Автоматика и телемеханика, № 7, 2019

Интеллектуальные системы управления,

анализ данных

(Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” РАН,

Москва)

УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ ИГРАХ

СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАКТОРАМИ

Рассматривается теоретико-игровая модель типа Центр-агент, в кото-

рой результат деятельности агента зависит не только от его выбора, но

еще и от некоторого случайного фактора. Предполагается, что Центр вы-

бирает суммарную вероятность негативных событий, которые Центр го-

тов исключить из рассмотрения, а в остальном он осторожен. Выясняется

структура оптимальных стратегий Центра. Рассмотрены две модели, от-

личающиеся информированностью Центра о действиях партнера.

Ключевые слова: теория принятия решений, иерархические системы,

управление рисками, игры со случайными факторами, принцип “Value

at Risk”.

DOI: 10.1134/S0005231019070043

1. Введение

Управление рисками - одна из древнейших задач экономики. Традицион-

но риск связывают с наличием случайных факторов, влияющих на результат

деятельности лица, принимающего решения (оперирующей стороны). В боль-

шинстве интересных случаев минимизация риска не является основной целью

операции. Чаще всего имеется другая цель, например получение дохода. Та-

ким образом, задача управления рисками - это двухкритериальная задача.

Математические методы начали активно проникать в экономику в сере-

дине XX в. Примерно в то же время появились модели управления рисками.

Видимо, одной из первых была модель формирования инвестиционного

портфеля¹ Г. Марковица [1]. Риск в этой модели измерялся величиной сред-

неквадратического отклонения дохода оперирующей стороны от его матема-

тического ожидания. Поскольку при таком определении и ожидаемый выиг-

рыш, и риск оцениваются в одних единицах, то в данном случае достаточно

естественно выглядит линейная свертка критериев. Такого рода модели ак-

тивно исследовались и позднее (см., например, библиографию в [2]).

¹ Задачи принятия решений на финансовых рынках проще поддаются формализации.

Поэтому не удивительно, что модели управления рисками активнее всего развиваются в

финансовой теории.

105

Другой разумный способ определения риска состоит в следующем. Пусть

оперирующая сторона соглашается пренебречь неким числом “неблагопри-

ятных” событий, суммарная вероятность которых не превосходит заданной

величины 1 - ξ. Тогда за меру риска можно принять эту вероятность 1 - ξ.

В данном случае ожидаемый выигрыш и риск имеют разную размерность,

поэтому разумен иной способ свертки критериев. Можно, например, искать

максимум гарантированного выигрыша при заданной величине риска. Такое

отношение к риску получило название принципа “Value at Risk”. Такие модели

тоже активно исследуются [3-5].

Но все изложенное относится лишь к моделям, в которых присутствует

один субъект, принимающий решения. Естественное обобщение этой задачи -

игры в условиях риска. Такие модели появились тоже достаточно давно.

Много публикаций посвящено изучению моделей конфликтного взаимо-

действия равноправных игроков. Сюда относится, например, концепция рав-

новесия Байеса-Нэша [6-9].

Активно исследовались и модели с иерархией: в теории контрактов [10, 11],

теории иерархических игр [12-14] и в теории активных систем [15-18].

Эти три направления возникли независимо одно от другого, поэтому “ос-

новные” интерпретации вводимых конструкций отличаются. Так в теории

контрактов в вероятностных терминах описываются представления Центра о

“типах” агентов, а в теории иерархических игр стохастика интерпретируется

как наличие внешнего неопределенного фактора. При этом математические

задачи получаются эквивалентными.

В данной статье используются интерпретации, более распространенные

отечественных публикациях.

Впрочем, есть специфика и в выборе “базовых” моделей, на которых про-

веряется предлагаемая техника. Например, в теории иерархических игр в ос-

новном используются модели, в которых выигрыш верхнего уровня не зави-

сит явно от случайного фактора. В теории контрактов эта зависимость есть,

но при этом делается некое специальное предположение о характере этой

зависимости. Сразу же заметим, что отказ от этого предположения приво-

дит к более сложным задачам, решить которые пока не удается. Поэтому то,

что такое предположение найти удалось, является большой “заслугой” теории

контрактов. В данной статье это предположение активно используется.

Но практически во всех теоретико-игровых моделях игроки предполага-

ются риск-нейтральными, т.е. готовыми ориентироваться на математическое

ожидание своих выигрышей. Естественно попытаться как-то иначе учесть на-

личие риска при конфликтном взаимодействии. Одна из таких попыток была

предпринята в [19].

В данной статье исследуется одна из простейших моделей типа Центр-

агент (Principal-agent). Для описания отношения к риску Центра использу-

ется принцип “Value at Risk”. Рассматриваются две модели. В одной Центр

не имеет информации о действиях агента, а в другой Центр получает инфор-

мацию о результатах работы агента.

106

2. Две игры

Начнем с описания более простой игры.

В игре принимают участие два игрока. По традиции будем называть их

первым и вторым. Первый из них выбирает свое управление u из множе-

ства U, а второй - управление v из множества V . На исход игры влияет

еще значение некоторого фактора α, не контролируемого ни одним из игро-

ков. Неопределенный фактор α принимает значение из множества A. Будем

предполагать, что на множестве A задана вероятностная мера ℘, известная

первому игроку.

Если второй игрок выберет управление v ∈ V и реализуется значе-

ние неопределенного фактора α, то на выходе получится некий результат

x = f(v,α) ∈ X. Если при этом первый игрок выберет управление u ∈ U, то

его выигрыш составит величину q (u, x), а выигрыш второго игрока будет

равен h (u, v, α).

Простейшая интерпретация данных конструкций такова. Допустим, вто-

рой игрок занимается производством сельскохозяйственной продукции. Объ-

ем произведенной продукции x зависит от распределения его ресурсов v и

погодных условий, которые описываются значением фактора α. Первый иг-

рок назначает цены, по которым он готов приобрести у партнера произве-

денную продукцию. Его выигрыш определяется полезностью приобретенной

продукции и затратами на ее покупку. Выигрыш второго игрока зависит от

его затрат v, комфортности погоды и дохода от продажи произведенной про-

дукции.

В теории контрактов рассмотрено много более конкретных моделей, кото-

рые хорошо укладываются в описанную схему и имеют более содержательную

интерпретацию [10, 11]. Для понимания дальнейшего достаточно уже изло-

женного.

Будем предполагать, что множества U, V, X и A наделены топологиями

и компактны. Множества U, V и A будем считать компактными в этих то-

пологиях, а функции f : V × A → X, q : U × X → R и h : U × V × A → R -

непрерывными. В этих предположениях, не ограничивая общности, множе-

ство X можно тоже считать компактным. Меру ℘ на множестве A будем

считать борелевской.

Замечание 1. Вероятно, эти предположения можно ослабить. Однако

это значительно усложняет техническую часть работы (см. леммы 1-3). Со-

держательных соображений, по которым предположения казались бы очень

ограничительными, пока нет. Поэтому вряд ли стоит стремиться к большей

общности.

Если определить функцию g : U × V × A → R условием

(1)

g (u,v,α) = q (u,f (v,α)),

то получим стандартную игру со случайным фактором Γ = 〈U, V, A, g, h, ℘〉.

Условие (1) задает некоторую дополнительную структуру этой игры, которая

будет использоваться в дальнейшем.

Опишем вторую модель. Будем считать, что при тех же общих предполо-

жениях первый игрок в момент принятия решения о выборе своего управле-

107

ния u будет иметь информацию о полученном вторым игроком результате x.

Кроме того, второй игрок может передать ему некую информацию о реали-

зовавшемся значении неопределенного фактора. Но эта информация не обя-

зана быть достоверной, и первый игрок не может ее проверить. Тогда можно

полагать, что первый игрок заранее фиксирует некую функцию u_∗, принад-

лежащую множеству U_∗ всех функций из множества X × A в множество U.

И если такая функция u_∗ будет выбрана первым игроком, он получит от парт-

нера информацию о том, что реализовалось значение неопределенного фак-

тора β, и будет получен результат x, то автоматически будет выбрано управ-

ление u_∗ (x, β) ∈ U. Соответственно игроки получат выигрыши q (u_∗ (x, β) , x)

и h(u∗ (x,β),v,α).

Замечание 2. Может вызвать вопросы включение в рассматриваемую

схему обмена информацией передачу недостоверного сообщения β. В пользу

этого можно привести два аргумента. Во-первых, не понятно, почему нужно

и как можно запретить игрокам обмениваться такой информацией, если им

это выгодно. И как можно проконтролировать выполнение такого запрета.

А во-вторых, при отказе от такого обмена на этапе постановки, обмен будет

возникать в структуре оптимальных стратегий. Это существенно осложняет

анализ модели. А кроме того, решение будет существенно зависеть от “тон-

кой” топологической структуры множества V . Это заметно обострит вопрос

об адекватности построенной модели.

Достаточно естественную интерпретацию также предложить несложно.

Можно считать, что первый игрок (начальник) выплачивает вознагражде-

ние второму игроку (сельхозпроизводителю) в зависимости от объема про-

изведенной продукции. Все остальные детали интерпретации первой модели

остаются неизменными.

Формализуем сказанное. Пусть Φ (Y, Z) обозначает класс всех функций из

множества Y в множество Z. Тогда U_∗ = Φ (X × A, U). Второй игрок выби-

рает управление v ∈ V и сообщение β ∈ A, поэтому множество его стратегий

представляет декартово произведение V_∗ = V × A. Определим функции

g_∗ : U_∗ × V_∗ × A → R и h_∗ : U_∗ × V_∗ × A → R

условиями

g_∗ (u_∗,v_∗,α) = g (u_∗ (f (v,α) ,β) ,f (v,α))

h_∗ (u_∗,v_∗,α) = h(u_∗ (f (v,α),β),v,α),

где v_∗ = (v, β).

Тогда вновь получим игру со случайным фактором

Γ_∗ = 〈U_∗,V_∗,A,g_∗,h_∗,℘〉.

От игры Γ она отличается другой дополнительной структурой.

108

3. Принцип оптимальности

Для замыкания модели остается задать порядок взаимодействия игроков

и их отношение к неопределенности. Рассмотрим часто встречающийся на

практике и наиболее изученный случай. Эти конструкции не зависят от до-

полнительной структуры, поэтому одинаковы для обеих игр, описанных в

разделе 2.

Будем исходить из того, что игрок номер один обладает правом первого хо-

да, т.е. он первым выбирает стратегию u, и этот выбор становится известным

партнеру. Кроме того, будем считать, что второму игроку в момент принятия

решения о выборе своего управления v становится известным реализовавше-

еся значение неопределенного фактора α. В этих условиях второй игрок при-

нимает решения в условиях полной информированности, поэтому если функ-

ция h действительно описывает его интересы, он выберет свое управление из

множества

{

}

BR(u,α) = v ∈ V : h(u,v,α) = maxh(u,w,α)

w∈V

Проблема возникает, если максимум в этой формуле не достигается. Поэто-

му поступим традиционным образом: доопределим отображение BR (u, α) на

такой случай условием

{

}

BR (u,α) = v ∈ V : h(u,v,α) ≥ sup h(u,w,α) - κ

w∈V

где κ - некоторое фиксированное положительное число. Из дальнейшего бу-

дет видно, что от числа κ, да и вообще от способа доопределения мало что

зависит.

При сделанных предположениях первый игрок может с основанием рас-

считывать на то, что его партнер выберет управление из множества BR (u, α).

А поскольку “в пределах этого множества” выигрыши второго игрока “прак-

тически одинаковы”, то еще как-то повлиять на его выбор первый игрок не

может. Этот выбор, а значит, и выигрыш первого игрока, разумеется, зависит

от неизвестного ему значения неопределенного фактора. Предположим, что

первый игрок готов исключить из рассмотрения некоторое число “маловеро-

ятных” значений этого фактора, а в остальном осторожен.

Более точно, будем считать, что первый игрок выбирает некоторое чис-

ло ξ ∈ [0, 1] и желает, чтобы при разумном поведении партнера его гаран-

тированный выигрыш “с вероятностью ξ” был как можно больше. Число ξ

описывает склонность первого игрока к риску. Формализуются изложенные

соображения следующим образом.

Определение 1. Максимальным ξ-гарантированным результатом

первого игрока в игре Γ называется число

R (Γ, ξ) = sup sup

inf

g (u,v,α),

B u∈U

α∈B

v∈BR(u,α)

где первый супремум берется по классу всех измеримых подмножеств B

множества A, для которых ℘(B) ≥ ξ.

109

Замечание 3. Может вызвать какие-то возражения требование измери-

мости множества B в этом определении. Можно поменять постановку, заме-

нив меру ℘ в условии ℘ (B) ≥ ξ соответствующей внешней мерой и отказав-

шись от условия измеримости. Из дальнейшего (см. леммы 2 и 3) будет видно,

что в обоих случаях результат будет одним и тем же. Поэтому был выбран

чуть более простой вариант постановки.

Для работы бывает удобнее эквивалентное условие, которое тоже оформим

в виде определения. Но вновь начнем с содержательной интерпретации.

Поскольку второй игрок принимает свое решение в условиях полной ин-

формации, естественно предположить, что для него все выборы разбиваются

на “рациональные” и “нерациональные”. Можно считать, что это разбиение

происходит по пороговому принципу, т.е. существует такое число λ, что “нера-

циональными” являются те и только те выборы, для которых выигрыш вто-

рого игрока меньше λ. Разумеется, значение λ зависит от условий, в которых

второй игрок принимает решение, т.е. от u и α. Как и ранее, будем пола-

гать, что первый игрок желает, чтобы с вероятностью ξ при рациональном

поведении партнера его выигрыш был достаточно хорош. Это приводит к

следующему определению.

Определение 2. Число γ называется ξ-гарантированным результа-

том первого игрока в игре Γ, если существуют измеримое подмножество B

множества A, удовлетворяющее неравенству ℘(B) ≥ ξ, и такая стратегия

u ∈ U, что для любого α ∈ B найдется число λ, для которого выполняются

условия:

1^◦. существует w ∈ V, для которого h(u,w,α) ≥ λ;

2^◦. для любого v ∈ V либо g (u,v,α) ≥ γ, либо h(u,v,α) < λ.

Точная верхняя грань R^′ (Γ, ξ) всех ξ-гарантированных результатов первого

игрока называется его максимальным ξ-гарантированным результатом.

Использование одного термина для обозначения двух величин оправдано

только в том случае, когда эти величины совпадают. В общем случае это,

конечно же, не так, поскольку в “плохих” играх величина R (Γ, ξ) зависит

от κ, а величина R^′ (Γ, ξ) - не зависит. Но в “хороших” играх эти величины

действительно совпадают. В моделях, рассматриваемых в данной статье, это

действительно так.

А именно: справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. При сделанных топологических предположениях выполняют-

ся равенства R(Γ,ξ) = R^′ (Γ,ξ) и R (Γ_∗,ξ) = R^′ (Γ_∗,ξ).

Доказательство леммы 1 приводится в Приложении.

Далее будем пользоваться равенством величин R (Γ, ξ) и R^′ (Γ, ξ) без осо-

бых оговорок, используя для них обозначение R (Γ, ξ). То же относится и к

игре Γ_∗.

4. Игра без обратной связи

Обратимся к анализу игры Γ. В определении максимального гарантиро-

ванного результата для этой игры присутствует одна “неэлементарная” опе-

110

рация. В определении 1 - это супремум по классу всех измеримых подмно-

жеств B множества A, а в определении 2 ему соответствует квантор общности

по тому же классу. Цель данного раздела состоит в том, чтобы заменить эту

операцию “элементарной” операцией вычисления математического ожидания.

Поскольку в настоящей статье рассматривается только одна вероятност-

ная мера ℘, будем обозначать операцию вычисления математического ожи-

дания по этой мере просто символом M.

Введем обозначение

m(u, α) = max h(u, v, α).

v∈V

Удобно воспользоваться определением 2. Пусть для некоторых u, w, α

и λ выполняется неравенство h(u,w,α) ≥ λ, как предусмотрено п. 1^◦ опре-

деления 2. Тогда тем более выполняется неравенство max h(u, v, α) ≥ λ, т.е.

v∈V

m (u, α) ≥ λ. Обратно: если m (u, α) ≥ λ, то п. 1^◦ определения

заведо-

мо будет выполнен (достаточно взять любое w, удовлетворяющее условию

h (u, w, α) = max h(u, v, α)). А п. 2^◦ этого определения выполнить тем легче,

v∈V

чем больше величина λ. Поэтому можно, не уменьшая общности, считать,

что λ = m (u, α).

Но тогда для всех v ∈ BR (u, α) выполняется условие h(u, v, α) = λ, а, сле-

довательно, в силу п. 2^◦ определения 2 должно быть справедливо неравенство

g (u,v,α) ≥ γ по крайней мере для α ∈ B. Последнее условие можно перепи-

сать так: для всех α ∈ B справедливо неравенство

(2)

min

g (u, v, α) ≥ γ.

v∈BR(u,α)

Определим множество

{

}

C(u) = α ∈ A : min g(u, v, α) ≥ γ

v∈BR(u,α)

Справедливо следующее техническое утверждение.

Лемма 2. Множество C (u) измеримо.

Доказательство леммы 2 приведено в Приложении.

Если множество B и стратегия u удовлетворяют условию определения 2,

то в силу неравенства (2) выполнено включение B ⊂ C (u) и, следовательно,

справедливо неравенство ℘ (C (u)) ≥ ℘ (B) ≥ ξ.

И наоборот: если для некоторого u выполнено неравенство ℘ (C (u)) ≥ ξ,

то число γ является ξ-гарантированным результатом, поскольку можно

взять B = ℘ (C (u)), λ = m (u, α) и w, выбрать удовлетворяющее условию

h (u, w, α) = max h(u, v, α).

v∈V

Определим функцию θ (x), положив

{

1, если x ≥ 0,

θ(x) =

0, если x < 0.

111

(

)

Тогда мера множества C (u) равна Mθ

min g(u, v) - γ

. Отсюда немед-

v∈BR(u,α)

ленно получается следующее утверждение.

Теорема 1. Число γ является ξ-гарантированным результатом тогда

и только тогда, когда либо

(

)

maxMθ min g(u, v) - γ

≥ξ

u∈U

v∈BR(u,α)

и максимум в этой формуле достигается, либо

(

)

supMθ min g(u, v) - γ

> ξ.

u∈U

v∈BR(u,α)

Замечание 4. Естественно возникает вопрос: а что будет, если раз-

решить игрокам обмениваться не обязательно достоверной информацией о

неопределенном факторе. Задача вычисления ξ-гарантированного результата

в такой игре легко сводится к только что решенной. Можно просто рассмот-

реть игру, в которой V = V^′ × A и f ((u^′, β) , α) = (f^′ (u^′, α) , β), где u^′ ∈ U и

β ∈ A. Обратную редукцию, видимо, провести невозможно. Кроме того, фор-

мулы при рассмотрении более общего случая получаются чуть белее корот-

кими. Поэтому была рассмотрена именно такая модель.

Понятно, что добавление новых возможностей (по получению инфор-

мации) не может уменьшить ξ-гарантированный результат первого игро-

ка. Привести пример, когда результат увеличивается, совсем не слож-

но. Можно рассмотреть случай, когда интересы игроков совпадают, т.е.

h (u, v, α) = q (u, f (v, α)). Тогда в случае “общего положения” дополнитель-

ный обмен информацией будет приносить первому игроку не нулевую при-

быль.

5. Игра с обратной связью

Перейдем к исследованию игры Γ_∗. В определении максимального гаран-

тированного результата для этой игры присутствуют две “неэлементарные”

операции. Помимо выбора множества B, таковым является выбор стратегии

первого игрока, поскольку множество его стратегий U_∗ = Φ (X × A, U ) - это

функциональное пространство.

Как и ранее, целью исследования будет замена этих операций более про-

стыми. К сожалению, в полном объеме эту задачу решить не удается. Поэтому

сделаем дополнительное предположение.

Гипотеза 1. Функция h удовлетворяет следующему условию: существует

такое u^p ∈ U, что для любого α ∈ A и любого v ∈ V имеет место равенство

h(u^p, v, α) = min h(u, v, α).

u∈U

По существу, здесь предполагается наличие универсальной стратегии на-

казания. Такого рода гипотезы довольно часто используются и в теории кон-

трактов, и в теории иерархических игр. На практике системы, удовлетворяю-

щие этому условию, встречаются довольно часто. Если рассматривать при-

112

веденную в разделе 2 интерпретацию, то это предположение сводится к тому,

что первый игрок может вовсе не выплачивать своему подчиненному возна-

граждение независимо от полученных результатов. Предположение вполне

реалистичное.

Приступим к решению поставленной задачи. Удобно воспользоваться

определением 2. Для краткости запишем его на языке исчисления преди-

катов.

Число γ является ξ-гарантированным результатом в игре Γ_∗ тогда и только

тогда, когда выполнено условие

∃B ∃u_∗ ∈ Φ(X × A,U) ∀α ∈ B ∃λ℘(B) ≥ ξ &

(3)

& [∃w ∈ V ∃ς ∈ A : h (u_∗

(f (w, α) , ς) , w, α) ≥ λ] &

&[∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v,α),β),f (v,α)) ≥ γ ∨h(u_∗ (f (v,α),β),v,α) < λ] .

Как и в разделе 4, начнем с конкретизации значения λ. Пусть

H (α,γ) = {(u,v) ∈ U × V : q (u,f (v,α)) ≥ γ} ,

l (α,γ) =

max h (u, v, α)

(u,v)∈H(γ,α)

(далее удобно использовать стандартное предположение l (α, γ) = -∞, если

H (α, γ) = ∅).

Докажем, что условие (3) равносильно условию

∃B ∃u_∗ ∈ Φ(X × A,U) ∀α ∈ B ℘(B) ≥ ξ &

(4)

& [∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v, α) , β) , f (v, α)) ≥ γ ∨

∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < l(α,γ)].

Пусть условие (3) выполнено. Тогда существуют множество B ⊂ A и стра-

тегия u_∗ ∈ U_∗, для которых ℘ (B) ≥ ξ и

(5)

∀α ∈ B ∃λ [∃w ∈ V ∃ς ∈ A : h(u_∗

(f (w, α) , ς) , w, α) ≥ λ] &

& [∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v, α), β) , f (v, α)) ≥ γ ∨ h(u_∗ (f (v, α), β), v, α) < λ] .

Фиксируем произвольное α ∈ B и подберем число λ так, что

(6)

[∃w ∈ V ∃ς ∈ A : h (u_∗

(f (w,α),ς),w,α) ≥ λ] &

& [∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v, α), β), f (v, α)) ≥ γ ∨ h (u_∗ (f (v, α), β), v, α) < λ] .

Если w ∈ V и ς ∈ A удовлетворяют первой части условия (6), то в силу

второй части этого условия верно неравенство

q (u_∗ (f (w, α) , ς) , f (w, α)) ≥ γ.

Значит, пара (u_∗ (w, ς) , w) принадлежит множеству H (α, γ) , и потому

h(u_∗ (f (w,α),ς),w,α) ≤ l (α,γ) .

В сочетании с неравенством из первой части условия (6) это дает λ ≤ l (α, γ).

А тогда из второй части условия (6) следует, что

∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v,α),β) ,f (v,α)) ≥

≥ γ ∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < l(α,γ).

113

В силу произвольности α ∈ B получим отсюда, что

∀α ∈ B, ∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v,α) ,β) ,f (v,α)) ≥

≥ γ ∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < l(α,γ),

и тем более выполняется условие (4).

Итак, из условия (3) следует условие (4). Докажем обратное. Пусть усло-

вие (4) выполнено.

Тогда существуют множество B ⊂ A и стратегия ω_∗ ∈ U_∗, для которых

℘ (B) ≥ ξ и

∀α ∈ B, ∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (ω_∗ (f (v,α) ,β) ,f (v,α)) ≥ γ ∨

(7)

∨ h(ω∗ (f (v,α),β),v,α) < l(α,γ).

Подправим функцию ω_∗. Для каждого α ∈ A фиксируем пару управлений

(u^α, v^α) ∈ H (α, γ), для которой h (u^α, v^α, α) = l (α, γ). Положим

^{ u^α,

если x = f (v^α, α) и β = α,

u_∗ (x,β) =

ω_∗ (x,α) в остальных случаях.

Для этой стратегии u_∗ и любого β ∈ A выполнено условие

∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v,α),β),f (v,α)) ≥

(8)

≥ γ ∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < l(α,γ).

Действительно, фиксируем произвольные α ∈ B, v ∈ V и β ∈ A. Тогда если

u_∗ (f (v,α),β) = ω_∗ (f (v,α),β), то из условия (7) немедленно следует, что

(9)

q (u_∗ (f (v, α) , β) , f (v, α)) ≥ γ ∨ h (u_∗

(f (v, α) , β) , v, α) < l (α, γ) .

А если u_∗ (f (v(α) , β)) = ω∗ (f (v, α) , β), то по построению v = vβ , а, кроме

того, f (v, α) = f

v^β,β

и (u_∗ (f (v, α) , β) , v) = u^β. Значит,

(

))

q (u_∗ (f (v, α) , β) , f (v, β)) = q u^β, f v^β , β

≥ γ,

и тем более выполняется условие (9). Таким образом, условие (9) выполнено

при всех v ∈ V и β ∈ A, а это и дает условие (8).

Кроме того, для этой стратегии u_∗ и любого α ∈ B выполняется условие

∃w ∈ V ∃υ ∈ A : h(u_∗ (f (w,α),υ),w,α) ≥ l (α,γ)

(можно взять υ = α и w = v^α).

114

Вместе с условием (8) это даст

[∃w ∈ V ∃ς ∈ A : h (u_∗ (f (w, α) , ς) , w, α) ≥ l (α, γ)] &

& [∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v, α) , β) , f (v, α)) ≥

≥ γ ∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < l(α,γ)].

Поскольку неравенство ℘ (B) ≥ ξ предполагается выполненным, отсюда

получим, что

∃λ℘(B) ≥ ξ & [∃w ∈ V ∃ς ∈ A : h(u_∗ (f (w,α) ,ς) ,w,α) ≥ λ] &

& [∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v, α) , β) , f (v, α)) ≥

≥ γ ∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < λ]

(подходит λ = l (α, γ)). В силу произвольности α ∈ B из этого следует, что

∀α ∈ B ∃λ℘(B) ≥ ξ & [∃w ∈ V ∃ς ∈ A : h(u_∗ (f (w,α),ς),w,α) ≥ λ] &

& [∀v ∈ V, ∀β ∈ A q (u_∗ (f (v, α) , β) , f (v, α)) ≥

≥ γ ∨ h(u∗ (f (v,α),β),v,α) < λ],

и тем более выполняется условие (3).

Итак, γ является ξ-гарантированным результатом в игре Γ_∗ тогда и только

тогда, когда выполнено условие (4).

Обозначим

m(α) = maxmin h (u, v, α) .

v∈V

u∈U

Если выполнено условие (4), то для α ∈ B должно выполняться неравен-

ство m (α) ≤ l (α, γ).

Действительно, допустим противное. Фиксируем значение α, для которого

m (α) > l (α, γ), и выберем w так, что

min h (u, w, α) = m (α) .

u∈U

Тогда

h(u_∗ (w,α),w,α) ≥ min h(u,w,α) = m(α) > l (α,γ) .

u∈U

Значит, в силу определения функции l (α, γ) пара (u_∗ (w, α) , w) не принад-

лежит множеству H (α, γ), а, следовательно, q (u_∗ (f (w, α) , α) , f (w, α)) < γ.

Это уже противоречит условию (4).

А если гипотеза 1 справедлива и m (α) < l (α, γ) для всех α ∈ B, то усло-

вие (4) выполнено.

Для доказательства достаточно предъявить подходящую стратегию u_∗.

Очевидно, что если положить u_∗ (x, β) ≡ u^p, то последнее неравенство в усло-

вии (4) будет выполнено при всех α ∈ B, v ∈ V и β ∈ A.

Итак, условие

(10)

∃B : m(α) ≤ l (α,γ)

115

является необходимым, а условие

(11)

∃B : m(α) < l (α,γ)

является достаточным для того, чтобы число γ было ξ-гарантированным ре-

зультатом в игре Γ_∗.

В формулах (10) и (11) осталось по одной “неэлементарной” операции, для

замены которой воспользуемся той же идеей, что и в разделе 4. Для этого

понадобится следующее техническое утверждение.

Лемма 3. Множества {α ∈ A: m(α) ≤l(α,γ)} и {α ∈ A: m(α) <l(α,γ)}

измеримы.

Доказательство леммы 3 приведено в Приложении.

Обозначим ϑ (x) = 1 - θ (1 - x).

Повторяя рассуждения раздела 4, придем к следующему результату.

Теорема 2. Для того чтобы число γ было ξ-гарантированным резуль-

татом в игре Γ_∗, необходимо, чтобы

(

)

Mθ max

h(u,v,α) - maxmin h (u, v, α)

≥ ξ,

(u,v)∈H(γ,α)

v∈V

u∈U

и достаточно, чтобы

(

)

Mϑ max

h(u,v,α) - maxmin h (u, v, α)

≥ ξ.

(u,v)∈H(γ,α)

v∈V

u∈U

Если достаточное условие из этой теоремы выполнено, то приведенные

ранее рассуждения позволяют построить стратегию, гарантирующую полу-

чение этого результата с вероятностью ξ. Действительно, в качестве множе-

ства B можно взять множество {α ∈ A : m (α) < l (α, γ)}. Тогда при α ∈ B

множество H (α, γ) будет не пусто. В таком случае корректно определена

функция

{

(

)

u^β, если x = f

v^β,β

, β∈B,

u_∗ (x,β) =

u^p в противном случае.

Непосредственно проверяется, что такая стратегия является искомой.

Кроме того, та же непосредственная проверка показывает, что при таком

выборе стратегии u_∗ выполняется включение (v^α, α) ∈ BR (u_∗, α). Содержа-

тельно это означает, что второму игроку достаточно выгодно сообщать ис-

тинную информацию о неопределенном факторе α, т.е. в данном случае спра-

ведлив известный принцип выявления.

Замечание 5. Анализ приведенного доказательства теоремы 2 показыва-

ет, что с сохранением результата гипотеза 1 может быть заменена следующим

предположением.

Гипотеза 2. Функция h удовлетворяет следующему условию: существует

такое u^p ∈ U, что для любого α ∈ A имеет место неравенство

max h(u^p, v, α) < l (α, γ) .

v∈V

Это условие сложнее, но кажется гораздо менее ограничительным.

116

Кроме того, анализ того же доказательства показывает, что для того что-

бы число γ было ξ-гарантированным результатом в игре Γ_∗, необходимо, что-

бы выполнялось следующее условие: существует такое u^p ∈ U, что для любого

α ∈ B имеет место неравенство

max h(u^p, v, α) ≤ l (α, γ)

v∈V

(без каких-либо дополнительных предположений). Это необходимое условие

отличается от гипотезы 2 двумя моментами. Во-первых, в одном условии

неравенство строгое, а в другом - нестрогое. Это условие не слишком прин-

ципиальное. С возникающими из-за этого трудностями, скорее всего, можно

было бы справиться. А, во-вторых, в гипотезе 2 условие распространяется на

все α ∈ A, а в необходимом условии говорится об α, принадлежащих заранее

неизвестному множеству B. Вот здесь лежит корень проблем, из-за которых

задачу не удается решить в общем виде.

6. Заключение

В большинстве публикаций, посвященных исследованию аналогичных мо-

делей, приводятся явные формулы для вычисления максимального гаран-

тированного или максимального ожидаемого результата Центра. В данной

статье основной результат состоит в выписывании уравнения, которому удо-

влетворяет максимальный ξ-гарантированный результат. В значительной сте-

пени это связано с разницей между определениями 1 и 2.

В большинстве исследованных случаев выбор одного из них - это просто

вопрос удобства. Наверное, многим привычнее определение 1. В некоторых

случаях удобнее получить основной результат с помощью определения 2, а за-

тем уже преобразовать его в явную формулу. В данном случае все несколько

иначе. Решить задачу с помощью определения 1 не удается, и преобразовать

полученный результат в явную формулу тоже не получается.

Полученные в статье результаты обобщают теоремы из [19]. Модель из [19]

вкладывается в описанную схему, если положить f (v, α) = v.

Если положить ξ = 1, то получится классическая модель Центр-агент с

осторожным Центром. Как следует из замечания 5, дополнительные пред-

положения типа гипотез 1 или 2 в этом частном случае не нужны, поэтому

результат в данном случае получается достаточно общим. Кроме того, при

ξ = 1 результат можно получить в явном виде и с использованием определе-

ния 1.

В общем случае рассмотренная в данной статье задача оказывается суще-

ственно сложнее.

Видимо, этим обусловлен и тот факт, что до сих пор проблема управления

рисками в теоретико-игровых задачах исследовалась мало. В основном изуча-

лись модели либо с осторожными, либо с риск-нейтральными игроками. Важ-

ность более гибкого учета отношения игроков к риску не вызывает сомнения.

В данной статье предложена техника, позволяющая, хотя и с определенны-

ми трудностями, решать подобные задачи. Пока с ее помощью исследована

лишь простейшая модель. Опыт использования этих методов позволяет на-

деяться, что, используя те же идеи, удастся решить и другие, может быть,

более содержательные задачи.

117

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. Сначала докажем что выполняется нера-

венство R (Γ, ξ) ≤ R^′ (Γ, ξ).

Пусть γ - произвольное число, удовлетворяющее условию γ < R (Γ, ξ). Вы-

берем измеримое множество B и стратегию u так, что

(Π.1)

inf

g (u, v, α) > γ.

α∈B

v∈BR(u,α)

Фиксируем произвольное α ∈ B.

Положим λ = max h (u, v, α), если максимум в этой формуле достигается, и

v∈V

λ = suph(u,v,α) - κ в противном случае. Тогда для v ∈ BR(u,α) справедли-

v∈V

во неравенство h (u, w, α) ≥ λ, т.е. выполняется п. 1^◦ определения 2. Далее для

v ∈ BR(u,α) в силу условия (Π.1) выполняется неравенство g (u,v,α) > γ.

А для v ∈ BR (u, α) имеем h (u, v, α) < λ. Значит, выполняется и п. 2^◦ опре-

деления 2.

В силу произвольности α ∈ B число γ является гарантированным резуль-

татом в смысле определения 2. Поэтому γ ≤ R^′ (Γ, ξ). А поскольку выбор чис-

ла γ стеснен лишь условием γ < R (Γ, ξ), имеет место нужное неравенство

R(Γ,ξ) ≤ R^′ (Γ,ξ).

Неравенство R (Γ_∗, ξ) ≤ R^′ (Γ_∗, ξ) доказывается дословно так же.

Теперь докажем неравенство R (Γ_∗, ξ) ≥ R^′ (Γ_∗, ξ).

Пусть γ - произвольное число, удовлетворяющее условию γ < R^′ (Γ, ξ).

Выберем множество B и стратегию u_∗ так, как описано сразу после фор-

мулировки теоремы 2. Фиксируем произвольное α ∈ B.

Непосредственно проверяется, что тогда максимум max h_∗ (u_∗, v_∗, α) до-

v∗∈V∗

стигается, например, в точке v_∗ = (v^α, α). А значит, для всех v_∗ ∈ BR (u_∗, α)

выполняется равенство

(Π.2)

h_∗ (u_∗,v_∗,α) = max h_∗ (u_∗,w_∗

,α).

w∗∈V∗

Пусть число λ удовлетворяет условию определения 2. Тогда для некото-

рого w_∗ справедливо неравенство λ ≤ h_∗ (u_∗, w_∗, α) и тем более

λ ≤ max h∗ (u_∗,w_∗,α).

w∗∈V∗

Поэтому в силу условия (Π.2) для всех v_∗ ∈ BR (u_∗, α) выполняется нера-

венство h_∗ (u_∗, v_∗, α) ≥ λ и, значит, в силу п. 2^◦ определения 2 будем иметь

g_∗ (u_∗,v_∗,α) ≥ γ. Следовательно,

inf

g_∗ (u_∗,v_∗,α) ≥ γ,

v∗∈BR(u∗,α)

а в силу произвольности α ∈ B выполняется неравенство

inf

g_∗ (u_∗,v_∗,α) ≥ γ.

α∈B

v∗∈BR(u∗,α)

118

Тем более

R (Γ, ξ) = sup sup

inf

g (u,v,α) ≥ γ.

B u∈U

α∈B

v∈BR(u,α)

В силу произвольности γ отсюда следует, что R (Γ_∗, ξ) ≥ R^′ (Γ_∗, ξ).

Неравенство R (Γ, ξ) ≥ R^′ (Γ, ξ) доказывается практически так же, только

вместо ссылки на теорему 2 можно сослаться на стандартную теорему из

курса математического анализа.

Лемма 1 доказана.

Замечание П.1. При доказательстве теоремы 2 лемма 1 никак не ис-

пользовалась. Поэтому логического круга здесь нет. Ссылка на теорему ис-

пользована выше исключительно для сокращения доказательства леммы.

Доказательство леммы 2. Для доказательства леммы достаточно

сведений, явно сформулированных в [20] (см. гл. V, § 4), и стандартной то-

пологической техники.

Для того чтобы множество C(u) было измеримо, достаточно, чтобы при

фиксированном u была измеримой функция ϕ (α) = min g(u, v, α). Для

v∈BR(u,α)

этого необходимо и достаточно, чтобы измеримой была функция

-ϕ(α) = 0 - ϕ(α) .

Следовательно, достаточно доказать, что при любом γ измеримо множество

{

}

C⁰(u) = {α ∈ A : -ϕ(α) < -γ} = α ∈ A : min g(u,v,α) > γ

v∈BR(u,α)

Мера ℘ предполагается борелевской, поэтому достаточно установить, что

множество C⁰ (u) является открытым.

Пусть это не так. Тогда существуют α ∈ C⁰ (u) и сходящаяся к α последо-

вательность α₁, α₂, . . . такая, что α_k ∈ C⁰ (u), k = 1, 2, . . .

Функция h непрерывна, поэтому множество BR (u_k, α) замкнуто. Мно-

жество V компактно, значит, компактно и его замкнутое подмноже-

ство BR (u_k, α). Следовательно, в некоторой точке v_k достигается мини-

мум min g(u, v, α_k ). Так как α_k ∈ C⁰ (u), то выполняется неравенство

v∈BR(u,α_k )

g (u,v_k,α_k) = min g(u,v,α_k) ≤ γ.

v∈BR(u,α_k )

В силу компактности множества V можно, не ограничивая общности, счи-

тать, что последовательность v₁, v₂, . . . сходится к некоторому элементу v

(в противном случае можно перейти к подходящей подпоследовательности).

Поскольку v_k ∈ BR (u, α_k), то для любого w ∈ V выполняется неравенство

h (u, v_k, α_k) ≥ h (u, w, α_k ). Функция h непрерывна, поэтому, переходя в этом

неравенстве к пределу при k → ∞, получим h (u, v, α) ≥ h (u, w, α). В силу

произвольности w это означает, что v ∈ BR (u, α).

Из непрерывности функций q и f немедленно следует непрерывность

функции g. Поэтому, переходя к пределу при k → ∞ в неравенстве

g (u,v_k,α_k) ≤ γ, получим g (u,v,α) ≤ γ. Тем более min g(u,v,α) ≤ γ. Это

v∈BR(u,α)

противоречит условию α ∈ C⁰ (u)

119

Лемма 2 доказана.

Доказательство леммы 3. Прежде всего заметим, что из непрерыв-

ности функции h и компактности множеств U, V и A стандартным образом

выводится непрерывность функции m.

Для доказательства измеримости обоих множеств достаточно доказать из-

меримость функции ψ (α) = m (α) - l (α, γ). А для этого достаточно доказать

измеримость множества

C¹ (α) = {α ∈ A : l (α,γ) < m(α) + c}

(при любом c).

Поскольку мера ℘ - борелевская, достаточно доказать, что это множество

открыто.

Допустим противное. Тогда существуют α ∈ C¹ (u) и сходящаяся к α по-

следовательность α₁, α₂, . . . такая, что α_k ∈ C¹ (u), k = 1, 2, . . .

По определению множество H (α_k, γ) - замкнутое подмножество декарто-

ва произведения U × V (оно задается нестрогим неравенством, а функция

q (u, f (v, α)) непрерывна). Множества U и V компактны, значит, компактно

и множество H (α_k, γ). А тогда в некоторой точке (u_k, v_k) достигается макси-

мум

max h (u, v, α_k) .

(u,v)∈H(γ,α_k)

В силу компактности множеств U и V без потери общности можно считать,

что последовательность (u₁, v₁) , (u₂, v₂) , . . . сходится к точке (u₀, v₀).

Точки (u_k, v_k), k = 1, 2, . . . , принадлежат множествам H (α_k, γ), поэтому

выполняются неравенства q (u_k, f (v_k, α_k)) ≥ γ. Переходя в этом неравенстве

к пределу при k → ∞, получим q (u₀, f (v₀, α)) ≥ γ, т.е. (u₀, v₀) ∈ H (α, γ).

Поэтому h (u₀, v₀, α) ≤ l (α, γ) < m (α) + c. Но тогда в силу непрерывности

функции h при достаточно больших k должны выполняться неравенства

h(u_k,v_k,α) < m(α) + c.

Это противоречит условию α_k ∈ C¹ (u), k = 1, 2, . . .

Полученное противоречие доказывает лемму 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Markowitz H.M. Portfolio Selection // J. Finance. 1952. V. 7. No. 1. P. 77-91.

2. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997.

3. Агасандян Г.А. Применение континуального критерия VAR на финансовых

рынках. М.: ВЦ РАН, 2011.

4. Jorion Р. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. N.Y.:

McGraw-Hill, 2006.

5. Агасандян Г.А. Континуальный критерий VaR и оптимальный портфель ин-

вестора // Управление большими системами. Вып. 73. М.: ИПУ РАН, 2018.

С. 6-26.

6. Harsanyi J.C. Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players.

I // Manage. Sci. 1967. V. 14. No. 3. P. 159-183.

120

Harsanyi J.C. Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players.

II // Manage. Sci. 1968. V. 14. No. 5. P. 320-334.

Harsanyi J.C. Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players.

III // Manage. Sci. 1968. V. 14. No. 7. P. 486-502.

Fudenberg D., Tirole J. Game theory. Cambridge: MIT Press, 1991.

10.

Bolton P., Dewatripont M. Contract Theory. Cambridge: MIT Press, 2004.

11.

Laffont J.-J., Martimort D. The Theory of Incentives: The Principal-Agent Model.

Cambridge: MIT Press, 2002.

12.

Халезов А.Д. Об одном классе многошаговых конфликтов в условиях риска //

Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 1982. Т. 22. № 1. С. 42-48.

Khalezov A.D. On a Class of Multistage Conflicts under Conditions of Risk //

Comput. Math. Math. Phys. 1982. V. 22. No. 1. P. 42-48.

13.

Халезов А.Д. Применение уточняемых стратегий в многошаговых конфликтах

в условиях риска // АиТ. 1990. № 2. С. 113-123.

Khalezov A.D. Application of Tunable Strategies in Multistage Conflicts under

Risky Conditions // Autom. Remote Control. 1990. V. 51. No. 2. Part 2. P. 231-239.

14.

Халезов А.Д. Общее решение задачи Центр-Агент с симметричной информа-

цией в условиях риска // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2001. Т. 41. № 3.

С. 374-383.

Khalezov A.D. A General Solution of the Principal-Agent Problem with Symmetric

Information under Risk Conditions // Comput. Math. Math. Phys. 2001. V. 41.

No. 3. P. 347-355.

15.

Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Механизмы стимулирования в ве-

роятностных моделях социально-экономических систем // АиТ. 1993. № 11.

С. 3-30.

Burkov V.N., Enaleev A.K., Novikov D.A. Stimulation Mechanisms in Probability

Models of Socioeconomic Systems // Autom. Remote Control. 1993. V. 54. No. 11.

P. 1575-1598.

16.

Бурков В.Н., Еналеев А.К., Новиков Д.А. Вероятностная задача стимулирова-

ния // АиТ. 1993. № 12. С. 140-145.

Burkov V.N., Yenaleev A.K., Novikov D.A. Probabilistic Stimulation Problem //

Autom. Remote Control. 1993. V. 54. No. 12. P. 1846-1851.

17.

Бурков В.Н., Новиков Д.А. Оптимальные механизмы стимулирования в ак-

тивной системе с вероятностной неопределенностью. II // АиТ. 1995. № 10.

С. 121-126.

Burkov V.N., Novikov D.A. Optimal Incentive Mechanisms in Active Systems under

Stochastic Uncertainty // Autom. Remote Control. 1995. V. 56. No. 10. P. 121-126.

18.

Enaleev Optimal Incentive Compatible Mechanism in a System with Several Active

Elements // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 1. P. 146-158.

19.

Горелов М.А. Принцип “Value at Risk” в иерархической игре // Управление

большими системами. Вып. 72. М.: ИПУ РАН, 2018. С. 6-26.

20.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального

анализа. М.: Наука, 1981.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Губко.

Поступила в редакцию 13.09.2018

После доработки 31.01.2019

Принята к публикации 07.02.2019

121