Автоматика и телемеханика, № 6, 2020

Робастное, адаптивное и сетевое

управление

П.В. ЛЫСЕНКО (pashlys@yandex.ru),

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СИНХРОНИЗАЦИЯ И КОЛЛЕКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГРУППЫ

СЛАБО СВЯЗАННЫХ ИДЕНТИЧНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ¹

Изучаются явления синхронизации большого количества слабо связан-

ных осцилляторов при наличии диссипативных связей. Эти связи учиты-

ваются в уравнениях динамики системы в форме диффузионных мат-

риц и обеспечивают ассимптотически устойчивые колебания ансамбля

как единого целого. В качестве примеров рассмотрены три типа взаимо-

действия осцилляторов: “каждый с каждым”, “с ближайшими соседями”

и “кольцевое с ближайшими соседями”.

Ключевые слова: линейные системы, синхронизация, слабо связанные ос-

цилляторы, мультиагентные системы.

DOI: 10.31857/S0005231020060050

1. Введение

Синхронизация процессов приведение двух или нескольких процессов к

такому их протеканию, когда определенные стадии разных процессов совер-

шаются в определенном порядке или одновременно. Синхронизация возни-

кает в тех случаях, когда параллельно протекающим процессам необходимо

взаимодействовать. Синхронизация колебательных систем давно извест-

ный человечеству феномен, широко распространенный в биологии, технике

и обществе. Механические часы и метрономы, лазеры, стрекочущие сверчки,

клетки сердца, аплодирующие зрители лишь некоторые примеры систем,

проявляющих тенденцию к синхронному поведению. Оказалось, что эти и

многие другие случаи могут быть объединены и объяснены в рамках единой

теории.

Христиан Гюйгенс был первым исследователем, описавшим явление син-

хронизации еще в XVII в. Во время морских испытаний механических маят-

никовых часов он заметил, что, будучи подвешенными на общей опоре, часы

рано или поздно начинают двигаться так, что их фазы становятся строго

противоположны друг другу: в тот момент, когда один маятник отклонен

максимально влево, другой отклонен строго вправо. К такому движению ма-

ятники приходили вне зависимости от разницы их начальных фаз. Назвав

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы Президиума

РАН № 7.

открытое явление “симпатией часов”, Гюйгенс дал ему качественное объяс-

нение, правильно указав на причину такого поведения связь двух часов

через общую опору, балку.

С тех пор это явление, получив название синхронизации, было открыто во

всех областях науки и техники от акустики до биологии. Ярким примером

являются колебания свечения светлячков на берегах реки Амазонки. Изна-

чально “переключаясь” хаотически, светлячки каким-то образом чувствуют

друг друга, начиная, подобно хлопающим в унисон аплодирующим зрителям

после концерта, зажигаться и гаснуть синфазно, производя впечатление еди-

ного живого организма. Другие примеры синхронизации в биологических си-

стемах могут быть найдены, например, в [1]. Будем понимать синхронизацию

как подстройку ритмов осциллирующих объектов за счет слабого взаимодей-

ствия между ними [2]. При этом важно, чтобы осцилляции каждого объекта

были самоподдерживающимися, т.е. происходили бы без внешнего источни-

ка. Взаимодействие осцилляторов определяется степенью связи между ними.

Уже приведенный случай взаимодействия механических часов посредством

опоры обусловлен слабой связью. В публикациях синхронизацией в общем

случае называется совпадение частот осцилляторов. Установившиеся фазы

при этом ведут себя двояко, в системе наблюдается либо синфазное, либо про-

тивофазное движение. В первом случае фазы объектов совпадают (или почти

совпадают), а во втором отличаются на π. Первой моделью синхронизации

следует считать модель Артура Уинфри, датируемую 60-ми годами XX в.

Он стремился описать коллективную синхронизацию в больших группах ос-

циллирующих объектов, исходя из того, что все объекты почти идентичны и

связь между ними является слабой. В его модели фаза каждого осциллятора

зависит от суммарного воздействия остальных объектов группы:





∑

˙θ_i = ω_i +

X(θ_j ) Z(θ_i), i = 1, . . . , N,

j=1, j=i

где θ_i

фаза i-го осциллятора, ω_i собственная частота i-го осциллятора,

N количество осцилляторов. Чувствительность осциллятора к коллектив-

ному движению характеризуется функцией Z, а его собственный вклад в

общее движение функцией X.

Уинфри исследовал эту модель с помощью компьютерного моделирова-

ния и аналитических приближений. Он сделал ряд качественных выводов

о возможностях синхронизации в зависимости от силы связи между объек-

тами и распределения частот объектов. В дальнейшем Йошики Курамото

заинтересовался результатами Уинфри и начал работать над коллективной

синхронизацией начиная с 1975 г. Исходя из тех же положений, что и его

предшественник, он упростил модель и показал, что поведение систем может

быть описано моделью

∑

θ_i = ω_i +

Гij (θj - θi), i = 1, . . . , N,

j=1

где функция Г_ij определяет связь между осцилляторами i и j.

Впоследствии это выражение приобрело вид

∑

sin(θ_j - θ_i), i = 1, . . . , N,

j=1

где коэффициент K характеризует силу связи между осцилляторами, став

общеизвестной моделью Курамото, которая заняла доминирующее положе-

ние в области работ по синхронизации. Несмотря на кажущуюся простоту

идеи, стоящей за этой моделью, она представляет большой интерес и ее ис-

следованию и численным экспериментам посвящено множество публикаций

(см. [2, 3]). Как видим, связь осцилляторов в данной модели является нели-

нейной, тогда как линейным моделям в контексте синхронизации в публи-

кациях уделялось меньшее внимание. Они упоминаются, например, в [2, 4].

В [5-7] рассмотрены колебания в системе осцилляторов под действием упру-

гих сил связи и описан известный эффект перекачки энергии между осцил-

ляторами, а также гашение колебаний в случае наличия диссипативной вяз-

коупругой связи между осцилляторами и при взаимодействии с жестко за-

крепленной средой.

В последние годы данное направление науки активно развивается как тео-

рия мультиагентных систем. Синхронизация линейных систем второго поряд-

ка рассматривается в [8, 9] с приложением к механическим системам и энер-

гетическим сетям, в которых также известны явления синхронизации фазы

и уход основной частоты под нагрузкой. Общий критерий устойчивости для

систем такого рода указан в [10]. В рамках сложившейся терминологии син-

хронное движение связанных объектов системы называется консенсусом, а

алгоритмы управления, приводящие систему к такому движению, алгорит-

мами консенсуса. В [8] рассматриваются системы с диффузионно-связанными

объектами. Используя язык матриц Лапласа, лапласовских потоков в графе и

произведение матриц Кронекера, авторы [8] приводят и доказывают теорему

о синхронизации, которая говорит о собственных числах матриц, описываю-

щих динамическую систему. Однако в [8] не приводится качественных оценок

параметров движения объектов, соответствующих разным собственным чис-

лам. Кроме того, основной упор делается на внешнее управление системами

и алгоритмы консенсуса.

В настоящей статье предлагается подход к описанию явления синхрони-

зации в системе линейно связанных идентичных осцилляторов с упругими и

вязкоупругими связями при наличии и отсутствии массивной среды передачи

взаимодействия. Будут рассмотрены взаимодействия осцилляторов “каждый

с каждым”, “с ближайшими соседями” и “кольцевое взаимодействие с бли-

жайшими соседями”. Эти взаимодействия будут описаны при помощи диф-

фузионных матриц, и будет исследована скорость установления консенсуса в

зависимости от устройства этих матриц и, как следствие, их собственных чи-

сел. Для обсуждаемых матриц будут получены результаты, которые расши-

ряют и дополняют результаты, известные для классических матриц Тёплица,

представленных, например, в [11].

2. Слабое вязкоупругое взаимодействие осцилляторов друг с другом

2.1. Уравнения движения группы синхронных осцилляторов

при наличии слабого вязкоупругого взаимодействия

Рассмотрим систему синхронных осцилляторов, состоящую из N осцилля-

торов одной основной единичной частоты, связанных между собой слабыми

вязкоупругими связями. Пронумеруем все осцилляторы по порядковому но-

меру i, так что i = 1, . . . , N. Пусть x_i является координатой i-го осциллятора,

тогда вязкоупругая сила, действующая со стороны всех осцилляторов на i-й,

равна

∑

Fi = - kij (xi - xj ) - 2 αij ( xi - xj),

j=1

i, j = 1, . . . , N, а k_ij , α_ij ≥ 0.

Движение группы осцилляторов описывается системой линейных диффе-

ренциальных уравнений (ЛДУ) следующего вида

∑

(2.1)

x_i = -x_i - k_ij(x_i - x_j) - 2

α_ij( x_i - x_j

), i = 1, . . . , N.

j=1

∑_N

Слабость связи определяется условиями

k_ij ≪ 1,

α_ij ≪ 1 для всех

j=1

i = 1,...,N, взаимность связи

условиями k_ij = k_ji, α_ij = α_ji для всех

i, j = 1, . . . , N .

Через H обозначим сумму энергий осцилляторов без учета энергии взаи-

модействия их друг с другом, т.е.

∑(

)

(2.2)

H =

x²ⁱ + x²ⁱ

i=1

Потенциальная энергия слабого вязкоупругого взаимодействия определяется

выражением

∑

(2.3)

U =

k_ij (x_i - x_j)² .

i,j=1, i>j

Полная энергия системы равна H + U.

2.2. Преобразование уравнений движения

В тензорных обозначениях, где ведется суммирование по повторяющимся

индексам, система уравнений движения принимает вид

(2.4)

x_i(t) = -E_ijx_j(t) - K_ijx_j(t) - 2Φ_ij x_j

(t),

где E единичная матрица. Матрицы K, Φ являются симметрическими,

причем

Φ_ij = α_ij, K_ij = k_ij при i = j

∑

Φ_ii = -

α_ij, K_ii = -

k_ij.

j=1, i=j

В дальнейшем будем исследовать случай, когда Φ = αA, K = βA, где α,

β константы. Тогда уравнение (2.4) примет вид

(2.5)

x_i(t) = -E_ijx_j(t) - βA_ijx_j(t) - 2αA_ij x_j

(t).

3. Основные положения

3.1. Собственные числа системы (2.5)

Справедлива лемма 1.

Лемма 1. Характеристическое уравнение, порожденное системой (2.5),

(3.1)

det(σ²E_ij + 2σαA_ij + E_ij + βA_ij

) = 0,

имеет решения вида

√

(3.2)

σ_i = -αλ_i ± i

1+βλ_i -α²λ²ⁱ

i = 1,...,N,

где λ_i собственные числа матрицы A.

Далее, чтобы определить динамику системы (2.5), нужно найти собствен-

ные числа матрицы A.

Лемма 2. Хотя бы одно из собственных чисел матрицы A равно нулю.

3.2. Динамика систем (2.4)-(2.5)

Лемма 3. Для системы ЛДУ вида (2.4) с любыми отличными от три-

виальных начальными условиями существует решение, соответствующее

коллективному периодическому движению центра масс с периодом 2π.

Лемма 4. Если λ_i > 0 для ∀ i = 2,...,N, а λ₁ = 0, то для любого началь-

ного положения системы (2.5) при t → ∞ остается только синхронизованное

коллективное движение.

Леммы 1-4 известны как теорема о синхронизации [8].

Пусть начальное состояние системы (2.5) задается векторами x_i(0) = x⁰ⁱ,

x_i(0) = x⁰ⁱ. Тогда начальное состояние для коллективного движения задается

∑_N

векторами X(0) =

x_i(0) = X⁰,

X(0) =∑Ni=1 x_i(0) =

X⁰.

i=1

Энергия системы осцилляторов в начальный момент времени была равна

∑(

)

(3.3)

H(0) =

x²ⁱ(0) + x²ⁱ(0)

i=1

На бесконечном горизонте времени все осцилляторы движутся синхронно и

в системе осцилляторов остается энергия, равная начальной энергии коллек-

тивного движения, а именно

∑(

)

(

)

(3.4)

H^∗ =

X²(0) +X2(0) =

X²(0) +X2(0)

2N²

i=1

Соотношение (3.4) может быть переписано в виде

(

)₂

(

)₂

∑

(3.5)

H^∗ =



x_i(0)

.

i=1

Следствие 1. Из сравнения (3.3) и (3.5) следует, что

H(0) ≥ H^∗,

причем знак равенства возможен, только если x_i(0) = x_j(0), x_i(0) = x_j(0)

для любых i, j = 1, . . . , N .

Действительно,





∑

H(0) - H^∗ =



(x_i(0) - x_j(0))² +

(x_i(0) - x_j(0))2 ≥ 0.

i,j=1, i>j

4. Примеры матриц взаимодействия

4.1. Идентичное взаимодействие осцилляторов каждый с каждым

Предположим, что каждый из осцилляторов взаимодействует с каждым

одинаково, тогда матрица A имеет вид





N-1

-1

-1 ...

-1





−1

N-1

-1

-1 ...

-1











−1

-1

N - 1 -1 ...

-1



(4.1)













 -1

-1

-1 ...

-1 N - 1

-1



−1

-1

-1 ...

-1

N -1

Такая матрица A описана в монографии [12] как матрица простой сим-

метричной системы. В [12] исследованы ее собственные числа и указан ис-

следуемый в данной статье случай a = (n - 1)b, перекрестные связи между

осцилляторами в этом случае называются синхронизирующими.

Лемма 5. Матрица A имеет два собственных значения, а именно:

λ^A = 0 кратности единица и λ^A = N кратности N - 1.

Согласно леммам 1 и 5 динамика системы (2.5) обуславливается собствен-

√

ными числами σ_1,2 = ±i кратности единица и σ_3,4 = -αN ± i

1+βN-α²N²

кратности N - 1.

Результат моделирования динамики системы осцилляторов в случае

N = 32 показан на рис. 1.

4.2. Идентичное взаимодействие осцилляторов

с ближайшими соседями

Пусть матрица A имеет вид





-1



−1

-1













-1

-1 ...



(4.2)



.





0

-1



-1

Вместо матрицы A подвергнем исследованию матрицу B = 2E - A, кото-

рую выпишем в явном виде





















(4.3)



.





0000



Собственные значения матрицы B находятся по свойству собственных значе-

ний матриц, приведенному в доказательстве леммы 5, а именно λ^Bi = 2 - λ_i.

Пусть N размер квадратной матрицы B. Обозначим через

GN (λ) = det(B - λE)

характеристические полиномы матрицы B.

Теорема 1. Функции G_N(λ) при различных фиксированных N ≥ 3 удо-

влетворяют рекуррентной формуле



 G_N+1(λ) = -λG_N(λ) - G_N-1(λ),

(4.4)

G₃(λ) = (1 - λ)(λ - 2)(1 + λ),



G₂(λ) = λ(λ - 2).

Лемма 6. Члены последовательности (4.4) имеют формулу общего чле-

на вида





(

√

)_N

(

√

)_N

2-λ

λ² - 4

-λ -

λ² - 4

(4.5)

√

 -λ+

.

GN (λ) =

λ² - 4

100

120

Рис. 2. Распределение собственных чисел матрицы A для N = 8.

Проведем сравнение полученного результата с результатом в [11, с. 219].

Матрица B - λE похожа на матрицу Тёплица A из [11], за исключени-

ем первого и последнего диагональных элементов. В терминах [11] b = -λ,

a = c = 1, а первый и последний диагональные элементы равны

1 - λ.

Нетрудно видеть, что формула (4.5) аналогична формуле из факта 3.20.7

монографии [11] в случае b² = 4ac за исключением степени, равной N вместо

N + 1 и дополнительного коэффициента 2 - λ.

Пример расположения на числовой оси собственных чисел, которые явля-

ются решением уравнения G_N (λ) = 0, приведен на рис. 2.

Лемма 7. Пусть матрицы A и B имеют размеры N × N, где N = 2ⁿ,

n ≥ 2 и G₂n(λ) = det(B - λE). Тогда

)

(G²

(λ)

2^n-1

G₂n (λ) = G₂n-1 (λ) ·

-2

(4.6)

G²

(λ)

2^n-2

где G₂1 (λ) = λ(λ - 2), G₂0 (λ) ≜ λ,

или, что то же самое,

(

)

∏

G²

(λ)

2^k-1

G₂n (λ) = G₂1 (λ) ·

-2

G²

(λ)

k=2

2^k-2

при этом вычисленное по матрице B - λE значение G₂0 (λ) = 1 - λ и отли-

чается от допущения в формуле (4.6).

Лемма 8. Если λ^B

собственные числа матрицы B размера 2^n-1, то

√

2 + λ^Bk собственные числа матрицы B размера 2ⁿ.

Следствие 2. Если λ^k√собственныечисламатрицыBразмераN,

то ±

2 + λ^Bk собственные числа матрицы B размера 2N.

Доказательство следствия аналогично доказательству леммы 8.

Рассмотрим свойства собственных чисел матрицы B размера 2ⁿ.

Свойство 1. Числа 0 и 2 являются собственными числами матрицы

B размера 2ⁿ для всех n ≥ 1.



λB≤2длявсехn≥1иk=1,...,2n.

Свойство 2.

Свойство 3. Среди λ^Bk присутствует собственное значение

√

(4.7)

λ^B =

2+...+

}

n-1

Свойство 1 следует из леммы 7, так как корни уравнения G₂1 (λ) = 0 яв-

ляются общими для всех многочленов G₂n (λ) и всех n ≥ 1.

Свойство 2 следует из вида собственных чисел, представленных в лемме 8,

и свойства функции квадратного корня.

Свойство 3 справедливо, если в лемме 8 выбирать только знак “плюс” при

вычислении собственных чисел начиная с λ^B1 = 0.

Свойство 2 означает, что у исходной матрицы A все λ_i > 0 кроме един-

ственного собственного значения, отвечающего за коллективное движение

системы как единого целого. Выбрав собственное число матрицы B из свой-

ства 3, получим, что у матрицы A размера 2ⁿ есть собственное число, равное

√

(4.8)

λ^A(n) = 2 -

2+...+

}

n-1

Поскольку λ^A близко к нулю, то в системе, помимо коллективного движения

с единичной частотой, будет присутствовать слабо затухающее движение с

частотой примерно 1 +βλA2^.

Следствие 3. Для λ^A(n) выполняется предельное соотношение

λ^A(n)

lim

= 4.

n→∞ λ^A(n + 1)

Следствие 3 означает, что для больших n скорость затухания осцилляций

моды колебаний, наиболее близкой к основной частоте равной единице, или

скорость установления консенсуса, при увеличении размерности системы в 2

раза уменьшается в 4 раза.

Результат моделирования в случае N = 32 для двух наборов начальных

условий показан на рис. 3 и 4.

4.3. Идентичное кольцевое взаимодействие осцилляторов

с ближайшими соседями

Матрица A имеет вид





-1





−1

-1











-1

-1 ...



(4.9)



.





0

-1



−1

-1

Как и в подразделе 4.2, вместо матрицы A будем исследовать матрицу

B = 2E - A, которая имеет вид





















(4.10)



.





0000



Стоит отметить, что исследуемая матрица A по сути является матрицей

Лапласа в терминах теории мультиагентных систем и теории сетей [8, 11], так

как матрица 2E это степенная матрица D для графа с матрицей смежно-

сти B, соответствующего исследуемой системе.

Собственные значения матрицы B находятся по свойству собственных зна-

чений матриц, приведенному в доказательстве леммы 5, а именно λ^Bi = 2 - λ_i.

Для характеристических полиномов матрицы B справедлива теорема 2.

Теорема 2. Функции G_N(λ) при различных фиксированных N ≥ 5 удо-

влетворяют рекуррентной формуле





GN+1(λ) = -(1 + λ)GN (λ) - (1 + λ)GN-1(λ) - GN-2(λ),



G₅(λ) = -λ⁵ + 5λ³ - 5λ + 2,

(4.11)



G₄(λ) = λ⁴ - 4λ²,



G₃(λ) = -λ³ + 3λ + 2.

Выведем формулу общего члена последовательности (4.11).

Лемма 9. Члены последовательности (4.11) имеют формулу общего

члена вида



(

√

)_N

(

√

)_N

-λ +

λ² - 4

-λ -

λ² - 4

(4.12)

GN (λ) =

+ 2 · (-1)^N+1.

Лемма 10. Если λ^B

собственные числа матрицы B размера 2^n-1, то

√

2 + λ^Bk собственные числа матрицы B размера 2ⁿ.

Следствие 4. Если λ^k√собственныечисламатрицыBразмераN,

то ±

2 + λ^Bk собственные числа матрицы B размера 2N.

Доказательство следствия аналогично доказательству леммы 10.

Лемма 11. Если λ^Bk

собственные числа матрицы B размера N ви-

да (4.3) (отсутствие кольцевого взаимодействия между ближайшими со-

седями), являющиеся нулями G_N (λ) вида (4.5), то λ^Bk собственные числа

кратности два матрицы B размерности 2N вида (4.10) (наличие кольце-

вого взаимодействия между ближайшими соседями), являющиеся нулями

5. Взаимодействие осцилляторов друг с другом и со средой

Добавим в рассматриваемую систему осцилляторов среду и предположим,

что у каждого из осцилляторов есть возможность воздействовать на среду

посредством только упругой связи. Пусть координаты среды имеют индекс 0,

а взаимодействие осуществляется посредством силы F_i0 = -k_i0(x_i - x₀).

Движение группы осцилляторов и среды описывается системой ЛДУ вида:

∑

Mx₀ = - k_0j(x₀ - x_j),

j=1

(5.1)

∑

x_i = -x_i - k_ij(x_i - x_j) - 2

α_ij( x_i - x_i), i = 1,... ,N.

j=0

j=1

Здесь M безразмерная константа, пропорциональная массе среды. Допол-

нительное условие взаимности связи со средой определяется соотношением

k_0j = k_j0 = k для всех j = 1,... ,N, остальные условия такие же, как в слу-

чае отсутствия среды.

Лемма 12. В системе

“осцилляторы-среда”, описываемой систе-

мой

(5.1), для любых начальных условий существует периодическое

коллективное движение двух типов с частотами

√

kM +Nk+M ±

M²k² +2MNk² +N²k² +2M²k-2MNk+M²

(5.2)

ω_1,2 =

√

В случае когда k ≪ 1,^NkM ≪ 1, эти частоты становятся приблизительно

равными

√

(5.3)

ω₁ ≈ 1 +

ω₂ ≈

Это означает, что в системе присутствуют колебания осцилляторов как еди-

ного целого с незначительно измененной основной частотой ω₁ (ω₁-1 =^k2 ≪1)

2,00

1,75

1,50

1,25

1,00

0,75

0,50

0,25

100

150

200

250

Рис. 7. Энергия системы осцилляторов.

и низкочастотные колебания системы с частотой ω₂, связанные с массивной

средой. Интересен случай N = M. Оказывается, что при малых k сохраняет-

ся неравенство ω₂ ≪ ω₁. Пример зависимости H(t) приведен на рис. 7.

6. Обсуждение результатов

На рис. 1, 3, 4, 5 и 6 представлены динамика каждого осциллятора в от-

дельности, динамика разности координат первого и второго осцилляторов,

а также поведение энергии системы (без учета взаимодействия) как функ-

ции времени для трех типов взаимодействия между осцилляторами. Сред-

ствами языка Python моделируется движение каждого из осцилляторов. На-

чальные значения скоростей и координат выбраны произвольным образом в

диапазоне [0, 1], α = 0,02, β = 0,01. На рис. 5 и 6 темпы установления коллек-

тивного движения соответствуют отличному от нулевого минимальному по√

√

модулю собственному значению матрицы A, λ = 2 -

2 и равны

2αλ = 0,001536. На рис. 3 и 4 темпы установления коллективного движения

в четыре раза меньше и равны 0,000384, что согласуется со следствием 3. На

рис. 1, 3, 4, 5 и 6 отличаются установившиеся уровни кинетической энергии

системы осцилляторов, которые могут быть найдены по формуле (3.5) по из-

вестным начальным условиям. Из сравнения динамики разности x₁ - x₂ на

рис. 3 и 4, а также на рис. 5 и 6 видно, что амплитуда этой разности изменяет-

ся во времени по-разному. На рис. 3 и 6 амплитуда уменьшается монотонно,

а на рис. 4 и 5 монотонность отсутствует, имеется во времени ярко выра-

женный максимум, после которого появляется монотонность убывания. Со

временем в системе осцилляторов остается только их коллективное движе-

ние как единого целого, а именно незатухающие колебания на их основной

частоте.

Когда появляется массивная среда, то в системе со временем остаются ко-

лебания двух типов: низкочастотные, соответствующие взаимодействию си-

стемы со средой, и собственные колебания осцилляторов как единого целого.

Как видно из рис. 7, при наличии среды происходит перераспределение энер-

гии между осцилляторами и средой, амплитуда колебаний осцилляторов то

увеличивается, то уменьшается.

7. Заключение

Скорость установления консесуса в динамических и мультиагентных си-

стемах является определяющей для их возможности проявлять на конечном

горизонте времени коллективное поведение. Оказывается, что с возрастанием

размерности системы в два раза эта скорость линейно возрастает с установ-

ленным в статье коэффициентом, равным четырем. С другой стороны, когда

в системе присутствуют различные типы агентов, ее коллективная динамика

становится более разнообразной, зависящей от свойств подсистем. Исполь-

зуемая модель позволяет в любой момент времени изменить количественный

состав осцилляторов добавлением или удалением из нее любого их числа.

Поэтому будущая статья будет посвящена исследованию явления синхрони-

зации в переменной по количественному составу системе идентичных осцил-

ляторов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. Поскольку собственные значения сим-

метрической матрицы A вещественные, то существует ортогональная замена

переменной ξ_i = Q_ijx_j , где Q_ikQ^-1kj = E_ij , которая приводит систему уравне-

ний (2.5) к виду (здесь суммирование по индексу i отсутствует)

(Π.1)

ξ_i(t) + 2α(diagλ_i

(t) = 0.

Характеристическое уравнение для системы (Π.1) принимает вид

∏

(Π.2)

(σ² + 2αλ_iσ + 1 + βλ_i

) = 0.

i=1

Все решения уравнения (Π.2) задаются выражением (3.2). Лемма 1 доказана.

Доказательство леммы 2. Строки матрицы A являются линейно

∑_N

зависимыми. Действительно, из вида матрицы A следует, что

A_ij = 0

i=1

для ∀j. Лемма 2 доказана.

Доказательство леммы 3. При доказательстве леммы 3 зависи-

∑_N

мость от t опускаем. Обозначим X =

x_i. Просуммируем все уравнения

i=1

системы (2.4). Получим цепочку равенств

∑

∑∑

x_i =

(-E_ijx_j - K_ijx_j - 2Φ_ij x_j) =

i=1

i=1 j=1

∑

=- x_i - K_iix_i -

K_ijx_j - 2

Φ_ii x_i - 2

Φ_ij x_j =

i=1

i=1 j=1, j=i

i=1

i=1 j=1, j=i

∑

= -X +

K_ijx_j -

K_ijx_j +

i=1 j=1, j=i

∑

Φ_ij x_j - 2

Φ_ij x_j = -X.

i=1 j=1, j=i

Получили ЛДУ второго порядка

(Π.3)

= -X,

которому соответствует периодическое движение с периодом 2π для любых

отличных от тривиальных начальных условий. Лемма 3 доказана.

Доказательство леммы 4. Утверждение леммы следует из леммы 1,

так как Re σ_i = -αλ_i < 0 при λ_i > 0. Лемма 4 доказана.

Доказательство леммы 5. Воспользуемся свойством для собствен-

ных чисел матриц

A=A-NE. Еслиλi собственное число матриц

тоλi = λ_i - N. Матриц

A имеет вид





-1 -1 -1 -1 ...

-1 -1 -1





−1 -1 -1 -1 ...

-1 -1 -1











−1 -1 -1 -1 ...

-1 -1 -1





.





-1-1-1-1...

-1 -1 -1



−1 -1 -1 -1 ...

-1 -1 -1

Все строки матриц

A одинаковы, поэтомуλ = 0 собственное число этой

матрицы кратности N - 1, т.е.λi = 0 для i = 1, . . . , N - 1. Далее заметим,

что S

A = -N = λN. Такой же вывод последовал бы, если сравнить λ_N = 0,

полученное в лемме 2, и оставшееся последним ненайденнымλN . Лемма 5

доказана.

Доказательство теоремы 1. Вычислим сначала G_N(λ) через J_i(λ),

где J_i(λ) детерминанты матрицы, полученной из матрицы B - λE вычер-

киванием последних N - i строк и столбцов при i = 2, . . . , N - 1. Далее до-

казательство аналогично теореме 1 из [6].

Справедливы следующие рекуррентные формулы, если начать вычислять

детерминант со строки с номером N, в которых опускаем зависимость от λ,





GN = (1 - λ)JN-1 - JN-2,



J_N-1 = -λJ_N-2 - J_N-3,

(Π.4)



J_n+1 = -λJ_n - J_n-1,



J₂ = -λ(1 - λ) - 1.

Применим формулы (Π.4) для систем, состоящих из N и N + 1 тел, и соста-

вим разность G_N+1 - G_N . Она равна

GN+1 - GN = (1 - λ)JN - JN-1 - (1 - λ)JN-1 + JN-2 =

= (1 - λ)J_N - (2 - λ)J_N-1 + J_N-2.

Заменим J_N-2 его выражением из (Π.4) на (-λJ_N-1 - J_N ). Тогда эта раз-

ность равна

GN+1 - GN = (1 - λ)JN - (2 - λ)JN-1 - λJN-1 - JN = -λJN - 2JN-1.

(Π.5)

Из первой формулы (Π.4) и (Π.5) получаем еще одно равенство

GN = JN + JN-1.

Из двух последних формул получаем

GN+1 - GN = -λGN + (λ - 2)JN-1.

Справедлива цепочка равенств

GN+1 = -λGN + (λ - 2)JN-1 + GN = -λGN + (λ - 1)JN-1 + JN =

= -λG_N - J_N-1 - J_N-2 = -λG_N - G_N-1.

Получили первое уравнение рекуррентной формулы (4.4). Функции G₂(λ),

G₃(λ) появляются в результате прямого вычисления детерминантов при

N = 2,3 соответственно. Доказательство теоремы 1 завершено.

Доказательство леммы 6. Запишем характеристическое уравнение

для последовательности (4.4):

γ^N+1 = -λγ^N - γ^N-1.

Получаем квадратное уравнение для γ

γ² + λγ + 1 = 0,

корни которого равны

√

-λ ±

λ² - 4

γ_1,2 =

Таким образом, для общего члена последовательности G_N (λ) можно записать

(Π.6)

GN (λ) = C1(λ)γ¹ + C2(λ)γ² .

C₁(λ),C₂(λ) можно найти, используя первые члены последовательности

GN (λ):

G₂(λ) = λ(λ - 2),

G₃(λ) = (1 - λ)(λ - 2)(1 + λ).

Подставив функции G₂(λ), G₃(λ) в (Π.6), получаем систему уравнений

относительно C₁(λ), C₂(λ):



(

√

)₂

(

√

)₂



-λ+

λ² - 4

-λ-

λ² -4



C₁(λ) ·

+C₂(λ) ·

= λ(λ - 2),



(

√

)₃

(

√

)₃



-λ+

λ² - 4

-λ-

λ² -4



C1(λ) ·

+C₂(λ) ·

= (1 - λ)(λ - 2)(1 + λ).

Из этой системы находим функции

2-λ

C₁(λ) =

√

λ² - 4

2-λ

C₂(λ) = -√

λ² - 4

Подставляя выражения для C₁(λ), C₂(λ), γ₁ и γ₂ в (Π.6), получаем утвержде-

ние леммы 6.

Доказательство леммы

Для доказательства воспользуемся

утверждением леммы 6. Введем обозначения:

2-λ

C₁ =

√

λ² - 4

√

-λ +

λ² - 4

√

-λ -

λ² - 4

Формула общего члена последовательности G_N примет вид (зависимость от λ

опускаем)

GN = C1(a^N - b^N ).

Подставим G_N в таком виде в правую часть (4.6) и получим цепочку равенств:





(

)₂

(

)

G₂n = C₁ a2n-1 - b2n-1

 a2n-1-b2n-1

-2=

a2n-2 - b2n-2





(

)₂

(

)

=C₁

a2n-1 - b2n-1

 (a2n-2 -b2n-2)(a2n-2 +b2n-2)

-2=

a2n-2 - b2n-2

)

(

)((

)₂

=C₁

a2n-1 - b2n-1

a2n-2 + b2n-2

-2

(

)(

)

(Π.7)

=C₁

a2n-1 - b2n-1 a2n-1 + b2n-1 + 2(ab)2n-2 - 2

Нетрудно заметить, что

ab =

(λ² - λ² + 4) = 1.

Поэтому выражение (Π.7) принимает вид

(

)(

)

(Π.8)

G₂n = C₁

a2n-1 - b2n-1 a2n-1 + b2n-1

что является полным квадратом и приводится к виду

(

)

G₂n = C₁

a2n - b2n

= G₂n.

Лемма 7 доказана.

Доказательство леммы 8. Воспользуемся обозначениями леммы 7.√

Предположим, что λ = ±

2 + λBk , где λ^Bk собственные числа матрицы B

(

√

)

размера 2^n-1, и вычислим G₂n

2+λ^B

. Справедлива цепочка равенств:

( √

)

(

)

((

)₂n-1

(

)₂n-1⁾

G₂n

2+λ^B

=C₁

a2n - b2n

=C₁

a²

b²



√

2^n-1

2 + λ^Bk - 2 + λ^Bk - 2 (λBk )² - 4





=C₁





√

2^n-1 

2 + λ^Bk - 2 + λ^Bk + 2 (λ^Bk)2 - 4





-

=



√

2^n-1



√

2^n-1 

λ^Bk - (λ^Bk)2 - 4

λ^Bk + (λ^Bk)² - 4







=C₁



-

=



√

2^n-1



√

2^n-1 

-λ^Bk + (λ^Bk)2 - 4

-λ^Bk - (λ^Bk)² - 4







=C₁



-

=

G₂n-1 (λ^Bk) = 0.

Лемма 8 доказана.

Доказательство следствия

Выпишем отношение указанных

собственных значений в явном виде и получим

√

2+...+

√

}

√

λ^A(n)

√

n-1

√

=2+

2+...+

√

λ^A(n + 1)

√

}

2+...+

}

Осуществим предельный переход в последнем выражении при n → ∞. След-

ствие 2 доказано.

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы 2 прове-

дем аналогично доказательству теоремы 1. Вычислим сначала G_N+1(λ) че-

рез J_i(λ), которые являются детерминантами матрицы





-λ



-λ













-λ 1 ...



(Π.9)









0

-λ



-λ

размера i.

Справедливы следующие рекуррентные формулы, если начать вычислять

детерминант матрицы D со строки с номером 1, а затем со столбца с номе-

ром 1, в которых опускаем зависимость от λ,

(Π.10)

GN+1 = -λJN - 2JN-1 + 2(-1)^N .

Для J_N+1 справедлива рекуррентная формула

(Π.11)

J_N+1 = -λJ_N - J_N-1.

Покажем справедливость первой формулы в (4.11), вычислив разность ее

левой и правой частей и несколько раз воспользовавшись соотношениями

(Π.10) и (Π.11):

GN+1 + (1 + λ)GN + (1 + λ)GN-1 + GN-2 =

= -λJ_N - 2J_N-1 + 2(-1)^N - (1 + λ)(λJ_N-1 + 2J_N-2 + 2(-1)^N )-

-(1 + λ)(λJ_N-2 + 2J_N-3 - 2(-1)^N ) - λJ_N-3 - 2J_N-4 - 2(-1)^N =

= -λJ_N - 2J_N-1 - (1 + λ)(-J_N + J_N-2) -

- (1 + λ)(-J_N-1 + J_N-3) - λJ_N-3 - 2J_N-4 =

= J_N - J_N-1 + λJ_N-1 - J_N-2 - λJ_N-2 - J_N-3 - λJ_N-3 + J_N-2 - J_N-4 =

= -J_N-2 - λJ_N-3 - J_N-4 = 0.

Значения G₃(λ), G₄(λ), G₅(λ) вычисляются непосредственно. Теорема 2 до-

казана.

Доказательство леммы 9. Запишем характеристическое уравнение

для последовательности (4.11):

γ^N+1 = -(1 + λ)γ^N - (1 + λ)γ^N-1 - γ^N-2.

Получаем кубическое уравнение для γ:

γ³ + (1 + λ)γ² + (1 + λ)γ + 1 = 0,

корни которого равны

√

-λ ±

λ² - 4

γ_1,2 =

γ₃ = -1.

Таким образом, для общего члена последовательности G_N (λ) справедливо

(Π.12)

GN (λ) = C1(λ)γ¹ + C2(λ)γ² + C3(-1)^N .

C_1,2,3(λ) можно найти, используя первые члены последовательности G_N (λ)

при N = 3, 4, 5:

G₃(λ) = -λ³ + 3λ + 2,

G₄(λ) = λ⁴ - 4λ²,

G₅(λ) = -λ⁵ + 5λ³ - 5λ + 2.

Подставив функции G₃(λ), G₄(λ) и G₅(λ) в (Π.12), получаем систему урав-

нений относительно C₁(λ), C₂(λ) и C₃(λ):



(

√

)₃

(

√

)₃



-λ +

λ² - 4

-λ -

λ² - 4



C₁(λ) ·

+ C₂(λ) ·

- C₃(λ) =



= -λ³ + 3λ + 2,



(

√

)₄

(

√

)₄



-λ +

λ² - 4

-λ -

λ² - 4

C₁(λ) ·

+ C₂(λ) ·

+ C₃(λ) =



= λ⁴ - 4λ²,



(

√

)₅

(

√

)₅



-λ +

λ² - 4

-λ -

λ² - 4



C₁(λ) ·

+ C₂(λ) ·

+ C₃(λ) =





= -λ⁵ + 5λ³ - 5λ + 2.

Из этой системы находим функции

C₁(λ) = 1,

C₂(λ) = 1,

C₃(λ) = -2.

Подставляя выражения для C_1,2,3(λ) и γ_1,2,3 в (Π.12), получаем утверждение

леммы 9.

Доказательство леммы 10. Воспользуемся обозначениями леммы 7.√

Предположим, что λ = ±

2 + λBk , где λ^Bk собственные числа матрицы B

(

√

)

размера 2^n-1, и вычислим G₂n

2+λ^B

. Справедлива цепочка равенств:

)

( √

)

(

)

((

)₂n-1

(

)₂n-1

G₂n

2+λ^B

a2n + b2n - 2

a²

b²

-2



√

2^n-1

)² - 4

2 + λ^Bk - 2 + λ^Bk - 2 (λ^Bk







√





2^n-1

2 + λ^Bk - 2 + λ^Bk + 2 (λ^Bk)2 - 4



+



-2=

√





2^n-1



2^n-1

λ^Bk - (λ^Bk)2 - 4

λ^Bk + (λ^Bk)² - 4









+



-2=

√





2^n-1



2^n-1

-λ^Bk + (λ^Bk)2 - 4

-λ^Bk - (λ^Bk)² - 4









+



-2=

= G₂n-1 (λBk ) = 0.

Лемма 10 доказана.

Доказательство леммы 11. В лемме 7 было получено выражение

√

2-λ

GN (λ)

(a^N - b^N ),

| {z }

λ+2

(4.5)

которое возведем в квадрат. Получим

(√

)₂

2-λ

(

)

(a^N - b^N )

a^2N + b^2N - 2(ab)^N

λ+2

2-λ

(a^2N + b^2N - 2).

λ+2

Умножим последнее выражение на^λ+22-λ и получим (4.12), а значит, справед-

ливо (4.13).

Поскольку среди нулей G_N (λ)

присутствует λ^B = 2 кратности единица,

| {z }

(4.5)

то после возведения в квадрат и умножения кратность единица у λ^B = 2

остается, а появляется λ^B = -2 тоже кратности единица. Лемма 11 доказана.

Доказательство леммы 12. Первое уравнение в системе (5.1) в

обозначениях леммы 3 имеет вид

(Π.13)

Mx₀ = -Nkx₀

+ kX.

Система уравнений движения осцилляторов в системе (5.1), как и в дока-

зательстве леммы 3, переписывается так:

(Π.14)

X= -X - kX + Nkx₀.

В системе уравнений (Π.13) и (Π.14) присутствуют две моды колебаний с

частотами

√

kM + Nk + M ±

M²k² + 2MNk² + N²k² + 2M²k - 2MNk + M²

ω_1,2 =

√

Лемма 12 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Strogatz Steven H. From Kuramoto to Crawford: Exploring the Onset of Synchro-

nization in Populations of Coupled Oscillators // Physica D. 2000. No. 143. P. 1-20.

2. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное

нелинейное явление. М.: Мир физики и техники, 2003.

3. Strogatz Steven H., Stewart Ian. Coupled Oscillators and Biological Syncronization //

Sci. Amer. 1993. No. 12. P. 68-75.

4. Shyam Krishan Joshi, Shaunak Sen, Indra Narayan Kar. Synchronization of Coupled

Oscillator Dynamics // IFAC-PapersOnLine. 2016. V. 49. No. 1. P. 320-325.

5. Трубецков Д.И., Рожнёв А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Физматлит,

2001.

6. Галяев А.А. О математической модели импульсного воздействия, вызванного

ударом системы материальных точек об абсолютно жесткое препятствие // АиТ.

2006. № 6. C. 27-40.

Galyaev A.A. Impact of a System of Material Points Against an Absolutely Rigid

Obstacle: a Model for its Impulsive Action // Autom. Remote Control. 2006. V. 67.

No. 6. P. 856-867.

7. Галяев А.А. О математической модели одномерного удара цепочки тел, обла-

дающей вязкоупругими свойствами // АиТ. 2015. № 10. С. 40-49.

Galyaev A.A. On the Mathematical Model of One-Dimensional Impact of a Chain of

Viscoelastic Bodies // Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 10. P. 1743-1750.

8. Bullo F. Lectures on Network Systems. Ed. 1.3. Kindle Direct Publishing, 2019.

9. Ren Wei Wu, Yongcan Cao. Distributed Coordination of Multi-agent Networks:

Emergent Problems, Models, and Issues. London: Springer-Verlag, 2010.

10. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Устойчивость и робастная устойчивость однотипных

систем // АиТ. 1996. № 11. С. 91-104.

Polyak B.T., Tsypkin Y.Z. Stability and Robust Stability of Uniform System //

Autom. Remote Control. 1996. V. 57. No. 11. P. 1606-1617.

11. Bernstein, Dennis S. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton

University Press, 2011.

12. Соболев О. Однотипные связанные системы регулирования. М.: Энергия, 1973.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Хлебниковым.

Поступила в редакцию 12.08.2019

После доработки 18.09.2019

Принята к публикации 28.11.2019