабление требований возможно за счет дополнительных тре-

бований к свойствам решений уравнения на “множестве вырождения” функ-

ции V .

Например, можно использовать следующие определения 8 и 9 из [10].

Определение 8. Решение x = 0 устойчиво относительно предельного

уравнения x(t) = f^∗(t, x_t) и соответствующего множества M_∞(t, 0, t_n), ес-

ли для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что если

ϕ ∈ {∥ϕ∥ < δ} ∩ M_∞(0,0,t_n),

то решение x = x(t;0,ϕ) уравнения x(t) = f^∗(t,x_t) для всех t ≥ -r удовле-

творяет неравенству |x(t; 0, ϕ)| < ε. Решение x = 0 равномерно устойчи-

во относительно предельного семейства {f^∗, M_∞(t, 0, t_n)}, если число δ > 0

можно выбрать одним и тем же для всех предельных уравнений.

Определение 9. Нулевое решение асимптотически устойчиво отно-

сительно (f^∗,M_∞(t,0,t_n)), если оно устойчиво соответственно определе-

нию 8 и при некотором значении Δ > 0 для произвольного ε > 0 найдется

T = T(ε) > 0 такое, что если

ϕ ∈ {∥ϕ∥ < Δ} ∩ M_∞(0,0,t_n),

то решение x = x(t;0,ϕ) уравнения x(t) = f^∗(t,x_t) для всех t ≥ T удовлетво-

ряет неравенству |x(t; 0, ϕ)| < ε. Нулевое решение равномерно асимптоти-

чески устойчиво относительно предельного семейства {f^∗, M_∞(t, 0, t_n)}, ес-

ли числа Δ > 0 и T > 0 можно выбрать не зависящими от выбора предель-

ного функционала f^∗.

На основе введенных определений можно сформулировать утверждения

об устойчивости нулевого решения уравнения (1), использующие знакопосто-

янные функции.

В частности, справедлива следующая теорема.

Теорема 14

[10]. Предположим, что выполняются предположения 2, 3

и существует функция Ляпунова V такая, что:

1) V^′(t, ϕ) ≤ 0 для всех t ∈ R⁺ и ϕ ∈ Ω_t(V );

2) нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво относитель-

но предельного семейства {f^∗,M_∞(t,0,t_n)}.

Тогда нулевое решение уравнения (1) устойчиво. Если при этом V (t, x) ≤

≤ b(|x|), b ∈ K, то нулевое решение уравнения (1) равномерно устойчиво.

Из теоремы 14 непосредственно следует теорема 15.

Теорема 15. В условиях теорем 9 и 10 требование “V (t,x) ≥ a(|x|) для

всех (t, x) ∈ R⁺ × G_H , где a(u) ∈ K” можно заменить следующим: нулевое

решение равномерно асимптотически устойчиво относительно предельного

семейства {f^∗, M_∞(t, 0, t_n)}.

Другие утверждения об асимптотической устойчивости в терминах знако-

постоянных функций, использующие свойства предельных уравнений, пред-

ставлены в [75].

Из приведенных результатов можно получить следствия, в которых не

используются предельные уравнения и множества. Прежде всего это вполне

очевидное утверждение для периодического (в частности, автономного) урав-

нения.

Теорема 16. Предположим, что для некоторого T > 0

f (t, ϕ) ≡ f(t + T, ϕ)

и существует функция Ляпунова V : R⁺ × G_H → R⁺, такая что:

1) V (t + T, x) ≡ V (t, x);

2) V^′(t, ϕ) ≤ 0 для всех t ∈ R⁺ и ϕ ∈ Ω_t(V );

3) решение x = 0 асимптотически устойчиво относительно множества

{ϕ ∈ C_H : V (s, ϕ(s)) ≡ 0, s ∈ [-r, 0]}.

Тогда нулевое решение уравнения (1) равномерно устойчиво. Если при_{}

этом множество ϕ ∈ C_H : max V (t+s,ϕ(s)) = V (t,ϕ(0)) > 0,V^′(t,ϕ) = 0

-r≤s≤0

не содержит решений уравнения (1), то нулевое решение уравнения (1) рав-

номерно асимптотически устойчиво.

Теорема 16 обобщает теорему 5 на случай знакопостоянных V и V^′, а также

развивает упомянутую теорему из [12] для периодических уравнений.

Пусть теперь правая часть уравнения (1) является почти периодической

согласно следующему определению.

Определение 10

[76]. Hепрерывный функционал f : R × C_H → Rⁿ на-

зывается равномерно почти периодическим по t, если для любого ε > 0 и

каждого компакта K ⊂ C_H существует число p = p(ε, K) > 0, такое что

для любого a ∈ R найдется τ ∈ [a, a + p], при котором для всех t ∈ R и всех

ϕ ∈ K выполняется неравенство |f(t + τ,ϕ) - f(t,ϕ)| < ε.

Функционал f(t, ϕ), равномерно почти периодический по t, удовлетворяет

предположению 2, и все предельные к нему функционалы также являются

равномерно почти периодическими [64]. Кроме того, функционал, удовлетво-

ряющий предположению 3 и почти периодический по t для каждой фикси-

рованной функции ϕ ∈ C_H , является равномерно почти периодическим по t

(см. [76, лемма 2]). Далее, для равномерно почти периодического функцио-

нала f(t, ϕ) существует предельный функционал f^∗(t, ϕ) ≡ f(t, ϕ). Таким об-

разом, из теоремы 15 получаем результат для почти периодического случая,

не использующий предельные множества и функции.

Теорема 17

[77]. Предположим, что функционал f(t, ϕ) - равномерно

почти периодический по t и существует функция Ляпунова V : G_H → R та-

кая, что:

1) V^′(t, ϕ) ≤ 0 для всех (t, ϕ): t ∈ R⁺, ϕ ∈ Ω(V );

2) нулевое решение уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво

относительно множества {ϕ ∈ C_H : V (ϕ(s)) ≡ 0, s ∈ [-r,0]};

{

}

3) множество N = ϕ ∈ C_H : max V (ϕ(s)) = V (ϕ(0)) > 0, V^′(t, ϕ) = 0

-r≤s≤0

не содержит решений уравнения (1).

Тогда нулевое решение уравнения (1) эквиасимптотически устойчиво.

В случае неавтономного уравнения во многих случаях при проверке усло-

вий относительно предельных множеств нет необходимости учитывать за-

висимость этих множеств от t и от последовательности t_n → +∞ и можно

использовать упрощенные формулировки достаточных условий асимптоти-

ческой устойчивости. Введем определение 11.

Определение 11

[78]. Нулевое решение уравнения (1) называется рав-

номерно притягивающим относительно множества Λ⊂C_H , если существу-

ет Δ > 0 и для любого ε > 0 существует T = T(ε) > 0 такое, что для любой

начальной точки (α, ϕ) ∈ R⁺ × [C_Δ ∩ Λ] для решения x(t; α, ϕ) уравнения (1)

справедливо неравенство |x(t;α,ϕ)| < ε, как только t > α + T.

Нулевое решение уравнения (1) называется (равномерно) асимптотиче-

ски устойчивым относительно множества Λ⊂C_H, если условия (равномер-

ной) асимптотической устойчивости (определения 1-3) выполняются для

ϕ ∈ Λ.

Если теперь для каждого действительного {исла c и непрерывной функции

V (t, x) определить множество V -1max(∞, c) = ϕ ∈ C_H | ∃ ϕ_n → ϕ, t_n → +∞ :

}

lim

max

V (t_n + s, ϕ_n(s)) = lim

V (t_n, ϕ_n(0)) = c

, то можно предложить

n→∞

-r≤s≤0

n→∞

следующие результаты, использующие знакопостоянную функцию Ляпуно-

ва [77].

Теорема 18. Пусть правая часть уравнения (1) удовлетворяет предпо-

ложению 1 и локальному условию Липшица. Предположим, что существу-

ет функция Ляпунова V : R⁺ × G_H → R⁺ такая, что:

1) V^′(t, ϕ) ≤ 0 для всех t ∈ R⁺ и ϕ ∈ Ω_t(V );

2) нулевое решение является равномерно притягивающим относительно

множества V-1max(∞,0).

Тогда нулевое решение уравнения (1) устойчиво. Если дополнительно

V (t, x) ≤ b(|x|) для некоторой функции b ∈ K, то нулевое решение уравне-

ния (1) равномерно устойчиво.

Теорема 19. Предположим, что существует непрерывно дифференци-

руемая функция V : R⁺ × G_H → R⁺ такая, что:

1) выполняются условия теоремы 18 и V (t, x) ≤ b(|x|) для некоторой

функции b ∈ K;

2) |V^′(t, ϕ)| ≥ U(t, ϕ) ≥ 0 для всех (t, ϕ) ∈ R⁺ × C_H , где U(t, ϕ) - функцио-

нал, равномерно непрерывный на каждом множестве R⁺ × K, K ⊂ C_H -

компакт;

{

3) пересечение множеств U-1(∞, 0) = ϕ ∈ C_H | ∃ϕ_n → ϕ, t_n → +∞ :

}

lim

U (t_n, ϕ_n) = 0 и V-1max(∞, c) пусто при c > 0.

n→∞

Тогда нулевое решение уравнения (1) равномерно асимптотически устой-

чиво.

На основании последних утверждений можно обосновать эффективные

признаки устойчивости и алгоритмы построения стабилизирующих управ-

лений для систем специальной структуры, например каскадных и цепных

[79-81].

Замечание 5. Из всех приведенных результатов о, например, равномер-

ной асимптотической устойчивости теоремы 13 и 19 сформулированы для

наиболее общего класса неавтономных уравнений. Как соотносятся эти утвер-

ждения с другими приведенными результатами при выполнении соответст-

вующих дополнительных условий?

Известно, что если нулевое решение уравнения равномерно асимптотиче-

ски устойчиво, то это же справедливо и для каждого предельного уравнения

(см., например, [10]). Поэтому нетрудно видеть, что в случае предкомпактно-

сти правой части уравнения (1) утверждение теоремы 19 является следствием

теоремы 15, а в случае автономной или периодической правой части совпа-

дает с теоремой 16. Из теоремы 19 следует, что если в условии 3 теоремы 17

равенство V^′(t, ϕ) = 0 заменить соотношением ϕ ∈ U-1(∞, 0), то получим до-

статочные условия равномерной асимптотической устойчивости нулевого ре-

шения уравнения (1) с равномерно почти периодической по t правой частью

(заметим, что в отличие от автономного и периодического случаев асимп-

тотическая устойчивость для такого уравнения не обязана быть равномер-

ной). Наконец, теорема 19 развивает и уточняет результат об асимптотиче-

ской устойчивости из [63].

Отметим, что теоремы, использующие предельные уравнения, дают более

гибкие достаточные условия и могут оказаться более удобными в применении.

Следующий пример иллюстрирует такую ситуацию.

Пример 5. Рассмотрим систему

⎧

⎨x1(t) = a(t)(x1(t) - 3x22(t)) + f1(t,xt)x22(t),

(7)

x₂(t) = a(t)(x₁(t)x₂(t) + x³²(t)) - f₁(t,x_t)x₁(t)x₂(t),

⎩

x₃(t) = f₂(t,x_t) + f₃(t,x_t) - b(t)x³³(t),

где x = (x₁, x₂, x₃), a₀ ≤ a(t) ≤ a₁ < 0, 0 < b₀ ≤ b(t) ≤ b₁ - равномерно непре-

рывны, функционалы f_i(t, ϕ), i = 1, 2, 3, удовлетворяют предположениям 2, 3,

f₂(t,ϕ) → 0 при t → +∞ равномерно на каждом компакте, f₃(t,ϕ) = 0 при

ϕ = (0,0,ϕ₃). В качестве функции Ляпунова возьмем знакопостоянную функ-

цию V (x) =x1+x22.Еепроизводнаявсилусистемы(7)равнаV′(t,ϕ)=

= a(t)(ϕ₁(0) - ϕ²²(0))² и тоже является знакопостоянной. Предельные систе-

мы имеют вид:

⎧

⎨x1(t) = a∗(t)(x1(t) - 3x22(t)) + f∗1(t,xt)x22(t),

(8)

x₂(t) = a^∗(t)(x₁(t)x₂(t) + x³²(t)) - f∗1(t,x_t)x²²(t),

⎩

x₃(t) = f∗3(t,x_t) - b^∗(t)x³³(t),

где a^∗(t) = lim

a(t + t_k), b^∗(t) = lim

b(t + t_k), f^∗i(t, ϕ) = lim

f_i(t+t_k,ϕ),

tk→+∞

tk →+∞

tk→+∞

i = 1,3. Множество L(t,U^∗) есть {ϕ : ϕ₁(0) = ϕ²²(0)}. Подставляя x₁(t) = x²²(t)

в систему (8), получаем

x₂(t) = -x₂(t) x₁(t). С другой стороны,

x₁(t) =

= 2x₂(t) x₂(t). Поэтому x2(t) = x1(t) = 0. Тогда для x1(t) = x22(t) из перво-

го уравнения (8) получаем x²²(t) = 0 = x₁(t). Поэтому пересечение множеств

M (V^∗, c) и L(t, U^∗) при c > 0 не содержит решений предельной системы (8)

для любой последовательности t_k → +∞, определяющей предельные функ-

ционалы. На множестве N = {ϕ₁ = ϕ₂ ≡ 0} система (8) принимает вид

{

x₁(t) = x₂(t) = 0,

x₃(t) = -b^∗(t)x³³(t).

Отсюда следует справедливость условия 2 теоремы 15.

Таким образом, выполнены все условия теоремы 15 и, значит, нулевое

решение системы (7) равномерно асимптотически устойчиво. Заметим, что

условие 3 теоремы 19 в данном случае не выполняется, кроме того, без до-

полнительных предположений относительно функционала f₂(t, ϕ) не очевид-

но равномерное притяжение точкой x = 0 решений системы (7) относительно

множества V-1max(∞, 0).

Отметим, что использование метода предельных уравнений возможно не

только в случае, когда правая часть удовлетворяет предположениям 2, 3.

В частности, используемые при обосновании утверждений об устойчивости

свойства решений исходного и предельного уравнений сохраняются при усло-

вии, что правая часть уравнения (1) удовлетворяет более общим условиям

типа Каратеодори [81]. В этих условиях допускается, в частности, отсутствие

непрерывности правой части по t; при анализе управляемых систем это поз-

воляет, например, рассматривать модели импульсных и цифровых регулято-

ров [82].

2.4. Задача о неустойчивости

Как известно, теоремы прямого метода позволяют получить достаточные

условия не только устойчивости, но и неустойчивости нулевого решения диф-

ференциального уравнения. Первые результаты о неустойчивости для уравне-

ний с запаздыванием, использующие функционалы Ляпунова-Красовского,

были опубликованы в [17, 18]. Аналогичные утверждения в терминах функ-

ций Ляпунова-Разумихина появились позднее [36, 83, 84]. В статье J. Kato [36]

неустойчивость в смысле неограниченного возрастания доказана при условии

положительной определенности производной функции V на некотором ин-

вариантном относительно уравнения множестве, зависящем от t, замыкание

которого включает нулевую функцию (в предположении, что сама функция

принимает положительные значения в любой окрестности нуля). В частности,

в качестве такого множества можно взять Ω_t(V, η). В статьях А.В. Прасоло-

ва [83, 84] в качестве определения неустойчивости было принято свойство,

противоположное равномерной устойчивости, а доказанные теоремы были

вполне аналогичны первой и второй теоремам Ляпунова о неустойчивости.

Например, в [83, теорема 1] показано, что для неустойчивости нулевого ре-

шения достаточно существования функции Ляпунова, принимающей поло-

жительные значения в любой сколь угодно малой окрестности нуля, допус-

кающей бесконечно малый высший предел и имеющей положительную на

множестве Ω_t(V ) производную. Отметим, что в теореме, аналогичной второй

теореме Ляпунова об устойчивости, обоснована не только достаточность, но

и необходимость условий, т.е. доказана еще одна “обратная теорема” прямого

метода.

В предположении 1 справедливы также следующие теоремы 20 и 21 из [10].

Теорема 20. Предположим, что:

1) существует функция V ∈ C¹(R × G_H , R), V (t, 0) = 0, принимающая

при t ∈ [α - h,α], α ∈ R⁺, в любой достаточно малой окрестности точки

x = 0 отрицательные значения, ограниченная снизу для (t,x) ∈ R⁺ × GH1;

2) V^′(t, ϕ) ≤ -a(|ϕ(0)|) для некоторой функции a ∈ K и всех t ∈ R⁺ и

ϕ ∈ Ω_t(V,η) таких, что V (t,ϕ(0)) < 0.

Тогда нулевое решение уравнения (1) неустойчиво.

Теорема 21. Допустим, что для некоторого H₁ ∈ (0,H) существует

функция V ∈ C¹(R × G_H , R), V (t, 0) = 0, такая, что:

1) V (t, x) ограничена снизу в области R⁺ ×GH1 , V (t, x) ≥ ν₁ = ν₁(H₁) для

всех (t, x) ∈ R⁺ ×GH1 , и принимает при t = α₀ ≥ 0 в любой достаточно ма-

лой окрестности точки x = 0 отрицательные значения;

2) производная V^′(t, ϕ) ≤ m < 0 на множестве {(t, ϕ) ∈ R⁺ × C_H : 0 ≥

≥ V (t + s,ϕ(s)) ≥ V (t,ϕ(0))}.

Тогда решение x = 0 уравнения (1) неустойчиво.

Условие 2 в теореме 21 здесь понимается в смысле следующего определе-

ния.

Определение 12. Будем говорить, что для функции V ∈C(R⁺×C_H,R)

производная V^′(t,ϕ) ≤ m < 0 на множестве M ⊂ C_H, если для любого ком-

пакта K ⊂ C_H , t ∈ R⁺ и c < 0 существует число m = m(c) < 0 такое, что

V ′(t,ϕ) ≤ m для всех ϕ ∈ M ∩ K.

Замечание 6

[10]. Условие 2 теоремы 21 выполняется, если V (t, x) ≤

≤a₁(|x|) и V^′(t,ϕ)≤-a₂(|ϕ(0)|) для всех {(t,ϕ)∈R⁺ ×C_H :0≥V (t+s,ϕ(s))≥

≥ V (t,ϕ(0))}.

Теоремы 20 и 21 дополняют результаты [36, 83, 84].

Дальнейшее развитие результатов о неустойчивости в направлении ослаб-

ления условий на производную возможно на основе дополнительных условий

относительно предельных множеств, аналогичных тем, которые использова-

лись в теоремах об асимптотической устойчивости подраздела 2.3 [10, 73].

Следует отметить, что исследования условий неустойчивости оказались

гораздо менее активными, чем изучение достаточных условий устойчивости.

Возможно, это связано с тем, что, как отмечено в [5], “решение, неустойчивое

по отношению к произвольным возмущениям начальных условий, может ока-

заться устойчивым по отношению к реально существующим возмущениям.

Значит, критерии неустойчивости имеют относительно меньшую ценность”.

Действительно, неустойчивость есть свойство, противоположное устойчи-

вости, и означает, что в любой малой окрестности рассматриваемого решения

существует по крайней мере одна точка, начинаясь в которой, решение поки-

нет заданную окрестность. Но теорема о неустойчивости не дает возможности

установить, что это за точка и попадет ли она в множество реально допусти-

мых возмущений. Однако, используя функции Ляпунова, можно сформули-

ровать достаточные условия неустойчивости в более удобном для приложений

виде. Например, в [85] сформулированы теоремы о неустойчивости по отно-

шению к некоторому множеству согласно следующему определению (правая

часть уравнения (1) предполагается автономной или периодической по вре-

мени).

Определение 13. Пусть D ⊂ C, 0 ∈D. Нулевое решение называется

вполне неустойчивым относительно множества D, если существует ε > 0

такое, что для любых δ ∈ (0, ε) и ϕ ∈ C_δ ∩ D существует α₀ ≥ 0, решение

x(t; α₀, ϕ) уравнения (1) и некоторое t^∗ > α₀ такое, что |x(t^∗; α₀, ϕ)| ≥ ε.

Кандидатами на роль такого множества D оказываются следующие:

{

}

P_M (V ) = ϕ ∈ C : V (ϕ(0)) = max V (ϕ(s)) > 0

-r≤s≤0

{

}

P_m(V ) = ϕ ∈ C : V (ϕ(0)) = min V (ϕ(s)) > 0

-r≤s≤0

Эта идея возникает на базе [28], где доказана теорема для автономных

уравнений, в которой функция V = V (x) предполагается положительно опре-

деленной, а для ее производной предлагается альтернатива: V^′(ϕ) > 0 либо

для всех ϕ ∈ P_M (V ), либо для всех ϕ ∈ P_m(V ).

Следуя определению 13, авторы [85] получают теорему о неустойчиво-

сти относительно множеств P_M (V ) и P_m(V ) (определяемых вспомогательной

функцией V , удовлетворяющей условиям теоремы о неустойчивости) для ав-

тономных уравнений, а также теорему о неустойчивости относительно множе-

ства P_M (V ) для периодических по t уравнений (функция V предполагается не

зависящей от времени). Результат с множеством P_m(V ) для периодического

случая предлагался в [85] в качестве открытой проблемы и был доказан в [86]

в качестве следствия из более общего утверждения для неавтономных урав-

нений, удовлетворяющих условиям предкомпактности. При этом функция V

может зависеть от t и определение неустойчивости относительно множества

подвергается изменению согласно определению 14.

Определение 14. Пусть D(t) ⊂ C, 0 ∈D(t). Нулевое решение называ-

ется вполне неустойчивым относительно множества D(t), если существу-

ет ε > 0 такое, что для любых δ ∈ (0,ε), α ∈ R⁺ и ϕ ∈ C_δ ∩ D(α) решение

x(t; t₀, ϕ) уравнения (1) удовлетворяет неравенству |x(t^∗; α, ϕ)| ≥ ε для неко-

торого t^∗ > α.

Заметим, что для автономного и периодического уравнения D(t) = D с

множеством D из определения 13, с той разницей, что в определении 14 на-

чальный момент α может быть произвольным.

Соответствующим изменениям подвергаются и множества, определяемые

зависящей от времени функцией V , см. определение 15.

Определение 15. Для функции V ∈ C(R×C_H,R), чисел t ∈ R⁺ и c ∈ R

определим множества:

{

}

P_M (V,t,c) = ϕ ∈ C_H : V (t,ϕ(0)) = max V (t + s,ϕ(s)) = c

-r≤s≤0

{

}

P_m(V,t,c) = ϕ ∈ C_H : V (t,ϕ(0)) = min V (ϕ(s)) = c

-r≤s≤0

На основе определений 14, 15 в [86] доказаны достаточные условия пол-

ной неустойчивости относительно множеств P_m(V, t, c) и P_M (V, t, c) (отсюда

следует, в частности, решение проблемы, предложенной в [85]). Характерная

особенность этих множеств заключается в том, что оба они (каждое в усло-

виях “своей” теоремы) содержат в своем замыкании начало координат, явля-

ются положительно инвариантными относительно уравнения (1) и такими,

что некоторая функция V не ограничена на содержащихся в них решениях

уравнения. Дополнительное условие ограниченности функции V на ограни-

ченных решениях, очевидно, влечет тогда неустойчивость нулевого решения.

Таким образом, построение подмножества, обладающего тремя перечислен-

ными свойствами, достаточно для доказательства полной неустойчивости ну-

левого решения относительно этого подмножества (см. также [36, теорема 7]).

Это подмножество может, в частности, совпадать со всем пространством C -

тогда речь идет о полной неустойчивости нулевого решения.

Пример 6. Если в примере 5 изменена оценка для a(t): 0 < a₀ ≤ a(t) ≤

≤ a₁, то, используя функцию V (x) = -1/2(x²¹ + x²²), нетрудно убедиться, что

выполнены все достаточные условия неустойчивости нулевого решения. При

этом производная функции Ляпунова положительна на C \ {0}, следователь-

но, нулевое решение системы (7) вполне неустойчиво.

2.5. Принцип сравнения и условие Разумихина

Значительное количество модификаций классических теорем с услови-

ем Разумихина основано на идеях, в той или иной форме представляющих

так называемый принцип сравнения. Утверждения, связывающие уравне-

ния сравнения и условие Разумихина, впервые, по-видимому, формулируются

в [20, 87] в виде следующей леммы.

Лемма 1. Предположим, что для функции V ∈ C¹(R × Rⁿ,R⁺) суще-

ствует функция W (t, r) ∈ C(R⁺ × R⁺, R⁺) такая, что производная функ-

ции V в силу уравнения (1) удовлетворяет для t ∈ R⁺ и ϕ ∈ Ω_t(V ) оценке

V ′(t,ϕ) ≤ W(t,V (t,ϕ(0))). Тогда если V (α,ϕ₀(0)) ≤ r₀, то V (t,x(t;α,ϕ₀)) ≤

≤ r(t) для t ≥ α, где r(t) - максимальное решение задачи

(9)

r(t) = W (t, r(t)), r(α) = r₀.

Из леммы 1 легко получить достаточные условия различных видов устой-

чивости и других свойств решений уравнения (1): для этого достаточно уста-

новить соответствующие свойства решений уравнения сравнения (9).

В [36] на основе теоремы сравнения обоснованы достаточные условия

асимптотической и равномерной асимптотической устойчивости нулевого ре-

шения, которые уже обсуждались в подразделе 2.2.

В более общей форме теоремы сравнения представлены в обзоре [88]. В це-

лях единства изложения приведем соответствующий результат для случая

непрерывно дифференцируемой функции V , см. теорему 22.

Теорема 22. Пусть g₀,g ∈ C(R⁺ × R⁺,R), g₀(t,u) ≤ g(t,u) в области

определения и v(t,t⁰,u₀) — левое максимальное решение задачи Коши u =

= g₀(t,u), u(t⁰) = u₀, существующее на отрезке [t₀,t⁰]. Предположим, что

существует функция V (t, x) такая, что для некоторых функций a(u), b(u) ∈

∈ K (η(u) > u при u > 0) и всех t ∈ R⁺ выполняются условия:

1) a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|) для x ∈ Rⁿ,

2) V^′(t, ϕ) ≤ g(t, V (t, ϕ(0))) на множестве Ω = {(t, ϕ) : V (t + s, ϕ(s)) ≤

≤ v(t + s,t,V (t,ϕ(0))), s ∈ [-r,0]}.

Тогда из свойств устойчивости нулевого решения уравнения u = g(t, u)

с начальным условием u(t⁰) = u₀ ≥ 0 следуют соответствующие свойства

устойчивости нулевого решения уравнения (1).

Авторами отмечены следующие важные частные случаи теоремы 22:

g₀ = g ≡ 0 (в этом случае получается теорема 1), g₀(u) = g(u) = -c(u), где

c(u) ∈ K (в этом случае можно показать, что выполняются условия тео-

ремы 2), и g₀(u) = g(u) = -cu с постоянной c > 0 (в этом случае Ω =Ω =

= {(t, ϕ) : V (t + s, ϕ(s)) ≤ V (t, ϕ(0))e^-cs, s ∈ [-r, 0]} и из теоремы 22 полу-

чаются условия экспоненциальной устойчивости).

Последний случай представляет отдельный интерес, поскольку позволяет

извлечь более конкретную информацию о поведении решений, чем просто

утверждение об устойчивости.

В зависимости от специфики рассматриваемой задачи предлагались раз-

ные модификации требований к монотонности вспомогательной функции, и

упомянутые результаты получили некоторые уточнения и обобщения. На-

пример, в [89] экспоненциальная устойчивость положения равновесия дока-

зана при условии, что V^′(t, x_t) ≤ -cV (t, x(t)) для всех (t, x(t)), удовлетво-

ряющих V (t, x(t)) = max

V (t₀ + s, x(t₀ + s))e-c(t-t0) (заметим, что в этом

-r≤s≤0

случае сегмент x_t попадает в множествоΩ; здесь x(t) = x(t; t₀, ϕ₀) - реше-

ние уравнения (1)). В [90] в качестве оценки для функции Ляпунова фи-

гурирует функция H(t, t₀), t ≥ t₀, причем условие на производную имеет

вид^∂H∂t (t, t₀) - V^′(t, ϕ) > 0 и проверяется для таких только функций ϕ, что

V (t, ϕ(0)) = H(t, t₀) и V (s, ϕ(s)) < H(s, t₀) при s < t. Легко видеть, что по-

лученное утверждение следует из теоремы 22. Распространение идей [36] на

случай неограниченного запаздывания было проведено, например, в [91].

Задача обобщения теорем сравнения на случай системы дифференциаль-

ных неравенств, допускающих при этом разрывные функции и системы срав-

нения, рассмотрена в [92]. При этом ставится более общая по сравнению с

исследованием устойчивости цель сведения задачи изучения поведения ре-

шений уравнений с запаздыванием к анализу решений ОДУ. Полученные ре-

зультаты оказываются в общем случае неприменимыми в случае, когда раз-

мерность системы сравнения больше двух, даже если эта система линейная

и стационарная.

В то же время в [93] обоснована возможность применения вектор-функции

Ляпунова вида V (x) = (V₁(x₁), . . . , V_m(x_m)) c квадратичными компонентами

для анализа автономной системы вида

x_i(t) = F_i(x_i(t),x_i(t - τ(t))) + G_i(t, x_i(t), x_i(t - τ(t))),

∑

где i = 1, . . . , m, x_i(t) ∈ Rni ,

n_i = n, x_i(s) = (x₁(s),... ,xi-1(s),xi+1(s),...

i=1

...,x_m(s)). При этом предполагается, что каждая скалярная функция V_i(x_i)

является “классической” функцией Ляпунова-Разумихина для i-й изоли-

рованной подсистемы, а в качестве достаточных условий асимптотической

устойчивости для производной функции V предлагается дифференциальное

неравенство вида V^′ ≤ AV с гурвицевой матрицей A, внедиагональные эле-

менты которой неотрицательны. Это неравенство должно выполняться лишь

при условии

∑

V_i(x_i(t + s)) ≤

V_i(x_i(t))

i=1

для s ∈ [-r, 0].

Несколько иные результаты возникают, если оценивать производную

функции Ляпунова как функционал. В этом случае выбор класса функций

для оценки может оказаться излишним. Например, в [88] представлен следую-

щий общий результат такого рода (сформулируем его для случая непрерывно

дифференцируемой функции V , см. теорему 23).

Теорема 23. Пусть g ∈ C(R⁺ × R⁺ × C⁺,R), g(t,u,ψ) не убывает по

ψ ∈ C⁺ = {ψ ∈ C : ψ(s) ≥ 0}, g(t,0,0) = 0 в области определения. Предполо-

жим, что существует функция V (t, x) такая, что для некоторых функций

a(u), b(u) ∈ K (η(u) > u при u > 0) и всех t ∈ R⁺ выполняются условия:

1) a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|) для x ∈ Rⁿ,

2) V^′(t, ϕ) ≤ g(t, V (t, ϕ(0)), V (t + s, ϕ(s))).

Тогда из свойств устойчивости нулевого решения скалярного дифферен-

циального уравнения с запаздыванием u = g(t, u, u_t) с начальным условием

ut0 = u₀ ∈ C⁺ следуют соответствующие свойства устойчивости нулево-

го решения уравнения (1).

Можно заметить, что при проверке условий теорем 22, 23 появляется до-

полнительная задача установления свойств решений (в частности, свойств

устойчивости) уравнения сравнения. Более удобной с этой точки зрения яв-

ляется возможность сведéния задачи к изучению поведения решений ОДУ,

что значительно проще.

На основе совместного использования принципа сравнения и метода пре-

дельных уравнений удается за счет дополнительных требований к предель-

ным множествам уровня обосновать асимптотическую устойчивость для

уравнения (1) при условии простой устойчивости для уравнения сравне-

ния [94].

Ясно, что при обосновании устойчивости нетривиальными являются слу-

чаи, когда правая часть уравнения сравнения может быть положительной

при положительных значениях состояния. При этом необходимо обеспечить

(асимптотическую) устойчивость нулевого решения этого уравнения.

Одна из главных идей, позволяющих совместить эти требования, заключа-

ется в использовании интегральных ограничений на параметры исследуемой

системы (в том числе на запаздывание). В итоге оказывается, что нулевое ре-

шение системы с запаздыванием может быть асимптотически устойчивым и

в том случае, когда на некоторых (коротких) промежутках времени система

описывается уравнением с неустойчивым нулевым решением, следовательно,

“классическая” функция для такой системы существовать не может.

Для примера рассмотрим одну из недавних публикаций [52]: достаточные

условия равномерной устойчивости здесь обоснованы для случая

(10)

V′

(t, ϕ) ≤ ψ(t)V (t, ϕ(0))

(на множестве Ω_t(V )) при условии, что

∞

∫

(11)

max{ψ(s), 0}ds < ∞,

а для равномерной асимптотической устойчивости от функции ψ(t) дополни-

тельно требуется, чтобы при достаточно больших значениях t была справед-

∫t

лива также оценка

max{-ψ(s), 0}ds ≥ ε(t - t₀) для некоторого ε > 0.

t₀

В [95] для доказательства асимптотической устойчивости также исполь-

зуется оценка вида (10) на множестве Ω_t(V, η), но при этом функции ψ и η

связаны определенным соотношением, а к функции ψ предъявляются другие

требования; в частности, условие (11) может не выполняться.

В [96] предлагается следующее обобщение условий на производную функ-

ции V (t, x):

(12)

V (t, x(t)) ≤ a(t)V (t, x(t)) + b(t) sup

V (t + s, x(t + s)).

-r≤s≤0

При этом производная оценивается для произвольных функций из простран-

ства C. Достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости

для уравнения (1) при такой оценке формулируются в виде ограничений

на функции a(t) и b(t): a(t) : R⁺ → R, b(t) : R⁺ → R⁺; для функции k(t) =

∫t

(ε(s) + a(s) + b(s))ds выполняется неравенство |k(t)| ≤ β для всех t ∈ R⁺

и некоторого β > 0; для функции l(t) = sup (k(s) - k(t)) выполняется нера-

s∈[t-r,t]

[

]

венство sup

(el(t) - 1)b(t) - ε(t)

≤ -α для некоторого α > 0.

t∈R⁺

Заметим, что если сумма a(t) + b(t) неположительна для всех t ∈ R⁺, при

этом функция b(t) ограничена, то из условия (12) следует стандартное усло-

вие Разумихина. Более того, в случае a(t) ≡ a < 0, b(t) ≡ b ≥ 0, b < |a| из усло-

вия (12) следует экспоненциальная оценка

V (t, x(t)) ≤ max

V (t₀ + s, x(t₀ + s))eλ(t-t0),

-r≤s≤0

где λ - единственный положительный корень уравнения λ = |a| - be^λr [14].

Для периодической системы все приведенные условия выполняются для до-

статочно малых значений запаздывания, если среднее по периоду значение

∫_T

суммы a(t) + b(t) отрицательно:

(a(s) + b(s))ds < 0.

В последних двух результатах усматривается явная аналогия с теорема-

ми 22 и 23. Частный вид предлагаемых уравнений сравнения позволяет полу-

чить более конкретные требования, обеспечивающие необходимые свойства

решений этих уравнений и в то же время не приводящее к “тривиальным”

условиям устойчивости для исследуемого уравнения, вытекающим из клас-

сических теорем.

В качестве простой иллюстрации этих требований рассмотрим уравнение

x(t) = -x(t) + b(t)x(t - r(t)), где r(t) ∈ [0, r] для некоторого r > 0. Исполь-

зование условия Разумихина (как в классическом варианте, так и в более

общем) приводит для этого уравнения к оценке |b(t)| < 1, достаточной для

асимптотической устойчивости нулевого решения. При отсутствии ограниче-

ний на величину запаздывания эта оценка является в определенном смысле

точной: а именно для любого b(t) = b ≥ 1 существует r > 0, при котором ну-

левое решение уравнения не является асимптотически устойчивым.

Рассмотрим{ однако, случай кусочно-постоянного периодического коэффи-

0, t ∈ [0, c),

циента: b(t) =

где c ∈ (0, 1), d > 0.

delta, t ∈ [c, 1),

Тогда в соответствии с неравенством |b(t)| < 1 получаем ограничение d < 1.

C использованием же результата из [96] можно доказать равномерную асимп-

тотическую устойчивость нулевого решения уравнения при условиях

1 - d(1 - c) > 0 и r < -ln(d(1 - c)).

Это означает, что число d может быть достаточно большим при условии, что

c и r достаточно малы.

С применением результатов [95] условия асимптотической устойчивости

получаются в виде (1 - c)d < f₁(r) и (1 - c)d² < f₂(r), где правые части стре-

мятся к нулю при r → +∞ и к единице при r → 0. Таким образом, при малых

запаздываниях результат опять же оказывается лучше, чем полученный на

основе классического условия Разумихина.

3. Уравнения с бесконечным запаздыванием

Вслед за развитием подходов прямого метода Ляпунова, возникающих для

уравнений с конечным запаздыванием, возникали (часто параллельно и неза-

висимо) обобщения этих подходов на случай, когда величина запаздывания не

ограничена; аналогии здесь просматриваются довольно явно. Поэтому глав-

ная цель раздела - не столько изложить собственно результаты об устойчи-

вости, сколько обозначить суть основных проблем, возникающих при отка-

зе от ограниченности запаздывания. Таких проблем оказалось две: опреде-

ление подходящего фазового пространства уравнения и определение подхо-

дящего обобщения условия Разумихина. Конструктивным решением первой

проблемы оказалось использование так называемых пространств с исчезаю-

щей памятью, идея которых была заимствована из термодинамики и механи-

ки сплошной среды. Этот вопрос заслуживает отдельного обсуждения и ему

посвящен подраздел 3.1.

3.1. Допустимые пространства.

Исчезающая и равномерно исчезающая память

Пусть B — действительное векторное пространство либо i) непрерывных

функций, отображающих R^- = (-∞, 0] в Rⁿ, и ϕ = ψ в B, если ϕ(s) = ψ(s)

для всех s ∈ R^-, либо ii) измеримых функций, отображающих R^- в Rⁿ, и

ϕ = ψ в B, если ϕ(s) = ψ(s) для почти всех s ∈ R^- и ϕ(0) = ψ(0), и в про-

странстве B определена норма | · |_B такая, что (B, | · |_B) является сепарабель-

ным банаховым пространством.

Для функции x ∈ C((-∞, A), Rⁿ), -∞ < A ≤ +∞, определим функцию

x_t : R^- → Rⁿ по формуле x_t(s) = x(t + s), s ∈ R^- для каждого t < A.

Для произвольного a > 0 определим множества B_a = {ϕ ∈ B | |ϕ|_B < a} и

B_a = {ϕ ∈ B ||ϕ|_B ≤ a}.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение с бесконечным

запаздыванием

(13)

x(t) = f(t, x_t

где f ∈ C(R⁺ × B_H , Rⁿ) для некоторого 0 < H ≤ ∞.

Далее будут использоваться следующие предположения для функциона-

ла f, аналогичные введенным в разделе 2 для случая конечного запаздыва-

ния.

Предположение 5. Для любого h ∈ (0,H) существует m = m(h) такое,

что |f(t, ϕ)| ≤ m(h) для всех (t, ϕ) ∈ R⁺ ×Bh.

Предположение 6. Для каждого числа q ∈ (0,H) существует неубы-

вающая функция μ_q ∈ C(R⁺, R⁺), μ_q(0) = 0, такая, что для любой функции

u ∈ C([a,b], Bq) и любых t₁,t₂ ∈ [a,b] выполняется неравенство



∫

t₂



f (τ, u(τ))dτ≤μq(|t2 - t1|).



t₁

Предположение 7. Функционал f(t,ϕ) ограничен и равномерно

непрерывен на каждом множестве R⁺ × K, где K ⊂ B_H — компакт, т.е.

для любого компакта K ⊂ B_H существует число M = M(K) > 0, и для про-

извольного малого ε > 0 найдется δ = δ(ε, K) > 0 такие, что для любых

(t₁, ϕ₁), (t₂, ϕ₂) ∈ R⁺ × K при условиях |t₁ - t₂| < δ, |ϕ₁ - ϕ₂|_B < δ выполня-

ются неравенства:

|f(t, ϕ)| ≤ M,

|f(t₁, ϕ₁) - f(t₂, ϕ₂)| < ε.

Для удобства последующих формулировок сформулируем также предпо-

ложения относительно фундаментальных свойств уравнения (13).

Предположение 8. Для каждой начальной точки (α₀,ϕ₀) ∈ R⁺ × B_H

существует непродолжаемое решение x(t; α₀, ϕ₀) уравнения (13), определен-

ное для t ∈ [α₀, β) для некоторого β > α₀, т.е. непрерывное и удовлетворяю-

щее уравнению (13) на [α₀, β), и такое, что xα0 = ϕ₀, и для любого ε ∈ (0, H)

и x(t) - непродолжаемого решения (13) на [α₀,β) такого, что xα0 ∈ B_ε и либо

β = +∞, либо |xt1|_B = ε для некоторого t₁ ∈ (α₀,β). Кроме того, если выпол-

няется условие Липшица, а именно для любых t ∈ R⁺, ϕ, ψ ∈ B_a и a ∈ (0, H)

справедлива оценка

(14)

|f(t, ϕ₂) - f(t, ϕ₁)| ≤ l(a)|ϕ₂ - ϕ₁|_B

для некоторого l(a) > 0, то такое решение единственно и имеет место непре-

рывная зависимость решения от начальной точки.

Предположение 9. Если x(t;α₀,ϕ₀) - ограниченное решение уравне-

ния (13), определенное для всех t ≥ α₀, то положительная орбита {x_t(α₀, ϕ₀) :

t ≥ α₀} предкомпактна в B, и если x(t_n + s) → ϕ(s) при n → ∞ равномерно

по s ∈ [-T, 0] для любого T > 0, то ϕ ∈ B и |xtn - ϕ|_B → 0 при n → ∞.

Если выполняются предположения 7, 8, 9, то можно определить семей-

ство предельных уравнений для уравнения с бесконечным запаздыванием, и

свойства решений этих уравнений аналогичны тем, которые имеют место для

уравнений с конечным запаздыванием и обеспечивают возможность исполь-

зования предельных уравнений в исследовании поведения решений исходного

уравнения [34, 70, 97, 98].

Заметим, что в случае конечного запаздывания предположение 6 гаранти-

рует выполнение предположений 8, 9. Однако в случае бесконечного запаз-

дывания ситуация осложняется и даже более сильное предположение 5 не

достаточно для установления фундаментальных свойств уравнения. Анализ

публикаций, касающихся таких уравнений, показывает, что форма уравне-

ния и цели исследования определяют выбор пространства B. В случае ко-

нечного запаздывания свойства отображения T (t, α)ϕ : ϕ → x_t(α, ϕ) не зави-

сят от такого выбора, если решение определяется естественным образом, т.е.

как непрерывное продолжение функции ϕ вправо от t = α, удовлетворяю-

щее уравнению. По прошествии одного интервала запаздывания функция x_t

становится непрерывной независимо от пространства начальных функций.

Поэтому достаточно рассматривать уравнение в пространстве C([-r, 0], Rⁿ).

Если же запаздывание бесконечно, то при каждом t ≥ α функция x_t(α, ϕ)

“содержит” часть начальной функции, поскольку x_t(θ) = ϕ(t + θ - α) при θ ≤

≤ α-t. Это значит, что качественное поведение отображения T(t,α)ϕ зависит

от начальных данных.

Поэтому важно понять, какие свойства пространства B позволят в первую

очередь обеспечить выполнение предположения 8. Кроме того, с точки зре-

ния качественного поведения решений уравнения, в частности устойчивости,

необходимо выяснить, какие свойства пространства обеспечивают выполне-

ние предположения 9 и как связаны понятия устойчивости в Rⁿ и в функ-

циональном пространстве B (в случае B = C([-r, 0], Rⁿ) они, очевидно, эк-

вивалентны).

Определение таких свойств в виде “аксиом” - формальных требований к

пространству B - оказалось очень удобным и продуктивным подходом. Впер-

вые систематически изложенный в [99], аксиоматический подход стал актив-

но использоваться в последующих исследованиях уравнений с бесконечным

запаздыванием, в первую очередь в вопросах асимптотического поведения и

устойчивости. При этом конкретный выбор аксиом определяется целями ис-

следования и удобством формулировок и доказательств, поэтому определе-

ния пространства B в разных публикациях отличаются. Анализ опубликован-

ных результатов позволяет сформулировать набор аксиом, обеспечивающих

желаемые свойства уравнения (13), а именно выполнение предположений 8

и 9 в случае, когда правая часть удовлетворяет предположению 6.

Определение 16. Пространство B назовем допустимым, если суще-

ствуют постоянные K,J > 0 и непрерывная функция M : R⁺ → R⁺ такие,

что выполняются следующие условия. Пусть 0 ≤ a < A ≤ ∞. Тогда для лю-

бой функции x : (-∞, A) → Rⁿ, такой, что x непрерывна на [a, A) и x_a ∈ B,

и для всех t ∈ [a,A):

(B1) x_t ∈ B и x_t непрерывно по t относительно | · |_B;

(B2) |x_t|_B ≤ K max

|x(s)| + M(t - a)|x_a|_B;

a≤s≤t

(B3) |ϕ(0)| ≤ J|ϕ|_B для всех ϕ ∈ B;

(B4) если {ϕ_k} ⊂ B равномерно ограничена и ϕ_k → ϕ равномерно на компак-

тах из R^-, то ϕ ∈ B и ϕ_k → ϕ в B.

Условия (B1)-(B3) гарантируют, что для правой части, удовлетворяющей

предположению 5, выполняется предположение 8 [99]. Анализ приведенных

в [99] доказательств показывает, что они остаются верными и при более сла-

бом условии - в предположении 6.

Определим B₀ = {ϕ ∈ B : ϕ(0) = 0} и для ϕ ∈ B₀ оператор S₀(t):

^{0,

-t ≤ s ≤ 0,

[S₀(t)ϕ](s) =

ϕ(t + s), s < -t.

Определение 17

[100]. Допустимое пространство B назовем про-

странством с исчезающей памятью, если

|S₀(t)ϕ|_B → 0 при t → +∞ для любой ϕ ∈ B₀.

Заметим, что если B - пространство с исчезающей памятью, то функция

M (t) в условии (B2) ограничена: M(t) ≤ M₁ для всех t ∈ R⁺ [100]. В этом

случае если B - пространство с исчезающей памятью, то из предположения 5

следует предположение 9 ([97], см. также [99, 101]). Нетрудно показать, что

предположение 9 следует и из предположения 6.

Помимо пространств с исчезающей памятью, при изучении уравнения (13)

используются также пространства с равномерно исчезающей памятью, см.

определение 18.

Определение 18

[99-101]. Допустимое пространство B назовем про-

странством с равномерно исчезающей памятью, если в (B2) M(t) → 0 при

t → +∞.

Заметим, что поскольку

∥S₀(t)∥ =

sup

|S₀(t)ϕ|_B ≤ M(t),

|ϕ|_B=1, ϕ∈B₀

то пространство с равномерно исчезающей памятью является пространством

с исчезающей памятью, но не наоборот.

Для Γ ⊂ B и a > 0 определим множество

{

X(Γ, a) = x_t; t ∈ R⁺, x(·) ∈ C(R, Rⁿ), x₀ ∈ Γ,

}

|x(t₁)| ≤ a, |x(t₁) - x(t₂)| ≤ μ_a(|t₁ - t₂|) для t₁, t₂ ∈ R⁺

В предположении 6 справедливы следующие утверждения.

Лемма 2. Если Γ - компакт в допустимом пространстве с исчезающей

памятью B, то множество X(Γ, a) предкомпактно в B.

Лемма 3. Пространство B с исчезающей памятью является простран-

ством с равномерно исчезающей памятью, если и только если для любо-

го ограниченного множества Γ ⊂ B и любого a > 0 каждая последователь-

ность {(x^k)tk } из X(Γ,a), такая что t_k → +∞ при k → ∞, содержит схо-

дящуюся в B подпоследовательность.

Эти результаты сформулированы и доказаны в [100] для множества

{

^X(Γ, a, b) = x_t; t ∈ R⁺, x(·) ∈ C(R, Rⁿ), x₀ ∈ Γ,

}

|x(t₁)| ≤ a, |x(t₁) - x(t₂)| ≤ b|t₁ - t₂| для t₁, t₂ ∈ R⁺

Простейшим примером допустимого пространства является определенное

для любого r > 0 пространство C([-r, 0], Rⁿ) с нормой

|ϕ|C([-r,0]) = sup

|ϕ(s)|.

-r≤s≤0

Таким образом, все результаты, полученные для уравнения (13) в допустимом

пространстве, справедливы также для уравнения с конечным запаздыванием.

Рассмотрим еще ряд важных классов допустимых пространств (см., на-

пример, [30, 70, 99, 101] и др.).

1. Пусть k : R^- → R⁺ - некоторая функция, удовлетворяющая следующим

условиям:

∫

k(s) ds < ∞, k(t + s) ≤ G(t)k(s) ∀t ∈ R^-, s ∈ R^- \ N_t

-∞

для некоторой функции G : R^- → R⁺ и некоторого множества N_t ⊂ R^- меры

ноль.

Положим

{

M^rk,p = ϕ : R^- → Rⁿ, ϕ - измерима на (-∞,-r]

}

и непрерывнана [-r, 0], |ϕ|_Mr

<∞ ,

k,p

где

⎧

⎫

1/p

∫

⎨

⎬

|ϕ|_Mr

k(s)|ϕ(s)|^p

r ≥ 0, p ≥ 1 - целое.

k,p

−r≤s≤0

^ds⎭

−∞

Тогда M^rk,p - допустимое пространство. Если при этом

ess.sup G(s) < ∞,

s∈R^-

то M^rk,p - пространство с исчезающей памятью, а если G(-β) < 1 для неко-

торого β > r, то - с равномерно исчезающей памятью.

Заметим, что при использовании в конкретных примерах это простран-

ство, как правило, рассматривается с функцией k(s) = e^γs для некоторого

γ ≥ 0 (см., например, [102]).

2. Пусть

(g1)

g:R^-

→ [1, ∞) — непрерывная невозрастающая функция, g(0) = 1.

Обозначим через C_g пространство непрерывных функций ϕ, отображающих

R^- в Rⁿ, таких, что sup|ϕ(s)|/g(s) < ∞. Тогда C_g с нормой

s≤0

|ϕ|_g = |ϕ|Cg = sup |ϕ(s)|/g(s)

s≤0

есть банахово пространство.

Определим условия для функции g:

(g2)

[g(s + u)/g(s)] → 1 равномерно на R^-

при u → 0-,

(g3)

g(s) → ∞ при s → -∞,

(g4)

lim

G(T ) = lim sup

[g(T + s)/g(s)] = 0.

T→∞

T→∞s≤-T

Рассмотрим следующие подпространства в C_g:

{

}

C0g = ϕ ∈ C_g : lim |ϕ(s)|/g(s) = 0

s→-∞

UC_g = {ϕ ∈ C_g : ϕ/g - равномерно непрерывна на R^-}.

Пространство C0g является допустимым с исчезающей памятью при усло-

виях (g1) и (g3) [31, 100], при этом условие (g4) необходимо и достаточно,

чтобы память была равномерно исчезающей. Пространство UC_g является

пространством с равномерно исчезающей памятью при условиях (g1), (g2)

и (g4). Заметим, что условие (g4) эквивалентно существованию представле-

ния вида g(s) = eh(s), где равномерно непрерывная функция h : R^- → R⁺

удовлетворяет условию lim

inf(t,s):t≥n,s≤-n[h(s) - h(t + s)] = ∞ [101].

n→∞

Пространство C_g естественным образом возникает в интегро-дифференци-

альных уравнениях с неограниченным запаздыванием (в [103] предложен ал-

горитм построения функций g для уравнений различного вида, правая часть

которых содержит интегралы). Переход к допустимому пространству с ис-

чезающей памятью можно осуществить, выбирая подходящим образом еще

одну функцию g₁, удовлетворяющую условиям (g1)-(g3), и полагая g^∗ = gg₁.

В этом случае C_g можно рассматривать как подпространство C0g∗ .

Как и для первого класса допустимых пространств, чаще всего в качестве

функции g используется e^-γs для некоторого γ > 0 (см., например, [40]).

Заметим, что для функции g(s) = 1 - s, удовлетворяющей условиям

(g1)-(g3), пространство UC_g удовлетворяет условиям (B1)-(B4), но не явля-

ется пространством с исчезающей памятью [101]. Если в этом пространстве

рассмотреть простейшее уравнение x(t) = -x(t), то положительная орбита

его ограниченного на R⁺ решения не является предкомпактной в простран-

стве UC_g. Таким образом, предположение исчезающей памяти существенно

для утверждения леммы 2.

3.2. Функции Ляпунова и устойчивость нулевого решения

Предположим, что f(t, 0)≡0, тогда уравнение (13) имеет нулевое решение,

которое и будем исследовать на устойчивость. При этом будем считать, что

нулевое решение единственно.

Аксиоматический подход к определению фазового пространства позволяет

определить условия, при которых для (13) возможно построение предельных

уравнений со свойствами, аналогичными полученным для ОДУ и уравнений

с конечным запаздыванием.

Если запаздывание ограничено, то определения устойчивости по отноше-

нию к нормам в Rⁿ и в фазовом пространстве, очевидно, эквивалентны. В слу-

чае неограниченного запаздывания это в общем случае не так. Например,

если выбрать пространство C₀ в качестве фазового, то ненулевое решение

никогда не стремится к нулю по отношению к норме этого пространства, т.е.

|x_t|C0 = sup |x(t + s)| → 0 при t → ∞.

s≤0

В то же время если |x(t)| → 0, то

sup|x(t + s)|e^γs → 0 для любого γ > 0.

s≤0

Поэтому в определениях устойчивости нулевого решения для уравне-

ния (13) в общем случае требуется уточнение, в каком пространстве задаются

содержащие решения окрестности нуля.

Однако в рассматриваемом случае ситуация упрощается благодаря спра-

ведливости следующего результата [21, 99].

Лемма 4. Для допустимого пространства B с исчезающей памятью

определения (равномерной) устойчивости и асимптотической устойчиво-

сти в B и в Rⁿ эквивалентны. Для допустимого пространства B с рав-

номерно исчезающей памятью определения равномерной асимптотической

устойчивости в B и в Rⁿ эквивалентны.

Более того, в [100] доказано, что второе утверждение леммы 4 устанавли-

вает не только достаточное, но и необходимое условие.

Пусть теперь V = V (t, x) есть функция Ляпунова, где, как и ранее,

V ∈ C¹(R × G_H,R⁺) и V (t,0) = 0. Производная V в силу уравнения (13) есть

функционал V^′ : R⁺ × B_H → R:

∑

V ′(t,ϕ) = ∂V (t,ϕ(0))/∂t +

(∂V (t, ϕ(0))/∂x_i )f_i(t, ϕ).

i=1

Первые результаты об устойчивости и асимптотической устойчивости

для уравнений с неограниченным запаздыванием, использующие функ-

ции Ляпунова, появились в 1962 г. [20]. В [20] правая часть уравнения

предполагалась зависящей от значений x(g(t)), где -∞ ≤ α ≤ g(t) ≤ t, и

в каждый момент времени t определенной в пространстве ограниченных

функций из C([α, t], Rⁿ) с супремум-нормой (в случае α = -∞ полагается

[α, t] = (-∞, t]). В этом случае оценка V^′(t, ψ(·)) ≤ w(t, V (t, ψ(t))) для функ-

ций ψ ∈ C([α, t], G_H ), удовлетворяющих неравенству V (s, ψ(s)) ≤ V (t, ψ(t))

при всех s ∈ [α, t], гарантирует устойчивость нулевого решения уравне-

ния с запаздыванием в Rⁿ при условии устойчивости нулевого решения

уравнения

y = w(t,y). В аналогичной теореме об асимптотической устой-

чивости предлагается проверять отрицательную определенность производ-

ной функции V на множестве, определяемом традиционным неравенством

V (s, ψ(s)) < η(V (t, ψ(t))), где η ∈ K и η(u) > u для u > 0, однако интервал

значений s меняется на [g(t), t], и требуется дополнительно, чтобы g(t) → ∞

при t → ∞. Если же требуется доказать равномерную асимптотическую

устойчивость, то множество, на котором оценивается производная, еще боль-

ше расширяется: неравенство V (s,ψ(s)) < η(V (t,ψ(t))) должно выполняться

лишь для s ∈ [t - h, t] для некоторой постоянной h ≥ 0. Разумность таких

требований наглядно подтверждается следующим примером.

Пример 7. Рассмотрим скалярное уравнение

x(t) = -ax(t) - bx(g(t))

с постоянными a и b, удовлетворяющими условию a > |b| > 0, и α ≤ g(t) ≤ t.

Если g(t) = t - r, то нулевое решение этого уравнения равномерно асимптоти-

чески устойчиво [20]. Если функция g(t) ограничена, α ≤ g(t) ≤ T , то нулевое

решение устойчиво, но не асимптотически. Действительно, возьмем произ-

вольное t₀ > T и положим ψ(t) ≡ δ > 0 для t ∈ [α, t₀]. Тогда x(t) = -ax(t) - bδ

для t ≥ t₀, откуда x(t) = -bδ/a + δ(1 + b/a)ea(t0 -t) и lim x(t) = bδ/a = 0. Ес-

t→+∞

ли же g(t) = t/2, то, используя изложенное выше утверждение из [20] и про-

стейшую функцию V (x) = x², получаем асимптотическую устойчивость. Од-

нако она не будет равномерной [32]: если для произвольных δ > 0 и T > 0

выбрать ε₀ = δ|b|/2a, t₀ = T , ψ(t) = δ/2 для t ∈ [0, t₀] и t₁ = t₀ + T , то реше-

ние уравнения удовлетворяет соотношениям

∫t1

x(t₁) = x(t₀)e-a(t1-t0) + be-at1 e^asx(s/2)ds =

t₀

= (δ/2)(1 - b/a)e^-aT + δb/(2a) ≥ δb/(2a) = ε₀.

Таким образом, нулевое решение не является равномерно притягивающим.

Некоторое уточнение формулировки из [20] получили в [32]. В частности,

знак производной в [32] предлагается проверять не с начального момента t₀,

а лишь при t ≥ t₀ + T (справедливость такой замены следует из непрерывной

зависимости решения от начальной функции), а в оценке производной отри-

цательно определенная функция координаты допускает умножение на неот-

рицательную функцию времени с расходящимся интегралом. Такое ослабле-

ние условий позволяет упростить доказательство асимптотической устойчи-

вости в конкретных примерах.

Неправомерность “естественного” обобщения теоремы 2 на уравнения с

неограниченным и бесконечным запаздыванием была отмечена позднее и

в [104, 105]: знакоопределенность производной на множестве функций, опре-

деляемом неравенством V (s, ψ(s)) < η(V (t, ψ(t))), s ∈ [α, t] (η ∈ K и η(u) > u

для u > 0), не гарантирует асимптотическую устойчивость.

Пример 8

[105]. Рассмотрим уравнение

x(t) = -2x(t) + x(0).

Нетрудно убедиться, что функция x(t) = (1 + e-2t)x(0)2 является решени-

ем этого уравнения для всех t ≥ 0, поэтому нулевое решение не являет-

ся асимптотически устойчивым; при этом производная функции V (x) =x22

в силу уравнения является отрицательно определенной и при условии

supV (ϕ(s)) ≤ V (ϕ(0)), и в случае supV (ϕ(s)) < qV (ϕ(0)) при q > 1.

s≤0

Отметим, что условия устойчивости, полученные в [105] для уравнений

с неограниченным запаздыванием типа Вольтерра, а затем и равномерной

устойчивости [106] (в последнем случае α = -∞) являются непосредствен-

ным обобщением теоремы 1, т.е. множество оценки производной изменяет-

ся на {ϕ ∈ C([α, t], Rⁿ) : V (s, ϕ(s)) ≤ V (t, ϕ(0)), α ≤ s ≤ t}. А в аналогичной

теореме об асимптотической устойчивости условия для производной имеют

уже другой вид [104]:

существует функция f ∈ K : f(u) > u при u > 0

и для каждого решения x(t) уравнения (13)

(15)

существуют число r > 0 и функция c ∈ K такие,

что если V (s, x(s)) < f(V (t, x(t))) для всех s ∈ [t₀, t], t₀ = max{0, t - r},

то V^′(t, x_t) ≤ -c(|x(t)|).

J. Teréki [38] в предположении 8 получил результат о равномерной асимп-

тотической устойчивости нулевого решения уравнения (13), использующий

несколько другое множество для оценки производной, см. теорему 24.

Теорема 24. Предположим, что существует функция V , функции

a, b, c ∈ K и непрерывная функция f : R^- × R⁺ → R⁺ такие, что:

1) f(s, v) < v для v > 0, lim sup{f(s, v) : v ≤ r} = 0, f(s, v) не убывает по s

s→-∞

при фиксированном v и f(0,v) не убывает;

2) a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|) для t ∈ R и x ∈ Rⁿ;

{

(

)

3) V^′(t, ϕ) ≤ -c(|ϕ(0)|) на множестве

(t, ϕ) : f

s,V (t + s,ϕ(s))

}

< V (t,ϕ(0)),s ≤ 0

Тогда нулевое решение уравнения

(13) равномерно асимптотически

устойчиво.

Еще один возможный вариант предлагается в [107]: правая часть исход-

ного уравнения представляется в виде суммы функционала, зависящего от

x(t + s), s ∈ [-r, 0] (слагаемое с конечным запаздыванием), и “остатка”, кото-

рый рассматривается как возмущение. На основании теорем о равномерной

устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости при постоянно

действующих возмущениях для уравнений с конечным запаздыванием, кото-

рые доказаны в [107] с использованием вспомогательных функций, получены

результаты для уравнений с бесконечным запаздыванием.

Идея использования особенностей пространства при определении множе-

ства для оценки производной появляется в [40], где функции Ляпунова ис-

пользуются для доказательства сходимости решений уравнения с бесконеч-

ным запаздыванием к конечному пределу. В качестве фазового пространства

выбирается C_g с функцией g(s) = e^-γs, γ > 0, и для оценки производной пред-_{}

лагается множество ϕ ∈ C_g : sup e^γsV (t + s, ϕ(s)) = V (t, ϕ(0))

s≤0

То же самое пространство используется в [108] для исследования автоном-

ного уравнения, при этом свойства V (x) определяются иначе, см. определе-

ние 19.

Определение 19. Функция V ∈ C¹(Rⁿ,R⁺) называется функцией Ля-

пунова, связанной с функциями p(·) и q(·), если sup p(s)V (ϕ(s)) < ∞ для

s∈R^-

любого ϕ ∈ C_γ и p(s + t) ≤ p(s)q(t) для всех t, s, ∈ R^-, где функции p, q ∈

∈ C¹(R^-,R⁺) удовлетворяют условиям p(0) = q(0) = 1, p^′(t) ≥ 0, q^′(t) ≥ 0,

p(t) и q(t) стремятся к нулю при t → -∞.

Оформление этой идеи на случай произвольного допустимого простран-

ства с исчезающей памятью впервые встречается в статье [30] в виде поня-

тия пары Ляпунова-Разумихина, состоящей из функции и вспомогательного

функционала. В [30] и уравнение, и функция и функционал, образующие па-

ру, предполагаются автономными.

Пусть V ∈ C¹(G_H , R⁺) есть функция Ляпунова, W ∈ C(B_H , R⁺).

Определение 20. Пара (V,W) называется парой Ляпунова-Разумихи-

на, если V (x) ≥ 0, V (0) = 0, W (0) = 0, и для каждого ρ > 0 и ϕ ∈ B_H такой,

что ϕ_-ρ ∈ B_H и ϕ непрерывна на [-ρ, 0], выполняются условия

{

}

V (ϕ(0)) ≤ W (ϕ) ≤ max max

V (ϕ(s)), W (ϕ_-ρ)

-ρ≤s≤0

если 0 < V (ϕ(0)) = W (ϕ), то V^′(ϕ) ≤ 0.

В [30] доказан принцип инвариантности, а именно: положительное пре-

дельное множество решения x(t) в случае предкомпактности состоит из реше-

ний уравнения, содержащихся в множестве {ϕ : W (ϕ) = c}. Там же доказано

утверждение об асимптотической устойчивости, см. теорему 25.

Теорема 25. Предположим, что f = f(ϕ) и существует пара Ляпуно-

ва-Разумихина (V, W ) с положительно определенной функцией V (x), такая

что:

1) V^′(ϕ) < 0 для функций ϕ ∈ UC₁, удовлетворяющих условию

< V (ϕ(0)) = W(ϕ);

2) W (ϕ) ≤ sups≤0 V (ϕ(s)) для функций ϕ ∈ UC₁;

3) множество {x_t(ϕ) : t ≥ 0} предкомпактно для всех ϕ ∈ B_δ для неко-

торого δ > 0.

Тогда нулевое решение уравнения x(t)=f(x_t) асимптотически устойчиво.

Как и в случае конечного запаздывания, метод функций Ляпунова полу-

чил дальнейшее развитие на основе использования предельных уравнений и

предельных множеств. В частности, соответствующие результаты были по-

лучены для уравнения (13), правая часть которого определена на R⁺ × B_H ,

где B - допустимое пространство с исчезающей памятью (не обязательно

равномерно исчезающей), и удовлетворяет предположениям 6 и 7.

Для неавтономного уравнения (13) естественно использовать следующее

обобщение определения 20 на случай зависящих от времени функции и функ-

ционала.

Определение 21

[98]. Пусть V ∈ C¹(R × G_H , R⁺), V (t, 0) = 0, W ∈

∈ C(R⁺ × B_H,R⁺). Пара (V,W) называется парой Ляпунова-Разумихина,

если V (t, x) ≥ 0, V (t, 0) = 0, W (t, 0) = 0 для всех t ∈ R⁺, и для каждого ρ > 0,

t ≥ ρ и ϕ ∈ B_H такой, что ϕ_-ρ ∈ B_H и ϕ непрерывна на [-ρ,0], выполняют-

ся условия

{

}

(LR1) V (t, ϕ(0)) ≤ W (t, ϕ) ≤ max max

V (t + s, ϕ(s)), W (t - ρ, ϕ_-ρ)

-ρ≤s≤0

(LR2)

если 0 < V (t, ϕ(0)) = W (t, ϕ), то V^′

(t, ϕ) ≤ 0.

Обратим внимание, что функционалы

W (t, ϕ) = sup e^γsV (t + s, ϕ(s)) = V (t, ϕ(0))

s≤0

из [40] и

W (ϕ) = sup p(s)V (ϕ(s))

s∈R^-

из [108] вместе с соответствующей функцией образуют пару, удовлетворяю-

щую условию (LR1). Интересно, что в [108] в теореме об асимптотической

устойчивости условия положительной определенности, существования беско-

нечно малого высшего предела и отрицательности производной (на множе-

стве из условия (LR2)) накладываются не на функцию V , а на функцио-

нал W .

Положим теперь для r и t₀ из условия (15)

W (t, x_t) = max V (t + s, x(t + s)).

t₀-t≤s≤0

Тогда V и W удовлетворяют условию (LR1). Наконец, пусть

{

}

(

)

W (t, ϕ) = max V (t, ϕ(0)), sup f

s,V (t + s,ϕ(s))

s≤0

где функция f удовлетворяет условиям теоремы 24. Тогда в условиях этой

теоремы получаем пару Ляпунова-Разумихина.

Приведем еще достаточные условия равномерной асимптотической устой-

чивости в Rⁿ нулевого решения из [109] для многомерной системы с беско-

нечным или неограниченным запаздыванием в терминах векторной функции

(для простоты доказательства рассмотрен случай двух функций, зависящих

соответственно от x⁽¹⁾ и x⁽²⁾, где (x⁽¹⁾, x⁽²⁾) = x, x(i) ∈ Rni , n₁ + n₂ = n).

Теорема 26. Предположим, что существуют непрерывные функции

Ляпунова V_i : [α, +∞) × {x(i) ∈ Rni : |x(i)| < H} → R⁺ (i = 1, 2) такие, что:

1) a_i(|x(i)|) ≤ V_i(t, x(i)) ≤ b(|x(i)|) для некоторых функций a_i, b_i ∈ K, i =

= 1, 2;

(1)

2) если V₁(t, x⁽¹⁾(t)) ≥ V₂(t, x⁽²⁾(t)), то V^′(t, x

) ≤ -c₁(|x⁽¹⁾|) при условии,

что для некоторых непрерывных функций η₁ : R⁺ → R⁺: η₁(s) > s при s > 0

и q₁(s) : (0,+∞) → (0,+∞) - невозрастающей, справедливо неравенство

(

)

(

))

max

V₁

s,x⁽¹⁾(s)

<η₁

V₁

t,x⁽¹⁾(t)

;

max{α,t-q₁(V₁(t,x⁽¹⁾(t)))}≤s≤t

если V₁(t, x⁽¹⁾(t)) ≤ V₂(t, x⁽²⁾(t)), то V′2(t, x(2)t) ≤ -c₁(|x⁽²⁾|) при условии, что

для некоторых непрерывных функций η₂ : R⁺ → R⁺: η₂(s) > s при s > 0 и

q₂(s) : (0,+∞) → (0,+∞) - невозрастающей, справедливо неравенство

(

)

(

))

max

V₂

s,x⁽²⁾(s)

<η₂

V₂

t,x⁽²⁾(t)

max{α,t-q₂(V₂(t,x⁽²⁾(t)))}≤s≤t

(здесь α ≥ -∞ такое, что правая часть уравнения (13) в момент t ≥ α за-

висит от значений x(s) при α ≤ s ≤ t, (x⁽¹⁾(t), x⁽²⁾(t)) = x(t) - решение урав-

нения (13)).

Тогда нулевое решение уравнения

(13) равномерно асимптотически

устойчиво.

Если определить

V (t, x) = max V_i(t, x_i),

i∈{1,2}

{

}

W (t, ϕ) = max max V (t + s, ϕ(s)), sup V (t + s, ϕ(s)/g(s))

-r≤s≤0

s≤0

с функцией g(s), удовлетворяющей условиям (g1)-(g3), то в условиях теоре-

мы 26 пара (V, W ) является парой Ляпунова-Разумихина (теорема при этом

следует из результата о равномерной асимптотической устойчивости из [110]).

Отметим, наконец, что в случае ограниченного запаздывания 0 < r < ∞

можем положить W_r(t, ϕ) = sup V (t + s, ϕ(s)), для этого функционала

-r≤s≤0

условие (LR1) выполняется всегда, а (LR2) представляет собой ограничение

типа условия Разумихина относительно производной V^′(t, ϕ), обеспечиваю-

щее устойчивость нулевого решения [9]. Таким образом, можно сказать, что

использование пары V , W является естественным и довольно гибким обоб-

щением метода функций на случай неограниченного запаздывания. С другой

стороны, это обобщение нетривиально, поскольку функционал W_∞(t, ϕ), как

было показано выше, не может быть использован для обоснования асимптоти-

ческой устойчивости, даже если в условии (LR2) производная V^′ отрицатель-

но определена (см. пример 8). Результаты, приведенные выше, показывают,

что конструкция функционала W зависит и от вида уравнения и выбранного

фазового пространства. Выбор конструкции функционала, в свою очередь,

определяет способ преобразования условия Разумихина в достаточных усло-

виях (асимптотической) устойчивости.

Большинство известных достаточных условий асимптотической устойчи-

вости в терминах функций Ляпунова предполагают не только знакоопреде-

ленность функции, но и знакоопределенность (на некотором подмножестве

фазового пространства) ее производной.

Аналогично случаю ограниченного запаздывания при выполнении до-

полнительных предположений о предкомпактности обосновываются резуль-

таты о локализации положительного предельного множества ограниченно-

го решения уравнения (13), использующие неавтономную пару Ляпунова-

Разумихина [98].

А именно, как и в разделе 2, предположим, что функция V (t, x) рав-

номерно непрерывна и ограничена на каждом множестве R⁺ ×Gr,

Gr =

= {x ∈ Rⁿ : |x| ≤ r < H}, а функционалы W (t, ϕ) и U(t, ϕ) ≤ |V ^′(t, ϕ)| рав-

номерно непрерывны на каждом множестве R⁺ × K, K ⊂ B_H — компакт.

Тогда семейство сдвигов {V_τ (t, x) = V (τ + t, x) | τ ∈ R⁺} предкомпактно в

пространстве C(R⁺ × G_H , R⁺) с компактно-открытой топологией, а семей-

ства {U_τ (t, ϕ) = U(τ + t, ϕ) | τ ∈ R⁺} и {W_τ (t, ϕ) = W (τ + t, ϕ) | τ ∈ R⁺} пред-

компактны в пространстве C(R⁺ × B_H , R⁺), и можно определить предельные

V ∗, W^∗ и U^∗.

Пусть, кроме того, для каждой пары (V^∗, W^∗) выполняется также следую-

щее предположение [30, 98].

Предположение 10. Для любого c > 0 существует T = T(c) > 0 такое,

что для каждой равномерно непрерывной функции ϕ ∈ B_H и каждого чис-

ла t ∈ R, таких, что sup V^∗(t + s, ϕ(s)) ≤ W^∗(t, ϕ) = c, выполняется условие

s≤0

W^∗(t,ϕ) = max V^∗(t + s,ϕ(s)).

-T≤s≤0

Для каждой последовательности t_k → +∞ и каждого числа c ∈ R⁺ опре-

делим множества:

{

}

N (t, c, V^∗) = ϕ ∈ B_H | max V^∗(t + s, ϕ(s)) = c

-T(c)≤s≤0

{

}

M (t, c, V^∗) = ϕ ∈ B_H | max V^∗(t + s, ϕ(s)) = V^∗(t, ϕ(0)) = c

-T(c)≤s≤0

L(t, U^∗) = {ϕ ∈ B_H | U^∗(t, ϕ) = 0}.

Справедлива следующая теорема [98].

Теорема 27. Предположим, что для уравнения (13) существует па-

ра Ляпунова-Разумихина (V, W ) такая, что |V^′(t, ϕ)| ≥ U(t, ϕ) для всех

(t, ϕ) ∈ R⁺ × B_H и выполняются предположения 5, 10, а также условия

предкомпактности. Если решение x(t;α,ϕ) уравнения (13) определено и

ограничено при всех t ≥ α, то существует lim

W (t, x_t(α, ϕ)) = c₀ = const,

t→+∞

при этом для любой ψ ∈ ω⁺(x_t(α,ϕ)) существуют предельные f^∗, V^∗, W^∗,

U^∗ и решение x^∗(t;0,ψ) предельного уравнения x(t) = f∗(t, xt) такие, что

x^∗t ∈ ω⁺(x_t(α,ϕ)), x^∗t ∈ N(t,c₀,V^∗) для всех t ∈ R, и если x^∗t ∈ M(t,c₀,V^∗),

то x^∗t ∈ L(t,U^∗).

Следствиями теоремы 27 являются принцип инвариантности для автоном-

ного уравнения из [30] и аналогичный результат для неавтономного уравне-

ния из [34], где используется определение 20.

Полученный результат аналогичен соответствующей теореме для уравне-

ний с конечным запаздыванием [73] и позволяет получить достаточные усло-

вия устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения урав-

нения (13) в виде ограничений на функцию V и функционал W , ослабленных

по сравнению с традиционными для прямого метода; в частности, асимптоти-

ческую устойчивость удается обосновать, отказавшись от условия знакоопре-

деленности для производной, а затем и для самой функции V ; соответст-

вующие утверждения и их сопоставление с другими результатами приведены

в [98, 110].

При этом если исключить из формулировок теорем и определений пре-

дельных множеств уровня предельные уравнения и их решения, то эти тео-

ремы применимы к уравнению (13), правая часть которого удовлетворяет

предположению 6, но не обязательно удовлетворяет предположению 7.

Частный случай уравнения (13) - уравнение с неограниченным на R⁺, но

конечным в каждый момент времени переменным запаздыванием r(t). Неко-

торые особенности, которые следует учитывать при анализе таких уравнений

с применением пары Ляпунова-Разумихина, обсуждаются в [111].

Рассмотрим пример, иллюстрирующий возможности модифицированных

требований к функции и ее производной в силу уравнения.

Пример 9. Пусть в системе двух уравнений

⎧

x₁(t) = a₁(t)x₁(t) + f(t,x₁(t),x₂(t),x₁(t - r),x₂(t - r)) +

⎪

∫

⎪

+ b(t)x₁(t - r) +

K₁(t,s)x₁(t + s)ds +

⎪

-∞

⎪

+ g₁(t)(c₁₁x₁(t - r) + c₁₂x₂(t - r)),

⎨

(16)

∫

⎪

⎪x2(t) = a2(t)x2(t) - x2(t)

K₃(t,s)x²²(t + s)ds +

⎪

-∞

⎪

∫

⎪

+ K₂(t,s)x₂(t + s)ds + g₂(t)(c₂₁x₁(t - r) + c₂₂x₂(t - r))

⎩

-∞

функции a₁(t), a₂(t), b(t) и K_i(t, s) определены для всех t ≥ 0 и s ≤ 0,

равномерно непрерывны по t и ограничены, f(t, y₁, y₂, y₃, y₄) ограничена и

равномерно непрерывна на каждом множестве R⁺ × {y ∈ R⁴ : |y| ≤ q < ∞},

∫

f (t, y₁, 0, y₃, 0) = 0, 0 < K_i(t, s) ≤ K_ik_i(s),

k_i(s)ds = 1, supk_i(s-T)/k_i(s) ≤

-∞

s≤0

≤ L_i(T), L_i(T) ограничены при T ∈ R⁺, i = 1,2,3,

∫

∀ρ ≥ 0, ∀t ≥ ρ supK2(t,s - ρ)/K2(t - ρ,s) +

K₂(t,s)ds ≤ 1,

s≤0

K₂

-ρ

a₂(t) ≤ a₀, a₀ + K₂ ≤ 0, a₁(t) + |b(t)| ≤ -K₁, и существуют последователь-

ности τ1k → +∞, τ2k → +∞, числа ε_i > 0, δ_i(ε_i) > 0 (i = 1, 2) такие, что

a₁(t) + |b(t)| + K₁ < -δ₁ для t ∈ [τ1k,τ1k + ε₁], K₃(t,s) > δ₂ для t ∈ [τ2k,τ2k + ε₂].

Относительно функций g₁(t) и g₂(t) предположим, что



∫



=0,i=1,2.

lim sup

g_i(s)ds



t→+∞0≤u≤1



Для этой системы выберем пространство с исчезающей памятью

B=M^rk

× [M^rk

∩ Mk3,2], |ϕ|^B = |ϕ1|M r

+ |ϕ₂|2Mr

, V (t,x) = V (x) = x²²,

1,1

2,1

^k1,1

^k2,1

⎧

⎛

⎞₂⎫

⎨

∫

⎬

W (t, ϕ) = max

ϕ²²(0),⎝¹

K₂(t,s)|ϕ₂(s)|ds^⎠

⎩

K₂

⎭

-∞

Тогда при данных предположениях нулевое решение системы (16) равномерно

асимптотически устойчиво (см. [110]).

Заметим, что без дополнительных предположений относительно функций

f, g₁, g₂ невозможно гарантировать существование ни знакоопределенной

функции, ни знакоопределенного функционала с производной в силу систе-

мы (16) определенного знака.

Заметим, что, как и в случае конечного запаздывания, результаты, осно-

ванные на использовании свойств предельных уравнений и предельных мно-

жеств, можно распространить на случай более общих предположений отно-

сительно правой части уравнения [112].

В заключение упомянем несколько публикаций, посвященных задаче о

неустойчивости нулевого решения уравнения (13) с использованием конечно-

мерных функций: [31, 113, 114]. Подходы, используемые в них, опираются на

обсуждаемые выше свойства уравнения (13), в частности, используют допу-

стимое фазовое пространство, и идейно близки к тем, которые обсуждались

в подразделе 2.4.

4. Заключение

Для систем, эволюция которых зависит от предыстории, идея оценки

производной вспомогательной функции на некотором подмножестве этих

предысторий оказалась ключевой с точки зрения практической эффектив-

ности функций Ляпунова в применении к таким системам.

Первоначальные недоразумения, связанные с различным определением

упомянутого множества в оригинальных утверждениях Б.С. Разумихина и

Н.Н. Красовского об асимптотической устойчивости, разрешились в резуль-

тате более детального анализа свойств как правой части уравнения, описы-

вающего систему, так и самой функции. Возможности использования мно-

жеств Ω_t(V ) и Ω_t(V, η), а также их подмножеств для оценки производной в

достаточных условиях (асимптотической) устойчивости подробно обсужда-

ются Б.С. Разумихиным в [56]. Кроме того, оказалось, что для достаточно

широкого класса уравнений (в том числе, с периодической и почти перио-

дической по t правой частью) теорема об асимптотической устойчивости в

формулировке Разумихина оказалась верна при дополнительных предполо-

жениях. Истории этого обоснования в основном посвящена первая часть ста-

тьи, где объект рассмотрения - те же уравнения с конечным запаздывани-

ем, с которых началось развитие метода Ляпунова-Разумихина. Своего ро-

да логическим продолжением этих построений и утверждений являются ре-

зультаты для случая более общих уравнений с неограниченным и бесконеч-

ным запаздыванием, которые представлены гораздо менее подробно. Основ-

ное внимание уделено базовой проблеме определения фазового пространства,

от которого в значительной степени зависят дальнейшие определения и свой-

ства уравнения, а также описанию конструкции, получившей название пары

Ляпунова-Разумихина. Эта конструкция возникла в результате многолет-

них поисков удачной модификации условия Разумихина, соответствующей

бесконечному запаздыванию, и оказалась не только естественным развити-

ем оригинального условия Разумихина, но и обобщением большинства ранее

предложенных подходов.

Универсальность идей А.М. Ляпунова определила не только широкое при-

менение прямого метода в исследовании устойчивости, но и его распростра-

нение на различные задачи для систем, моделируемых ОДУ. Метод функ-

ций Разумихина оказался достойным его наследником и за время своего су-

ществования получил широкое распространение и разнообразное использо-

вание. Помимо исходного объекта применения - дифференциальных урав-

нений с конечным запаздыванием - функции Разумихина были “адапти-

рованы” к анализу систем с неограниченным и бесконечным запаздывани-

ем [20, 30, 34, 38, 40, 98, 110], уравнений типа Вольтерра [104, 115, 116], си-

стем нейтрального типа [49, 117, 118] и дискретных систем [119, 120]. Поми-

мо достаточных условий (асимптотической) устойчивости и неустойчивости,

сферой приложения конечномерных функций с условием типа Разумихина

стали задачи локализации предельных множеств, оценки областей притяже-

ния и множеств достижимости [29, 30, 33, 34, 44, 45], анализ систем с воз-

мущениями [27, 71, 121, 122], сходимость, ограниченность и периодичность

решений [25, 29, 37, 40, 105, 123], задачи построения управлений с заданными

свойствами [26, 35, 124-126], в том числе теория автоматического регулиро-

вания [127]. Предназначенные, по сути, для исследования нелинейных систем

условия Разумихина оказались эффективными и в линейном случае, позво-

ляя вычислять, например, коэффициенты экспоненциального затухания ре-

шений [89, 127-129].

Для публикаций последних десятилетий характерно расширение сферы

применения метода; он успешно применяется в анализе различных типов си-

стем с запаздыванием, возникающих в современных прикладных задачах:

стохастических, импульсных, смешанных, гибридных, нечетких, интерваль-

ных, с переключениями, а также с дробными производными и с распределен-

ными параметрами; укажем лишь некоторые из недавних ссылок: [130-136].

Более того, идеи ослабления условий на производную, аналогичные усло-

вию Разумихина, применяются также в теории функционалов (см., напри-

мер, [13, 21, 23, 48, 49]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука,

1976.

Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциаль-

ных уравнений. М.: Наука, 1982.

Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием //

АиТ. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

Богомолов В.Л. Автоматическое регулирование мощности гидростанций по во-

достоку // АиТ. 1941. № 4, 5. С. 103-129.

Колмановский В.Б., Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального ти-

па // АиТ. 1984. № 1. С. 5-35.

Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Systems with an After-Effect of the Neutral

Type // Autom. Remote Control. 1984. V. 45. No. 1. P. 1-28.

Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. M.: Мир,

1984.

Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems. Analysis and Control. Birkhäuser,

2014.

Красовский Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием //

ПММ. 1956. Т. 20. № 4. С. 513-518.

Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ. 1956. Т. 20.

№ 4. С. 500-512.

10.

Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных

уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005.

11.

Андреев А.С., Хусанов Д.Х. К методу функционалов Ляпунова в задаче об

асимптотической устойчивости и неустойчивости // Дифф. уравнения. 1998.

Т. 34. № 7. C. 876-885.

12.

Ким А.В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения.

Екатеринбург: УрО РАН, 1996.

13.

Княжище Л.Б. Локализация предельных множеств и асимптотическая устой-

чивость неавтономных уравнений с запаздыванием. I, II // Дифф. уравнения.

1998. Т. 34. № 2. С. 189-196; 1998. Т. 34. № 8. C. 1056-1065.

14.

Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регу-

лируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

15.

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Госте-

хиздат, 1959.

16.

Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Набе-

режные Челны: Изд-во Ин-та управления, 2006.

17.

Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием во време-

ни // ПММ. 1960. Т. 24. № 1. С. 55-63.

18.

Шиманов С.Н. Устойчивость систем с запаздыванием // Тр. II Всес. с’езда по

теорет. и прикл. механике. Москва, 1964. М.: Наука, 1965. С. 170-180.

19.

Burton T.A., Hatvani L. Stability Theorems for Nonautonomous Functional

Differential Equations by Liapunov Functionals // Tohoku Math. J. 1989. V. 41.

P. 65-104.

20.

Driver R.D. Existence and Stability of Solutions of a Delay-Differential System //

Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. V. 10. P. 401-426.

21.

Kato J. Stability Problem in Functional Differential Equations with Infinite

Delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1978. V. 21. P. 63-80.

22.

Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations.

Kluwer Acad. Publishers, 1992.

23.

Wang Z. Comparison Method and Stability Problem for Functional Differential

Equations // Tohoku Math. J. 1983. V. 35. P. 349-356.

24.

Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov’s second method. Tokyo: The Math.

Soc. of Japan, 1966.

25.

Bernfeld S.R., Haddock J.R. Liapunov-Razumikhin Functions and Convergence of

Solutions of Functional-Differential Equations // Appl. Anal. 1979. V. 4. P. 235-245.

26.

Blanchini F., Ryan E.P. A Razumikhin-type Lemma for Functional Differential

Equations with Application to Adaptive Control // Automatica. 1999. V. 35.

P. 809-818.

27.

Gyori I., Hartung F. Preservation of Stability in Delay Equations under Delay

Perturbations // J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 220. P. 290-312.

28.

Haddock J., Ko Y. Lyapunov-Razumikhin Functions and an Instability Theorem

for Autonomous Functional-Differential Equations with Finite Delay // Rocky Mt.

J. Math. 1995. V. 25. P. 261-267.

29.

Haddock J., Terjéki J. Liapunov-Razumikhin Functions and an Invariance Principle

for Functional Differential Equations // J. Differ. Equat. 1983. V. 48. P. 95-122.

30.

Haddock J., Terjéki J. On the Location of Positive Limit Sets for Autonomous

Functional Differential Equations with Infinite Delay // J. Differ. Equat. 1990.

V. 86. P. 1-32.

31.

Haddock J., Zhao J. Instability for Functional Differential Equations // Math.

Nachr. 2006. V. 279. P. 1491-1504.

32.

Hara T., Yoneyama T., Miyazaki R. Some Refinements of Razumikhin’s Method

and their Applications // Funkc. Ekvacioj. 1992. V. 35. P. 279-305.

33.

Hornor W.E. Invariance Principles and Asymptotic Constancy of Solutions of

Precompact Functional Differential Equations // Tohoku Math. J. 1990. V. 42.

P. 217-229.

34.

Hornor W.E. Liapunov-Razumikhin Pairs and the Location of Positive Limit Sets

for Precompact Functional Differential Equations with Infinite Delay // Nonlin.

Analysis, Theory, Methods Appl. 1992. V. 19. P. 441-453.

35.

Jankovic M. Control Lyapunov-Razumikhin Functions and Robust Stabilization of

Time Delay Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 2001. V. 46. P. 1048-1060.

36.

Kato J. On Liapunov-Razumikhin Type Theorems for Functional Differential

Equations // Funkc. Ekvacioj. 1973. V. 16. P. 225-239.

37.

Taniguchi T. Asymptotic Behavior Theorems for Non-Autonomous Functional

Differential Equations via Lyapunov-Razumikhin Method // J. Math. Anal. Appl.

1995. V. 189. P. 715-730.

38.

Terjéki J. On the Asymptotic Stability of Solutions of Functional Differential

Equations // Ann. Pol. Math. 1979. V. 36. P. 299-314.

39.

Xu B., Liu Y. An Improved Razumikhin-type Theorem and its Applications //

IEEE Trans. Automat. Control. 1994. V. 39. P. 839-841.

40.

Parrot M. Convergence of solutions of infinite delay differential equations with an

underlying space of continuous functions / Lect. Notes Math. V. 846. N.Y.: Springer-

Verlag, 1981.

41.

Халил Х.К. Нелинейные системы. М.-Ижевск: НИЦ РХД, 2009.

42.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравне-

ний с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

43.

Mikolajska Z. Une remarque sur des notes der Razumichin et Krasovskij sur la

stabilite asimptotique // Ann. Pol. Math. 1969. V. 22. P. 69-72.

44.

Горбунов А.В., Каменецкий В.А. Метод функций Ляпунова для построения

областей притяжения систем с запаздыванием // АиТ. 2005. № 10. С. 42-53.

Gorbunov A.V., Kamenetskii V.A. Attraction Domains of Delay Systems:

Construction by the Lyapunov Function Method // Autom. Remote Control. 2005.

V. 66. No. 10. P. 1569-1579.

45.

Fridman E., Shaked U. An Ellipsoid Bounding of Reachable Systems with Delay

and Bounded Peak Inputs // IFAC Proc. Volumes. 2003. V. 36. No. 19. P. 269-274.

46.

Красовский H.H., Котельникова А.Н. Судьба одного подхода к изучению на-

следственных систем // Изв. Урал. гос. ун-та. 2004. № 32. С. 12-24.

47.

Kharitonov V.L. Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices. Basel:

Birkhauser, 2013.

48.

Medvedeva I.V., Zhabko A.P. Synthesis of Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii

Approaches to Stability Analysis of Time-Delay Systems // Automatica. 2015.

V. 51. P. 372-377.

49.

Alexandrova I.V., Zhabko A.P. Synthesis of Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii

Stability Approaches for Neutral Type Time Delay Systems // Proc. 20th Int. Conf.

on System Theory, Control and Computing (ICSTCC). 2016. P. 375-380.

50.

Chaillet A., Pogromsky A.Yu., Rüffer B.S. A Razumikhin Approach for the

Incremental Stability of Delayed Nonlinear Systems // Proc. IEEE Conf. on

Decision and Control, December 2013.

51.

Karafyllis I., Jiang Z.P. Stability and Control of Nonlinear Systems Described by

Retarded Functional Equations: a Review of Recent Results // Sci China Ser F-Inf

Sci. 2009. V. 52. No. 11. P. 2104-2126.

52.

Ning C., He Y., Wu M., and Jinhua She J. Improved Razumikhin-Type Theorem

for Input-To-State Stability of Nonlinear Time-Delay Systems // IEEE Trans.

Automat. Control. 2014. V. 59. No. 7. P. 1983-1988.

53.

Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhäuser, 1998.

54.

Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем

с запаздыванием // АиТ. 1960. Т. 21. № 6. С. 740-748.

Rasumikhin B.S. Application of Method of Liapunov to Problems of Stability of

Delay Systems // Avtomat. i Telemekh. 1960. V. 21. No. 6. P. 740-748.

55.

Разумихин Б.С. Метод исследования устойчивости систем с последействием //

Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. № 6. С. 1234-1237.

56.

Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1988.

57.

Myshkis A. Razumikhin’s method in the qualitative theory of processes with

delay // J. Appl. Math. Stoch. Anal. 1995. V. 8. Iss. 3. P. 233-247.

58.

Громова П.С. Об обращении теорем Б.С. Разумихина // Дифф. уравнения.

1983. Т. 19. № 2. С. 357-359.

59.

Haddock J. The “evolution” of invariance principles á la Liapunov’s direct method //

Advances in nonlinear dynamics. Stability and Control: Theory, Methods and

Applications. V. 5 (Eds. Sivasundaram S., Martynyuk A.A.). 1997. P. 261-272.

60.

Mao X. Comments on

“An Improved Razumikhin-type Theorem and its

Applications” // IEEE Trans. Automat. Control. 1997. V. 42. P. 429-430.

61.

Xu B. Author’s Reply // IEEE Trans. Automat. Control. 1997. V. 42. P. 430.

62.

Mazenc F., Niculescu S.-I. Lyapunov Stability Analysis for Nonlinear Delay

Systems // Syst. Control Lett. 2001. V. 42. P. 245-251.

63.

Прасолов А.В. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в эко-

номике и инженерии. Уч. пос. СПб.: Изд-во “Лань”, 2010.

64.

Sell G.R. Nonautonomous Differential Equations and Topological Dynamics //

Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V. 127. P. 214-262.

65.

Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков А.А. Устойчивость движения: метод

предельных уравнений. Киев: Наук. думка, 1990.

66.

Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распреде-

ленными параметрами. M.: Наука, 1990.

67.

Saperstone S. Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces. N.Y.:

Springer Verlag, 1981.

68.

Андреев А.С., Хусанов Д.Х. Предельные уравнения в задаче об устойчиво-

сти функционально-дифференциального уравнения // Дифф. уравнения. 1998.

Т. 34. № 4. С. 435-440.

69.

Hino Y. Stability Properties for Functional Differential Equations with Infinite

Delay // Tohoku Math. J. 1983. V. 35. P. 597-605.

70.

Kato J. Asymptotic Behavior in Functional Differential Equations with Infinite

Delay // Lect. Notes Math. 1982. № 1017. P. 300-312.

71.

Murakami S. Perturbation Theorem for Functional Differential Equations with

Infinite Delay via Limiting Equations // J. Differ. Equat. 1985. V. 59. P. 314-335.

72.

Дружинина О.В., Седова Н.О. Метод предельных уравнений исследования

устойчивости для уравнений с бесконечным запаздыванием в условиях Кара-

теодори. II // Дифф. уравнения. 2014. Т. 50. № 6. C. 715-725.

73.

Andreev A., Sedova N. On the Stability of Nonautonomous Equations with Delay

via Limiting Equations // Func. Diff. Equat. (Israel). 1998. V. 5. No. 1-2. P. 21-37.

74.

Андреев А.С. Об устойчивости неавтономного функционально-дифференци-

ального уравнения // Докл. РАН. 1997. Т. 356. № 2. С. 151-153.

75.

Sedova N. On Employment of Semidefinite Functions in Stability of Delayed

Equations // J. Math. Anal. Appl. 2003. V. 281. No. 1. P. 313-325.

76.

Ignatyev A.O. On the Asymptotic Stability in Functional Differential Equations //

Proc. Amer. Math. Society. 1999. V. 127. No. 6. P. 1753-1760.

77.

Седова Н.О. Вырожденные функции в исследовании асимптотической устойчи-

вости решений функционально-дифференциальных уравнений // Мат. замет-

ки. 2005. Т. 8. № 3. С. 468-472.

78.

Iggidr A., Sallet G. On the Stability of Nonautonomous Systems // Automatica.

2003. V. 39. P. 167-171.

79.

Седова Н.О. К задаче слежения для неголономных систем с учетом запазды-

вания обратной связи // АиТ. 2013. № 8. С. 138-147.

Sedova N.O. On the Problem of Tracking for the Nonholonomic Systems with

Provision for the Feedback Delay // Autom. Remote Control. 2013. V. 74. No. 8.

P. 1348-1355.

80.

Седова Н.О. Локальная и полуглобальная стабилизация в каскаде с запазды-

ванием // АиТ. 2008. № 6. С. 70-81.

Sedova N.O. Local and Semiglobal Stabilization in a Cascade with Delay // Autom.

Remote Control. 2008. V. 69. No. 6. P. 968-979.

81.

Седова Н.О. К вопросу о принципе сведения для нелинейных систем с запаз-

дыванием // АиТ. 2011. № 9. C. 74-86.

Sedova N.O. On the Principle of Reduction for the Nonlinear Delay Systems //

Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 9. P. 1864-1875.

82.

Седова Н.О. Синтез цифровых стабилизирующих регуляторов для непрерыв-

ных систем на основе метода функций Ляпунова // Пробл. управления. 2011.

№ 6. С. 7-13.

83.

Прасолов А.В. О применении функций Ляпунова для исследования неустой-

чивости решений систем с последействием // Вестн. ЛГУ. 1981. Сер. 1. № 19.

С. 116-118.

84.

Прасолов А.В. Признаки неустойчивости для систем с последействием // Вестн.

ЛГУ. 1988. Сер. 1. № 3. С. 108-109.

85.

Haddock J., Zhao J. Instability for Autonomous and Periodic Functional Differential

Equations with Finite Delay // Funkc. Ekvacioj. 1996. V. 39. P. 553-570.

86.

Sedova N. Razumikhin-type Theorems in the Problem on Instability of

Nonautonomous Equations with Finite Delay // Funkc. Ekvacioj. 2004. V. 47.

P. 187-204.

87.

Lakshmikantham V. Lyapunov Function and a Basic Inequality in Delay-Differential

Equations // Arch. Ration. Mech. Ann. 1962. V. 7. No. 1. P. 305-310.

88.

Лакшмикантам В., Мартынюк А.А. Равитие прямого метода Ляпунова для

систем с последействием // Прикл. механика. 1993. Т. 29. № 2. С. 2-16.

89.

Xu B. Stability of Retarded Dynamical Systems: a Lyapunov Functions Approach //

J. Math. Anal. Appl. 2001. V. 253. P. 590-615.

90.

Ansari J.S. Modified Liapunov-Razumikhin stability condition for extended range

of applicability // J. Indian Inst. Sci. 1976. V. 58. Iss. 3. P. 115-120.

91.

Furumochi T. Stability and Boundedness in Functional Differential Equations // J.

Math. Anal. Appl. 1986. V. 113. No. 2. P. 473-489.

92.

Козлов Р.И. Системы условных дифференциальных неравенств типа Като //

Сиб. матем. журн. 1994. Т. 35. № 6. С. 1253-1263.

93.

Громова П.С., Маркос Лисано Пенья. Метод векторных функций Ляпунова для

систем с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 1981. № 8. С. 21-26.

94.

Перегудова О.А. Развитие метода функций Ляпунова в задаче устойчиво-

сти функционально-дифференциальных уравнений // Дифф. уравнения. 2008.

Т. 44. № 12. С. 1638-1647.

95.

Zhou B., Egorov A.V. Razumikhin and Krasovskii Stability Theorems for Time-

Varying Time-Delay Systems // Automatica. 2016. V. 71. P. 281-291.

96.

Mazenc F., Malisoff M. Extensions of Razumikhin’s Theorem and Lyapunov-

Krasovskii Functional Constructions for Time-Varying Systems with Delay //

Automatica. 2017. V. 78. P. 1-13.

97.

Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional Differential Equations with Infinite

Delay // Lect. Notes Math. V. 1473. Springer-Verlag, 1991.

98.

Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным

запаздыванием // Диффер. уравнения. 2002. Т. 10. C. 1338-1347.

99.

Hale J., Kato J. Phase Space for Retarded Equations with Infinite Delay // Funkc.

Ekvacioj. 1978. V. 21. No. 1. P. 11-41.

100.

Murakami S., Naito T. Fading Memory Spaces and Stability Properties for

Functional Differential Equations with Infinite Delay // Funkc. Ekvacioj. 1989.

V. 32. P. 91-105.

101.

Haddock J., Hornor W. Precompactness and Convergence in Norm of Positive

Orbits in a Certain Fading Memory Space // Funkc. Ekvacioj. 1988. V. 31.

P. 349-361.

102.

Kato J. Stability in Functional Differential Equations // Lect. Notes Math. 1980.

V. 799. P. 252-262.

103.

Atkinson F., Haddock J. On Determining Phase Spaces for Functional Differential

Equations // Funkc. Ekvacioj. 1988. V. 31. P. 331-348.

104.

Seifert G. Liapunov-Razumikhin Conditions for Asymptotic Stability in Functional

Differential Equations of Volterra Type // J. Differ. Equat. 1974. V. 16. P. 289-297.

105.

Seifert G. Liapunov-Razumikhin Conditions for Stability and Boundedness of

Functional Differential Equations of Volterra Type // J. Differ. Equat. 1973. V. 14.

P. 424-430.

106.

Seifert G. Uniform Stability for Delay-Differential Equations with Infinite Delay //

Funkc. Ekvacioj. 1982. V. 25. P. 347-356.

107.

Murakami S. Stability in Functional Differential Equations with Infinite Delay //

Tohoku Math. J. 1985. V. 36. P. 561-570.

108.

Zhi-Xiang L. Liapunov-Razumikhin Functions and the Asymptotic Properties of

the Autonomous Functional Differential Equations with Infinite Delay // Tohoku

Math. J. 1986. V. 38. P. 491-499.

109.

Zhang S. A New Technique in Stability of Infinite Delay Differential Equations //

Comput. Math. Appl. 2002. V. 44. P. 1275-1287.

110.

Седова Н.О. О развитии прямого метода Ляпунова для функционально-

дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Мат. заметки.

2008. Т. 84. № 6. С. 888-906.

111.

Седова Н.О. Устойчивость в системах с неограниченным последействием //

АиТ. 2009. № 9. C. 128-140.

Sedova N.O. Stability in Systems with Unbounded Aftereffect // Autom. Remote

Control. 2009. V. 70. No. 9. P. 1553-1564.

112.

Дружинина О.В., Седова Н.О. Метод предельных уравнений исследования

устойчивости для уравнений с бесконечным запаздыванием в условиях Кара-

теодори. I // Дифф. уравнения. 2014. Т. 50. № 5. C. 572-583.

113.

Ko Y. The Instability for Functional Differential Equations // J. Korean Math.

Soc. 1999. V. 36. No. 4. P. 757-771.

114.

Sedova N. Lyapunov-Razumikhin Pairs in the Instability Problem for Infinite Delay

Equations // Nonlin. Analysis, Theory, Methods Appl. 2010. V. 73. P. 2324-2333.

115.

Grimmer R., Seifert G. Stability Properties of Volterra Integrodifferential

Equations // J. Differ. Equat. 1975. V. 19. P. 147-166.

116.

Hino Y., Murakami S. Stability Properties of Linear Volterra Equations // J. Differ.

Equat. 1991. V. 89. P. 121-137.

117.

Haddock J.R., Krisztin T., Terjeki J., Wu J.H. An Invariance Principle of

Lyapunov-Razumikhin Type for Neutral Functional-Differential Equations // J.

Differ. Equat. 1994. V. 107. Iss. 2. P. 395-417.

118.

Jankovic S., Jovanovic M., Randjelovic J. Razumikhin-type Exponential Stability

Criteria of Neutral Stochastic Functional Differential Equations // J. Math. Anal.

Appl. 2009. V. 355. No. 2. P. 811-820.

119.

Богданов А.Ю. Развитие метода функций Ляпунова-Разумихина для неавто-

номных дискретных систем с неограниченным запаздыванием // Изв. высш.

уч. заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2007. № 1. С. 28-39.

120.

Родионов А.М. Об исследовании импульсных систем переменной структуры с

запаздыванием // АиТ. 1988. № 11. C. 188-190.

121.

Hou C., Gao F., Qian J. Stability Criterion for Linear Systems with Nonlinear

Delayed Perturbations // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 237. P. 573-582.

122.

Michiels W., Sepulchre R., Roose D. Robustness of Nonlinear Delay Equations

w.r.t. Bounded Input Perturbations // Proc. 14th Int. Sympos. Math. Theory of

Networks and Syst.(MTNS2000). 2000. P. 1-5.

123.

Yuan R. Existence of almost periodic solutions of neutral functional differential

equations via Liapunov-Razumikhin function

// Zeitschrift fur Angewandte

Mathematic und Physik. 1998. V. 49. P. 113-136.

124.

Hua C. et al. Robust Control for Nonlinear Time-Delay Systems. Springer Nature

Singapore Pte Ltd. 2018.

125.

Ilchmann A., Sangman C.J. Output Feedback Stabilization of Minimum Phase

Systems by Delays // Syst. Control Lett. 2004. V. 52. P. 233-245.

126.

Efimov D., Schiffer J., Ortega R. Robustness of Delayed Multistable Systems with

Application to Droop-Controlled Inverter-Based Microgrids // Int. J. Control. 2016.

V. 89. No. 5. P. 909-918.

127.

Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании

устойчивости дифференциально-функциональных уравнений. Киев: Изд-во

Киев. ун-та, 1997.

128.

Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномас-

штабных систем с последействием // АиТ. 1997. № 12. C. 164-174.

Shashikhin V.N. Robust Design for Interval Large-Scale Systems with

Aftereffects // Autom. Remote Control. 1997. V. 58. No. 12. P. 1978-1986.

129.

Aleksandrov A., Aleksandrova E., Zhabko A. Asymptotic Stability Conditions and

Estimates of Solutions for Nonlinear Multiconnected Time-Delay Systems // Circ.

Syst. Signal Process. 2016. V. 35. Iss. 10. P. 3531-3554.

130.

Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения //

Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. Т. 4. С. 5-120.

131.

Aleksandrov A., Aleksandrova E., Zhabko A. Stability Analysis of Some Classes

of Nonlinear Switched Systems with Time Delay // Int. J. Syst. Sci. 2017. V. 48.

No. 10. P. 2111-2119.

132.

Baleanu D., Sadati S.J., Ghaderi R., Ranjbar A., Abdeljawad (Maraaba) T.,

Jarad F. Razumikhin Stability Theorem for Fractional Systems with Delay // Abstr.

Appl. Anal. (Hindawi Publish. Corporation). V. 2010. Article ID 124812.

133.

Chen W.H., Liu L.J., Lu X.M. Intermittent Synchronization of Reaction-Diffusion

Neural Networks with Mixed Delays via Razumikhin Technique // Nonlinear

Dynamics. 2017. V. 87. No. 1. P. 535-551.

134.

Li X.D., Ding Y.H. Razumikhin-type Theorems for Time-Delay Systems with

Persistent Impulses // Syst. Control Lett. 2017. V. 107. P. 22-27.

135.

Li X.D., Deng F.Q. Razumikhin Method for Impulsive Functional Differential

Equations of Neutral Type // Chaos Solitons & Fractals. 2017. V. 101. P. 41-49.

136.

Zhu Q.X. Razumikhin-type Theorem for Stochastic Functional Differential

Equations with Levy Noise and Markov Switching // Int. J. Control. 2017. V. 90.

No. 8. P. 1703-1712.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 01.06.2018

После доработки 10.11.2018

Принята к публикации 07.02.2019