Автоматика и телемеханика, № 7, 2020
Нелинейные системы
© 2020 г. К.Г. ГАРАЕВ, д-р физ.-мат. наук (fmf@kai.ru)
(Казанский национальный исследовательский технический
университет им. А.Н. Туполева-КАИ)
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ
ПРИВОДИМОСТИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Ставится задача приводимости оптимальных процессов и предлагается
теоретико-групповой подход к ее решению, основанный на инфинитези-
мальном аппарате Ли-Овсянникова [1].
Ключевые слова: оптимальное управление, уравнение Беллмана, теория
групп Ли, приводимость оптимальных процессов.
DOI: 10.31857/S0005231020070016
1. Введение
В проблеме управления теоретико-групповые методы впервые были ис-
пользованы в работах Павлова В.Г., Кухтенко А.И., Семенова В.Н., Павлов-
ского Ю.Н., Яковенко Г.Н., Гараева К.Г., Можаева Г.В., Борецкого И.Ф. и
других исследователей. Среди зарубежных авторов первые публикации в
этом направлении принадлежат Арбибу М., Брокету Р., Барнету С., Херма-
ну Р., Калману Р. и другим ученым (см., например, [2, 3]). Использование
группового подхода позволяет реализовать идеи эрлангенской программы
Ф. Клейна в проблеме управления.
Остановимся кратко на тех конкретных задачах, при изучении которых
используется групповой подход.
Известно, что при синтезе оптимального управления возникает труднопре-
одолимая проблема
¾проклятие размерности¿ (Р. Беллман), одним из эф-
фективных методов решения которой является операция декомпозиции, при-
водящая к расщеплению исходной системы управления на подсистемы, для
каждой из которых формируется своя локальная задача [4-9]. В [10-13] раз-
работана общая теория декомпозиции и агрегирования систем с постоянным
вектором управления, основанная на теории инвариантов групп непрерывных
преобразований; проблеме агрегирования посвящена также работа [14]. Тео-
рия групп позволила провести классификацию видов декомпозиции, найти
количество подсистем и их размерности и тем самым определить целесооб-
разность декомпозиции для динамических систем с управлением.
Исследованию влияния возмущений параметров систем автоматического
управления на их выходные характеристики, т.е. изучению чувствительности
систем, посвящены (на языке теории групп) работы [15-17].
Ряд работ (например, [3, 18-24]) посвящен проблемам управляемости и
наблюдаемости динамических систем. Введенное в [25] понятие L-системы
3
позволяет в ряде случаев заменить дифференциальные уравнения принципа
максимума эквивалентными конечными соотношениями.
Групповой подход к проблеме конструирования систем управления, обес-
печивающих инвариантность характеристик системы по отношению к внеш-
ним возмущениям, предложен в [19, 20, 22, 26].
Задаче синтеза оптимального управления посвящены работы [25, 27, 28].
В частности, в [27] введено понятие инвариантного оптимального процесса и
определены условия его существования (выражающие инвариантность мно-
гообразия и функционала относительно одной и той же группы преобразо-
ваний), что позволило свести проблему синтеза управления к оптимальной
задаче с меньшим числом переменных при сохранении экстремального зна-
чения функционала.
Следует отметить, что если направление исследований, связанное с груп-
повым подходом к изучению систем управления с сосредоточенными па-
раметрами, развивается достаточно интенсивно, то в отношении систем
с распределенными параметрами имеются только единичные публикации
[15, 27, 29, 30-33].
2. Постановка и решение задачи приводимости оптимального процесса
Пусть процесс управления на отрезке [t0, tk] описывается системой обык-
новенных дифференциальных уравнений
dxi
(1)
=fi
(t, x, u) (i = 1, . . . , n)
dt
с заданными начальными условиями xi (t0) = xi0.
Качество управляемого процесса оценивается функционалом
tk
∫
(2)
J =
ϕ(t,x,u) dt,
t0
(
)
определенным на движениях системы (1). Здесь x =
x1,... ,xn
фазовые
(
)
координаты; u =
u1,... ,um
управляющие воздействия; fi, ϕ непре-
рывно дифференцируемые функции; отрезок времени [t0, tk] предполагается
фиксированным.
Требуется найти управление u, реализующее на движениях системы (1)
минимум функционала (2).
Следуя [27], будем называть исследуемый управляемый процесс оптималь-
но инвариантным относительно локальной группы Ли с оператором
∂
∂
∂
U = ξt (t,x,u)
+ ξix (t,x,u)
+ ξju (t,x,u)
,
∂t
∂xi
∂uj
(i = 1,... ,n; j = 1,... ,m) ,
если функционал J является интегральным инвариантом этой группы
(в смысле Ли-Чеботарева [34, 35]) и если система (1) допускает эту же группу
непрерывных преобразований.
4
Другими словами: и уравнения (1), и функционал (2) инвариантны от-
носительно оператора U. Необходимое и достаточное условие оптимальной
инвариантности исследуемого процесса согласно [34, 36] можно записать в
виде
∂fk
∂fk
∂fk
∂ξkx
∂ξkx
∂ξt
∂ξt
(3)
ξt
+ξl
+ξi
=
+fl
-fk
-fkfl
,
∂t
x ∂xl
u ∂ui
∂t
∂xl
∂t
∂xl
(4)
U (ϕ) + ϕDt (ξt
) = 0,
где
∂
∂
∂
Dt =
+xl
+ui
(k, l = 1, . . . , n; i = 1, . . . , m) .
∂t
∂xl
∂ui
Отметим, что условия инвариантности (3), (4) позволяют, вообще говоря,
решать две самостоятельные задачи.
Прямая задача. Функции fi и ϕ заданы. Требуется найти группу Gr.
Обратная задача. Задана группа Gr. Требуется найти fi и ϕ (отыскание
функции ϕ Н.Г. Чеботарев называет задачей конструирования объемов).
Задание процесса (1), (2) будем понимать в смысле либо прямой, либо
обратной задач.
Одним из конструктивных методов исследования оптимально инвариант-
ных процессов может оказаться предлагаемый здесь метод редуцирования
(приводимости) оптимальных процессов, который заключается в следую-
щем. Находятся такие преобразования переменных исходной задачи к но-
вым переменным в некотором вспомогательном пространстве, в котором оп-
тимальная задача трансформируется в задачу, решаемую в ряде случаев
проще исходной. Следует заметить, что применительно к задачам механики
тел переменной массы задача приводимости была впервые сформулирована
И.В. Мещерским в форме метода ¾отображения движения¿ [37]. С матема-
тической точки зрения метод приводимости приводит к следующей задаче.
Требуется найти гладкое взаимно-однозначное преобразование (диффеомор-
физм) T
(5)
t= t(t,x),
xi = xi (t,x) ,
uj = uj
(t, x, u)
(i = 1,... ,n; j = 1,... ,m) ,
переводящее оптимальную систему (1) в систему вида
dxi
(6)
=
fi (t, x, u),
dt
а функционал (2) в функционал
tk
∫
(7)
J =
ϕ(t, x, u) dt
,
t0
гд
fi и
ϕ функции, структура которых задается заранее.
5
Если, например, функции
fi и
ϕ не содержат в явном виде t, то име-
ет место частная задача редуцирования: требуется найти преобразование T ,
переводящее систему (1) в автономную систему, а функционал (2) в инва-
риантный относительно новой независимой переменной функционал. Тогда
если отображение T диффеоморфизм, то в случае программного управле-
ния сопряженная система будет допускать первый интеграл [38], а в задаче
синтеза оптимального управления соответствующее уравнение Беллмана бу-
дет уравнением с независящими от нового ¾времени¿ t коэффициентами [39];
при этом в случае фиксированных начального и конечного состояний системы
и свободного времени перехода его решение не будет зависеть явным обра-
зом от t. Отметим, что для неуправляемых процессов задача автономизации
линейных динамических систем в рамках метода факторизации дифферен-
циальных операторов была рассмотрена в [40].
В дальнейшем будем предполагать, что управляемый процесс (1), (2) ин-
вариантен относительно интранзитивной группы Gr (т.е. группы, имеющей
нетривиальные и функционально независимые алгебраические инварианты)
с оператором U, а процесс (6), (7) относительно группы Gr с оператором
∂
∂
(8)
U = ξt(t, x, u) ∂
+ ξi¯x (t, x, u)
+ ξj¯u (t, x, u)
∂t
∂xi
∂uj
Пусть Ta (a групповой параметр) любое преобразование группы G1.
Если отображение (5) диффеоморфизм, то в системе координат (t, x, u)
однопараметрическое семейство преобразований
Ta, определяемое равен-
ство
Ta = TTaT-1 согласно С. Ли [35], вновь определяет локальную груп-
пу ЛиG1, получаемую из Ta с помощью преобразования подобия T .
В новой системе координат (t, x, u) оператор U принимает вид
(
)
∂
(
)
∂
(9)
U= U (t)∂
+U
xi
+U
uj
,
∂t
∂xi
∂uj
координаты которого с помощью равенства (5) выражаются через (t, x, u).
Следовательно, преобразование T , осуществляющее редуцирование опти-
мальных процессов, является решением квазилинейной системы дифферен-
циальных уравнений в частных производных
(
)
(
)
(10)
U (t) = ξt(t, x, u), U
xi
= ξi¯x (t, x, u), U
ui
= ξj¯u (t
, x, u)
(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m) .
Покажем, что частная задача приводимости, поставленная выше, являет-
ся разрешимой. Действительно, так как в этом случае ξt = 1, ξix = ξu = 0, то
из уравнения (10) в силу интранзитивности группы следует, что новые фа-
зовые координаты xi и управляющие воздействия uj являются алгебраиче-
скими инвариантами, а новая независимая переменная t является решением
линейного дифференциального уравнения U (t) = 1. Отметим попутно, что
если известно преобразование, переводящее оптимальный процесс (1), (2) в
оптимальный процесс (6), (7), то уравнения (10) позволяют найти группу,
допускаемую исходным оптимально инвариантным процессом (1), (2).
6
3. Пример
В качестве примера рассмотрим задачу синтеза оптимального управления
процессом, поведение которого описывается уравнением
(
)
(11)
x(n) = F t,x,x(1),... ,x(n-1)
+ b(t)u, t ∈ [t0,tn]
с начальными условиями x(i-1) (t0) = xi0 (i = 1, . . . , n).
(
)
Запишем (11) в равносильной форме
x=x1
:
dx1
dx2
dxn-1
=x2,
=x3, ... ,
=xn;
dt
dt
dt
(12)
dxn
(
)
=F
t,x1,x2,... ,xn
+ b(t)u.
dt
Функционал (2) зададим в виде
∫tk
[
]
(13)
J =
S (t, x) + m (t) u2
dt (m (t) > 0) .
t0
Оператор группы G, относительно которой остается инвариантным про-
цесс (12), (13), будем искать в виде (рассматривается обратная задача)
∂
∂
∂
∂
U = ξt (t)
+ a(t)x1
+ ξix (t,x)
+ g (t)u
(i = 2,... ,n) ,
∂t
∂x1
∂xi
∂u
где ξt (t), a (t), ξix (t, x), g (t)
произвольные дифференцируемые функции.
Определяющие уравнения (3) запишутся так:
∂ξkx
∂ξkx
(14)
ξk+1x =
+xl+1
-xk+1ξ˙t
(l = 1, . . . , k; k = 1, . . . , n - 1) ,
∂t
∂xl
)
∂ξnx
∂ξnx
(∂ξnx
∂F
∂F
(15)
+xk+1
+ (F + bu)
-
ξt
=ξt
+ξi
+ buξt
+ bgu
∂t
∂xk
∂xn
∂t
x∂xi
(k = 1,... ,n - 1; i = 1,... ,n) .
Так как координаты ξix и функция F по условию не зависят от u, то урав-
нение (15) расщепляется на два уравнения
)
∂ξnx
∂ξnx
(∂ξnx
∂F
∂F
(16)
+xk+1
+F
-
ξt
=ξt
+ξi
∂t
∂xk
∂xn
∂t
x∂xi
(k = 1,... ,n - 1; i = 1,... ,n) ;
)
(∂ξnx
(17)
b
-
ξt
= bξt
+ bg.
∂xn
7
Решая систему (14), получим
(18)
ξix = x1ai-1 + Pijxj,
(19)
Pij = Cj-1i-1a(i-j) - Cj-2i-1ξ(i+1-j)t
(j = 2, . . . , i; i = 2, . . . , n) ,
где через Cmn обозначено число сочетаний из n элементов по m. Частное ре-
шение уравнений (10) для случая ξt = 1, ξx = 0, ξu = 0 выберем в виде
∫t
∫
t
dt
(20)
t=
,
xk = mkixi,
u = ubξnt exp-a dt
ξt
(t)
ξt
t0
t0
(i = 1,... ,k; k = 1,... ,n) ,
где функции mki (t) удовлетворяют системе рекуррентных дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами
ξt mk1 + mkia(i-1) = 0 (i = 1,... ,k) ;
ξt mk2 + Pi2mki = 0 (i = 2,... ,k) ;
(21)
ξt mkk-1 + Pin-1mki = 0 (i = k - 1,... ,k) ;
ξt mkk + Pkkmkk = 0 (k = 1,... ,n),
которая для достаточно гладких функций ξt(t) и a(t) всегда имеет общее
решение, определяемое путем последовательного интегрирования (начиная с
последнего уравнения системы). Так как здесь подходит любое частное реше-
ние, то начальные условия к этой системе удобно задать в виде mki (t0) = δki
так, что xk (0) = xk (t0) и из последнего уравнения получим
[
]k-1
∫
t
ξt (t)
(22)
mkk (t) =
exp-a(t)
dt
ξt (t0)
ξt
(t)
t0
(δki
символ Кронекера).
Решения уравнений (16) и (17) имеют соответственно вид
t
[
(
)
]
∫
ω
m1ixi,... ,mnixn
(23)
F (t) = ξ1-ntexp a
dt
- mnixi - mnj-1
xj
ξt
ξt
t0
(i = 1,... ,n; j = 2,... ,n) ,
(24)
g=a-
ξt - ξtb
/b.
Здесь ω произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих
аргументов; b и ξt произвольные достаточное число раз дифференцируемые
функции переменного t.
8
Подвергая (12) преобразованиям (20), получим
dx1
dx2
dxn-1
dxn
(
)
(25)
= x2,
= x3, ... ,
= xn;
=ω
x1,... , xn
+ u.
dt
dt
dt
dt
Следствие. Если в формуле (23) положить ω = βkxk, где βk посто-
янные, то
∫
t
[
)
)]
(βkmk1
(26)
F = ξ1-ntexpa
dt x1
- mn
+xi
(βkmki -m˙ ni - mn
1
i-1
ξt
ξt
ξt
t0
(i = 2, . . . , n; k = 1, . . . , n) .
Таким образом, если функция F задана в виде (26), то линейное одно-
родное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами с помощью
подстановки (20) приводится к линейному уравнению с постоянными коэф-
фициентами. Если a = 0, то mki = const и подстановка (20) совпадает с одной
из подстановок, указанных в [41].
Отметим, что для частного случая неуправляемой системы третьего по-
рядка из (25) следует основной результат работы [42].
Функции S (t, x) , m (t), допускающие приводимость оптимальной задачи,
в соответствии с (4) удовлетворяют уравнению
)
(∂S
∂S
∂S
(
)
(27)
ξt
+ mu2
+ ax1
+Pijxj
+ 2muξu +
S + mu2
ξt
=0
∂t
∂x1
∂xi
(j = 2, . . . , i; i = 2, . . . , n) ,
откуда с учетом (19), (24) следует
(
)
(28)
S (t,x) = ψ
x1,... , xn
/ξt,
где ψ произвольная непрерывно дифференцируемая функция;
∫
t
(29)
m (t) = cb2ξ2n-1texp -2a dt .
ξt
t0
Функционал (13) в новых переменных примет вид
tk
∫
[
]
(30)
J =
ψ (x) + cu2
dt
,
t0
где c произвольная постоянная и
tk
∫
dt
tk =
ξt (t)
t0
9
Таким образом, справедливо следующее
Утверждение 1. Пусть в системе (12) функция F (t,x) задана равен-
ством (23), а в функционале (13) функции S (t,x) и m(t) определяются
соответственно формулами (28) и (29). Тогда преобразование T (20) осу-
ществляет приводимость управляемого процесса (12), (13) в инвариантный
относительно ¾времени¿ t процесс (25), (30).
Покажем, что преобразование T является взаимно-однозначным; для этого
достаточно установить, что его якобиан
∫
t
α (t)
J (T) =
|M| , M =
mki,
α = bξnt exp-a dt
ξt (t)
ξt
t0
не равен нулю: J (t) = 0.
Следовательно, нужно доказать, что определитель |M| = 0. Так как i < k,
∏
то матрица M является треугольной и, следовательно, M =
mkn (t), где
k=1
mkn (t) определяются равенством (22). Таким образом, при естественном пред-
положении b (t) = 0, ξt (t) = 0 преобразование T есть диффеоморфизм.
Следуя [43], введем следующее понятие.
Определение. Уравнение Р. Беллмана, соответствующее оптималь-
ному процессу (12), (13), инвариантно относительно преобразования T (20),
если в результате преобразования этого уравнения получается уравнение,
совпадающее с уравнением Р. Беллмана, составленным для оптимального
процесса (25), (30).
Утверждение 2. Уравнение Р. Беллмана для оптимальной задачи
(12), (13) инвариантно относительно преобразования (20).
Действительно, уравнение Р. Беллмана для оптимальной задачи (12), (13)
согласно [39] имеет вид
[
]
∂ω
∂ω
∂ω
(31)
-
= max S + mu2 + xk+1
+ (F + bu)
(k = 1, . . . , n - 1) .
∂t
∂xk
∂xn
Подвергая уравнение (31) преобразованиям (20), получим
[
]
∂ω
∂ω
∂ω
(32)
-
= max ψ + cu2 + xk+1
+ (ω + u)
(k = 1,... ,n - 1) .
∂t
∂xk
∂xn
Но равенство (32) есть уравнение Р. Беллмана для оптимальной задачи
(25), (30), что и доказывает это утверждение.
4. Заключение
В работе дана постановка задачи приводимости оптимальных процессов с
сосредоточенными параметрами и предложен метод ее решения с привлече-
нием теории групп С. Ли.
10
В качестве примера рассмотрена задача приводимости оптимального про-
цесса, заданного нелинейным уравнением n-го порядка и квадратичным от-
носительно управления функционалом.
Полученные в работе результаты могут быть использованы при решении
задачи синтеза регуляторов для линейных и нелинейных автоматических си-
стем различных назначений.
При написании раздела ¾Введение¿ был использован материал, любезно
предоставленный автору профессором В.Г. Павловым, которому автор выра-
жает глубокую благодарность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука,
1978.
2.
Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. О некоторых свойствах динамических систем, свя-
занных с их симметрией / Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Изд-во
АН УССР, 1980. Вып. 47. С. 25-34.
3.
Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления / Математические
методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 174-220.
4.
Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. О единственности декомпозиции в линейной задаче
оптимального управления с квадратичным критерием качества // АиТ. 1979.
№ 11. С. 10-15.
Boretskiy I.F., Pavlov V.G. Оn Uniqueness of Decomposition in a Linear Optimal
Control Problem with a Quadratic Performance Criterion // Autom. Remote Con-
trol. 1979. V. 40. No. 11. P. 1563-1568.
5.
Кухтенко А.И. Основные задачи теории управления сложными системами /
Сложные системы управления. АН УССР. Институт кибернетики. Киев, 1968.
Вып. 1. С. 3-37.
6.
Можаев Г.В. Об использовании симметрии в линейных задачах оптимального
управления с квадратичным критерием качества // АиТ. 1975. № 6. С. 22-30.
Mozhaev G.V. On the Use of Symmetry in Linear Optimal Control Problems with
a Quadratic Performance Criterion // Autom. Remote Control. 1975. V. 36. No. 6.
P. 892-899.
7.
Удилов В.В., Ковбаса Г.Т. О декомпозиции многомерных симметричных линей-
ных систем автоматического управления / Сложные системы управления. Киев:
Изд-во АН УССР, 1972. С. 65-81.
8.
Шайкин М.Е. Теоретико-групповые методы декомпозиции симметричных мно-
госвязных динамических систем // АиТ. 1973. № 9. С. 22-32.
Shaykin M.Ye. Group-Theoretic Methods of Decomposition of Symmetrical Mul-
tivariable Dynamical Systems // Autom. Remote Control. 1973. V. 34. No. 9.
P. 1383-1392.
9.
Ramar K., Ramaswami B. Transformation of timevariable multiinput systems to a
canonical form / IEEE Trans. Automat. Contr. 1971. V. AC-16. P. 371-374.
10.
Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фа-
зовые организационные структуры. I // Вычислит. математика и мат. физика.
1971. № 4. С. 862-872.
11.
Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фа-
зовые организационные структуры. II // Вычислит. математика и мат. физика.
1971. Т. 14. № 5. С. 1093-1103.
11
12.
Павловский Ю.Н. К вопросу об агрегировании и построении иерархических
управляющих структур для одного класса сложных систем // Вычислит. ма-
тематика и мат. физика. 1971. Т. 11. № 6. С. 1510-1520.
13.
Павловский Ю.Н. Агрегирование, декомпозиция, групповые свойства, декомпо-
зиционные структуры динамических систем // Кибернетика и вычислительная
техника. Киев: Наук. думка, 1978. Вып. 39. С. 53-63.
14.
Елкин Е.Н. Об условиях агрегирования управляемых динамических систем //
Вычислит. математика и мат. физика. 1978. Т. 18. № 4. С. 928-934.
15.
Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. Теоретико-групповая интерпретация чувствитель-
ности гладких динамических систем // АиТ. 1980. № 2. С. 5-10.
Boretskiy I.F., Pavlov V.G. Group-Theoretic Interpretation of Smooth Dynamic Sys-
tem Sensitivity // Autom. Remote Control. 1980. V. 41. No. 2.
16.
Гараев К.Г., Павлов В.Г. Непрерывные группы преобразований в задаче чув-
ствительности систем с распределенными параметрами. Теория инвариантности
и ее применение / Тр. V Всесоюзн. сов. Киев. 1979. С. 330-334.
17.
Павлов В.Г. Использование понятия инфинитезимального преобразования в ис-
следовании чувствительности линейных оптимальных систем / Тр. КАИ. Ка-
зань. 1971. Вып. 135. С. 3-9.
18.
Борецкий И.Ф. Управляемость и наблюдаемость нелинейных систем при отоб-
ражениях / ВИНИТИ. Москва. 1981. № 954. С. 16-22.
19.
Борецкий И.Ф., Павлов В.Г. Теоретико-групповая интерпретация некоторых
свойств линейной динамической системы // АиТ. 1979. № 2. С. 12-15.
Boretskiy I.F., Pavlov V.G. Group-Theoretic Interpretation of Some Properties of a
Linear Dynamic System // Autom. Remote Control. 1979. V. 40. No. 2. P. 163-165.
20.
Кухтенко А.И. и др. Абстрактная теория систем. Современное состояние и тен-
денции развития // Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наук. думка,
1972. Вып. 15. С. 4-22.
21.
Семенов В.Н. Об управляемости нелинейных динамических систем управле-
ния // Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наук. думка, 1971. Вып. 8.
С. 38-40.
22.
Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности динами-
ческих систем // Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наук. думка,
1978. № 38. С. 21-29.
23.
Paul C.R., Kuol L. Controllability and observability of linear dynamical systems //
SIAM J. Contr. 1972. V. 10. No. 2. P. 252-264.
24.
Wonham W.M. Dynamic observes: geometric theory // IEEE Trans. Automat.
Contr. 1970. V. AC-15. P. 258-259.
25.
Яковенко Г.Н. Траекторный синтез оптимального управления // АиТ. 1972. № 6.
С. 5-12.
Yakovenko G.N. Design of Optimal Control by Evolution Trajectories // Autom.
Remote Control. 1972. V. 33. No. 6. P. 889-895.
26.
Яковенко Г.Н. Симметрии по состоянию в системах с управлением / Прикладная
механика и математика: Межвед. сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1992. С. 155-176.
27.
Павлов В.Г. Построение некоторых инвариантных решений в частной задаче
аналитического конструирования регуляторов // АиТ. 1972. № 6. С. 192-195.
Pavlov V.G. Obtaining Certain Invariant Solutions in a Particular Problem of Reg-
ulator Analytical Construction // Autom. Remote Control. 1972. V. 33. No. 6.
P. 1054-1057.
12
28.
Ikeda M., Sakamoto K. On the concept of symmetry in Pontryagins maximum prin-
ciple // SIAM J. Contr. 1975. V. 13. P. 389-399.
29.
Павлов В.Г. Групповые свойства и инвариантные решения в задаче аналитиче-
ского конструирования регуляторов в процессе с распределенными параметра-
ми // АиТ. 1973. № 8. С. 5-12.
Pavlov V.G. Group Properties and Invariant Solutions in the Problem of Analytical
Design of Controllers in a Process with Distributed Parameters // Autom. Remote
Control. 1973. V. 34. No. 8. P. 1201-1207.
30.
Garaev K.G., Kuznetsov V.K. An invariant variational problem of the laminar
boundary layer // J. Appl. Math. Mechan. 2011. V. 75. No. 4. P. 404-409.
31.
Garaev K.G. On a Problem of Optimal Control of the Laminar Boundary Layer in
Incompressible Flow // Russian Aeronaut. 2017. V. 60. No. 2. P. 299-302.
32.
Garaev K.G., Mukhametzyanov I.R. Problem of Optimal Control of the Turbulent
Boundary Layer on a Permeable Surface in Supersonic Gas Flow // Fluid Dynam.
2018. V. 53. No. 4. P. 573-581.
33.
Garaev K.G., Mukhametzyanov I.R. To the Problem of Friction Minimization on
Permeable Surfaces at Supersonic Flow Rate // Russian Aeronaut. (Iz.VUZ). 2018.
V. 61. No. 3. P. 391-395.
34.
Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.;Л.: Гостехтеоретиздат, 1940.
35.
Lie S., Scheffers G. Vorlesungen über differentialgleichungeh mit bekannten infinites-
imalen transformationen. Leipzig, 1891.
36.
Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новоси-
бирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
37.
Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М.: Гостехтеорет-
издат, 1952.
38.
Понтрягин Л.С., Болтянский А.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Матема-
тическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.
39.
Беллман Р. Динамическое программирование. М.: НИЛ, 1960.
40.
Беркович Л.М., Розов Н.Х. Система обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, приводимая к автономному виду // Тр. Семинара по дифференц. уравне-
ниям. Куйбышев. 1975. С. 98-114.
41.
Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.
Минск: Наука и техника, 1979.
42.
Дасарати Р., Странивасан Б. О подстановках, сводящих нестационарные си-
стемы в эквивалентные системы с постоянными коэффициентами // Экспресс-
информация. Системы автоматического управления. 1968. № 27.
43.
Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.; Л.:
Гостехиздат, 1950.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.
Поступила в редакцию 16.10.2019
После доработки 24.01.2020
Принята к публикации 30.01.2020
13
