Автоматика и телемеханика, № 1, 2020

Стохастические системы

Ф.И. ЕРЕШКО, д-р техн. наук (fereshko@yandex.ru)

(Вычислительный центр им. А.А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, Москва)

ИНФОРМИРОВАННОСТЬ И ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ

(СТОХАСТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ)

Рассматривается задача принятия решений в условиях риска. Предпо-

лагается, что лицо, принимающее решение, может обработать лишь огра-

ниченный объем информации о неопределенном факторе и ориентируется

на математическое ожидание своего выигрыша. Сравнивается два спосо-

ба управления. В одном из них решение принимается централизованно.

Во втором оперирующая сторона передоверяет часть своих полномочий

по выбору решений нескольким агентам. При этом предполагается, что

оперирующая сторона знает интересы агентов и рассчитывает на их ра-

циональное поведение, а в остальном осторожна по отношению к неопре-

деленности их выбора.

Ключевые слова: принятие решений в условиях риска, информационная

теория иерархических систем, децентрализация управления.

DOI: 10.31857/S0005231020010043

1. Введение

Актуальность задачи выбора оптимальной структуры системы управле-

ния сложным объектом (производством, транспортом, войсками и т.п.) вряд

ли может вызывать сомнение. Поэтому неудивительно и стремление постро-

ить математические модели, описывающие такой выбор. Было предложено

несколько альтернативных подходов к моделированию [1-5], однако прихо-

дится констатировать, что пока вопросов больше, чем ответов. Видимо, это

в значительной степени связано с тем, что пока не удается отделить суще-

ственные черты моделируемого объекта от многих второстепенных деталей.

В данной статье исследуется зависимость оптимальной структуры систе-

мы управления от объема доступной информации о внешнем неопределенном

факторе. Впервые на эту зависимость обратили внимание Ю.Б. Гермейер и

Н.Н. Моисеев в начале семидесятых годов прошлого века [6-8]. Первая фор-

мальная модель такого рода была построена в [9]. Прикладной смысл этого

исследования — создание математического аппарата для анализа упрощен-

ных моделей, позволяющих делать качественные выводы и, что самое глав-

ное, формировать на модельном уровне представление о предмете исследова-

ний у лиц, принимающих решения. Более подробно о деталях используемого

подхода и об исходных содержательных предпосылках можно прочесть во

введении к цитированной статье.

Построенная модель позволяет получить качественные выводы, хорошо

согласующиеся с содержательными представлениями об управлении в усло-

виях неопределенности. Это дает основание говорить о том, что модель вер-

но отражает какие-то существенные черты описываемого объекта. Однако

эти выводы получены при довольно жестких предположениях. Поэтому есте-

ственно возникает вопрос о том, насколько полученные выводы зависят от

сделанных предположений. Есть и другой, чисто утилитарный, вопрос: на-

сколько зависит от этих предположений возможность математического ис-

следования построенной модели? Этим двум вопросам и посвящена в значи-

тельной степени данная статья.

Основные гипотезы статьи [9] сохранены. Изменено лишь предположение

об отношении лица, принимающего решения, к неопределенности. В [9] оно

предполагалось осторожным. Далее считается, что на множестве неопреде-

ленных факторов задана вероятностная мера и лицо, принимающее решение,

склонно ориентироваться на математическое ожидание своего выигрыша по

этой мере. Такое предположение в прикладных исследованиях, разумеется,

нуждается в дополнительном обосновании, однако оно весьма распростране-

но, а в западной литературе, пожалуй, даже более популярно, чем принцип

максимального гарантированного результата. Отметим, что в данной статье

не используются результаты типа закона больших чисел, поэтому все веро-

ятности можно рассматривать как субъективные, что существенно облегчает

обоснование адекватности подобного рода моделей. Исследование моделей в

новых предположениях оказывается более сложным и требует привлечения

иного математического аппарата. Однако решить соответствующие задачи

удается в достаточной общности.

Как и в [9], задача поиска оптимальной структуры иерархической системы

не ставится. Вместо этого на качественном уровне производится сравнение

двух схем управления: централизованной и децентрализованной.

2. Объект управления

Рассмотрим следующую модель управляемой системы. Оперирующая сто-

рона может по своему усмотрению выбирать любое управление w из множе-

ства W . Помимо этого выбора на результат управления влияет еще некий

неопределенный фактор α из множества A, значение которого оперирующая

сторона не контролирует. Эффективность управления оценивается значени-

ем g(w, α) функции g : W × A → R (как обычно R — множество действитель-

ных чисел).

Будем считать, что на множестве A задана вероятностная мера ℘, извест-

ная оперирующей стороне. В дальнейшем будем предполагать, что опери-

рующая сторона риск-нейтральна по отношению к этой неопределенности,

т.е. ориентируется на математическое ожидание своего выигрыша.

Примем еще одно предположение, отражающее представление “техноло-

гической структурированности” рассматриваемой управляемой системы. Бу-

дем считать, что множество W представимо в виде декартова произведения

W = U × V ¹ × ... × V ⁿ. Тогда всякий элемент w ∈ W может быть записан в

виде w = (u, v¹, . . . , vⁿ), где u ∈ U, vⁱ ∈ Vⁱ, i = 1, . . . , n. Такую форму записи

там, где она удобна, будем использовать без особых оговорок.

Сделаем следующие стандартные предположения. Будем предполагать,

что на множествах u ∈ U, vⁱ ∈ Vⁱ, i = 1, . . . , n, и A заданы топологии, в ко-

торых эти множества компактны. Функцию g будем считать непрерывной

в топологии декартова произведения U × V¹ × . . . × Vⁿ × A. Меру ℘ будем

считать борелевской.

Замечание 1. Вероятно, эти предположения можно ослабить без потери

всех результатов, полученных далее. Однако это приводит к необходимости

более аккуратных и, как следствие, более длинных рассуждений. Поскольку

не очень понятно, могут ли найтись интерпретации данной модели, в которых

эти предположения будут ограничительными, вдаваться в эти технические

детали пока не станем.

Топологии на множествах u ∈ U, vⁱ ∈ Vⁱ, i = 1, . . . , n индуцируют тополо-

гию на их произведении W = U × V¹ × . . . × Vⁿ. В дальнейшем, когда речь

зайдет о топологии на множестве W , будем иметь в виду именно топологию

произведения.

Согласно теореме Тихонова [10, стр. 217], множество W будет компактным.

3. Модель централизованного управления

Допустим, оперирующая сторона не имеет никакой дополнительной ин-

формации о реализовавшемся значении неопределенного фактора α. Если

она зафиксирует управление w ∈ W , то математическое ожидание ее выиг-

рыша составит

∫

Mg(w, α) = g(w, α)℘(dα).

При оптимальном выборе управления w она получит результат равный

∫

R₀(0) = max

g(w, α)℘(dα).

w∈W

Рассмотрим другой крайний случай. Предположим, в момент принятия

решения оперирующей стороне становится точно известно реализовавшееся

значение неопределенного фактора α. Тогда она может выбрать управление w

так, чтобы получить выигрыш, равный max g(w, α). Соответственно матема-

w∈W

тическое ожидание выигрыша составит

∫

R₀(∞) = max g(w,α)℘(dα).

w∈W

В данной статье основной интерес будет представлять промежуточный

случай. Пусть оперирующая сторона имеет возможность получать информа-

цию о реализовавшемся значении неопределенного фактора, но объем инфор-

мации, которую она способна получить и своевременно обработать, ограни-

чен. А именно, будем считать, что оперирующая сторона может использовать

l бит информации и других ограничений на использование информации нет.

Формализуется сказанное следующим образом. Введем обозначение. Здесь

и далее Φ(X, Y ) будет обозначать семейство всех функций, отображающих

множество X в множество Y .

Сделанное предположение означает, что вся информация о неопределен-

ном факторе, доступная оперирующей стороне, может быть закодирована

словами s = (s₁, . . . , s_l) из нулей и единиц длины l. Множество {0, 1}^l (декар-

тову степень множества {0, 1}) обозначим буквой S. Поскольку ограничений

на доступ к информации о неопределенном факторе у оперирующей сторо-

ны нет, выбор “способа кодировки” P : A → S — это ее прерогатива. Кроме

того, в зависимости от полученной информации s ∈ S оперирующая сторона

вправе выбрать любое управление w ∈ W . Т.е., по сути, она может выби-

рать функцию w_∗ : S → W . Если оперирующая сторона зафиксирует способ

кодировки P ∈ Φ(A, S) и правило выбора управления w_∗ ∈ Φ(S, W ) и реали-

зуется значение неопределенного фактора α ∈ A, то оперирующая сторона

получит сообщение P (α), выберет управление w_∗ (P (α)) и ее выигрыш со-

ставит g (w_∗ (P (α)) , α).

В таком случае математическое ожидание выигрыша будет равно

∫

g (w_∗ (P (α)) , α) ℘(dα), а при наилучшем выборе стратегии (w_∗, P ) из мно-

жества Φ (S, W ) × Φ (A, S) результат составит

∫

R₀ (l) =

sup

g (w_∗ (P (α)) , α) ℘(dα).

(w∗,P )∈Φ(S,W )×Φ(A,S)

Замечание 2. Можно представить себе ситуацию, когда функция w_∗

выбрана так, что функция g (w_∗ (P (α)) , α) будет неизмеримой. Поэтому дан-

ная постановка задачи требует некоторого уточнения. Возможны, по меньшей

мере, два способа такого уточнения: либо можно понимать интеграл в опре-

делении величины R₀ (l) как нижний интеграл, либо можно ограничить класс

стратегий оперирующей стороны множеством измеримых функций (по отно-

шению к алгебре всех подмножеств конечного множества S). И тот, и другой

подход методологически оправдан. Из дальнейшего будет видно, что при обо-

их подходах и в задаче этого раздела, и в задаче раздела 4 получается один и

тот же результат. Это можно рассматривать как некий аргумент в пользу рас-

сматриваемых постановок. В дальнейшем, дабы не уклоняться от сути дела,

на подобного рода технических проблемах, если они решаются стандартными

способами, акцент делаться не будет.

Упростим формулу, определяющую величину R₀ (l). Фиксируем функцию

w_∗ ∈ Φ(S,W). Она принимает m = 2^l различных значений. Пусть множество

этих значений есть {w₀, w₁, . . . , wm-1}. Сообщение s = (s₁, . . . , s_l) можно рас-

сматривать как двоичную запись s₁ . . . s_l натурального числа из множества

{0, 1, . . . , m - 1}. Имея в виду такое отождествление, можно, не ограничивая

общности, считать, что w_∗(s) = w_s.

Если функция w_∗ ∈ Φ(S, W ) фиксирована, то способ кодировки информа-

ции P ∈ Φ(A, S) разумно выбирать так, чтобы при каждом значении α ∈ A

сообщение r = P (α) удовлетворяло условию g(w_r, α) = max

g (w_s, α).

s=0,1,...,m-1

При таком выборе ∫ стратегии (w_∗, P ) математическое ожидание выиг-

рыша будет равно

max

g (w_s, α)℘(dα). А при наилучшем выборе

s=0,1,...,m-1

функции w_∗ мо ∫но рассчитывать на получение ожидаемого результата

max

g (w_s,α)℘(dα).

s=0,1,...,m-1

(w₀,w₁,...,wm-1)∈W^m A

Понятно, что приведенные рассуждения обратимы, поэтому справедлива

Теорема 1. Имеет место равенство

∫

R₀ (l) =

max

g (w_s,α)℘(dα).

(w₀,w₁,...,wm-1)∈W^m

s=0,1,...,m-1

Замечание 3. Из стандартных теорем анализа следует, что функция

max

g (w_s, α) непрерывно зависит от w₀, w₁, . . . , wm-1 и α, а функция

∫=0,1,...,m-1

g (w_s, α)℘(dα) непрерывно зависит от w₀, w₁, . . . , wm-1. Поэтому

max

s=0,1,...,m-1

внешний максимум в результирующем выражении для R₀ (l) достигается.

Значит, достигается и верхняя грань в определении величины R₀ (l). Соот-

ветствующие технические рассуждения опускаем.

4. Модель децентрализованного управления

Рассмотрим другой способ управления той же системой.

Предположим, оперирующая сторона передает право выбора управле-

ний vⁱ n агентам: агент с номером i получает право выбора управления

vⁱ ∈ Vⁱ (i = 1,... ,n). Выбор управления u ∈ U оперирующая сторона (Центр)

оставляет за собой.

Появление у агента i права влиять на ситуацию неизбежно влечет появ-

ление у него собственных целей. Процесс формирования этих целей сложен

и мало изучен. В данной модели эти цели считаются заданными экзоген-

но. Будем предполагать, что цель(агента)i описывается стремлением к мак-

симизации значения функции hⁱ

u, vⁱ, α

. Существенным является то, что

эта функция зависит от его собственного управления, управления Центра и

неопределенного фактора, но не зависит от выборов остальных агентов.

Будем считать, что Центр по-прежнему имеет возможность получить и

обработать l бит информации о неопределенном факторе α. Таким обра-

зом, стратегией центра является пара (u_∗, P ) ∈ Φ(S, U) × Φ(A, S) функций

u_∗ : S → U и P : A → S (смысл этих конструкций тот же, что и в модели раз-

дела 3). Предположим, что каждый из агентов в момент принятия решений

имеет точную информацию об этом неопределенном факторе.

Допустим, Центр оставляет за собой право первого хода, т.е. он первым

выбирает свою стратегию (u_∗, P ) и сообщает ее всем агентам.

В этих условиях агент i принимает решение в условиях полной опреде-

ленности: он знает реализовавшееся значение неопределенного фактора α и

управление u_∗ (P (α)), которое должен будет выбрать Центр. Поэтому если

Центр знает функцию выигрыша hⁱ агента i, то он может рассчитывать на то,

что в случае, когда реализуется значение неопределенного фактора α, этот

агент выберет свое управление из множества

{

}

BRⁱ(u_∗,P,α) = vⁱ ∈ Vⁱ : hⁱ(u_∗(P(α)),vⁱ,α) = max hⁱ(u_∗(P(α)),vⁱ,α)

vⁱ∈Vⁱ

Поскольку для i-го агента все выборы из этого множества равноценны, даль-

ше уточнить множество возможных выборов агента у Центра нет.

Если Центр осторожен по отношению к такого рода неопределенностям, то

при выборе стратегии (u_∗, P ) и реализовавшемся значении неопределенного

фактора α он должен рассчитывать на выигрыш

(

)

min

u_∗ (P (α)),v¹,... ,vⁿ,α

v¹∈BR¹(u∗,P,α)

vⁿ∈BRⁿ(u∗,P,α)

Математическое ожидание этого выигрыша равно

∫

(

)

min

u_∗ (P (α)),v¹,... ,vⁿ,α

℘(dα),

v¹∈BR¹(u∗,P,α)

vⁿ∈BRⁿ(u∗,P,α)

и если считать Центр риск-нейтральным, он будет ориентироваться именно

на этот результат. Тогда при оптимальном выборе своей стратегии он получит

выигрыш

R₁ (l) =

∫

sup

min

g(u_∗(P (α)), v¹, . . . , vⁿ, α)℘(dα).

(u∗,P )∈Φ(S,U)×Φ(A,S)

v¹∈BR¹(u∗,P,α)

vⁿ∈BRⁿ(u∗,P,α)

Упростим и эту формулу с тем, чтобы избавиться от верхней грани

по функциональному пространству. Вновь фиксируем множество значений

{u₀, u₁, . . . , um-1} функции u_∗ и будем считать, что эти значения перенуме-

рованы так, что u_∗(s) = u_s.

Если агент i знает, что Центр выберет управление u_s ∈ U и реализова-

лось значение неопределенного фактора α, то он выберет свое управление из

множества

{

}

Eⁱ(u_s,α) = vⁱ ∈ Vⁱ : hⁱ(u_s,vⁱ,α) = max

hⁱ(u_s,ωⁱ,α)

ωⁱ∈Vⁱ

В таком случае Центр может гарантированно рассчитывать на получение

выигрыша равного

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α).

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

Естественно выбирать способ кодировки P так, чтобы каждому значению

α ∈ A он ставил в соответствие сообщение u_r, удовлетворяющее условию

min

min g(u_r, v¹, . . . , vⁿ, α) =

v¹∈E¹(ur,α)

vⁿ∈Eⁿ(ur,α)

= max

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α).

s=0,1,...,m-1

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. При любом наборе u₀,u₁,...,um-1 функция

ϕ(α) = max

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α)

s=0,1,...,m-1

v¹∈E¹(us,α)

v²∈E²(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

℘-измерима.

Доказательство леммы приведено в Приложении.

Лемма 1 позволяет заключить, что при фиксированной функции u_∗ со

значениями {u₀, u₁, . . . , um-1} риск-нейтральный Центр должен ориентиро-

ваться на результат

∫

max

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α)℘ (dα).

s=0,1,...,m-1

v¹∈E¹(us,α)

v²∈E²(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

А поскольку выбор значений {u₀, u₁, . . . , um-1} — это тоже право Центра,

он может получить выигрыш, равный

∫

max

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α)℘(dα).

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

s=0,1,...,m-1

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

Анализируя приведенные рассуждения, несложно убедиться, что на боль-

ший выигрыш Центр не может рассчитывать. Поэтому справедлива следую-

щая теорема.

Теорема 2. Имеет место равенство

R₁(l) =

∫

max

min

min g(u_s, v1, . . . , vn, α)℘(dα).

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

s=0,1,...,m-1

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

Для удобства сравнения централизованной и децентрализованной схем

управления рассмотрим те же два крайних случая, что и в разделе 3.

Случай, когда Центр не имеет информации о неопределенном факторе,

вполне вкладывается в рассмотренную схему. Если Центр получает l = 0 бит

информации, то количество разных сообщений, которое он может получить,

равно m = 2^l = 1, и множество S = {0, 1}⁰ состоит из одной точки. При этих

соглашениях определение величины R₁ (0) и утверждение теоремы 2 оказы-

ваются корректными и для величины R₁ (0) можно получить выражение

∫

R₁(0) = max

min

min g(u, v¹, . . . , vⁿ, α)℘ (dα).

u∈U

v¹∈E¹(u,α)

vⁿ∈Eⁿ(u,α)

Случай, когда Центр имеет точную информацию о реализовавшемся зна-

чении неопределенного фактора, формально не вкладывается в рассмотрен-

ную схему, но может быть рассмотрен аналогично.

В этом случае стратегиями Центра являются произвольные функции

u_# : A → U. При фиксированной стратегии u_# ∈ Φ (A,U) и значении неопре-

деленного фактора α ∈ A агент i выберет свое управление из множества

{

}

(

)

(

)

Bri (u_#,α) = vⁱ ∈ V ⁱ : hⁱ

u_# (α) ,vⁱ,α

= max

hⁱ

u_# (α) ,vⁱ,α

vⁱ∈Vⁱ

Поэтому осторожный Центр может рассчитывать на результат

(

)

min . . .

min

u_# (α) ,v¹,... ,vⁿ,α

v¹∈Br¹(u#,α)

vⁿ∈Brⁿ(u#,α)

математическое ожидание которого равно

∫

(

)

min

u_# (α) ,v¹,... ,vⁿ,α

℘ (dα),

v¹∈Br¹(u#,α)

vⁿ∈Brⁿ(u#,α)

и для величины R₁ (∞) получим определение

∫

R₁(∞) = sup

min

min g(u_#(α), v¹, . . . , vⁿ, α)℘(dα).

u_#∈Φ(A,U)

v¹∈Br¹(u_#,α)

vⁿ∈Brⁿ(u_#,α)

Рассуждения, вполне аналогичные доказательству теоремы 2, позволяют

получить для этой величины выражение

∫

(

)

R₁ (∞) = max min

min g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

℘(dα).

u∈U v¹∈E¹(u,α)

vⁿ∈Eⁿ(u,α)

5. Сравнение централизованного и децентрализованного

способов управления

Для любого l имеет место неравенство R₀ (l) ≤ R₀ (∞).

В самом деле, рассмотрим отображение ψ : Φ(S, W ) × Φ(A, S) → Φ(A, W ),

ставящее в соответствие паре функций (w_∗, P ) их композицию w_# = w_∗ ◦ P .

Тогда для л∫бого α ∈ A будем иметь g∫(w_∗ (P (α)) , α) = g (w_# (α) , α) и, сле-

довательно, g (w_∗ (P (α)) , α) ℘ (dα) = g (w_# (α) , α) ℘ (dα). Фиксируем про-

извольное ε > 0 и выберем стратегию (w_∗, P ) так, что

∫

g (w_∗ (P (α)) , α) ℘(dα) ≥

sup

g (w_∗ (P (α)),α) ℘(dα) - ε.

(w∗,P)∈Φ(S,W)×Φ(A,S)

Тогда для соответствующей функции w_# = w_∗ ◦ P будем иметь

∫

R₀ (l) - ε =

sup

g (w_∗ (P (α)) ,α) ℘(dα) - ε ≤

(w∗,P)∈Φ(S,W)×Φ(A,S)

∫

≤

g (w_∗ (P (α)) , α) ℘ (dα) = g (w_# (α) , α) ℘ (dα) ≤

∫

≤ sup

g (w_# (α) , α) ℘ (dα) = R₀ (∞) .

w_#∈Φ(A,U)

В силу произвольности ε отсюда получается неравенство R₀ (l) ≤ R₀ (∞).

Далее, для любого l справедливо неравенство R₀ (l) ≤ R₀ (l + 1).

Для доказательства рассмотрим отображения

(

)

(

)

(

)

(

)

ϑ:Φ

{0, 1}^l, U

→ Φ {0,1}l+1,U и Θ : Φ A,{0,1}^l

→ Φ A,{0,1}l+1 ,

определенные следующим образом. Пусть отображение ϑ ставит в соот-

ветствие функции w_∗ : {0, 1}^l → U такую функцию w_∗∗ : {0, 1}l+1 → U, что

при любом s ∈ {0, 1}^l выполняются равенства w_∗∗(s, 0) = w_∗∗(s, 1) = w_∗(s).

А отображение Θ ставит в соответствие функции P : A → {0, 1}^l такую

функцию P_∗ : A → {0, 1}l+1, что для любого α ∈ A имеет место равенство

P_∗(α) = (P(α),0). Непосредственно проверяется, что тогда для любого α

справедливо равенство g(w_∗∗(P_∗(α)), α) = g(w_∗(P (α)), α), а значит,

∫

g(w_∗∗(P_∗(α)), α)℘(dα) = g(w_∗(P (α)), α)℘(dα).

Фиксируем произвольное ε > 0. Выберем стратегию (w_∗, P ) так, что

∫

g (w_∗ (P (α)) , α) ℘(dα) ≥

∫

≥

sup

g (w_∗ (P (α)) , α) ℘(dα) - ε.

(w∗,P )∈Φ({0,1}^l,W )×Φ(A,{0,1}^l

)_A

Тогда

∫

R₀ (l) - ε =

sup

g (w_∗ (P (α)) ,α)℘(dα) - ε ≤

(w∗,P)∈Φ({0,1}^l,W)×Φ(A,{0,1}^l

)_A

∫

≤ g(w∗ (P (α)),α)℘(dα) = g(w∗∗ (P∗ (α)),α)℘(dα) ≤

∫

≤

sup

g (w_∗∗ (P_∗ (α)) ,α)℘(dα) = R₀ (l + 1) .

(w∗∗,P∗)∈Φ({0,1}l+1,W)×Φ(A,{0,1}l+1

)_A

В силу произвольности ε отсюда немедленно следует нужное неравенство

R₀ (l) ≤ R₀ (l + 1).

Практически дословно повторяя те же рассуждения, можно показать, что

для любого l выполняются неравенства R₁ (l) ≤ R₁ (∞) и R₁ (l) ≤ R₁ (l + 1).

Установим еще одно неравенство. Очевидно, для любого α ∈ A выполня-

ется неравенство

(

)

maxg (w, α) = max

max

... max g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

≥

w∈W

u∈U

v¹∈V¹

vⁿ∈Vⁿ

(

)

≥ max

min

min g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

u∈U

v¹∈E¹(u,α)

vⁿ∈Eⁿ(u,α)

Следовательно,

∫

(

)

max max

... max g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

℘(dα) ≥

u∈U v¹∈V¹

vⁿ∈Vⁿ

∫

(

)

≥ max

min

min g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

℘ (dα).

u∈U

v¹∈E¹(u,α)

vⁿ∈Eⁿ(u,α)

Таким образом, R₀ (∞) ≥ R₁ (∞).

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Имеет место равенство lim

R₀ (l) = R₀ (∞).

l→∞

Доказательство леммы приведено в Приложении.

Из леммы 2 следует, что если R₀ (∞) > R₁ (∞), то при достаточно боль-

шом l выполняется неравенство R₀ (l) > R₁ (∞), а значит, R₀ (l) > R₁ (l).

Рассмотрим два частных случая.

Начнем со случая, когда интересы Центра и агентов “идеально согласо-

(

)

∑

(

)

ваны”, т.е. имеет место равенство g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

= hⁱ

u, vⁱ, α

. В этом

i=1

случае в силу теоремы 2 имеем

∫

R₁(l) =

max

max max

... max

g(u_s, v1s, . . . , v^ns, α)℘ (dα),

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

s=0,1,...,m-1vqs∈V¹

v^ns∈Vⁿ

или

∫

R₁(l) =

max

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

(v¹⁰,v¹¹,...,v0m-1)∈(V1)m

max

g(u_s, v1s, . . . , v^ns, α)℘ (dα) .

s=0,1,...,m-1

(vn0,vn1,...,vnm-1)∈(Vⁿ)^m

А результат теоремы 1 может быть переписан в виде

∫

R₀(l)=

max

g(w_s, α)℘(dα).

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m (v¹⁰,v¹¹,...,v1m-1)

(vn0,vn1,...,vnm-1)

s=0,1,...,m-1

Отсюда видно, что в данном случае R₀ (l) ≤ R₁ (l) (так как “максимум суммы

меньше суммы максимумов”).

Рассмотрим противоположный случай, когда агенты “враждебны Центру”,

(

)

∑

(

)

т.е. справедливо равенство g

u, v¹, . . . , vⁿ, α

=- hⁱ

u, vⁱ, α

. Тогда в силу

i=1

теоремы 1

R₁(l) =

∫

max

max min

min

... min

g(u_s, v1s, . . . , v^ns, α)℘ (dα).

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

s=0,1,...,m-1vqs∈V¹

v2s∈V²

v^ns∈Vⁿ

Значит,

∫

R₁(l) =

max

min

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

(v¹⁰,v¹¹,...,v0m-1)∈(V1)m

min

max

g(u_s, v1s, . . . , v^ns, α)℘ (dα) ≤

s=0,1,...,m-1

(vn0,vn1,...,vnm-1)∈(Vⁿ)^m

≤

max

min

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

(v¹⁰,v¹¹,...,v0m-1)∈(V1)m

∫

min

max

g(u_s, v1s, . . . , v^ns, α)℘ (dα) ≤

s=0,1,...,m-1

(vn0,vn1,...,vnm-1)∈(Vⁿ)^m

≤

max

(u₀,u₁,...,um-1)∈U^m

(v¹⁰,v¹¹,...,v0m-1)∈(V1)m

∫

max

g(u_s, v1s, . . . , v^ns, α)℘ (dα) = R₀ (l) .

s=0,1,...,m-1

(vn0,vn1,...,vnm-1)∈(Vⁿ)^m

Понятно, что все доказанные в этом разделе неравенства могут обращать-

ся в равенство (например, если функция g постоянна). Однако “в типичном

случае” все они обращаются в строгие неравенства.

Полученные результаты можно суммировать следующим образом.

Теорема 3. При фиксированном объеме доступной информации l могут

выполняться как неравенство R₀ (l) > R₁(l), так и противоположное нера-

венство R₁ (l) > R₀ (l). Однако при любом ε > 0 при достаточно больших l

имеет место неравенство R₀ (l) > R₁(l) - ε, а в типичном случае при до-

статочно больших l справедливо и неравенство R₀ (l) > R₁(l).

Таким образом, при малых объемах доступной оперирующей стороне ин-

формации в случае, когда интересы агентов “хорошо согласованы” с интере-

сами Центра, выгоднее децентрализованный способ управления, а в случае,

когда интересы агентов “плохо согласованы” с интересами Центра, выгодна

централизация управления. А при больших объемах доступной оперирующей

стороне информации всегда выгоднее централизованный способ управления.

6. Заключение

Вполне естественные предположения, принятые при построении модели,

приводят к хорошо интерпретируемым качественным выводам. А получив-

шиеся математические задачи имеют достаточно конструктивные решения.

Разумеется, трудно говорить о непосредственном применении построен-

ных моделей на практике. Но, благодаря своей абстрактности, эти модели

имеют высокую степень общности. И в описанную схему можно вложить

многие более конкретные модели. Кроме того, какие-то из принятых гипотез

можно варьировать, что открывает широкое поле для дальнейших исследо-

ваний. Кроме направлений, отмеченных в заключении в [9], стохастическая

постановка допускает еще одно видоизменение, быть может даже более ин-

тересное. Речь идет о следующем.

В данной статье использовалось осреднение выигрыша оперирующей сто-

роны и жесткое гарантированное ограничение на объем обрабатываемой ею

информации. В самом деле, по постановке оперирующая сторона независимо

от реализовавшегося значения неопределенного фактора получает сообщение

длины l. Наверное, даже более естественно требовать, чтобы все сообщения

кодировались словами, длина которых не превосходит l. Но при таком огра-

ничении это почти ничего не меняет по существу.

Можно ограничение сформулировать иначе. Допустим, что сообщения ко-

дируются словами разной длины, и требуется, чтобы математическое ожида-

ние длины получаемого оперирующей стороной сообщения не превосходило

заданной величины. Тогда можно существенно выиграть за счет того, что

часто встречающиеся сообщения будут кодироваться короткими словами, а

длинные слова будут использоваться для сообщения о редких событиях.

Эта идея впервые была использована в теории передачи информации

К. Шенноном. Пионерские работы Шеннона дали толчок большому числу

исследований. В результате этого были получены важные результаты, дале-

ко выходящие за рамки теории передачи информации. В задачах принятия

решений аналогичные постановки, по-видимому, до сих пор не исследовались.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. Для удобства будем использовать терми-

нологию из книги [11] и только те утверждения, которые явно сформулиро-

ваны в ней на с. 272 и c. 283.

Нужно доказать, что при любом c измеримо множество {α ∈ A : ϕ (α) < c}.

Но

{

}

⋂

{α ∈ A : ϕ(α) < c} =

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α) < c

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

s=0

Поэтому достаточно доказать, что при любом c измеримо множество

{

}

min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α) < c

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

т.е. при любом u_s ∈ U измерима функция

ψ (α) = min

min g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α).

v¹∈E¹(us,α)

vⁿ∈Eⁿ(us,α)

(

)

∏

Для упрощения формул введем обозначения v =

v¹,... ,vⁿ

,V = Vⁱ и

i=1

∑

(

)

рассмотрим функцию h (u, v, α) = hⁱ

u, vⁱ, α

. В силу специального вида

i=1

функции h выполняется равенство ψ (α) = min g(u_s, v, α), где

v∈E(us,α)

{

}

E(u_s, α) = v ∈ V : h(u_s, v, α) = maxh(us, ω, α)

ω∈V

Функция ψ (α) измерима тогда и только тогда, когда измерима функция

-ψ (α), следовательно, достаточно доказать, что при любом c измеримо мно-

жество C = {α ∈ A : -ψ (α) < -c} = {α ∈ A : ψ (α) > c}. А поскольку мера ℘

предполагается борелевской, достаточно доказать, что это множество явля-

ется открытым. Допустим противное. Тогда существует элемент α ∈ A и схо-

дящаяся к нему последовательность α₁, α₂, . . . такие, что α ∈ C, но α_k ∈ C,

k = 1,2,

Функция h является непрерывной, а множество E (u_s, α_k) за-

дается условием типа равенства, поэтому оно замкнуто. А поскольку про-

странство V компактно, его замкнутое подмножество E (u_s, α_k) тоже являет-

ся компактным. Значит, в некоторой точке v_k ∈ E (u_s, α_k) достигается мини-

мум min g (u_s, v, α_k). Так как по предположению α_k ∈ C, выполняется

v∈E(us,αk)

неравенство g (u_s, v_k, α_k) ≤ c.

Пространство V является компактным, поэтому последовательность

v₁,v₂,... можно считать сходящейся к некоторому элементу v₀ ∈ V (в про-

тивном случае можно перейти к подпоследовательности).

Фиксируем произвольное ω ∈ V . Поскольку v_k ∈ E (u_s, α_k), выполняет-

ся неравенство h (u_s, v_k, α_k) ≥ h (u_s, ω, α_k). Переходя в этом неравенстве

к пределу при k → ∞, получим h (u_s, v₀, α) ≥ h (u_s, ω, α). В силу произ-

вольности ω отсюда следует, что v₀ ∈ E (u_s, α). А переходя к пределу в

неравенстве g (u_s, v_k, α_k) ≤ c, получим g (u_s, v₀, α) ≤ c и тем более ψ (α) =

= min g (u_s,v,α) ≤ c, что противоречит условию α ∈ C.

v∈E(us,α)

Полученное противоречие доказывает лемму.

Замечание 4. Для строгого обоснования результатов раздела 3 нуж-

но доказать, что при всех w₀, w₁, . . . , wm-1 измерима функция φ (α) =

= max

g (w_s, α). Это утверждение является частным случаем толь-

s=0,1,...,m-1

ко что доказанной леммы. Действительно, рассмотрим модель, в кото-

рой множество Vⁱ состоит из одной точки vⁱ, i = 1, . . . , n. Тогда ϕ (α) =

= max

g(u_s, v¹, . . . , vⁿ, α), и нужный результат только обозначением от-

s=01,...,m-1

личается от уже доказанного.

Доказательство леммы 2. Фиксируем произвольное ε > 0.

Для каждого α ∈ A можно выбрать ω (α) ∈ W так, что g (ω (α) , α) =

= max

g (ϖ, α) и, значит, g (ω (α) , α) > max g (ϖ, α) - ε. Поэтому открытые

ϖ∈W

множества

{

}

O (ω) = α ∈ A : g (ω, α) > max g (ϖ, α) - ε

ϖ∈W

покрывают компактное множество A. Следовательно, можно выбрать ко-

нечный набор ω₀, ω₁, . . . , ω_k элементов множества W так, что множества

O (ω₀) , O (ω₁) , . . . , O (ω_k) будут по-прежнему покрывать множество A. Зна-

чит, для любого α ∈ A будет выполняться условие

max

g (ω_s, α) > max g (ϖ, α) - ε.

s=0,1,...,k

ϖ∈W

Если n выбрано так, что m = 2ⁿ ≥ k, то можно положить w_s = ω_s при

s ≤ k и w_s = ω_k при s > k, и тогда будет

max

g (w_s, α) > max g (ϖ, α) - ε.

s=0,1,...,m-1

ϖ∈W

Следовательно,

∫

max

g (w_s, α) ℘ (dα) > max

g (ϖ, α) ℘ (dα) - ε = R₀ (∞) - ε

s=0,1,...,m-1

ϖ∈W

и тем более

∫

R₀ (l) =

max

g (w_s,α)℘(dα) > R₀ (∞) - ε.

(w₀,w₁,...,wm-1)∈W^m

s=0,1,...,m-1

В силу произвольности ε отсюда следует утверждение леммы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Месарович М., Мако Д., Такакхара И. Теория иерархических многоуровневых

систем. М.: Мир, 1973.

2. Новиков Д.А. Институциональное управление организационными системами.

М.: ИПУ РАН, 2003.

3. Воронин А.А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: ИПУ

РАН, 2003.

4. Alonso R., Dessein W., Matouschek N. When Does Coordination Require

Centralization? // Amer. Econom. Rev. 2008. V. 98. P. 145-179.

5. Melamud N., Mookherjee D., Reichelstein S. Hierarchical Decentralization of

Incentive Contracts // Rand J. Econom. 1995. V. 26. P. 654-672.

6. Гермейер Ю.Б., Моисеев Н.Н. О некоторых задачах теории иерархических си-

стем / Пробл. прикл. мат. и механики. М.: Наука, 1971. С. 30-43.

7. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.