Автоматика и телемеханика, № 2, 2020

(Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург;

Университет ИТМО, Санкт-Петербург)

ДИВЕРГЕНТНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ¹

Предложен метод исследования устойчивости динамических систем с

использованием свойств потока и дивергенции вектора фазовой скорости.

Установлена связь между методом функций Ляпунова и предложенным

методом. На базе полученных результатов приведен синтез закона управ-

ления с обратной связью по состоянию для стабилизации динамических

систем, который сводится к решению дифференциального неравенства

относительно искомой функции управления. Рассмотрены примеры, ил-

люстрирующие применимость предложенного метода и существующих.

Ключевые слова: динамическая система, устойчивость, поток векторного

поля, дивергенция, управление.

DOI: 10.31857/S0005231020020051

1. Введение

Динамическими моделями описывается множество процессов в окружаю-

щем макро- и микромире. Одним из важных вопросов эволюции таких систем

является исследование сходимости решений данных моделей. Однако найти

явное решение дифференциального уравнения не всегда представляется воз-

можным, а численные решения могут значительно отличаться от истинно-

го [1].

Хорошо известно, что метод функций Ляпунова позволяет исследовать

устойчивость решений дифференциальных уравнений, не решая их. Впервые

это показано А.М. Ляпуновым в конце XIX в. в его докторской диссертации

(позже опубликованной в [2]) применительно к задачам астрономии и движе-

ния жидкости. Последующее развитие метода функций Ляпунова для иссле-

дования устойчивости и неустойчивости различных динамических систем, а

также приложения полученных результатов в авиации, технике, механике и

т.д. можно найти в следующих классических трудах [3-7]. В зависимости от

решаемых задач функция Ляпунова также интерпретируется как потенци-

альная функция (potential function) [8], функция энергии (energy function) [9]

или функция хранения (storage function) [10]. Однако основное ограничение в

использовании аппарата функций Ляпунова состоит в поиске данных функ-

ций.

¹ Результаты раздела 2 получены при поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (проект № 17-08-01266). Результаты раздела 3 получены при поддержке

Российского научного фонда (проект № 18-79-10104).

Методы исследования устойчивости динамических систем на базе свойств

дивергенции вектора фазовой скорости объекта являются альтернативны-

ми методу функций Ляпунова. Одними из первых основополагающих ра-

бот в направлении получения дивергентных условий устойчивости были тру-

ды [11-13]. В [14] получены фундаментальные результаты, посвященные раз-

витию дивергентного метода для многомерных систем. Вопросы исследова-

ния устойчивости с использованием свойств индекса Пуанкаре и дивергенции

векторных полей многомерных систем рассмотрены в [15, 16].

Результаты, предложенные в настоящей статье, будут тесно связаны с

работами В.П. Жукова и А. Рантцера (A. Rantzer). Несмотря на то что

в западной литературе нередко первенство в исследовании устойчивости

с помощью дивергенции вектора фазовой скорости отдается А. Рантцеру

[17, 18], в отечественной литературе подобные идеи были опубликованы ра-

нее А.А. Шестаковым, А.Н. Степановым в [14] и В.П. Жуковым в [19]. В [19]

исследуется неустойчивость решения нелинейного дифференциального урав-

нения с помощью дивергенции векторного поля. Затем в течение примерно

30 лет по исследованию неустойчивости различного вида динамических си-

стем В.Н. Жуковым опубликован цикл работ, с частью которых можно сво-

бодно ознакомиться на сайте журнала “Автоматики и телемеханики”. В [20]

приведено необходимое условие устойчивости нелинейных систем в виде непо-

ложительности дивергенции векторного поля фазовой скорости. В [14, 21]

для исследования неустойчивости нелинейных динамических систем вво-

дится вспомогательная скалярная функция. Отметим, что введение данной

функции для исследования свойств устойчивости и неустойчиовсти по Ляпу-

нову особой точки системы дифференциальных уравнений рассматривалось

еще ранее в [22], но без использования дивергентных подходов. Позже в [17]

А. Рантцер использовал также вспомогательную скалярную функцию, кото-

рую назвал функцией плотности (density function). В [14, 23] получены усло-

вия устойчивости для систем второго порядка. Затем А. Рантцер в [17, 18] об-

суждает сходимость почти всех решений нелинейных динамических систем

произвольного порядка и рассматривает вопросы синтеза закона управле-

ния. Подход в [17, 18] отличается от подходов в [14, 23] тем, что для иссле-

дования устойчивости в [17, 18] используется функция плотности, которая

подобна обратной вспомогательной функции в [14, 23], за исключением их

свойств в точке равновесия динамической системы. В настоящее время под-

ход из [17, 18] распространен на различного рода системы [24-27]. В [28] пред-

ложен совершенно другой способ исследования устойчивости динамических

систем с использованием свойств потока вектора фазовой скорости через за-

мкнутую выпуклую поверхность и установлена связь дивергентного метода

со вторым методом Ляпунова.

Однако результатам [18, 20, 23, 28] присущи следующие особенности:

1) необходимое условие [20] — достаточно усиленное;

2) метод [23] обоснован только для систем второго порядка;

3) основной результат [18, теорема 1] гарантирует сходимость почти всех

решений системы. Для того чтобы определить устойчивость системы с ис-

пользованием [18, теорема 1], дополнительно накладывается условие неполо-

жительности дивергенции вектора фазовой скорости [18, см. утверждение 2];

4) условия устойчивости в [28] требуют существования преобразования

координат, которое приводит исходную систему к диагональному виду. Для

нелинейных систем поиск такого преобразования является трудно решаемой

задачей.

В настоящей статье предложен новый метод устойчивости динамических

систем с использованием свойств потока и дивергенции вектора фазовой ско-

рости. Получены необходимые условия устойчивости. Установлена связь ме-

тода функций Ляпунова с предложенным методом исследования устойчиво-

сти на базе потока и дивергенции вектора фазовой скорости. Предложены

достаточное условие устойчивости и метод синтеза закона управления. Ста-

тья сопровождается примерами, иллюстрирующими применимость предло-

женного метода и результатов статьи [18].

2. Основной результат

Рассмотрим динамическую систему

(1)

x = f(x),

где x = [x₁, . . . , x_n]^T

— вектор состояния, f = [f₁, . . . , f_n]^T : D → Rⁿ

—

непрерывно-дифференцируемая функция, определенная в области D ⊂ Rⁿ.

Множество D содержит начало координат и f(0) = 0. Для простоты поло-

жим, что область притяжения D_A точки x = 0 совпадает с областью D. Одна-

ко все полученные результаты будут справедливы, если D_A ⊂ D или D_A = Rⁿ.

Обозначим через^D границу области D.

В статье будем использовать следующие обозначения: grad{W (x)} =

[

]_T

∂W

,...,^∂W∂x

— градиент скалярной функции W (x), div{h(x)} = ∂h1 + . . ._∂x

∂x₁

... + ∂xn∂ n — дивергенция векторного поля h(x) = [h1(x),... ,h(x)n]T, ^|·|— ев-

клидова норма соответствующего вектора. Под устойчивостью будем пони-

мать устойчивость нулевого положения равновесия системы по Ляпунову [29].

Сформулируем необходимое условие устойчивости (1).

Теорема 1. Пусть x = 0 — асимптотически устойчивая точка рав-

новесия системы

(1). Тогда существует положительно определенная

непрерывно-дифференцируемая функция S(x), такая что S(x) → ∞ при

x →D, |grad{S(x)}| = 0 для любых x ∈ D \ {0} и для которой выполнено од-

но из следующих условий:

1) функция div{∫grad{S(x)}|f(x)} интегрируема в области V = {x ∈ D :

S(x) ≤ C} ⊂ D и_V div{|grad{S(x)}|f(x)}dV < 0 для всех C > 0;

2) функция div{|grad{S-1(x)}|f(x)} интегрируема в области V_inv = {x ∈ D :_∫

S-1(x) ≥ C} ⊂ D иVinv div{|grad{S-1(x)}|f(x)}dV_inv > 0 для всех C > 0.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию двух случаев в зависимости

от вида функции S(x) или S-1(x) в теореме 1. Обозначим через F₁ поток век-

торного поля |grad{S(x)}|f(x) через поверхность Γ = {x ∈ D : S(x) = C} с еди-

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация теоремы 1.

ничным вектором нормали

grad{S(x)} и через F₂ — поток вектор-

|grad{S(x)}|

ного поля |grad{S-1(x)}|f(x) через поверхность Γ_inv = {x ∈ D : S-1(x) = C}

с единичным вектором нормали

grad{S-1(x)}. На рис. 1 проил-

|grad{S-1(x)}|

люстрирована геометрическая интерпретация обоих случаев при x ∈ R², где

схематически изображены функции S(x) и S-1(x) (на рис. 1,а и 1,б слева) и

потоки F₁ и F₂ векторных полей |grad{S(x)}|f(x) и |grad{S-1(x)}|f(x) через

соответствующие поверхности уровней Γ и Γ_inv (на рис. 1,а и 1,б справа).

Если система (1) устойчива, то поток векторного поля F₁ (F₂) через поверх-

ность Γ (Γ_inv) принимает отрицательное (положительное) значение.

Доказательство. Согласно [29, теорема 4.17] если x = 0 — асимптоти-

чески устойчивая точка равновесия системы (1), то существует непрерывно-

дифференцируемая положительно определенная функция S(x), такая что

S(x) → ∞ при x →D, grad{S(x)}^Tf(x) < 0 для любых x ∈ D \ {0} и



grad{S(x)}^Tf(x)

= 0. Заметим, что если D = Rⁿ, то функция S(x) яв-

x=0

ляется радиально неограниченной. Рассмотрим далее два случая по отдель-

ности, которые соответствуют функциям S(x) и S-1(x).

1. Если grad{S(x)}^Tf(x) < 0, то и

grad{S(x)}^T|grad{S(x)}|f(x) < 0.

|grad{S(x)}|

Значит, будет справедливо следующее выражение

∮

F₁ =

grad{S(x)}^T|grad{S(x)}|f(x)dΓ < 0.

Γ |grad{S(x)}|

Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского (в литературе ее так-

же можно найти в виде divergence theore

∫

theorem (теорема Гаусса)), получим F₁ =_V div{|grad{S(x)}|f(x)}dV < 0.

2. Если grad{S-1(x)}^Tf(x) < 0, то

grad{S-1(x)}^Tf(x) = -S-2(x)grad{S(x)}^Tf(x) > 0.

С другой стороны,

grad{S-1(x)}^Tf(x) =

grad{S-1(x)}^T|grad{S-1(x)}|f(x).

|grad{S-1(x)}|

Значит, будет выполнено следующее соотношение

∮

F₂ =

grad{S-1(x)}^T|grad{S-1(x)}|f(x)dΓ_inv > 0.

Γ_inv |grad{S-1(x)}|

Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, получим, что

∫

F₂ =

div{|grad{S-1(x)}|f(x)}dV_inv > 0.

V_inv

Теорема 1 доказана.

Подынтегральные выражения в теореме 1 явно зависят от функции S(x),

которая связана с поверхностью интегрирования. Сформулируем следствие,

которое позволит ослабить данное требование.

Следствие. Пусть x = 0 — асимптотически устойчивая точка рав-

новесия системы

(1). Тогда существуют положительно определенные

непрерывно-дифференцируемые функции φ(x) и S(x), такие что φ(x) → ∞

и S(x) → ∞ при x →D, |grad{S(x)}| = 0 для любых x ∈ D \ {0} и для кото-

рых выполнено одно из следующих условий:

1) функция di

∫

S(x) ≤ C} ⊂ D и_V div{ρ(x)f(x)}dV < 0 для всех C > 0, где ρ(x) =

= φ(x)|grad{S(x)}|;

2) функция div{ρ-1(x)f(x)} интегрируема в области V_inv = {x ∈ D :_∫

S-1(x) ≥ C}⊂D иVinv div{ρ-1(x)f(x)}dV_inv > 0 для всех C > 0, где ρ-1(x) =

= φ-1(x)|grad{S-1(x)}|.

Доказательство. Следуя доказательству теоремы 1, рассмотрим два

случая.

1. Если grad{S(x)}^Tf(x) < 0, то и φ(x)grad{S(x)}^Tf(x) < 0. Следователь-

но, дальнейшее доказательство аналогично доказательству в теореме 1, рас-

сматривая только поток векторного поля φ(x)|grad{S(x)}|f(x) через поверх-

ность Γ.

2. Если grad{S(x)}^Tf(x) < 0, то и φ-1(x)grad{S(x)}^Tf(x) < 0. Значит,

дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1, но с уче-

том потока векторного поля φ-1(x)|grad{S-1(x)}|f(x) через поверхность Γ_inv.

Следствие доказано.

Замечание. Если функция ρ(x) выбрана так, что div{ρ(x)f(x)} и

div{ρ-1(x)f(x)} интегрируемы, а также div{ρ(x)f(x)}<0 и div{ρ-1(x)f(x)}>_∫

>0 для любых x∈D\{0}, то соответствующие условия_V div{ρ(x)f(x)}dV <_∫

<0 и_V

div{ρ-1(x)f(x)}dV_inv > 0, представленные в следствии, будут вы-

inv

полнены. В [18] для сходимости почти всех решений (1) требуется интегри-

руемость div{ρ-1(x)f(x)} и выполнение условия div{ρ-1(x)f(x)} > 0, что яв-

ляется частным требованием в следствии.

Теперь сформулируем достаточное условие устойчивости.

Теорема 2. Пусть задана положительно определенная непрерывно-

дифференцируемая функция ρ(x), определенная в области D. Тогда точка

x = 0 устойчива (асимптотически устойчива), если выполнено одно из сле-

дующих условий:

1) div{ρ(x)f(x)} ≤ ρ(x)div{f(x)} (div{ρ(x)f(x)} < ρ(x)div{f(x)})



для любых x ∈ D \ {0} и div{ρ(x)f(x)}

= 0;

x=0

2) div{ρ-1(x)f(x)} ≥ 0 (div{ρ-1(x)f(x)} > 0)

[

]

и div{f(x)} ≤ 0 для любых x ∈ D \ {0} и lim

ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}

= 0;

|x|→0

3) div{ρ(x)f(x)} ≤ β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}

(div{ρ(x)f(x)} < β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}),

где β(x) > 1 и div{f(x)} ≤ 0 или только β(x) = 1 для любых x ∈ D \ {0},



[

]



а также div{ρ(x)f(x)}

= 0 и lim

ρ(x)div{ρ-1(x)f(x)}

= 0.

x=0

|x|→0

Доказательство. Приведем доказательство устойчивости для каждо-

го случая в отдельности. Доказательство асимптотической устойчивости ана-

логично.

1. Из соотношения div{ρ(x)f(x)} = grad{ρ(x)}^Tf(x) + div{f(x)}ρ(x) сле-

дует, что если div{ρ(x)f(x)} ≤ div{f(x)}ρ(x), то и grad{ρ(x)}f() ≤ 0 в обла-



сти D \ {0}. По условию ρ(0) = 0. Поэтому если div{ρ(x)f(x)}

= 0, то и



x=0

grad{ρ(x)}f(x)

= 0. Значит, согласно теореме Ляпунова [29] система (1)

x=0

устойчива.

2. Из выражения div{ρ-1(x)f(x)} = grad{ρ-1(x)}^Tf(x) + div{f(x)}ρ-1(x)

следует, что grad{ρ(x)}^Tf(x) = ρ(x)div{f(x)} - ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}. Если

div{ρ-1(x)f(x[} ≥ 0 и div{f(x)} ≤ 0,]то grad{ρ(x)}Tf(x)[ 0 в области D]\{0}.

Если lim|x|→0

ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}

= 0, то и lim|x|→0

grad{ρ(x)}f(x)

= 0.

Значит, система (1) устойчива.

3. Условие 3 состоит в объединении результатов условий 1 и 2. Сумми-

руя β(x)grad{ρ(x)}^Tf(x) = β(x)ρ(x)div{f(x)} - β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)} и

grad{ρ(x)}^Tf(x) = div{ρ(x)f(x)} - div{f(x)}ρ(x), получим

(1 + β(x))grad{ρ(x)}^Tf(x) =

= div{ρ(x)f(x)} - β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)} + (β(x) - 1)ρ(x)div{f(x)}.

Если

div{ρ(x)f(x)} ≤ β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}

при β(x) = 1 или β(x) > 1 и div{f(x)} ≤ 0, то

grad{ρ(x)}^Tf(x) ≤ 0 в области D \ {0}.

Если



[

]



div{ρ(x)f(x)}

= 0 и lim

ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)}

= 0,

x=0

|x|→0

то и

[

]

lim

grad{ρ(x)}f(x)

= 0.

|x|→0

Значит, система (1) устойчива. Теорема 2 доказана.

Во введении отмечалось, что результат [23] применим только для систем

второго порядка. Далее рассмотрим иллюстрацию полученных результатов

для систем третьего порядка и сравним полученные результаты с [18].

Пример 1. Рассмотрим систему

x₁ = x₂ - 2x₁x²³,

(2)

x₂ = -x₁ - 2x₂x²³,

x₃ = -2x³³,

которая имеет точку равновесия (0, 0, 0).

Выберем ρ(x) = |x|2α, где α — натуральное число. Проверим сначала усло-

вия следствия. Так как div{ρ(x)f(x)} = -|x|2α(4α + 10)x²³ < 0 для любых α и

x₃ = 0, а также div{ρ-1(x)f(x)} = (4α - 10)x²³|x|-2α > 0 для α ≥ 3 и x₃ = 0,

то условия следствия будут выполнены. Поскольку функция div{ρ-1(x)f(x)}

интегрируема в области {x ∈ Rⁿ : |x| ≥ 1}, то будут выполнены условия тео-

ремы 1 [18] о сходимости почти всех решений (2).

Проверим теперь условия теоремы

2. Соотношение div{ρ(x)f(x)}-

−ρ(x)div{f(x)} = -4αx²³|x|2α < 0 выполнено для любых α и x₃ = 0. В свою

очередь div{f(x)} = -10x²³ < 0 и функция div{ρ-1(x)f(x)} > 0 для лю-

бых α ≥ 3 и x₃ = 0 (данный вывод можно также получить при исполь-

зовании утверждения 2 в [18]). Пусть β(x) = β ≥ 1. Тогда div{ρ(x)f(x)}-

-βρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)} = -(4α + 10 + 4βα - 10β)x²³|x|2α < 0 при α >5(β-1)2(β+1)

и x₃ = 0. Все три случая дали одинаковые результаты. Значит, систе-

ма (2) асимптотически устойчива с любыми начальными условиями, когда

x₃(0) = 0. Если начальные условия содержат x₃(0) = 0, то система (2) устой-

чива. Фазовые траектории системы (2) изображены на рис. 2, где цикл полу-

чен для начального условия с x₃ = 0, спирали — при x₃ = 0.

Таким образом, следствие и теорема 2, как и результаты [18], дали поло-

жительные ответы об устойчивости (2). Дополнительно условия теоремы 2

позволили установить, когда система (2) устойчива и когда асимптотически

устойчива.

Пример 2. Рассмотрим систему

x₁ = -x₁ + x²¹ - x²² - x²³,

(3)

x₂ = -x₂ + 2x₁x₂,

x₃ = -x₃ + 2x₁x₃,

1,0

0,5

1,0

0,5

x₂

0,5

1,0

0,5

x₁

1,0

Рис. 4. Фазовый траектории системы (4) с двумя точками равновесия.

≤ β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)} тоже не выполнены. В результате в данном при-

мере выполнены условия следствия (и условия теоремы 1 из [18]), но не вы-

полнены условия теоремы 2 (и условия утверждения 2 из [18]).

Пример 3. Рассмотрим систему

x₁ = -4x₁x²² - x³¹,

(4)

x₂ = 4x²¹x₂ - x³² - 8x₂x²³,

x₃ = -x³³ + 8x²²x₃

с точкой равновесия (0, 0, 0). Фазовые траектории (4) изображены на рис. 4

для различных начальных условий.

Выберем ρ(x) = |x|2α и проверим сначала условия следствия. Вычислив

div{ρ(x)f(x)} = |x|2α-2[(-2α + 1)x⁴¹ + (-2α + 1)x⁴² + (-2α - 11)x⁴³ + 2x²¹x²² -_∫

-10x²¹x²³ - 10x²²x²³], получим, что_V div{ρ(x)f(x)}dV < 0 для любых C и α.

Для div{ρ-1(x)f(x)} = |x|-2α-2[(2α + 1)x⁴¹ + (2α + 1)x⁴² + (2α - 11)x⁴³ + 2x²¹x²²-_∫

-10x²¹x²³ - 10x²²x²³] условиеVinv div{ρ-1(x)f(x)}dV_inv > 0 выполнено для лю-

бых C и α ≥ 3. Следовательно, условия следствия выполнены (условия тео-

ремы 1 из [18] выполнены только при α ≥ 8).

Проверим теперь условия теоремы

2. Соотношение div{ρ(x)f(x)}-

−ρ(x)div{f(x)} = -2α|x|2α-2(x⁴¹ + x⁴² + x⁴³) < 0 выполнено для любых α и

x = 0. Функция div{f(x)} = x²¹ + x²² - 11x²³ не является знакоопределенной,

значит, независимо от выбора ρ-1(x) утверждением

в [18] и вторым

случаем теоремы 2 здесь воспользоваться нельзя. Условие div{ρ(x)f(x)}-

-βρ²(x)div{ρ-1(x)f(x)} < 0 в теореме 2 выполнено при β = 1 и x = 0.

Таким образом, для системы (4) выполнены условия следствия и теоре-

мы 2, откуда следует, что (0, 0, 0) — асимптотически устойчивая точка рав-

новесия. Согласно [18] можем только заключить, что почти все решения (4)

сходятся к (0, 0, 0) поскольку не выполнены условия утверждения 2 из [18], а

выполнены только условия теоремы 1 из [18].

3. Синтез закона управления

Рассмотрим динамическую систему, аффинную по управлению,

(5)

x = ξ(x) + g(x)u(x),

где u(x) — сигнал управления, функции ξ(x), g(x) и u(x) — непрерывно-диф-

ференцируемые в области D, ξ(0) = 0 и g(0) = 0 и система (5) является управ-

ляемой в области D. Сформулируем следующий результат.

Теорема 3. Пусть задана положительно определенная непрерывно-

дифференцируемая функция ρ(x) при x ∈ D. Если закон управления u(x) вы-

бран так, что выполнено одно из следующих условий:

1) div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} ≤ ρ(x)div{ξ(x) + g(x)u(x)}

(div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} < ρ(x)div{ξ(x) + g(x)u(x)})



для любых x ∈ D \ {0} и div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))}

= 0;

x=0

2) div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} ≥ 0 (div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} > 0)

[

]

для любых x ∈ D \ {0} и lim

ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))}

= 0;

|x|→0

3) div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} ≤ β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))}, β ≥ 1

(div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} < β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))}),

где β(x) > 1 и div{ξ(x) + g(x)u(x)} ≤ 0 или только β(x) = 1



для любых x ∈ D \ {0}, а также div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))}

=0 и

x=0

[

]

lim

ρ(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))}

= 0,

|x|→0

то замкнутая система будет устойчивой (асимптотически устойчивой).

Поскольку система (5) является управляемой в области D, то доказатель-

ство теоремы 3 непосредственно следует из доказательства теоремы 2 с уче-

том замены f(x) = ξ(x) + g(x)u(x).

Отметим, что при синтезе закона управления с использованием функции

Ляпунова V (x) требуется выбрать u так, чтобы было выполнено алгебраиче-

ское неравенство grad{V }(f + gu) < 0. Согласно теореме 3 u необходимо вы-

брать так, чтобы было выполнено дифференциальное неравенство, что дает

новое условие поиска закона управления.

Пример 4. Рассмотрим систему

x₁ = dx₂ - x₁x²²,

(6)

x₂ = u,

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,5

1,0

1,5

1,0

0,5

1,0

1,5

Рис. 5. Фазовые траектории в замкнутой системе при d = 0 (а) и при d = 1,

β = 2 (б).

где d принимает значения 0 и 1. Требуется разработать закон управления u,

который бы обеспечил асимптотическую устойчивость (6) в окрестности точ-

ки (0, 0). Очевидно, что при u = 0 система (6) не является асимптотически

устойчивой при любом значении d. Выберем ρ(x) = |x|2α, α — натуральное

число, и воспользуемся третьим случаем теоремы 3.

1. Пусть d = 0. Вычислим

div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} - β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} =

(

)

∂u

= -2α(1 + β)x²¹x²² + 2α(1 + β)ux₂ + (1 - β)

-x²² +

(x²¹ + x²²).

∂x₂

Выбрав u = -x³², получим, что

div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} - β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} < 0

при β ≥ 1, α >2(β-1)β+1 и x₂ = 0, а также div{ξ(x) + g(x)u(x)} ≤ 0. Фазовые

траектории замкнутой системы изображены на рис. 5,а.

2. Пусть d = 1. Вычислим

div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} - β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} =

= 2α(1 + β)x₁x₂ - 2α(1 + β)x²¹x²² +

(

)

∂u

+ 2α(1 + β)ux₂ + (1 - β)

-x²² +

(x²¹ + x²²).

∂x₂

Выбрав u = -x₁ - (β - 1)x³², получим, что

div{ρ(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} - β(x)ρ²(x)div{ρ-1(x)(ξ(x) + g(x)u(x))} < 0

{

}

(β-1)(3β-2)

3β-2

при β ≥ 1 и α > max

, а также div{ξ(x) + g(x)u(x)} ≤ 0.

2(β+1)

Фазовые траектории замкнутой системы изображены на рис. 5,б при β = 2.

4. Заключение

Предложен метод исследования устойчивости динамических систем с ис-

пользованием свойств потока и дивергенции вектора фазовой скорости. Для

исследования устойчивости требуется существование определенного вида по-

верхности интегрирования или вспомогательной скалярной функции. Сфор-

мулированы отдельно необходимые и достаточные условия устойчивости.

Дальнейшие результаты могут быть связаны с распространением полученно-

го метода на другие виды систем, например неавтономные системы, системы

с запаздыванием и т.д.

Полученные результаты применены к синтезу закона управления с об-

ратной связью для динамических систем. Показано, что для выбора зако-

на управления требуется разрешить дифференциальное неравенство отно-

сительно сигнала управления, в то время как при использовании аппарата

функций Ляпунова требуется разрешить алгебраическое неравенство. Про-

должением работ по синтезу новых алгоритмов управления с использовани-

ем дивергентных методов может являться модификация некоторых эффек-

тивных схем управления, разработанных на базе метода функций Ляпунова.

К таким методам управления можно отнести метод инвариантных эллипсо-

идов [30], метод скоростного градиента [31] и др.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория кон-

струирования систем управления. М.: Высш. школа, 2003.

Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: 1955.

Летов А.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз,

1962.

Малкин И. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

Зубов В.И. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение. М.:

Высш. шк., 1984.

Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по от-

ношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

Yuan R., Ma Y.-A., Yuan B., Ao P. Lyapunov Function as Potential Function:

A Dynamical Equivalence // Chin. Phys. B. 2014. V. 23. No. 1. P. 010505.

Bikdash M.U., Layton R.A. An Energy-Based Lyapunov Function for Physical

Systems // IFAC Proc. 2000. V. 33. No. 2. P. 81-86.

10.

Willems J.C. Dissipative Dynamical Systems. Part I: General Theory. Part II: Linear

Systems with Quadratic Supply Rates // Arch. Rational Mech. Anal. 1972. V. 45.

No. 5. P. 321-393.

11.

Zaremba S.K. Divergence of Vector Fields and Differential Equations // Amer. J.

Math. 1954. V. LXXV. P. 220-234.

12.

Fronteau J. Le théorèm de Liouville et le problèm général de la stabilité. Genève:

CERN, 1965.

13.

Brauchli H.I. Index, divergenz und Stabilität in Autonomen equations. Zürich:

Abhandlung Verlag, 1968.

14.

Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устой-

чивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений //

Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 4. С. 650-661.

15.

Масина О.Н., Дружинина О.В. Моделирование и анализ устойчивости некото-

рых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011.

16.

Дружинина О.В. Индекс, дивергенция и функции Ляпунова в качественной

теории динамических систем. М.: Изд. группа URSS, 2013.

17.

Rantzer A., Parrilo P.A. On Convexity in Stabilization of Nonlinear Systems //

Proc. 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney, Australia. 2000. P. 2942-

2946.

18.

Rantzer A. A Dual to Lyapunov’s Stability Theorem // Syst. & Control Lett. 2001.

V. 42. P. 161-168.

19.

Жуков В.П. Об одном методе качественного исследования устойчивости нели-

нейных систем // АиТ. 1978. № 6. С. 11-15.

Zhukov V.P. On One Method for Qualitative Study of Nonlinear System Stability //

Autom. Remote Control. 1978. V. 39. No. 6. P. 785-788.

20.

Жуков В.П. К методу источников для исследования устойчивости нелинейных

систем // АиТ. 1979. № 3. С. 12-17.

Zhukov V.P. On the Method of Sources for Studying the Stability of Nonlinear

Systems // Autom. Remote Control. 1979. V. 40. No. 3. P. 330-335.

21.

Жуков В.П. Необходимые и достаточные условия неустойчивости нелинейных

автономных динамических систем // АиТ. 1990. № 12. С. 59-65.

Zhukov V.P. Necessary and Sufficient Conditions for Instability of Nonlinear

Autonomous Dynamic Systems // Autom. Remote Control. 1990. V. 51. No. 12.

P. 1652-1657.

22.

Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные

поля на плоскости. М.: Физматлит, 1963.

23.

Жуков В.П. Дивергентные условия асимптотической устойчивости нелинейных

динамических систем второго порядка // АиТ. 1999. № 7. С. 34-43.

Zhukov V.P. On the Divergence Conditions for the Asymptotic Stability of Second-

Order Nonlinear Dynamical Systems // Autom. Remote Control. 1999. V. 60. No. 7.

P. 934-940.

24.

Monzon P. On Necessary Conditions for Almost Global Stability // IEEE Trans.

Autom. Control. 2003. V. 48. No. 4. P. 631-634.

25.

Loizou S.G., Jadbabaie A. Density Functions for Navigation-Function-Based

Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2008. V. 53. No. 2. P. 612-617.

26.

Castañeda

Á., Robledo G. Differentiability of Palmer’s Linearization Theorem and

Converse Result for Density Functions // J. Diff. Equat. 2015. V. 259. No. 9.

P. 4634-4650.

27.

Karabacak

Ö., Wisniewski R., Leth J. On the Almost Global Stability of Invariant

Sets // Proc. 2018 Eur. Control Conf. (ECC 2018). Limassol, Cyprus. 2018. P. 1648-

1653.

28.

Фуртат И.Б. Исследование устойчивости динамических систем с использова-

нием свойств потока вектора фазовой скорости через замкнутую выпуклую по-

верхность // Науч.-техн. вестн. информ. технологий, механики и оптики. 2013.

Т. 83. № 1. С. 23-27.

29.

Халил Х.К. Нелинейные системы. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2009.