Автоматика и телемеханика, № 9, 2020

(Национальная академия авиации, Баку),

Р.А. ГАМИДОВ, канд. физ.-мат. наук (rqamidov@mail.ru)

(Ленкоранский Государственный Университет, Ленкорань)

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ С ГРАДИЕНТОМ УПРАВЛЕНИЯ

В КОЭФФИЦИЕНТАХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается задача оптимального управления для линейных эл-

липтических уравнений с коэффициентами, зависящими от управляющей

функции и ее градиента. Доказывается существование и единственность

решения рассматриваемой задачи, результаты применены к задаче опти-

мального управления границей области.

Ключевые слова: оптимальное управление, эллиптические уравнения, су-

ществование и единственность решения, корректность постановки, управ-

ление границей области.

DOI: 10.31857/S0005231020090032

1. Введение

Задачи с управлениями в коэффициентах уравнений в частных производ-

ных относятся к наиболее важным прикладным классам задач, которые яв-

ляются наиболее трудными для теоретического исследования и численного

решения. Вариационные методы решения обратных задач для уравнений ма-

тематической физики тесно связаны с задачами оптимального управления

в коэффициентах этих уравнений [1-3]. В [1-9] и др. для ряда постановок

задач с управлениями в коэффициентах основных типов уравнений мате-

матической физики исследуются вопросы корректности, необходимые и до-

статочные условия оптимальности, разработки вычислительных методов их

решения.

В данной работе рассматриваются задачи оптимального управления для

эллиптических уравнений с коэффициентами, зависящими не только от

управляющей функции, но и от ее градиента. Именно зависимость коэффици-

ентов уравнения от градиента функции управления создает дополнительные

трудности для применения известных методов доказательства разрешимости

и условий оптимальности решения. Критерий качества в постановке рассмат-

риваемой задачи оптимального управления связан с теорией обратных задач,

и частные случаи этого критерия применены в [2-7] и др. В заключении даны

приложения результатов к задаче оптимального управления границей обла-

сти [4, 8].

Изучаемая в работе задача связана с такими важными прикладными за-

дачами, как задачи управления границей области, задачи с неизвестной гра-

ницей, процессы управления, когда коэффициенты уравнения состояния за-

висят не только от управляющего фактора, но и от его градиента. Для тео-

ретического и прикладного исследования подобных задач наряду с их раз-

решимостью важным является также установление условий оптимальности

решения, а также другие вопросы применения в практике. Поэтому данная

работа частично носит и подготовительный характер; в ней излагаются во-

просы разрешимости рассматриваемых задач и их связь с главными пред-

ставителями процессов из этого класса практики, т.е. с задачами управления

границей области, а также даются основные понятия, необходимые для даль-

нейшего изложения. В последующей работе будут рассмотрены вопросы об

условиях оптимальности управления для основной задачи, а также задачи с

неизвестной границей области и др. Поэтому последующая работа посвящена

необходимому условию оптимальности для задач оптимизации с градиентом

управления в коэффициентах уравнений эллиптического типа.

2. Постановка задачи

Пусть D ограниченная область в n-мерном евклидовом простран-

стве Rⁿ с достаточно гладкой границей Γ , D замыкание области D, x =

= (x₁, . . . , x_n)

произвольная точка области D. Общеизвестные функцио-

◦

нальные пространства L_p(D), W^lp (D),

W p (D) и др., где p ≥ 1, l ≥ 0 за-

данные числа, которые ниже используются, определены, например, в [10],

◦

обозначения ∀ означает ¾для любого¿,

∀ означает ¾при почти всех¿.

Рассмотрим процесс с управлениями в коэффициентах эллиптического

уравнения

(

∑

∂

∂u_k

a_ij(x,v(x),v_x(x))

b_i(x,v(x),v_x(x))

∂xi

∂x_j

∂x_i

(1)

i,j=1

i=1

+ c(x, v, v_x(x))u_k = f(x, v, v_x(x)), k = 1, 2,

и с краевыми условиями

(2)

u₁|_Γ = g₁

(x), x ∈ Γ,



∑



∂u₂

∧



(3)

≡

a_ij(x,v(x),v_x(x))

cos(x_i,

=g₂

(x), x ∈ Γ,



∂N

∂x_j



Γ i,j=1

где g₁(x) ∈ W^1/22(Γ ), g₂(x) ∈ L₂(Γ )

заданные функции, коэффициенты

уравнения (1) a_ij (x, v, w), b_i(x, v, w), i, j = 1, . . . , n, c(x, v, w) и правая часть

уравнения f(x, v, w)

заданные функции своих аргументов, v = v(x)

функция управления, которая принадлежит множеству

{

}

◦

V = v : v = v(x) ∈ W^1∞(D), 0 < v₁ ≤ v(x) ≤ v₂(x), |v_x(x)| ≤ v₃,

∀x∈D

v₁,v₂,v₃

заданные положительные постоянные, u_k = u_k(x) = u_k(x, v),

k = 1,2, решения, соответственно первой и второй краевых задач для урав-

нения (1), N внешний конормаль границы Γ . Пусть требуется минимизи-

ровать функционал



[



J_α(v) =

ω(v(E))

u₁(x) - u₂(x)]2

L₂(D)

(4)



₂



+αv(x) - v(x)

→ inf, α ≥ 0,

L₂(D)

на множестве V при условиях (1)-(3), где ω(v)

непрерывно-диффе-

ренцируемая функция определенная на отрезке [v₁, v₂], v ∈ L2(D)

за-

данный элемент, α ≥ 0

заданное число. Предположим, что функции

u_k ≡ u_k(x) ≡ u_k(x,v), k = 1,2, для каждого выбранного v(x) ∈ V являются

обобщенными решениями из W¹²(D) краевых задач (1), (2) и (1), (3), соответ-

ственно. Ниже всюду предполагается, что:

1) a_ij (x, v, w), b_i(x, v, w), i, j = 1, n, c(x, v, w), f(x, v, w)

заданные непре-

рывные функции своих аргументов в области

{

}

Π ≡ (x,v,w) : x ∈D, v ∈ [v₁,v₂], w ∈ [-v₃,v₃] ;

2) коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям равномерной эл-

липтичности:

∑

µ₁

ξ²

≤ a_ij(x,v,w)ξ_iξ_j ≤ µ₂ ξ2i , a_ij(x,v,w) = a_ji(x,v,w),

i=1

i,j=1

i=1

0 < µ₁ ≤ c(x,v,w) ≤ µ₃, ∀(x,v,w) ∈ Π, ∀ξ = (ξ₁,...,ξ_n) ∈ Rⁿ, i,j = 1,n,

µ_m, m = 1,3 заданные положительные числа;

3) операторы суперпозиции F (v) ≡ f(x, v(x), v_x(x)), C(v) ≡ c(x, v(x), v_x(x)),

B_i(v) ≡ b_i(x,v(x),v_x(x)), A_ij(v) ≡ a_ij(x,v(x),v_x(x)) для всех i,j = 1,... ,n,

непрерывно действуют из W^1∞(D) в пространства L₂(D), L_∞(D), L_∞(D),

L_∞(D), соответственно. Нетрудно указать достаточные условия, обеспечи-

вающие справедливость этого предположения [11].

Из теории эллиптических уравнений [10] следует, что при принятых вы-

ше предположениях если число µ₂ ¾достаточно большое¿, то задачи Дирихле

и Неймана для эллиптических уравнений разрешимы. Точнее, доказывает-

ся [10], что для каждого выбранного v из множества V при принятых выше

предположениях, решения задач (1), (2) и (1), (3) из пространства W¹²(D)

существуют, единственны и верны априорные оценки

[

]

(5)

∥u₁∥_W1

(D)

≤ C₁ ∥f∥L2(D) + ∥g1∥W1/2

(Γ )

[

]

(6)

∥u₂∥_W 1

(D)

≤ C₂ ∥f∥L2(D) + ∥g2^∥L₂(Γ)

где положительные постоянные C₁ и C₂ определяются параметрами v_i и µ_i,

i = 1,2,3. Нетрудно проверить, что

[10] при условиях g₁(x) ∈ W^1/22(Γ ),

g₂(x) ∈ L₂(Γ) и при принятых выше предположениях заменой неизвестных

функций граничные условия (2), (3) всегда могут быть приведены к одно-

родному виду

(7)

u₁|_Γ

= 0,



∂u₂



(8)

= 0.



∂N

Поэтому в дальнейшем предположим, что граничные условия (2) и (3) при-

ведены к однородному виду (7) и (8). Ниже воспользуемся определением.

Определение 1. При каждом выбранном управлении v ∈ V функ-

◦

цию u₁(x) ∈

(D) назовем решением краевой задачи (1), (7), функцию

u₂(x) ∈ W¹²(D) назовем решением краевой задачи (1), (8), если для любых

◦

функций η₁(x) ∈

(D) и η₂(x) ∈ W¹²(D) они удовлетворяют интегрально-

му тождеству



∫

∑

∂u_k(x) ∂η_k(x)



a_ij(x,v(x),v_x(x))

∂x_j

∂x_i

D i,j=1

[

∑

∂u_k

(9)

b_i(x,v(x),v_x(x))

+ c(x, v(x), v_x(x))u_k(x) -

∂x_i

i=1



]

− f (x,v(x),v_x(x)) η_k(x)dx = 0, k = 1,2.

Ниже используется теoрема, которая доказана в [12].

Теорема 1 [12]. Пусть X - равномерно выпуклое банахово простран-

ство, U - замкнутое, ограниченное в метрике X множество, функцио-

нал I(v) на U полунепрерывен снизу и снизу ограничен, r ≥ 1, α > 0 задан-

ные числа. Тогда существует плотное подмножество K пространства X

такая, что для любых v ∈ K функционал I_α(v) ≡ I₀(v) + α ∥v - v∥^rX дости-

гает своего наименьшего значения на U и при любом r > 1 это решение

единственно.

3. Существование и единственность решения

Задачу о минимизации функционала (4), т.е. функционала J_α(v) на мно-

жестве V при условиях (1), (7), (8), назовем задачей (4).

Теорема 2. При любом α > 0 существует плотное подмножество K

пространства L₂(D) такое, что для любого v ∈ K задача (4) имеет един-

ственное решение.

Доказательство теоремы дано в Приложении.

Замечание. Одним из центральных вопросов в теории экстремальных

задач являются условия оптимальности решения. Методика доказательства

теоремы 2 и способы установления необходимых условий, изложенных в

[5, 7, 9], указывают на то, что этими способами можно доказать не толь-

ко непрерывность, но и дифференцируемость функционала J_α(v). Градиент

функционала J_α(v) дает возможность выразить необходимое условие опти-

мальности в виде вариационного неравенства (см. [5, 7, 9]).

4. Задача оптимального управления границей области

Задачи управления границей области часто возникают в практике, они

имеют разные корни происхождения. Исследованы различные аспекты тео-

рии этих задач. Ниже изучена задачи оптимального управления границей

многомерной области. Эта задача преобразованием системы координат сво-

дится к задаче с управлениями в коэффициентах эллиптического уравнения.

Области границы, которые выражаются функциями, равномерно удов-

летворяющими условию Липшица, называются строго липшицевыми обла-

стями [10]. Линейно нормированное пространство функций, равномерно удо-

влетворяющих условию Липшица в области D, обозначим через Lip(D). Из-

вестно, что это пространство эквивалентно пространству W^1∞(D) [10]. Сле-

довательно, границы строго липшицевых областей выражаются функциями

из W^1∞(D). Ниже рассматриваются задачи управления границей строго лип-

шицевых областей.

Пусть D^′0

ортогональная проекция области D₀ на (n - 1)-мерное ев-

клидово подпространство R^n-1, Γ₀

граница области D₀, x = (x₁, . . .

...,x_n-1,x_n)

произвольная точка области D₀, x^′ = (x₁, . . . , x_n-1), x^′ ∈

∈ D^′0 ⊂ R^n-1 при x ∈ D₀.

Пусть Γ₊ известная часть, а Γ_- неизвестная часть границы Γ₀, т.е.

Γ₀ = Γ₊

⋃Γ_-. Если Γ₊ пустое множество, тогда вся граница Γ₀ неизвестна.

Обозначим через Ω_a = {x = (x^′, x_n) : x^′ ∈ D^′0, 0 ≤ x_n ≤ a} область в Rⁿ, где

a положительное число. Предположим, что

4) Γ₊ известная часть границы Γ₀ и она строго липщицева;

5) Γ_- неизвестная часть границы Γ₀ и однозначно выражается функцией

v = v(x₁,...,x_n-1) = v(x^′) при x^′ ∈ D^′0;

6) существует такое положительное число a, что D₀ ⊂ Ω_a.

Множество

{

}



◦

V₁ = v : v = v(x^′) ∈ W^1∞(D^′0), 0 < v₁ ≤ v(x^′) ≤ v₂,

v_x(x^′)≤v3,

∀x^′ ∈D^′

назовем множеством допустимых управлений границей области D₀, где v_i,

i = 1,2,3

заданные положительные постоянные.

Рассмотрим эллиптическое уравнение с измеримыми ограниченными ко-

эффициентами a_ij(x), b_i(x), i, j = 1, n, c(x):

(

∑

∂

∂u

∑

∂u

(10)

Au ≡ -

a_ij(x)

b_i(x)

+ c(x)u = f(x), x ∈ D₀,

∂x_i

∂x_j

∂x_i

i,j=1

i=1

с первым



(11)

= g₁(x), x ∈ Γ₀

и со вторым



∂u



(12)

= g₂(x), x ∈ Γ₀



∂N

краевыми условиями. Предположим, что

7) f(x) ∈ L₂(D₀), g₁(x) ∈ W^1/22(Γ₀), g₂(x) ∈ L₂(Γ₀), a_ij (x) ∈ L_∞(D₀), b_i(x) ∈

∈ L_∞(D₀), c(x) ∈ L_∞(D₀), a_ij(x) = a_ji(x), ∀ i,j = 1,n, заданные функции;

∑

8) µ₁

ξ²ⁱ ≤

a_ij(x)ξ_iξ_j ≤ µ₂

ξ²ⁱ,

∀ ξ = (ξ₁,...,ξ_n) ∈ Rⁿ,

0<µ₁ ≤

i=1

i,j=1

i=1

≤ c(x) ≤ µ₃, где µ_i заданные положительные числа, i = 1, 2, 3.

Ради простоты изложения граничные условия (11), (12) примем однород-

ными, т.е. предположим, что g₁(x) = g₂(x) = 0. Если же эти функции отлич-

ны от нуля, но принадлежат к указанным выше классам, то, как это было

отмечено, при принятых выше предположениях граничные условия (11), (12)

могут быть сведены к однородным граничным условиям [10]. Решение урав-

нения (10) с первым краевым условием (11) обозначим через u₁(x), а с вто-

рым краевым условием (12) через u₂(x). При предположении однородности

граничных условий соотношения (10)-(12) вкратце могут быть записаны в

следующем виде:

(13)

Au_k(x) = f(x), x ∈ D₀

k = 1,2,



∂u2 (x)



(14)

u₁(x)|Γ0 =

= 0.



∂N

Γ₀

◦

Определение 2. Решения u₁(x) и u₂(x) из

(D₀) и W¹²(D₀) соответ-

ственно краевых задач (13) и (14) понимаются в смысле выполнения ими

следующих интегральных тождеств:

∫ {∑

∂u_k(x) ∂η_k(x)

a_ij(x)

∂x_j

∂x_i

D₀

(15)

[

]

}

∑

∂u_k(x)

b_i(x)

+ c(x)u_k(x) - f (x) η_k(x) dx = 0

∂x_i

i=1

◦

для любых η_k(x) ∈

(D₀), k = 1, 2.

Пусть требуется найти минимум функционала



₂

[



(16)

J_α(v) =

ω(v(E))

u₁(x) - u₂(x)]2

+αv(x) - v(x)

α ≥ 0,

L₂(D)

на множестве

{

}



V₁ = v : v = v(x^′) ∈ W^1∞(D^′0), 0 < v₁ ≤ v(x^′) ≤ v₂,

v_x(x^′)

∀x^′ ∈D^′

где ω(v) непрерывно-дифференцируемая функция на отрезке [v₁, v₂], v(x)

заданный элемент пространства L₂(D₀), α ≥ 0 числовой параметр, u₁(x) и

u₂(x) являются решениями краевых задач (13), (14) в смысле тождества (15).

Частные случаи функционала (16) с ω(v) = 1 были рассмотрены в [2-7] и др.

Ввод множителя ω(v) в выражение функционала качества (16) обобщает его

и связан с другими применениями результатов, в том числе к задачам управ-

ления границей области.

Теорема 3. При любом α > 0 существует плотное подмножество K

пространства L₂(D₀) такое, что для любого v ∈ K задача управления гра-

ницей области (13)-(16) имеет единственное решение.

Доказательство теоремы дано в Приложении.

5. Заключение

Рассмотренные выше задачи относятся к классу некорректных задач [1, 3-5].

Нетрудно привести примеры, подобно работам [4, 5], которые показывают,

что решения этих задач являются неустойчивыми. Условие α > 0 в теоремах 2

и 3 является достаточно точным. Примерами подобно [4, 5] проверяется, что

при α = 0, с сохранением других условий этих теорем, решения задач (1)-(4)

и (13)-(16) могут не существовать и быть неединственными.

Для задач с управлениями в коэффициентах уравнений в частных произ-

водных в [1-3, 5, 9] разработан ряд итеративных методов регуляризации для

их численного решения. Эти алгоритмы не только теоретически обоснованы,

но и практически неоднократно испытаны. Для задач оптимального управле-

ния границей области также имеются ряд вычислительных методов, которые

успешно применялись для решения прикладных задач [8]. Неустойчивость

подобных задач создает немало трудностей для их численного решения [4, 5].

Однако сведение задачи оптимального управления границей области к зада-

чам с управлениями в коэффициентах дифференциальных уравнений рас-

ширяет класс методов их решения. Так как методы решения вариационных

задач относительно развиты, то вариационные методы дают дополнительные

возможности для применения разных вычислительных алгоритмов решения

рассматриваемых задач. Одним из основных выводов данной работы явля-

ется еще то, что в ней указывается на принадлежность задач оптимального

управления в коэффициентах дифференциальных уравнений, обратных за-

дач и задач с неизвестной границей, а также управления границей области к

одному классу в смысле неустойчивости их решения.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы

Сначала докажем непрерывность

функционала J₀(v) на множестве V . Обозначим через u_k(x; v + Δv) и u_k(x; v)

решения задач (1), (7) и (1), (8), соответствующие управлениям v + Δv ∈ V

и v ∈ V . Пусть Δu_k(x) ≡ u_k(x;v + Δv) - u_k(x;v), k = 1,2. Если из уравнения

для u_k(x; v + Δv) вычтем соответствующее уравнение для u_k(x; v), то полу-

чим, что функция Δu_k(x), k = 1, 2, удовлетворяет интегральному тождеству



∫

∑

∂Δu_k ∂η_k



a_ij(x,v + Δv,v_x + Δv_x)

∂x_j

∂x_i

D i,j=1



∑

∂Δu_k

b_i(x,v + Δv,v_x + Δv_x)

η_k + c(x,v + Δv)Δu_kη_kdx =

∂x_j

i=1



∫

∑

∂u_k ∂η_k



(a_ij (x, v + Δv, v_x + Δv_x) - a_ij (x, v, v_x))

∂x_j ∂x_i

(Π.1)

D i,j=1

(

∑

∂u_k

(b_i(x, v + Δv, v_x + Δv_x) - b_i(x, v, v_x))

∂x_i

i=1

+ (c(x, v + Δv, v_x + Δv_x) - c(x, v, v_x))u_k -



)

− (f(x, v + Δv, v_x + Δv_x) - f(x, v, v_x)) η_k(x) dx, k = 1, 2,

◦

∀η₁ = η₁(x) ∈

(D).

W²(D) и ∀η2 = η2(x) ∈

При этом

Δu_k(x) ∈ W¹²(D), k = 1,2.

Примем обозначения:

A_ij(x) = a_ij(x,v + Δv,v_x + Δv_x), i,j = 1,n,

B_i(x) = b_i(x,v + Δv,v_x + Δv_x), i = 1,n,

C(x) = c(x, v + Δv, v_x + Δv_x),

∑

∂u_k

Fjk(x) =

[a_ij (x, v + Δv, v_x + Δv_x) - a_ij(x, v, v_x)]

∂x_i

i=1

F_0k(x) = (f(x,v + Δv,v_x + Δv_x) - f(x,v,v_x)) -

- (c(x, v + Δv, v_x + v) - c(x, v, v_x))u_k +

∑

∂u_k

[b_i(x,v + Δv,v_x + Δv_x) - b_i(x,v,v_x)]

j = 1,n,k = 1,2.

∂x_i

i=1

Если в этих обозначениях учитывать соотношение (9) из определения 1 обоб-

щенного решения из W¹²(D), то получим, что функции Δu₁ и Δu₂ являются

обобщенными решениями соответственно первой и второй краевых задач. То-

гда из [10] следует, что эти краевые задачи для функций Δu₁ и Δu₂ имеют

единственные решения и для них верны аналоги априорных оценок типа (5)

и (6). Если в этих оценках учесть вид функции F_jk, j = 0, n, то получим

∥Δu_k∥_W 1

≤

(D)





[

]₂

1/2

∑∑



∂u_k



≤C₃



a_ij(x,v + Δv,v_x + Δv_x) - a_ij(x,v,v_x)







∂x_i



j=1

i=1

L₂(D)



∑



∂u_k



(Π.2)

b_i(x,v + Δv,v_x + Δv_x) - b_i(x,v,v_x))

(



∂x_i

i=1

L₂(D)

+∥f(x,v + Δv,v_x + Δv_x) - f(x,v,v_x)∥L2(D)⁺





+ ∥(c(x, v + Δv, v_x + Δv_x) - c(x, v, v_x))u_k∥L2

^(D)

где C₃ > 0 - некоторая постоянная. Согласно принятому выше предположе-

нию 3) операторы A_ij (v) ≡ a_ij (x, v, v_x), i, j = 1, n, B_i(v) ≡ b_i(x, v, v_x), i = 1, n,

C(v) ≡ c(x, v, v_x) и F (v) ≡ f(x, v, v_x) непрерывно действуют из W^1∞(D) в

L_∞(D), L_∞(D), L_∞(D), L₂(D) соответственно. Поэтому правая часть нера-

венства (П.2) оценивается через Δv и Δv_x в норме L_∞(D), другими слова-

ми в норме ∥Δv∥_W 1

. Следовательно, доказывается, что ∥Δu_k∥_W 1

→ 0 при

∞

(D)

∥Δv∥_W 1

→ 0, k = 1, 2. Тем самым доказывается, что решения задач (1), (7)

∞(D)

и (1), (8) в W¹²(D) непрерывно зависят от Δv в норме W^1∞(D). Очевидно, что

приращение функционала J₀(v) представимо в виде

ΔJ₀(v) = J₀(v + Δv) - J_α(v) =

(Π.3)

= ∥ω(v(E) + Δv(x))[u₁(x) + Δu₁(x) - u₂(x) - Δu₂(x)]∥^2L

2(D)

− ∥ω(v(E))[u₁(x) - u₂(x)]∥^2L

2(D)

Из непрерывно дифференцируемости функции ω(v) на отрезке [v₁, v₂] следу-()

ет, что ω(v + Δv) = ω_v(v) + 0

. Тогда из формулы (П.3) для при-

∥Δv∥L2(D)

ращения функционала ΔJ₀(v) и из того, что ∥Δu_k∥_W 1

→ 0, k = 1,2, при

(D)

v ∈ V , v + Δv ∈ V и ∥Δv∥_W1

→ 0 следует, что приращение ΔJ₀(v) → 0 при

(D)

∞

∥Δv∥_W 1

→ 0. Другими словами, функционал J₀(v) является непрерывным

∞

(D)

на множестве V .

Теперь воспользуемся теоремой 1. В условиях этой теоремы в качестве

пространства X, множества U и функционала I₀(v) примем, соответственно,

пространство L₂(D), множество V и функционал J₀(v). Согласно доказан-

ному выше утверждению функционал J₀(v) непрерывен на V . Ограничен-

ность снизу функционала J₀(v) непосредственно следует из его вида. Множе-

ство V замкнутое и ограниченное в L₂(D). Пространство L₂(D) равномерно

выпукло. Тогда из теоремы 1 следует существование такого плотного под-

множества K пространства L₂(D), что для любого v ∈ K задача (4) имеет

единственное решение при любом α > 0.

Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. В задаче оптимального управления

границей области произведем преобразование системы координат. Докажем,

что эта задача сводится к задаче с управлениями в коэффициентах эллип-

тического уравнения типа (2). В системе (13)-(16) введем новые перемен-

ные: t_i = x_i, i = 1, . . . , n - 1, t_n = x_n/v(x^′), t = (t^′, t_n). Отсюда получим, что

x^′ = t^′, x_n = t_nv(t^′). Обозначим z(t^′,t_n) через z(t). Нетрудно проверить, что

в новых переменных z(t) = z(x^′, x_n)/v(x^′) = u(t^′, t_nv(t^′)) = u(x^′, x_n) = u(x) и

область D₀ преобразуется к области D₁ с границей Γ₁.

Преобразованием системы координат получим, что решения эллиптиче-

ского уравнения (13) с граничными условиями (14), которые удовлетворяют

интегральным тождествам (15), будут преобразованы, к тождествам



∫

)

∑

(∂z_k(t)

t_n

∂v(t^′) ∂z_k(t)

)(∂ϕ_k(t)

y_n

∂v(t^′) ∂ϕ_k(t)

a^0ij(t)



∂t_j

v(t^′)

∂t_i

∂t_n

∂t_i

v(t^′)

∂t_i

∂t_n

i,j=1

D₁

)

∑

(∂z_k(t)

t_n

∂v(t^′) ∂z_k(t)

∂ϕ_k(t)

a⁰

(t)

∂t_j

v(t^′)

∂t_j

∂t_n

v(y^′)

∂t_n

j=1

)

∑

∂z_k(t)

(∂ϕ_k(t)

t_n

∂v(t^′)

∂ϕ_k(t)

(Π.4)

a⁰

(t)

∂t_n v(t^′)

∂t_i

v(t^′)

∂t_i

∂t_n

i=1

[

)

∑

(∂z_k(t)

t_n

∂v(t^′) ∂z_k(t)

b⁰ⁱ(t)

∂t_i

v(t^′)

∂t_i

∂t_n

i=1



]



∂z_k(t)

√

+ b⁰ⁿ(t)

+ c⁰(t)z_k(t) - f⁰(t) ϕ_k(t)

v(t)dt = 0, k = 1, 2,

v(y^′)

∂t_n



где приняты следующие обозначения:

(

)

(

)

z_k(t) = u_k

t^′,t_nv(t^′)

ϕk(t) = ηk

t^′,t_nv(t^′)

(

)

(

)

a^0ij(t) = a_ij

t^′,t_nv(t^′)

i, j = 1, n, b⁰ⁱ(t) = b_i

t^′,t_nv(t^′)

i = 1,n,

(

)

(

)

c⁰(t) = c

t^′,t_nv(t^′)

f⁰(t) = f

t^′,t_nv(t^′)

Функционал J_α(v) в новых переменных имеет вид



√

₂



J_α(v) =

ω(v(t))

v(t) (z₁(t) - z₂(t))

+ α∥v(t) - v(t)∥^2L

2(D⁰) ,

(Π.5)

L₂(D₁)

α ≥ 0.

При этом тождество (П.4) окончательно может быть записано в виде



[

∫

∑

∂z_k(t) ∂ϕ_k(t)

∂z_k(t)

a_ij(t,v(t^′),v_t(t^′))

b_i(t,v(t^′),v_t(t^′))



∂t_j

∂t_i

i,j=1

i=1

D₁



]



+ c(t, v(t^′))z_k(t) - f(t, v(t^′)) ϕ_k(t)

dt = 0, k = 1, 2,



◦

для любых ϕ₁(t)∈

(D₁) и ϕ₂(t)∈W¹²(D₁), где z₁(t)

(D₁), z₂(t)W¹²(D₁)

решения интегрального тождества (П.4). Здесь приняты следующие обозна-

чения:

a_ij(t,v(t^′),v_t(t^′)) = a_ij(t^′,t_nv(t^′)),

∑

t_n

∂v(t^′)

a_in(t,v(t^′),v_t(t^′)) = a⁰ⁱⁿ(t)

a^0ij(t)

v(t^′)

∂t_j

j=1

∑

t²ⁿ

∂v(t^′)

a_nn(t,v(t^′),v_t(t^′)) =

a^0ij(t)

v²(t^′)

∂t_i

∂t_j

i,j=1

∑

t_n

∂v(t^′)

t_n

∂v(t^′)

a^0nj(t)

a⁰ⁱⁿ(t)

v²(t^′)

∂t_j

v²(t^′′)

∂t_i

j=1

i=1

bi(t, v(t^′), vt(t^′)) = bⁱ(t) = bi(t^′, tnv(t^′)),

∑

t_n

∂v(t^′)

bn(t, v(t^′), vt(t^′)) = bⁿ(t)

b⁰ⁱ(t)

v(t^′)

∂t_i

i=1

c(t, v(t^′), v_y(t^′′)) = c⁰(t) = c(t^′, t_nv(t^′)),

f (t, v(t^′), v_t(t^′)) = f⁰(t) = f(t^′, t_nv(y^′)), i = 1, n - 1.

Нетрудно убедиться, что последнее тождество является интегральным

тождеством для решения следующих краевых задач для эллиптического

уравнения с управлениями в коэффициентах:

(

)

∑

∂

∂z_k(t)

a_ij(t,v(t^′),v_t(t^′))

∂t_i

∂t_j

i,j=1

(Π.6)

∑

∂z_k(t)

b_i(t,v(t^′),v_t(t^′))

+ c(t, v(t^′))z_k(t) = f(t, v(t^′)),

∂t_i

i=1



∂z₂



(Π.7)

z₁

= 0, k = 1, 2.

Γ₁



∂N

Γ₁

Следовательно, исходная задача оптимального управления границей обла-

сти после преобразования, указанного выше, системы координат сводится к

задаче об оптимальном управлении в коэффициентах эллиптического урав-

нения (П.6) в области D₁ с граничными условиями (П.7) и c функционалом

качества (П.5), который минимизируется на множестве допустимых управ-

лений V₁. Для этой задачи выполняются все условия теоремы 2. Из этой

теоремы следует справедливость утверждения теоремы 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,

1986.

Леонс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями

с частными производными. М.: Мир, 1972.

Искендеров A.Д. О вариационных постановках многомерных обратных задач

математической физики. М.: Наука. ДАН СССР. T. 274. № 3. 1984. С. 531-535.

Iskenderov A.D. On conditional well-posedness of problems with an unknown bound-

ary of the dоmain // Soviet. Math. Dokl. 1991. V. 42. No. 2. P. 588-592.

Искендеров A.Д., Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. Идентификация квантовых потен-

циалов. Баку: Чашыоглы, 2012.

Искендеров A.Д., Ягубов Г.Я. Оптимальное управление нелинейными кванто-

механическими системами // АиТ. 1989. № 12. С. 27-38.

Iskenderov A.D., Yadubov G.Ya. Optimal Control of Nonlinear Quantum-Mechanical

Systems // Autom. Remote Control. 1989. V. 50. No. 12. P. 1631-1641.

Искендеров A.Д., Гамидов Р.А. Оптимальная идентификация коэффициентов

эллиптических уравнений // АиТ. 2011. № 12. С. 144-156.

Iskenderov A.D., Gamidov R.A. Optimal Identification of Coefficients of Elliptic

Equations // Automat. Remote Control. 2011. V. 72. No. 12. P. 2553-2563.

Баничук Н.Б. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

10.

Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эл-

липтического типа. М.: Наука, 1964.

11.

Функциональный анализ. Справочная математическая литература. М.: Наука,

1972.

12.

Gaebel M. On the existence of optimal control // Math. Nachr. 1979. V. 93. P. 67-73.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.М. Хрусталевым.

Поступила в редакцию 03.11.2018

После доработки 08.12.2019

Принята к публикации 30.01.2020