Автоматика и телемеханика, № 6, 2020

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ОПТИМИЗАЦИЯ БИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ:

III. РОБАСТНАЯ ПОСТАНОВКА¹

Исследуется задача синтеза для билинейной системы управления при

произвольных ограниченных внешних возмущениях, содержащую струк-

турированную матричную неопределенность. Поставлены и решены за-

дачи конструктивного построения эллипсоида робастной стабилизируе-

мости и области робастной стабилизируемости билинейной системы как в

непрерывном, так и в дискретном времени; основным инструментом при

этом является техника линейных матричных неравенств.

Ключевые слова: билинейная система управления, структурированная

матричная неопределенность, ограниченные внешние возмущения, линей-

ная обратная связь, эллипсоид робастной стабилизируемости, область ро-

бастной стабилизируемости, линейные матричные неравенства.

DOI: 10.31857/S0005231020060049

1. Введение

Вопросы устойчивости, стабилизации и синтеза управления для билиней-

ных систем традиционно привлекают внимание исследователей, им уделяет-

ся большое внимание в публикациях начиная с выхода знаменитой моногра-

фии [1]. Обзоры публикаций по данной проблематике содержатся в первых

двух частях [2, 3] настоящей работы; здесь же отметим, что в литературе

известны как самые различные постановки задач, так и подходы к их реше-

нию, см. [4-16]. Так, в [9, 10] ищутся способы построения линейного управ-

ления в билинейных системах на основе достаточных условий устойчивости

квадратичных систем дифференциальных уравнений; множество публикаций

посвящено построению нелинейных законов управления для стабилизации

билинейных систем, см., например, [11-14] и др. Ряд недавних публикаций

посвящен дискретным билинейным системам управления, см. [15, 16] и др.,

однако большая их часть ограничивается вопросами управляемости. В публи-

кациях [17-19] исследуется эллипсоидальный подход к задачам стабилизации,

предполагающий построение квадратичных функций Ляпунова при помощи

техники линейных матричных неравенств [20, 21].

В публикациях [22-25] на основе техники линейных матричных неравенств

и квадратичных функций Ляпунова для билинейной системы управления, не

подверженной воздействию внешних возмущений, строился так называемый

¹ Исследование выполнено при частичной поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований, проект №18-08-00140.

эллипсоид стабилизируемости такой, что траектории замкнутой системы, на-

чинаясь внутри эллипсоида, асимптотически стремятся к нулю. В дальней-

шем это позволило эффективно конструировать невыпуклые области стаби-

лизируемости билинейных систем управления; работы [22, 23] посвящены би-

линейным системам в непрерывном времени, а публикации [24, 25] в дис-

кретном.

Публикации [2, 3] развивают подход, основанный на технике линейных

матричных неравенств в них рассматривается билинейная система управ-

ления, подверженная воздействию произвольных ограниченных внешних воз-

мущений, и вводится концепция эллипсоида стабилизируемости, обладаю-

щего тем свойством, что траектории замкнутой системы, начинаясь внутри

эллипсоида, остаются в этом эллипсоиде.

Настоящая статья, являясь непосредственным продолжением [2, 3], завер-

шает эту серию работ. В ней рассматривается билинейная система управле-

ния, подверженная воздействию произвольных ограниченных внешних воз-

мущений и содержащая структурированную матричную неопределенность.

В статье ставятся и решаются задачи робастного управления билинейными

системами при внешних возмущениях; в частности, предложен подход к кон-

структивному построению эллипсоида робастной стабилизируемости и обла-

сти робастной стабилизируемости.

Статья организована следующим образом: раздел 2 содержит вспомога-

тельный технический результат; раздел 3 посвящен построению эллипсоида

робастной стабилизируемости билинейной системы в непрерывном времени;

в разделе 4 рассматривается построение области робастной стабилизируемо-

сти; в разделе 5 полученные результаты обобщаются на случай дискретного

времени; раздел 6 содержит заключительные комментарии.

Как и ранее, несмотря на то что в работе рассматриваются системы со ска-

лярным управлением, предложенный подход в полной мере распространим и

на системы с многомерным управлением.

Всюду далее ∥·∥ евклидова норма вектора и спектральная норма матри-

цы,^⊤ символ транспонирования, I единичная матрица соответствующего

размера, а все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределен-

ности матриц.

2. Вспомогательный результат: лемма Питерсена

Хорошо известная лемма Питерсена [26] эффективно применяется в раз-

нообразных робастных постановках задач стабилизации и управления. При-

ведем ее в следующей формулировке.

Лемма 1 (Питерсен). Пусть G = G^⊤ ∈ R^n×n, а M ∈ R^n×p, N ∈ R^q×n

ненулевые матрицы. Неравенство

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ ≼ 0

справедливо для всех

Δ∈R^p×q:

∥Δ∥ ≤ 1

тогда и только тогда, когда существует число ε, такое что

G + εMM^⊤ +

N^⊤N ≼ 0.

Таким образом, лемма Питерсена сводит проверку знакоопределенности

семейства G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ с матричной неопределенностью Δ к го-

раздо более простой задаче разрешимости матричного неравенства относи-

тельно одной скалярной переменной ε.

Простое следствие леммы Питерсена представляет удобную форму запи-

си, когда неопределенность ограничена по норме некоторым (отличным от

единицы) числом δ.

Следствие 1 (Питерсен). Пусть G=G⊤ ∈R^n×n, а M ∈R^n×p, N ∈R^q×n

ненулевые матрицы. Неравенство

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ ≼ 0

справедливо для всех

Δ∈R^p×q:

∥Δ∥ ≤ δ

тогда и только тогда, когда существует число ε, такое что

G + εδ²MM^⊤ +

N^⊤N ≼ 0.

3. Эллипсоид робастной стабилизируемости

Рассмотрим билинейную систему управления

(1)

x = (A + FΔH)x + Bxu + bu + Dw, x(0) = x₀,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, F ∈ R^n×p, H ∈ R^q×n, b ∈ Rⁿ, с фазовым состоя-

нием x ∈ Rⁿ, скалярным управлением u ∈ R, внешним возмущением w ∈ R^m,

измеримым по t и ограниченным в каждый момент времени:

(2)

∥w(t)∥ ≤ γ при всех t ≥ 0,

и с матричной неопределенностью

(3)

Δ∈R^p×q

∥Δ∥ ≤ δ.

Класс возмущений (2) будем называть допустимым.

Целями раздела являются: а) построение эллипсоида робастной стабили-

зируемости билинейной системы (1), (2), замкнутой статической линейной

обратной связью

(4)

u = k^⊤x, k ∈ Rⁿ,

и б) нахождение управления вида (4) такого, для которого этот эллипсоид

максимален (по тому или иному критерию).

Напомним (см. [23]), что эллипсоид

{

}

(5)

E = x∈Rⁿ: x^⊤P^-1x≤1

P ≻ 0,

называется эллипсоидом робастной стабилизируемости, соответствующим

управлению (4), если траектория системы (1), замкнутой управлением (4),

исходя из любой точки x₀ внутри эллипсоида E, остается в нем при всех

допустимых неопределенностях Δ и всех допустимых внешних возмущени-

ях w(t).

Обратим внимание на то, что матричная неопределенность Δ не предпо-

лагается фиксированной; единственное требование ее ограниченность по

норме. Таким образом, все полученные далее результаты справедливы и для

нестационарной неопределенности ∥Δ(t)∥ ≤ δ.

Замкнув билинейную систему (1), (2) обратной связью (4), приходим к

квадратичной динамической системе

x = (A_c + FΔH + Bxk^⊤)x + Dw,

где

A_c = A + bk^⊤.

В [2] было установлено следующее достаточное условие, при котором эл-

липсоид (5) является эллипсоидом стабилизируемости для квадратичной си-

стемы.

Теорема 1

[2]. Эллипсоид (5) является эллипсоидом стабилизируемо-

сти для системы

x = (A + Bxh^⊤)x + Dw,

∥w(t)∥ ≤ γ,

если его матрица P удовлетворяет матричным неравенствам





AP + P A^⊤ + αP + εBP B^⊤ P h γD







h^⊤P

-ε

 ≼ 0,

P ≻ 0,

γD^⊤

-αI

при некоторых α и ε.

Воспользовавшись теоремой 1, приходим к соотношениям





(A_c + F ΔH)P + P (A_c + F ΔH)^⊤ + αP + εBP B^⊤ P k γD







k^⊤P

-ε

 ≼ 0,

(6)

γD^⊤

-αI

P ≻ 0,

которые должны выполняться при некоторых значениях скалярных парамет-

ров α и ε и всех допустимых неопределенностях ∥Δ∥ ≤ δ.

Первому из соотношений (6) можно придать вид





A_cP + PA^⊤c + αP + εBPB^⊤ Pk γD







k^⊤P

-ε

+

γD^⊤

-αI









PH^⊤

)

(

)

+0Δ

(HP

+ 0

Δ⊤

F^⊤

≼ 0.

Воспользовавшись следствием 1, получаем эквивалентное условие существо-

вания числа ε₁, такого что





A_cP + PA^⊤c + αP + εBPB^⊤ Pk γD







k^⊤P

-ε

+

γD^⊤

-αI









PH^⊤

(

)

+ε₁δ²0

F^⊤

0

Δ

(HP

≼0

ε₁

или по лемме Шура [27]





⊤

(A + bk^⊤)P + P (A + bk^⊤)^⊤ + αP + εBP B^⊤ + ε₁δ²F F^⊤ P k γD P H







k^⊤P

-ε





≼0.







γD^⊤

-αI



-ε₁I

Введем вспомогательную векторную переменную

y=Pk∈Rⁿ,

исключая k; при этом в силу P ≻ 0 вектор k восстанавливается единственным

образом:

k=P^-1y.

В результате приходим к матричному неравенству





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

-ε







≼0



γD^⊤

-αI



-ε₁I

со скалярными параметрами ε и α, линейному относительно матричной пе-

ременной P , векторной переменной y и скалярной переменной ε₁.

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть матрица P и вектор y удовлетворяют матричным

неравенствам





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

-ε







≼ 0,



γD^⊤

-αI



-ε₁I

P ≻ 0,

при некоторых значениях скалярной переменной ε₁ и скалярных парамет-

ров ε и α.

Тогда линейная обратная связь (4) c регулятором

k=P^-1y

робастно стабилизирует систему (1) внутри эллипсоида

{

}

E = x∈Rⁿ: x^⊤P^-1x≤1

при всех допустимых внешних возмущениях (2) и матричных неопределен-

ностях (3).

Понятно, что не при любом размахе внешних возмущений γ эллипсоид

стабилизируемости для системы (1), (2) будет существовать. Ответ на вопрос

о максимально допустимом размахе γ дается следующим утверждением.

Теорема 3. Максимальный размах γ внешних возмущений (2) в систе-

ме (1), при котором эллипсоид стабилизируемости существует, дается ре-

шением задачи

max γ

при ограничениях





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

-ε







≼ 0,



γD^⊤

-αI



-ε₁I

P ≻ 0,

где оптимизация проводится относительно матричной переменой

P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярных переменных γ

и ε₁ и скалярных параметров ε и α.

Естественно стремиться максимизировать эллипсоид стабилизируемости

по некоторому критерию. В частности, максимизируя (при γ ≤ γ) объем эл-

липсоида, получаем следующее следствие из теоремы 2.

Следствие 2. Пуст

P, y решение задачи выпуклой оптимизации

max log det P

при ограничениях





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

-ε







≼ 0,



γD^⊤

-αI



-ε₁I

P ≻ 0,

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной перемен-

ной y ∈ Rⁿ, скалярной переменной ε₁ и скалярных параметров ε и α.

Тогда эллипсоид

{

}

E = x∈Rⁿ: x

P^-1x ≤ 1

является эллипсоидом робастной стабилизируемости для билинейной си-

стемы (1), замкнутой линейной обратной связью с регулятором

P^-1y,

при всех допустимых внешних возмущениях (2) и матричных неопределен-

ностях (3).

Замечание 1. В том случае когда матрица B единичная (или может

быть приведена к единичной с помощью линейного преобразования), можно

избежать необходимости проведения оптимизации на двумерной сетке. В са-

мом деле, при этом первое из матричных неравенств в оптимизационной за-

даче из следствия 2 примет вид





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εP + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

-ε







≼ 0.



γD^⊤

-αI



-ε₁I

Вводя новую скалярную переменную

µ=α+ε

и тем самым исключая ε, получаем матричное неравенство





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + µP + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

α-µ







≼0



γD^⊤

-αI



-ε₁I

со скалярным параметром µ, линейное относительно матричной переменной

P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной переменной y ∈ Rⁿ и скалярных переменных α

иε₁.

4. Область робастной стабилизируемости

В разделе 3 был найден максимальный (по критерию объема) эллипсо-

ид робастной стабилизируемости E для системы (1), (2). Следуя [3], введем

в рассмотрение множество, образованное объединением эллипсоидов робаст-

ной стабилизируемости; естественно назвать его областью робастной ста-

билизируемости системы (1), (2). Очевидно, что область робастной стаби-

лизируемости будет обладать тем же свойством, что и каждый образующий

ее эллипсоид робастной стабилизируемости траектория системы, исходя-

щая из любой точки x₀ внутри этой области, будет оставаться в ней при всех

допустимых внешних возмущениях (2) и всех допустимых неопределенно-

стях Δ. Следует подчеркнуть, что в отличие от эллипсоида робастной стаби-

лизируемости, всем точкам которого соответствует общий стабилизирующий

регулятор, здесь ситуация принципиально иная: различным точкам области

робастной стабилизируемости могут соответствовать различные регуляторы,

робастно стабилизирующие билинейную систему (1).

Отметим, что поскольку область робастной стабилизируемости является

объединением эллипсоидов робастной стабилизируемости, то в общем случае

она может оказаться невыпуклой.

В рамках техники линейных матричных неравенств по произвольному век-

тору c можно эффективно построить точку, лежащую на границе области ро-

бастной стабилизируемости системы по направлению c: выберем направление,

определяемое вектором c единичной длины, и будем требовать принадлежно-

сти точки ρc эллипсоиду робастной стабилизируемости, максимизируя пара-

метр ρ. Поскольку условие принадлежности точки ρc эллипсоиду робастной

стабилизируемости с матрицей P представимо по лемме Шура в линейном

относительно P и ρ виде

(

)

ρc^⊤

≽ 0,

ρc P

приходим к следующему результату, устанавливающему простую характери-

зацию области робастной стабилизируемости билинейной динамической си-

стемы, подверженной воздействию внешних возмущений.

Теорема 4. Пусть c заданный вектор и пусть ρ решение задачи

max ρ

при ограничениях





AP + P A^⊤ + by^⊤ + yb^⊤ + αP + εBP B^⊤ + ε₁δ²F F^⊤ y γD P H^⊤







y^⊤

-ε







≼ 0,



γD^⊤

-αI



-ε₁I

(

)

ρc^⊤

≽ 0,

ρc P

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n,

векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярным переменным ρ и ε₁ и скалярным

параметрам ε и α.

Тогда точка ρc лежит на границе области робастной стабилизируемо-

сти системы (1), (2) по направлению c.

5. Система в дискретном времени

Рассмотрим билинейную систему управления в дискретном времени

(7)

x_ℓ+1 = (A + FΔH)x_ℓ + Bx_ℓu_ℓ + bu_ℓ + Dw_ℓ,

где A, B ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, F ∈ R^n×p, H ∈ R^q×n, b ∈ Rⁿ, с начальным со-

стоянием x₀, фазовым состоянием x_ℓ ∈ Rⁿ, скалярным управлением u_ℓ ∈ R,

внешним возмущением w_ℓ ∈ R^m, удовлетворяющим ограничению

(8)

∥w_ℓ

∥ ≤ γ при всех ℓ = 0,1,2,... ,

и с матричной неопределенностью

(9)

Δ∈R^p×q

∥Δ∥ ≤ δ.

Как и в разделе 3, цель состоит: а) в построении эллипсоида робастной

стабилизируемости билинейной системы (7), (8), замкнутой статической ли-

нейной обратной связью

(10)

u_ℓ = k^⊤x_ℓ, k ∈ Rⁿ,

и б) в нахождении управления вида (10) такого, для которого этот эллипсоид

максимален по некоторому критерию.

Определение эллипсоида робастной стабилизируемости для дискретной

системы остается практически таким же: эллипсоид

{

}

(11)

E = x∈Rⁿ: x^⊤P^-1x≤1

P ≻ 0,

называется эллипсоидом робастной стабилизируемости для системы (7), со-

ответствующим управлению (10), если траектория системы (7), замкнутой

управлением (10), исходя из любой точки x₀ внутри эллипсоида E, остается в

нем при всех допустимых неопределенностях Δ и всех допустимых внешних

возмущениях w_ℓ.

Замкнув билинейную систему (7), (8) статической линейной обратной свя-

зью (10), приходим к дискретной квадратичной

x_ℓ+1 = (A_c + FΔH + Bx_ℓk^⊤)x_ℓ + Dw_ℓ,

где A_c = A + bk^⊤.

В [2] установлено следующее достаточное условие, при котором эллипсо-

ид (11) является эллипсоидом стабилизируемости для дискретной квадратич-

ной системы, т. е. имеет место следующий результат.

Теорема 5

[2]. Эллипсоид (11) является эллипсоидом стабилизируемо-

сти для системы

x_ℓ+1 = (A + Bx_ℓh^⊤)x_ℓ + Dw_ℓ,

∥w_ℓ∥ ≤ γ,

если его матрица P удовлетворяет матричным неравенствам





-αP

Ph PA^⊤







-P









-(1 - α)I

γD^⊤





≼ 0,

P ≻ 0,







PB^⊤

-εP

PB^⊤





h⊤P

-^1εI



γD

-P

при некоторых α и ε.

Воспользовавшись теоремой 5, приходим к соотношениям





-αP

Ph P(A_c + FΔH)^⊤







-P









-(1 - α)I

γD^⊤







≼ 0,





(12)



PB^⊤

-εP

PB^⊤







 h^⊤P

-^1εI



(A_c + F ΔH)P

γD

-P

P ≻ 0,

которые должны выполняться при некоторых значениях скалярных парамет-

ров α и ε и всех допустимых неопределенностях (9).

Первому из соотношений (12) можно придать вид





⊤

-αP

Pk PA





-P











-(1 - α)I

γD^⊤







+

PB^⊤

-εP

PB^⊤













k^⊤P



A_cP

γD

-P









PH^⊤

0













)

(

)

0







Δ

(HP



Δ^⊤

F^⊤

≼ 0.

0











0

Вновь воспользовавшись следствием 1, получаем эквивалентное условие

существования числа ε₁, такого что





⊤

-αP

Pk PA





-P











-(1 - α)I

γD^⊤







+

PB^⊤

-εP

PB^⊤













k^⊤P



A_cP

γD

-P









PH^⊤

0













(

)

0





+ε₁δ² 



F^⊤





(HP

≼0

0

ε₁













или по лемме Шура





-αP

Pk P(A + bk^⊤)^⊤

PH^⊤







-P











-(1 - α)I

γD^⊤











PB^⊤

-εP

PB^⊤



≼ 0.











k^⊤P











(A+bk⊤)P

γD

-P + ε₁δ²FF^⊤



-ε₁I

Введем вспомогательную векторную переменную

y=Pk∈Rⁿ,

исключая k; при этом в силу P ≻ 0 вектор k восстанавливается единственным

образом:

k=P^-1y.

В результате приходим к матричному неравенству





-αP

PA^⊤ +yb^⊤ PH^⊤







-P









-(1 - α)I

γD^⊤













PB^⊤

-εP

PB^⊤



≼0











y^⊤











AP + by^⊤

γD

-P + ε₁δ²FF^⊤



-ε₁I

со скалярными параметрами ε и α, линейному относительно матричной пе-

ременной P и векторной переменной y.

Таким образом, получен следующий результат.

Теорема 6. Пусть матрица P и вектор y удовлетворяют матричным

неравенствам





-αP

PA^⊤+yb^⊤ PH^⊤







-P









-(1 - α)I

γD^⊤













PB^⊤

-εP

PB^⊤



≼ 0, P ≻ 0,











y^⊤











AP + by^⊤

γD

-P +ε₁δ²FF^⊤



-ε₁I

при некоторых значениях скалярных параметров ε и α.

Тогда линейная обратная связь (10) c регулятором

k=P^-1y

робастно стабилизирует систему (7) внутри эллипсоида

{

}

E = x_ℓ ∈Rⁿ: x^⊤ℓP^-1x_ℓ ≤1

при всех допустимых внешних возмущениях (8) и матричных неопределен-

ностях (9).

Как и выше, эллипсоид стабилизируемости для системы (7), (8) существу-

ет не при любом размахе внешних возмущений γ. Ответ на вопрос о мак-

симально допустимом размахе γ дается следующим дискретным аналогом

теоремы 3.

Теорема 7. Максимальный размах γ внешних возмущений (8) в систе-

ме (7), при котором эллипсоид стабилизируемости существует, дается ре-

шением задачи

max γ

при ограничениях





-αP

PA^⊤+yb^⊤ PH^⊤







-P











-(1 - α)I

γD^⊤











PB^⊤

-εP

PB^⊤

≼ 0, P ≻ 0,











y^⊤











AP + by⊤

γD

-P+ε₁δ²FF^⊤



-ε₁I

где оптимизация проводится относительно матричной переменой P =

= P^⊤ ∈ R^n×n, векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярных переменных γ и ε₁

и скалярных параметров α и ε.

Как и в непрерывном случае, максимизируя (для допустимого γ ≤ γ) объ-

ем эллипсоида, получаем следующее следствие из теоремы 6.

Следствие 3. Пуст

P, y решение задачи выпуклой оптимизации

max log det P

при ограничениях





-αP

PA^⊤ +yb^⊤ PH^⊤







-P









-(1 - α)I

γD^⊤













PB^⊤

-εP

PB^⊤



≼ 0,











y^⊤











AP + by^⊤

γD

-P + ε₁δ²FF^⊤



-ε₁I

P ≻ 0,

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n, векторной перемен-

ной y ∈ Rⁿ, скалярной переменной ε₁ и скалярных параметров ε и α.

Тогда эллипсоид

{

}

E = x∈Rⁿ: x

P^-1x ≤ 1

является эллипсоидом робастной стабилизируемости для билинейной си-

стемы (7), замкнутой линейной обратной связью (10) с регулятором

P^-1y,

при всех допустимых внешних возмущениях (8) и матричных неопределен-

ностях (9).

Наконец, следующая теорема является дискретной версией теоремы 4.

Теорема 8. Пусть c заданный вектор и пусть ρ решение задачи

max ρ

при ограничениях





-αP

PA^⊤ +yb^⊤ PH^⊤







-P









-(1 - α)I

γD^⊤













PB^⊤

-εP

PB^⊤



≼ 0,











y^⊤











AP + by^⊤

γD

-P + ε₁δ²FF^⊤



-ε₁I

(

)

ρc^⊤

≽ 0,

ρc P

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n,

векторной переменной y ∈ Rⁿ, скалярным переменным ρ и ε₁ и скалярным

параметрам α и ε.

Тогда точка ρc лежит на границе области робастной стабилизируемо-

сти системы (7), (8) по направлению c.

6. Заключение

В статье введены понятия эллипсоида робастной стабилизируемости и об-

ласти робастной стабилизируемости билинейной системы управления, под-

верженной воздействию произвольных ограниченных внешних возмущений

и содержащей структурированную матричную неопределенность; предложен

простой и легкореализуемый с вычислительной точки зрения подход к их

конструктивному построению.

Полученные результаты могут быть обобщены на системы с многомерным

управлением и на задачи синтеза линейной обратной связи по выходу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Mohler R.R. Bilinear Control Processes. N.Y.: Acad. Press, 1973.

Хлебников М.В. Оптимизация билинейной системы управления при внешних

возмущениях: I // АиТ. 2019. № 2. С. 46-63.

Khlebnikov M.V. Optimization of Bilinear Control Systems Subjected to Exogenous

Disturbances: I // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 2. P. 234-249.

Хлебников М.В. Оптимизация билинейной системы управления при внешних

возмущениях: II // АиТ. 2019. № 8. С. 29-43.

Khlebnikov M.V. Optimization of Bilinear Control Systems Subjected to Exogenous

Disturbances: II // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 8. P. 1390-1402.

Ryan E., Buckingham N. On Asymptotically Stabilizing Feedback Control of Bilinear

Systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1983. V. 28. No. 8. P. 863-864.

Chen L.K., Yang X., Mohler R.R. Stability Analysis of Bilinear Systems // IEEE

Trans. Automat. Contr. 1991. V. 36. No. 11. P. 1310-1315.

Čelikovský S. On the Global Linearization of Bilinear Systems // Syst. Control Lett.

1990. V. 15. No. 5. P. 433-439.

Čelikovský S. On the Stabilization of the Homogeneous Bilinear Systems // Syst.

Control Lett. 1993. V. 21. No. 6. P. 503-510.

Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели для некоторых

классов билинейных систем с линейным входом // ДАН. Теория управления.

2004. Т. 398. № 1. С. 38-43.

Belozyorov V.Y. Design of Linear Feedback for Bilinear Control Systems // Int. J.

Appl. Math. Comput. Sci. 2002. V. 11. No. 2. P. 493-511.

10.

Belozyorov V.Y. On Stability Cones for Quadratic Systems of Differential Equa-

tions // J. Dyn. Control Syst. 2005. V. 11. No. 3. P. 329-351.

11.

Andrieu V., Tarbouriech S. Global Asymptotic Stabilization for a Class of Bilinear

Systems by Hybrid Output Feedback // IEEE Trans. Automat. Contr. 2013. V. 58.

No. 6. P. 1602-1608.

12.

Coutinho D., de Souza C.E. Nonlinear State Feedback Design with a Guaranteed Sta-

bility Domain for Locally Stabilizable Unstable Quadratic Systems // IEEE Trans.

Circ. Syst. I. 2012. V. 59. No. 2. P. 360-370.

13.

Omran H., Hetel L., Richard J.-P., et al. Stability Analysis of Bilinear Systems under

Aperiodic Sampled-Data Control // Automatica. 2014. V. 50. No. 4. P. 1288-1295.

14.

Kung C.-C., Chen T.-H., Chen W.-C., et al. Quasi-Sliding Mode Control for a Class

of Multivariable Discrete Time Bilinear Systems // Proc. IEEE Int. Conf. on Sys-

tems, Man, and Cybernetics (SMC). Seoul, Korea. October 2012. P. 1878-1883.

15.

Athanasopoulos N., Bitsoris G. Constrained Stabilization of Bilinear Discrete-Time

Systems Using Polyhedral Lyapunov Functions // Proc. 17th IFAC World Congress.

Seoul, Korea, July 6-11, 2008. P. 2502-2507.

16.

Athanasopoulos N., Bitsoris G. Stability Analysis and Control of Bilinear Discrete-

Time Systems: A Dual Approach // Proc. 18th IFAC World Congress. Milano, Italy,

August 28-September 2, 2011. P. 6443-6448.

17.

Tibken B., Hofer E.P., Sigmund A. The Ellipsoid Method for Systematic Bilinear

Observer Design // Proc. 13th IFAC World Congress. San Francisco, USA, June 30-

July 5, 1996. P. 377-382.

18.

Tarbouriech S., Queinnec I., Calliero T.R., et al. Control Design for Bilinear Sys-

tems with a Guaranteed Region of Stability: An LMI-Based Approach // Proc. 17th

Mediterranean Conf. on Control & Automation (MED’09). Thessaloniki, Greece.

June 2009. P. 809-814.

19.

Amato F., Cosentino C., Merola A. Stabilization of Bilinear Systems via Linear State

Feedback Control // IEEE Trans. Circ. Syst. II: Express Briefs. 2009. V. 56. No. 1.

P. 76-80.

20.

Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., et al. Linear Matrix Inequalities in System and

Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

21.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАНД, 2014.

22.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // 14th Eur.

Control Conf. (ECC’15). Linz, Austria, July 15-17, 2015. IEEE Catalog Number

(USB): CFP1590U-USB. P. 160-164.

23.

Хлебников М.В. Квадратичная стабилизация билинейной системы управле-

ния // АиТ. 2016. № 6. С. 47-60.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // Autom.

Remote Control. 2016. V. 77. No. 6. P. 980-991.

24.

Хлебников М.В. Квадратичная стабилизация дискретной билинейной системы

управления // АиТ. 2018. № 7. С. 59-79.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Discrete-Time Bilinear Systems // Au-

tom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 7. P. 1222-1239.

25.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Discrete-Time Bilinear Control Sys-

tems // 2018 Eur. Control Conf. (ECC18). Limassol, Cyprus, June 12-15, 2018.

IEEE Catalog Number (USB): CFP1890U-USB. P. 201-205.

26.

Petersen I.R. A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems //

Syst. Control Lett. 1987. V. 8. P. 351-357.

27.

Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 28.08.2019

После доработки 20.10.2019

Принята к публикации 28.11.2019