Автоматика и телемеханика, № 7, 2020

Интеллектуальные системы управления,

анализ данных

(Федеральный исследовательский центр

“Информатика и управление” РАН, Москва;

Институт проблем управления, Москва),

А.Ю. ПОПКОВ, канд. техн. наук (apopkov@isa.ru)

(Федеральный исследовательский центр

“Информатика и управление” РАН, Москва),

Ю.А. ДУБНОВ (yury.dubnov@phystech.edu)

(Федеральный исследовательский центр

“Информатика и управление” РАН, Москва;

Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва)

ЭЛЕМЕНТЫ РАНДОМИЗИРОВАННОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПРЕДСКАЗАНИЯ СУТОЧНОЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ¹

Развит метод рандомизированного прогнозирования, основанный на

генерации ансамблей энтропийно-оптимальных прогнозных траекторий.

Последние генерируются рандомизированными моделями динамической

регрессии, содержащими случайные параметры, измерительные шумы и

случайный вход. Функции плотности распределения вероятностей слу-

чайных параметров и измерительных шумов оцениваются с использова-

нием реальных данных в рамках процедуры рандомизированного машин-

ного обучения. Генерация ансамблей прогнозных траекторий осуществля-

ется путем сэмплирования энтропийно-оптимальных распределений веро-

ятностей. Предлагаемая процедура применяется для рандомизированного

прогнозирования суточной нагрузки региональной энергетической систе-

мы. Синтезирована стохастическая модель колебательной динамической

регрессии. Построены одно- двух- и трехсуточные прогнозы и исследова-

ны их погрешности.

Ключевые слова: прогнозирование, иерархическая рандомизация, колеба-

тельная динамическая регрессия, энтропийный функционал, эмпириче-

ский баланс, суточная нагрузка энергетической системы, сэмплирование

функций ПРВ.

DOI: 10.31857/S0005231020070107

1. Введение

Традиционный путь решения задач прогнозирования состоит в моделиро-

вании исследуемого процесса, “обучении” его параметризованной модели на

¹ Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(проекты №№ 19-07-00282, 20-07-00223).

148

ретроспективной информации и затем использовании “обученной” модели как

предсказывающей. Отсюда следуют два этапа в прогнозировании развиваю-

щихся процессов: этап машинного обучения модели процесса и собственно

этап прогнозирования.

Современная концепция машинного обучения базируется на детерминиро-

ванной параметризации моделей и оценках параметров, использующих па-

кеты данных с постулируемыми свойствами. Качество оценивания характе-

ризуется функциями эмпирическго риска, минимизация которого дает опти-

мальные оценки [1, 2].

Наиболее распространенными являются параметрические модели дина-

мической регрессии (ПМДР), в которых текущее состояние модели опреде-

ляется ее состояниями на некотором временном отрезке в прошлом [3, 4].

Формальный образ ПМДР это разностные уравнения, в общем случае

p-го порядка [5]. Наиболее распространены в прикладных задачах линейные

ПМДР. В частности, они являются базовыми во многих проблемах макро-

экономического моделирования и прогнозирования, таких как моделирование

временных рядов экономических индикаторов [6], определении адекватности

ПМДР [7], прогнозирование обменных курсов [8]. Линейные ПМДР оказы-

ваются достаточно эффективными для краткосрочного прогнозирования. Но

для больших горизонтов прогноза они приводят к значительным погрешно-

стям. Поэтому естественными являются попытки улучшения прогнозов путем

введения в ПМДР различных нелинейностей. Общему подходу к формирова-

нию и использованию нелинейных ПМДР посвящена монография [9]. Однако

прикладные задачи требуют более адекватного подхода к выбору наиболее

полезной и эффективной нелинейности. На этом пути кажется полезным, на-

пример, для прогнозирования обменных курсов применение логистической

и экспоненциальной нелинейностей [10], периодических авторегрессионных

моделей [11] или многомерных временных рядов [12] для прогнозирования

суточной электрической нагрузки энергетической системы.

При переходе к этапу прогнозирования необходимо быть уверенным, что

состояние и свойства исследуемого процесса сохраняются на интервале про-

гноза, что надежно утверждать сложно. Поэтому возникают погрешности

прогноза как следствие воздействия каких-то неучтенных факторов. Одним

из подходов к уменьшению таких погрешностей является придание прогно-

зу некоторых вероятностных характеристик [13, 14]. Наиболее распростра-

ненным на этом пути является использование формулы Байеса об апосте-

риорной вероятности. Если задать некоторую структуру параметризованной

условной плотности распределения вероятностей (ПРВ) данных и априор-

ную плотность распределения параметров, то их произведение после нор-

мировки определяет апостериорную плотность параметров при фиксирован-

ных данных. Принципиальные проблемы в этом подходе связаны с выбором

структуры условной ПРВ и априорной ПРВ. Обычно выбираются нормаль-

ные ПРВ или их смесь, причем веса смеси оцениваются по ретроспективным

данным [15-17]. Аналогичный подход используется в прикладных исследо-

ваниях: в популяционной генетике [18], где развивается метод численной ап-

проксимации апостериорных ПРВ, во взаимодействии финансового сектора

экономики и трудового ранка [19], где для оценивания параметров указанных

149

выше ПРВ используется алгоритм Метрополиса-Гастингса, в прогнозирова-

нии динамики населения [20], где использовалась иерархия байесовских мо-

делей для факторов рождаемости, смертности и миграционной активности.

Вероятностные прогнозы формируются и другими методами с учетом спе-

цифики прикладных задач. В частности, в метеорологии путем накопления

ретроспективных прогнозов погоды определяются оценки функций ПРВ, ко-

торые затем используются для кратковременного прогнозирования [21-24].

Довольно любопытным является формирование вероятностного прогноза пу-

тем смешивания прогнозов, полученных разными методами [25].

Из далеко не полного обзора и анализа указанных работ можно сделать

вывод, что основная проблема прикладного прогнозирования это неопре-

деленность, заложенная в исследуемом процессе. Флуктуация наших знаний

о природе процессов и, следовательно, неадекватность их математических

моделей; достаточность, достоверность и точность ретроспективных данных

о процессе; и, главное, сохранение основных свойств процессов в будущем,

чтобы накопленные знания и модели сохраняли свою полезность при прогно-

зировании все эти факторы являются следствием неопределенности.

Как повысить надежность прогноза? Один из рецептов связан с концеп-

цией рандомизации, т.е. искусственной генерации искусственной случайности.

Этот подход использовался в самых разных задачах, не связанных с прогно-

зированием. Существует много примеров в самых разных областях науки,

управлении, экономики, таких как, например, рандомизированные числен-

ные методы оптимизации [26-28], смешаные (случайные) стратегии в бир-

жевой торговле [29], рандомизированное прогнозирование динамики населе-

ния [30], вибрационное управление технологическими процессами [31]. При

этом рандомизация предполагает придание неслучайным объектам искус-

ственных стохастических свойств с оптимальными, в выбранном смысле, ве-

роятностными характеристиками.

В большинстве работ, которые можно было бы отнести к использованию

в той или иной форме рандомизации, искусcтвенная случайность вводилась

произвольно, в том смысле, что ее вероятностные характеристики функции

ПРВ выбирались из известных: равномерных, нормальных, экспоненциаль-

ных и др.

Хотелось бы эти характеристики формировать с точки зрения предсказуе-

мого качества рандомизации и ее ожидаемых свойств. Поскольку причиной

для привлечения этого подхода является неопределенность, то полезность

рандомизации целесообразно характеризовать информационной энтропией,

которая является мерой неопределенности [32-34]. Максимизация информа-

ционной энтропии соответствует максимальной неопределенности.

В данной статье предлагается принципиально иной метод формирования

прогнозов, названный энтропийно-рандомизированным прогнозированием

(ЭРП). Он основан на генерации ансамбля случайных прогнозов моделью ди-

намической регрессии со случайными оптимизированным входом и парамет-

рами. Соответствующие вероятностные характеристики, а именно функции

ПРВ, определяются с помощью процедуры энтропийно-рандомизированного

150

машинного обучения [35]. Ансамбли прогнозных траекторий строятся путем

сэмплирования энтропийно-оптимальных ПРВ.

Предлагаемый метод применяется для рандомизированного прогнозиро-

вания суточной электрической нагрузки энергетической системы. Построена

иерархическая рандомизированная модель динамической регрессии, описы-

вающая зависимость нагрузки от температуры окружающего воздуха. Вре-

менная эволюция температуры моделируется колебательной моделью дина-

мической регрессии второго порядка со случайным параметром и случайным

входом. Приводятся результаты рандомизированного обучения указанной мо-

дели на реальных данных GEFCom2014 [36]. Предлагается технология рандо-

мизированного прогнозирования и исследуется ее адекватность в зависимости

от длины горизонта прогноза.

2. Рандомизированные модели динамической регрессии

со случайным входом и параметрами

Структура, предлагаемой рандомизированной модели динамической ре-

грессии (РМДР) изображена на рис. 1. Она состоит из модели основного

объекта РМДР-О со случайными параметрами a ∈ R^p и модели внешних

факторов РМДР-Ф со случайными параметрами b ∈ R^s и случайным входом

ζ ∈ R^q. Состояния объекта и его модели принадлежат векторному простран-

ству R^m, в котором x[n] векторы состояний объекта, x[n] ∈ R^m векторы

состояний РМДР-О. Внешние факторы характеризуются вектором ŷ[n] ∈ R^q,

а изменение во времени состояния РМДР-Ф вектором y[n] ∈ R^q. Перемен-

ная n целочисленная, обозначает дискретное время в интервале L = [n^-, n⁺].

x[n]

m[n]

РМДР-Ф

РМДР-О

z[n]

y[n]

z[n]

x[n]

v[n]

Рис. 1.

Рассмотрим линейную версию РМДР-О. Состояние модели x[n] в момент

времени n меняется под влиянием p ретроспективных состояний x[n - 1],

...,x[n - p] и измеряемых в каждый момент времени внешних факторов

z[n] ∈ R^q. Соответствующее уравнение имеет вид

(2.1)

x[n] = X^(n,p)A^(p) + A_(p+1)

z[n],

где:

• блочный вектор-столбец параметров

(2.2)

A^(p) = ⌊A₁,... ,A_p⌋^⊺,

A_i (m × m)-матрица со случайными элементами интервального типа

(2.3)

A_i ∈ A_i = [A^-i,A⁺ⁱ

i = 1,p;

151

• A_(p+1) (m×q)-матрица со случайными элементами интервального типа

(2.4)

A_(p+1) ∈ A_(p+1) = [A^-(p+1),A^+(p+1)

];

• блочный вектор-строка p ретроспективных состояний

(2.5)

X^(n,p)

= ⌊x[n - 1], . . . , x[n - p]⌋.

Здесь ⌊•⌋ обозначает блочный вектор-строку.

Вероятностные свойства блочного вектора A^(p) характеризуются функци-

ей совместной ПРВ P (A^(p)), а матрицы A_(p+1) функцией ПРВ F (A_(p+1)).

Предполагается, что измеряемое в каждый момент времени n состояние

РМДР-О содержит аддитивный шум µ[n]:

(2.6)

v[n] = x[n] + µ[n].

Случайные векторы µ[n] интервального типа:

(2.7)

µ[n] ∈ M_n = [µ^-n, µ⁺ⁿ]

с функцией ПРВ M_n(µ[n]). Случайные векторы, измеряемые в разные мо-

менты времени, предполагаются статистически независимыми.

Рассмотрим линейную версию РМДР-Ф, которая имеет аналогичную

РМДР-О структуру. Будем иметь:

(2.8)

y[n] = Y^(n,s)B^(s)

+ ζ[n],

где

• блочный вектор-столбец

(2.9)

B^(s) = ⌊B₁,... ,B_s⌋^⊺,

• B_i (q × q)-матрица со случайными элементами интервального типа

(2.10)

B_i ∈ B_i = [B^-i,B⁺ⁱ

i = 1,s,

• блочная вектор-строка

(2.11)

Y^(n,p)

= ⌊y[n - 1], . . . , y[n - s]⌋.

Вероятностные свойства параметров характеризуются непрерывно-диффе-

ренцируемой функцией ПРВ W (B^(s)).

Случайный вектор ζ[n] интервального типа:

(2.12)

ζ[n] ∈ E_n = [ζ^-n, ζ⁺ⁿ]

с функцией ПРВ Q_n(ζ[n]), также непрерывно-дифференцируемой. Векто-

ры ζ[n] для разных моментов времени статистически независимые.

152

По аналогии с РМДР-О измеряемое в каждый момент времени n состояние

РМДР-Ф z[n] содержит аддитивный шум ξ[n]:

(2.13)

z[n] = y[n] + ξ[n].

Случайный вектор ξ[n] интервального типа:

(2.14)

ξ[n] ∈ Ξ_n = [ξ^-n, ξ⁺ⁿ

с непрерывно-дифференцируемой функцией ПРВ G_n(ξ[n]). Случайные векто-

ры, измеряемые в разные моменты времени, предполагаются статистически

независимыми.

Итак, в общей РМДР (РМДР-О и РМДР-Ф) неизвестными являются

функции ПРВ параметров P (A^(p)), F (A_(p+1)), W (B^(s)) и шумов M_n(µ[n]),

Q_n(ζ[n]), G_n(ξ[n]), n ∈ L.

3. Модели данных из обучающей коллекции

Оценивание указанных в предыдущем параграфе ПРВ производится с ис-

пользованием обучающих коллекций данных, полученных на интервале обу-

чения n ∈ L = [n^-, n⁺] и согласованных с РМДР.

Рассмотрим РМДР-О. На интервале обучения будем иметь:

x[n^-] = X(n-,p)A^(p) + A_(p+1)z[n^-],

x[n^- + 1] = X(n-+1,p)A^(p) + A_(p+1)z[n^- + 1],

····································

(3.1)

x[n⁺] = X(n+,p)A^(p) + A_(p+1)z[n⁺

Тогда наблюдаемые состояния РМДР-О на интервале обучения L пред-

ставляют собой набор векторов

(3.2)

v[n] = x[n] + µ[n],

n=n^-,n⁺.

Отсюда следует, что коллекция обучающих данных состоит из данных о ре-

троспективных состояниях объекта

(3.3)

X(n-,p), X(n-+1,p),... , X(n+,p)

и д анных о наблюдаемых текущих состояниях

(3.4)

v[n^-], . . . , v[n⁺],

z[n^-], . . . , z[n⁺

Рассмотрим РМДР-Ф. На интервале обучения будем иметь:

y[n^-] = Y(n-,s)B^(s) + ζ[n^-],

y[n^- + 1] = Y(n-+1,s)B^(s) + ζ[n^- + 1],

······························

(3.5)

y[n⁺] = Y(n+,p)B^(s) + ζ[n⁺

153

Наблюдаемые состояния РМДР-Ф на интервале обучения L представляют

собой набор векторов

(3.6)

z[n] = y[n] + ξ[n],

n=n^-,n⁺.

Отсюда следует, что коллекция обучающих данных состоит из данных о ре-

троспективных состояниях объекта

(3.7)

Ŷ(n-,s), Ŷ(n-+1,s),... , Ŷ(n+,s)

и д анных о наблюдаемых текущих состояниях

(3.8)

z[n^-], . . . , z[n⁺].

Итак, в процедуре обучения РМДР участвуют коллекции данных (3.4), (3.7),

(3.8).

4. Алгоритм рандомизированного машинного обучения (РМО)

Энтропийная версия [35] алгоритмов РМО используется для оценивания

функций ПРВ параметров и шумов для РМДР-О и РМДР-Ф. Применительно

к РМДР-О соответствующий алгоритм имеет вид

∫

H_O = - P(A^(p))ln P(A^(p))dA^(p) -

F (A_(p+1)) ln F (A_(p+1))dA_(p+1) -

A_(p+1)

∫

∑

(4.1)

M_n(µ[n])ln M_n(µ[n])dM_n(µ[n]) ⇒ max

P,F,M

n=n^-

при ограничениях:

нормировки ПРВ

∫

P (A^(p))dA^(p) = 1,

F (A_(p+1))dA_(p+1) = 1,

A_(p+1)

∫

M_n(µ[n])dM_n(µ[n]) = 1, n = n^-,n⁺,

эмпирических балансов

∫

P (A^(p))X(n,p)A^(p)dA^(p) +

F (A_(p+1))A_(p+1)z[n]dA_(p+1) +

A_(p+1)

∫

(4.2)

+ M_n(µ[n])µ[n]dµ[n] = v[n], n = n^-,n⁺.

154

Заметим, что эмпирические балансы представляют собой систему

(n⁺ - n^-) блоков из m уравнений. Каждому такому блоку соответствует век-

тор множителей Лагранжа θ⁽ⁿ⁾ размерности m. Эта задача относится к клас-

су функциональных задач энтропийно-линейного программирования ляпу-

новского типа, см. [37, 38], c. 354, теорема (принцип Лагранжа для ляпунов-

ской задачи). Она имеет аналитическое решение, параметризованное множи-

телями Лагранжа:

(

)

∑

exp

〈θ⁽ⁿ⁾,X(n,p)A^(p)〉

n=n

P^∗(A^(p)) =

P(θ)

(

)

∑

exp

〈θ⁽ⁿ⁾, A_(p+1)z[n]〉

n=n

F^∗(A_(p+1)) =

F (θ)

(

)

exp

-〈θ⁽ⁿ⁾, µ[n]〉

(4.3)

M^∗n(µ[n]) =

n=n^-,n⁺.

M_n(θ⁽ⁿ⁾)

В этих равенствах





∫

∑

P(θ) = exp-

〈θ⁽ⁿ⁾,X(n,p)A^(p)〉 dA^(p),

n=n^-





∫

∑

F (θ) =

exp-

〈θ⁽ⁿ⁾, A_(p+1)z[n]〉 dA_(p+1),

A_(p+1)

n=n^-

∫

(

)

(4.4)

M_n(θ⁽ⁿ⁾) = exp

-〈θ⁽ⁿ⁾, µ[n]〉 dµ[n], n = n^-, n⁺.

Матрица множителей Лагранжа θ = [θ(n-), . . . , θ(n+)] определяется реше-

нием следующих балансовых уравнений:





∫

∑

exp-

〈θ⁽ⁿ⁾,X(n,p)A^(p)〉 X^(n,p)A^(p)dA^(p)+

P(θ)

n=n^-





∫

∑

exp-

〈θ⁽ⁿ⁾, A_(p+1)z[n]〉 A_(p+1)z[n]dA_(p+1)+

F (θ)

n=n^-

A_(p+1)

∫

(

)

(4.5)

exp

-〈θ⁽ⁿ⁾, µ[n]〉 µ[n]dµ[n] = x[n],

n=n^-,n

⁺.

M_n(θ(n))

Из выражений (4.3)-(4.5) следует, что функции ПРВ P^∗(A^(p)), F^∗(A_(p+1))

параметров РМДР-О и измерительных шумов M^∗n(µ[n]), n = n^-, n⁺ опре-

деляются по обучающим коллекциям ретроспективных данных

X(n^-, p),

155

X(n^- + 1, p), . . . ,

X(n⁺, p), данных о текущих состояниях x[n^-], . . . , x[n⁺] и

данных z[n^-], . . . , z[n⁺], которые генерируются РМДР-Ф.

Для получения последних применим алгоритм РМО к оцениванию функ-

ций ПРВ параметров и шумов для РМДР-Ф. Согласно [35] будем иметь:

∫

H_F = - W(B)ln W(B)dB -

∫

∑

Q_n(ζ[n])ln Q_n(ζ[n])dQ_n(ζ[n]) -

n=n^-En

∫

∑

(4.6)

Gn(ξ[n]) ln Gn(ξ[n])dGn(ξ[n]) ⇒ max

W,Q,G

n=n^-Ξn

при ограничениях:

нормировки ПРВ

∫

W (B)dB = 1,

∫

Q_n(ζ[n])dQ_n(ζ[n]) = 1,

Gn(ξ[n])dGn(ξ[n]) = 1, n = n^-, n⁺;

Ξn

эмпирических балансов

∫

W (B^(s))Ŷ(n,s)B^(s)dB^(s) + Q_n(ζ[n])ζ[n]dζ[n] +

∫

(4.7)

+ G_n(ξ[n])ξ[n]dξ[n] = z[n], n = n^-,n⁺.

Ξn

Эта задача того же класса, что и (4.3)-(4.5). Она имеет аналитическое

решение в терминах множителей Лагранжа:

(

)

∑

exp

〈η⁽ⁿ⁾,Ŷ(n,s)B^(s)〉

n=n

(4.8)

W^∗(B^(s)) =

W(η)

(

)

exp

-〈ζ[n], η⁽ⁿ⁾〉

Q^∗n(ζ[n]) =

Q_n(η⁽ⁿ⁾)

(

)

exp

-〈ξ[n], η⁽ⁿ⁾〉

G∗n(ξ[n]) =

, n=n^-,n⁺,

G_n(η⁽ⁿ⁾)

η = [η(n-),... ,η(n+)].

156

В этих равенствах





∫

∑

(4.9)

W(η) = exp-

〈η⁽ⁿ⁾,Ŷ(n,s)B^(s) dB^(s),

n=n^-

∫

(

)

Q_n(η⁽ⁿ⁾) = exp

-〈ζ[n], η⁽ⁿ⁾〉 dζ[n],

∫

(

)

G_n(η⁽ⁿ⁾) = exp

-〈ξ[n], η⁽ⁿ⁾〉 dξ[n],

Ξn

n=n^-,n⁺.

Матрица множителей Лагранжа η определяется решением следующих ба-

лансовых уравнений:





∫

∑

exp-

〈η⁽ⁿ⁾,Ŷ(n,s)B^(s) Ŷ^(n,s)B^(s)dB^(s) +

W(η)

n=n^-

∫

(

)

exp

-〈ζ[n], η⁽ⁿ⁾〉 ζ[n]dζ[n] +

Q_n(η(n))

∫

(

)

(4.10)

exp

-〈ξ[n], η⁽ⁿ⁾〉

ξ[n]dξ[n] = z[n],

G_n(η(n))

Ξn

n=n^-,n⁺.

5. Рандомизированное прогнозирование суточной

электрической нагрузки энергетической системы

5.1. Модель динамической регрессии

Суточная электрическая нагрузка L энергосистемы зависит от многих и

разнообразных факторов. Здесь ограничимся одним наиболее существенным

внешним фактором, а именно температурой T окружающего воздуха. Су-

точное изменение температуры носит колебательный характер. Эти колеба-

ния отражаются на нагрузке, но с некоторым временным сдвигом. Причиной

этого сдвига является инерция электрической сети, по которой передается

электрическая энергия от генератора к потребителям.

Следуя общей структуре РМДР, изложенной в разделе 2, модель нагрузки

(LT -модель) описывает динамическую связь нагрузки и температуры окру-

жающего воздуха, а модель температуры (T ξ-модель) описывает динамику

суточной температуры. Что касается LT -модели, то существует довольно

много ее версий, но все они статические, т.е. описывающие связь нагрузки

и температуры в текущие моменты времени [39]. Температурная суточная

157

динамика имеет колебательный характер, который, в частности, описывает-

ся периодической авторегрессионной моделью [40].

Следует отметить, что влияние температуры на нагрузку динамическое,

т.е. изменение нагрузки под влиянием температуры в данный момент вре-

мени зависит от ее значения в предыдущий момент времени. Аналогичным

свойством обладает температурная колебательная динамика.

Поэтому в рамках общего рандомизированного подхода предлагается LT -

модель описывать моделью динамической регрессии первого порядка со слу-

чайными параметрами, T ξ-модель формировать в виде динамической регрес-

сии второго порядка со случайным параметром и случайным входом ξ. Тогда

LTξ-модель будет композицией двух предыдущих.

Ограничиваясь линейным классом моделей, рандомизированную динами-

ческую регрессионную модель “нагрузка-температура” (LT -модель) первого

порядка можно представить в следующем виде:

L[n] = aL[n - 1] + bT [n],

(5.1)

v[n] = L[n] + µ[n], n = 1, 24,

где случайные независимые параметры a, b принимают значения в интерва-

лах:

(5.2)

a ∈ A = [a^-,a⁺], b ∈ B = [b^-,b⁺

Их вероятностные свойства характеризуются функциями ПРВ P (a), F (b),

определенными на множествах A и B соответственно. Случайный шум µ[n],

имитирующий ошибки в измерениях нагрузки, также интервального типа.

В общем случае для каждого момента времени размеры интервалов могут

быть различными, т.е.

(5.3)

µ[n] ∈ M_n = [µ^-[n], µ⁺

[n]],

с функциями ПРВ M_n(µ[n]), n = 1, 24.

Рассмотрим T ξ-модель. Для имитации колебательного характера суточно-

го изменения температуры воспользуемся рандомизированной моделью дина-

мической регрессиии второго порядка

τ [n] = c (2, 1τ[n - 1] - 1, 1τ[n - 2]) , c =

1+ω²

(5.4)

T [n] = t + τ[n] + ξ[n],

где ω частота колебаний температуры, t среднесуточная температура.

Эти параметры случайные, интервального типа, т.е.

ω ∈ Ω = [ω^-,ω⁺],

c ∈ C = [c^-,c⁺],

(5.5)

c^- =

> 0, c⁺ =

>c^-

> 0.

1 + (ω⁺)²

1 + (ω^-)²

Вероятностные свойства параметров характеризуются функциями ПРВ

W (c), определенными на соответствующих интервалах.

158

В уравнение (5.4) входит случайный шум, имитируемый независимыми

случайными величинами ξ[n], значения которых в каждом измерении n могут

принадлежать различным интервалам, т.е.

(5.6)

ξ[n] ∈ Ξ_n = [ξ^-n, ξ⁺ⁿ

Вероятностные свойства случайной величины ξ[n] характеризуются функци-

ей ПРВ Q_n(ξ[n]), n = 1, 24.

Таким образом, уравнения (5.1), (5.4), моделирующие динамику нагрузки

в энергосистеме, характеризуются следующими функциями ПРВ:

• LT-модель: параметры P(a),F(b), шум M_n(µ[n]), n = n^-,n⁺;

• Tξ-модель: параметры W(c), шум Q_n(ξ[n]), n = n^-,n⁺.

5.2. Обучающая коллекция данных

Для оценивания функций ПРВ будут использоваться приведенные к еди-

ничному интервалу реальные данные из датасета GEFCom2014 (см. [36]) по

изменению суточной нагрузки 0 ≤ L^ri)[n] ≤ 1, среднесуточной температуры

0≤t^ri) ≤1иотклонениятемпературы0≤

[n] ≤ 1 от среднесуточного зна-

чения.

Нормировка осуществлялась следующим образом:

(i)

L⁽ⁱ⁾[n] -L

min

L^(i)r[n] =

L⁽ⁱ⁾

max -L(i)

min

(i)

[n] - τ_m

τ^(i)r[n] =

τmiax - τ⁽ⁱ⁾

min

∑

(5.7)

t^(i)r =

τ^(i)r

[n],

n⁺ - n^-

n=n^-

где

L⁽ⁱ⁾

L(i)

= min

L⁽ⁱ⁾[n],

= max L(i)[n],

min

max

τ(i)min = min

τ(i)[n],

τ(i)max = max τ⁽ⁱ⁾[n].

На рис. 2 показаны графики нагрузки L^ri)[n], отклонения температуры

[n] и данные по среднесуточной температуре t^ri) для 03.07.2016 (i = 1),

04.07.2016 (i = 2), 05.07.2016 (i = 3) в качестве обучающей коллекции. Обо-

значим интервал обучения как T_l = [n^-, n⁺] = [1, 24], т.е. обучение будет про-

изводиться по данным за 24 ч.

Согласно (5.1), (5.4) сформируем векторы переменных модели на интер-

вале обучения n ∈ T_l и соответствующих им реальных данных:

{

}

{

}

L⁽ⁱ⁾(T_l) = L⁽ⁱ⁾[1],... ,L⁽ⁱ⁾[24]

L^(i)r(T_l) = L^(i)r[1],... ,L^(i)r[24]

{

}

{

}

L⁽ⁱ⁾(T_l - 1) = L⁽ⁱ⁾[0],... ,L⁽ⁱ⁾[23]

L^(i)r(T_l - 1) = L^(i)r[0],... ,L^(i)r[23]

159

{

}

{

}

V⁽ⁱ⁾(T_l) =

v⁽ⁱ⁾[1],... ,v⁽ⁱ⁾[24]

V^(i)r(T_l) = v^(i)r[1],... ,v^(i)r[24]

{

}

{

}

T⁽ⁱ⁾(T_l) = τ⁽ⁱ⁾[1],... ,τ⁽ⁱ⁾[24]

T^(i)r(T_l) = τ^(i)r[1],... ,τ^(i)r[24]

{

}

T⁽ⁱ⁾(T_l - 1,T_l - 2) = 2, 1τ(i)[0] - 1, 1τ(i)[-1], . . . , 2, 1τ(i)[23] - 1, 1τ(i)[22]

{

}

T⁽ⁱ⁾(Tl - 1, Tl - 2) =

2, 1τ^(i)r[0] - 1, 1τ^(i)r[-1], . . . , 2, 1τ^(i)r[23] - 1, 1τ^(i)r[22]

{

}

{

}

µ⁽ⁱ⁾(T_l) = µ⁽ⁱ⁾[1],... ,µ⁽ⁱ⁾[24]

ξ⁽ⁱ⁾(T_l) = ξ⁽ⁱ⁾[1],... ,ξ⁽ⁱ⁾[24]

В терминах (5.2) LT - и T ξ-модели на интервале обучения T_l имеют вид

L⁽ⁱ⁾(T_l) = aL⁽ⁱ⁾(T_l - 1) + bT⁽ⁱ⁾(T_l),

V⁽ⁱ⁾(T_l) = L⁽ⁱ⁾(T_l) + µ⁽ⁱ⁾(T_l),

(5.8)

T(i)(T_l) = cT(i)(T_l - 1, T_l - 2),

T⁽ⁱ⁾(T_l) = t +T(i)(T_l) + ξ⁽ⁱ⁾(T_l).

Значения случайных параметров лежат в следующих интервалах:

(5.9)

A = [0,05;0,15], B = [0,5;1,0], C = [0,75;0,85].

Шумы принимают значения в следующих интервалах:

(5.10)

M_n = [-0,1;0,1], Ξ_n

= [-0,1; 0,1].

5.3. Энтропийно-оптимальные функции ПРВ параметров и шумов

Применяя технику из раздела 3, получим следующие выражения для

функций ПРВ, параметризованных множителями Лагранжа θ⁽ⁱ⁾ = {θ⁽ⁱ⁾¹,

...,θ⁽ⁱ⁾²⁴} для LT-модели (5.1)-(5.3):

(

)

(

)

l^ri) (θ)exp

-al^ri) (θ)

P^∗i

a, θ⁽ⁱ⁾

(

)

(

exp

-a^-l^ri) (θ) - exp

-a⁺l^ri) (θ)

(

)

(

)

h^ri) (θ)exp

-bh^ri) (θ)

(5.11)

F^∗i

b, θ⁽ⁱ⁾

(

)

(

exp

-b^-h^ri) (θ) - exp

-b⁺h^ri) (θ)

(

)

θⁿⁱ⁾ exp

-θⁿⁱ⁾µ[n]

M^∗i,n (µ[n]) =

(

)

(

), n = 1,24.

exp

-µ^-[n]θn)

- exp

-µ⁺[n]θn)

В этих равенствах

∑

(5.12)

l^(i)r(θ) =

θ_nL^(i)r[n - 1], h^(i)r(θ) =

θ_nT^(i)r

[n].

n=1

161

Множители Лагранжа θ⁽ⁱ⁾ определяются решением следующей системы ба-

лансовых уравнений:

(5.13)

L⁽ⁱ⁾(θ⁽ⁱ⁾) + T⁽ⁱ⁾(θ⁽ⁱ⁾) + M⁽ⁱ⁾ⁿ(θ⁽ⁱ⁾ⁿ) = L^(i)r

[n],

n = 1,24,

где

(

)

L⁽ⁱ⁾ θ⁽ⁱ⁾

(

)) (

(

)

(

))(

(

)

exp

-a^-l^ri)

θ⁽ⁱ⁾

a^-l⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

- exp

-a⁺l^ri)

θ⁽ⁱ⁾

a⁺l⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

(

))

(

))

exp

-a^-l⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

- exp

-a⁺l⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

(

)

T⁽ⁱ⁾ θ⁽ⁱ⁾

(

)) (

(

)

(

))(

(

)

exp

-b^-h^ri)

θ⁽ⁱ⁾

b^-h⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

- exp

-b⁺h^ri)

θ⁽ⁱ⁾

b⁺h⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

(

))

(

))

exp

-b^-h⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

- exp

-b⁺h⁽ⁱ⁾

θ⁽ⁱ⁾

(

)

M⁽ⁱ⁾ⁿ θ⁽ⁱ⁾

(

)(

)

(

)(

)

exp

-µ^-[n]θn)

µ^-[n]θⁿⁱ⁾ + 1 - exp

-µ⁺[n]θn)

µ⁺[n]θⁿⁱ⁾ + 1

(5.14)

( (

)

(

))

θn)

exp

-µ^-[n]θn)

- exp

-µ⁺[n]θn)

Рассмотрим T ξ-модель. Энтропийно-оптимальные ПРВ, параметризован-

ные множителями Лагранжа, имеют вид

(

)

h⁽ⁱ⁾

r (η) exp

-chri)(η)

W^∗i(c,η⁽ⁱ⁾) =

(

)

(

exp

-a^-h^ri)(η) - exp

-a⁺h^ri)(η)

(

)

ηⁿⁱ⁾ exp

-ηⁿⁱ⁾ξ[n]

Q^∗i,n(ξ[n]) =

(

)

(

), n = 1,24.

exp

-ξ^-[n]ηn)

- exp

-ξ⁺[n]ηn)

В этих равенствах

∑

(5.15)

h(i)

(η) =

η_n(2,1T^(i)r[n - 1] - 1,1T^(i)r[n - 2]), q⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾) =

η⁽ⁱ⁾ⁿ.

n=1

Множители Лагранжа η⁽ⁱ⁾ определяются решением следующей системы ба-

лансовых уравнений:

(5.16)

D⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾) + N⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾) + K⁽ⁱ⁾ⁿ(η⁽ⁱ⁾ⁿ) = T^(i)r

[n], n = 1, 24,

где

(

)

D⁽ⁱ⁾ η⁽ⁱ⁾

(

)) (

(

)

exp

-t^-q⁽ⁱ⁾

η⁽ⁱ⁾

t^-q⁽ⁱ⁾

η⁽ⁱ⁾

- exp(-t⁺q⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾))(t⁺q⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾) + 1)

exp(-t^-q⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾)) - exp(-t⁺q⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾))

162

(

)

N⁽ⁱ⁾

η⁽ⁱ⁾

(

)

(

))(

(

)

exp

-c^-h^ri)

η⁽ⁱ⁾

c^-h⁽ⁱ⁾

η⁽ⁱ⁾

- exp(-c⁺h^ri)(η⁽ⁱ⁾))(c⁺h⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾) + 1)

exp(-c^-h⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾)) - exp(-c⁺h⁽ⁱ⁾(η⁽ⁱ⁾))

(

)

K⁽ⁱ⁾ⁿ η⁽ⁱ⁾

(

)(

)

(

)(

)

exp

-ξ^-[n]ηn)

ξ^-[n]ηⁿⁱ⁾ + 1 - exp

-ξ⁺[n]ηn)

ξ⁺[n]ηⁿⁱ⁾ + 1

(5.17)

(

)

ηn)

exp(-ξ^-[n]ηⁿⁱ⁾) - exp(-ξ⁺[n]ηⁿⁱ⁾)

5.4. Обучение модели

Использованием данных по суточным изменениям нагрузки и температу-

ры (см. рис. 2) для трех указанных выше суток были сформированы балансо-

вые уравнения (5.13), (5.14), (5.16), (5.17). Решение этих уравнений определя-

лось путем минимизации квадратичной невязки между левой и правой частя-

ми этих уравнений. Поскольку уравнения существенно нелинейные, найден-

ные значения множителей Лагранжа, приведенные в табл. 1, соответствуют

Таблица

1. Множители Лагранжа θ, η

Время

θ⁽¹⁾

θ⁽²⁾

θ⁽³⁾

η⁽¹⁾

η⁽²⁾

η⁽³⁾

-29,72

7009,28

1038,07

14,63

21,22

17,34

1,58

230,89

35,35

19,52

26,71

28,32

-4,09

369,96

26,23

35,91

31,60

26,33

-4,68

29,93

11,96

55,83

127,82

52,08

-7,21

24,25

1,03

96,85

642,35

110,94

-9,26

13,72

-15,76

592,99

7009,28

4729,52

-59,09

-5,96

-7009,28

7009,28

183,92

7009,28

-7009,28

-33,99

-767,99

48,21

39,94

23,16

-766,00

-1409,28

-22,91

66,58

12,28

-1,26

-50,90

-4229,90

-4,27

37,38

2,35

-19,78

-18,97

-45,22

3,72

22,51

-8,82

-22,73

-11,42

-15,07

9,17

7,16

-27,06

-23,06

-13,94

2,59

17,38

5,72

-172,25

-27,06

-17,62

5,82

14,94

2,83

-65,29

-23,02

-18,18

9,33

17,74

-0,30

-57,45

-23,15

-27,28

11,35

21,85

-1,24

-482,69

-47,78

-49,55

4,50

22,68

-5,49

-889,02

-130,49

-25,41

-7,09

29,39

-0,89

-28,12

-60,71

-8,20

-4,66

98,03

-4,23

-14,20

-270,17

0,95

-4,89

52,27

3,70

-6,41

-31,47

1,01

-16,37

8,15

21,16

2,48

-1,23

22,00

-8,24

7,45

17,85

12,15

14,86

2881,43

17,00

902,73

26,78

9,98

26,39

512,14

36,30

355,47

27,32

24,65

121,44

l^ri)(θ^∗)

9,71

6,04

6,09

h^ri)(θ^∗)

0,06

0,58

0,81

h⁽ⁱ⁾

r (η^∗)

0,41

0,05

0,19

163

1,5

1,0

0,15

0,10

-0,08

-0,04

0,04

0,08

0,5 0,05

Рис. 3. а U^∗1(a, b), б M^∗1,n(µ).

10,25

10,20

10,15

10,10

10,05

10,00

9,95

9,90

9,85

9,80

9,75

0,76

0,78

0,80

0,82

0,84

-0,08

-0,04

0,04

0,08

Рис. 4. а W^∗1(c), б Q^∗1,n(ξ).

одному из локальных минимумов невязки. Все вычисления были реализова-

ны в среде MATLAB, оптимизация проводилась с помощью функции fsolve.

Поскольку в LT -модели параметры независимые, функции совместной

ПРВ параметров U^∗i(a, b) = P^∗i(a)F^∗i(b) и шумов имеют вид

U^∗1(a,b) = 53,09exp(-9,72a) exp(0,06b),

(5.18)

U^∗2

(a, b) = 55,49 exp(-6,04a) exp(0,58b),

U^∗3(a,b) = 65,81exp(-6,09a) exp(-0,81b),

⋃

(a, b) ∈ [0,05; 0,15]

[0,5; 1,0], µ ∈ [-0,1, 0,1], i = 1, 24.

Функции ПРВ экспоненциального типа. Графики для i = 1 показаны на

рис. 3.

164

Функции ПРВ параметров и шумов для T ξ-модели имеют вид

W^∗1(c) = 13,90exp(-0,41c),

W^∗2(c) = 10,43exp(-0,05c),

W^∗3(c) = 11,65exp(-0,19c),

c ∈ [0,75;0,85], ξ ∈ [-0,1;0,1], i = 1,24.

Графики для i = 1 показаны на рис. 4.

Таким образом, рандомизированная LT ξ-модель представляет собой гене-

ратор случайных траекторий с энтропийно-оптимальными функциями ПРВ

параметров и шумов,

L[n] = aL[n - 1] + bT [n], (P^∗(a), F^∗(b)) ,

v[n] = L[n] + µ[n], M^∗n(µ[n]),

(5.19)

τ [n] = c (2τ[n - 1] - τ[n - 2]) , W^∗

(c), i = 1, 3,

T [n] = t + τ[n] + ξ[n], Q^∗n(ξ[n]).

Генерация соответствующих ансамблей происходит путем сэмплирования

найденных ПРВ параметров и шумов методом исключений (Acceptance-

Rejection (AR), Rejection Sampling (RS)) [41]. При реализации расчетов было

использовано 100 сэмплов по каждому параметру и 100 сэмплов по шуму,

таким образом, ансамбль состоял из 10⁴ траекторий.

5.5. Тестирование модели

Исследование адекватности модели осуществляется путем собственного и

перекрестного тестирования LT -модели и T ξ-модели на реальных данных

по нагрузке и температуре соответственно за 03.07.2016 (i = 1), 04.07.2016

(i = 2), 05.07.2016 (i = 3). Под собственным тестированием понимается гене-

рирование ансамбля траекторий с энтропийно-оптимальными параметрами

и шумами для дня i, вычисления средней (mean) и медианной (med) траек-

торий и дисперсионной трубки (std±) ансамбля и сравнения средней траек-

тории с реальными траекториями по нагрузке и температуре для этого же

дня i. Качество приближения характеризуется относительными ошибками по

нагрузке

(

)₂

(i)

L^mi)ean[n] - L

[n]

(5.20)

δ^(i)L

= ∑ (=1

i = 1,3,

)₂

(

)₂

∑

L^mi)ean[n]

L^ri)[n]

n=1

и по температуре

(

)₂

(i)

mean[n] - T

[n]

(5.21)

δ^(i)T

= ∑ (=1

i = 1,3.

)₂

(

)₂

∑

mean[n]

[n]

n=1

165

Таблица 2. Значения δ_L на перекрестном тестировании LT -модели.

Среднее значение δ_L = 0,0530

i/j

0,0495

0,1052

0,0858

0,1428

0,0569

0,0364

Таблица 3. Значения δ_T на перекрестном тестировании T ξ-модели.

Среднее значение δ_L = 0,0757

i/j

0,1051

0,1079

0,1506

0,1185

0,1315

0,0676

Таблица 4. Значения δ_T на перекрестном тестировании

LTξ-модели. Среднее значение δ_L = 0,1478

i/j

0,1437

0,2659

0,1756

0,2322

0,3475

0,1655

Под перекрестным тестированием понимается та же процедура, но сравне-

ния средних траекторий с реальными по нагрузке и температуре производит-

ся для дней j = i. Качество приближения характеризуется относительными

ошибками по нагрузке

(

)₂

(j)

L^mi)ean[n] - L

[n]

(5.22)

δ^(i,j)L

= ∑ (=1

i = 1,3, i = j,

)₂

(

)₂

∑

L^mi)ean[n]

L^rj)[n]

n=1

и по температуре

(

)₂

(j)

mean[n] - T

[n]

(5.23)

δ^(i,j)T

= ∑ (=1

i = 1,3, i = j.

)₂

(

)₂

∑

mean[n]

[n]

n=1

Собственное тестирование. Для LT -модели используются реальные дан-

ные по температуре

[n] и энтропийно-оптимальные ПРВ P^∗i(a), F^∗i(b) па-

раметров (a, b) и M^∗1µ[1], . . . , M^∗24(µ[24]) шумов µ[n]. Генерируются ансам-

бли L⁽ⁱ⁾ с помощью сэмплирования указанных ПРВ. Вычисляются средняя

траектория L^mi)ean[n], медианная траектория L^(i)med[n] и траектории L^(i)std±[n], со-

ответствующие границам дисперсионной трубки. Вычисляются ошибки δ_L(i).

На рис. 5 показаны ансамбли и относительные ошибки δ^(i)L для трех указан-

ных дней.

168

2,5

mean

med

std

2,0

real

1,5

1,0

0,5

-0,5

-1,0

Рис. 7. Прогноз на 3 дня с помощью LT ξ-модели.

Тестирование T ξ-модели осуществляется путем генерации ансамбля T⁽ⁱ⁾

случайных траекторий T⁽ⁱ⁾[n], n = 1, 24 с энтропийно-оптимальными ПРВ

W⁽ⁱ⁾(c) и Q^∗1(ξ[1]),... ,Q^∗24(ξ[24]) путем их сэмплирования. Вычисляются

средняя траектория

mean[n], медианная траектория T^(i)med[n] и траектории

T^(i)std±[n], соответствующие границам дисперсионной трубки. На рис. 6 пока-

заны ансамбли и относительные ошибки δ^(i)T для трех контрольных дней.

Перекрестное тестирование. При перекрестном тестировании используют-

ся модели LT и LT ξ, обученные по данным для дня i, а их средняя траек-

тория сравнивается с данными дней j = i. В табл. 2-4 указаны полученные

значения ошибок.

5.6. Рандомизированное прогнозирование N-суточной нагрузки

При рандомизированном прогнозировании N-суточной нагрузки исполь-

зуется LT ξ-модель, обученная на интервале T_l. Для характеристики качества

прогноза будем использовать LT ξ-модель с энтропийно-оптимальными ПРВ,

полученными по данным первого (i = 1) дня.

Сэмплируя указанные ПРВ, построим односуточный (n ∈ [1, 24]), двухсу-

точный (n ∈ [1, 48]) и трехсуточный (n ∈ [1, 72]) ансамбли. Для этих ансам-

блей определим средние траектории L_mean[n], медианные траектории L_med[n],

граничные дисперсионные траектории L_std±[n]. Результаты прогнозов срав-

ниваются с реальными данными с 03.07.2006 по 06.07.2006 (i = 1, 4.). Качество

прогнозирования характеризуется относительными ошибками, вычисляемы-

ми аналогично (5.22)-(5.23).

На рис. 7 показаны результаты 24, 48 и 72 часовых рандомизированных

прогнозов нагрузки, их вероятностные характеристики: средние и медианные

траектории, граничные траектории дисперсионных трубок. Ошибки между

модельным прогнозом и реальными данными показаны в табл. 5.

Таблица 5. Точность трехдневного прогноза с помощью LT ξ-модели

δ^(2)L

δ^(3)L

δ^(4)L

0,1509

0,2515

0,2133

169

6. Заключение

Предлагается новый метод прогнозирования рандомизированное прог-

нозирование, ориентированное на осуществление предсказательных состоя-

ний в условиях неопределенности. Метод базируется на моделях динамиче-

ской регрессии со случайными параметрами. Предложен алгоритм рандо-

мизированного обучения модели. Реализация рандомизированного прогно-

за осуществляется путем сэмплирования энтропийно-оптимальных ПРВ па-

раметров модели и измерительных шумов. Предлагаемый метод применен

для рандомизированного прогнозирования суточной электрической нагрузки

энергетической системы с использованием реальных данных, заимствован-

ных из GEFCom2014.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Vapnik V.N. Statistical Learning Theory. N.Y.: John Wiley& Sons Inc., 1998.

Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, Series: Informa-

tion Theory and Statistics, 2006.

Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. Springer,

2001. http://www-stat.stanford.edu/ tibs/ElemStatLearn.

Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследо-

вание зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

Tarasov A. Forecasting US money growth using economic uncertainty measures and

regularization techniques // Int. J. Forecast. 2019. V. 35. P. 443-457.

Marcellino M., Stock J.H., Warson M. A comparison of direct and iterated multi-

steps AR methods for forecasting macroeconomic time series // J. Economet. 2006.

V. 135(1-2). P. 499-526.

Eitrheim O., Terasirta T. Testing the adequacy of smooth transition autoregressive

models // J. Economet. 1996. v.74(1), P. 59-75.

MolodtsovaT., Papell D. Out-of-simple exchange rate predictability with TR funda-

mentals // J. Int. Econom. 2009. V. 77. P. 167-180.

Granger C.W. Terasirta T. Modelling Nonlinear Economic Relationship. Oxford:

Oxford Univer. Press, 1993.

10.

Wang R., Motley B., Stamatogiannis M. Forecasting the exchange rate using non-

linear Taylor rule based model // Int. J. Forecast. 2019. V. 35. P. 429-442.

11.

Bessec M., Fuaguau J. Short-run electricity load forecasting with combinations of

stationary wavelet transforms // EJOR. 2018. V. 264. P. 149-163.

12.

Clements A.E., Hurn A.S., Li Z. Forecasting day-ahead electricity load using a mul-

tiple equation time series approach // EJOR. 2016. V. 251. P. 522-530.

13.

Hong T., Fan S. Probabilistic electric load forecasting: a tutoral review // Int. J.

Forecast. 2016. V. 32. P. 914-938.

14.

Wheatcroft E. Interpreting the skill score from of forecast performance metrics //

Int. J. Forecast. 2019. V. 35. P. 573-579.

15.

Canale A., Ruggiero M. Bayesian nonparametric forecasting of nonmonotonic func-

tional time series // Electron. J. Statist. 2016. V. 10(2). P. 3265-3288.

16.

Дубнов Ю.А., Булычев А.В. Байесовская идентификация парметров смеси нор-

мальных распределений // Информ. технологии и вычислит. системы. 2017. № 1.

C. 101-114.

170

17.

Frazier D.T., Maneesoonthern W., Martin G.M., McCabe B.P.M. Approximate

Bayesian forecasting // Int. J. Forecast. 2019. V. 35. P. 521-539.

18.

Beaumont M.A., Zhang W., Baldung D.J. Approximate Bayesian computation in

population genetics // Genetics. 2001. V. 162(4). P. 2025-2035.

19.

McAdam P., Warne A. Eure-area real time density forecasting with financial or

labour market friction // Int. J. Forecast. 2019. V. 35. P. 580-600.

20.

Alkema L., Gerland P., Raftery A., Wilmoth T. The UN probabilistic population

projection: an introduction to demographic forecasting with uncertainty // Forsight.

2015. V. 37. P. 19-24.

21.

Brier C.W. Verification of forecast expressed in term probability // Monthly Weather

Rev. 1950. V. 78. P. 1-3.

22.

Brocker J., Smith L.A. From ensembles forecasts to predictive distribution func-

tions // Tellus A. 2008. V. 60(4). P. 663-678.

23.

Christensen H.M., Moroz I.M., Palmer T.N. Evaluation of ensemble forecast uncer-

tainty using a new proper score: application to medium-range and seasonial fore-

cast // Quart. J. Royal Meteorog. Sci. 2015. V. 141(687). P. 538-549.

24.

Gneiting T., Katzfuss M. Probabilistic Forecasting // Ann. Rev. Statist. Its Appl.

2014. V. 1. P. 125-151.

25.

Lahiri K., Wang J.C. Evaluating probability forecasts for GDP declines using alter-

native methodological // Int. J. Forecast. 2013. V. 29(1). P. 175-190.

26.

Vidyasagar M. Statistical Learning Theory and Randomized Algorithms for Con-

trol // IEEE Control Syst. Magazin. 1998. V. 1/17. P. 69-88.

27.

Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и опти-

мизации при почти произвольных помехах. М.: Наука, 2002.

28.

Назин А.В. Алгоритмы инерционного зеркального спуска в выпуклых задачах

стохастической оптимизации // АиТ. 2018. № 1. C. 100-112.

Nazin A. V. Algorithms of inertial mirror descent in convex problems of stochastic

optimization // Autom. Remote Control, 2018. V. 79. No. 1. P. 78-88.

29.

Biondo A.E., Pluchino A., Rapisarda A., Helbing D. Are random traiding strategies

more successful than technical ones? // PLoS ONE. 2013. V. 6(7). P. 68344.

30.

Lutz W., Sandersen S., Scherbov S. The end of world population growth // Nature.

2001. V. 412(6846). P. 543-545.

31.

Цирлин А.М. Методы усредненной оптимизации и их применение. М.: Физмат-

лит, 1997.

32.

Shannon C. Communication Theory of Secrecy Systems // Bell Syst. Technic. J.

1949. V. 28(4). P. 656-715.

33.

Jaynes E.T. Information Theory and Statistical Mechanics // Physics Rev. 1957.

V. 106. P. 620-630.

34.

Jaynes E.T. Papers on probability, statistics and statistical physics. Dordrecht,

Kluwer Academ. Publisher, 1989.

35.

Попков Ю.С., Попков А.Ю., Дубнов Ю.А. Рандомизированное машинное обу-

чение. М.: ЛЕНАНД, 2018.

36.

Hong T., Prinson P., Fan S., Zareipour H., Triccoli A., Hyndman R.J. Probabilistic

energy forecasting: Global Energy Forecasting Competition 2014 and beyond // Int.

J. Forecast. 2016. V. 32. P. 896-913.

37.

Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

38.

Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Нау-

ка, 1979.

171