Автоматика и телемеханика, № 1, 2020

Нелинейные системы

(Башкирский государственный университет, Уфа),

М.Ф. ФАЗЛЫТДИНОВ (fazlitdin_marat@mail.ru)

(ООО Газпромнефть НТЦ, Санкт-Петербург)

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ И АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ

ЦЕНТРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Предлагаются новые подходы, позволяющие получить аппроксимации

второго и более высоких порядков центральных многообразий негипербо-

лических точек равновесия динамических систем с непрерывным и дис-

кретным временем. Полученные формулы приводят к новым конструк-

тивным алгоритмам построения центральных многообразий. Предлагае-

мые формулы и алгоритмы носят общий характер в том смысле, что

они позволяют строить центральные многообразия в терминах исходных

уравнений и применимы к ситуациям, когда матрица линеаризации имеет

произвольный порядок вырождения.

Ключевые слова: динамические системы, точка равновесия, центральное

многообразие, бифуркация, аппроксимация, приближенные формулы, ал-

горитмы.

DOI: 10.31857/S0005231020010031

1. Введение и постановка задачи

Важным объектом изучения нелинейных динамических систем является

центральное многообразие негиперболической точки равновесия. В фазовом

пространстве системы это многообразие локально инвариантно для ее тра-

екторий; оно содержит точку равновесия и касается в ней соответствующего

подпространства линеаризации системы. В естественном смысле вся нетри-

виальная динамика системы в окрестности точки равновесия сосредоточена

на центральном многообразии. Этот факт следует из теоремы о центральном

многообразии (см. [1-7]) и принципа сведения А.Н. Шошитайшвили [8], поз-

воляющего при изучении динамики системы избавиться от “гиперболических

переменных”, оказывающих вполне предсказуемое влияние, и свести задачу

к исследованию системы на центральном многообразии.

Теория центрального многообразия находит многочисленные приложения

во многих задачах теории динамических систем, нелинейной динамики, ме-

ханики, теории управления и др. Ограничимся здесь ссылками на работы

[9-11], в которых методы этой теории использовались в задачах моделиро-

вания управляемых процессов, в задачах параметрической идентификации

и др. Сочетание теории центрального многообразия с теорией нормальных

форм Пуанкаре [2, 4, 12] широко используется и для изучения задач о би-

фуркациях в динамических системах [2-4, 7, 13, 14].

Так как центральное многообразие и динамика системы на нем, как прави-

ло, не могут быть точно рассчитаны, то актуальными являются разработки

соответствующих аппроксимаций. При этом практический интерес, как пра-

вило, представляют аппроксимации второго и третьего порядков. Имеющиеся

в литературе подходы, позволяющие получать приближенное представление

центрального многообразия, как правило, направлены на решение конкрет-

ных задач. В [7] предложены общие подходы и формулы в ситуациях, когда

матрица линеаризации имеет порядок вырождения, равный 1 или 2. Исполь-

зование этих формул для исследования конкретных уравнений, как правило,

требует предварительного преобразования исходных уравнений, что далеко

не всегда является тривиальной задачей. Следует также отметить подходы,

основанные на применении современной компьютерной техники и пакетов

символьных вычислений (см., например, [15]). Эти подходы позволили суще-

ственно продвинуться в построении центральных многообразий, в частности

в задаче вычисления аппроксимаций высоких порядков.

В настоящей работе предлагается общая схема, позволяющая получить но-

вые приближенные формулы для центральных многообразий динамических

систем в терминах исходных уравнений. Предлагаемая схема носит общий

характер и в том смысле, что она применима к ситуациям, когда матрица

линеаризации имеет произвольный порядок вырожденности.

Основными объектами исследования в статье являются динамические си-

стемы с непрерывным временем:

(1.1)

= Ax + a(x), x ∈ R^N ,

и д инамические системы с дискретным временем:

(1.2)

xn+1 = Ax_n + a(x_n), n = 0,1,2,... , x_n ∈ R^N,

в которых A — квадратная матрица, а функция a(x) является C^m-гладкой

(m ≥ 2) и удовлетворяет равенствам a(0) = 0 и a^′(0) = 0. Предполагается, что

точки равновесия x = 0 систем (1.1) и (1.2) являются негиперболическими:

для системы (1.1) матрица A имеет одно или несколько чисто мнимых соб-

ственных значений, а для системы (1.2) матрица A имеет одно или несколько

собственных значений, равных 1 по модулю.

2. Динамические системы с непрерывным временем

Рассмотрим сначала систему (1.1). Если ее точка равновесия x = 0 явля-

ется гиперболической (т.е. матрица A не имеет собственных значений на мни-

мой оси), то по теореме Гробмана - Хартмана (см., например, [1, 3]) в малой

окрестности точки x = 0 фазовый портрет нелинейной системы (1.1) тополо-

гически эквивалентен фазовому портрету линейной системы

(2.1)

x^′ = Ax, x ∈ R^N.

Другими словами, качественное поведение решений нелинейной автономной

системы (1.1) в окрестности гиперболической точки равновесия x = 0 пол-

ностью определяется поведением решений соответствующей линейной систе-

мы (2.1).

2.1. Теорема о центральном многообразии

Всюду ниже будем предполагать, что точка равновесия x = 0 системы (1.1)

является негиперболической, т.е. матрица A имеет одно или несколько чисто

мнимых собственных значений. В этом случае теорема Гробмана - Хартмана

уже неприменима. Другими словами, для описания поведения траекторий

нелинейной системы (1.1) вблизи точки x = 0 недостаточно анализа толь-

ко линеаризованной системы (2.1). Здесь необходимо учитывать нелинейные

члены системы (1.1).

Пусть спектр σ матрицы A состоит из двух непустых частей: σ = σ₀ ∪ σ⁰,

где σ₀ содержит собственные значения, вещественные части которых рав-

ны нулю, а σ⁰ — остальные собственные значения. Множество σ⁰ также со-

стоит из двух частей (одна из которых может быть пустым множеством):

σ⁰ = σ_- ∪ σ⁺, где множество σ_- содержит собственные значения, веществен-

ные части которых отрицательны, а σ⁺ — собственные значения, веществен-

ные части которых положительны. Обозначим через E₀, E_- и E⁺ — корне-

вые подпространства матрицы A, отвечающие соответственно частям σ₀, σ_-

и σ⁺ ее спектра. Пусть k₀, k_- и k⁺ — это размерности подпространств E₀,

E_- и E⁺; тогда k₀ + k_- + k⁺ = N и 1 ≤ k₀ ≤ N - 1. Пространство R^N пред-

ставляется в виде прямой суммы R^N = E₀

^⊕E- ⊕E⁺ инвариантных для

оператора A : R^N → R^N подпространств E₀, E_- и E⁺.

Имеет место следующая теорема о центральном многообразии (см. [1-7]).

Теорема 1. Существует δ₀-окрестность T(0,δ₀) точки x = 0 такая,

что система (1.1) имеет в шаре T (0, δ₀):

— единственные C^m-гладкие инвариантные k_--мерное устойчивое мно-

гообразие W_s и k⁺-мерное неустойчивое многообразие W_u;

— C^m-гладкое инвариантное k₀-мерное многообразие W_c.

Эти многообразия пересекаются только в точке x = 0 и касаются в ней

подпространств E_-, E⁺ и E₀ соответственно.

Инвариантность многообразий W_s и W_u для системы (1.1) означает, что

если некоторая ее траектория в некоторый момент времени находится на мно-

гообразии W_s (или W_u), то она будет находиться на W_s (или W_u) и во все

последующие моменты времени до тех пор, пока эта траектория остается в

шаре T (0, δ₀). Устойчивость многообразия W_s означает, что все траектории

системы (1.1), начинающиеся на W_s, стремятся при t → +∞ к точке x = 0.

Соответственно, неустойчивость многообразия W_u означает, что все траек-

тории системы (1.1), начинающиеся в ненулевой точке многообразия W_u, за

конечное время покидают шар T (0, δ₀), а при t → -∞ стремятся к точке

x = 0.

Многообразие W_c называют центральным многообразием системы (1.1).

Инвариантность многообразия W_c для системы (1.1) означает, что если неко-

торая ее траектория в некоторый момент времени находится на многообра-

зии W_c, то она будет находиться на W_c и во все последующие моменты вре-

мени до тех пор, пока эта траектория остается в шаре T (0, δ₀).

2.2. Вспомогательные сведения

Приведем некоторые вспомогательные сведения относительно свойств цен-

трального многообразия (см., например, [1-7]).

Положим E⁰ = E_-

^⊕E⁺, т.е. E⁰ — это корневое подпространство мат-

рицы A, отвечающее части σ⁰ ее спектра. Размерность подпространства E⁰

равна k⁰ = k_- + k⁺. Пространство R^N представляется в виде прямой суммы

R^N = E₀

^⊕E⁰ инвариантных для оператора A : R^N → R^N подпространств

E₀ и E⁰. Обозначим, наконец, через P₀ : R^N → E₀ и P⁰ : R^N → E⁰ соответ-

ствующие операторы проектирования.

Центральное многообразие W_c системы (1.1) может быть задано уравне-

нием вида v = ψ(u), где u ∈ E₀, v ∈ E⁰, а функция ψ(u) является гладкой

и удовлетворяет равенствам ψ(0) = 0, ψ^′(0) = 0. Другими словами, централь-

ное многообразие W_c может быть локально (в малой окрестности точки x = 0)

описано равенством

{

}

(2.2)

W_c = x : x = u + ψ(u) | u ∈ E₀, ψ(u) ∈ E⁰, ψ(0) = 0,ψ^′(0) = 0 .

Упомянутый выше принцип сведения А.Н. Шошитайшвили здесь состоит

в том, что задача о поведении решений N-мерного уравнения (1.1) в окрест-

ности точки x = 0 может быть сведена к аналогичной задаче для k₀-мерного

уравнения:

(2.3)

u^′ = Au + P₀a(u + ψ(u)), u ∈ E₀.

Уравнение (2.3) содержит все основные особенности, присущие исходному

уравнению (1.1).

Замечание 1. Центральное многообразие W_c системы (1.1), вообще го-

воря, не является единственным. Однако все возможные центральные мно-

гообразия имеют совпадающие тейлоровские разложения соответствующих

функций v = ψ(u) в точке u = 0, т.е. все эти функции имеют одинаковые

производные ψ^j (0) (j = 0, 1, . . . , k). Другими словами, все центральные мно-

гообразия мало отличаются друг от друга. При этом каждое из этих много-

образий содержит все ограниченные решения системы (1.1), содержащиеся в

шаре T (0, δ₀). В частности, они содержат все точки равновесия, периодиче-

ские, гомо- и гетероклинические орбиты, лишь бы их траектории располага-

лись в малой окрестности точки x = 0. Поэтому для изучения задачи о таких

решениях можно выбирать любое из центральных многообразий.

Замечание 2. Если правая часть системы (1.1) является аналитической

(а именно, когда функция a(x) в некоторой окрестности точки x = 0 пред-

ставима в виде сходящегося ряда Тейлора, начинающегося со второй степе-

ни), то эта система не может иметь более одного аналитического центрально-

го многообразия. Если при этом аналитического центрального многообразия

система не имеет, то ряд Тейлора для функции v = ψ(u), определяющей цен-

тральное многообразие W_c и вычисленный в точке u = 0, расходится в любой

окрестности этой точки. Тем не менее в силу теоремы 1 частичные суммы

этого ряда могут давать хорошую аппроксимацию центрального многообра-

зия W_c.

2.3. Схема построения центрального многообразия

Перейдем к задаче приближенного построения центрального многообра-

зия (2.2) системы (1.1), а именно, функции v = ψ(u). Ниже будет использо-

ваться следующее утверждение (см., например, [4]).

Теорема 2. Функция v = ψ(u) (такая, что ψ(0) = 0, ψ^′(0) = 0) описы-

вает центральное многообразие W_c системы (1.1) тогда и только тогда,

когда она в некоторой окрестности точки u = 0 подпространства E₀ явля-

ется решением уравнения

(2.4)

ψ^′(u)[Au + P₀a(u + ψ(u))] = Aψ(u) + P⁰

a(u + ψ(u)).

Функцию v = ψ(u) будем строить в виде

(2.5)

ψ(u) = ψ₂(u) + ψ₃(u) + . . . + ψ_s(u) +ψ

(u),

где ψ_j(u) — однородные функции порядка j, определенные в малой окрест-

ности точки u = 0 подпространства E₀ и принимающие значения в E⁰, а

функци

ψ(u) является C^m-гладкой и удовлетворяет соотношению

ψ(u)∥ =

= O(∥u∥s+1) при u → 0.

Ограничимся приведением схемы построения функций ψ₂(u) и ψ₃(u); по-

строение последующих функций ψ_j (u) проводится по той же схеме. В этой

связи будем считать, что нелинейность в правой части уравнения (1.1) пред-

ставима в виде a(x) = a₂(x) + a₃(x) + a₄(x), где a₂(x) содержит квадратич-

ные по x слагаемые, a₃(x) — слагаемые третьей степени, а a₄(x) является

C^m-гладкой и удовлетворяет соотношению ∥a₄(x)∥ = O(∥x∥⁴) при x → 0.

Имеет место следующая

Лемма 1. Функции ψ₂(u) и ψ₃(u) являются решениями уравнений

(2.6)

ψ′2(u)Au - Aψ₂(u) = P⁰a₂

(u),

(2.7)

ψ′3(u)Au - Aψ₃(u) = -ψ′2(u)P₀a₂(u) + P⁰[a′2(u)ψ₂(u) + a₃

(u)].

Справедливость этого утверждения устанавливается простым подсчетом

путем подстановки (2.5) в (2.4).

С целью изучения вопроса о разрешимости уравнений (2.6) и (2.7) обо-

значим через через F_p множество однородных порядка p (p — натуральное

число) функций ψ(u), определенных в подпространстве E₀ и принимающих

значения в подпространстве E⁰, т.е.

{

}

(2.8)

Fp = ψ(u) | ψ : E0 → E⁰, ψ(αu) ≡ α^pψ(u)

Для каждого p множество F_p образует линейное пространство с обычными

операциями сложения элементов и умножения на вещественные числа. Далее,

через L обозначим действующий в пространстве F_p линейный оператор, сопо-

ставляющий каждой функции ψ(u) ∈ F_p функцию Lψ(u) ∈ F_p, определенную

равенством

(2.9)

Lψ(u) = ψ^′

(u)Au - Aψ(u).

Конечно, оператор L будет зависеть от p. Однако для простоты будем исполь-

зовать одно и то же обозначение L для всех действующих в пространствах F_p

операторов (2.9) независимо от значения p.

Уравнения (2.6) и (2.7) однотипны, имея вид

(2.10)

Lψ(u) = b(u),

относительно неизвестной функции ψ(u) ∈ F_p; здесь L — оператор (2.9). При

этом, например, для (2.6) имеем: ψ(u) ∈ F₂, b(u) = P⁰a₂(u) ∈ F₂, а L — опе-

ратор, действующий в пространстве F₂.

Лемма 2. Определенный равенством (2.9) линейный оператор L : F_p →

→ F_p обратим.

Доказательство этой леммы вынесено в Приложение.

Из леммы 2 следует однозначная разрешимость уравнений (2.6) и (2.7):

(2.11)

ψ₂(u) = L-1P⁰a₂

(u),

(2.12)

ψ₃(u) = L-1P⁰[-ψ′2(u)P₀a₂(u) + a′2(u)ψ₂(u) + a₃

(u)],

где через L-1 обозначен обратный оператор для (2.9); точнее, в (2.11) L-1 —

это обратный для оператора L : F₂ → F₂, а в (2.12) — для оператора L : F₃ →

→F₃.

Для вычисления функций (2.11) и (2.12) необходимо знание обратного опе-

ратора L-1 и операторов проектирования P₀ и P⁰ на подпространства E₀

и E⁰ соответственно. Вопрос о построении оператора L-1 обсуждается ниже.

Для случая, когда подпространство E₀ является одномерным или двумер-

ным, формулы для операторов проектирования также приводятся ниже. За-

дача построения операторов проектирования в общей ситуации может быть

решена стандартными методами спектральной теории операторов (см., на-

пример, [16]).

2.3.1. Алгоритм построения обратного оператора L-1. Задача построе-

ния обратного оператора L-1 равносильна задаче решения уравнения (2.10).

Ограничимся рассмотрением этой задачи в пространстве F₂. В общем случае

задача может быть решена по той же схеме.

Напомним, что k₀ и k⁰ — это размерности подпространств E₀ и E⁰ та-

кие, что k₀ + k⁰ = N и 1 ≤ k₀ ≤ N - 1. Для простоты обозначений положим

k=k₀.

На первом этапе предлагаемого алгоритма выберем в подпространстве E₀

некоторый базис e₁, . . . , e_k. Каждый вектор u ∈ E₀ единственным образом

представляется в виде u = u₁e₁ + . . . + u_ke_k. Тогда каждый вектор b(u) ∈ F₂

∑

единственным образом представляется в виде b(u) =

u_iu_jb_ij, в кото-

i,j=1

ром b_ij = b_ji ∈ E⁰. Решение ψ(u) ∈ F₂ уравнения (2.10) будем искать в виде

∑

ψ(u) =

u_iu_jg_ij, в котором векторы g_ij = g_ji ∈ E⁰ требуют определения.

i,j=1

На втором этапе вычислим значение оператора Lψ(u), определенного ле-

вой частью уравнения (2.10). Имеем

∑

(2.13)

Au = u_iAe_i, Aψ(u) =

u_iu_jAg_ij.

i=1

i,j=1

Несложно убедиться в том, что для h = h₁e₁ + . . . + h_ke_k ∈ E₀ имеет место

равенство

(2.14)

ψ^′(u)h = 2(u₁B₁ + ... + u_kB_k

)h,

где B_j : E₀ → E⁰ — линейные операторы, задаваемые равенствами B_jh =

∑

= h_ig_ij .

i=1

∑

Равенства (2.13) и (2.14) в совокупности с равенством b(u) =

u_iu_jb_ij

i,j=1

позволяют представить уравнение (2.10) (путем приравнивания коэффици-

ентов при одинаковых выражениях u_iu_j ) как систему линейных уравнений

с неизвестными векторами g_ij . Эта система однозначно разрешима в силу

леммы 2. Решение полученной системы представляет собой третий (заклю-

чительный) этап предлагаемого алгоритма вычисления функции (2.11).

Предлагаемый алгоритм может быть доведен до программ вычисления

коэффициентов ψ_j(u) центрального многообразия (2.2) системы (1.1) с при-

менением современной компьютерной техники и пакетов символьных вычис-

лений.

Приведем для иллюстрации алгоритм вычисления функции (2.11) в си-

туации, когда матрица A имеет пару простых чисто мнимых собственных

значений ±ω₀i и не имеет других чисто мнимых собственных значений.

В рассматриваемом случае подпространство E₀ является двумерным. Обо-

значим через e, g ∈ R^N ненулевые векторы такие, что A(e + ig) = iω₀(e + ig);

векторы e и g образуют базис в E₀. Каждый вектор u ∈ E₀ единственным

образом представим в виде u = u₁e + u₂g, а каждая функция b(u) ∈ F₂ — в

виде

(2.15)

b(u) = u²¹b₁₁ + 2u₁u₂b₁₂ + u²²b₂₂,

где b₁₁, b₁₂, b₂₂ ∈ E⁰. Решение ψ(u) ∈ F₂ уравнения (2.10) будем искать в виде

ψ(u) = u²¹g₁₁ + u²²g₂₂ + 2u₁u₂g₁₂, в котором g₁₁, g₁₂, g₂₂ ∈ E⁰ требуют опреде-

ления.

Подставляя в уравнение (2.10) равенства (2.13) и (2.14) (с учетом рассмат-

риваемого случая), а также равенство (2.15), получим уравнение

[(

)

]

(

)

2ω₀

u²² - u²¹

g₁₂ + u₁u₂(g₁₁ - g₂₂)

u²¹Ag₁₁ + u²²Ag₂₂ + 2u₁u₂Ag₁₂

= u²¹b₁₁ + u²²b₂₂ + 2u₁u₂b₁₂.

Приравнивая затем в этом уравнении коэффициенты при одинаковых выра-

жениях u_iu_j, получим систему трех линейных уравнений относительно трех

неизвестных векторов g₁₁, g₁₂, g₂₂ ∈ E⁰. Полученная система однозначно раз-

решима:

g₁₂ = -(A² + 4ω²⁰I)-1[ω₀(b₁₁ - b₂₂) + Ab₁₂],

(2.16)

g₁₁ = -A-1(2ω₀g₁₂ + b₁₁),

g₂₂ = A-1(2ω₀g₁₂ - b₂₂).

Здесь для простоты через (A² + 4ω²⁰I)-1 и A-1 обозначены обратные опе-

раторы для операторов (A² + 4ω²⁰I) : E⁰ → E⁰ и A : E⁰ → E⁰; обратимость

последних операторов следует из предположения, что оператор A : E⁰ → E⁰

не имеет чисто мнимых собственных значений.

Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (2.10) имеет един-

ственное решение

(2.17)

ψ(u) = L-1b(u) = u²¹g₁₁ + u²²g₂₂ + 2u₁u₂g₁₂,

где g₁₁, g₁₂, g₂₂ — векторы (2.16).

Предлагаемый алгоритм позволяет строить решение уравнения (2.10) в

общей ситуации. Формулы, определяющие это решение, в свою очередь, поз-

воляют (в соответствии с (2.5)) получить представление центрального много-

образия W_c системы (1.1) до любого порядка. Продемонстрируем эффектив-

ность предлагаемого подхода в задачах построения центрального многообра-

зия в случаях, когда: а) матрица A имеет простое собственное значение 0;

б) матрица A имеет пару простых собственных значений ±ω₀i.

2.4. Формулы для центрального многообразия:

случай нулевого собственного значения

Пусть матрица A имеет простое собственное значение 0 и не имеет других

чисто мнимых собственных значений. В этом случае существуют собственные

векторы e и g матрицы A и транспонированной матрицы A^∗ соответственно,

отвечающие простому собственному значению 0 и удовлетворяющие равен-

ствам

(2.18)

∥e∥ = 1, (e, g) = 1.

Подпространство E₀ является одномерным; оно содержит вектор e. Операто-

ры проектирования P₀ и P⁰ здесь определяются равенствами

(2.19)

P₀x = (x,g)e, P⁰ = I - P₀.

Так как подпространство E₀ является одномерным, то векторы u ∈ E₀

можно задавать равенством u = εe, где ε ∈ (-∞, ∞). Соответственно, произ-

вольный вектор x ∈ R^N единственным образом представляется в виде суммы

x = εe + v, так что ε = (x,g) и v = P⁰x. Формулу (2.2) для описания цен-

трального многообразия W_c системы (1.1) в рассматриваемом случае можно

представить равенством

(2.20)

W_c

= {x : x = εe + ψ(ε)},

в котором функция ψ(ε) принимает свои значения в подпространстве E⁰,

при этом она является C^m-гладкой и удовлетворяет равенствам ψ(0) = 0 и

ψ^′(0) = 0. Наконец, формулу (2.5) для приближенного представления функ-

ции ψ(ε) здесь можно представить в виде

(2.21)

ψ(ε) = ε²ψ₂ + ε³ψ₃

ψ₄

(ε),

где ψ₂, ψ₃ ∈ E⁰ — требующие определения коэффициенты, а принимающая

свои значения в подпространстве E⁰ функци

ψ₄(ε) является гладкой и удо-

влетворяет соотношению

ψ₄(ε)∥ = O(ε⁴), ε → 0.

Положим B₀ = -A + P₀. По построению оператор B₀ : R^N → R^N обратим,

причем подпространства E₀ и E⁰ инвариантны для него. Положим далее для

краткости

(2.22)

a₂ = a₂(e), a₃ = a₃(e), a′2 = a′2

(e).

Теорема 3. Пусть матрица A имеет простое собственное значение 0,

а вещественные части остальных ее собственных значений не равны нулю.

Тогда центральное многообразие W_c системы (1.1) может быть описано

равенством (2.20), в котором ψ(ε) — функция (2.21), а коэффициенты ψ₂

и ψ₃ определяются равенствами

(2.23)

ψ₂ = B-10P⁰a₂, ψ₃ = B-10P⁰[-2(a₂,g)ψ₂ + a′2ψ₂ + a₃

Доказательство этой теоремы вынесено в Приложение.

Таким образом, в условиях теоремы 3 система (1.1) имеет одномерное цен-

тральное многообразие и оно представимо в виде (2.20):

{

}

W_c = x : x = εe + ε²ψ₂ + ε³ψ₃

ψ₄(ε)

где ψ₂ и ψ₃ — коэффициенты (2.23), а функци

ψ₄(ε) удовлетворяет соотно-

шению

ψ₄(ε)∥ = O(ε⁴) при ε → 0.

2.5. Формулы для центрального многообразия:

случай пары чисто мнимых собственных значений

Пусть теперь матрица A имеет пару простых собственных значений ±ω₀i

и не имеет других чисто мнимых собственных значений. В этом случае су-

ществуют векторы e, g, e^∗, g^∗ ∈ R^N , удовлетворяющие равенствам A(e + ig) =

= ω₀i(e + ig) и A^∗(e^∗ + ig^∗) = -ω₀i(e^∗ + ig^∗), где A^∗ — транспонированная

матрица. Эти векторы можно нормировать равенствами

(2.24)

(e, e^∗) = (g, g^∗) = 1, (e, g^∗) = (g, e^∗

) = 0,

∥e∥ = ∥g∥ = 1.

Подпространство E₀ является двумерным; оно содержит векторы e и g. Опе-

раторы проектирования P₀ и P⁰ здесь определяются равенствами

(2.25)

P₀x = (x,e^∗)e + (x,g^∗)g, P⁰ = I - P₀.

Так как подпространство E₀ является двумерным, то векторы u ∈ E₀ мож-

но задавать равенством u = u₁e + u₂g, где u₁, u₂ ∈ (-∞, ∞). Соответственно,

произвольный вектор x ∈ R^N единственным образом представляется в виде

суммы x = u + v, так что u = u₁e + u₂g, u₁ = (x, e^∗), u₂ = (x, g^∗) и v = P⁰x.

Формулу (2.2) для описания центрального многообразия W_c системы (1.1) в

рассматриваемом случае можно представить равенством

(2.26)

W_c = {x : x = u₁e + u₂

g + ψ(u)},

в котором функция ψ(u) принимает свои значения в подпространстве E⁰,

при этом она является C^m-гладкой и удовлетворяет равенствам ψ(0) = 0 и

ψ^′(0) = 0. Формулу (2.5) для приближенного представления функции ψ(u)

здесь можно представить в виде

(2.27)

ψ(u) = ψ₂(u) + ψ₃(u)

ψ₄

(u),

где ψ₂(u), ψ₃(u) ∈ E⁰ — требующие определения однородные по u функции

порядка 2 и 3 соответственно. Функци

ψ₄(u) ∈ E⁰ является гладкой и удо-

влетворяет соотношению

ψ₄(u)∥ = O(∥u∥⁴), u → 0.

Из лемм 1 и 2, а также из формул (2.11) и (2.12) следует, что верна

Теорема 4. Пусть матрица A имеет пару простых собственных зна-

чений ±ω₀i, а вещественные части остальных ее собственных значений

не равны нулю. Тогда центральное многообразие W_c системы (1.1) может

быть описано равенством (2.26), в котором u = u₁e + u₂g, ψ(u) — функ-

ция (2.27), а ψ₂(u) и ψ₃(u) определяются равенствами (2.11) и (2.12).

Пример 1. Рассмотрим систему Лэнгфорда (см., например, [7]) вида

⎧

⎨

x′1 = -x₂ + x₁x₃

(2.28)

x′2 = x₁ + x₂x₃

⎩

x′3 = kx₃ - (x²¹ + x²² + x²³),

где k = 0. Эта система представима в виде (1.1) при

⎡

⎤

⎡

⎤

-1 0

x₁x₃

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ 1

⎦,

a(x) = a₂(x) =

⎣

x₂x₃

⎦.

-x²¹ - x²² - x²

Так как матрица A имеет собственные значения λ1,2 = ±i и λ₃ = k, то точ-

ка равновесия x = 0 системы (2.28) является негиперболической. Поэтому в

силу теоремы 4 система (2.28) имеет в окрестности точки x = 0 фазового

пространства R³ двумерное центральное многообразие W_c. Используя выше-

приведенный подход определим приближенные формулы для этого многооб-

разия. Ограничимся вычислением квадратичного приближения, т.е. в фор-

муле (2.27) ограничимся вычислением слагаемого ψ₂(u).

В соответствии с равенством (2.11) имеем ψ₂(u) = L-1P⁰a₂(u). Далее в

качестве векторов, удовлетворяющих равенствам (2.24), здесь можно взять_⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

u₁

векторы e = e^∗ = ⎣ 0

⎦, g = g^∗ = ⎣ -1

⎦.Тогдаu=u1e + u₂g = ⎣

-u₂

⎦,

⎡

⎤

⎡

⎤

a₂(u) =^⎣

⎦, P⁰a₂(u) = ⎣

⎦;здесьP0_{определяется}

-u²¹ - u²²

-u²¹ - u²

в (2.25).

Полученная квадратичная функция b(u) = P⁰a₂(u) представляется в ви-_⎡

⎤

⎡

⎤

де (2.15) при b₁₁ = b₂₂ =^⎣

⎦,b12 = ⎣ 0

⎦.Тогдаиз(2.16)получимg11 =

-1

⎡

⎤

⎡

⎤

= g₂₂ =^⎣

⎦, g₁₂ = ⎣ 0

⎦.Следовательно,функцияψ2(u) = L-1P⁰a₂(u)

1/k

определяется (см. (2.17)) равенством ψ₂(u) = u²¹g₁₁ + u²²g₂₂ + 2u₁u₂g₁₂ =_⎡

⎤

=^⎣

⎦,аискомоецентральноемногообразиеWc — равенством

(u²¹ + u²²)/k

⎧

⎡

⎤

⎫

⎨

x₁

⎬

(2.29)

W_c =

x: x=^⎣

x₂

⎦+O(∥x∥3)

⎩

⎭

(x²¹ + x²²)/k

3. Динамические системы с дискретным временем

3.1. О центральном многообразии

Рассмотрим теперь динамическую систему (1.2) с дискретным временем.

Качественное поведение решений этой системы в окрестности гиперболиче-

ской точки равновесия x = 0 (когда матрица A не имеет собственных зна-

чений, равных 1 по модулю) по теореме Гробмана — Хартмана (см., напри-

мер, [1, 3]) полностью определяется поведением решений соответствующей

линейной системы xn+1 = Ax_n. Если же точка равновесия x = 0 системы (1.2)

является негиперболической, то для описания поведения траекторий нели-

нейной системы (1.2) вблизи точки x = 0 недостаточно анализа только ука-

занной линейной системы. Здесь необходимо учитывать нелинейные члены

системы (1.2).

Ниже будем считать, что нелинейность системы (1.2) представима в виде

a(x) = a₂(x) + a₃(x) + ã₄(x), где x ∈ R^N , функции a₂(x) и a₃(x) являются со-

ответственно квадратичной и кубической по x слагаемым, а функция ã₄(x)

является гладкой и удовлетворяет соотношению: ∥ã₄(x)∥ = O(∥x∥⁴), x → 0.

Общий случай, когда a(x) = a₂(x) + . . . + a_s(x) + ãs+1(x), может быть рас-

смотрен по той же схеме.

Предполагается, что спектр σ матрицы A состоит из двух непустых ча-

стей: σ = σ₀ ∪ σ⁰, где σ₀ содержит собственные значения, равные 1 по мо-

дулю, а σ⁰ — остальные собственные значения. Обозначим через E₀ и E⁰

корневые подпространства матрицы A, отвечающие соответственно частям

σ₀ и σ⁰ ее спектра. Пусть k₀ и k⁰ — это размерности подпространств E₀ и E⁰.

Пространство R^N представляется в виде прямой суммы R^N = E₀

^⊕E⁰ инва-

риантных для оператора A : R^N → R^N подпространств E₀ и E⁰. Обозначим

через P₀ : R^N → E₀ и P⁰ : R^N → E⁰ соответствующие операторы проектиро-

вания.

Имеет место следующий аналог теоремы 1 о центральном многообразии

(см., например, [1, 3]).

Теорема 5. Существует δ₀-окрестность T(0,δ₀) точки x = 0 такая,

что система (1.2) в этой окрестности имеет C^m-гладкое инвариантное

k₀-мерное многообразие W_c, содержащее точку x = 0 и касающееся в ней

подпространства E₀.

Эта теорема может быть дополнена утверждениями о существовании

устойчивого и неустойчивого многообразий W_s и W_u.

Инвариантность многообразия W_c для системы (1.2) означает, что ес-

ли x ∈ W_c

^⋂T(0,δ₀) и F(x) ∈ T(0,δ₀), то F(x) ∈ W_c; здесь F(x) = Ax + a(x).

Многообразие W_c называют центральным для отображения (1.2) в окрест-

ности неподвижной точки x = 0.

Центральное многообразие W_c системы (1.2) может быть задано уравне-

нием вида v = ψ(u), где u ∈ E₀, v ∈ E⁰, а функция ψ(u) является гладкой

и удовлетворяет равенствам ψ(0) = 0, ψ^′(0) = 0. Другими словами, централь-

ное многообразие W_c может быть локально (в малой окрестности точки x = 0)

описано равенством вида (2.2).

Принцип сведения А.Н. Шошитайшвили здесь состоит в том, что задача

о поведении решений N-мерного уравнения (1.2) в окрестности точки x = 0

может быть сведена к аналогичной задаче для k₀-мерного уравнения:

(3.1)

un+1 = Au_n + P₀a(u_n + ψ(u_n)), u_n ∈ E₀,

где u = P₀x. Уравнение (3.1) содержит все основные особенности, присущие

исходному уравнению (1.2).

3.2. Схема построения центрального многообразия

Имеет место следующий аналог теоремы 2.

Теорема 6. Функция v = ψ(u) (такая, что ψ(0) = 0, ψ^′(0) = 0) описы-

вает центральное многообразие W_c системы (1.2) тогда и только тогда,

когда она в некоторой окрестности точки u = 0 подпространства E₀ явля-

ется решением уравнения

(3.2)

ψ(Au + P₀a(u + ψ(u))) = Aψ(u) + P⁰

a(u + ψ(u)).

Перейдем к задаче приближенного построения функции v = ψ(u). С этой

целью представим ее в виде (2.5): ψ(u) = ψ₂(u) + ψ₃(u) + . . .

Лемма 3. Функции ψ₂(u) и ψ₃(u) являются решениями уравнений

(3.3)

ψ₂(Au) - Aψ₂(u) = P⁰a₂

(u),

(3.4)

ψ₃(Au) - Aψ₃(u) = -ψ′2(Au)P₀a₂(u) + P⁰[a′2(u)ψ₂(u) + a₃

(u)].

Справедливость этого утверждения устанавливается простым подсчетом пу-

тем подстановки (2.5) в (3.2).

Как и выше, через F_p будем обозначать линейное пространство однород-

ных порядка p функций ψ(u), определенных в подпространстве E₀ и прини-

мающих значения в подпространстве E⁰ (см. (2.8)). Через J обозначим ли-

нейный оператор, действующий в пространстве F_p и сопоставляющий каждой

функции ψ(u) ∈ F_p функцию

(3.5)

Jψ(u) = ψ(Au) - Aψ(u).

При этом для простоты будем использовать одно и то же обозначение J для

всех действующих в пространствах F_p операторов (3.5) независимо от значе-

ния p.

Имеет место следующий аналог леммы 2.

Лемма 4. Определенный равенством (3.5) линейный оператор J : F_p →

→ F_p обратим.

Доказательство этой леммы вынесено в Приложение.

Из леммы 4 следует однозначная разрешимость уравнений (3.3) и (3.4):

(3.6)

ψ₂(u) = J-1P⁰a₂

(u),

(3.7)

ψ₃(u) = J-1P⁰[-ψ′2(Au)P₀a₂(u) + a′2(u)ψ₂(u) + a₃

(u)],

где через J-1 обозначен обратный оператор для (3.5); точнее, в (3.6) J-1 —

это обратный для оператора J : F₂ → F₂, а в (3.7) — для оператора J : F₃ →

→F₃.

3.3. Формулы для центрального многообразия

Перейдем к задаче построения функций (3.6) и (3.7). Здесь ограничимся

рассмотрением ситуаций, когда матрица A имеет:

— P1) простое собственное значение 1;

— P2) простое собственное значение -1;

— P3) пару простых собственных значений e±ϕ0i, где 0 < ϕ₀ < π.

При этом предполагается, что остальные собственные значения матрицы A

не равны по модулю единице.

Случай P1.

Этот случай почти дословно повторяет аналогичный случай для динами-

ческой системы с непрерывным временем (1.1), рассмотренный в разделе 2.4.

Поэтому укажем здесь лишь то, что присуще системе с дискретным време-

нем (1.2).

Обозначим через e и g собственные векторы матриц A и A^∗ соответственно,

отвечающие простому собственному значению 1 и удовлетворяющие равен-

ствам (2.18). В отличие от раздела 2.4, оператор B₀ здесь определим равен-

ством B₀ = I - A + P₀. По построению оператор B₀ : R^N → R^N обратим,

причем подпространства E₀ и E⁰ инвариантны для него.

Теорема 7. Пусть матрица A имеет простое собственное значение 1,

а модули остальных ее собственных значений не равны единице. Тогда

центральное многообразие W_c системы (1.2) может быть описано равен-

ством (2.20), в котором ψ(ε) — функция (2.21), а коэффициенты ψ₂ и ψ₃

определяются равенствами (2.23).

Случай P2.

В этом случае существуют собственные векторы e и g матриц A и A^∗

соответственно, отвечающие простому собственному значению -1 и удовлет-

воряющие равенствам (2.18). Подпространство E₀ здесь также (как и в слу-

чае P1) является одномерным; оно содержит вектор e. Наконец, операторы

проектирования P₀ и P⁰ определяются теми же равенствами (2.19).

Как и в случае P1, здесь уравнение центрального многообразия W_c можно

искать в виде (2.20). Положим

(3.8)

B₁ = I - A, B₂ = -I - A + P₀.

По построению операторы B₁ : R^N → R^N и B₂ : R^N → R^N обратимы, при-

чем подпространства E₀ и E⁰ инвариантны для них.

Теорема 8. Пусть матрица A имеет простое собственное значе-

ние -1, а модули остальных ее собственных значений не равны единице.

Тогда центральное многообразие W_c системы (1.2) может быть описано

равенством (2.20), в котором ψ(ε) — функция (2.21), а коэффициенты ψ₂

и ψ₃ определяются равенствами

(3.9)

ψ₂ = B-11P⁰a₂, ψ₃ = B-12P⁰[2(a₂,g)ψ₂ + a′2ψ₂ + a₃

Доказательство теоремы 8 вынесено в Приложение.

Пример 2. Рассмотрим модель Хенона (см., например, [2]) вида

⎧

⎨ xn+1 =y_n,

(3.10)

⎩ yn+1 =

x_n -²³y_n - y2n,

[

]

[

]

т.е. систему (1.2) при N = 2, A =

, a(w) = a₂(w) =

, где

1/3

-2/3

-y²

w = (x,y). Матрица A имеет собственные значения λ₁ = -1 и λ₂ = 1/3. Рас-

смотрим вопрос о построении центрального многообразия W_c системы (3.10).

Вычисления по формулам (2.18), (2.19), (3.8) и (3.9) приводят к равенствам

[

]

√

[

]

[

]

(3.11)

√

ψ₂ = -

-1

-3

Поэтому искомое центральное многообразие W_c определяется равенством

W_c = {w : w = εe + ε²ψ₂ + O(ε³)}, в котором e и ψ₂ — это векторы из (3.11).

Случай P3.

Этот случай имеет смысл рассматривать только при N ≥ 3.

Так как матрица A имеет пару простых собственных значений e±iϕ0 , то

найдутся ненулевые векторы e, g, e^∗, g^∗ ∈ R^N такие, что выполняются равен-

ства A(e + ig) = eiϕ0 (e + ig), A^∗(e^∗ + ig^∗) = e-iϕ0 (e^∗ + ig^∗); здесь A^∗ — транс-

понированная матрица. Векторы e, g, e^∗, g^∗ можно считать нормированными

в соответствии с равенствами (2.24).

Подпространство E₀ — это корневое подпространство оператора A, отве-

чающее простым собственным значениям e±iϕ0 . Пространство E₀ является

двумерным; в качестве его базиса могут использоваться векторы e и g. Про-

странство R^N может быть представлено в виде R^N = E₀ ⊕ E⁰, где E⁰ — до-

полнительное инвариантное для A подпространство размерности N - 2.

Равенство R^N = E₀ ⊕ E⁰ определяет операторы проектирования P₀ : R^N →

→ E₀ и P⁰ : R^N → E⁰ так, что P⁰ = I - P₀, а оператор P₀ может быть

представлен в виде P₀x = (x, e^∗)e + (x, g^∗)g; последнее следует из того, что

по предположению векторы e, g, e^∗, g^∗ выбраны в соответствии с равенства-

ми (2.24).

Центральное многообразие W_c системы (1.2) в рассматриваемом случае P3

естественно строить в виде равенства (2.26) (применительно к рассматривае-

мой ситуации), в котором функция ψ(u) определяется равенством (2.27).

Из лемм 3 и 4, а также из формул (3.6) и (3.7) следует, что верна

Теорема 9. Пусть матрица A имеет пару простых собственных зна-

чений e±iϕ0 , где 0 < ϕ₀ < π, а модули остальных ее собственных значений

не равны единице. Тогда центральное многообразие W_c системы (1.2) мо-

жет быть описано равенством (2.26), в котором ψ(u) — функция (2.27),

а функции ψ₂(u) и ψ₃(u) определяются равенствами (3.6) и (3.7).

Полученные в настоящей статье результаты относительно исследования

системы (1.2) являются развитием результатов, приведенных в [14] относи-

тельно построения центральных многообразий дискретных динамических си-

стем. Отметим в этой связи, что в указанной работе, в частности, приведена

детальная схема расчета функций (3.6) и (3.7).

4. Заключение

В статье предложены новые приближенные формулы и алгоритмы

построения центральных многообразий в окрестностях негиперболических

точек равновесия динамических систем с непрерывным и дискретным време-

нем (системы (1.1) и (1.2)). Предлагаемые подходы позволяют получить ап-

проксимации центрального многообразия в терминах исходных систем. Пред-

лагаемая схема носит общий характер и в том смысле, что она применима к

ситуациям, когда матрица линеаризации имеет произвольный порядок вы-

рождения. Основные утверждения для непрерывных динамических систем

приведены в теоремах 3 и 4, для дискретных динамических систем — в тео-

ремах 7-9.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В Приложении приводятся доказательства лемм 2 и 4, а также теорем 3 и 8.

Доказательство леммы 2.

Справедливость этой леммы можно установить как следствие аналогич-

ного утверждения, приведенного в [12, стр. 211-212]. Пусть для простоты все

собственные значения λ_j матрицы A являются полупростыми. Будем рас-

сматривать оператор (2.9) в более широком (чем F_p) линейном простран-

стве H_p однородных порядка p функций h(x), определенных и принимающих

значения в R^N . В [12] показано, что спектр оператора L : H_p → H_p совпадает

с множеством чисел вида

(Π.1)

μ=p₁λ₁ +...+p_Nλ_N -λ_j,

где p = p₁ + . . . + p_N . Оператор L : F_p → F_p является сужением оператора

L : H_p → H_p. Несложно показать, что для оператора L : F_p → F_p в (Π.1)

в сумме p₁λ₁ + . . . + p_N λ_N следует брать только слагаемые, отвечающие чи-

сто мнимым собственным значениям матрицы A, а в качестве λ_j — только

остальные собственные значения матрицы A. Тогда μ = 0 и, следовательно,

оператор L : F_p → F_p обратим.

Доказательство теоремы 3.

В условиях этой теоремы векторы u ∈ E₀ можно задавать равенством

u = εe, где Ae = 0 и, следовательно, Au = 0. Поэтому действующий в про-

странстве F_p линейный оператор (2.9) здесь принимает вид Lψ(u) = -Aψ(u).

Далее, произвольный элемент ψ(u) ∈ F_p здесь представим в виде ψ(u) = ε^pv,

где v = ψ(e) ∈ E⁰. Несложно видеть, что для ψ(u) = ε^pv имеет место равен-

ство L-1ψ(u) = ε^pB-10v (напомним, что в силу леммы 2 оператор L обратим).

Отсюда и из общих формул (2.11) и (2.12) получим равенства (2.23).

Доказательство леммы 4.

Для доказательства этой леммы приведем сначала вспомогательные по-

строения (аналоги построений, приведенных в [12, стр. 211-212]. Рассмот-

рим линейный оператор (3.5) в более широком (чем F_p) линейном про-

странстве H_p однородных порядка p функций h(x), определенных и при-

нимающих значения в R^N . Пусть для простоты оператор A диагональный

и Λ = {λ₁,...,λ_N} — множество его собственных значений; через e_j обозна-

чим собственный вектор, отвечающий собственному значению λ_j .

Пусть p = p₁ + . . . + p_N , где p_j — целые неотрицательные числа. Для век-

тора x = (x₁, x₂, . . . , x_N ) ∈ R^N определим многочлен x^p = xp11x22 . . . xNN .

Лемма 5. Спектр оператора J : H_p → H_p совпадает с множеством чи-

сел вида

(Π.2)

μ = λp11 λ22 ...λNN - λj,

а векторы x^pe_j являются соответствующими собственными векторами.

Справедливость этого утверждения вытекает из равенства

J h(x) = h(Ax) - Ah(x) = (λp11 λ22 . . . λNN - λj)x^pej ,

в котором h(x) = x^pe_j .

Вернемся к доказательству леммы 4. Оператор J : F_p → F_p является

сужением оператора J : H_p → H_p. Несложно показать, что для оператора

J : F_p → F_p в равенстве (Π.2) в произведении λp11 λ22 ...λNN следует брать

только сомножители, отвечающие собственным значениям оператора A, рав-

ным единице по модулю. При этом в качестве λ_j следует брать только осталь-

ные собственные значения оператора A. Тогда μ = 0 и, следовательно, опе-

ратор J : F_p → F_p обратим.

Доказательство теоремы 8.

В условиях этой теоремы векторы u ∈ E₀ можно задавать равенством

u = εe, где Ae = -e. Произвольный элемент ψ(u) ∈ F_p здесь представим в

виде ψ(u) = ε^pv, где v = ψ(e) ∈ E⁰. Поэтому действующий в пространстве F₂

линейный оператор (3.5) здесь принимает вид Jψ(u) = ε²(I - A)v, а в про-

странстве F₃ — вид Jψ(u) = -ε³(I + A)v. Следовательно, для ψ(u) = ε²v ∈ F₂

имеет место равенство J-1ψ(u) = ε²B-11v, а для ψ(u) = ε³v ∈ F₃ — равенство

J-1

ψ(u) = ε³B-12v. Отсюда и из формул (3.6) и (3.7) получим равенства (3.9).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В. и др. Методы качественной

теории в нелинейной динамике. Ч. 1. М.-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2004.

Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В. и др. Методы качественной тео-

рии в нелинейной динамике. Ч. 2. М.-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая

динамика”, Ин-т компьют. исслед., 2009.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и

бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2002.

Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей

на плоскости. М.: МЦНМО, 2005.

Kelley A. The stable, center-stable, center-unstable, unstable manifolds // J. Diff.

Equat. 1967. No. 3. P. 546-570.

Vanderbauwhede A. Centre manifolds, normal forms and elementary bifurcations //

Dynam. Reported. 1989. V. 2. P. 89-169.

Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. N.Y.: Springer. 1998.

Шошитайшвили А.Н. Бифуркации топологического типа векторного поля

вблизи особой точки // Тр. семинаров им. И.Г. Петровского. 1975. Вып. 1.

С. 279-309.

Никульчев Е.В. Качественное исследование управляемых систем c нелинейной

динамикой на центральном многообразии // Вестн. МГАПИ. Естеств. и техн.

науки. 2006. № 1. С. 150-161.

10.

Никульчев Е.В. Геометрический подход к моделированию нелинейных систем

по экспериментальным данным. М.: МГУП, 2007.

11.

Hamzi B., Kang W., Krener A.J. Control of center manifolds // Proc. 42nd IEEE

Conf. Decision and Control. V. 3. Maui, HI, 2003. P. 2065-2070.

12. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

13. Юмагулов М.Г., Гусарова Н.И., Муртазина С.А., Фазлытдинов М.Ф. Опера-

торные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифур-

кациях динамических систем // Уфим. мат. журн. 2018. Т. 10. № 1. С. 25-49.

14. Юмагулов М.Г., Фазлытдинов М.Ф. Бифуркационные формулы и алгоритмы

построения центральных многообразий дискретных динамических систем //

Изв. вузов. Математика. 2019. № 3. С. 71-89.

15. Qesmi R., Ait Babram M., Hbid M.L. Symbolic computation for center manifolds and

normal forms of Bogdanov bifurcation in retarded functional differential equations //

Nonlinear Anal. 2007. V. 66. P. 2833-2851.

16. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Н. Соболевским.

Поступила в редакцию 31.12.2018

После доработки 04.05.2019

Принята к публикации 18.07.2019