Автоматика и телемеханика, № 9, 2020

(Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва;

Центр информационных технологий в проектировании РАН,

Одинцово, Московская обл.),

В.Н. ГРИДИН, д-р техн. наук (e-mail info@ditc.ras.ru)

(Центр информационных технологий в проектировании РАН,

Одинцово, Московская обл.)

О ПОСТРОЕНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ СТРАХОВАНИЯ

В ПРОЦЕССЕ РИСКА С ПОШАГОВЫМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПРИРАЩЕНИЯ ПРОЦЕССА¹

Исследована проблема построения оптимальной стратегии страхования

в новой многошаговой модели страхования, где введены пошаговые веро-

ятностные ограничения (Value at Risk (VaR) ограничения) на капитал

страховщика, т.е. вероятностные ограничения на приращения капитала

страховщика в течение одного шага. В качестве целевого функционала ис-

пользуется математическое ожидание финального капитала страховщика.

Суммарный ущерб страховщика на каждом шаге моделируется нормаль-

ным распределением с параметрами, зависящими от выбранной функции

дележа риска. В отличие от традиционных динамических моделей опти-

мизации стратегий страхования, предлагаемый подход, учитывающий по-

шаговые ограничения, позволяет свести построение функций Беллмана

а значит, и нахождение оптимальных дележей риска просто к решению

последовательности статических задач оптимизации страхования. Дока-

зано, что оптимальными дележами риска являются так называемые stop

loss страхования.

Ключевые слова: оптимальное страхование, вероятностное ограничение,

процесс риска.

DOI: 10.31857/S000523102009007X

1. Введение

Проблемы оптимального управления риском в динамических моделях

страхования, основанных на процессе риска Крамера-Лундберга, изучались

в [1-7]. В [2] исследована задача минимизации вероятности разорения стра-

ховой компании выбором перестрахования в классе так называемых stop loss

дележей, применяемых к риску каждого отдельного страхователя. Публика-

ция [3] посвящена решению той же задачи, но в случае, когда страховщику

доступны различные виды перестрахования и инвестирование в безрисковый

и рисковый активы. Процесс риска, возникающий как диффузионная аппрок-

симация процесса Крамера-Лундберга, изучался в [3]. Управляемый процесс

¹ Работа поддержана Госзаданием № 0071-2019-0001.

144

риска на бесконечном временном интервале с одновременным выбором стра-

тегий страхования и перестрахования индивидуальных ущербов рассмотрен

в [4, 5] при дополнительных ограничениях на допустимые стратегии. Задача

с иным критерием оптимальности, а именно с максимизируемым коэффици-

ентом Лундберга в оценке вероятности разорения, решена в [6] для процесса

риска с дискретным временем и целого класса принципов начисления пре-

мии перестраховщику. В [7] критерием оптимальности для процесса риска

на конечном интервале был функционал полезности типа Марковица. Полу-

чены дифференциальные уравнения для определения оптимальных страте-

гий перестрахования и инвестирования с использованием так называемого

time-consistent подхода, который позволяет получить уравнение оптимально-

сти беллмановского типа для этого типа критериев оптимальности. С точки

зрения выбора целевого функционала близкие по постановке задачи изуча-

лись в [5, 7]. Но в [7] был рассмотрен процесс риска с непрерывным време-

нем (и была предусмотрена возможность инвестирования текущего капитала

страховщика), что привело к необходимости решения уравнения Гамильтона-

Якоби-Беллмана и отсутствию явного вида оптимальных стратегий. В обоих

случаях в отличие от предлагаемой статьи предусматривалось только пере-

страхование и не учитывались вероятностные ограничения.

Популярным направлением исследований в последние годы стал поиск оп-

тимальных дележей риска в статических моделях при так называемом “Value

at Risk” (VaR) ограничении, которое означает установление нижней грани-

цы на вероятность падения капитала ниже заданного уровня (см., напри-

мер, [8, 9]). Одношаговая задача с целевым функционалом типа Марковица

и VaR ограничением была исследована в [10] (там же приведена библиогра-

фия по оптимизации дележа риска в страховании при VaR ограничениях).

Главным отличием данной статьи от предыдущих исследований, извест-

ных авторам, является то, что предложена новая модификация управляемого

процесса риска с дискретным временем, где предусмотрены пошаговые VaR

ограничения на приращения капитала страховщика. Такой подход позволя-

ет учесть естественное желание страховщика не иметь больших потерь на

каждом шаге с заданной вероятностью а, с другой стороны, позволяет свести

динамическую задачу оптимального управления процессом риска к решению

последовательности относительно простых одношаговых оптимизационных

задач. Анализ таких задач основан на результатах [10]. Показано, что на

каждом шаге оптимальным с точки зрения страховщика оказывается так

называемое stop loss страхование. Приведен численный пример, иллюстри-

рующий доказанные результаты в случае экспоненциального распределения

страховой выплаты.

2. Предварительные результаты

В этом разделе рассматривается одношаговая задача выбора дележа

страхования между страховщиком и страхователями при VaR ограничении,

где максимизируемым функционалом является средний финальный капитал

страховщика. Решение такой задачи будет использоваться в дальнейшем при

анализе многошаговой задачи страхования. Результаты, приведенные в этом

145

разделе, есть просто модификация утверждений, доказанных в [10], на случай

отсутствия дополнительного ограничения сверху с вероятностью единица на

риск страховщика и при использовании среднего значения финального капи-

тала вместо целевого функционала типа Марковица.

Рассматривается модель страхового рынка, состоящего из страховщи-

ка и n клиентов. Потенциальные ущербы (риски) клиентов

независи-

мые неотрицательные случайные величины X_j , j = 1 . . . , n, определенные

на одном вероятностном пространстве (Ω, F, P ). В дальнейшем эта группа

клиентов предполагается однородной: все X_j имеют одинаковое распреде-

= P{X₁ ≤ x}, причем математическое ожидание X²¹ конечно:

EX²¹ < ∞. Отметим характерную особенность функции распределения F₁(x),

а именно скачок в нуле: F₁(0) ∈ (0, 1)

вероятность отсутствия страхо-

вого случая для клиента предполагается ненулевой и не равной единице.

Страховщик выбирает функцию дележа страхования I(x) из класса боре-

левских функций, определенных на [0, ∞) и удовлетворяющих неравенствам

0 ≤ I(x) ≤ x, которые означают, что возмещение не может быть отрицатель-

ным и не может превосходить величины ущерба. Случайная величина I(X_j )

есть возмещаемая j-му клиенту часть ущерба, а суммарный риск страховщи-

∑_n

ка X^I =

I(X_j ).

j=1

Дополнительное ограничение на дележи I(x), отражающие желание стра-

ховщика защититься от больших потерь, состоит в том, что вероятность пре-

= w + nP - X^I над заданным уровнем a

удовлетворяет неравенству

{

}

(2.1)

S^I ≥ a

≥ β.

Здесь w собственный капитал страховщика, a заданная константа, уро-

вень доверия предполагается достаточно высоким β ∈ (0,5; 1), а страховая

премия P вычисляется по формуле среднего значения, известного в актуар-

ной литературе (см., например, [1]): P = (1 + α)E I(X₁), где α > 0 задан-

ный коэффициент нагрузки страховщика.

Максимизируемым функционалом является математическое ожидание

финального капитала страховщика S^I . Таким образом, исследуемая задача

имеет вид

(2.2)

J [I] ≡ ES^I

→ max

при ограничении 0 ≤ I(x) ≤ x и ограничении (2.1).

Считая численность группы страхователей n достаточно большой (не ме-

нее нескольких десятков) и n(1 - F₁(0)) > 10, применим достаточно широ-

ко используемую в актуарной математике нормальную модель для аппрок-

∑_n

симации распределения суммарного риска X^I =

I(X_j ) (см., например,

j=1

[1, 10]). Тогда ограничение (2.1) переписывается как

{

}

(

)

S^I - ES

a - ES^I

≥

=1-Φ

≥ β,

σ(S^I )

146

где Φ(x) функция распределения стандартной нормальной случайной вели-

√

чины, а σ(S^I ) =

DS^I стандартное отклонение капитала страховщика. По-

следнее неравенство эквивалентно неравенству ES^I - a - x^Nβ σ(S^I ) ≥ 0, здесь

x^Nβ квантиль уровня β стандартного нормального распределения. В резуль-

тате (2.2) преобразуется в задачу

(2.3)

J [I] ≡ w + αnEI(X₁

) → max при ограничении I ∈ A,

т.е.

(2.4)

0 ≤ I(x) ≤ x

(2.5)

w + αnEI(X₁) - a - x^Nβ

√n√DI(X₁

) ≥ 0.

Всюду далее будем использовать обозначения

= x ∧ k, где x ∧ k = min{x,k}.

Для дальнейшего анализа рассмотрим вспомогательную задачу максимиза-

ции функционала в левой части ограничения (2.5)

(2.6)

J₀[I] ≡ w + αnEI(X₁) - a - x^Nβ

√n√DI(X₁

) → max,

где максимум берется по множеству дележей {I : 0 ≤ I(x) ≤ x}. Выполнение

условия регулярности Слейтера (см., например, [3, гл. 3, с. 119]) для задачи

(2.3)-(2.5) гарантируется следующим утверждением.

Утверждение 1. Условие Слейтера выполнено, если

√

(2.7)

J₀[I⁰] > 0 и α√n - xNβ F1(0)/F¯1

(0) > 0,

где I⁰(x) есть stop loss страхование, I⁰(x) = x ∧ k⁰. Здесь k⁰ минимальный

корень на промежутке (0, ∞) уравнения

(2.8)

ψ(k) = 0,

функция

√

= xNβ (EI_k(X₁) - k)/

DI_k(X₁) + α√n.

Теорема 1. Пусть выполнено условие Слейтера (см. (2.7)), тогда зада-

ча (2.3)-(2.5) имеет единственное решение stop loss страхование I^∗(x) =

= x ∧ k^∗. Допустимый дележ I^∗(·) оптимален в (2.3)-(2.5) тогда и только

тогда, когда существует µ ≥ 0 :

(2.9)

µJ₀[I^∗

] = 0,

(2.10)

I^∗(x) = x ∧ k^∗,

147

где

(2.11)

k^∗

= 0,

т.е. I^∗(X₁) = 0 почти наверное (п.н.) при

√

(2.12)

(1 + µ)α√n - xNβµ F1(0)/F¯1

(0) ≤ 0,

иначе k^∗ > 0 минимальный корень уравнения

(2.13)

φ(k) = 0,

где

√

= xNβ µ(EI_k(X₁) - k)/

DI_k(X₁) + (1 + µ)α√n.

Заметим, что условие (2.12) в теореме 1 является необходимым и доста-

точным условием отказа страховщика от сделки, т.е. его возмещение клиенту

I^∗(X₁) = 0 п.н.

3. Многошаговая задача страхования

Рассмотрим процесс риска с дискретным временем (см., например, [6]) на

интервале {0, . . . , T }, где на каждом шаге t = 0, . . . , T - 1 страховщик заклю-

чает сделку с n клиентами однородной группы. Обозначая через Z_t капитал

страховщика на шаге t, получаем уравнение динамики

∑

(3.1)

Z_t+1 = Z_t + n(1 + α)EI^t(X^t1) - I^t(X^tj), Z₀

= w.

j=1

Здесь (X^t1, . . . , X^tn), t = 0, . . . , T - 1, независимые векторы ущербов клиен-

тов с независимыми одинаково распределенными компонентами, имеющими

функцию распределения F^t1(x). Дележ риска I^t(x) на шаге t выбирается из

множества

{

}

{

}

A_t = I(·) : 0 ≤ I(x) ≤ x,P

Z_t+1 ≥ a^t + Z_t

≥βt ,

t = 0,...,T - 1.

Константы a^t > 0 и β^t ∈ (0,5; 1) обозначают соответственно заданную ниж-

нюю границу допустимого приращения капитала и уровень доверия. Таким

образом, VaR ограничения наложены не на значения процесса Z_t, а на его

приращения на каждом шаге, обеспечивая “плавность” поведения процес-

са на всем интервале функционирования. Близкий подход был использован

в [11], но для иной модели, где объектом изучения был процесс риска с

непрерывным временем и возможностью инвестирования с пропорциональ-

ным страхованием рисков.

После применения нормальной аппроксимации для

∑

n(1 + α)EI^t(X^t1) -

I^t(X^tj)

j=1

148

имеем (см. (2.5), где сейчас w = 0)

{

}

(3.2)

A_t = I(·) : 0 ≤ I(x) ≤ x, αnEI(X₁) - a^t - x^Nβt

√n√DI(X1) ≥ 0 ,

где α > 0 и xNβt > 0 коэффициент нагрузки и квантиль уровня β^t стандарт-

ного нормального распределения.

В результате объектом исследования оказывается задача оптимального

управления марковским процессом с дискретным временем





max_I∈A EZ_T

(3.3)

при ограничениях

 (14) и I^t ∈ A_t, t = 0, . . . , T - 1.

Стратегией страхования является вектор-функция I = (I⁰(·), . . . , I^T-1(·)), а

максимум берется по множеству A всех допустимых стратегий страхова-

ния, предсказуемых относительно естественной фильтрации процесса. Огра-

ничимся рассмотрением класса марковских стратегий страхования, который

(см., например, [12]) достаточен для поиска решения задачи (3.3).

Определим функции Беллмана V_t(z) = max_I∈A EZ_T для рассматриваемо-

го управляемого процесса на интервале [t; T ] (точнее на множестве точек

{t, . . . , T }) с начальным состоянием Z_t = z. Обозначим через

∑

Y_t = n(1 + α)EI^t(X^t1) -

I^t(X^tj)

j=1

приращение Z_t+1 - Z_t, которое, в рамках нормальной модели, есть случайная

величина с нормальным распределением и параметрами

√

µ^tI = nαEI^t(X^t1) и σ^tI =

√n DIt(Xt1).

Тогда

V_T (z) = z,

[

]

V_T-1(z) = max

z + EY_T-1 = z + max GT-1 [I] = z + G_T-1

I^T-1∗

I∈A_T-1

[

]

[

]

[

]

V_T-2(z) = max z + EY_T-2 + G_T-1

I^T-1∗

=z+G_T-1

I^T-1∗

+G_T-2

I^T-2∗

I∈A_T-2

∑

[

]

∑

[

]

V₀(z) = max z +

I^t∗

+ EY₀ = z + G_t

I^t∗

I∈A₀

t=1

t=0

где A_t множество допустимых дележей страхования I(x) на шаге t опре-

делено в (3.2). Отметим, что введенные выше функции

= max G_t[I], t = 0,... ,T - 1.

I∈At

149

Следующая теорема устанавливает форму оптимальных дележей риска

I^t∗(x) на каждом шаге t и приводит условия оптимальности для параметров

этих функций.

Теорема 2. Пусть для каждого набора входных параметров α,a^t,β^t и

распределения F^t(x), t = 0, . . . , T - 1, выполнено условие (2.7) с w = 0. То-

гда задача (3.3) имеет решение I_∗ = (I^0∗(x), . . . , I^T-1∗(x)), где каждый дележ

риска есть stop loss страхование, I^t∗(x) = x ∧ k^t∗, не зависящий от текущего

значения z состояния процесса Z_t. Допустимый дележ I^t∗(x) = x ∧ k^t∗ опти-

мален тогда и только тогда, когда существует µ ≥ 0:

(3.4)

µJ^t0[I^t∗

] = 0,

где выражение для J^t0[I] (2.6) с w = 0, k^t∗ > 0 минимальный корень урав-

нения

(3.5)

φ_t

(k) = 0,

где

√

= x^Nβt µ(EIk(X¹) - k)/ DIk(X¹) + (1 + µ)α

√n.

Доказательство. Как было показано выше, вычисление оптимального

дележа I^t∗(x) на шаге t состоит в решении задачи максимизации

∑

(3.6)

Gt[I] ≡ n(1 + α)EI(X¹) - E I(

) = nαEI(X^t1)

j=1

на множестве A_t, где нет зависимости от текущего состояния процесса z = Z_t.

Применяя для каждой такой задачи теорему 1, в которой теперь a^t > 0 и,

следовательно, случай I^t∗(x) ≡ 0 исключен, получаем требуемый результат.

Теорема 2 доказана.

Согласно утверждению теоремы 2 оптимальной является так называемая

“близорукая” стратегия, где на каждом шаге t максимизируется на множе-

стве A_t среднее значение приращения капитала страховщика, которое не за-

висит от текущего значения капитала Z_t.

Замечание 1. В частном случае однородной модели, где параметры

a^t,β^t и распределение ущерба клиента F^t1(x) не зависят от t, легко показать,

что с вероятностью β финальный капитал превысит определенное значение s

при использовании оптимальной стратегии. Действительно, финальный ка-

питал

∑

Z_T = w + Tn(1 + α)EI_∗(X₁) -

I_∗(X^ti)

t=0 i=1

имеет нормальное распределение со средним w + T nαEI_∗(X₁) и дисперсией

TnDI_∗(X₁). Неравенство nαEI_∗(X₁) - x^Nβ

√n√DI_∗(X₁) ≥ a (см. (3.2)) экви-

валентно

√

w + TnαEI_∗(X₁) - x^Nβ

√n√DI_∗(X₁) ≥ w +√Ta + (T -√T)nαEI_∗(X₁).

150

Отсюда получаем требуемый результат

(3.7)

P {Z_T

≥ s} ≥ β,

где

√

s=w+

Ta + (T -

T )nαEI_∗(X₁).

4. Многошаговая задача страхования с учетом ограничений

на приращения капитала

В этом разделе будет получен основной результат данной статьи, касаю-

щийся обобщения рассмотренной выше многошаговой задачи страхования.

Именно: теперь страховщик может установить уровень “безопасности” r ≤ 0

такой, что если на момент t выбора дележа риска I^t предыдущее прираще-

ние капитала Z_t - Z_t-1 превышает r, то (см. (3.2)) множество допустимых

дележей есть

{

}

∑

A^+t = I(·) : 0 ≤ I(x) ≤ x, P

(1 + α)nEI(X^t1) -

I(X^ti) ≥ a^t

≥β^t

i=1

{

}

√ √

(4.1)

= I(·) : 0 ≤ I(x) ≤ x, αnEI(X^t1) - a^t+ - x^Nβt

n DI(X^t1) ≥ 0

Если же Z_t - Z_t-1 ≤ r, то это не означает “банкротства”, но на шаге t

дележ риска выбирается уже из другого множества

{

}

√ √

(4.2)

A^-t = I(·) : 0 ≤ I(x) ≤ x, αnEI(X^t1) - a^t- - x^Nβt

n DI(X^t1) ≥ 0

В последнем случае представляется естественным сузить множество A^+t пу-

тем увеличения допустимого уровня приращения a^t- > a^t+ (> 0) и/или увели-

чением уровня доверия β^t- > β^t+ (> 0,5) с тем, чтобы добиться на следующем

шаге увеличения (в вероятностном смысле, т.е. в смысле значения VaR) при-

ращения капитала. Такой подход, с одной стороны, обеспечивает плавность

изменения капитала страховщика от шага к шагу с учетом изменения зна-

чений его приращений, а с другой как будет показано, дает относительно

простое решение задачи оптимального управления риском в многошаговой

задаче страхования, в которой на каждом шаге оптимальный дележ риска

зависит лишь от номера шага и знака Z_t - Z_t-1 - r.

Динамика процесса Z_t по-прежнему описывается уравнением (3.1), целе-

вым функционалом остается среднее значение финального капитала EZ_T , но

теперь множество допустимых дележей в момент t есть

{

A^+t при Z_t - Z_t-1 > r,

A_t =

A^-t при Z_t - Z_t-1 ≤ r.

Формально, рассматриваемая задача не является задачей оптимального

управления марковским процессом, поскольку множество допустимых реше-

ний A_t зависит не только от значения процесса Z_t, но и от Z_t-1. Перейдем

151

к сдвинутому на один шаг процессу приращений W_t = Z_t - Z_t-1, который

задается уравнением

∑

(4.3)

W_t = (1 + α)nEI^t-1(X^t-11) - I^t-1(X^t-1i), t = 1,... ,T, W₀

= w.

i=1

Тогда целевой функционал

∑

(4.4)

J [I] = EZ_T = E W_t,

t=0

а множество допустимых дележей

{

A^+t при W_t > r,

(4.5)

A_t(W_t) =

A^-t при W_t ≤ r,

t = 0,...,T - 1, зависит только от текущего значения W_t.

Найдем функции Беллмана для задачи (4.3)-(4.5) оптимального управ-

∑_T

ления марковским процессом {W_t}. Обозначим V_t(y) = max_I∈A E

W_m

m=t

для рассматриваемого процесса на интервале [t; T ] с начальным состоянием

W_t = y.

Уравнение динамического программирования здесь имеет вид

V_t(y) = y + max EV_t+1(W_t+1),

I∈At(y)

где A_t(y) = A^+t при y > r, A_t(y) = A^-t при y ≤ r. Тогда

V_T (y) = y,

при y > r

V_T-1(y) = y + max

EV_T (W_T ) = y + nα max

EI(X^T-11) =

I∈A^+T-1

I∈A⁺

T -1

= y + nαEI^T-1+(X^T-11),

при y ≤ r

V_T-1(y) = y + max

EV_T (W_T ) = y + nα max

EI(X^T-11) =

I∈A^-T-1

I∈A^-

T -1

= y + nαEI^T-1-(X^T-11).

= I^t+(X^t1) и

= I^t-(X^t1). Для нахождения

V_T-2(y) = y + max EV_T-1(W_T-1)

I∈A_T-2(y)

152

заметим, что случайная величина W_T-1 может быть выше или ниже r с веро-

ятностями соответственно P {W_T-1 > r} и 1 - P {W_T-1 > r}. Следовательно,

при y > r

V_T-2(y) = y + max

E[W_T-1|W_T-1 > r]P {W_T-1 > r} +

I∈A⁺

T -2

+ E[W_T-1|W_T-1 ≤ r]P{W_T-1 ≤ r} =

{

}

(

)

= y + αn EI^T-1- + max

EI + EI^T-1+ - EI^T-1

P {W_T-1 > r}

I∈A⁺

T -2

при y ≤ r

{

}

(

)

V_T-2(y) = y + αn EI^T-1- + max

EI + EI^T-1+ - EI^T-1

P {W_T-1 > r}

I∈A^-

T -2

При y > r

V_T-3(y) =

{

(

)

= y + αn EI^T-1- + EI^T-2+ + EI^T-1+ - EI^T-1

P {W_T-1 > r}|IT-2=I^T-2 +₊

}

(

)

+ max

EI + EI^T-2+ - EI^T-2

P {W_T-2 > r}

I∈A⁺

T -3

при y ≤ r

V_T-3(y) =

{

(

)

= y + αn EI^T-1- + EI^T-2- + EI^T-1+ - EI^T-1

P {W_T-1 > r}|IT-2=I^T-2 +_-

}

(

)

+ max

EI + EI^T-2+ - EI^T-2

P {W_T-2 > r}

I∈A^-

T -3

и т.д.

Нетрудно видеть, что каждый оптимальный дележ риска I^t∗(·, y) на шаге t

при текущем состоянии процесса y = W_t есть решение задачи максимизации

функционала

(4.6)

H_t[I] ≡ EI + (EI^t+1+ - EI^t+1-)P{W_t+1 > r} при ограничении I ∈ A_t

(y),

где дележи I^t+1+ и I^t+1- являются соответственно решениями задач максимиза-

ции H_t+1[I] на множествах A^+t+1 и A^-t+1, t = 0, . . . , T - 2, причем H_T-1[I]≡EI.

Учитывая, что W_t+1 моделируется нормальной случайной величиной со

средним µ[I^t] = αnEI^t и дисперсией σ²[I^t] = nDI^t, получаем, что

(

)

P {W_t+1 > r} =Φ

(r - µ[I^t])/σ[I^t]

153

гдеΦ(x) = 1 - Φ(x) и Φ(x) функция распределения стандартной нормаль-

ной случайной величины. Тогда (4.6) преобразуется к виду

(

)

(4.7)

H_t[I] ≡ EI +

EI^t+1+ - EI^t+1-

Φ((r - µ[I])/σ[I]) → max, I ∈ A_t

(y).

Соотношение (4.7) является рекуррентной формулой для вычисления опти-

мальных дележей I^t+ и I^t-, начиная с I^T-1+ и I^T-1-, которые определяются

максимизацией H_T-1[I] ≡ EI на A_T-1(y). Таким образом, каждый оптималь-

ный дележ зависит от текущего состояния процесса y = W_t очень простым

образом: если y > r, то решается задача (4.7) на A^+t, в противном случае

решается задача с той же целевой функцией, но на A^-t.

Теорема 3. Пусть для каждого набора параметров α,a^t+, β^t+, a^t-, β^t- и

распределения F^t(x), t = 0, . . . , T - 1, выполнено условие (2.7) с w = 0. Тогда

задача (4.3)-(4.5) имеет решение I_∗ = (I^t∗(·, y), . . . , I^T-1∗(·, y)), где каждый де-

леж риска есть stop loss страхование,

{

x ∧ k^t+ при y > r,

I^t∗(x,y) =

x ∧ k^t- при y ≤ r.

Уровни k^t+ и k^t- являются соответственно решениями задач максимизации

функций от скалярной переменной:

(4.8)

maxHt[Ik] при ограничении Ik ∈ A+t,

k>0

(4.9)

maxHt[Ik] при ограничении Ik ∈ A-t,

k>0

где I_k(x) = x ∧ k, а выражение для H_t[I] приведено в (4.7).

Доказательство. Как было показано, вычисление оптимального деле-

жа I^t∗(·, y) состоит в решении задачи (4.7), которая зависит лишь от номера

шага t и от знака y - r. Отметим, что, как и в теореме 2, нулевой дележ

исключен в силу условия (2.5), где сейчас w = 0 и a = a^t+( или a^t-) > 0. Сле-

дующая лемма устанавливает существование решения в этой задаче.

Лемма. Для каждого фиксированного y задача (4.7) имеет решение.

Доказательство леммы приведено в Приложении.

Начнем с изучения случая y > r. Обозначим через M^t+ = EI^t+(X^t1), где I^t+

решение (4.7), существование которого гарантируется леммой. Заметим, что

в силу ограничения P {W_t+1 ≥ a^t+} ≥ β^t+ с a^t+ > 0 среднее значение M^t+ > 0.

Рассмотрим вспомогательную задачу

H_t[I] → max, EI = M^t+ и I ∈ A^+t, где t = 0,... ,T - 2,

где выражение для H_t[I] задано в (4.7). Напомним, что задача H_T-1[I] ≡

≡EI → max, I ∈ A^+T-1, уже была изучена в теореме 2. Поскольку A^-t+1 ⊂A^+t+1,

то в (4.7) множитель EI^t+1+ - EI^t+1- ≥ 0. Учитывая, что по предположению

r ≤ 0, получаем r - µ[I^t] = r - αnM^t+ < 0. Тогда вспомогательная задача эк-

вивалентна

(4.10)

EI²(X^t1

) → min

154

при ограничениях

(4.11)

0 ≤ I(x) ≤ x, EI(X^t1) = M^t+,

√

(4.12)

= -αnM^t+ + a^t+ + x^Nβt

√n EI2(Xt1) - (Mt+)2

≤ 0.

Поскольку выполнено условие Слейтера и целевой функционал является

выпуклым, а функционал в ограничении (4.12) является сильно квазивыпук-

лым (см. [10]), то применима теорема Куна-Таккера (см., например, [13]).

Согласно этой теореме дележ I^t+(·) ∈ A^t+ оптимален в (4.10)-(4.12) тогда и

только тогда, когда существуют множители Лагранжа λ и γ ≥ 0 такие, что

γJ₁[I^t+] = 0 и I^t+(·) является решением задачи минимизации функционала

Лагранжа

(

)

(

)

(4.13)

L[I] ≡ EI²

X^t1

+λ

X^t1

-M^t+

+ γJ₁[I] → min,

0 ≤ I(x) ≤ x.

Необходимое и достаточное условие оптимальности дележа I^t+ в задаче (4.13)

есть выполнение неравенства

[

]

ρI^t+ + (1 - ρ) I



≤0

ρ=1

dρ

для любой функции дележа 0 ≤ I(x) ≤ x. При подстановке выражения для

функционала J₁[I] после дифференцирования получаем, что левая часть

неравенства равна

∞

∫

(

)

η (x)

I^t+ (x) - I(x)

dF^t1 (x) ,

где

[

]

√ ∕√

η(x) = I^t+(x)

2 + γx^Nβt

n E(I^t+(X^t1))² - (M^t+)2

+ λ.

Используя лемму Неймана-Пирсона [14], имеем, что оптимальный дележ

определяется как

{

0, η(x) > 0,

(4.14)

I^t+(x) =

x, η(x) < 0,

с точностью до множества нулевой меры F^t1.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда λ < 0. Поскольку η(0) = λ < 0, то

при возрастании x от нуля значение η (x) возрастает (при этом I^t+ (x) = x в

силу (4.14)). После касания в точке k^t+ этой функции оси абсцисс, η (x) не мо-

жет принимать положительных значений, поскольку для таких x (см. (4.14))

значение I^t+ (x) = 0, т.е. приходим к противоречию: η (x) < 0. Убывание η (x)

от нуля также исключено, так как для таких x выполнено I^t+ (x) = x, что

означает η (x) > 0. В результате, I^t+ (x) = x ∧ k^t+.

В случае λ ≥ 0 аналогичные рассуждения приводят к тому, что I^t+ (x) ≡ 0,

но тогда неравенство M^t+ > 0, где M^t+ = EI^t+(X^t1), оказывается нарушенным.

Случай y ≤ r рассматривается аналогично. Теорема 3 доказана.

155

Замечание 2. Даже в частном случае однородной модели, где парамет-

ры a^t+, a^t-, β^t+, β^t- и распределение ущерба клиента F^t1(x) не зависят от t, оп-

тимальной является не “близорукая” стратегия, как в теореме 2, а стратегия,

где каждый оптимальный дележ риска I^t∗(x, y) зависит, в частности, от номе-

ра шага t. С точки зрения вычислений нахождение оптимальной стратегии в

задаче (4.3)-(4.5) сводится к определению 2T значений k^T-1+, k^T-1-, . . . , k⁰⁺, k^0-

путем решения последовательности относительно простых задач (4.8)-(4.9)

максимизации функций от скалярной переменной. Выбор k⁰⁺ (k^0-) в началь-

ный момент t = 0 означает, что начальный капитал w > r (≤ r).

5. Пример

Ниже рассмотрен численный пример, иллюстрирующий теорему 3 о ре-

шении многошаговой задачи (4.3)-(4.5) управления риском при ограниче-

ниях на приращения процесса. Пусть ущербы клиентов имеют распределе-

ние F₁(x) = p(1 - exp(-0, 1x)) + 1 - p, не зависящее от номера шага t, где

вероятность страхового случая p = 0,1. Таким образом, функция распределе-

= P{X₁ ≤ x|X₁ > 0} = 1 - exp(-0,1x) экс-

поненциальна. Пусть численность группы клиентов n = 250, уровни доверия

β^t+ = β^t- = 0,95 и начальный капитал страховщика w = 1. Интервал функци-

онирования процесса {0, . . . , T } = {0, . . . , 3}. Уровень безопасности, устанав-

ливаемый страховщиком, равен r = 0, т.е. если приращение капитала стра-

ховщика на предыдущем шаге положительно, то дележ риска выбирается из

множества A^+t, иначе из A^-t (см. (4.1)-(4.2)). Нижняя граница приращения

капитала страховщика a^+t в A^+t равна 10, нижняя граница a^-t в A^-t установ-

лена равной 20 для всех t = 0, . . . , 2.

Напомним, что по теореме 3 оптимальными дележами являются stop loss

страхования

{ x∧k^t

при y > r,

I^t∗(x,y) =

x ∧ k^t- при y ≤ r.

Результаты численного расчета уровней удержания страховщика k^t+, k^t- и зна-

чения целевого функционала J^∗ = J[I_∗] при варьировании коэффициента на-

грузки α приведены в таблице.

Таблица

k⁰⁺

k¹⁺

k^1-

k²⁺

k^2-

J^∗

0,5

118,6861

118,6907

23,6634

119,3200

23,6634

361,0311

0,55

119,3200

118,8242

413,3536

Отметим, что в задачах вычисления оптимального дележа риска на каж-

дом шаге условие регулярности Слейтера оказывается выполненным, по-

скольку даже для “наихудшего” случая с наименьшим коэффициентом на-

грузки α = 0,5 и наибольшей нижней границей приращения капитала a^-t = 20

156

соотношение (2.7) выполнено:

√

J₀[I⁰] = 2,4980 > 0 и α√n - xNβ F1(0)/F¯1(0) = 2,9711 > 0.

Во втором столбце таблицы выбор k⁰⁺, а не k^0- объясняется тем, что началь-

ный капитал w = 1 > 0 = r. С ростом коэффициента нагрузки α оптимальное

значение J^∗ ожидаемо увеличивается, поскольку растет цена страхования.

Как показывает вторая строка таблицы, уровни k^t- значимо ниже k^t+. При-

чина в том, что максимум в задаче H_t[I_k] → max, I_k ∈ A^-t при α = 0,5 дости-

гается для значения k^t-, принадлежащего границе допустимого множества

{k : I_k ∈ A^-t}, t = 1, 2. Увеличение коэффициента нагрузки α, т.е. стоимости

страхования, до α = 0,55 означает расширение множеств A^-t. При этом зна-

чения k^t- оказываются уже внутренними точками и, учитыая, что A^-t ⊂ A^+t,

имеем (см. третью строку таблицы): k^t- = k^t+.

6. Заключение

Исследована новая задача построения оптимальной стратегии страхова-

ния в процессе риска с дискретным временем, пошаговыми вероятностными

(VaR) ограничениями на капитал страховщика на каждом шаге процесса и

средним значением финального капитала в качестве целевого функционала.

Доказана оптимальность “близорукой” (myopic) стратегии страхования, где

в каждый момент принятия решения максимизируется среднее приращение

капитала на следующем шаге. В обобщении этой модели, где страховщик

устанавливает “уровень безопасности” (неположительный) на предыдущее

приращение капитала, показано, что определение компонент оптимальной

стратегии сводится к решению последовательности относительно простых оп-

тимизационных задач. В обоих случаях оптимальным для страховщика на

каждом шаге оказывается stop loss страхование.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы. Рассмотрим сначала случай y > r. Пусть

{I_n} максимизирующая последовательность допустимых дележей в зада-

че (4.7), т.е.

lim

= supH_t [I] .

n→∞

Применяя теорему Хэлли отдельно к√числителю и знаменателю для

дроби (r - µ[I_n])/σ[I_n] = (r - αnEI_n(X^t1))/

nDI^t(X^t1) в целевом функциона-

ле (4{7), (пол)}аем, что существует подпоследовательность случайных вели-

чин

I_m

X^t1

, слабо сходящаяся к некоторому пределу ξ. Для доказатель-

ства того, что ξ есть собственная случайная величина, т.е. P {ξ < ∞} = 1,

дос(ат)чно заметить, что в силу определения функций дележа выполн(етс)

I_m

X^t1

≤ X^t1 п.н. Поскольку ξ измерима относительно сигма-алгебры σ

X^t1

(

)

то эта случайная величина может быть представлена как ξ = I^∗

X^t1

для

некоторого дележа I^∗(·), причем I^∗ ∈ A^+t.

157

Покажем, что для максимизирующей последовательности {I_m} знамена-

тель σ[I_m] в (4.7) отделен от нуля. Действительно (см. (4.1)), выполнение

ограничения I^∗ ∈ A^+t, т.е.

{

}

∑

(1 + α)nEI^∗(X^t1) -

I^∗(X^ti) ≥ a^t

≥ βt+ (> 0),

i=1

где по предположению a^t+ > 0,

означает, что из множества допустимых исключен нулевой дележ риска

I^∗(X^t1) = 0 п.н. и, таким образом, σ[I^∗] > 0.

{

(

)}

Равенство H^∗t = H_t [I^∗] теперь следует из слабой сходимости

I_m

X^t1

непрерывности целевого функционала в (4.7) по EI(X^t1) и DI(X^t1).

Случай y ≤ r рассматривается аналогично с заменой множества A^+t на A^-t.

Лемма доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., et al. Actuarial Mathematics. Itaca, Illi-

nois: The Society of Actuaries, 1986.

Hipp С., Vogt M. Optimal Dynamical XL Reinsurance // ASTIN Bulletin. 2003.

V. 33. P. 193-207.

Hipp C., Taksar M. Optimal Non-proportional Reinsurance Control // Insur. Math.

Econom. 2010. V. 47. P. 246-254.

Golubin A.Y. Optimal Insurance and Reinsurance Policies in the Risk Process //

ASTIN Bulletin. 2008. V. 38. No. 2. P. 383-398.

Голубин А.Ю., Гридин B.H. Оптимизация страхования и перестрахования в ди-

намической модели Крамера-Лундберга // АиТ. 2012. Т. 9. С. 111-123.

Golubin A.Y., Gridin V.N. Optimizing Insurance and Reinsurance in the Dynamic

Cramer-Lundberg Model // Autom. Remote Control. 2012. V. 73. No. 9. P. 1529-

1538.

Guerra М., Centeno M.L. Optimal Reinsurance Policy: The Adjustment Coefficient

and the Expected Utility Criteria // Insur. Math. Econ. 2008. V. 42. P. 529-539.

Li Y., Li Z. Optimal Time-consistent Investment and Reinsurance Strategies for

Mean variance Insurers with State Dependent Risk Aversion // Insur. Math. Econ.

2013. V. 53. P. 86-97.

Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероят-

ностными критериями. М.: Физматлит. 2009.

Zhou C., Wu C. Optimal Insurance Under the Insurer’s VaR Constraint // GRIR.

2009. V. 34. P. 140-154.

10.

Голубин А.Ю., Гридин B.H. Оптимальная стратегия страхования в модели ин-

дивидуального риска при вероятностном ограничении на величину финального

капитала // АиТ. 2019. № 4. С. 144-155.

Golubin A.Y., Gridin V.N. Optimal Insurance Strategy in the Individual Risk Model

under a Stochastic Constraint on the Value of the Final Capital // Autom. Remote

Control. 2019. V. 80. No. 4. P. 708-717.

11.

Bi J., Cai J. Optimal investment and reinsurance strategies with state dependent

risk aversion and VaR constraints in correlated markets // Insur. Math. Econ. 2019.

V. 85. P. 1-14.

158