Автоматика и телемеханика, № 10, 2020

Обзоры

И.И. ГОЛУБ, д-р техн. наук (golub@isem.irk.ru),

Д.Н. ЕФИМОВ, канд. техн. наук (efimov@isem.irk.ru)

(Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск),

А.Б. ИСКАКОВ, канд. физ.-мат. наук (isk_alex@mail.ru),

И.Б. ЯДЫКИН, д-р техн. наук (jadikin1@mail.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СПЕКТРАЛЬНЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ МЕТОДЫ

В ИССЛЕДОВАНИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И УПРАВЛЕНИИ ИМИ¹

Представлен обзор применения методов спектрального и модально-

го анализа в исследованиях устойчивости электроэнергетических систем

и управлении ими. Рассмотрены теоретические основы этих методов и

опыт их использования для выявления неоднородности структуры си-

стем, идентификации когерентности движения генераторов и упрощения

математической модели динамики энергосистем, оценки их статической

устойчивости (устойчивости “в малом”) и выбора управляющих воздей-

ствий для ее обеспечения. Обсуждается анализ субграмианов при иссле-

довании устойчивости электроэнергетических систем и другие новые на-

правления развития модального подхода.

Ключевые слова: электроэнергетические системы, спектральный анализ,

модальный анализ, упрощение математических моделей, оценка устойчи-

вости, управление, субграмианы.

DOI: 10.31857/S0005231020100013

1. Введение

Электроэнергетические системы (ЭЭС) сложнейшие технические объек-

ты, созданные человеком и включающие тысячи генераторов электроэнергии,

объединяемых на совместную работу электрической сетью, роторы которых

в нормальном режиме вращаются с одинаковой (синхронной) угловой скоро-

стью. Со времени создания первых ЭЭС одной из важнейших проблем было

и остается обеспечение их устойчивости при малых и больших возмущениях.

Для современных больших ЭЭС эта проблема особенно актуальна в связи

с появлением новых факторов, определяемых нестационарностью генерации

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках

проекта № 19-19-00673.

возобновляемых источников электроэнергии, активностью потребителей, ис-

пользованием эффективно управляемых устройств на базе силовой электро-

ники в электрической сети и у потребителей и ряда других, что существенно

ухудшает свойства ЭЭС с точки зрения возможностей обеспечения их устой-

чивости. Кроме того, вследствие неоднородности структуры электрической

сети остаются сечения (группы связей одного направления) с ограниченной

пропускной способностью (bottlenecks), особенно в ослабленной структуре се-

ти в послеаварийных и ремонтных режимах большой ЭЭС. Неоднородность

структуры сети определяется наличием в ней подсистем с сильными внутрен-

ними связями и слабых связей и узлов между этими подсистемами (см. раз-

дел 3). Ситуацию усугубляет расширение использования в ЭЭС установок

распределенной генерации, в том числе на базе возобновляемых энергоре-

сурсов, с малыми постоянными инерции роторов, а также подключаемых

к электрической сети через выпрямительно-инверторные блоки, что суще-

ственно снижает инерционность системы и повышает опасность нарушений

ее устойчивости. Нарушение устойчивости сложной системы может привести

к каскадному развитию аварийного процесса с массовым нарушением пита-

ния потребителей и тяжелыми последствиями для системы [1, 2] и др.

Основополагающие исследования в области анализа и обеспечения устой-

чивости ЭЭС, моделирования элементов и системы в целом в динамических

режимах, были выполнены еще в 1930-40-е гг. А.А. Горевым, Р. Парком,

П.С. Ждановым, Е.В. Кимбарком, А.С. Лебедевым и рядом других авторов

[3-5] и др. Соответствующие результаты для ЭЭС учитывали фундаменталь-

ные методы математической теории устойчивости динамических систем, по-

лученные в работах А.А. Ляпунова, Дж. Сильвестра и др. [6, 7] и др. Одним

из важных направлений в этой области является проблема устойчивости ЭЭС

“в малом”, исторически обозначаемая в электроэнергетике термином “стати-

ческая устойчивость”.

Существуют несколько видов статической устойчивости ЭЭС. Примени-

тельно к рассматриваемым в данной статье подходам для сложных ЭЭС ак-

туальными являются “устойчивость по углам” angle stability (имеются в

виду взаимные углы роторов синхронных машин) и “устойчивость по напря-

жениям” в узлах электрической сети voltage stability [3-5] и др. При иссле-

довании статической устойчивости ЭЭС при малых возмущениях (устойчи-

вости “в малом”) используется классический подход математической теории

устойчивости динамических систем, состоящий в линеаризации нелинейной

системы в окрестности рассматриваемого положения ее равновесия, что поз-

воляет использовать богатый арсенал строгих методов оценки устойчивости

линейных динамических систем. При этом в статье рассматриваются попыт-

ки распространения этих методов для анализа нелинейных эффектов.

Первоначально исследования слабо возмущенного движения ЭЭС концен-

трировались на анализе апериодической статической устойчивости по крите-

рию смены знака определителя матрицы Якоби, равного свободному члену

характеристического полинома. Считалось, что колебательные электромеха-

нические процессы должны демпфироваться автоматическим регулятором

возбуждения сильного действия (АРВ-СД) или стабилизаторами энергоси-

стемы (СЭС power system stabilizers). Однако данные практики показа-

ли многие случаи слабо демпфированных колебаний и самораскачивания из-

за возникновения специфических нерасчетных схемно-режимных ситуаций,

на которые не была рассчитана настройка коэффициентов регулирования

АРВ-СД и СЭС. Это стимулировало развитие более строгих методов ана-

лиза статической устойчивости ЭЭС на базе теории устойчивости “в малом”

А.А. Ляпунова, чему способствовало также появление эффективных методов

определения корней характеристического уравнения высоких порядков (соб-

ственных значений матрицы линейной динамической системы) [8] и др., со-

ставляющих основу спектрального анализа. Модальный анализ впервые был

исследован применительно к ЭЭС в [9, 10].

В широком смысле как спектральный анализ, так и модальный анализ

подразумевают изучение свойств динамических систем в терминах частот

и связанных с ними величин, таких как энергии, собственные значения и

векторы. Хотя термин “спектральный” имеет более общий математический

смысл, но применительно к методам оценки статической устойчивости ЭЭС

термины “модальный” и “спектральный” очень близки и связаны с анализом

расположения собственных значений матрицы линеаризованной системы на

комплексной плоскости. Для удобства изложения в этом обзоре к спектраль-

ным отнесены более ранние методы, названные измерительными и анализи-

рующие расположение на комплексной плоскости спектра матрицы линеари-

зованной динамической системы; к модальным методы, связанные с иден-

тификацией конкретных мод колебаний при использовании так называемых

факторов (коэффициентов) участия, позволяющих соотнести эти моды коле-

баний с конкретными переменными состояния системы. Методы спектраль-

ного анализа и модального анализа активно развиваются и модернизируются.

По оценкам специалистов в настоящее время ежегодно в мире по проблемам

развития этих методов публикуется до сотни работ, причем большая часть

из них связана с задачами устойчивости ЭЭС.

В данной статье приведен обзор наиболее характерных результатов при-

менения методов спектрального и модального анализа для решения различ-

ных задач анализа структурных свойств ЭЭС, моделирования динамики этих

систем, исследования их устойчивости и управления ими в основном за

последние годы, но с использованием при необходимости более ранних ре-

зультатов. В разделе 2 кратко даны теоретические основы спектрального и

модального методов. Применение этих подходов охватывает практически все

стадии исследования устойчивости сложных ЭЭС: изучение объекта исследо-

ваний, его свойств, прежде всего свойства неоднородности структуры систе-

мы (раздел 3); выявление когерентности движения генераторов в электроме-

ханическом переходном процессе в ЭЭС и упрощение (эквивалентирование)

математических моделей когерентных групп генераторов (раздел 4); оцен-

ка статической устойчивости ЭЭС и выбор управляющих воздействий для ее

обеспечения (раздел 5); анализ субграмианов при исследовании устойчивости

ЭЭС и другие новые направления развития модального подхода (раздел 6).

Раздел 7 (Заключение) подытоживает результаты статьи.

Потенциальные читатели обзора это преимущественно электроэнерге-

тики, глубоко знакомые со структурой и свойствами больших ЭЭС и про-

блемами устойчивости этих систем. Тем не менее обзор может быть интере-

сен и полезен специалистам по теории управления, имеющим определенные

наработки и понимание проблем устойчивости сложных ЭЭС. Эта двуеди-

ная направленность обзора определила его структуру и содержание, которые

представляются авторам определенным компромиссом с точки зрения изло-

жения материала для рассматриваемых двух групп специалистов.

Основным объектом рассмотрения в обзоре являются большие сложные

ЭЭС, для которых характерна неоднородность структуры электрической се-

ти, проявляющаяся в наличии подсистем с сильными связями внутри них и

слабыми связями и узлами между подсистемами (см. подробнее раздел 3),

а также такие специфичные для сложных ЭЭС явления, как межрайонные

колебания, когерентность возмущенного движения групп генераторов и ряд

других, что отражает специфические свойства сложных ЭЭС, важные с точ-

ки зрения обеспечения их устойчивости.

2. Теоретические основы

В общем виде математическая модель ЭЭС при исследовании электроме-

ханических переходных процессов может быть представлена системой нели-

нейных дифференциальных и алгебраических уравнений [11]

y = f(y,z,v),

(1)

0 = g(y,z,v),

где y - вектор переменных состояния системы размерности n; z - вектор за-

висимых переменных размерности m; v - вектор управлений размерности l;

f (·) и g (·) - нелинейные вектор-функции, вид которых определяется моде-

лями синхронных машин, электрической сети и нагрузок.

Линеаризация системы уравнений (1) в окрестности установившегося по-

ложения равновесия (y₀, z₀) приводит к линейным алгебро-дифференциаль-

ным уравнениям в приращениях Δy = y - y₀, Δz = z - z₀, Δv = v - v₀:

)



(Δy

Δy = (F_yFz )

+ F_vΔv,

Δz

(2)

(

)



Δy

0 = (G_yGz)

+ G_vΔv.

Δz

Система уравнений (2) при условии обратимости матрицы Якоби преоб-

разуется к форме Коши

(3)

x = Ax + Bu,

где x = Δy - вектор состояния размерности n; u = Δv - вектор управления

размерности l.

Достаточно часто при решении различных задач исследования устойчи-

вости ЭЭС рассматривается так называемая классическая модель динамики

системы

∑

(4)

T_iδ_i (t) + d_i δ (t) = a_i -

b_ij sin (δ_i (t) - δ_j

(t)) , i = 1, N ,

j=0

где δ_i - угол ротора генератора i относительно синхронной оси; T_i, d_i - по-

стоянная инерции и коэффициент демпфирования i-го ротора; a_i - механи-

ческая мощность, вырабатываемая турбиной агрегата; b_ij = E_iE_js_ij, где E_i,

E_j - ЭДС, определяемые потокосцеплениями магнитных полей, создаваемых

обмотками возбуждения синхронных машин i и j соответственно, а s_ij - про-

водимости ветвей между генераторами i и j.

Классическая модель динамики ЭЭС обычно используется при решении

вспомогательных задач спектрального и модального анализа (см., например,

раздел 4 данной статьи в части выявления когерентности движения генера-

торов и упрощения моделей ЭЭС). Такие вспомогательные задачи решают-

ся для удаленных от исследуемой подсистемы частей большой протяженной

ЭЭС, в которых классическая модель динамики системы отражает поведение

генераторов с приемлемой точностью. Определение исследуемой подсисте-

мы самостоятельная задача, зависящая от характера решаемой проблемы.

В качестве исследуемой подсистемы может рассматриваться, например, тер-

риториально выделенный район ЭЭС. Генераторы исследуемой подсистемы

представляются достаточно детальной моделью их динамики с учетом дей-

ствия основных влияющих факторов, прежде всего регуляторов возбуждения

и скорости. Учитывая то, что выбор представительной модели генераторов

исследуемой подсистемы - самостоятельная задача, в работах, касающихся

методов исследования устойчивости ЭЭС, проблемы обоснования моделей ди-

намики генераторов обычно детально не рассматриваются, часто ограничи-

ваясь общим их представлением вида (1).

Линеаризация системы дифференциальных уравнений (4) в окрестности

положения равновесия системы дает линейную модель динамики ЭЭС в про-

странстве состояний, записываемую в общем виде как

(5)

x (t) = Ax(t),

где x - вектор состояния ЭЭС размерности N; N - число синхронных машин в

системе; A - вещественная матрица постоянных коэффициентов размерности

N×N.

При решении некоторых задач, связанных с проблемами устойчивости

ЭЭС (см., например, раздел 3), методами спектрального анализа рассматри-

ваются собственные значения и собственные векторы матрицы Якоби урав-

нений установившегося режима (состояния равновесия) системы, которые в

общем виде на основе (1) представляются как

0 = f (y,z,v),

(6)

0 = g (y,z,v).

Одним из наиболее популярных методов изучения устойчивости моделей

ЭЭС вида (3) и (5) относительно малых возмущений является модальный

анализ, основанный на вычислении спектра динамической матрицы A, т.е.

множества ее собственных значений λ_i

{

}

(7)

Λ(A) =

λ_i : det (λ_iI_N - A) = 0, i = 1,N

где I_N обозначает единичную матрицу размерности N × N. Собственные чис-

ла в (7) определяют частоты колебаний и коэффициенты демпфирования

мод, характеризующих динамику поведения линейной системы (отсюда и тер-

мин “модальный анализ”). В частности, если все собственные значения λ_i,

i = 1,N имеют отрицательные действительные части, т.е.

(8)

Re λ_i

< 0, i = 1, N ,

то модели ЭЭС (3) или (5) являются статически (асимптотически) устойчи-

выми. Правый и левый собственные векторы v_i и w_i матрицы A, соответст-

вующие собственному значению λ_i, определяются выражениями

(9)

Av_i = λ_iv_i, wТiA = λ_iw^Ti, v_i = 0, w_i

= 0.

Эти векторы позволяют связать собственные моды системы с соответствую-

щими им переменными состояния.

На начальном этапе развития спектральный анализ рассматривался в ос-

новном как совокупность измерительных методов и вычислительных алго-

ритмов для быстрого нахождения определенных групп собственных чисел

и векторов системы, интересных с точки зрения конкретных приложений.

В электроэнергетике прежде всего изучались медленные и плохо демпфируе-

мые колебания, которые могут приводить к потере статической устойчивости.

Эти колебания могут возникать между одной или несколькими машинами и

остальной частью системы (“локальные колебания” с частотой в диапазоне

от 1 до 2 Гц) или же между большими группами генераторов (“межрайонные

колебания” с частотой от 0,1 до 0,5 Гц) [12, 13].

Классические измерительные методы спектральных характеристик систе-

мы основаны на прямом преобразовании Фурье или на оценке корреляцион-

ной функции (периодограммы Шустера, модифицированные периодограммы,

методы Бартлетта, Уэлча, Блэкмана-Тьюки). В качестве измеряемой вели-

чины могут использоваться амплитуда, энергия, число осцилляций и другие

параметры сигнала. Более сложные методы динамических измерений для

оценки спектральных характеристик системы включают метод Прони, ме-

тоды Юла-Уолкера и Берга, модель скользящего среднего, вейвлет-анализ,

нейронные сети и генетические алгоритмы [14, 15] и др.

Вычислительные методы модального анализа предполагают, что динами-

ческая матрица системы уже известна, и необходимо предложить эффектив-

ные способы вычисления собственных чисел и векторов в заданной части

спектра. При этом сама матрица как правило имеет большую размерность,

может быть вырожденной или плохо обусловленной, а также иметь разрежен-

ную структуру. Среди известных и хорошо зарекомендовавших себя методов

выделения критических мод можно назвать QR метод, метод одновременных

итераций, метод Ланцоша (Lanczos method), модифицированный метод Ар-

нольди, различные их модификации [16-20] и др. Отметим также более новые

методы вычисления спектра доминирующих полюсов [21] и метод матричных

сигнум-функций [22].

Собственные числа имеют простую смысловую интерпретацию, однако при

анализе собственных векторов существует определенная проблема. Собствен-

ные векторы не позволяют однозначно интерпретировать связь соответствую-

щих мод и переменных состояния, поскольку эти векторы зависят от выбора

единиц измерения переменных. В [12, 13] была предложена удачная формали-

зация селективного модального анализа для линейных систем, которая дала

возможность установить однозначную связь между модами и переменными

состояния на основе так называемых факторов (коэффициентов) участия,

которые не зависят от используемых единиц измерения. Это позволило од-

нозначно выделять элементы структуры системы, связанные с собственными

модами в динамике ее поведения. Факторы участия (ФУ) и обобщенные уча-

стия определяются соответственно как [23]

(10)

p_ki = v^kiw^ki и p_kil = v^kiw^li,

где v^ki и w^li обозначают k-ю и l-ю компоненты соответственно i-го правого и

левого собственных векторов матрицы A в (9). При этом предполагается, что

собственные векторы нормированы, т.е.

{

при i = j,

(11)

w^Tiv_j =

в остальных случаях.

Для линейных систем ФУ определяют относительные вклады собственных

мод системы в динамику эволюции переменных состояния, т.е.

∑

(12)

x_k (t) =

p_kix_k (0) eλit +

p_kilx_l (0) eλit.

i=1

i,l=1; l=k

С конца XX в. развитие модального анализа происходило в нескольких

направлениях. Во-первых, концепция ФУ находила все новые области при-

менения. Сегодня эти показатели широко используются в электроэнергетике

и в других областях для анализа устойчивости [12, 13, 24], упрощения моде-

лей [25], размещения средств измерения и управления в сети [26], кластери-

зации [27] и др. Некоторые из этих применений будут рассмотрены подробнее

в последующих разделах обзора.

Во-вторых, расширялась смысловая интерпретация ФУ. Была установлена

их связь с чувствительностями собственных чисел [23], модальной управляе-

мостью и наблюдаемостью [28], а также с модальной подвижностью (modal

mobility) [29]. Согласно (12) ФУ определяют динамику переменной состоя-

ния x_k(t) только в том случае, если x_l (0) = 0, l = k, т.е. при специально

выбранном начальном условии. В [30] было показано, что такое предположе-

ние может приводить к противоестественным результатам, и был предложен

альтернативный метод усреднения по неопределенному множеству началь-

ных условий. В соответствии с этим подходом, исходное определение ФУ (10)

было сохранено для анализа участий “мод в состояниях”. А для анализа уча-

стия “состояний в модах” было предложено альтернативное определение ФУ

(или ФУСМ). Впоследствии подобные концепции ФУСМ были рассмотрены

для динамических нелинейных систем [31] и для систем, описываемых алгеб-

раическими уравнениями, такими, например, как уравнения потокораспреде-

ления (6) [24].

В-третьих, были предприняты активные усилия распространить модаль-

ный анализ на случай нелинейных моделей. Попытки учесть нелинейные эф-

фекты и межмодальные взаимодействия в рамках модального анализа разви-

вались в основном в двух направлениях. Подходы, в которых предполагается

известной модель системы, связаны с учетом членов второго и более высоких

порядков в разложении ряда Тейлора, аппроксимирующего динамическую

систему. В основном это делается с помощью нормальных форм Пуанкаре

[31-33]. Исследование [34] показало, что учет таких членов может оказаться

важным при изучении межрайонных колебаний в ЭЭС, подвергнутых боль-

шим возмущениям. Основная идея метода Пуанкаре состоит в том, чтобы по-

добрать нелинейную замену переменных в виде полинома так, чтобы для пре-

образованной системы члены второго порядка (и, возможно, более высоких

порядков) в разложении Тейлора исчезли. Основной недостаток такого подхо-

да заключается в том, что он требует решения сильно нелинейной численной

задачи и использования затратных вычислительных алгоритмов. Поэтому

альтернативные подходы предлагают оценивать ФУ непосредственно на ос-

нове измерений. Например, это можно сделать на основе расширенной дина-

мической модальной декомпозиции (extended dynamic mode decomposition)

[35] или модальной декомпозиции Купмана (Koopman mode decomposi-

tion) [36]. Использование таких методов менее универсально и требует тща-

тельной проверки в практических приложениях.

Наряду с модальным анализом другой концептуальный метод в исследо-

вании устойчивости связан с именами Джеймса Сильвестра и Александра

Ляпунова, которые в конце XIX в. открыли и исследовали свойства матрич-

ных уравнений Сильвестра и Ляпунова [6, 7]. Эти уравнения играют сего-

дня важную роль во многих разделах современной теории управления, в том

числе при исследовании устойчивости линейных и нелинейных систем, в ро-

бастном и оптимальном управлении. Ляпунов показал, что условия асимпто-

тической статической устойчивости (8) линейных систем (3) или (5) эквива-

лентны тому, что для любой положительно определенной матрицы Q (Q > 0)

существует положительно определенное решение P (P > 0) алгебраического

матричного уравнения Ляпунова [7, 37] и др.

(13)

A^TP + PA = -Q, Q = Q^T

> 0,

которое называется грамианом. В этом случае для спектра устойчивой мат-

рицы A справедлива оценка [38]:

(14)

min

|Re {λ_i}| ≤ -

i=1,...,N

2∥P∥

Таким образом, вычисляя грамиан P как решение уравнения (13), можно оце-

нить степень устойчивости системы без вычисления ее спектра. Кроме того,

грамиан P в (13) может быть представлен в виде интеграла с матричными

экспонентами матрицы A

∫∞

(15)

P = eATtQe^At

dt.

Предположим далее, что система (3) наблюдается по выходному сигналу

(16)

s (t) = Cx(t).

Тогда для анализа системы (3) обычно используются грамианы управляе-

мости P_C и наблюдаемости P_O, когда в качестве положительной матрицы

в уравнении (13) выбираются Q = BB^T > 0 и Q = C^TC > 0 соответственно.

В целом можно сказать, что грамиан наблюдаемости характеризует устойчи-

вость системы в смысле ограничения энергии ее выходного сигнала, а грами-

ан управляемости характеризует устойчивость системы в смысле ее асимп-

тотической устойчивости к случайным возмущениям входного сигнала. Для

устойчивой линейной динамической системы грамианы тесно связаны с квад-

ратом H₂-нормы ее передаточной функции или ее импульсной характери-

стики. Физическая интерпретация этих величин состоит в том, что они

определяют усиление энергии сигнала в системе, усредненное по времени

или частоте.

В середине XX в. были достигнуты серьезные прорывы в создании эф-

фективных методов решения матричных уравнений и, в частности, уравне-

ний Ляпунова и Сильвестра. Были разработаны методы ортогонализации,

среди которых следует упомянуть методы Бартельса-Стюарта и Голуба-

Нэша [39]. Первая работа по вычислению решений уравнений Ляпунова и

Сильвестра в виде интегралов от их матричной резольвенты в комплексной

плоскости была сделана в СССР М.Г. Крейном [40]. Д.К. Фаддеев разра-

ботал спектральное разложение резольвенты матрицы в ряд Фаддеева [41].

В [38, 42] были исследованы вопросы разрешимости матричных уравнений

Сильвестра-Ляпунова-Крейна, дихотомия и расслоения их спектров, а так-

же вычислительные проблемы их решения. В [43] обсуждаются структурные

свойства грамианов. В [44] предложены методы решения непрерывных и дис-

кретных матричных уравнений Ляпунова и Сильвестра, основанные на при-

ведении матрицы динамики к нормальной форме Жордана. За последние

30 лет интенсивно развивались вычислительные методы для решения мат-

ричных уравнений более сложных типов, имеющих все большую размерность

(см. ссылки в недавнем обзоре [45]).

Развивалась также и смысловая интерпретация метода Ляпунова. В част-

ности, интерпретация грамианов для уравнения (13), основанная на концеп-

ции “энергии”, в целом сохраняется и для параметрических линейных си-

стем с заменой матричной экспоненты e^At в (15) на фундаментальное реше-

ние Φ(0, t) однородного уравнения x = A (t) x [46, 47]. Понятие грамианов в

дальнейшем было обобщено и интерпретировано для обобщенных уравнений

Ляпунова, описывающих свойства детерминированных билинейных и стоха-

стических линейных систем, и получило название энергетических функцио-

налов [48, 49].

Спектральные свойства грамианов и энергетических функционалов бы-

ли эффективно использованы в методах уменьшения размерности моделей

(model order reduction - MOR). Среди них отметим метод сбалансированного

отсечения [50], метод использования кросс-грамианов [51] и различные их мо-

дификации (см. обзор [52]). В монографии [53], посвященной аппроксимации

больших динамических систем, были впервые получены сингулярные раз-

ложения бесконечных грамианов управляемости и наблюдаемости на основе

приведения матрицы динамики к диагональному виду. Более общая форма

спектральных разложений функций Ляпунова на компоненты, соответствую-

щие отдельным собственным числам и их парным комбинациям, была пред-

ложена в [54-56]. Каждый член в этих спектральных разложениях был назван

суб-грамианом. Суб-грамианы позволяют оценивать взаимодействия между

собственными модами системы. Они также дают возможность объединить

идеи модального анализа с методом оценки устойчивости по Ляпунову. Более

подробное описание этого метода и его применение к анализу устойчивости

электроэнергетических систем будет представлено в разделе 6 обзора.

3. Исследования неоднородностей в электроэнергетических системах

Структура электрической сети сложной ЭЭС всегда неоднородна. Неодно-

родность структуры фундаментальное свойство сложных ЭЭС, равно как

и других систем со сложной структурой. Важно выявлять эту неоднород-

ность, количественно ее оценивать и использовать при моделировании ЭЭС,

их исследовании и управлении их режимами [57-59].

В процессе функционирования ЭЭС подвергается возмущениям и реаги-

рует на них изменением переменных режима системы. Эта реакция опреде-

ляется как величиной и местом приложения возмущения, так и внутренни-

ми свойствами самой системы. Возмущения, локализуемые в разных местах

ЭЭС, вызывают более заметную, по сравнению с другими местами, реак-

цию переменных режима в одних и тех же узлах и связях системы. Такие

элементы, переменные режима которых в наибольшей степени реагируют на

происходящие в электрической сети возмущения, названы сенсорами. Неод-

нородности, приводящие к наличию сенсоров, определяются топологией и

параметрами схемы электрической сети.

Элементы сети, изменение параметров которых приводит к наибольшей

реакции сенсоров на возмущения, названы слабыми местами. К слабым ме-

стам относятся слабые связи и сечения, изменение сопротивлений в которых

позволяет изменить значения переменных режима сенсоров, а также слабые

узлы, если фиксация напряжений в них приводит к аналогичному эффекту.

Переменные режима в слабых узлах при увеличении загрузки электрической

сети раньше всего достигают критических значений с точки зрения наруше-

ния устойчивости ЭЭС по напряжению. По слабым связям и сечениям чаще

всего происходят нарушения устойчивости по углу и каскадное развитие ава-

рийных процессов [57, 58].

Рассмотрим на основе [60] методы выявления сенсоров и слабых мест в

сложных ЭЭС, используя в общем случае линеаризованные уравнения ба-

ланса мощностей в узлах, связывающие изменения модулей ΔU и фаз Δδ

узловых напряжений с изменениями активных ΔP и реактивных ΔQ нагру-

зок в виде

(

)

(

)

Δδ

ΔP

(17)

=J^-1

ΔU

ΔQ

где J - квадратная вещественная матрица Якоби

(

)

∂P/∂δ

∂P/∂U

(18)

J =

∂Q/∂δ

∂Q/∂U

Для выявления сенсоров на основе анализа матрицы Якоби может исполь-

зоваться ее сингулярное разложение [61]

∑

(19)

J = V ΣW^T = v_iσ_iwTi ,

i=1

где W = (w₁, . . . , w_n) и V = (v₁, . . . , v_n)

- ортогональные матрицы раз-

мера n × n каждая, i-е столбцы которых являются соответственно

i-м левым и i-м правым ортонормированными сингулярными векторами;

Σ = diag(σ₁,··· ,σ_n) - диагональная матрица сингулярных значений.

С учетом (19) выражение (17) может быть представлено как

(

)(

)

) (_n∑

Δδ

ΔP

(20)

v_iw^T/σi

ΔU

ΔQ

i=1

Если для упорядоченных по возрастанию сингулярных значений

σ₁ ≤ σ₂ ≤ ··· ≤ σ_n первое из них существенно меньше остальных, то при про-

чих равных условиях наибольший вклад в изменения модулей и фаз напря-

жений вносит первое слагаемое суммы в (20). Это позволяет представить (20)

в виде

(

)

(

)(1)

∑

Δδ

(

)

ΔP

(21)

ε_i =

v₁w^T/σ1

+ ε_i,

ΔU

ΔQ

i=2

∑n

где

ε_i - погрешность определения напряжений вследствие отбрасывания

i=2

в (20) n - 1 слагаемых.

Чем больше отличие первого сингулярного значения от остальных, тем

меньше погрешность из-за отбрасывания n - 1 слагаемых, и тем больше осно-

ваний делать выводы о характере поведения переменных режима, используя

только первое слагаемое, связанное с σ₁.

При отмеченных выше условиях очевидно, что максимальные изменения

модулей и фаз напряжений при изменениях нагрузок будут происходить в

узлах, соответствующих максимальным компонентам первого правого сингу-

лярного вектора,

(

)₍₁₎

(

)

(

)

Δδ

ΔP

(22)

= v₁ΔS⁽¹⁾ =

v₁w^T/σ1

ΔU

ΔQ

Введение скалярной величины ΔS⁽¹⁾, названной в [57] первым обобщенным

возмущением, позволяет установить, что максимальные изменения модулей

и фаз напряжений будут происходить в сенсорных узлах.

Оценка неоднородности электрической сети связана с определением сла-

бых мест сети, от которых в большей степени зависит чувствительность

ЭЭС. Слабые узлы и связи при учете инвариантных к режиму факторов

могут быть найдены путем исследования следующих производных:

∂σ₁

(23)

= ±v²ⁱ¹,

∂γ_si

∂σ₁

(24)

= (v_i1 + v_j1)²,

∂γ_ij

где γ_ij и γ_si - проводимость линии ij и шунта в узле i. Здесь и далее двойным

индексом ij будем обозначать величины, которые относятся к связи между

узлами i и j (потери мощности, напряжения и т.д.).

Изменения перетоков активной и реактивной мощности в связи ij ΔP_ij =

= (∂P_ij /∂δ_ij ) Δδ_ij и ΔQ_ij = (∂Q_ij /∂U_ij ) ΔU_ij во многом определяются значе-

ниями Δδ_ij и ΔU_ij, которые можно найти по разности компонент первого

правого сингулярного вектора (v_δi1 - v_δj1) и (v_Ui1 - v_Uj1), соответствующих

фазам и модулям узловых напряжений в i-м и j-м узлах, и могут также

использоваться как показатели слабости связи. Чем на большую величину

при увеличении перетока по связи изменяются Δδ_ij и ΔU_ij, тем быстрее бу-

дет достигнут в ней предел передаваемой мощности и наступит вырождение

матрицы Якоби.

Слабой может быть названа связь ij, изменение проводимости которой

приводит к максимальному изменению минимального сингулярного значе-

ния σ₁:





∂²P

(

)





∂σ₁

∂J



∂δ ∂γ_ij

∂U ∂γ_ij



v_1δ

(25)

=w^T

v₁ = (w_1δ,w_1U )



∂γ_ij

¹ ∂γ_ij



∂²Q



v_1U

∂δ ∂γ_ij

∂U ∂γ_ij

Из выражения (25) следует, что на минимальное сингулярное значение

оказывают влияние не только проводимости связей, но и переменные текуще-

го режима. Ослабление связи и, соответственно, ухудшение обусловленности

матрицы Якоби, связанные с изменением режима ЭЭС (например, его утя-

желением, в результате которого может произойти нарушение статической

устойчивости по углу или по напряжению), может быть ликвидировано со-

ответствующими управлениями с использованием устройств FACTS (flexible

alternating current transmission system гибких систем передачи переменного

тока), накопителей электроэнергии и других средств.

Таким образом, приведенный подход позволяет обоснованно выявлять сла-

бые связи в структуре электрической сети ЭЭС и определять тем самым силь-

но связанные подсистемы, объединяемые в общую электросетевую структу-

ру ЭЭС. Как отмечалось выше, нарушения статической устойчивости ЭЭС и

каскадное развитие аварий при изменениях режима будут происходить преж-

де всего по слабым связям и менее вероятно по более сильным связям внутри

сильно связанных подсистем. Поэтому исследования статической устойчи-

вости ЭЭС необходимо производить прежде всего по отношению к слабым

связям.

Структурная неоднородность ЭЭС определяет также специфику движе-

ния генераторов системы в переходном электромеханическом процессе, а

именно когерентное их движение (условие когерентности движения генера-

торов представлено далее выражением (26)). Когерентность движения гене-

раторов является объективным основанием для упрощения математической

модели динамики ЭЭС посредством агрегирования (объединения) генерато-

ров сильно связанных подсистем. Замена группы генераторов одним экви-

валентным вносит погрешность в математическую модель динамики ЭЭС,

определяемую пренебрежением межмашинными колебаниями. Погрешность

тем меньше, чем более когерентным является движение объединяемых ге-

нераторов. Поэтому требуется разработка методов выявления когерентности

движения генераторов ЭЭС.

Для решения перечисленных задач выявления когерентности движения

генераторов в сильно связанных подсистемах и агрегирования когерентных

групп генераторов, а также оценки статической устойчивости ЭЭС по отно-

шению к слабым связям и определения управляющих воздействий для обес-

печения устойчивости нашли применение методы модального анализа, рас-

смотренные в последующих разделах 4 и 5 данной статьи.

4. Выявление когерентности движения генераторов и

упрощение моделей электроэнергетических систем

При анализе устойчивости сложных многомашинных ЭЭС и обосновании

мероприятий по обеспечению их устойчивости исследователь сталкивается с

двумя противоречивыми проблемами: с одной стороны, очевидна необходи-

мость достаточно детального моделирования элементов (прежде всего, син-

хронных генераторов) и структуры системы для того, чтобы обоснованно

учесть в модели системы все влияющие на ее устойчивость факторы; с дру-

гой стороны, получаемая в результате математическая модель сложной ЭЭС

в целом в виде совместной системы нелинейных дифференциальных и алгеб-

раических уравнений вида (1) становится необозримой и часто неподъемной

для исследований, особенно в условиях дефицита времени при обосновании

управляющих воздействий в цикле оперативного управления ЭЭС, когда в те-

чение 10-15 мин требуется провести десятки расчетов по оценке статической

устойчивости сложной ЭЭС при различных условиях и выбору управляющих

воздействий для обеспечения устойчивости системы. В результате объективно

возникает задача обоснованного упрощения математической модели динами-

ки ЭЭС [25, 59, 62, 63] и др. Ключевым этапом упрощения математической

модели является выявление когерентности движения генераторов в переход-

ном процессе и представление (агрегирование) каждой из когерентных групп

генераторов одним эквивалентным генератором.

Когерентность движения генераторов i и j (до недавнего времени в рус-

скоязычной литературе использовался эквивалентный термин “синфазность”)

определяется как

(26)

δ_i (t) - δ_j

(t) = const,

где обозначения соответствуют (4).

Первоначально задача выявления когерентности движения генераторов

решалась с использованием приближенных, часто эмпирических признаков

и критериев. Новым качественным шагом явилось введение понятий локаль-

ной и глобальной когерентности движения генераторов [64]. Локальная коге-

рентность определяется структурными свойствами подсистемы, генераторы

которой тестируются на когерентность движения, и возмущениями; глобаль-

ная когерентность лишь структурными свойствами, т.е. она инвариантна к

возмущениям. Структурные свойства подсистемы отражают неоднородность

структуры ЭЭС сильные связи в подсистеме, определяющие когерентность

движения ее генераторов, и слабые связи этой подсистемы с оставшейся ча-

стью системы (см. раздел 3) [58, 59, 65].

Развитие этого направления связано с использованием преобразования ко-

ординат [3, 66]

(27)

{δ_i, δ_j} -→ {δ_ic, δ_jc,δ_c

где δ_ic - угол ротора генератора i по отношению к центру инерции подси-

стемы δ_c. Показано, что центры инерции когерентных подсистем совершают

медленное движение, а координаты δ_ic - быстрые движения [62, 67, 68]. На

этой основе введено понятие медленной когерентности, оценки которой инва-

риантны к возмущениям [69, 70].

Рассмотрим, используя [71], метод выявления когерентности движения на

основе анализа межсистемных колебаний с помощью селективного модаль-

ного анализа. При этом межсистемные моды колебаний определяются фак-

торами участия (10), матрицу которых обозначим в соответствии с [72]:

(28)

PF = [pf₁,pf₂,...,pf_n

где





v¹ⁱw







v²ⁱw²ⁱ



(29)

pf_i =



,∀ i ∈ [1,...,n].





vⁿⁱwⁿ

Абсолютные величины факторов участия, связанные с углами роторов

синхронных генераторов классической модели ЭЭС (4), ранжированные в

соответствии с их значениями, обозначены в (30) как P F^sortδ. Окончательно

минимальное количество j генераторов, удовлетворяющее требованию, сфор-

мулированному в (30), определяется для каждой моды, где g - общее коли-

чество генераторов:

∑ PFsortδ(i)

i=1

(30)

> c,

∀ j ∈ [1,g].

∑

PFsortδ(i)

i=1

Значение c экспертно определяется в [71] величиной 0,9. Моды с более

высоким значением индекса j являются кандидатами на межсистемные ко-

лебания.

После идентификации межсистемных мод производится формирование

групп (кластеров) генераторов, которые определяются следующими требо-

ваниями:

когерентность движения генераторов в группе;

электрическая близость генераторов в группе.

Алгоритм идентификации когерентности работает при заданном количе-

стве кластеров. Кластеры формируются по критерию минимизации суммы

квадратов расстояний от центроида кластера [73].

В результате формируются два кластера для каждой межсистемной моды.

Два кластера необходимы для того, чтобы учесть взаимные колебания мод.

При этом с точки зрения принципа формирования кластеров предполагается

классическая ситуация в кластерном анализе, когда задается число класте-

ров (в данном случаев два), а алгоритм кластеризации сам выбирает, какой

объект куда отнести. Если существуют проблемы кластеризации собствен-

ных векторов в два независимых кластера (т.е. группировка нереалистична),

формируются меньшие кластеры с комбинированием их по два кластера для

каждой межсистемной моды.

Может оказаться, что когерентные генераторы в кластере расположены в

разных географических зонах. Для исключения таких ситуаций анализирует-

ся электрическая близость генераторов в кластере по соотношению собствен-

ных и взаимных проводимостей генераторных узлов классической модели

ЭЭС. Если генераторы в кластере располагаются в разных географических

зонах, рассматриваемый кластер разбивается на соответствующее количество

кластеров.

Динамический эквивалент когерентной группы генераторов (эквивалент-

ный генератор) определяется различными методами, например в [74] ди-

намическим методом REI.

Рассмотрим еще некоторые характерные подходы к выявлению когерент-

ности движения генераторов и формированию упрощенных моделей подси-

стем ЭЭС, прежде всего обзор возможных методов построения динамических

эквивалентов ЭЭС [75], подготовленный рабочей группой IEEE PES, а также

обзор [76].

В [75] при формировании низкочастотных эквивалентов рассматривается

использование селективного модального анализа выделенной для упрощения

линеаризованной части ЭЭС, в том числе для выявления когерентности дви-

жения генераторов. При этом отмечаются особенности подхода при сохране-

нии структуры системы. Эквивалентная модель сокращенной сети должна

правильно отражать ее реакцию; для ее настройки используется соответст-

вующая оптимизационная процедура.

В [76] первоначально ЭЭС разбивается на исследуемую и внешнюю под-

системы, эквивалентная модель рассматривается для внешней подсистемы.

Для этой подсистемы решается задача выявления когерентности движения

генераторов, и среди представленных методов идентификации когерентно-

сти рассматривается использование селективного модального анализа в виде,

близком описанному выше. Для построения внешнего эквивалента применя-

ются различные подходы, один из них основан на использовании факторов

участия, рассматриваемых в селективном модальном анализе, следующим

образом [77, 78].

В когерентной группе генераторов выбирается генератор с наибольшим

значением фактора участия, причем в качестве допущения принимается, что

этот генератор в наибольшей мере отражает динамические характеристики

когерентной группы. Остальные составляющие матрицы участия исключа-

ются из рассмотрения. Эквивалентная постоянная инерции ротора эквива-

лентного генератора определяется формулой

∑

(31)

T_eq =

h_jT_j,

jǫG_k∑

(32)

h_j = P_kj/

P_kj,

jǫG_k

где G_k - множество генераторов в группе k; P_kj - мощность генератора j в

группе k.

В [79] представлен метод синхронного модального эквивалентирования

для динамических эквивалентов, сохраняющих структуру системы. Выде-

ляется исследуемая подсистема и одна или несколько внешних подсистем,

для которых идентифицируются когерентные группы генераторов на основе

оценки медленной когерентности с использованием селективного модально-

го анализа. Для каждой внешней подсистемы оставляется один генератор,

имеющий наибольшее значение фактора участия. Этот генератор описывает-

ся исходной моделью. Динамика остальных генераторов внешних подсистем

представляется линеаризованной моделью в пространстве состояний.

В [80] предлагается оценка медленной когерентности движения генерато-

ров ЭЭС на основе межсистемных модальных характеристик и иерархиче-

ской восходящей классификации. Межсистемные модальные характеристики

получаются с использованием преобразования Тэйлора-Фурье, которое инте-

грирует подпространства Тэйлора и Фурье в общее пространство. В резуль-

тате преобразование Тэйлора-Фурье образует некоторый фильтр, который

путем спектрального разложения колебательных мод выделяет моды, наиме-

нее восприимчивые к условиям наличия шумов. Иерархическая восходящая

классификация использует метод Эльбоу для выделения когерентных групп

генераторов.

В [81] представлен метод идентификации когерентных групп генераторов

на основе сингулярного разложения (singular value decomposition

SVD)

матрицы ЭЭС. Посредством этого метода вектор углов роторов генераторов

высокой размерности проецируется на подпространство низкой размерности.

В результате получаются коэффициенты подпространства как ключевые ин-

дикаторы когерентности. Затем идентификация когерентности осуществля-

ется запуском кластеризации полученных коэффициентов методом k-сред-

них. Снижение размерности задачи для алгоритма кластеризации методом

SVD ускоряет идентификацию когерентности. Поскольку предложенный ме-

тод использует данные об углах роторов генераторов в режиме реального

времени, он имеет хорошие перспективы для реализации идентификации ко-

герентности в реальном времени.

В [82] рассматривается задача формирования динамической эквивалент-

ной модели участка распределительной сети с использованием метода Прони

(Prony analysis) и нелинейной оптимизации методом наименьших квадратов.

Метод Прони оперирует линейной суммой экспоненциальных функций от соб-

ственных значений системы и используется для начальных оценок парамет-

ров модели, представляемой зависимостью Y от X, которая в дальнейшем

оптимизируется нелинейным методом наименьших квадратов. В результате

оптимизации определяются амплитуда, фаза, частота и демпфирующий ко-

эффициент как параметры искомой модели, которая представляется в виде

передаточной функции.

Как видно из изложенных в данном разделе результатов, различные мо-

дификации селективного модального анализа, наряду с другими методами,

широко используются как для идентификации когерентных групп генера-

торов, так и при определении параметров упрощенных моделей подсистем,

внешних по отношению к исследуемой подсистеме.

5. Исследование устойчивости электроэнергетических систем

и управление ими

Как следует из условия (7), оценка статической устойчивости ЭЭС заклю-

чается в проверке выполнения этого условия для рассматриваемого состояния

системы. При выборе управлений для обеспечения устойчивости ЭЭС задача

заключается в том, чтобы за счет управлений обеспечить выполнение усло-

вия (7). Одновременно требуется, чтобы выбранное управление обеспечивало

хорошее демпфирование колебаний, вызываемых возмущениями. Методы се-

лективного модального анализа оказались эффективным инструментом для

решения двух названных задач. Тем не менее математический аппарат мо-

дального анализа применительно к решению проблем устойчивости ЭЭС раз-

вивается. В данном разделе, не претендуя на полноту, приведем некоторые

результаты в этом направлении.

Рассмотрим работы [83-89], характеризующие возрождение интереса к

модальному анализу для исследований устойчивости ЭЭС у российских

специалистов-электроэнергетиков.

В [83] изучается квадратическая проблема собственных значений с приме-

нением к различным задачам электроэнергетических систем. Соотношения

(7), (9) представляют так называемую стандартную проблему собственных

значений. В отличие от нее в квадратической проблеме собственных значений

(КПСЗ) изучаются свойства n × n матричных полиномов степени 2 (квадра-

тических пучков матриц)

(33)

Q (λ) = λ²

M + λC + K.

КПСЗ заключается в определении комплексных скаляров λ и ненулевых

комплексных векторов v и w, удовлетворяющих алгебраическим уравнениям

(34)

Q (λ) v = 0, w^T

Q(λ) = 0.

Использование КПСЗ дает определенные преимущества при анализе

устойчивости линейных динамических систем по сравнению с решением стан-

дартной проблемы собственных значений.

В [83] приводятся примеры использования КПСЗ в следующих электро-

энергетических задачах: исследование устойчивости “в малом” сложной ЭЭС;

анализ устойчивости валопроводов мощных турбоагрегатов; анализ сейсми-

ческой устойчивости арочных плотин гидроэлектростанций; экстраполяция

поведения ЭЭС; оценивание состояния ЭЭС. Рассматриваются проблемы ли-

неаризации и численных методов решения КПСЗ. Обсуждаются понятия

спектра и псевдоспектра ЭЭС. Понятие спектра определено в разделе 2 при

рассмотрении выражения (7). Теория псевдоспектров числовых матриц изу-

чает изменения в расположении собственных значений, соответствующих ис-

ходной матрице, под влиянием возмущений.

Работа [84] посвящена оценке влияния возмущений на устойчивость ЭЭС.

Отмечено, что элементы матрицы A в моделях реальных ЭЭС вида (5) опре-

деляются на основе физических наблюдений и измерений, а также расчетов

по конструктивным параметрам элементов системы, и поэтому они содержат

погрешности. Вследствие этого реальная матрица линеаризованной модели

ЭЭС выглядит как A + Δ, а сама модель может быть записана в виде

(35)

x(t) = (A + Δ)x(t).

Здесь ΔǫR^n×n - матрица неизвестных возмущений, содержащая помимо пе-

речисленных факторов также и реальные возмущения.

С помощью псевдоспектров формулируются и решаются две задачи:

1) можно ли определить, каким образом изменятся собственные значения

матрицы A, и останется ли ЭЭС, описываемая моделью (35), асимптотически

устойчивой при некоторых известных характеристиках матрицы возмуще-

ний Δ (например, максимальные значения модулей или норма матрицы Δ);

2) насколько велико может быть возмущение Δ, чтобы ЭЭС, описываемая

моделью (35), оставалась асимптотически устойчивой.

Работа [85] рассматривает проблемы нелинейного модального взаимодей-

ствия в ЭЭС. Показано, что эффективным инструментом анализа нелинейно-

го модального взаимодействия является метод нормальных форм Пуанкаре-

Дюлака, дающий возможность в условиях отсутствия сильного резонанса мод

колебаний посредством невырожденного нелинейного преобразования выпол-

нять линеаризацию исходной нелинейной модели ЭЭС. Делается вывод, что

полученные таким способом модели ЭЭС в виде нормальных форм могут

быть использованы при решении задач анализа устойчивости системы, а так-

же синтеза автоматических регуляторов (например, системных стабилизато-

ров) модальными методами.

Статья [86] посвящена анализу достоинств модального метода для ана-

лиза устойчивости ЭЭС. Отмечается, что возможности модального подхода

чрезвычайно широки, и он постоянно активно развивается. С его помощью

эффективно идентифицируются критические с точки зрения возможной по-

тери устойчивости колебания в ЭЭС. Модальный подход дает возможность

использовать разнообразные методы синтеза законов управления.

Статья [87] в определенном смысле обобщает результаты, полученные в

[83-86]. Предложено в качестве обобщенной переходной функции возмущен-

ного движения ЭЭС использовать норму матричной экспоненты. На основе

понятий радиуса устойчивости и псевдоспектра матрицы Якоби определе-

ны необходимые и достаточные условия существования запасов статической

устойчивости. Показаны возможности и преимущества совмещенного модаль-

ного и линейно-квадратического подходов при синтезе централизованного и

децентрализованного управлений, а также перспективы анализа нелинейных

колебаний и обеспечения динамической устойчивости ЭЭС.

В [88] рассматривается задача выбора координированного противоава-

рийного управления устройствами FACTS и традиционными дискретными

устройствами аварийного отключения генераторов и нагрузок для обеспе-

чения динамической устойчивости ЭЭС, при этом оптимизация настройки

пропорционально-интегрального регулятора FACTS обеспечивает приемле-

мое демпфирование колебаний в системе, которое контролируется положени-

ем собственных значений матрицы линеаризованной модели ЭЭС. В качестве

критерия оптимизации рассматривается минимум аварийного недоотпуска

электроэнергии потребителям.

Следует обратить внимание также на совместное российско-итальянское

исследование медленных межсистемных колебаний в супербольшом энерго-

объединении, представленном совместно работающими объединенными ЭЭС

(ОЭЭС) в составе систем континентальной Европы и ОЭЭС стран бывшего

СССР [89]. Особенностью линеаризованной модели этого суперэнергообъеди-

нения было представление в ней современных элементов, таких как линии

электропередачи и вставки постоянного тока, устройства FACTS, системные

стабилизаторы и др. Исследования показали, что внутри ОЭЭС континен-

тальной Европы и бывшего СССР могут возникать слабо-демпфированные

низкочастотные моды колебаний, они также возникают между зонами раз-

ных ОЭЭС в сценарии совместной работы двух ОЭЭС на переменном токе.

Использование устройств FACTS при соответствующих законах их регулиро-

вания позволяет демпфировать эти колебания.

В [90] авторы предлагают общее нелинейное модальное представление

крупномасштабных ЭЭС. Показаны возможности использования для модели-

рования нелинейных систем методологии нормальных форм векторного поля.

Для корректного представления поведения ЭЭС, ее колебаний и взаимодей-

ствия мод используется новый для электроэнергетики так называемый метод

модальных рядов в форме рядов Тэйлора, имеющих полиномиальные нели-

нейности, которые характеризуют отклики нелинейной системы посредством

соотношений в замкнутой форме. Этот метод развивает концепции теории

линейных систем для понимания и анализа нелинейных систем, а также для

конструирования систем управления ими.

Вследствие нестабильности рынка электроэнергии и растущего спроса на

электроэнергию современные ЭЭС вынуждены работать все ближе к преде-

лам своей устойчивости. В свою очередь, это делает систему более уязвимой

и увеличивает риски потери устойчивости. Обычная практика оценки устой-

чивости и противоаварийного управления при планировании режимов и ана-

лизе возможных аварийных ситуаций (contingency analysis) включает задачу

выявления и оценки критических колебаний и соответствующих им сечений

сети, опасных с точки зрения потери устойчивости (слабых сечений - см. раз-

дел 3). При этом критические колебания определяются на основе анализа соб-

ственных чисел, а для нахождения критических линий и узлов используются

собственные векторы и матрицы чувствительностей токов и напряжений к со-

ответствующим изменениям переменных состояния (sensitivity analysis). При-

мер методологии анализа чувствительностей для системы противоаварийного

управления в случае неожиданного возникновения межрайонных колебаний

описан в [91], где также приводятся результаты тестирования этой системы

в большой реальной ЭЭС в Китае. Анализ чувствительностей к собствен-

ным модам позволяет также выявлять на графе электрической сети центры

и “коридоры” критических качаний, опасных для устойчивости системы [92].

Традиционно устойчивость ЭЭС оценивается с помощью численного ин-

тегрирования ее модели в режиме офлайн для разных сценариев аварий, ре-

жимов функционирования и топологий сети. Существенно ускорить такие

расчеты (как в режиме офлайн, так и в режиме реального времени) мож-

но с помощью селективного модального анализа (СМА), который позволяет

в итерационном процессе уменьшать размерность модели ЭЭС [12, 13] (см.

раздел 4). На каждой итерации отбор генераторов для сокращенной модели

происходит на основе величины соответствующих факторов участия. Напри-

мер, в [93] СМА позволяет настолько уменьшить модель ЭЭС, чтобы к ней

можно было применить метод линейных матричных неравенств (LMI) и по-

строить робастный стабилизатор для подавления межрайонных колебаний.

Повышенное использование пропускных способностей линий электропере-

дачи в последние десятилетия делает актуальной проблему неустойчивости

по напряжению, которая развивается в лавину напряжения (voltage collapse).

Для анализа устойчивости по напряжению факторы участия (ФУ) были опре-

делены для системы алгебраических уравнений потокораспределения как по-

казатели, которые измеряют вклад критической моды Якобиана уравнений

потокораспределения (power flow Jacobian) в переменную состояния систе-

мы [94] (см. (17)).

Кроме того, для задачи потокораспределения были определены как ФУ

“мод в состояниях”, так и ФУ “состояний в модах” (ФУСМ) [24]. При этом

ФУСМ зависят не только от переменных состояния в узлах сети, но и от

вводимых активных и реактивных мощностей на линиях. Поэтому ФУСМ

непосредственно показывают, какое необходимо сделать добавление актив-

ной мощности и компенсацию реактивной мощности, чтобы повысить устой-

чивость системы по напряжению.

Традиционно устойчивость “в малом” обеспечивается оптимальным раз-

мещением системных стабилизаторов (PSS) и настройкой их управляющих

сигналов. В последние десятилетия контроллеры FACTS также признаны эф-

фективным инструментом демпфирования слабо затухающих низкочастот-

ных электромеханических колебаний, которые обычно имеют место в ЭЭС

с длинными линиями передачи в условиях их сильной нагрузки. Тем не ме-

нее известно, что демпфирующий эффект контроллеров FACTS сильно зави-

сит от их размещения и от настройки их систем управления. Соответствую-

щие задачи могут эффективно решаться методами модального анализа. По-

видимому, впервые метод факторов участия был применен для определения

оптимального размещения PSS на графе электрической сети в [95]. В [96]

факторы участия для критических мод используются для определения опти-

мального размещения статических регулируемых компенсаторов (staticvar-

compensators SVCs) с целью стабилизации напряжения. В [97] решается

аналогичная задача оптимального расположения SVC и выбора управляю-

щих сигналов в ЭЭС. Обширный обзор литературы на тему применения мо-

дального анализа для определения оптимального расположения и настройки

управления контроллеров FACTS и PSS приведен в [26, раздел 3.1].

Особый вид управления в ЭЭС связан с разбиением больших взаимосвя-

занных электрических сетей на слабо связанные зоны, которыми можно бы-

ло бы легче и эффективнее управлять (см. также раздел 3 данной статьи).

Такое разбиение основано на теории графов и логически приводит к мето-

ду спектральной кластеризации [98, 99]. Как правило, разделение сети мо-

жет обеспечить гибкое, распределенное и адаптивное управление системой

электроснабжения крупного региона в рамках концепции интеллектуальных

ЭЭС. Это позволяет одновременно представлять различные уровни кластери-

зации и выявлять количественную зависимость параметров получаемых мо-

делей графов. Для организации и визуального представления иерархической

структуры электрической сети используют дендрограммы, т.е. графический

метод представления результатов иерархической кластеризации, который по-

казывает степень близости отдельных энергетических объектов и кластеров,

а также наглядно демонстрирует в графическом виде последовательность

их объединения или разделения. Дендрограммы хранят информацию о даль-

нейших разделениях (или объединениях) электрической сети на более мелкие

(более крупные) острова. В методе спектральной кластеризации используют-

ся собственные числа и векторы лапласовской матрицы электрической сети,

описывающие ее электрическую связность и потокораспределение. Норма-

лизованные координаты дендрограммы позволяют географически привязать

вершины и ребра графа к структуре электрической сети. В [99] технологии

спектральной кластеризации были продемонстрированы на примерах тесто-

вой модели IEEE со 118 узлами, а также на модели ЭЭС Польши.

В [100] рассматривается задача построения модели ЭЭС пониженного по-

рядка для настройки параметров системных стабилизаторов в крупных ЭЭС.

Для решения этой задачи реализуются алгоритмы оптимизации, применяе-

мые для упрощенной модели ЭЭС, в том числе модели с неустойчивыми

полюсами. Метод построения упрощенной модели использует решение мат-

ричного уравнения Ляпунова высокой размерности на основе метода рас-

ширенных подпространств Крылова, а также разреженные матрицы Якоби

линеаризованной модели системы. В [101] рассматривается задача создания

глобального демпфирующего регулятора для демпфирования межрайонных

колебаний в крупных континентальных ЭЭС. Особенностью подхода явля-

ется использование систем мониторинга переходных режимов (СМПР) в ка-

честве устройств измерения состояний энергетической системы и интегра-

ция в регулятор существующих систем регулирования частоты в отдельных

районах ЭЭС. Центральный регулятор построен по архитектуре LQG (Linear

Quadratic Gaussian architecture) многосвязного регулятора, осуществляющего

координирующее управление регуляторами частоты отдельных энергорайо-

нов. Для настройки последних используется система оптимизации на прин-

ципах систем искусственного интеллекта оптимизации роя частиц (Particle

Swarm Optimization). Следует отметить, что в литературе известны и дру-

гие подходы к решению данной задачи, начиная от адаптивного робастного

ПИД-регулятора и заканчивая сложными H2/Hinf регуляторами [102].

Работа [103] посвящена анализу устойчивости торсионных субсинхронных

колебаний генераторов основной электрической сети, вызванных присоеди-

нением к ней ветропарков. Показано, что причиной появления слабодемпфи-

рованных и даже неустойчивых торсионных колебаний турбин генераторов

является резонансное взаимодействие мод отдельных генераторов основной

сети с модами генераторов ветропарков. В работе предложен критерий оцен-

ки риска угрозы потери устойчивости колебаний, который основан на вычис-

лении вычетов передаточных функций объединенной ЭЭС.

В [55] метод спектральных разложений грамианов был применен для ана-

лиза статической устойчивости ЭЭС. На простом примере двухрайонной ЭЭС

с четырьмя электростанциями было показано, что нормы членов спектраль-

ного разложения позволяют идентифицировать как локальные электромеха-

нические моды, так и неустойчивости, вызванные межрайонными колебания-

ми. Работа [104] посвящена анализу устойчивости ЭЭС, основанному на спек-

тральном разложении квадрата H₂-нормы передаточной функции системы.

Поведение отдельных компонентов разложения позволяет на ранней стадии

выявить и локализовать угрозу нарушения устойчивости. В тестовом числен-

ном эксперименте показано, что слабозатухающие низкочастотные колебания

являются результатом взаимодействия между локальной подсистемой остро-

ва Русский и материковой энергетической системой. Такие колебания могут

представлять наибольшую опасность для развития каскадной аварии и со-

здавать биения с характерной разностной частотой.

6. Метод спектральных разложений функций Ляпунова

в исследованиях электроэнергетических систем

В этом разделе рассматривается метод спектральных разложений функ-

ций Ляпунова, предложенный в [54, 55], и его применение для исследова-

ния динамического поведения ЭЭС. Интерес к этому методу обусловлен тем,

что он имеет хорошую перспективу, чтобы стать основой для естественно-

го объединения двух основных методологий при исследовании устойчивости

ЭЭС, а именно, модального анализа и методов Ляпунова.

Рассмотрим динамическую систему (3) или (5) и алгебраическое уравне-

ние Ляпунова (13), которое используется для анализа ее стационарного со-

стояния. Для простоты дальнейшего изложения будем считать, что матрица

системы A имеет простой спектр σ(A). Определим матричные вычеты R_i как

коэффициенты в разложении резольвенты матрицы A:

R₂

R_n

(36)

(Is - A)^-1 =R1

+···+

s-λ₁

s-λ₂

s-λ_n

Если λ^∗i + λ_j = 0 для всех λ_i, λ_j ∈ σ(A), то для любой матрицы Q существует

единственное решение уравнения Ляпунова (13), которое можно представить

в виде [56]

∑

(37)

P =

P_i =

P_ij,

P_i =

P_ij,

i=1

i,j=1

j=1

{

}

{

}

-1

(38)

P_i = - R^∗iQ(λ^∗i

I + A)^-1

P_ij =

R^∗

QR_j

Herm

λ^∗

+λ_j

Herm

где {· · · }_Herm - эрмитовая часть матрицы, а R_i и R_j - матричные вычеты,

определенные в (36) и соответствующие собственным числам λ = λ_i и λ = λ_j.

Каждый чле

P_i или P_ij в разложениях (37), (38) называется субграмианом.

Он характеризует вклад соответствующих собственных мод или их пар в

вариацию энергии системы, определяемую соответствующим грамианом на

бесконечном интервале времени. В частности, нормы субграмианов увели-

чиваются, если частоты соответствующих им колебательных мод сближают-

ся. Таким образом, найденные разложения открывают возможность количе-

ственной оценки резонансных модальных взаимодействий, происходящих в

системе.

Спектральные разложения вида (37) для уравнения (13) были обобщены

в [56] на более широкий класс решений матричных уравнений М.Г. Крейна,

который в качестве частных случаев включает непрерывные и дискретные

уравнения Ляпунова и Сильвестра. В [105] эти разложения были также рас-

пространены на случай обобщенных уравнений Ляпунова вида

∑

(39)

A^TP + PA + N^TγPN_γ = -Q, где Q = Q^T

> 0,

γ=1

которые характеризуют свойства управляемости и наблюдаемости векто-

ра состояний детерминированной билинейной системы

[48], а матрицы

N_γ ∈ R^N×N учитывают билинейные компоненты. Такие же уравнения (39)

возникают при анализе устойчивости и стабилизации стохастических линей-

ных систем [49, 106].

В [104, 107] метод субграмианов был применен для исследования устой-

чивости модели линейных непрерывных динамических систем, функциони-

рующих вблизи границы устойчивости. Эффективным методом анализа ста-

тической устойчивости ЭЭС является выделение доминирующих слабоустой-

чивых мод и построение асимптотических моделей субграмианов для групп

мод. Получены асимптотические выражения субграмианов в случае наличия

одной, двух или трех доминирующих слабоустойчивых мод. Разработанный

метод был применен для анализа статической устойчивости модели реаль-

ной ЭЭС на острове Русский. При этом была подтверждена принципиальная

возможность использования субграмианов для идентификации резонансно-

го взаимодействия между слабоустойчивыми собственными осцилляциями в

системе, находящейся вблизи границы устойчивости.

В статье [108] были получены спектральные разложения для решения диф-

ференциальных уравнений Ляпунова и Сильвестра с учетом ненулевых на-

чальных условий. Эти решения называются конечными грамианами. В отли-

чие от спектральных разложений бесконечных грамианов в (37) полученные

разложения зависят от времени и позволяют анализировать устойчивость

нестационарных систем, а также развитие неустойчивости в системе, поте-

рявшей устойчивость. В численном эксперименте с моделью электросистемы

острова Русский было показано, что предложенные разложения можно ис-

пользовать для предсказания промежутка времени, в течение которого мед-

ленные переходные процессы приведут систему к нарушению устойчивости.

Таким образом, спектральный анализ конечных грамианов позволяет полу-

чить прогноз риска на заданном временном отрезке и оценивать устойчивость

ЭЭС в случае медленных переходных процессов.

В [109] сформулирована и решена задача разработки принципов построе-

ния и алгоритмов иммунной интеллектуальной системы мониторинга стати-

ческой устойчивости ЭЭС на основе методов ассоциативного поиска, мультиа-

гентного управления и спектральных разложений грамианов. Основная идея

данного подхода состоит в формировании текущей дискретной динамической

модели на основе методов ассоциативного поиска, основанного на использо-

вании технологических архивов и интеллектуального анализа данных, и фор-

мировании оценки риска потери устойчивости ЭЭС с помощью спектральных

разложений грамианов для текущей модели. Виртуальный анализатор рис-

ка потери устойчивости реализуется на основе использования современных

методов идентификации и современных технологий обработки данных.

В статье [110] cформулирована и решена задача спектрального разло-

жения решения дискретных матричных уравнений Ляпунова для дискрет-

ных билинейных динамических систем. Для построения решения использо-

вана предложенная в [111] итеративная процедура, состоящая в том, что на

каждой итерации решается линейное матричное уравнение Ляпунова. Гра-

миан билинейной системы, являющийся решением обобщенного уравнения

Ляпунова, представляет собой матричный ряд Вольтерра. Выведены форму-

лы спектральных разложений итеративного процесса вычисления грамианов

управляемости и наблюдаемости дискретных билинейных систем. Получен-

ные спектральные разложения дают возможность реализовать процедуры

сбалансированного отсечения в задаче упрощения математической модели

билинейной системы с учетом спектральных свойств матрицы динамики ее

линейного приближения, а также вычислять энергетические функционалы с

помощью предложенных итеративных процедур.

В [113] впервые субграмианы были соотнесены с переменными состояния

системы и проведено их сравнение с соответствующими факторами участия.

В численном эксперименте факторы участия и субграмианы были применены

для селективного модального анализа тестовой модели IEEE с 57 узлами.

Было отмечено, что наиболее влиятельные моды в смысле факторов участия

необязательно важны в смысле их участия в усилении энергии возмущений в

системе и наоборот. Это наблюдение открывает возможность создания нового

направления в модальном анализе, который бы включал в себя принципы

устойчивости Ляпунова на основе метода субграмианов [113]. Рассмотренные

первые результаты использования метода субграмианов дают представление

о перспективности этого направления применительно к задачам исследования

устойчивости ЭЭС.

7. Заключение

Статья содержит обзор общего развития спектральных и модальных ме-

тодов для оценки устойчивости динамических систем, а также их примене-

ния для мониторинга и управления устойчивостью больших сложных ЭЭС.

Рассмотрены практические задачи мониторинга ЭЭС, такие как выявление

критических межрайонных колебаний, неоднородностей структуры, слабых

узлов и линий в сети, исследование когерентности движения генераторов

и упрощение моделей ЭЭС. Рассмотрены также основные задачи управле-

ния устойчивостью в ЭЭС, такие как синтез и настройка автоматических

регуляторов, их оптимальное размещение в сети для подавления межрайон-

ных колебаний, координация противоаварийного управления между разными

устройствами, управление устойчивостью по напряжению путем компенсации

активной и реактивной мощностей на линиях, оптимальное разбиение сети

на острова при авариях. Помимо традиционных подходов, основывающих-

ся на линеаризованной модели системы, в обзоре также приводятся их рас-

ширения, позволяющие учитывать разные нелинейные эффекты. Например,

рассматривается использование квадратичной проблемы собственных чисел

и псевдоспектра матрицы динамики, метод нормальных форм Пуанкаре, ис-

пользование спектральных разложений функций Ляпунова в модальном ана-

лизе. Приведенные в данной статье материалы демонстрируют интенсивное

развитие методов модального анализа динамических систем вообще и актив-

ное применение и модернизацию этих методов для решения проблем анализа

структурных свойств сложных ЭЭС, упрощения моделей динамики рассмат-

риваемых систем, оценки их статической устойчивости и управления такими

системами. Представленный обзор новейших разработок в части развития

методов модального анализа с распространением его на нелинейные систе-

мы показывает потенциальные возможности эффективного решения проблем

устойчивости сложных ЭЭС.

В качестве основного объекта приложения спектральных и модальных

методов настоящий обзор рассматривает большие ЭЭС. При этом за пре-

делами анализа остаются мини- и микросистемы, формируемые соответ-

ственно на основе распределительных электрических сетей напряжениями

6 - 10 - 20 - 35 кВ и 0,4 кВ. Эти системы, работающие изолированно или

совместно с большими ЭЭС, имеют специфические структуру и свойства, по-

рождающие специфику проблем их устойчивости и ее обеспечения [1, 114] и

др. Анализ этих проблем и соответствующих методов их преодоления явля-

ется предметом отдельного исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Milano F., Dörfler F., Hug G., et.al. Foundations and challenges of low-inertia

systems (invited paper) // Proc. 20 Power Systems Computation Conf. (PSCC).

Manchester, UK, June 11-15, 2018.

Воропай Н.И., Осак А.Б. Электроэнергетические системы будущего // Энер-

гетическая политика. 2014. Вып. 5. C. 60-63.

Горев А.А. Переходные процессы в синхронной машине. М.; Л.: Госэнергоиздат,

1950.

Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем. М.: Энергия, 1989.

Kimbark E.W. Power system stability. Books I, II, III. N.Y.: Wiley, 1948.

Sylvester J. Sur l’equation en matrices px = xq // Comptes Rendus de l’Acad. Sci.,

1884.

Lyapunov A. Probleme general de la stabilite du movement / Commun. Soc. Math.

Kharkov, 1893.

Saad Y. Numerical methods for large eigenvalue problems / Society for Industrial

and Applied Mathematics. N.Y.: Wiley, 2011.

Porter B., Crossley R. Modal control. Theory and applications. London: Taylor and

Fransis, 1972.

10.

Баринов В.А., Совалов С.А. Анализ статической устойчивости электроэнерге-

тических систем по собственным значениям матриц // Электричество. 1983.

№ 2. C. 8-15.

11.

Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических си-

стемах. М.: Высш. шк., 1985.

12.

Perez-Arriaga I.J., Verghese G.C., Schweppe F.C. Selective modal analysis with

applications to electric power systems. Part I: Heuristic introduction // IEEE Trans.

Power Apparat. Syst. 1982. V. 101. No. 9. P. 3117-3125.

13.

Verghese G.C., Perez-Arriaga I.J., Schweppe F.C. Selective modal analysis with

application to electric power systems. Part II: The dynamic stability problem //

IEEE Trans. Power Apparat. Syst. 1982. V. 101. No. 9. P. 3126-3134.

14.

Pierre J.W., Trudnowski D., Donnelly M., et. al. Overview of system identification

for power systems from measured responses // IFAC Proc. Volumes. July 2012.

V. 45. No. 16. P. 989-1000.

15.

CIEE Final Project Report. Oscillation detection and analysis. 2010. Available at:

http://www.uc-ciee.org/downloads/ODA Final Report.pdf [Accessed on 26 Febru-

ary 2018].

16.

Arnoldi W.E. The principle of minimized iterations in the solution of the matrix

eigenvalue problem // Quarterly Appl. Math. 1951. No. 9. P. 17-29.

17.

Wang L., Semlyen A. Application of sparse eigenvalue techniques to the small signal

stability analysis of large power systems // IEEE Trans. Power Syst. 1990. V. 5.

No. 2. P. 635-642.

18.

Angelidis G., Semlyen A. Improved methodologies for the calculation of critical

eigenvalues in small signal stability analysis // IEEE Trans. Power Syst. 1996.

V. 11. No. 3. P. 1209-1217.

19.

Rommes J. Arnoldi and Jacobi-Davidson methods for generalized eigenvalue

problems Ax = λBx with singular B // Math. Comput. 2008. V. 77. No. 262.

P. 995-1015.

20.

Rommes J., Martins N., Freitas F. Computing rightmost eigenvalues for small-

signal stability assessment of large-scale power systems // IEEE Trans. Power Syst.

2010. V. 25. No. 2. P. 929-938.

21.

Martins N. The dominant pole spectrum eigen-solver [for power system stability

analysis] // IEEE Trans. Power Syst. 1997. V. 12. No. 1. P. 245-254.

22.

Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Матричная сигнум-функция в задачах ана-

лиза и синтеза линейных систем // АиТ. 2008. № 2. С. 26-51.

Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Matrix sign function in the problems of anal-

ysis and design of the linear systems // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 2.

P. 198-222.

23.

Pagola F.L., Pérez-Arriaga I.J., Verghese G.C. On sensitivities, residues and par-

ticipations: applications to oscillatory stability analysis and control // IEEE Trans.

Power Syst. 1989. V. 4. No. 1. P. 278-285.

24.

Song Y., Hill D.J., Liu T. State-in-mode analysis of the power flow Jacobian

for static voltage stability // Int. J. Electric.Power Energy Syst. 2019. V. 105.

P. 671-678.

25.

Chow J.H. (Ed.) Power system coherency and model reduction. Heidelberg:

Springer, 2013.

26.

Singh B., Sharma N.K., Tiwari A.N. A Comprehensive Survey of Optimal Place-

ment and Coordinated Control Techniques of FACTS Controllers in Multi-Machine

Power System Environments // J. Electric. Engineer. Technol. 2010. V. 5. No. 1.

P. 79-102.

27.

Genс I., Schattler H., Zaborszky J. Clustering the bulk power system with appli-

cations towards Hopf bifurcation related oscillatory instability // Electric Power

Components Syst. 2005. V. 33. No. 2. P. 181-198.

28.

Hamdan A.M.A., Nayfeh A.H. Measures of modal controllability and observability

for first and second order linear systems // J. Guidance, Control, Dynam. 1989.

V. 12. No. 3. P. 421-428.

29.

Tawalbeh N.I., Hamdan A.M. Participation factors and modal mobility // Engineer.

Sci. 2010. V. 37. No. 2. P. 226-232.

30.

Hashlamoun W.A., Hassouneh M.A., Abed E.H. New results on modal participa-

tion factors: Revealing a previously unknown dichotomy // IEEE Trans. Autom.

Control. 2009. V. 54. No. 7. P. 1439-1449.

31.

Hamzi B., Abed E.H. Local modal participation analysis of nonlinear systems using

Poincare linearization // Nonlinear Dyn. 2020. V. 99. P. 803-811.

32.

Vittal V., Bhatia N., Fouad A.A. Analysis of the inter-area mode phenomenon in

power systems following large disturbances // IEEE Trans. Power Syst. 1991. V. 6.

No. 4. P. 1515-1521.

33.

Tian T., Kestelyn X., Thomas O., et.al. An accurate third-order normal form ap-

proximation for power system nonlinear analysis // IEEE Trans. Power Syst. 2018.

V. 33. No. 2. P. 2128-2139.

34.

Sanchez-Gasca J.J., Vittal V., Gibbard M.J., et. al. Inclusion of higher order terms

for small-signal (modal) analysis: committee report-task force on assessing the need

to include higher order terms for small-signal (modal) analysis // IEEE Trans.

Power Syst. 2005. V. 20. No. 4. P. 1886-1904.

35.

Williams M.O., Kevrekidis I.G., Rowley C.W. A Data-driven approximation of the

Koopman operator: extending dynamic mode decomposition // J. Nonlinear Sci.

2015. V. 25. No. 6. P. 1307-1346.

36.

Netto M., Susuki Y., Mili L. Data-driven participation factors for nonlinear sys-

tems based on Koopman mode decomposition // IEEE Control Syst. Lett. 2019.

DOI: 10.1109/LCSYS.2018.2871887.

37.

Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

38.

Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новоси-

бирск: Научная книга, 2002.

39.

Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

40.

Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных урав-

нений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

41.

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.:

Физматгиз, 1963.

42.

Демиденко Г.В. Матричные уравнения. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос.ун-

та, 2009.

43.

Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука,

2002.

44.

Зубов Н.Е., Зыбин Е.Ю., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Об-

щие аналитические формы решения уравнений Сильвестра и Ляпунова для

непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. РАН. Теория и си-

стемы управления. 2017. № 1. C. 50-22.

45.

Simoncini V. Computational methods for linear matrix equations // SIAM Rev.

2014. V. 58. No. 3. P. 377-441.

46.

Shokoohi S., Silverman L.M., Van Dooren P. Linear time-variable systems: balanc-

ing and model reduction // IEEE Trans. Automat. Control. 1983. V. AC-28. No. 8.

P. 810-822.

47.

Verriest E., Kailath T. On generalized balanced realizations // IEEE Trans. Au-

tomat. Control. 1983. Vol. AC-28. No. 8. P. 833-844.

48.

Gray W.S., Mesko J. Energy functions and algebraic Gramians for bilinear sys-

tems // Preprints 4 IFAC Nonlinear Control Syst. Design Sympos. Enschede. The

Netherlands, 1998.

49.

Benner P., Damm T. Lyapunov equations, energy functionals, and model order

reduction of bilinear and stochastic systems // SIAM J. Control Optim. 2011. V. 49.

No. 2. P. 686-711.

50.

Moore B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability, observ-

ability, and model reduction // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. V. AC-26.

P. 17-32.

51.

Fernando K.V., Nicholson H. On a fundamental property of the cross-Gramian

matrix // IEEE Trans. Circuits Syst. 1984. V. CAS-31. No. 5. P. 504-505.

52.

Baur U., Benner P., Feng L. Model order reduction for linear and nonlinear sys-

tems: a system-theoretic perspective // Archiv. Comput. Method. Engineer. 2014.

V. 21. No. 4. P. 331-358.

53.

Antoulas A.C. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM, Philadel-

phia, PA, USA. 2005.

54.

Ядыкин И.Б. О свойствах грамианов непрерывных систем управления // АиТ.

2010. № 6. C. 39-50.

Yadykin I.B. On properties of gramians of continuous control systems // Autom.

Remote Control. 2010. V. 71. No. 6. P. 1011-1021.

55.

Yadykin I.B., Iskakov A.B., Akhmetzyanov A.V. Stability analysis of large-scale

dynamical systems by sub-Gramian approach // Int. J. Robust Nonlinear Control.

2014. V. 24. P. 1361-1379.

56.

Yadykin I.B., Iskakov A.B. Spectral decomposition for the solutions of Sylvester,

Lyapunov, and Krein equations // Dokl. Math. 2017. V. 95. No. 1. P. 103-107.

Yadykin I.B., Iskakov A.B. Spectral decompositions for the solutions of Sylvester,

Lyapunov, and Krein equations // Dokl. Math. 2017. V. 95. P. 103107.

57.

Гамм А.З., Голуб И.И. Сенсоры и слабые места электроэнергетических систем.

Иркутск: СЭИ СО РАН, 1996.

58.

Войтов О.Н., Воропай Н.И., Гамм А.З. и др. Анализ неоднородностей элек-

троэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1999.

59.

Абраменкова Н.А., Воропай Н.И., Заславская Т.Б. Структурный анализ элек-

троэнергетических систем: В задачах моделирования и синтеза. Новосибирск:

Наука, 1990.

60.

Воропай Н.И., Гамм А.З., Голуб И.И., Ефимов Д.Н. Предыстория и развитие

исследований неоднородностей и слабых мест систем энергетики // Системные

исследования в энергетике: Ретроспектива научных направлений СЭИ-ИСЭМ.

Новосибирск: Наука, 2010.

61.

Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск:

Наука, 1991.

62.

Гусейнов Ф.Г. Упрощение расчетных схем электрических систем. М.: Энергия,

1978.

63.

Воропай Н.И. Упрощение математических моделей динамики электроэнерге-

тических систем. Новосибирск: Наука, 1981.

64.

Dorsey J., Schlueter R.A. Global and local dynamic equivalents based on structural

archetypes for coherency // IEEE Trans. Power Apparat.Syst. 1983. V. 102. No. 6.

P. 1793-1801.

65.

Eremia M., Shahidehpour M. (Eds.) Handbook of electrical power system dynamics:

Modeling, stability and control. Hoboken: Wiley - IEEE Press, 2013.

66.

Stanton K.M. Dynamic energy balance studies for simulation of power-frequency

transient // IEEE Trans. Power Apparat. Syst. 1972. V. 91. No. 1. P. 110-117.

67.

Картвелишвили Н.А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамиче-

ских систем. М.: Наука, 1976.

68.

Chow J.H. (Ed.) Time-scale modeling of dynamic networks with application to

power systems. N.Y.: Lect. Notes Contr. Inf. Sci., 1982.

69.

Winkelman J.K., Chow J.H., Avramovich B., et. al. An analysis of interarea dy-

namics of multimachine systems // IEEE Trans. Power Apparat. Syst. 1981. V. 100.

No. 2. P. 754-763.

70.

Peponides G., Kokotovic P.V., Chow J.H. Singular perturbations and time scales

in nonlinear models of power systems // IEEE Trans. Circuits Syst. 1982. V. 29.

No. 11. P. 758-767.

71.

Stadler J., Renner H., Koeck K. An inter-area oscillation based approach for co-

herency identification in power systems // Proc. 18 Power Syst. Comput. Conf.

Wroclaw. Poland. August 18-22, 2014.

72.

Kundur P. Power system stability and control. N.Y.: McGraw-Hill, Inc., 1994.

73.

Wu J. Advances in k-means clustering: A data mining thinking. Heidelberg:

Springer, 2012.

74.

Stadler J., Renner H. Application of dynamic REI reduction // Proc. 4 IEEE PES

Innovat. Smart Grid Technol. Europe, Copenhagen, Denmark, October 6-9. 2013.

75.

Annakkage U.D., Nair N.K.C., Liang Yu., et al. Dynamic system equivalents: A

survey of available technique; IEEE PES Task Force on Dynamic Systems Equiva-

lents // IEEE Trans. Power Delivery. 2012. V. 27. No. 1. P. 411-420.

76.

Singh R., Elizondo M., Lu Shuai. A review of dynamic generator reduction methods

for transient stability studies // Proc. 2011 IEEE PES General Meeting. Detroit,

Michigan, USA. July 24-28, 2011.

77.

Kim H., Jang G., Song K. Dynamic reduction of large-scale power systems using

relation factor // IEEE Trans. Power Syst. 2004. V. 19. No. 3. P. 1696-1699.

78.

Milano F., Srivastava K. Dynamic REI equivalents for short circuit and transient

stability analyses // Electric Power Syst. Res. 2009. V. 79. No. 2. P. 878-887.

79.

Ramaswamy G.N., Rouco L., Filiatre O., Verghese G.C., et al. Synchronic modal

equivalencing (SME) for structure-preserving dynamic equivalents // IEEE Trans.

Power Syst. 1996. V. 11. No. 1. P. 19-29.

80.

Paternina M.R.A., Zamora A., Chow J.H., Ramires J.M. Power system coherency

based on modal characteristics and hierarchical agglomerative clustering // Proc.

2017 IEEE Power Tech. Manchester, UK. June 18-22, 2017.

81.

Zhu Q., Chen J., Duan X., Sun X., Li Y., Shi D. A method for coherency identifi-

cation based on singular value decomposition // Proc. IEEE PES General Meeting.

Boston, Massachusets, USA. July 17-21, 2016.

82.

Zali S.M., Milanovic J.V. Dynamic equivalent model of distribution network cell

using Prony analysis and nonlinear least square optimization // Proc. 2009 IEEE

Bucharest Power Tech. Bucharest, Romania. June 28-July 2, 2009.

83.

Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Квадратическая проблема собственных зна-

чений в электроэнергетических системах // АиТ. 2006. № 5. C. 24-47.

Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. The quadratic eigenvalue problem in electric

power systems // Autom. Remote Control. 2006. V. 67. P. 698-720.

84.

Мисриханов М.Ш., Шаров Ю.В. Оценка влияния возмущений на устойчивость

электроэнергетической системы // Вестн. МЭИ. 2009. № 5. C. 42-48.

85.

Шаров Ю.В. Нелинейное модальное взаимодействие в электроэнергетических

системах // Электричество. 2016. № 12. C. 13-20.

86.

Шаров Ю.В. О развитии методов анализа статической устойчивости электро-

энергетических систем // Электричество. 2017. № 1. C. 12-17.

87.

Шаров Ю.В. Применение модального подхода для решения проблемы обеспе-

чения статической устойчивости электроэнергетических систем // Изв. РАН.

Энергетика. 2017. № 2. C. 13-29.

88.

Etingov P.V., Voropai N.I. Power system stability enhancement using advanced

automatic technology // Proc. Int. Conf. Advanced Power System Automation and

Protection. Jeju, Korea. April 24-27, 2007.

89.

Gaglioti E., Iaria A., Panasetsky D., et al. Inter-area oscillations in the CT/Turkey

and IPS/UPS power systems // Proc. CIGRE Sympos. “Electric Power System

for the Future - Integrating Supergrids and Microgrids”. Bologna, Italy. Septem-

ber 13-15, 2011.

90.

Shanechi H.M., Pariz N., Vaahedi E. General nonlinear modal representation

of large scale power systems // IEEE Trans. Power Syst. 2003. V. 18. No. 3.

P. 1103-1109.

91.

Cao J., Du W., Wang H., et. al. A novel emergency damping control to suppress

power system inter-area oscillations // IEEE Trans. Power Syst. 2013. V. 28. No. 3.

P. 3165-3173.

92.

Chompoobutrgool Y., Vanfretti L. Identification of Power System Dominant Inter-

Area Oscillation Paths // IEEE Trans. Power Syst. 2013. V. 28. No. 3. P. 2798-2807.

93.

Pal A., Thorp S. Co-ordinated control of inter-area oscillations using SMA and

LMI // In: 2012 IEEE PES Innovat. Smart Grid Technolog. (ISGT). DOI:

10.1109/ISGT.2012.6175535.

94.

Gao B, Morison G, Kundur P. Voltage stability evaluation using modal analysis //

IEEE Trans. Power Syst. 1992. V. 7. No. 4. P. 1529-1542.

95.

Hsu Yuan-Yih, Chen Chern-Lin. Identification of optimum location for stabilizers

application using participation factors // IEE Proc. 1987. Pt. C. V. 134. No. 3.

P. 238-244.

96.

Mansour Y., Xu W., Alvarado F., Rinzin Ch. SVC placement using critical modes

of voltage stability // IEEE Trans. Power Syst. 1994. V. 9. No. 2. P. 757-763.

97.

Farsangi M.M., Nezamabadi-pour H., Song Y.-H., Lee K.Yu. Placement of SVCs

and selection of stabilizing signals in power systems // IEEE Trans. Power Syst.

2007. V. 22. No. 3. P. 1061-1071.

98.

Sánchez-Garcia R.J., Fennelly M., Norris S., Wright N., Niblo G., Brodzki J.,

Bialek J.W. Hierarchical spectral clustering of power grids // IEEE Trans. Power

Syst. 2014. V. 29. Nо. 5. P. 2229-2237.

99.

Wang C., Zhang B., Hao Z., Shu J., Li P., Bo Z. A novel real-time searching

method for power system splitting boundary // IEEE Trans. Power Syst. 2010.

V. 25. No. 4. P. 1902-1909.

100.

Zhu Z., Geng G., Jiang Q. Power system dynamic model reduction based on ex-

tended Krylov subspace method // IEEE Trans. Power Syst. 2016. V. 31. No. 6.

P. 4483-4494.

101.

Dobrowolski J., Korba P., Segundo F.R., Sattinger W. Centralized wide area damp-

ing controller for power system oscillation problems // HAL Id: hal01975194,

https://hal-iogs.archives-ouvertes.fr/hal-01975194 Submitted on 9 Jan 2019.

102.

Беляев А.Н., Ядыкин И.Б., Смоловик С.В., Спиридонов С.В., Григорьев А.А.

Робастный адаптивный регулятор для демпфирования межрайонных колеба-

ний в электроэнергетической системе // Электричество. 2011. № 6. C. 2-10.

103.

Du W., Fu Q., Wang H., Wang Y. Concept of modal repulsion for examining the

subsynchronous oscillations caused by wind farms in power systems // IEEE Trans.

Power Syst. 2019. V. 34. No. 1. P. 518-526.

104.

Yadykin I.B., Kataev D.E., Iskakov A.B., Shipilov V.K. Characterization of power

systems near their stability boundary using the sub-Gramian method // Control

Eng. Practice. 2016. V. 53. P. 173-183.

105.

Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Спектральные разложения решений уравнений

Ляпунова для билинейных динамических систем // ДАН. 2019. Т. 488. № 6.

C. 599-603.

Yadykin I.B., Iskakov A.B. Spectral Decompositions for the Solutions of Lyapunov

Equations for Bilinear Dynamical Systems // Dokl. Math. 2019. V. 100. P. 501-504.

106.

Damm T. Direct methods and ADI-preconditioned Krylov subspace methods for

generalized Lyapunov equations // Numer. Linear Algebra Appl. 2008. V. 15. No. 9.

P. 853-871.

107. Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Энергетический подход к анализу устойчивости

линейных стационарных динамических систем // АиТ. 2016. № 12. С. 37-58.

Yadykin I.B., Iskakov A.B. Energy approach to stability analysis of the linear

stationary dynamic systems // Autom. Remote Control. 2016. V. 77. No. 12.

P. 2132-2149.

108. Yadykin I.B., Grobovoy A.A., Iskakov A.B., Kataev D.E., Khmelik M.S. Stability

analysis of electric power systems using finite Gramians // IFAC-PapersOnLine.

2015. V. 48. No. 30. P. 548-553.

109. Моржин Ю.Н., Ядыкин И.Б., Бахтадзе Н.Н. Мультиагентная интеллектуаль-

ная иммунная система ИЭС ААС // Автоматизация в промышленности. 2012.

№ 4. С. 57-60.

110. Yadykin I., Lototsky V., Bakhtadze N., Maximov Eu., Nikulina I. Soft sensors of

power systems stability based on predictive models of dynamic discrete bilinear

systems // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. No. 11. P. 897-902.

111. Zhang L., Lam J. On H₂ model order reduction of bilinear systems // Automatica.

2002. V. 38. No. 2. P. 205-216.

112. Vassilyev S.N., Yadykin I.B., Iskakov A.B., Kataev D.E., Grobovoy A.A., Kiryano-

va N.G. Participation factors and sub-Gramians in the selective modal analysis of

electric power systems // IFAC-PapersOnLine. 2017. V. 50. No. 1. P. 14806-14811.

113. Iskakov A.B., Yadykin I.B. Lyapunov modal analysis and participation factors with

applications to small-signal stability of power systems, arXiv:1909.02227 [math.OC],

2019.

114. Huang Po-Hsu, Vorobev P., Al Hosani M., Kirtley J.L., Turitsyn K. Plug-and play

compliant control for inverter-based microgrids // IEEE Trans. Power Syst. 2019.

V. 34. No. 4. P. 2901-2913.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 02.08.2019

После доработки 28.02.2020

Принята к публикации 25.05.2020