Автоматика и телемеханика, № 11, 2020

В.И. СИНИЦЫН, д-р физ.-мат. наук (sinitsin_vi@mail.ru)

(Федеральное государственное учреждение

“Федеральный исследовательский центр

“Информатика и управление” РАН” (ФИЦ ИУ РАН), Москва;

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)),

Э.Р. КОРЕПАНОВ, канд. техн. наук (ekorepanov@ipiran.ru),

Т.Д. КОНАШЕНКОВА (tkonashenkova64@mail.ru)

(Федеральное государственное учреждение

“Федеральный исследовательский центр

“Информатика и управление” РАН” (ФИЦ ИУ РАН), Москва)

ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ КАНОНИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

На основе вейвлет канонических разложений (ВЛКР) рассматриваются

задачи синтеза линейных оптимальных в среднем квадратическом (с.к.)

фильтров. Для моделирования существенно нестационарных стохастиче-

ских процессов (СтП), в том числе описывающих ударные воздействия,

предлагается использовать ВЛКР, построенные на основе коэффициентов

разложения его ковариационной функции по ортогональному двумерно-

му вейвлет базису. Для оценки наблюдаемого процесса, представленного

в виде ВЛКР, построен с.к. оптимальный линейный оператор в виде на-

бора формальных правил, описывающих реакцию оператора на базисные

вейвлет функции. Получены формулы для вычисления с.к. оптимальной

оценки сигнала и с.к. оптимальной оценки качества построенного с.к. оп-

тимального линейного оператора. Дано описание инструментального про-

граммного обеспечения “Синтез-ВЛ”, разработанного в среде MATLAB.

Приводится тестовый пример с дельта-функцией.

Ключевые слова: вейвлет каноническое разложение, нестационарный ли-

нейный с.к. оптимальный фильтр, ортогональные вейвлеты с конечным

носителем, вейвлеты Хаара.

DOI: 10.31857/S0005231020110082

1. Введение

В [1] приведен обстоятельный обзор современных подходов решения за-

дачи синтеза линейных оптимальных в среднем квадратическом фильтров.

В [2] дан краткий обзор известного алгоритмического и программного обеспе-

чения для решения задач нелинейного анализа стохастических систем (СтС)

на основе канонических разложений (КР). Приводятся примеры с результата-

ми работы инструментального программного обеспечения в среде MATLAB.

Изложенные в [3] материалы входят в состав разработанного инструменталь-

ного программного обеспечения в среде MATLAB и позволяют решать ши-

рокий круг задач, связанных со спектрально-корреляционным анализом и с

136

моделированием стационарных и нестационарных стохастических процессов

(СтП). С помощью данных алгоритмов можно проводить анализ линейных

и нелинейных преобразований случайных величин и функций. Проведенные

вычислительные эксперименты показали, что для большинства типовых ин-

женерных задач достаточно ограничиваться небольшим числом членов КР.

Описанное методическое и алгоритмическое обеспечение нашло применение

в задачах моделирования и оценки параметров вибровозмущений и синтеза

средств виброзащиты, вибронадежности компьютерного и коммуникацион-

ного оборудования.

Для моделирования существенно нестационарных СтП в условиях, напри-

мер, ударных воздействий успешно применяются вейвлет методы. Методы

моделирования СтП в линейных СтС и линейных СтС с параметрическими

шумами на основе вейвлет канонических разложений (ВЛКР) разработаны

в [3-8]. Вопросы синтеза с.к. оптимальных линейных фильтров посредством

вейвлет канонических разложений в регулярных случаях рассмотрены в [9].

В настоящей статье на основе ВЛКР рассматриваются задачи синтеза опти-

мальных с.к. фильтров.

2. Теорема о вейвлет с.к. оптимальном линейном операторе

Пусть наблюдаемый сигнал Z(t) и сигнал W (s), подлежащий воспроизве-

дению, можно представить в виде суммы линейной комбинации известных

функций со случайными коэффициентами и помехи в виде некоторой слу-

чайной функции [10]:

∑

(2.1)

Z(t) =

U_rξ_r

(t) + X(t), t ∈ T,

r=1

∑

(2.2)

W (s) = U_rζ_r

(s) + Y (s), s ∈ S,

r=1

где X(t), Y (s) - случайные функции с нулевыми математическими ожида-

ниями; ξ₁, . . . , ξ_N , ζ₁, . . . , ζN - заданные структурные функции; U1, . . . , UN -

случайные величины (СВ) с нулевыми математическими ожиданиями и не

коррелированные со случайными функциями X(t) и Y (s). Требуется найти

такой оператор A_t, чтобы случайная функция

W^∗(s) = A_tZ(t)

была с.к. оптимальной оценкой сигнала W (s). Согласно [10] для этого необ-

ходимо и достаточно, чтобы линейный оператор A_t был с.к. оптимальным,

т.е. удовлетворял уравнению

∑

(2.3)

A_t[K_X(t,τ)] = K_YX(s,τ) +

γ_pq (ζ_p(s) - A_t[ξ_p(t)]) ξ_q

(τ).

p,q=1

137

При этом для определения с.к. оптимального линейного оператора при-

годны только такие решения уравнения (2.3), которые преобразуют X(t)

в случайные функции, обладающие конечными дисперсиями. Тогда уравне-

ние (2.3) имеет общий вид

(2.4)

A_t[K_X

(t, τ)] = f(s, τ) (t, τ ∈ T ; s ∈ S),

где f(s, τ) - известная функция. В [9] доказана теорема о вейвлет с.к. опти-

мальном линейном операторе.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) в пространстве L²(T ), где T = [t₀, t₁] - некоторый промежуток, задан

ортонормированный вейвлет базис, порожденный вейвлетами с конечными

носителями, вида

(

)

(2.5)

ϕt00(t), ψ^tjk(t) ,

√

где ϕ^t00(t) = ϕ^t(t) - масштабирующая функция ϕ^tjk =

2j ϕ^t(2^j t - k); ψ^t00(t) =

√

= ψ^t(t) - материнский вейвлет; ψ^tjk(t) =

2j ψ^t(2^j t - k); j = 1, 2, . . . , J^t; k =

= 0, 1, . . . , 2^j - 1; J^t - максимальный уровень разрешения;

2) в пространстве L²(S), где S = [s₀, s₁] - некоторый промежуток, задан

ортонормированный вейвлет базис вида, порожденный вейвлетами с конеч-

ными носителями, вида

(

)

(2.6)

ϕs00(s), ψ^sjk(s) ,

√

(

)

где ϕ^s00 (s) = ϕ^s (s)

масштабирующая функция ϕ^sjk =

2j ϕ^s

2j s - k

;

√

ψ^s00(s) = ψ^s(s) - материнский вейвлет; ψ^sjk(s) =

2j ψ^s(2^j s - k); j = 1, 2, . . .

...,J^s; k = 0,1,...,2^j - 1; J^s - максимальный уровень разрешения;

3) в пространстве L²(T ×T ) определен двумерный ортонормированный ба-

зис путем тензорного произведения двух одномерных вейвлет базисов (2.5)

в случае, когда масштабирование по обеим переменным происходит одина-

ково:

(2.7)

Φ^tA00(t₁,t₂) = ϕ^t00(t₁)ϕ^t00(t₂

(2.8)

Ψ^tHjkn(t₁,t₂) = ϕ^tjk(t₁)ψ^tjn(t₂

(2.9)

Ψ^tBjkn(t₁,t₂) = ψ^tjk(t₁)ϕ^tjn(t₂

(2.10)

Ψ^tDjkn(t₁,t₂) = ψ^tjk(t₁)ψ^tjn(t₂

где j = 1, . . . , J^t; k, n = 0, 1, . . . , 2^j - 1;

4) в пространстве L²(S×T ) определен двумерный ортонормированный ба-

зис вида путем тензорного произведения двух одномерных вейвлет базисов

(2.5) и (2.6) в случае, когда масштабирование по обеим переменным проис-

ходит по-разному:

(2.11)

Φ^sA00(s,t) = ϕ^s00(s)ϕ^t00

(t),

138

(2.12)

Ψ^sHj

(s, t) = ϕ^s00(s)ψ^tj

(t),

(2.13)

Ψ^sBj

(s, t) = ψ^sj

(s)ϕ^t00

(t),

(2.14)

Ψ^sDj

(s, t) = ψ^tj

(s)ψ^tj

(t),

1kj2n

где j₁ = 0, 1, . . . , J^s; k = 0, 1, . . . , 2j1 - 1; j₂ = 0, 1, . . . , J^t; n = 0, 1, . . . , 2j2 - 1;

5) функция f(s, t) ∈ L²(S×T ) имеет сходящееся вейвлет разложение

(ВЛР) согласно

[11-13]:

∑

f (s, τ) = a^f Φ^sA00(s, τ) +

h^fjkΨ^sHjk(s,τ) +

b^fjkΨ^sBjk(s,τ) +

j=0 k=0

∑

d^fj

ψ^sDj

(s, τ),

1kj2n

j₁=0 k=0 j2=0 n=0

где

∫

a^f =

f (s, τ)Φ^sA00(s, τ)dtds,

^{S T}∫

∫

h^fjk =

f (s, τ)Ψ^sHjk (s, τ)dtds,

S T

∫

b^fjk =

f (s, τ)Ψ^sBjk(s, τ)dtds,

S T

∫

d^fj

f (s, τ)Ψ^sDj

(s, τ)dtds;

1kj2

1kj2n

S T

6) функция K_X (t, τ) ∈ L²(T ×T ) допускает сходящееся ВЛР согласно

[11-13]:

K_X(t,τ) = a^tΦ^tA00(t,τ) +

(2.15)

∑

∑(

)

h^tjknΨ^tHjkn(t,τ) + b^tjknΨ^tBjkn(t,τ) + d^tjknΨ^tjknD(t,τ)

j=0 k=0 n=0

где

∫

a^t =

K_X(t₁,t₂)Φ^tA00(t₁,t₂)dt₁dt₂,

^{T T}∫

∫

h^tjkn =

K_X(t₁,t₂)Ψ^tHjkn(t₁,t₂)dt₁dt₂,

T T

139

∫

b^t

jkn

K_X(t₁,t₂)Ψ^tBjkn(t₁,t₂)dt₁dt₂,

T T

∫

d^tjkn =

K_X(t₁,t₂)Ψ^tDjkn(t₁,t₂)dt₁dt₂;

T T

7) результат воздействия неизвестного линейного оператора A_t на ба-

зисные вейвлет функции вида (2.5) представляют собой функции, принад-

лежащие пространству L²(S).

Тогда линейный оператор A_t, который является решением уравнения

(2.4), определяется посредством набора формальных правил:

A_t[ϕ^tjk(t)] = u_jk(s) (j = 0,1,... ,J^t;k = 0,1,... ,2^j - 1),

(2.16)

A_t[ψ^t00(t)] = v₀₀(s),

A_t[ψ^tjk(t)] = 0 (j = 1,... ,J^t;k = 0,1,... ,2^j - 1),

где

∑

u₀₀(s) = a^u00ϕ^s00(s) +

d^u00inψ^sin(s);

i=0 n=0

∑

v₀₀(s) = a^v00ϕ^s00(s) +

d^v00inψ^sin(s);

i=0 n=0

∑

u_jk(s) = a^ujkϕ^s00(s) +

d^ujkinψ^sin(s) (j = 1,... ,J^t;k = 0,1,... ,2^j - 1);

i=0 n=0

параметры a^u00 , d^u00in, a^v00 , d^v00in, a^ujk, d^ujkin (i = 0, . . . , J^s; n = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1;

j = 1, . . . , Jt; k = 0, 1, . . . , 2j - 1) являются решением системы линейных

алгебраических уравнений (СЛАУ ):





a^ta^u00 + b^t000a^v00 = a^f ,



h^t000a^u00 + d^t000a^v00 = h^f00,



∑



h^tjkna^ujk = h^fjn (j = 1,... ,J^t;k = 0,1,... ,2^j - 1),



k=0



(2.17)

a^td^u00il + b^t000d^v00il = b

(i = 0, . . . , J^s; l = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1),



h^t000d^u00il + d^t000d^v00il = d^fil00 (i = 0,... ,J^s;l = 0,1,... ,2ⁱ - 1),



∑



h^tjknd^ujkil = d^filjn



k=0



(i = 1, . . . , J^s; l = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1; j = 1, . . . , J^t; n = 0, 1, . . . , 2^j - 1).

140

3. Вейвлет канонические разложения

Примем, что случайная функция (СФ) X(t) в (2.1) допускает каноническое

разложение (КР) вида

∑

(3.1)

X(t) =

V_νx_ν

(t),

ν=1

где V_ν - некоррелированные СВ с нулевыми математическими ожидания-

ми и дисперсиями D_ν ; x_ν (t) - детерминированные координатные функции,

представленные в виде линейной комбинации базисных вейвлет функций ви-

да (2.5).

Для удобства представим одномерный ортонормированный вейвлет базис

(2.5) в виде:

(3.2)

f₁(t) = ϕ^t00(t); f₂(t) = ψ^t00(t); f_ν(t) = ψ^tjk

(t)

для ν = 3, 4 . . . , L^t; ν = l + k + 1; l = 2^j ; j = 1, 2, . . . , J^t; k = 0, 1, . . . , l - 1;

L^t = 2 · 2Jt .

Последовательный алгоритм построения вейвлет канонического разложе-

ния СФ X(t) определяется известными формулами [10] декорреляции СВ:

∫

A_ν = f_νX(t)dt (ν = 1,2,... ,L^t).

Определим ковариационные моменты СВ A_ν :

∫

k_νµ = M[A^◦ν A¯^◦µ] =

f_ν(t₁)f_µ(t₂)K_X(t₁,t₂)dt₁dt₂ (ν,µ = 1,2,... ,L^t).

T T

На основании (2.15) имеем:

k₁₁ = a^t; k₁₂ = h^t; k₂₁ = b^t; k₂₂ = d^t000; k_νµ = d^tjn

(3.3)

1n2

для ν = l + n₁ + 1; µ = l + n₂ + 1; l = 2^j ; j = 1, 2, . . . , J^t; n₁, n₂ = 0, 1,

...,l - 1. Остальные k_νµ = 0.

Для удобства введем функции

∫

(3.4)

z_ν(t) = f_ν(τ)K_X(t,τ)dτ (ν = 1,2,... ,L^t

Тогда в силу (2.15) имеем:

z₁(t) = a^tϕ^t00(t) + b^t000ψ^t00(t); z₂(t) = h^t000ϕ^t00(t) + d^t000ψ^t00(t);

∑

(

)

z_ν(t) =

h^tjknϕ^tjk(t) + d^tjknψ^tjk(t)

k=0

для ν = 3, . . . , L^t; ν = l + n + 1; l = 2^j ; j = 1, 2, . . . , J^t; n = 0, 1, . . . , l - 1.

141

При этом некоррелированные СВ V_ν удовлетворяют соотношениям:

∑

A^◦1 = V₁; A^◦r = - c_rνV_ν + V_r (r = 2,3,... ,L^t);

ν=1

где

k_ν1

c_ν1 = -

(ν = 2, 3, . . . , L^t);

D₁

(

)

(3.5)

∑

c_νµ = -

k_νµ -

D_λc_µλc_νλ

(µ = 2, 3, . . . , ν - 1; ν = 3, 4, . . . , L^t);

λ=1

∑

(3.6)

D₁ = D[V₁] = k₁₁; D_ν = D[V_ν] = k_νν - D_ν|c_νλ|² (ν = 2,3,... ,L^t

λ=1

Координатные функции x_ν (t) в силу [10] определяются последовательно фор-

мулами:

x₁(t) =

z₁(t);

D₁

(

)

∑

x_ν(t) =

d_νλz_λ(t) + z_ν(t)

(ν = 2, 3, . . . , L^t);

λ=1

∑

d_νλ = c_νλ +

c_νµd_µλ (λ = 1,2,... ,ν - 2); d_ν,ν-1 = c_ν,ν-1.

µ=λ+1

Далее представим координатные функции x_ν (t) в виде линейных комби-

наций базисных вейвлет функций вида (2.5):

(

)

(3.7)

x₁(t) =

a^tϕ^t00(t) + b^t000ψ^t00(t) ;

D₁

)

((

)

(

)

(3.8)

x₂(t) =

d₂₁a^t + h^t000

ϕt00(t) +

d₂₁b^t000 + d^t000

ψ^t00(t) ;

D₂

((

)

(

)

x₃(t) =

d₃₁a^t + d₃₂h^t000

ϕt00(t) +

d₃₁b^t000 + d₃₂d^t000

ψ^t00(t) +

D₃

(3.9)

)

+ h^t100ϕ^t10(t) + h^t110ϕ^t11(t) + d^t100ψ^t10(t) + d^t110ψ^t11(t) ;

(

)

(

)

x₄(t) =

d₄₁a^t + d₄₂h^t000

ϕt00(t) +

d₄₁b^t000 + d₄₂d^t000

ψ^t00(t) +

D₄

(3.10)

)

∑(

)

∑(

)

d₄₃h^t1k0 + h^t1k1

ϕt1k(t) +

d₄₃d^t1k0 + d^t1k1

ψ^t1k(t)

k=0

142

Для следующих координатных функций для удобства введем обозначения

(3.11)

x_ν(t) = x^∗jn(t)

(ν = 5, 6, . . . , L^t; ν = 2^j + n + 1; j = 2, 3, . . . , J^t; n = 0, 1, . . . , 2^j - 1).

Если n = 0, то ν = 2^j + 1 для j = 2, 3, . . . , J^t и

(3.12)

x_ν(t) = x^∗j0

(t) =



(d_ν1a^t + d_ν2h^t000)ϕ^t00(t) + (d_ν1b^t000 + d_ν2d^t000)ϕ^t00(t) +

D_ν



∑

d_νλ(h^tikn

ϕtik(t) + d^tikn

ψ^tik(t)) +

(h^tjk0ϕ^tjk(t) + d^tjk0ψ^tjk(t))

i=0 k=0 n1=0

k=0

для λ = 2ⁱ + n₁ + 1.

Если n = 0, то ν = 2^j + n + 1 для j = 2, 3, . . . , J^t; n = 0, 1, . . . , 2^j - 1 и

x_ν(t) = x^∗jn(t) =



(

)

(

)



d_ν1a^t + d_ν2h^t000

ϕt00(t) +

d_ν1b^t000 + d_ν2d^t000

ψ^t00(t) +

D_ν

∑

(

)

d_νλ

h^tikn

ϕtik(t) + d^tikn

ψ^tik(t)

(3.13)

i=0 k=0 n1=0

∑

(

)

dνλ1

h^tikn

ϕtik(t) + d^tikn

ψ^tik(t)

k=0 n1=0



∑

(

h^tjknϕ^tjk(t) + d^tjknψ^tjk(t)

)

k=0

для λ = 2ⁱ + n₁ + 1, λ₁ = 2^j + n₁ + 1 .

Наконец, можно убедиться, что выражения (3.7)-(3.13) можно записать в

общем виде:

∑

∑(

)

(3.14)

x_ν(t) =

a^xνjkϕ^tjk(t) + d^xjkψ^tjk(t)

(ν = 1, 2, . . . , L^t

j=0 k=0

4. Синтез вейвлет с.к. оптимальной оценки сигнала

Для решения операторного уравнения (2.3) применим теорему 1. Будем

считать, что выполнены все условия теоремы 1, а также дополнительные

условия:

143

1) функции ξ₁, . . . , ξ_N ∈ L²(T ) и представимы в виде сходящихся вейвлет

разложений (ВЛР) на промежутке T :

∑

(4.1)

ξ_p(t) = a^ξpϕ^t00(t) +

d^ξpjkψ^tjk

(t) (p = 1, . . . , N),

j=0 k=0

где

∫

a^ξp = ξ_p(t)ϕ^t00(t)dt,

^T∫

d^ξpjk = ξ_p(t)ψ^tjk(t)dt;

2) функции ζ₁, . . . , ζ_N (s) ∈ L²(S) и представимы в виде сходящихся ВЛР

на промежутке S:

∑

(4.2)

ζ_p(t) = a^ζpϕ^s00(s) +

d^ζpjkψ^sjk

(s) (p = 1, . . . , N),

j=0 k=0

где

∫

a^ζp = ζ_p(t)ϕ^s00(s)ds,

^S∫

d^ζpjk = ζ_p(s)ψ^sjk(s)ds;

3) функция K_YX (s, τ) ∈ L²(S ×T ) и представима в виде сходящегося ВЛР:

∑

K_YX(s,τ) = a^sΦ^sA00(s,τ) +

h^sjkΨ^sHjk(s,τ) +

j=0 k=0

(4.3)

∑

b^sjkΨ^sBjk(s,τ) +

d^sj

Ψ^sDj

(s, τ),

1kj2n

j=0 k=0

j₁=0 k=0 j2=0 n=0

где

∫

a^s =

K_YX(s,τ)Φ^sA00(s,τ)dτds,

^{S T}∫

∫

h^sjk =

K_YX(s,τ)Ψ^sHjk(s,τ)dτds,

S T

144

∫

b^s

K_YX(s,τ)Ψ^sBjk(s,τ)dτds,

S T

∫

d^sj

K_YX(s,τ)Ψ^sDj

(s, τ)dτds.

1kj2

1kj2n

S T

Тогда с.к. оптимальный линейный оператор A_t задается набором формаль-

ных правил теоремы 1. Коэффициенты ВЛР функций u₀₀(s), v₀₀(s), u_jk(s)

(j = 1, . . . , J^t; k = 0, 1, . . . , 2^j - 1) по базису вида (2.6) удовлетворяют систе-

ме линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида (2.17):

∑

(

)

(4.4)

a^ta^u00 + b^t000a^v00 = a^s

+ γ_pq a^ζp -a^ξpa^u00 -d^ξp00a^v

a^ξq,

p,q=1

∑

(

)

(4.5)

d^t000a^v00 + h^t000a^u00 = h^s

+ γ_pq a^ζp -a^ξpa^u00 -d^ξp00a^v

d^ξq00,

p,q=1

∑

(

)

(4.6)

h^tjkna^ujk = h^s

+ γ_pq a^ζp -a^ξpa^u00 -d^ξp00a^v

d^ξqjn

k=0

p,q=1

(i = 0, 1, . . . , J^s; l = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1),

∑

(

)

(4.7)

a^td^u00il + b^t000d^v000il = b^s

+ γ_pq a^ζp -a^ξpa^u00 -d^ξp00a^v

a^ξq

p,q=1

(i = 0, 1, . . . , J^s; l = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1),

∑

(

)

(4.8)

d^t000d^v000il + h^t000d^u00il = d^s

+ γ_pq d^ζpil -a^ξpd^u00il -d^ξp00d^v

d^ξq00

il00

000il

p,q=1

(i = 0, 1, . . . , J^s; l = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1),

∑

(

)

(4.9)

h^tjknd^ujkil = d^s

iljn

+ γ_pq d^ζpil -a^ξpd^u00il -d^ξp00d^v

000il

d^ξqjn

k=0

p,q=1

(j = 1, . . . , J^t; n = 0, 1, . . . , 2^j - 1; i = 0, 1, . . . , J^s; l = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1) .

Качество оптимального с.к. оператора определяется с.к. оценкой [10]:

[

]

[

]

[

]

η(s) = M |δW |2

= M |W(s) - W^∗(s)|²

= M |W(s) - A_tZ(t)|2

= Γ_W(s,s) - A_tΓ_WZ(s,t) = Γ_W(s,s) - A_tΓ_WZ(s,t),

145

так как Γ_WZ (s, t) - действительная функция. Согласно (2.1), (2.2):

∑

Γ_W (s,s) =

γ_pqζ_p(s)ζ_q(s) + K_Y (s,s),

p,q=1

∑

Γ_WZ(s,t) =

γ_pqζ_p(s)ξ_q(t) + K_YX(s,t).

p,q=1

Отсюда находим

∑

η (s) =

γ_pqζ_p (s)ζ_q (s) + K_Y (s,s) -

p,q=1





∑

−A_t

γ_pqζ_p (s) ξ_q (t) + K_YX (s,t) =

p,q=1

∑

(

)

= γ_pqζ_p(s) ζ_q(s) - a^ξqu₀₀(s) - d^ξq00v₀₀(s)

+ KY (s,s) -

p,q=1





∑

-a^sϕ^s00 +

b^sjkϕ^sjk(s) u₀₀(s) + h^s00ϕ^s00(s)v₀₀(s) .

j=0 k=0

В итоге получено следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, а также:

1) наблюдаемый сигнал Z(t) имеет вид (2.1), сигнал, подлежащий вос-

произведению, W(s) имеет вид (2.2);

2) ξ₁, . . . , ξ_N ∈ L²(T );

ζ₁,... ,ζ_N ∈ L²(S);

K_YX(s,t) = M[Y (s)X(t)] ∈

∈ L²(S×R).

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) с.к. оптимальный линейный оператор A_t, определяемый уравнени-

ем (2.3), задается набором формальных правил (2.16), а параметры a^ujk,

d^ujkin, a^u00, d^u00in, a^v00, d^v00in (i = 0,... ,J^s; n = 0,1,... ,2ⁱ - 1; j = 1,... ,J^t;

k = 0,1,...,2^j - 1) определяются СЛАУ (4.4)-(4.9);

2) качество с.к. оптимального линейного оператора A_t определяется с.к.

оценкой:

∑

(

)

η(s) =

γ_pqζ_p(s) ζ_q(s) - a^ξqu₀₀(s) - d^ξq00v₀₀(s)

+ KY (s,s) -

p,q=1

(4.10)





∑

-a^sϕ^s00 +

b^sjkϕ^sjk(s) u₀₀(s) + h^s00ϕ^s00(s)v₀₀(s) .

j=0 k=0

146

Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда с.к. опти-

мальная оценка W^∗(s) сигнала W (s) определяется формулой:

∑

(

)

W^∗(s) = AtZ(t) =

U_r a^ξru₀₀(s) + d^ξr00v₀₀(s)

r=1

(4.11)

(

)

∑

+ V_ν d^xν00v₀₀(s) +

a^xνjku_jk(s)

ν=1

j=0 k=0

Следствием теоремы 2 являются два алгоритма: построение с.к. оптималь-

ного линейного оператора A_t и построение с.к. оптимальной оценки W^∗(s)

сигнала W (s).

Алгоритм 1.

1. Задание вейвлет базисов (2.5), (2.6), (2.7)-(2.10), (2.11)-(2.14).

2. Вейвлет разложение функций ξ₁, . . . , ξ_N ∈ L²(T ) по базису (2.5), функ-

ций ζ₁, . . . , ζ_N (s) ∈ L²(S) по базису (2.6), функции K_X (t, τ) ∈ L²(T ×T ) по

базису (2.7)-(2.10), K_YX (s, τ) ∈ L²(S×T ) по базису (2.11)-(2.14).

3. Составление и решение СЛАУ (4.4)-(4.9) относительно a^ujk, d^ujkil, a^u00,

d^u00in, a^v00, d^v00in (i = 0,... ,J^s; n = 0,1,... ,2ⁱ - 1; j = 1,... ,J^t; k = 0,1,

...,2^j - 1).

4. Задание набора формальных правил (2.16), которыми определяется с.к.

оптимальный линейный оператор A_t.

5. Вычисление с.к. оптимальной оценки η по формуле (4.10) для опреде-

ления качества с.к. оптимального линейного оператора A_t.

Алгоритм 2.

1. Вейвлет разложение функций ξ₁, . . . , ξ_N ∈ L²(T ) по базису (2.5) в виде

(4.1).

2. Вейвлет каноническое разложение случайной функции (СФ) X(t) в виде

(3.1):

определение k_νµ по формулам (3.3), остальные k_νµ = 0;

определение D_ν = D[V_ν ] по формулам (3.5), (3.6);

определение координатных функции x_ν (t) в виде линейных комбинаций

базисных вейвлет функций вида (2.5) по формулам (3.7)-(3.14).

3. Построение с.к. оптимальной оценки W^∗(s) сигнала W (s) в виде (4.11).

5. Инструментальное программное обеспечение “Синтез-ВЛ”

На основе методических результатов разделов 3 и 4 в ФИЦ ИУ РАН раз-

работано инструментальное программное обеспечение (ИПО) “Синтез-ВЛ” в

среде MATLAB, которое реализует алгоритмы построения вейвлет с.к. оп-

тимального линейного оператора в случае линейной зависимости сигнала от

параметров и аддитивной помехи и осуществляет:

1) ввод исходных данных: набор подпрограмм-функций, задающих струк-

турные функции ξ₁, . . . , ξ_N , ζ₁, . . . , ζ_N и ковариационные функции K_X (t, τ),

K_YX(s,τ); промежуток наблюдения [t₀,t₁] СтП Z(t); промежуток оценки

[s₀, s₁] СтП W (t); максимальные уровни вейвлет разложения J^t и J^S ;

147

2) одномерное вейвлет разложение структурных функций ξ₁, . . . , ξ_N ,

ζ₁,... ,ζ_N по вейвлет базису Хаара с применением стандартной функции

wavedec;

3) двумерное вейвлет разложение ковариационных функций K_X (t, τ) и

K_YX(s,τ) по вейвлет базису Хаара с применением стандартной функции

wavedec2;

4) автоматическое составление и решение СЛАУ для вычисления пара-

метров: a^ujk, d^ujkil, a^v00, d^v00in (i = 1, . . . , J^s; n = 0, 1, . . . , 2ⁱ - 1; j = 1, . . . , J^t;

k = 0,1,...,2^j - 1);

5) построение ВЛКР процесса X(t) на основе двумерного вейвлет разло-

жения ковариационной функции K_X (t, τ) по вейвлетам Хаара;

6) вывод результатов в числовом виде.

Исходные данные для ИПО “Синтез-ВЛ”, задаваемые в числовом виде:

1) начальный момент времени наблюдения сигнала T 0 = t₀;

2) конечный момент времени наблюдения сигнала T = t₁;

3) начальный момент времени оценки сигнала S0 = s₀;

4) конечный момент времени оценки сигнала SS = s₁;

5) максимальные уровни вейвлет разложения Jt = J^t, Js = J^s;

6) количество базисных вейвлет функций Nt = 2 · 2Jt , Ns = 2 · 2Js .

Исходные данные для ИПО “Синтез-ВЛ” в аналитическом виде, задаваемые

в виде пользовательских функций-подпрограмм:

1) набор функций-подпрограмм fksi1, . . . , fksiN для задания структур-

ных функций ξ₁, . . . , ξ_N ;

2) набор функций-подпрограмм fdzet1, . . . , fdzetN для задания структур-

ных функций ζ₁, . . . , ζ_N ;

3) подпрограмма-функция fcov для задания ковариационной функции

K_X(t,τ);

4) подпрограмма-функция fcovY X для задания ковариационной функции

K_YX(s,τ).

Подпрограммы-функции имеют синтаксис вызова: cov = fcov(t1, t2);

covY X = fcovY X(s, t); ksi = fksii(t) (i = 1, . . . , N); dzet = fdzeti(s) (i =

= 1, . . . , N).

Все вычисления осуществляются в подпрограмме-функции SYNTHESISWL1,

которая имеет синтаксис вызова:

[W Ot, nett] = SYNTHESISWL1(Jt, Nt, T 0, T, Js, Ns, S0, SS).

Выходные данные выдаются в матричном виде:

1) W Ot(Ns) вектор значений с.к. оптимальной оценки W^∗(s) сигна-

ла W (s) в точках s_j = S0 + (j - 1) для j = 1, 2, . . . , Ns;

2) nett(Ns)

вектор значений с.к. оптимальной оценки η качества с.к.

оптимального линейного оператора A_t в точках s_j = S0 + (j - 1) для j =

= 1, 2, . . . , Ns.

При вычислениях используется подпрограмма-функция KRWL1 для по-

строения ВЛКР процесса X(t), заданного на промежутке [0, T ], на основе дву-

мерного вейвлет разложения ковариационной функции K_X (t, τ) по вейвлетам

Хаара и для реализации алгоритма, изложенного в разделе 3. Подпрограмма-

148

функция KRWL1 имеет синтаксис вызова:

[Xnu, Dnu, DispX, XKRW ] = KRWL1(J, NJ, T ),

где J - максимальный уровень вейвлет разложения; NJ = 2 · 2^J . При вычис-

лениях используется стандартная функция wavedec2 для получения коэффи-

циентов двумерного вейвлет разложения ковариационной функции одномер-

ного СтП X(t), заданной с помощью подпрограммы-функции fcov. Выходные

данные выдаются в матричном виде:

1) Xnu(NJ, NJ) матрица значений координатных функций ВЛКР:

(T(j - 0,5))

Xnu(i,j) = x_i

для i, j = 1, 2, . . . , NJ;

2) Dnu(NJ) вектор значений дисперсий D_ν (ν = 1, 2, . . . , NJ) некор-

релированных СВ V₁, . . . , V_NJ ;

3) DispX(NJ)

вектор значений дисперсии СтП X(t) в точках t_j =

= T(j-0,5)NJ для j = 1,2,... ,NJ;

4) XKRW (NJ) вектор значений реализации СтП X(t) в точках t_j =

= T(j-0,5)NJ для j = 1,2,... ,NJ.

6. Применения

Найти с.к. оптимальный линейный фильтр, предназначенный для воспро-

изведения сигнала

(6.1)

W (s) = U₁ + U₂δ(s - s^∗)

по результатам наблюдения суммы этого сигнала и некоррелированной поме-

хи, т.е.

(6.2)

Z(t) = U₁ + U₂δ(t - t^∗

) + X(t).

Наблюдение производится в течение интервала времени длительностью T ,

предшествующего данному моменту s (s ≥ T ). Случайная функция X(t) за-

дана математическим ожиданием, равным нулю, и ковариационной функцией

K_X(t,τ) = Dexp(-α|t - τ|). U₁,U₂ - СВ с нулевыми математическими ожи-

даниями, не коррелированные с X(t), M[U_pU_q] = γ_pq(p, q = 1, 2).

Применим алгоритм 1 для построения с.к. оптимального линейного опе-

ратора A_t для воспроизведения сигнала W (s), заданного формулой (6.1), по

результатам наблюдения сигнала Z(t), заданного формулой (6.2), и для опре-

деления с.к. оптимальной оценки η качества оператора A_t . При вычислениях

будем использовать ортонормированный базис Хаара вида (2.5), где

{

0, если t ∈ [0, 1),

масштабирующая функция ϕ^t00(t) = ϕ^t(t) =

1, если t ∈ [0, 1),



1,

если t ∈ [0,¹² ),

материнский вейвлет ψ^t00(t) = ψ^t(t) =

−1,

если t ∈ [¹² , 1),



если t ∈ [0, 1).

149

Перейдем от переменной t ∈ [s - T, s] к переменной t ∈ [0, 1] с помощью

замены переменной t=^{t-(s-T)s-(s-T)} =^t-(s-T)T . Тогда

K_X(t,τ) = K_X(t, τ) = Dexp(-αT(|t- τ|)),

Z(t) = Z(t) = U₁ + U₂((s - T ) + T t) + X((s - T ) + T t).

Далее в примере для простоты записи будем считать, что t = t, τ = τ.

Уравнение (2.3) в данном случае имеет вид:

(

)

∑

A_t[K_X(t,τ)] =

γ_pq ζ_p(s) - A_t[ξ_p(t)] ξ_q(τ),

p,q=1

так как Y (s) = 0 и как следствие K_YX (s, τ) = 0.

Тогда СЛАУ для определения неизвестных функций u₀₀(s), v₀₀(s), u_jk(s)

(j = 1, 2, . . . , J^t; k = 0, 1, . . . , 2^j - 1) для заданного значения переменной s

имеет вид:





∑



a^tu₀₀(s) + b^t000v₀₀(s) =

γ_pqλ_pa^ξq,



p,q=1



∑



d^t000v₀₀(s) + h^t000u₀₀(s) =

γ_pqλ_pd^ξq00,





p,q=1

∑



h^tjknu_jk(s) =

γ_pqλ_pd^ξqjn



k=0

p,q=1



(j = 1, 2, . . . , J^t; k = 0, 1, . . . , 2^j - 1),



λ₁ = ζ₁(s) - a^ξ1u₀₀(s) - d^ξ100v₀₀(s),



λ₂ = ζ₂(s) - a^ξ2u₀₀(s) - d^ξ200v₀₀(s).

Здесь для удобства введены переменные

λ_p = ζ_p(s) - a^ξpu₀₀(s) - d^ξp00v₀₀(s) (p = 1,2).

Для заданного значения переменной s набор формальных правил, которы-

ми определяется с.к. оптимальный линейный оператор A_t при t ∈ [0, 1], имеет

вид (2.16). При этом с.к. оптимальная оценка η для определения качества с.к.

оптимального линейного оператора A_t вычисляется по формуле:

∑

(

)

η(s) =

γ_pqζ_p(s) ζ_q(s) - a^ξqu₀₀(s) - d^ξq00v₀₀(s)

p,q=1

C.к. оптимальная оценка η качества с.к. оптимального линейного опера-

тора A_t зависит только от функций u₀₀(s), v₀₀(s). Для построения с.к. оп-

тимальной оценки W^∗(s) сигнала W (s) необходимо выполнить алгоритм 2.

150

1,06

1,05

1,04

1,03

1,02

1,01

1,00

0,99

0,98

0,99

14,5

15,5

16,5

17,5

18,5

19,5

20,5

21,5

Рис. 1. Графики дисперсии СФ X(t): график 1 - точные значения, график 2 -

приближенные значения.

В результате имеем

∑

(

)

W^∗(s) =

U_r a^ξru₀₀(s) + d^ξr00v₀₀(s)

r=1

(

)

∑

+ V_nu d^xν00v₀₀(s) +

a^xνjku_jk(s)

ν=1

j=0 k=0

Вычисления осуществлялись на основе ИПО “Синтез-ВЛ”. Использовались

следующие исходные данные: α = 1; s = 11, 12, . . . , 18; T = 8; t^∗ = (s - T )+

+^3T

; s^∗ = s; γ₁₁ = γ₂₂ = 1; γ₁₂ = γ₂₁ = 0.

2∗2^Jt

Как показали вычислительные эксперименты, уже при J^t = 2 относитель-

ная точность аппроксимации дисперсии X(t) оказывается менее 5 %. Был

использован вейвлет базис Хаара для J^t = 2. В табл. 1 и на рис. 1 приведены

точные значения дисперсии D_T (t_i) для X(t) в точках t_i ∈ [10, 18] и прибли-

женные значения дисперсии D_a(t_i), полученные методом ВЛКР.

Величина с.к. ошибки аппроксимации дисперсии в этом случае равна

(

)₂

∑

√1

σ^Dn =

D_a(t_i) - D_T (t_i)

= 0,0374.

i=1

Значения дисперсий D_ν независимых нормально распределенных СВ V_ν ,

вычисленные по формулам (3.5), (3.6), приведены в табл. 2.

Таблица 1

t_i

10,5

11,5

12,5

13,5

14,5

15,5

16,5

17,5

D_a(t_i)

1,0499

1,0185

1,0387

1,0383

1,0387

1,0185

1,0499

D_T (t_i)

Таблица 2

D_ν

0,2206

0,1785

0,1302

0,0851

151

На рис. 2 изображена одна из реализаций X(t), смоделированная на основе

ее ВЛКР (3.1).

На рис. 3 и 4 представлены результаты вычислительного эксперимента для

s ∈ [11,18].

Значение η зависит от того, насколько значения ζ_q(s) отличаются от значе-

ний выражений ζ^∗q(s) = a^qu₀₀(s) - d^ξq00v₀₀(s) (q = 1, 2). Вычислительные экс-

перименты показали, что с.к. оптимальная оценка η точности с.к. оптималь-

ного линейного оператора A_t равна 0,7973 при значениях сигнала W (s) ∈

∈ [-15,2122; 6,2199].

7. Заключение

Разработано вейвлет методическое и инструментальное программное обес-

печение для с.к. оптимального синтеза существенно нестационарных линей-

ных фильтров на основе вейвлет канонических разложений в среде MATLAB.

Для стохастических систем в условиях стохастических одно- и многократ-

ных ударных воздействий, описываемых КР, ВЛР и ВЛКР разработано спе-

циальное инструментальное обеспечение для оптимизации фильтров, оценки

и идентификации ударных воздействий. Эти результаты нашли применения

в задачах анализа и моделирования, оценки и идентификации ударных воз-

действий в прецизионных информационно-управляющих системах.

Аналогично [13, 14] рассматриваются сложные виброударные одно- и мно-

гомерные виброударные воздействия, представимые КР, ВЛР и ВЛКР.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. М.: Изд-во

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017.

2. Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Сергеев И.В.

Развитие алгоритмического обеспечения анализа стохастических систем, осно-

ванного на канонических разложениях случайных функций // АиТ. 2011. № 2.

С. 195-206.

Sinitsyn I.N., Sinitsyn V.I., Korepanov E.R., Belousov V.V., Sergeev I.V. Devel-

opment of Algorithmic Support for the Analysis of Stochastic Systems Based on

Canonical Expansions of Random Functions // Autom. Remote Control. 2011. V. 72.

No. 2. P. 405-415.

3. Синицын И.Н., Сергеев И.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Инструмен-

тальное программное обеспечение анализа и синтеза стохастических систем

высокой доступности. IV // Системы высокой доступности. 2017. Т. 13. № 3.

С. 55-69.

4. Синицын И.Н., Сергеев И.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Инструмен-

тальное программное обеспечение анализа и синтеза стохастических систем

высокой доступности. V // Системы высокой доступности. 2018. Т. 14. № 1.

С. 59-70.

5. Синицын И.Н., Сергеев И.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Инструмен-

тальное программное обеспечение анализа и синтеза стохастических систем

высокой доступности. VI // Системы высокой доступности. 2018. Т. 14. № 2.

С. 40-56.

153

Синицын И.Н., Жуков Д.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Инструмен-

тальное программное обеспечение анализа и синтеза стохастических систем вы-

сокой доступности. VII // Системы высокой доступности. 2019. Т. 15. № 1.

С. 47-61.

Синицын И.Н., Жуков Д.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Инструмен-

тальное программное обеспечение анализа и синтеза стохастических систем вы-

сокой доступности. VIII // Системы высокой доступности. 2019. Т. 15. № 1.

С. 62-69.

Синицын И.Н., Жуков Д.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Развитие пря-

мых методов аналитического интерполяционного моделирования распределений

в стохастических системах // Системы компьютерной математики и их прило-

жения. Матер. XX Междунар. науч. конф. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2019.

Вып. 20.4.1. С. 256-260.

Синицын И.Н., Жуков Д.В., Корепанов Э.Р., Конашенкова Т.Д. Метод линей-

ной оптимальной обработки информации посредством вейвлет разложений //

Системы компьютерной математики и их приложения. Матер. XXI Междунар.

науч. конф. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2020. Вып. 21. С. 213-220.

10.

Синицын И.Н. Канонические представления случайных функций и их приме-

нение в задачах компьютерной поддержки научных исследования. М.: ТОРУС

ПРЕСС, 2009.

11.

Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и

хаотическая динамика”, 2004.

12.

Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математиче-

ских наук. 1998. Т. 53. № 6 (324). С. 53-126.

13.

Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование //

УФН. 2001. Т. 171. № 5. С. 465-501.

14.

Синицын И.Н., Сергеев И.В. Применение канонических представлений случай-

ных функций в задачах расчета виброзащитных систем для компьютерного обо-

рудования // Тр. XI Междунар. науч. конф., посвящ. 70-летию проф. В.П. Дья-

конова. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2010. ISBN 978-5-88018-445-3. С. 239-241.

15.

Синицын И.Н., Синицын В.И., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Сергеев И.В.

Компьютерное моделирование стохастических систем на базе канонических раз-

ложений // Тр. ХI Междунар. конф. “Кибернетика и высокие технологии ХХI в.

(C&T 2010)”. Воронеж: НПФ “Саквоее” ООО, 2010. ISBN 978-5-904259-05-1.

С. 798-809.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Кибзуном.

Поступила в редакцию 02.03.2020

После доработки 25.05.2020

Принята к публикации 09.07.2020

154