Автоматика и телемеханика, № 9, 2019

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),

Г.В. СМИРНОВ (smirnov@math.uminho.pt)

(University of Minho, Braga, Portugal)

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАТРИЧНЫХ ДИСКРЕТНЫХ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ¹

Рассматривается поведение траекторий многомерных линейных дис-

кретных систем при ненулевых начальных условиях для двух случаев.

Первый - системы с бесконечной степенью устойчивости (процессы ко-

нечной длительности), второй - устойчивые системы со спектральным

радиусом, близким к единице. Показано, что в обоих случаях возможны

большие уклонения траекторий от положения равновесия. Применение

этих результатов к ускоренным методам безусловной оптимизации (ти-

па метода тяжелого шарика) поясняет наблюдавшееся в экспериментах

немонотонное поведение этих методов.

Ключевые слова: дискретные системы, переходные процессы, устойчи-

вость, большие уклонения, бесконечная степень устойчивости, многомер-

ные системы, метод тяжелого шарика.

DOI: 10.1134/S0005231019090083

1. Введение

Свойства переходных процессов в линейных системах были одной из важ-

ных тем в исследованиях Я.З.Цыпкина; достаточно вспомнить название его

первой монографии — “Переходные и установившиеся процессы в импульс-

ных сетях” [1] и работу [2]. Данная статья касается одного из аспектов этой

темы — возможности больших уклонений траекторий линейных устойчивых

систем от положения равновесия при ненулевых начальных условиях. Эта

линия исследований была начата пионерской статьей А.А.Фельдбаума [3].

Однако затем эта тематика не получила должного развития; под переход-

ными процессами в основном понимались реакции системы на единичный

скачок при нулевых начальных условиях (впрочем, эти задачи тесно связа-

ны). Существенным прорывом стала статья Р.Н. Измайлова [4], где показана

неизбежность больших уклонений траектории от нуля, если полюса замкну-

той системы сильно сдвинуты в левую полуплоскость комплексной плоскости.

В [5-7] это направление исследований было продолжено и получены оценки

возможных уклонений сверху и снизу. Все упомянутые выше работы отно-

сились к непрерывным системам. Ситуация с дискретными системами пред-

ставлялась значительно более сложной. Здесь в основном получены оцен-

ки на верхние границы уклонений, см., например, [8-12], где можно найти

¹ Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского научного

фонда (грант 16-11-10015).

112

ссылки и на другие работы. Первые результаты (для скалярных разностных

уравнений) по нижним границам были получены в [13], где показано, что

при корнях характеристического полинома, близких к единице (т.е. к гра-

нице устойчивости), существуют начальные условия, приводящие к большим

уклонениям траектории от нуля, и даны оценки таких уклонений. Однако эти

результаты отличаются от ситуации для непрерывных систем — там наиболее

важным эффектом было наличие больших уклонений при большой степени

устойчивости (т.е. при сдвиге корней характеристического полинома в ле-

вую часть комплексной плоскости). В настоящей работе исследуется аналог

подобного эффекта для дискретных систем. Именно, показывается, что для

систем с бесконечной степенью устойчивости (на русском языке говорят

также о процессах с конечной длительностью, в англоязычной литературе

применяется термин dead-beat control) также возможны большие уклонения.

По-видимому, такого типа результаты ранее не были известны. Заметим, что

сама возможность конечного окончания процесса с помощью линейной об-

ратной связи была обнаружена Я.З. Цыпкиным еще в 1950 г. [2], а явный

вид такого регулятора получен Калманом и Бертрамом [14, 15]. Во второй

части статьи исследуются линейные дискретные матричные системы и по-

лучены обобщения результатов [13] (относившихся к скалярным системам) на

этот случай. В качестве важного примера рассматриваются системы второго

порядка, описывающие поведение метода тяжелого шарика для безуслов-

ной минимизации гладких функций. Показано, что такому методу присуще

немонотонное поведение итераций.

Далее ||x|| всюду обозначает эвклидову норму вектора x, соответствен-

но скалярное произведение векторов записывается как (x, y), ||A|| означа-

ет спектральную норму матрицы A, e_k — k-й орт пространства Rⁿ :e₁ =

= (1, 0, . . . , 0)^T, . . . , e_n = (0, 0, . . . , 1)^T, запись A ≥ B означает, что матрица

A - B неотрицательно определена, I — единичная матрица.

2. Бесконечная степень устойчивости

Рассмотрим линейные дискретные системы со скалярным управлением ви-

да

(1)

xk+1 = Ax_k + bu_k

k = 0,1,...,

где x_k ∈ Rⁿ - вектор состояния, A - матрица n × n, u_k - скалярное управ-

ление, b ∈ Rⁿ. Предполагается, что система управляема, т.е. матрица управ-

ляемости

(2)

W = [bAb...An-1

невырождена. Известно [15], что в этом случае, выбирая линейную обратную

связь по состоянию

(3)

u_k = K^Tx_k, K ∈ Rⁿ,

можно добиться любого расположения собственных значений матрицы F за-

мкнутой системы

(4)

xk+1 = Fx_k, k = 0,1,... , F = A + bK^T.

113

В частности, можно сделать матрицу замкнутой системы нильпотентной,

тогда все собственные значения F будут равны нулю и Fⁿ = 0. Напомним, что

такого рода управление в западной литературе называется dead-beat control ,

а в отечественной литературе говорят о системах с бесконечной степенью

устойчивости или о процессах с конечной длительностью. В этом случае

для любого начального условия x₀ будет x_n = 0. Такой эффект невозможен

в непрерывных системах (с помощью линейной обратной связи нельзя по-

пасть в точку равновесия за конечное время). Впервые, по-видимому, явный

вид регулятора, обеспечивающего конечность переходного процесса, получен

Калманом и Бертрамом в 1959 г. [14]:

(5)

K^T = -eTnW-1Aⁿ, e_n = (0,... ,0,1)^T.

Эту формулу легко получить и из известной формулы Аккермана [15], учиты-

вая, что желаемый характеристический полином замкнутой системы имеет

вид sⁿ = 0. Естественно было бы думать, что такое управление с бесконеч-

ной степенью устойчивости приводит и к малым отклонениям траектории от

нуля за первые n шагов. Как увидим, это, вообще говоря, не так, и процессы

с конечной длительностью могут приводить к большим перерегулировани-

ям — совершенно аналогично тому, что происходит для непрерывных систем с

большой степенью устойчивости [3-7]. Простое объяснение этому видно непо-

средственно из выражения (5): если система плохо управляема (т.е. матрица

управляемости близка к вырожденной), то матрица W-1 велика и поэтому

матрица F = A + bK^T тоже может быть велика (по норме), поэтому найдется

x₀ такое что для x₁ = Fx₀ будет ||x₁|| ≫ ||x₀||. Этим наводящим соображени-

ям ниже будет придана точная форма.

Начнем с простого утверждения, позволяющего вычислять отклонения

траектории для замкнутых систем с нильпотентной матрицей.

Утверждение 1. Пусть Fⁿ = 0, xk+1 = Fx_k, P — решение уравнения

Ляпунова F^TP F - P = -I. Тогда при x₀ = e, P e = ||P ||e, ||e|| = 1 будет

∑

||P || - 1

(6)

||x_k||² = ||P || - 1,

≤ max

||x_k||²

≤ ||P || - 1.

n-1

1≤k≤n-1

k=1

Доказательство совсем просто. Введем V (x) = (P x, x), V_k = V (x_k). Тогда

∑

Vk+1 = (F^TPFx_k,x_k) = ((P -I)x_k,x_k) = V_k -||x_k||², 0=Vn=V0-

||x_k||² =

k=0

∑

= ||P || - 1 -

||x_k||². Явное решение уравнения Ляпунова имеет вид P =

k=1

= I + F^TF + ··· + (F^T)n-1Fn-1, так что заведомо P > I, ||P|| > 1. Таким

образом, если ||P || достаточно велика, то и отклонение траектории от нуля

за первые шаги может быть велико. Заметим еще, что для произвольного

начального условия x₀, ||x₀|| = 1 в вышеприведенных формулах следует за-

менить ||P || на (P x₀, x₀).

114

Тривиальный пример:

)

⁽0 a⁾

⁽1

F =

P =

||P || = 1 + a², x₀ = (0, 1)^T,

||x₁||² = a².

1+a²

Таким образом, при больших a будет также велико и x₁.

Теперь приведем основной результат этого раздела об уклонениях решения

системы (1), замкнутой обратной связью (5).

Теорема 1. Если система (1) приведена к виду xk+1 = Fx_k, F = A+

+ bK^T, Fⁿ = 0, то

1. для x₀ = b/||b||, ||x₀|| = 1 будет

(7)

max

||x_k|| ≥ max

||m_k

||,

1≤k≤n-1

1≤k≤n

где m_k — k-й столбец матрицы M-1, M — матрица со строками l^TAi-1,

i = 1,...,n, l^T = eTnW-1;

2. при любом x₀, ||x₀|| = 1

(8)

max

||x_k|| ≤

σ_n ,

1≤k≤n-1

σ₁

где σ₁ — наименьшее, а σ_n — наибольшее сингулярные числа матрицы M.

Доказательство теоремы приведено в Приложении. Если матрица W плохо

обусловлена, то и матрица M-1 может быть велика, и уклонения траектории

замкнутой системы от нуля за первые итерации могут быть велики.

Вот простейший пример (аналогичный см. в [8]), показывающий что укло-

нения решения от нуля могут быть действительно большими:

)

(

)

⁽1 ε

⁽0⁾

⁽-ε - 1/ε⁾

K =

F =

-2

-1/ε

-1

)

(

)

⁽1

x₀ =

x₁ =

-1/ε

Таким образом, при ε малых x₁ будет велико. Заметим, что при этом исходные

данные A, b, x₀ не содержат больших чисел.

Другой пример иллюстрирует зависимость от размерности n. Пусть мат-

рица задана в “квазифробениусовой” форме

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

a ...

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

A=^⎜

⎜

⎟,

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝₀

... a

⎠

⎝₀⎠

c₁

c₂

c₃

... c_n

где a > 1, а c_k — произвольные числа. Выбирая K = -(c₁, . . . , c_n)^T получаем

матрицу F = A + bK^T с элементами a над диагональю и всеми остальны-

ми элементами, равными нулю. Взяв x₀ = b = e_n, последовательно получаем

115

x₁ = aen-1,... ,xn-1 = an-1e₁, x_n = 0. Таким образом, при a > 1 точки будут

экспоненциально расти по норме и лишь на последней итерации обратятся в

нуль.

Выше предполагалось, что все собственные значения матрицы замкнутой

системы обращаются точно в нуль. Можно было бы получить оценки и для

ситуации, когда они близки к нулю; не будем на этом останавливаться.

3. Разностные матричные уравнения

В этом разделе будем рассматривать линейные дискретные системы без

управления, описываемые разностными уравнениями вида

(9)

xk+1 = A₁x_k + A₂xk-1 + ··· + A_mxk-m+1

k = m - 1,m,...,

где x_k ∈ Rⁿ представляют состояния системы, A_i

— матрицы n × n,

x₀,x₁,... xm-1 — начальные состояния. Интересует вопрос об устойчивости

системы (когда x_k → 0) и о возможных уклонениях траекторий от нуля.

Проблема устойчивости для одномерного случая (n = 1) хорошо изучена —

необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения были

меньше единицы по модулю [16]. В [13] показано, что при вещественных кор-

нях, достаточно близких к единице, для устойчивых разностных уравнений

возможен эффект больших уклонений решений, и дана оценка возможных

всплесков.

Вопрос об устойчивости решений (9) при матрицах A_i общего вида доста-

точно сложен. В [17] приведены условия устойчивости для случая, когда мат-

рицы A_i попарно коммутируют. Здесь рассмотрим наиболее простой случай,

когда матрицы диагонализируемы, т.е. когда существует преобразование, од-

новременно переводящее матрицы A_i в диагональные:

T-1A_iT = Λ_i = diag (λi1,... ,λⁱⁿ), i = 1,... ,n.

Тогда для переменных y_k = T x_k система (9) распадается на n скалярных си-

стем

yik+1 = λi1y^ik + λi2yik-1 + ... λ^imyik-m+1, i = 1,... m,

и для устойчивости (9) необходимо и достаточно, чтобы все эти скалярные

системы были устойчивы. Таким образом приходим к следующему утвержде-

нию:

Утверждение 2. Для устойчивости системы (9) при одновременной

диагонализуемости матриц A_i необходимо и достаточно, чтобы все корни n

характеристических полиномов

(10)

sm+1 = λi1s^m + λi2sm-1 + ··· + λ^im

i = 1,...n

были по модулю меньше единицы.

116

С другой стороны, для скалярных разностных уравнений оценки величин

возможных уклонений получены в [13]. В частности, там показано (теоре-

ма 2.2), что если корни характеристического полинома вещественны и лежат

в интервале [ρ, 1], 0 < ρ < 1, то существуют эффективные оценки снизу для

решений. Поскольку для вектора y = (y¹, . . . , yⁿ) очевидно ||y|| ≥ |yⁱ| для лю-

бого i, то, используя эти оценки и тот факт, что x_k = T-1y_k, получаем:

Теорема 2. Пусть в системе (9) матрицы A_i одновременно диагонали-

зируемы T-1A_iT = Λ_i и хотя бы одно из уравнений (10) имеет все корни

вещественными и лежащими в интервале [ρ, 1], 0 < ρ < 1, тогда найдутся

такие x₀, x₁, . . . xm-1, ||x_i|| ≤ 1, что

||x_k|| ≥ σβ_k,m, β_k,m = Cm-1kρk-m+1,

(11)

max||xk|| ≥ σβm, βm = maxβk,m.

k≥m

Здесь σ — наименьшее сингулярное число матрицы T , а C^ik обозначают би-

номиальные коэффициенты.

В следующем разделе будут даны примеры использования этой теоремы

для анализа двухшаговых методов безусловной минимизации. Предваритель-

но приведем более точные результаты для случая n = 2 из [13].

Рассматривается скалярная рекуррентная последовательность

xk+1 = a₁x_k + a₂xk-1,

ее характеристическое уравнение s² = a₁s + a₂. Остановимся сначала на слу-

чае, когда оба его корня равны ρ > 0,что имеет место при a₁ = 2ρ, a₂ = -ρ².

Тогда общее решение имеет вид

(12)

x_k = x₁kρk-1 - x₀(k - 1)ρ^k,

при этом для различных начальных условий получаем следующие оценки:

1) x₀ = 0, x₁ = 1, x_k = kρk-1 = βk,2, maxxk = β2 ≈

;

e(1 - ρ)

2) x₀ = -1, x₁ = 1, x_k = kρk-1 + (k - 1)ρ^k;

3) x₀ = x₁ = 1, x_k = kρk-1 - (k - 1)ρ^k.

Нетрудно проверить из формулы (12), что наибольшее уклонение x_k от нуля

по всем |x₀| ≤ 1, |x₁| ≤ 1 будет в случае 2), оно приближенно (для ρ, близких

к единице) равно

(т.е. приблизительно вдвое больше, чем в случае 1)).

e(1-ρ)

В случае 3) последовательность x_k остается меньше единицы для всех k.

Таким образом, наибольшее уклонение достигается при начальном условии

x₀ = -1, x₁ = 1, а при начальном условии x₀ = x₁ = 1 всплеска нет вообще.

Для другого случая, когда корни характеристического уравнения

равны s₁, s₂,

0 < ρ ≤ s₁ < s₂ < 1, то при выборе x₀ = 0, x₁ = 1 будет

max_k x_k ≥ kρk-1 ≈

. Легко видеть также, что при выборе x₀ = 1,

e(1 - ρ)

x₁ = 1 решения монотонно убывают.

117

Таким образом, для случая вещественных (равных или неравных) корней

характеристического полинома имеем оценки снизу для максимальных укло-

нений решения разностного уравнения от нуля при специальных начальных

условиях, при равных начальных условиях этого эффекта нет.

4. Матричные уравнения второго порядка

В этом разделе конкретизируем общие оценки для случая уравнений вто-

рого порядка и применим их к анализу поведения известного метода без-

условной минимизации — метода тяжелого шарика [17, 18]. Этот двухшаго-

вый метод минимизации дифференцируемой функции f(x), x ∈ Rⁿ имеет вид

xk+1 = x_k - αf^′(x_k) + β(x_k - xk-1),

чтобы его определить полностью, надо задать начальные точки x₀, x₁. Стан-

дартный выбор этих условий x₀ = x₁, т.е. первый шаг делается по градиент-

ному методу из точки x₀. Для простейшего случая квадратичной функции

f (x) =¹² (Ax, x) с симметричной положительно определенной матрицей A ме-

тод приобретает вид

(13)

xk+1 = A₁x_k + A₂xk-1,A₁ = (1 + β)I - αA, A₂

= -βI,

т.е. совпадает с (9) при m = 2. Более того, матрицы A₁, A₂ одновременно диа-

гонализируемы, в качестве вещественной матрицы T можно взять систему

собственных векторов симметричной матрицы A, т.е. матрицу со столбца-

ми t_i, At_i = λ_it_i, i = 1, . . . , n. Характеристические полиномы (10) принимают

вид

s² = (1 + β - αλ_i)s - β.

Предполагаем матрицу A положительно определенной: 0 < l = λ₁ ≤ λ₂

... ≤ λ_n = L; чтобы все указанные квадратные уравнения имели корни, по

модулю меньшие единицы, необходимо и достаточно выполнение условий

[17, 18]

2(1 + β)

(14)

0 ≤ β < 1,

0<α<

Более того, максимальный по модулю корень этих уравнений q = max |s_i| бу-

дет минимален при

√

L-

(15)

β^∗ = q², α^∗ =

√

√ .

(

L+

l)²

L+

Из этих формул следует, что асимптотическая скорость сходимости метода

тяжелого шарика при оптимальном выборе параметров дается оценкой

√κ - 1

||x_k|| = O(q^k), q =

√κ + 1,κ=L/l,

118

причем q ≈ 1 - 2/

√κ для больших чисел обусловленности κ. В то же вре-

мя для градиентного метода xk+1 = x_k - γf^′(x_k) при оптимальном выборе

γ=

будет сходимость со скоростью геометрической прогрессии со зна-

L+l

менателем q₁ =L-lL+l =κ-lκ+l ≈ 1 - 2/κ. Таким образом, для плохо обусловлен-

ных задач метод тяжелого шарика сходится значительно быстрее градиент-

ного метода, будучи лишь немногим сложнее с вычислительной точки зрения.

Этот эффект обеспечил необычайную популярность метода тяжелого шарика

в современных приложениях, таких как машинное обучение.

Oднако, интересует не асимптотическая характеристика метода, а его по-

ведение на начальных итерациях. Оказывается, здесь картина более сложная.

Градиентный метод всегда монотонно сходится к решению, а метод тяжелого

шарика в принципе может давать большие уклонения.

Теорема 3. Для метода тяжелого шарика

(13), примененного к

квадратичной функции с положительно определенной матрицей A,

0 < lI ≤ A ≤ LI и с оптимальными значениями параметров (15) найдутся

такие значения начальных условий x₀, x₁, ||x₀|| = ||x₁|| = 1 что уклонения

будут

√

(16)

||x_k|| = kqk-1 + (k - 1)q^k, max||xk|| ≈

κ/e.

В то же время существуют начальные условия вида x₀ = x₁, ||x₀|| = ||x₁|| =

= 1, когда эффекта всплеска нет:

(17)

||x_k

|| ≤ 1, k = 0, 1,

Для доказательства (16) достаточно взять x₀ = -t₁, x₁ = t₁, тогда нетруд-

но проверить, что итерации сведутся к скалярным для y_k = (x_k, t₁) и при

этом yk+1 = 2qy_k - q²yk-1, y₀ = -1, y₁ = 1. Из оценки (12) получаем y_k =

= kqk-1 + (k - 1)q^k, max_k ||x_k|| ≈ 2√κ/e, а поскольку ||xk|| = yk, то отсюда

следует (16). Чтобы доказать (17), можно взять x₀ = x₁ = t₁.

Как было отмечено, стандартный выбор начальных условий подразумева-

ет x₀ = x₁. Однако не обязательно при этом величина ||x_k|| убывает моно-

тонно. Примером может служить x₀ = x₁ = t_n, здесь, как можно показать,

заведомо получается осциллирующее решение. Практические рекомендации

по настройке параметров в методе тяжелого шарика и результаты численных

экспериментов можно найти в [19].

5. Заключение

В статье рассматриваются вопросы немонотонного поведения траекторий

дискретных матричных устойчивых систем. Показано, что в линейных систе-

мах с бесконечной степенью устойчивости значения отклонений траекторий

от нуля могут быть весьма большими; это плата за придание процессу свой-

ства конечной длительности. С другой стороны, большие уклонения возмож-

ны, если замкнутая система находится вблизи границы устойчивости. Эти

119

результаты имеют приложение к анализу ускоренных алгоритмов безуслов-

ной минимизации, таких как метод тяжелого шарика. Исследования указан-

ных проблем целесообразно продолжить для более общих классов систем и

разнообразных приложений.

Авторы признательны П.С. Щербакову, М. Даниловой и А. Кулаковой за

полезные замечания.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Обозначим l^T = eTnW-1, тогда W^Tl =

= e_n, (b,l) = 0,..., (An-1b,l) = 1, т.е. l^T — последняя строка матрицы W-1.

Тогда матрица замкнутой системы будет F = A - bl^TAⁿ, xk+1 = F x_k. Введем

еще матрицу M со строками l^TAi-1, j = 1, . . . , n:

[

]

M^T =

lA^Tl ... (A^T)n-1l

и векторы y_k = Mx_k. Тогда для x₀ = b будет y₀ = e_n, и, используя свой-

ства матриц M, W и вектора l, последовательно получаем y_k = e_n-k,

k = 0,1,... n - 1. Таким образом, x_k = M-1e_n-k и окончательно

max

||x_k||/||x₀|| = max

||m_k||/||b||,

1≤k≤n

где m_k — k-й столбец матрицы M-1.

Для получения верхней оценки (8) заметим, что V (x) = ||Mx||² является

функцией Ляпунова для итераций x_k : V (xk+1) ≤ V (x_k) и поэтому σ₁||x_k|| ≤

≤ ||Mx_k|| ≤ ||Mx₀|| ≤ σ_n||x₀||, где σ₁ — наименьшее, а σ_n — наибольшее син-

гулярное число матрицы M. Отметим еще, что σ₁ > 0, так как матрица M

невырождена в силу предположения об управляемости системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Цыпкин Я.З. Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях. М.:

Госэнергоиздат, 1951.

2. Цыпкин Я.З. Теория прерывистого регулирования. III // АиТ. 1950. № 5.

С. 300-319.

3. Фельдбаум A.A. О распределении корней характеристического уравнения си-

стем регулирования // АиТ. 1948. № 4. C. 253-279.

4. Измайлов P.Н. Эффект “всплеска” в стационарных линейных системах со ска-

лярными входами и выходами // АиТ. 1987. № 8. С. 56-62.

Izmailov R.N. The “Peak” Effect in Stationary Linear Systems with Scalar Inputs

and Outputs // Autom. Remote Control. 1987. V. 48. No. 8. P. 1018-1024.

5. Smirnov G., Bushenkov V., Miranda F. Advances on the transient growth

quantification in linear control systems // Int. J. Appl. Math. Statist. 2009. V. 14.

P. 82-92.

6. Polyak B., Smirnov G. Large Deviations for Non-Zero Initial Conditions in Linear

Systems // Automatica. 2016. V. 74. No. 12. P. 297-307.

120

Поляк Б.Т., Тремба А.А., Хлебников М.В., Щербаков П.С., Смирнов Г.В. Боль-

шие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях //

АиТ. 2015. № 6. С. 18-41.

Polyak B.T., Tremba A.A., Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S., Smirnov G.V. Large

Deviations in Linear Control Systems with Nonzero Initial Conditions // Autom.

Remote Control. 2015. V. 76. No. 6. P. 957-976.

Kozyakin V.S., Kuznetsov N.A., Pokrovskii A.V. Transients in Quasi-Controllable

Systems. Overshooting, Stability and Instability // IFAC Proc. 1993. V. 26. No. 2.

Part 4. P. 871-874.

Коган М.М., Кривдина Л.Н. Синтез многоцелевых линейных законов управ-

ления дискретными объектами при интегральных и фазовых ограничениях //

АиТ. 2011. № 7. С. 83-95.

Kogan M.M., Krivdina L.N. Synthesis of Multipurpose Linear Control Laws of

Discrete Objects under Integral and Phase Constraints // Autom. Remote Control.

2011. V. 72. No. 7. P. 1427-1439.

10.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАНД, 2014.

11.

Hinrichsen D., Plischke E., Wurth F. State feedback stabilization with guaranteed

transient bounds // Proc. 15 Int. Symp. Math. Theory Networks Syst. August, 2002.

CDROM - paper 2132.

12.

Shcherbakov P. On peak effects in discrete time linear systems // Proc. 25 Medi-

terranean Conf. Control Automat. (MED 2017), 2017, Valletta, Malta. P. 376-381.

13.

Polyak B.T., Shcherbakov P.S., Smirnov G.V. Peak Effects in Stable Linear

Difference Equations // J. Differ. Equat. Appl. 2018. V. 27. No. 9. P. 1488-1502.

14.

Kalman R., Bertram J. General synthesis procedure for computer control of single-

loop and multiloop linear systems (An optimal sampling system) // Trans. Amer.

Inst. Electr. Eng., P. II: Appl. Industry. 1959. V. 77. No. 6. P. 602-609.

15.

Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.:

Мир, 1977.

16.

Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York: Springer, 2005.

17.

Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных мето-

дов // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1964. Т. 4. № 5. C. 791-803.

18.

Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

19.

Danilova M., Kulakova A., Polyak B. Non-asymptotic Behaviour of Multi-Step

Iterative Methods // 24 Int. Conf. Difference Equat. Appl. ICDEA 2018, Dresden,

Germany, July 2018.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.В. Назиным.

Поступила в редакцию 22.06.2018

После доработки 06.09.2018

Принята к публикации 08.11.2018

121