Автоматика и телемеханика, № 9, 2020

(Самарский национальный исследовательский университет

имени академика С.П. Королева)

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЙ

В НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ОЛИГОПОЛИИ ШТАКЕЛЬБЕРГА

НА ОСНОВЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Рассматривается теоретико-игровая проблема выбора оптимальных

стратегий агентов рынка олигополии при линейной функции спроса и

нелинейных функциях издержек агентов. Доказаны необходимые условия

существования решения системы нелинейных уравнений, включающих в

себя степенные функции. На основе разложения степенных функций в

ряды Тейлора проведена линеаризация системы уравнений оптимальных

реакций агентов. В результате линеаризованная система зависит от век-

тора параметров линеаризации, а расчет игровых равновесий сводится к

подбору неподвижных точек нелинейных отображений. Исследованы от-

клонения значений приближенного равновесия от точного решения. Вы-

ведены аналитические формулы расчета равновесий в игре олигополистов

для произвольного уровня лидерства по Штакельбергу. Анализ дуопо-

лии и триполии показал, что равновесие в игре является следствием двух

факторов: во-первых, вогнутость функции издержек агента, т.е положи-

тельный эффект расширения масштаба, ведет росту его выигрыша по

сравнению с агентами, имеющими выпуклые функции издержек, т.е от-

рицательный эффект расширения масштаба; во-вторых, выигрыш агента

повышается, если он является лидером, однако преимущество окружения

по типу функции издержек снижает воздействие второго фактора.

Ключевые слова: олигополия, игра Штакельберга, степенная функция из-

держек, многоуровневое лидерство, линеаризация.

DOI: 10.31857/S0005231020090068

1. Введение

Линейная модель выбора оптимальных действий агентов рынка олигопо-

лии, в которой обратная функция спроса и функции издержек агентов яв-

ляются линейными, широко использовалась [1-5] для анализа равновесий

в игре олигополистов, поскольку эта модель допускает простое аналитиче-

ское решение в виде равновесия Курно-Нэша [6, 7]. Нелинейная модель вы-

бора оптимальных действий, в которой обратная функция спроса линейная,

а функции издержек агентов являются нелинейными, использовалась реже

[8-11], так как не позволяет найти аналитическое решение. В этом случае

особенные вычислительные трудности возникают при анализе игры агентов

с лидером (лидерами) по Штакельбергу [12] первого и последующих уров-

ней [13, 14], поскольку для нахождения предположительных вариаций [15]

необходимо решать системы нелинейных уравнений на каждом уровне и для

каждого агента. Формы таких систем уравнений получены [16] для лидеров

по Штакельбергу первого и второго уровня, однако равновесия были рас-

считаны численными методами. Формулы предположительных вариаций в

120

явном виде [17] позволяют анализировать характер их изменения при вариа-

циях действий агентов, что необходимо для вычисления равновесий при на-

личии лидеров по Штакельбергу второго и более высоких уровней, а ограни-

чение [17] на модуль суммы предположительных вариаций позволяет оценить

диапазоны возможных равновесий.

В данной статье ставится задача поиска аналитического решения равнове-

сий Курно-Нэша в нелинейной модели олигополии для произвольного уровня

лидерства.

2. Методология

Рассмотрим следующую нелинейную модель рынка олигополии. Пусть

агенты выбирают действия исходя из максимума своих функций полезности

(прибыли)

(1)

Π_i (Q,Q_i) = P (Q)Q_i - C_i (Q_i) , Q_i

≥ 0, i ∈ N = {1, . . . , n}

при линейной функции цены спроса на товар от суммарного объема предло-

жения всех агентов рынка

∑

(2)

P (Q) = a - bQ, a > 0, b > 0, Q = Q_i,

i∈N

и нелинейных (степенных) функциях издержек агентов

(3)

∈ (0, 2) , i ∈ N,

C_i (Q_i) = C_Fi + B_iQβii, CFi > 0, Bi > 0, βi

где Q_i, Π_i

действие (объем выпуска) и функция полезности (прибыль)

i-го агента; N

множество агентов рынка; n количество агентов, т.е.

количество элементов множества N; P , Q равновесная цена и суммар-

ный объем рынка; C_Fi, B_i, β_i коэффициенты функций издержек агентов,

C_Fi интерпретируется как постоянные издержки; a, b коэффициенты об-

ратной функции спроса. Степенная функция издержек (3) в диапазоне ко-

эффициентов β_i ∈ (0, 2) обобщает два типа агентов: агент с положительным

эффектом расширения масштаба описывается вогнутой функцией издержек

при 0 < β_i < 1, агент с отрицательным эффектом выпуклой функцией при

1 < β_i < 2.

Модели выбора оптимальных (символ ¾^∗¿) действий агентов с учетом

условий (1)-(3) запишем в виде

{

}

(4)

Q^∗i = arg maxΠi(Q,Qi) = arg max

(a - bQ)Q_i - C_Fi - B_iQβi

i∈N.

Q_i≥0

Равновесие Нэша в системе (4) представляет собой вектор оптимальных

действий агентов при выбранных действиях окружения и определяется пу-

тем решения системы уравнений реакций следующего типа (при некотором

известном векторе предположительных вариаций):

∂Πi (Q_i,x_ij)

(5)

= 0, i, j ∈ N,

∂Q_i

121

где x_ij = Q^′

предположительная вариация в уравнении реакции i-го аген-

jQ_i

та, т.е. предполагаемое изменение выпуска j-го агента в ответ на единичный

прирост выпуска i-го агента. Поскольку согласно модели (4) оптимумы аген-

тов зависят не только от собственного действия i-го агента Q_i, но и от дей-

ствий окружения через Q, то последняя зависимость представлена в систе-

ме (5) как функция полезности Π_i (Q_i, x_ij ) от вектора предположительных

вариаций, характеризующих влияние действий окружения на изменение Q.

Стратегическая игра Γ есть кортеж множества агентов, множества страте-

гий агентов, множества функций полезности (прибыли) агентов и множества

уровней лидерства

(6)

Γ = 〈N,{Q_i,i ∈ N},{Π_i

,i ∈ N},G〉,

где G = (M₀, M₁, . . . , M_L) множество уровней лидерства агентов; L ко-

личество уровней лидерства агентов; M_r (r = 0, . . . , L) множества агентов;

M₀

множество ведомых агентов; M_r (r = 1, . . . , L) множество лидеров

r-го уровня.

В дальнейшем подмножество агентов окружения i-го агента, имеющих

один и тот же уровень лидерства, обозначено символом M = {l ∈ N\i}, число

элементов этого множества обозначено символом m = n - 1.

Уровни лидерства определяются следующим образом. Нулевой уровень,

соответствующий ведомому η₀-му агенту, имеет место, если в η₀-м уравнении

системы (5) полагается x0η0j^{=0∀j∈N\η}0^{,гдеверхнийиндекспредположи-}

тельной вариации обозначает уровень лидерства r. Первый уровень лидер-

ства η₁-го агента возникает, если в η₁-м уравнении системы (5) вариации x1η1j

вычисляются дифференцированием по Qη1 остальных (N - 1) уравнений (5),

в которых полагается x^0ij = 0 ∀j ∈ N\i. Произвольный r-й уровень лидерства

η_r-го агента возникает, если в η_r-м уравнении системы (5) вариации xrηrj^вы-

числяются дифференцированием по Qηr остальных (N - 1) уравнений (5), в

которых полагается x_ij = x^r-1ij ∀j ∈ N\i.

Решения игры (6) на r-м уровне лидерства i-го агента для модели выбора

действий (4) были получены [16] в виде системы (5) уравнений равновесия

Нэша:





∑

(7)

F^ri = a - bQ - bQ_i 1 +

x^r

-Biβ_iQβi-1i = 0, Q_i

> 0, i ∈ N,

j∈N\i

при условии

(8)

u_i - S^ri

< 0, i ∈ N,

с учетом следующих обозначений:

β_i-2

∑

B_iβ_i (β_i - 1) Q

(8a)

u_i = -2 -

S^ri =

x^ril

i∈N,

l∈N\i

122

где u_i (•), i ∈ N,

непрерывные и дифференцируемые по Q_i функции, ха-

рактеризующие влияние нелинейности функций издержек агентов на унимо-

дальность функции полезности i-го агента (при u_i = -2 система (3) является

линейной); S^ri величина суммы предположительных вариаций i-го агента

относительно действий окружения на r-м уровне лидерства; F^ri (•), i ∈ N,

непрерывные и дифференцируемые по Q_i функции.

По сравнению с линейной моделью, для которой условие (8) имеет вид

-2 - S^ri < 0, i ∈ N, в нелинейной модели (4) функция полезности агента мо-

жет быть неунимодальной не только вследствие влияния действий окруже-

ния, т.е. ситуаций, когда S^ri < -2, но и в результате положительного эффекта

расширения масштаба функции издержек агента. Поэтому введем предполо-

жение о том, что темп снижения предельных издержек при возрастающей

отдаче от масштаба (т.е. β_i < 1) не может быть больше темпа снижения цены

при увеличении объема предложения



(8b)

MC′

=Biβ_i |β_i - 1| Qβi-2i < b ∀β_i

< 1,

iQ_i

где MC_i = C′iQi = B_iβ_iQβi-1i предельные издержки i-го агента. Предполо-

жение (8b) гарантирует выполнение условия (8), если не выполнено условие

|S^ri| < 1, так как |u_i| > 1 при условии (8b).

В дальнейшем символом ¾^∗¿ обозначены оптимальные действий агентов

как решения системы уравнений (7).

Поставим задачу нахождения приближенного решения системы (7) в яв-

ном виде при некотором известном векторе предположительных вариаций,

соответствующем заданному множеству уровней лидерства G.

3. Результаты

Система нелинейных уравнений (7) не имеет аналитического решения, по-

этому проведем линеаризацию уравнений (7), которая позволяет свести ре-

шение к подбору неподвижных точек нелинейных отображений относительно

параметров линеаризации. Линеаризация основана на следующем утвержде-

нии, доказательство которого приведено в Приложении.

Утверждение 1. Система (7) имеет решение Q^∗ = {Q^∗i,i ∈ N}, если

выполняются условие (8) и следующие условия:

Q_i ≤ Q^∗i ≤ Q_max,

|x_ji| = |u_i - S^ri| ,

{

(9a)

> 0 при |x^r

| < |u_i - Sri |,

F^ri (κ_j)

∀i, j ∈ N,

< 0 при |x^rji| > |u_i - S^ri|,

где

∑

(

)

B_jβ_jQ^m

κ_j =

Q_k - Q_max - Q_max

1+S^rj

k∈N\(i,j)

(

)

a-MC_min

Q_max =

MC_min = min

B_iβ_iQβi-1

i∈N

123





∑

Fi (κj) = a - bQmax +

Q_k + κ_j - bκ_j (1 + S^ri) - B_iβ_iκβi-1j,

k∈N\(i,j)



 1

2-βj

Q_j = Bj(^j |βj -)|

при β_j < 1,

Q_j = 0

при β_j > 1.

2+S^r

Если система (7) имеет решение, то уравнения





∑

F^ri = â -bq -bq_i 1 +

x^r

- B_iβ_iνβi-1i -

(9b)

j∈N\i

- B_iβi (β_i - 1) νβi-2i(q_i - ν_i) = 0, i ∈ N

∑

относительно неизвестных q_i =Qi

∈ (0, 1) при q =

q_i с коэффициента-

max

i∈N

ми

(9c)

â = Q_maxa,

b = Q^2maxb,

i∈N

B_i = QβimaxBi

имеют решенияQ∗i, отклонения которых ΔQ^∗i = Q^∗i -Q∗i от точного реше-

ния Q^∗i при условиях |q_i - ν_i| < r_i, ν_i < q_i, i ∈ N не превышают по модулю

значения

(q_i -ν_i)

|u_imax + 2| |β_i - 2| Ωβi-3i

(9d)

|ΔQ^∗|≤ξi, ξi=Qmax



,

i∈N,



i-2



2-(u_imax +2) ν^β

+S_max

причем

(9e)

lim

|ΔQ^∗i

| = 0, i ∈ N,

r→0

где

Ω_i = ν_i + θ_i (q_i - ν_i), θ_i,ν_i ∈ (0,1), r_i ∈ (0,Ω_i), u_imax = u_i (Q_max),

(

)₂ (

)_-1

1-ε

S_max =

υ_max =

m-1-υ_max

ε≪1

малое положительное число, m ≥ 2 количество агентов окруже-

ния i-го агента.

Условия (9а) в случае дуополии (n = 2) допускают следующую геометри-

ческую интерпретацию: построим численно по уравнению (7) второго агента

линию реакции Q^∗2 (Q₁), а линию реакции первого агента Q₂ (Q^∗1) постро-

им, выразив Q₂ из уравнения (7) первого агента. Тогда первое условие (9а)

устанавливает интервалы монотонного убывания этих реакций, второе усло-

вие (9а) обеспечивает различие их угловых коэффициентов, т.е. наличие точ-

ки пересечения реакций, а третье условие (9а) требует, чтобы точка пересе-

чения принадлежала интервалам монотонности.

124

Рис. 1. Графический анализ погрешности линеаризации.

Условия (9d), (9e) показывают, что корректный подбор параметров ν_i

с учетом |q_i - ν_i| < r_i и ν_i < q_i при заданном малом положительном числе

r_i ∈ (0,Ω_i) позволяет достичь необходимой точности решения системы (7).

Существование параметров ν_i, удовлетворяющих этим условиям, доказано

ниже, в утверждении 2.

Графический анализ отклонения (9d) решения q^∗i системы (9b) от точного

решения Q^∗i системы (7) показан на рис. 1.

На основе результатов утверждения 1 систему уравнений (7) после линеа-

ризации можно привести к более компактному виду, для которого легко полу-

чить общее решение, что сформулировано в виде следующего утверждения.

Утверждение 2. Уравнения (9b) сводятся к виду

β_i-1

â - Biβi (2 - β_i)ν_i

δ_iq_i + q_-i = α_i, i ∈ N, α_i =

(10a)

∑

B_iβ_i (β_i - 1)

δ^ri = 2 +

νβi-2i + S^ri, S^ri =

x^rik,

k∈N\i

∑

где q_-i =

q_k

сумма действий окружения i-го агента; если выполня-

k∈N\i

ются условия

∑

(10b)

= -1 ∧ δ^rj

= 1 ∀j ∈ N,

δ^rj

-1

j=1

то система (10а) имеет единственное решение и корни вычисляются по

следующим формулам:

[

]

[

]

(

∏

∑

∏

(

)

∑

∏

(

)

α_i

δ^rj -1

δ^rγ -1

α_j

δ^rγ -1

j=1\i

j=1\i γ=1\j,i

j=1\i

γ=1\i,j

(10c) q^∗i =

(

∏

∑

∏ (

)

δ^rj

-1

δ^rγ - 1

j=1

j=1 γ=1\j

125

Для решения (10с) существует набор параметров ν^∗i, при котором выпол-

няются следующие условия утверждения 1 :

|q_i - ν^∗i| < r_i, Ω_i = ν^∗i + θ_i (q_i - ν^∗i) , θ_i, ν^∗i ∈ (0, 1) ,

(10d)

r_i ∈ (0,Ω_i), ν^∗i < q_i, i ∈ N,

если для всех i ∈ N

)

(10e)

+u_imax, θ_i ∈

(r_i -ν^∗i,1

при r_i > ν^∗i.

bQ_max

r_i

В частных практически важных случаях формула (10с) имеет следующий

вид:

α_iδ^rj - α_j

q^∗i =

i = j = 1,2

при n = 2,

δ^r1δ^r2 - 1

(

)

(10f)

∏

∑

∏

∑

α_i

δ^rj - 1

α_jδ^rγ +

α_j

j=1\i

j=1\i γ=1\i

j=1\i

q^∗i =

при n = 3.

δ^r1δ^r2δ^r3 - δ^r1 - δ^r2 - δ^r3 + 2

Таким образом, решение системы уравнений (7) сведено к задаче поис-

ка неподвижной точки отображения q_i (ν_i) = ν_i, заданного формулами (10c),

причем существование этой неподвижной точки доказано при условиях (10е).

Подбор параметров линеаризации ν^∗i, удовлетворяющих условиям (10d), осу-

ществляется эвристически, путем последовательного вычисления равновесий

по формулам (10c) и проверки условий (10d).

Сравнение формул (8а) и (10а) показывает, что в случае выполнения усло-

вия (9e) имеет место равенство¹ δ^ri = - (u_i - S^ri). Поэтому выполнение усло-

вий (8), (9а) существования решения системы (7) не гарантирует выполнение

условия (10b) и наоборот. Следовательно, применение формул (10c) должно

сопровождаться проверкой условий (8), (9а).

Решение (10f) для случая дуополии допускает сравнение с известным рав-

новесием Курно [18] при линейных функциях издержек. В этом случае β_i = 1,

а параметр B_i имеет смысл предельных издержек агентов, поэтому из фор-

мул (10а) с учетом формул (9с) следует, что

â-Bi

a-B_i

α_i =

δ_i = 2,

bQ_max

следовательно, из формулы (10f) при n = 2 получим

2(a - B_i) - (a - B_j)

q^∗i =

i, j = 1, 2,

3bQ_max

а в случае равенства параметров типа агентов, т.е. B_i = B_j = B, отсюда сле-

дует формула равновесного выпуска агентов Курно q^∗i =^a-B3bQ

⇒Q^∗i =^a-B3b,

max

идентичная формуле [18].

¹ Поскольку подстановка из (9с)

b = Q^2maxb, Bi = QmiaxBi в формулу δⁱ (10а) в случае

(

βi

)^βi-2

maxBiβi(βi-1)

^Qi

qi = νi и qi =QiQ

приводит к формуле δ^ri = 2+^Q

+S^ri = -ui+Sⁱ.

max

Q^2maxb

Qmax

126

4. Численные эксперименты

На точность линеаризации нелинейных уравнений реакции (7) в виде (9b)

влияет характер функций F^ri и их близость к функция

F^ri в достаточно ши-

роком диапазоне значений параметров рынка a, b и параметров типов аген-

тов B_i, β_i, i ∈ N. Поскольку b = 0, то допустимо представление функций (7) в

(

)

∑

следующем виде: F^ri =^a

-Q-Q_i 1+_j∈N\ix^r

- Bⁱb ^βiQii-1. Анализ [19]

телекоммуникационных компаний РФ показал, что у всех фирм наблюдается

положительный эффект расширения масштаба, т.е. β_i < 1, коэффициент из-

держек B_i ∈ (1, 3), если Q_i ∈ (0, 500) млрд мин, параметр функции спроса a≈

≈B_i, параметр b = 0,0009 руб./мин. Поэтому будем рассматривать соотноше-

ние, далее называемое коэффициентом спроса и издержек, σ =Bib≈b ≈1000

как параметр функции F^ri, а при моделировании отрицательного эффек-

та масштаба в связи с отсутствием эмпирических данных примем σ =^ab и

B_i

= kσ, k < 1. Также в качестве параметра этой функции рассмотрим сум-

му предположительных вариаций в функции F^ri i-го агента S^ri. Отметим,

что было получено [17] следующее ограничение на сумму предположитель-

ных вариаций: |S^ri| <^mm-1-υ , где υ < 1 ∀m ≥ 2, причем если для всех аген-

тов имеет место убывающая отдача от расширения масштаба, т.е. β_i > 1

∀i ∈ N, то данное ограничение более жесткое: |S^ri| < 1 ∀m ≥ 1. Поэтому иссле-

дуем трехпараметрическую функцию F^ri = σ - Q - Q_i (1 + S^ri) - kσβ_iQβi-1i,

{

1 ∀β_i < 1,

в диапазоне Q_i ∈ (100, Q_max) , Q_max = 500 млрд мин при

0,3 ∀β_i > 1

различных значениях параметров σ, β_i, S^ri.

Аналогично проведем моделирование линеаризованных функций (9b), ко-

торые представим в виде





∑

B_i

F^ri =

- q - qi 1 +

x^r

-

β_iνβi-1i -

β_i (β_i - 1) νβi-2i (q_i - ν_i).

j∈N\i

С учетом (9c) коэффициенты этих функций вычисляются по формулам

B_i

Q_maxa

QmiaxBi

= σQ^-1max,

= kσQβi-2max .

Q^2maxb

Q_maxb

Q^2maxb

Поэтому вместо функци

F^ri исследуем функцию

[

]

F^∼i = σQ^-1max - q - q_i (1 + S^ri) - kσQβi-2maxβ_i νβi-1i + (β_i - 1) νβi-2i (q_i - ν_i)

при Q_max = 500 и различных значениях параметров σ, β_i, S^ri, причем ось абс-

цисс переведем в единицы измерения Q_i = q_iQ_max.

Исследуем адекватность оценки линеаризации (9b) по формуле (9d), для

чего сравним фактическое отклонение решения линеаризованной системы

равнений (b) от точного решения системы (7), вычисленное по формуле



∗



ΔQ^∗iфакт=

Q^∗i -Q

, и оценку максимального отклонения ξ_i, вычисленную

127

по формуле (9d). При моделировании отклонения ξ_i используем двухпара-

метрическую функцию (8) в виде

β_i-2

B_iβ_i (β_i - 1) Q

u_i = -2 -

= -2 - kσβ_i (β_i - 1) Qβi-2i

при различных значениях σ, β_i.

На рис. 2, 3 в зависимости от параметра линеаризации ν_i показаны от-

клонения |ΔQ^∗iфакт| и ξ_i, а также точное решение q^∗i для случая дуополии

(т.е. при n = 2) при коэффициенте спроса и издержек, равном σ = 1000, для

случая однотипных агентов (т.е. β = β_i ∀i ∈ N) при различных типах эф-

фекта расширения масштаба (β < 1 и β > 1) и различных значениях суммы

предположительных вариаций (S^ri = 0 и S^ri = -0,5). На рис. 4, 5 отклонения

показаны для дуополии и триполии (т.е. при n = 2, 3) при положительном

эффекте расширения масштаба (β < 1) и нулевой сумме предположительных

вариаций для различных значений коэффициента спроса и издержек σ.

Во всех случаях видно, что |ΔQ^∗iфакт| < ξ_i, т.е. фактическая точность ли-

неаризации существенно превышает предельную оценку, так как для нагляд-

ности высоты линий q^∗i на обоих рисунках одинаковы. Кроме того, видно,

что отклонения |ΔQ^∗iфакт| и ξ_i практически совпадают и достигают наимень-

ших значений, близких к нулю, при ν_i = q^∗i, что подтверждает выполнение

условий (10d), т.е. возможность нахождения достаточно точного решения си-

стемы (7) по линеаризованной системе (9b).

На рис. 6 в зависимости от действия каждого из агентов Q_i при значе-

нии параметра линеаризации ν_i = q^∗i показаны сплошными линиями функции

оптимальных реакций F_i и пунктирными линиями линеаризованные функ-

ции F^∼i для случая дуополии (т.е. при n = 2) при коэффициенте спроса и

издержек, равном σ = 1000; графики иллюстрируют точность совпадения ре-

шения уравнений (7) и (9b), т.е. совпадения точек пересечения этих функций

с осью абсцисс.

Проведем анализ чувствительности решения системы линеаризованных

уравнений (10а), вычисленных по формулам (10d), к изменениям парамет-

ров рынка и типа агентов. С использованием коэффициента спроса и издер-

жек σ, формулы коэффициентов системы (10а) имеют вид трехпараметриче-

ских функций

β_i-1

B_iβ²ⁱν_i

α_i =

= σQ^-1max - kσQβi-2max β2i νβi-1i,

δ_i = 2 + kσQβi-2maxβ_i (β_i - 1) νβi-2i + S^ri

при различных значениях параметров σ, β_i, S^ri.

Рассмотрим случай дуополии, когда функция издержек первого агента

имеет положительный эффект расширения масштаба, а именно β₁ = 0,8, а

у второго агента может быть положительный или отрицательный эффект.

Опишем эти констелляции с помощью переменного соотношения параметров

типа агентовβ2β₁ приβ1=0,8:еслиβ2 <1,25,товторойагентимеетположи-1

129

Рис. 8. Зависимости равновесных относительных действий в триполии от соот-

ношений параметров типа агентов при n = 3, σ = 1000, Q_max = 500, β₁ = 0,8,

k = 0,2.

Все графики построены при значении коэффициента спроса и издержек, рав-

ного σ = 1000, за исключением равновесия при σ = 500, которое иллюстриру-

ет влияние этого параметра. Базой сравнения является случай агентов Курно

при нулевых предположительных вариациях (S₁ = S₂ = 0), в котором влия-

ние изменения параметра типа второго агента вполне объяснимо: равновес-

ные действия первого агента увеличиваются, а второго уменьшаются с ро-

стомβ2 , что обусловлено относительным опережением прироста издержек_β

второго агента. Далее, показано влияние лидерства по Штакельбергу второ-

го агента, т.е. увеличения модуля предположительной вариации этого аген-

та (S₂ = -0,25; S₂ = -0,5; S₂ = -0,75), которое выражается в том, что при

малых значенияхβ2 равновесные действия второго агента существенно пре-_β

вышают действия первого, однако приβ2β₁ >1,25(т.е.β2^{>1)первыйагент}

вновь выигрывает в равновесии. Наконец, влияние изменения коэффициента

спроса и издержек до σ = 500 вызывает одновременный сдвиг равновесных

действий агентов в сторону уменьшения.

На рис. 8 представлены зависимости равновесных значений действий аген-

тов в триполии как функции от соотношения параметров типа агентовβi ,_β

i = 2,3 при β₁ = 0,8, т.е. параметры типа второго и третьего агентов оди-

наковы. Поэтому в случае S₁ = S₂ = S₃ = 0 графики q^∗2 и q^∗3 совпадают и

характер влияния относительного изменения параметров функций издержек

этих агентов по сравнению с первым агентом аналогичен случаю дуополии:

равновесные действия первого агента увеличиваются, а второго и третьего

132

уменьшаются с ростомβi . Далее рассмотрены ситуации, в которых первый_β

агент считается ведомым, второй агент лидером по Штакельбергу, а тре-

тий лидером по Штакельбергу более высокого уровня, т.е. при S₁ = 0 имеет

место S₂ = -0,25; S₂ = -0,5 и S₃ = -0,5; S₃ = -0,75 соответственно. В ре-

зультате лидеры получают преимущество в равновесии до тех пор, пока их

функции издержек характеризуются положительным эффектом масштаба,

т.е.βiβ₁ <1,25,авслучаеβi >1,25равновесныедействияпервогоагентаста-1

новятся больше, чем действия лидеров.

5. Заключение

Процессы, протекающие в экономических и технических системах, зача-

стую нелинейны, поэтому нелинейные модели описывают их наиболее точно.

Однако системы нелинейных уравнений, которые описывают оптимальные

действия агентов в многоагентных системах, не имеют аналитического ре-

шения, что затрудняет исследование таких систем в случае, если одни их

состояния зависят от других состояний, например при анализе динамики си-

стем. В игре олигополии эта сложность возникает при анализе лидерства по

Штакельбергу различных уровней, когда равновесие на данном уровне вы-

числяется в зависимости от равновесия на предшествующем уровне.

В статье рассмотрен первый этап разрешения этой проблемы, состоящий

в редукции системы нелинейных уравнений оптимальных реакций агентов

к системе линейных уравнений, зависящих от вектора параметров линеари-

зации. Для линеаризованной системы получено аналитическое решение как

функция этих параметров. В результате расчет игровых равновесий сводится

к подбору неподвижных точек нелинейных отображений. На этом этапе под-

бор параметров линеаризации осуществлялся эвристически, что тем не менее

позволило получить решения игры с удовлетворительной точностью.

Моделирование равновесий для достаточно широкого спектра параметров

состояния агентов подтвердило удовлетворительную точность линеаризации,

а также продемонстрировало возможности данного подхода в задачах анали-

за влияния изменения параметров состояния на результирующее равновесие

в игре.

Исследование позволило сделать следующие выводы. В игре олигополи-

стов преимущество одного агента по типу функции издержек, т.е. наличие

положительного эффекта расширения масштаба, ведет к повышению выиг-

рыша этого агента по сравнению с выигрышами окружения. Лидерство по

Штакельбергу одного из агентов также способствует повышению его выиг-

рыша по сравнению с выигрышами окружения, однако преимущество других

агентов по типу функции издержек корректирует влияние этого фактора.

Развитие исследований видится, во-первых, в нахождении замкнутой фор-

мы решения линеаризованной системы уравнений на основе процедуры вы-

числения неподвижных точек нелинейных отображений; во-вторых, в направ-

лении применения разработанных расчетных методик к проблеме вычисле-

ния равновесий на реальных рынках, например рынке телекоммуникаций,

при различных уровнях лидерства агентов с целью оценки их фактических

133

уровней путем сравнения с реальными состояниями. Результаты также ак-

туальны в связи с увеличением количества агентов свыше трех, например

на российском рынке телекоммуникаций, что приводит к усложнению анали-

за их взаимодействий. Наряду с этим, результаты могут быть использованы

при анализе игр на других рынках, а именно на рынках розничной продажи

электроэнергии [23-25], поскольку возможность анализа нелинейных систем

обеспечивает более точные оценки результатов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Проведем нормализацию векто-

ра действий агентов из условия q_i ∈ (0, 1), которому удовлетворяет следующая

формула:

Q_i

(Π.1)

q_i =

i∈N, Q_max >Q_i

i∈N.

Q_max

(

)

определено из формулы

Значение Q_max =a-MCminb^,MCmin=mini∈N Bi^Qiβi-1

объема рынка олигополии при бесконечно большом количестве фирм [18].

Коэффициенты уравнений (7) для нормализованного вектора действий най-

дем из условия равенства критерия (1) при векторах действий q_i, i ∈ N и Q_i,

i∈N:

(

)

(Π.2)

i∈N.

â - bq q_i - C_Fi -Biqβii = (a - bQ) Qi - CF i - BiQii

Подставив в это выражение (П.1) и сравнив коэффициенты при одинаковых

степенях вектора действий, получим формулы (9c). Следовательно, (7) мож-

но записать в виде





∑

(Π.3)

Fi = â -bq -bqi1 +

x^r

- B_iβ_iqβi-1i

= 0, i ∈ N.

j∈N\i

Нелинейный компонент уравнений (П.3) есть функция f(q_i) =Biβ_iqβi-1i.

В окрестности числа ν_i, такого что ν_i ∈ (0, 1), ν_i < q_i, разложение этой функ-

ции в ряд Тейлора имеет вид

f^′′ (ν_i)

f (q_i) = f (ν_i) + f^′ (ν_i)(q_i - ν_i) +

(q_i - ν_i)² +

Если существует такое число Ω_i = ν_i + θ_i (q_i - ν_i), что ν_i < Ω_i < q_i, иначе го-

воря θ ∈ (0, 1), то этот ряд имеет остаточный член формулы Тейлора в форме

Лагранжа [20], вычисляемый по следующей формуле:

∏

Ωβi

(Π.4)

R_k (q_i) =

f^(k) (Ω_i)(q_i - ν_i)^k =(qi -νi)

B_iβ_i

(β_i

− j) .

Ω^k+1

j=1

134

Ряд сходится, если |q_i - ν_i| < r_i и lim

) = 0, поэтому зададим ма-

R_k (q_i

k→∞

лое число r_i, такое что 0 < r_i < Ω_i, и при этом покажем существование

предела последовательности остаточных членов. Поскольку r_i ∈ (0, Ω_i), то

∏_k

Ω_i > q_i - ν_i, значит,(qi-νi)

> (qi-νi)^k+1

, и k!=

j, j ≥ |β_i - j|, значит,

Ω^ki

Ω^k+1i

j=1

∏k

∏_k+1

j=1

|β_i-j|

∏k

> ∏1

k+1

. Поэтому lim

R_k (q_i) = 0, значит, ряд Тейлора с оста-

j=1

k→∞

точным членом (П.4) сходится к функции f (q_i) =Biβ_iqβi-1i.

С учетом только первого члена ряда разложение функции f (q_i) имеет вид

f (q_i) =Biβ_iνβi-1i + Biβ_i (β_i - 1) νβi-2i (q_i - ν_i). Поэтому (П.3) можно предста-

вить в виде (9b). Остаточный член (П.4) при этом равен

(q_i - ν_i)

(Π.5)

R₂ (q_i) =

B_iβ_i (β_i - 1) (β_i - 2) Ωβi-3i.

Оценим погрешность замены решения системы (7) на решение систе-

мы (9b). Функции F_i, описывающие левые части уравнений (7), в окрестности

локального максимума критерия (1) являются убывающими по Q_i, посколь-

ку F′iQi = u_i - S^ri < 0 выполняется при условии (8). Функци

Fi левых частей

уравнений (9b) также убывающие, поскольку неравенство

(Π.6)

F^′iq

= -2b - bS^ri - Biβ_i (β_i - 1) νβi-2i

выполняется при условии (8). В (П.6) учтено, что согласно

[17]

∂S^ri =_∂q

= ∂Qi∂_i ∂

q_i

Как видно из рис. 1, отклонение решения q^∗i системы (9b) от точного ре-

шения Q^∗i системы (7), приведенного по нормализации (П.1) к единицам из-

мерения Q_i, т.е. отклонение ΔQ^∗i = Q^∗i -Q∗i, равно

|R₂ (q^∗i)|

(Π.7)

|ΔQ^∗i| = Q_max



F^′



iq_i

С учетом коэффициентов, вычисленных по формулам (9c), выражение (П.6)

имеет вид

F^′iq

= -2Q^2maxb - Q^2maxbS^ri - QβimaxBiβi (βi - 1)

(

)

B_iβ_i (β_i - 1)

= -bQ^2max

2+S^ri +

Qβi-2maxνβi-2

[

]

Это выражение с учетом (8a) равн

F′iqi = -bQ^2max

2-(uimax +2)νβi-2i+S^r

где u_imax = u_i (Q_max). Подставим это выражение, а также (П.5) в (П.7), по-

135

лучим

(q_i - ν_i)

B_iQmiaxβi |βi - 1| |βi - 2| Ωii-3

|ΔQ^∗|=Qmax



 =



i-2



bQ^2max

2 - (u_imax + 2) ν^β

+S^ri

(q_i - ν_i)²

|u_imax + 2| |β_i - 2| Ωβi-3i

=Q_max



.



i-2



2 - (u_imax + 2) ν^β

+S^ri

Было показано [17], что выполняется ограничение |S^ri| < S_max =

m-1-υmax

где υ_max =ψmax(√√ψmax)

, ψ_max ≈ 1, ψ_max < 1, m количество агентов окру-

ψmax

жения i-го агента, m ≥ 2, тогда, приняв ψ_max = 1 - ε, где 0 < ε ≪ 1, получим

(

)₂ (

)_-1

приближенно υ_max ≈^1-εm

2-^ε2

1-^ε2

. Поэтому в общем можно запи-

сать следующее ограничение:

(q_i - ν_i)

|u_imax + 2| |β_i - 2| Ωβi-3i

|ΔQ^∗|≤Qmax



.



i-2



2 - (u_imax + 2) ν^β

+S_max

Поскольку u_imax есть ограниченная величина по (8а), S_max также ограни-

ченная величина [17] при m ≥ 2, поэтому если r_i → 0, то |q_i - ν_i| → 0, значит,

lim

|ΔQ^∗i| = 0.

r→0

Исследуем проблему существования решения системы уравнений (7). Рас-

смотрим следующую систему уравнений, решение которой, очевидно, такое

же, как и системы (7):





∑

f^ri = -F^ri = -a + bQ + bQ_i 1 +

x^r

+Biβ_iQβi-1i = 0,

(Π.8)

j∈N\i

Q_i > 0, i ∈ N.

Используем условия, сформулированные в теореме 3 [21] для вектор-функ-

ции f^r = {f^ri, i ∈ N} (в дальнейшем индекс r опущен): если матрица Якоби{}

системы (7) J = f^′

, i, j ∈ N имеет диагональное преобладание, т.е.

iQ_j

∑



(Π.9)

f^′

f^′iQ

 > 0, i ∈ N,

iQ_i

j=1,j=i

то система (П.8) имеет единственное решение.

(

)

Поскольку f′iQi = -b (u_i - S_i), f′iQj

1+S^r/

и в [17] показано, что

iQ_j

∂S^ri

lim

= 0, поэтому при достаточно больших Q_i матрица Якоби J_n n-го по-

∂Q_j

Q_j→∞

рядка для системы (П.8) имеет вид





-b(u₁ - S₁)







-b(u₂ - S₂) ...



J_n =



=

-b(u_n - S_n)

136





-g₁







-g₂





,

-g_n

где g_i = u_i - S_i < 0, i ∈ N согласно (8). Обратная матрица J^-1n существует,

если определитель матрицы Якоби ΔJ_N = 0; этот определитель [17] вычис-

ляется по формуле





∏

∑

∏

ΔJ_n = b

(-g_i - 1) +

(g_i - 1).

i=1

γ=1 j=1\γ

∑

Поэтому условие ΔJ_n = 0 равносильно_i∈Ng

=1 и g_i =0

∀i ∈ N

i+1

(см. [17]). В этом случае условие (П.9) имеет вид -g_i - (n - 1) > 0, i ∈ N,

откуда следует, что

(Π.10)

n < |u_i - S^ri

| + 1, i ∈ N.

Отметим, что условия теорем 1, 2 [21] для системы (7) не выполняют-

ся (а именно, не выполняется условие различных знаков производных F′iQi

и F^′

), поэтому нельзя гарантировать существования неотрицательного ре-

iQ_j

шения; этот вопрос рассматривался в [22].

Однако условие (П.10) не является необходимым, т.е. если оно не выполня-

ется, система (7) может иметь решение. Сформулируем необходимое условие

существования решения системы (7), базируясь на геометрическом смысле

решения как точки пересечения линий оптимальных реакций в случае n = 2.

Предположим, что существуют функци

Fi, полученные путем выражения

из уравнений (7) действий i-го агента от действий окружения (обозначено

символом ¾-i¿), т.е. функции оптимальных реакций Q_i

Fi (Q-i), и введем

функции отклонений реакций i-го и j-го агентов вида G_ij (Q_i, Q_j )

F^-1ij,

гд

F^-1ij обратная функция дл

Fj , полученная выражением Qi из Fj . Если

решение {Q^∗i, i ∈ N} системы (7) существует, то

(

)

(Π.11)

Gij

Q^∗i,Q^∗j

= 0 ∀i,j ∈ N.

(

)_′

Поскольку

F^-1ij

= u_i - S_i, причем x_ji < 0 соглас-

F′iQj =∂Qi∂_j =xji^,

Q_j

но [17] и u_i - S_i < 0 согласно (8), то функци

F^-1ij являются монотонно

убывающими по Q_j в интервале, на котором выполняются указанные усло-

вия. Поэтому при данном Q^∗i функции G_ij (Q^∗i, Q_j) являются монотонно воз-

растающими (или убывающими при альтернативно возможной форме G_ij =

F^-1ij

Fi) по Qj на интервале

( Q_j,Q_max), т.е.

(

)_′

G′ijQ

F^′iQ

F^-1ij

> 0,

Q_j

137

если выполнено условие |x_ji| < |u_i - S_i| (или |x_ji| > |u_i -S_i| при G_ij

F^-1ij

Fi).

Иначе говоря условие монотонности функции G_ij имеет вид

(Π.12)

|x_ji| = |u_i - S_i

Граница интервалаQj вычисляется из условия (8) с учетом (8а) по следую-

щей формуле:



 1

2-βj

Q_j = Bj(^j |βj -)|

при β_j < 1,

Q_j = 0

при β_j > 1.

2+S^r

[

]

Монотонная функция ограничена на замкнутом интервале A_j =

Q_j,Q_max

т.е. по теореме Вейерштрасса

m ≤ G_ij (Q^∗i,Q_j) ≤ M, где m = inf

Gij , M = sup Gij .

Q_j∈A_j

Отсюда следует, что при условии (П.11) m ≤ 0 ≤ M. При этом по теореме

Больцано-Коши о промежуточном значении имеемQj ≤ Q^∗j ≤ Q_max, следо-

вательно, совместное выполнение (П.12) и 0 ≤Qj ≤ Q_max есть необходимое

(

)

условие для (П.11) на интервале

Q_j,Q_max

Это условие является также достаточным, если, кроме того, m и M имеют

противоположные знаки, т.е.

(

)

(Π.13)

Gij

Q^∗i,Qj

Gij (Qⁱ, Qmax

) < 0,

поскольку при (П.12) функция G_ij монотонна, а с учетом (П.13) интервал

монотонности включает в себя точку G_ij (Q^∗i, Q_j) = 0. Выведем удобную для

проверки форму условия (П.13): выражени

F^-1ij для уравнений системы (7)

имеет вид

∑

B_jβ_jQβj-1j

(Π.14)

F^-1ij = Q_i =

Q_k - Q_j - bQ_j (1 + S_j) -

k∈N\(i,j)

Поскольку условия (П.13) должны выполняться при всех значениях дей-

ствий, то рассмотрим случай, когда действия всех агентов, кроме i-го и j-го,

равныQk; поэтому из выражения (П.14) следует

∑

F^-1ij (Q_max) ≡ κ_j =

Q_k - Q_max - Q_max (1 + S_j) -Bjβ^jQ^m

k∈N\(i,j)

(

)

(Q_j)<

(Q_j),т.е.G

Пусть

F^-1ij

Q^∗i,Qj

< 0; тогда в силу монотонно-

го убывани

Fi (Qj) условие

Fi (Qmax)

F^-1ij (Q_max), т.е. G_ij (Q^∗i,Q_max) > 0,

138

выполняется при |x_ji| < |u_i - S_i|. Подставим в i-е уравнение системы (7)

Q_j = Q_max иQk, получим





∑

Fi (κi) = a - bQmax +

Q_k + κ_i - bκ_i (1 + S_i) - B_iβ_iκβi-1i = 0,

k∈N\(i,j)

где символом κ_i обозначено решение этого уравнения. Поскольку функ-

ции F_i являются монотонно убывающими при условии (8), то из неравенства

Fi (κj) > 0 следует κj < κi, и наоборот. Следовательно, условие (П.13) мож-

но представить в виде: если F_i (κ_j) > 0 и |x_ji| < |u_i - S_i| для всех i, j ∈ N, то

m и M имеют противоположные знаки.

■

Доказательство утверждения 2. Из уравнений (9а) следует, что





∑

â - bq_-i - bq_i -bq_i 1 +

x^r

- B_iβ_iνβi-1i -Biβ_i (β_i - 1) νβi-2iq_i +

j∈N\i

+ B_iβi (β_i - 1) νβi-2iν_i = 0,





∑

B_iβ_i (β_i - 1)

-b 2 +

νβi-2i +

x^r

qi -bq_-i + â -Biβ_iνβi-1i +

j∈N\i

+ B_iβi (β_i - 1) νβi-1i = 0,





∑

B_iβ_i (β_i - 1)

-b 2 +

νβi-2i +

x^r

qi -bq_-i + â -Biβ_i (2 - β_i) νβi-1i = 0,

j∈N\i





β_i-1

∑

B_iβ_i (β_i - 1)

2+

νβi-2i +

x^r

qi + q_-i -â-Biβⁱ (2-βi)νi

= 0,

j∈N\i

поэтому можно записать (10а).

Система (10а) решается методом Крамера. Используем материалы прило-

жения статьи [17]. Левые части системы (10а) аналогичны системе (П.2) из

[17], поэтому главный определитель имеет вид

∏

∑

∏

Δ = (δ_j - 1) +

(δ_γ - 1).

j=1

j=1 γ=1\j

Условие существования решения системы (10а) определяется по теореме Кра-

мера [20]: система имеет единственное решение, если главный определитель

Δ = 0. Из формулы главного определителя следует, что

∑

=1+

при δ_j - 1 = 0 ∀j ∈ N,

∑

δ_j - 1

(δ_j - 1)

j=1

139

поэтому решение системы (10а) существует, если

∑

= -1 ∧ δ_j - 1 = 0 ∀j ∈ N.

δ_j

-1

j=1

Вспомогательный определитель системы (10а), соответствующий i-й неиз-

вестной, вычисляется путем следующих преобразований: 1) из i-й строки вы-

носится множитель α_i, 2) в i-м столбце создаются нули, 3) определитель раз-

лагается по элементам i-го столбца с понижением порядка, 4) полученный

определитель последовательно разлагается на суммы определителей по каж-

дой строке, 5) в этом разложении определители, имеющие одинаковые стро-

ки (столбцы), равны нулю, а остальные определители соответствуют либо

главному определителю, либо вспомогательному определителю системы (П.2)

из [17]. Эти преобразования (например, при i = 2) имеют вид



α₁



δ₁



δ₁ -



δ₁

α₁

α₂



Δ₂ =



α₂



=α₂



=α₂



α₃



α₃



α₃

δ₃



δ₃



 1-

δ₃ -



α₂



α₁



δ₁ -



 δ₁



 δ₁



1



α₂



α₃

α₁



=α₂



=α₂

α₃



-



-

1

+



δ₃

α₂ α₂

δ₃

 1-

δ₃ -



α₂



1



α₃ α₃



α₂Δ_-2 - α₃ (δ₁ - 1) - α₁ (δ₂ - 1) ,

1

=

α₂ α₂

где Δ_-i главный определитель системы (10а) без i-го уравнения и без i-й

неизвестной. Для вспомогательного определителя системы четвертого поряд-

ка (например, при i = 1) эти преобразования имеют вид



α₂



α₁



δ₂ -



α₁



α₂

δ₂



Δ₁ =



=α₁



α₃



α₃

δ₃



δ₃ -



α₁

α₄

δ₄



α₄



δ₄ -

0



α₁



α₂



δ₂ -



α₁



δ₂

α₃



=α₁



δ₃ -



=α₁



δ₃

-



α₁



δ₄



α₄



 1-

δ₄ -



α₁



δ₂

α₄



α₃



α₃

α₄



-α₁



δ₃



-α₁



+α₁



-



α₁

α₁ α₁



δ₄



140



α₂



α₂

α₄



=

-α₁

δ₃

+α₁

δ₃



α₁



α₁ α₁



δ₄

= α₁Δ_-1 - α₂ (δ₃ - 1) (δ₄ - 1) - α₃ (δ₂ - 1) (δ₄ - 1) - α₄ (δ₂ - 1) (δ₃ - 1) .

Обобщение этих выражений для системы произвольного порядка по индук-

ции приводит к формуле





∑

∏

Δ_i = α_iΔ_-i -

α_j

(δ_γ - 1),

j=1\i

γ=1\i,j

что позволяет записать формулу (10b).

Покажем, в каких случаях для корней (10с) выполняются условия (10d),

т.е.

|q_i - ν_i| < r_i, Ω_i = ν_i + θ_i (q_i - ν_i) , θ_i, ν_i ∈ (0, 1) ,

(Π.15)

r_i ∈ (0,Ω_i), ν_i < q_i, i ∈ N.

Условия

|q_i - ν_i| < r_i и ν_i < q_i совместно выполняются, если для кор-

ней (10с) существует функция G_i = q^∗i (ν_i) - ν_i, причем G_i ∈ (0, r_i) на интер-

вале ν_i ∈ (0, 1). В этом случае условие r_i ∈ (0, Ω_i) выполняется, если Ω_i =

1 > θ_i > ri-νi. Отме-_r

= ν_i + θi (q^∗i - ν_i) > r_i, т.е. θ_i >r∗−νiq_ii > rirνii,значит,

тим, что в последнем неравенстве для малых значений ν_i возможен случай

r_i - ν_i < 0, поэтому в этом случае условие (П.15) выполняется при любом

θ_i ∈ (0,1).

Поскольку функция G_i непрерывна при условии

(10b), то усло-

вие G_i ∈ (0, r_i) выполняется, если на интервале ν_i ∈ (0, 1) функция G_i имеет

хотя бы один ноль. В дальнейшем индекс i опущен, поскольку условия (П.15)

должны выполняться для всех i ∈ N, поэтому из (10с) следует, что

(

)

n-2

χ^n-1 + (n - 1) χ^n-2

- (n - 1) αχ

q^∗ =

где χ = δ - 1.

χⁿ + nχ^n-1

χ+n

Исследуем функцию G_i на границах интервала ν ∈ (0, 1), для чего найдем

пределы справа (при ν → 0 + 0) коэффициентов α (ν) , δ (ν):

{

µ₁

при β > 1,

lim

α=

ν→0+0

−∞ при β < 1,

{

где µ₁ =

∞ при β > 1,

max

lim

δ=

ν→0+0

−∞ при β < 1,

Поэтому lim

q^∗ = 0, значит, lim G = -0, т.е. при ν → 0 справа функция

ν→0+0

G → 0 снизу, или G(ν → 0 + 0) < 0. Найдем пределы слева (при ν → 1 - 0)

коэффициентов α (ν) , δ (ν):

â - Biβi (2 - β_i)

lim

α=

(u_max + 2) ≈

ν→1-0

bQ_max

β-1

bQ_max

141

поскольку согласно (8а) lim (u_i + 2) = 0;

Q→Qmax

B_iβ_i (β_i - 1)

lim

δ=2+

+ S^ri = -(u_max - Sri ) > 0

ν→1-0

согласно (8). Поэтому

lim

q^∗ =

;

ν→1-0

bQ_max - (u_max - S^ri) - 1 + n

так как согласно [17] |S^ri| ≤ 1, то

lim

q^∗ ≥

;

ν→1-0

bQ_max -u_max + n

это число будет больше единицы, т.е.

lim G = +0,

ν→1-0

при условии

>1⇒n<

+u_max.

bQ_max -u_max + n

bQ_max

Поскольку на интервале ν_i ∈ (0, 1) функция G_i меняет знак, то по теореме

Коши [20] она имеет хотя бы один нуль.

■

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Karmarkar U.S., Rajaram K. Aggregate Production Planning for Process Industries

under Oligopolistic Competition // Eur. J. Oper. Res. 2012. No. 223 (3). P. 680-689.

2. Ledvina A., Sigar R. Oligopoly Games under Asymmetric Costs and an Application

to Energy Production // Math. Financ. Econom. 2012. No. 6 (4). P. 261-293.

3. Currarini S., Marini M.A. Sequential Play and Cartel Stability in Сournot

Oligopoly // Appl. Math. Sci. 2013. No. 7 (1-4). Р. 197-200.

4. Vasin A. Game-theoretic Study of Electricity Market Mechanisms // Procedia Com-

put. Sci. 2014. No. 31. Р. 124-132.

5. Sun F., Liu B., Hou F., Gui L., Chen J. Cournot Equilibrium in the Mobile Virtual

Network Operator Oriented Oligopoly Offloading Market // 2016 IEEE Int. Conf.

Communicat., ICC 2016. No. 7511340.

6. Nash J. Non-cooperative Games // Ann. Math. 1951. No. 54. P. 286-295.

7. Cournot A.A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.

London: Hafner, 1960. (Original 1838).

8. Naimzada A.K., Sbragia L. Oligopoly Games with Nonlinear Demand and Cost Func-

tions: Two Boundedly Rational Adjustment Processes // Chaos. Solit. Fractal. 2006.

No. 29 (3). P. 707-722.

9. Askar S., Alnowibet K. Nonlinear Oligopolistic Game with Isoelastic Demand Func-

tion: Rationality and Local Monopolistic Approximation // Chaos. Solit. Fractal.

2016. No. 84. P. 15-22.

142

10.

Naimzada A., Tramontana F. Two Different Routes to Complex Dynamics in an

Heterogeneous Triopoly Game // J. Differ. Equat. Appl. 2015. No. 21 (7). P. 553-563.

11.

Cavalli F., Naimzada A., Tramontana F. Nonlinear Dynamics and Global Analysis

of a Geterogeneous Cournot Duopoly with a Local Monopolistic Approach Versus

a Gradient Rule with Endogenous Reactivity // Commun. Nonlinear Sci. Numer.

Simulat. 2015. No. 23 (1-3). P. 245-262.

12.

Stackelberg H. Market Structure and Equilibrium: 1st Edition. Translation into En-

glish, Bazin: Urch & Hill, Springer, 2011. (Original 1934.)

13.

Chong J.-K., Ho T.-H., Camerer C. A Generalized Cognitive Hierarchy Model of

Games // Games Econom. Behavior. 2016. No. 99. Р. 257-274.

14.

Berger U., De Silva H., Fellner-Rцhling G. Cognitive Hierarchies in the Minimizer

Game // J. Econom. Behavior Organizat. 2016. No. 130. Р. 337-348.

15.

Bowley A.L. The Mathematical Groundwork of Economics. Oxford: Oxford Univers.

Press, 1924.

16.

Geras’kin M.I., Chkhartishvili A.G. Game-Theoretic Models of an Oligopoly Market

with Nonlinear Agent Cost Functions // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 9.

P. 1631-1650.

17.

Гераськин М.И. Свойства предположительных вариаций в нелинейной модели

олигополии Штакельберга // АиТ. 2020. № 6. С. 105-130.

Geras’kin M.I. The Properties of Conjectural Variations in the Nonlinear Stackelberg

Oligopoly Model // Autom. Remote Control. 2020. Vol. 81. No. 6. P. 1051-1072.

18.

Intriligator M.D. Mathematical Optimization and Economic Theory. Englewood

Cliffs: Prentice Hall, 1971.

19.

Geras’kin M.I. Modeling Reflexion in the Non-Linear Model of the Stakelberg Three-

Agent Oligopoly for the Russian Telecommunication Market // Autom. Remote Con-

trol. 2018. V. 79. No. 5. Р. 841-859.

20.

Korn A., Korn M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Definitions,

Theorems and Formulas for References and Review. New York: McGraw-Hill, 1968.

21.

Яковлев М.Н. Неотрицательные решения систем нелинейных (в частности, раз-

ностных) уравнений // Тр. МИАН СССР. 1968. T. 96. С. 111-116.

22.

Geras’kin M.I., Chkhartishvili A.G. Analysis of Game-Theoretic Models of an

Oligopoly Market under Constrains on the Capacity and Competitiveness of

Agents // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 11. P. 2025-2038.

23.

Aizenberg N., Stashkevich E., Voropai N. Forming Rate Options for Various Types of

Consumers in the Retail Electricity Market by Solving the Adverse Selection Prob-

lem // Int. J. Public Administrat. 2019. No. 42(15-16). Р. 1349-1362.

24.

Paccagnan D., Kamgarpour M., Lygeros J. On Aggregative and Mean Field Games

with Aapplications to Electricity Markets // 2016 Eur. Control Conf., ECC 2016.

2017. No. 7810286. Р. 196-201.

25.

Prosvirkin N., Blinova E., Gerasimov K. Multicriteria Optimization Model of the

Interaction of Elements when Managing Network Integrated Structures // Espacios.

2019. No. 40(40). Р. 1-10.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.В. Губко.

Поступила в редакцию 23.09.2019

После доработки 27.12.2019

Принята к публикации 30.01.2020

143