Автоматика и телемеханика, № 8, 2019

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СИСТЕМЫ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ, СИСТЕМЫ ЛУРЬЕ,

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ПРОБЛЕМА АЙЗЕРМАНА¹

Среди линейных систем с переключениями выделяются системы, ко-

торые названы попарно связными. Показывается, что динамика таких

систем может быть описана системами Лурье. Для попарно связных си-

стем получено достаточное частотное условие существования квадратич-

ной функции Ляпунова. Известная проблема Айзермана переформулиро-

вана для линейных систем с переключениями. Приводится пример систе-

мы с переключениями между тремя линейными подсистемами третьего

порядка, для которой проблема Айзермана имеет положительное реше-

ние.

Ключевые слова: системы с переключениями, системы Лурье, устойчи-

вость, проблема Айзермана, функции Ляпунова, матричные неравенства.

DOI: 10.1134/S0005231019080038

1. Введение

Задача абсолютной устойчивости, впервые сформулированная в [1], явля-

ется одной из основных задач теории автоматического управления. Несмот-

ря на огромное количество публикаций по этой задаче (см. библиографию

в [2]) полное решение до сих пор не получено. В [3] была сформулирована

известная гипотеза Айзермана о том, что система автоматического управле-

ния абсолютно устойчива в классе нелинейных характеристик из “гурвицево-

го угла”. Гипотеза Айзермана была опровергнута [4], а проблема Айзермана

об описании систем автоматического управления, для которых справедлива

гипотеза Айзермана, продолжает оставаться актуальной до настоящего вре-

мени [2, 5, 6].

Проблема Айзермана (ПА) была в первую очередь сформулирована для

систем с одной нелинейностью. Для систем третьего порядка полное реше-

ние было получено в [4]. Для систем произвольного порядка существенный

прогресс здесь был связан с появлением критерия Попова [6, 7]. Для систем

управления над полем комплексных чисел ПА рассматривалась в [8].

Следующим по сложности объектом исследования являются системы ав-

томатического управления с несколькими нелинейностями из конечных сек-

торов, которые в западной литературе называются системами Лурье. Если

изначально предполагалось, что это системы со стационарными нелинейно-

стями, как в первоисточниках [1, 3], то теперь этот термин используется и

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президиума РАН “Акту-

альные проблемы робототехники” (проект № I.29).

для систем с нестационарными нелинейностями [9-11]. Именно такие систе-

мы будем далее называть здесь системами Лурье.

К началу восьмидесятых годов прошлого века уже сложилось понимание

того, как формулировать ПА для задачи абсолютной устойчивости систем с

несколькими нелинейностями. Для разработки ПА для таких систем требу-

ется определить способы описания самой области абсолютной устойчивости

(“гурвицевых углов” несколько) и, конечно, наличие аналитического крите-

рия. Доказать справедливость гипотезы Айзермана с помощью численных

методов вообще не представляется возможным в силу конечной точности этих

методов.

В принципе некоторое решение ПА для систем с несколькими нестацио-

нарными нелинейностями можно получить с использованием кругового кри-

терия [12], который в этом случае представляет собой достаточное условие

существования квадратичной функции Ляпунова (КФЛ), либо с использо-

ванием критерия существования такой функции из [13]. По-видимому, такие

исследования не проводились.

В настоящее время популярным объектом исследования являются систе-

мы с переключениями [9, 14]. Из публикаций по абсолютной устойчивости и

устойчивости дифференциальных включений [15, 16] легко следует, что си-

стемы Лурье с несколькими нелинейностями могут быть представлены в виде

линейных систем с переключениями специального вида. Матрицы A_s, опре-

деляющие такие системы, в явном виде выписаны в [13, 17]. Таким образом,

задача устойчивости линейных систем с переключениями при произвольных

переключениях является обобщением задачи абсолютной устойчивости для

систем Лурье (проблемы Лурье).

Для систем с переключениями специального вида (связных) в [18] полу-

чен частотный критерий существования КФЛ. Здесь для более узкого класса

систем (попарно связных) получено достаточное частотное условие существо-

вания такой функции Ляпунова. Появление этих аналитических критериев

внушает сдержанный оптимизм по поводу возможности описания некоторого

подмножества систем с переключениями, для которых справедлива гипотеза

Айзермана.

Сама ПА для систем с переключениями переформулирована с сохранени-

ем основного принципа: положительное решение означает, что весь диапазон,

в котором устойчивы линейные подсистемы, должен совпадать с диапазоном,

в котором устойчива система с переключениями между этими подсистемами.

Для параметрического описания этого диапазона вместо “гурвицевого угла”

используется понятие “гурвицевого луча”. Привлекательность исследования

устойчивости систем с переключениями в контексте ПА объясняется следую-

щим. Наличие КФЛ является лишь достаточным условием устойчивости. Од-

нако если область устойчивости, найденная с помощью упомянутых критери-

ев, совпадает с областью гурвицевости (ПА имеет положительное решение),

то в этом случае вопрос устойчивости решен окончательно и нет необходи-

мости использовать другие критерии и функции Ляпунова из более сложных

классов [16].

Исследование ПА с помощью критерия из [18] представляет собой весьма

сложную задачу. Цель настоящей работы состоит в упрощении этой задачи.

Упрощение проводится по двум направлениям. Во-первых, сужается класс

рассматриваемых систем от связных до попарно связных. Во-вторых, вместо

критерия существования КФЛ из [18] предлагается более простое достаточное

(с потерей необходимости) частотное условие существования такой функции

Ляпунова для попарно связных систем.

Получение этого условия состоит из трех этапов. Вначале вводится поня-

тие попарно связных систем с переключениями и получено их алгебраическое

описание. Затем показано, что динамика попарно связных систем может быть

описана системами Лурье специального вида. Этот результат представляет

самостоятельный интерес, так как в современной литературе соответствие

между системами с переключениями и системами Лурье установлено и ис-

пользуется только для систем с переключениями между двумя линейными

подсистемами специального вида, которым соответствуют системы Лурье с

одной нелинейностью [9, 19]. Наконец, с использованием S-процедуры [20]

для систем Лурье, соответствующих попарно связным системам, получено

достаточное частотное условие существования КФЛ.

В качестве стартовой позиции для исследований ПА для систем с пере-

ключениями в конце приводится пример системы с переключениями между

тремя линейными подсистемами третьего порядка, для которой справедлива

гипотеза Айзермана. Аналогичный пример дискретной системы с переклю-

чениями приводится в [21].

Материал статьи излагается в следующем порядке. В разделе 2 приво-

дятся известные сведения о том, что абсолютная устойчивость системы Лу-

рье эквивалентна устойчивости специального дифференциального включе-

ния, которая, в свою очередь, эквивалентна устойчивости соответствующей

системы с переключениями при произвольных переключениях. В разделе 3

определяются и описываются попарно связные системы с переключениями.

Соответствие между этими системами и системами Лурье устанавливается в

разделе 4. Там же получено достаточное частотное условие существования

общей КФЛ (ОКФЛ) для таких систем. В разделе 5 формулируется ПА для

систем с переключениями. В разделе 6 приводится пример системы с пере-

ключениями, для которой справедлива гипотеза Айзермана.

2. Абсолютная устойчивость и устойчивость систем с переключениями

Система Лурье с несколькими нелинейностями имеет вид

∑

(1)

x = Ax + b_jϕ_j(t,σ_j), σ_j = 〈c_j

,x〉.

j=1

Система (1) называется абсолютно устойчивой в классе N_ϕ нелинейностей

ϕ = ∥ϕ_j∥mj=1, удовлетворяющих секторным ограничениям

(2)

0≤ϕ_jσ_j ≤k_jσ2j

j = 1,m,

если эта система асимптотически устойчива в целом при любых таких нели-

нейностях.

В [15] впервые показано, что множество решений системы (1) при всех

нелинейностях из класса N_ϕ совпадает с множеством решений специального

дифференциального включения, которое в явном виде выписано в [16]:

⎧

⎫

⎨

∑

⎬

(3)

x ∈ F(x), F(x)=

y : y = Ax+ b_jλ_j〈c_j,x〉, λ_j ∈ [0,k_j], j = 1,m

⎩

⎭

j=1

Рассмотрим матрицы A_s из [13, 17] специального вида

∑

(4)

A_s = A + h_sjb_jc^⊤j,

j=1

где точки h_s = ∥h_sj ∥mj=1, s = 1, N (N = 2^m), являются вершинами m-мерного

параллелепипеда, а величины h_sj принимают одно из двух значений: 0 или k_j.

Рассмотрим также

{

}

(5)

x ∈ F(x), F(x) =

y : y = Ax,A ∈ convA

где convA = conv{A₁, . . . , A_N } — выпуклый многогранник в линейном про-

странстве R^n×n матриц порядка n. Если многогранник convA из (5) задается

вершинами A_s из (4), то дифференциальное включение (5) совпадает с (3).

С другой стороны, стандартная форма записи линейной системы с пере-

ключениями имеет вид

(6)

x = A(t)x, A(t) ∈ A = {A₁,...,A_N

где A_s ∈ R^n×n — произвольные n × n-матрицы и A(t) : R₊ -→ A — кусочно-

постоянное отображение. В [9] показано, что множество решений включе-

ния (5) с произвольными матрицами A_s ∈ R^n×n является замыканием множе-

ства решений системы (6) с теми же матрицами при произвольном переклю-

чении режимов. Таким образом, устойчивость системы (6) при произволь-

ном переключении режимов эквивалентна устойчивости дифференциального

включения (5). Следовательно, абсолютная устойчивость системы Лурье (1)

в классе N_ϕ эквивалентна устойчивости системы с переключениями (6), в

которой матрицы A_s определены соотношением (4). В этом смысле система

Лурье эквивалентна линейной системе с переключениями.

Далее, чтобы избежать тавтологии, будем считать, что матрицы {A₁,

...,A_N} в (6) являются крайними точками множества convA, т.е вершинами

этого многогранника.

В соответствии с методом Ляпунова устойчивость систем с переключения-

ми определяется существованием общей функции Ляпунова. Если устойчи-

вость удается установить с помощью КФЛ v(x) = x^⊤Lx (L = L^⊤ — матрица),

то иногда говорят, что установлена “квадратичная устойчивость”. Как во-

прос о существовании ОКФЛ у линейных систем с переключениями (6), так

и вопрос о существовании КФЛ для дифференциального включения (5) экви-

валентны вопросу о разрешимости системы линейных матричных неравенств

(7)

A^⊤sL + LA_s

< 0, s = 1, . . . , N,

относительно симметрической матрицы L (L = L^⊤). Матричное неравен-

ство W < 0

(> 0) для матрицы W = W^⊤ означает, что квадратичная

форма x^⊤W x является отрицательно (положительно) определенной, т.е.

x^⊤Wx < 0 (> 0) при x = 0. Далее в случае разрешимости системы (7) будем

также говорить о существовании ОКФЛ для множества матриц {A₁, . . . , A_N }.

3. Попарно связные системы с переключениями

В [18] предлагается понятие связной линейной системы с переключениями,

которое опирается на следующую конструкцию. Каждой матрице A_s из си-

стемы (6) ставится в соответствие вершина графа. Две вершины графа соеди-

няются ребром, если разность матриц, которым соответствуют эти вершины,

имеет вид bc^⊤, т.е. ранг матрицы разности равен 1. Система (6) называется

связной [18], если соответствующий ей граф является связным. Связная си-

стема с переключениями между тремя линейными стационарными системами

называется [18] системой треугольного типа, если каждая пара вершин из со-

ответствующего графа соединена ребром этого графа. Перенося это свойство

на системы (6) с переключениями между произвольным (конечным) числом

линейных стационарных систем, приходим к следующему определению.

Определение 1. Связную систему (6) будем называть попарно связ-

ной, если каждая пара вершин из соответствующего графа соединена ребром

этого графа. В этом случае множество матриц A = {A₁,... ,A_N } также

будем называть попарно связным.

Понятие попарной связности в равной степени можно отнести к диффе-

ренциальному включению (5). Термин “системы треугольного типа” оставим

для попарно связных систем с переключениями между тремя подсистемами.

Теорема 1. Пусть множество матриц A = {A₁,...,A_N} является по-

парно связным, тогда либо существует вектор b, такой что A_i - A_j = bc^⊤ij,

b, c_ij ∈ Rⁿ, либо существует вектор c, такой что A_i - A_j = b_ij c^⊤,

b_ij,c ∈ Rⁿ, i,j = 1,N.

Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.

Следствие 1. Если множество матриц A = {A₁,...,A_N} попарно

связно, то либо

(8)

A₁ = A, A_s = A + bc^⊤s, b,c_s ∈ Rⁿ

s = 2,N,

либо

(9)

A₁ = A, A_s = A + b_sc^⊤, b_s,c ∈ Rⁿ

s = 2,N.

При переходе от матриц A_s к транспонированным матрицам A^⊤s, т.е. к

множеству матриц {A⊤1, . . . , A^⊤N }, матрицы A_s из (9) примут вид A₁ = A^⊤,

A_s = A^⊤ + cb^⊤s. В этом случае векторы b, b_s и c, c_s формально поменяются ме-

стами. В [18, 22] показана эквивалентность вопроса о существовании ОКФЛ

для множества матриц {A₁, . . . , A_N } вопросу о существовании ОКФЛ для

множества матриц {A⊤1, . . . , A^⊤N }. Однако существование ОКФЛ является

лишь достаточным условием устойчивости (6), поэтому естественно возни-

кает вопрос об одновременной устойчивости систем (6), задаваемых этими

множествами матриц. Ответ на этот вопрос дает следующая лемма.

Лемма 1. Система (6), задаваемая матрицами {A₁,...,A_N}, являет-

ся асимптотически устойчивой при произвольном переключении режимов

тогда и только тогда, когда асимптотически устойчивой при произволь-

ном переключении режимов является система (6), задаваемая матрицами

{A⊤1, . . . , A^⊤N }.

Доказательство леммы 1 приведено в Приложении.

На основании леммы 1, не ограничивая общности, из двух представле-

ний (8) и (9) попарно связного множества матриц можно исследовать то,

которое более удобно.

Пусть попарно связное множество A представлено в виде (8) и пара {A, b}

управляема. Заметим, что выбор матрицы A значения не имеет, так как па-

ры {A, b} и {A + bc^⊤s, b} одновременно управляемы при любом c_s. В этом

управляемом случае очевидно существует невырожденная замена координат,

приводящая матрицы A и b к канонической форме Фробениуса, т.е. к виду

⎛

⎞

⎛

⎞

···

⎜

···

⎟

⎜0⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

(10)

A=^⎜⎜

⎟,

⎜

^⎟.

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

···

a¹

a²

a³

··· aⁿ

В этих новых координатах все матрицы множества A будут также иметь

форму Фробениуса

⎛

⎞

···

⎜

···

⎟

⎜

⎟

(11)

A_s =^⎜⎜

⎟_,

⎟

⎝

⎠

···

a¹ + c1s a² + c2s a³ + c3s

··· aⁿ +cⁿ

где c^is - компоненты векторов c_s в новых координатах.

Таким образом, основной вывод настоящего раздела состоит в том, что

попарно связное множество матриц A допускает представление (8) или (9).

Кроме этого, в управляемом случае существует базис, в котором все такие

матрицы могут быть представлены в форме Фробениуса.

4. Системы с переключениями и системы Лурье

В разделе 2 показано, что задача абсолютной устойчивости систем Лу-

рье (1) с несколькими нелинейностями сводится к задаче устойчивости си-

стем с переключениями. Здесь решается противоположная задача — показы-

вается, что множества решений попарно связных систем с переключениями

совпадают (с точностью до множества меры ноль) с множествами решений

систем Лурье с нестационарными нелинейностями специального вида.

Пусть в попарно связной системе (6) матрицы A_s определяются соотноше-

нием (9), тогда многозначное отображение F (x), определяющее дифферен-

циальное включение (5), имеет вид

{

}

∑

(12)

F (x) = y : y = Ax + 〈c, x〉 λ_sb_s,

λ_s = 1, λ_s ≥ 0, s = 2,N

s=2

Множество изменения λ_s можно по-другому записать как

[

]

∑

(13) λ₂ ∈ [0, 1], λ₃ ∈ [0, 1 - λ₂], λ₄ ∈ [0, 1 - λ₂ - λ₃], . . . , λ_N ∈

0, 1 -

λ_s

s=2

Введем обозначения

(14)

ϕs = λs+1

〈c, x〉, s = 1, N - 1.

Тогда набор условий (13) эквивалентен следующему набору условий:

0 ≤ ϕ₁〈c,x〉 ≤ 〈c,x〉²,

0 ≤ ϕ₂〈c,x〉 ≤ 〈c,x〉² - ϕ₁〈c,x〉,

0 ≤ ϕ₃〈c,x〉 ≤ 〈c,x〉² - ϕ₁〈c,x〉 - ϕ₂〈c,x〉,

(15)

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

···

∑

0 ≤ ϕN-1〈c,x〉 ≤ 〈c,x〉² -

ϕs〈c, x〉.

s=1

Чтобы достичь буквального совпадения, в системе (1) изменим диапазон

индексов и вместо (1) рассмотрим систему Лурье

∑

(16)

x = Ax + bs+1ϕ_s(t,σ_s), σ_s

= 〈c, x〉,

s=1

в которой нелинейные функции ϕ_s(t, σ_s) удовлетворяют условиям существо-

вания абсолютно непрерывного решения системы (16) при любых начальных

условиях и неравенствам (15) при всех σ_s = 〈c, x〉 и t > 0. Следуя логике ра-

боты [15], покажем, что такая система (16), (15) эквивалентна автономно-

му дифференциальному включению (5), (12) (эквивалентность понимается в

смысле совпадения множеств решений при одинаковых начальных условиях).

∑N-1

Действительно, для любого вектора y = Ax +

bs+1ϕ_s(t,σ_s) из правой

s=1

части системы (16) при ограничениях (15) следует y ∈ F (x) при F (x) из (12),

т.е. любое решение системы является решением включения. Наоборот, пусть

x(t) — решение включения (5), (12), тогда по лемме Филиппова [23] будет

существовать измеримая вектор функция λ(t) = (λ₂(t), . . . , λ_N (t)), такая что

∑_N

x(t) = Ax(t) + 〈c, x(t)〉

λ_s(t)b_s, и почти всюду λ_s(t) удовлетворяют усло-

s=2

∑_N

виям

λ_s ≤ 1, λ_s ≥ 0, или условию (13). Определим нелинейности ϕ_s по

s=2

правилу (14), т.е. положим ϕ_s(t, σ_s) = λs+1(t)σ_s = λs+1(t)〈c, x〉, s = 1, N - 1.

Очевидно, такие нелинейности удовлетворяют условиям (15). Следователь-

но, решение включения x(t) является решением системы. В разделе 2 ска-

зано, что множество решений включения (5) с произвольными матрицами

A_s ∈ R^n×n является замыканием множества решений системы (6) с теми же

матрицами при произвольном переключении режимов. Таким образом, уста-

новлена следующая теорема.

Теорема 2. Пусть в попарно связной системе (6) матрицы A_s опреде-

ляются соотношением (9), тогда множество ее решений при произвольных

переключениях совпадает (с точностью до множества меры ноль) с мно-

жеством решений системы Лурье (16) при всех нелинейностях ϕ_s(t, σ_s),

σ_s = 〈c,x〉, удовлетворяющих условиям (15).

Следствие 2. Вопрос об устойчивости попарно связной системы (6),(9)

при произвольных переключениях эквивалентен вопросу об устойчивости

системы Лурье (16) при всех нелинейностях ϕ_s(t,σ_s), σ_s = 〈c,x〉, удовле-

творяющих (15).

Замечание 1. Системы с переключениями, которые соответствуют си-

стемам Лурье и описаны в разделе 2, в общем случае попарно связными не

являются.

Понятно, что КФЛ v(x) = x^⊤Lx для включения (5), (12) будет одновре-

менно функцией Ляпунова для системы Лурье (16), (15) и ОКФЛ для си-

стемы с переключениями (6), (9), а ее наличие определяется разрешимостью

соответствующей системы (7).

Условия (15), в свою очередь, эквивалентны неравенствам

ϕ₁(〈c,x〉 - ϕ₁) ≥ 0,

ϕ₂(〈c,x〉 - ϕ₁ - ϕ₂) ≥ 0,

ϕ₃(〈c,x〉 - ϕ₁ - ϕ₂ - ϕ₃) ≥ 0,

(17)

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

(

)

∑

ϕN-1

〈c, x〉 -

ϕs

≥0

s=1

на квадратичные формы в расширенном пространстве (x, ϕ), ϕ ∈ RN-1. По-

этому достаточные частотные условия существования ОКФЛ для попарно

связных систем с переключениями могут быть получены с помощью стан-

дартной техники, основанной на использовании S-процедуры [20], как это

делается в случае N = 3 для систем треугольного типа (теорема 4 из [18]).

Действительно, на производную v(x) функции Ляпунова v(x) = x^⊤Lx в

силу системы (16) имеем неравенство

∑

(18)

x^⊤(A^⊤L + LA)x + 2 ϕ_s〈Lbs+1

,x〉 < 0, (x,ϕ) = 0,

s=1

которое должно выполняться при всех (x, ϕ), удовлетворяющих (17). В соот-

ветствии с приемом S-процедуры составим квадратичную форму

⎛

⎞

∑

(19)

x^⊤(A^⊤L + LA)x + 2

ϕs〈Lbs+1, x〉 +

τ_sϕ_s ⎝〈c,x〉 -

ϕq^⎠

< 0,

s=1

q=1

где τ_s > 0 — неопределенные параметры, s = 1, N - 1.

Неравенство (18) в матричной форме имеет вид

(Ax + Bϕ)^⊤Lx + x^⊤L(Ax + Bϕ) < 0, (x, ϕ) = 0,

)

где B =

⁽b2 b3

... b_N

иϕ^⊤ =

⁽ϕ1 ϕ2

... ϕN-1

, а функция ограничений

(

)

∑N-1

∑

F (x, ϕ) =

τ_sϕ_s

〈c, x〉 -

s=1

q=1

ϕq представима в виде

(

)_⊤ (

)(

)

Cτ/2

F (x, ϕ) =

τC^⊤/2

-Γ ϕ

где

⎞

⎛

⎞

^⎛τ₁

⎜

τ₂

⎟

C =^⎝c c ... c⎠,

τ =

⎝..

⎠,

N-1

... τN-1

⎛

⎞

τ₂

τ₃

τN-1

τ₁

⎜

⎟

⎜

τ₂

τ₃

τN-1⎟

⎜

⎟

τ₂

⎜

⎟

⎜

⎟

Γ=

⎜

τ₃

τN-1⎟

⎜

τ₃

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

τN-1

... τN-1

Во вновь принятых обозначениях отрицательная определенность фор-

мы (19) эквивалентна матричному неравенству

(

)

A^⊤L + AL LB + Cτ/2

(20)

< 0.

B^⊤L + τC^⊤/2

-Γ

Из частотной теоремы [20, с. 54] следует, что при гурвицевой A и Γ > 0 разре-

шимость неравенства (20) эквивалентна выполнению частотного неравенства

(21)

Γ + Re W(iω) > 0, ω ∈ [-∞,∞],

где W (iω) = τC^⊤(A - iωE_n)-1B (Re W = (W + W^∗)/2, W^∗ = W^⊤ — эрмито-

во сопряженная к W ), E_n — единичная n × n матрица. Введем обозначение

(22)

W_s(iω) = c^⊤(A - iωE_n)-1bs+1

s = 1,N - 1,

тогда

⎛

⎞

τ₁W₁(iω)

τ₁W₂(iω) ... τ₁WN-1(iω)

⎜

⎟

⎜

τ₂W₁(iω)

τ₂W₂(iω) ... τ₂WN-1(iω)

⎟

(23)

W (iω) =

⎝

⎠^.

τN-1W₁(iω) τN-1W₂(iω) ... τN-1WN-1(iω)

Полученное достаточное условие существования ОКФЛ сформулируем в

виде теоремы.

Теорема 3. Пусть матрица A гурвицева и существуют числа τ_s > 0,

s = 1,N - 1, такие что Γ > 0 и при всех ω ∈ [-∞,∞] выполняется частот-

ное неравенство (21), в котором матрица W(iω) определяется в (22) и (23),

тогда попарно связная система (6), (9) имеет ОКФЛ (система (7) разре-

шима, система (6) устойчива).

В [18] предлагается необходимое и достаточное частотное условие суще-

ствования ОКФЛ для связных систем с переключениями. Сопоставляя кри-

терий из [18] с достаточным условием теоремы 3 по сложности проверки, для

случая произвольного количества переключаемых подсистем N можно сде-

лать следующий вывод. В [18] критерий подробно выписан только для N = 3,

при произвольном N из анализа операции редукции легко заключить, что при

любой конфигурации графа результирующее неравенство и частотное усло-

вие его разрешимости зависят от N(N - 1)/2 неопределенных параметров,

частотное условие теоремы 3 — от N - 1. В обоих случаях частотные усло-

вия представляют собой условия положительной определенности некоторых

эрмитовых матриц. Другой показатель сложности — размеры этих матриц,

в обоих случаях они совпадают и равны N - 1.

5. Проблема Айзермана для систем с переключениями

Исследование ПА для системы (6) подразумевает некоторую параметри-

зацию правой части этой системы. Сохраним обозначение A для фиксиро-

ванного набора матриц {A₁, . . . , A_N } и пусть A — некоторый такой набор.

Для набора матриц, зависящего от векторного параметра k = (k₁, . . . , k_N ),

k_s ≥ 0, будем использовать обозначение A = A(k) = {A₁(k),... ,A_N (k)}. Бу-

дем считать, что в A(k) матрицы A_s(k) зависят от параметра k следующим

образом:

(24)

A_s(k) = A + k_sB_s

s = 1,N,

где A ∈ convA — некоторая матрица и B_s = A_s - A. Если матрица A совпада-

ет с какой-либо матрицей из A, например A = A₁, то при таком представлении

матрица A₁ неподвижна (не зависит от параметра), как это принято в теории

абсолютной устойчивости (таково представление (4)). Очевидно, что всегда

A ∈ convA(k).

Считаем далее, что правая часть системы (6) определяется не множе-

ством A, а множеством A, в котором матрицы A_s(k) определяются парамет-

ризацией (24) и матрица A гурвицева. Областью устойчивости такой систе-

мы (6) будем называть область U_S ⊆ R^N , для всех точек которой система (6)

устойчива при произвольном переключении режимов.

Для описания области устойчивости системы (6) в пространстве парамет-

ров k_s используем тот же прием, который был предложен в [24] и затем ис-

пользован в [17] для описания области абсолютной устойчивости системы с

несколькими нелинейностями. Описание области устойчивости эквивалентно

описанию границы этой области. Для нахождения точки границы рассмат-

ривается луч, выходящий из точки 0 и проходящий через эту точку. Далее

выбирается и фиксируется произвольный вектор α = (α₁, . . . , α_N ) (естествен-

но, α_s ≥ 0), направленный вдоль этого луча, и решается задача определения

максимального числа k, такого что система (6) устойчива при k = kα. Если

матрицы A_s в (24) зависят от такого параметра k, то фактически они зависят

от скалярного параметра k, т.е.

(25)

A_s(k) = A + kα_sB_s

s = 1,N.

Областью U_H,α гурвицевости системы (6) и (25) вдоль вектора α будем

называть максимальный полуинтервал [0, k_α), для всех точек которого мат-

рицы A_s(k) являются гурвицевыми.

Областью устойчивости системы (6) и (25) вдоль вектора α будем называть

область U_S,α, для всех точек которой система (6) и (25) устойчива при произ-

вольном переключении режимов. Такая область U_S,α автоматически является

полуинтервалом. Действительно, пусть k¹ и k² — два значения векторного па-

раметра, такие что k¹ ≤ k², где неравенство понимается покомпонентно. То-

гда convA(k¹) ⊆ convA(k²) просто потому, что k1s ≤ k2s и A_s(k¹) ∈ [A, A_s(k²)].

Отсюда следует, что множество решений включения (5) при k² содержит в

себе множество решений (5) при k¹, а значит, из устойчивости первого следу-

ет устойчивость второго. Теперь очевидно, что область U_S является связной

и даже звездной по отношению к точке 0 (из k^∗ ∈ U_S следует, что любой

отрезок [0, k^∗] ⊆ U_S ).

Одномерной ПА для систем с переключениями (вдоль вектора α) будем

называть проблему описания систем (6) и (25), для которых U_H,α = U_S,α.

Говоря нестрого, вектор k = k_α α будем называть “гурвицевым лучом”.

Для конкретной системы интерес представляет также задача определения

направлений α, вдоль которых одномерная ПА имеет положительное реше-

ние.

Многомерной или полной ПА для систем с переключениями будем назы-

вать проблему описания систем (6), (24), для которых одномерная ПА имеет

положительное решение для любого направления α = (α₁, . . . , α_N ) (α_s ≥ 0).

Поскольку использование КФЛ является наиболее простым и широко ис-

пользуемым методом исследования устойчивости систем с переключениями,

то естественно сформулировать квадратичную ПА. Формулировка квадра-

тичной одномерной ПА отличаются от “обычной” тем, что в определении

области U_S,α устойчивость заменяется на квадратичную устойчивость. Квад-

ратичным ПА можно дать исключительно алгебраические формулировки.

Квадратичные одномерные ПА имеют положительное решение, если соответ-

ствующие области гурвицевости U_H,α совпадают с областями разрешимости

соответствующих систем (7). Многомерная квадратичная ПА формулируется

через одномерные, как выше.

Понятно, что при положительном решении квадратичной ПА “обычная”

ПА также имеет положительное решение. Наоборот неверно, т.е. квадратич-

ная ПА может не иметь положительного решения, в то время как “обычная”

имеет.

6. Пример

В этом разделе исследование квадратичной ПА будет продемонстрирова-

но на примере связной системы с переключениями между тремя линейными

подсистемами третьего порядка. Выбор примера объясняется тем, что такие

системы являются следующим по сложности шагом после систем Лурье с од-

ной нелинейностью или, что то же самое, связных систем с переключениями

между двумя подсистемами. Вопрос об ОКФЛ для систем с переключения-

ми между тремя подсистемами определяется системой из трех матричных

неравенств. Системы Лурье с двумя нелинейностями являются уже более

сложным объектом, так как наличие у них КФЛ эквивалентно разрешимости

системы из четырех матричных неравенств. Заметим, что попарно связные

системы с переключениями между тремя подсистемами в [18] называются

системами треугольного типа и для их исследования применимы результаты

из [18].

Рассмотрим систему вида (6) при N = 3. Считаем, что матрицы A_s(k)

задаются соотношением (24), в котором A₁(k) = A и B_s = bc^⊤s. Поскольку

матрица A₁(k) от параметра не зависит, то естественно рассматривать дву-

мерный параметр k = (k₁, k₂) и в (24) формально сдвинуть индексы таким

образом, что матрицы A_s(k) определяются соотношениями

(26)

A₁(k) = A, A₂(k) = A + k₁bc⊤1, A₃(k) = A + k₂bc⊤2, b,c_i ∈ Rⁿ.

В этом случае система (6) называется системой с переключениями треуголь-

ного типа [18]. Для одномерной ПА и k ∈ R² направления α определяются

отношениемk2k₁ ,т.е.α=(1,k21 )иk=k1α=(k1^,k2^).

Пусть в (26) матрица A и векторы b и c_s имеют следующие численные

значения:

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

(27)

A₁ = A =^⎝ 0

⎠,b=⎝₀⎠, c1 =⎝0⎠, c2 =⎝1⎠.

−1 -3 -3

Таким образом, рассматриваемая система (6) определяется матрицами A_s(k),

где A₁(k) определена в (27), а A₂(k) и A₃(k) имеют вид

⎛

⎞

k₁

A₂(k) = A + k₁bc⊤1 =⎝ 0

⎠,

−1 -3 -3

(28)

⎛

⎞

1+k₂

A₃(k) = A + k₂bc⊤2 =⎝ 0

⎠.

−1

-3

Матрица A₁ очевидно гурвицева, выясним области гурвицевости матриц

A₂(k) и A₃(k). Опуская подробности, приведем результат: матрица A₂(k) гур-

вицева при k₁ ∈ [0, 1/3), A₃(k) — при k₂ ∈ [0, 8).

Критерий существования ОКФЛ для системы треугольного типа приво-

дится в [18] как уточнение более общего результата. Здесь приведем этот

критерий отдельно.

Введем обозначение

(29)

W_i(iω) = c^⊤i(A - iωE_n)-1

b, i = 1, 2.

Условия критерия формулируются в терминах положительной определен-

ности эрмитовой матрицы D(iω), элементы которой d_ij выражаются через

W_i(iω) из (29) следующим образом:

)

k₁ε-3

ε⁺³

⁽k₁ε₂

k₂ε₁

d₁₁ =1+k₁ReW₁, d₁₂ =

Re W₁ +

W₁ +

W₂ , d₂₁ = d₁₂,

ε₁

ε₂

(30)

(

)

(

)

k₁ε-3

ε₂ε⁺³

k₂ε⁺³

ε₁ε-3

d₂₂ = 1+

ε-3 +

ReW₁ +

ε⁺³ +

Re W₂,

ε₁

ε₂

где ε_i > 0, i = 1, 3 — неопределенные параметры и ε±3 = ε₃ ± (1/ε₃).

Теорема 4. Пусть в системе (6) матрицы A_s определяются соотно-

шениями (26) и матрица A гурвицева. Если существует какой-либо набор

чисел ε_i > 0, i = 1, 3, для которых при любых ω ∈ [-∞, ∞] выполняется ча-

стотное неравенство D(iω) > 0, где элементы d_ij матрицы D(iω) определе-

ны в (30), тогда у системы (6) существует ОКФЛ (система (7) разрешима,

система (6) устойчива). Если у системы (6) существует ОКФЛ (систе-

ма (7) разрешима), то такой набор чисел ε_i > 0, i = 1,3, существует.

Используя теорему 4, получим следующее утверждение, доказательство

которого приведено в Приложении.

Утверждение 1. Для системы

(6), задаваемой матрицами

(27)

и (28), одномерная квадратичная ПА имеет положительное решение вдоль

любого направления α = (1, k^∗), k^∗ < 24/7.

Полученный результат представляется интересным, так как положитель-

ное решение ПА означает, что вдоль всех указанных направлений найдена

точная область устойчивости исследуемой системы с переключениями.

Замечание 2. Система (6), задаваемая матрицами (27) и (28), соответ-

ствует представлению (8). Достаточное условие существования ОКФЛ для

такой системы дает теорема 4 из [18], которая при N = 3 эквивалентна тео-

реме 3. С помощью этого достаточного условия нельзя установить, что ПА

имеет положительное решение уже для направления α = (1, 1).

7. Заключение

В [18] введено понятие связной системы с переключениями. Таким обра-

зом в множестве линейных систем с переключениями определяется некоторая

структура, которую можно рассматривать как отношения порядка (можно го-

ворить о более или менее связных системах с переключениями в зависимости

от количества ребер в соответствующих графах). В настоящей работе вводит-

ся понятие попарно связных систем с переключениями. Эти системы облада-

ют максимальной “связностью”, так как соответствующие им графы содержат

максимальное количество ребер. Поскольку увеличение количества ограни-

чений уменьшает количество объектов, которые им удовлетворяют, то попар-

но связные системы с переключениями являются самым узким подклассом

среди связных систем. Таким системам дается простое алгебраическое описа-

ние. Показано, что в некотором базисе все матрицы, определяющие попарно

связную систему, могут быть представлены в форме Фробениуса. Более того,

показано, что динамика таких систем может быть представлена динамикой

систем Лурье с квадратичными ограничениями на нелинейности. Это позво-

ляет использовать для исследования их устойчивости частотные критерии,

основанные на S-процедуре, которые хоть и являются лишь достаточными

условиями существования КФЛ, но более просты и содержат меньше неопре-

деленных параметров, чем необходимые и достаточные условия из [18].

В работе сформулирована ПА для систем с переключениями, в том чис-

ле по отдельным направлениям. В контексте ПА если область устойчивости,

полученная на основании достаточного условия, совпадает с областью гурви-

цевости, то в этом случае найдена полная область устойчивости. Работоспо-

собность такого подхода продемонстрирована на примере системы третьего

порядка с переключениями между тремя линейными подсистемами. Таким

образом, проведенные исследования можно считать основой для того, чтобы

в перспективе выделить системы с переключениями, для которых ПА имеет

положительное решение.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Возьмем три произвольных матрицы из

множества A. Считаем, что это матрицы A₁, A₂, A₃ ∈ A. Из попарной связ-

ности A следует, что система с переключениями, определяемая этими тремя

матрицами, является системой треугольного типа. Поэтому [18] для матриц

A₁, A₂ и A₃ справедливо одно из двух представлений:

(Π.1)

A₁ = A, A₂ = A + bc⊤1, A₃ = A + bc⊤2, b,c_i ∈ Rⁿ,

(Π.2)

A₁ = A, A₂ = A + b₁c^⊤, A₃ = A + b₂c^⊤, b_i,c ∈ Rⁿ.

Пусть имеет место представление (Π.1). Сразу отметим, что

(Π.3)

c₂ = λc₁

λ∈R,

так как в противном случае матрицы A₁, A₂, A₃ не будут крайними точками.

Пусть A₄ произвольная матрица из A. Тогда из попарной связности следуют

соотношения:

A₄ - A₁ = b₄c⊤4, A₄ = A + b₄c⊤4,

A₄ - A₂ = b₄₂c⊤42 = A + b₄c⊤4 - A - bc⊤1 = b₄c⊤4 - bc⊤1,

A₄ - A₃ = b₄₃c⊤43 = A + b₄c⊤4 - A - bc⊤2 = b₄c⊤4 - bc⊤2.

Из последних двух соотношений следует (лемма 1 из [18]), что либо суще-

ствует λ_b ∈ R, такое что b₄ = λ_bb, либо существуют λ1c, λ2c ∈ R, такие что

c₄ = λ1cc₁ и c₄ = λ2cc₂. Последнее противоречит (Π.3). Поскольку матрица A₄

была выбрана произвольно, то в случае представления (Π.1) существует еди-

ный вектор b. В случае представления (Π.2) аналогично показывается, что

существует единый вектор c.

Теорема 1 доказана.

Доказательство леммы 1. Пусть система (6) при {A₁,...,A_N} яв-

ляется асимптотически устойчивой при любых сигналах. Из этого следует

ее глобальная экспоненциальная устойчивость [14], которая означает суще-

ствование таких чисел C > 0 и Δ > 0, что при всех начальных условиях x₀

и моментах времени t ≥ 0 для любого решения этой системы выполняется

неравенство

(Π.4)

|x(t)| ≤ C|x(0)|e-Δt.

Любое решение системы (6) при {A₁, . . . , A_N } имеет вид

(Π.5)

x(t) = eAs1t1 · · · eAsiti · · · eAsr t^r

x(0),

где r — произвольное целое число, определяемое количеством переключений

∑_r

на интервале [1, t],

t_i = t, i — номер интервала времени t_i, на котором

i=1

включена система с номером s_i, 1 ≤ s_i ≤ N. Из (Π.5) следует, что

∥eAs1t1 · · · eAsiti · · · eAsr t^r ∥₂ ≤ Ce-Δt,

где ∥ · ∥₂ обозначает спектральную матричную норму или матричную норму,

(

{

})1/2

индуцированную евклидовой векторной нормой, ∥A∥₂ =

λ_max

A^⊤A

Поскольку ∥A∥₂ = ∥A^⊤∥₂ для произвольной матрицы A, то

∥eAsrtr · · · eAsiti · · · eAs1t1 ∥₂ ≤ Ce-Δt.

В свою очередь, y(t) = eAsrtr · · · eAsiti · · · eAs1t1 y(0) является решением систе-

мы (6) при {A⊤1, . . . , A^⊤N }, в котором интервалы включения систем y = A^⊤sy

занумерованы в обратном порядке по сравнению с порядком включения си-

стем x = A_sx для x(t) из (Π.5). Так как соотношение (Π.4) выполняется при

любых законах переключения, то также аналогичное соотношение будет вы-

полняться для любых y(t).

Лемма 1 доказана.

Доказательство утверждения 1. Начнем с проверки простейшего

случая условий (30), которому соответствует выбор ε₃ = 1. В этом случае

следует ε-3 = 0 и ε⁺³ = 2 и элементы матрицы D(iω) принимают вид (остался

один неопределенный параметр δ =ε2 )_ε

(

)

k₂

d₁₁ = 1 + k₁Re W₁, d₁₂ =

k₁δW₁ +

W₂

, d₂₁ =d₁₂,

d₂₂ = 1 + k₂Re W₂.

Неравенства на диагональные элементы d₁₁ > 0 и d₂₂ > 0 совпадают с

неравенствами круговых критериев устойчивости систем управления с одной

нелинейностью [9, 18] или, что то же самое, определяют условия разрешимо-

сти систем из двух матричных неравенств из системы (7), первого и второго

и, соответственно, первого и третьего.

Определим вид функций W_i(p) = cⁱ{(A-}En)-1b.Из-за{пецифики}к-

торов c₁, c₂ и b имеем W₁(p) = (A - pE₃

)-1

и W₂(p) = (A-pE₃

)-1

Поскольку матрица A задана в форме Фробениуса, то легко видеть, что

det(A - pE₃) = -(1 + p)³. Таким образом получим

(

)

W₁(p) = -

p² + 3p + 3

/(p + 1)³ и W₃(p) = 1/(p + 1)³,

тогда

(

)

W₁ (iω) = - (iω)² + 3(iω) + 3

/(1 + iω)³ =

(

)

(

)₃

(

)

(

)₃

ω² - 3

1+ω²

+ iω

ω⁴ + 3ω² + 6

1+ω²

(

)₃

W₂ (iω) = 1/(1 + iω)³ = (1 - iω)³ /

1+ω²

(

)

(

)₃

(

)

(

)₃

1 - 3ω²

1+ω²

+ iω

-3 + ω²

1+ω²

Выпишем отдельно действительную и мнимую части W₁(iω) и W₂(iω)

из (29), поскольку они неоднократно потребуются в дальнейшем:

ω² - 3

ω(ω⁴ + 3ω² + 6)

ReW₁(iω) =

, ImW₁(iω) =

(1 + ω²)³

(Π.6)

1 - 3ω

ω(-3 + ω²)

ReW₂(iω) =

, ImW₂(iω) =

(1 + ω²)³

Первое неравенство d₁₁ > 0 имеет вид

(Π.7)

1 + k₁ReW₁(iω) = 1 + k₁(ω² - 3)/(1 + ω²)³

> 0.

Сделаем замену ω² = y, тогда задача сводится к определению k₁, при которых

неравенство

P₁(y) = (1 + y)³ + k₁y - 3k₁ = 1 + 3y + 3y² + y³ + k₁y - 3k₁ =

(Π.8)

= y³ + 3y² + y(3 + k₁) + 1 - 3k₁ > 0

выполнено при всех y ≥ 0. Очевидно, что это произойдет только при

1 - 3k₁ > 0, т.е. при k₁ < 1/3, что совпадает с условием гурвицевости мат-

рицы A₂.

Второе неравенство d₂₂ > 0 имеет вид

(Π.9)

1 + k₂ReW₂(iω) = 1 + k₂(1 - 3ω²)/(1 + ω²)³

> 0.

Сделаем замену ω² = y, тогда задача сводится к определению k₂, при которых

неравенство

P₂(y) = (1 + y)³ + k₂ - 3k₂y = 1 + 3y + 3y² + y³ + k₂ - 3k₂y =

(Π.10)

= y³ + 3y² + 3y(1 - k₂) + 1 + k₂ > 0

выполнено при всех y ≥ 0. Видно, что при k₂ < 1 уже выполнено. Подробное

рассмотрение, которое здесь опустим, приводит к тому, что P₂(y) > 0 при

всех y ≥ 0, если k₂ < 4.

Для проверки положительной определенности эрмитовой матрицы

D(iω) > 0 осталось проверить неравенство Δ = d₁₁d₂₂ - d₁₂d₂₁ > 0. Для упро-

щения записи введем обозначения k_iRe W_i = R_i и k_iIm W_i = I_i. В упрощенных

обозначениях неравенство Δ > 0 принимает вид

(

)₂

(

)₂

(Π.11)

Δ = (1 + R₁)(1 + R₂) -

δR₁ +

R₂

δI₁ -

I₂

> 0.

Подставляя R_i и I_i из (Π.6) и заменяя ω² на y, отдельно вычислим слага-

емые, входящие в (Π.11) (для (1 + R₁)(1 + R₂) используем (Π.7)-(Π.10)):

(1 + R₁)(1 + R₂) =

(

)(

)

y³ + 3y² + y(3 + k₁) + 1 - 3k₁

y³ + 3y² + 3y(1 - k₂) + 1 + k₂

(1 + y)⁶

(

)₂

(

)

−1

-1

δR₁ +

R₂

δ²R²¹ + 2R₁R₂ +

R²

δ²

]

-1

^[δ²k²¹

k₁k₂

k²²

(y - 3)² +

(y - 3)(1 - 3y) +

(1 - 3y)2 ,

(1 + y)⁶

4δ²

(

)₂

(

)

−1

-1

δI₁ -

I₂

δ²I²¹ - 2I₁I₂ +

I²

δ²

]

-1

^[δ²k²¹

(

)₂

k₁k₂

(

)

k²²

y² +3y +6

(y - 3) +

y(y - 3)²

(1 + y)⁶

4δ²

Избавляясь от положительного знаменателя, приходим к выводу, что вы-

полнение неравенства (Π.11) при всех ω эквивалентно положительности по-

линома шестой степени

(Π.12)

Δ(1 + y)⁶

при всех y ≥ 0. Необходимым условием выполнения (Π.12) является его вы-

полнение при y = 0, т.е.

9δ

k²²

(Π.13)

Δ₀(δ²) = (1 - 3k₁)(1 + k₂) -

k²¹ +

k₁k₂ -

> 0.

4δ²

Производная по δ² функции Δ₀(δ²) из (Π.13) имеет вид

(

)_′

9k²¹

k²²

Δ₀(δ²)

= 0.

4δ⁴

Из ее анализа следует, что (δ^∗)² =k2 — точка максимума. Подставим

3k₁

в (Π.13), получим Δ₀((δ^∗)² ) = (1 - 3k₁)(1 + k₂) > 0 при k₁ < 1/3 (даже от k₂

не зависит).

Анализ положительности коэффициентов полинома (Π.12) при этом

(δ^∗)² =k2 позволяет сделать вывод о том, что наиболее ограничительным

3k₁

является требование положительности коэффициента полинома (Π.12) при y,

которое приводит к условию k₂/k₁ = k^∗ < 24/7.

Утверждение 1 доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем //

Прикладная математика и механика. 1944. Т. 8. № 3. С. 246-248.

2. Либерзон М.Р. Очерки о теории абсолютной устойчивости // АиТ. 2006. № 10.

С. 86-119.

Liberzon M.R. Essays on the Absolute Stability Theory // Autom. Remote Control.

2006. V. 67. No. 10. P. 1610-1644.

3. Айзepман M.А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости “в большом” ди-

намических систем // Успехи мат. наук. 1949. Т. 14. Вып. 4(32). С. 187-188.

4. Плисc В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом.

Л.: Изд-во ЛГУ, 1958.

5. Барабанов Н.Е. О проблеме Айзермана для нестационарных систем третьего

порядка // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 10. С. 1659-1668.

6. Пятницкий Е.С. Работа М.А. Айзермана по теории регулирования, теории

устойчивости движения и теории колебаний / Марк Аронович Айзерман (1918-

1992). М.: Физматлит, 2003. С. 82-104.

7. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регу-

лируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

Jayawardhana B., Logemann H., Ryan E.P. The Circle Criterion and Input-to-State

Stability: New perspectives on a classical result // IEEE Control Syst. Magazine.

2011. V. 31. No. 4. P. 32-67.

Shorten R., Wirth F., Mason O. et al. Stability Сriteria for Switched and Hybrid

Systems // SIAM Rev. 2007. No. 4. P. 545-592.

10.

Duignan R., Curran P.F. An Investigation on the Absolute Stability of Discrete

and Continuous Time Lur’e Systems // 2007 Int. Symp. Nonlinear Theory Appl.

NOLTA’07, Vancouver, Canada, September 16-19, 2007. P. 349-352.

11.

Valmorbida G., Drummond R., Duncan S.R. Regional Analysis of Slope-Restricted

Lurie Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2019. V. 64. No. 3. P. 1201-1208.

12.

Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления.

II // АиТ. 1971. № 6. С. 25-34.

Yakubovich V.A. Absolute Instability of Nonlinear Control Systems. II // Autom.

Remote Control. 1971. V. 32. No. 6. P. 1. P. 876-884.

13.

Каменецкий В.А. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость си-

стем упpавления с несколькими нелинейными нестационаpными элементами //

АиТ. 1983. № 12. С. 20-30.

Kamenetskii V.A. Absolute Stability and Absolute Instability of Control Systems

with Several Nonlinear Nonstationary Elements // Autom. Remote Control. 1983.

V. 44. No. 12. P. 1543-1552.

14.

Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston: Birkhäuser, 2003.

15.

Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных

нестационарных систем. I, II // АиТ. 1982. № 1. С. 19-27; № 2. С. 17-28.

Molchanov A.P., Pyatnitskii E.S. Absolute Instability of Nonlinear Nonstationary

Systems. I, II // Autom. Remote Control. 1982. V. 43. No. 1. P. 1. P. 13-20; No. 2.

P. 1. P. 147-157.

16.

Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необхо-

димые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестаци-

онарных систем управления. I // АиТ. 1986. № 3. 63-73.

Molchanov A.P., Pyatnitskii E.S. Lyapunov Functions that Specify Necessary and

Sufficient Conditions of Absolute Stability of Nonlinear Nonstationary Control

Systems. I // Autom. Remote Control. 1986. V. 47. No. 3. P. 1. P. 344-354.

17.

Каменецкий В.А., Пятницкий Е.С. Градиентный метод построения функций

Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // АиТ. 1987. № 1. С. 3-12.

KamenetskiI V.A., Pyatnitskii E.S. Gradient Method of Constructing Lyapunov

Functions in Problems of Absolute Stability // Autom. Remote Control. 1987. V. 48.

No. 1. P. 1. P. 1-9.

18.

Каменецкий В.А. Частотные условия устойчивости гибридных систем // АиТ.

2017. № 12. С. 3-25.

Kamenetskiy V.A. Frequency-Domain Stability Conditions for Hybrid Systems //

Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 12. P. 2101-2119.

19.

Shorten R.S., Narendra K.S. On Common Quadratic Lyapunov Functions for Pairs

of Stable LTI Systems whose System Matrices are in Companion Form // IEEE

Trans. Autom. Control. 2003. V. 48. No. 4. P. 618-621.

20.

Гелиг A.X., Леонов Г.A., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с

неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

21.

Каменецкий В.А. Частотные условия устойчивости дискретных систем с пере-

ключениями // АиТ. 2018. № 8. С. 3-26.

Kamenetskiy V.A. Frequency-Domain Stability Conditions for Discrete-Time

Switched Systems // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 8. P. 13711-1389.

22. Ананьевский И.М., Анохин Н.В., Овсеевич А.И. Общая функция Ляпунова в

задаче синтеза управления линейными динамическими системами / Проблемы

устойчивости и управления. Сб. науч. ст., посв. 80-летию акад. В.М. Матросова.

М.: Физматлит, 2013. С. 91-103.

23. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования //

Вестн. МГУ. Сер. матем., мех., астроном., физ. хим. 1959. № 2. С. 25-32.

24. Пятницкий E.С., Скородинский В.И. Численные методы построения функций

Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных проце-

дур // АиТ. 1983. № 11. C. 52-63.

Pyatnitskii E. S., Skorodinskii V.I. Numerical Method of Construction of Lyapunov

Functions and Absolute Stability Criteria in the Form of Numerical Procedures //

Autom. Remote Control. 1983. V. 44. No. 11. P. 1. P. 1427-1437.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.В. Пакшиным.

Поступила в редакцию 11.10.2018

После доработки 26.11.2018

Принята к публикации 07.02.2019