Автоматика и телемеханика, № 7, 2020

Управление в социально-экономических

системах

Д.Г. АЛГАЗИНА, канд. техн. наук (darya.algazina@mail.ru)

(Алтайский государственный университет, Барнаул)

ПРОЦЕССЫ РЕФЛЕКСИИ И РАВНОВЕСИЕ

В МОДЕЛИ ОЛИГОПОЛИИ С ЛИДЕРОМ

Проводится аналитическое исследование динамических процессов ре-

флексивного поведения в модели олигополии с лидером в классе линей-

ных функций спроса и издержек агентов. Обосновываются динамические

процессы принятия решений при неточных представлениях агентов о вы-

боре конкурентов, осуществляемые не путем оптимальных ответов на их

ожидаемые действия, а как повторяемые статические игры на диапазоне

допустимых ответов. Агенты от игры к игре, наблюдая сложившееся со-

стояние рынка и учитывая текущие условия по конкурентоспособности

и прибыли, в рамках своей информированности уточняют объемы вы-

пуска, делая шаги в направлении текущего положения цели. Получены

достаточные условия на величины шагов, выбираемые лидером по Шта-

кельбергу и независимо друг от друга агентами с реакцией по Курно, для

сходимости динамик к равновесию.

Ключевые слова: равновесие Штакельберга, рефлексивное коллективное

поведение, конкурентоспособность, валовая прибыль, уточнение объемов

выпуска, условия сходимости.

DOI: 10.31857/S0005231020070077

1. Введение

В ¾классической¿ теоретико-игровой модели Штакельберга [1] фирма, вы-

ступившая в роли единоличного лидера рынка, в точности знает реакцию на

его действия ведомых агентов, конкурирующих по Курно [2] объемами вы-

пуска однородной продукции. Это позволяет фирме выбрать равновесное по

Нэшу [3] действие, которое при наличии общего знания максимизирует ее

прибыль. Однако исследования и опыт применения теоретико-игровых мо-

делей свидетельствует о том, что имеет место фундаментальная проблема

априорной неосведомленности агентов о выборе действий другими агентами

(см., например, [4-9]). Если лидер не располагает достоверной информаци-

ей для построения функции реакции, а ведомые агенты, делая свой выбор,

не располагают точными и полными представлениями о выборе конкурен-

тов, их реакция на действия лидера не будет для него ожидаемой, а сам

лидер может не получить ожидаемой прибыли. В этих условиях лидер и дру-

гие фирмы-агенты вынуждены делать прогнозы действий своих конкурентов

(осуществлять рефлексию).

113

В последнее время исследователи обращают внимание на модели рефлек-

сивного коллективного поведения [10, 11], которые при достаточно слабых

предположениях об информированности агентов и достаточно неадекватных

предсказаниях действий конкурентов дают возможность строить процессы,

приводящие к равновесию (см., например, [4, 7, 12-15]). Используемые до это-

го в модели с лидером по Штакельбергу различные численные методы дости-

жения равновесия, в частности метод однопараметрической прогонки [16],

аппроксимация функции реакции лидера с решением задач математическо-

го программирования с одним ограничением, зависящим от параметра [17],

двухуровневая оптимизация на многогранном множестве с помощью метода

штрафных функций с использованием алгоритма симплициального разбие-

ния [18] и др., не совсем адекватно отражали процессы принятия решений.

Основные результаты по исследованию равновесия Штакельберга с приме-

нением моделей рефлексивного коллективного поведения относятся к выяв-

лению условий существования равновесия, его единственности и сходимости

процессов рефлексии. Аналитические решения, в основном, получены для са-

мой распространенной и простейшей модели коллективного поведения мо-

дели индикаторного поведения [7, 10, 12, 13, 15], в которой не учитываются

экономические ограничения; для более сложных моделей [6, 8, 9, 11, 14] явно

преобладают качественные и численные методы.

В данной статье предложены динамические процессы принятия решений

при неточных представлениях агентов о выборе конкурентов. Решается зада-

ча аналитического оценивания диапазонов допустимых ответов, выбираемых

лидером по Штакельбергу и независимо друг от друга агентами с реакцией

по Курно, таких что динамики сходятся к истинному равновесию. Во вни-

мание принимается начальное состояние олигополии, а в условиях допусти-

мости текущих решений учитываются такие экономические категории, как

конкурентоспособность и убыточность агентов.

2. Базовая модель олигополии и информированность агентов

Пусть i ∈ N = {1, . . . , n} агенты, конкурирующие на рынке объемами

выпуска однородной продукции. Агенты продают произведенный ими вы-

пуск q_i по единой рыночной цене p(Q), которая определяется суммарным∑

объемом выпуска Q = q_i. Действия агентов направлены на максимизацию

i∈N

прибыли:

(1)

Π_i(p(Q),q_i) = p(Q)q_i - φ_i(q_i) → max,

i∈N.

q_i

Цена p(Q) и полные издержки агентов φ_i(q_i) заданы линейными функ-

циями:

(2)

p(Q) = a - bQ, φ_i(q_i) = c_iq_i + d_i

i∈N,

где a, b

параметры спроса; c_i, d_i

предельные и постоянные издержки

агентов.

114

Предпосылки базовой модели: 1) дискретность процесса; 2) однородность

продукции; 3) конкуренция объемами выпусков, весь выпуск реализуется;

4) единая рыночная цена; 5) произвольное число агентов на рынке; 6) линей-

ность функций спроса и полных затрат агентов, имеющих различные пре-

дельные издержки; 7) отсутствие ограничений мощности и коалиций; 8) ра-

циональное поведение агентов, направленное на максимизацию собственной

прибыли; 9) первый агент (i = 1) занимает лидирующее положение среди

остальных агентов за счет того, что ¾предсказывает¿ их ответ на его выбор

объема выпуска; 10) остальные агенты выбирают свои действия по Курно,

считая, что все другие агенты не меняют свои объемы выпуска; 11) одновре-

менный порядок ходов.

Поясним предпосылки 9)-11) и информированность агентов. Здесь выбор

реальных действий всеми агентами осуществляется синхронно (одновремен-

но). Подобный прием упрощает реальный процесс последовательных реак-

ций. Он использован, например, в [7, 8, 12] и, как отмечается в [8], адекватен

в случае, когда достигнутое равновесие стабильно. В отличие от классической

игры Штакельберга, когда лидер делает первым ход, который становится из-

вестен другим агентам, здесь агенты с реакцией по Курно не знают ход лиде-

ра, синхронный своему ходу. Более того, они не знают, что у них есть лидер,

полагая, что он, как и другие агенты, оставит свой объем выпуска неизмен-

ным (например, считая остальных агентов менее ¾интеллектуальными¿, чем

они сами, либо что оппоненты достигли равновесия и им не выгодно от него

отклониться). Полагаем, что агенты, действующие по Курно, не знают, что

другие такие же агенты действуют так же.

Также полагаем, что в базовой модели все агенты точно знают собственные

затраты и целевую функцию, собственную функцию реакции, включающую

параметры спроса a и b, а также уже произведенный выпуск (достаточно

только суммарный) другими агентами. Лидер также знает общее число аген-

тов на рынке. При необходимости, зная формулу (2), агенты могут оценить

сложившуюся на рынке цену. Полагаем также, что агенты не располагают до-

стоверной априорной информацией относительно множеств допустимых дей-

ствий, функций затрат и целевых функций конкурентов, а также об ожида-

емых объемах их выпуска.

Формально предположения лидера и остальных агентов в условиях ука-

занных предпосылок можно записать в виде следующих соотношений для

предположительных вариаций [1, 2]:

∂q_j

j =1

= 0, i = 1, i = j (i, j ∈ N).

∂q₁

∂q_i

Отсюда

∂Q_-1

n-1

(3)

;

∂q₁

∂Q_-i

(4)

= 0, i = 1, i ∈ N.

∂q_i

115

Здесь обозначено

∑

(5)

Q_-i = q_j

i, j ∈ N.

j=i

Следуя определениям рангов рефлексии в общей модели рефлексивного

коллективного поведения [4, 19], можно полагать, что агенты, выбирающие

действия по Курно, обладают низким (¾нулевым¿) рангом рефлексии. Пер-

вый агент обладает более высоким (¾первым¿) рангом рефлексии, считая

всех остальных нерефлексирующими (агентами с нулевым рангом рефлек-

сии), и в соответствии с этим предсказывает их выбор. Его выбор будет ори-

ентирован на наилучший ответ на ту обстановку, которая, по его мнению,

должна сложиться. Предполагается, что все агенты не допускают существо-

вание агентов, имеющих такой же или более высокий ранг рефлексии, чем

они сами.

3. Анализ и постановка проблемы

Традиционный процесс пошаговой рефлексии предполагает, что агенты

выбирают оптимальный отклик в соответствии со своей функции реакции.

Оптимальный отклик i-го агента находится из условия ∂Π_i/∂q_i = 0 с уче-

том (2):

h_i - Q_-i

(6)

q_i =

(i ∈ N),

2 + ∂Q_-i/∂q_i

где обозначено

a-c_i

(7)

h_i =

Если система условий (3)-(7) имеет решение, то соответствующее ему со-

стояние рынка определяется как равновесие Штакельберга [1].

Тогда из (3), (4), (6) имеем выражения для оптимального отклика (см.,

например, [7, 12]):

n(h₁ - Q_-1)

(8)

q₁ =

1+n

h_i - Q_-i

(9)

q_i =

i ∈ N \{1}.

Приведем соответствующий динамический процесс рефлексивного коллек-

тивного поведения:

1. Первый агент, используя наблюдаемые выпуски остальных агентов q^ti

и полагая, что в текущем (t + 1)-м моменте времени они будут действовать

по Курно, на основе (8) рассчитывает свой текущий оптимальный выпуск

(оптимальный отклик) x^t1:

n(h₁ - Q^t-1)

(10)

x^t1 =

1+n

116

Каждый из остальных агентов, используя наблюдаемые выпуски конку-

рентов q^ti и полагая, что в текущем (t + 1)-м моменте времени все они, вклю-

чая первого, выберут те же выпуски, какие выбрали в предыдущем t-м мо-

менте, на основе (9) рассчитывает свой текущий оптимальный выпуск (опти-

мальный отклик на действия конкурентов) x^ti:

h_i - Q^t-i

(11)

x^ti =

i ∈ N \{1}.

Начальный вектор выпусков q⁰ = (q⁰¹, . . . , q⁰ⁿ) считается заданным. Осталь-

ные правила процесса рефлексии определяются условиями базовой модели

олигополии 1)-9) в разделе 2.

2. Каждый агент рассчитывает свой выпуск в текущем (t + 1)-м моменте

времени по формуле

(12)

q^t+1i = x^ti

(i ∈ N; t = 0, 1, 2, . . .).

Затем процесс повторяется с п.1.

Определим (10)-(12) как процесс 1. Его можно рассматривать как имита-

цию автоматов, формально осуществляющих выбор действия.

К достоинствам процесса можно отнести его выраженную целевую направ-

ленность, так как агент в каждый момент выбирает наилучший ответ. К ос-

новным недостатком процесса относятся: отсутствие сходимости при n ≥ 3

(соответствующее утверждение приведено в разделе 5 и доказано в Прило-

жении), для него не гарантируются текущие неотрицательные выпуски, по-

ложительная валовая прибыль агентов, положительная цена товара.

4. Адаптивная динамика в модели олигополии с лидером

Приведем (1) с учетом (2) и (7) к виду Π_i = b(h_i - Q_-i - q_i)q_i - d_i. Ра-

циональный агент при ожиданиях h_i - Q_-i > 0 выбирает положительный

выпуск, который определяется выражениями (8) и (9). При ожиданиях

h_i - Q_-i ≤ 0 положительный выпуск дает отрицательную валовую прибыль

(т.е. прибыль без учета постоянных издержек d_i), и, чтобы минимизировать

потери, агент выбирает нулевой выпуск.

Принимая во внимание эти положения, достоинства и недостатки процес-

са (10)-(12), рассмотрим следующий динамический процесс рефлексивного

коллективного поведения (процесс 2):

1. Агенты рассчитывают текущее положение своей цели так же, как в

процессе 1: лидер по формуле (10), агенты с реакцией по Курно по (11).

2. Каждый агент рассчитывает свой выпуск в текущем (t + 1)-м момен-

те времени, делая шаг от выпуска за предыдущий t-й момент времени по

направлению к текущему оптимальному выпуску x^ti по формуле

{

q^ti + γ^t+1i(x^ti - q^ti), x^ti > 0;

(13)

q^t+1i =

(i ∈ N; t = 0, 1, 2, . . .).

x^ti ≤ 0

117

Здесь: γ^t+1i ∈ [0; 1]

параметры, определяющие величины шагов. В этом

процессе в отличие от процесса 1 допускается ¾неполный¿ шаг.

Затем процесс повторяется с п. 1.

Достоинства такого процесса: его целевая направленность, поскольку

агент в каждый момент выбирает шаг в направлении текущей цели; эконо-

мическая содержательность процесса, выраженная в том, что условиями (13)

гарантируются неотрицательный текущий выпуск (конкурентоспособность)

и неотрицательная текущая валовая прибыль агентов.

В теории коллективного поведения формула (13) без условия на x^ti опи-

сывает динамику выбора решений, основанную на аксиоме индикаторного

поведения [10].

5. Основные результаты

Приведем основные, доказанные в Приложении, утверждения для процес-

сов (10)-(12) и (10), (11), (13).

Утверждение 1. Процесс (10)-(12)

а) сходится при n = 2;

б) сходится при n ≥ 3, если x₁ =y1y₀ ,y0^{=0.Здесь:x}1^{большийкорень}

уравнения x² - px - g = 0 при p =^2-n2 и g =^n(n-1)2(1+n) , а y₀, y₁

начальные

значения последовательности y_t = q^t+11 - q^t1;

в) в остальных случаях при n ≥ 3 расходится.

Утверждение 2. Процесс (10), (11), (13), в котором допустимые от-

веты агентов учитывают сложившиеся текущие условия по их кон-

курен

(

]

(

]

γ^t+1i ∈

для агентов с реакцией по Курно и при γ^t+11 ∈

0;¹

1+n

{ля лидер}по Штакельбергу (t = 0, 1, 2, . . .) и любых начальных выпусках

q⁰ⁱ, i ∈ N

В Приложении также формулируются и доказываются леммы, используе-

мые для доказательства утверждений 1 и 2.

Следует также отметить, что некоторые результаты, полученные в При-

ложении при доказательстве утверждения 2, отчасти повторяют результа-

ты авторов статьи для олигополии Курно [20], но сами доказательства этих

результатов имеют специфику, обусловленную различием моделей рынка и

процессов рефлексии.

6. Заключение

На конкурентных рынках агенты, как правило, не раскрывают друг дру-

гу свои истинные возможности и намерения. В представленной в статье

теоретико-игровой модели олигополии агенты, не располагая достоверной ин-

формацией о выборе действий конкурентами, разыгрывают повторяющуюся

игру с лидером по Штакельбергу. В классе линейных функций спроса и из-

118

держек агентов проведено аналитическое исследование двух моделей рефлек-

сивного принятия решений:

в первой модели агенты выбирают оптимальные ответы на ожидаемые

действия окружения в соответствии со своей функцией реакции. Аналитиче-

ски доказано, что такой процесс рефлексии сходится при n = 2, а при n ≥ 3

расходится. Ранее этот факт подтверждался численным моделированием;

во второй модели рефлексивного коллективного поведения допускаются

неоптимальные ответы, осуществляемые агентами в направлении их текущих

целей. Условия допустимости ответов учитывают не только величину ¾шага¿

движения в направлении текущей цели, но и сложившиеся текущие условия

по конкурентоспособности и прибыли агентов. Для такого процесса в ста-

тье получены аналитические оценки для диапазонов ответов, при которых

процесс сходятся к равновесию.

Результаты численного моделирования указывают на перспективность

аналитических исследований в направлении расширения диапазонов ¾ша-

гов¿, гарантирующих сходимость процессов рефлексии. Так, эксперименты

показали [21], что, в частности, при n = 3 правая граница диапазона сходи-

мости может быть доведена до 0,8 ÷ 0,9, при n = 4 до 0,6 ÷ 0,7, при n = 5

до 0,5 ÷ 0,6, . . ., при n = 9 до 0,3 ÷ 0,4. Это превышает почти в 2 раза гра-

ницы по утверждению 2 и говорит о потенциале к развитию аналитических

методов. Также актуален и перспективен поиск аналитических решений для

нелинейных моделей рынка.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Из (5), (11) и (12) для агентов,

действующих по Курно, имеем

(

)

(Π.1)

q^t+1i =

h_i - Q^t + q^ti

По двум соседним периодам имеем разность

(

)

(

)

q^t+1i - q^ti =

q^ti - q^t-1i

Q^t - Q^t-1

Суммируя по индексу i (i = 2, . . . , n) полученное выражение, приходим к

равенству

n-2

(

)

n-1

(

)

(Π.2)

Q^t+1-1 - Q^t-1 = -

Q^t-1 - Q^t-1-1

q^t1 - q^t-11

Для лидера по Штакельбергу из (10) и (12) получаем

(

)

(Π.3)

q^t+11 =

h₁ - Q^t-1

1+n

Из (П.3) следуют равенства

1+n

(Π.4)

Q^t-1 -Q^t-1-1 = -

(q^t+11 - q^t1), Q^t+1-1 - Q^t-1 = -

(q^t+21 - q^t+11

119

Подставляя полученные выражения в (П.2), получим

2-n

(

)

n(n - 1)

(

)

(Π.5)

q^t+21 - q^t+11 =

q^t+11 - q^t1

q^t1 - q^t-11

2(1 + n)

Введем обозначения

2-n

(Π.6)

n(n - 1)

(Π.7)

2(1 + n)

(Π.8)

y_t = q^t+11 - q^t1.

Тогда (П.5) представляет собой линейную рекуррентную последователь-

ность с постоянными коэффициентами и начальными значениями y₀ = q¹¹-

-q⁰¹, y₁ = q²¹ - q¹¹, имеющую вид

(Π.9)

y_t+2 = py_t+1 + gy_t

(t ≥ 0).

Известно [22], что для линейной рекуррентной последовательности с по-

стоянными коэффициентами имеет место соотношение

(Π.10)

y_t = s₁(x₁)^t + s₂(x₂)^t.

В (П.10) индекс “t” обозначает временной период и является показателем

степени для корней x₁ и x₂ характеристического уравнения x² - px - g = 0,

а значения s₁ и s₂ находятся из решения системы линейных уравнений

{

y₀ = s₁x₁ + s₂x₂,

(Π.11)

y₁ = s₁ (x₁)² + s₂ (x₂)² .

Далее будут полезны записи этих корней:

√

p²

(Π.12)

x₁ =

+ g, x₂ =

+ g.

Лемма П.1. Корни x₁ и x₂ характеристического уравнения x² - px-

-g = 0 а) различны, б) действительные, в) не равны нулю, г) имеют раз-

ные знаки, д) при n = 2 больший корень x₁ =

√

, меньший x₂ =

√

, е) при

n ≥ 3 большим по модулю является отрицательный корень и его модуль

больше единицы, ж) положительный корень меньше единицы.

(2-n)²

Доказательство леммы П.1. Подкоренное выражение

+ n(n-1)2(1+n) в (П.12) положительно, т.е. корни уравнения простые и действитель-

ные. Допустим, есть равные нулю корни. Тогда из x² - px - g = 0 следует, что

g = 0. Но по (П.7) такое возможно только при n = 1. Положения а), б) и в)

доказаны.

120

Имеем x₁x₂ = -g = -^n(n-1)2(1+n) . Поэтому следует г). При n = 2 имеем

(

)

(_√

√

)

11-1

√

, если n = 3, то x =

,^-

. При n ≥ 4 будет

x₁x₂ < -1. Поэтому справедливы положения д) и е). Докажем ж). По (П.12)

√

(2-n)²

x₁ =^2-n4 +

+ n(n-1)2(1+n). Имеем x₁ < 1, так как

+n(n-1)2(1+n) <

< 1 - ^2-n4 или^n(n-1)2(1+n) < 1 - ^2-n2 = ⁿ².

Лемма П.1 доказана.

Лемма П.2. Если больший простой корень x₁ характеристического

уравнения последовательности y_t+2 = py_t+1 + gy_t равенy1y₀ (y0^{=0),топо-}

следовательность сходится к нулю.

Доказательство леммы П.2. Пусть x₁ =y1y₀ (y0^{=0).Полемме1}

x₁ = 0. Из системы уравнений (П.11) имеем s₂x₂(x₁ - x₂) = 0. Поскольку кор-

ни различны и x₂ = 0, то s₂ = 0. Тогда по (П.10) будет y_t = s₁(x₁)^t. По лем-

ме П.1 x₁ < 1, поэтому {y_t} сходится к нулю.

Лемма П.2 доказана.

Ниже верхним индексом “(s)” обозначим показатели в статическом равно-

весии Штакельберга для базовой модели (1), (2).

Лемма П.3. Если yt =q^t+11-qt1 → 0 при t→ ∞, то а) qt1 → q^(s)1, б) qti → q^(s)i

∀i ∈ N \{1}.

Доказательство леммы П.3. По (П.4) следует Q^t-1 - Q^t-1-1 → 0. По-

(

)

кажем, что q^t1 → q^(s)1. Преобразуем (П.1) к виду q^t+1i - q^ti =¹²

h_i - Q^t - q^ti

Суммируя это выражение по i (i = 2, . . . , n), получим

(

)

∑

Q^t+1-1 - Q^t-1 =

h_i - nQ^t + q^t

i=2

(

)

∑

nh₁ - nQ^t - q^t1 + h_i - nh₁ + 2q^t

i=2

(

)

По (П.3) q^t+11 - q^t1 =

nh₁ - nQ^t - q^t1

. Поэтому nh₁ - nQ^t - q^t1 → 0 и

n+1

(

)

∑

(s)

q^t1 →¹²

nh₁ - h_i

= Q^(s). Часть а)

= q^(s)1. Итак, q^t1 → q^(s)1 и Q^t → h₁ - q1n

i=2

доказана.

(

)

Из (П.1) и Q^t → Q^(s) следует, что q^t+1i -¹² q^ti =¹²

h_i - Q^t

{

и q^t+1i -²}qi →

(

)

→¹²

h_i - Q^(s)

. Поэтому сходятся последовательности

q^ti -¹⁴q^t-‘1i

, а так-

{

}

же

q^t+1i -¹⁴q^t-1i

как суммы сходящихся последовательностей. По той же

{₁

}

{

}

причине сходятся

q^t-1i -¹⁸q^t-2i

q^t+1i -¹⁸q^t-2i

и т.д. Приходим к то-

{

}

{

}

му, что сходятся

q^t+1i -

q⁰ⁱ

q^t+1i

. Тогда из (П.1) следует, что

2^t+1

q^ti → q^(s)i = h_i - Q^(s) (i ∈ N \{1}).

Лемма П.3 доказана.

Теперь вернемся непосредственно к доказательству утверждения 1.

121

При n = 2 из (П.10) и положения д) леммы П.1 следует y_t = q^t+11 - q^t1 → 0.

Тогда по лемме П.3 q^t1 → q^(s)1 и q^t2 → q^(s)2. При n ≥ 3 и x₁ =y1y₀ ,y0^{=0полем-}

ме П.2 y_t = q^t+11 - q^t1 → 0, и по лемме П.3 q^ti → q(s)i ∀i ∈ N. Части а) и б)

утверждения доказаны.

При n ≥ 3 и x₁ =y1y₀ в(П.10)s2^{=0.ПолеммеП.10<x}1^<1иx2^<-1.

Поэтому y_t = q^t+11 - q^t1 не сходится к нулю.

Утверждение 1 доказано.

Примечание. Если y₀ = 0 и s₂ = 0, то из системы уравнений (П.11)

имеем s₁ = 0 и y_t ≡ 0. Процесс будет ¾стоять на месте¿ и сходиться не

может.

Доказательство утверждения 2. Введем функции-индикаторы

[11], характеризующие отклонения текущих выпусков от текущих оптиму-

мов, α^ti = 2(x^ti - q^ti) для агентов с реакцией по Курно и α^t1 =¹⁺ⁿⁿ (x^t1 - q^t1) для

лидера. Коэффициенты ¾2¿ и ¾¹⁺ⁿⁿ ¿ введены для последующих удобств. Ис-

(s)

пользуя (7) и что по (10), (11) h_i = Q^(s) + q^(s)i (i ∈ N \ {1}) и h₁ = Q^(s) +q1n^,

имеем

(Π.13)

α^ti = Q^(s) + q^(s)i - Q^t - q^ti

i ∈ N \{1},

(Π.14)

α^t1 = Q^(s) +

q^(s)1 - Q^t -1qt1.

Решением однородной системы уравнений (П.13), (П.14) является равно-

весный выпуск q^ti = q^(s)i (i ∈ N). Будет показано, что наряду с функциями-

индикаторами важную роль в исследовании и{доказат}льстве сходимости

процесса (10), (11), (13) играет выражение max

α^ti - α^t

i,j∈N

{



}

{

}

Введем обозначения: N^t1 =

ixti > 0, i ∈ N

, N^t2 =

i| x^ti ≤ 0, i ∈ N

. То-

гда N^t1

⋂N^t2 =⊗иN^t1⋃N^t2 =N.

С учетом введенных обозначений, а также (7), (10), (11), (П.13) и (П.14)

запишем (14) как





γ^t+1i

q^ti +

α^ti, i ∈ N^t1 \{1} , γ^t+1i ∈ [0;1] ,

(Π.15)

q^t+1i =



i ∈ N^t2 \{1};





γ^t+11n

q^t1 +

α^t1, 1 ∈ Nt1, γt+11 ∈ [0; 1],

(Π.16)

q^t+11 =

1+n



1∈N^t2.

Для последующих преобразований удобно переопределить параметры γ

t+1

следующим образом: λ^t+1i = γ^t+1i, i ∈ N \ {1}; λ^t+11 =γ1

(t = 0, 1, 2, . . .).

1+n

122

Тогда:

∑

λ^t+1

∑

(Π.17)

Q^t+1 = Q^t +

α^tj -

q^tj;

j∈N^t1

j∈N^t

Q^(s) + q^(s)i - Q^t+1 - q^t+1i =

=Q^(s) +q^(s)i -Q^t -q^ti -λi+1αti - Qt+1 + Qt, i ∈ Nt1 \{1} ;

1λ^t+11

Q^(s) +

q^(s)1 -Q^t+1 -1qt+11 = Q(s) +

q^(s)1 -Q^t -1qt1 -

α^t1 -Q^t+1 +Q^t;

(

)

λ^t+1i

(Π.18)

α^t+1i =

α^ti - Q^t+1 + Q^t =

(

)

∑

λ^t+1

∑

λ^t+1i

α^ti -

α^tj +

q^tj,

i ∈ N^t1 \{1};

j∈N^t1

j∈N^t

(

)

λ^t+11

(Π.19)

α^t+11 =

α^t1 - Q^t+1 + Q^t =

(

)

∑

λ^t+1

∑

λ^t+11

α^t1 -

α^tj +

q^tj,

1∈N^t1;

j∈N^t1

j∈N^t

Q^(s) +q^(s)i -Q^t+1 -q^t+1i = Q^(s) +q^(s)i -Q^t -q^ti +q^ti -Q^t+1 +Q^t, i ∈ N^t2 \{1} ;

Q^(s) +

q^(s)1 - Q^t+1 -1qt+11 = Q(s) +

q^(s)1 - Q^t -1qt1 +

q^t1 - Q^t+1 + Q^t;

∑

λ^t+1

∑

(Π.20)

α^t+1i = α^ti +q^ti -Q^t+1 +Q^t = α^ti +q^ti -

α^tj +

q^tj, i ∈ N^t2

\{1};

j∈N^t1

j∈N^t

∑

λ^t+1

∑

(Π.21) α^t+11 = α^t1 +

q^t1 -Q^t+1 +Q^t = α^t1 +

q^t1 -

α^tj +

q^tj,

1∈N^t2.

j∈N^t1

j∈N^t

Лемма}П.4. Если для процесса (10), (11), (13) в последовательности

{

α^ti, i ∈ N

есть не только положительные члены, то

{

}

{

}

max

α^t+1i - α^t+1

< max

α^ti - α^tj

i,j∈N

Доказательство лемм{ы П.4. Воз}ожны 4 случая для агентов i и j,

на которых достигается max

α^t+1i - α^t+1

: 1) i, j ∈ Nt1; 2) i ∈ Nt1, j ∈ Nt2;

i,j∈N

3) i ∈ N^t2, j ∈ N^t1; 4) i, j ∈ N^t2.

Рассмотрим первый случай. Пусть i, j ∈ N^t1. Для определенности поло-

жим, что i, j ∈ N^t1 \ {1}. Когда i ∈ N^t1 \ {1}, j = 1 или i = 1, j ∈ N^t1 \ {1},

{

}

доказательства аналогичны. Обозначим: α^t+1

= max

α^t+1i,i ∈ N^t1

M^t+11

123

{

}

α^t+1

= min

α^t+1i,i ∈ N^t1

. По (П.18)

m^t+11









λ^t+

t+1

λ^t+1

M₁

m^t+11

αt

α^t+1

-α^t+1

=1 -

-1 -

M^t+11

m^t+11

M^t+11

m^t+1

Но αtMt+1

≤αtMt >0и αtmt+1

≥ αtmt ≤ 0. Поэтому

{

}

{

}

max

α^t+1i - α^t+1

<αtMt+1

- α^tmt < α^tMt - α^tmt = max

α^ti - α^tj

i,j∈N^t1

i,j∈N

Рассмотрим второй случай, когда i ∈ N^t1, j ∈ N^t2. Пусть для определенно-

сти i ∈ N^t1 \ {1}, j = 1. Когда i = 1, j ∈ N^t2 \ {1} или i ∈ N^t1 \ {1}, j ∈ N^t2 \ {1},

доказательства аналогичны. По (П.18) и (П.21) имеем, что





(

)

λ^t+

t+1

M₁

α^t+1

-α^t+1

=1 -

αt

- αtmt+1

qtmt+1

M^t+11

m^t+12

M^t+11

{

}

Здесь α^t+1

= min

α^t+1i,i ∈ N^t2

,m^t+12 =1 иαtMt+1

≤ αtMt > 0. Тогда

m^t+12

{

}

{

}

max

α^t+1i - α^t+1

< α^tMt - α^tmt+1

≤ α^tMt - α^tmt = max

α^ti - α^tj

i∈N^t1,j∈N^t2

i,j∈N

Рассмотрим случай i ∈ N^t2, j ∈ N^t1. Пусть для определенности i = 1,

j ∈ N^t1 \{1}. Когда i ∈ N^t2 \{1}, j = 1 или i ∈ N^t2 \{1}, j ∈ N^t1 \{1}, дока-

зательства аналогичны. Тогда M^t+12 = 1. Ввиду

(10) и x^t1 ≤ 0, (П.14) и

(s)

h₁ = Q^(s) +q1nимеемα1 +ⁿq¹ =h1-Q−1-q1 <0<αMt^{.Тогдапо(П.21)}

и (П.18) получим





(

)

λ^t+

t+1

αt

α^t+1

-α^t+1

= αtMt+1

qtMt+1

-1 -

M^t+12

m^t+11

m^t+1





λ^t+

t+1

{

}

αt

< α^tMt - 1 -

< α^tMt - α^tmt = max

α^ti - α^tj

m^t

i,j∈N

Пусть теперь i, j ∈ N^t2. Возьмем для определенности i = 1, j ∈ N^t2 \ {1}.

Когда i ∈ N^t2 \ {1}, j = 1 или i ∈ N^t2 \ {1}, j ∈ N^t2 \ {1}, доказательства

аналогичны. По (П.20) и (П.21) α^t+1i - α^t+1j = (α^ti +¹qti) - (αtj + qtj). Име-

{

}

{

}

ем max

α^t+1i - α^t+1

< max

α^t+1i - α^t+1

, так как i = M^t+12 = 1 и

i,j∈N^t2

i∈N^t1,j∈N^t

α^t1 +¹ⁿq^t1 < αtMt. Обобщая все случаи, получаем

{

}

{

}

{

}

max

α^t+1i - α^t+1

= max max

α^t+1i - α^t+1

max

α^t+1i - α^t+1

i,j∈N

i,j∈N^t1

i∈N^t1,j∈N^t

}

{

}

{

}

{

}

max

α^t+1i - α^t+1

, max

α^t+1i - α^t+1

< max

α^ti - α^tj

i∈N^t2,j∈N^t1

i,j∈N^t2

i,j∈N

124

Лемма П.4 доказана.

(

]

Лемма П.5. Пусть для процесса (10), (11), (13) γ^t+1i ∈

для аген-

1+n

(

]

тов с реакцией по Курно и γ^t+11 ∈

0;¹ⁿ

для лидера по Штакельбергу. Тогда

{

}

а) если в последовательности

α^ti,i ∈ N

есть положительные члены, то

{

}

в последовательности

α^t+1i,i ∈ N

также будут положительные члены,

{

}

б) если в последовательности

α^ti,i ∈ N

есть отрицательные или нулевые

{

}

члены и N^t1 = N, то в

α^t+1i,i ∈ N

будут отрицательные члены.

Доказательство леммы П.5. Докажем часть а). Имеем αtMt > 0 и

M^t ∈ N^t1. По (П.18) и (П.19)





(

)

t+1

∑

λ^t+1j

λ^t+1

λ^t+1j

M^t

1-

M^t

,

αt+1Mt >

α^tMt - α^t

=α^t

M^t

j∈N^t1

j∈N^t

если M^t ∈ N^t1 \ {1}, или





(

)

t+1

∑

λ^t+1j

λ^t+1

∑

λ^t+1j

M^t

1-

M^t

,

αt+1Mt >

α^tMt - α^t

=α^t

M^t

j∈N^t1

j∈N^t

t+1

∑

λ^t+1j

> 0, что имеет место с уче-

если M^t = 1 ∈ N^t1. Если 1 -λMt2 -

j∈N^t

том введенного ранее переопределения параметров, то α^t+1

> 0 при λ^t+1i =

M^t

(

]

t+1

(

]

= γ^t+1i ∈

(i ∈ N \ {1}) и λ^t+11 =γ1

∈

1+n

Часть б) леммы доказывается аналогичным образом на основе формул

(П.18) и (П.19).

Лемма П.5 доказана.

Лемма П.6. Для процесса

(10), (11), (13) справедливы неравенства:

а) Q^(s) - Q^t > Q^(s) - Q^t+1 > 0, если α^ti, α^t+1i ≥ 0 (∀i ∈ N) и есть отличные

от нуля α^ti и α^t+1i; б) Q^t - Q^(s) > Q^t+1 - Q^(s) > 0, если α^ti,α^t+1i ≤ 0 (∀i ∈ N)

и есть отличные от нуля α^ti и α^t+1i.

Доказательство леммы П.6. По (П.17) Q^(s) - Q^t+1 = Q^(s) - Qt -

∑

λ^t+1

∑

α^tj +

q^tj. При условиях на α^ti в части а) леммы N^t2 будет пу-

j∈N^t1

j∈N^t

сто и Q^(s) - Q^t > Q^(s) - Q^t+1. Если также α^t+1i ≥ 0 и не все равны нулю, то

∑

с учетом (П.13), (П.14)

α^t+1i + nα^t+11 = 2n(Q^(s) - Q^t+1) > 0 и поэтому

i∈N \{1}

Q^(s) - Q^t > Q^(s) - Q^t+1 > 0. Часть б) леммы доказывается аналогичным об-

разом.

Лемма П.6 доказана.

В следую}щей лемме доказываются результаты относительно смены знаков

{

α^ti,i ∈ N

при переходе из t-го в (t + 1)-й момент времени.

125

Лемма П.7. Если в процессе (10), (11), (13) a) некоторый отрицатель-

ный член последовательности {α^ti, i ∈ N} в {α^t+1i, i ∈ N} станет положи-

тельным, то все положительные члены {α^ti, i ∈ N} сохранят свои знаки

в {α^t+1i, i ∈ N}; б) некоторый положительный член последовательности

{α^ti, i ∈ N} в {α^t+1i, i ∈ N} станет отрицательным, то все отрицательные

члены {α^ti, i ∈ N} сохранят свои знаки в {α^t+1i, i ∈ N}.

Доказательство леммы П.7. Докажем часть a). Пусть k индекс

отрицательного члена, переходящего в положительный, и k ∈ N^t1. Тогда по

(П.18) и (П.19) знаки положительных α^ti не изменятся. Пусть k ∈ N^t2. Учи-

тывая, что 2x^tk = α^tk + 2q^tk ≤ 0 (k = 1) или¹⁺ⁿⁿ x^t1 = α^t1 +¹⁺ⁿⁿ q^t1 ≤ 0 (k = 1), по

(П.20) и (П.21) знаки положительных α^ti (i ∈ N^t2), а по (П.18) и (П.19) знаки

положительных α^ti (i ∈ N^t1) не изменятся. Часть a) доказана. Часть б) дока-

зывается аналогичным образом.

Лемма П.7 доказана.

После доказательства вспомогательных лемм вернемся непосредственно к

доказательству утверждения 2.

Вначале обратим внимание на последовательности только с отрицатель-

ными и нулевыми членами. Такая последовательность может в очередной

момент времени перейти в последовательности: 1) имеющие положительные

члены, 2) не имеющие положительных членов.

Если имеет место первый случай, то последовательность только с отрица-

тельными и нулевыми членами далее не встретится, так как согласно лем-

ме П.5 пос

(

]

(

]

при γ^t+1i ∈

(i ∈ N \ {1}) и γ^t+11 ∈

0;¹ⁿ

перейти в последовательность

1+n

только с отрицательными и нулевыми членами. Поэтому во всех последую-

щих последовательностях будут положительные члены.

Если реализуется второй случай, то согласно лемме П.6 будет 0 < Q^t+1-

-Q^(s) < Q^t - Q^(s). Опять возможно, что в (t + 2)-й момент времени окажутся

только отрицательные и нулевые члены. Таким образом, последовательности

только с отрицательными и нулевыми членами могут быть либо в начальной

стадии процесса, либо на протяжении всего процесса. Последнее рассмот-

рим подробнее. Последовательное применение леммы П.6 дает цепочку нера-

венств Q⁰ - Q^(s) > Q¹ - Q^(s) > . . . > Q^t - Q^(s) > Q^t+1 - Q^(s) > . . . > 0 (t > 1), из

∑

которой следует Q^t → Q^(s) и_i∈N\{1} α^ti + nα^t1 = 2n(Q^(s) - Q^t) → 0. Поэто-

му α^ti → 0, а по (П.13) и (П.14) q^ti → q^(s)i (i ∈ N). Процесс сходится.

Пусть теперь α^ti > 0 (∀i ∈ N). Поскольку α^ti = 2(x^ti - q^ti), то x^ti > 0 ∀(i ∈ N)

и все агенты рассчитывают свой текущий выпуск по формуле (13). Тогда из

леммы П.6 следует неравенство Q^(s) - Q^t+1 < Q^(s) - Q^t. Если и в последую-

щие моменты знаки всех членов останутся положительными, то из цепочки

неравенств Q^(s) - Q^t > Q^(s) - Q^t+1 > . . . > Q^(s) - Q^t+k > Q^(s) - Q^t+k+1 >

... > 0 (k > 1) следует последовательное приближение суммарного объема

выпуска к равновесному, т.е. Q^t → Q^(s). Тогда α^ti → 0 и q^ti → q^(s)i (i ∈ N).

{

}

Пусть в

α^ti,i ∈ N

есть не только положительные члены. По лем-

ме П.4 процесс сделает последовательное приближение к равновесию, так

126

{

}

{

}

{

}

как max

α^t+1i - α^t+1

< max

α^ti - α^t

. По лемме П.5 в

α^t+1i,i ∈ N

бу-

i,j∈N

дут положительные члены. Если в ней есть также отрицательные или

нулевые {лены, то п}оцесс сд{лает следу}щее приближение к равнове-

сию max

α^t+2i - α^t+2

< max

α^t+1i - α^t+1

. Если подобная ситуация по-

i,j∈N

{

}

вторяется на протяжении всего процесса, то имеем max

α^t+1i - α^t+1

i,j∈N

{

}

{

}

{

}

< max

α^ti - α^t

< max

α^t-1i - α^t-1

< ... < max

α⁰ⁱ - α⁰

. Таким обра-

i,j∈N

{

}

зом, max

α^ti - α^t

→ 0 при t → ∞. Поскольку знаки αtmt и α^t не совпа-_M

i,j∈N

дают, то ∀i ∈ N α^ti → 0 при t → ∞ и Q^t → Q^(s), q^ti → q^(s)i. Процесс сходится.

В дополнение отметим ряд полезных результато{ связанн}х со сменой или

сохранением знаков членов последовательностей

α^ti,i ∈ N

, которые приве-

дены в лемме П.7.

Таким образом, показана с{одимост}процесса (10), (11), (13) при любых

начальных выпусках агентов

q⁰ⁱ,i ∈ N

Утверждение 2 доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Stackelberg H. Market Structure and Equilibrium: 1st Edition. Translation into En-

glish, Basin, Urch&Hill. Springer, 2011. (Original 1934.)

Cournot A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.

London: Hafner, 1960. (Original 1838.)

Nash J. Non-Cooperative Games // Ann. Math. 1951. No. 54. P. 286-295.

Novikov D.A., Chkhartishvili A.G. Reflexion and Control: Mathematical Models.

Leiden: CRC Press, 2014.

Berger U., de Silva H., Ferner-Rohling G. Cognitive Hierarchies in the Minimizer

Game // J. Econom. Behavior Organizat. 2016. V. 130. P. 337-348.

Айзенберг Н.И., Зоркальцев В.И., Мокрый И.В. Исследование нестационарных

олигопольных рынков // Сиб. журн. индустр. мат. 2017. Т. 20. № 1. С. 11-20.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Коллективное поведение в модели Штакельберга

в условиях неполной информации // АиТ. 2017. № 9. C 91-105.

Algazin G.I., Algazina D.G. Collective Behavior in the Stackelberg Model under

Incomplete Information // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 9. P. 1619-

1630.

Гераськин М.И., Чхартишвили А.Г. Анализ игровых моделей рынка олигополии

при ограничениях по мощности и конкурентоспособности агентов // АиТ. 2017.

№ 11. С. 105-121.

Geras’kin M.I., Chkhartishvili A.G. Analysis of Game-Theoretic Models of an

Oligopoly Market under Constrains on the Capacity and Competitiveness of

Agents // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 11. P. 2025-2038.

Гераськин М.И. Моделирование рефлексии в нелинейной модели трехагентной

олигополии Штакельберга для телекоммуникационного рынка России // АиТ.

2018. № 5. С. 83-106.

127

Geras’kin M.I. Modeling Reflection in the Non-Linear Model of the Stakelberg Three-

Agent Oligopoly for the Russian Telecommunication Market // Autom. Remote Con-

trol. 2018. V. 79. No. 5. P. 841-859.

10.

Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения.

М.: Наука, 1977.

11.

Малишевский А.В. Качественные модели в теории сложных систем. М.: Наука,

1998.

12.

Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Информационное равновесие в модели динамики

коллективного поведения на конкурентном рынке // Управление большими си-

стемами. 2016. № 64. С. 112-136.

13.

Васин А.А., Васина П.А., Рулева П.Ю. Об организации рынков однородных

товаров // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 98-112.

14.

Корепанов В.О., Новиков Д.А. Метод рефлексивных разбиений в моделях груп-

пового поведения и управления // Проблемы управления. 2011. № 1. С. 21-32.

15.

Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Модели рефлексивных игр в задачах управ-

ления эколого-экономическими системами // Управление большими системами.

2015. № 55. С. 362-372.

16.

Булавский В.А., Калашников В.В. Метод однопараметрической прогонки для

исследования состояния равновесия // Экономика и мат. методы. 1994. Т. 30.

№ 4. С. 129-138.

17.

Sherali H., Soyster A., Murphy F. Stackelberg-Nash-Cournot Equilibria: Character-

izations and Computations // Oper. Res. 1983. V. 31(2). P. 253-276.

18.

Harker P., Choi S.-C. A Penalty Function Approach for Mathematical Programs

with Variational Inequality Constraints // Inform. Decision Technolog. 1991. V. 17.

P. 41-50.

19.

Новиков Д.А. Модели стратегической рефлексии // АиТ. 2012. № 1. С. 3-18.

Novikov D.A. Models of Strategic Behavior // Autom. Remote Control. 2012. V. 73.

No. 1. P. 1-19.

20.

Алгазин Г.И., Алгазина Ю.Г. Рефлексивная динамика в условиях неопределен-

ности олигополии Курно // АиТ. 2020. № 2. С. 115-133.

Algazin G.I., Algazina Yu.G. Reflexive Dynamics in the Cournot Oligopoly under

Uncertainty // Autom. Remote Control. 2020. No. 81(2). P. 345-359.

21.

Алгазин Г.И., Коптевич Е.В. Возвратные последовательности в исследовании

конкурентных рынков // МАК-2019 ¾Математики - Алтайскому краю¿: сб.

тр. Всероссийской конф. по математике с междунар. участием. Барнаул, 2019.

С. 119-123.

22.

Маркушевич А.А. Возвратные последовательности. М.: Гос. изд-во техн.-теорет.

лит-ры, 1950.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Д.А. Новиковым.

Поступила в редакцию 14.08.2019

После доработки 18.01.2020

Принята к публикации 30.01.2020

128