Автоматика и телемеханика, № 10, 2020

Оптимизация, системный анализ

и исследование операций

(Московский физико-технический институт),

П.Ю. ЧЕБОТАРЕВ, д-р физ.-мат. наук (pavel4e@gmail.com)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

CОЦИАЛЬНАЯ ДИНАМИКА, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ГОЛОСОВАНИЕМ:

КВАРТИЛЬНЫЙ УЧЕТ ОСОБЕННОСТЕЙ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ

В рамках модели социальной динамики, определяемой голосованием

в стохастической среде (модель ViSE), исследуется влияние тяжести хво-

стов распределения на эффективность эгоистической и альтруистических

стратегий в отношении максимизации двух критериев: среднего прира-

щения капитала и числа неразорившихся участников. Рассмотрены одно-

родные общества и четыре типа распределений, генерирующих предложе-

ния: нормальные, логистические, Стьюдента с тремя степенями свободы и

симметризованные распределения Парето. Для оценки влияния тяжести

хвостов стандартизация распределений по разбросу проводится на основе

квартилей. Это позволяет отобрать для сопоставления распределения с

тяжелыми хвостами, сравнимые по плотности с другими рассматривае-

мыми распределениями на интервале, включающем 90 % наблюдений.

Ключевые слова: модель ViSE, социальная динамика, динамическое го-

лосование, стохастическая среда, яма ущерба, эгоизм, альтруизм, распре-

деления с тяжелыми хвостами.

DOI: 10.31857/S0005231020100062

1. Введение

Основные положения модели ViSE (Voting in Stochastic Environment),

предложенной для анализа полезности коллективных решений, состоят в сле-

дующем [1, 2].

Общество исходно состоит из n участников (агентов), каждый из кото-

рых характеризуется текущим значением капитала (его отрицательное зна-

чение долг), или полезности. Задается вектор неотрицательных начальных

значений капитала участников. На каждом шаге m = 1, . . . , M на голосование

ставится предложение, и участники голосуют, руководствуясь определенны-

ми стратегиями, за или против его принятия. Предложение есть вектор ал-

гебраических приращений капиталов участников. Предложения, одобренные

посредством принятой процедуры голосования, реализуются. Один из вари-

антов модели предполагает выбывание разорившихся участников, т.е. участ-

ников, чей капитал стал отрицательным (вариант “с вымиранием”). Анализ

149

динамики капиталов участников позволяет сравнивать стратегии голосова-

ния и процедуры принятия коллективных решений и выбирать среди них

оптимальные в отношении максимизации того или иного критерия.

Предполагается, что каждое предложение формируется стохастически: его

компоненты есть реализации случайных величин, в простейшем случае неза-

висимых и одинаково распределенных, с заданными математическим ожи-

данием µ и стандартным отклонением σ. Поэтому предложения, выносимые

на голосование, могут быть также названы предложениями стохастической

среды, или предложениями среды. Среда благоприятна при µ > 0, нейтраль-

на при µ = 0 и неблагоприятна при µ < 0.

Пусть c(m) вектор капиталов участников по окончании шага m ≥ 0;

c(0) - вектор начальных значений капитала. В случае модели с вымиранием

в число этих участников входят лишь те, чей капитал по окончании шага m

неотрицателен. В случае без вымирания число компонент вектора c(m) оста-

ется равным n. Тогда

(1)

c (m) = r (c (m - 1) + ζ (m) I (m)) ,

0<m≤M,

где ζ (m) вектор предложения среды на шаге m; M общее число пред-

ложений;

{

1, если предложение ζ (m) принято голосованием;

I (m) =

в противном случае;

r(·)

оператор, исключающий из вектора отрицательные компоненты в мо-

дели с вымиранием и тождественный оператор в модели без вымирания.

Сравнение эффективности индивидуальных стратегий голосования и про-

цедур принятия коллективных решений проводится на основании анализа

статистических закономерностей изменения вектора капиталов (1) в разных

средах, т.е. при различных распределениях, используемых для генерации

предложений.

В данной работе статье исследуются решения, принимаемые простым

большинством голосов, и следующие принципы голосования участников. Эго-

ист поддерживает предложение тогда и только тогда, когда оно увеличи-

вает его капитал. Рассматриваются альтруисты со следующей стратегией.

Участники упоря[дочи]ваются по возрастанию текущего значения капитала.

Фиксируется δ ∈

, и для текущего предложения среды находится сумма

приращений капиталов [δn] беднейших¹ участников, где [·] целая часть.

Альтруист поддерживает предложение тогда и только тогда, когда эта сум-

ма положительна. Окном поддержки альтруистов называется отрезок [0; δ];

δ может выражаться в процентах.

В [2] для нескольких типов стохастических сред исследовалось влияние со-

циальных установок (эгоизм, альтруизм) на динамику благосостояния обще-

ства. Для анализа влияния типа распределения необходимо унифицировать

¹ Уже после первого принятого предложения капиталы участников можно считать раз-

личными, т.к. предложения генерируются случайными величинами с непрерывным распре-

делением. Если в начальном состоянии капиталы не различаются, то до принятия первого

предложения альтруисты находят сумму приращений капитала участников с порядковыми

номерами 1, . . . , [δn].

150

распределения по параметрам положения и масштаба. Предложения гене-

рировались посредством симметричных распределений, поэтому в качестве

параметра положения использовалась медиана (совпадавшая со средним, по-

скольку для рассматриваемых распределений оно существовало). Масштаб

оценивался стандартным отклонением, однако был сделан вывод, что это

приводит к не совсем естественным результатам, а именно, к сопоставлению

распределений, кардинально различающихся на интервале, где сосредоточе-

на почти вся вероятность. Поэтому было указано на необходимость проведе-

ния нового исследования с использованием меры масштаба, более адекватной

решаемой задаче.

Эта программа реализована в настоящей статье. В разделах 2 и 3 обсужда-

ются модель ViSE и недостатки унификации распределений по дисперсии при

ее исследовании. В разделе 4 приведены основания другого подхода к стан-

дартизации распределений - по квартилям. В разделе 5 этот подход применен

для анализа социальной динамики при генерации предложений посредством

нормального распределения и симметризованных распределений Парето. В

разделе 6 в сравнение включены логистическое распределение и распреде-

ление Стьюдента. В разделах 5 и 6 формулируются качественные выводы о

влиянии социальных установок участников и типа стохастической среды на

динамику капиталов и скорость разорения. Получение этих выводов состав-

ляет главную цель статьи. Исследование проводится посредством имитаци-

онного моделирования, поскольку аналитические методы, разработанные в

[1], не позволяют получить конечные выражения исследуемых величин для

участников с альтруистическими стратегиями. В разделе 7 сформулированы

основные результаты статьи.

2. Модель ViSE: основания и связь с реальностью

Модель ViSE вариант развития модели голосования, предложенной

А.В. Малишевским (см., например, [3], глава 2, раздел 1.3). А.В. Мали-

шевский первым показал, что, лицо, обладающее монопольным правом ста-

вить предложения на голосование (назовем его “предлагающим”), может за

несколько шагов провести через голосующий орган фактически любое ре-

шение. В модели каждый голосующий поддерживает любое предложение,

увеличивающее его индивидуальную полезность, при этом процедура голосо-

вания квалифицированное большинство, но не единогласие. Для достиже-

ния своей цели предлагающий использует алгоритм “мелких подачек боль-

шинству”. Каждое предложение, которое он ставит на голосование, выгод-

но некоторому большинству, достаточному для принятия решения, но дает

этому большинству суммарно меньше, чем отнимает у меньшинства. Ясно,

что если в меньшинстве хотя бы по одному разу окажется каждый, то со-

вокупный результат серии таких предложений можно сделать сколь угодно

невыгодным для всех голосующих. Настолько невыгодным, что намеченное

исходно “предлагающим” решение будет одобрено единогласно.

Как “снять” этот парадокс, демонстрирующий уязвимость демократиче-

ских процедур? Можно попытаться исключить его, сделав модель более

жесткой. В исходной модели “предлагающий” обладает огромной свободой:

ему доступны любые предложения из пространства, размерность которого

151

равна числу голосующих. На практике предложения обычно принадлежат

пространству более низкой размерности. Сохранится ли парадокс, если раз-

мерность пространства предложений равна, например, 2 или 3? Из работ

Ч. Плотта, Р. Маккельви, Н. Скофилда, Д. Саари и др. [4-8] следует, что

во многих случаях сохранится, хотя и необходимо выполнить определенные

условия, в частности, связывающие порог большинства с размерностью про-

странства.

Как же реабилитировать демократию? Ясно, что необходимо ограничить

монополию “предлагающего” либо изменить стратегии² голосования. Напри-

мер, пусть предлагать могут сами участники голосования. Но в каком поряд-

ке? Одновременно (чтобы был выбор из нескольких проектов) или поперемен-

но? Поодиночке или группами? Альянсы постоянны или ситуативны? Есть ли

внешние предлагающие и сколько? Какой информацией обладают участни-

ки о предложениях и стратегиях остальных? Могут ли стратегии строиться

рефлексивно? В зависимости от деталей процедуры, объема прав участников

и их информированности возникает множество игровых постановок и. . . до-

вольно хаотическая ситуация. Ряд задач такого рода можно решить [9-14],

но результаты разнородны и локальны. Итог скорее мозаика, чем общая

система закономерностей. Причина, главным образом, в том, что постановки

не образуют иерархической структуры, дерева. Нет основного “нулевого” ва-

рианта, после исследования которого можно было бы двигаться по боковым

ветвям к все более изощренным постановкам.

Модель ViSE это возможный нулевой вариант. Нет “предлагающего”

со своей стратегией, вместо него внешняя среда, благоприятная, нейтраль-

ная или неблагоприятная, наделенная прерогативой предлагать. Разнообра-

зие предложений обеспечивается ее стохастической природой. В простейшем

варианте среда характеризуется благоприятностью это µ/σ, где µ сред-

нее значение индивидуального предложения, σ стандартное отклонение.

Последнее можно рассматривать как масштаб, единицу измерения µ. Наибо-

лее естественное распределение в нулевом варианте нормальное.

Сохранится ли при этом парадокс Малишевского? Иными словами, могут

ли серии решений, принимаемых большинством, быть в конечном счете невы-

годны для всех? Причем невыгодны не иногда, а при определенных условиях

систематически, “как правило”.

Этот вопрос фундаментален, поскольку касается самой природы коллек-

тивных решений, а не внешнего манипулирования ими. Иначе его можно

сформулировать так: служит ли голосование эффективным фильтром при

взаимодействии общества с неблагоприятной (но не изощренно-изобретатель-

ной) средой, требующей от него бинарных решений?

Этот вопрос нетривиален, и ответ в нулевом варианте таков [15]: да, в

умеренно неблагоприятной среде реализуется парадокс “ямы ущерба” (вари-

ант парадокса Малишевского). А именно: решения, принятые большинством

голосов, как правило, невыгодны для общества.

² Под стратегией в моделях голосования рассматриваемого типа понимается алгоритм

использования агентом имеющейся у него информации для принятия индивидуальных ре-

шений о поддержке предложений/кандидатов.

152

Не продолжая обсуждение этой темы в деталях, коснемся теперь жиз-

ненных прототипов модели ViSE. Представим себе страну, где решения при-

нимает парламент, назовем его Госдумой. Предложения исходят от внешней

по отношению к ней среды, например, ОПЕК+ предлагает соглашение об

ограничении добычи нефти. Это предложение одни акторы внутри страны

готовы поддержать, другие - нет. Одним силам (в том числе лоббистским),

представленным в Госдуме, оно выгодно, другим нет. И его надо принять или

отвергнуть. Другой пример: США или НАТО предлагают подписать новое

соглашение о контроле над вооружениями. Та же ситуация. Или решение

Гаагского окружного суда предписывает выплатить компенсации семьям по-

гибших пассажиров сбитого Боинга. Надо решить, выполнить его или нет.

Разные политические силы придерживаются разных мнений. Или может по-

ступить предложение об участии в новом соглашении по ограничению выбро-

сов парниковых газов. Если внешнеполитическая конъюнктура для страны

благоприятна, то будет больше выгодных предложений, если нет, то наоборот.

Далее, поскольку решения принимает Госдума, предложения, приходящие

из администрации президента или из правительства, для нее тоже внешние.

И они отражают определенную внешнюю конъюнктуру: во-первых, насколь-

ко президент и/или правительство действуют в интересах страны, во-вторых,

эти предложения неизбежно транслируют общие экономические, социальные,

политические тенденции и вызовы. В качестве актуальных примеров можно

привести предложение о поправках в Конституцию или предложение о вве-

дении экстренных мер в связи с пандемией коронавируса. Общая ситуация

влияет на страну и помимо решений Госдумы, но предметом изучения яв-

ляется не это безусловное воздействие, а эффективность и рациональность

коллективных решений.

Другой класс примеров. Представим себе совет директоров компании. Ме-

неджмент или отдел планирования предлагает новую стратегию развития

компании. Нужно ее принять либо отвергнуть, отправить на доработку и по-

ка двигаться прежним курсом. При этом у каждого члена совета директоров

есть свое мнение и свои интересы. Можно рассмотреть “игры” с менеджмен-

том или отделом планирования, но есть другой важный круг вопросов, свя-

занный с эффективностью процедуры голосования и стратегиями его участ-

ников. Либо другая компания - потенциальный партнер предлагает нашей

компании сделку. В чем-то сделка выгодна, в чем-то нет. Нужно принять

или отклонить предложение. А если оно не отклонено безусловно, его мож-

но послать на доработку. Причем чем лучше идут дела у компании (и чем

лучше экономическая ситуация), тем благосклоннее к ней “среда”, тем более

выгодные предложения потенциальных партнеров она в среднем генерирует

и предлагает для голосования.

Разумно ли полагать компоненты комплексного предложения, относящие-

ся к разным агентам, статистически независимыми? Поскольку предложения

достаточно разнородны, из выгодности предложения для политических сил

(или членов совета директоров) A и B не следует ни выгодность, ни невы-

годность его для силы C. Как известно, в политике по разным поводам мо-

гут возникать неожиданные альянсы: левых с ультраправыми и т.п. Поэтому

независимость вполне допустимый нулевой вариант. Если рассматривает-

153

ся класс ситуаций, в которых выигрыши разных сил имеют фиксированную

сумму или жестко связаны иным образом, в рамках модели могут быть на-

ложены соответствующие дополнительные ограничения.

Позволяет ли модель ViSE получать выводы, приложимые к реальности?

Приведем несколько примеров.

В модели реализуется [16] известный “эффект малой партии”, состоящий в

том, что в присутствии двух больших партий, ни одна из которых не имеет

большинства, малая партия, образующая большинство с любой из боль-

ших, получает преимущество, а иногда, когда большие партии выступают

с противоположных позиций, и положение, сравнимое с диктаторским.

Модель ViSE выявляет [16] один из механизмов устойчивости двухпартий-

ной системы с почти равными по силе партиями.

В модели реализуется [16, 17] механизм “снежного кома кооперации”: по-

скольку принадлежность к группе обычно выгоднее, чем индивидуальная

защита своих интересов, участники присоединяются к группе, и по мере

ее роста групповой эгоизм становится все ближе к альтруизму.

Давно является классическим такой инструмент анализа, как индексы

влияния фракций в парламенте. Исследование зависимости приращений

полезности в модели ViSE и индексов влияния приводит к следующему

выводу: при простейшем наборе параметров средние приращения полез-

ностей линейно связаны (после естественной нормировки) со значениями

индекса Банцафа. Это, с одной стороны, дает новую интерпретацию полез-

ностям модели ViSE, с другой позволяет среди разнообразия индексов

влияния выделить индекс Банцафа как имеющий “внешние” интерпрета-

цию и подтверждение. Таким образом, модель влияния Банцафа и модель

ViSE подкрепляют друг друга (это вывод еще не опубликованной работы).

Обсуждавшийся выше результат анализа модели ViSE парадокс “ямы

ущерба”. Он имеет [15] механизм, несомненно, реализующийся на прак-

тике. А именно: в неблагоприятной среде выигрыши в среднем меньше,

а проигрыши больше, чем в нейтральной среде с тем же разбросом, тем

самым средняя разность модулей выигрыша и проигрыша отрицательна.

Поэтому предложения, принятые простым большинством с малым переве-

сом голосов “за”, будут чаще давать суммарный проигрыш, чем выигрыш.

Этот механизм едва ли четко выявляется другими моделями. Практиче-

ское следствие: чем среда менее благоприятна, тем выше в ней должен

быть порог голосования для принятия новых предложений.

Вывод предыдущего пункта 5 допускает исключения. Последние связаны с

распределениями с тяжелыми хвостами, которые в ряде случаев адекватно

описывают политико-экономическую неопределенность. Изучение данного

круга вопросов позволяет ввести понятие оптимального порога голосова-

ния [15] и выразить его общей формулой [18].

Сравнение распределений с легкими и тяжелыми хвостами в качестве ге-

нераторов неопределенности в модели ViSE и альтруистических стратегий

с разными окнами поддержки позволяет [2] указать эффекты, соотноси-

мые с явлением “антихрупкости”, и “стратегией штанги”, обсуждаемыми

Н. Талебом.

154

8. Кроме парадокса “ямы ущерба”, анализ модели ViSE позволяет выявить

еще один интересный парадокс голосования: в действительно благоприят-

ной среде при определенных условиях голосование большинством может

давать худшие в среднем результаты для общества, чем принятие всех

предложений “не глядя”. Численно данный парадокс симметричен пара-

доксу “ямы ущерба”, что кажется на первый взгляд простым фактом, но

имеет нетривиальное доказательство.

9. Одна из ключевых проблем не только общественных наук, но и обще-

ственной практики сравнение рациональности (с позиций индивидуума

и общества) социальных стратегий узкоэгоистических и просоциальных,

включая коллективистские, ориентированные на общее благо, предпола-

гающие филантропию и т.д. Одна из возможных целей таких исследова-

ний показать гражданину, что он не проиграет, если будет придержи-

ваться просоциальных стратегий. А точнее выяснить, в каких услови-

ях какая стратегия что ему принесет. Численный анализ проблем такого

рода традиционно проводится на материале матричных игр. Но совокуп-

ность получаемых результатов, как и в стратегических задачах голосова-

ния, больше похожа на мозаику, чем на общие закономерности. Модель

ViSE дает необыкновенную гибкость задания внешних условий, структур

общества и социальных установок. Например, в ее рамках можно описать

большое разнообразие просоциальных стратегий, причем выводы из ана-

лиза имеют форму закономерностей. Эти выводы можно соотнести с ре-

альностью и оценить, насколько жизненны модельные механизмы, к ним

приводящие. Данный пункт перечисления применений модели ViSE объ-

емнее предыдущих, поэтому продолжим его обсуждение отдельно.

Итак, исследование феноменов кооперации, коллективизма и альтруизма,

как отмечено выше, часто ведется посредством изучения динамики простых

игр с использованием имитационного моделирования и “лабораторных” экспе-

риментов с людьми. Одна из наиболее популярных среди этих игр дилемма

заключенного.

Однако достаточно очевидна метафорическая условность данного подхо-

да. Жизненные ситуации, в которых человек выбирает линию социального

поведения, не так уж часто похожи на дилемму заключенного. Ее ключевое

условие недостаток информации: игрок не знает, какую стратегию выбе-

рет визави, а именно этим во многом определяется его выигрыш/проигрыш.

Если другой также протянет ему руку, оба выиграют по сравнению с индиви-

дуализмом каждого, а если откажет, то отказавший “сорвет банк”, а тот, чья

рука повиснет в воздухе, проиграет. Особенность реальной жизни в том, что

люди могут договариваться³ и в существенной мере контролировать соблю-

дение договоренностей. То есть ключевой элемент данной модели не всегда

отвечает реальности. Кроме того, дилемма заключенного это игра двух

лиц, а в жизни в кооперацию вовлечено обычно большее число агентов, при-

чем механизм ее не сводится к попарным взаимодействиям. Несмотря на то,

что лишь малая часть проблем реальной кооперации адекватно описывается

моделями, основанными на дилемме заключенного (а в остальных случаях

³ Не учитывается это и в таких играх, как “Ультиматум”, “Диктатор”.

155

связь этих моделей с реальностью лишь метафорическая), соответствующие

модели ценны и интересны. Они затрагивают важный аспект реальности

влияние информационной неопределенности на кооперацию двух лиц, и в их

рамках можно получать нетривиальные результаты.

Отмеченная ограниченность дилеммы заключенного как модели коопера-

ции

“парность” взаимодействий снимается рассмотрением других игр,

таких, например, как Public Goods (общественные блага). Но и здесь выгода

участника всецело зависит от соотношения его стратегии и неизвестных ему

стратегий других игроков, и в центре оказывается проблема “фрирайдерства”

(безбилетничества, паразитизма).

В жизни также есть “фрирайдерство”, затрудняющее кооперацию, но про-

блематика кооперации не сводится к этому феномену.

Проблема реального человека, определяющего степень кооперативности

своего поведения, главным образом, не в незнании, как поступят другие, а в

том, что “своя рубашка ближе к телу”. Он может пойти и купить себе и своим

детям рубашки, и, надев их, они будут рады. А может вложить свои день-

ги / усилия в более или менее абстрактное общее благо, но его дети продол-

жат ходить в старых рубашках. Общее благо принесет, скорее всего, пользу

со временем всем, либо незащищенным уже сегодня, но оптимальная пропор-

ция вложений в общее и индивидуальное благо для каждого своя и зависит

от обстоятельств.

Важно отметить, что в жизни даже адекватная информация о поведе-

нии других агентов (нередко имеющаяся) не устраняет сложности выбора

стратегии. Она в том, что эффект вложений в общее благо отложен и трудно

прогнозируем. Потому что, образно говоря, агенты плывут на общем корабле

(или на разных лодках) по бурному морю, где их ждут различные сюрпри-

зы. Новая рубашка уже сейчас полезна, а что и когда вернется ему с руб-

ля, вложенного в общее благо, оценить трудно. Таким образом, источником

неоднозначности служат не только (а часто не столько) неизвестные страте-

гии “коллег”, но и неопределенность внешней среды (не говоря о непростой

проблеме дисконтирования).

Именно такая внешняя среда является одним из основных элементов мо-

дели ViSE. Участник может вложить свой ресурс (голос при голосовании) в

свое благо или в благо всего общества или какой-либо его страты, ему небез-

различной (куда сам он может и не входить, например, это может быть груп-

па беднейших). Кроме того, у него может быть сколь угодно сложная “ком-

бинированная” стратегия голосования, с разными весами учитывающая его

благо, благо всего общества и благо любого числа групп. Это дает большую

гибкость задания стратегий поведения, похожих по структуре на стратегии

в реальном мире. Например, используя комбинированные стратегии, можно

моделировать такую страту общества, как ответственная элита [19]. Вклю-

чение комбинированных функций полезности в модели игр типа Public Goods

не представляется столь же естественным.

Выше отмечалось, что анализ модели ViSE с альтруистическими агентами

позволяет сформулировать определенные закономерности. Перечислим неко-

торые из простейших выводов [2, 19, 20]. 1. “Принципиальный” (“hard-core”

156

по терминологии Эдварда Уилсона [21]) альтруизм, являющийся относитель-

ной редкостью, может быть в ряде случаев заменен рациональной стратеги-

ей, исходящей из подтверждаемой теоретически выгодности коллективизма,

что может вести к восприятию все большей части общества как своего кол-

лектива. 2. Обществу, вообще говоря, не обязательно, чтобы большинство

его членов были альтруистами: к сопоставимому результату приводит нали-

чие весьма умеренной их доли. В частности, сравнительно небольшая альт-

руистическая фракция может защитить общество от разорения, но сама эта

фракция оказывается в наиболее уязвимом положении. 3. Если альтруисти-

ческая фракция достигает определенной критической массы, ее уязвимость

снижается до допустимых границ. 4. Полезность для общества тех или иных

альтруистических стратегий сильно зависит от свойств внешней среды: так,

в благоприятной среде рациональна благотворительность по отношению к

сравнительно немногим, но в неблагоприятной среде правильнее помогать

всем, поскольку все находятся в зоне риска. 5. Поскольку обществу весь-

ма полезно наличие участников с просоциальной стратегией голосования, но

сами эти участники наименее защищены, обществу имеет смысл оказывать

этим участникам дополнительную поддержку; при этом польза для осталь-

ных оказывается выше их издержек на поддержку.

Исследование модели позволяет проследить теоретические механизмы реа-

лизации этих и других выводов. Указанные механизмы могут быть соотнесе-

ны с реальностью, что позволяет оценить адекватность выводов определен-

ным жизненным ситуациям.

Последний (5-й) вывод определяет подход к сравнению схем налогообло-

жения. Поэтому в перечисление применений обсуждаемой модели можно до-

бавить следующий пункт.

10. Модель ViSE может быть состыкована с финансовыми моделями нало-

гообложения, распределяемого в пользу участников, работающих на об-

щество. Использование для той же цели игровых моделей кооперации

представляется менее продуктивным.

Элементом применения математических моделей нередко является их

идентификация, т.е. определение значений параметров, соответствующих на-

блюдениям.

Идентификация модели ViSE в принципе возможна. Так, для совета ди-

ректоров фирмы или парламента, где представлены разные силы, можно пы-

таться оценить выгодность серии вносимых извне проектов для отдельных го-

лосующих / политических сил и тем самым оценить µ, σ и вид распределения-

генератора. В свою очередь, это даст возможность найти оптимальный порог

голосования для предложений исследуемого типа, а также оценить динамику

полезностей и выраженность различных эффектов.

Однако, как и в случае ряда игровых моделей, применение модели ViSE

не сводится к расчету параметров и эффектов по наблюдениям. Ценность

представляет также выявление феноменов и механизмов, которые без мо-

дели выявить трудно. Один из простых примеров, уже обсуждавшихся вы-

ше, разносоставное меньшинство, которое систематически теряет больше,

чем приобретает большинство. Это фундаментальный и очень важный фено-

157

мен, который можно назвать основным пороком голосования. Его всегда, при

любом принятии коллективных решений, нужно иметь в виду, и он требует

применения конкретных мер, которые могут быть сначала опробованы на

модели. А пример механизма, который можно использовать на практике,

“снежный ком кооперации”, т.е. приближение группового эгоизма успешной

и открытой (для вступления в нее) группы к альтруизму. Этот образ ис-

пользовался в статье [22], где на материале исследования модели ViSE об-

суждались механизмы развития гражданского общества, а именно, речь шла

о выстраивании сети взаимоподдержки его ячеек. При этом решение о под-

держке любого запроса принимается каждой ячейкой самостоятельно, но те

ячейки, которые систематически отказывают другим в поддержке, исклю-

чаются из сети. В приведенном выше перечислении приложений (в частно-

сти, в п. 9) отмечено также несколько других феноменов и механизмов. Их

можно соотносить с реальностью, оценивая их действенность в конкретных

условиях.

3. Унификация распределений по дисперсии при анализе модели ViSE

В [2] в числе прочих рассматривались среды, генерирующие предложения,

подчиняющиеся симметризованному распределению Парето (СП-распределе-

нию) со сверхтяжелыми хвостами.

СП-распределение с параметрами k > 0, a > 0 и µ имеет [2] плотность

(

)_-(k+1)

|x - µ|

(2)

f (x) =

x ∈ R,

среднее µ при k > 1 и дисперсию σ² = 2a²/ ((k - 1)(k - 2)) при k > 2. При

невыполнении указанных неравенств соответствующие интегралы расходят-

ся. При k → ∞ СП-рас(ределение)сходится к распределению Лапласа с плот-

√

ностью f (x) =

√

exp

-^|x-µ|

(лемма 3 в [2]).

В [2] сравнивались средние значения капитала участника за один шаг голо-

сования для нескольких симметричных распределений, имеющих одинаковые

математическое ожидание µ и дисперсию σ². При этом было отмечено, что

два симметричных распределения с совпадающими µ и σ могут отличаться

кардинально. Так, помимо непрерывности, симметричности, инфинитности и

общей моды, у распределений, плотности которых показаны на рис. 1, сложно

обнаружить какую-либо общность. В точке моды x = 1 их плотности отно-

сятся как 20 к 1, а в точке x = 0 как 1 к 43.

По рис. 1 трудно предположить, что эти два распределения имеют рав-

ную дисперсию: “на глаз” типичные отклонения от µ = 1 для распределения

с k = 1000 существенно выше. Объяснить равенство их дисперсий позволяет

рис. 2, где те же две плотности (при x ≥ 1) показаны в логарифмических

шкалах. Хвосты распределения с k = 2,01, кажущиеся “легкими” в пределах

рис. 1, на большом удалении от среднего (при |x - µ| > 8) оказываются зна-

чительно более тяжелыми, чем хвосты распределения с k = 1000. Посколь-

ку P (|x - µ| > 8) ≈ 7,4 · 10^-5, наблюдения, относящиеся к столь отдаленным

158

14,5

12,5

10,5

8,5

6,5

4,5

2,5

0,5

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

-1,5

Рис. 1. Плотности двух симметризованных распределений Парето с µ = 1,

σ = 1. Серая линия: k = 2,01; черная линия: k = 1000.

100

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

0,0000001

1E-08

1E-09

1E-10

1E-11

1E-12

1E-13

1E-14

Рис. 2. Плотности двух симметризованных распределений Парето с µ = 1,

σ = 1 в логарифмических шкалах при x ≥ 1. Серая линия: k = 2,01; черная

линия: k = 1000.

хвостам, встречаются крайне редко. Влияние относительной тяжести этих

хвостов в экспериментах небольшого объема может быть описано в терминах

отличия понятий “почти невероятно” и “практически невероятно”.

Oднако благодаря этим хвостам СП-распределение с k = 2,01 имеет еди-

ничную дисперсию, как и показанное на рис. 1 распределение Парето с

k = 1000. Таким образом, слабо влияющие на результаты экспериментов (во

всяком случае, при исследовании модели ViSE) хвосты заставляют сравни-

вать СП-распределение с k = 2,01 с не похожими на него другими распреде-

лениями если стандартизация распределений производится по µ и σ. Тем

самым возникает потребность в ином принципе установления соответствия

159

3,0

k = 1000; s = 0,24

k = 1000; s = 0,48

2,5

k = 2,01; s = 4,8

k = 2,01; s = 9,6

2,0

1,5

1,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Рис. 3. Примеры функций плотности симметризованных распределений Па-

рето с µ = 1.

между распределениями. Такой принцип обсуждается в следующем разде-

ле 4.

Спорность в данном контексте соответствия, установленного по средне-

му и дисперсии, была отмечена в [2]: “В статье анализируется социальная

динамика в модели ViSE при разнотипных вероятностных распределениях,

имеющих одинаковые математическое ожидание и дисперсию. Такая стандар-

тизация по параметрам часто используется и представляется естественной.

Однако обратимся к рис. 3 [нумерация приведена в соответствие с настоящей

статьей], где показаны две пары СП-распределений, сравнительно близких в

большой окрестности моды точки µ.

Как было отмечено, распределения, входящие в каждую пару, отличают-

ся по σ в 20 раз. Если привести распределения со сверхтяжелыми хвостами

(k = 2,01) к той же дисперсии, что и распределения с k = 1000, то первые

“сконцентрируются” в 20 раз, и никакого сходства в окрестности моды уже

не будет. Вопрос: какое из распределений с k = 2,01 имеет смысл сопостав-

лять с распределением, у которого k = 1000? Исходное, близкое к нему при

заметных значения плотности, но с большей в 400 раз дисперсией, или имею-

щее ту же дисперсию и при этом плотность, очень быстро убывающую при

удалении от µ? Есть сильные аргументы, свидетельствующие в пользу перво-

го ответа. Это указывает на осмысленность иных подходов к стандартизации

распределений. Так, аналогичными можно считать распределения, одинако-

вые по µ и по ширине интервала с центром в µ, содержащего “половину” или

“бóльшую часть” распределения. Тогда [. . . ] выводы проведенного исследова-

ния дополнятся новыми”.

Тот факт, что стандартизация по дисперсии чрезмерно сосредотачивает

распределения Парето с тяжелыми хвостами вблизи моды, объясняется тем,

что любое увеличение вероятности больших выбросов (учитываемых при вы-

числении дисперсии квадратично) должно быть уравновешено снижением ве-

роятности отклонений среднего диапазона, превосходящих σ, и/или увеличе-

нием вероятности отклонений, меньших σ. Тем самым утяжеление хвостов

при фиксированной дисперсии приводит к ускорению убывания плотности

160

при удалении от среднего (совпадающего с модой) и, возможно, к увеличе-

нию плотности в самой моде.

В настоящей статье в рамках модели ViSE сопоставляются несколько сим-

метричных непрерывных распределений с равными значениями среднего µ и

ширины интервала с центром в µ, содержащего “половину” распределения,

т.е. интервала, интеграл по которому от плотности равен 0,5. Данный подход

будем называть стандартизацией симметричных распределений по кварти-

лям, или по математическому ожиданию и односторонней медиане.

4. Стандартизация распределений по квартилям для анализа модели ViSE

При исследовании модели ViSE большой интерес представляет анализ

влияния на социальную динамику типа распределения, посредством которого

генерируются предложения. Рассматриваемые распределения унимодальны

и симметричны относительно моды. При этом понятие типа распределения

включает, в частности, тяжесть хвостов и вид функции плотности вблизи мо-

ды, но исключает [23, 24] параметры положения (среднее, в данном случае

совпадающее с модой и медианой) и разброса/масштаба (к которым отно-

сится дисперсия). Для симметризованных распределений Парето [2] тип рас-

пределения задается параметром k > 0: чем меньше k, тем тяжелее хвосты

распределения. При k ≤ 2 распределение Парето не имеет дисперсии, а при

k ≤ 1 не имеет и математического ожидания.

Мерой, часто используемой для характеризации тяжести хвостов распре-

деления (и одновременно формы его пика), является предложенный К. Пир-

соном эксцесс: γ₂ =µ4

- 3, где µ₄ = E[(X - EX)⁴] четвертый центральный

σ⁴

момент распределения, σ его стандартное отклонение. Однако в данном

случае эксцесс неприменим, поскольку для распределений Парето он суще-

ствует лишь при k > 4, а в [2] и данной статье рассматриваются в числе

прочих распределения Парето со значениями k, близкими к 2. Альтернатив-

ные меры, как правило, определяются через квантили распределения (см.,

например, [23]).

Для оценки влияния типа распределения на социальную динамику бу-

дем сравнивать распределения, имеющие одинаковые значения квартилей Q₁,

Q₂ и Q₃, (тс)кающих 1/4, 1/2 и 3/4 единичной вероятности соответственно:

Q_s = F^-1

, s = 1,2,3, где F(·)

непрерывная функция распределения.

Такие распределения будем считать аналогичными по моде (ею в силу сим-

метрии и унимодальности является медиана центральный квартиль), и

масштабу (разбросу).

Таким образом, условием включения двух симметричных функций рас-

пределения F₁(x) и F₂(x) в один класс является выполнение равенств

(3)

F^-11 (0,25) = F^-12 (0,25) ; F^-11 (0,5) = F^-12

(0,5) ,

из которых в силу симметрии распределений следует F^-11 (0,75) = F^-12 (0,75).

Отметим, что данный способ сопоставимого шкалирования распределений

рассматривался как наиболее приемлемый в [23, 25] и ряде других публика-

ций.

161

0,008

Парето, k = 2,01

Парето, k = 2,3

Парето, k = 4

Парето, k = 500

0,006

Логистическое

Распр. Гаусса, s = 80

Стьюдент, 3 св.

0,004

0,002

-300

-100

100

300

Рис. 4. Плотности рассматриваемых распределений, для которых µ = 0 и

Q₃ ≈ 53,95918: нормального (σ = 80), логистического, распределения Стью-

дента с 3 степенями свободы (“3 св.”) и симметризованных распределений Па-

рето с разными k.

Для определенности будем рассматривать классы распределений, вклю-

чающие распределение Гаусса (нормальное распределение) с параметром

σ = 80. Каждый такой класс характеризуется медианой F^-1(0,5) всех входя-

щих в него распределений. На рис. 4 плотность нормального распределения

с параметром σ = 80 представлена наряду с плотностями нескольких дру-

гих распределений: Стьюдента с тремя степенями свободы, логистического и

симметризованного Парето с четырьмя значениями параметра k.

Распределения с k = 2,1 и k = 2,01 можно назвать распределениями со

сверхтяжелыми хвостами, поскольку при еще большей тяжести хвостов

(k ≤ 2) параметры социальной динамики не удается оценить усреднением ре-

зультатов имитационного моделирования из-за отсутствия дисперсии. В “худ-

шем случае” при k = 2,01 в интервал [-281; 281] попадает 90 % наблюдений.

Следует заметить, что квартильный подход служит основой разработки

семейства мер тяжести хвостов, предложенных в [25]. Эти меры оценивают

распределение по отношению к его квартилям и в свою очередь восходят к

мерам Хинкли [26]. Так, левый квантильный вес (LQW) и правый квантиль-

ный вес (RQW) определяются формулами

(_p)

(₁

)

(₁)

F^-1

+F^-1

-p2

- 2F^-1

LQW_F (p) =

(_p)

(₁

)

;

F^-1

-F^-1

-p

(

)

(

)

(₃)

F^-1

+q2

+F^-1

1-^q2

- 2F^-1

RQW_F (q) =

(₁

)

(

)

F^-1

+q2

-F^-1

1-^q

где 0 < p < 0,5 < q < 1. Для оценки тяжести левого и правого хвоста распре-

деления используются, в частности, LQW_F (0,25) и RQW_F (0,75).

162

Стандартизация (3), в отличие от использованной в [2], где разброс оцени-

вался среднеквадратичным отклонением, приводит к сопоставлению функ-

ций плотности, сравнимых по значениям в окрестности среднего, включаю-

щей бóльшую часть распределения. Это позволяет получить выводы о зави-

симости динамических свойств модели ViSE от типа распределений, лучше

интерпретируемые в терминах приложений.

5. Исследование социальной динамики при стандартизации

распределений по квартилям

Перейдем к анализу результатов исследования социальной динамики в мо-

дели ViSE при стандартизации распределений по квартилям. На рис. 5,а гра-

фики среднего приращения капитала за один шаг голосования (СПК ; см. [2])

эгоистов при СП-распределении не имеют (в отличие от распределения Гаус-

са) существенной “ямы ущерба” [2], т.е. участка по µ, где голосование в сред-

нем приводит к невыгодным для общества решениям. В обществе, состоящем

из эгоистов, при отсутствии вымирания утяжеление хвостов симметризован-

ного распределения Парето приводит к большим значениям СПК при тех

же µ.

В обществе из альтруистов с окном поддержки [0; 65 %] (рис. 5,б ), если k

достаточно велико (в данном случае при k > 2,3), то график СПК имеет

заметную яму ущерба; при увеличении k она сдвигается вправо. Чем тяжелее

хвосты распределения, тем выше положительные значения СПК. При отри-

цательных СПК (в яме ущерба) это утверждение выполняется не всегда. На-

личие ямы ущерба связано с тем, что альтруисты поддерживают лишь 65 %

общества; при окне поддержки [0; 100 %] она невозможна по определению

альтруистической стратегии.

Положительное влияние тяжести хвостов на скорость роста СПК свой-

ство, ярко проявляющееся именно при стандартизации распределений по

квартилям. При содержательно неоправданной стандартизации по среднему

и дисперсии реализуется обратная закономерность (см. рис. 5 в [2]), поскольку

увеличивающие СПК большие выбросы получают при k, близких к 2, очень

низкую вероятность, и их присутствие компенсируется малостью типичных

положительных отклонений от среднего (см. рис. 1).

В случае с вымиранием (рис. 5,в) тяжесть хвостов также увеличивает

СПК как эгоистов, так и альтруистов с окном [0; 65 %], но на СПК аль-

труистов влияет намного сильнее. При фиксированном k СПК альтруистов

существенно выше, чем у эгоистов; СПК альтруистов при k = 20 сравнимо

с СПК эгоистов при k = 2,1. Таким образом, альтруистические общества с

вымиранием эффективнее эгоистических по критерию СПК.

На рис. 5,г показаны линии относительной численности (в случае с вы-

миранием) участников после 500-го хода: эгоистов и альтруистов с окнами

поддержки [0; 65 %] и [0; 100 %] при значениях k, равных 2,01, 2,1 и 200. Все

рассматриваемые функции численности при µ = -10 принимают значения на

небольшом отрезке [0,15; 0,16]. При µ < -13 и фиксированном k лучше всех

сохраняют численность эгоисты, затем альтруисты с окном [0; 100 %] и, нако-

нец, альтруисты с окном [0; 65 %], но при µ > -2 порядок обратный! В рамках

163

Распр. Гаусса

7,5

Распр. Гаусса

k = 2,1, [0; 65%]

k = 2,01, эгоисты

3,75

6,5

k = 2,01, [0; 65%]

k = 2,3, [0; 65%]

k = 2,1, эгоисты

6,5

k = 2,1, [0; 65%]

k = 20, [0; 65%]

k = 2,3, эгоисты

3,25

k = 2,3, [0; 65%]

5,5

k = 2,1, эгоисты

k = 4, эгоисты

k = 4, [0; 65%]

5,5

k = 20, эгоисты

2,75

k = 2,3, эгоисты

k = 20, [0; 65%]

k = 500, эгоисты

4,5

k = 20, эгоисты

k = 500, [0; 65%]

4,5

2,25

3,5

1,75

2,5

1,25

0,75

1,5

0,25

0,5

-20

-15

-10

-5

0-0,25-40

-30

-20

-10

0-0,5

-75

-50

-25

0-0,5

1,0

k = 2,01, эгоисты

k = 2,1, эгоисты

k = 2,3, эгоисты

k = 2,01, [0; 65%]

k = 2,1, [0; 65%]

0,8

k = 200, [0; 65%]

k = 2,01, [0; 100%]

k = 2,1, [0; 100%]

k = 200, [0; 100%]

0,6

0,4

0,2

-100

-60

-20

Рис. 5. СП-распределения с k ∈ (2; 2,3] в сравнении с другими распределени-

ями. СПК за один шаг без вымирания: а эгоисты, б альтруисты с окном

[0; 65%]. Эгоисты и альтруисты с вымиранием: в СПК за 1 шаг, г доля

участников после 500 шагов. Начальное число участников n = 201; начальный

капитал участника C₀ = 40; стандартизация по квартилям; для распределения

Гаусса σ = 80.

этой закономерности различия в численности в одних случаях почти отсут-

ствуют, в других - весьма велики. То, что при заметных отрицательных µ

и симметризованных распределениях Парето эгоисты лучше сохраняют чис-

ленность, чем альтруисты с окном [0; 100 %], уже отмечалось ранее (в связи

с рис. 3,б в [2]).

При µ < -6,6 численность эгоистов лучше сохраняется в случае распреде-

лений с тяжелыми хвостами; при µ > -6,6 напротив, для распределений с

более легкими хвостами. Скорости разорения при распределениях с k = 2,01

и k = 2,1 отличаются незначительно, однако при k = 200 отличие от распре-

делений с тяжелыми хвостами значимо.

164

На численность альтруистов тяжесть хвостов распределения влияет от-

рицательно и весьма существенно. Так, для альтруистов с окном поддерж-

ки [0; 65 %] при k = 200 и µ = -50 после 500-го шага общество сохраняется

практически полностью, а при k = 2,1 остается лишь 7 % участников. В слу-

чае µ > 20 такое общество также заметно лучше сохраняется при высоких k.

Лишь в интервале -20 < µ < 5 (особенно в слабо неблагоприятной среде, при

µ ∈ [-20; -3]) значение k почти не влияет на финальную относительную чис-

ленность, растущую с увеличением µ от 0,12 до 0,22. При µ ∈ [-20; -10] в сре-

де с k = 200 разорение даже чуть быстрее, чем в средах с k = 2,1 и k = 2,01.

Для альтруистов с окном поддержки [0; 100 %] в целом наблюдаются те же

качественные закономерности, причем на луче µ < -10 численность сохра-

няется лучше, чем при окне [0; 65 %], а на луче µ > 0 хуже.

Таким образом, наличие больших выбросов заметно интенсифицирует про-

цесс разорения альтруистов, а при достаточно высоких µ (в данном случае

при µ > -6,6) также и эгоистов. При стандартизации распределений по сред-

нему и дисперсии, приводящей к сопоставлению очень непохожих распреде-

лений, этот эффект не проявляется и численность, напротив, лучше сохра-

няется при распределениях с тяжелыми хвостами (рис. 5,г в [2]).

Быстрее всего общество разоряется при умеренных отрицательных значе-

ниях µ; исключение составляют общества из эгоистов при распределениях со

сверхтяжелыми хвостами (k = 2,01, k = 2,1), еще интенсивнее разоряющиеся

в слабо благоприятной среде. Отклонение µ от указанных значений ослабляет

разорение: при уменьшении µ из-за отказа от большей части разоряющих

предложений, при увеличении µ за счет повышения благоприятности пред-

ложений.

Сравнение графиков на рис. 5,в и 5,г приводит к следующим выводам.

СПК всегда растет с тяжестью хвостов, но этот рост сопровождается (для

альтруистов, а при µ > -6,6 и для эгоистов) увеличением темпов разоре-

ния. Исключение составляют эгоисты при µ < -6,6: для них с увеличением

тяжести хвостов разорение замедляется одновременно с ростом СПК. Одна-

ко при увеличении µ от этих значений растет доля принятых предложений.

В результате заметной величины достигает частота больших разорительных

потерь, внедряемых в принятые предложения распределениями с тяжелы-

ми хвостами. Поэтому рост µ увеличивает сравнительную опасность таких

распределений в отношении разорения.

Рисунки 6,а и 6,б представляют (в более мелком масштабе, чем на рис. 5)

линии СПК эгоистов и альтруистов при отрицательных и положительных µ

в модели с вымиранием. В случае µ > 0 СПК также растет с убыванием k,

т.е. с увеличением тяжести хвостов.

В благоприятной среде (как и в умеренно неблагоприятной) самое высокое

СПК имеют альтруисты с окном поддержки [0; 100 %], ниже СПК альтруис-

тов с окном [0; 65 %], еще ниже СПК эгоистов, причем этот порядок, разу-

меется, не зависит от стандартизации распределений, поскольку не требует

сравнения распределений друг с другом.

Графики численности (рис. 6,в) на дополнительном материале (добавлено

СП-распределение с k = 3) подтверждают выводы, полученные при анализе

165

k = 3, эгоисты

k = 2,1, эгоисты

k = 3, эгоисты

1,0

k = 200, эгоисты

k = 2,3, эгоисты

k = 3, [0; 65%]

k = 3, [0; 100%]

k = 20, эгоисты

k = 3, [0; 100%]

k = 200, [0; 100%]

k = 2,1, [0; 65%]

k = 200, эгоисты

k = 3, [0; 65%]

k = 2,3, [0; 65%]

k = 200, [0; 65%]

0,8

k = 20, [0; 65%]

k = 200, [0; 100%]

0,6

0,4

0,2

-75

-50

-25

-1

-30

-20

-10

-1

-80

-40

Рис. 6. Показатели социальной динамики при СП-распределениях и выми-

рании; n = 201; начальный капитал C₀ = 40; стандартизация по квартилям;

распределения из класса, включающего распределение Гаусса с σ = 80. а, б

СПК, в доля участников после 500 шагов.

рис. 5,г: при распределениях с тяжелыми хвостами общество сохраняется

хуже (исключение общество из эгоистов при µ < -6), достигая при этом,

однако, более высокого среднего приращения капитала участников. Отметим

близость значений остаточной численности альтруистов и эгоистов в случаях

слабо неблагоприятной и благоприятной (µ > -12) среды при сравнительно

легких (k = 200) хвостах распределения, генерирующего предложения.

На рис. 6,а графики обществ из эгоистов при k = 2,1 и k = 2,3 почти не

отличаются. На представленном диапазоне изменения µ СПК альтруистов с

окном [0; 65 %] и теми же k положительно и значительно выше, чем СПК эго-

истов. Последнее почти не отличается от нуля при µ < -15, а при бóльших

значениях µ положительно. В случае k = 20 разница между графиками СПК

альтруистов с окном [0; 65 %] и эгоистов гораздо меньше: первые заметно от-

личаются (и опережают) лишь при -23 < µ < 5, а при µ < -23 СПК и тех,

и других близко к нулю. Альтруисты не опережают эгоистов значительнее, в

частности, из-за того, что при окне поддержки [0; 65 %] они игнорируют при-

ращения капитала 35 % участников. Общий простой вывод: тяжелые хвосты

распределения повышают СПК как эгоистов, так и альтруистов, но альтруис-

тов заметно сильнее. Перечень основных выводов будет приведен в разделе 6.

6. Логистическое распределение и распределение Стьюдента

В предыдущем разделе 5 представлен анализ динамики капиталов при ге-

нерации предложений посредством распределения Гаусса и симметризован-

ных распределений Парето. Эти два генератора контрастны по двум при-

знакам: классическое колоколообразное распределение с легкими (∼ e-x2 )

хвостами и распределения с тяжелыми хвостами и острым пиком. Разумеет-

ся, класс симметричных унимодальных распределений на прямой включает

166

Логистическое, [0; 65%]

2,25

Логистическое, эгоисты

Распр. Гаусса, эгоисты

Распр. Гаусса, [0; 65%]

4,5

Стьюдент 3 св., [0; 65%]

Стьюдент 3 св., эгоисты

Стьюдент 3 св., [0; 65%]

Стьюдент 3 св., эгоисты

Логистическое, эгоисты

Логистическое, [0; 65%]

0,6

Распр. Гаусса, [0; 65%]

Парето, k = 20, эгоисты

Парето, k = 20, [0; 65%]

Распр. Гаусса, эгоисты

Парето, k = 500, эгоисты

1,75

Парето, k = 500, [0; 65%]

Парето, k = 20, [0; 65%]

3,5

Парето, k = 20, эгоисты

0,4

1,25

2,5

0,2

0,75

1,5

0,25

0,5

-30

-20

-10

-20

-15

-10

-5

-30-25-20-15

-10 -

-0,25

-0,2

-0,5

Стьюдент 3 св., [0; 65%]

Стьюдент 3 св., [0; 100%]

1,0

Логистическое, [0; 65%]

Логистическое, [0; 100%]

k = 200, [0; 65%]

k = 200, [0; 100%]

0,8

Логистическое, эгоисты

0,6

Логистическое, [0; 65%]

Логистическое, [0; 100%]

Стьюдент 3 св., эгоисты

Стьюдент 3 св., [0; 65%]

0,4

Стьюдент 3 св., [0; 100%]

Парето, k = 20, эгоисты

Парето, k = 20, [0; 65%]

Парето, k = 20, [0; 100%]

0,2

-15

-1

-70

-50

-30

-10

Рис. 7. Логистическое распределение и распределение Стьюдента с 3 степеня-

ми свободы в сравнении с другими. СПК за один шаг в модели без вымирания:

а эгоисты, б альтруисты с окном [0; 65%]. Эгоисты и альтруисты в модели

с вымиранием: в, г СПК за 1 шаг, д доля участников после 500 шагов при

начальном капитале участника C₀ = 40. Начальное число участников n = 201;

стандартизация по квартилям; для распределения Гаусса σ = 80.

большое разнообразие представителей с иными свойствами. Чтобы оценить

степень влияния типа распределения на динамику капитала, рассмотрим так-

же распределение Стьюдента с тремя степенями свободы (при двух степенях

свободы распределение не имеет дисперсии) и логистическое распределение.

Соответствующие показатели социальной динамики в сравнении с распреде-

лениями, рассмотренными ранее, показаны на рис. 7.

Для общества из эгоистов (рис. 7,а) все рассматриваемые распределения

при µ < 0 однозначно упорядочиваются по СПК: при распределении Гаусса

СПК самое низкое, далее следует логистическое, заметно обгоняет его рас-

пределение Стьюдента и, наконец, приводящие примерно к тем же значениям

СПК симметризованные распределения Парето с k = 500 и k = 20. Это упо-

рядочение совпадает с упорядочением по тяжести хвостов. Тем самым до-

бавленные распределения подтверждают закономерности, выявленные при

анализе рис. 5,а.

167

В случае общества из альтруистов с окном поддержки [0; 65 %] закономер-

ность несколько сложнее (рис. 7,б ). Линии СПК(µ) для логистического рас-

пределения и распределения Стьюдента могут быть получены из линии для

распределения Гаусса последовательными сдвигами влево и немного вниз с

небольшими дополнительными растяжениями. Тем самым при µ, меньших на

несколько единиц, достигаются несколько меньшие, чем для распределения

Гаусса, значения СПК. В результате увеличение тяжести хвостов приводит

к увеличению СПК лишь при положительных и сравнительно небольших по

модулю отрицательных µ, при дальнейшем же уменьшении µ выгоднее, что-

бы хвосты распределения были легче. СПК для распределения Стьюдента и

СП-распределений с k = 20 и k = 500, как и в обществе из эгоистов, довольно

близки, но в данном случае распределение Стьюдента с 3 степенями свободы

чуть больше похоже по СПК на СП-распределение с k = 20.

В модели с вымиранием (рис. 7,в) логистическое распределение имеет ту

же особенность, что и распределение Гаусса: линии СПК эгоистов и альтруис-

тов с окном поддержки [0; 65 %] очень близки, но логистическое распределе-

ние позволяет получить несколько бóльшие значения СПК. Распределение

Стьюдента для альтруистов с окном поддержки [0; 65 %] дает большой вы-

игрыш в сравнении с логистическим распределением, но для эгоистов этот

выигрыш меньше. Тем самым при распределении Стьюдента участникам за-

метно выгоднее (в смысле СПК) быть альтруистами с окном [0; 65 %], чем

эгоистами, и эта специфика сближает указанное распределение с распределе-

ниями Парето. Наиболее близко оно к СП-распределению с k = 20: отличие их

кривых приращения капитала для обоих типов обществ незначительно. В ка-

честве тонкого эффекта можно отметить, что при заметных отрицательных

значениях µ эгоисты имеют более высокое СПК, когда предложения гене-

рируются распределением Стьюдента с 3 степенями свободы, но при µ > -5

более выгодным для них оказывается уже распределение Парето с k = 20.

Аналогично для альтруистов с окном [0; 65 %] распределение Парето с k = 20

“догоняет” при µ = -1 распределение Стьюдента по СПК.

На рис. 7,г показаны линии СПК альтруистов с окнами поддержки [0; 65 %]

и [0; 100 %] для распределений Стьюдента, логистического и СП-распреде-

ления с k = 200. При каждом из них большее окно поддержки приводит к

бóльшим значениям СПК, причем разрыв увеличивается с ростом µ. Иными

словами, чем благоприятнее среда на рассматриваемом диапазоне µ, тем ме-

нее осмысленна (по критерию СПК) поддержка не всего общества, а лишь

65 % беднейших. Если СП-распределение с k = 20 приводит примерно к та-

ким же результатам, как распределение Стьюдента с тремя степенями сво-

боды (рис. 7,в), то при СП-распределении с k = 200, имеющем более легкие

хвосты, СПК как эгоистов, так и альтруистов ниже.

Кривые остаточной численности общества представлены на рис. 7,д. Заме-

тим, что линии эгоистов для распределений Стьюдента и логистического при

µ < 0 весьма близки, а при µ > 0 более высокие значения дает логистическое

распределение. При этом для распределения Стьюдента при достаточно боль-

ших по модулю отрицательных µ эгоисты сохраняют численность лучше, чем

альтруисты, а при логистическом распределении численность эгоистов лежит

между численностями альтруистов с окнами [0; 65 %] и [0; 100 %]. Таким об-

168

разом, и здесь распределение Стьюдента демонстрирует те же качественные

свойства, что и распределения Парето, а логистическое распределение лишь

несколько отклоняется от нормального (для которого численности эгоистов и

альтруистов с окном поддержки [0; 65 %] близки, см. рис. 3,а в [2]) в сторону

распределений с тяжелыми хвостами.

Если по СПК в модели с вымиранием распределения Стьюдента и Па-

рето с k = 20 приводят к близким результатам (рис. 7,в), то по численно-

сти в достаточно неблагоприятной среде как эгоистам, так и альтруистам

заметно выгоднее распределение Парето, а в существенно благоприятной

несколько выгоднее распределение Стьюдента. В нейтральной среде (а для

альтруистов при -4 < µ < 10) остаточные численности для этих двух рас-

пределений практически совпадают. При µ < -4 почти одинаковую остаточ-

ную численность, как отмечалось выше, дают уже распределение Стьюдента

и логистическое распределение.

Для эгоистов при µ < -4 самое выгодное из сравниваемых в отношении

численности СП-распределение, а при µ > -4 логистическое распределе-

ние. Для альтруистов при всех µ наиболее выгодно логистическое распреде-

ление, однако при -10 < µ < 5 распределения Стьюдента и Парето обеспечи-

вают практически такие же значения численности.

Общее лидерство по численности при µ < -4 принадлежит эгоистам при

распределении Парето, но для положительных значений µ они уже на послед-

нем месте, а на первом альтруисты с окном поддержки [0; 65 %] в среде с

логистическим распределением. При µ = 20 их догоняют как альтруисты с

окном [0; 100 %], так и эгоисты - также при логистическом распределении.

7. Основные результаты

К основным (и наиболее простым) результатам исследования динамики

модели ViSE, полученным в данной статье, можно отнести следующие.

1. При стандартизации по квартилям тяжесть хвостов распределения повы-

шает СПК как эгоистов, так и альтруистов как в случае с вымиранием,

так и в модели без него. При этом СПК альтруистов повышается суще-

ственно сильнее, но с одним исключением: при заметных отрицательных µ

увеличение тяжести хвостов может приводить не к увеличению СПК аль-

труистов с окном поддержки [0; 65 %], а к сдвигу ямы ущерба влево и даже

к ее углублению.

2. В случае с вымиранием тяжесть хвостов распределения ускоряет разоре-

ние как эгоистов, так и альтруистов, но также с одним исключением: при

заметных отрицательных µ разорение эгоистов при распределениях с тя-

желыми хвостами, напротив, несколько замедляется. Таким образом, рост

одного критерия (СПК) при вариации параметров распределения часто

сопровождается уменьшением другого (численности).

3. Логистическое распределение в рамках модели ViSE дает результаты, уме-

ренно отличающиеся от результатов распределения Гаусса в сторону рас-

пределений с более тяжелыми хвостами.

169

4. Распределение Стьюдента с тремя степенями свободы похоже по СПК на

СП-распределение с k = 20, особенно для эгоистов и альтруистов с ок-

ном поддержки [0; 65 %] в модели с вымиранием. В случае без вымирания

для эгоистов СПК при распределении Стьюдента примерно такое же, как

для распределений с более легкими хвостами (даже ниже, чем у СП-рас-

пределения с k = 500), а для альтруистов с окном [0; 65 %] напротив,

как у одного из СП-распределений с более тяжелыми хвостами, чем при

k = 20. Еще ярче последняя закономерность проявляется для графиков

остаточной численности. Для эгоистов кривая распределения Стьюдента

лежит между кривыми логистического и СП-распределения, почти слива-

ясь с первой при существенных отрицательных µ и со второй при µ > 0.

Для альтруистов с окнами поддержки [0; 65 %] и [0; 100 %] распределение

Стьюдента дает значения, характерные для распределений с более тяже-

лыми хвостами, чем СП-распределение с k = 20. Это отличие кривых мо-

жет быть связано с различием формы: острый пик у СП-распределений и

колоколообразная форма распределения Стьюдента.

Ряд других установленных закономерностей приведен в разделах 4 и 5.

8. Заключение

В статье изучена динамика однородных обществ в модели ViSE при гене-

рации предложений посредством распределений, различающихся тяжестью

хвостов: нормального, логистического, Стьюдента и симметризованных рас-

пределений Парето. В [2] было установлено, что тяжесть хвостов распределе-

ния случайных величин, генерирующих предложения, существенно влияет на

динамику капиталов и эффективность стратегий участников. Количествен-

ный учет влияния данного фактора требует введения классов распределе-

ний, различающихся по нему и близких по другим существенным парамет-

рам. В [2] такие классы строились посредством унификации математического

ожидания µ и дисперсии σ², что приводило к рассмотрению распределений

с тяжелыми хвостами, для которых вероятность заметных (в масштабе σ)

отклонений от среднего слишком низка. Это делает стандартное отклонение

контринтуитивной мерой разброса в случае распределений со сверхтяжелыми

хвостами и исследований рассматриваемого типа.

В данной статье разброс оценивался с помощью квартилей, результатом

чего было включение в один класс распределений, плотности которых уме-

ренно различаются на интервале, где сосредоточена бóльшая часть вероятно-

сти. При данном подходе к унификации распределений установлено, что утя-

желение хвостов распределения (означающее переток вероятности от сред-

них выбросов к большиим, а также, возможно, к наблюдениям, близким к

среднему) приводит к более высоким темпам разорения, но одновременно

позволяет участникам аккумулировать более высокий капитал посредством

реализации коллективных решений. Исключение общества из альтруистов

в неблагоприятной среде, для которых увеличение тяжести хвостов распре-

деления может приводить к сдвигу “ямы ущерба” влево и вниз. Установлен и

ряд более тонких эффектов, характеризующих динамику капитала однород-

ных обществ с различными социальными установками участников в разных

стохастических средах.

170

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Чеботарев П.Ю. Аналитическое выражение ожидаемых значений капиталов

при голосовании в стохастической среде // АиТ. 2006. № 3. С. 152-165.

Chebotarev P.Yu. Analytical Expression of the Expected Values of Capital at Vot-

ing in the Stochastic Environment // Autom. Remote Control. 2006. V. 67. No. 3.

P. 480-492.

Чеботарев П.Ю., Цодикова Я.Ю., Логинов А.К., Лезина З.М., Афонькин В.А.,

Малышев В.А. О сравнительной полезности альтруизма и эгоизма при голосо-

вании в стохастической среде // АиТ. 2018. № 11. С. 123-149.

Chebotarev P.Yu., Tsodikova Ya.Yu., Loginov A.K., Lezina Z.M., Afonkin V.A.,

Malyshev V.A. Comparative Efficiency of Altruism and Egoism as Voting Strategies

in Stochastic Environment // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 11. P. 2052-

2072.

Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974.

Mirkin B.G. Group Choice (P.C. Fishburn, ed.). N.Y.: Wiley, 1979.

Plott С.R. A Notion of Equilibrium and Its Possibility under Majority Rule // Amer.

Econ. Rev. 1967. V. 58. No. 4. P. 787-806.

McKelvey R.D. Intransitivities in Multidimensional Voting Models and Some Impli-

cations for Agenda Control // J. Economic Theory. 1976. V. 12. No. 3. P. 474-482.

Schofield N. The Spatial Model of Politics. Routledge, 2007.

Чеботарев П.Ю. Некоторые свойства траекторий в динамической задаче голо-

сования // АиТ. 1986. №. 1. С. 133-138.

Chebotarev P.Yu. Some Properties of Paths in the Dynamic Voting Problem // Au-

tom. Remote Control. 1986. V. 47. No. 1. Part 2. P. 121-126.

Saari D.G. The Generic Existence of a Core for q-rules // Economic Theory. 1997.

V. 9. No. 2. P. 219-260.

Новиков С.Г. Об одной динамической задаче теории голосований. I // АиТ. 1985.

№ 8. С. 104-114.

Novikov S.G. One Dynamic Problem in Voting Theory. I // Autom. Remote Control.

1985. V. 46. No. 8. P. 1016-1026.

10.

Новиков С.Г. Об одной динамической задаче теории голосований. II // АиТ.

1985. № 9. С. 118-127.

Novikov S.G. One Dynamic Problem in Voting Theory. II // Autom. Remote Control.

1985. V. 46. No. 9. P. 1168-1177.

11.

McKelvey R.D. Game Theoretic Models of Voting in Multidimensional Issue

Spaces // Game Theory Appl., Ed. by Ichiishi T., Neyman A., Tauman Y. San

Diego: Academ. Press, 1990. P. 317-335.

12.

Ordeshook P.C. The Spatial Analysis of Elections and Committees: Four Decades of

Research // Perspectiv. Public Choice: A Handbook, Mueller D. (Ed.). Cambridge,

U.K.: Cambridge Univer. Press, 1997. P. 247-270.

13.

Lehtinen A. The Welfare Consequences of Strategic Voting in Two Commonly Used

Parliamentary Agendas // Theor. Decis. 2007. V. 63. No. 1. P. 1

40.

14.

Kress D., Pesch E. Sequential Competitive Location on Networks // Eur. J. Oper.

Res. Eur. V. 217. No. 3. P. 483-499.

15.

Чеботарев П.Ю., Малышев В.А., Цодикова Я.Ю. и др. Оптимальный порог го-

лосования как функция коэффициента вариации среды // Управление больши-

ми системами. 2016. Т. 62. С. 169-187.

171

Chebotarev P.Y., Malyshev V.A., Tsodikova Ya.Yu., Loginov A.K., Lezina Z.M.,

Afonkin V.A. The Optimal Majority Threshold as a Function of the Variation Coef-

ficient of the Environment // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 4. P. 725-736.

16.

Чеботарев П.Ю., Логинов А.К., Цодикова Я.Ю., Лезина З.М., Борзенко В.И.

Анализ феноменов коллективизма и эгоизма в контексте общественного благо-

состояния // Проблемы управления. 2008. № 4. С. 30-37.

Chebotarev P.Yu., Loginov A.K., Tsodikova Ya.Yu., Lezina Z.M., Borzenko V.I.

Analysis of Collectivism and Egoism Phenomena within the Context of Social Wel-

fare // Autom. Remote Control. 2010. V. 71. No. 6. P. 1196-1207.

17.

Чеботарев П.Ю., Логинов А.К., Цодикова Я.Ю. и др. “Снежный ком” коопе-

рации и “снежный ком”-мунизм // Четвертая междунар. конф. по проблемам

управления: Сб. тр. М.: ИПУ РАН, 2009. С. 687-699.

18.

Malyshev V. Optimal Majority Threshold in a Stochastic Environment // arXiv

preprint math.OC/1901.09233, 2019.

19.

Tsodikova Y., Chebotarev P., Loginov A., Lezina Z. Modeling Responsible Elite //

Recent Advances of the Russian Operations Research Society, Ed. by Aleskerov F.,

Vasin A. Newcastle upon Tyne: Cambridge Scholars Publishing, 2020. P. 89-110.

arXiv preprint physics.soc-ph/1906.02072, 2019.

20.

Чеботарев П.Ю., Цодикова Я.Ю., Логинов А.К., Лезина З.М. Какой процент

альтруистов нужен в обществе и на что им следует направлять свои усилия? //

Второй Российский экономический конгресс, Суздаль, 18

22 февраля 2013 г.,

М.: НЭА, 2013. С. 1-3. http://skachate.ru/download/filosofiya-31943/31943.doc

21.

Wilson E.O. On Human Nature. Cambridge, MA: Harvard Univer. Press, 1979.

22.

Чеботарев П.Ю. Как строить гражданское общество “по науке” // Троицкий

вариант Наука. 2015. № 186. C. 1-2. http://trv-science.ru/uploads/186N.pdf

23.

Groeneveld R.A. A Class of Quantile Measures for Kurtosis // Amer. Statistician.

1998. V. 52. No. 4. P. 325-329.

24.

Arriaza A. et al. Shape Measures Based on the Convex Transform Order // Metrika.

2019. V. 82. No. 1. P. 99-124.

25.

Brys G., Hubert M., Struyf A. Robust Measures of Tail Weight // Comput. Stat.

Data An. 2006. V. 50. No. 3. P. 733-759.

26.

Hinkley D.V. On Power Transformations to Symmetry // Biometrika. 1975. V. 62.

P. 101-111.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Т. Алескеровым.

Поступила в редакцию 16.12.2019

После доработки 29.04.2020

Принята к публикации 25.05.2020

172