Автоматика и телемеханика, № 2, 2020
Нелинейные системы
© 2020 г. В.Р. БАРСЕГЯН, д-р физ.-мат. наук (barseghyan@sci.am)
(Ереванский государственный университет;
Институт механики НАН Армении, Ереван)
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ СТРУНЫ
С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ
В ЗАДАННЫЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
Рассматривается задача оптимального управления для уравнения ко-
лебания струны с заданными начальным и конечным условиями, с нераз-
деленными значениями состояния в промежуточные моменты времени
и с критерием качества, заданным на всем промежутке времени. Задача
решена с использованием методов разделения переменных и теории опти-
мального управления конечномерными системами с неразделенными мно-
готочечными промежуточными условиями. В качестве примера примене-
ния предложенного подхода построено оптимальное управляющее воздей-
ствие для колебания струны с заданным нелокальным значением прогиба
точек струны в некоторые промежуточные моменты времени.
Ключевые слова: колебания струны, оптимальное управление колебания-
ми, промежуточные значения состояния, неразделенные многоточечные
условия, оптимальное управление.
DOI: 10.31857/S0005231020020038
1. Введение
Физические процессы, связанные с колебательными системами, моделиру-
ются волновым уравнением [1-4]. При этом на практике часто возникают за-
дачи управления и оптимального управления (УиОУ), в которых нужно сге-
нерировать желаемую форму колебания, удовлетворяющую многоточечным
промежуточным условиям. Характерной чертой многоточечных краевых за-
дач УиОУ является наличие неразделенных условий в нескольких проме-
жуточных точках интервала исследования. Многоточечные краевые задачи
УиОУ, в которых, наряду с классическими краевыми (начальным и конеч-
ным) условиями, заданы неразделенные (нелокальные) многоточечные про-
межуточные условия, исследованы в [5-16]. Неразделенные многоточечные
краевые задачи, с одной стороны, возникают как математические модели ре-
альных процессов, а с другой — потому, что для многих уравнений невозмож-
на корректная постановка локальных краевых задач. В частности, неразде-
ленность многоточечных условий может быть обусловлена также невозмож-
ностью на практике проводить измерения требуемых параметров состояния
объекта мгновенно. Подобные задачи имеют прикладное значение и важны
с теоретической точки зрения, поэтому требуют своего исследования в раз-
личных постановках.
36
Многочисленные примеры технологических процессов, приводящих к за-
дачам УиОУ в системах с распределенными параметрами, рассмотрены в ра-
ботах [1-4], в которых предложены различные методы решения задач УиОУ,
например метод моментов, метод Фурье, метод гармоник. Задачи УиОУ ко-
лебательных процессов с помощью как внешних, так и граничных управляю-
щих воздействий при различных типах граничных условий рассмотрены в
[1-4, 8-22], где предложены различные методы решения задач управления.
В [12, 13] рассмотрена граничная задача для уравнения колебания струны с
заданной скоростью в некоторый момент времени колебания струны и по-
строено решение задачи.
В настоящей статье рассматривается задача оптимального управления для
уравнения колебания струны с заданными начальным и конечным условиями,
с неразделенными значениями состояния в промежуточные моменты време-
ни и с критерием качества, заданным на всем промежутке времени. Мето-
дом разделения переменных исходная задача сведена к задаче оптимального
управления со счетным числом обыкновенных дифференциальных уравнений
с заданными начальными, конечными и неразделенными многоточечными
промежуточными условиями. Построено оптимальное управляющее воздей-
ствие с помощью методов теории оптимального управления конечномерными
системами с многоточечными промежуточными условиями.
2. Постановка задачи
Рассмотрим однородную, упругую натянутую струну длиной l, концы ко-
торой закреплены. Пусть в вертикальной плоскости на струну действуют рас-
пределенные силы с плотностью u(x, t).
Пусть состояние распределенной колебательной системы (малые попереч-
ные колебания струны), т.е. отклонения от состояния равновесия, описывают-
ся функцией Q(x, t), 0 ≤ x ≤ l, 0 < t < T , которая подчиняется при 0 < x < l
и 0 < t < T волновому уравнению
∂2Q
∂2Q
(2.1)
=a2
+ u(x, t)
∂t2
∂x2
с однородными граничными условиями
(2.2)
Q(0, t) = 0, Q(l, t) = 0,
0≤t≤T,
и удовлетворяет начальным и конечным условиям:
∂Q
(2.3)
Q(x, 0) = ϕ0(x),
=ψ0
(x),
0≤x≤l,
∂t
t=0
∂Q
(2.4)
Q(x, T ) = ϕT (x) = ϕm+1(x),
=ψT(x) = ψm+1
(x),
0≤x≤l.
∂t
t=T
В уравнении (2.1) a2 = T0ρ , где T0 — натяжение струны, ρ — плотность одно-
родной струны. Функция Q(x, t), удовлетворяющая уравнению (2.1), дважды
непрерывно дифференцируема вплоть до границы области.
37
Пусть в некоторые промежуточные моменты времени 0 = t0 < t1 < . . . <
< tm < tm+1 = T на значения функции состояния струны наложены неразде-
ленные (нелокальные) условия в виде
∑
(2.5)
fkQ(x,tk
) = α(x),
k=1
где fk — заданные величины (k = 1, . . . , m), α(x) — некоторая известная
функция. В частности, в случае m = 1, f1 = 1 условие (2.5) принимает вид
Q(x, t1) = α(x).
Здесь ϕ0(x), ψ0(x), ϕT (x), ψT (x) и α(x) — заданные гладкие функ-
ции, удовлетворяющие условиям согласования. Предполагается, что систе-
ма (2.1) при ограничениях (2.2)-(2.5) на промежутке времени [0, T ] явля-
ется вполне управляемой [6, 7, 23]. Это означает, что на промежутке вре-
мени [0, T ] можно выбрать управляющее воздействие u(x, t), при котором
функция состояния струны Q(x, t) удовлетворяет уравнению (2.1) и задан-
ным условиям (2.2)-(2.5).
Задачу оптимального управления колебаниями струны с заданными нераз-
деленными значениями функции состояния в промежуточные моменты вре-
мени tk (k = 1, . . . , m) можно сформулировать следующим образом: среди
возможных управлений u(x, t), 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T , требуется найти опти-
мальное управляющее воздействие u0(x, t), переводящее колебания стру-
ны (2.1) с граничными условиями (2.2) из заданного начального состоя-
ния (2.3) в заданное конечное состояние (2.4), обеспечивая удовлетворение
неразделенных многоточечных промежуточных условий (2.5) с минимизаци-
ей функционала
⎡
⎤1
∫
T
∫
l
2
(2.6)
J [u] =⎣
(u(x, t))2 dxdt⎦
0
0
3. Решение задачи
Для построения решения поставленной задачи решение уравнения (2.1) с
граничными условиями (2.2) ищем в виде
∑
πn
(3.1)
Q(x, t) =
Qn(t)sin
x.
l
n=1
Представим функции u(x, t) и α(x) в виде рядов Фурье
∑
∑
πn
πn
(3.2)
u(x, t) =
un(t)sin
x, α(x) =
αn sin
x.
l
l
n=1
n=1
Подставляя разложения (3.1), (3.2) в соотношения (2.1)-(2.5), в силу ортого-
нальности системы собственных функций получим, что коэффициенты Фу-
рье Qn(t) удовлетворяют счетной системе обыкновенных дифференциальных
38
уравнений
)2
( aπn
(3.3)
Qn(t) + λ2nQn(t) = un(t), λ2n =
,
n = 1,2,...,
l
и следующим начальным, неразделенным многоточечным промежуточным и
конечным условиям:
(3.4)
Qn(0) = ϕ(0)n,
Qn(0) = ψ(0)n,
∑
(3.5)
fkQn(tk) = αn,
k=1
(3.6)
Qn(T) = ϕ(T)n = ϕ(m+1)n,
Qn(T) = ψ(T)n = ψ(m+1)n,
где через ϕn0), ψn0), ϕnm+1), ψnm+1), un(t) и αn обозначены коэффициенты
Фурье, соответствующие функциям ϕ0(x), ψ0(x), ϕm+1(x), ψm+1(x), u(x, t)
и α(x).
Общее решение уравнения (3.3) с начальными условиями (3.4) имеет вид
∫
t
1
1
(3.7)
Qn(t) = ϕ(0)n cos λnt +
ψ(0)n sin λnt +
un(τ)sin λn
(t - τ)dτ.
λn
λn
0
Теперь, учитывая промежуточные неразделенные (3.5) и конечные (3.6)
условия, из уравнения (3.7) получим, что функции un(τ) для каждого n
должны удовлетворять системе равенств:
T
∫
un(τ)sin λn(T - τ)dτ = C1n(T),
0
T
∫
(3.8)
un(τ)cos λn(T - τ)dτ = C2n(T),
0
tk
∫
∑
fk un(τ)sin λn(tk - τ)dτ = C(m)1n(t1,... ,tm),
k=1
0
где
C1n(T) = λnϕ(m+1)n - λnϕ(0)n cos λnT - ψ(0)n sin λnT,
C2n(T) = ψ(m+1)n + λnϕ(0)n sin λnT - ψ(0)n cosλnT,
(3.9)
[
(
)]
∑
1
C(m)1n(t1, ... , tm) = λn αn -
fk ϕ(0)n cosλntk +
ψ(0)n
sin λntk
λn
k=1
Введем функции
h1n(τ) = sin λn(T - τ), h2n(τ) = cos λn(T - τ),
0≤τ ≤T,
39
{
∑
(m)
sin λn(tk -τ) при 0 ≤ τ ≤ tk,
(3.10)
h
(τ) =
fkh(k)1n(τ), h(k)1n(τ)=
1n
0 при tk < τ ≤ tm+1 = T.
k=1
Тогда интегральные соотношения (3.6) при помощи функции (3.10) запишут-
ся следующим образом:
T
∫
un(τ)h1n(τ)dτ = C1n(T),
0
T
∫
(3.11)
un(τ)h2n(τ)dτ = C2n(T),
0
T
∫
un(τ)h(m)1n(τ)dτ = C(m)1n(t1,... ,tm), n = 1,2,...
0
Учитывая разложение (3.2) и ортогональность системы собственных функ-
ций, минимизируемый функционал (2.6) запишется в виде
∫
T
∫
l
∫
l
[u(x, t)]2dxdt =
u2n (τ)dτ.
2
0
0
n=1 0
∫
Но так как для каждого n = 1, 2, . . . u2n(τ)dτ ≥ 0, то минимизация функ-
0
ционала (2.6) равносильна минимизации функционалов
T
∫
(3.12)
u2n
(τ) dτ, n = 1, 2, . . .
0
Таким образом, решение поставленной задачи оптимального управления
(2.1)-(2.6) для каждого n = 1, 2, . . . сводится к нахождению такого оптималь-
ного управления u0n(t), t ∈ [0, T ], которое удовлетворяет интегральным со-
отношениям (3.11) и доставляет минимум функционалу (3.12). Задачу оп-
тимального управления при функционале (3.12) с интегральными условия-
ми (3.11) можно рассматривать как задачу условного экстремума из вари-
ационного исчисления. Однако, как видно из обозначения (3.10), подынте-
гральная функция в третьем соотношении (3.11) является разрывной, поэто-
му классические методы вариационного исчисления неприменимы для иссле-
дования этой задачи [6, 23].
Отметим, что, в силу линейности условий (3.11), порожденных функци-
ей un(t) на промежутке времени [0, T ], и из-за того что функционал (3.12)
является нормой линейного нормированного пространства, решение получен-
ной задачи оптимального управления (3.11)-(3.12) целесообразно искать с
помощью алгоритма решения проблемы моментов [6, 23].
40
Следуя
[6, 23], для решения конечномерной проблемы моментов
(3.11)-(3.12) нужно найти некоторые величины p1n, p2n, q1n, n = 1, 2, . . . ,
связанные условиями
(3.13)
p1nC1n(T) + p2nC2n(T) + q1nC(m)1n
= 1,
для которых
T
∫
(3.14)
(ρ0n)2 = min
h2n
(t)dt,
(3.13)
0
где
(3.15)
hn(t) = p1nh1n(t) + p2nh2n(t) + q1nh(m)1n
(t).
Для определения величин p01n, p02n, q01n, n = 1, 2, . . . , минимизирую-
щих (3.14) с условиями (3.13), применим метод неопределенных множителей
Лагранжа. Введем функцию
∫T
[
]2
f (p1n, p2n, q1n) =
p1nh1n(t) + p2nh2n(t) + q1nh(m)1n(t)
dt +
0
[
]
+ γn p1nC1n(T) + p2nC2n(T) + q1nC(m)1n - 1 ,
где γn — неопределенный множитель Лагранжа. На основе этого метода, вы-
числяя производные по p1n, p2n, q1n, n = 1, 2, . . . , функции f(p1n, p2n, q1n) и
приравнивая нулю, получаем систему алгебраических уравнений
γn
a(1)np1n + a(2)np2n + b(2)nq1n = -
C1n(T),
2
γn
(3.16)
a(2)np1n + b(1)np2n + d(2)nq1n = -
C2n(T),
2
γn
b(2)np1n + d(2)np2n + d(1)nq1n = -
C(m)1n, n = 1,2,... ,
2
где приняты обозначения:
∫T
∫
T
a(1)n = (h1n(τ))2 dτ, b(1)n = (h2n(τ))2 dτ,
0
0
∫T
a(2)n = h1n(τ)h2n(τ)dτ,
0
T
(
)2
∫T
∫
(
)2
∑
(3.17)
d(1)n =
h(m)1n(τ)
dτ =
fkh(k)1n(τ)
dτ,
k=1
0
0
41
T
(
)
∫T
∫
∑
(m)
b(2)
= h1n(τ)h
(τ)dτ = h1n(τ)
fkh(k)1n(τ) dτ,
n
1n
k=1
0
0
T
(
)
∫T
∫
∑
d(2)n = h2n(τ)h(m)1n(τ)dτ = h2n(τ)
fkh(k)1n(τ) dτ.
k=1
0
0
Присоединяя к уравнениям (3.16) условие (3.13), получим замкнутую си-
стему алгебраических уравнений относительно неизвестных величин p1n, p2n,
q1n, γn n = 1,2,...
Введем обозначения
(2)
an1) an2) b
n
C1n(T) an2) bn2)
Δn =
an2) bn1) dn2)
,
Δn(p1n) =
C2n(T) bn1) dn2)
,
bn2) dn2) dn1)
C(m)1n dn2) dn1)
(2)
an1) C1n(T) b
n
an1) an2) C1n(T)
Δn(p2n) =
an2) C2n(T) dn2)
,
Δn(q1n) =
an2) bn1) C2n(T)
bn2)
C(m)1n dn1)
bn2) dn2)
C(m)
1n
и предположим, что Δn = 0.
Тогда решение системы (3.16) с условием (3.13) можно представить в виде:
Δn(p1n)
Δn(p2n)
p01n =
,
p02n =
,
An
An
(3.18)
Δn(q1n)
q01k =
,
γn = -2
Δn , n = 1,2,...
An
An
Здесь приняты обозначения
An = Δn(p1n)C1n(T) + Δn(p2n)C2n(T) + Δn(q1n)C(m)1n.
Подставляя из (3.18) значения для p01n, p02n, q01n в (3.15), получим, что
h0
n
(t)
h0n(t) =
,
An
где
h0
(3.19)
(t) = Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)h(m)1n
(t).
n
Имея оптимальную функцию h0n(t), из (3.14), с учетом (3.19) будем иметь,
что
∫T
(
)2
h0
(ρ0n)2 =
Bn , где Bn =
(t)
dt.
n
A2n
0
42
Таким образом, согласно [6, 23] искомое оптимальное управление u0n(t)
определится выражением
1
An h0
(3.20)
u0n(t) =
h0n(t) =
n
(t).
(ρ0n)2
Bn
Отметим, что согласно обозначениям (3.10) будем иметь
⎧
⎪
∑
⎪
fk sin λn(tk - t),
0≤t≤t1,
⎪
⎪
k=1
⎪
⎪
⎪
∑
⎪
fk sin λn(tk - t),
t1 < t ≤ t2,
⎨
k=2
h(m)1n(t) =
⎪
⎪
∑
⎪
⎪
fk sinλn(tk - t), tm-2 < t ≤ tm-1,
⎪
⎪
k=m-1
⎪
⎪
fm sin λn(tm - t),
tm-1 < t ≤ tm,
⎩
0,
tm < t ≤ tm+1 = T.
Подставляя значения функции h1n(t), h2n(t), h(m)1n(t) в (3.19), получим
⎧
∑
⎪
⎪Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)
fk sinλn(tk - t),
⎪
⎪
k=1
⎪
⎪
0≤t≤t1,
⎪
⎪
∑
⎪
Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)
fk sinλn(tk - t),
⎪
⎪
k=2
⎪
⎨
t1 < t ≤ t2,
h0
(3.21)
(t) =
n
⎪
∑
⎪
⎪
Δn(p1n)h1n(t)+Δn(p2n)h2n(t)+Δn(q1n)
fk sin λn(tk -t),
⎪
⎪
k=m-1
⎪
tm-2 < t ≤ tm-1,
⎪
⎪
⎪
Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)fm sin λn(tm - t),
⎪
⎪
⎪
tm-1 < t ≤ tm,
⎩
Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t),
tm < t ≤ tm+1 = T.
Таким образом, имея явное выражение функцииh0n(t), из (3.20) полу-
чим оптимальную функцию u0n(t) для каждого n = 1, 2, . . . Далее, подстав-
ляя оптимальную функцию u0n(t) в (3.7), получим Q0n(t) на промежутке вре-
мени t ∈ [0, T ]. Следовательно, из (3.1) и (3.2) получим оптимальную функ-
цию Q0(x, t) состояния струны и оптимальное управление u0(x, t). Таким об-
разом, для оптимального управления будем иметь
43
u0(x,t) =
⎧
[
]
⎪
∑ An
∑
⎪
Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)
fk sin λn(tk - t)
×
⎪
n=1 Bn
k=1
⎪
πn
⎪
× sin
x, 0 ≤ t ≤ t1,
⎪
⎪
[
l
]
⎪
∑ An
∑
⎪
Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)
fk sin λn(tk - t)
×
⎪
n=1 Bn
k=2
⎪
πn
⎪
× sin
x, t1 < t ≤ t2,
⎪
⎪
l
⎨
[
]
∑ An
∑
=⎪⎪
Δn(p1n)h1n(t)+Δn(p2n)h2n(t)+Δn(q1n)
fk sinλn(tk -t)
×
⎪
n=1 Bn
k=m-1
⎪
⎪
πn
⎪
× sin
x, tm-2 < t ≤ tm-1,
⎪
l
⎪
∑ An
⎪
[Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t) + Δn(q1n)fm sinλn(tm - t)] ×
⎪
⎪
n=1 Bn
⎪
πn
⎪
× sin
x, tm-1 < t ≤ tm,
⎪
l
⎪
∑
πn
n
⎩ A
[Δn(p1n)h1n(t) + Δn(p2n)h2n(t)] sin
x, tm < t ≤ tm+1 = T.
n=1 Bn
l
Из этого выражения видно, что оптимальное управляющее воздействие
u0(x,t), решающее поставленную задачу, является кусочно-непрерывной
функцией.
4. Пример
Предположим, что m = 2 (т.е. 0 < t1 < t2 < t3 = T ), тогда из (3.17) с уче-
том обозначений (3.10) будем иметь:
T
1
T
1
sin2 λnT
a(1)n =
-
sin 2λnT, b(1)n =
+
sin 2λnT, a(2)n =
,
2
4λn
2
4λn
2λn
1
b(2)n =
[f1t1 cos λn(T - t1) + f2t2 cos λn(T - t2)] -
2
cos λnT
-
[f1 sinλnt1 + f2 sin λnt2],
2λn
1
[
(
)
d(1)n =
2λn
f21t1 + f22t2
+ 4f1f2t1λn cos λn(t1 - t2)-
4λn
]
-f21 sin 2λnt1 - 2f2 cos λnt2 (2f1 sin λnt1 + f2 sin λnt2)
,
1
d(2)n =
{2f1 sin λnT sin λnt1 - 2λn [f1t1 sin λn(T - t1) + f2t2 sin λn(T - t2)] +
4λn
+ 2f2 sin λnT sin λnt2} .
Предполагая, что t1 =la , t2 = 2la , T = 4la , получим, что t1λn = πn, t2λn =
= 2πn, T λn = 4πn, λn(T - t1) = 3πn, λn(T - t2) = 2πn, λn(t1 - t2) = -πn.
Следовательно, из приведенных выражений и формул (3.9) получим:
2l
l
a(1)n = b(1)n =
,
a(2)n = d(2)n = 0, b(2)n =
[(-1)nf1 + 2f2] ,
a
2a
44
l
[
]
d(1)n
=
f21 + 2f22 + 2(-1)nf1f2
,
2a
(
)
C1n(T) = λn ϕ(3)n - ϕ(0)
n
,
C2n(T) = ψ(3)n - ψ(0)n,
[
]
C(m)1n = λn αn - ϕ(0)n ((-1)n f1 + f2)
Для определителей Δn, Δn(p1n), Δn(p2n), Δn(q1n) будем иметь следующие
значения:
)3 [
]
1
(l
Δn =
2f21 + ((-1)nf1 + 2f2)2 ,
2
a
)2
{(
(l
)[
]
Δn(p1n) =
λn ϕ(3)n - ϕ(0)n
f21 + 2f22 + 2(-1)nf1f2
-
a
[
]
}
− αn - ϕ(0)n((-1)n f1 + f2) [(-1)nf1 + 2f2] ,
}
)2(
){[
(l
]
l
Δn(p2n)=
ψ(3)n -ψ(0)n
f21 +2f22 +2(-1)nf1f2
-
[(-1)nf1 +2f2] ,
a
4
)2
{ [
] (
)
}
(l
Δn(q1n)=
λn 4 αn -ϕ(0)n((-1)nf1 +f2) - ϕ(3)n -ϕ(0)
[(-1)nf1 +2f2] .
n
a
Отметим, что Δn = 0 при f1 = 0 и f2 = 0.
Вычисляя значения величин An и Bn, согласно (3.20) будем иметь опти-
мальную функцию u0n(t), t ∈ [0, T ].
Явные выражения функции оптимального управления u0(x, t) получим в
виде:
а) при 0 ≤ t ≤la
∑
An
u0(x,t) =
{Δn(p1n)sin λn(T - t) + Δn(p2n)cos λn(T - t) +
Bn
n=1
πn
+ Δn(q1n)[f1 sin λn(t1 - t) + f2 sin λn(t2 - t)]}sin
x;
l
б) приla < t ≤ 2la
∑
An
u0(x,t) =
[Δn(p1n)sin λn(T - t) + Δn(p2n)cos λn(T - t) +
Bn
n=1
πn
+ Δn(q1n)f2 sin λn(t2 - t)] sin
x;
l
в) при 2la < t ≤ 4la
∑
An
πn
u0(x,t) =
[Δn(p1n) sin λn(T - t) + Δn(p2n) cos λn(T - t)] sin
x.
Bn
l
n=1
Таким образом, выражения функций оптимального управления получены
в явном виде. С помощью приведенных формул можно найти соответствую-
щее выражение функции состояния струны.
45
5. Заключение
Исследована задача оптимального управления колебаниями струны с за-
данными неразделенными значениями функции состояния в промежуточ-
ные моменты времени. Методом разделения переменных она сведена к за-
даче управления в форме счетного числа обыкновенных дифференциальных
уравнений с заданными начальными, конечными и неразделенными многото-
чечными промежуточными условиями и с критерием качества, заданным на
всем промежутке времени управления. Эта задача решается с использовани-
ем методов теории оптимального управления конечномерными системами с
многоточечными промежуточными условиями. Предложенный для волново-
го уравнения типа (2.1) подход (использование метода Фурье вместо метода
Даламбера) допускает распространение на другие (неодномерные) системы.
В качестве примера применения предложенного подхода построено оптималь-
ное управляющее воздействие для колебания струны с заданными неразде-
ленными значениями прогиба точек струны в некоторые промежуточные мо-
менты времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными парамет-
рами. М.: Наука, 1975.
2.
Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.:
Наука, 1977.
3.
Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управ-
ления упругими космическими аппаратами. М.: Наука, 1986.
4.
Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004.
5.
Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условия-
ми // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 2. С. 215-222.
6.
Барсегян В.Р. Управление составных динамических систем и систем с многото-
чечными промежуточными условиями. М.: Наука, 2016.
7.
Барсегян В.Р., Барсегян Т.В. Об одном подходе к решению задач управления
динамическими системами с неразделенными многоточечными промежуточны-
ми условиями // АиТ. 2015. № 4. С. 3-15.
Barseghyan V.R., Barseghyan T.V. On an Approach to the Problems of Control of
Dynamic Systems with Nonseparated Multipoint Intermediate Conditions // Autom.
Remote Control. 2015. V. 76. No. 4. P. 549-559.
8.
Барсегян В.Р., Саакян М.А. Оптимальное управление колебаниями струны с
заданными состояниями в промежуточные моменты времении // Из. НАН РА.
Механика. 2008. Т. 61. № 2. С. 52-60.
9.
Барсегян В.Р. Об оптимальном управлении колебаниями мембраны при фик-
сированных промежуточных состояниях // Уч. записки ЕГУ. 1998. № 1 (188).
С. 24-29.
10.
Барсегян В.Р. Об одной задаче граничного оптимального управления колеба-
ниями струны с ограничениями в промежуточные моменты времени // “Ана-
литическая механика, устойчивость и управление”. Tр. XI Междунар. Четаев-
ской конф. Т. 3. Ч. I. Казань, 13-17 июня 2017 г. Казань: КНИТУ-КАИ, 2017.
С. 119-125.
46
11.
Barseghyan V.R., Movsisyan L.A. Optimal Control of the Vibration of Elastic
Systems Described by the Wave Equation // Int. Appl. Mech. 2012. V. 48. No. 2.
P. 234-239.
12.
Корзюк В.И., Козловская И.С. Двухточечная граничная задача для уравнения
колебания струны с заданной скоростью в некоторый момент времени. I // Тр.
ин-та мат. НАН Беларуси. 2010. Т. 18. № 2. С. 22-35.
13.
Корзюк В.И., Козловская И.С. Двухточечная граничная задача для уравнения
колебания струны с заданной скоростью в некоторый момент времени. II // Тр.
ин-та мат. НАН Беларуси. 2011. Т. 19. № 1. С. 62-70.
14.
Макаров А.А., Левкин Д.А. Многоточечная краевая задача для псевдодиф-
ференциальных уравнений в полислое // Biсн. Харкiв. нацiонал. унiвер. iм.
В.Н. Каразiна. Сер. Математика, прикладна математика i механiка.
2014.
№ 1120. Вып. 69. С. 64-74.
15.
Асанова А.Т., Иманчиев А.Е. О разрешимости нелокальной краевой задачи
для нагруженных гиперболических уравнений с многоточечными условиями //
Вестн. Карагандинского ун-та. Сер. Математика. 2016. № 1 (81). С. 15-20.
16.
Бакирова Э.А., Кадирбаева Ж.М. О разрешимости линейной многоточечной
краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений // Изв. HАH
PК. Сеp. физ.-мат. 2016. № 5. С. 168-175.
17.
Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями
струны // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60. Вып. 6 (366). С. 89-114.
18.
Xiuying Li. Numerical Solution of an Initial-Boundary Value Problemwith Nonlocal
Condition for the Wave Equation // J. Math. Sci. 2008. V. 2. No. 3. P. 281-292.
19.
Dreglea A.I., Sidorov N.A. Integral Equations in Identification of Externalforce and
Heat Source Density Dynamics // Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat. 2018. No. 3.
P. 68-77.
20.
Szijártó A.L., Hegedüs J. Vibrating Infinite String under General Observation
Conditions and Minimally Smooth Force // Electron. J. Qualit. Theory Differ. Equat.
2016. No. 113. P. 1-11.
21.
Moiseev E.I., Kholomeeva A.A. Optimal Boundary Displacement Controlat One End
of a String with a Medium Exerting Resistance at the Other End // Differ. Equat.
2013. V. 49. No. 10. P. 1317-1322.
22.
Sadybekov M.A., Yessirkegenov N.A. Boundary-Value Problems for Wave Equations
with Data on the Whole Boundary // Electron. J. Differ. Equat. 2016. No. 281.
P. 1-9.
23.
Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Л. Фрадковым.
Поступила в редакцию 30.01.2019
После доработки 16.04.2019
Принята к публикации 18.07.2019
47
