Автоматика и телемеханика, № 7, 2020

(Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва)

ВОЙНА НА ИЗНУРЕНИЕ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

И С НЕЧЕТКИМИ ТИПАМИ ИГРОКОВ

Результат о существовании равновесного в смысле Байеса-Нэша про-

филя чистых стратегий для симметричных игр с неполной информацией

класса ¾война на изнурение¿ обобщается для случая, когда действия и

типы игроков могут быть нечеткими.

Ключевые слова: игра с неполной информацией, нечеткое множество,

нечетко-случайная величина, равновесие Байеса-Нэша.

DOI: 10.31857/S0005231020070090

1. Введение

В последние десятилетия играм класса ¾война на изнурение¿ уделяется

значительное внимание. Для таких игр многие результаты и теоретического,

и прикладного характера были получены при рассмотрении биологических

задач, когда два животных одного вида вступают в спор за некоторый приз,

например пищу или территорию, при этом приз может достаться только од-

ному из них. Однако животные не начинают схватку, а пытаются показать

сопернику свою силу и заставить его отступить. При этом ценность приза

для каждого из соперников уменьшается при увеличении времени противо-

стояния.

В различных работах изучаются игры этого класса и с полной, и с непол-

ной информацией. При рассмотрении игр с неполной информацией каждый

из игроков знает свой тип, но не знает тип соперника (например, типом игро-

ка может быть то, насколько животное голодно). Однако каждому из игроков

известно распределение вероятностей для типа его соперника.

Результат о существовании равновесного в смысле Байеса-Нэша профиля

чистых стратегий для симметричных игр с неполной информацией класса

¾война на изнурение¿ (т.е. для игр с одинаковыми игроками, точнее, с игро-

ками с одинаковыми распределениями вероятностей для типов и с одинако-

выми действиями для каждого типа) представлен в [1]. Доказательство этого

результата можно найти, например, в [2]. В некоторых последующих работах

данный результат назван классическим. Различные модификации игр класса

¾война на изнурение¿ рассматривались многими авторами. Например, в [3]

даются приложения к экономическим задачам. Некоторые обзоры этого на-

правления можно найти в [4, 5]. Подробнее об играх с неполной информацией

и о равновесии Байеса-Нэша см., например, [6].

Теория нечетких множеств применяется при рассмотрении многих игро-

вых задач. Для игр в нормальной форме можно назвать обзор [7]. Если

139

использовать электронные базы научных ресурсов, то нетрудно убедиться,

что число работ, в названиях которых присутствует и слово “fuzzy”, и сло-

во “game”, является значительным, причем многие из этих работ недавние.

Теория нечетких множеств используется и в моделях, где присутствует неко-

торый управляющий центр, но объекты управления активны, т.е. преследуют

и свои интересы [8]. Однако, насколько известно, до сих пор не рассматри-

вались игры с неполной информацией, где типы игроков были бы нечеткими

числами (или нечеткими множествами).

Для игр класса ¾война на изнурение¿ логично предположить, что цен-

ность приза для каждого из игроков (при любом сроке противостояния) из-

вестна лишь приближенно, т.е. является нечетким числом. Тогда и типы иг-

роков должны быть нечеткими числами. Такие задачи рассматриваются в

настоящей работе. Получено обобщение результата о существовании равно-

весного профиля чистых стратегий из [1].

Теория нечетких множеств и теория вероятностей это два различных

подхода к описанию неопределенности. Эти подходы могут использоваться

и независимо друг от друга, и комбинированно. При этом существуют раз-

личные пути, как такое комбинирование может производиться. В настоящей

работе используется подход, при котором понятие нечетко-случайной величи-

ны это прямое обобщение понятия случайной величины, только значениями

измеримой функции являются нечеткие числа, а не обычные действитель-

ные числа. Первые такие определения нечетко-случайных величин даются

в [9-11]. Здесь используется определение нечетко-случайной величины из ра-

боты [12], являющееся модификацией упомянутых определений.

С точки зрения автора для нечетко-случайных величин распределения ве-

роятностей удобнее задавать не при помощи функций распределения, а при

помощи квантильных функций, как это сделано в [13]. В настоящей работе

математический инструментарий, развитый в [13], существенно используется.

В разделе 2 приводится постановка задачи, решение которой дается в раз-

деле 3.

2. Равновесие Байеса-Нэша

Для положительных чисел z, γ, δ рассмотрим функцию

{

z - δ пpи δ < γ,

U (z, γ, δ) =

-γ пpи δ ≥ γ.

Пусть x это тип первого игрока, y тип второго игрока, α действие

первого игрока, β действие второго игрока. Здесь α и β выбранное время

противостояния для каждого игрока. Тогда функция U(x, α, β) определяет

выигрыш первого игрока. Если β < α, то приз достается первому игроку, и

ценность приза для него равняется x - β. Если β ≥ α, то приз не достается

первому игроку, и его потери считаются равными α. Аналогично функция

U (y, β, α) определяет выигрыш второго игрока.

Напомним, что нечеткое число z это фигура (компактное множество)

на плоскости с координатами (ξ, η), лежащая в полосе 0 ≤ η ≤ 1 и определяе-

140

мая двумя функциями z^L(η) и z^R(η), которые будем называть соответствен-

но левым и правым индексами нечеткого числа z. Функция z^L(η) монотон-

но неубывающая, функция z^R(η) монотонно невозрастающая, z^L(1) ≤ z^R(1).

Фигура z состоит из точек (ξ, η) таких, что z^L(η) ≤ ξ ≤ z^R(η) при любом

η ∈ [0,1]. Если обе функции z^L(η) и z^R(η) линейные, то фигура z это тра-

пеция и нечеткое число называется трапецоидальным. Если обе эти функции

константы, то фигура z это прямоугольник и нечеткое число называется

прямоугольным. Если, кроме того, эти константы равны одному и тому же

действительному числу, то нечеткое число z можно отождествлять с данным

действительным числом. В общем случае компактность множества z обес-

печивается условием, что функции z^L(η) и z^R(η) являются непрерывными

слева.

Определение нечетко-случайной величины в настоящей работе то же,

что и в [12]. Квантильная функция случайной величины это монотонно

неубывающая функция q(p) на интервале 0 < p < 1. Квантильная функция

нечетко-случайной величины, определение которой дается в [13], это мно-

жество нечетких чисел q(p), 0 < p < 1. (Нечеткие числа будем обозначать

строчными буквами со знаком ¾тильда¿, нечетко-случайные величины про-

писными буквами со знаком ¾тильда¿.)

ПустьX

Y это две независимые одинаково распределенные нечетко-

случайные величины, которые используются для задания типов первого и

второго игрока соответственно. Под одинаковой распределенностью нечетко-

случайных величин понимается совпадение их квантильных функций. Эта

квантильная функция считается известной обоим игрокам.

Через x и y будем обозначать нечеткие числа, являющиеся типом перво-

го и второго игрока соответственно. Стратегией первого игрока называется

функция A, которая ставит в соответствие каждому типу x первого игрока

некоторое действие α, где α также является нечетким числом. Стратегией

второго игрока называется функция B, которая ставит в соответствие каж-

дому типу y второго игрока некоторое действие

β, где

β также является

нечетким числом.

Пусть функции x^L(η) и x^R(η) это соответственно левый и правый ин-

дексы нечеткого числа x, функции y^L(η) и y^R(η) это соответственно левый

и правый индексы нечеткого числа y, функции α^L(η) и α^R(η) это соответ-

ственно левый и правый индексы нечеткого числа α, функции β^L(η) и β^R(η)

это соответственно левый и правый индексы нечеткого числ

β, 0 ≤ η ≤ 1.

Наложим ограничение на функции A и B. Будем считать, что существует

функция a: R(→ R)такая, что (ри лю)бом η ∈ [0, 1] выполняются соотноше-

ния α^L(η) = a

x^L(η)

, α^R(η) = a

x^R(η)

, и существует функция b: R₊ → R₊

(

)

такая, что при любом η ∈ [0, 1] выполняются соотношения β^L(η) = b

x^L(η)

(

)

β^R(η) = b

x^R(η)

. Каждая из функций a и b является строго возрастающей,

непрерывно дифференцируемой, a(0) = b(0) = 0.

Пусть однопараметрические семейства случайных величин X^L(η)

и X^R(η) это соответственно левый и правый индексы нечетко-случайной

величины

X; однопараметрические семейства случайных величин Y^L(η)

141

и Y^R(η) это соответственно левый и правый индексы нечетко-случайной

величин

Y ; параметр η меняется от 0 до 1.

Будем считать, что квантильная функция любой из случайных величин

X^L(η), X^R(η), Y^L(η), Y^R(η), определенная на интервале 0 < p < 1, является

строго возрастающей и непрерывно дифференцируемой, стремится к 0 при

p → 0. Кроме того, все эти квантильные функции на интервале (0,1) огра-

ничены сверху некоторой общей константой. (Последнее условие вытекает из

определения нечетко-случайной величины, данного в [12]).

Будем говорить, что профиль стратегий (A, B) является равновесием

Байеса-Нэша, если при каждом типе x и при каждом η ∈ [0, 1]

(

)

(

)))

x^L(η)

∈ arg max E

x^L(η),α^L(η),b

Y^L(η)

α^L(η)

(1)

(

)

(

)))

x^R(η)

∈ arg max E

x^R(η),α^R(η),b

Y^R(η)

α^R(η)

и при каждом типе y и при каждом η ∈ [0, 1]

(

)

(

)))

y^L(η)

∈ arg max E

y^L(η),β^L(η),a

X^L(η)

β^L(η)

(

)

(

)))

y^R(η)

∈ arg max E

y^R(η),β^R(η),a

X^R(η)

β^R(η)

Здесь E означает ожидание соответствующей случайной величины.

3. Определение нечетких действий, составляющих равновесный профиль

Если для краткости писать x вместо x^L(η), α вместо α^L(η), Y вместо

Y^L(η), то условие (1) можно записать в виде

(2)

a(x) ∈ arg max

E (U (x, α, b (Y ))) .

Пусть q квантильная функция случайной величины Y . Из соотношения (2)

можно вывести, что

∫

dq^-1(z)

(3)

b(y) =

dz.

1 - q^-1(z) dz

Имеет место аналогичное выражение и для функции a(x). Это дает равно-

весный в смысле Байеса-Нэша профиль чистых стратегий, найденный в [1]

(доказательство приведено, например, в [2]). В Приложении приводится но-

вый вывод формулы (3), более простой, чем другие известные автору доказа-

тельства. При этом используется выражение из [13] для моментов случайных

величин через интеграл, содержащий квантильную функцию.

142

Если обозначить через F^L(z; η) функцию распределения случайной вели-

чины Y^L(η), а через F^R(z; η) функцию распределения случайной величи-

ны Y^R(η), то выражение (3) дает

∫

dF^L(z; η)

(4)

b(y^L(η)) =

dz.

1 - F^L(z;η)

Аналогично

∫

dF^R(z; η)

(5)

b(y^R(η)) =

dz.

1 - F^R(z;η)

Остается найти условия, при которых функции b(y^L(η)) и b(y^R(η)), зада-

ваемые формулами (4), (5), являются левым и правым индексами некоторого

нечеткого числа соответственно.

Обозначим через q^L(p; η) квантильную функцию случайной величины

Y^L(η), а через q^R(p;η) квантильную функцию случайной величины Y^R(η).

Предположим, что существует нечеткое число c, левый и правый индексы

которого обозначаются как c^L(η) и c^R(η) соответственно, причем c^L(0) > 0,

такое что

q^L(p;η) = c^L(η)q₀(p), q^R(p;η) = c^R(η)q₀(p)

при всех p ∈ (0, 1), η ∈ [0, 1], где q₀(p)

некоторая квантильная функция.

Функцию распределения, соответствующую квантильной функции q₀, обо-

значим через F₀.

Ключевым в задаче оказывается соображение, что нужно связать типы

игроков с квантильной функцией нечетко-случайных величинX

Теорема. Пусть фиксировано p ∈ (0,1) и пусть y^L(η) = q^L(p;η),

y^R(η) = q^R(p;η) при любом η ∈ [0,1]. Тогда функции, стоящие в левых ча-

стях равенств (4), (5), являются соответственно левым и правым индек-

сами нечеткого числа γ_pc, где

∫

γ_p =

F^′0(u)du.

1 - F₀(u)

Доказательство теоремы приводится в Приложении.

4. Заключение

Во многих работах, где изучаются приложения теории нечетких множеств

к игровым задачам, предполагается, что нечеткими являются выирыши. Вы-

игрыши не являются однозначно определенными действительными числами

143

и в настоящей работе. Но это не исходное предположение, а следствие того,

что и типы игроков, и действия нечеткие. В отличие от сложения нечетких

чисел их вычитание это не прямолинейная задача. Многие трудности в

приложениях теории нечетких множеств связаны именно с этим. По смыслу

игр класса ¾война на изнурение¿ вычитание необходимо. В настоящей работе

удалось таким образом наложить все условия, что вычитание не приводит к

выходу из множества нечетких чисел. Получен ответ на вопрос, каким обра-

зом приблизительность в типах игроков (нечеткость) должна влиять на при-

близительность их действий, чтобы профиль стратегий был равновесным.

Результаты могут иметь практическое значение, например, в тех случаях,

когда по смыслу задачи действия являются не мгновенными, а пролонгиро-

ванными.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство формулы (3). Согласно (2) из [13]

∫1

I(x, α) = E (U (x, α, b (Y ))) = U (x, α, b (q(p))) dp.

Если рассмотреть функцию

(

)

ψ(α) = q^-1

b^-1(α)

то последняя формула может быть записана в виде

∫

I(x, α) =

(x - b(q(p))) dp - α(1 - ψ(α)).

Из формулы





∫





 f(p)dp = f (ψ(α))ψ′(α)

dα

следует, что

(Π.1)

I(x, α) = xψ^′(α) - αψ^′(α) + αψ^′

(α) - (1 - ψ(α)).

dα

Необходимое условие максимума, равенство нулю частной производной, дает

xψ^′(α) - (1 - ψ(α)) = 0.

Из условия a(x) = α и из симметричности игроков следует, что x = b^-1(α).

Следовательно,

(Π.2)

b^-1(α)ψ^′

(α) - (1 - ψ(α)) = 0.

144

Имеем

(

)_′ (

) (

)_′

ψ^′(α) =

q^-1

b^-1(α)

b^-1

(α).

Положим z = b^-1(α). Тогда с учетом того, что

(

)_′

b^-1

(α) =

b^′(z)

соотношение (П.2) записывается в виде

(

)_′

q^-1

(z)

= 1 - q^-1(z).

b^′(z)

Следовательно,

dq^-1(z)

b^′(z) =

1 - q^-1(z) dz

Тогда из условия b(0) = 0 вытекает соотношение (3).

Обоснование того, что точка, найденная из необходимого условия эстре-

мума, в данном случае является точкой глобального максимума, проводится

по известной схеме. Из (П.1) вытекает, что

∂²

(Π.3)

I(x, α) > 0.

∂x∂α

Будем рассматривать функцию a(x), которая в силу симметричности игроков

имеет тот же вид, что и функция b(y), определяемая формулой (3). Предпо-

ложим, что при некотором x₀ существует значение α^′ такое, что

(

)

x₀,α^′

> I (x₀,a(x₀)).

Тогда

α^′

∫

∂I

(x₀, t) dt > 0.

∂α

a(x₀)

При любом t

∂I

(a^-1(t), t) = 0,

∂α

поэтому

∫

α^′

(

)

∂I

(x₀, t) -

(a^-1(t), t) dt > 0

∂α

a(x₀)

145

или

∫

α^′

∫

x₀

∂²

(Π.4)

I(x, t) dx dt > 0.

∂x∂t

a(x₀) a^-1(t)

Пусть a(x₀) < α^′. Тогда для любого t ∈ (a(x₀), α^′] выполняется a^-1(t) > x₀,

условия (П.3) и (П.4) противоречат друг другу. Пусть a(x₀) > α^′. Тогда для

любого t ∈ [α^′, a(x₀)) выполняется a^-1(t) < x₀, и вновь условия (П.3) и (П.4)

противоречат друг другу. Показано, что найден глобальный максимум.

Доказательство теоремы. Имеем

∫

dF^L(z; η)

b(y^L(η)) =

dz =

1 - F^L(z;η)

∫

(

)

(

)

F^′

dz =

c^L(η)

1-F₀

c^L(η)

∫

= c^L(η)

F^′0 (u) du.

1 - F0 (u)

Так же проводится преобразование для b(y^R(η)). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bishop D.T., Cannings C., Maynard Smith J. The war of attrition with random

rewards // J. Theoret. Biol. 1978. V. 74. P. 377-388.

2. Milgrom P.R., Weber R.J. Distributional strategies for games with incomplete infor-

mation // Math. Oper. Res. 1985. V. 10. P. 619-632.

3. Fudenberg D., Tirole J. A theory of exit in duopoly // Econometrica. 1986. V. 54.

P. 943-960.

4. Hörner J., Sahuguet N. A war of attrition with endogenous effort levels // Econ.

Theory. 2011. V. 47. P. 1-27.

5. Kim G.J., Kim B., Kim J. Equilibrium in a war of attrition with an option to fight

decisively // Oper. Res. Lett. 2019. V. 47. P. 326-330.

6. Алипрантис К.Д., Чакрабарти С.К. Игры и принятие решений. М.: Изд. дом

Высш. шк. эконом., 2016.

7. Larbani M. Non cooperative fuzzy games in normal form: A survey // Fuzzy Sets

Syst. 2009. V. 160. P. 3184-3210.

8. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: СИНТЕГ, 1999.

9. Kwakernaak H. Fuzzy random variables I. Definitions and theorems // Inform.

Sci. 1978. V. 15. P. 1-29.

10. Kwakernaak H. Fuzzy random variables II. Algorithms and examples for the dis-

crete case // Inform. Sci. 1979. V. 17. P. 153-178.

146