Автоматика и телемеханика, № 4, 2020

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),

О.Г. АНДРИАНОВА, канд. физ.-мат. наук (andrianovaog@gmail.com)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва;

Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва)

СИНТЕЗ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ДЛЯ

ПОДАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ¹

Рассматриваются задачи синтеза робастных статических регуляторов

для дискретных систем с ограниченными по норме параметрическими

неопределенностями, на вход которых поступают случайные возмуще-

ния. Рассматриваемые регуляторы стабилизируют объект управления

для всех возможных значений неопределенности из рассматриваемого

множества параметров и обеспечивают желаемый уровень подавления

случайных внешних возмущений. Приводится численный пример.

Ключевые слова: робастное управление, матричные неравенства, выпук-

лая оптимизация, средняя анизотропия, параметрические неопределенно-

сти.

DOI: 10.31857/S0005231020040078

1. Введение

Задачи синтеза статических регуляторов для линейных стационарных

систем стали объектом широкого исследования в конце 1990-х — начале

2000-х гг. [1-3]. Основным недостатком данной группы методов являлось то,

что они имели дело с системами с точно известными параметрами и не учи-

тывали возможные параметрические неопределенности, которые неизбежно

присутствуют в математической модели системы. Методы синтеза, разрабо-

танные для полностью определенных систем не могли гарантировать задан-

ный показатель качества или даже устойчивость замкнутой системы в слу-

чае, если параметры реального объекта отклонялись от параметров модели.

Как следствие, при синтезе систем управления робастность приобрела огром-

ную важность. Это привело к появлению цикла работ, посвященных синтезу

робастных регуляторов для систем с параметрическими неопределенностя-

ми. Особое внимание в публикациях уделялось рассмотрению задач подавле-

ния внешних возмущений для систем с политопическими и ограниченными

по норме неопределенностями. Целью управления в таких задачах являлось

обеспечение робастной устойчивости замкнутой системы и желаемого каче-

ства процессов, протекающих в системе, с учетом действующих на систему

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 18-38-00076).

внешних возмущений. Решению таких задач робастного управления посвя-

щены публикации [4, 5].

Для линейных стационарных систем наиболее известными методами реше-

ния задач подавления внешних возмущений, в которых критерием качества

является норма передаточной функции замкнутой системы от возмущения

к управляемому выходу, являются H₂, H_∞ и анизотропийный подходы. Ми-

нимизация того или иного критерия качества позволяет наилучшим обра-

зом подавлять тот или иной класс внешних возмущений, действующих на

систему.

Так, H₂ регулятор позволяет наилучшим образом минимизировать сред-

неквадратичное отклонение выходной переменной системы, на которую дей-

ствует гауссовский белый шум с нулевым средним и единичной ковариацион-

ной матрицей. Задача построения робастного H₂ управления была решена,

например, в [6].

В случае H_∞ управления минимизируется максимальная (по всему диа-

пазону частот) операторная норма передаточной матрицы (как коэффици-

ент усиления внешнего возмущающего воздействия). Решение задач субоп-

тимального управления по состоянию для дискретных систем с ограничен-

ными по норме неопределенностями приведено в [5, 7]. Задачи управления

по выходу были решены в [8, 9], а решения аналогичных задач для неопре-

деленных систем с задержками по времени можно найти в [9, 10]. Главным

недостатком H_∞ подхода является то, что минимум ищется по всем часто-

там. Регуляторы, полученные с использованием H_∞ подхода, как правило,

излишне консервативны, что приводит к большим энергетическим затратам

на реализацию закона управления исполнительным устройством. Для преодо-

ления этого недостатка могут быть использованы смешанные H₂/H_∞ методы

или так называемый метод формирования контура [11]. Метод формирования

контура заключается в использовании дополнительных фильтров, отсекаю-

щих определенный диапазон частот. Однако такой подход является строго

индивидуальным для каждого объекта и требует глубокого исследования.

Смешанные H₂/H_∞ методы позволяют минимизировать H_∞ норму переда-

точной функции от возмущения к одному управляемому выходу с ограниче-

нием на H₂ норму передаточной функции от возмущения к другому выходу.

Смешанный H₂/H_∞ подход к управлению системами с неопределенностями

был применен в [12].

Аналогично теории H_∞ управления анизотропийная теория изучает воз-

можности подавления системой случайных внешних возмущений. В отличие

от перечисленных выше подходов анизотропийная теория управления учиты-

вает окрашенность случайного входного возмущения. Мерой окрашенности

выступает неотрицательное число, называемое средней анизотропией, кото-

рая используется для теоретико-информационного (или энтропийного) описа-

ния статистической неопределенности в отношении случайных шумов [13-16].

Были преодолены недостатки LQG/H₂ и H_∞ регуляторов [17]. Применение

анизотропийных регуляторов при управлении дискретными системами су-

щественно уменьшает энергетические затраты на управление за счет учета

статистической неопределенности случайного внешнего возмущения, не сни-

жая при этом качества переходных процессов [18]. При этом случаи H₂ и

H∞ управления могут рассматриваться как частные предельные случаи ани-

зотропийной теории.

Основываясь на изложенном, разработка и развитие теории робастного

анизотропийного управления для параметрически неопределенных систем

является важной проблемой. Задача синтеза робастных систем с ограничен-

ными по норме параметрическими неопределенностями и анизотропийным

критерием качества была впервые решена в [19, 20], где параметры регулято-

ра определялись из решения связанных между собой нелинейных матричных

уравнений, что приводило к значительным сложностям при численной реали-

зации разработанной методики. Данный недостаток был преодолен при при-

менении матричных неравенств. Условия синтеза статических и динамиче-

ских регуляторов на основе методов выпуклой оптимизации были сформули-

рованы в [18, 21]. Решение одной из задач робастного анизотропийного управ-

ления для параметрически неопределенной дискретной системы на основе

матричных неравенств и с использованием методов выпуклой оптимизации

можно найти в [22]. Публикация [22] посвящена синтезу субоптимального ани-

зотропийного регулятора по состоянию для систем с дробно-линейными пара-

метрическими неопределенностями. Задача синтеза робастного анизотропий-

ного регулятора для системы с ограниченными по норме неопределенностями

в рассматриваемой в настоящей статье постановке с использованием матрич-

ных неравенств ранее была решена только в классе алгебро-разностных или

дескрипторных систем [23]. Можно показать, что в определенных случаях

параметрические неопределенности объекта управления можно представить

как в виде дробно-линейных, так и в виде ограниченных по норме неопре-

деленностей, рассмотренных в настоящей статье. Однако данные классы не

тождественны. Отсутствие на текущий момент удобных вычислительных ме-

тодик синтеза робастных анизотропийных регуляторов для параметрически

неопределенных обыкновенных (разностных) систем в рассматриваемой по-

становке и необходимость разработки такой теории явилось главным мотиви-

рующим фактором при написании данной статьи. Авторами рассматривают-

ся задачи синтеза робастного анизотропийного управления для обыкновенной

дискретной системы с ограниченными по норме параметрическими неопре-

деленностями. При этом решаются два типа задач: при полном измерении

вектора состояния и при синтезе статического регулятора по выходу.

Данная статья имеет следующую структуру. В разделе 2 даны основные

сведения из теории анизотропийного управления. В разделе 3 приводится

подробная постановка решаемых задач. Раздел 4 посвящен решению постав-

ленных задач. Численные эксперименты приведены в разделе 5.

В статье используются следующие обозначения: Z - множество целых чи-

сел; R - множество вещественных чисел; C - множество комплексных чисел;

R^m×n - множество матриц размеров m × n с вещественными коэффициента-

ми; I_n - единичная матрица размеров n × n; Z^∗ - эрмитово сопряжение мат-

рицы Z = [z_ij ] ∈ C^m×n: Z^∗ = [z^∗ji] ∈ C^n×m; ρ(A) - спектральный радиус квад-

ратной матрицы A: ρ(A) = max_j |λ_j (A)|; σ(A) - максимальное сингулярное

√

число матрицы A: σ(A) =

ρ(A^∗A); sym (A) = A + A^⊤; E - символ матема-

тического ожидания

F (ω) = limρ→1-0 F(ρe^iω) - угловое граничное значение

комплекснозначной матричной функции.

2. Основные теоретические сведения

Для дальнейшего изложения и решения поставленных выше задач понадо-

бятся некоторые теоретические сведения, которые рассмотрим в настоящем

разделе. К таким сведениям относятся понятия анизотропии случайного век-

тора, средней анизотропии случайной последовательности и анизотропийная

норма системы [13-16]. Кроме того, приведем формулировки некоторых тео-

рем из анизотропийного анализа обыкновенных дискретных систем, исполь-

зуемые для преобразования матричных неравенств.

Будем полагать, что входной сигнал W = {w(k)}k∈Z является стационар-

ной гауссовской последовательностью случайных m-мерных векторов. Соста-

вим из элементов последовательности W на отрезке [0, N - 1] случайный век-

[

]_⊤

тор W0:N-1 =

w⊤0

··· w⊤N-1

. Предполагается, что вектор W0:N-1 абсо-

лютно непрерывно распределен для каждого N > 0.

Определение 1. Анизотропией A(W0:N-1) случайного вектора W0:N-1

называют минимальное значение относительной энтропии по отношению

к гауссовским распределениям в R^mN с нулевым средним и скалярной кова-

риационной матрицей.

Анизотропию вектора можно вычислить по формуле

(

)

2πe

A(W0:N-1) =

E(|W0:N-1|²)

- h(W0:N-1),

∫

где h(W0:N-1) = E[- ln f_N (W0:N-1)] = -RmN f_N (w) ln f_N (w)dw - дифферен-

циальная энтропия, f_N : R^mN -→ R₊ - плотность распределения вероятно-

стей вектора W0:N-1.

Определение 2. Средней анизотропией последовательности W назы-

вают среднюю интенсивность анизотропии в единицу времени:

A(W0:N-1)

(2.1)

A(W ) = lim

N→+∞

Рассмотрим устойчивую линейную дискретную систему F, заданную в

пространстве состояний в виде:

(2.2)

x(k + 1) = Ax(k) + Bw(k),

(2.3)

y(k) = Cx(k) + Dw(k),

где x(k) ∈ Rⁿ - вектор состояния системы, W = {w(k)}k∈Z - стационарная

гауссовская последовательность m-мерных векторов с ограниченным уровнем

средней анизотропии A(W ) ≤ a (a ≥ 0) и нулевым средним, y(k) ∈ R^p - выход

системы.

Для заданной системы F с входным сигналом W = {w(k)}k∈Z среднеквад-

ратичный коэффициент усиления определен в виде

∥Y ∥_P

(2.4)

Q(F, W ) =

∥W ∥_P

√

∑N-1

где ∥Y ∥_P = lim_N→∞N

E|y(k)|² - мощностная норма последователь-

k=0

ности Y = {y(k)}k∈Z.

Определение 3. Для заданной величины a ≥ 0 анизотропийной нор-

мой системы F называют

(2.5)

|||F|||_a = sup

Q(F, W ).

A(W )≤a

Таким образом, анизотропийная норма системы |||F|||_a задает стохастический

коэффициент усиления системой F входного сигнала W .

Рассмотрим два предельных случая для значения средней анизотропии

[13, 14]. Если A(W ) = 0, то анизотропийная норма системы F равна |||F|||₀ =

√m.Имеетместосоотношениеlima→∞^|||F|||a=∥F∥∞^.

При решении задачи анизотропийного анализа для обыкновенной систе-

мы с точно известными параметрами можно воспользоваться теоремами

из [24, 25] соответственно.

Теорема 1. Для заданных скалярных величин a ≥ 0 и γ > 0 анизотро-

пийная норма системы (2.2)-(2.3) ограничена величиной γ, т.е.

|||F|||_a < γ,

если существует скаляр η > γ² и (n × n)-матрица Φ = Φ^⊤ > 0, удовлетво-

ряющие условиям:

(

)1/m

(2.6)

η - e-2a det(ηI_m - B^⊤ΦB - D^⊤D)

<γ²,

[

]

A^⊤ΦA - Φ + C^⊤C A^⊤ΦB + C^⊤D

(2.7)

< 0.

B^⊤ΦA + D^⊤C B^⊤ΦB + D^⊤D - ηI_m

Теорема 2. Для заданных скалярных величин a ≥ 0 и γ > 0 анизотро-

пийная норма системы (2.2)-(2.3) ограничена величиной γ, если существует

η > γ², n × n-матрица Φ = Φ^⊤ > 0 и (n × n)-матрица Y такие, что выпол-

нены неравенства:

(

)1/m

(2.8)

η - e-2a det(ηI_m - B^⊤ΦB - D^⊤D)

<γ²,

⎡

⎤

Y -

Y^⊤ Y A Y B Φ^⊤ - Y^⊤ -

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

A^⊤Y^⊤

-Φ

A^⊤Y^⊤

C^⊤

⎥

⎢

⎥

(2.9)

⎢

B^⊤Y^⊤

-ηI_m

B^⊤Y^⊤

D^⊤

⎥

< 0.

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ Φ-Y -

Y^⊤ Y A Y B

-Y - Y^⊤

⎦

C D

-I_p

Рассмотренные теоремы 1 и 2 будут использованы далее при решении за-

дачи синтеза робастных регуляторов для систем с параметрическими неопре-

деленностями.

3. Постановка задачи управления

Перейдем к постановке задачи синтеза робастных анизотропийных регуля-

торов. Будем рассматривать дискретные системы, заданные в пространстве

состояний в виде:

(3.1)

x(k + 1) = A^Δx(k) + BΔww(k) + B_u

u(k),

(3.2)

y(k) = CΔyx(k) + DΔyw

w(k),

(3.3)

z(k) = CΔzx(k) + DΔzww(k) + D_zu

u(k),

где x(k) ∈ Rⁿ - вектор состояния, u(k) ∈ Rm1 - управление, w(k) ∈ R^m - слу-

чайная стационарная последовательность с ограниченным уровнем средней

анизотропии A(W ) ≤ a, y(k) ∈ R^p - измеряемый выход, z(k) ∈ Rp1 - управляе-

мый выход, A^Δ = A + M_AΔN_A, BΔw = B_w + M_BΔN_B, CΔz = C_z + M_C ΔN_C,

CΔy = C_y + M_CyΔN_Cy, DΔyw = D_yw + M_DyΔN_Dy, DΔzw = D_zw + M_DΔN_D. Мат-

рицы A, B_w, B_u C, D_w, C_z, D_zw, D_zu, M_A, N_A, M_B, N_B, M_C , N_C , M_D, N_D,

M_Cy, N_Cy, M_Dy и N_Dy - постоянные соответствующих размеров. Матрица

Δ∈R^q×q - неизвестная, ограниченная по спектральной норме σ(Δ) ≤ 1, т.е.

Δ^⊤Δ ≤ I_q.

Замечание 1. В случае если в уравнениях (3.1)-(3.2) выполнены ра-

венства M_A = M_B, N_A = N_C , N_B = N_D, M_C = M_D, то данная система мо-

жет быть записана через дробно-линейные неопределенности [22]. В против-

ном случае получить эквивалентное представление через дробно-линейные

неопределенности невозможно.

Сформулируем две задачи управления, которые будут решены далее.

Задача 1 (задача синтеза статического регулятора по состоянию). Будем

полагать, что D_zu = 0 и p₁ ≤ m. Для заданных скалярных величин a ≥ 0 и

γ > 0 требуется найти управление по состоянию в виде

(3.4)

u(k) = F x(k),

F ∈Rm1×n,

которое стабилизирует систему (3.1)-(3.3) и гарантирует ограниченность ани-

зотропийной нормы замкнутой системы числом γ, т.е. |||F^sfcl |||_a < γ для всех

возможных значений Δ из заданного множества.

Задача 2 (задача синтеза статического регулятора по выходу). Для за-

данных скалярных величин a ≥ 0 и γ > 0 требуется найти закон управления

в виде статической обратной связи по выходу

(3.5)

u(k) = Ky(k),

K ∈Rm1×p1,

который стабилизирует систему (3.1)-(3.3) и гарантирует ограниченность

анизотропийной нормы замкнутой системы числом γ, т.е. |||F^outcl|||_a < γ для

всех возможных значений Δ из заданного множества.

Решение сформулированных задач будет рассмотрено в разделе 4.

4. Основные результаты

4.1. Синтез робастного анизотропийного регулятора по состоянию

Для задачи 1 система (3.1)-(3.3), замкнутая управлением (3.4), определя-

ется выражениями:

(

)

(4.1)

x(k + 1) =

A^Δ + B_uF

x(k) + BΔw

w(k),

(4.2)

z(k) = CΔzx(k) + DΔzw

w(k).

Для решения задачи синтеза запишем двойственную систему для системы

(4.1)-(4.2). Она имеет вид:

(

)_⊤

(

(4.3)

x^′(k + 1) =

A^Δ + B_uF

x^′(k) +

CΔz

)^⊤ w^′

(k),

(

(4.4)

z^′(k) =

BΔw

)^⊤ x^′(k) +⁽DΔzw)^⊤ w^′

(k).

Следует отметить, что для H₂ и H_∞ норм в линейных системах выполня-

ется условие двойственности, т.е. H₂ и H_∞ нормы исходной и двойственной

систем совпадают. К сожалению, анизотропийная норма подобным свойством

не обладает, однако в случае когда p₁ ≤ m, требования, предъявляемые к

величине анизотропийной нормы исходной замкнутой системы, могут быть

выполнены и для системы, двойственной к ней.

Такая возможность согласуется с асимптотическим поведением анизотро-

пийной нормы [26]:

(

√

)

⁽ ∥F∥44

√

(4.5)

|||F|||_a |a→+0=

1+ a

+ o(

√m∥F∥2

∥F∥⁴²

(

))

(4.6)

|||F|||_a |a→+∞= ∥F∥_∞

exp

(a + J + o(1))

(

)

∫

где J = -¹

ln det I_m - ∥F∥-2∞

F^∗(ω

F (ω) dω - энтропийный интеграл.

4π

-π

Из выражений (4.5) и (4.6) следует, что при p₁ ≤ m справедливо нера-

венство |||F_cl|||_a ≤ |||F^′cl|||_a как при a → +0, так и при a → +∞. Кроме того,

исходя из вида графика анизотропийной нормы системы в зависимости от

уровня средней анизотропии входного возмущения и на основе ряда вычис-

лительных экспериментов, можно выдвинуть гипотезу о том, что взаимное

расположение анизотропийных норм сопряженных систем в случае p₁ ≤ m

сохраняется на всем интервале a ∈ [0; +∞).

Отметим, что если p = m, анизотропийные нормы двойственной и исход-

ной систем равны, т.е. |||F_cl|||_a = |||F^dualcl|||_a.

Введем обозначение F · Y^⊤ = Λ^⊤, т.е. F = Λ^⊤Y^-⊤. Подставим матрицы

двойственной системы в неравенство (2.9) из теоремы 2 и вынесем в отдельное

слагаемое комбинацию с Δ:

(4.7)

Ω + sym (M₁ΔN₁

) < 0,

100

где

⎡

⎤

Ω₁₁

Ω₁₂

Ω₁₃

Ω₁₄

⎢

⎥

∗

-Φ

AY^⊤ + B_uΛ^⊤ B_w

⎢

⎥

(4.8)

Ω=^⎢⎢

∗

-ηIp1

C_zY^⊤

D_zw

^⎥,

⎥

⎣

⎦

∗

-Y - Y^⊤

∗

-I_m

Ω₁₁ = -

Y-

Y^⊤, Ω₁₂ =Y A^⊤ +ΛB^⊤u, Ω₁₃ =Y C^⊤z, Ω₁₄ = Φ-Y^⊤ -

⎡

⎤

⎡

⎤

N_AY^⊤ 0 0 N_BY^⊤

⎢MA

M_B

⎥

⎢NCY⊤ 0 0 NCY⊤

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

(4.9) M₁ =

⎢

M_C 0

M_D⎥

N₁ =

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

N_B

N_D

Согласно лемме П.1 (см. Приложение), для выполнения неравенства (4.7)

требуется существование такого ε₁ > 0, чтобы выполнялось неравенство

(4.10)

Ω+ε₁M₁M⊤1 +

N⊤1N₁

< 0.

ε₁

Неравенство (2.8) из теоремы 2 для некоторой Ψ ∈ R^m×m можно записать

в виде системы [18]

{

(

)1/m

η-

e-2a det(Ψ)

<γ²,

(4.11)

ηI_m - B^⊤ΦB - D^⊤D > Ψ.

Запишем аналог (4.11) для системы (4.3)-(4.4). В этом случае введем матрицу

Ψ ∈ Rp1×p1 и получим

{

(

)1/p1

η-

e-2a det(Ψ)

<γ²,

(4.12)

(

ηIp1 - CΔzΦ

CΔz

)^⊤ - DΔzw (DΔzw)⊤ > Ψ.

Последнее неравенство системы (4.12) можно переписать в виде

(

)-1 (

)_⊤

(

)_⊤

ηIp1 - Ψ - CΔz

-Φ-1

CΔz

- DΔzw(-I)-1

DΔzw

> 0,

(

)-1

где

-Φ-1

< 0. Дважды применив лемму П.2 (см. Приложение) к послед-

нему неравенству и обозначив Π = Φ-1, получим, что

⎡

⎤

Ψ-ηIp1

CΔz DΔzw

⎢

⎥

(4.13)

⎣

∗

-Π

⎦

< 0.

∗

-I_m

Теперь можно сформулировать теорему 3, дающую достаточные условия

для построения робастного субоптимального анизотропийного регулятора по

состоянию.

101

Теорема 3. Для заданных значений a ≥ 0 и γ > 0 задача 1 разреши-

ма, если существуют скаляры η > γ², ε₁ > 0 и ε₂ > 0, (n × n)-матрица Φ =

= Φ^⊤ > 0, (n × n)-матрица Π = Π^⊤ > 0, (p₁ × p₁)-матрица Ψ > 0, (n × n)-

матрица Y и (n × m₁)-матрица Λ такие, что выполнены неравенства

[

]

Ω+ε₁M₁M⊤1 N⊤1

(4.14)

< 0,

N₁

-ε₁I

(

)1/p1

(4.15)

η-

e-2a det(Ψ)

<γ²,

[

]

℧+ε₂M₂M⊤2 N⊤2

(4.16)

< 0,

N₂

-ε₂I

причем

(4.17)

ΦΠ = I_n.

Матрица Ω задается выражением (4.8), матрицы M₁ и N₁ определяются

из выражения (4.9), а

⎡

⎤

⎡

⎤

Ψ-ηIp1

C_z D_zw

M_C M_D

[

]

N_C

℧=^⎣

∗

-Π

⎦,M2 = ⎣

⎦,N2 =

N_D

∗

-I_m

Неизвестная матрица в управлении может быть найдена по формуле

F =Λ^⊤Y^-⊤.

Для доказательства теоремы 3 представим слагаемое

N⊤1N₁ в форме

ε₁

(-N⊤1) (-ε₁I)-1 N₁. Очевидно, что (-ε₁I) < 0. Применяя преобразование из

леммы П.2 для неравенства (4.10), получаем неравенство (4.14). Неравенство

(4.16) получается из неравенства (4.13) путем выделения слагаемых, содер-

жащих Δ, и применения леммы П.1.

Если параметрические неопределенности представлены не только в мат-

рице A^Δ, то условия теоремы 3 являются невыпуклыми и требуют поиска

взаимнообратных матриц. Для того чтобы избежать поиска взаимнообрат-

ных матрицы, предложим следующий выход. Введем невырожденную неиз-

вестную матрицу G ∈ R^n×n и рассмотрим матрицу

⎡

⎤

Ip1

⎦_.

W =^⎣ 0

I_m

Умножим неравенство (4.13) слева и справа на W и W^⊤ соответственно и

получим, что

⎡

⎤

Ψ-ηIp1

CΔzG^⊤ DΔzw

⎣

⎦

(4.18)

∗

-GΠG^⊤

< 0.

∗

-I_m

102

Принимая во внимание, что Π = Φ-1 и Φ > 0, получаем справедливое нера-

венство

-(G - Φ)Φ-1(G - Φ)^⊤ ≤ 0,

откуда следует, что

-GΠG^⊤ ≤ -G - G^⊤ + Φ.

Выполним замену выражения (-GΠG^⊤) на выражение (-G - G^⊤ + Φ) в

неравенстве (4.18). Затем применим к неравенству (4.18) леммы П.1 и П.2

и получим новые условия синтеза робастного анизотропийного регулятора

в форме обратной связи по состоянию, которые можно сформулировать в

теореме 4.

Теорема 4. Для заданных значений a ≥ 0 и γ > 0 задача 1 разреши-

ма, если существуют скаляры η > γ², ε₁ > 0 и ε₂ > 0, (n × n)-матрица Φ =

= Φ^⊤ > 0, невырожденная (n × n)-матрица G, (p₁ × p₁)-матрица Ψ,

(n × n)-матрица Y и (n × m₁)-матрица Λ такие, что выполнены неравен-

ства (4.14) и (4.15), параметры Ω, M₁ и N₁ которых определяются выра-

жениями (4.8) и (4.9) соответственно, а также справедливо неравенство

[

]

Ξ+ε₂M₂M⊤2 N⊤2

(4.19)

< 0,

N₂

-ε₂I

где

⎡

⎤

Ψ-ηIp1

C_zG^⊤

D_zw

Ξ=^⎣

∗

-G - G^⊤ + Φ

⎦_,

∗

-I_m

⎡

⎤

[

]

M_C M_D

N_CG^⊤

M₂ =^⎣

⎦,N2 =

N_D

Обе теоремы 3 и 4 дают достаточные условия существования статической

обратной связи по состоянию, решающей задачу синтеза робастного анизо-

тропийного регулятора для систем с ограниченными по норме параметриче-

скими неопределенностями. В отличие от теоремы 3 теорема 4 не требует

поиска взаимнообратных матриц. При этом число неизвестных переменных

увеличивается наn(n-1)2 .

Если неопределенность содержится только в матрице A^Δ системы (3.1)-

(3.3), то неравенство (4.19) сводится к виду

[

]

Ψ - ηIp1 + C_zΦC^⊤z D_zw

< 0.

D^⊤zw

-I_m

В данном случае использование теоремы 3 для синтеза робастного регу-

лятора по состоянию становится более предпочтительным, так как условия

являются выпуклыми и отсутствует необходимость поиска взаимнообратных

матриц, а число неизвестных переменных меньше по сравнению с условиями

теоремы 4.

103

4.2. Синтез статического робастного регулятора по выходу

Система (3.1), (3.3), замкнутая управлением (3.5), имеет представление в

пространстве состояний:

(

)

(

)

(4.20)

x(k + 1) =

A^Δ + B_uKCΔy

x(k) +

BΔw + B_uKDΔyw

w(k),

(

)

(

)

(4.21)

z(k) =

CΔz + D_zuKCΔy

x(k) +

DΔzw + D_zuKDΔyw

w(k).

Решение задачи 2 дается в теореме 5.

Теорема 5. Для заданных значений a ≥ 0 и γ > 0 задача 2 разреши-

ма, если существуют скаляры η > γ², ε₁ > 0 и ε₂ > 0, (n × n)-матрица Φ =

= Φ^⊤ > 0, (n × n)-матрица Π = Π^⊤ > 0, (m × m)-матрица Ψ, (n × n)-

матрица Y и (m₁ × p)-матрица K такие, что выполнены следующие нера-

венства:

[

]

Ω+ε₁M₁M⊤1 N⊤1

(4.22)

< 0,

N₁

-ε₁I

(

)1/m

(4.23)

η-

e-2a det(Ψ)

<γ²,

[

]

℧+ε₂M₂M⊤2 N⊤2

(4.24)

< 0,

N₂

-ε₂I

причем

(4.25)

ΦΠ = I_n.

Здесь

⎡

⎤

-Φ

∗

⎢

⎥

⎢

-ηI_m

∗

⎥

Ω=

⎢

⎥,

⎣ A+B_uKC_y B_w +B_uKD_yw

-Π

∗

⎦

C_z + D_zuKC_y D_zw + D_zuKD_yw

-Ip1

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

M₁ =

⎢

⎥,

⎣ M_A B_uKM_Cy

M_B B_uKM_Dy

⎦

D_zuKM_Cy M_C

D_zuKM_Dy M_D

⎡

⎤

N_A

⎢

⎥

N_Cy

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

Ψ-ηI_m

∗

⎢

N_C

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

N₁

℧=

⎣ Bw + BuKDyw

-Π

∗

⎦,

⎢

⎥

⎢

N_B

⎥

⎢

⎥

D_zw + D_zuKD_yw

-Ip1

⎣

N_Dy

⎦

N_D

⎡

⎤

⎡

⎤

N_B

⎢

⎥

⎢

⎥

M₂ =

⎣ MB BuKMDy

⎦, N2 =

⎣ NDy

⎦.

D_zuKM_Dy M_D

N_D

104

Достаточные условия для построения статического регулятора по выходу

получаются напрямую, если записать условия теоремы 1 для системы (4.20)-

(4.21). Все преобразования матричных неравенств аналогичны преобразова-

ниям из подраздела 4.1 и не требуют повторения.

Замечание 2. Регулятор, доставляющий минимум анизотропийной нор-

ме, может быть найден с использованием следующей оптимизационной проце-

дуры: найти ξ_∗ = inf ξ, где ξ = γ², на множестве {η, ξ, Φ, Π, Ψ, Y, K, ε₁, ε₂},

удовлетворяющее (4.22)-(4.24) и ΦΠ = I_n. Если минимальное значение ξ_∗ най-

дено, тогда анизотропийная норма замкнутой системы может быть прибли-

женно вычислена:

√

(4.26)

|||F^outcl|||_a ≈

ξ_∗.

Аналогичные оптимизационные процедуры могут быть использованы при на-

хождении регуляторов на основе теорем 3 и 4.

Для численной реализации методики синтеза робастных регуляторов из

теоремы 5, требующих поиска взаимнообратных матриц, с использованием

пакетов Yalmip и SeDuMi, можно привести алгоритм, построенный на основе

результатов из [27].

Алгоритм.

Шаг 1. Задаем счетчик j = 0, выбираем некоторые матрицы G₁ = G⊤1 и

G₂ = G⊤2.

Шаг 2. Решаем оптимизационную задачу

{λ_∗, ξ_∗} = min{λ + ξ}

на множестве переменных

{η, ξ, λ, Φ, Π, Ψ, Y, K, ε₁, ε₂},

которые удовлетворяют неравенствам (4.22)-(4.24) и

[

][

]

[

][

]

[

]

Φ I_n

I_n

[

]

Φ I_n

G₂

(4.27)

I_n G₁

G₂

I_n

- λI2n

< 0,

I_n Π

G₁

I_n Π

I_n

[

]

-Φ I_n

(4.28)

- λI2n

< 0.

I_n

-Π

Шаг 3. Если λ_∗ < δ, где δ — заданная точность, то

√

|||F^outcl|||_a ≈

ξ_∗,

алгоритм останавливается и полученное значение K является искомым регу-

лятором. Если заданная точность не достигнута, то алгоритм переходит на

шаг 4.

Шаг 4. Задаем G₁ = -Π-1j, G₂ = -Φ-1j, j = j + 1. Переходим на шаг 2.

105

5. Численный пример

Рассмотрим систему:

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

-0,25

A = ^⎣ -0,5

0,5

⎦,Bu = ⎣ 0

⎦,Bw = ⎣ 0

⎦_,

0,13

-0,18

-0,66

0,2

0,1

[

]

[

]

C_z =

D_zw =

0,1

-0,05

D_zu = 0,

[

]

[

]

2,2

0,03

0,01

C_y =

D_yw =

0,05

Неопределенности в системе заданы через коэффициенты:

[

]

M_A =

0,25

-0,5

0,75

]^⊤ , N_A =^[ 0 0,5

[

]_⊤

[

]

M_B =

0,2

N_B =

0,1

0,3

[

]

[

]

M_C = M_D = 0,2, N_C =

0,05

0,2

N_D =

0,02

0,08

[

]_⊤

[

]

[

]

M_Cy = M_Dy =

N_Cy =

N_Dy =

Номинальная система является неустойчивой. Для поиска взаимнообрат-

ных матриц был выбран алгоритм, предложенный в [27]. Точность поиска

взаимнообратных матриц равна ϵ = 10-7.

При решении задачи синтеза была минимизирована анизотропийная нор-

ма замкнутой системы для заданного уровня средней анизотропии a (см. за-

мечание 1). После того как решение было найдено, проводился анализ замк-

нутой системы. Так как неопределенность в данном примере является ска-

лярной величиной, то был использован метод оценки анизотропийной нормы

из [18] на сетке с шагом h = 0,01 на отрезке Δ ∈ [0; 1]. Наибольшее значение

нормы принималось в качестве наихудшего случая. Результаты численных

экспериментов сведены в таблицу.

Результаты численных экспериментов

Средняя анизотропия a

0,1

0,5

100

|||F_cl|||_a на основе теоремы 3

0,7591

1,0535

1,5464

1,8435

2,1973

2,2472

|||F_cl|||_a на основе теоремы 4

0,7602

1,0489

1,5379

1,8435

2,1978

2,2494

|||F_cl|||_a на основе теоремы 5

1,9496

3,3980

5,0720

5,8894

6,6922

6,7993

Как видно из полученных результатов, управление в виде статической об-

ратной связи по состоянию дает наилучший результат. При этом анизотро-

пийная норма замкнутой системы с регулятором, полученным из условий

теоремы 3, дает практически такой же результат, как и с использованием

теоремы 4, а вычислительные затраты при использовании теоремы 4 значи-

тельно меньше.

6. Заключение

В статье получены условия для синтеза робастного анизотропийного ре-

гулятора в виде статической обратной связи по выходу и по состоянию.

106

Рассматриваемые системы имеют ограниченные по норме параметрические

неопределенности. Решается задача робастной стабилизации замкнутой си-

стемы при наличии неопределенностей и случайных внешних возмущений

с известным уровнем средней анизотропии. Критерием качества функцио-

нирования замкнутой системы выступает анизотропийная норма, имеющая

смысл коэффициента усиления от случайного внешнего возмущения к управ-

ляемому выходу. Полученные условия гарантируют ограниченность анизо-

тропийной нормы замкнутой системы и ее устойчивость для всех возможных

параметров системы из заданного класса. Условия сформулированы в виде

матричных неравенств и легко реализуются в численном виде.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Лемма П.1 (лемма Питерсена

[28]). Пусть матрицы M ∈ R^n×p и

N ∈ R^q×n ненулевые, а матрица G симметрическая, т.е. G = G^⊤ ∈ R^n×n.

Неравенство

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ ≤ 0

справедливо для всех Δ ∈ R^p×q: σ(Δ) ≤ 1, если существует скаляр ε > 0 та-

кой, что

G + εMM^⊤ +

N^⊤N ≤ 0.

[

]

X₁₁

X₁₂

Лемма П.2 (лемма о дополнении Шура). Пусть X =

- сим-

X⊤12

X₂₂

метрическая матрица, ее компоненты X₁₁ и X₂₂ - тоже симметрические

матрицы.

Если X₁₁ > 0, то X > 0 тогда и только тогда, когда

X₂₂ - X⊤12X-111X₁₂ > 0.

Если X₂₂ > 0, то X > 0 тогда и только тогда, когда

X₁₁ - X₁₂X-122X⊤12 > 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yaesh I., Shaked U. Minimum Entropy Static Feedback Control with an H_∞ -norm

Performance Bound // IEEE Trans. Automat. Contr. 1997. AC-42. P. 853-858.

2. Peres P.L.D., Geromel J.C., Souza S.R. H_∞ control Design by Static Output-

Feedback // Proc. IFAC Sympos. on Robust Control Design. Rio de Janeiro, Brasil.

1994. P. 243-248.

3. Leibfritz F. An LMI-based Algorithm for Designing Suboptimal Static H₂/H_∞

Output Feedback Controllers // SIAM J. Control Optim. 2001. V. 39. P. 1711-1735.

4. Casavola A., Famularo D., Franz G. Robust Constrained Predictive Control of

Uncertain Norm-Bounded Linear Systems // Automatica. 2004. V. 40. P. 1865-1876.

107

Boukas H., Shi P. H_∞ control for Discrete-Time Linear Systems with Frobenius

Norm-Bounded Uncertainties // Automatica. 2004. V. 35. P. 1625-1631.

Lai C.-T., Fang C.-H., Kau S.-W., Lee C.-H. Robust H₂ control of Norm-Bounded

Uncertain Continuous-Time System — an LMI Approach // Proc. 2004 IEEE Int.

Sympos. on Computer Aided Control Systems Design. Taipei, Taiwan. September

2004. P. 243-248.

Kim S.W., Seo C.J., Kim B.K. Robust and Reliable H_∞ controllers for Discrete-

Time Systems with Parameter Uncertainty and Actuator Failure // Int. J. Syst. Sci.

1999. V. 30. No. 12. P. 1249-1258.

Wang S.-Y., Gao Z.-F., He H.-K. Observer-Based Robust H_∞ control of a Class of

Discrete Time Systems with State Uncertainties // Proc. 8th Int. Conf. on Machine

Learning and Cybernetics. Baoding. July 2009. P. 1949-1953.

Xu S., Chen T. Robust H_∞ control for Uncertain Discrete-Time Systems with Time-

Varying Delays via Exponential Output Feedback Controllers // Syst. Control Lett.

2004. V. 51. P. 171-183.

10.

Yu L., Gao F. Robust H_∞ control of Discrete-Time Linear Systems with Delayed

State and Frobenius Norm-Bounded Uncertainties // Proc. 39th IEEE Conf. on

Decision and Control. Sydney. Australia. December 2000. P. 2754-2755.

11.

McFarlane D., Glover K. A Loop-Shaping Design Procedure Using H_∞ synthesis //

IEEE Trans. Automat. Contr. 1992. V. 37 (6). P. 759-769.

12.

Shi G., Liu X. Robust Mixed-Norm H₂/H_∞ Regulation for Uncertain Discrete-Time

Systems via State Feedback // IEEE TENCON’93. 1993. P. 474-477.

13.

Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy of Signals and the

Entropy of Linear Stationary Systems // Dokl. Math. 1995. V. 51. P. 388-390.

14.

Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semyonov A.V. On Computing the Anisotropic

Norm of Linear Discrete-Time-Invariant Systems // Proc. 13th IFAC World Congr.

San-Francisco, USA. 1996. P. 179-184.

15.

Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy-Based

Performance Analysis of Linear Discrete Time-Invariant Control Systems // Int. J.

Control. 2001. V. 74 (1). P. 28-42.

16.

Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П.Е. Анизотропийный анализ робаст-

ного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном вре-

менном интервале // АиТ. 2006. № 8. C. 92-111.

Vladimirov I.G., Diamond P., Kloeden P. Anisotropy-Based Performance Analysis

of Finite Horizon Linear Discrete Time Varying Systems // Autom. Remote Control.

2006. V. 67. No. 8. P. 1265-1282.

17.

Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semyonov A.V. State-Space Solution to

Anisotropy-Based Stochastic H_∞ -optimization Problem // Proc. 13th IFAC World

Congr. San-Francisco, USA. 1996. P. 427-432.

18.

Чайковский М.М. Синтез субоптимального анизотропийного стохастического

робастного управления методами выпуклой оптимизации // Дисc

д-ра техн.

наук. М.: 2012.

19.

Kurdyukov A.P., Maximov E.A. State-Space Solution to Stochastic H_∞ -optimi-

zation Problem with Uncertainty // IFAC Proc. Volumes. 2005. V. 38 (1). P. 429-434.

20.

Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение задачи стохастической H_∞ -оптимиза-

ции для линейной дискретной системы с неопределенностью // АиТ. 2006. № 8.

С. 112-142.

Kurdyukov A.P., Maksimov E.A. Solution of the Stochastic H_∞ -Optimization

Problem for Discrete Time Linear Systems under Parametric Uncertainty // Autom.

Remote Control. 2006. V. 67. No. 8. P. 1283-1310.

108

21.

Чайковский М.М., Курдюков А.П. Анизотропийное субоптимальное управление

для систем с дробно-линейной неопределенностью // АиТ. 2018. № 6. C. 172-190.

Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P. Anisotropic Suboptimal Control for Systems

with Linear-Fractional Uncertainty // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 6.

P. 1100-1116.

22.

Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P. On Upper Estimate of Anisotropic Norm of

Uncertain System with Application to Stochastic Robust Control // Int. J. Control.

2018. V. 91 (11). P. 2411-2421.

23.

Belov A.A., Andrianova O.G., Kurdyukov A.P. Control of Discrete-Time Descriptor

Systems. Cham: Springer Int. Publishing. 2018.

24.

Tchaikovsky M.M., Kurdyukov A.P. Strict Anisotropic Norm Bounded Real Lemma

in Terms of Matrix Inequalities // Dokl. Math. 2011. V. 48. No. 3. P. 895-898.

25.

Белов А.А., Андрианова О.Г. Синтез субоптимальных анизотропийных регуля-

торов по состоянию для дескрипторных систем на основе линейных матричных

неравенств // АиТ. 2016. № 10. C. 40-56.

Belov A.A., Andrianova O.G. Anisotropy-based Suboptimal State-Feedback Control

Design Using Linear Matrix Inequalities // Autom. Remote Control. 2016. V. 77.

No. 10. P. 1741-1755.

26.

Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семeнов А.В. Асимптотика анизотропийной

нормы линейных стационарных систем // АиТ. 1999. № 3. C. 78-87.

Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P., Semenov A.V. Asymptotics of the Anisotropic

Norm of Linear Time-Independent Systems // Autom. Remote Control. 1999. V. 60.

No. 3. P. 359-366.

27.

Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез регуляторов на основе решения линейных

матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц // АиТ.

2005. № 1. C. 82-99.

Balandin D.V., Kogan M.M. Synthesis of Controllers on the Basis of a Solution

of Linear Matrix Inequalities and a Search Algorithm for Reciprocal Matrices //

Autom. Remote Control. 2005. V. 66. No. 1. P. 74-91.

28.

Petersen I.R. A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems //

Systems & Control Lett. 1987. V. 8. P. 351-357.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Б.М. Миллером.

Поступила в редакцию 04.02.2019

После доработки 28.09.2019

Принята к публикации 28.11.2019

109