Автоматика и телемеханика, № 6, 2020

Нелинейные системы

Л.И. ЛАВРИНОВИЧ, канд. физ.-мат. наук (lavrinovich@bsu.by)

(Белорусский государственный университет, Минск)

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ

ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ С ТЕРМИНАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

НА ТРАЕКТОРИИ

Рассматривается задача об управлении с минимальными энергетиче-

скими затратами линейной сингулярно возмущенной системой, в которой

на правый конец траекторий наложены линейные ограничения. Строят-

ся асимптотические приближения в виде программы и обратной связи

к оптимальному управлению в этой задаче. Основное достоинство пред-

лагаемых алгоритмов состоит в том, что при их применении происходит

декомпозиция исходной задачи на две невозмущенные задачи оптималь-

ного управления меньшей размерности.

Ключевые слова: оптимальное управление, линейная система, квадратич-

ный функционал, сингулярные возмущения, асимптотические приближе-

ния, субоптимальный синтез.

DOI: 10.31857/S0005231020060037

1. Введение

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми пара-

метрами при части производных принято называть сингулярно возмущенны-

ми. В рамках математической теории оптимальных процессов задачам оп-

тимизации таких систем уделяется значительное внимание (см. [1-4]). Инте-

рес к таким задачам вызван эффективностью асимптотических методов их

решения, при применении которых исходные задачи оптимального управле-

ния распадаются на задачи меньшей размерности. Кроме того, асимптотиче-

ский подход позволяет избежать интегрирования сингулярно возмущенных

систем, которые являются жесткими [5].

Настоящая статья посвящена построению асимптотических приближений

в виде программы и обратной связи к решению сингулярно возмущенной

линейно-квадратичной задачи оптимального управления с линейными терми-

нальными ограничениями на траектории. Ее можно трактовать как задачу

управления с минимальными энергетическими затратами. Суть предлагае-

мых алгоритмов состоит в асимптотическом разложении по целым степеням

малого параметра множителей Лагранжа, соответствующих в силу принци-

па максимума [6] оптимальному управлению. Предлагаемые вычислительные

процедуры являются очередной реализацией методики исследования задач

оптимизации возмущенных динамических систем, в основу которой положена

идея специальной конечномерной параметризации оптимальных управлений

(см. [2]).

Следует отметить, что сингулярно возмущенным линейно-квадратичным

задачам оптимального управления посвящено значительное число публика-

ций (см., например, [7-11]), однако в них, за исключением [11], ограничения на

траектории не накладывались. Настоящая статья обобщает результаты, полу-

ченные в [11], где рассматривалась задача с фиксированным правым концом

траекторий.

2. Постановка задачи

В классе r-мерных управляющих воздействий u(t), t ∈ T = [t_∗, t^∗], с

кусочно-непрерывными компонентами рассмотрим следующую задачу опти-

мального управления:

y = A₁(t)y + A₂(t)z + B₁(t)u, y(t_∗) = y_∗,

(2.1)

µŻ = A₃(t)y + A₄(t)z + B₂(t)u, z(t_∗) = z_∗,

(2.2)

H₁y(t^∗) = g₁, H₂z(t^∗) = g₂,

t∗

∫

(2.3)

J (u) =

u^T

P (t)udt → min,

t∗

где µ малый положительный параметр, t_∗, t^∗ заданные моменты вре-

мени (t_∗ < t^∗), y

n-вектор медленных переменных, z m-вектор быст-

рых переменных, g₁, g₂

векторы размерностей n₁, m₁ соответственно

(n₁ ≤ n, m₁ ≤ m), H₁ и H₂ матрицы полного ранга, P (t) положительно

определенная симметрическая матрица для всех t ∈ T .

Предположение 1. Действительные части всех собственных значений

матрицы A₄(t), t ∈ T , отрицательны.

Предположение 2. Элементы всех матриц, формирующих задачу, бес-

конечно дифференцируемы.

Управление с кусочно-непрерывными компонентами принято называть

допустимым, если для порожденной этим управлением траектории систе-

мы (2.1) выполнены терминальные ограничения (2.2). Допустимое управле-

ние, на котором критерий качества (2.3) принимает наименьшее значение,

называют оптимальным. Наряду с этими общеупотребительными понятиями

определим то, что будет пониматься под асимптотическими приближениями

к решению рассматриваемой задачи.

Определение 1. Управление u^(N)(t,µ), t ∈ T, с кусочно-непрерывными

компонентами назовем (программным) асимптотически субоптимальным

управлением N-го порядка (N = 0, 1, 2, . . .), в задаче (2.1)-(2.3), если оно от-

клоняется (о кри)терию качества (2.3) от оптимального управления на

величину O

µ^N+1

, а порожденная им траектория y (t,µ), z (t,µ), t ∈ T,

системы (2.1) удовлетворяет терминальным ограничениям (2.2) с точно-

стью того же порядка малости.

Определение 2. Вектор-функцию u^(N)(y,z,t,µ) назовем асимптоти-

чески субоптимальной обратной связью N-го порядка, если для любого на-

чального состояния (y_∗, z_∗, t_∗), t_∗ < t^∗, имеет место равенство

u^(N)(y_∗,z_∗,t_∗,µ) = u^(N)(t_∗,µ),

где u^(N)(t, µ), t ∈ T , - асимптотически субоптимальное управление N-го по-

рядка в задаче (2.1)-(2.3).

В настоящей статье предлагается и обосновывается алгоритм, с помощью

которого для заданного числа N можно построить асимптотически субопти-

мальное управление N-го порядка в рассматриваемой задаче. В статье также

показывается, как можно построить асимптотически субоптимальную обрат-

ную связь нулевого порядка.

В дальнейшем для сокращения записи будем использовать обозначения:

(

)

A₁ (t)

A₂ (t)

A (t, µ) =

A₃ (t) /µ A₄ (t) /µ

(2.4)

(

)

(

)

B₁ (t)

y_∗

B (t, µ) =

x_∗ =

B₂ (t)/µ

z_∗

3. Первая базовая задача

Вычисления при построении асимптотически субоптимальных управлений

начинаются с решения вырожденной задачи

y = A₀(t)y + B₀(t)u, y(t_∗) = y_∗, H₁y(t^∗) = g₁,

t∗

∫

(3.1)

J₁(u) =

u^TP(t)udt → min,

t∗

где

(3.2)

A₀(t) = A₁(t) - A₂(t)A^-14(t)A₃(t), B₀(t) = B₁(t) - A₂(t)A^-14(t)B₂

(t).

В дальнейшем эту задачу будем называть первой базовой.

Предположение 3. Динамическая система в задаче (3.1) является

управляемой на отрезке [τ, t^∗] относительно подпространства H₁y = 0 при

любом τ ∈ [t_∗, t^∗) [12].

Это предположение выполняется тогда и только тогда (см., напри-

мер, [13]), когда при любом τ ∈ [t_∗, t^∗) и любом ненулевом векторе l размер-

ности n₁ имеет место соотношение

(3.3)

l^TH₁F₀(t)B(t) ≡ 0, τ ≤ t ≤ t^∗,

где F₀(t), t ∈ T ,

(n × n)-матричная функция, являющаяся решением на-

чальной задачи

(3.4)

0 = -F0A0 (t), F0(t^∗) = En

с единичной матрицей E_n. Заметим, что условие (3.3), которое называют

неявным критерием управляемости на подпространство, для стационарной

динамической системы эквивалентно требованию [12]

(

)

(3.5)

rank

H₁B₀, H₁A₀B₀, ... , H₁A^n-10B₀

=n₁.

При выполнении предположения 3 в первой базовой задаче существуют

допустимые управления, а тогда эта задача имеет единственное решение [14],

которое является нормальной экстремалью. Последнее означает, что принцип

максимума [6, 15] в данном случае может быть сформулирован следующим

образом: пусть u⁰(t), y⁰(t), t ∈ T ,

оптимальные управление и траектория

в задаче (3.1), тогда существует такой вектор множителей Лагранжа λ₀ раз-

мерности n₁, что выполняется условие

ψ^0T(t)B₀(t)u⁰(t) -

u^0T(t)P(t)u⁰(t) =

(

)

= max

ψ^0T(t)B₀(t)u -

u^TP(t)u

t∈T,

u∈R^r

где ψ⁰(t), t ∈ T , решение сопряженной системыψ = -A^T0(t)ψ, ψ(t^∗) = H^T1λ₀.

Отсюда непосредственно следует, что

(3.6)

u⁰(t) = P^-1(t)B^T0(t)ψ⁰

(t), t ∈ T.

Заметим, что

(3.7)

ψ^0T (t) = λ^T0H₁F₀ (t), ψ^0T(t)B₀(t) = λ^T0H₁Φ₀

(t) , t ∈ T,

где

(3.8)

Φ₀ (t) = F₀ (t)B₀

(t) , t ∈ T.

В силу (3.6), (3.7) и формулы Коши имеем равенство

(3.9)

H₁y⁰(t^∗) = H₁F₀ (t_∗)y_∗ + H₁C₁H^T1λ₀ = g₁,

где

∫t^∗

(3.10)

C₁ = Φ₀ (t) P^-1 (t)Φ^T0

(t) dt.

t∗

При выполнении предположения 3 матрица H₁C₁H^T1 будет невырожденной, в

чем можно легко убедиться, опираясь на неявный критерий управляемости на

подпространство. Поскольку λ₀ определяется однозначно, то оптимальному

управлению в первой базовой задаче соответствует, в силу сформулирован-

ного принципа максимума, единственный вектор сопряженных переменных.

4. Вторая базовая задача

На втором этапе вычислений решается задача оптимального управления

с бесконечной длительностью процесса

= A₄(t^∗)z + B₂(t^∗)u,

(

)

H₂z(0) = H₂A^-14 (t^∗)

A₃(t^∗)y⁰ (t^∗) + B₂(t^∗)u⁰(t^∗)

+g₂,

(4.1)

∫

z(-∞) = 0, J₂(u) =

u^TP(t^∗)uds → min,

-∞

которую будем называть второй базовой.

Предположение 4. Выполнен критерий управляемости на подпро-

странство

(

)

rank

H₂B₂(t^∗), H₂A₄(t^∗)B₂(t^∗), ... , H₂A^m-14(t^∗)B₂(t^∗)

=m₁.

Это предположение гарантирует существование допустимых управлений

во второй базовой задаче. Отсюда, в свою очередь, следует, что задача (4.1)

имеет единственное решение [14] и является нормальной. В этом случае прин-

цип максимума [6] для нее может быть сформулирован следующим образом:

пусть u^∗ (s), z^∗ (s), s ≤ 0,

оптимальные управление и траектория в зада-

че (4.1), тогда существует такой вектор множителей Лагранжа ν₀ размерно-

сти m₁, что выполняется условие

Πψ^T (s) B₂ (t^∗) u^∗ (s) -

u^∗T (s)P (t^∗)u^∗ (s) =

(

)

= max

Πψ^T (s) B₂ (t^∗) u -

u^TP (t^∗) u

s ≤ 0,

u∈R^r

где Πψ (s), s ≤ 0, решение сопряженной системы

Πψ = -A^T4(t^∗)Πψ, Πψ(0) = H^T2ν₀.

Отсюда непосредственно следует, что

(4.2)

u^∗(s) = P^-1(t^∗)B^T2(t^∗

)Πψm(s), s ≤ 0.

Заметим, что

(4.3)

Πψ^T (s) = ν^T0H₂G (s) , Πψ^T (s) B₂ (t^∗) = ν^T0H₂

ΠΦ (s) , s ≤ 0,

где

(4.4)

ΠΦ (s) = G (s) B₂ (t^∗

), s ≤ 0,

а G(s), s ≤ 0, (m × m)-матричная функция, удовлетворяющая дифферен-

циальному уравнению

(4.5)

= -GA₄ (t^∗) , G(0) = E_m.

Введем обозначение

∫0

(

)

(4.6)

C₃ =

ΠΦ(s)P^-1(t^∗)ΠΦ^T(s)

ds.

−∞

В силу предположения 4 матрица H₂C₃H^T2 будет невырожденной, а посколь-

ку, как следует из (4.2), (4.3) и формулы Коши,

(4.7)

H₂z^∗ (0) = H₂C₃H^T2ν₀,

то оптимальному управлению во второй базовой задаче соответствует, в силу

принципа максимума, единственный вектор сопряженных переменных.

Подчеркнем, что единственная информация о решении второй базовой за-

дачи, которая используется в дальнейшем при построении асимптотически

субоптимальных управлений, это вектор множителей Лагранжа ν₀. Нет

необходимости строить оптимальное управление u^∗(s), s ≤ 0, что, впрочем, и

невозможно, если задача решается численно.

После решения базовых задач формируется матрица

(

)

1C1H¹

0n₁×m₁

(4.8)

I₀ =

H₂C₂H^T1

H₂C₃H^T

размеров (n₁ + m₁) × (n₁ + m₁). Матрицы C₁, C₃ определены ранее форму-

лами (3.10), (4.6), а

(

)

C₂ = -A^-14(t^∗)

A₃(t^∗)C₁ + B₂ (t^∗) P^-1 (t^∗)B^T0 (t^∗)

Как было отмечено, H₁C₁H^T1, H₂C₃H^T2 невырожденные матрицы, а тогда

det I₀ = 0.

5. Асимптотический анализ решения исходной задачи

Говорить об асимптотически субоптимальных управлениях можно лишь в

том случае, когда исходная задача имеет решение. Убедимся, что при сделан-

ных предположениях в задаче (2.1)-(2.3) с достаточно малым µ существует

оптимальное управление. Доказательство будет конструктивным и предопре-

делит дальнейшие вычисления при построении асимптотически субоптималь-

ных управлений.

Пусть ψ₁ (t, λ, ν, µ), ψ₂ (t, λ, ν, µ), t ∈ T , решение начальной задачи

ψ₁ = -A^T1 (t)ψ₁ - A^T3 (t)ψ₂, ψ₁ (t^∗) = H^T1λ,

(5.1)

µ ψ₂ = -AT2 (t)ψ₁ - AT4 (t)ψ₂, ψ2 (t^∗) = HT2 ν,

где λ, ν

векторы размерности n₁ и m₁ соответственно. Обозначим через

y (t, λ, ν, µ), z (t, λ, ν, µ), t ∈ T , траекторию системы (2.1), порожденную управ-

лением

u(t,λ,ν,µ) =

(5.2)

(

)

= P-1 (t)

B^T1 (t)ψ₁ (t,λ,ν,µ) + B^T2 (t)ψ₂ (t,λ,ν,µ)

t∈T.

Теорема. При выполнении предположений 1-4 в задаче (2.1)-(2.3) с до-

статочно малым µ существует единственное оптимальное управление, ко-

торое является нормальной экстремалью и представимо в виде

(5.3)

u⁰

(t, µ) = u (t, λ (µ) , ν (µ) , µ) , t ∈ T.

Оптимальному управлению соответствует, в силу принципа максимума,

вектор сопряженных переменных

(ψ₁ (t, λ (µ) , µν (µ) , µ) , µψ₂ (t, λ (µ) , µν (µ) , µ)) , t ∈ T ,

при этом векторы λ(µ), ν (µ), являющиеся решением системы уравнений

(5.4)

H₁y (t^∗,λ,ν,µ) - g₁ = 0, H₂z (t^∗,λ,ν,µ) - g₂

= 0,

допускают асимптотические разложения

∑

(5.5)

λ(µ) ∼ λ₀ + µ^kλ_k, ν (µ) ∼ ν₀ + µ^kν_k,

k=1

старшие коэффициенты которых есть векторы множителей Лагранжа в

базовых задачах.

Доказательство. Прежде всего покажем, что левые части уравне-

ний (5.4) допускают асимптотические разложения по целым степеням ма-

лого параметра, и получим формулы для коэффициентов этих разложений.

Для сокращения записи введем обозначения η = (λ, ν), η₀ = (λ₀, ν₀), и пусть

x(t, η, µ) = (y(t, η, µ), z(t, η, µ)), t ∈ T . В силу формулы Коши, используя обо-

значения (2.4), имеем

∫t^∗

(5.6)

x(t^∗, η, µ) = F (t_∗, µ) x_∗ +

F (t,µ)B (t,µ) u(t,η,µ) dt,

t∗

где F (t, µ), t ∈ T , матричная функция размеров (n + m) × (n + m), которая

является решением начальной задачи

(5.7)

= -FA(t,µ) , F (t^∗) = E_n+m.

Решение этого сингулярно возмущенного уравнения удобно представлять в

блочном виде

(

)

F1 (t, µ) F2 (t, µ)

F (t, µ) =

F₃ (t,µ) F₄ (t,µ)

где F₁, F₂, F₃, F₄

матрицы размеров n × n, n × m, m × n и m × m соот-

ветственно. С помощью метода пограничных функций [16] они могут быть

разложены в асимптотические ряды:

∑

Fi(t, µ) ∼

µ^k (F_ik(t) + Π_kF_i (s)) ,

(5.8)

k=0

s = (t - t^∗)/µ, t ∈ T, i = 1,2,3,4.

Подчеркнем, что выражения (5.8) равномерные по t ∈ T асимптотические

разложения. Отметим как существенный факт также то, что для матричных

функций Π_kF_i (s), s ≤ 0, называемых пограничными членами, имеют место

оценки

(5.9)

∥Π_kF_i (s)∥ ≤ α_k exp (β_k

s), i = 1,2,3,4, k = 0,1,... ,

где α_k, β_k положительные постоянные. Приведем несколько старших коэф-

фициентов разложений (5.8), которые понадобятся при доказательстве тео-

ремы:

F₁₀ = F₀ (t), F₂₀ = 0_n×m, F₃₀ = -A^-14 (t^∗) A₃ (t^∗) F₀ (t),

F₄₀ = 0_m×m, F₂₁ = -F₀ (t)A₂ (t) A^-14 (t),

(5.10)

F₄₁ = A^-14 (t^∗)A₃ (t^∗)F₀ (t)A₂ (t) A^-14 (t),

Π₀F₁ = 0_n×n, Π₀F₂ = 0_n×m, Π₀F₃ = G(s) A^-14 (t^∗)A₃ (t^∗),

Π₀F₄ = G(s), Π₁F₂ = A₂ (t^∗)A^-14 (t^∗)G(s),

где F₀ (t), t ∈ T , и G (s), s ≤ 0, решения начальных задач (3.4) и (4.5) со-

ответственно.

Запишем (5.6) в блочном виде

y(t^∗, η, µ) = F₁ (t_∗, µ) y_∗ + F₂ (t_∗, µ) z_∗ +

∫t^∗

+ (F₁ (t, µ) B₁ (t) + F₂ (t, µ) B₂ (t) /µ) u (t, η, µ) dt,

t∗

(5.11)

z(t^∗, η, µ) = F₃ (t_∗, µ) y_∗ + F₄ (t_∗, µ) z_∗ +

∫t^∗

+ (F₃ (t, µ) B₁ (t) + F₄ (t, µ) B₂ (t) /µ) u (t, η, µ) dt.

t∗

Заметим, что

ψ^T1(t,η,µ) = λ^TH₁F₁ (t,µ) + µν^TH₂F₃ (t,µ) ,

ψ^T2(t,η,µ) = λ^TH₁F₂ (t,µ)/µ + ν^TH₂F₄ (t,µ).

Отсюда и из формул (5.8), (5.10) следует, что имеют место асимптотические

разложения

∑

ψ_i(t,η,µ) ∼

µ^k (ψ_ik(t,η) + Π_kψ_i (s,η)) ,

(5.12)

k=0

s = (t - t^∗)/µ, t ∈ T, i = 1,2,

в которых

ψ^T10(t,η) = λ^TH₁F₀ (t), ψ^T20(t,η) = -λ^TH₁F₀ (t) A₂ (t)A^-14 (t) ,

(

)

Π^T0ψ₁(s,η) = 0, Π^T0ψ₂ (s,η) =

λ^TH₁A₂ (t^∗)A^-14 (t^∗) + ν^TH₂

G(s),

ψ^T1k(t,η) = λ^TH₁F_1k (t) + ν^TH₂F_3,k-1 (t),

(5.13)

ψ^T2k(t,η) = λ^TH₁F_2,k+1 (t) + ν^TH₂F_4k (t),

Π^Tkψ₁(s,η) = λ^TH₁Π_kF₁ (s) + ν^TH₂Π_k-1F₃ (s) ,

Π^Tkψ₂(s,η) = λ^TH₁Π_k+1F₂ (s) + ν^TH₂Π_kF₄ (s) ,

k ≥ 0, t ∈ T, s ≤ 0.

Эти разложения будут равномерными в области ∥η - η₀∥ < ε₀, t ∈ T , где ε₀

некоторое положительное число. Отметим, что в силу формул (3.7), (4.3)

имеют место равенства:

(

)_T

(5.14)

ψ^T10(t,η₀) = ψ⁰ (t) , ψ^T20(t,η₀) = -

A₂ (t)A^-14 (t)

ψ⁰

(t), t ∈ T,

Π₀ψ₂ (s,η₀) = Πψ (s), s ≤ 0.

Управление (5.2) также допускает равномерное асимптотическое разложение

∑

(5.15)

u(t, η, µ) ∼

µ^k (u_k(t,η) + Π_ku(s,η)) , s = (t - t^∗

)/µ, t ∈ T,

k=0

где

(

)

u_k (t,η) = P^-1 (t)

B^T1 (t)ψ_1k (t,η) + B^T2 (t)ψ_2k (t,η)

(5.16)

Π_k

u(s,η) =

)

∑

s^j

(d^j

d^j

(P^-1B^T1)(t^∗)Π_k-j ψ₁(s, η) +

(P^-1B^T2)(t^∗)Π_k-jψ₂(s, η)

j! dt^j

dt^j

j=0

t ∈ T, s ≤ 0, k = 0,1,...

Поскольку наряду с формулами (3.2), (3.6), (4.2) и (5.14) имеет место равен-

ство Π₀ψ₁(s, η) = 0, то

(5.17)

u₀(t,η₀) = u⁰ (t), t ∈ T, Π₀u(s,η₀) = u^∗

(s) , s ≤ 0.

Из (5.8)-(5.10), (5.12), (5.13), (5.15) и (5.16) следует, что вектор-функции

(5.11) разлагаются в асимптотические ряды

∑

(5.18)

y(t^∗, η, µ) ∼

µ^ky_k (η) , z(t^∗,η,µ) ∼

µ^kz_k

(η),

k=0

в которых

∫t^∗

y₀(η) = F₀ (t_∗) y_∗ + F₀(t)B₀(t)u₀ (t,η) dt,

t∗

∫0

z₀(η) = -A^-14(t^∗)A₃(t^∗)y₀(η) +

G(s)B₂(t^∗)(u₀(t^∗, η) + Π₀u(s, η))ds,

-∞

∫t∗ k

(5.19)

y_k(η) = F_1k (t_∗)y_∗ + F_2k (t_∗) z_∗ +

F_1j (t)B₁ (t) u_k-j

(t, η) dt +

t∗^j=0

∑

F_2j (t)B₂ (t)u_k-j+1 (t,η) dt +

t∗^j=1

∫0

∑s^j d^j

(F_1,k-p-j-1B₁)(t^∗) Π_pu(s,η) ds +

j! dt^j

p=0

j=0

-∞

∫0

∑s^j d^j

(F_2,k-p-j-1B₂)(t^∗) Π_pu(s,η) ds +

j! dt^j

p=0 j=0

-∞

∫⁰

)

∑s^j

(d^jB₁

∂^j

Π_k-p-j-1F₁(s)

(t^∗) Π_pu (s, η) +

(B₁u_p) (t^∗, η) ds +

dt^j

∂t^j

p=0

j=0

−∞

∫0

)

∑s^j

(d^jB₂

∂^j

Π_k-p-jF₂ (s)

(t^∗) Π_pu (s, η) +

(B₂u_p) (t^∗, η) ds,

dt^j

∂t^j

p=0 j=0

−∞

k ≥ 1.

Для z_k(η), k ≥ 1, имеет место аналогичная формула с той лишь разницей, что

F_1j заменяется на F_3j, а F_2j на F_4j и что вместо Π_jF₁, Π_jF₂ соответственно

имеем Π_j F₃, Π_jF₄, j = 0, 1, . . .

С помощью теоремы о неявной функции убедимся, что система уравне-

ний (5.4) однозначно разрешима относительно η при достаточно малых µ.

Запишем (5.4) в виде

(5.20)

R(η,µ) = 0.

В силу (5.18) имеет место равномерное в области ∥η - η₀∥ < ε₀ асимптотиче-

ское разложение

∑

(5.21)

R (η, µ) ∼

µ^kR_k

(η) ,

k=0

в котором R₀(η) = (H₁y₀(η) - g₁, H₂z₀(η) - g₂), R_k(η) = (H₁y_k(η), H₂z_k(η)),

k = 1,2,... Положим R(η,0) = R₀(η), тогда вектор-функция R(η,µ) будет

непрерывной вместе со своими частными производными по компонентам век-

тора η в области ∥η - η₀∥ < ε₀, 0 ≤ µ < µ₀, где µ₀ достаточно малое поло-

жительное число.

В силу (5.17), (5.19) и формулы Коши имеем H₁y₀ (η₀) = H₁y⁰ (t^∗) = g₁.

Матричная функция G (s), s ≤ 0, является решением начальной задачи (4.5),

и поскольку G (s) → 0 при s → -∞, то

∫

G(s)B₂ (t^∗) u₀(t^∗,η₀)ds =

-∞

(5.22)

∫0

(s)A^-14 (t^∗) B₂ (t^∗)u⁰(t^∗)ds = -A^-14 (t^∗)B₂ (t^∗) u⁰(t^∗).

-∞

Вместе с тем из (5.17) и формулы Коши следует, что

∫

G(s)B₂ (t^∗) Π₀u(s,η₀)ds = z^∗ (0) .

-∞

Отсюда и из формул (4.1), (5.19), (5.22) получаем H₂z₀ (η₀) = g₂. Таким об-

разом, R (η₀, 0) = R₀ (η₀) = 0.

Непосредственным дифференцированием вектор-функции (5.19), учиты-

вая

(3.7),

(4.4),

(5.10),

(5.13),

(5.16), убеждаемся, что

∂R0 (η₀,0) /∂η =

= ∂R0 (η₀) /∂η = I₀ (см. (4.8)). Поскольку эта матрица Якоби является невы-

рожденной, то для системы (5.20) или, что то же самое, для системы (5.4)

выполнены условия теоремы о неявной функции. Согласно этой теореме в

некоторой правосторонней окрестности нуля 0 ≤ µ < µ₁ однозначно определе-

на вектор-функция η (µ) = (λ (µ) , ν (µ)), удовлетворяющая уравнениям (5.4).

Она непрерывна, и η (0) = η₀ = (λ₀, ν₀) .

Как уже отмечалось, разложение (5.21) является равномерным в области

∥η - η₀∥ < ε₀, а его коэффициенты линейные функции. Тогда для реше-

ния (λ (µ) , ν (µ)) системы (5.4) будут иметь место асимптотические разложе-

ния (5.5).

Рассмотрим управление (5.3). Оно будет допустимым в задаче (2.1)-(2.3),

поскольку для порожденной им траектории y⁰ (t, µ) = y (t, λ (µ) , ν (µ) , µ),

z⁰ (t,µ) = z (t,λ(µ),ν (µ),µ), t ∈ T, выполняются условия H₁y⁰(t^∗,µ) = g₁,

H₂z⁰(t^∗,µ) = g₂. По построению управление (5.3) является нормальной экс-

тремалью Понтрягина с вектором множителей Лагранжа (λ (µ) , µν (µ)). Ему

соответствует в силу принципа максимума вектор сопряженных перемен-

ных ψ⁰¹ (t, µ) = ψ₁(t, λ (µ) , µν (µ) , µ), ψ⁰² (t, µ) = µψ₂(t, λ (µ) , µν (µ) , µ), t ∈ T .

По доказанному в исходной задаче с достаточно малым µ существует допу-

стимое управление. Тогда эта задача имеет единственное решение [14]. Им

будет управление (5.3), поскольку в задачах минимизации выпуклых инте-

гральных функционалов на траекториях линейных систем нормальная экс-

тремаль является оптимальным управлением (см., например, [17]). Теорема

доказана.

6. Построение асимптотически субоптимальных управлений

Продолжим изложение алгоритма построения асимптотических прибли-

жений к решению задачи (2.1)-(2.3), опираясь на утверждения теоремы и

формулы, полученные при ее доказательстве.

Вектор-функция

(

)

u⁽⁰⁾(t,µ) = P^-1 (t)

B^T1 (t)ψ₁(t,η₀,µ) + B^T2 (t)ψ₂(t,η₀,µ)

t∈T,

будет асимптотически субоптимальным управлением нулевого порядка в ис-

ходной задаче. Заметим, что ее можно сформировать непосредственно после

решения базовых задач. Асимптотически субоптимальное управление N-го

порядка (N ≥ 1) имеет вид

(

)

(6.1)

u^(N)(t,µ) = P^-1 (t) B^T1 (t) ψ₁(t,η^(N) (µ),µ) + B^T2 (t)ψ₂(t,η^(N) (µ),µ) ,

где

∑

(6.2)

η^(N) (µ) =

µ^kη_k, η_k = (λ_k,ν_k

k = 1,...,N.

k=0

Для построения управления (6.1) нужно найти коэффициенты λ_k, ν_k, k =

= 1, . . . , N, асимптотических рядов (5.5), что можно сделать методом неопре-

деленных коэффициентов, опираясь на разложение (5.21). Для этого разло-

жим с помощью формулы Тейлора вектор-функцию

∑

(

)

µ^kRk η(N) (µ)

k=0

по степеням µ до порядка N включительно и приравняем коэффициенты

разложения нулю (начиная с коэффициента при µ). В результате получим

невырожденные системы линейных алгебраических уравнений для последо-

вательного нахождения векторов η_k, k = 1, . . . , N:

∑

∂R_i

(6.3)

I₀η₁ = -R₁ (η₀) , I₀η_k = -R₂ (η₀) -

(η₀) η_k-i

k ≥ 2.

∂η

i=1

Здесь учтено, что коэффициенты разложений (5.19) есть линейные вектор-

функции. Заметим, что в силу структуры (4.8) матрицы Якоби I₀ систе-

мы (6.3) расщепляются. Последовательно решая эти системы, находим век-

торы η_k, k = 1, . . . , N, и составляем полиномы (6.2). Чтобы построить управ-

ление (6.1), нужно найти решение начальной задачи (5.1) для сопряженной

системы с

∑

λ= µ^kλ_k, ν = µ^kν_k.

k=0

Сопряженная система является сингулярно возмущенной и, следовательно,

жесткой. Интегрирования жестких систем можно избежать, заменив в (6.1)

вектор-функции ψ_i (t, η, µ), i = 1, 2, их асимптотическими приближениями

∑

ψ^(N)i(t,η,µ) =

µ^k (ψ_ik (t,η) + Π_kψ_i (s,η)) ,

k=0

s = (t - t^∗)/µ, t ∈ T, i = 1,2.

Вектор-функция

(

)

u^(N)(t,µ) = P^-1 (t) B^T1 (t) ψ^(N)

t,η^(N) (µ),µ

(

))

+ BT2 (t)ψ^(N)2 t,η(N) (µ),µ

t∈T,

наряду с (6.1) будет асимптотически субоптимальным управлением N-го по-

рядка в задаче (2.1)-(2.3). В частности, как следует из (3.6), (3.7), (4.2), (5.13)

и (5.14),

(

)

u⁽⁰⁾(t,µ) = P^-1(t)

B^T0(t)ψ⁰(t) + B^T2(t)Πψ ((t - t^∗)/µ)

(6.4)

= u0 (t) + u∗ ((t - t^∗)/µ), t ∈ T.

Вектор-функция (6.4) есть асимптотически субоптималное управление нуле-

вого порядка, что также видно из формул (5.15), (5.17). Заметим, что управ-

ление (6.4) не зависит от начального состояния z_∗ вектора быстрых перемен-

ных и при малых µ будет существенно отличатся от решения u⁰(t), t ∈ T ,

первой базовой задачи лишь в пограничном слое, т.е. в некоторой левосто-

ронней окрестности точки t^∗.

Замечание 1. Для построения асимптотически субоптимального управле-

ния N-го порядка в исходной задаче достаточно найти асимптотическое при-

ближение для R (η, µ) с точностью порядка µ^N+1. Это предъявляет к гладко-

сти элементов матриц, формирующих задачу, следующее требование [16]: они

должны иметь непрерывные производные до порядка N + 1 включительно.

Замечание 2. Из доказательства теоремы видно, что допустимое управле-

ние вида (5.3) существует и в случае, когда элементы матриц, формирую-

щих динамическую систему в задаче (2.1)-(2.3), непрерывно дифференци-

руемы, а поскольку в этой задаче (y_∗, z_∗) произвольное начальное состоя-

ние, то такое предположение вместе с предположениями 1 и 3 гарантирует

управляемость динамической системы на отрезке [t_∗, t^∗] относительно под-

пространства H₁y = 0, H₂z = 0. Это утверждение в случае полной управляе-

мости (H₁ = E_n, H₂ = E_m) приводит к результату, полученному в [18].

Построенные асимптотические приближения множителей Лагранжа, ко-

торые являются решением системы уравнений (5.20), можно использовать

для нахождения оптимального управления в задаче (2.1)-(2.3) с заданным

значением µ. Для этого нужно применить процедуру доводки [19], т.е. най-

ти методом Ньютона корни системы (5.20), взяв в качестве начального при-

ближения η^(N) (µ). Чтобы избежать интегрирования жестких систем, вместо

матрицы ∂R (η, µ) /∂η можно воспользоваться ее асимптотическим прибли-

жением I₀.

7. Асимптотически субоптимальный синтез

Программные асимптотически субоптимальные управления, разумеется,

зависят от начального состояния (y_∗, z_∗, t_∗) динамической системы. Ранее та-

кая зависимость не учитывалась, поскольку начальное состояние считалось

заданным. В настоящем разделе, который посвящен построению асимптоти-

чески субоптимальной обратной связи нулевого порядка, будем интересовать-

ся именно этой зависимостью. В дальнейшем будем рассматривать матри-

цу C₁ как функцию t_∗, t_∗ < t^∗. Момент t^∗ по-прежнему считается заданным.

Из равенства (3.9) следует, что

(

)_-1

(7.1)

λ₀ =

H₁C₁ (t_∗)H^T1

(g₁ - H₁F₀(t_∗)y_∗

а так как ψ⁰ (t_∗) = F^T0 (t_∗) ψ⁰ (t^∗) = F^T0 (t_∗) HT1 λ₀, то

(7.2)

ψ⁰ (t_∗) = M₁(t_∗)(g₁ - H₁F₀(t_∗)y_∗

(

)_-1

где M₁ (t) = F^T0 (t)^T1

H₁C₁ (t)H^T1

В силу (4.1) и (4.7) справедливо равенство

(

)_-1

ν₀ =

H₂C₃H^T2

H₂z^∗ (0) =

(

)_-1 (

(

)

H₂C₃H^T2

H₂A^-14 (t^∗)

A₃ (t^∗)y⁰ (t^∗) + B₂ (t^∗)u⁰ (t^∗)

+g₂

из которого и формул (3.6) (3.10), (7.1), (7.2) следует, что

Πψ(s) = G^T(s)Πψ(0) = G^T(s)H^T2ν₀ =

(7.3)

= M₂(s)(H₂A^-14(t^∗)(A₃(t^∗)y⁰(t^∗) + B₂(t^∗)u⁰(t^∗)) + g₂

= M₂(s)(H₂A^-14(t^∗)(A₃(t^∗)F₀(t_∗)y_∗ + M₃(t_∗)(g₁ - H₁F₀(t_∗)y_∗)) + g₂), s ≤ 0,

где

(

M₂ (s) = G^T (s)H^T2

H₂C₃H^T2

)^-1 ,

(

)

(

)_-1

M₃ (t) =

A₃ (t^∗) C₁ (t) + B₂ (t^∗) P^-1 (t^∗)B^T0 (t^∗)

H^T1

H₁C₁ (t)H^T1

Как видно из (6.4), (7.2) и (7.3), асимптотически субоптимальное управ-

ление нулевого порядка в начальный момент времени представимо в виде

(

u⁽⁰⁾(t_∗,µ) = P^-1(t_∗) B^T0(t_∗)M₁ (t_∗)H₁ - B^T2(t_∗)M₂ ((t_∗ - t^∗)/µ)×

)

× H₂A^-14 (t^∗)(A₃ (t^∗) - M₃ (t_∗) H₁) F₀ (t_∗) y_∗ -

- P^-1(t_∗)(M₁ (t_∗)g₁ + M₂ ((t_∗ - t^∗) /µ) (g₂ + M₃ (t_∗) g₁)).

Поскольку (y_∗, z_∗, t_∗) произвольное начальное состояние динамической си-

стемы, то по определению 2 вектор-функция

u⁽⁰⁾(t,y,z,µ) =

(

= P^-1(t) BT0 (t)M₁(t)H₁ - BT2 (t)M₂((t - t^∗)/µ)H₂A^-14(t^∗) ×

)

(7.4)

× (A₃(t^∗) - M₃(t)H₁) F₀(t)y -

(

)

− P^-1(t) M₁(t)g₁ + M₂((t - t^∗)/µ)(g₂ + M₃(t)g₁)

представляет собой асимптотически субоптимальную обратную связь нуле-

вого порядка в исходной задаче. Отметим, что построенная обратная связь

не зависит от текущей позиции вектора быстрых переменных z.

8. Пример

Рассмотрим задачу переориентации динамически симметричного твердого

тела, вращающегося вокруг оси симметрии:

y₁ = z₁,

y₂ = z₂, µŻ₁ = -cz₁ - kz₂ + bu₁, µ Ż₂ = kz₁ - cz₂ + bu₂,

y₁ (t_∗) = y_∗1, y₂ (t_∗) = y_∗2,

z₁ (t_∗) = 0, z₂ (t_∗) = 0,

(8.1)

y₁ (t^∗) = 0, z₁ (t^∗) = 0,

∫

t∗

(

)

J (u) =

u²¹ + u²²

dt → min .

t∗

Постоянные µ, b, c, k положительны, при этом µ ≪ 1. Построим асимптоти-

чески субоптимальные управление и обратную связь нулевого порядка в этой

задаче. Предположения 1 и 2 в данном случае выполнены.

Для динамической системы в первой базовой задаче

cbu₁ - kbu₂

kbu₁ + cbu₂

y₁ =

y₂ =

c² + k²

y₁ (t_∗) = y_∗1, y₂ (t_∗) = y_∗2, y₁ (t^∗) = 0,

t∗

∫

(

)

J₁ (u) =

u²¹ + u²²

dt → min

t∗

выполнено требование (3.5) и, следовательно, выполнено предположение 3.

Оптимальное управление в этой задаче представимо в виде

cy_∗1

ky_∗1

u⁰¹ (t) = -

u⁰² (t) =

t ∈ T = [t_∗,t^∗],

b (t^∗ - t_∗)

b(t^∗ - t_∗)

и не зависит от времени.

Вторая базовая задача имеет вид

dz₁/ds = -cz₁ - kz₂ + bu₁, dz₂/ds = kz₁ - cz₂ + bu₂z₁ (0) = y_∗1/ (t^∗ - t_∗) ,

z_i (-∞) = 0, i = 1,2,

∫

(

)

J₂ (u) =

u²¹ + u²²

ds → min .

−∞

Предположение 4 в данном случае выполнено. Решением второй базовой за-

дачи является управление

2c exp(cs) cos (ks)

2c exp(cs) sin (ks)

u^∗1 (s) =

y_∗1, u^∗2 (s) =

y_∗1, s ≤ 0.

b(t^∗ - t_∗)

Согласно формуле (6.4) асимптотически субоптимальное управление ну-

левого порядка в задаче (8.1) представимо в виде

(8.2)

u⁽⁰⁾ⁱ(t,µ) = u⁰ⁱ (t) + u^∗i ((t - t^∗

) /µ) , t ∈ T, i = 1, 2.

Асимптотически субоптимальная обратная связь нулевого порядка, кото-

рая строится по формуле (7.4), имеет вид:

u⁽⁰⁾¹ (y,z,t,µ) =2cexp(c(t-t∗)/µ)cos(k(t-t∗)/µ)-cy1,

b (t^∗ - t)

(8.3)

)/µ) + k

u⁽⁰⁾² (y,z,t,µ) =2cexp(c(t-t∗)/µ)sin(k(t-t∗

y₁.

b (t^∗ - t)

Заметим, что в данном примере выражение (8.3) для асимптотически суб-

оптимальной обратной связи следует не только из общей формулы (7.4), но

и из формулы (8.2) и приведенных выше выражений для решения базовых

задач.

Для оценки качества построенных асимптотических приближений к ре-

шению задачи (7.2) были найдены состояния (y₁(t^∗, µ), z₁(t^∗, µ)), в которые

управление (8.2) (обратная связь (8.3)) переводит динамическую систему при

конкретных значениях малого параметра в случае, когда b = 4, c = 3, t_∗ = 0,

t^∗ = 4, k = 1, y_∗1 = -2, y_∗2 = 1. В частности, оказалось, что

y₁(4, 0,1) = -0,03, z₁(4, 0,1) = 0, y₁(4, 0,001) = 0,0003, z₁(4, 0,001) = 0.

Результаты вычислений приведены с точностью до 10^-6.

9. Заключение

В статье предложены и обоснованы вычислительные процедуры построе-

ния асимптотических приближений к решению рассмотренной задачи в виде

программы и обратной связи. При реализации предлагаемых алгоритмов ис-

ходная задача оптимального управления распадается на две невозмущенные

задачи меньшей размерности. Такая декомпозиция позволяет эффективно ре-

шать задачи оптимизации динамических систем с большим числом фазовых

переменных. Кроме того, вычислительные процедуры алгоритмов не содер-

жат интегрирований жестких систем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дмитриев М.Г. Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления //

АиТ. 2006. № 1. С. 3-51.

Dmitriev M.G., Kurina G.A. Singular Perturbation in Control Problems // Autom.

Remote Control. 2006. V. 67. No. 1. P. 1-43.

Калинин А.И. Асимптотика решений возмущенных задач оптимального управ-

ления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 3. C. 104-114.

Kalinin A.I. Asymptotics of the Solutions of Perturbed Optimal Control Problems //

J. Comput. Syst. Sci. 1995. V. 33. No. 6. P. 75-84.

Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. Singular Perturbations and Time Scales in

Control Theories and Applications: An Overview 2002-2012 // Int. J. Inform. Syst.

Sci. 2014. V. 9. No. 1. P. 1-36.

Kokotovic P.V., Khalil H.K. Singular Perturbations in Systems and Control.

N.Y.: IEEE Press, 1986.

Ракитский Ю.В. Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения

жестких систем. М.: Наука, 1979.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Матема-

тическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

Kokotovic P.V., Jackel R.A. Singular Perturbation of Linear Regulators: Basic The-

orems // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. V. 17. No. 1. P. 29-37.

Wilde R.R., Kokotovic P.V. Optimal Open- and Closed Loop Control of Singularly

Perturbed Linear Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. V. 18. No. 6.

P. 616-626.

Глизер В.Я., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в линейной задаче опти-

мального управления с квадратичным функционалом // Докл. АН СССР. 1975.

Т. 225. № 5. C. 997-1000.

10.

O’Malley R.E.Jr. Singular Perturbation and Optimal Control // Lect. Notes. Math.

1978. V. 680. P. 171-218.

11.

Калинин А.И., Лавринович Л.И. Применение метода малого параметра к сингу-

лярно возмущенной линейно-квадратичной задаче оптимального управления //

АиТ. 2016. № 5. С. 3-18.

Kalinin A.I., Lavrinovich L.I. Application of the Small Parameter Method to the

Singularly Perturbed Linear-Quadratic Optimal Control Problem // Autom. Remote

Control. 2016. V. 77. No. 5. P. 751-763.

12.

Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов.

М.: Наука, 1971.

13. Калинин А.И. О проблеме синтеза оптимальных систем управления // Журн.

вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 3. С. 397-402.

Kalinin A.I. To the Synthesis of Optimal Control Systems // Comput. Math. Math.

Phys. 2018. V. 58. No. 3. P. 378-383.

14. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений // Соврем. пробл.

матем. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 6. C. 207-271.

15. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир,

1972.

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингу-

лярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

17. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М: Наука, 1972

18. Giиev T.R., Dontchev A.L. Singular Perturbation in Optimal Control Problems with

Fixed Final State // Докл. Болгар. АН. 1978. Т. 31. No. 8. C. 935-955.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 2. Минск:

Изд-во Университетское, 1984.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.М. Хрусталевым.

Поступила в редакцию 27.02.2019

После доработки 23.07.2019

Принята к публикации 28.11.2019