Автоматика и телемеханика, № 2, 2020

Линейные системы

(Сочинский институт Российского университета дружбы народов)

К ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ДЕТЕКТИРУЕМОСТИ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Рассматривается нелинейная нестационарная система функционально-

дифференциальных уравнений с последействием общего вида, допускаю-

щая «частичное» (по части переменных) нулевое положение равновесия.

Находятся условия, при которых устойчивость (асимптотическая устой-

чивость) по части переменных «частичного» положения равновесия озна-

чает его устойчивость (асимптотическую устойчивость) по всем перемен-

ным. Дается анализ указанных условий с позиций проблемы частичной

детектируемости рассматриваемой системы и вводится понятие ее частич-

ной нуль-динамики. Обсуждается приложение к задаче частичной стаби-

лизации управляемых систем.

Ключевые слова: нелинейная нестационарная система функционально-

дифференциальных уравнений с последействием (запаздыванием), ча-

стичная устойчивость, частичная детектируемость, частичная нуль-

динамика.

DOI: 10.31857/S0005231020020014

1. Введение

Классическое определение Ляпунова - Румянцева устойчивости по ча-

сти переменных нулевого положения равновесия (невозмущенного движения)

[1, 2] дано для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и пред-

полагает, что область начальных возмущений является достаточно малой

окрестностью этого положения равновесия. Наряду с данной постановкой

задачи также анализируются случаи, когда начальные возмущения, явля-

ясь малыми по исследуемой на устойчивость части переменных, могут быть

в то же время произвольными [3-5] или большими (принадлежащими про-

извольному компактному множеству) [4, 5] по оставшимся «неконтролируе-

мым» переменным. Рассмотрена [6] и более общая ситуация, когда начальные

возмущения являются большими по одной части и произвольными по другой

части «неконтролируемых» переменных.

С другой стороны, в задачах устойчивости «частичных» (по части пере-

менных) нулевых положений равновесия также естественно [6] допущение о

том, что начальные возмущения «неконтролируемых» переменных, не опре-

деляющих «частичное» положение равновесия, могут быть большими по од-

ной части и произвольными по оставшейся их части. В данном случае ана-

лиз устойчивости «частичного» положения равновесия проводится при более

«мягких» требованиях к функциям Ляпунова, чем в случае произвольных на-

чальных возмущений «неконтролируемых» переменных. Поэтому возможен

определенный компромисс между содержательным смыслом понятия устой-

чивости и требованиями к функциям Ляпунова.

Помимо систем обыкновенных дифференциальных уравнений, указанные

задачи частичной устойчивости анализируются [7] также применительно к

системам функционально-дифференциальных уравнений с последействием

(запаздыванием). Для решения используется метод функционалов Ляпуно-

ва - Красовского с соответствующими дополнениями.

В данной работе рассматривается нелинейная нестационарная система

функционально-дифференциальных уравнений с последействием (запазды-

ванием) общего вида, допускающая «частичное» (по некоторой части пере-

менных) нулевое положение равновесия. Предполагается, что данное положе-

ние равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) также по отношению

не ко всем определяющим его переменным, а только по их заданной части.

При этом делается допущение [7] о том, что значения нормы тех компонент

начальной вектор-функции, которые соответствуют переменным, не опреде-

ляющим указанное «частичное» положение равновесия, могут быть больши-

ми по одной части и произвольными по отношению к их оставшейся части.

Находятся условия, при выполнении которых установленная устойчивость

(асимптотическая устойчивость) по части переменных «частичного» нулевого

положения равновесия означает его устойчивость (асимптотическую устойчи-

вость) по всем переменным. Указанные условия включают требование рав-

номерной асимптотической устойчивости по всем переменным нулевого по-

ложения равновесия подсистемы, «приведенной» по переменным, устойчи-

вость «частичного» положения равновесия по которым изначально не извест-

на. Также накладывается ограничение на связь «приведенной» подсистемы

с другими частями системы.

Дается анализ полученных условий с позиций проблемы частичной детек-

тируемости [8-11] рассматриваемой системы; при этом вводится понятие ее

частичной нуль-динамики. Обсуждается приложение полученных результа-

тов к задаче частичной стабилизации [3, 4, 10, 12-18].

2. Постановка задачи

Пусть τ > 0 — заданное число, Rⁿ — линейное пространство n-мерных

векторов x с нормой |x| = max |x_i| (i-я компонента вектора x), C — банахово

пространство непрерывных функций ϕ : [-τ, 0] → Rⁿ со стандартной нормой

||ϕ|| = max |ϕ(θ)| (θ ∈ [-τ, 0]), R₊ = [0, +∞). Если t₀, β ∈ R₊, β ≥ t₀, то для

непрерывной функции x(t) : [t₀ - τ, β] → Rⁿ определим функцию x_t ∈ C со-

отношением x_t = x(t + θ) (θ ∈ [-τ, 0]); под x^′(t) будем понимать правосторон-

нюю производную.

Сделаем разбиение x = (y^T, z^T)^T (T — знак транспонирования), где

y ∈ R^m, z ∈ R^n-m (1 ≤ m ≤ n). В соответствии с этим разбиением положим

C = C^y × C^z, где C^y и C^z — банаховы пространства непрерывных функ-

ций ϕ_y : [-τ, 0] → R^m и ϕ_z : [-τ, 0] → R^n-m c нормами ||ϕ_y|| = max |ϕ_y(θ)|

||ϕ_z|| = max |ϕ_z(θ)| (θ ∈ [-τ, 0]). Для ϕ ∈ C имеем ϕ = (ϕ^Ty, ϕ^Tz)^T и

||ϕ|| = max( ||ϕ_y||, ||ϕ_z||).

Рассмотрим нелинейную нестационарную систему функционально-диффе-

ренциальных уравнений с последействием (запаздыванием) [19]

x^′(t) = X(t,x_t),

которую с учетом указанных разбиений представим в виде

(1)

y^′(t) = Y(t,y_t,z_t), z^′(t) = Z(t,y_t,z_t

Допустим, что оператор X : R₊ × C → Rⁿ, определяющий правую часть си-

стемы (1), вполне непрерывен в области

(2)

G = R₊ × S = {t ≥ 0, ||ϕ_y|| < h,

||ϕ_z

|| < ∞}

(h — достаточно малое положительное число) и на каждом компактном под-

множестве K из области (2) выполняется условие Коши - Липшица: суще-

ствует постоянная l = l(K) > 0 такая, что для любых (t, ϕ₁), (t, ϕ₂) ∈ K имеет

место неравенство |X(t, ϕ₂) - X(t, ϕ₁)| ≤ l||ϕ₂ - ϕ₁||.

Тогда [19] для каждой точки t₀, ϕ из области (2) существует единственное

решение x(t₀, ϕ) системы (1), продолжимое до границы области S и непре-

рывно зависящее от t₀, ϕ. Следуя [20], обозначим через x(t) = x(t; t₀, ϕ) значе-

ние x(t₀, ϕ) в момент времени t и введем предположение о z-продолжимости

решений [3, 4, 7]: решения системы (1) определены для тех t ≥ t₀, при кото-

рых |y(t; t₀, ϕ)| < h.

Рассмотрим два понятия частичной устойчивости системы (1).

1. Устойчивость «частичного» положения равновесия y = 0. В про-

странстве C рассмотрим [7, 21] множество M = {ϕ ∈ C : ϕy = 0}. Если

Y(t, ϕ) ≡ 0 при ϕ ∈ M, то решение x(t₀, ϕ) системы (1) удовлетворяет усло-

вию ||y_t(t₀, ϕ)|| ≡ 0. Другими словами, множество M = {x : y = 0} есть «ча-

стичное» положение равновесия системы (1), являющееся (при сделанном

предположении о единственности решений) инвариантным множеством этой

системы. В этом случае «полное» нулевое положение равновесия x = 0 систе-

мы (1) может и не существовать.

Имея в виду рассмотрение наряду с задачей устойчивости также зада-

чи устойчивости по части переменных «частичного» положения равновесия

y = 0, допустим, что y = (yT1 ,yT2 )^T. Соответственно, компоненту ϕ_y вектор-

функции ϕ разобьем на две части ϕ_y = (ϕTy1 , ϕTy2 )^T. Кроме того, чтобы сде-

лать рассматриваемые задачи частичной устойчивости более содержательны-

ми, компоненту ϕ_z вектор-функции ϕ также разобьем на две части и пред-

ставим в виде ϕ_z = (ϕTz1 , ϕ^T )^T._z

Обозначим через S_δ область в пространстве C такую, что ||ϕ_y|| < δ,

||ϕz1 || ≤ L, ||ϕz2 || < ∞ (область S_Δ получается заменой δ на Δ), так что рас-

сматриваемые далее понятия устойчивости «частичного» положения равно-

весия y = 0 системы (1) будут иметь место при больших значениях ϕz1 в

целом по ϕz2 (for a large values of ϕz1 and on the whole with respect to ϕz2 [4]).

Определение 1 [7]. «Частичное» положение равновесия y = 0:

1) y₁-устойчиво, если для каждого t₀ ≥ 0, а также для произвольного

числа ε > 0, как бы мало оно не было, и для любого заданного числа L > 0

найдется число δ(ε, t₀, L) > 0 такое, что из ϕ ∈ S_δ следует неравенство

|y₁(t; t₀, ϕ)| < ε при всех t ≥ t₀;

2) равномерно y₁-устойчиво, если δ = δ(ε, L);

3) равномерно асимптотически y₁-устойчиво, если оно равномерно

y₁-устойчиво и найдется число Δ(L) > 0 такое, что произвольное решение

x(t₀, ϕ) системы (1) с ϕ ∈ S_Δ равномерно по t₀, ϕ из области t₀ ≥ 0, ϕ ∈ S_Δ

удовлетворяет предельному соотношению

(3)

lim |y₁(t; t₀

,ϕ)| = 0, t → ∞.

Соответствующие понятия устойчивости по всем переменным «частично-

го» положения равновесия y = 0 определяются как частный случай, заменой

y₁(t;t₀,ϕ) на y(t;t₀,ϕ).

2. Устойчивость по части переменных положения равновесия x = 0. До-

пустим, что имеет место условие X(t, 0) ≡ 0 и система (1) имеет «полное»

нулевое положение равновесия x = 0.

Определение 2 [4]. Положение равновесия x = 0:

1) y₁-устойчиво, если для каждого t₀ ≥ 0, а также для произвольного

числа ε > 0, как бы мало оно не было, найдется число δ(ε, t₀) > 0 такое, что

из ||ϕ|| < δ следует неравенство |y₁(t;t₀,ϕ)| < ε при всех t ≥ t₀;

2) равномерно y₁-устойчиво, если δ = δ(ε);

3) равномерно асимптотически y₁-устойчиво, если оно равномерно

y₁-устойчиво и найдется число Δ > 0 такое, что произвольное решение

x(t₀, ϕ) системы (1) с ||ϕ|| < Δ равномерно по t₀, ϕ из области t₀ ≥ 0,

||ϕ|| < Δ удовлетворяет предельному соотношению (3).

Соответствующие понятия y-устойчивости положения равновесия x = 0

получаются заменой y₁(t; t₀, ϕ) на y(t; t₀, ϕ).

Задача 1. Требуется указать общую структурную форму нелинейной си-

стемы (1), для которой: 1) y₁-устойчивость «частичного» положения равнове-

сия y = 0 означает его устойчивость по всем переменным; 2) y₁-устойчивость

положения равновесия x = 0 означает его y-устойчивость.

Замечание 1. Изучаемые свойства системы (1) при соответствующей

детализации можно трактовать как локальную частичную устойчивость по

«выходу — состоянию» (output to state stability [8]) в случае 1), устойчивость

по «измеримому — заданному выходу» (measurement to error stability [9]) в

случае 2), а также как соответствующие свойства частичной детектируемо-

сти этой системы. Детализация связана с функционально-дифференциаль-

ной формой системы (1), рассмотрением не только «полного», но и «частич-

ного» положения равновесия, а также с особенностью используемых понятий

устойчивости «частичного» положения равновесия.

Замечание 2. Общий подход [8-11] к анализу указанных свойств систе-

мы (1) основан на прямом методе Ляпунова, применение которого в конкрет-

ных случаях может быть затруднено. Это обстоятельство определяет акту-

альность поставленной задачи выявления общей структурной формы систе-

мы (1), наделенной изучаемыми свойствами.

3. Условия частичной устойчивости

В соответствии со сделанным разбиением x = (y^T1, y^T2, z^T)^T представим

первую группу уравнений системы (1) в виде двух групп уравнений

y′1(t) = Y₁(t,y1t,y2t,z_t), y′2(t) = Y₂(t,y1t,y2t,z_t),

а оператор Y₂(t, ϕ) представим следующим образом:

Y₂(t,ϕ) = Y⁰²(t,ϕy2 ) + R(t,ϕy1 ,ϕy2 ,ϕ_z),

(R(t, ϕ) = Y₂(t, ϕ) - Y⁰²(t, ϕy2 ), R(t, 0, ϕy2 , 0) ≡ R(t, 0, 0, ϕ_z) ≡ 0).

Система функционально-дифференциальных уравнений

(4)

y′2(t) = Y⁰²(t,y2t)

будет «приведенной» (по переменным y₂) подсистемой системы (1).

Допустим, что оператор Y⁰²(t, ϕy2 ) вполне непрерывен в области t ≥ 0,

||ϕy2 || < h и на каждом компактном подмножестве из этой области удовлет-

воряет условию Коши - Липшица.

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1) найдется вполне непрерывный оператор Y∗2(ϕy1 , ϕy2 ), Y∗2(0, 0) ≡ 0 та-

кой, что в области (2) имеет место неравенство

(5)

|R(t, ϕy1 , ϕy2 , ϕ_z)| ≤ |Y∗2(ϕy1 , ϕy2

)| ;

2) положение равновесия y₂ = 0 «приведенной» подсистемы (4) равномер-

но асимптотически устойчиво по всем переменным;

3) «частичное» положение равновесия y = 0 системы (1) равномерно

y₁-устойчиво (равномерно асимптотически y₁-устойчиво).

Тогда «частичное» положение равновесия y = 0 равномерно устойчиво

(равномерно асимптотически устойчиво) по всем переменным.

Доказательство теоремы 1 вынесено в Приложение.

Условие 1) теоремы 1 можно ослабить, заменяя соответствующие тре-

бования y₁-устойчивости «частичного» положения равновесия y = 0 систе-

мы (1) более сильными требованиями (y₁, μ)-устойчивости, где μ = μ(t, x),

μ(t, 0) ≡ 0 - некоторая непрерывная в области D = {t ≥ 0, ||y|| < h, ||z|| < ∞}

вектор-функция. Наличие такой устойчивости позволяет использовать вме-

сто неравенства (5) менее ограничительное неравенство

(6)

|R(t, ϕy1 , ϕy2 , ϕ_z)| ≤ |Y∗∗2(ϕy1 , μ(t, ϕ), ϕy2

)| ,

выполняющееся в области G^∗ = R₊ × S = {t ≥ 0, ||ϕ_y|| + ||μ(t, x)|| < h,

||ϕ_z|| < ∞}. Здесь Y∗∗2(ϕy1 , μ(t, ϕ), ϕy2 ) - вполне непрерывный в G^∗ опе-

ратор, Y∗∗2(0, 0, ϕy2 ) ≡ Y∗∗2(0, 0, 0) ≡ 0;

||μ(t, ϕ)|| = sup |μ(t, ϕ(θ))| при

θ ∈ [-τ,0], t ∈ R₊. Кроме того, в результате «частичное» положение рав-

новесия y = 0 также обладает более сильным соответствующим свойством

(y, μ)-устойчивости.

Понятия (y₁, μ)-устойчивости формально вводятся заменой y₁(t; t₀, ϕ) на

y₁(t;t₀,ϕ) + μ(t;t₀,ϕ) в определении 1. Содержательно их можно тракто-

вать как «расширенно-оценочную» y₁-устойчивость (дополненную оценкой

для подбираемой μ-функции) «частичного» положения равновесия y = 0 си-

стемы (1). По смыслу задачи такая устойчивость должна быть «промежу-

точной» между y₁-устойчивостью и устойчивостью по всем переменным «ча-

стичного» положения равновесия y = 0. В этих рамках «расширение» поня-

тия y₁-устойчивости может происходить за счет зависимости μ-функции не

только от t, y, но и от z, что и требуется для перехода к неравенству (6).

Учитывая включение ϕ ∈ S_δ, ограничимся подбором «пробных» μ-функций

вида μ = μ(t, y, z₁), μ = μ(t, 0, z₁) ≡ 0.

Теорема 2. Пусть выполнено условие 2) теоремы 1 и найдется непре-

рывная в области D вектор-функция μ = μ(t, y, z₁) такая, что:

«частичное» положение равновесия y = 0 системы (1) равномерно

(y₁, μ)-устойчиво (равномерно асимптотически (y₁, μ)-устойчиво);

2) в области G^∗ выполняется неравенство (6).

Тогда «частичное» положение равновесия y = 0 равномерно устойчиво

(равномерно асимптотически устойчиво) по всем переменным.

Доказательство по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.

Допустим, что X(t, 0) ≡ 0 и система (1) имеет нулевое положение равно-

весия x = 0; соответственно R(t, 0, ϕy2 , 0) ≡ R(t, 0, 0, 0) ≡ 0.

Следствие. Пусть выполнены условия 1),

2) теоремы 1 и положе-

ние равновесия x = 0 системы (1) равномерно y₁-устойчиво (равномерно

асимптотически y₁-устойчиво). Тогда это положение равновесия равномер-

но y-устойчиво (равномерно асимптотически y-устойчиво).

В данном случае неравенство (5) также можно заменить менее ограни-

чительным неравенством (6), используя понятия (y₁, μ)-устойчивости, полу-

чающиеся заменой y₁(t; t₀, ϕ) на y₁(t; t₀, ϕ) + μ(t; t₀, ϕ) в определении 2. По-

скольку вместо включения ϕ ∈ S_δ предполагается условие ||ϕ|| < δ, то сде-

ланное ранее ограничение μ = μ(t, y, z₁), μ = μ(t, 0, z₁) ≡ 0 не требуется.

Замечание 3. Теоремы 1, 2 являются развитием соответствующих ре-

зультатов А. Халаная [22], а также результатов [23]. В отличие от [22], где ана-

лизируется связь между устойчивостью по части и по всем переменным ну-

левого положения равновесия, изучаются более общие свойства системы (1).

Такие свойства рассмотрены ранее в [23], но без учета эффекта последей-

ствия в изучаемой системе. Кроме того, в отличие от [23] ограничение на

связь «приведенной» подсистемы с другими частями системы анализируется

на основе введенных понятий (y₁, μ)-устойчивости.

Замечание 4. Неравенство (5) легко проверяется, если из тех или иных

соображений известна заранее равномерная (по t₀, ϕ) z-ограниченность ре-

шений системы (1), начинающихся при ϕ ∈ S_δ.

Замечание 5. Анализ задач частичной устойчивости и стабилизации, а

также обзор результатов можно найти в [3, 4, 10, 12].

Пример 1. Пусть система (1) состоит из уравнений

y′1 = -2y₁(t) + y₁(t - τ) + y²¹(t) + y²²(t - τ)z₁(t - τ),

y′2 = [-1 + y₁(t)sin z₂(t - τ)]y₂(t) + f(x(t)),

(7)

z′1(t) = [1 - 2y₁(t)sin z₂(t - τ)]z₁(t),

z′2(t) = e^ty₁(t - τ)z₂(t).

1. Допустим, что f(x(t)) ≡ 0. Введением новой переменной μ₁ = y²²z₁ из

системы (7) можно выделить подсистему

y′1 = -2y₁(t) + y₁(t - τ) + μ₁(t - τ) + y²¹(t),

(8)

μ′1(t) = -μ₁(t),

нулевое положение равновесия y₁ = μ₁ = 0 которой равномерно асимптоти-

чески устойчиво по y₁, μ₁ на основании теоремы об устойчивости (по всем

переменным) по линейному приближению [24].

Поскольку для переменной μ₁ = μ₁(y₂, z₁) = y²²z₁ имеет место тождество

μ₁(0,z₁) ≡ 0 и эта переменная не зависит от z₂, то «частичное» положение

равновесия y₁ = y₂ = 0 системы (7) равномерно асимптотически y₁-устойчиво

(при больших значениях ϕz1 в целом по ϕz2 ).

«Приведенная» подсистема (4) в данном случае имеет вид

(9)

y′2 = -y₂

(t),

и ее нулевое положение равновесия y₂ = 0 равномерно асимптотически устой-

чиво. Кроме того, в данном случае выполнено неравенство (5), в котором

|Y∗2| = |ϕy1 (0)| · |ϕy2 (0)|.

На основании теоремы 1 заключаем, что «частичное» положение равнове-

сия y₁ = y₂ = 0 системы (7) равномерно асимптотически устойчиво по всем

переменным (при больших значениях ϕz1 в целом по ϕz2 ).

Система (7) допускает также положение равновесия y₁ = y₂ = z₁ = z₂ = 0,

которое равномерно асимптотически (y₁, y₂)-устойчиво.

2. Допустим, что f(x(t)) = y³²(t)z₁(t). В этом случае из системы (7) можно

выделить подсистему, первое уравнение которой совпадает с первым уравне-

нием подсистемы (8), а второе уравнение заменяется уравнением

μ′1 = -μ₁(t) + 2μ²¹(t).

Нулевое положение равновесия y₁ = μ₁ = 0 указанной подсистемы также

равномерно асимптотически устойчиво. В рассматриваемом случае с точки

зрения проверки выполнимости условий теоремы 2 важно, что «частичное»

положение равновесия y₁ = y₂ = 0 системы (7) не только равномерно асимп-

тотически y₁-устойчиво, но и равномерно асимптотически (y₁, μ₁)-устойчиво

(при больших значениях ϕz1 в целом по ϕz2 ).

«Приведенная» подсистема (4) также имеет вид (9). Кроме того, выпол-

нено неравенство (6), в котором |Y∗∗2| = |ϕy1 (0)| · [|ϕy2 (0)| + |μ₁(-τ)|].

На основании теоремы 2 заключаем, что в данном случае «частичное»

положение равновесия y₁ = y₂ = 0 системы (7) равномерно асимптотически

устойчиво (при больших значениях ϕz1 в целом по ϕz2 ).

4. Приложение к нелинейным управляемым системам

Пусть система функционально-дифференциальных уравнений (1), в кото-

рой x = (y^T1, y^T2, z^T)^T описывает возмущенное движение объекта управления

с учетом позиционных управлений u, формируемых по принципу обратной

связи с задержками (запаздыванием) в каналах управления.

Считаем, что переменные, входящие в векторы y₁, z, измеряются и исполь-

зуются для формирования управлений u вида u = u(t, y1t, z_t), u(t, 0, 0) ≡ 0,

а переменные, входящие в вектор y₂, не измеряются. Пусть формируемые

управления таковы, что замкнутая система (1) удовлетворяет общим требо-

ваниям, указанным в разделе 2, и «частичное» положение равновесия y = 0

этой системы равномерно асимптотически y₁-устойчиво.

Поскольку при y₁ = 0, z = 0 управления нулевые, то динамика «приве-

денной» подсистемы (4) не зависит от формируемых управлений, а опреде-

ляется только структурой и параметрами объекта. Считаем их выбранными

так, что нулевое положение равновесия «приведенной» подсистемы (4) рав-

номерно асимптотически устойчиво по всем переменным.

В результате при выбранной структуре и параметрах объекта достигнутая

за счет выбора управлений равномерная асимптотическая y₁-устойчивость

«частичного» положения равновесия y = 0 системы (1) означает равномер-

ную асимптотическую устойчивость по всем переменным.

Аналогично рассматривается ситуация, когда достигнутая равномерная

асимптотическая y₁-устойчивость положения равновесия x = 0 замкнутой

системы (1) означает равномерную асимптотическую y-устойчивость.

5. Условия частичной детектируемости

При выполнении условия (5) динамика решений x(t₀, ϕ) системы (1), для

которых y1t = 0 (нуль-динамика системы (1) по y₁, следуя терминологии

[25, 26]), определяется подсистемой

y′2(t) = Y⁰²(t,y2t), z^′(t) = Z(t,0,y2t,z_t).

«Приведенная» подсистема (4) определяет частичную нуль-динамику си-

стемы (1) по «измеримым» переменным, входящим в вектор y₁: динамику

y-компоненты решений x(t₀, ϕ), для которых y1t = 0.

Определение 3. Система

(1) локально частично детектируема

(zero - partial state - detectable), если для каждого t₀ ≥ 0, произвольного числа

ε > 0 и для любого заданного числа L > 0 найдется δ(ε,L) > 0 такое, что

y1t ≡ 0

(t ≥ t₀)

⇒ lim |y(t; t₀, ϕ)| = 0, t → ∞

(и, кроме того, |y(t; t₀, ϕ)| < ε) при ϕ ∈ S_δ и всех t ≥ t₀.

Теорема 3. Если выполнены условия 1) и 2) теоремы 1, то система (1)

локально частично детектируема в смысле определения 3.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1; при этом усло-

вие 3) теоремы 1 рассматривается как предположение.

Рассмотрим линейную систему с запаздыванием

y′1(t) = A₁₁y₁(t) + B₁₁y₂(t) + C₁₁z(t) +

+ A₁₂y₁(t - τ) + B₁₂y₂(t - τ) + C₁₂z(t - τ),

y′2(t) = A₂₁y₁(t) + B₂₁y₂(t) + C₂₁z(t) +

(10)

+ A₂₂y₁(t - τ) + B₂₂y₂(t - τ) + C₂₂z(t - τ),

z′(t) = A₃₁y₁(t) + B₃₁y₂(t) + C₃₁z(t) +

+ A₃₂y₁(t - τ) + B₃₂y₂(t - τ) + C₃₂z(t - τ),

где A_ij , B_ij, C_ij - постоянные матрицы соответствующих размеров.

Определение 4. Линейная система

(10) частично детектируема

(y-детектируема по y₁), если ее асимптотическая y₁-устойчивость озна-

чает асимптотическую y-устойчивость.

Введем матрицы

(

)

(

)

B2j C2j

C1j

D_j = (B1j, C1j), G_j =

L_j =

B3j C3j

C2j

(

)

(

)

K₁₀ =

D^T1, D^T2

K₂₀ =

L^T1, L^T2

(

)

(

)

K1i =

GT1K1,i-1, G^T2K1,i-1

K2i =

C^T31K2,i-1, C^T32K2,i-1

(1 ≤ i ≤ p - 1; j = 1, 2; p = dim(z)) ,

и обозначим через s_j - минимальные числа s такие, что

rank K∗j,s-1 = rank K^∗j,s,

K∗j0 = Kj0, K^∗js = (Kj0, Kj1,... , K_js) (1 ≤ s ≤ p - 1;j = 1,2) .

Теорема 4. Если выполняется условие

(11)

rank K∗1,s

= dim(y₂) + rankK^∗

2, s₂

то система (10) y-детектируема по y₁.

Доказательство теоремы 4 вынесено в Приложение.

Замечание 6. Условие (11) не предполагает анализ частичной нуль-

динамики, но и не охватывает случай «слабых» связей в системе (10). Напри-

мер, если матрицы B₁₁, C₁₁ и B₁₂, C₁₂ нулевые, для y-детектируемости по y₁

требуется асимптотическая y₂-устойчивость подсистемы, «приведенной» по

y₂,z.

Пример 2. Пусть система (10) имеет вид

⎞

^⎛ -2

-2

^⎛ 1

-1 -a

⎟

⎜

⎟

x^′(t) =^⎝

⎠ x(t) +

⎝

⎠y1(t - τ),

(12)

-1

x = (y₁,y₂,z₁,z₂)^T, a = const.

В данном случае

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

K₁₀ =^⎝

⎠,K11 = ⎝ -(1 + a)

⎠,K12 = ⎝

1 + 2a

⎠_,

-2

2(1 + a)

−2(1 + 2a)

(

)

(

)

-a

-1 -a

K₂₀ =

K₂₁ =

−2

^{ 2 (rank K∗

< rankK∗11 = rankK∗12)при a = 0,

s₁ =

(rank K∗10 = rank K∗11) при a = 0

s₂ = 1

(rankK∗20 = rankK∗21) при любом a

и имеют место соотношения

rank K∗12 = 1 + rank K∗21 = 2 при a = 0,

rank K∗11 = 1 < 1 + rank K∗21 = 2 при a = 0.

Условие (11) (y₁, y₂)-детектируемости по y₁ системы (12) выполнено при

a = 0. Отметим, что при любом a cистема (12) асимптотически (y₁,y₂)-

устойчива, но неустойчива по Ляпунову (по всем переменным).

6. Заключение

Получены легко интерпретируемые условия, определяющие структур-

ную форму нелинейной системы функционально-дифференциальных урав-

нений, для которой равномерная устойчивость (равномерная асимптотиче-

ская устойчивость) по части переменных «частичного» нулевого положения

равновесия означает его равномерную устойчивость (равномерную асимпто-

тическую устойчивость) по всем переменным. Эти условия включают требо-

вание равномерной асимптотической устойчивости по всем переменным ну-

левого положения равновесия подсистемы, «приведенной» по переменным,

устойчивость «частичного» положения равновесия по которым изначально

не известна, а также ограничение на связь «приведенной» подсистемы с дру-

гими частями системы. Прямой метод Ляпунова используется как средство

получения таких условий.

Полученные условия проанализированы с позиций проблемы частичной

детектируемости системы; с этой целью введено понятие ее частичной нуль-

динамики. Дано приложение к задаче частичной стабилизации.

Также найдены достаточные условия частичной детектируемости линей-

ных систем с постоянными коэффициентами и запаздыванием, не требующие

анализа устойчивости «приведенной» подсистемы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. При выполнении условия 2) для си-

стемы (4) найдется [24] функционал V (t, ϕy2 ), определенный и непрерывный

в области t ≥ 0, ||ϕy2 || ≤ h и удовлетворяющий условию (k = const > 0)

(Π.1)

|V (t, ϕ′′y

) - V (t,ϕ′y

)| ≤ k||ϕ′′y

-ϕ^′

||,

y₂

для которого

(Π.2)

a₁(||ϕy2 ||) ≤ V (t,ϕy2 ) ≤ a₂(||ϕy2

||),

(Π.3)

V ′₍₄₎(t,ϕy2) ≤ -a₃(||ϕy2

||),

где a_i(r), a_i(0) = 0 - непрерывные, монотонно возрастающие при r ∈ R+

функции (функции типа Хана).

Под производной V^′ функционала понимается величина [19, 24]

V ′ = lim

{V [t + δ, y2t+δ] - V [t, y2t]}, δ → 0⁺,

и при сделанных предположениях относительно V -функционала указанный

предел определяется единственным образом.

Кроме того, при сделанных предположениях относительно V -функциона-

ла аналогично [24] можно показать, что производные V -функционала в силу

систем (1) и (4) связаны соотношением

(Π.4)

V ′₍₁₎(t,ϕy2) ≤ V ′(4)(t,ϕy2) + k|R(t, ϕy1,ϕy2,ϕ_z

)|.

Учитывая неравенства (5), (П.1)-(П.3) заключаем, что соотношение (П.4)

принимает вид

(Π.5)

V ′₍₁₎(t,ϕy2) ≤ -a₃(a-12(V (t,ϕy2))) + k|Y∗2(ϕy1,ϕy2

)|.

Дальнейшее доказательство разобьем на две части, соответствующие слу-

чаям, когда в силу условия 3) теоремы «частичное» положение равновесия

y = 0 системы (1): 1) равномерно y₁-устойчиво; 2) равномерно асимптоти-

чески y₁-устойчиво.

I. Если «частичное» положение равновесия y = 0 системы (1) равномерно

y₁-устойчиво, то для каждого t₀ ≥ 0, произвольного числа ε > 0 и для любо-

го заданного числа L > 0 найдется δ(ε, L) > 0 такое, что из ϕ ∈ S_δ следует

||y1t|| < ε при всех t ≥ t₀.

Положим δ₁(ε) = b(ε)/k, b(ε) = a₃(a-12(a₁(ε))). Можно указать δ₂(ε) > 0 та-

кое, что из ||ϕy1 || < δ₂ следует |Y∗2(ϕy1 , ϕy2 )| ≤ δ₁ для ||ϕy2 || < ε. С другой

стороны, в силу равномерной y₁-устойчивости «частичного» положения рав-

новесия y = 0 системы (1) имеем ||y1t|| < δ₂(ε) при всех t ≥ t₀, если ϕ ∈ S_δ и

δ = δ[δ₂(ε)]. Поскольку в области t ≥ 0, ||ϕy2|| < ε при ϕ ∈ S_δ, где δ = δ[δ₂(ε)],

выполнено условие |Y∗2(ϕy1 , ϕy2 )| ≤ δ₁, то из неравенства (П.5) следует, что

(Π.6)

V ′₍₁₎(t,y2t) < 0 при V (t,y2t) = a₁

(ε).

Пусть δ^∗(ε, L) = min{δ(ε, L), δ[δ₂ (ε)], δ₃(ε)}, δ₃(ε) = a-12(a₁(ε)). Рассмотрим

произвольное решение x(t₀, ϕ) системы (1) с t₀ ≥ 0, ϕ ∈ S_δ, где δ = δ^∗(ε, L).

В силу условий (П.2) в данном случае имеем V (t₀, ϕy2 ) ≤ a₂(δ₃(ε)) и, следо-

вательно, V (t₀, ϕy2 ) ≤ a₁(ε). Покажем, что

(Π.7)

V (t, y2t) < a₁(ε) для всех t ≥ t₀.

Предположим противное, что V (t, y2t) < a₁(ε) при t ∈ [t₀, t₁), но

V (t, y2t) = a₁(ε) при t₀ = t₁. Тогда имеет место неравенство V ′(1)(t₁, y2t) ≥ 0,

которое противоречит условию (П.6). Значит, неравенство (П.7) справедливо

для всех t ≥ t₀ и на основании условия V (t, ϕy2 ) ≥ a₁(||ϕy2 ||) заключаем,

что ||y2t|| < ε для всех t ≥ t₀, если ϕ ∈ S_δ и δ = δ^∗(ε, L).

II. Равномерная y₂-устойчивость «частичного» положения равновесия

y = 0 системы (1) следует из первой части доказательства теоремы 1: для

каждого t₀ ≥ 0, а также для произвольного числа ε > 0 и для любого за-

данного числа L > 0 найдется число δ^∗(ε, L) > 0 такое, что из ϕ ∈ S_δ, где

δ = δ^∗(ε,L), следует ||y2t|| < ε при всех t ≥ t₀. Покажем, что «частичное» по-

ложение равновесия y = 0 системы (1) является также равномерно y₂-притя-

гивающим. Это значит, что при заданном δ^∗(ε, L) > 0 для любого η ∈ (0, δ^∗)

существует число T (η, L) > 0 такое, что из t₀ ≥ 0, ϕ ∈ S_δ, где δ = δ^∗(ε, L),

следует ||y2t|| < ε при всех t ≥ t₀ + T (η, L).

В рассматриваемом случае предельное соотношение

(Π.8)

|R(t, y1t, ϕy2 , ϕ_z

)| → 0, t → ∞

будет выполняться равномерно по t₀ ≥ 0 и ϕ ∈ S_Δ (Δ < δ^∗), если Δ > 0 опре-

деляет область равномерного y₁-притяжения «частичного» положения рав-

новесия y = 0 системы (1).

Положим η ∈ (0, Δ); в этом случае η < δ^∗(ε, L) < a-12(a₁(ε)) < ε. В силу

условий (П.4), (П.8) при a-12(a₁(η)) ≤ ||ϕy2 || < ε и ϕ ∈ S_Δ(Δ < δ^∗) найдется

такое T₁(η, L) > 0, что для всех t ≥ T₁(η, L) выполняется неравенство

(Π.9)

V ′₍₁₎(t,y2t

) ≤ -1/2b(η).

Следовательно, при t ≥ T₁(η, L) имеем

(Π.10)

V ′₍₁₎(t,y2t) < 0 при V (t,y2t) = a₁

(η).

Положим

2a₂(η) - a₁(η)

t0∗ = max[t₀,T₁(η,L)] , T₂(η) =

b(η)

Покажем, что на отрезке [t0∗, t0∗ + T₂(η, L)] существует момент времени t_∗,

для которого

(Π.11)

V (t, y2t) < a₁(η) при t = t_∗.

Допустим противное, что V (t, y2t) ≥ a₁(η) для всех t ∈ (t0∗, t0∗ + T₂(η, L)).

Тогда на этом интервале времени ||y2t|| ≥ a-12(a₁(η)) и справедливо соотно-

шение (П.9), что приводит к противоречивым неравенствам

(

)

0 < a₁(η) ≤ V

t0∗ + T₂(η,L),y2(t0∗+T₂(η,L))

= V (t0∗,y2(t0∗)) +

∫

V ′₍₁₎(s,y2s)ds ≤ a₂(η) - 1/2b(η)T₂(η,L) = 1/2a₁(η).

t0∗

Из условий (П.10), (П.11) заключаем, что неравенство V (t, y2t) < a₁(η)

имеет место для всех t = t_∗. Действительно, допустим противное, что

V (t, y2t) < a₁(η) при t ∈ [t_∗, t^∗), но V (t, y2t) = a₁(η) при t = t^∗. Тогда

V ′₍₁₎(t,y2t) ≥ 0 при t = t^∗, что противоречит условию (П.11). Поэтому нера-

венство

||y2t|| < η выполняется для всех t ≥ t_∗ на основании условия

V (t, ϕy2 ) ≥ a₁(||ϕy2 ||). Следовательно, имеем ||y2t|| < η для любого t ≥ t₀ +

+T(η,L), где T = T₁(η,L) + T₂(η,L), если ϕ ∈ S_Δ(Δ < δ^∗). Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4. Для понимания «механизма» влия-

ния структурной формы линейной системы (10) на возникновение свойства

y-детектируемости по y₁ введем [4] вспомогательные линейные системы урав-

нений (с постоянными коэффициентами)

(Π.12)

w′1(t) = A∗1w₁(t) + B∗1w₁(t - τ), w₁ = (y₁,μ₁

(Π.13)

w′2(t) = A∗2w₂(t) + B∗2w₂(t - τ), w₂ = (y,μ₂

определяющие динамику переменных системы (10), входящих соответствен-

но в векторы y₁ и y. Отметим, что в процессе построения вспомогательных

систем (П.12), (П.13) компоненты вектора μ₁ являются линейными комбина-

циями компонент векторов y₂, z, а компоненты вектора μ₂ являются линей-

ными комбинациями компонент вектора z.

При выполнении условия (11) системы (П.12), (П.13) имеют одинаковую

размерность. Множества корней характеристического квазиполинома ука-

занных вспомогательных систем, являющиеся подмножествами множества

корней характеристического квазиполинома системы (10), также совпадают.

В такой ситуации асимптотическая y₁-устойчивость системы (10) будет озна-

чать ее асимптотическую y-устойчивость. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчи-

вости движения // Мат. сб. 1893. Т. 17. Вып. 2. С. 253-333.

Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных //

Вестн. МГУ. Сер. Матем., Механика, Физика, Астрономия, Химия. 1957. № 4.

C. 9-16.

Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по от-

ношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998.

Воротников В.И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации

понятий и единым условиям разрешимости // Докл. РАН. 2002. Т. 384. № 1.

С. 47-51.

Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К теории частичной устойчивости нели-

нейных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010.

Т. 51. Вып. 5. С. 23-31.

Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. Об устойчивости по части переменных

«частичных» положений равновесия систем с последействием // Мат. заметки.

2014. Т. 96. Вып. 4. С. 496-503.

Sontag E.D., Wang Y. Output-to-State Stability and Detectability of Nonlinear

Systems // Syst. & Control Lett. 1997. V. 29. No. 5. P. 279-290.

Ingalls B.P., Sontag E.D., Wang Y. Measurement to Error Stability: a Notion of

Partial Detectability for Nonlinear Systems // Proc. 41 IEEE Conf. Decision Control.

Las Vegas, Nevada. 2002. P. 3946-3951.

10.

Fradkov A.L., Miroshnik I.V., Nikiforov V.O. Nonlinear and Adaptive Control of

Complex Systems. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999.

11.

Дашковский С.Н., Ефимов Д.В., Cонтаг Э.Д. Устойчивость от входа к состоя-

нию и смежные свойства систем // АиТ. 2011. № 8. С. 3-40.

Dashkovskiy S.N., Efimov D.V., Sontag E.D. Input to State Stability and Allied

System Properties // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 8. P. 1579-1614.

12.

Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и

перспективы развития // АиТ. 2005. № 4. С. 3-59.

Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control: the State of the Art and Developing

Prospects // Autom. Remote Control. 2005. V. 66. No. 4. P. 511-561.

13.

Jammazi C. Backstepping and Partial Asymptotic Stabilization // Int. J. Control,

Autom., Syst. 2008. V. 6. No. 6. P. 859-872.

14.

Efimov D.V., Fradkov A.L. Input-to-Output Stabilization of Nonlinear Systems via

Backstepping // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2009. V. 19. No. 6. P. 613-633.

15.

Binazadeh T., Yazdanpanah M.J. Partial Stabilization of Uncertain Nonlinear

Systems // ISA Trans. 2012. V. 51. No. 2. P. 298-303.

16.

Lamooki G.R.R. Recursive Partial Stabilization: Backstepping and Generalized Strict

Feedback Form // Int. J. Control, Autom., Syst. 2013. V. 11. No. 2. P. 250-257.

17.

Zuyev A.L. Partial Stabilization and Control of Distributed Parameter Systems with

Elastic Elements. Cham: Springer Int. Publ., 2015.

18.

L’Afflitto A., Haddad W.M., Bakolas E. Partial-State Stabilization and Optimal

Feedback Control // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2016. V. 26. No.

P. 1026-1050.

19.

Hale J.K. Theory of Functional Differential Equations. 2 ed. N.Y.: Springer-Verlag,

1977.

20. Burton Т.А. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential

Equations. Orlando: Academ. Press, 1985.

21. Bernfeld S.R., Corduneanu C., Ignatyev A.O. On the Stability of Invariant Sets of

Functional Differential Equations // Nonlinear Anal.: Theory, Methods Appl. 2003.

V. 55. No. 4-6. P. 641-656.

22. Halanay A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Lags. N.Y.: Acad.

Press, 1966.

23. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной детектируемости

нелинейных динамических систем // АиT. 2009. № 1. С. 25-38.

Vorotnikov V.I., Martyshenko Yu.G. On Partial Detectability of the Nonlinear

Dynamic Systems // Autom. Remote Control. 2009. V. 70. No. 1. P. 20-32.

24. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-

матлит, 1959.

25. Byrnes C.I., Isidori A., Willems J.C. Passivity, Feedback Equivalence, and the

Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems // IEEE Trans. Autom.

Control. 1991. V. 36. No. 11. P. 1228-1240.

26. Isidori A. The Zero Dynamics of a Nonlinear System: From the Origin to the

Latest Progresses of a Long Successful Story // Eur. J. Control. 2013. V. 19. No. 5.

P. 369-378.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.М. Хрусталевым.

Поступила в редакцию 14.03.2019

После доработки 25.06.2019

Принята к публикации 18.07.2019