Автоматика и телемеханика, № 8, 2019

(ФГАОУ ВО Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)),

А.С. ЯКШИН, канд. техн. наук (yakshin_as@mail.ru)

(ФГКВОУ ВО Военная академия материально-технического обеспечения

им. генерала армии А.В. Хрулева Министерства обороны Российской Федерации,

Санкт-Петербург)

ПОИСК ОШИБОК В УЗЛАХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ,

СОДЕРЖАЩИХ СТАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Представлен метод решения задачи функционального диагностирова-

ния для систем управления, заданных структурными схемами. Подход

позволяет проводить поиск и локализацию ошибок без учета искажения

параметров внутри звеньев и строить устройства диагностирования, не

превосходящие по сумме компонент исходную систему.

Ключевые слова: функциональное диагностирование, структурная схема,

статические нелинейности, банк диагностических наблюдателей, избы-

точность.

DOI: 10.1134/S0005231019080075

1. Введение и постановка задачи

Повышение важности задач, решаемых современными техническими ком-

плексами, приводит к ужесточению требований к качеству работы всех со-

ставляющих компонентов, в частности к достоверности их функционирова-

ния [1]. Достижение этой достоверности невозможно при наличии нештатных

ситуаций в системе, опасные последствия которых исключаются только при

их своевременном обнаружении. С этой целью в состав технических объектов

вводятся специальные средства, решающие диагностическую задачу либо в

процессе регламентного обслуживания, либо непосредственно в процессе нор-

мальной работы.

Во многих случаях перерывы на регламентное обслуживание недопусти-

мы и диагностические задачи должны решаться в рабочих режимах объек-

та диагностирования (ОД) в реальном масштабе времени. Соответствующие

методы решения диагностических задач принято называть методами функ-

ционального диагностирования (ФД) [2-7].

К числу объектов диагностирования, прерывание работы которых крайне

нежелательно, относятся электромеханические и механические системы ан-

тенных приводов радиотелескопов и обзорных радиолокаторов, следящие си-

стемы автоматики, исполнительные механизмы робототехнических систем и

многие другие. В таких объектах обычно можно выделить структуры, в ко-

торые входят динамические элементы, имеющие один вход и один выход.

В линейном случае исчерпывающее задание таких структур представляет

собой совокупность схемы соединений (структурной схемы) и передаточных

функций упомянутых элементов. При этом задачу ФД можно решить с помо-

щью матричных преобразований, трансформирующих исходную структуру в

каноническую форму [8]. В общем случае рассматриваемый ОД может со-

держать нелинейные элементы, причем если нелинейность статическая (не

зависит от состояния ОД), то каждый такой элемент представим последова-

тельным соединением безынерционного нелинейного преобразователя (ста-

тическая нелинейность) и линейного узла. Вся структура при этом также

задается схемой соединений и математическими описаниями элементов с од-

ним входом и одним выходом, однако решение задачи ФД упомянутым выше

методом невозможно ввиду некорректности необходимых преобразований.

Применительно к рассматриваемому случаю задача ФД решена в упоми-

навшихся публикациях [2, 6], но реализация использованных в них методов

требует повышенной избыточности: размерность устройства ФД, как прави-

ло, превышает размерность ОД. Предлагаемый в настоящей работе способ

позволяет без потери диагностической способности решить ту же задачу бо-

лее экономно, обеспечивая равенство размерностей ОД и средств ФД.

Поставим задачу ФД следующим образом.

Пусть ОД является стационарной системой с сосредоточенными парамет-

рами и представим в виде декомпозиции, в которую входят линейные динами-

ческие и нелинейные статические элементы (звенья) с одним входом и одним

выходом. Линейные звенья заданы передаточными функциями (ПФ), стати-

ческие нелинейности (СН) - функциями одной переменной. Выходы некото-

рых (в пределе всех) звеньев доступны и образуют вектор выхода ОД. Считая

этот вектор и управляющие воздействия на ОД доступными, найти матрич-

ное описание устройства функционального диагностирования (УФД) в виде

банка наблюдателей, оценивающих вектор выхода ОД. В банке формирует-

ся эталонное значение этого вектора и фиксируются ошибки, состоящие в

несоответствии (невязке) текущих значений компонент выхода ОД эталону.

2. Синтез устройства диагностирования

Положим, что ОД состоит из n звеньев и образуем n-размерный вектор z,

считая, что его компоненты z_j суть переменные на выходах соответствующих

звеньев. Если ОД линеен и содержит динамические звенья только первого по-

рядка, то вектор z совпадает с его вектором состояния; при наличии в линей-

ном ОД хотя бы одного звена более высокого порядка размерность вектора z

меньше размерности вектора состояния. В нелинейном случае для ОД, со-

держащих динамические звенья только первого порядка, размерность z пре-

вышает размерность вектора состояния; при более высоком порядке динами-

ческих звеньев она может быть и больше, и меньше, и равной последней.

Поскольку компоненты вектора z образуют совокупность как выходных,

так и входных переменных звеньев, при штатной работе ОД справедливо

следующее матричное уравнение:

(1)

z(p) = F(p)z(p) + G(p)u(p),

в котором z(p) - определенный выше вектор размерности n; u(p) - вектор

управления размерности l; F(p) и G(p) - матрицы, содержащие ПФ и СН

звеньев, размерности матриц n × n и l × n соответственно.

Ненулевые элементы матрицы F(p) связывают между собой компоненты

вектора z(p), получаемые на выходах одних звеньев и подаваемые на вхо-

ды каких-либо других звеньев, т.е. эта матрица, по сути, задает структуру

связей ОД.

В (1) компоненты произведений матриц на векторы понимаются нетриви-

альным образом, к примеру, элемент произведения F(p)z(p) вида F_ij (p)z_j (p),

если первый сомножитель - передаточная функция, считается обычным про-

изведением ПФ на переменную, если же он - статическая нелинейность,

то F_ij z_j(p) = F_ij [z_j(p)], т.е. произведение трактуется как нелинейная функ-

ция F_ij с аргументом z_j(p), здесь F_ij - элемент матрицы F(p), стоящий на

пересечении i-й строки и j-го столбца, а z_j - j-я компонента вектора z(p).

Ниже во всех случаях, кроме вызывающих разночтения, комплексная пе-

ременная p опущена.

Будем считать, что доступные выходы звеньев образуют m-размерный

вектор y, который можно задать матричным произведением вида y = Hz.

Входящая в произведение матрица H размерности m × n (m ≤ n) обладает

рядом особых свойств. Во-первых, она состоит из нулей и единиц, имея в

каждой строке единственную единицу в некоторой позиции, во-вторых, име-

ет полный ранг, и, в-третьих, у нее всегда существует псевдообратная мат-

рица Мура-Пенроуза, принимающая в рассматриваемом случае вид H⁺ =

(

)-1

=H^T

HH^T

[9]. Эта матрица устанавливает соответствие между компо-

нентами векторов y и z (y_j = z_k, где j и k - номера строки и столбца матрицы

соответственно).

Достаточно очевидно, что максимальной обнаруживающей способностью

обладает УФД, динамическая часть которого представляет собой информа-

ционный аналог ОД, т.е. устройство, способное сформировать такие же век-

торы z и y, как и ОД. Это устройство управляется как вектором u, так и

вектором y, а y = Hz, поэтому его можно задать парой уравнений:

(2)

z∗ = F∗z∗ + G∗u + SHz, y∗ = H∗z∗,

в которой подстрочным индексом «_∗» отмечены матрицы и векторы, относя-

щиеся к УФД, но обозначенные буквами, использованными в (1).

Информационный аналог должен реагировать на вектор u так же, как

и ОД, поэтому в (2) G_∗ = G. Кроме того, всегда имеют место равенства

z = z_∗ и y = y_∗, из чего следуют равенство H_∗ = H, справедливость при

нулевом векторе управления u соотношения

(3)

Fz = F_∗

z + SHz

и далее соотношение

(4)

F_∗

= F - SH.

u(p)

y(p)

Объект диагностирования

Банк

диагностических

Невязки

наблюдателей

Рис. 1. Схема обнаружения и локализации ошибок.

Равенство z = z_∗ определяет и специфику матрицы F_∗, задающей струк-

туру связей в УФД. Дело в том, что если некоторая компонента вектора

выхода ОД равна y_j = z_k, то входная переменная z_∗k = z_k соответствующего

звена УФД заменяется переменной y_j, т.е. она участвует в формировании век-

тора z_∗ соотношения (2) как компонента z_k вектора z в произведении SHz.

При этом в произведении F_∗z_∗ элемент F_∗ikz_∗k должен тождественно рав-

няться 0 (F_∗ik - элемент матрицы F_∗), что возможно, только когда k-й стол-

бец F_∗ состоит из нулей.

Таким образом, следует считать, что матрица F_∗ - вырожденная матрица

с нулевыми столбцами. Для таких матриц существует нетривиальное решение

уравнения F_∗z = 0, подставив его в (3), последовательно получим Fz = SHz,

F = SH и, умножив обе части последнего равенства на псевдообратную мат-

рицу H⁺, формулу для вычисления матрицы S:

(5)

S = FH⁺.

Заменив в (2) матрицы G_∗ и H_∗ равными им матрицами G и H, а матрицы

F_∗ и S правыми частями равенств (4) и (5) соответственно, окончательно

получим уравнения, задающие динамическую часть УФД:

(

)

(6)

z∗ =

F - FH⁺H

z∗ + Gu + FH⁺Hz, y∗ = Hz∗.

Нетрудно убедиться, что построенная в соответствии с (6) система состоит

из m, в общем случае взаимосвязанных, блоков, на выходе каждого из них ге-

нерируется одна компонента вектора y_∗ = y. Преобразование системы в банк

диагностических наблюдателей состоит в добавлении к ней m устройств срав-

нения (вычитания) одноименных компонент. После покомпонентного вычи-

тания образуется m-размерный вектор невязок, который целесообразно пре-

образовать в вектор индикации ошибок, сопоставив компонентам первого с

невязкой, превышающей некоторый порог, единичные компоненты второго и

нулевые в противном случае, при этом конфигурация ошибок в ОД связы-

вается со значением вектора индикации однозначным образом. В результате

формируется искомое УФД, реализация которого предполагается на ЭВМ.

Появление ошибки, искажающей некоторую компоненту вектора выхода ОД,

приводит к появлению невязки на выходе наблюдателя, ее анализирующе-

го (обозначен символом Σ∗1), при этом на выходах остальных наблюдателей

(обозначены символом Σ∗0) невязка отсутствует. Соответствующий вектор

индикации содержит единственную единицу, что позволяет не только обна-

ружить ошибку, но и указать звено ОД, в котором она возникла (рис. 1).

Для иллюстрации метода построим УФД для нелинейной системы из [10].

3. ФД системы автоматического управления

с нелинейной обратной связью

Рассматриваемый ОД представляет собой нелинейную систему, включаю-

щую в себя ограничитель в прямой ветви и релейный элемент в цепи обратной

связи (рис. 2).

y₄

y₃

y₂

W₄

z₁

W₇

W₆

W₅

W₂

W₁

y₁

z₇

z₆

z₅

z₄

z₂

z₉

W₈

z₈

W₉

z₁₀

W₁₀

Рис. 2. Структурная схема ОД.

Матрицы, входящие в уравнения, задающие ОД, имеют следующий вид:

⎡

⎤

W₁

⎢

W₂

-W₂

⎥

⎢

⎥

⎢

W₃

-W₃

⎥

⎢

⎥

⎢

W₄

⎥

⎢

⎥

⎢

W₅

-W₅

⎥

F =

⎢

⎥,

⎢

W₆

⎥

⎢

⎥

⎢

−W₇

⎥

⎢

⎥

⎢

W₈

⎥

⎣

⎦

W₉

W₁₀

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

H =

⎢

⎥

⎣₀₀

⎦^.

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

W₇

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ 0

⎦

Используя равенства G_∗ = G, H_∗ = H и полученные выше соотношения

(4), (5), найдем матрицы, входящие в уравнения (2):

⎡

⎤

W₁

⎢

⎥

-W₂

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

-W₃

⎥

⎢

⎥

⎢

W₄

⎥

⎢

⎥

⎢

W₅

-W₅

⎥

⎢

⎥

F∗ =

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

W₈

⎥

⎢

⎥

⎣ 0

W₉

⎦

W₁₀

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

W₂

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

W₃

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

G∗ =

⎢

⎥

⎢

⎥

W₆

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

−W₇

⎥

⎢

W₇

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣ 0

⎦

⎡

⎤

⎢

⎥

H_∗ =

⎢

⎥

⎣₀

⎦^.

y₁

y₂

y *2

r₂

W₃

W₄

y *3

r₃

y₄

W₆

W₅

r₂

y *1

r₁

y *4

W₂

W₁

W₇

W₈

W₉

W₁₀

Рис. 3. Структурная схема УФД.

Полученные матрицы определяют аналитическое задание динамической

части УФД и далее его структурную схему (рис. 3). Синтезированное

УФД состоит из четырех наблюдателей, формирующих вектор невязок r =

= {r₁, r₂, r₃, r₄}, суммарный объем которых составляет 10 звеньев. Размер-

ности векторов состояний ОД и УФД равны, возможность обнаружения по-

следним любых ошибок ОД очевидна.

Оценка локализующей способности построенного УФД производится с по-

мощью таблицы соответствия ошибок в звеньях ОД значениям вектора ин-

дикации (таблица). Соответствующие компоненты вектора равны 1, если

i-й наблюдатель фиксирует ошибку рассматриваемого звена, и 0 в против-

ном случае.

Анализируя таблицу, можно сделать вывод, что в случае однократных

ошибок их локализация в звеньях W₁ и W₇ однозначна. Ошибки в звеньях

{W₂, W₈}, {W₃, W₉}, {W₄, W₅, W₆, W₁₀} локализуются с точностью до групп,

внутри групп они неразличимы. Таким образом, для данного ОД, состоящего

из 10 звеньев, построенное УФД позволяет различить 5 классов однократных

ошибок.

Диагностическое моделирование рассматриваемой системы с построенным

банком наблюдателей производилось с помощью пакета MATLAB фирмы

Mathwork Inc. При синтезе УФД считалось, что линейные звенья ОД заданы

Таблица

Класс ошибок Индикатор

Звенья

1000

W₁

1110

W₂, W₈

0100

W₃, W₉

0010

W₄, W₅, W₆, W₁₀

0001

W₇

r₄(t)

r₁(t) r₃(t)

1,5

1,0

0,5

1,0

1,5

Рис. 4. Поведение сигнала невязки при наличии ошибки в звене W₇.

передаточными функциями вида

k₃

k₅

W₁ =

W₂ =

W₃ =

W₅ =

T₂p

1+T₃p

1+T₅p

1+T₆p

k₁₀

W₆ =

W₇ = k₇, W₉ = k₉, W₁₀ =

1+T₁₀p

с номинальными значениями параметров:

T₂ = 0,25, k₃ = 0,03, T₃ = 0,02, k₅ = 600, T₅ = 0,2,

T₆ = 0,49, k₇ = 48,5, k₉ = 500, k₁₀ = 2,03, T₁₀ = 0,01.

Нелинейные звенья представлены повторителем-ограничителем с уровнем

ограничения ±300 (W₄) и релейным элементом с зоной нечувствительности

±0,1 (W₈).

При моделировании считалось, что в начальный момент времени ОД ис-

правен, параметры всех его звеньев, кроме W₇, соответствуют номиналу, а

выходные сигналы одноименных звеньев ОД и УФД равны. Коэффициент пе-

редачи W₇ отличался от номинала на 1%. В качестве входного воздействия u

использовался синусоидальный сигнал с амплитудой 1 и частотой 2π. Неис-

правность моделировалась скачкообразным изменением параметров W₇ на

10% в момент времени t = 5.

Для обеспечения робастности процесса диагностирования к разбросу па-

раметров и неточности начальной установки был установлен порог невязки r₄

на уровне ±0,5, т.е. допускалась вариация k₇ в пределах 5%.

Следует отметить, что задача выбора допустимого порога невязки явля-

ется самостоятельной достаточно сложной задачей. Строгое ее решение ос-

новано на статистическом анализе свойств и поведения ОД, причем в случае

использования для диагностики полноразмерного вектора выхода ОД вели-

чина порога от способа синтеза УФД не зависит.

Результаты моделирования показывают, что определенная выше неисправ-

ность приводит к появлению на выходе наблюдателя невязки r₄, превышаю-

щей установленный порог (рис. 4,а). Остальные компоненты вектора невяз-

ки (r₁, r₂, r₃) к такой ситуации инвариантны (рис. 4,б ).

Таким образом, результаты моделирования показывают, что расчетная

глубина локализации ошибок (таблица) для рассматриваемого ОД действи-

тельно достигается.

Найти равноценное с точки зрения обнаружения и локализации ошибок

решение представленного примера можно и другими методами, в частности

используя известный алгоритм последовательного выбора звеньев ОД [2, 6].

Несложный анализ показывает, что в получаемый при этом банк наблюда-

телей звенья W₂ и W₈ входят по 3 раза, в результате полный объем УФД

составляет 14 звеньев, т.е. проигрыш по сравнению с предлагаемым методом

составляет порядка 40%.

4. Оценка результатов и заключение

Для оценки полученных результатов сравним построенное в соответствии

с (6) УФД с подобными устройствами, синтезированными другими методами.

Прежде всего, отметим, что использованный способ образования векторов

z и z_∗ гарантирует равенство размерностей векторов состояний ОД и УФД.

Такую же размерность имеет банк наблюдателей, построенных путем преоб-

разования ОД в каноническую форму Кронекера [8], но это преобразование

корректно только в случае линейности ОД. Следовательно, предложенный в

настоящей работе метод, сохраняя вводимую избыточность неизменной, рас-

ширяет класс решаемых задач по сравнению с упомянутым.

Способ построения банка наблюдателей, пригодный для нелинейных ОД

рассматриваемого вида, предложен в [2, 6]. Он состоит в выделении из ОД

подсистем, каждая из которых формирует одну компоненту его вектора вы-

хода, и используется в качестве составляющей банка наблюдателей. Число

наблюдателей в банке, как и в настоящей работе, равно размерности вектора

выхода ОД, но сумма размерностей наблюдателей в общем случае превышает

(в лучшем случае равна) размерность ОД, поскольку некоторые звенья могут

одновременно входить в состав нескольких подсистем, т.е. присутствовать в

банке многократно. В результате как для линейных, так и для нелинейных

ОД решение задачи ФД в соответствии с рекомендациями указанных работ,

как правило, требует большей избыточности, чем при использовании пред-

лагаемой методики [3].

Оценивая диагностическую способность построенных УФД, следует иметь

в виду, что, как следует из материалов ряда публикаций, к примеру моно-

графий [5, 7], наилучшими характеристиками в части обнаружения ошибок

обладают устройства, динамическая часть которых связана с ОД отноше-

нием изоморфизма. При этом размерности векторов состояний ОД и УФД

равны, в простейшем случае динамическая часть последнего является дуб-

лем ОД. Обнаружение ошибок производится путем анализа невязок между

одноименными компонентами векторов выхода изоморфных систем, однако

их локализация затруднительна, поскольку ошибка в одном звене может вы-

звать искажение нескольких и даже всех компонент вектора выхода ОД.

OД

УФД

y_j(p)

z_k(p)

zk + 1(p)

y_j(p)

W_i(p)

i(p)

k + 1(p)

y_s(p)

s(p)

Рис. 5. Фрагмент ОД и соответствующая ему часть УФД.

В случае построения УФД с помощью предложенного в настоящей рабо-

те метода размерность его вектора состояния и способ обнаружения ошибок

остаются такими же, как и при дублировании ОД, однако условия изомор-

физма при этом не выполнены. В этом случае динамическая часть УФД и

ОД связаны отношением моделирования (simulation), введенным для конеч-

ных систем в монографии [11] и обобщенным на произвольный случай в [4].

Особенность этого отношения состоит в том, что в паре «ОД - динамическая

часть УФД» моделью является первый объект, с помощью которого модели-

руется второй. В частном случае моделирование переходит в гомоморфизм,

причем в качестве модели выступает объект-прообраз, а в качестве модели-

руемого - объект-образ.

Поскольку отношение моделирования, как и отношение изоморфизма в

случае дублирования, предполагает воссоздание в ОД полноразмерных век-

торов состояния и выхода динамической части УФД, следует считать, что в

части обнаружения ошибок предлагаемый метод и метод дублирования рав-

ноценны. Однако особенности синтезируемого первым методом банка наблю-

дателей существенно расширяют возможность локализации звеньев с ошиб-

ками. Объясняется это тем, что динамическая часть наблюдателя, отслежи-

вающего работу некоторого фрагмента ОД, функционирует независимо от

него. По этой причине при появлении ошибки в звене W_i искажаются компо-

ненты zk+1 и y_s, а z_k и y_j искажений не имеют (рис. 5).

В результате появляется невязка между y_s и y_∗s, что позволяет эту ошибку

обнаружить и локализовать. Если же ошибка имеет место в предшествующих

звеньях (искажены z_k и y_j), то ввиду равенства W_i и W_∗i упомянутая невязка

не возникает и ложного обнаружения ошибки в звене W_i не происходит. Воз-

можность локализации ошибок сохраняется и в случае многократных ошибок

в ОД, когда нарушения имеются в нескольких звеньях объекта. В этом слу-

чае варианту распределения ошибок по звеньям ОД однозначно соответствует

конкретное значение этого вектора. В случае равенства размерностей векто-

ров z и y соответствие становится взаимно однозначным и возможна точная

локализация любых ошибок ОД, в противном случае ошибки в некоторых

звеньях неразличимы (см. пример).

Отношение моделирования связывает ОД с динамической частью УФД и

при синтезе последнего методом последовательного выбора звеньев ОД [2, 6],

поэтому по диагностической способности этот метод эквивалентен предло-

женному. Однако, как уже указывалось, он проигрывает последнему по из-

быточности.

Таким образом, приведенная оценка результатов работы позволяет утвер-

ждать, что поставленная в ней задача успешно решена. Предложенный в ра-

боте метод позволяет для определенного класса ОД достаточно просто синте-

зировать УФД, которые при одинаковых диагностических характеристиках

обладают в нелинейном случае меньшей избыточностью, нежели построен-

ные в соответствии с рекомендациями известных литературных источников.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Щербаков Н.С. Достоверность работы цифровых устройств. М.: Машинострое-

ние, 1989.

Жирабок А.Н., Якшин А.С. Диагностирование технических систем, заданных

структурными схемами с нелинейными звеньями // Мехатроника, автоматиза-

ция, управление. 2006. № 9. С. 36-44.

Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем:

Научное издание. СПб.: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998.

Подкопаев Б.П. Алгебраическая теория функционального диагностирования

динамических систем: в 2 ч. Ч. 1. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007.

Подкопаев Б.П. Алгебраическая теория функционального диагностирования

динамических систем: в 2 ч. Ч. 2. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2013.

Подкопаев Б.П., Якшин А.С. Функциональное диагностирование узлов радио-

систем со статическими нелинейностями // Изв. вузов России. Радиоэлектро-

ника. 2016. Вып. 2. С. 16-23.

Шумский А.Е., Жирабок А.Н. Методы и алгоритмы диагностирования и от-

казоустойчивого управления динамическими системами. Владивосток: Изд-во

ДВГТУ, 2009.

Андреев Ю.Н. Управление линейными конечномерными объектами. М.: Наука,

1976.

Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

10.

Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и программы про-

ектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988.

11.

Hartmanis J., Stearns R. The algebraic structure theory of sequential machines.

N.Y.: Prentice Hall Inc., 1966.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.Ф. Караваем.

Поступила в редакцию 26.03.2018

После доработки 02.02.2019

Принята к публикации 07.02.2019