Автоматика и телемеханика, № 7, 2019

(Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики», Москва),

М.А. ПОТАПОВ, канд. физ.-мат. наук (potapov@icad.org.ru)

(Институт автоматизации проектирования РАН, Москва)

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПО ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ

ЧАСТИЧНЫМ ОТНОШЕНИЯМ ПРЕДПОЧТЕНИЯ¹

Дается обзор методов анализа чувствительности недоминируемых аль-

тернатив к изменению параметров частичных квазипорядков, описываю-

щих предпочтения. В качестве таких параметров могут выступать зна-

чения коэффициентов важности критериев или границы интервальных

оценок степеней превосходства в важности одних критериев над другими,

границы интервалов неопределенности замещений критериев и другие.

Ключевые слова: многокритериальные задачи принятия решений, ча-

стичные квазипорядки, анализ чувствительности, теория важности кри-

териев.

DOI: 10.1134/S0005231019070079

1. Введение

При анализе и выборе многокритериальных решений широко используют-

ся параметрические модели предпочтений. Самый известный пример — ад-

дитивная функция ценности (в частности, линейная «свертка») с весами (ко-

эффициентами важности) критериев. Так как назначение точных значений

параметров по целому ряду причин (из-за наличия неопределенных факто-

ров, неточности исходных данных, неполноты сведений о предпочтениях ли-

ца, принимающего решения, и т.п.) — непростая проблема, то такие значения

оказываются недостаточно надежными и могут содержать ошибки. Поэтому

важным этапом анализа прикладных задач является оценка чувствительно-

сти результатов выбора к изменению назначенных величин параметров, т.е.

выяснение пределов, в которых можно изменять исходные значения парамет-

ров так, чтобы результаты выбора оставались неизменными. Например, в ру-

ководстве по подаче предложений по политическому анализу (policy analysis)

для Европейской комиссии Европейского союза в контексте по оценке влия-

ния [1] записано: «Если допущения, лежащие в основе базового сценария,

могут изменяться в результате воздействия внешних факторов, необходимо

провести анализ чувствительности, чтобы оценить, существенно ли различа-

ются последствия вариантов политики для различных значений ключевых

переменных».

¹ Исследования проводились в рамках государственной поддержки ведущих универси-

тетов Российской Федерации “5-100” и Госпрограммы исследований Института автомати-

зации проектирования РАН.

142

С другой стороны, следует отметить, что результаты анализа чувствитель-

ности могут прояснить и требования к точности оценок параметров.

Методы анализа чувствительности хорошо развиты для однокритериаль-

ных задач оптимизации (см., например, [2]) и особенно для задач линейно-

го программирования [3, 4]. Для многокритериальных задач методы анали-

за чувствительности первоначально разрабатывались применительно к мо-

делям предпочтений в виде аддитивной функции ценности (в том числе для

методов анализа иерархий и TOPSIS), в которой параметрами являлись ве-

са критериев, а затем и значения частных функций ценности [5-13]. Однако

разработанные для параметрических функций ценности подходы к анализу

чувствительности в принципе не годятся для моделей с частичными бинар-

ными отношениями, ибо при фиксированных значениях параметров функция

ценности позволяет сравнивать по предпочтительности любые варианты, а

частичное отношение предпочтения этого не позволяет. Поэтому здесь тре-

буются иные методы, основанные на новых идеях.

Анализу чувствительности для параметрических полных транзитив-

ных отношений предпочтения, возникающих при использовании метода

PROMETEE II, посвящены статьи [14, 5]. Метод из [15] учитывает измене-

ния весов критериев и основан на решении смешанной целочисленной задачи

линейного программирования.

Методы анализа чувствительности для частичных отношений предпочте-

ния вначале были разработаны для моделей, базирующихся на отношениях

превосходства (outranking relations) и использующихся в таких методах ре-

шения многокритериальных задач, как ELECTRE (разных видов) [16-18].

Следует иметь в виду, что отношения превосходства не являются транзитив-

ными. В [16] для метода ELECTRE I предложены аналитические методы рас-

чета границ интервалов, в пределах которых изменение весов отдельных кри-

териев, а также отдельных уровней согласия или несогласия не меняют мно-

жество недоминируемых альтернатив. В [17] для метода ELECTRE III, кото-

рый используется для упорядочения альтернатив по предпочтительности на

основании конструируемого нечеткого отношения превосходства (outranking

relation), предложен метод оценки «устойчивости» полученного упорядоче-

ния при помощи трех показателей, имеющих вероятностный смысл и опре-

деляемых для каждой пары альтернатив: индекс приемлемости рангов (аль-

тернатив в их итоговой упорядоченности), индекс парного выигрыша (пре-

восходства в предпочтительности) и индекс несравнимости. При этом пред-

полагается, что для параметров отношения превосходства (весов критериев

и пороговых уровней), а также и для значений критериев заданы области

(обычно интервалы), в которых истинные значения этих параметров распре-

делены равномерно. Значения указанных индексов рассчитываются методом

Монте Карло. В [18] применительно к задаче выбора места логистического

центра проведен сравнительный анализ чувствительности результатов выбо-

ра, полученных методом ELECTRE I, а также методами TOPSIS, COPRAS и

VIKOR, к изменению весов критериев, значений критериев и формулировок

критериев. Для этого задача выбора (с 11 критериями и 8 альтернативами)

решалась при нескольких различных значениях весов, двух — исходных и

полученных аффинным преобразованием — значениях критериев (шкалы ко-

143

торых полагались интервальными), а также двух формулировок критериев

(одна имела смысл «позитивного результата», а другая — «негативного»).

А затем сравнивались полученные в результате решения задачи выбранны-

ми методами упорядочения альтернатив по предпочтительности.

В многоцелевом линейном программировании (multi-objective linear

programming — MOLP) разработаны методы анализа чувствительности от-

дельной оптимальной по Парето или Слейтеру альтернативы к изменению

коэффициентов целевых функций. С обзором этих методов можно познако-

миться по [19].

Для параметрических частичных транзитивных отношений предпочтения

методы анализа чувствительности были созданы лишь в последнее десяти-

летие, причем, насколько известно авторам статьи, только в России. Обзору

публикаций, в которых изложены эти методы, и посвящена данная статья.

Изложение методов ведется в рамках единой концепции.

2. Математическая модель

Для анализа задач принятия решений о выборе наилучшей альтернативы

(варианта решения) используется следующая математическая модель про-

блемной ситуации:

(2.1)

M =< X,f,Z,P >,

где:

X — множество альтернатив (стратегий, планов, вариантов выбора) x;

f = (f₁,...,f_m) — векторный критерий, где f_i: X → Z_i — частные, или

локальные критерии (m ≥ 2), Z_i ⊆ (-∞, +∞) — область значений («шкала»)

критерия f_i;

Z = Z₁ × ... × Z_m — множество векторных оценок, или область значений

векторного критерия f;

P — математическая модель предпочтений лица, принимающего решение

(ЛПР).

Векторный критерий f = (f₁, . . . , f_m) служит для оценки последствий, к

которым приводит выбор альтернативы x ∈ X. Сравнение альтернатив x по

предпочтительности осуществляется путем сопоставления их векторных оце-

нок y = f(x) = (f₁(x), . . . f_m(x)).

Далее рассматривается случай, когда модель предпочтений P представля-

ет собой параметрическое отношение строгого предпочтения P⁰(γ) на множе-

стве Z: при фиксированном значении параметра γ из области его значений Γ

запись yP⁰(γ)z означает, что векторная оценка y предпочтительнее, чем z.

Предполагается, что при любом γ ∈ Γ отношение P⁰(γ) является строгим

частичным порядком: оно иррефлексивно (yP⁰(γ)y неверно) и транзитивно

(из yP⁰(γ)z и zP⁰(γ)u следует yP⁰(γ)u). Это отношение является частичным:

если y = z, то могут не выполняться ни yP⁰(γ)z, ни zP⁰(γ)y. Оно задается

на основе накопленной информации о предпочтениях ЛПР при помощи под-

ходящего решающего правила. Отношение P⁰(γ) порождает на множестве

144

альтернатив X аналогичное по смыслу отношение P (γ) — строгий частич-

ный порядок:

x^′P(γ)x^′′ ⇔ f(x^′)P⁰(γ)f(x^′′).

Последнее выделяет из X подмножество недоминируемых (по P (γ)) альтер-

натив X(γ): альтернатива x^∗ называется недоминируемой (по P (γ)), если не

существует альтернативы x такой, что верно xP (γ)x^∗. Анализ чувствитель-

ности может проводиться как для отдельных недоминируемых альтернатив,

так и для всего их множества X^∗(γ) в целом.

Далее считается, что множество альтернатив конечно: X = {x¹, . . . , xⁿ}.

В анализе чувствительности базовую роль играет понятие потенциального

доминирования: альтернатива x^j называется потенциально доминирующей

над x^t, если найдется такое значение γ ∈ Γ, при котором верно x^jP (γ)x^t.

В [20, 21] доказывается ряд общих утверждений, упрощающих поиск потен-

циально доминирующих альтернатив.

Пусть фиксировано значение γ^∗ ∈ Γ и X^∗ = {x∗1 , . . . , x∗l , . . . , x∗L } — мно-

жество альтернатив, недоминируемых по P (γ^∗). Целью анализа чувствитель-

ности отдельной альтернативы x∗l или всего множества X^∗ в целом является

получение оценки такого максимально возможного изменения значения па-

раметра γ^∗ до значений γ ∈ Γ, при котором остается недомируемой по P (γ)

эта альтернатива или всe указанное множество. Для этого следует ввести

меру (степени) изменения значений параметра; такая мера может вводиться

по-разному, с учетом специфики исходной задачи выбора (см. ниже).

3. Анализ чувствительности для моделей

с однородными параметрами

Во множестве многокритериальных моделей предпочтений, основанных на

частичных бинарных отношениях, можно выделить модели с однородными

(обычно безразмерными) параметрами и модели с неоднородными (имеющи-

ми разную «физическую» размерность) параметрами. Примерами моделей

первого из указанных классов являются модели из теории (симметрической,

или истинной) важности (однородных, т.е. имеющих общую шкалу, а потому и

единую область значений Z₀ = Z₁ = · · · = Z_n) критериев [22, 23]. Примерами

моделей второго класса служат модели из теории параметрической важности

неоднородных критериев и, в частности, из теории интервальных замещений

критериев [24, 25].

Чувствительность выбора к изменению оценок (коэффициентов) важно-

сти α_i однородных критериев f_i с порядковой шкалой или шкалой пер-

вой порядковой метрики и конечным множеством значений Z₀ изучена в

[20, 21, 26-29]. Множество A^Ω = Γ — область значений вектора важности

α = (α₁,...,α_m) = γ — формируется как «техническими» ограничениями:

(3.1)

α₁ > 0,... ,α_m > 0; α₁ + ··· + α_m

= 1,

145

так и ограничениями, основанными на качественной информации о важно-

сти Ω, состоящей из сообщений типа «Один критерий важнее другого» (i ≻ j)

и «Оба критерия равноважны» (i ∼ j):

(3.2)

α_i > α_j при i ≻ j ∈ Ω; α_i = α_j

при i ∼ j ∈ Ω.

(В теории качественной важности имеются строгие определения понятий ра-

венства и превосходства важности одних критериев над другими, а в теории

количественной важности имеется строгое определение понятия превосход-

ства важности в h раз [22, 30, 31]. Эти определения здесь не приводятся, так

как в дальнейшем изложении они непосредственно не используются.)

В теории важности критериев аналитические решающие правила могут за-

даваться системами линейных равенств и неравенств. Далее полагается, что

множество (область значений критериев) Z₀ конечно: Z₀ = {1, . . . , q}, а шка-

ла критериев порядковая. Для количественной информации о важности Θ,

согласованной с полной качественной информацией Ω (все критерии упоря-

дочены по важности и выполнены условия (3.2)) и однозначно определяю-

щей количественные коэффициенты важности α_i (так как по определению

h_ij = α_i/α_i, где h_ij степень превосходства в важности критерия f_i над крите-

рием f_j), решающее правило, задающее на X соответствующее отношение

строгого предпочтения P (α), представляет собой систему линейных нера-

венств [30, 31]:

∑

(3.3)

x^jP(α)x^t

⇔ c^jikα_i ≥ c^tikα_i

k = 2,...,q,

i=1

причем среди q - 1 нестрогих неравенств хотя бы одно выполняется как

строгое. В (3.3) коэффициенты равны: c^jik = 1 при f_i(x^j ) ≥ k и c^jik = 0 при

f_i(x^j) < k.

В [20, 21] рассматривается случай точечной оценки важности, когда за-

дается точное значение α^∗ ∈ A^Ω. При этом решением задачи выбора яв-

ляется множество X^∗ = {x∗1 , . . . , x∗l , . . . , x∗L } альтернатив, недоминируемых

по P (α^∗). Оно непусто и, более того, внешне устойчиво: если альтернатива x^j

не входит в X^∗, то найдется более предпочтительная альтернатива x^∗l, т.е.

такая, что верно x^∗lP (α^∗)x^j .

Согласно общему определению альтернатива x^j является потенциально

доминирующей над альтернативой x^t, если не пусто множество A^jt значе-

ний α, удовлетворяющих системе линейных ограничений, состоящей из q - 1

неравенств (3.3), среди которых должно быть хотя бы одно строгое, а также

ограничений (3.1)-(3.2). Cовместность этой системы практически можно про-

верить при помощи методов линейного программирования. Для этого надо

учесть, что после удаления равенства из (3.1) получим систему однородных

линейных неравенств, которая совместна тогда и только тогда, когда совмест-

на исходная система. А последняя эквивалентна по совместности системе из

линейных равенств и нестрогих неравенств, получаемой заменой всех стро-

гих неравенств в (3.1) и (3.3) нестрогими с добавлением в правые их части

146

произвольного положительного числа e (например, единицы):

α₁ ≥ e,... ,α_m ≥ e; α_i - α_j ≥ e при i ≻ j ∈ Ω,

α_i = α_j при i ∼ j ∈ Ω

и добавлением неравенства

∑ q∑

(

)

α_i

c^jik - c^t

≥ e.

i=1

k=2

Степень чувствительности недоминируемой по P (α^∗) альтернативы x^∗l

относительно потенциально доминирующей над ней альтернативы x^k оце-

нивается при помощи расстояния d^kl от точки α^∗ до множества A^kl, т.е.

d^kl = infα∈Akl d(α,α^∗), где d(α,α^∗) — это расстояние между точками α и α^∗.

Последнее определяется одной из следующих формул:

∑

d^σ(α,α^∗) =

|α_i - α^∗i| , d^μ(α, α^∗) = max

|α_i - α^∗i| .

i∈{1,...,m}

i=1

Используя известные приемы (см., например, [30]), за счет введения допол-

нительных переменных оптимизационная задача нахождения d^kl сводится к

задаче с линейной целевой функцией и линейными ограничениями. Наконец,

учитывая, что множество A^jl не пусто, можно все строгие однородные нера-

венства, входящие в состав определяющей это множество системы линейных

ограничений, заменить нестрогими и в итоге получить задачу линейного про-

граммирования.

Пусть N^l — множество номеров альтернатив, потенциально доминирую-

щих над x^∗l. Степень чувствительности отдельной альтернативы x^∗l ха-

рактеризуется наименьшим относительным значением δ^l величин d^kl для

всех потенциально доминирующих над ней альтернатив: δ^l = d^l/D, где

D = supα∈AΩ d(α,α^∗) и d^l = min_k∈Nl d^kl.

Для оценки степени устойчивости множества X^∗ недоминируемых

по P (α^∗) альтернатив в целом можно использовать показатель δ^∗ =

= minl∈{1,...,L} δ^l.

Пусть теперь все критерии упорядочены по важности согласно качествен-

ной информации о важности Ω, перенумерованы в порядке невозрастания

их важности и имеется количественная информация о важности Θ, согласо-

ванная с Ω. Такая информация включает величины степеней h_i превосход-

ства в важности критериев f_i над cледующими в упорядочении критериями

fi+1, т.е. h_i = α_i/αi+1, i = 1,... ,m - 1, так что h_i > 1 при i ≻ i + 1 и h_i = 1

при i ∼ i + 1, i = 1, . . . , m - 1. Числа h_i составляют вектор h = (h₁, . . . , hm-1).

Этот вектор однозначно задает коэффициенты важности:

(3.4)

α_i(h) = ν(h) · hm-1 · hm-2 · ... · h_i, i = 1,... ,m - 1, α_m

(h) = ν(h),

где ν(h) — положительный нормирующий множитель, обеспечивающий вы-

полнение равенства в (3.1). С учетом (3.4) решающее правило (3.3) можно

147

переписать в виде:

∑

(3.5)

x^jP(h)x^t

⇔ ν(h) δ^jtikα_i

(h) ≥ 0, k = 2, 3, . . . , q,

i=1

причем среди q - 1 нестрогих неравенств хотя бы одно выполняется как стро-

гое. В (3.5) коэффициенты δ^jtik = c^jik - c^tik ∈ {-1, 0, 1}.

В [26, 27] рассматривается случай интервальной информации о важности

критериев Δ, состоящей из интервальных оценок степеней превосходства в

важности:

(3.6)

1≤a_i ≤h_i ≤b_i

i = 1,...,m - 1

(если i ∼ i + 1, то a_i = b_i = 1). Интервальной оценкой важности является век-

тор τ = (a₁, b₁, . . . , am-1, bm-1) величин границ интервалов из (3.6). Множе-

ство H^Δ возможных значений вектора h задается ограничениями (3.6). Ре-

шающее правило, задающее отношение P (τ) на основе интервальной инфор-

мации Δ, таково: x^j P (τ)x^t верно тогда и только тогда, когда (3.5) выполнено

для всех значений h ∈ H^Δ. Поскольку множитель ν(h) > 0, то это решающее

правило можно представить в оптимизационной форме:

∑

(3.7)

x^jP(τ)x^t

⇔ inf

δ^jtikα^′i

(h) ≥ 0, k = 2, 3, . . . , q,

h∈H^Ξ

i=1

где величины α^′i(h), i < m, определяются согласно (3.4), но без ν(h), и

α^′m(h) = 1.

Здесь при анализе чувствительности роль компонент векторного парамет-

ра γ играет вектор τ = (a₁, b₁, . . . , am-1, bm-1) с областью возможных значе-

ний T = Γ, задаваемой условиями (3.6).

Пусть задана интервальная оценка важности критериев τ^∗ = (a∗1, b∗1, . . . ,

...,a∗m-1,b∗m-1). Анализ чувствительности недоминируемых по P(τ^∗) альтер-

натив оказался весьма непростым, требующим решения сложных нелинейных

оптимизационных задач. Поэтому в [27, 28] предложен аналитический метод

оценки чувствительности результатов сравнения альтернатив по предпочти-

тельности, т.е. метод сохранения истинности соотношения x^j P (τ^∗)x^t при из-

менении границ отдельно взятого r-го интервала из (3.6).

Область возможных значений вектора τ, в котором все компоненты, кро-

ме a_r и b_r, равны соответствующим компонентам вектора s^∗, обозначим че-

рез T^r. Это — многомерный многогранник, и он отличается от многогранни-

ка T только границами для r-й компоненты: вместо границ a^∗r и b^∗r он задается

границами a_r и b_r, которые и надо найти. Для этого можно в разных ком-

∑_m

бинациях подставлять в условие

δ^jtikα^′i(h) ≥ 0 (см. (3.5)) для всех i = r

i=1

крайние значения h_i для интервала из (3.6), т.е. числа a^∗i и b^∗i. В результате

получится система линейных неравенств относительно одной переменной h_r.

Из этих неравенств с учетом (3.6) несложно получить ограничения на эту пе-

ременную. А потом рассчитать модули изменений границ a^∗r и b^∗r, являющиеся

искомыми характеристиками чувствительности.

148

4. Анализ чувствительности для моделей

с неоднородными параметрами

В [31, 32] рассматриваются параметрические модели предпочтений, воз-

никающие при использовании методов параметрической (пропорциональной)

важности (неоднородных) критериев. Предпочтения представляются в форме

интервалов неопределенности замещения (ИНЗ) критерия f_i критерием f_j:

(4.1)

λ_ij = (λ^-ij,λ+ij), где

0<λ^-ij <λ+ij,

которые обладают следующими характеристическими свойствами:

(

)

y ∥y_i - t , y_j + λ+ijt Py, ∀y ∈ Z, t > 0, y_i - t ∈ Z_i, y_j + λ+ijt ∈ Z_j;

(

)

yP y ∥y_i - t , y_j + λ^-ijt , ∀y ∈ Z, t > 0, yi - t ∈ Zi, yj + λ-ijt ∈ Zj.

Здесь под (y ∥y_i - t, y_j + bt) понимается векторная оценка, полученная из век-

торной оценки y заменой ее компонент y_i и y_j соответственно на y_i - t и

y_j + bt.

Пусть {λ_ij } — произвольный набор ИНЗ. Для такого, общего случая интер-

вальной информации о замещениях критериев решающие правила представ-

ляют собой системы неравенств, линейных относительно некоторых дополни-

тельных переменных, причем величины λ^-ij и λ+ij являются коэффициентами

при этих переменных [25, 33]. В силу указанного обстоятельства при анализе

чувствительности к изменению этих величин возникают достаточно сложные

нелинейные задачи оптимизации [31]. Поэтому целесообразно изучать случаи

таких наборов ИНЗ, для которых можно получить аналитические решающие

правила.

В [32] рассмотрен наиболее интересный для приложений случай, когда

ИНЗ заданы для каждого из m - 1 критериев f₂, . . . , f_m и критерия f₁ и об-

разуют вектор λ = (λ-21, λ⁺²¹, . . . , λ-m1, λ+m1). Вводятся следующие обозначения:

δ^jt = f(x^j) - f(x^t);

M = {2,...,m};

{

}

{

}



M⁺(δ^jt) = i ∈

^δ^jti > 0 ,

M^-(δ^jt) = i ∈

^δ^jti < 0 ;

∑

(4.2)

a^jt = δjt1 +

λ-i1δ^jti +

λ+i1δ^jti,

i∈M⁺(δ^jt)

i∈M^-(δ^jt )

∑

b^jt = δjt1 +

λ+i1δ^jti +

λ-i1δ^jti.

i∈M⁺(δ^jt )

i∈M^-(δ^jt)

Если одно из множеств M⁺(δ^jt) или M^-(δ^jt) пусто, то соответствующая сум-

ма в (4.2) равна нулю. Заметим, что a^jt ≤ b^jt, причем a^jt = b^jt только при

f (x^j) = f(x^t).

Решающее правило формулируется так [25, 34]:

149

Если f_i(x^j ) = f_i(x^t) для некоторого i > 1 и выполнено одно из следующих

условий:

— все критерии континуальны (т.е. все m множеств Z_i — числовые проме-

жутки);

— базовый критерий континуален и неограничен или ограничен только с

одной стороны,

то

(4.3)

x^jP(λ)x^t ⇔ a^jt ≥ 0; x^tP(λ)x^j ⇔ b^jt ≤ 0; x^jN(λ)x^t ⇔ a^jt < 0 < b^jt

(здесь N(λ) — это отношение несравнимости).

Интервальной оценкой замещений критериев является вектор ИНЗ λ^∗ =

= (λ∗-21 , λ∗+21 , . . . , λ∗-m1, λ∗+m1). Целью анализа чувствительности отдельной недо-

минируемой по P (λ^∗) альтернативы или множества таких альтернатив в це-

лом к изменению параметра γ = λ является получение оценок максимально

возможных изменений λ^∗, при которых недоминируемость сохраняется. Об-

ласть возможных значений Γ = Λ параметра λ определяется системой нера-

венств из (4.1).

При расширении ИНЗ изменением соответствующего отношения пред-

почтения может быть только его сужение, так что недоминируемые

по P (λ^∗) альтернативы останутся недоминируемыми. Следовательно, для

оценки чувствительности достаточно исследовать возможности сужения

ИНЗ. Но «физическая» размерность критериев может быть разной. По-

этому для соизмерения степеней сужения разных ИНЗ из λ^∗ до λ,

где (λ-i1, λ+i1) ⊆ (λ∗-i1, λ∗+i1), i ∈

M , вводятся величины d_i = λ∗+i1 - λ∗-i1 , где

λ-i1 = λ∗-i1 + r^-id_i, λ+i1 = λ∗+i1 - r+id_i, r^-i ≥ 0, r+i ≥ 0, i ∈

M . Переменные r^-i и r^-i

согласно (4.1) должны удовлетворять условиям

(4.4)

r^-i ≥ 0, r+i ≥ 0, r^-i + r+i < 1, i ∈

Относительная длина суженного ИНЗ равна (λ+i1 - λ-i1)/d_i = 1 - (r+i + r^-i) >

> 0. Поэтому для оценки степени сужения ИНЗ можно использовать показа-

тели r^-i и r+i: чем они больше, тем сильнее сужение соответcтвующего ИНЗ.

В итоге приходим к многокритериальной задаче максимизации с 2(m - 1)

равноважными критериями r^-i и r+i (задачи с равноважными критериями

изучались в [35]). Полагается, что увеличение больших значений одних ве-

личин r^-i и r+i не компенсирует уменьшение меньших значений других та-

ких величин. Иначе говоря, вначале желательно максимизировать наимень-

шую из величин r^-i и r+i, i ∈M, затем следующую в порядке их возрастания

(точнее, неубывания) и т.д. Такие задачи называются SL-(симметрически-

лексикографическими) задачами, или лексиминными задачами оптимизации.

Решение поставленной лексиминной задачи сводится к решению последова-

тельности задач максимизации вначале наименьшей из указанных 2(m - 1)

величин r^-i и r+i при соответствующих ограничениях на переменные r^-i и r+i,

i = 2,...,m, затем следующей по величине (в порядке возрастания) и т.д.

Кратко представим указанную последовательность задач.

Альтернатива x^j будет потенциально доминирующей над альтернати-

вой x^t, если найдутся числа r^-i и r+i, i ∈

^M, такие что будет верно

150

f (x^j)P (λ)f(x^t), т.е., согласно (4.3), если справедливо неравенство ajt ≥ 0.

С учетом (4.2) это неравенство в развернутом виде оказывается линейным

относительно переменных r^-i и r+i:

∑

(4.5)

δ^jtid_ir^-i -

δ^jtid_ir+i < -a^jt∗,

i∈M⁺(δ^jt)

i∈M^-(δ^jt)

где a^jt∗ — величина a^jt, рассчитанная для λ = λ^∗.

Рассмотрим задачу оценки чувствительности недоминируемой по P (λ^∗)

альтернативы X^∗l. Пусть Nl — множество номеров альтернатив, потен-

циально доминирующих над X^∗l. (Это множество будем полагать непу-

стым, иначе анализ чувствительности теряет смысл.) Условие, что невер-

но f(x^j)P (λ^∗)f(x∗l ), выполнено, когда согласно (4.3) справедливо неравен-

ство a^jl < 0. Поэтому система ограничений, обеспечивающих недоминируе-

мость X^∗l, состоит из таких неравенств для всех j из N^l, т.е. (см. (4.5))

∑

(4.6)

δ^jlid_ir^-i -

δ^jlid_ir+i < -a^jl∗, j ∈ N^l.

i∈M⁺(δ^jl )

i∈M^-(δ^jl)

Итак, первой оптимизационной задачей является задача максимизации це-

левой функции min_i∈M′ min{r^-i, r+i} при ограничениях (4.4), (4.6). Для полу-

чения оптимизационной задачи в стандартной формулировке заменим стро-

гие неравенства в (4.4) и (4.6) нестрогими (этот факт далее учитывается тем,

что полученные границы для ИНЗ полагаются недостижимыми). Используя

известный стандартный прием замены нелинейной целевой функции линей-

ной за счет введения дополнительной переменной u (ее можно считать неот-

рицательной) [30], в итоге получим задачу линейного программирования с

ограниченной целевой функцией и непустым множеством допустимых реше-

ний:

(4.7)

u₁ → max при ограничениях u₁ ≤ r^-i, u₂ ≤ r+i, i ∈M

и (4.4), (4.6).

Пусть u∗1, {r^-∗i, r+∗i} — любое решение задачи (4.7), M₁ — совокупность

номеров i таких, что u∗1 = r^-∗i и соответствующие двойственные переменные

равны нулю, и M₂ — совокупность номеров i таких, что u∗1 = r+∗i и соответ-

ствующие двойственные переменные равны нулю. Если оба множества M₁

и M₂ пусты, то решение SL-задачи найдено.

В противном случае переходим ко второй задаче линейного программиро-

вания: максимизировать u₂ при ограничениях u₂ ≤ r^-i, i ∈

M /M₁; u₂ ≤ r+i,

i∈

M /M₂, а также неравенствах (4.4) и (4.6) при фиксированных значе-

ниях r^-i = r^-∗i для i ∈ M₁ и r+i = r+∗i для i ∈ M₂. (Неравенства из (4.6) и

r^-i + r+i ≤ 1, в которых значения всех переменных оказались фиксирован-

ными, можно опустить.) Если для решения второй задачи все неравенства

u₂ ≤ r^-i и u₂ ≤ r+i выполняются как равенства и все соответствующие им

двойственные переменные положительны, то решение SL-задачи найдено.

В противном случае аналогичным путем формируем третью задачу линейно-

го программирования и т.д.

151

Пусть {r^-i,

r+i} — решение SL-задачи, т.е. последней из описанной после-

довательности задач линейного программирования. Тогда искомыми мини-

мальными ИНЗ, при которых альтернатива остается недоминируемой, будут

открытые интервалы с концамиλ-i1 = λ-i1 + r^-id_i и

λ+i1 = λ+i1 -

rs+id_i, i ∈

^M.

Для оценки чувствительности множества X^∗ недоминируемых альтерна-

тив в целом с учетом изложенного выше нужно решить SL-задачу, отличаю-

щуюся от рассмотренной выше тем, что вместо множества N^l для фикси-

рованного номера l нужно использовать объединение N^∗ всех множеств N^l

номеров альтернатив.

Для грубой оценки чувствительности можно обойтись лишь одним обоб-

щенным показателем чувствительности: mini∈ˆM min{r^-i, r+i}, и тогда придет-

ся решать лишь одну — первую — из описанной выше последовательноcти

задач линейного программирования.

5. Заключение

Проведение анализа чувствительности выбора к изменению значений па-

раметров модели предпочтений является необходимым этапом корректного

решения многокритериальных задач. Методы такого анализа первоначально

были разработаны для задач, в которых предпочтения описывались аддитив-

ной функцией ценности с параметрами (весами критериев, а затем и значе-

ниями частных функций ценности). Для анализа чувствительности выбора в

задачах, когда предпочтения описываются частичными отношениями пред-

почтения с параметрами, эти методы не подходят, и для таких задач были

созданы специальные методы.

Методы анализа чувствительности разработаны для моделей предпочте-

ний в виде частичных квазипорядков, которые представлены теорией важно-

сти критериев как однородных, так и неоднородных. Однако даже для таких

моделей решены далеко не все проблемы. Можно указать следующие направ-

ления дальнейших теоретических исследований:

— создание методов анализа чувствительности к изменению нескольких

(в частности, всех) границ интервальных оценок степеней превосходства в

важности, причем для шкал критериев разных типов;

— разработка методов анализа чувствительности к изменению границ ин-

тервальных оценок «скорости» роста предпочтений вдоль шкалы однородных

критериев;

— «изобретение» эффективных методов анализа чувствительности для об-

щего случая — при произвольном наборе ИНЗ или параметров важности

неоднородных критериев.

В качестве приложения теоретических результатов планируется реализа-

ция разработанных методов анализа чувствительности для многокритериаль-

ных задач выбора в компьютерной системе поддержки принятия решений

DASS [23, 36].

Авторы благодарны рецензенту за полезные замечания, направленные на

улучшение изложения материалов статьи.

152

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Impact assessment guidelines. http://

ec.europa.eu/smart-regulation/impact/commission_guidelines/docs/iag_2009_en.pdf

Handbook of Sensitivity Analysis / Saltelli A., Chan K., Scott M. (Eds.). N.Y: Wiley,

2009.

Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Физматлит, 1981.

Gal T., Greenberg H.J. Advances in Sensitivity Analysis and Parametric Program-

ming. N.Y.: Kluwer, 1997.

Rios-Insua D., French S. A Framework for Sensitivity Analysis in Discrete Multi-

Objective Decision-Making // Eur. J. Oper. Res. 1991. V. 54. P. 176-190.

Wolters W.T.M., Mareschal B. Novel Types of Sensitivity Analysis for Additive

MCDM Methods // Eur. J. Oper. Res. 1995. V. 81. P. 281-290.

French S. Mathematical Programming Approaches to Sensitivity Calculations in

Decision Analysis // J. Oper. Res. Soc. 1992. V. 43. P. 813-819.

Triantaphyllou E., Sánchez A. A Sensitivity Analysis Approach for Some Deter-

ministic Multi-Criteria Decision Making Methods // Decision Sci. 1997. V. 28.

P. 151-194.

Erkut E., Tarimcilar M. On Sensitivity Analysis in the Analytic Hierarchy Process //

IMA J. Manage. Math. 1991. V. 3. P. 61-83.

10.

Triantaphyllou E. Sensitivity Analysis Approach for MCDM methods. Ch. 8. Multi-

Citeria Decision Making Method: a Comparative Study. N.Y.: Kluver, 2000.

11.

Huang Y.-F. Enhancement on Sensitivity Analysis of Priority in Analytic Hierarchy

Process // Int. J. General Syst. 2002. V. 31. P. 531-542.

12.

Delgado M.G., Sendra J.B. Sensitivity Analysis in Multicriteria Spatial Decision-

Making: A Review // Human Ecologic. Risk Assesment. 2004. V. 10. P. 1173-1187.

13.

May J.H., Shang J., Tjader Y.C., Vargas L.G. A New Methodology for Sensitivity

and Stability Analysis of Analytic Network Models // Eur. J. Oper. Res. 2013. V. 224.

P. 180-188.

14.

Genc T. Sensitivity Analysis on PROMETHEE and TOPSIS Weights // Int. J.

Manage. Decision Making. 2014. V. 13. P. 403-421.

15.

Doan N.A.V., De Smet Y. An Alternative Weight Sensitivity Analysis for

PROMETHEE II Rankings // Omega. 2018. V. 80. P. 166-174.

16.

Vetschera R. Sensitivity Analysis for the ELECTRE Multicriteria Method //

Zeitschrift Oper. Res. 1986. V. 30. Is. 4. P. B99-B117.

17.

Tervonen T., Figueira J.R., Lahdelma R., Salminen P. SMAA-III. A Simulation-

Based Approach for Sensitivity Analysis of ELECTRE III / Real-Time and

Deliberative Decision Making: Application to Emerging Stressors / Linkov I.,

Ferguson E., Magar V.S. (Eds.). Springer, 2008. P. 241-253.

18.

Pamučar D.S., Božanić D., Randelović A. Multi-Criteria Decision Making: An

Example of Sensitivity Analysis // Serb. J. Management. 2017. V. 12. No. 1. P. 1-27.

19.

Sitarz S. Approaches to Sensitivity Analysis in MOLP / I. J. Inform. Technol.

Comput. Sci. 2014. No. 03. P. 54-60.

20.

Подиновский В.В. Анализ устойчивости результатов выбора при частичном от-

ношении предпочтения // Искусственный интеллект и принятие решений. 2009.

№ 4. С. 45-52.

21.

Podinovski V.V. Sensitivity Analysis for Choice Problems with Partial Preference

Relations // Eur. J. Oper. Res. 2012. V. 221. P. 198-204.

153

22.

Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериаль-

ных задачах принятия решений / Уч. пособие. М.: Физматлит, 2007.

23.

Подиновский В.В., Потапов М.А. Важность критериев в многокритериальных

задачах принятия решений: теория, методы, софт и приложения // Открытое

образование. 2012. № 2. С. 55-61.

24.

Подиновский В.В. Об относительной важности критериев в многокритериаль-

ных задачах принятия решений / Многокритериальные задачи принятия реше-

ний. Под ред. С.В. Емельянова. М.: Машиностроение, 1978. С. 48-82.

25.

Подиновский В.В. Параметрическая важность критериев и интервалы неопре-

деленности замещений в анализе многокритериальных задач // Журн. вычисл.

мат. и мат. физики. 2008. Т. 48. № 11. С. 1979-1998.

26.

Нелюбин А.П. Анализ устойчивости многокритериального выбора методами тео-

рии важности критериев при изменении интервальных оценок важности // От-

крытое образование. 2012. № 2. С. 47-51.

27.

Nelyubin A.P. Criteria Importance Theory: Sensitivity Analysis of Multicriterial

Choice Using Interval Importance Information // Amer. J. Control Syst. Inform.

Technol. 2013. No. 1. P. 13-17.

28.

Подиновский В.В. Количественная важность критериев // АиТ. 2000. № 5.

С. 110-123.

Podinovskii V.V. Quantitative Importance of Criteria // Autom. Remote Control.

2000. V. 61. No. 5. P. 817-828.

29.

Podinovski V.V. The Quantitative Importance of Criteria for MCDA // J. Multi-

Criteria Decision Anal. 2002. V. 11. P. 1-15.

30.

Charnes A., Cooper W.W. Management Models and Industrial Applications of Linear

Programming. N.Y.: Wiley, 1961.

31.

Подиновский В.В. Чувствительность многокритериального выбора к изменению

оценок важности неоднородных критериев // Информ. технологии в науке, об-

разовании и управлении. 2017. № 4. С. 23-27.

32.

Подиновский В.В. Анализ чувствительности многокритериального выбора к из-

менению интервальных оценок замещений критериев // Журн. вычисл. мат. и

мат. физики. 2018. Т. 58. № 3. С. 485-494.

33.

Меньшикова О.Р., Подиновский В.В. Построение отношения предпочтения и яд-

ра в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности неоднород-

ными критериями // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1988. № 5. С. 647-659.

34.

Passy U., Levanon Y. Analysis of Multi-Objective Decision Problems by the

Indifference Band Approach // J. Optim. Theory Appl. 1984. V. 43. P. 205-235.

35.

Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными

критериями // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1975. № 2. С. 330-344.

36.

Подиновский В.В., Потапов М.А., Нелюбин А.П. и др. Система для выбора

и анализа многокритериальных решений с неполными предпочтениями // Ин-

форм. технологии в науке, образовании и управлении. 2017. № 2. С. 50-57.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Поступила в редакцию 12.08.2018

После доработки 12.12.2018

Принята к публикации 07.02.2019

154