Автоматика и телемеханика, № 8, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ОПТИМИЗАЦИЯ БИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ:

II. ЗАДАЧА СИНТЕЗА¹

Получены и обсуждены результаты, связанные с задачей синтеза для

билинейной системы при произвольных ограниченных внешних возму-

щениях. Поставлены и решены задачи конструктивного построения эл-

липсоида стабилизируемости и области стабилизируемости билинейной

системы управления как в непрерывном, так и в дискретном времени.

Главным инструментом при этом является техника линейных матричных

неравенств. Предложенный простой и универсальный подход имеет боль-

шой потенциал и возможности для обобщений, в частности — на различ-

ные робастные постановки задачи.

Ключевые слова: билинейная система управления, ограниченные внеш-

ние возмущения, квадратичная функция Ляпунова, линейная обратная

связь, эллипсоид стабилизируемости, область стабилизируемости, линей-

ные матричные неравенства.

DOI: 10.1134/S000523101908004X

1. Введение

Задачам, связанным с вопросами устойчивости, стабилизации и синте-

за управления для билинейных систем, традиционно уделяется достаточно

большое внимание в публикациях, начиная с появления монографии [1]; при

этом предлагаются как самые различные постановки задач, так и подхо-

ды к их решению, см. [2-15] и др.; в частности, в некоторых публикациях

(см., например, [6]) предпринимаются попытки эллипсоидального подхода к

рассматриваемой проблематике. Среди наиболее идейно близких работ отме-

тим [16, 17], которые также посвящены построению квадратичных функций

Ляпунова для задач стабилизации билинейных систем при помощи техники

линейных матричных неравенств [18, 19].

В недавних публикациях [20-22] на основе техники линейных матрич-

ных неравенств и квадратичных функций Ляпунова для билинейной систе-

мы управления эффективно строился так называемый эллипсоид стабилизи-

руемости такой, что траектории замкнутой системы, начинаясь внутри эл-

липсоида, асимптотически стремятся к нулю. В дальнейшем это позволило

конструировать невыпуклые области стабилизируемости билинейных систем

управления.

¹ Исследование выполнено при частичной поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 18-08-00140).

Однако настоящая статья существенно отличается от всех указанных

публикаций: в ней рассматривается билинейная система управления, под-

верженная воздействию произвольных ограниченных внешних возмущений.

Эта тематика (применительно к линейным системам) восходит к работам

Б.В. Булгакова, см. [23-25], который занимался так называемой проблемой о

накоплении возмущений. В настоящей статье ставятся и решаются новые за-

дачи стабилизации и управления билинейными системами при внешних воз-

мущениях; в частности, предложен подход к конструктивному построению

эллипсоида стабилизируемости и области стабилизируемости билинейной си-

стемы управления. Данная статья является непосредственным продолжени-

ем работы [26], посвященной вопросам анализа для билинейной системы с

внешними возмущениями.

Статья организована следующим образом: раздел 2 посвящен построению

эллипсоида стабилизируемости билинейной системы, подверженной воздей-

ствию внешних возмущений; в разделе 3 рассматривается построение области

стабилизируемости билинейной системы; в разделе 4 обсуждаются билиней-

ные системы управления в дискретном времени; раздел 5 содержит заклю-

чительные комментарии.

Несмотря на то что в статье рассматриваются системы со скалярным

управлением, предложенный подход в полной мере распространим и на систе-

мы с многомерным управлением. При этом выкладки становятся несколько

более громоздкими, в то время как идейная сторона меняется мало.

Всюду далее ∥·∥ — евклидова норма вектора и спектральная норма матри-

цы,^⊤ — символ транспонирования, I — единичная матрица соответствующей

размерности, а все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопре-

деленности матриц.

2. Эллипсоид стабилизируемости

Рассмотрим билинейную систему управления

(1)

x = Ax + Bxu + bu + Dw, x(0) = x₀,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, b ∈ Rⁿ, с фазовым состоянием x ∈ Rⁿ, скаляр-

ным управлением u ∈ R и внешним возмущением w ∈ R^m, измеримым по t и

ограниченным в каждый момент времени:

(2)

∥w(t)∥ ≤ γ при всех t ≥ 0.

Таким образом, рассматриваются L_∞-ограниченные внешние возмущения.

Класс таких возмущений будем называть допустимым.

Целями этого раздела являются: а) построение эллипсоида стабилизируе-

мости билинейной системы (1), (2), замкнутой статической линейной обрат-

ной связью

(3)

u = k^⊤x, k ∈ Rⁿ,

и б) нахождение управления вида (3) такого, для которого эллипсоид стаби-

лизируемости максимален (по тому или иному критерию).

Замкнув билинейную систему (1), (2) обратной связью (3), приходим к

квадратичной динамической системе вида

x = (A_c + Bxk^⊤)x + Dw,

где

A_c = A + bk^⊤.

В [26] было установлено достаточное условие, при котором эллипсоид

{

}

(4)

E = x∈Rⁿ: x^⊤P-1x≤1

P ≻ 0,

является эллипсоидом стабилизируемости для рассматриваемой квадратич-

ной системы.

Теорема 1

[26]. Эллипсоид (4) является эллипсоидом стабилизируе-

мости для системы

x = (A + Bxh^⊤)x + Dw,

∥w(t)∥ ≤ γ,

если его матрица P удовлетворяет матричным неравенствам

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + αP + εBP B^⊤ P h γD

⎜

⎟

⎝

h^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

при некоторых α и ε.

Воспользовавшись теоремой 1, приходим к соотношениям

⎛

⎞

A_cP + PA^⊤c + αP + εBPB^⊤ Pk γD

⎜

⎟

(5)

⎝

k^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

которые должны выполняться при некоторых значениях скалярных парамет-

ров α и ε.

Первое из соотношений (5) принимает вид

⎛

⎞

(A + bk^⊤)P + P (A + bk^⊤)^⊤ + αP + εBP B^⊤ P k γD

⎜

⎟

⎝

k^⊤P

-ε

⎠ ≼ 0.

γD^⊤

-αI

Введем вспомогательную векторную переменную

y=Pk∈Rⁿ,

исключая k; при этом в силу P ≻ 0 вектор k восстанавливается единственным

образом:

k=P-1y.

В результате приходим к матричному неравенству

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ y γD

⎜

⎟

⎝

y^⊤

-ε

⎠≼0

γD^⊤

-αI

со скалярными параметрами ε и α, линейному относительно матричной пе-

ременной P и векторной переменной y.

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть матрица P и вектор y удовлетворяют матричным

неравенствам

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ y γD

⎜

⎟

⎝

y^⊤

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

при некоторых значениях скалярных параметров ε и α.

Тогда линейная обратная связь (3) c регулятором

k=P-1y

стабилизирует систему (1) внутри эллипсоида

{

}

E = x∈Rⁿ: x^⊤P-1x≤1

при всех допустимых внешних возмущениях (2).

Понятно, что не при любом размахе внешних возмущений γ эллипсоид

стабилизируемости для системы (1), (2) будет существовать. Ответ на вопрос

о максимально допустимом размахе γ дается следующим утверждением.

Теорема 3. Максимальный размах γ внешних возмущений (2) в систе-

ме (1), при котором эллипсоид стабилизируемости существует, дается ре-

шением задачи

max γ

при ограничениях

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ y γD

⎜

⎟

⎝

y^⊤

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

где оптимизация проводится относительно матричной переменой P =

= P^⊤ ∈ R^n×n, векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярной переменной γ и ска-

лярных параметров α и ε.

Естественно стремиться максимизировать эллипсоид стабилизируемости

по некоторому критерию. В частности, максимизируя (при γ ≤ γ) объем эл-

липсоида, получаем следующее следствие из теоремы 2.

Следствие 1. Пуст

P, y — решение задачи выпуклой оптимизации

max log det P

при ограничениях

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ y γD

⎜

⎟

(6)

⎝

y^⊤

-ε

⎠ ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной перемен-

ной y ∈ Rⁿ и скалярных параметров ε и α.

Тогда

{

}

E = x∈Rⁿ: x

P-1x ≤ 1

является эллипсоидом стабилизируемости для билинейной системы (1),

замкнутой линейной обратной связью с регулятором

k₌

P-1y,

при всех допустимых внешних возмущениях (2).

Обратим внимание, что и теорема 2 и ее следствие 1 предполагают осу-

ществление процедуры двумерной оптимизации по α и по ε, поскольку каж-

дый из этих параметров нелинейно входит в соответствующие ограничения.

Замечание 1. В случае когда матрица B единичная (или может быть

приведена к единичной с помощью линейного преобразования), можно избе-

жать необходимости проведения оптимизации на двумерной сетке. В самом

деле, при этом первое из матричных неравенств (6) примет вид

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εP y γD

⎜

⎟

⎝

y^⊤

-ε

⎠ ≼ 0.

γD^⊤

-αI

Вводя новую скалярную переменную

μ=α+ε

и тем самым исключая ε, получаем матричное неравенство

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + μP y γD

⎜

⎟

⎝

α-μ

⎠ ≼ 0,

γD^⊤

-αI

линейное относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной пе-

ременной y ∈ Rⁿ и скалярной переменной α, с одним скалярным парамет-

ром μ.

3. Область стабилизируемости

В разделе 2 был найден максимальный (по критерию объема) эллипсоид

стабилизируемости E для системы (1), (2). Как и при решении задачи ана-

лиза в [26], введем в рассмотрение множество, образованное объединением

эллипсоидов стабилизируемости; естественно назвать его областью стабили-

зируемости системы (1), (2). Очевидно, что область стабилизируемости будет

обладать тем же свойством, что и каждый образующий ее эллипсоид стаби-

лизируемости — траектория системы, исходящая из любой точки x₀ внутри

этой области, будет оставаться в ней при всех допустимых внешних возмуще-

ниях (2). Однако следует подчеркнуть, что в отличие от эллипсоида стаби-

лизируемости, всем точкам которого соответствует общий стабилизирующий

регулятор, здесь ситуация принципиально иная: различным точкам области

стабилизируемости могут соответствовать различные регуляторы, стабили-

зирующие билинейную систему (1).

Отметим, что поскольку областью стабилизируемости по существу явля-

ется объединение эллипсоидов стабилизируемости, то в общем случае она

может оказаться невыпуклой.

В рамках техники линейных матричных неравенств по произвольному век-

тору c можно эффективно построить точку, лежащую на границе области

стабилизируемости системы по направлению c: выберем направление, опре-

деляемое вектором c единичной длины, и будем требовать принадлежности

точки ρc эллипсоиду стабилизируемости, максимизируя параметр ρ. Посколь-

ку условие принадлежности точки ρc эллипсоиду стабилизируемости с мат-

рицей P представимо по лемме Шура в линейном относительно P и ρ виде

(

)

ρc^⊤

≽ 0,

ρc P

приходим к следующему результату, устанавливающему простую характери-

зацию области стабилизируемости билинейной динамической системы, под-

верженной воздействию внешних возмущений.

Теорема 4. Пусть c — заданный вектор и пусть ρ — решение задачи

max ρ

при ограничениях

⎛

⎞

AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ y γD

⎜

⎟

⎝

y^⊤

-ε

⎠ ≼ 0,

γD^⊤

-αI

(

)

ρc

≽ 0,

ρc^⊤ P

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n,

векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярной переменной ρ и скалярным пара-

метрам α и ε.

Тогда точка ρc лежит на границе области стабилизируемости систе-

мы (1), (2) по направлению c.

4. Система в дискретном времени

Рассмотрим билинейную систему управления в дискретном времени

(7)

xℓ+1 = Ax_ℓ + Bx_ℓu_ℓ + bu_ℓ + Dw_ℓ,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, b ∈ Rⁿ, с начальным состоянием x₀, фазовым

состоянием x_ℓ ∈ Rⁿ, скалярным управлением u_ℓ ∈ R и внешним возмущением

w_ℓ ∈ R^m, удовлетворяющим ограничению

(8)

∥w_ℓ

∥ ≤ γ при всех ℓ = 0,1,2,...

Замкнув билинейную систему (7), (8) статической линейной обратной свя-

зью

(9)

u_ℓ = k^⊤x_ℓ, k ∈ Rⁿ,

приходим к дискретной квадратичной динамической системе

xℓ+1 = (A_c + Bx_ℓk^⊤)x_ℓ + Dw_ℓ,

где A_c = A + bk^⊤.

В [26] установлено достаточное условие, при котором эллипсоид

{

}

(10)

E = x_ℓ ∈Rⁿ: x^⊤ℓP-1x_ℓ ≤1

P ≻ 0,

является эллипсоидом стабилизируемости для рассматриваемой дискретной

квадратичной системы, а именно имеет место следующий результат.

Теорема 5

[26]. Эллипсоид (10) является эллипсоидом стабилизируе-

мости для системы

xℓ+1 = (A + Bx_ℓh^⊤)x_ℓ + Dw_ℓ,

∥w_ℓ∥ ≤ γ,

если его матрица P удовлетворяет матричным неравенствам

⎛

⎞

-αP

Ph PA^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝h⊤P

-1εI

⎠

γD

-P

при некоторых α и ε.

Воспользовавшись теоремой 5, приходим к соотношениям

⎛

⎞

⊤

-αP

Pk PA

⎜

⎟

⎜

-P

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤⎟

⎜

⎟

(11)

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤⎟

⎜

⎟

⎝k^⊤P

-1εI

⎠

A_cP

γD

-P

которые должны выполняться при некоторых значениях скалярных парамет-

ров α и ε.

Первое из соотношений (11) принимает вид

⎛

⎞

⊤

-αP

Pk P(A + bk^⊤)

⎜

⎟

⎜

-P

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤

⎟

⎜

⎟

≼ 0.

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝ k^⊤P

-1εI

⎠

(A + bk^⊤)P

γD

-P

Введем вспомогательную векторную переменную

y=Pk∈Rⁿ,

исключая k; при этом в силу P ≻ 0 вектор k восстанавливается единственным

образом:

k=P-1y.

В результате приходим к матричному неравенству

⎛

⎞

-αP

y PA^⊤ +yb^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤

⎟

⎜

⎟

≼0

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤

⎟

⎜

⎟

⎝ y^⊤

-1εI

⎠

AP + by^⊤

γD

-P

со скалярными параметрами ε и α, линейному относительно матричной пе-

ременной P и векторной переменной y.

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 6. Пусть матрица P и вектор y удовлетворяют матричным

неравенствам

⎛

⎞

-αP

y PA^⊤ +yb^⊤

⎜

⎟

⎜

-P

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤

⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤

⎟

⎜

⎟

⎝ y^⊤

-1εI

⎠

AP + by^⊤

γD

-P

при некоторых значениях скалярных параметров ε и α.

Тогда линейная обратная связь (9) c регулятором

k=P-1y

стабилизирует систему (7) внутри эллипсоида

{

}

E = x_ℓ ∈Rⁿ: x^⊤ℓP-1x_ℓ ≤1

при всех допустимых внешних возмущениях (8).

Как и в непрерывном случае, эллипсоид стабилизируемости для систе-

мы (7), (8) существует не при любом размахе внешних возмущений γ. Ответ

на вопрос о максимально допустимом размахе γ дается следующим дискрет-

ным аналогом теоремы 3.

Теорема 7. Максимальный размах γ внешних возмущений (8) в систе-

ме (7), при котором эллипсоид стабилизируемости существует, дается ре-

шением задачи

max γ

при ограничениях

⎛

⎞

-αP

y PA^⊤ +yb^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤

⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤

⎟

⎜

⎟

⎝ y^⊤

-1εI

⎠

AP + by^⊤

γD

-P

где оптимизация проводится относительно матричной переменой P =

= P^⊤ ∈ R^n×n, векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярной переменной γ и ска-

лярных параметров α и ε.

Максимизируя (для допустимого γ ≤ γ) объем эллипсоида, получаем сле-

дующее следствие из теоремы 6.

Следствие 2. Пуст

P, y — решение задачи выпуклой оптимизации

max log det P

при ограничениях

⎛

⎞

-αP

y PA^⊤ +yb^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤

⎟

⎜

⎟

≼ 0,

P ≻ 0,

⎜

⎟

⎜

PB^⊤

-εP

PB^⊤

⎟

⎜

⎟

⎝ y^⊤

-1εI

⎠

AP + by^⊤

γD

-P

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной перемен-

ной y ∈ Rⁿ и скалярных параметров ε и α.

Тогда

{

}

E = x_ℓ ∈Rⁿ: x

P-1x_ℓ ≤ 1

является эллипсоидом стабилизируемости для билинейной системы (7),

замкнутой линейной обратной связью (9) с регулятором

k₌

P-1y,

при всех допустимых внешних возмущениях (8).

Наконец, следующая теорема является дискретной версией теоремы 4.

Теорема 8. Пусть c — заданный вектор и пусть ρ — решение задачи

max ρ

при ограничениях

⎛

⎞

-αP

y PA^⊤ +yb^⊤

⎜

⎟

-P

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-(1 - α)I

γD^⊤

⎟

⎜

⎟

≼ 0,

⎜

⎟

PB^⊤

-εP

PB^⊤

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝ y^⊤

-1εI

⎠

AP + by^⊤

γD

-P

(

)

ρc

≽ 0,

ρc^⊤ P

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n,

векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярной переменной ρ и скалярным пара-

метрам α и ε.

Тогда точка ρc лежит на границе области стабилизируемости систе-

мы (7), (8) по направлению c.

0,6

0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

0,6

0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 1. Эллипс стабилизируемости и траектория замкнутой системы из примера 1.

Пример 1. Рассмотрим систему управления вида (1) с параметрами

(

)

(

)

(

)

(12)

B=I,

Теорема 3 дает максимально допустимый размах внешних возмущений

γ = 1,8157;

примем γ = 1. Согласно следствию 1 получаем матрицу

(

)

0,5464

0,3779

P =

0,3779

0,2879

эллипса стабилизируемости системы и соответствующую матрицу

(

)

34,3307

k₌

-64,3609

стабилизирующего регулятора.

На рис. 1 показан найденный эллипс стабилизируемости для систе-

мы (12), (2) и траектория замкнутой системы при некотором допустимом

внешнем возмущении.

Далее, воспользовавшись теоремой 4, находим область стабилизируемости

билинейной системы. На рис. 2 сплошной линией показана найденная область

стабилизируемости; для сравнения на том же рисунке показан найденный вы-

ше эллипс стабилизируемости, максимальный по критерию объема. Обратим

внимание на невыпуклость полученной области стабилизируемости.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Рис. 2. Область стабилизируемости и эллипс стабилизируемости из примера 1.

Пример 2. Рассмотрим билинейную систему вида (1) с матрицами

(

)

(

)

(

)

13/6

5/12

-1/8

D=I.

−50/3

-8/3

Эта система представляет собой модель химического реактора (см. [27]);

здесь x₁ и x₂ соответственно — безразмерные фазовые переменные темпе-

ратуры и концентрации. Применение предложенного подхода позволило по-

строить эллипс стабилизируемости с матрицей

(

)

0,7799

-4,1707

P =

−4,1707

27,2303

и соответствующий регулятор

(

)

-0,1996

^k=

· 10-4.

-0,0673

На рис. 3 показан найденный эллипс стабилизируемости и траектория

замкнутой системы при внешнем возмущении

(

)

w(t) = 0,01

sin t

и начальном условии (см. [28])

(

)

0,15

x(0) =

Все вычисления проводились в среде Matlab с использованием программ-

ного пакета cvx [29, 30].

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Рис. 3. Эллипс стабилизируемости и траектория замкнутой системы из примера 2.

5. Заключение

В статье введены понятия эллипсоида стабилизируемости и области стаби-

лизируемости билинейной системы управления, подверженной воздействию

произвольных ограниченных внешних возмущений, и предложен легко реа-

лизуемый с вычислительной точки зрения подход к их конструктивному по-

строению.

Естественным развитием полученных результатов будет служить их рас-

пространение на системы с многомерным управлением, на разнообразные ро-

бастные постановки задачи (в частности — со структурированной матричной

неопределенностью в матрицах системы), а также на задачи синтеза линей-

ной обратной связи по выходу билинейной системы.

Автор признателен Б.Т. Поляку за интерес к работе, плодотворные обсуж-

дения и полезные предложения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Mohler R.R. Bilinear Control Processes. N.Y.: Academic Press, 1973.

2. Ryan E., Buckingham N. On Asymptotically Stabilizing Feedback Control of Bilinear

Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1983. V. 28. Iss. 8. P. 863-864.

3. Chen L.K., Yang X., Mohler R.R. Stability Analysis of Bilinear Systems // IEEE

Trans. Autom. Control. 1991. V. 36. Iss. 11. P. 1310-1315.

Čelikovský S. On the Global Linearization of Bilinear Systems // Syst. Control Lett.

1990. V. 15. No. 5. P. 433-439.

Čelikovský S. On the Stabilization of the Homogeneous Bilinear Systems // Syst.

Control Lett. 1993. V. 21. No. 6. P. 503-510.

Tibken B., Hofer E.P., Sigmund A. The Ellipsoid Method for Systematic

Bilinear Observer Design // Proc. 13th IFAC World Congr. San Francisco, USA,

June 30-July 5, 1996. P. 377-382.

Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели для некоторых

классов билинейных систем с линейным входом // ДАН. Теория управления.

2004. Т. 398. № 1. С. 38-43.

Belozyorov V.Y. Design of Linear Feedback for Bilinear Control Systems // Int. J.

Appl. Math. Comput. Sci. 2002. V. 11. No. 2. P. 493-511.

Belozyorov V.Y. On Stability Cones for Quadratic Systems of Differential

Equations // J. Dyn. Control Syst. 2005. V. 11. No. 3. P. 329-351.

10.

Andrieu V., Tarbouriech S. Global Asymptotic Stabilization for a Class of Bilinear

Systems by Hybrid Output Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 2013. V. 58.

No. 6. P. 1602-1608.

11.

Coutinho D., de Souza C.E. Nonlinear State Feedback Design with a Guaranteed

Stability Domain for Locally Stabilizable Unstable Quadratic Systems // IEEE

Trans. Circuits Syst. I. Regular Papers. 2012. V. 59. No. 2. P. 360-370.

12.

Omran H., Hetel L., Richard J.-P., et al. Stability Analysis of Bilinear Systems under

Aperiodic Sampled-Data Control // Automatica. 2014. V. 50. No. 4. P. 1288-1295.

13.

Kung C.-C., Chen T.-H., Chen W.-C., et al. Quasi-Sliding Mode Control for a

Class of Multivariable Discrete Time Bilinear Systems // Proc. IEEE Int. Conf. on

Systems, Man, and Cybernetics (SMC). Seoul, Korea. October 2012. P. 1878-1883.

14.

Athanasopoulos N., Bitsoris G. Constrained Stabilization of Bilinear Discrete-Time

Systems Using Polyhedral Lyapunov Functions // Proc. 17th IFAC World Congr.

Seoul, Korea, July 6-11, 2008. P. 2502-2507.

15.

Athanasopoulos N., Bitsoris G. Stability Analysis and Control of Bilinear Discrete-

Time Systems: A Dual Approach // Proc. 18th IFAC World Congr. Milano, Italy,

August 28-September 2, 2011. P. 6443-6448.

16.

Tarbouriech S., Queinnec I., Calliero T.R., et al. Control Design for Bilinear Systems

with a Guaranteed Region of Stability: An LMI-Based Approach // Proc. 17th

Mediterranean Conf. on Control & Automation (MED’09). Thessaloniki, Greece.

June 2009. P. 809-814.

17.

Amato F., Cosentino C., Merola A. Stabilization of Bilinear Systems via Linear State

Feedback Control // IEEE Trans. Circuits Syst. II. Express Briefs. 2009. V. 56. No. 1.

P. 76-80.

18.

Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., et al. Linear Matrix Inequalities in System and

Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

19.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАНД, 2014.

20.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // 14th

Europ. Control Conf. (ECC’15). Linz, Austria, July 15-17, 2015. IEEE Catalog

Number(USB): CFP1590U-USB. P. 160-164.

21.

Хлебников М.В. Квадратичная стабилизация билинейной системы управле-

ния // АиТ. 2016. № 6. С. 47-60.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // Autom.

Remote Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 980-991.

22.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Discrete-Time Bilinear Control

Systems // 2018 Europ. Control Conf. (ECC18). Limassol, Cyprus, June 12-15,

2018. IEEE Catalog Number(USB): CFP1890U-USB. P. 201-205.

23. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах

с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. Т. 5. Вып. 5. С. 339-342.

24. Гноенский Л.С. Задача Булгакова о накоплении возмущений / Задача Булгакова

о максимальном отклонении и ее применение. Под ред. В.В. Александрова. М.:

Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1993. С. 7-29.

25. Жермоленко В.Н. Максимальное отклонение колебательной системы второго

порядка с внешним и параметрическим возмущениями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007.

№ 3. С. 75-80.

26. Хлебников М.В. Оптимизация билинейной системы управления при внешних

возмущениях: I. Задача анализа // АиТ. 2019. № 2. С. 46-63.

Khlebnikov M.V. Optimization of Bilinear Control Systems Subjected to Exogenous

Disturbances: I. Analysis // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 2. P. 234-249.

27. Hofer E.P. Nonlinear and Bilinear Models for Chemical Reactor Control // Math.

Model. 1987. V. 8. P. 406-411.

28. Kang D., Won S., Jang Y.J. Guaranteed Cost Control for Bilinear Systems by Static

Output Feedback // Appl. Math. Comput. 2013. V. 219. No. 14. P. 7398-7405.

29. Grant M., Boyd S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming,

version 2.0 beta. URL http://cvxr.com/cvx , September 2013.

30. Grant M., Boyd S. Graph Implementations for Nonsmooth Convex Programs /

Recent Advances in Learning and Control (a tribute to M. Vidyasagar), V. Blondel,

S. Boyd, H. Kimura, editors. Springer, 2008. P. 95-110. URL http://stanford.edu/

~boyd/graph_dcp.html

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.Т. Поляком.

Поступила в редакцию 17.01.2019

После доработки 26.02.2019

Принята к публикации 25.04.2019