Автоматика и телемеханика, № 2, 2020

(Уральский федеральный университет, Екатеринбург),

В.И. КАЛЕВ (butahlecoq@gmail.com)

(АО “НПО автоматики”, Екатеринбург)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МИНИМАКСНОГО ПРОГРАММНОГО

УПРАВЛЕНИЯ РАСХОДОМ ТОПЛИВА РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ¹

Предлагается математическая формализация и способ решения за-

дачи минимаксного программного терминального управления расходом

топлива двигательной установки ракеты-носителя. Исходная нелинейная

модель объекта управления линеаризуется вдоль опорной траектории

и аппроксимируется линейной дискретной динамической системой. Для

аппроксимирующей системы формулируется задача минимаксного про-

граммного терминального управления с учетом заданных геометрических

ограничений на векторы управления и возмущения. Предлагается новый

метод и численный алгоритм решения задачи, которые для построения

обобщенных областей достижимости линейной дискретной управляемой

системы используют модификацию общего рекуррентного алгебраическо-

го метода. Эффективность предлагаемого решения исследуемой задачи

демонстрируется на примере компьютерного моделирования.

Ключевые слова: адаптивное управление, минимаксный результат, гаран-

тированное управление, робастное управление, управление расходом топ-

лива, двигательная установка, ракета-носитель.

DOI: 10.31857/S0005231020020063

1. Введение

Задача терминального управления расходом топлива двигательной уста-

новки (ДУ) является одной из основных задач управления, решаемых для

жидкостных ракет-носителей (РН). Суть этой задачи заключается в рацио-

нализации использования рабочих запасов компонентов топлива, требуемых

для отработки программной траектории движения РН. Основная идея по-

добной рационализации может быть сведена к решению задачи синхронного

и полного опорожнения топливных баков окислителя и горючего к заданно-

му моменту времени. Другими словами, критерием качества в терминальной

постановке рассматриваемой задачи служит величина отклонения фазовых

координат объекта управления от их желаемых значений в финальный мо-

мент времени.

Известно (см., например, [1-3]), что при моделировании объектов управле-

ния ракетно-космической техники информация об априорно неопределенных

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 18-01-00544).

параметрах системы (начальном фазовом состоянии, возможных реализаци-

ях возмущения) обычно представляется в виде ограниченных множеств воз-

можных значений этих параметров.

В данной статье рассматривается исходная нелинейная модель объекта

управления и ее линейная дискретная аппроксимация относительно заданно-

го опорного режима функционирования, в которой учитывается возмущение,

описывающее возникающую в процессе моделирования (аппроксимации) по-

грешность. Предполагается, что ограничения на априорно неопределенные

значения возмущения в рассматриваемом процессе управления являются вы-

пуклыми, замкнутыми и ограниченными многогранниками (с конечным чис-

лом вершин) в соответствующих конечномерных векторных пространствах

(далее, для краткости, будем писать просто “многогранник”, подразумевая

все указанные выше свойства), а множества значений управляющих воздей-

ствий являются конечными множествами. Для формализации рассматривае-

мой задачи оптимизации режимов расхода топлива жидкостной ДУ РН ис-

пользуется минимаксный подход [4-6], предполагающий нахождение такого

управляющего воздействия, которое минимизирует наихудшие (максималь-

ные) значения выбранного критерия качества, соответствующие возможным

наихудшим реализациям допустимых значений возмущения.

Для решения задачи минимаксного программного терминального управ-

ления расходом топлива жидкостной ДУ РН в статье применяется детерми-

нированный подход, основанный на результатах публикаций [6-12]. В этом

подходе предполагается, что априорно неопределенные параметры системы

принимают свои значения из некоторых известных множеств, имеющих вид

многогранников. В качестве исходной модели рассматривается нелинейная

модель функционирования ДУ РН. Сформированная модель динамики ДУ

РН линеаризуется относительно заданного опорного режима функциониро-

вания, а затем дискретизируется и приводится к линейному рекуррентному

виду [6, 11].

Для линейных дискретных управляемых динамических систем с геомет-

рическими ограничениями на векторы состояния и управления в виде много-

гранников в [6-9] Шориковым А.Ф. был разработан и описан эффективный

общий рекуррентный алгебраический метод построения областей достижи-

мости, который базируется на полугрупповом свойстве выпуклых многогран-

ных областей достижимости [6] и свойствах конечных систем линейных ал-

гебраических уравнений и неравенств. В методе используются возможности

симплекс-метода для решения задач линейного математического программи-

рования, а также способы преобразования описания многогранников с по-

мощью соответствующих систем линейных алгебраических неравенств в их

описание с помощью конечного числа вершин и наоборот.

Предлагаемое решение задачи минимаксного программного терминально-

го управления расходом топлива ДУ РН для сформированной линейной дис-

кретной управляемой динамической системы основывается на результатах

публикаций [6, 8, 9] и базируется на общем рекуррентном алгебраическом

методе построения областей достижимости для таких динамических систем

и на алгебраических операциях над выпуклыми многогранными множества-

ми [6, 13].

Для реализации этих методов Шориковым А.Ф. были разработаны соот-

ветствующие численные алгоритмы, которые послужили основой для созда-

ния Шориковым А.Ф. и Тюлюкиным В.А. компьютерного программного ком-

плекса, описание и применение которого представлено в [6-10].

Отметим, что общий рекуррентный алгебраический метод построения об-

ластей достижимости применим для линейных дискретных управляемых ди-

намических систем любой конечной размерности, а его компьютерная реали-

зация ограничена только ресурсами памяти и быстродействием используемой

компьютерной платформы. Поэтому для задач программного управления, ко-

торые решаются, как правило, задолго до непосредственного использования

управляемого объекта (т.е. время решения задачи не ограничено), использо-

вание данного метода оправдано.

В данной статье для разработки алгоритма решения рассматриваемой за-

дачи в части построения обобщенных областей достижимости использует-

ся модификация общего рекуррентного алгебраического метода построения

областей достижимости, описанная в [12]. В заключительной части данной

статьи представлены результаты компьютерного моделирования применения

предлагаемого метода и численного алгоритма для решения задачи мини-

максного программного терминального управления расходом топлива ДУ

РН на конкретном модельном примере. Моделирование осуществлялось с

использованием созданного авторами специализированного компьютерного

программного комплекса.

2. Формирование модели расхода топлива ДУ РН

На промежутке времени [τ₀, τ_f ] рассматривается математическая модель

[11], описывающая режим работы жидкостной ДУ третьей ступени РН (здесь

τ₀ — время выхода на режим и τ_f — время выключения ДУ). Управляю-

щее воздействие (далее — управление) в данной модели в силу конструк-

тивных особенностей тракта управления расходом топлива РН реализует-

ся в заданные дискретные моменты времени {τ₀, τ₁, . . . , τT-1} ⊂ [τ₀, τ_f ], где

τ_T = τ_f, в соответствие которым может быть поставлен целочисленный на-

бор 0, T - 1 = {0, 1, . . . , T - 1} (T ∈ N) (здесь T — количество заданных мо-

ментов времени, в которые планируется осуществлять реализацию управляю-

щего воздействия; здесь и далее N —- множество всех натуральных чисел).

С помощью управления u(t) на целочисленном промежутке времени 0, T - 1

регулирование угла поворота дросселя α_th(t) может быть описано рекуррент-

ным соотношением

(1)

α_th(t + 1) = α_th(t) + c₀u(t), t ∈ 0,T - 1, α_th

(0) = 0,

где c₀ — известный коэффициент привода дросселя. Отметим, что значение

угла поворота дросселя α(t) при t ∈ [τ_t, τt+1), t ∈ 0, T - 1, имеет фиксирован-

ное значение, т.е. не изменяется.

От угла поворота дросселя α_th(τ) зависит значение коэффициента соотно-

шения расходов окислителя и горючего [14], вычисляемое по формуле

(2)

K_m(τ) = K + ΔK + c₁α_th(τ), τ ∈ [τ₀,τ_f

где K — проектное значение коэффициента соотношения расходов компо-

нентов топлива; ΔK — измеряемый в начальный момент времени параметр

выставки дросселя в исходное положение; c₁ — известный коэффициент эф-

фективности дросселя.

Выражение для вычисления тяги ДУ третьей ступени РН в пустоте имеет

вид

(3)

P_s(τ) = P + c₂(K_m(τ) - K)² + c₃(K_m(τ) - K), τ ∈ [τ₀,τ_f

где P — проектное значение пустотной тяги ДУ; c₂, c₃ — известные коэффи-

циенты рабочего режима ДУ.

Удельный импульс тяги ДУ в пустоте вычисляется по формуле

(4)

I_sp(τ) = I + c₄(K_m(τ) - K)² + c₅(K_m(τ) - K), τ ∈ [τ₀,τ_f

где I — проектное значение удельного импульса тяги ДУ; c₄, c₅ — известные

коэффициенты рабочего режима ДУ.

Значения массовых расходов окислителя и горючего из топливных баков

определяются соответственно так:

P_s(τ)K_m(τ)

m_o(τ) =

τ ∈ [τ₀,τ_f],

I_sp(τ)(1 + K_m(τ))

(5)

P_s(τ)

m_f(τ) =

τ ∈ [τ₀,τ_f].

I_sp(τ)(1 + K_m(τ))

Текущие значения масс окислителя и горючего в топливных баках зависят

от значений их массовых расходов (5) и могут быть вычислены посредством

формул

∫τ

M_o(τ) = Mномo + ΔM_o - m_o(τ)dτ, τ ∈ [τ₀,τ_f],

τ₀

(6)

∫τ

M_f(τ) = Mномf + ΔM_f - m_f(τ)dτ, τ ∈ [τ₀,τ_f ],

τ₀

где Mномo, Mномf — номинальные массы рабочих запасов окислителя и горю-

чего; ΔM_o, ΔM_f — измеряемые в начальный момент времени параметры за-

правки топливных баков.

Уравнения (5), (6) исходной нелинейной модели для массовых расходов

окислителя m_o(τ) и горючего m_f (τ) и для масс окислителя M_o(τ) и горючего

M_f(τ), линеаризуются (разложением в ряд Тейлора) относительно опорной

траектории:

m^refo(τ) =

M^refo(τ) = Mномo -

τ,

I+IK

(7)

m^reff(τ) =^P

M^reff(τ) = Mномf -P

τ,

I+IK

после чего линеаризованная модель приводится к дискретному виду, со-

ответствующему дискретным реализациям управления в моменты времени

{τ₀, τ₁, . . . , τT-1}.

Рассмотрим на целочисленном промежутке времени 0, T поставленную

в соответствие исходной нелинейной непрерывной модели (1)-(6) линейную

дискретную динамическую модель.

Значения массовых расходов компонентов топлива из баков вычисляются

по рекуррентным дискретным соотношениям

m_o(t + 1) = m_o(t) + αu(t) + γ₁w₁(t), m_o(0) = mномo + αΔK,

(8)

m_f(t + 1) = m_f (t) + βu(t) + γ₂w₂(t), m_f (0) = mномf + βΔK,

где t ∈ 0, T - 1; α, β — полученные при линеаризации коэффициенты, равные

c₀c₁P

c₀c₁c₃K

c₀c₁PK

c₀c₁c₅PK

α=

I(1 + K)

I(1 + K)²

I²(1 + K)

c₀c₁P

c₀c₁c₅P

c₀c₁c₃

β =

;

I(1 + K)²

I²(1 + K)

1+K

u(t) — скалярное управление; mномo, mномf — номинальные значения массовых

расходов окислителя и горючего; w₁(t), w₂(t) — неконтролируемое возмуще-

ние (погрешность формирования модели); γ₁, γ₂ — коэффициенты, оценивае-

мые путем численного моделирования исходной и аппроксимирующей систем.

Дискретные рекуррентные уравнения, позволяющие определить значения

масс окислителя и горючего в топливных баках, имеют вид

M_o(t + 1) = M_o(t) - ΔT(t)m_o(t), M_o(0) = Mномo + ΔM_o,

(9)

M_f (t + 1) = M_f (t) - ΔT(t)m_f(t), M_f(0) = Mномf + ΔM_f, t ∈ 0,T - 1,

где ΔT (t) — расчетное значение времени между двумя соседними управле-

ниями.

Динамические уравнения объекта управления (8), (9) могут быть записа-

ны в рекуррентном векторно-матричном виде

(10)

x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + D(t)w(t), x(0) = x₀,

где x(t) ∈ R⁴ — фазовый вектор системы (здесь и далее, Rⁿ — n-мерное век-

торное пространство векторов-столбцов; n ∈ N, N — множество всех нату-

ральных чисел); A(t) ∈ R4×4, B(t) ∈ R4×1, D(t) ∈ R4×2 — соответственно мат-

рицы состояния, управления и возмущения системы, имеющие вид

⎛

⎞

^⎛α

^⎛1

⎜-ΔT(t)

0⎟

⎜0⎟

⎜0

⎟

A(t) =⎝

⎠, B(t)=B =⎝

⎠, D(t)=D =⎝

⎠

-1

-ΔT(t)

для t ∈ 0, T - 1; x(0) = x₀ — заданное начальное значение фазового вектора,

равное

⎛

⎞

mномo + αΔK

⎜

⎟

⎜Mномo + ΔMo⎟

x(0) = x₀ =

⎜

⎟;

⎝mномf + βΔK⎠

Mномf + ΔM_f

u(t) ∈ R¹ — управление, стесненное заданным ограничением

(11)

u(t) ∈ U₁(t) ⊂ R¹

t ∈ 0,T - 1;

w(t) ∈ R² — возмущение (погрешность моделирования), значения которого

выбираются в зависимости от сформированного на этапе линеаризации огра-

ничения

(12)

w(t) ∈ W₁(t) ⊂ R²

t ∈ 0,T - 1.

Для ограничений (11) и (12) выполняются следующие условия.

Предположение 1. Множество U₁(t) ∀t ∈ 0,T - 1 представляет собой

конечный набор векторов в R¹, определяющий все возможные значения

управления в момент времени t.

Предположение 2. Множество W₁(t) ⊂ R² ∀t ∈ 0,T - 1, ограничива-

ющее возмущение на шаге t, является многогранником в векторном простран-

стве R².

Для промежутка времени 0, T и ограничения (11) введем в рассмот-

рение множество всех допустимых реализаций программных управлений

u(·) = {u(t)}t∈0,T-1, описываемое соотношением, которое является конечным

множеством,

{

}

U(0, T ) = u(·) | u(·) = {u(t)}t∈0,T-1 ∈ R1×T ∀t ∈ 0, T - 1, u(t) ∈ U₁(t)

(13)

Аналогично для промежутка времени 0, T и ограничения (12) введем в

рассмотрение множество всех допустимых реализаций вектора возмущений

w(·) = {w(t)}t∈0,T-1:

{

}

(14)

W(0, T ) = w(·) | w(·) = {w(t)}t∈0,T-1 ∈ R2×T ∀t ∈ 0, T -1, w(t)∈W₁(t) .

Рассматриваемый процесс управления будем оценивать терминальным

функционалом Φ : R⁴ × U(0, T ) × W(0, T ) → R¹, определенным на допусти-

мых в дискретной динамической системе (10)-(14) реализациях наборов

(x₀, u(·), w(·)) ∈ R⁴ × U(0, T ) × W(0, T ) и значения которого в финальный

момент времени T определяются как

(15)

Φ(x₀, u(·), w(·)) = ∥x(T ) - x_d∥₄

= F(x(T)),

где x(T ) = x(T ; 0, T , x₀, u(·), w(·)) ∈ R⁴ — финальное фазовое состояние дви-

жения системы (10); x_d ∈ R⁴ — вектор, определяющий расчетное (номиналь-

ное) финальное фазовое состояние системы (10); F : R⁴ → R¹ — выпуклый

функционал; ∥ · ∥₄ — евклидова норма в пространстве R⁴.

3. Постановка задачи минимаксного программного терминального

управления расходом топлива ДУ РН

Сформулируем содержательно задачу минимаксного программного тер-

минального управления расходом топлива ДУ РН.

Для дискретной динамической системы

(10) с ограничениями

(11)-

(14) требуется найти такое допустимое программное управление u(e)(·) =

= {u(e)(t)}t∈0,T-1 ∈ U(0, T ), которое оптимизирует (минимизирует) гаранти-

рованный (наибольший) результат рассматриваемого процесса управления,

оцениваемый функционалом (15), по сравнению с результатами, возможными

при любых допустимых управлениях u(·) = {u(t)}t∈0,T-1 ∈ U(0, T ) и любых

реализациях возмущений w(·) = {w(t)}t∈0,T-1 ∈ W(0, T ), т.е. такое управле-

ние, при котором будет выполняться условие

(16)

Φ(x₀, u(e)(·), w(·)) ≤

max Φ(x₀

, u(·), w(·)).

w(·)∈W(0,T )

Условие (16) называется условием минимакса [4-6].

Тогда для линейной дискретной динамической системы (10) с ограниче-

ниями (11)-(14) можно сформулировать задачу минимаксного программного

терминального управления расходом топлива ДУ РН.

Задача. Для заданного целочисленного промежутка времени

0, T

и начального фазового вектора системы x(0) = x₀ требуется най-

ти множество U(e)(0,T,x(0)) ⊆ U(0,T) программных управлений u(e) =

= {u(e)(t)}t∈0,T-1 ∈ U(0, T ), удовлетворяющих условию минимакса

{

}

(17) U(e)(0, T , x(0)) = u(e)(·) | u(e)(·) = u(e)(t)

∈ U(0, T ),

t∈0,T -1

Φ(e) = Φ(x₀,u(e)(·),w(e)(·)) =

max Φ(x₀, u(e)(·), w(·)) =

w(·)∈W(0,T )

}

= min

max Φ(x₀, u(·), w(·))

u(·)∈U(0,T ) w(·)∈W(0,T )

которое будем называть множеством минимаксных программных управле-

ний для данной задачи, а число Φ(e) будем называть ее минимаксным ре-

зультатом.

Как было показано в [6, 9], из-за конечности множества допустимых про-

граммных управлений U(0, T ) и свойств, используемых общим рекуррентным

алгебраическим методом при построении областей достижимости линейных

дискретных управляемых систем, решение сформулированной многошаговой

задачи существует и сводится к реализации конечной последовательности

решения только одношаговых задач: поиска крайних опорных вершин мно-

гогранников (путем нахождения решений сформированных задач линейного

математического программирования), выполнения алгебраических операций

для преобразования их вершинного описания в описание соответствующими

конечными системами линейных алгебраических уравнений и неравенств и

выпуклого математического программирования.

4. Алгоритм решения задачи

Для решения сформулированной задачи используются результаты из

[6-12] и аппарат построения и анализа областей достижимости динамических

систем, который нашел широкое применение в теоретических и прикладных

задачах [3-6]. Введем в рассмотрение понятие обобщенной области достижи-

мости [4, 6].

Определение 1. Обобщенной областью достижимости фазовых со-

стояний линейной дискретной управляемой динамической системы (10)

с ограничениями (11)-(14) при фиксированном допустимом программном

управлении u_∗(·) = {u_∗(t)}t∈0,T-1 ∈ U(0, T ) на момент времени T , соответ-

ствующей набору (x₀,u_∗(·)), называется множество, определяемое соотно-

шением

(18) G(0, x₀, u_∗(·); T ) =

{

= x(T)|x(T) ∈ R⁴,x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + D(t)w(t),

}

t ∈ 0,T - 1,x(0) = x₀,w(t) ∈ W₁(t)

В силу принятых предположений о том, что множества в ограничении (12)

относятся к классу многогранников, в [6] было показано, что множество, опи-

сывающее обобщенную область достижимости такой динамической системы,

будет также принадлежать к классу многогранников.

Известно (см., например, [6, 13, 15]), что любой многогранник может быть

представлен двумя способами: как выпуклая оболочка конечной системы век-

торов и как множество решений конечной системы линейных алгебраических

равенств и неравенств.

Определение 2. Множество из k ∈ N крайних точек, задаваемых на-

бором векторов v_i ∈ Rⁿ, i ∈ 1,k, выпуклая оболочка которых является мно-

гогранником P ∈ Rⁿ, называется вершинным описанием этого многогранни-

ка:

(19)

P = convhull(v₁,v₂,...,v_k), v_i ∈ Rⁿ,

i = 1,k.

Определение 3. Система из m ∈ N линейных неравенств и l ∈ N ли-

нейных уравнений, определяющая многогранник P ∈ Rⁿ, называется фасет-

ным описанием этого многогранника:

(20)

P = {x ∈ Rⁿ|Ax ≤ b,A_ex = b_e}, A∈R^m×n, b∈ R^m, Ae ∈R^l×n, be ∈ R^l.

Приведем описание общего рекуррентного алгебраического метода [6-8]

построения обобщенных областей достижимости линейных дискретных

управляемых систем вида (18).

Алгоритм (построение обобщенных областей достижимости).

0. Инициализация: X(0) = {x₀}, u_∗(·) = {u_∗(t)}t∈0,T-1 ∈ U(0, T ).

1. Для всех t ∈ 0, T - 1 последовательно выполнить:

X(t + 1) = (A(t)X(t) + B(t)u_∗(t)) ⊕ D(t)W₁(t);

X(t + 1) = RemoveRedundancy(X(t + 1)).

2. Закончить.

В основе общего рекуррентного алгебраического метода построения об-

ластей достижимости

[6-9] лежит полугрупповое (эволюционное) свой-

ство областей достижимости G(t, X(t), u_∗(·); t + 1) ∀t ∈ 1, T - 1. Операция

RemoveRedundancy в алгоритме обозначает решение задачи нахождения

крайних точек приведенного внутри скобок множества точек и решается как

задача линейного математического программирования способом, предложен-

ным в [7]. Операция суммирования множеств в данном алгоритме понимается

как сумма Минковского (геометрическая сумма) этих множеств и обозначена

с помощью символа ⊕.

Отметим, что согласно [6] в данной статье для линейных преобразований,

геометрической суммы множеств и нахождения их крайних точек при по-

строении областей достижимости используется вершинный способ описания

многогранников (19), а фасетное описание (20) области достижимости необ-

ходимо для формирования задачи поиска экстремума целевого функционала

на этом множестве и возможности использования методов математического

программирования для ее решения.

Учитывая изложенное и результаты из [6-12], решение задачи минимакс-

ного программного терминального управления расходом топлива ДУ РН

может быть сведено к решению подзадач в следующей последовательно-

сти:

1. Упорядочение по возрастанию натурального индекса j конечного мно-

жества U(0, T ), состоящего из N допустимых программных управлений

u(j)(·) = {u(j)(t)}t∈0,T-1 ∈ U(0,T), т.е. формирование множества U(0,T) =

= {u(j)(t)}j∈1,N ;

2. Построение обобщенных областей достижимости G(0, X(0), u(j)(·); T )

при фиксированных допустимых управлениях u(j)(·) = {u(j)(t)}t∈0,T-1 ∈

∈ U(0, T ) для всех j ∈ 1, N , где X(0) = x₀;

3. Формирование

двойственного

описания

многогранников

G(0, X(0), u(j)(·); T ), j = 1, N , т.е. нахождение фасетного описания

(20)

каждого многогранника по его вершинному описанию

(19) (операцию

формирования двойного описания множества достижимости предлагается

реализовывать, например, с использованием модификации метода двойного

описания [6, 13], представленной в статье [16]);

4. Оптимизация функционала (15) на множестве G(0, X(0), u(j)(·); T ) для

всех j ∈ 1, N методами выпуклого математического программирования, т.е.

нахождение значения функционала:

Φ(e) = Φ(x₀, u(j)(·), w(e)(·)) =

max Φ(x₀, u(j)(·), w(·)) =

w(·)∈W(0,T )

(21)

max

∥x(T ) - x_d∥₄ = ∥x(e)(T ) - x_d∥₄,

x(T )∈G(0,X(0),u(j) (·);T )

где x(T ) = x(T ; 0, T , x₀, u(j)(·), w(·)); x(e)(T ) = x(T ; 0, T , x₀, u(j)(·), w(e)(·)) (ре-

шается, например, с помощью метода Зойтендейка [17]).

5. Нахождение множества U(e)(0, T , x(0)) минимаксных программных

управлений и числа Φ(e) — гарантированного (минимаксного) результата ре-

шения рассматриваемой задачи путем решения задачи дискретной оптими-

зации

U(e)(0,T,x(0)) =

{

= u(e)(·)|u(e)(·) ∈ U(0,T), min

max Φ(x₀, u(·), w(·)) =

u(·)∈U(0,T ) w(·)∈W(0,T )

}

= minΦ(j) = Φ(e)

j∈1,N

Из результатов [6-9] следует, что сформированное множество допустимых

программных управлений U(e)(0, T , x(0)) есть множество всех минимаксных

программных управлений, являющихся решением рассматриваемой задачи.

5. Численный пример решения задачи

Продемонстрируем эффективность предлагаемого метода решения задачи

на численном примере, в котором моделируется решение задачи минимакс-

ного программного терминального управления расходом топлива ДУ третьей

ступени РН [11, 12].

Исходная нелинейная система описывается на промежутке времени [τ₀, τ_f ]

уравнениями (1)-(6), значения параметров которых приведены в табл. 1.

В соответствие исходной нелинейной модели поставлена сформирован-

ная линейная система, полученная посредством линеаризации вдоль опорной

траектории, описываемой уравнениями (7), и последующей дискретизации.

Предполагается, что допустимые моменты выбора (переключения) управ-

ляющего воздействия в исходной нелинейной системе (1)-(6) совпадают с

целочисленными значениями промежутка 0, T - 1. Таким образом, система

векторно-матричных линейных рекуррентных соотношений, описывающая

динамику системы, соответствует уравнениям (8), (9) и имеет вид

x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + D(t)w(t), t ∈ 0, 3,

где x(t) = {x₁(t), x₂(t), x₃(t), x₄(t)} ∈ R⁴; x₁(t) — массовый расход окислителя;

x₂(t) — масса окислителя в баке; x₃(t) — массовый расход горючего; x₄(t) —

масса горючего в баке; x(0) = x₀ = (1182,074; 119560; 459,832; 45260)^⊤;

Таблица 1. Значения параметров нелинейной системы

I, с P, кгс

K Mномo, кг Mномf, кг ΔM_o, кг ΔM_f , кг ΔK

320

528000

8/3

120000

45000

-440

260

-12/125

c₀

c₁

c₂

c₃

c₄

c₅

τ₀, с

τ_f , с

1/75

-6700

9000

-15

-12

100

u(t) ∈ R¹ — скалярное управляющее воздействие, принимающее свои зна-

чения на конечном множестве U₁(t) = {0,6; 0,3; 0; -0,3; -0,6} ∀t ∈ 0, 3 и

соответствующее дискретным положениям вала привода дросселя; w(t) ∈

∈ W₁(t) ⊂ R² — погрешность формирования модели, причем элементы огра-

ничивающего множества W₁(t) принимают значения согласно неравенствам

-0,1 - 0,1t ≤ w₁(t) ≤ 0,1 + 0,1t,

-0,1 - 0,3t ≤ w₂(t) ≤ 0,1 + 0,3t.

Матрицы A(t), B(t) и D(t) в аппроксимирующей системе принимают значе-

ния:

⎛

⎞

^⎛ 20,073

^⎛1

⎜-25 1

0⎟

⎜

⎟

⎜0

⎟

A(t) =⎝

⎠, B(t)=⎝

⎠, D(t)=⎝

⎠

∀t ∈ 0,3.

-10,473

-1

-25 1

Качество процесса управления в данной задаче оценивается значением вы-

пуклого терминального функционала в финальный момент времени T = 4:

√

F (x(T )) =

(x₁(T ) - 1200)² + (x₂(T ))² + (x₃(T ) - 450)² + (x₄(T ))²,

обозначающее расстояние (евклидова норма) от финального состояния x(T )

до номинального (желаемого) финального состояния x_d = (1200; 0; 450; 0)^⊤.

В соответствии с описанным выше методом решения задачи для конечных

множеств U₁(t), описывающих множества всех допустимых значений управ-

ляющего воздействия в моменты времени t, было сформировано упорядо-

ченное множество U(0, T ) = {u(j)(t)}j∈1,N , состоящее из N = 5^T = 625 допу-

стимых программных управлений. Для каждого допустимого программного

управления {u(j)(t)}j∈1,625 были построены соответствующие обобщенные об-

ласти достижимости (18) посредством модификации общего рекуррентного

алгебраического метода построения областей достижимости [12] (см. рису-

нок), и каждая из сформированных областей достижимости после вычисле-

ния ее фасетного описания использовалась в качестве линейных ограничений

при решении задачи оптимизации (максимизации) вида (21). В результате ре-

шения этой задачи максимизации был сформирован конечный набор число-

вых значенийΦ(j) = Φ(x₀, u(j)(·), w(e)(·)), j ∈ 1, 625, — наихудших значений

функционала качества, соответствующих множеству всех допустимых про-

граммных управлений {u(j)(t)}j∈1,625. В результате проделанных вычисле-

ний было найдено итоговое множество программных минимаксных управле-

ний U(e)(0, T , x(0)), которое состоит из единственного допустимого программ-

ного управления u(e)(·) = {u(e)(t)}t∈0,3 = {0,6; 0,6; -0,3; 0}, гарантирующего

результат решения задачи не хуже, чем Φ(e) = 67,12, т.е. выполнение усло-

вия (16).

На рисунке представлены проекции фазовых траекторий исходной систе-

мы (1)-(6) и аппроксимирующей линейной дискретной системы (10), порож-

денные найденным минимаксным программным управлением u(e)(·). При ис-

пользовании этого управления u(e)(·) в исходной нелинейной системе (1)-(6)

Таблица 2. Результаты решения задачи минимаксного программного управления

Управление x₁(T ), x₂(T ), x₃(T ), x₄(T ), F (x(T ))

кг/c

кг

кг/c

кг

Опорная траектория u(t) ≡ 0

1200

450

Исходная система

u(e)(·)

1200,14

-2,29

450,41

-16,25

14,05

Линейная система

u(e)(·)

1201,14

-27,29

452,61

-61,25

67,12

финальное фазовое состояние приняло значение x(τ₁) = (1200,139; -2,294;

450,406; -16,254)^⊤, в котором функционал (15), оценивающий качество

процесса управления в исходной нелинейной системе, принял значение

F (x(τ₁)) = 14,048. Отрицательные значения масс окислителя и горючего

(вторая и четвертая компоненты вектора x(τ₁)) не противоречат физиче-

скому смыслу и могут трактоваться как количества (массы) компонентов

топлива, которые потребуется взять из гарантийных запасов, которые всегда

резервируются в топливных баках любой РН для компенсации возмущений

и помех [1, 14].

В табл. 2 сведены результаты применения найденного управления к нели-

нейной системе и результаты для наихудшего случая в линейной аппрокси-

мирующей системе.

Численное моделирование решения модельной задачи проводилось в про-

граммной среде MATLAB R2014a на персональном компьютере с процес-

с видеокартой NVIDIA GeForce GT 730. Время решения задачи состави-

ло 37 с. Из результатов компьютерного моделирования можно сделать вы-

вод, что сформированное множество минимаксных программных управлений

U(e)(0,T,x(0)) при его использовании для управления процессом расхода топ-

лива ДУ третьей ступени жидкостных РН на основе уравнения динамики ис-

ходной нелинейной системы обеспечивает гарантированный (минимаксный)

результат не хуже, чем результат управления в соответствующей аппрокси-

мирующей линейной дискретной системе при возможных наихудших реали-

зациях возмущений (погрешностей аппроксимации).

6. Заключение

В статье приведено описание нелинейной динамической системы, описы-

вающей динамику расхода топлива жидкостных ДУ РН. Задача оптимизации

управления расходом топлива ДУ РН сформулирована как задача минимакс-

ного программного терминального управления линейной дискретной дина-

мической системой с выпуклым функционалом качества, соответствующей

исходной нелинейной динамической системе. В статье подробно описан пред-

лагаемый метод решения задачи минимаксного программного терминального

управления расходом топлива ДУ РН.

Сформулированная многошаговая минимаксная задача решается путем

реализации конечной последовательности только одношаговых оптимизаци-

онных операций. На основе описанного метода решения рассматриваемой за-

дачи был разработан численный алгоритм и получены численные результаты

компьютерного моделирования решения задачи для математической модели

работы ДУ третьих ступеней РН.

Результаты компьютерного моделирования показывают эффективность

общего рекуррентного алгебраического метода [6-9] для решения рассмат-

риваемой задачи и позволяют сделать вывод о применимости алгоритмов

минимаксного программного терминального управления в задачах управле-

ния реальной ДУ РН.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Петров Б.Н. Избранные труды. Т. 2. Управление авиационными и космически-

ми аппаратами. М.: Наука, 1983.

Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., Мартынов А.И. Методы теории систем в задачах

управления космическим аппаратом. М.: Наука, 1968.

Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир,

1972.

Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры.

М.: Наука, 1974.

Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамиче-

ских системах. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 1997.

Тюлюкин В.А., Шориков А.Ф. Об одном алгоритме построения области дости-

жимости линейной управляемой системы / Негладкие задачи оптимизации и

управление. 1988. С. 55-61.

Тюлюкин В.А., Шориков А.Ф. Алгоритм решения задачи терминального управ-

ления для линейной дискретной системы // АиТ. 1993. № 4. С. 115-127.

Tyulyukin V.A., Shorikov A.F. Algorithm for Solving Terminal Control Problems for

a Linear Discrete System // Autom. Remote Control. 1993. V. 54. No. 4. Part 2.

P. 632-643.

Шориков А.Ф. Алгоритм решения задачи оптимального терминального управле-

ния в линейных дискретных динамических системах / Информационные техно-

логии в экономике: теория, модели и методы. Сб. научн. тр. Урал. гос. экон. ун-

та. 2005. С. 119-138.

10.

Шориков А.Ф., Тюлюкин В.А. Описание библиотеки компьютерных программ

для моделирования решения задачи апостериорного минимаксного оценива-

ния // Изв. Уральск. гос. экон. ун-та. 1999. № 2. С. 36-49.

11.

Шориков А.Ф., Калев В.И. Формирование линейной дискретной динамической

модели для решения задачи оптимального терминального управления расходом

топлива ракеты-носителя // Информационные технологии и системы. Тр. 5-й

Междунар. науч. конф. 2016. С. 61-66.

12.

Шориков А.Ф., Булаев В.В., Горанов А.Ю., Калев В.И. Аппроксимация об-

ластей достижимости нелинейных дискретных управляемых динамических си-

стем // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, ин-

форматика. 2018. № 1. С. 52-65.

13.

Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.

14.

Челомей В.Н. Пневмогидравлические системы двигательных установок с жид-

костными ракетными двигателями. М.: Машиностроение, 1978.