Автоматика и телемеханика, № 9, 2020

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ¹

Рассматривается механическая система с n степенями свободы, под-

верженная действию позиционных сил и малого гладкого управления.

Предполагается, что в отсутствие управления система допускает семей-

ство одночастотных колебаний. Находится универсальное управление

нелинейная сила, посредством которой в управляемой системе реализу-

ется и одновременно стабилизируется цикл. Приводится пример. Ранее

управление строилось для двумерного многообразия системы.

Ключевые слова: механическая система, малое гладкое универсальное

управление, естественная стабилизация.

DOI: 10.31857/S0005231020090044

1. Введение

Исследования релаксационных режимов регенеративного приемника пока-

зывают, как можно управлять колебаниями. Включение триода в линейную

цепь позволило получить управляющую силу для реализации в системе изо-

лированного устойчивого колебания. Сила нелинейна, носит диссипативный

характер и создается анодным током триода. Сама модель описывается из-

вестным уравнением Ван дер Поля

x + x = µ(1 - x²)x

(µ - малый параметр).

Механическая аналогия позволяет применить подход Ван дер Поля к

нелинейной системе. Так, Понтрягин в [1] рассмотрел гамильтонову систему

на плоскости, допускающую семейство периодических движений, и получил

условия на возмущения, гарантирующие существование в возмущенной систе-

ме предельного цикла. В [2] для осциллятора Дуффинга используется нели-

нейная диссипация v|v|^p-1, p = 1, 4, пропорциональная скорости v, а в мик-

ромеханике нелинейная диссипация учитывается в Дуффинг-подобных мо-

делях [3]. В [4] подход Ван дер Поля применялся к голономной механиче-

ской системе, подверженной действию позиционных сил потенциальных

и неконсервативных позиционных, и допускающей одночастотное колебание

(периодическое движение). Выделялось двумерное многообразие периодиче-

ских движений, на котором динамика описывается системой с одной степенью

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 19-01-00146).

свободы. Находилось универсальное автономное управление, гарантирующее

существование и одновременно стабилизацию цикла управляемой механиче-

ской системы. В системе с произвольным числом степеней свободы притя-

жение траекторий к выделенному многообразию обеспечивалось линейными

диссипативными силами.

В системе с n > 1 степенями свободы выделение многообразия периодиче-

ских движений представляет собой самостоятельную непростую задачу. По-

этому возникает задача построения управления в фазовом пространстве раз-

мерности 2n, в котором задана исходная система. Задача решается в данной

статье. Для механической системы с n степенями свободы находится управ-

ление, которое не зависит явно от времени и используется с малым коэффи-

циентом регулятора. В частном случае n = 1 получается управление из [4].

Заметим, что в [5] решалась задача об орбитальной стабилизации перио-

дических решений малоприводных нелинейных систем (с числом независи-

мых приводов на единицу меньше числа степеней свободы неуправляемой

консервативной системы). Синтезированный нелинейный закон управления

с обратной связью зависит от времени.

2. Семейство симметричных периодических движений

Рассмотрим голономную склерономную механическую систему с n степе-

нями свободы, стесненную стационарными геометрическими связями

d ∂T

∂T

= Q_s(q), s = 1,... ,n

dt ∂

q_s

∂q_s

(T - кинетическая энергия), и подверженную действию позиционных сил

Q_s(q) - потенциальных и неконсервативно позиционных.

Для этой системы кинетическая энергия T представляет собой знакопо-

ложительную форму скоростей и уравнения движения инвариантны относи-

тельно замены

(q,

q,t) → (q,-

˙q,-t).

Следовательно, модель принадлежит к классу обратимых механических си-

стем [6], а фазовый портрет системы симметричен относительно неподвижно-

го множества M = {q,

q = 0}. Из симметричности фазового портрета вы-

водятся два следствия: 1) периодическое движение системы является сим-

метричным и пересекает неподвижное множество M с нулевой скоростью

2) периодическое движение системы не может быть асимптотически устой-

чивым.

Скорость

˙q(q⁰¹, . . . , q⁰ⁿ, t) на симметричном периодическом движении

(СПД) зависит только от начальной точки q⁰ ∈ M. Поэтому условия суще-

ствования СПД в виде одночастотного колебания с периодом τ записываются

(см., например, [7]) в виде равенств

(1)

q_s(q⁰¹,... ,q⁰ⁿ,τ/2) = 0, s = 1,...,n.

Приведенные равенства числом n связывают n + 1 неизвестных. Следова-

тельно, СПД обратимой механической системы всегда образуют семейства.

Составим матрицу



∂˙q_s(q⁰¹,... ,q⁰ⁿ,τ/2



,



∂q^0j



где частные производные вычисляются для решения системы (1). Тогда ис-

пользуется определение, данное в [4].

Определение 1. Случай rankA = n называется невырожденным для

симметричного периодического движения, а само СПД - невырожденным.

Невырожденные СПД системы всегда образуют двумерные многообразия,

на которых период монотонно зависит от одного параметра (см. [7]). Для

такого многообразия в [4] построена управляемая механическая система.

3. Условия существования цикла в системе

Из изложенного в разделе 2 следует, что цикл не реализуется при дей-

ствии на систему дополнительных сил, сохраняющих симметричность фазо-

вого пространства. Симметрия разрушается только надлежащим управлени-

ем, в результате приложения которого получается управляемая механическая

система. Имея в виду, чтобы цикл системы был близок к колебанию неуправ-

ляемой системы, управление применяется с малым коэффициентом усиления.

Далее приводятся необходимые и (отдельно) достаточные условия существо-

вания цикла. Эти условия приводят к требованиям, наложенным на искомое

управление.

Обозначим через Σ(h) семейство СПД, на котором координата дается фор-

мулой: q = ϕ(h, t + γ). Здесь: h - параметр семейства, γ - сдвиг начальной

точки по траектории. Момент пересечения решением неподвижного множе-

ства полагается равным нулю: γ = 0. Период τ на Σ зависит от h: τ = τ(h).

Пусть на рассматриваемую механическую систему действует управление

µR(q,

˙q) (µ - малый параметр). Тогда решение управляемой системы зави-

сит от µ. Вычисляется производная по µ при µ = 0 от решения управляе-

мой системы: она удовлетворяет линейной неоднородной системе дифферен-

циальных уравнений. Для последней системы записываются необходимые и

достаточные условия существования τ^∗-периодического решения, τ^∗ = τ(h^∗),

с нулевыми начальными условиями. В результате получается амплитудное

(бифуркационное) уравнение

∫τ^∗

(2)

I(h) ≡

R(ϕ(h, t),ϕ˙(h, t))ψ(h, t)dt = 0,

где ψ - периодическое решение сопряженной линейной системы.

Известно (см. [8, 9]), что корень h = h^∗ амплитудного уравнения, удовлет-

воряющий неравенству dI(h^∗)/dh = 0, обеспечивает существование функции

q(µ, q⁰, t), описывающей цикл.

Таким образом, получены два условия для нахождения силы R. Эти усло-

вия использовались в [4] для построения управления на двумерном много-

образии периодических движений. При этом учитывалось, что управление

разрушает семейство колебаний, поэтому представляется нечетной функци-

ей скорости. Управление должно быть пригодным для всех точек семейства,

включая предельную точку равновесие. Другие соображения, включая

простоту управления, связаны с реализацией управления в виде нелинейной

диссипации.

4. Нахождение управления

Условия, использованные для нахождения управления в [4], применяются

далее к системе с n степенями свободы. При этом учитывается, что управле-

ние должно быть нечетной функцией векторной скорости

˙q. Тогда требование

единообразности вида управления для равновесия и СПД приводит к нали-

чию в функции R множителя, задаваемого квадратичной формой скоростей.

Другой множитель (a) в функции R, зависящий в общем случае от векторов q

˙q, характеризует СПД с параметром h. Поэтому a содержит некоторую ха-

рактеристику K - функцию, зависящую от h. В случае равновесия a = 1, а

для цикла в окрестности СПД со значением h = h^∗ вычисляется: K = K(h^∗).

Наконец, для R должно удовлетворятся амплитудное уравнение (2).

В результате получается, что функция R = (R₁, . . . , R_n) имеет вид

∑

R_s = [1 - K(h^∗)b(q,

q)]

l_sj

˙q_j, a = 1 - K(h^∗)b,

(3)

j=1

b > 0, l_sj = const, s = 1,...,n.

Зависимость K(h) служит характеристикой семейства СПД и определяет-

ся из тождества

∫

∑

(4)

[1 - K(h)b(ϕ(h, t),ϕ˙(h, t))]

l_sjϕ˙_j(h,t)ψ_s

(h, t)dt ≡ 0.

s,j=1

В результате получается

∫ τ(h)

σ(h, t)dt

∑

K(h) =

∫

σ=

l_sjϕ˙_j(h,t)ψ_s(h,t).

τ (h)

b(ϕ(h, t),ϕ˙(h, t))σ(h.t)dt

s,j=1

Продифференцируем по h тождество (4) и учтем нечетность функций ϕ˙_j

в (4). Тогда производная интеграла по верхнему пределу обратиться в нуль,

а остальные слагаемые приводят τ = τ^∗ к конструктивно проверяемому усло-

вию простоты корня

τ^∗

∫

dI(h^∗)

dK(h^∗

)

(5)

= χν, χ =

ν =

b(ϕ(h, t),ϕ˙(h, t))σ(h, t)dt.

Из (5) получается, что в точках, где dK = 0, достаточные условия суще-

ствования цикла не выполняются. Поэтому, как и в [4], используется опреде-

ление 2.

Определение 2. Точка h-семейства СПД механической системы, в ко-

торой производная от функции K(h) равна нулю, называется критической.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если механическая система, находящаяся под действием

позиционных сил, допускает h-семейство СПД, то при действии управле-

ния с функцией (3) в каждой некритической по характеристике K(h) точке

h = h^∗ рождается цикл, если число ν = 0.

Замечание 1. Для системы c одной степенью свободы теорема 1 уста-

новлена в [4].

Замечание 2. Характеристика K(h) конструктивно вычисляется по

формуле (4). Так, для уравнения Ван дер Поля получается K = 4/h², для

математического маятника функция K(h) монотонно убывает (см. [4]).

Для определенности положим, что период цикла равен τ^∗ = 2π.

5. Стабилизация цикла управляемой механической системы

При действии на механическую систему управления с функцией (3) систе-

ма остается автономной; цикл системы представляет собой изолированное пе-

риодическое решение. Найдем условия на управление, которые обеспечивают

орбитальную асимптотическую устойчивость цикла. В результате одновре-

менно с нахождением условий устойчивости решается вопрос стабилизации

цикла. При этом стабилизация происходит без привлечения дополнительных

управлений и в этом смысле будет естественной. Характеристические показа-

тели (ХП) СПД разделяются на пары ± λ и находятся из квадратных уравне-

ний (см., например, [7]). В управляемой механической системе коэффициен-

ты характеристического полинома для вычисления ХП непрерывно зависят

от параметра µ. Поэтому ХП СПД, принадлежащие при µ = 0 положитель-

ной (отрицательной) полуплоскости, при достаточно малом µ > 0 остаются в

положительной (отрицательной) полуплоскости. Следовательно, цикл возму-

щенной механической системы может быть орбитально устойчивым, если все

ХП опорного СПД, для которого h = h^∗, имеют нулевые действительные ча-

сти: в управляемой механической системе устойчивый цикл возможен только

в окрестности устойчивого в линейном приближении СПД.

Вычисление ХП цикла управляемой механической системы проводится

следующим образом.

Составляются уравнения в вариациях для цикла. Получается линейная пе-

риодическая система с параметром µ. При µ = 0 система обратима и совпада-

ет с уравнениями в вариациях для СПД. Последние уравнения посредством

преобразования Ляпунова приводятся к системе с постоянными коэффици-

ентами. При этом выбирается преобразование, обеспечивающее сохранение

свойства обратимости; само преобразование системы уравнений в вариациях

для цикла описывается в Приложении. Через δq, δ

˙q обозначаются вариации

координат и скоростей соответственно.

В результате выполненного преобразования получается линейная 2π-пе-

риодическая система

(6)

x = Py + µX(x,y,t),

y = Gx + µY (x,y,t),

в которой

X =Σ_x(t)δR(δq,

q), Y

=Σ_y(t)δR(δq,

q),

]

∑

[(∂R_s )

(∂R_s)

δR_s(δq,δq˙) =

δq_j +

q_j

s = 1,...,n.

∂q_j

q_j

j=1

∗

В приведенных формулах Σ_x(t) и Σ_y(t)

2π-периодические функции, а

звездочка означает вычисление производных на решение q = q(h^∗, t).

Каждому ХП вида λ + µα системы (6) по определению отвечает решение

x = ζ(t)exp(λ + µα)t, y = χ(t)exp(λ + µα)t

с 2π-периодическими функциями ζ(t), χ(t). С учетом этого обстоятельства в

системе (6) выполняется замена

x = wexp(λ + µα)t, y = z exp(λ + µα)t.

Тогда получается система

(7)

w = Pz - (λ + µα)w + µX(w,z,t),

Ż = Gw - (λ + µα)z + µY (w,z,t).

Система (7) имеет по крайнем мере один нулевой ХП и соответствующее

ему 2π-периодическое решение. Для его нахождения решение системы (6)

представляется в виде

w = w₀(t) + µw₁(t) + o(µ), z + z₀(t) + µz₁(t) + o(µ).

В результате для переменных w₀ и z₀ получается система

(8)

w₀ = Pz₀ - λw₀,

Ż₀ = Gw₀ - λz₀,

распадающаяся по числу пар ХП СПД на k подсистем, которые описываются

переменными w_0s, z_0s.

Выпишем уравнения для переменных w₁ и z₁:

w₁ = Pz₁ - λw₁ - αw₀ + X(w₀,z₀,t),

(9)

Ż₁ = Gw₁ - λz₁ - αz₀ + Y (w₀,z₀,t).

Видно, что при подстановке w_0j (t) = 0, z_0j (t) = 0, j = s, система (9) содержит

многообразие Υ_s, соответствующее s-й подсистеме в (8). Тогда число α для

s-й подсистемы находится из условия существования периодического реше-

ния на многообразии Υ_s. Теперь, перебирая все возможные многообразия Υ_s,

найдем все ХП системы (7).

В системе (9) возможны три типа многообразий. Первый тип отвечает

паре нулевых ХП в жордановой клетке. В системе (8) имеем λ = 0, а соответ-

ствующая подсистема допускает единственное (с точностью до постоянного

множителя) периодическое решение.

Отметим, что циклу возмущенной механической системы всегда отвечает

один нулевой ХП. Поэтому бифуркация жордановой клетки происходит с

рождением действительного ХП. Соответствующее значение для α находится

из (9).

На многообразиях, отвечающих паре чисто мнимых λ или паре простых

нулевых λ, подсистемы в (8) допускают два периодических решения. Поэтому

из условий существования в (9) периодических решений находятся два значе-

ния α. Явные формулы для вычисления α получаются из средних значений

на периоде функций X₀(t) = X(w₀, z₀, t) и Y₀(t) = Y (w₀, z₀, t).

Функции

(10)

X₀(t) = Σ_x(t)δR(δq₀,δq0), Y0(t) = Σy(t)δR(δq0,δq0)

в каждом из перечисленных случаев пар ХП получаются при преобразовании

Ляпунова. Через (δq₀, δ

˙q₀) обозначается периодическое решение системы (6)

при µ = 0. Что касается функции δR, то она содержит поcтоянную квадрат-

ную матрицу L = ||l_sj|| размерами n × n. Согласно формулам (10) средние

значенияX0(t)

Y₀(t) зависят линейно от элементов l_sj (s,j = 1,n).

Для асимптотически орбитально устойчивого цикла все числа α, кроме

одного нулевого, должны быть отрицательными. Из системы (9) следует,

что неравенства α < 0 приводят к неравенствам для средних

X₀(t) и

Y₀(t).

Поэтому условия устойчивости выполняются, если совместна линейная по l_sj

система неравенств.

В механической системе с одной степенью свободы имеется одна пара ну-

левых ХП в жордановой клетке, матрица состоит из одного элемента L и

условие α < 0 достигается выбором знака числа L. В системе с двумя степе-

нями свободы матрица L состоит из четырех элементов, на числа α, завися-

щие от четырех постоянных, накладываются три условия отрицательности:

условия совместны. В общем случае системы с n степенями свободы асимпто-

тическая орбитальная устойчивость цикла обеспечивается 2n - 1 условиями

отрицательности чисел α, зависящих от n² постоянных. Понятно, что в общем

случае n² ≥ 2n - 1, а равенство имеет место только при n = 1.

Таким образом, система неравенств для нахождения отрицательных чи-

сел α всегда совместна. В итоге получается, что функции R_s, определяемые

равенствами (3), обеспечивают асимптотическую орбитальную устойчивость

цикла.

Теорема 2. Пусть механическая система, подверженная действию по-

зиционных сил, допускает h-семейство СПД. Тогда управление, задаваемое

формулами (3) с надлежащим образом выбранной постоянной матрицей L,

обеспечивает асимптотическую орбитальную устойчивость цикла управ-

ляемой механической системы.

Замечание 3. При выполнении условий теоремы 2 стабилизация цикла

управляемой механической системы осуществляется естественным образом,

т.е. без привлечения дополнительных управлений.

Замечание 4. Посредством управления µR решается проблема конст-

руирования цикла и устойчивого цикла независимо от действующих на ме-

ханическую систему позиционных сил: потенциальных, неконсервативно по-

зиционных, совместно действующих потенциальных и неконсервативно пози-

ционных. Выводы по существованию цикла (теорема 1) и его стабилизации

(теорема 2) не зависят от типа семейства СПД: семейство изохронных колеба-

ний (пример линейный осциллятор), семейство невырожденных колебаний

(пример математический маятник). Управление µR решает задачу о цикле

и асимптотически орбитально устойчивом цикле независимо от конкретной

механической системы. Наконец, сила µR имеет достаточно простой вид и на-

ходит аналог в природе. В силу указанных причин управление с функцией,

задаваемой формулами (3), называется универсальным.

6. Пример

Рассмотрим систему уравнений (см. [10])

)

(c²

θ₁ + sin θ₁ + κ(1 - 1/f)

sin(θ₁ - θ₂) -

cos θ₁

= 0,

(

)

c²

(11)

θ₂ + sin θ₂ + κ(1 - 1/f)

sin(θ₁ - θ₂) +

cos θ₂

= 0,

c²

f² = 1 +

- csinθ₁ + csinθ₂ -

cos(θ₂ - θ₁),

описывающую движение двух связанных пружиной неуправляемых идентич-

ных маятников, точки подвесов которых лежат на горизонтальной прямой;

θ_1,2 - углы отклонения маятников от вертикали, κ,c - положительные посто-

янные. Система (11) допускает интегральное многообразиеΞ

η₁ + sinη₁ = 0, η₁ = (θ₁ + θ₂)/2 η₂ = (θ₁ - θ₂)/2 ≡ 0,

которое описывает движение двух независимых маятников (пружина неде-

формирована).

Перейдем к управляемой системе. Тогда на соответствующемΞ многооб-

разии Ξ управляемой механической системы динамика описывается (см. [4])

уравнением

(12)

η₁ + sin η₁ = µ[1 - Kη²¹] η₁.

При µ = 0 колебания в (12) образуют семейство η₁ = η₁(h, t) по постоянной

интеграла энергии h: K(h) - характеристика семейства. В [4] показано, что

управление, в котором положено K = K(h^∗), η₁ = η₁(h, t), обеспечивает су-

ществование и стабилизацию цикла управляемой системы (12) в окрестности

100

колебания с параметром h = h^∗. При этом притяжение траекторий управля-

емой системы к многообразию Ξ обеспечивается линейной диссипацией.

Выпишем уравнения в вариациях для цикла по переменной η₂

(13)

δη₂ + (1 - 2ccosη₁(h^∗,t))δη₂

= 0.

Видно, что при c = 0 уравнение

(13) имеет пару чисто мнимых ХП,

равных

± i. Уравнение

(13) инвариантно относительно преобразования:

(η₂, η₂, t) → (η₂, - η₂, -t). Поэтому ХП всегда образуют пару ± λ (см. [8]),

а чисто мнимые ±λ существуют по крайней мере при малых c. Для этих λ

диссипация вводится добавлением в левую часть уравнения (13) слагаемо-

го µδ η₂.

В исходной системе (11) с учетом формул, задающих переменные ψ_1,2,

получается, что действие на механическую систему (11) управлений µR_1,2 с

функциями

[

]

[

]

R₁ =

1 - K(θ₁ + θ₂)²

θ₁

θ₂) +

1 - K(θ₁ - θ₂)²

(θ₁

θ₂),

[

]

[

]

R₂ =

1 - K(θ₁ + θ₂)²

(˙θ₁ +θ2) -1 - K(θ1 - θ2)2

(˙θ₁ -θ2)

приводит к существованию орбитально асимптотически устойчивого цикла

в окрестности выбранного на многообразия

Ξ колебания системы (теоре-

ма 2). При этом в линейном приближении получается диссипативный член

µ( η₁ - η₂).

Таким образом, в примере иллюстрируется теорема 2 и показывается со-

отношение между результатами, полученными ранее в [4] и в данной статье.

7. Заключение

Ван дер Поль дал пример управления колебаниями путем добавления в ос-

циллятор нелинейной диссипации и последующим переходом к управляемой

системе. Подход можно применить к произвольной механической системе,

подверженной действию позиционных сил.

В статье находится универсальное малое гладкое управление нелиней-

ная сила типа диссипации в уравнении Ван дер Поля, гарантирующая су-

ществование и стабилизацию цикла управляемой механической системы с

n степенями свободы. При этом управляемая механическая система ведет

себя подобно регенеративному приемнику в радиотехнике, собственные (ре-

лаксационные) колебания которого описываются уравнением Ван дер Поля.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Преобразование Ляпунова для системы в вариациях

Для цикла управляемой системы получается система уравнений в вариа-

циях вида

∑

(Π.1)

δq_s =

p_sj(t)δq_j +

r_sj(t)δ

(δq, δq˙),

j=1

p_sj(t) = p_sj(-t), r_sj(t) = -r_sj(-t), p_sj(t+2π) = p_sj(t), r_sj(t+2π) = r_sj(t).

101

Система (Π.1) при µ = 0 представляет собой обратимую линейную перио-

дическую систему вида

(Π.2)

u = A_-(t)u + A₊(t)v,

v = B₊(t)u + B_-(t)v, u,v ∈ Rⁿ,

с двумя неподвижными множествами

M_u = {u,v,t : v = 0,sin t = 0}, M_v = {u,v,t : u = 0,sin t = 0}.

Символом плюс (минус) обозначены матрицы и векторы, содержащие чет-

ные (нечетные) 2π-периодические функции.

Сопряженная к (Π.2) система

(Π.3)

= -A^T-(t)ξ - B^T+(t)η,

η = -A^T+(t)ξ - B^T-

(t)η

(T - знак транспонирования) также обратима и допускает два неподвижных

множества:

M_ξ = {ξ,η,t : η = 0,sin t = 0}, M_η = {ξ,η,t : ξ = 0,sin t = 0}.

Поэтому с учетом решения (ξ(t), η(t)) системы (Π.3) записывается первый

интеграл

(Π.4)

f = ξ₁(t)u₁ + ... + ξ_n(t)u_n + η₁(t)v₁ + ... + η_n(t)v_n

системы (Π.2). Отсюда, к слову, следует нечетность функции ψ(t) в ампли-

тудном уравнении (2).

Система (Π.2) приводится к системе с постоянными коэффициентами по-

средством преобразования Ляпунова. Учитывается, что система (Π.2) содер-

жит n решений, симметричных относительно M_ξ, и столько же решений, сим-

метричных относительно M_η. Выбирая 2n указанных решений, получаем 2n

интегралов f для приведения обратимой системы (Π.2) к системе с постоян-

ными коэффициентами. При этом согласно [8] выбирается преобразование

(Π.5)

x_s = p^+s(t)u + q^-s(t)v, y_s = p^-s(t)u + q^+s

(t)v, s = 1, . . . , n,

с векторными функциями p^±s(t), q^±s(t), имеющими период 2π; преобразован-

ная система содержит неподвижные множества

M_x = {x,y,t : y = 0,t = 0}, M_y = {x,y,t : x = 0,t = 0}.

В результате одновременно преобразуется система (Π.1).

Опорное СПД имеет ХП с нулевыми действительными частями. Поэто-

му рассматриваются следующие случаи: а) пара нулевых ХП в жордановой

клетке, б) пара ± iω, ω > 0, чисто мнимых ХП, в) пара простых нулевых ХП.

Выпишем интегралы вида (Π.4) и соответствующие приведенные уравнения

в перечисленных случаях.

а. Пара нулевых ХП в жордановой клетке. Ей отвечают первые интегралы

f₁ = g^-∗ = const, f₂ = tg^-∗ - g^+∗ = const,

g^±∗ = ξ^±∗1(t)δq₁ + ... + ξ^±∗n(t)δq_n + η^∓∗1(t)δq1 + ... + η∓∗n(t)δqn.

102

Найдем производные

1 и

2 в силу системы (Π.1). Тогда

∑

1 =µ η∗s(t)δRs(δq,

q),

2 =-µ η∗s(t)δRs(δq,

q).

s=1

Обозначим x_∗ = g^+∗, y_∗ = g^-∗. Тогда при µ = 0 получим

y_∗ =

1 = 0, x∗ =

=y_∗

f₂,

2 = 0. При µ = 0 из (Π.1) получаются уравнения

∑

x_∗ = y_∗ + µ

η^-∗s(t)δu_s,

y_∗ = µ

η^+∗s(t)δu_s.

s=1

б. Пара ± iω чисто мнимых ХП. В этом случае первые интегралы записы-

ваются в комплексном виде

f_± = exp (± iωt)g^±ω(δq,δq˙),

g^±ω = ξ^±ω1(t)δq₁ + ... + ξ^±ωn(t)δq_n + η^∓ω1(t)δq+...+η∓ωn(t)

q_n.

Вычислим полные производные от функций f_± в силу системы (Π.1). По-

лучим

∑

± =µexp(± iωt) ηωs(t)δRs(δq,

q).

s=1

Далее находится

ġ^±ω

f_± exp (∓ iωt) ± iωf_± exp (∓ iωt).

Тогда для переменных x_ω = g^+ω, y_ω = ig^-ω получается, что

∑

x_ω = ωy_ω + µ η^-ωs(t)δu_s,

y_ω = -ωx_ω + µ η^+ωs(t)δu_s.

s=1

Результатом перехода к действительным переменным станут два уравнения

в системе (7).

в. Пара простых нулевых ХП. В этом случае получаются первые интегра-

лы

f_1,2 = g^± = ξ^±1(t)δq₁ + ... + ξ^±n(t)δq_n + η^∓1(t)δq1 + ... + ηn(t)∓δqn.

Тогда соответствующие уравнения системы (Π.1) приобретают вид

∑

x₊ = µ η^-s(t)δR_s,

y_- = µ η^+s(t)δR_s.

s=1

Таким образом, использование групп переменных (x_∗, y_∗), (x_ω, y_ω) и

(x₊, y_-) позволяет преобразовать систему (Π.1) к виду, удобному к вычис-

лению ХП. При этом применяется преобразование (Π.5), в котором u = δq,

v=δ˙q, вектор x(y) состоит из векторов x∗,xω,x+ (y∗,yω,y+), а в функции

δR(δq,δq˙) векторы δq и δ

˙q заменяются на векторы x и y по формулам обрат-

ного к (Π.5) преобразования.

103

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // Журн.

эксперим. и теорет. физики. 1934. Т. 4. Вып. 9. С. 883-885.

Patidar V., Sharma A., Purohit G. Dynamical Behaviour of Parametrically Driven

Duffing and Externally Driven Helmholtz-Duffing Oscillators under Nonlinear Dissi-

pation // Nonlin. Dynam. 2016. V. 83. No. 1-2. P. 375-388.

Zaitsev S., Shtempluck O., Gottlieb E.B. Nonlinear Damping in a Micromechanical

Oscillator // Nonlin. Dynam. 2016. V. 67. No. 1. P. 859-883.

Тхай В.Н. Стабилизация колебаний управляемой механической системы // АиТ.

2019. № 11. С. 83-92.

Tkhai V.N. Stabilizing the Oscillations of a Controlled Mechanical System // Autom.

Remote Control. 2019. V. 80. No. 11. P. 1996-2004.

Shiriaev A., Perram J.W., Canudas-de-Wit C. Constructive Tool for Orbital Stabi-

lization of Underactuated Nonlinear Systems: Virtual Constraints Approach // IEEE

T. Automat. Contr. 2005. V. 50. No. 8. P. 1164-1176.

Тхай В.Н. Обратимость механических систем // Прикл. матем. и механ. 1991.

Т. 55. Вып. 4. C. 578-586.

Тхай В.Н. О поведении периода симметричных периодических движений //

Прикл. матем. и механ. 2012. Т. 76. Вып. 4. C. 616-622.

Тхай В.Н. Периодические движения возмущенной обратимой механической си-

стемы // Прикл. матем. и механ. 2015. Т. 79. Вып. 2. C. 181-195.

Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. M.: Гостехиздат,

1956.

10.

Евдокименко А.П. О равновесных конфигурациях двух связанных маятников и

их устойчивости // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 3. C. 47-58.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 14.10.2019

После доработки 14.01.2020

Принята к публикации 30.01.2020

104