Автоматика и телемеханика, № 2, 2020

Управление в технических системах

(Санкт-Петербургский государственный университет;

Санкт-Петербургский горный университет)

МЕТОД УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ УГЛОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ¹

Рассматривается проблема стабилизации электродинамической тросо-

вой системы (ЭДТС) на круговой околоземной орбите в положении, когда

трос вытянут вдоль местной вертикали. Для решения этой задачи предло-

жена оригинальная схема построения ЭДТС, включающая отрицательно

заряженный коллектор на нижнем конце троса и положительно заряжен-

ный коллектор на верхнем конце троса. Величина заряда на отрицательно

заряженном коллекторе контролируется электронными эмиттерами. Ана-

литически и численно показано, что момент сил Лоренца, действующий

на ЭДТС благодаря заряженным коллекторам на концах троса, значи-

тельно расширяет область устойчивости вертикального положения троса.

Кроме того, управление зарядом на отрицательно заряженном коллекто-

ре в соответствии с текущим угловым движением троса позволяет создать

такую управляющую составляющую лоренцева момента, которая имеет

диссипативный характер. Одновременная работа восстанавливающих и

диссипативно-подобных составляющих управляющего лоренцева момен-

та позволяет обеспечить асимптотическую устойчивость вертикального

положения троса без необходимости отключать электрический ток, про-

текающий вдоль троса. Предложенный метод управления может быть ис-

пользован для стабилизации ЭДТС с целью повышения эффективности

ее работы по удалению космического мусора.

Ключевые слова: электродинамическая тросовая система, стабилизация,

геомагнитное поле, лоренцев момент, электродинамическое управление.

DOI: 10.31857/S0005231020020075

1. Введение

Среди разнообразия космических тросовых систем [1, 2] принято выделять

в отдельную категорию системы с тросами, проводящими электрический ток.

Ток, протекающий по изолированному тросу, следует рассматривать как ток,

протекающий по псевдоцепи, включающей околоземную плазму и замыкаю-

щейся через ионосферные токи, текущие вдоль силовых линий геомагнитного

поля [1]. В результате взаимодействия тока с геомагнитным полем возбужда-

ются амперовы и лоренцевы силы, оказывающие влияние на динамику про-

водящего троса [1]. Поэтому космические системы с проводящими тросами

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 17-01-00672-а).

называют электродинамическими тросовыми системами (ЭДТС). В настоя-

щее время ЭДТС рассматриваются как весьма перспективные для решения

ряда задач по освоению космического пространства [3, 4]. В частности, актив-

но исследуются возможности использования ЭДТС для удаления с орбиты

отработавших искусственных спутников Земли (ИСЗ) или для уборки косми-

ческого мусора. В этом случае трос используется как электродинамический

тормоз орбитального движения, работающий на основе тормозящего влия-

ния амперовых сил [5-13]. При этом наибольшей эффективностью отличает-

ся проводящий трос, функционирующий в режиме проводника с током, ори-

ентированного в околоземном пространстве по местной вертикали [1, 5, 14].

Данная ориентация троса является устойчивой в центральном ньютоновском

гравитационном поле [1, 15]. Вместе с тем, установлено, что под действи-

ем момента сил Ампера вертикальная ориентация троса разрушается [1, 16].

Проблема неустойчивости ЭДТС известна [10, 14, 17]. Решению этой пробле-

мы посвящен ряд работ [13, 18, 19]. Среди возможных подходов к ее решению

наиболее известным является подход, предлагающий использование тех или

иных вариантов управления силой тока, протекающего по тросу [14, 18, 20],

включая периодическое прерывание тока или изменение его направления.

Однако в большинстве случаев ЭДТС должна функционировать в условиях,

предполагающих непрерывное протекание тока вдоль троса в одном направ-

лении, например для создания упомянутой выше силы тяги с целью удаления

космического мусора или для работы ЭДТС в режиме генератора мощности.

Поэтому периодическое выключение тока, протекающего по тросу, или пере-

ключение направления тока снижает эффективность ЭДТС и ограничивает

возможности их использования.

В данной работе рассматривается принципиально другой способ обеспече-

ния вертикального положения проводящего троса, основанный не на управле-

нии силой тока, протекающего по тросу, а на разделении разноименных заря-

дов по концам троса и использовании момента лоренцевых сил [21, 22], влия-

ние которого при определенных условиях является ориентирующим [23-30].

В [31] показано, что лоренцев момент может быть использован в качестве

восстанавливающей составляющей управляющего момента в системе стаби-

лизации проводящего троса в околоземном пространстве вдоль местной вер-

тикали. При этом усложнение конструкции ЭДТС не является существен-

ным, поскольку не предполагает введения в ее состав принципиально новых

устройств по сравнению с теми, которые обычно используются в ЭДТС.

Если же дополнительно ввести в состав ЭДТС блок управления, позволяю-

щий измерять текущее отклонение троса от вертикали и скорость изменения

угла отклонения, а также управлять электронным эмиттером, установлен-

ным на отрицательно заряженном коллекторе ЭДТС, изменяя заряд этого

коллектора в соответствии с данными измерений, то можно, как установ-

лено в данной работе, создать дополнительный момент диссипативного ха-

рактера [32]. Показано, что несмотря на неполную диссипацию, создаваемую

предложенным устройством, одновременное включение восстанавливающего

и диссипативного моментов позволяет решить задачу стабилизации ЭДТС в

вертикальном положении.

2. Конструкция троса

Конструктивная схема рассматриваемого электродинамического троса по-

казана на рис. 1.

Рис. 1. Конструктивная схема электродинамического троса.

Поверхность 1, находящаяся на нижнем конце троса (ближе к Земле) полу-

чает отрицательный заряд, поддерживаемый электронным эмиттером 3 (на-

пример, холловским ионным источником) со стороны концевого тела 4. Ана-

логичные электронные эмиттеры 3, установленные на поверхности 1, позво-

ляют управлять величиной заряда на поверхности 1, сбрасывая часть заряда

с поверхности 1 в окружающее пространство. С помощью электроизолирую-

щих креплений 2 поверхность 1 соединена с концевым телом 4 проводяще-

го троса 5. На противоположном конце троса тело 6 аналогичным образом

соединено с положительно заряженной поверхностью 7. Положительный за-

ряд на поверхности 7 поддерживается с помощью электронного эмиттера 3,

передающего отрицательный заряд на концевое тело 6.

3. Постановка задачи

Рассматривается электроизолированный проводящий трос, вдоль которого

течет ток. Трос находится на околоземной круговой орбите в гравитационном

и магнитном полях Земли и функционирует в режиме, близком к состоянию

обычного тяжелого троса, находящегося в натянутом состоянии вдоль мест-

ной вертикали благодаря градиенту гравитационного поля Земли (рис. 2).

Далее будем называть этот режим движения троса номинальным. В но-

минальном режиме работы ЭДТС, предназначенной для торможения кос-

мического объекта, направление силы тока совпадает с направлением оси Cz

Рис. 2. Орбитальная система координат.

натянутого троса, а ось Cz коллинеарна оси Cζ, направленной вдоль радиуса-

−-→

вектора^R =OEC = Rζ0 центра масс троса относительно центра Земли OE.

В ограниченной спутниковой постановке задачи орбита точки C предполага-

ется круговой и лежащей в плоскости геомагнитного экватора. Оси Cξ и Cη,

направленные соответственно по касательной к орбите в сторону движения

точки C и по нормали к плоскости орбиты, образуют вместе с осью Cζ орби-

тальную систему координат Cξηζ. В инерциальном пространстве орбиталь-

ная система координат поворачивается с угловой скоростью ω₀ = ω₀η₀.

К концам троса присоединены устройства для сбора электрических заря-

дов. Пренебрегая их размерами по сравнению с длиной троса и считая трос

натянутым, будем моделировать систему тонким прямолинейным тросом с

массой m₀ и с точечными массами m₁ и m₂ на концах и для краткости назы-

вать ее связкой. Координаты масс m_k обозначим через z_k (k = 1, 2). Коорди-

наты центров зарядов q_k также будем считать совпадающими с z_k. Поскольку

координата центра масс ЭДТС

z₂

∫

m₀(z₁ + z₂) + 2m₁z₁ + 2m₂z₂

z_C =

z dm =

m₀ + m₁ + m₂

2(m₀ + m₁ + m₂)

z₁

равна нулю в силу выбора начала координат, то с учетом равенства z₂-z₁ = l,

где l - длина троса, получаем

l(m₀ + 2m₂)

l(m₀ + 2m₁)

(1)

z₁ = -

z₂ =

2(m₀ + m₁ + m₂)

Сформулированная постановка задачи является максимально упрощенной с

целью выполнения предварительного аналитического исследования, рассчи-

танного в первую очередь на апробацию нового метода стабилизации ЭДТС, а

не на всесторонний учет разнообразных динамических факторов, усложняю-

щих функционирование системы, но не изменяющих принципа ее работы.

4. Силы натяжения троса

Рассматриваемая конструктивная схема ЭДТС предполагает наличие раз-

ноименно заряженных коллекторов на концах связки и соответствующих сил

кулонова притяжения коллекторов. Поэтому анализ вопроса о реализуемости

принятой модели ЭДТС в виде связки, пребывающей в натянутом состоянии,

является необходимым пунктом исследования, обсуждаемым в данном раз-

деле.

Отличие рассматриваемого троса от обычного тяжелого троса, находяще-

гося в натянутом состоянии вдоль местной вертикали благодаря градиенту

гравитационного поля Земли, заключается в наличии лоренцевых и кулоно-

вых сил, действующих на заряженные коллекторы, а также в наличии ам-

перовых сил, распределенных по всей длине троса. В номинальном режиме

движения связки сила Ампера ортогональна к тросу, а силами, определяю-

щими натяжение троса, являются гравитационные, лоренцевы и кулоновы

q₁

q₂

FL1

Fq1

Fq2

FL2

T₁

T₂

FG1

Ie1

FG2

Ie2

m₁

m₂

Рис. 3. Силы, действующие на концевые тела тросовой системы.

силы. Рассмотрим вопрос о силе натяжения троса и ее наибольшем значе-

нии, предполагая, что трос находится в номинальном движении (ось Cz троса

совпадает с осью Cζ местной вертикали), а геомагнитное поле моделируется

прямым магнитным диполем [15] с магнитной индукцией^B = -g⁰¹(R_E /r)³η₀,

где g⁰¹ = -29556,8 нТл — гауссов коэффициент, R_E — средний радиус Земли,

r — расстояние от центра Земли до данной точки пространства. В этом слу-

чае расстояния от центра Земли до концевых масс m₁ и m₂ соответственно

равны

(2)

R₁ = R + z₁, R₂ = R + z₂.

Скорости концевых точек, находящихся на расстояниях R_k от центра Земли и

обладающих зарядами q_k, вычисленные в движении относительно геомагнит-

ного поля, равны v_k = R_k(ω₀ - ω_E)ξ0. Поскольку эти скорости ортогональны

вектору^B, то лоренцевы сил

FLk = qkvk ×Bk, действующие на коллекторы

с зарядами q_k, направлены вдоль троса. ЗдесьBk =^B(Rk) (k = 1, 2). Также

вдоль троса направлены гравитационные силы F_Gk =μmk, где μ — гравита-

R²

ционная постоянная Земли, кулоновы силы F_qk =k0q¹q²

, k₀ = 9,0 · 10⁹ —

(R₂-R₁)²

постоянная закона Кулона, переносные силы инерции I_ek, действующие на

концевые массы и заряды, и силы натяжения троса T_k (k = 1, 2), приложен-

ные к концевым точкам (рис. 3).

В равновесном положении концевых точек имеют место следующие равен-

ства проекций активных сил и переносных сил инерции на местную верти-

каль:

μm₁

T₁ + Fq1 + m₁ω²⁰R₁ -

- |q₁|v₁B₁ = 0,

R²

μm₂

-T₂ - Fq2 -

+ m₂ω²⁰R₂ + q₂v₂B₂ = 0.

R²

Отсюда находим силы натяжения троса, приложенные к концевым точкам:

(

)

T₁ = m₁

-ω²R1

+ |q₁|v₁B₁ - Fq1,

R²

(3)

(

)

T₂ = m₂

ω²⁰R₂ -

+q₂v₂B₂ - Fq2.

R²

Для отыскания натяжения троса в произвольной его точке рассмотрим

бесконечно малый элемент троса длиной dr и массой dm₀. Силы, действую-

щие на этот элемент, показаны на рис. 4.

T(r)

T(r + dr)

dF_G

dI_e

Рис. 4. Силы, действующие на элемент троса.

— постоянная ли-

нейная плотность троса. Из условий равновесия элемента троса получаем

уравнение

T (r + dr) - T (r) + dI_e - dF_G = 0.

Отсюда

(

)

dT (r) =

- ω²⁰r γ dr.

r²

Интегрируя это уравнение, находим

(

)

ω²⁰r²

(4)

T (r) = γ

+ const,

причем постоянная интегрирования может быть найдена с помощью любого

из равенств (3), задающих натяжение троса на концах. Воспользовавшись

первым из равенств (3), получим

(

)

(

)

ω²⁰r²

ω²⁰R²¹

T (r) = γ

+γ

R₁

(5)

(

)

+m₁

-ω²

R₁

+ |q₁| v₁B₁ - Fq1.

R²

(

)

Посколькуd2T(r)

=γ

-2μ

-ω²

< 0, то T(r) достигает максимума при

dr²

r³

ω²⁰ =μr3 . Но ω₀ = const. Поэтому последнее равенство достигается при неко-

тором конкретном значении r = R₀. На основании (5) имеем

(

)

γμ

R₀

⁽R₁

(6)

T (r)_max = T (R₀) =

R₀

R₁

R₀

)

((

)₂

μm₁

R₀

R₁

R²

R₁

R₀

)

^(√ μ

R3E

k₀|q₁|q₂

+ |q₁|

-ω_E

(-g⁰¹)

R³⁰

R²¹

(R₂ - R₁)²

Для отыскания величины R₀, входящей в (6), составим уравнение равнове-

сия сил, растягивающих трос, в точке r = R₀. Поскольку кулоновы силы,

приложенные к концевым точкам, равны по величине и противоположны по

направлению, то в точке O уравновешиваются гравитационные, лоренцевы

силы и силы инерции. Следовательно,

⎛

⎞

⎛

⎞

∫

m₂

γ dr

ω²⁰ ⎝m₁R₁ + m₂R₂ +

γr dr^⎠ - μ ⎝m1

⎠+FL2 - FL1 = 0.

R²¹

R²

r²

R₁

После интегрирования и подстановки явных выражений для лоренцевых сил

получаем следующее квадратное уравнение относительно ω₀:

(

)

(7) ω²⁰ m₁R₁ + m₂R₂ +

m₀(R₁ + R₂)

)

⁽m₁

m₂

m₀

+ (ω₀ - ω_E)(q₂R₂B(R₂) - |q₁|R₁B(R₁)) - μ

= 0.

R²¹

R²²

R₁R₂

Решив это уравнение, найдем угловую скорость обращения радиуса-век-

тораR0 точки O, которую можно назвать центром, движущимся по орби-

те, или орбитальным центром [33]. В рассматриваемой постановке задачи

B(R₁) = -g01RE

, B(R₂) = -g⁰¹RE

и уравнение (7) принимает вид

R³¹

R³

(

)

⁽q₂

|q₁|

(8) ω²⁰ m₁R₁ + m₂R₂ +

m₀(R₁ + R₂)

+ ω₀(-g⁰¹)R³

^E R²²

R²

)

⁽q₂

|q₁|

⁽m₁

m₂

m₀

- ω_E(-g⁰¹)R³

-μ

= 0.

^E R²²

R²¹

R²²

R₁R₂

После отыскания ω₀, вычисляем R₀ и подставляем в (6).

Пример 1. Рассматривается связка с тросом длиной l = 2 · 104 м и по-

гонной плотностью γ = 2 · 10-3 кг/м, с концевыми массами m₁ = 10⁴ кг, m₂ =

= 1,02 · 10⁴ кг, концевыми зарядами q₁ = -10-3 Кл, q₂ = 10-3 Кл. Центр масс

системы движется по круговой околоземной орбите с радиусом R = 7 · 10⁶ м.

На основании формул

(1),

(2) находим R₁ = 6,990098814 · 10⁶ м, R₂ =

= 7,010098814 · 10⁶ м. Из уравнения (8) находим ω₀ = 1,078014368 · 10-3 c-1 и

затем по формуле R₀ = (μ/ω²⁰)1/3 получаем R₀ = 6,999985732 · 10⁶ м. Подста-

новка этого значения в формулу (6) позволяет найти T_max = 352,425 Н. Нако-

нец, по формулам (3) находим натяжения тросов на концах: T₁ = 352,084 Н,

T₂ = 352,069 Н.

С учетом сказанного в начале данного раздела полученные результаты

следует рассматривать не только как оценочные сверху для сил натяжения

троса, но и свидетельствующие о реализуемости модели натянутой связки

при выбранных параметрах ЭДТС.

5. Уравнения вращательного движения связки

Как уже упоминалось выше в разделе 3, ЭДТС в развернутом состоянии

моделируется тонкой нитью с точечными массами на концах и для краткости

Рис. 5. Сопутствующая система координат.

называется связкой. Нить не оказывает сопротивления деформациям сжа-

тия. В рабочем состоянии нить остается натянутой во все время движения.

При этом она сохраняет прямолинейную форму и считается нерастяжимой.

В системе главных центральных осей инерции C xyz (ортыi1,i2,⃗i3) тензор

инерции связки имеет вид J = diag (A, A, C₀), где

m₀

(z²¹ + z₁z₂ + z²²) + m₁z²¹ + m₂z²²,

а C₀ пренебрежимо мало по сравнению с A.

Поскольку рассматривается симметричная относительно продольной оси

конструкция троса, то для устранения неопределенности в выборе осей x и y

представляется целесообразным ввести в рассмотрение сопутствующие оси

(оси Резаля) Cxyz с ортамиi,j,k так, что ось Cz (с ортом⃗i3 =k), как и

ранее, направлена вдоль натянутого троса, а трехгранник Cxyz не участвует

в повороте троса вокруг оси Cz на угол ϕ. Взаимную ориентацию осей си-

стем координат Cξηζ и Cxyz зададим с помощью матрицы направляющих

косинусов

⎛

⎞

α₁

α₂

α₃

(9)

A=^⎝β₁ β₂ β₃⎠

γ₁

γ₂

γ₃

так, что

ξ₀ = α₁i1 + α2i2 + α3i3,

η₀ = β₁i1 + β2i2 + β3i3,

ζ₀ = γ₁i1 + γ2i2 + γ3i3.

Наряду с направляющими косинусами будем также использовать углы ϑ

и ψ, однозначно определяющие положение сопутствующего трехгранника от-

носительно орбитальной системы координат (рис. 5).

Зависимость элементов матрицы A от углов ϑ и ψ определяется равен-

ствами

α₁ = cos ψ, α₂ = - sin ψ cos ϑ, α₃ = sin ψ sinϑ,

(10)

β₁ = sin ψ, β₂ = cos ψ cos ϑ,

β₃ = - cos ψ sinϑ,

γ₁ = 0,

γ₂ = sin ϑ,

γ₃ = cos ϑ.

Кинематическими характеристиками вращательного движения связки яв-

ляются: абсолютная угловая скорость ω, угловая скорость сопутствующего

трехгранника относительно орбитальной системы координат ω₁ = pi+qj+rk,

угловая скорость связки относительно сопутствующего трехгранника ϕ˙^k, уг-

ловая скорость связки относительно орбитальной системы координат ω^′ =

=ω₁ +ϕ˙^k.

Эти величины связаны соотношением ω = ω^′ + ω₀, которое в проекциях на

оси Cxyz имеет вид

(11)

ω_x = p + ω₀β₁, ω_y = q + ω₀β₂, ω_z = r +ϕ˙ + ω₀β₃.

Кроме того, справедливы равенства

(12)

p =ϑ, q =^ψ sin ϑ, r =

cos ϑ.

Оси Резаля остаются главными центральными осями инерции ЭДТС во

все время движения. Поэтому динамические уравнения вращательного дви-

жения ЭДТС в проекциях на оси Резаля получим проектированием на x, y, z

векторного уравнения

(

)

(13)

+ (ω₁ + ω₀) × K =M

xyz

представляющего собой теорему об изменении кинетического момента^K =

= Aω_xi+Aωy⃗j под действием главного моментаM внешних сил относительно

центра масс.

6. Моменты сил, действующих на связку

В центральном ньютоновском гравитационном поле на связку действует

гравитационный момент

M_G [15]. В данной задаче с учетом принятых обо-

значений проекции гравитационного момента на оси Cxyz имеют вид

(14)

M_Gx = 3ω²⁰A(-γ₂γ₃), M_Gy = 3ω²⁰Aγ₁γ₃, M_Gz

= 0.

Для вычисления главного момента сил Лоренца, действующих на заряды q₁

и q₂ в магнитном поле с индукцией^B, воспользуемся простейшей аппрокси-

мацией этого момента [22], учитывающей точечный характер зарядов:

(15)

M_L

P ×T

P = (q₁z₁ + q₂z₂)^k,

T = A^⊤(v_C × B), v_C = R(ω₀ - ω_E) ξ0, где ωE — угло-

вая скорость суточного вращения Земли. В условиях моделирования гео-

магнитного поля прямым магнитным диполем

B₌ -g⁰¹(R_E/R)³η₀, где

g⁰¹ = -29556,8нТл — гауссов коэффициент, R_E — средний радиус Земли. По-

этому

M_Lx = R3ER-2g⁰¹(ω₀ - ω_E)(q₁z₁ + q₂z₂)γ₂,

(16)

M_Ly = -R3ER-2g⁰¹(ω₀ - ω_E)(q₁z₁ + q₂z₂)γ₁, M_Lz = 0.

Главный момент сил Ампера вычислим по формуле [1]

∫z2

(17)

M_A =

ρ × (Ik × B

) dz,

z₁

где ρ — радиус-вектор, проведенный из точки C в точку троса с текущей

координатой z, I — величина силы тока в проводнике. Принимая I = const,

в результате интегрирования (17) получаем

M_Ax =

Ig⁰¹(R_E/R)³(z²² - z²¹)β₁,

(18)

M_Ay =

Ig⁰¹(R_E/R)³(z²² - z²¹)β₂, M_Az = 0.

7. ЭДТС без системы управления

7.1. Положения равновесия связки

В качестве дифференциальных уравнений вращательного движения связ-

ки относительно центра масс будем использовать динамические уравнения

Эйлера, вытекающие из (13),

⎧

⎨A˙ωx^-Aωy^ωz=MGx+MLx+MAx^,

(19)

A ω_y + Aω_zω_x = M_Gy + M_Ly + M_Ay,

⎩

ω_z = ωz0 = const

и кинематические уравнения Пуассона

α₁ + ω_yα₃ - ω_zα₂ = -ω₀γ₁,

(x→y→z⁾

(20)

β₁ + ω_yβ₃ - ω_zβ₂ = 0,

1→2→3

γ₁ + ω_yγ₃ - ω_zγ₂ = ω₀α₁.

Для отыскания равновесных положений связки в орбитальной системе ко-

ординат будем рассматривать направляющие косинусы как неизвестные по-

стоянные величины, а проекции относительной угловой скорости p, q, r будем

100

полагать равными нулю в уравнениях (11), (19), (20). Динамические уравне-

ния примут вид

⎧

R3E

⎪

⎪Aω20β2β3 = 3ω20Aγ2γ3 -

g⁰¹(ω₀ - ω_E)(q₁z₁ + q₂z₂)γ₂ -

⎪

R²

⎪

Ig⁰¹R3E

⎨

(z²² - z²¹)β₁,

2R³

(21)

⎪

R3E

⎪

Aω²⁰β₁β₃ = 3ω²⁰Aγ₁γ₃ -

g⁰¹(ω₀ - ω_E)(q₁z₁ + q₂z₂)γ₁ +

⎪

R²

⎪

Ig⁰¹R3E

⎩

(z²² - z²¹)β₂.

2R³

Из (20), (21) следует, что номинальный режим движения связки, соответст-

вующий значению γ₃ = 1, имеет место лишь при условии

(22)

z²¹ = z²².

В дальнейшем будем считать, что это условие выполнено. Ввиду однородно-

сти троса условие (22) выполняется при z₁ = -z₂, m₁ = m₂. В этом случае

A = (m₀/3 + 2m₂)z²².

Для решения вопроса о существовании других возможных положений рав-

новесия связки в орбитальной системе координат перейдем в уравнениях (21)

от направляющих косинусов к углам ϑ и ψ (рис. 5) по формулам (10). Полу-

чим систему уравнений

Ig⁰¹R3E

Aω²⁰ sin ϑ sin ψ cos ψ = -

(z²² - z²¹) cos ψ cos ϑ,

2R³

Ig⁰¹R3E

(23)

Aω²⁰ sin ϑ cos ϑ cos² ψ =

(z²² - z²¹) sin ψ - -3Aω²⁰ sin ϑ cos ϑ +

2R³

R3E

g⁰¹(ω₀ - ω_E)(q₁z₁ + q₂z₂)sin ϑ.

R²

Из (23) следует, что кроме номинального режима движения ϑ = 0, тео-

ретически возможны также и другие (“наклонные”) положения равновесия

связки в орбитальной системе координат, определяемые из условий:

(24)

1) sin ψ = 0, 4Aω²⁰ cos ϑ₁ = -L, или

2) cos ψ = 0, 3Aω²⁰ cos ϑ₂

= -L,

где

R3E

L=-

g⁰¹(ω₀ - ω_E)(q₁z₁ + q₂z₂).

R²

Поскольку L > 0, то возможным “наклонным” положениям равновесия связ-

ки могут отвечать лишь значения ϑ₁ и ϑ₂ из промежутка (π/2, π). Эти поло-

жения соответствуют “перевернутому” состоянию троса (если при этом он мо-

жет пребывать в натянутом состоянии), не обеспечивающему номинального

режима функционирования ЭДТС, и поэтому не рассматриваются в рамках

данной работы.

101

7.2. Устойчивость номинального режима движения

Рассмотрим вопрос об устойчивости номинального режима движения связ-

ки. Для этого обратимся к исходным уравнениям Эйлера (19) и, вводя обо-

значение a = Ig⁰¹(R_E /R)³(z²² - z²¹)/2, перепишем первые два из них в виде

{

Aω_x - Aω_yω_z = -3Aω²⁰γ₂γ₃ - Lγ₂ + aβ₁,

(25)

Aω_y + Aω_xω_z = 3Aω²⁰γ₁γ₃ + Lγ₁ + aβ₂.

Несложно проверить, что имеет место равенство

[

]

(ω2x + ω2y) -

Aω²⁰γ²³ - Lγ₃ - Aω₀(ω_xβ₁ + ω_yβ₂)

= a(ω_xβ₁ + ω_yβ₂ - ω₀(β²¹ + β²²)),

где производная в левой части равенства вычисляется в силу (25). Переходя

от абсолютных угловых скоростей ω_x, ω_y к относительным угловым скоро-

стям p, q по формулам (11), перепишем это равенство в виде

]

^[A

(p² + q²) -

ω²⁰(β²¹ + β²²) -

Aω²⁰γ²

- Lγ₃

= a(pβ₁ + qβ₂).

Затем, вводя новую переменную Δ = 1 - γ₃, представляющую собой отклоне-

ние связки от номинального режима движения γ₃ = 1, перепишем последнее

соотношение в виде

[

]

A(p² + q²) + (3Aω²⁰ + L)α²³ + (4Aω²⁰ + L)β²³ + LΔ²

= 2a(pβ₁ + qβ₂).

Отсюда следует, что если учесть условие (22), то a = 0 и получаем первый

интеграл

V (α₃, β₃, Δ, p, q) = A(p² + q²) + (3Aω²⁰ + L)α²³+

(26)

+ (4Aω²⁰ + L)β²³ + LΔ² = h = const.

Поскольку выбором q₁z₁ + q₂z₂ > 0 всегда можно обеспечить выполнение

неравенства L > 0, то функция V (α₃, β₃, Δ, p, q) будет положительно опре-

деленной. Принимая ее в качестве функции Ляпунова, приходим к выво-

ду об устойчивости номинального режима движения связки по отклонениям

α₃,β₃,Δ и угловым скоростям p,q на основании теоремы Ляпунова об устой-

чивости. Для оценки амплитуды возмущенных колебаний ЭДТС в окрестно-

сти устойчивого номинального режима движения имеем неравенства

(27)

α²³ ≤ h/(3Aω²⁰ + L), β²³ ≤ h/(4Aω²⁰ + L), Δ²

≤ h/L,

вытекающие из (26). Из (27) следует, что при

(28)

h<L

102

положительно заряженный конец троса остается выше отрицательно заря-

женного конца троса, как и должно быть в номинальном режиме движения.

Заметим что условие “непереворачиваемости” троса (28) накладывает ограни-

чение p² + q² < L/A на начальную угловую скорость связки. Заметим также,

что увеличение параметра L > 0, обусловленного наличием лоренцева момен-

та, расширяет область устойчивости номинального режима движения связки.

Тем самым подтверждается стабилизирующий эффект лоренцева момента,

возбуждаемого за счет зарядов на концах троса. Соответствующие результа-

ты численного счета, иллюстрирующие этот вывод, приведены в [31].

Однако для решения задачи стабилизации номинального режима движе-

ния троса требуется обеспечить не только восстанавливающий, но и диссипа-

тивный момент. Рассмотрим возможности использования лоренцева момента

для создания управляющего воздействия, имеющего диссипативный харак-

тер.

8. ЭДТС с системой управления

8.1. Синтез управляющего момента

Из (15) следует, что формирование управляющего лоренцева момента опи-

рается на возможность создания управляемого вектор

P. Для модели линей-

ного относительного угловой скорости диссипативного момента [34] задача

может быть сведена к подбору такой неотрицательной диагональной матрицы

D=diag(D₁,D₂,D₃), для которой выполняется равенство P₁k

T = -Dω₁,

эквивалентное системе

⎧

⎨^P1^Ty=D1^ω1x^,

(29)

P₁T_x = -D₂ω1y,

⎩

0=D₃ω1z.

Поскольку T_x = 0 в силу выбора системы координат xyz, то из (29) сле-

дует, что D₂ = 0 и остается только управление по каналу “x”, которое мож-

но подобрать с помощью подходящего выбора D₁. Например, можно взять

D₁ = d₁|T_y|, где d₁ > 0. Тогда

P₁ = d₁ω1xsign(T_y) = d₁ω1xsign(sin ϑ).

Принимая во внимание, чт

P₁ имеет положительную проекцию на ось z

(см. (15)), замечаем, что полученное выражение для P₁ имеет смысл лишь

при ω1x =ϑ > 0. Поэтому можно предложить такое управление векторо

P₁:

^{⃗P

ϑ>0,

1 = d1 ^ϑsign(sinϑ)k,

(30)

ϑ≤0.

P₁ = 0,

Для доказательства работоспособности предложенного управления преж-

де всего следует решить вопрос о возможности реализации вектор

P₁ в со-

ответствии с формулой (30). Будем рассматривать заряды q₁ и q₂ как со-

держащие постоянные части q₁₀ и q₂₀ и переменные (управляемые) q₁ и q₂.

103

Тогда

P = (q₁₀z₁ + q₂₀z₂)k + (q₁z₁ + q₂z₂)k.

Пуст

P₁ = (q₁z₁ + q₂z₂)^k. Вводя коэффициент k_q так, что q₁ = -k_q q₂, на ос-

новании (1) получим

lq₂(k_q(m₀ + 2m₂) + m₀ + 2m₁)^k

(31)

P₁ =

2(m₀ + m₁ + m₂)

Приравнивая (30) и (31), получим следующий закон изменения k_q:

⎧

]

⎪

^[ 2d₁

(m₀ + m₁ + m₂)^ϑsign(sin ϑ) - m₀ - 2m₁ ,

ϑ>0,

⎨kq =

m₀ + 2m₂

lq₂

(32)

⎪

m₀ + 2m₁

⎩k_q = -

ϑ≤0

m₀ + 2m₂

или, что то же,

]

(33)

k_q =

^[d₁ (m₀+m₁+m₂)(

ϑ|+^ϑ)sign(sin ϑ)-m₀ -2m₁

⇌kq.

m₀ +2m₂

lq₂

Из (32) следует, что в процессе колебаний ЭДТС коэффициент k_q =

= k_q(ϑ, ϑ) может принимать не только положительные, но и отрицательные

значения. Поэтому во избежание ситуации, когда заряд нижнего коллектора

q₁ = -k_q q₂ + q₁₀ должен будет стать положительным, следует потребовать,

чтобы выполнялось неравенство

k_q(ϑ,ϑ) >q10 ⇌ kqmin.

q₂

С другой стороны, заряд нижнего коллектора не должен быть слишком

большим по модулю, чтобы не возникло риска “схлопывания” тросовой си-

стемы под действием сил кулонова притяжения. Поэтому исходя из априор-

ных оценок величин зарядов ЭДТС, основанных на вычислении сил натя-

жения троса (формулы (3), (7)), следует выбрать некоторое допустимое зна-

чение q_1min, чтобы затем на основании неравенства q_1min < q₁ = -k_q q₂ + q₁₀

получить верхнюю границу для коэффициента k_q:

k_q(ϑ,ϑ) <q10 -q1min ⇌ kqmax.

q₂

Введем в рассмотрение функцию S(kq) = (kq - kqmin)(kq - kqmax). Тогда,

если S(kq) < 0, работает управление с функциейkq. Если S(kq) > 0, то нужно

выбирать из двух вариантов: если k_q(ϑ,ϑ) < kqmin, следует взять

kqmin =

kqmin(1 - sign(kq - kqmin)),

104

если k_q(ϑ,ϑ) > kqmax, то следует взять

kqmax =

kqmax(1 - sign(kqmax -kq)).

В результате получаем, что удовлетворяющее вышеуказанным требованиям

выражение коэффициента k_q может быть кратко записано в виде

(34) k_q =

kq(1 - sign(S(^kq))) +1(sign(S(kq)) + 1)×

[

]

× kqmax(1 - sign(kqmax -kq)) + kqmin(1 - sign(kq - kqmin))

Найденный закон изменения k_q позволяет получить управляющий момент

M_LD = d₁ϑ˙sign(sin ϑ)^k

проекция которого на ось x равна

(35)

M_LDx = -d₁ϑ˙|sin ϑ|R3ER-2(-g⁰¹)(ω₀ - ω_E

где

{

d₁ > 0,

ϑ>0,

(36)

d₁ = 0,

ϑ≤0.

Если ввести обозначение D = d₁R3ER-2(-g⁰¹)(ω₀ - ω_E), то можно перепи-

сать (35) кратко в виде

(37)

M_LDx = -

D(|p| + p)|γ₂

8.2. Исследование режима стабилизации ЭДТС

С учетом предложенного управления (37) дифференциальные уравнения

Эйлера (25) примут вид

⎧

⎨

A ω_x - Aω_yω_z = -3Aω²⁰γ₂γ₃ - Lγ₂ + aβ₁ -

D(|p| + p)|γ₂|,

(38)

⎩

A ω_y + Aω_xω_z = 3Aω²⁰γ₁γ₃ + Lγ₁ + aβ₂.

Докажем, что справедлива следующая

Теорема 1. При выполнении условия a = 0 управление (37) обеспечива-

ет асимптотическую устойчивость номинального режима движения связ-

ки.

Доказательство теоремы 1. Заметим вначале, что имеет место ра-

венство

105

[

]

(ω2x + ω2y) -

Aω²⁰γ²³ - Lγ₃ - Aω₀(ω_xβ₁ + ω_yβ₂)

= a(ω_xβ₁ + ω_yβ₂ - ω₀(β²¹ + β²²)) -

p (|p| + p)|γ₂|,

где производная в левой части равенства вычисляется в силу (38). Переходя

от абсолютных угловых скоростей ω_x, ω_y к относительным угловым скоро-

стям p, q по формулам (11), перепишем это равенство в виде

]

^[A

(p² + q²) -

ω²⁰(β²¹ + β²²) -

Aω²⁰γ²

- Lγ₃

= a(pβ₁ + qβ₂) -

p (|p| + p)|γ₂|.

Вводя новую переменную Δ = 1 - γ₃, представляющую собой отклонение

связки от номинального режима движения γ₃ = 1, перепишем последнее со-

отношение в виде

dV (α₃, β₃, Δ, p, q)

= 2a(pβ₁ + qβ₂) - Dp (|p| + p)|γ₂|,

где

V (α₃, β₃, Δ, p, q) = A(p² + q²) + (3Aω²⁰ + L)α²³ + (4Aω²⁰ + L)β²³ + LΔ².

Отсюда следует, что если учесть условие (22), то a = 0 и для функции

V (α₃, β₃, Δ, p, q) получаем следующее дифференциальное уравнение:

√

dV (α₃, β₃, Δ, p, q)

(39)

= -Dω₀p (|p| + p) α²³ + β²³.

Поскольку выбором q₁z₁ + q₂z₂ > 0 всегда можно обеспечить выполнение

неравенства L > 0, то функция V (α₃, β₃, Δ, p, q) является положительно опре-

деленной. Ее производная в силу (38) является знакопостоянной отрицатель-

ной. Из (39) следует, что указанная производная может обратиться в ноль в

следующих двух случаях:

1) p = 0,

2) α₃ = β₃ = 0.

Рассмотрим каждый из них и докажем от противного отсутствие соответ-

ствующих им ненулевых решений системы (38).

1. Случай p = 0.

Из (12) следует, что в этом случае ϑ = const = ϑ₀, q =^ψ sin ϑ₀, r =^ψ cos ϑ₀

и (38) принимает вид

{

ω₀β˙₁ - (q + ω₀β₂)(r + ω₀β₃) = -3ω²⁰γ₂γ₃ - LA-1γ₂,

˙q + ω₀β˙₂ + ω₀β₁(r + ω₀β₃) = 0.

106

На основании (10) перепишем эту систему в углах ψ и ϑ = ϑ₀:

⎧

⎪sin ϑ0(2ω0 ψ˙ cos ψ sin ϑ0 -ψ2 cos ϑ0 +

⎨

(40)

+ ω20 cos2 ψ cosϑ₀ + 3ω20 cosϑ₀ + LA-1) = 0,

⎪

⎩

sin ϑ₀

ψ - ω20 sinψ cosψ) = 0.

В силу предположения (от противного) о существовании ненулевого решения

поделим первое из уравнений (40) на sin ϑ₀ cos ϑ₀, второе уравнение — на

sin ϑ₀, а затем заменим второе уравнение этой системы на соответствующий

ему первый интеграл:

⎧

⎨

ψ² - 2ω₀ψ˙ cos ψ tan ϑ₀ - ω²⁰ cos² ψ - 3ω²⁰ -

= 0,

(41)

A cos ϑ₀

⎩

ψ² + ω²⁰ cos² ψ = C₂ = const ≥ 0.

Разрешив полученные уравнения относительно

^ψ, приходим к системе

⎧

√

⎪

os² ψ

⎨ψ˙ = ω₀cosψ tanϑ₀ ± ω² c

+ 3ω²⁰ +

⁰ cos² ϑ₀

A cos ϑ₀

(42)

⎪

√

⎩ψ˙ = ±C2 - ω20 cos2 ψ.

Несложно проверить, что она является совместной тогда и только тогда, ко-

гда выполняется равенство

cos⁴ ψ

ω⁴

+ g₀ω²⁰ cos² ψ +

(g₀ - C₂)² = 0,

⁰ cos² ϑ₀

все три слагаемых в котором неотрицательны. Следовательно, данное равен-

ство эквивалентно системе уравнений

(43)

cos ψ = 0, g₀ = C₂.

Проверим, является ли (43) решением системы (41). Предположив, что (43)

является решением, приходим к равенству C₂ = 0, откуда следует, что g₀ = 0.

Последнее равносильно равенству 3Aω²⁰ cos ϑ₀ + L = 0, которое совпадает со

вторым вариантом из (24) и соответствует нереализуемому наклонному поло-

жению равновесия связки. Полученное противоречие доказывает отсутствие

ненулевых решений в первом случае. Перейдем к рассмотрению второго воз-

можного случая.

2. Случай α₃ = β₃ = 0.

Этот случай, очевидно, равносилен γ₃ = 1. С физической точки зрения

это означает, что ϑ = 0 и, следовательно, p = 0. Проверим, реализуются ли

равенства

(44)

p = 0, γ₃

107

на нетривиальных решениях системы (41). Предположив, что равенства (44)

могут реализоваться на нетривиальных решениях, приходим к системе урав-

ненийβ1 = β₂r,β2 = -β₁r, откуда следует, что β₁β˙₁ + β₂β˙₂ = 0. Проинтегри-

ровав последнее равенство, получаем β²¹ + β²² = const. Поскольку β₃ = 0, то

может реализоваться только случай β²¹ + β²² = 1. Отсутствие других решений

завершает рассмотрение случая 2. Таким образом, выполняются условия тео-

ремы Барбашина - Красовского [35] и положение равновесия ϑ = 0 является

асимптотически устойчивым. Теорема 1 доказана. Тем самым подтвержда-

ется возможность стабилизации номинального режима движения связки с

помощью предложенного управления.

Аналогичная гантелеобразная система двух заряженных ИСЗ рассматри-

валась в [36]. Однако, в [36] отсутствовал ток и вызванный им амперов мо-

мент, а идея изменения величин зарядов ИСЗ использовалась не для гене-

рации диссипативного момента, а лишь для изменения восстанавливающего

момента в рамках консервативной механической системы, допускающей инте-

грал энергии. Рассмотрение задачи велось в плоской постановке для изучения

колебаний в плоскости орбиты.

9. Результаты компьютерного моделирования

В процессе работы было предпринято компьютерное моделирование и вы-

полнена серия численных экспериментов. В данном разделе приводится при-

мер связки с “плохими” с точки зрения процесса стабилизации значениями

параметров, значительно отличающимися от тех, которые использовались в

примере 1.

Пример 2. Рассматривается связка с тросом длиной l = 200м и погонной

плотностью γ = 2 · 10-3 кг/м, с концевыми массами m₁ = 29,4 кг, m₂ = 30 кг,

имеющими значения z-координаты -100,5 м и 99,5 м соответственно. Центр

связки движется по орбите с радиусом R = 7 · 10⁶ м. По тросу протекает ток

силой 1А. В работе системы стабилизации троса принимают участие следую-

щие заряды: постоянная часть положительного заряда на верхнем коллекторе

q₂₀ = 5 · 10-5 Кл, постоянная часть отрицательного заряда на нижнем кол-

лекторе q₁₀ = -5 · 10-5 Кл. В процессе работы системы стабилизации троса

заряд на нижнем коллекторе может возрастать по абсолютной величине. Для

предотвращения возможных нежелательных динамических эффектов такого

возрастания значение указанного заряда ограничивается в соответствии с вы-

шеописанным алгоритмом управления величиной q_1min = -9 · 10-5 Кл. При

таком значении q_1min минимальное значение натяжения троса, как показы-

вает проверка по формулам (3), остается положительным. Оно достигается

на нижнем конце троса и равно T₁ = 0,01 Н. Коэффициент d₁ принимается

равным 0,01. В начальный момент времени трос был отклонен от местной

вертикали на угол 60^◦ в плоскости (η, ζ) и отпущен без относительной угло-

вой скорости.

Результаты численного интегрирования представлены на рис. 6-9, где по

оси абсцисс на всех рисунках отложен безразмерный угол — аргумент ши-

роты u = ω₀t. Основным параметром ориентации троса является направляю-

108

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

1000

2000

3000

4000

5000

000

0,2

0,4

0,6

3(u)

0,8

p u

q u

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Рис. 10. а - Неуправляемая дестабилизация вертикального положения троса,

б - неуправляемая дестабилизация угловой скорости (рад/с) троса.

Относительная угловая скорость (в рад/с) троса стремится к нулю (рис. 7).

Величины зарядов коллекторов варьируются в соответствии с законом

управления и уравнением (34). Изменение заряда q₁ = -k_q q₂ + q₁₀ на отри-

цательно заряженном коллекторе показано на рис. 8. Для ясности рисунка

график построен для небольшого диапазона изменения времени.

На рис. 9,а-9,г показаны графики изменения моментов, действующих на

ЭДТС.

Замечание 1. В данном примере с целью приближения к реальным

условиям значения масс m₁ и m₂ выбраны разными. Это приводит к тому,

что условие (22) не выполняется, строго вертикальное положение равнове-

сия троса отсутствует, а система стабилизации работает в условиях, когда

дестабилизирующий амперов момент можно рассматривать как постоянно

действующее возмущение.

Выполнено также моделирование динамики обычного тяжелого троса с

массами m₁ и m₂ на концах, но не несущего зарядов на коллекторах и, со-

ответственно, не управляемого. Значения прочих параметров и начальные

условия движения ЭДТС совпадают с теми, которые были выбраны в при-

мере 2. Дестабилизация такого троса показана на рис. 10.

10. Заключение

Рассмотрена задача угловой стабилизации ЭДТС в вертикальном поло-

жении троса. Аналитические исследования и компьютерное моделирование

111

показали, что лоренцев момент, действующий на ЭДТС благодаря заряжен-

ным коллекторам на концах троса, существенно расширяет область устой-

чивости вертикального положения троса. Кроме того, показана возможность

генерировать управляющий момент диссипативного характера путем актив-

ного управления величиной заряда на нижнем коллекторе в соответствии с

условиями, определяемыми текущей ориентацией троса. Если при этом пара-

метры троса выбраны в соответствии с условиями, учитывающими влияние

возмущающих моментов, то достигается асимптотическая устойчивость ори-

ентации троса вдоль местной вертикали без необходимости выключения тока,

протекающего по тросу. Таким образом, предложенное устройство и метод

управления могут быть использованы для стабилизации космической тросо-

вой системы в околоземном пространстве с целью повышения эффективности

ее функционирования в процессе уборки космического мусора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука,

1990.

Муницына М.А. Относительные равновесия системы “гантель-груз” с односто-

ронними связями на круговой кеплеровой орбите // АиТ. 2007. № 9. С. 9-15.

Munitsina M.A. Relative Equilibrium on the Circular Keplerian Orbit of the

“Dumbbells-Load” System with Unilateral Connections // Autom. Remote Control.

2007. V. 68. No. 9. P. 1476-1482.

Кульков В.М., Егоров Ю.Г., Тузиков С.А. Исследование конфигурации и фор-

мирование проектного облика развернутой электродинамической тросовой си-

стемы в составе орбитальных космических аппаратов // Изв. РАН. Энергетика.

2018. № 3. С. 119-130.

Воеводин П.С., Заболотнов Ю.М. Моделирование и анализ колебаний электро-

динамической тросовой системы на орбите спутника Земли // Мат. моделиро-

вание. 2017. № 6. С. 21-34.

Forward R.L. Electrodynamic drag terminator tether, Appendix K of high strength-

to-weight tapered Hoytether for LEO to GEO payload transport // Final Report on

NASA SBIR Phase I Contract NAS8-40690. 10 July 1996.

Forward R.L., Hoyt R.P., Uphoff C. Application of the Terminator Tether

electrodynamic drag technology to the deorbit of constellation spacecraft // 34 Joint

Propulsion Conf. Exhibit. Paper AIAA 98-3491. Cleveland, OH. 1998.

Forward R.L., Hoyt R.P. Terminator Tether: a spacecraft deorbit device //

J. Spacecraft Rockets. 2000. V. 37. P. 187-196.

Cosmo M.L., Lorenzini E.C. Tethers in Space Handbook, 3-rd ed. Smithsonian

Astrophysical Observatory, Cambridge, MA, USA, 1997.

Vannaroni G., Dobrowolny M., De Venuto F. Deorbiting with electrodynamic

tethers: comparison between different tether configurations // Space Debris. 2001.

V. 1. P. 159-172.

10.

Iess L., Bruno C., Ulivieri C., et al. Satellite de-orbiting by means of electrodynamic

tethers. Part I: general concepts and requirements // Acta Astronautica. 2002. V. 50.

No. 7. P. 399-406.

11.

Iess L., Bruno C., Ulivieri C., Vannaroni G. Satellite de-orbiting by means of

electrodynamic tethers. Part II: System configuration and performance // Acta

Astronautica. 2002. V. 50. No. 7. P. 407-416.

112

12.

Ishige Y., Kawamoto S., Kibe S. Study on electrodynamic tether system for space

debris removal // Acta Astronautica. 2004. V. 55. No. 11. P. 917-929.

13.

Yamaigiwa Y., Hiragi E., Kishimoto T. Dynamic behavior of electrodynamic tether

deorbit system on elliptical orbit and its control by Lorentz force // Aerospace Sci.

Technol. 2005. V. 9. P. 366-373.

14.

Zhong R., Zhu Z.H. Libration dynamics and stability of electrodynamic tethers

in satellite deorbit // Celestial Mechan. Dynam. Astronom. 2013. V. 116. No. 3.

P. 279-298.

15.

Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.

М.: Наука, 1965.

16.

Levin E.M. Dynamic Analysis of Space Tether Missions - Advances in the

Astronautical Sciences / San Diego, California, American Astronautical Society.

V. 126. 2007.

17.

Pelaez J., Lorenzini E.C., Lopez-Rebollal O., Ruiz M. A new kind of dynamic

instability in electrodynamic tethers / AAS 00-190, AAS/AIAA Space Flight

Meeting. 2000.

18.

Corsi J., Iess L. Stability and control of electrodynamic tether for de-orbiting

applications // Acta Astronautica. 2001. V. 48. No. 5-12. P. 491-501.

19.

Larsen M.B., Blanke M. Passivity-based control of a rigid electrodynamic tether //

J. Guidance, Control, Dynam. 2011. V. 34. P. 118-127.

20.

Yang Y., Cai H. Extended time-delay autosynchronization method for libration

control of electrodynamic tether using Lorentz force // Acta Astronautica. 2019.

V. 159. P. 179-188.

21.

Петров К.Г., Тихонов A.A. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный

спутник в магнитном поле Земли. Ч.1: Напряженность магнитного поля Земли в

орбитальной системе координат // Вестн. CПб. ун-та. Сер.1. 1999. Вып. 1. No. 1.

С. 92-100.

22.

Петров К.Г., Тихонов A.A. Момент сил Лоренца, действующих на заряжен-

ный спутник в магнитном поле Земли. Ч.2: Вычисление момента и оценки его

составляющих // Вестн. CПб. ун-та. Сер.1. 1999. Вып. 3. No. 15. С. 81-91.

23.

Тихонов A.A. Метод полупассивной стабилизации космического аппарата в гео-

магнитном поле // Космические исслед. 2003. Т. 41. № 1. С. 69-79.

24.

Тихонов A.A. О вековой эволюции ротационного движения заряженного ИСЗ

на регрессирующей орбите // Космические исслед. 2005. Т. 43. № 2. С. 111-125.

25.

Антипов К.А., Тихонов A.A. Параметрическое управление в задаче о стаби-

лизации космического аппарата в магнитном поле Земли // АиТ. 2007. № 8.

С. 44-56.

Antipov K.A., Tikhonov A.A. Parametric Control in the Problem of Spacecraft

Stabilization in the Geomagnetic Field // Autom. Remote Control. 2007. V. 68.

No. 8. P. 1333-1345.

26.

Тихонов А.А., Спасич Д.Т., Антипов К.А., Саблина М.В. Оптимизация элек-

тродинамического метода стабилизации ИСЗ // АиТ. 2011. № 9. С. 112-121.

27.

Александров А.Ю., Тихонов А.А. Одноосная электродинамическая стабилиза-

ция искусственного спутника Земли в орбитальной системе координат // АиТ.

2013. № 8. С. 22-31.

Aleksandrov A.Yu., Tikhonov A.A. Monoaxial electrodynamic stabilization of Earth

satellite in the orbital coordinate system // Autom. Remote Control. 2013. V. 74.

P. 1249-1256. DOI: 10.1134/S000511791308002X

113

28. Антипов К.А., Тихонов A.A. Электродинамическое управление в задаче о ста-

билизации космического аппарата в геомагнитном поле // Космические исслед.

2014. Т. 52. № 6. С. 512-520.

29. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On satellite electrodynamic attitude stabilization //

Aerospace Sci. Technology. 2014. V. 33. P. 92-99.

30. Aleksandrov A.Yu., Antipov K.A., Platonov A.V., Tikhonov A.A. Electrodynamic

attitude stabilization of a satellite in the Konig frame // Nonlinear Dynam. 2015.

V. 82. P. 1493-1505.

31. Tikhonov A.A., Shcherbakova L.F. On Equilibrium Positions and Stabilization of

Electrodynamic Tether System in the Orbital Frame // AIP Conf. Proc. 2018.

V. 1959. No. 040023.

32. Шамолин М.В. Сопоставление интегрируемых по Якоби случаев плоского и про-

странственного движения тела в среде при струйном обтекании // Прикладная

математика и механика. 2005. Т. 69. № 6. С. 1003-1010.

33. Woo P., Misra A.K. Mechanics of very long tethered systems // Acta Astronautica.

2013. V. 87. P. 153-162.

34. Shamolin M.V. Some questions of the qualitative theory of ordinary differential

equations and dynamics of a rigid body interacting with a medium // J. Math.

Sci. 2002. V. 110. No. 2. P. 2528-2557.

35. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

36. Yamakawa H., Hachiyama S., Bando M. Attitude dynamics of a pendulum-shaped

charged satellite // Acta Astronautica. 2012. V. 70. P. 77-84.

Статья представлена к публикации членом редколлегии В.М. Глумовым.

Поступила в редакцию 01.06.2019

После доработки 29.10.2019

Принята к публикации 28.11.2019

114