Автоматика и телемеханика, № 7, 2020

(zv-oleg@yandex.ru)

(Центральный экономико-математический институт РАН, Москва),

В.М. ХАМЕТОВ, д-р физ.-мат. наук (khametovvm@mail.ru)

(Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва;

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)),

Е.А. ШЕЛЕМЕХ (letis@mail.ru)

(Центральный экономико-математический институт РАН, Москва)

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРАВИЛО ОСТАНОВКИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

СО СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫИГРЫША¹

Решены две задачи об оптимальной остановке геометрического случай-

ного блуждания со степенной функцией выигрыша (с конечным и беско-

нечным горизонтом). Для этих задач установлены явный вид урезанной

цены и правила оптимальной остановки; доказано, что оптимальные пра-

вила остановки являются пороговыми нерандомизированными и описы-

вают соответствующую свободную границу, явный вид которой представ-

лен.

Ключевые слова: геометрическое случайное блуждание, момент останов-

ки, область остановки, область продолжения наблюдений, производящая

функция.

DOI: 10.31857/S000523102007003X

1. Введение

Теория оптимальных правил остановки является одним из разделов тео-

рии оптимального стохастического управления и посвящена одноразовому

выбору марковского момента, максимизирующего ожидаемое значение выиг-

рыша наблюдателя в некоторый конечный случайный момент времени. Про-

блема оптимальной остановки случайных последовательностей возникает во

многих областях науки и техники. Так, в теории и практике приема с об-

ратной связью дискретной информации часто применяются процедуры по-

следовательного обнаружения, сводящиеся к решению задачи об оптималь-

ной остановке [1]. В системах синхронизации [1], как правило, требуется как

можно быстрее обнаружить срыв или сбой в работе; эта проблема с матема-

тической точки зрения сводится к задаче о разладке [2]. Решение последней

состоит в построении оптимального правила остановки. В экономике пробле-

ма оптимальной остановки возникает, например: 1) при решении задач рас-

чета американских опционов, поскольку владелец опциона вправе выбрать

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект 18-010-00666).

момент предъявления контракта к исполнению (обычно выбирается момент,

в который доход владельца максимален) [3], 2) в задачах стимулирования

инвестиционных проектов [4], 3) в последовательном планировании экспери-

ментов [5].

Известно [2, 3, 6], что задача об оптимальной остановке случайной после-

довательности относится к числу труднорешаемых. Общей теории оптималь-

ных правил остановки случайных последовательностей посвящено большое

количество работ. По-видимому впервые теория оптимальных правил оста-

новки была сформулирована в [7], в ней также обосновано применение этой

теории к задачам статистического последовательного анализа. Достаточно

полное изложение актуального состояния теории оптимальных правил оста-

новки можно найти в [3, 8, 9], для случая марковских наблюдаемых после-

довательностей в [2]. Вместе с тем, на настоящий момент известно очень

мало примеров явного аналитического решения задачи оптимальной останов-

ки. Наиболее полный обзор известных примеров можно найти в [8].

В этой статье получены новые примеры точного решения задач об оп-

тимальной остановке, а именно аналитически решены две задачи об оп-

тимальной остановке геометрического случайного блуждания со степенной

функцией выигрыша наблюдателя с конечным и с бесконечным горизонтом.

Степенная функция выигрыша имеет широкое применение в приложениях:

в экономике (стандартная функции полезности с гиперболической абсолют-

ной несклонностью к риску, стандартная функция спроса с постоянной эла-

стичностью), в технике и других областях, где возникает задача о разладке

с распределением Парето наблюдаемой последовательности. Таким образом,

полученные примеры интересны с точки зрения большого количества при-

кладных задач.

Не найдено работ, посвященных задачам оптимальной остановки в данной

постановке. Вместе с тем к задаче этой статьи с бесконечным горизонтом при-

менимы результаты статей [10-12], в которых для случая, когда наблюдается

марковский процесс, функция выигрыша непрерывна и монотонна, доказа-

но, что область продолжения наблюдений отделена от внутренности области

остановки единственной точкой (вид которой не предъявляется). В статье

этот результат не использовался, но он совпадает с полученным здесь; также

приведена формула для этой точки в случае степенной функции выигрыша.

Приведем еще работы, в которых исследовались задачи, наиболее близ-

кие к рассматриваемой в статье. В [13] решена задача об оптимальной оста-

новке случайного одномерного блуждания, когда: 1) независимые одинаково

распределенные случайные величины, порождающие это блуждание, имеют

отрицательное среднее значение, 2) функция выигрыша представляет собой

целую положительную степень стандартного опциона call, 3) горизонт бес-

конечен, 4) оптимальный момент остановки единственный. Доказано, что в

описанной ситуации момент первого пересечения уровня, который совпадает

с наибольшим значением полинома Аппеля, является оптимальным моментом

остановки. В [3] также рассматривалась задача оптимальной остановки с ко-

нечным и бесконечным горизонтом, где наблюдается одномерное случайное

блуждание и функция выигрыша, соответствующая стандартному опциону

call. В случае конечного горизонта предъявлено рекуррентное соотношение,

которому удовлетворяют урезанные цены задачи; доказано, что для каждого

момента времени область остановки отделена от области наблюдения одной

точкой, соответствующая последовательность точек монотонно убывает по

времени, но вид точек не найден. Для случая бесконечного горизонта уста-

новлен вид зависимости цены задачи от начального состояния наблюдаемой

последовательности. Таким образом, даже в наиболее близких по постанов-

ке задачах на настоящий момент не удалось получить явных формул для

решения.

Статья имеет следующую структуру. Каждой из задач посвящен отдель-

ный раздел: для задачи с конечным горизонтом раздел 2, а с бесконеч-

ным раздел 3. В разделе 2 сначала приведены необходимые сведения из тео-

рии оптимальных правил остановки с конечным горизонтом (подраздел 2.1),

затем постановка задачи и известные свойства ее решения (подраздел 2.2)

и основные результаты (раздел 2.3) теоремы 1 и 2, в которых установле-

ны явный вид урезанных цен и областей остановки (продолжения) наблю-

дения соответственно. Раздел 3 включает постановку задачи и необходимые

известные результаты теории оптимальных правил остановки с бесконечным

горизонтом (подраздел 3.1) и раздел 3.2, где приведен основной результат

теорема 3, дающая явный вид цены оптимальной остановки и областей оста-

новки (продолжения) наблюдения. Доказательства всех утверждений выне-

сены в Приложения.

2. Задача с конечным горизонтом

2.1. Необходимые сведения из теории оптимальных правил остановки

Подробное изложение приведенных здесь результатов и их доказательства

можно найти в [3].

(

)

Пусть на стохастическом базисе

Ω,F,(F_n)n∈N0 ,P

, где N₀ ≜ {0, . . . , N},

N < ∞ горизонт, задана случайная последовательность (S_n,F_n)

. Без

n∈N₀

ограничения общности можно считать, что F_n ≜ σ {S₀, . . . , S_n}.

Будем использовать следующие обозначения: Eξ математическое ожи-

дание (интеграл Лебега относительно вероятностной меры P) F-измеримой

случайной величины ξ, а E (ξ| F_n) ее условное математическое ожидание

относительно σ-алгебры F_n и меры P, n ∈ N₀. Для произвольного множества

A ∈ F определим индикатор

{

1, если ω ∈ A,

1{A}(ω) ≜

0, если ω ∈ A.

Положим, что (f_n, F_n)

согласованное семейство случайных вели-

n∈N₀

чин, элементы которого f_n будем интерпретировать как значения функции

выигрыша в момент времени n ∈ N₀. Предполагается, что выполнено сле-

дующее.

Условие (f): Emax |f_n| < ∞.

n∈N₀

Пусть τ момент остановки относительно фильтрации (F_n)

n∈N₀

Тогда

(

)

∑

f_τ(ω) ≜

f_i1_{τ=i}(ω)

S_τ (ω) ≜

S_i1_{τ=i}(ω)

i=0

Обозначим через T^Nn , n ∈ N₀, множество моментов остановки τ таких, что

n ≤ τ(ω) ≤ N, ω ∈ Ω. Условие (f) гарантирует, что для любого τ ∈ T^N0 опре-

делено E |f_τ | < ∞. Величина Ef_τ это ожидаемое значение выигрыша в мо-

мент τ.

Задача оптимальной остановки:

(1)

Ef_τ → sup

τ ∈T^N

Величина sup

Ef_τ есть цена задачи (1). Если существует такой τ⁰ ∈ T^N0 ,

τ ∈T^N

что sup

Ef_τ = Ef_τ0 , то его называют оптимальным моментом остановки в

τ ∈T^N

задаче (1).

Выполнение условия (f) позволяет ввести последовательность

{

[

(



)]

{

}

v^Nn = max

f_n,E

v^Nn+1Fn

(2)

v^N,Fn

n∈N₀

v^Nn|_n=N = f_N.

По определению случайные величины v^Nn являются F_n-измеримыми. Их на-

зывают урезанной ценой оптимальной остановки в момент n или огибающей

Снелла. Известно, что v^N0 = sup

Ef_τ = Ef_τ0 , где

τ ∈T^N

{

}

(3)

τ⁰ = min

n∈N₀ :v^Nn =f_n

Таким образом, чтобы решить задачу (1), достаточно найти решение рекур-

рентного уравнения (2). Известно, что в общем случае она является трудно-

решаемой.

Из (2) следует, что

(

)



Fn

v^Nn ≥ f_n, v^Nn ≥ E v^Nn+1

n∈N₀,

почти наверное относительно меры P (д{лее по}ексту P-п.н.) Из условия (f)

и последнего неравенства следует, что

v^Nn ,F

супермартингал отно-

n n∈N₀

сительно фильтрации {F_n}

и вероятностной меры P. Отметим также, что

n∈N₀

из рекуррентного соотношения (2) следует, что для любого n ∈ {0, . . . , N - 1}:

{



}

1) на множестве

ω ∈ Ω : fn ≥ E(v^Nn+1Fn)

имеет место равенство v^Nn = f_n

P -п.н.;

{



}

2) на множестве

ω ∈ Ω : f_n < E(v^Nn+1Fn)

равенство v^Nn = E(v^Nn+1|F_n)

P -п.н.

Таким образом, для любого n ∈ {0, . . . , N - 1} величина v^Nn допускает пред-

ставление P-п.н.

(



)

(4)

v^Nn = f_n1{f

v^Nn+1Fn

n≥E(v^Nn+1|Fn)}+E

1{fn<E(v^Nn+1|Fn)}.

2.2. Постановка задачи с конечным горизонтом

и некоторые известные свойства ее решения

Пусть {S_n, F_n}

задана рекуррентным соотношением

n∈N₀

{ S_n+1 = S_nλ^ρn+1,

(5)

S_n|_n=0 = S₀ > 0,

где 1 < λ < ∞ параметр, а {ρ_n}_n≥1 последовательность независимых

в совокупности одинаково распределенных случайных величин с задан-

ной функцией распределения F_ρ (x). Известно [6], что последовательность

{S_n, F_n}

является однородной марковской и описывает одномерное гео-

n∈N₀

метрическое случайное блуждание, причем P-п.н. S_n > 0, n ∈ N₀. Описанная

последовательность {S_n}_n≥0 является строго марковской [6].

Замечание 1. Условие λ > 1 техническое, оно будет использовано в

доказательствах ниже. Вместе с тем это предположение не ограничивает общ-

ности рассматриваемой постановки: чтобы получить случай 0 < λ < 1, доста-

точно вместо (5) рассмотреть последовательность

{

}

S_n,F_n

S_n+1

S_nλθn+1,

S₀ = S₀,

n∈N₀

где θ_n+1 = -ρ_n+1, n ∈ {0, . . . , N - 1}. В прикладных исследованиях интерес-

ны оба случая.

Будем решать задачу оптимальной остановки для дисконтированной сте-

пенной функции выигрыша:

(6)

f_n(x) = βⁿ (Ax^σ

+ B), x > 0

с параметрами: β ∈ (0, 1]

коэффициент дисконтирования [3], A, B, σ

(σ > 0).

Замечание 2. Задачи оптимальной остановки с функцией выигрыша

вида (6) встречаются в различных прикладных задачах. Так, при A = σ

функция (6) соответствует стандартной функции полезности с гиперболи-

ческой абсолютной несклонностью к риску (HARA) [9]. В задачах микроэко-

номики в случаях, когда эластичность спроса по цене можно считать по-

стоянной, спрос описывается степенной функцией [14]. Задача о разладке

для наблюдаемых величин с распределением Парето также имеет степенную

функцию выигрыша. Поскольку степенные функции применяются для опи-

сания явлений в самых разных областях, имеет смысл рассматривать задачу

оптимальной остановки со степенной функцией наиболее общего вида (6).

Таким образом, рассматривается задача:

(7)

Eβ^τ (A (S_τ )^σ + B) → sup

τ ∈T^N

Известно [2], что в случае строго марковской наблюдаемой последователь-

ности {S_n, F_n}

и функции выигрыша, зависящей от значения аргумента

n∈N₀

только в текущий момент времени, урезанные цены v^Nn являются марков-

скими функциями, т.е. для любого n ∈ N₀ существует борелевская функция,

действующая из R⁺ в R⁺, которую будем обозначать через v^Nn (x), такая что



v^Nn = v^Nn (x)

= v^Nn (S_n) P-п.н.

x=Sn

Кроме того, последовательность {v^Nn (x)}n∈N0 однородна по n, т.е. для любых

x ∈ R⁺ и k ∈ N₀ существует борелевская функция, обозначаемая vk (x), такая

что



(8)

v^Nn (x) = v^N-n0 (x) = β^kv^k (x)

k=N-n

Для задачи (7) из результатов, приведенных в подразделе 2.1, и сделан-

ных замечаний следует, что для любо{о x ∈} + существует частичная после-

довательность борелевских функций

v^k (x)

(где k принимает значения

k∈N₀

N,N - 1,... ,0), которая:

1) удовлетворяет рекуррентному соотношению

{

[

]

v^k (x) = max

Ax^σ + B, βEv^k+1 (xλρ1 )

(9)

v^k (x) |_k=N = Ax^σ + B;

(

)

2) v⁰ (x) |x=S0 = v^N0 = sup

Eβ^τ (AS^στ + B) = Eβτ0

ASστ0 + B

, где

τ ∈T^N

[

]

(10)

τ⁰ = min k ∈ N₀ : v^k (S_k) = AS^σk + B

есть оптимальный момент остановки в задаче (7);

3) монотонно не возрастает, т.е. для любого x ∈ R⁺ имеет место неравен-

ство

(11)

v^k (x) ≥ v^k+1

(x) , k ∈ {0, . . . , N - 1}.

Из (9), в свою очередь, для любых x ∈ R⁺, k ∈ N₀ и β ∈ (0, 1] следуют

неравенства

(12)

v^k (x) ≥ Ax^σ + B, v^k (x) ≥ βEv^k+1 (xλρ1

Аналогично [2], введем области остановки и продолжения наблюдений.

Для любого k ∈ N₀ множество Γ_k ⊆ R⁺ назовем множеством (областью) оста-

новки, если

{

}

{

}

(13)

Γ_k ≜ x ∈ R⁺ : v^k(x) = Ax^σ +B

= x ∈ R+ :Axσ +B ≥ βEv^k+1(xλρ1)

Множество C_k ≜ R⁺\Γ_k назовем множеством продолжения наблюдений:

{

}

{

}

(14)

C_k = x ∈ R⁺ : v^k(x) > Ax^σ +B

= x ∈ R+ :Axσ +B < βEv^k+1(xλρ1)

Из определения семейств областей {C_k}k∈N0 и {Γ_k}

, а также свойства мо-

k∈N₀

{

}

нотонности (для любых x ∈ R⁺) частичной последовательности

v^k (x)

k∈N₀

следуют включения

(15)

R⁺ = Γ_N ⊇ Γ_N-1 ⊇ ... ⊇ Γ_k ⊇ ... ⊇ Γ₀,

(16)

∅=C_N ⊆C_N-1 ⊆...⊆C_k ⊆...⊆C₀.

В совокупности (9), (13)-(16) дают представление для v^k (x), где k ∈ N₀,

x∈R⁺:

{ βEvk+1 (xλ^ρ1), если x ∈ C_k,

(17)

v^k (x) =

Ax^σ + B, если x ∈ Γ_k.

С учетом (17) имеем при любых k ∈ N₀ и x ∈ R⁺ представление для v^k (x):

(18)

v^k (x) = (Ax^σ + B)1_{x∈Γ

k} + βEvk+1 (xλρ1) 1{x∈Ck}^.

Итак, чтобы найти решение задачи (7), необходимо решить рекуррентное

уравнение (9) и для любого k ∈ N₀ построить области Γ_k и C_k. Это будет

сделано в следующем разделе.

2.3. Решение задачи с конечным горизонтом

Следующие два утверждения основные для этого раздела, они дают

решение задачи (7). В них будут использованы обозначения

(19)

A_k ≜ A(βEλσρ1 )^N-k , B_k ≜ β^N-k

где k ∈ N₀ любое, A > 0, B ∈ R¹, а σ ≥ 0. Непосредственно проверяется,

что A_k и B_k удовлетворяют рекуррентным соотношениям

(20)

A_k = A_k+1βEλσρ1 , A_k|_k=N = A; B_k = βB_k+1, B_k|_k=N

= B.

Условие (ϕ):

(21)

0 < Eλσρ1

< ∞, σ ≥ 0.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) последовательность {S_k, F_k}

удовлетворяет рекуррентному соот-

k∈N₀

ношению (5);

2) условие (ϕ);

3) дисконтированная функция выигрыша имеет вид (6);

4) для любых (k, x) ∈ N₀ × R⁺ урезанная цена v^k (x) удовлетворяет ре-

куррентному соотношению (9).

Тогда справедливы следующие утверждения:

а) для любых k ∈ N₀ и σ > 0 множества C_k и Γ_k допускают представле-

ния соответственно

{

}

(22)

C_k =

x ∈ R⁺ : A_kx^σ + B_k > Ax^σ + B

{

}

(23)

Γ_k =

x ∈ R⁺ : A_kx^σ + B_k ≤ Ax^σ + B

б) для любых k ∈ N₀, x ∈ R⁺ и σ > 0 решение рекуррентного соотноше-

ния (9) допускает представление

(24)

v^k (x) = Ax^σ + B + max[A_kx^σ + B_k - Ax^σ

− B,0] .

Установим теперь вид оптимального момента остановки в задаче (7). Пред-

варительно заметим, что из (13), (22) следует, что для любого k ∈ N₀ внут-

ренность Γ_k, обозначаемая как int Γ_k, допускает представление

{

}

(25)

int Γ_k ≜

x ∈ R⁺ : A_kx^σ + B_k < Ax^σ + B

Значит, для любого k ∈ N₀ определено множество

{

}

(26)

∂Γ_k ≜ Γ_k\int Γ_k =

x ∈ R⁺ : A_kx^σ + B_k = Ax^σ + B

Если ∂Γ_k = ∅, то (26) определяет границу, которая для каждого k делит R⁺

на область остановки Γ_k и область продолжения наблюдений C_k. Из (26)

также следует, что из разрешимости для любого k ∈ N₀ уравнения

A_kx^σ + B_k = Ax^σ + B

относительно x (т.е. существование элемента x (k) ∈ R⁺, обращающего (26)

в тождество) следует ∂Γ_k = ∅. Частичную последовательность {x (k)}

k∈N₀

задаче об оптимальной остановке называют свободной границей [3].

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого

k ∈ N₀ справедливы следующие утверждения:

I. если β = 1,

1) а σ > 0, ϕ (σ) ≤ 1, то Γ_k = [0, ∞);

2) а σ > 0, ϕ (σ) > 1, то Γ_k = {0};

II. если β ∈ (0,1) и B = 0,

1) а σ > 0, βϕ (σ) ≤ 1, то Γ_k = [0, ∞);

2) а σ > 0, βϕ (σ) > 1, то Γ_k = {0};

III. если β ∈ (0,1) и B < 0,

1) а σ₁ > 0 единственный нетривиальный корень уравнения ϕ (σ) = 1

и βϕ(σ) <1, то Γ_k = [x(k),∞);

2) а σ > 0, βϕ (σ) < 1 и ϕ (σ) = 1, то Γ_k = [x(k), ∞), где частичная по-

следовательность {x (k)}k∈N0 описывает свободную границу, а ее элементы

для любого k ∈ N₀ определяются формулой



(

1-β

(27)

x(k) ≡ maxB

,0;

A (βϕ (σ))^k - 1

3) а σ > 0, βϕ (σ) ≥ 1, то Γ_k = {0};

IV. если β ∈ (0,1) и B > 0,

1) а σ > 0, βϕ (σ) ≤ 1, то Γ_k = [0, ∞);

2) а σ > 0, βϕ (σ) > 1, то Γ_k = [x(k), ∞), где частичная последователь-

ность {x(k)}k∈N0 описывает свободную границу, а ее элементы для любого

k ∈ N₀ определяются формулой (27);

V. пусть {Γ_k}

набор множеств, определенный в пунктах I-IV.

k∈N₀

Тогда оптимальный момент остановки τ⁰ допускает представление τ⁰ =

= min{k ∈ N₀ : S_k ∈ Γ_k} P-п.н.

Замечание 3. 1. Из доказательства теоремы 2 следует, что в утвержде-

ниях I-IV теоремы 2 элементы частичной последовательности {x (k)}k∈N0

определяются единственным образом.

2. Из утверждения теоремы 2 следует, что значения параметров A и B

функции выигрыша существенно влияют на вид решения задачи (7). Так, при

B = 0 получаются лишь тривиальные решения. Такой результат связан с тем,

что слагаемое B в каждый момент умножается на дисконтирующий множи-

тель. Этот факт следует учитывать при выборе конкретного вида функции

выигрыша в прикладных задачах, например в задачах максимизации ожи-

даемого значения функции полезности, которая, как известно, определяется

с точностью до константы.

Итак, теоремы 1, 2 дают явный вид решения задачи (7): цена задачи допус-

кает представление v^N (x) = Ax^σ + B + max [A_N x^σ + B_N - Ax^σ - B, 0], а оп-

тимальный момент остановки имеет вид, указанный в п. V теоремы 2.

3. Задача с бесконечным горизонтом

3.1. Постановка задачи с бесконечным горизонтом

и некоторые известные свойства ее решения

Пусть теперь T^∞0 множество всех конечных марковских моментов τ.

Предположим, что выполнено условие (ϕ). Тогда задача об оптимальной оста-

новке геометрического случайного блуждания с дисконтированной степенной

функцией выигрыша и бесконечным горизонтом состоит в следующем:

(28)

Eβ^τ (AS^στ + B) → sup

τ ∈T^∞

где параметрами задачи являются коэффициент дисконтирования β ∈ (0, 1]

и A, B, σ (σ > 0).

Момент остановки τ⁰ ∈ T^∞0 называют оптимальным, если

(

)

sup

Eβ^τ (AS^στ + B) = Eβτ0

ASστ0 + B

τ ∈T^∞

Пусть борелевская функция v : R⁺ → R¹, обозначаемая как v (x), опреде-

лена равенством

v (x) = sup

Eβ^τ (AS^στ + B) .

τ ∈T^∞

Эту функцию называют ценой оптимальной остановки.

Как}было указано в разделе

2, последовательность урезанных цен

{

v^k (x)

является монотонной (см. неравенство (11)). Поэтому для любого

k≥1

{

}

x ∈ R⁺ у последовательности

v^k (x)

существует поточечный предел

k≥1

v(x) ≜ lim v^k (x) .

k→∞

Известно также [2], что в рекуррентном соотношении (9) в силу теоремы о

монотонной сходимости можно осуществить предельный переход при k → ∞.

Следовательно, для любого x ∈ R⁺ цена v (x) удовлетворяет нелинейному

уравнению

[

]

(29)

v (x) = max Ax^σ + B, βEv (xλρ1 ) .

Из (29) следует, что для любого x ∈ R⁺ имеют место неравенства

(30)

v (x) ≥ Ax^σ + B,

v (x) ≥ βEv (xλρ1

Кроме того, из (29) следует, что приводимые ниже соотношения опреде-

ляют области в R⁺:

а)

{

}

{

}

(31)

Γ≜

x ∈ R⁺ : v(x) = Ax^σ + B

x ∈ R⁺ : Ax^σ + B ≥ βEv(xλρ1)

б)

{

}

{

}

(32)

C ≜

x ∈ R⁺ : v(x) = βEv(xλρ1)

x ∈ R⁺ : Ax^σ + B < βEv(xλρ1)

которые также называют [2] соответственно областью остановки и областью

продолжения наблюдений. Из (31), (32) следуют равенства

(33)

Γ∪C =R⁺

Γ ∩ C = ∅.

Формулы (29), (31)-(33) дают также представление

{ Ax^σ + B при x ∈ Γ,

(34)

v (x) =

βEv(xλρ1) при x ∈ C.

В свою очередь, из (33) и (34) следуют равенства для любых x ∈ R⁺:

v(x) = (Ax^σ + B)1_{x∈Γ} + βEv(xλρ1 ) 1_{x∈C} =

(35)

= Ax^σ + B + [βEv (xλρ1) - Ax^σ - B] 1_{x∈C}.

3.2. Решение задачи с бесконечным горизонтом

Из приведенных выше рассуждений следует, что решение задачи (28) бу-

дет найдено, если установить условия, при которых рекуррентное соотноше-

ние (29) имеет решение. Вид этого решения, а также областей остановки и

продолжения наблюдений для задачи (28) получены в следующем утвержде-

нии.

Теорема 3. Предположим, что выполнено условие (ϕ). Пусть σ1 > 0

удовлетворяет равенству

σ₁

ρ₁

(36)

βEλ

= 1,

причем

(37)

σ=σ1 .

Если выполнено одно из условий:

а)

(38)

σ>σ1

и B > 0,

б)

(39)

σ<σ1

и B < 0,

то справедливы следующие утверждения.

1. Для любых x ∈ R⁺ и β ∈ (0, 1] существует решение уравнения (29),

которое имеет вид

(40)

v (x) = Ax^σ + B + max [A^∗x^σ - Ax^σ

− B,0] ,

где константа A^∗ > 0 допускает представление

σ1

(

)

Aσ-σβ

(41)

A^∗ ≜ B

σ-σ1

B σ1

2. Существует число

(

B σ_β

(42)

x_Γ =

> 0,

Aσ-σ1

отделяющее область остановки от внутренности области продолжения

наблюдения:

а) если выполнено условие (38), то

(43)

Γ = [0,x_Γ], C = (x_Γ

,∞) .

б) если выполнено условие (39), то

(44)

Γ = [x_Γ,∞), C = [0,x_Γ

3. Момент остановки

{

inf {n ≥ 0 : Sn ∈ Γ}

(45)

τ⁰ =

∞, если S_n ∈ Γ для любого n

является оптимальным в задаче (28).

Замечание 4. Выше было отмечено, что значения параметров модели

A и B существенно влияют на вид решения в случае конечного горизонта.

Как следует из утверждения и доказательства теоремы 3, решение задачи в

случае бесконечного горизонта при B = 0 не существует.

4. Заключение

Из утверждений теорем 1-3 следует, что в случае одномерного однород-

ного геометрического случайного блуждания с дисконтированной степенной

функцией выигрыша в задаче об оптимальной остановке:

1) не всегда существуют нетривиальные области остановки и продолжения

наблюдений;

2) соответствующее рекуррентное соотношение (когда горизонт конечен)

или уравнение (когда горизонт бесконечен) допускают явное решение;

3) установлены условия существования и вид решений.

Таким образом, в статье построены новые точно решаемые примеры зада-

чи об оптимальной остановке.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Далее в доказательствах основных утверждений потребуются условия су-

ществования и свойства производящей функции, соответствующей функции

распределения Fρ1 (x) случайной величины ρ₁. Приведем необходимые опре-

деления и утверждения.

Пусть борелевская функция ϕ : R¹ → R⁺ (обозначаемая как ϕ (σ)) опре-

делена равенством

(П.1.1)

ϕ(σ) = Eλσρ1 ,

где 1 < λ < ∞ параметр, σ ∈ R¹ переменная величина. Функцию ϕ (σ)

называют производящей функцией моментов случайной величины ρ₁ [6]. Обо-

значим:

(

)

{

}

{

}

M⁺ ≜ sup

x ∈ R¹ : Fρ1 (x) < 1

M^- ≜ inf

x ∈ R¹ : Fρ1 (x) > 0

x∈R¹

Величина M⁺ (M^-) это существенная верхняя (нижняя) грань случайной

величины ρ₁ [6], а множество вида [M^-, M⁺] ее носитель [6].

Следующее простое утверждение, по-видимому, известно, но, к сожале-

нию, в доступных источниках не было сформулировано и доказано.

Предложение 1. Пусть M^- > -∞ и M⁺ < ∞. Тогда справедливы

утверждения:

1) для любого σ ∈ R¹ выполнено (21);

2) для любого σ ∈ R¹ существуют и конечны производныеdl

ϕ(σ), где

dσ^l

l ∈ N любое, причемd2

ϕ(σ) > 0, т.е. ϕ(σ) строго выпуклая функция;

dσ²

3) если m (σ) ≜^ddσ ln ϕ (σ), то

m (σ)

(П.1.2)

M⁺ = lim

σ→∞ ln λ

m (σ)

(П.1.3)

M^- = lim

σ→-∞ ln λ

Доказательство предложения

По условию предложения 1

M^- и M⁺ конечны, поэтому в доказательстве без ограничения общности

можно полагать ρ₁ ≥ c P-п.н., где c > 0 константа.

1. В силу сделанного предположения и определения величины M⁺ спра-

ведливы неравенства c ≤ ρ₁ ≤ M⁺ < ∞ P-п.н. Отсюда для любого σ ≥ 0 име-

ем P-п.н.

(П.1.4)

0<λ^-|σ|c ≤λ-|σ|ρ1 ≤λσρ1 ≤λ|σ|ρ1 ≤λ|σ|M+

< ∞.

Соотношения (П.1.4) дают искомые неравенства 0 < ϕ (σ) < ∞.

2. Пусть l ∈ N. Тогда из (П.1.4) для любого σ ≥ 0 следуют неравенства

P-п.н.

(

)_l

(П.1.5)

0 < c^lλ^σc ≤ |ρ₁|l λσρ1 ≤

M⁺

λ|σ|M+

< ∞.

Отсюда

0 < E|ρ₁|l λσρ1 < ∞.

Значит, для любого l ∈ N существует l-я производная производящей функции

моментов

d^lϕ

(σ) = (ln λ)^l Eρ^l1λσρ1 ,

dσ^l

причем



dl_ϕ



(П.1.6)

σ)

< ∞.



 dσ^l (

В частности, для любого σ ≥ 0 имеем

(П.1.7)

ϕ(σ) = (ln λ) Eρ₁λσρ1 ,

dσ

d²ϕ

(П.1.8)

(σ) = (ln λ)² Eρ²¹λσρ1

> 0,

dσ²

σρ₁

Eρ₁λ

(П.1.9)

m (σ) = (ln λ)

Eλ^σρ1

Из (П.1.6)-(П.1.8) следует, что ϕ (σ) строго выпуклая функция.

3. Установим равенства (П.1.2)-(П.1.3). Пусть Pσ′ (A)

вероятностная

мера, определенная с помощью преобразования Эшера (см., например, [3])

распределения вероятностей случайной величины ρ₁:

σ^′ρ₁

(П.1.10)

Pσ′ (A) ≜ Eλ

(ω),

Eλσ′ρ1

где A ∈ F любое, а σ^′ ≥ 0. Известно, что Pσ′ эквивалентна P [3]. Тогда из

(П.1.9)-(П.1.10) следует представление

m (σ^′)

(П.1.11)

=EPσ′ρ₁,

ln λ

где EPσ′ρ₁ математическое ожидание случайной величины ρ₁ относительно

меры P^σ′. Из (П.1.11) с учетом ρ1 ≤ M+ < ∞ P-п.н. следует, что для σ ≥ 0

имеет место неравенство

m (σ^′)

(П.1.12)

= EPσ′ρ₁ ≤ M⁺.

ln λ

Пусть {M_n}_n≥1 числовая последовательность такая, что 0 < M_n < M⁺

и lim

M_n = M⁺. Тогдаm(σ′)lnλ = EPσ′ ρ₁ ≥ EPσ′ ρ₁1_[M

n,∞) (ρ1^)≥Mn^,где

n→∞

{ 1, x ∈ [M_n, ∞) ,

1[Mn,∞)^(x)≜

0, x ∈ [M_n, ∞) .

Следовательно,

m(σ^′)

lim

≥M_n → M⁺.

σ^′→∞ ln λ

n→∞

Последняя формула в совокупности с (П.1.12) дает требуемое равенство

limm(σ′)

=M⁺.

ln λ

σ^′→∞

Аналогичным образом устанавливается равенство limm(σ′)

= M^-. До-

lnλ

σ^′→-∞

казательство закончено.

Следствие 1. Пусть выполнены условия предложения 1. Тогда произ-

водящая функция моментов ϕ (σ) при σ ≥ 0 обладает следующими свой-

ствами.

1. Если M⁺ < 0, то функция ϕ(σ) монотонно убывает от значения 1 к

нулю.

2. Если M⁺ > 0 и Eρ₁ < 0, то существуют 0 < σ₀ < σ₁ < σ 1 < ∞ такие,

что:

а) 0 < ϕ (σ₀) = min

ϕ(σ) < 1, т.е. σ₀ единственный неотрицательный

σ∈R⁺

корень уравнения

ϕ(σ₀) = 0;

dσ

б) ϕ (0) = ϕ (σ₁) = 1, где σ₁ = 0 единственный нетривиальный корень

уравнения ϕ (σ) = 1, причем

для любого σ ∈ (0, σ₁) имеют место неравенства 0 < ϕ (σ) < 1,

для любого σ ≥ σ₁ функция ϕ (σ) ≥ 1;

в) для любого β ∈ (0, 1) существует единственный корень σ 1 уравнения

ϕ(σ) =^1β , причем

если σ < σ 1, то ϕ(σ) <1β ,

если σ ≥ σ 1, то ϕ(σ) ≥1β .

3. Если Eρ₁ ≥ 0, то для любого β ∈ (0, 1] существует единственный(

)

нетривиальный корень σ1 уравнения ϕ σ1

=^1β , причем при σ ≥ σ1 функ-

ция ϕ (σ) ≥^1β .

Доказательство следствия 1. Согласно п. 2 предложения 1 (см.

также (П.1.8)) ϕ (σ) строго выпуклая функция. Известно [15], что произ-

водная строго выпуклой функции, в частности^ddσ ϕ (σ), является непрерыв-

ной и монотонно возрастающей. Очевидно также, что производные^dϕdσ (0) и

d²ϕ

(0) определены как правые производные в точке нуль и имеют вид

dσ²

dϕ

d²ϕ

(0) = ln λEρ₁,

(0) = (ln λ)² Eρ²¹.

dσ

dσ²

По определению производящей функции моментов (формула (П.1.1)) пара-

метр ln λ > 1, поэтому знак^dϕdσ (0) совпадает со знаком Eρ₁. Следовательно,

возможны следующие варианты зависимости ϕ (σ) от σ.

Вариант 1: M⁺ < 0. Тогда Eρ₁ < 0,^dϕdσ (0) < 0 и^dϕdσ (σ) ↑ 0 при σ → ∞.

Иными словами, при σ ≥ 0 функция ϕ(σ) монотонно убывает от значения 1

(поскольку ϕ (0) = 1) к нулю.

Вариант 2. Пусть M⁺ > 0, но Eρ₁ < 0 (т.е.^dσ{(0)<}).Крометого,вэтом

случае lim^dϕ

(σ) ≥ ln λ lim

Eρ₁λσρ1 1{O

= ∞, где O_M+ (ε)

dσ

σ→∞

M+(ε)∩(0,∞)}

ε-окрестность точки M⁺, ε > 0 любое. Отсюда следует существование чи-

сел σ₀, σ₁, σ 1 ∈ R⁺ таких, что:

2.1) σ₀

это (в силу теоремы Коши) единственный корень уравне-

ния^dϕdσ (σ) = 0 (действительно,^dϕdσ (0) < 0, lim^dϕ

(σ) = +∞ и^dϕdσ (σ) моно-

σ→∞

dσ

тонно возрастает по σ), причем на основании теоремы Ферма 0 < ϕ (σ₀) =

= minϕ(σ) < ϕ(0) = 1;

σ∈R¹

2.2) σ₁ > 0 это единственное нетривиальное решение уравнения ϕ (σ) = 1

(= ϕ (0)), причем если: а) σ ∈ (0, σ₁], то ϕ (σ) ≤ 1, б) σ > σ₁, то ϕ (σ) > 1;

2.3) σ 1

это корень уравнения ϕ (σ) =^1β , где β ∈ (0, 1), причем σ₁ <

(

)

< σ1 и если σ > σ1 , то ϕ(σ) > ϕ σ1

dϕ

Вариант 3. Пусть Eρ₁ ≥ 0. Тогда^dϕ

(0) ≥ 0 и, поскольку

(σ) монотонно

dσ

возрастает по σ, очевидно, что и ϕ (σ) ≥ 1 монотонна и возрастает по σ, σ ≥ 0.

Поэтому для любого β ∈ (0, 1] существует единственный корень σ 1 уравнения

(

)

ϕ σ1

=^1β , причем при σ ≥ σ1

функция ϕ (σ) ≥^1β .

Доказательство закончено.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

В этом приложении доказаны теоремы 1 и 2.

При доказательстве теоремы 1 воспользуемся следующим вспомогатель-

ным утверждением о виде решения рекуррентного соотношения (относитель-

но w^k : R⁺ → R⁺):

{

w^k (x) = βEw^k+1 (xλρ1 ) ,

(П.2.1)

w^k (x)|_k=N = Ax^σ + B.

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 1. Семейство {w^k(x)}k∈N0

является единственным решением (П.2.1) тогда и только тогда, когда

(П.2.2)

w^k (x) = A_kx^σ + B_k, k ∈ N₀,

где {A_k}k∈N0 и {B_k}k∈N0 определены равенствами (19).

Доказательство леммы 1. 1. Необходимость. Докажем, что семей-

ство функций (П.2.2) является решением системы (П.2.1). Доказательство

проведем методом индукции. При k = N из (П.2.1) следует, что w^k (x) |_k=N =

= Ax^σ + B, x ∈ R⁺.

Пусть

w^k+1 (x) = A_k+1x^σ + B_k+1,

где

A_k+1 = A(βEλσρ1 )^N-k-1, B_k+1 = β^N-k-1B.

Установим, что w^k (x) = A_kx^σ + B_k. Действительно, из (П.2.1) и предположе-

ния индукции для любых x ∈ R⁺ следуют равенства

w^k (x) = βEw^k+1 (xλρ1 ) = βE(A_k+1x^σλσρ1 + B_k+1) =

= βA_k+1x^σEλσρ1 + βB_k+1 = A(βEλσρ1)N-k x^σ + β^N-kB = A_kx^σ + B_k.

Таким образом, основной шаг индукции обоснован, а вместе с ним установ-

лена необходимость.

2. Достаточность. Установим, что семейство функций (П.2.2) удовлетво-

ряет (П.2.1). Из (П.2.2) имеем w^k+1 (xλρ1 ) ≜ A_k+1x^σλσρ1 + B_k+1. От левой

и правой частей последнего равенства возьмем математическое ожидание,

умноженное на β. Учитывая (20), получим

βEw^k+1 (xλρ1 ) = βE (A_k+1x^σλσρ1 + B_k+1) =

= (βA_k+1Eλσρ1 ) x^σ + βB_k+1 = A_kx^σ + B_k = w^k (x) .

Установили достаточность.

Единственность очевидна. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 1. Известно [3], что решение рекуррент-

ного соотношения (9) допускает представление (18). Из (18), в свою очередь,

следует, что для любых k ∈ N₀ имеются три взаимоисключающие возможно-

сти: 1) Γ_k = ∅ (C_k = R⁺), 2) C_k = ∅ (Γ_k = R⁺), 3) C_k = ∅, Γ_k = ∅, причем

C_k ∪ Γ_k = R⁺. Рассмотрим каждую из них.

Возможность 1. Из (9) следует, что в этом случае урезанная цена v^k (x)

для любого x ∈ R⁺ удовлетворяет рекуррентному соотношению

{

v^k (x) = βEv^k+1 (xλρ1 ),

(П.2.3)

v^k (x) |_k=N = Ax^σ + B.

Тогда из утверждения леммы 1 следует, что решение (П.2.3), в силу его един-

ственности, имеет вид

(П.2.4)

v^k (x) = A_kx^σ + B_k,

причем A_k и B_k удовлетворяют рекуррентным соотношениям (20).

Возможность 2. В этом случае из (18) следует, что для любого x ∈ R⁺

решение (9) имеет вид

(П.2.5)

v^k (x) = Ax^σ

+ B.

Возможность 3. Поскольку по условию C_k = ∅, то из (15) следует, что для

любого 0 ≤ n ≤ k множество C_n = ∅. Поэтому для любого x ∈ C_n урезанная

цена vⁿ (x) удовлетворяет рекуррентному соотношению (П.2.3), решение ко-

торого имеет вид (П.2.4). Следовательно, (18) с учетом (15) для любых n ≤ k

и x ∈ R⁺ можно переписать в виде

vⁿ (x) = (Ax^σ + B)1_{x∈Γ

n} +(Anxσ + Bn) 1{x∈Cn} =

(П.2.6)

= (Ax^σ + B) + [A_nx^σ + B_n - Ax^σ - B]1_{x∈C

n}.

Последнее равенство следует из определения множеств C_n и Γ_n.

Из (П.2.6) и (12) очевидным образом следует, что для любых x ∈ R⁺ вы-

полняются соотношения

(П.2.7)

vⁿ (x) - Ax^σ - B = [A_nx^σ + B_n - Ax^σ - B]1_{x∈C

≥ 0.

По условию имеем C_n = ∅. Тогда из (П.2.7) следует, что множество C_n (n ≤ k)

допускает представление

{

}

C_n =

x ∈ R⁺ : vn (x) - Ax^σ - B

{

}

(П.2.8)

x ∈ R⁺ : [A_nx^σ + B_n - Ax^σ - B]1_{x∈C

n} >0

{

}

x ∈ R⁺ : A_nx^σ + B_n > Ax^σ + B

что и доказывает (22). Поэтому в силу (П.2.8) множество Γ_n = R⁺\C_n допус-

кает представление (23).

Рассмотрим правую часть равенства (П.2.7). В силу (П.2.8) для любого

x ∈ R⁺ имеем

[A_nx^σ + B_n - Ax^σ - B]1_{x∈R+_:A

nx^σ+Bn>Ax^σ+B} =

= max{A_nx^σ + B_n - Ax^σ - B,0} .

Поэтому из (П.2.5) с учетом (23) и последнего равенства устанавливается

равенство (24). Этим завершается доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы 2. Согласно теореме 1 для любого k ∈ N₀

множество остановки Γ_k имеет вид (23), из которого следует замкнутость

этого множества. Поэтому его внутренность (int Γ_k) допускает представле-

ние (25). Ясно, что ∂Γ_k, определяемое (26), это множество граничных то-

чек множества Γ_k и при любых k ∈ N₀ граница ∂Γ_k = ∅. Поэтому элементы

x (k) ∈ ∂Γ_k должны удовлетворять уравнению

(П.2.9)

A_kx^σ + B_k = Ax^σ

+ B.

Если выполнены условия теоремы 1 и хотя бы одно из условий I-IV теоре-

мы 2, то для каждого из этих случаев очевидно существование единственного

неотрицательного решения x (k) уравнения (П.2.9). Стало быть, ∂Γ_k одно-

точечное множество (т.е. ∂Γ_k = {x (k)}). Непосредственной проверкой легко

убедиться в справедливости утверждений I-IV теоремы 2.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Доказательство утверждений теоремы 3 опирается на следующее вспомо-

гательное утверждение.

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3, где x ∈ R⁺, а борелев-

ская функция w : R⁺ → R¹ удовлетворяет уравнению (относительно w (x)):

(П.3.1)

w (x) = βEw (xλρ1

Тогда для любого x ∈ R⁺ уравнение (П.3.1) имеет единственное нетри-

виальное решение

σ₁

(П.3.2)

w (x) = A^∗x

^β ,

где A^∗ > 0 некоторая константа, а σ 1 единственный корень уравнения

βϕ(σ) = 1.

Замечание 5. Лемма 2 устанавливает структуру решения уравнения

(П.3.1). Однако, из него не следует, какое значение принимает константа A^∗.

Доказательство леммы 2. Доказательство проведем по индукции.

Рассмотрим рекуррентное соотношение, k ≥ 1

{

w^k (x) = βEw^k-1 (xλρ1 ) ,

(П.3.3)

w^k (x) |_k=0 = A^∗x

^β ,

где x ∈ R⁺, а A^∗ некоторая положительная константа.

Из (П.3.3) следует, что

(

)

w¹ (x) = βEw⁰ (xλρ1 ) = βEA^∗ (xλρ1)

= βA^∗xσσ ϕ σ1

(

)

σ₁

Из условия βϕ σ 1

= 1 следует, что w1 (x) = A^∗x

^β . Пусть теперь w^k-1(x) =

σ₁

=A^∗x

^β . Установим, что из (П.3.3) следует равенство w^k(x) = A^∗x

^β . Дей-

ствительно, из (П.3.3) имеем

(

)

σ₁

w^k (x) = βEA^∗ (xλρ1 )

= βA^∗x

^β ϕ σ1

=A^∗x

^β .

Основной шаг индукции обоснован. Следовательно, для любых k ≥ 1, x ∈ R⁺

σ₁

и β ∈ (0,1] имеем равенство w^k (x) = A^∗x

^β . Поэтому

σ₁

w (x) ≜ lim w^k (x) = A^∗x

^β .

k→∞

Единственность решения уравнения (П.3.1) следует из единственности пре-

дела. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы

3. Поскольку уравнение (П.3.1) имеет

единственное решение (П.3.2) для любого x ∈ R⁺, то оно имеет такое же ре-

шение и для любого x ∈ C ⊆ R⁺. Стало быть, в силу (35) и утверждения

леммы 2 имеем для любого x ∈ C равенства

σ₁

(П.3.4)

v (x) = w (x) = A^∗x

^β .

Поэтому из равенств (34) и (35) в силу (П.3.4) для любого x ∈ R⁺ следуют

равенства

v (x) = (Ax^σ + B)1_{x∈Γ} + βEv (xλρ1 )1_{x∈C} =

(П.3.5)

= (Ax^σ + B)1_{x∈Γ} + v(x)1_{x∈C} =

= (Ax^σ + B)1_{x∈Γ} + A^∗x

^β 1_{x∈C}.

Так как 1_{x∈Γ} = 1 - 1_{x∈C}, то из (П.3.5) следует, что для любых x ∈ R⁺

(

)

(П.3.6)

v (x) - Ax^σ - B = A^∗x

^β - Ax^σ

−B 1_{x∈C}

≥ 0.

Последнее неравенство в (П.3.6) следует из неравенств (30). Непосредствен-

ной проверкой легко убедиться в том, что для любого x ∈ R⁺ в силу (П.3.6)

имеет место равенство

(

)

[

]

(П.3.7)

A^∗x

^β - Ax^σ

− B 1_{x∈C} = max A^∗x

^β - Ax^σ

− B,0 .

Из (П.3.6) и (П.3.7) следует (40).

Теперь установим представление множеств C и Γ. Действительно, из (40)

и определения множества C имеем

{

}

{

}

C =

x ∈ R⁺ : v (x) - Ax^σ + B > 0

= x∈R⁺ :A^∗x

> Ax^σ + B

Отсюда с учетом определения множества Γ = R⁺\C получаем

{

}

(П.3.8)

Γ= x∈R⁺ :A^∗x

≤ Ax^σ + B

Теперь найдем значение константы A^∗. Для этого сначала заметим, что из

неравенства (30) и (П.3.7) следует, что имеет место экстремальная задача

(П.3.9)

(v (x) - Ax^σ - B) → inf .

x∈R⁺

Из равенства (П.3.6) вытекает, что задача (П.3.9) эквивалентна следующей

задаче:

[

]

(П.3.10)

max A^∗x

^β - Ax^σ

− B,0 → inf .

x∈R⁺

Из (П.3.6) и (П.3.7) следует, что

[

]

(П.3.11)

inf max A^∗x

^β - Ax^σ

− B,0

= 0.

x∈R⁺

Возникает вопрос о том, достигается ли нижняя грань в (П.3.11), т.е. су-

ществует ли такое x_Γ > 0, что выполнено равенство

σ₁

(П.3.12)

+ B.

A^∗x^βΓ=AxΓ

Из теоремы Ферма следует, что для существования такого x_Γ > 0 необходимо,

чтобы существовало решение уравнения

(

)

d A^∗x

^β - Ax^σ

− B /dx = 0.

Следовательно,

σ₁

-1

(П.3.13)

σ1

= σAx^σ-1Γ.

A^∗x^βΓ

Таким образом, (П.3.12) и (П.3.13) дают систему нелинейных алгебраических

уравнений относительно A^∗ и x_Γ



σ₁

 A^∗x

= Ax^σΓ + B,

(П.3.14)

σ₁

 σ1

A^∗x

= σAx^σΓ.

Тогда в условиях теоремы 3 (т.е. при выполнении (37) и (38) или (39)), как лег-

ко установить, система (П.3.14) имеет единственное решение вида (41), (42).

Покажем теперь, что x_Γ > 0, определяемое (42), является искомой сво-

бодной границей. Сначала заметим, что множество Γ в силу (П.3.8) можно

представить в виде Γ = ∂Γ ∪ int Γ, где

{

}

int Γ ≜ x > 0 : A^∗x

< Ax^σ + B

внутренность множества Γ, а

{

}

σ1

∂Γ = x > 0 : A^∗x

= Ax^σ + B

свободная граница, отделяющая множество C от int Γ.

Очевидно, что Γ = ∅, если int Γ = ∅, т.е. если существует хотя бы один

x > 0 такой, что выполняется неравенство

σ₁

A^∗x

< Ax^σ + B,

либо если ∂Γ = ∅, то существует хотя бы одно решение уравнения (относи-

тельно x ∈ R⁺) (П.3.12). Следовательно, в силу (П.3.9), существует x_Γ > 0

такая, что

{

}

x_Γ = arg x > 0 : A^∗x

= Ax^σ + B

т.е. x_Γ является единственной крайней точкой множества Γ. Поэтому Γ до-

пускает представление (44).

Для завершения доказательства осталось заметить, что (45) следует из

определения оптимального момента остановки τ⁰ и равенства

{

inf

{n ≥ 0, S_n ∈ Γ} ,

τ⁰ = inf {n ≥ 0 : S_n ∈ Γ} = n

∞, если S_n ∈ Γ для любого n.

Доказательство закончено.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Розов А.К. Оптимальные правила остановки и их применения. СПб.: Политех-

ника, 2009.

2. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. М.:

Фазис, 1998.

4. Аркин В.И., Сластников А.Д. Аркина С.В. Стимулирование инвестиционных

проектов с помощью механизма амортизации / Научный доклад № 02/05. Кон-

сорциум экономических исследований и образования. Серия ¾Научные докла-

ды¿. М.: EERC, 2002.

5. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального экспе-

римента. М.: Наука, 1987.

6. Ширяев А.Н. Вероятность

1. М.: МЦНМО, 2004.

7. Wald A. Sequential analysis. N.Y.: John Wiley and Sons, 1947.

8. Ferguson T. S. Optimal Stopping and Applications. - unpublished manuscript, 2000,

URL: http://www.math.ucla.edu/ tom/Stopping/Contents.html (дата обращения:

10.07.2014).

9. Фëльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время.

М.: МЦНМО, 2008.

10. Jönsson H., Kukush A.G., Silvestrov D.S. Threshold structure of optimal stopping

strategies for american type option. I // Theory Probab. Math. Statist. 2005. No. 71.

P. 93-103.

11. Jönsson H., Kukush A.G., Silvestrov D.S. Threshold structure of optimal stopping

strategies for american type option. II // Theory Probab. Math. Statist. 2006. No. 72.

P. 47-58.

12. Kukush A.G., Silvestrov D.S. Optimal pricing of American type options with discrete

time // Theory Stoch. Proces. 2004. V. 10(26). No. 1-2. P. 72-96.

13. Новиков А.А., Ширяев А.Н. Об одном эффективном случае решения задачи

об оптимальной остановке для случайных блужданий // Теория вероятн. и ее

примен. 2004. Т. 49. Вып. 2. С. 373-382.

14. Силаева М.В., Силаев А.М. Спрос и предложение. Н. Новгород: Нижегород.

филиал ГУ-ВШЭ, 2006.

15. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Кибзуном.

Поступила в редакцию 11.12.2019

После доработки 16.01.2020

Принята к публикации 30.01.2020