Автоматика и телемеханика, № 1, 2021

Обзоры

М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru),

П.С. ЩЕРБАКОВ, д-р физ.-мат. наук (cavour118@mail.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ¹

Обзор посвящен применению техники линейных матричных неравенств

для учета возможных неопределенностей (в описании системы, во внеш-

них возмущениях, в начальных условиях) при анализе и синтезе управ-

ления в линейных системах.

Ключевые слова: системы управления, устойчивость, внешние возмуще-

ния, робастность, всплеск, синтез, линейные матричные неравенства,

квадратичные функции Ляпунова, инвариантные эллипсоиды, разрежен-

ность.

DOI: 10.31857/S0005231021010013

1. Введение

Настоящий обзор посвящен пересечению двух важнейших направлений со-

временной теории управления учету неопределенности и линейным мат-

ричным неравенствам.

Тема неопределенности всегда была ключевой при анализе и синтезе си-

стем управления. Собственно идея обратной связи возникла именно вслед-

ствие непредсказуемости изменяющихся условий функционирования объек-

та и необходимости реакции на них. Первые же регуляторы (типа регуля-

тора Уатта) использовали принцип обратной связи для достижения цели в

условиях неопределенности. После короткого периода господства программ-

ного управления для таких задач, как планирование космических полетов

(где неопределенность почти отсутствует), дальнейшее развитие теории было

связано с новыми подходами к управлению при наличии неопределенности

адаптивным и робастным управлением, такими техниками как H_∞, ℓ₁, Model

Predictive Control (MPC) и другими. При этом использовались разные моде-

ли неопределенности как в описании объекта (частотная, параметрическая,

структурированная), так и в видах действующих возмущений (случайные,

детерминированные ограниченные в той или иной норме), в информации о

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований в рамках научного проекта № 19-18-50226.

начальных условиях и т.п. Еще больше разнообразия в моделях неопреде-

ленности для нелинейных систем; так, исторически первая теория абсолют-

ной устойчивости (восходящая к работе А.И. Лурье и В.Н. Постникова [29]

1944 г.) связана с секторной неопределенностью нелинейной части системы.

В данном обзоре авторы в основном ограничиваются линейными стацио-

нарными моделями вида

(1)

x = Ax + Bu + Dw, x(0) ∈ B,

где x(t) ∈ Rⁿ

состояние, u(t) ∈ R^p

управление, w(t) ∈ R^m возмуще-

ние. Неопределенность заключается либо в матрицах системы A, B, D, либо

во внешних возмущениях w (известен только класс, которому они принад-

лежат), либо в начальном условии x(0) (например, известен лишь шар B,

которому оно принадлежит). Цель управления заключается либо в достиже-

нии стабилизации системы, либо в оптимизации какого-либо критерия оп-

тимальности. При этом само управление ищется главным образом в форме

статической линейной обратной связи по состоянию

(2)

u = Kx,

где матрица обратной связи K (регулятор) подлежит выбору. Впрочем, ино-

гда будем выходить за рамки моделей (1), (2); так, в разделе 8 рассматри-

ваются нелинейные системы, а наряду с непрерывными моделями (1), (2)

нередко будем иметь дело и с дискретными системами.

Техника линейных матричных неравенств (ЛМН) (английская аббре-

виатура LMI Linear Matrix Inequalities) получила необычайно широкое

распространение после появления монографии С. Бойда с соавторами [84].

Впрочем, корни этой техники можно проследить еще в работах Ляпуно-

ва. Действительно, система

x = Ax является устойчивой тогда и только

тогда, когда для нее существует квадратичная функция Ляпунова V (x) =

= (Qx, x) с положительно-определенной матрицей Q ≻ 0. Иначе говоря,V =

(

)

(A^⊤Q + QA)x, x

< 0, что эквивалентно A^⊤Q + QA ≺ 0. Итак, проблема

устойчивости сводится к существованию решения неравенств A^⊤Q + QA ≺ 0

и Q ≻ 0. Это типичное ЛМН: в нем переменной является матрица Q, а са-

ми неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц. Тако-

го типа неравенства появились еще в работах Р. Беллмана, В.А. Якубовича,

Дж. Виллемса, Е.С. Пятницкого, однако по-настоящему рабочим аппаратом

в теории управления ЛМН сделали монография [84] и наличие мощных вы-

числительных средств для их решения, разработанных Ю.Е. Нестеровым и

А.С. Немировским [123]. В настоящее время сведение той или иной пробле-

мы к формату ЛМН приравнивается к ее решению. Многочисленные приме-

ры использования ЛМН для задач управления можно найти, в частности, в

монографиях [84, 101, 138].

В данном обзоре рассматриваются способы применения ЛМН к основным

задачам управления при наличии неопределенности. Ограничиваясь именно

этим кругом проблем, обзор не затрагивает иные способы работы с неопреде-

ленностью и другие применения ЛМН. Разумеется, даже в пределах выбран-

ной тематики невозможно представить исчерпывающе полный обзор; авторы

приносят извинения читателю за возможный субъективизм и неполноту ин-

формации.

Структура статьи следующая. В разделе 2 описываются основные виды

ЛМН, применяемая там техника преобразований неравенств, имеющиеся вы-

числительные средства решения. Раздел 3 посвящен связи задач управления

с ЛМН, роли квадратичных функций Ляпунова, проблемам анализа устойчи-

вости и синтеза устойчивых систем, и другим важнейшим понятиям безот-

носительно к наличию неопределенности. Начиная со следующего раздела,

рассматриваются основные типы неопределенности. В разделе 4 это пара-

метрическая неопределенность в описании системы и проблемы робастной

устойчивости и стабилизации. Раздел 5 связан с неопределенностью внешних

возмущений. Обсуждаются два основных их класса ограниченные по нор-

ме L₂ или по норме L_∞; лишь кратко обсуждается класс случайных возму-

щений. При этом рассматриваются и задачи анализа, и задачи синтеза. Еще

один тип неопределенности, связанный с начальными условиями, исследуется

в разделе 6. Оказывается, ненулевые начальные условия могут приводить к

важному (и нежелательному) эффекту большим уклонениям от положения

устойчивого равновесия. Исследуется величина подобного эффекта и способы

его подавления. Весьма актуальная тематика так называемого разреженного

управления рассматривается в разделе 7. Простейшим нелинейным обобще-

ниям посвящен раздел 8. Наконец, в заключительном разделе 9 подведены

итоги обзора и намечены пути дальнейших обобщений.

Всюду далее ∥ · ∥ евклидова норма вектора и спектральная норма матри-

цы,^⊤ символ транспонирования, S^n×n класс симметричных веществен-

ных матриц размерности n × n, I единичная матрица соответствующей

размерности, а все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопре-

деленности матриц.

2. Линейные матричные неравенства

В этом разделе введем основные определения, необходимые для дальней-

шего изложения, приведем основные свойства линейных матричных нера-

венств, отметим основные этапы истории возникновения и использования это-

го аппарата, а также кратко опишем вычислительные процедуры, лежащие в

его основе, вместе с наиболее популярными пакетами прикладных программ.

2.1. Основные определения, свойства и технические приемы

Приведем основные определения и простейшие свойства линейных мат-

ричных неравенств, а также удобные технические приемы, часто используе-

мые при формулировках разнообразных задач управления. Детальное изло-

жение и обсуждение более тонких эффектов можно найти в ставших класси-

ческими книгах [84, 138]; большое количество фактов, относящихся к свой-

ствам линейных матричных неравенств и их приложениям к теории управле-

ния, собрано в обзоре [86]. На русском языке по этой тематике опубликованы

две монографии [4, 37], в которых также подробно обсуждаются как сами

ЛМН, так и их использование в управлении, приведено много примеров.

Рассмотрим следующую линейную матричнозначную функцию векторно-

го аргумента x ∈ R^ℓ:

∑

F (x)

=F₀ + x_iF_i,

i=1

где F_i = F^⊤i ∈ S^n×n, i = 0, . . . , ℓ, известные фиксированные вещественные

симметричные матрицы, а x_i, i = 1, . . . , ℓ, скалярные переменные.

Соотношение

(3)

F (x) ≺ 0

называется линейным матричным неравенством в канонической форме от-

носительно переменных x₁, . . . , x_ℓ, а любое x, удовлетворяющее (3), называ-

ется решением этого неравенства. Множество D_feas всех решений называется

допустимой областью ЛМН F(x) ≺ 0; очевидно, D_feas может быть как огра-

ниченным, так и нет, и может быть пустым. Принципиально важным свой-

ством ЛМН является выпуклость допустимой области (это сразу следует из

определения), которая позволяет формулировать многие задачи управления

в виде задач выпуклого программирования.

Многочисленные элементарные (и не только) свойства ЛМН следуют из

выпуклости и знакоопределенности; более подробно они разобраны в упо-

мянутых выше источниках; в частности, внимание в этих работах уделено

соотношениям между строгим и нестрогим неравенствами.

Каноническая форма записи сравнительно редко встречается в приложе-

ниях; как правило, приходится иметь дело с линейными матричными нера-

венствами, в которых переменными являются не скаляры, а матрицы. Про-

стейший пример условие на знакоопределенность матрицы (Q ≻ 0); более

содержательный пример классическое неравенство Ляпунова вида

(4)

A^⊤

Q + QA + R ≺ 0, R ≻ 0,

где переменной является симметричная матрица Q.

ЛМН такого типа естественным образом возникают при формулировании

задач управления. Матричную форму (4) легко можно привести к канониче-

скому виду (но не наоборот), используя стандартный базис в пространстве

симметричных матриц.

Сформулируем две основные проблемы теории ЛМН, к которым сводится

подавляющее большинство задач управления.

Задача разрешимости (допустимости) заключается в отыскании некото-

рой точки x ∈ D_feas или в доказательстве того, что такой точки не существует.

Типичным примером задачи допустимости является отыскание квадратичной

функции Ляпунова для данной устойчивой линейной системы, т.е. решение

неравенства (4) относительно матричной переменной Q ≻ 0.

Вторая ключевая задача ЛМН-теории оптимизация критерия на множе-

стве, заданном линейными матричными неравенствами. Точнее, задача ми-

нимизации линейной функции при ЛМН-ограничениях называется задачей

полуопределенного программирования (Semi-Definite Programming, SDP). За-

дача полуопределенного программирования является основным форматом, к

которому сводятся практически все задачи управления, подавления возму-

щений, фильтрации и т.д., решаемые с применением техники ЛМН.

Разумеется, в исходном виде все эти задачи формулируются иначе, и для

того, чтобы свести их к желаемой форме, имеется несколько технических

приемов; приведем два из них, наиболее универсальных и часто применимых.

Первый прием использование так называемого дополнения по Шуру.

Это понятие, хорошо известное из линейной алгебры, играет значительную

роль в численном анализе, статистике и матричных вычислениях и относится

к представлению блочных матриц.

Рассмотрим блочную матрицу

)

M₁₂

M =

∈R^(n+m)×(n+m),

M^⊤12

M₂₂

где M₁₁ ∈ S^n×n, M₁₂ ∈ R^n×m, а матрица M₂₂ ∈ S^m×m обратима. Матрица

M₁₂M^-122M^⊤12 называется дополнением по Шуру к блоку M₂₂ в матрице M.

Лемма 1. Имеем

M ≻0

тогда и только тогда, когда M₂₂ ≻ 0, M₁₁ - M₁₂M^-122M^⊤12 ≻ 0.

Различные формулировки этого результата, иногда называемого леммой

Шура (строгое или нестрогое неравенство, симметричные формулировки),

свойства и применения дополнения по Шуру к решению линейных уравнений

и т.п. можно найти в [37, 85] или в книгах по линейной алгебре.

Основное назначение леммы Шура в задачах стабилизации и управления

при использовании ЛМН сведение нелинейных матричных неравенств к

линейным, в частности, переход от обратных матриц к прямым, оценивание

матричной нормы, а также использование при описании эллипсоидов. Так,

например, применяя лемму Шура к алгебраическому матричному (квадра-

тичному) неравенству Риккати

A^⊤Q + QA - QBS^-1B^⊤Q + R ≻ 0, S ≻ 0,

относительно матричной переменной Q ≻ 0 (оно часто встречается в задачах

оптимального управления) и разворачивая его с помощью леммы Шура (т.е.

применяя теорему 1 в “обратную сторону”), приходим к эквивалентной записи

в виде ЛМН

(

)

A^⊤Q + QA + R QB

≻ 0,

B^⊤Q

откуда, в частности, следует, что множество решений неравенства Риккати

выпукло.

При использовании ЛМН в задачах управления как правило ищется мини-

мальный в некотором смысле эллипсоид, связанный с системой. Для описа-

ния эллипсоида существует много способов, относительные удобства которых

зависят от той или иной задачи (см. [37, 84] и учебники по линейной алгебре).

В настоящем обзоре рассматриваются эллипсоиды с центром в нуле, задавае-

мые в виде

{

}

(5)

E = x∈Rⁿ: x^⊤P^-1x≤1

P ≻ 0.

По ряду причин удобно использовать именно обратную матрицу P^-1, а

применяя лемму Шура к нелинейному по P неравенству x^⊤P^-1x ≤ 1, можно

привести его к форме ЛМН:

(1 x^⊤)

≽ 0.

x P

Критерии оптимальности эллипсоида также могут быть различны; среди

них объем, размер минимального шара, в котором этот эллипсоид содержит-

ся, или сумма квадратов его полуосей. Все критерии “эквивалентны”, для

простоты и наглядности будем рассматривать последний из них. Если поль-

зоваться записью (5), то эта величина равна следу матрицы P , т.е. линейной

функции от элементов P . Таким образом, оптимизация эллипсоида с матри-

цей P , которая удовлетворяет ЛМН, специфичным для конкретной проблемы

управления, сводится к задаче полуопределенного программирования.

Еще один фундаментальный результат, иногда называемый S-процедурой,

позволяет формулировать условия, при которых выполнение нескольких

квадратичных неравенств влечет выполнение еще одного квадратичного

неравенства. Приведем его в следующей формулировке.

Лемма 2. Пусть заданы однородные квадратичные формы

f_i(x) = x^⊤A_ix, i = 0,1,... ,m,

где x ∈ Rⁿ, A_i = A^⊤i ∈ R^n×n.

Если существуют числа τ_i ≥ 0, i = 1, . . . , m, такие, что

∑

(6)

A₀ ≺ τ_iA_i,

i=1

то неравенства

(7)

f_i

(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,

влекут неравенство

(8)

f₀

(x) < 0

для всех x = 0.

Обратно, если из (7) следует (8) и выполняется любое из условий:

а) m = 1;

б) m = 2, n ≥ 3 и существует вектор x⁰ ∈ Rⁿ такой, что f₁(x⁰) < 0,

f₂(x⁰) < 0, то найдутся τ_i ≥ 0, i = 1,... ,m, такие, что выполняются со-

отношения (6).

Этот результат существенным образом используется при построении квад-

ратичных функций Ляпунова; его простейшей иллюстрацией является уста-

новление условий, при которых эллипсоид E₁ вида (5) с матрицей P₁ содер-

жится в эллипсоиде E₂ с матрицей P₂. Из S-теоремы с одним ограничением

(m = 1) немедленно следует, что E₁ ⊆ E₂ тогда и только тогда, когда P₁ ≼ P₂.

S-процедура была обоснована В.А. Якубовичем [63]; обзор ее модифика-

ций, частных случаев и применений дан в [15], а из самых свежих работ

следует отметить [47].

2.2. История развития ЛМН

По-существу, идеология матричных неравенств восходит еще к работам

А.М. Ляпунова. Впоследствии матричные неравенства в явном виде появля-

лись в работах В.А. Якубовича [61], Р. Беллмана [75], Дж. Виллемса [152] и

Е.С. Пятницкого [18]. Однако первой работой, в которой систематически из-

ложена техника ЛМН, является книга С. Бойда с соавторами [84], после ее

появления эта техника стала общепринятой в работах по теории управления и

оптимизации. Показателем популярности этой книги является число ссылок

на нее более двадцати тысяч! Первой монографией на русском языке, по-

священной этому вопросу, является книга Д.В. Баландина и М.М. Когана [4],

а из последних опубликованных книг отметим [37] и [36, ч. 1]. Из самых све-

жих работ, посвященных линейным матричным неравенствам, их свойствам

и применениям в теории управления и устойчивости, необходимо отметить

замечательный обзор [86]. Впрочем, вопросам учета неопределенности уделя-

ется немного внимания; кроме того, этот обзор написан в форме справочника.

2.3. Вычислительные средства

Уже отмечалось, что задача полуопределенного программирования яв-

ляется выпуклой. Незадолго до появления книги С. Бойда [84] в работах

Ю.Е. Нестерова и А.С. Немировского был предложен чрезвычайно эффек-

тивный метод внутренней точки для решения именно таких задач; он стал

очень популярным после публикации монографии этих авторов [123]. Комби-

нация этих двух книг и наличие программных реализаций метода (о которых

говорится ниже) привело к лавинообразному росту числа работ, использую-

щих технику ЛМН.

Для решения задач полуопределенного программирования с ограниче-

ниями в виде линейных матричных неравенств существует большое раз-

нообразие программного обеспечения. Исторически первым является па-

кет LMILab [100], созданный в 1994 г. почти одновременно с выходом в

свет упоминавшейся “ключевой” книги по линейным матричным неравен-

ствам [84]; сейчас он является частью пакета Robust Control Toolbox системы

Matlab. Позже появились наиболее популярные в настоящее время “реша-

тели” SeDuMi [143] (Self-Dual Minimization), SDPT3 [147], а также CSDP [83],

и другие. Они представляют собой библиотеки программ, реализующих чис-

ленные процедуры для широкого круга задач оптимизации.

На сегодняшний день наиболее универсальным и мощным решателем яв-

ляется пакет MOSEK [120], который особенно эффективен при решении задач

большой размерности с разреженным представлением данных. Среди прочих

достоинств возможность сопряжения с различными языками программи-

рования, такими как Matlab, C, Java, Python.

Почти все имеющиеся решатели находятся в свободном доступе, кроме

MOSEK, который распространим на коммерческой основе; впрочем, для на-

учных и образовательных учреждений пакет может поставляться бесплатно.

Перечисленные решатели имеют свои преимущества и недостатки. Так, од-

на и та же оптимизационная задача может иметь решение в одном из них и не

иметь в другом, или же численные решения оказываются несколько отлич-

ными. Поэтому при применении пакетов следует уделять внимание выбору

соответствующих параметров (таких как задаваемая точность вычислений,

максимальное число итераций и др.) и иметь под рукой несколько решате-

лей. Сравнению эффективности различных решателей на тестовых задачах

посвящены работы [67, 117, 118].

Среди наиболее популярных и удобных интерфейсов, позволяющих об-

ращаться к решателям в среде Matlab (в частности, к SeDuMi, SDPT3,

MOSEK), являются свободно распространяемые пакеты YALMIP [115] (Yet

Another LMI Parser) и cvx [104].

Среди публикаций на русском языке отметим полезную книгу [60], в ко-

торой дается описание пакетов SeDuMi и YALMIP.

3. Квадратичные функции Ляпунова, устойчивость и синтез

Прежде чем обратиться к применению аппарата линейных матричных

неравенств к системам с неопределенностью, обсудим его прямую связь с

квадратичными функциями Ляпунова и анализом устойчивости линейных

систем.

Как мы уже отмечали во введении, линейная система

(9)

x = Ax, x(0) = x₀

устойчива тогда и только тогда, когда для нее существует квадратичная

функция Ляпунова вида

(10)

V (x) = x^⊤

с положительно определенной матрицей Q. Отсюда сразу получаем следую-

щий результат.

Теорема 1. Устойчивость системы (9) эквивалентна разрешимости

ЛМН

(11)

A^⊤

Q + QA ≺ 0, Q ≻ 0.

Первое из неравенств (11) называется неравенством Ляпунова. Таким об-

разом, если брать на вооружение квадратичные функции Ляпунова, то ис-

пользование аппарата ЛМН при анализе устойчивости систем неизбежно и

естественно. Далее, пусть Q ≻ 0 какое-то решение системы (11); тогда из

свойств функции Ляпунова видим, что эллипсоид

{

}

E = x ∈ Rⁿ: x^⊤Qx ≤ 1

обладает следующим свойством: если x₀ ∈ E, то и x(t) ∈ E для всех t > 0,

т.е. начавшись в эллипсоиде E, траектории устойчивой системы не покидают

его во все моменты времени. Иногда такой эллипсоид называют удерживаю-

щим [84]; далее это свойство будет обобщено на случай наличия внешних

возмущений в системе, приводя к так называемым инвариантным эллипсои-

дам.

Итак, аппарат линейных матричных неравенств тесно связан с рассмот-

рением квадратичных функций Ляпунова и идеологией эллипсоидального

оценивания состояний системы.

Приведем аналогичный результат для линейной дискретной стационарной

системы.

Теорема 2. Устойчивость системы

x_k+1 = Ax_k

эквивалентна разрешимости ЛМН

(12)

A^⊤

QA - Q ≺ 0, Q ≻ 0.

Первое из неравенств (12) называется дискретным неравенством Ляпу-

нова. Практически все результаты, которые приводятся в дальнейшем для

непрерывных систем, имеют подобные дискретные аналоги; не будем на них

останавливаться.

Обратимся теперь к задаче синтеза и рассмотрим систему

(13)

x = Ax + Bu, x(0) = x₀,

где A ∈ R^n×n, B ∈ R^n×p, с управляемой парой (A, B). Замкнув ее линейной

обратной связью по состоянию

(14)

u = Kx,

придем к замкнутой системе

(15)

x=A_cx

с матрицей A_c = A + BK.

Функция (10) является функцией Ляпунова для системы (15) тогда и толь-

ко тогда, когда

A^⊤cQ + QA_c ≺ 0,

т.е. когда найдутся матрицы K и Q ≻ 0 такие, что

(16)

(A + BK)^⊤

Q + Q(A + BK) ≺ 0.

Неравенство (16) нелинейно (и невыпукло!) относительно матричных пе-

ременных Q и K. От этого можно избавиться с помощью следующего общего

приема.

Домножив неравенство (16) слева и справа на матрицу P = Q^-1, получим

(A + BK)P + P (A + BK)^⊤ ≺ 0.

Введем вспомогательную матричную переменную Y = KP , исключая K.

В силу P ≻ 0, матрица K восстанавливается единственным образом:

K = Y P^-1. В результате приходим к матричному неравенству

AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ ≺ 0,

линейному по переменным Y и P . Получаем следующий результат.

Теорема 3. Пусть матриц

Y удовлетворяют ЛМН

(17)

AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤

≺ 0, P ≻ 0.

Тогда регулятор (14) с матрицейK

P^-1 стабилизирует систему (13),

а квадратичная форма V (x) = x^⊤

P^-1x является функцией Ляпунова для за-

мкнутой системы.

Видим, что для управляемых систем разрешимость ЛМН (17) эквива-

лентна возможности стабилизировать систему с помощью обратной связи

по состоянию. Более того, теорема предлагает очень простую параметриза-

цию всех стабилизирующих регуляторов через решения этого ЛМН и служит

основой синтеза. Описанный выше подход к стабилизации, основанный на

поиске квадратичной функции Ляпунова, был рассмотрен А.М. Мейлахсом

в [31] в 1975 г., где впервые применен прием с введением вспомогательной

переменной Y , который послужил систематической основой для использова-

ния ЛМН в задачах стабилизации. На Западе этот трюк стал известен после

публикации работы [77] в 1989 г., а неявно он применялся в статье [145] 1981 г.

Такой подход не дает решения в явном виде, а сводит задачу к решению

линейных матричных неравенств. Эта техника оказывается особенно эффек-

тивной для задач робастной стабилизации, когда требуется стабилизировать

систему в условиях неопределенности, а также при наличии внешних возму-

щений и в разнообразных задачах оптимизации.

Рассмотрим теперь одну из типичных задач оптимального управления

задачу о линейно-квадратичном регуляторе (Linear Quadratic Regulator,

LQR), в которой помимо стабилизации системы требуется оптимизировать

некоторый показатель ее качества. Эта задача была поставлена и решена в

1960 г. Р.Е. Калманом и А.М. Летовым. Классический подход опирается на

решение матричного уравнения Риккати, на основе которого находится мат-

рица коэффициентов регулятора [66]. Однако с некоторых пор для ее реше-

ния стал привлекаться аппарат линейных матричных неравенств, например,

см. [4, 37, 84] и библиографию, приведенную в этих книгах.

Одна из основных причин использования линейных матричных неравенств

в этой задаче их удобство при решении робастных постановок задачи, ко-

гда матрицы системы содержат аффинную неопределенность или известны с

точностью до аддитивного возмущения, ограниченного по норме (на Западе

такая тематика известна под названием guaranteed-cost control). Первые ро-

бастные постановки задачи о линейно-квадратичном регуляторе были пред-

ложены в [90, 127]; более свежие результаты содержатся в обзоре [76]. Из

самых последних работ в этом направлении отметим [57].

Обсудим возможности аппарата ЛМН при решении задачи о линейно-

квадратичном регуляторе без неопределенности в ее простейшей постановке.

Рассматривается система (13), в которой пара (A, B) управляема, а начальное

состояние x₀ известно.

Цель состоит в нахождении управления u, которое минимизирует следую-

щий квадратичный критерий качества:

∫∞

(18)

J = (x^⊤Rx + u^⊤

Su)dt,

где R ∈ R^n×n и S ∈ R^p×p заданные положительно определенные весовые

матрицы (так что J > 0, за исключением тривиального случая x₀ = 0, при

котором J = 0). В основополагающих работах показано, что оптимальное

управление в этой задаче достигается в классе статических линейных об-

ратных связей по состоянию

(19)

u = Kx, K ∈ R^p×n,

т.е. цель состоит в отыскании оптимальной матрицы K регулятора.

Для того, чтобы функционал J был конечен, необходимо и достаточно,

чтобы система (13), замкнутая обратной связью (19), была устойчива. Управ-

ляемость пары (A, B) гарантирует существование стабилизирующих обрат-

ных связей.

Классический метод решения (например, см. [66]) основан на рассмотре-

нии алгебраического уравнения Риккати

(20)

A^⊤Q + QA - QBS^-1B^⊤

Q+R=0

относительно матрицы Q ≻ 0. При этом оптимальный регулятор дается вы-

ражением

(21)

K_ric = -S^-1B^⊤Q_ric,

а минимальное значение функционала (18) равно

J_ric = x^⊤0Q_ricx₀,

где Q_ric положительно определенное решение уравнения (20). Такое реше-

ние существует и единственно в предположении об управляемости системы и

невырожденности весовых матриц; при этом форма

V (x) = x^⊤Q_ricx

является квадратичной функцией Ляпунова для замкнутой системы.

Важно отметить, что от начальных условий зависит лишь значение функ-

ционала, но не сам оптимальный регулятор K_ric и матрица Q_ric.

Применение аппарата ЛМН к решению задачи о линейно-квадратичном

регуляторе основано на рассмотрении неравенства Риккати вместо уравне-

ния (20), преобразовании его к линейному виду с помощью леммы Шура и

последующей минимизации линейной целевой функции на решениях полу-

ченного ЛМН.

Впервые ЛМН-формулировка задачи о линейно-квадратичном регуляторе,

по-видимому, была предложена в [153]; за ней последовали многочисленные

работы, в которых рассматривался функционал несколько иного вида, пред-

полагалось наличие выхода у системы [84], ограничений на управление [154],

использовался динамический регулятор по выходу [6] и пр. Однако предо-

ставляемые регуляторы (в частности, именно такой регулятор предлагался

в [40, 84]) оказывались зависимыми от начальных условий, и при их измене-

нии задачу приходилось решать заново. Вероятно, первой работой, в которой

с помощью техники ЛМН был построен регулятор, совпадающий с оптималь-

ным (21), является [58]. Приведем этот результат в следующей формулировке.

Теорема 4. Пусть P_ric

решение задачи полуопределенного програм-

мирования

(

)

AP + P A^⊤ - BS^-1B^⊤ P

max tr P при ограничениях

≼ 0, P ≻ 0,

-R^-1

где оптимизация проводится по матричной переменной P = P^⊤.

Тогда

Q_ric = P^-1ric, K_ric = -S^-1B^⊤P^-1ric,

где Q_ric и K_ric определены в (20) и (21) через решение уравнения Риккати.

Попытки строить x₀-независимый линейно-квадратичный регулятор с

применением аппарата ЛМН предпринимались и ранее. Так, например, в

работе [5] такой регулятор строился исходя из естественных соображений

робастности против наихудших начальных условий из единичного шара.

Однако такой регулятор может отличаться от оптимального, полученного в

теореме 4 и давать существенно худшие значения функционала для иных

начальных условий.

4. Робастная устойчивость и стабилизация

4.1. Виды неопределенности

Переходим к исследованию ситуаций, когда в описании системы (1) при-

сутствует неопределенность. Как уже отмечалось, проблематика неопреде-

ленности является центральной в теории управления. Многочисленные мо-

нографии [2, 3, 24-26, 28, 59, 73, 74, 81, 88, 95, 102, 112, 137, 139, 142, 150, 155]

всегда подчеркивали роль неопределенности и предлагали различные спосо-

бы борьбы с нею. Опубликовано и много обзоров посвященных этим темам,

из наиболее поздних отметим [128, 130]. Способов задания неопределенно-

сти довольно много и они сильно различаются; совсем кратко остановимся

на некоторых из них. Сам перечень моделей неопределенности также будет

весьма ограниченным по ряду причин. Во-первых, данный обзор посвящен в

основном линейным системам, и чрезвычайно богатая тематика нелинейных

систем [2, 108, 109] остается вне его рамок. Во-вторых, будем интересоваться

в основном теми способами описания неопределенностей, которые позволяют

применять аппарат ЛМН. Поэтому в обзоре не уделяется внимание, напри-

мер, моделям типа неизвестных-но-ограниченных возмущений в измерени-

ях [28, 59, 74, 81, 88, 95, 102, 112] или случайным возмущениям. Далее, нет

возможности уделить внимание в обзоре и задачам оценивания, идентифика-

ции, фильтрации. Наконец, рассматриваются лишь управления типа стати-

ческой линейной обратной связи по состоянию (2) и не исследуются другие

типы управлений, см. [16, 25, 74].

Еще одна важная модель неопределенности связана с частотной неопре-

деленностью: предполагается, что частотная характеристика системы зада-

на с погрешностями, ограниченными в некоторой норме. Вопросы робастной

устойчивости и синтеза регуляторов таких систем рассматриваются в много-

численных работах, посвященных H_∞-теории, см., например, [74, 91, 96, 98,

155].

Поскольку в обзоре рассматриваются задачи, записанные в форме про-

странства состояний, будем интересоваться параметрической неопределен-

ностью. В простейшей ситуации это означает, что в линейной системе без

управления и без внешних возмущений

(22)

x = A(Δ)x

матрица системы зависит от параметров Δ. В свою очередь, эта зависимость

может быть различной. Рассмотрим несколько частных случаев.

Интервальные полиномы. Пусть система (22) записана во фробениусовой

форме, а ее нижняя строка является интервальной (т.е. заданы верхние и

нижние границы изменения каждого элемента). Иначе говоря, характеристи-

ческий полином системы принадлежит интервальному семейству полиномов.

Вопрос о робастной устойчивости таких систем решается необычайно просто.

Знаменитая теорема Харитонова утверждает, что робастная устойчивость ин-

тервального семейства эквивалентна устойчивости четырех специальных по-

линомов. Существуют и графические способы проверки робастной устойчи-

вости (годограф Цыпкина-Поляка). Эти подходы связаны с теорией D-раз-

биения, развитой Ю.И. Неймарком. Об этих результатах можно прочесть в

книгах [36, 40]. К сожалению, попытки перенести теорему Харитонова на

другие классы задач (например, на дискретные системы или интервальные

матрицы) оказались безуспешными, поэтому для других типов неопределен-

ности нужны другие методы.

Аффинные неопределенности. Пусть матрица A(Δ) в (22) принадлежит

выпуклой оболочке m заданных матриц A_i:

∑

(23)

A(Δ) = q_iA_i, q_i ≥ 0,

q_i

= 1.

i=1

Достаточным условием робастной устойчивости является наличие общей

функции Ляпунова для матриц A_i.

Теорема 5. Если система ЛМН

A^⊤iQ + QA_i ≺ 0, i = 1,... m,

имеет решение Q ≻ 0, то система (22), (23) робастно устойчива.

Матрица Q определяет общую квадратичную функцию Ляпунова для

неопределенной системы. Впервые термин квадратичная устойчивость был

введен в [106] применительно к синтезу стабилизирующего регулятора для

семейства систем, см. также [71, 72].

Результат теоремы 5 немедленно следует из условий выпуклости; отме-

тим, что этот простой критерий формулируется именно в терминах ЛМН.

Замечательно, что это условие справедливо даже в более широком классе

нестационарных неопределенностей q_i(t). К сожалению, это условие являет-

ся лишь достаточным: можно построить примеры (даже для m = 2) когда

аффинное семейство робастно устойчиво, однако общей функции Ляпунова

не существует.

Чтобы преодолеть эти трудности, в работах [92, 107, 125] был предложен

более гибкий подход, основанный на понятии S-переменной. Он основан на

том, что простейшее условие устойчивости (11) эквивалентно условию

)

(

)

)(

)

)(I -A

F^⊤ G^⊤

≺ 0,

Q 0

-A^⊤

включающему дополнительные матрицы F , G (так называемые S-перемен-

ные). На этом пути получается следующий результат.

Теорема 6. Если система ЛМН

)

(

Q_i

)

)(

)

) (I -Ai

F^⊤ G^⊤

≺ 0, Q_i ≻ 0, i = 1, . . . m,

Q_i

-A^⊤

относительно матричных переменных F, G и Q_i имеет решение, то си-

стема (22), (23) робастно устойчива.

В этом случае оказывается, что матрица

∑

Q= q_iQ_i

i=1

определяет зависящую от параметров функцию Ляпунова V (x) = x^⊤Qx. Это

менее жесткое требование, чем существование одной функции Ляпунова для

всего семейства. Правда, такой подход не годится для анализа нестацио-

нарных неопределенностей. Примеры показывают, что проверка робастной

устойчивости на основе этого результата дает заметно лучшие оценки до-

пустимой неопределенности, чем с помощью предыдущей теоремы об общей

функции Ляпунова.

Аналогичные результаты для дискретных систем были получены в [124].

Тематика параметрических функций Ляпунова продолжалась и в ряде дру-

гих работ, например [97, 99, 135].

Структурированная неопределенность. Наиболее типичный класс неопре-

деленностей имеет вид

A(Δ) = A + F ΔH,

∥Δ∥ ≤ 1,

где матрицы A, F , H заданы, а неопределенность Δ ограничена в оператор-

ной матричной норме. Размерности Δ, F , H могут быть различны, требуется

лишь, чтобы выражение F ΔH имело смысл. Именно этим классом неопреде-

ленностей займемся дальше в этом разделе.

4.2. Лемма Питерсена

Основным техническим средством работы со структурированными неопре-

деленностями служит так называемая лемма Питерсена [126] (и ее модифика-

ции [55]), эффективно применяемая в разнообразных робастных постановках

задач стабилизации и управления. В частности, эта лемма является удоб-

ным инструментом анализа робастной квадратичной устойчивости систем со

структурированной неопределенностью, позволяя отыскивать общую квад-

ратичную функцию Ляпунова.

Пусть G ∈ S^n×n заданная матрица; рассмотрим ее возмущение вида

(24)

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤,

где Δ ∈ R^p×q возмущающая матрица, а M ∈ R^n×p и N ∈ R^q×n посто-

янные “обрамляющие” матрицы соответствующих размерностей, задающие

структуру неопределенности. Подчеркнем, что в этой схеме симметричное

возмущение задается с помощью матрицы Δ, которая не обязана быть сим-

метричной и даже квадратной.

Такая симметризованная схема неопределенности естественным образом

возникает в задачах, связанных с построением квадратичной функции Ля-

пунова для динамической системы, матрица которой содержит произволь-

ную, но ограниченную по норме матричную неопределенность Δ. Именно

этим фактом прежде всего объясняется многообразие приложений, в кото-

рых встречается модель (24).

Лемма Питерсена отвечает на вопрос о том, при каких условиях возму-

щенная матрица (24) является знакоопределенной при всех ограниченных по

норме возмущениях Δ.

Лемма 3. Пусть G = G^⊤ ∈ R^n×n, а M ∈ R^n×p и N ∈ R^q×n ненулевые

матрицы. Неравенство

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ ≼ 0

справедливо для всех Δ ∈ R^p×q : ∥Δ∥ ≤ 1 тогда и только тогда, когда суще-

ствует число ε такое, что

(G + εMM^⊤ N^⊤ )

≼ 0.

-εI

Обратим внимание на то, что матричная неопределенность Δ не предпо-

лагается фиксированной; единственное требование ее ограниченность по

норме. Таким образом, полученный результат, справедлив в том числе и для

нестационарной неопределенности ∥Δ(t)∥ ≤ 1.

Итак, лемма Питерсена сводит проверку знакоопределенности семей-

ства (24) к задаче разрешимости линейного матричного неравенства отно-

сительно одной скалярной переменной ε. Такая форма будет неоднократно

использоваться в дальнейшем, значительно упрощая вычисления.

Лемма Питерсена решает задачу анализа, предоставляя необходимое и до-

статочное условие робастной знакоопределенности семейства (24) при фикси-

рованном уровне возмущения Δ. Естественным обобщением этого результата

является отыскание максимально допустимого уровня, сохраняющего знако-

определенность семейства

(25)

G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤

∥Δ∥ ≤ γ.

Предполагая далее, что G ≺ 0, введем в рассмотрение радиус знакоопреде-

ленности (робастности) семейства (25):

{

}

γ_max = sup γ: G + MΔN + N^⊤Δ^⊤M^⊤ ≺ 0 для всех ∥Δ∥ ≤ γ .

Имеет место следующий результат.

Теорема 7. Пусть γ решение задачи полуопределенного программи-

рования

)

⊤

(G + εMM^⊤ γN

max γ при ограничении

≼0

γN

-εI

относительно скалярных переменных ε и γ.

Тогда радиус знакоопределенности семейства (25) равен γ.

Таким образом, нахождение радиуса знакоопределенности сводится к про-

стой задаче полуопределенного программирования.

4.3. Робастная квадратичная устойчивость и стабилизация

В общей ситуации непосредственная проверка робастной устойчивости за-

данного семейства систем весьма сложна [37, 40]; трудной является и зада-

ча отыскания величины радиуса робастной устойчивости, более того, в об-

щем случае отсутствуют регулярные способы ее решения. Поэтому часто ис-

пользуется подход, основанный на достаточных условиях робастной устойчи-

вости он состоит в построении общей квадратичный функции Ляпунова

для неопределенных семейств, и потому называется робастной квадратичной

устойчивостью; см., подробнее, монографии [37, 84] и ссылки в них.

Рассмотрим матричное семейство со структурированной неопределенно-

стью вида

(26)

A(Δ) = A + F ΔH,

где номинальная матрица A ∈ R^n×n устойчива, F ∈ R^n×p, H ∈ R^q×n, а воз-

мущение Δ ∈ R^p×q (возможно, зависящее от времени) ограничено по норме:

∥Δ∥ ≤ γ.

Встав на позиции квадратичной устойчивости, легко видеть, что построение

общей функции Ляпунова в этом случае сводится к решению линейных мат-

ричных неравенств, значительно упрощая вычисления. Рассмотрим сперва

задачу проверки квадратичной устойчивости при ∥Δ∥ ≤ 1.

Действительно, выполнение неравенства Ляпунова

(A + F ΔH)P + P (A + F ΔH)^⊤ ≺ 0,

т.е.

AP + P A^⊤ + F ΔHP + P H^⊤Δ^⊤F^⊤ ≺ 0

с некоторой матрицей P ≻ 0 при всех допустимых неопределенностях озна-

чает, что у семейства (26) есть общая квадратичная функция Ляпунова

V (x) = x^⊤P^-1x. Теперь остается воспользоваться леммой Питерсена при

G = AP + PA^⊤, M = F, N = HP,

и записать последнее матричное неравенство в виде эквивалентного ему ЛМН

относительно скалярной переменной ε и матричной переменной P ≻ 0:

(AP + P A^⊤ + εF F^⊤ P H^⊤)

(27)

≺ 0.

-εI

Если это ЛМН разрешимо, семейство (26) робастно квадратично устойчиво,

и наоборот. C учетом однородности неравенства (27) по P и ε приходим к

следующему результату.

Теорема 8. Разрешимость линейных матричных неравенств

(AP + P A^⊤ + F F^⊤ P H^⊤)

≺ 0, P ≻ 0,

-I

относительно матричной переменной P ∈ R^n×n эквивалентно квадратич-

ной устойчивости семейства (26) при всех ∥Δ∥ ≤ 1, причем решени

P опре-

деляет общую квадратичную функцию Ляпунова.

Теперь нетрудно вычислить радиус квадратичной устойчивости семей-

ства (26):

{

γ_max = sup γ: (A + FΔH)P + P(A + FΔH)^⊤ ≺ 0

}

при некотором P ≻ 0 и всех ∥Δ∥ ≤ γ

то есть максимальный размах γ_max неопределенности Δ, такой, что при всех

γ < γ_max у семейства имеется общая квадратичная функция Ляпунова.

Теорема 9. Пусть γ решение задачи полуопределенного программи-

рования

)

⊤

(AP + P A^⊤ + γF F^⊤ P H

max γ при ограничениях

≼ 0, P ≻ 0,

-I

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n и скалярной перемен-

√

ной γ. Тогда радиус квадратичной устойчивости семейства (26) равен

γ.

Вопрос о радиусе квадратичной устойчивости для дискретной системы

решается аналогично непрерывному случаю.

Перейдем к вопросам робастной стабилизации и рассмотрим семейство

(28)

x = (A + FΔH)x + Bu,

со структурированной матричной неопределенностью, где A ∈ R^n×n, F ∈

∈ R^n×p, H ∈ R^q×n, пара (A,B) управляема, а матричная неопределен-

ность Δ ∈ R^p×q удовлетворяет ограничению ∥Δ∥ ≤ 1. Цель прежняя стаби-

лизировать систему (28) с помощью линейной обратной связи по состоянию

(29)

u=Kx

при всех допустимых неопределенностях.

Ответ дается следующим утверждением, предоставляющим необходимые

и достаточные условия робастной квадратичной стабилизируемости неопре-

деленной системы.

Теорема 10. Пусть матриц

Y удовлетворяют линейным мат-

ричным неравенствам

(AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ + F F^⊤ P H^⊤)

≺ 0, P ≻ 0.

-I

Тогда регулятор (29) с матрицей

P^-1

робастно стабилизирует систему (28) при всех неопределенностях ∥Δ∥ ≤ 1,

а квадратичная форма

V (x) = x^⊤

P^-1x

является общей функцией Ляпунова для замкнутой системы (при всех

неопределенностях ∥Δ∥ ≤ 1).

Как увидим далее, идеи и технические средства, использующиеся при по-

строении робастно квадратично стабилизирующих регуляторов, существен-

ным образом применяются при решении задач управления с внешними воз-

мущениями.

5. Внешние возмущения

Задача о подавлении внешних возмущений является одной из основных в

теории управления и рассматривается в различных ее разделах. В линейно-

квадратичной оптимизации рассматриваются задачи со случайными гауссов-

скими помехами (так называемая линейно-квадратичная гауссовская задача,

LQG). Проблема H_∞-оптимизации связана либо с гармоническими внешними

возмущениями, либо со случайными гауссовскими, либо с возмущениями из

класса L₂ (т.е., по-существу, убывающими с течением времени). Однако во

многих практических случаях внешние возмущения являются просто огра-

ниченными; какая-либо дополнительная информация о них отсутствует.

5.1. Анализ

Рассмотрим одну из простейших постановок задач для линейной стацио-

нарной динамической системы в непрерывном времени

x = Ax + Dw, x(0) = x₀,

(30)

z = Cx,

где A ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, C ∈ R^l×n, x(t) ∈ Rⁿ состояние системы, z(t) ∈

∈ R^l выход системы, w(t) ∈ R^m внешнее возмущение, принадлежащее

тому или иному классу (такие возмущения будем далее называть допусти-

мыми).

Требования, предъявляемые ко внешнему возмущению, можно понимать

и определять по-разному; будем интересоваться тремя основными случаями:

а) случайные внешние возмущения;

б) L₂-ограниченные внешние возмущения;

в) L_∞-ограниченные внешние возмущения.

На системах со случайными возмущениями остановимся совсем кратко.

Во многих задачах на систему действуют случайные внешние возмущения,

и естественно интересоваться ее реакцией на такие возмущения. Разумеет-

ся, эта реакция тоже будет случайной, поэтому важны некоторые средние

характеристики отклонений. Изучение таких характеристик для непрерыв-

ных систем требует математического аппарата (теории случайных процес-

сов), отличающегося от обсуждаемого в настоящей работе, поэтому ограни-

чимся наиболее простым случаем дискретных систем

x_k+1 = Ax_k + Dw_k, x₀ = 0,

и будем предполагать w_k случайным вектором со следующими свойствами:

1) средние значения помех равны нулю: E w_k = 0 (напомним, что знак E

означает математическое ожидание);

2) матрица ковариаций помех задана: E w_kw^⊤k = Σ ≻ 0;

3) помехи не коррелированы во времени: E w_kw^⊤l = 0, k = l.

Обозначим среднее значение вектора состояний E x_k = h_k, а его матрицу

вторых моментов E x_kx^⊤k = W_k.

Имеет место следующий результат.

Теорема 11. При сделанных выше предположениях

h_k = 0, W_k+1 = AW_kA^⊤ + DΣD^⊤, W₀ = 0.

Если матрица A шуровская, то существует

W = lim

W_k,

k→∞

и эта предельная матрица ковариаций удовлетворяет уравнению Ляпунова

AW A^⊤ - W = -DΣD^⊤.

Оказывается, средние характеристики траекторий при случайных возму-

щениях качественно близки к гарантирующим характеристикам систем с

L₂-ограниченными возмущениями (см. ниже раздел 5.1.1).

Перейдем к системам с L₂- и L_∞-ограниченными внешними возмущения-

ми. Для дальнейшего изложения понадобится ввести в рассмотрение понятие

инвариантного эллипсоида.

Определение 1. Эллипсоид с центром в начале координат

{

}

(31)

E_x = x ∈ Rⁿ : x^⊤P^-1x ≤ 1

P ≻ 0,

называется инвариантным (по состоянию) для динамической системы (30),

если из условия x(0) ∈ E_x следует x(t) ∈ E_x для всех моментов времени t ≥ 0.

Иными словами, любая траектория системы, исходящая из точки, лежа-

щей в эллипсоиде E_x, при всех допустимых внешних возмущениях, действую-

щих на систему, в любой момент времени будет находиться в этом эллипсоиде.

Инвариантный эллипсоид обладает следующим свойством:

x(t) ---→

E_x при x(0) ∈ E_x

t→∞

(при этом, возможно, x(t) ∈ E_x при t ≥ T для некоторого T > 0), т.е. траекто-

рия системы, исходящая из точки вне эллипсоида E_x, стремится к эллипсои-

ду E_x с течением времени. Таким образом, инвариантный эллипсоид является

также и притягивающим.

Соответственно, если начальное состояние системы принадлежит инвари-

антному эллипсоиду, имеем равномерную оценку поведения траекторий си-

стемы в любой момент времени траектории принадлежат этому эллипсоиду

при любых допустимых внешних возмущениях; если начальные условия про-

извольны, имеем асимптотическую оценку поведения траекторий системы

траектории будут стремиться к этому эллипсоиду с течением времени при

любых допустимых внешних возмущениях.

Важно отметить, что с инвариантным эллипсоидом (31) ассоциирована

квадратичная форма

V (x) = x^⊤P^-1x,

которая будет служить квадратичной функцией Ляпунова для системы (30)

вне соответствующего инвариантного эллипсоида.

Инвариантные эллипсоиды можно рассматривать как внешние аппрокси-

мации множества достижимости

{

}

x ∈ Rⁿ: x = x(t), t ≥ 0, решение (30) при x(0) = 0

являющегося в общем случае некоторым замкнутым ограниченным выпук-

лым множеством и при этом наименьшим (по включению) инвариантным

множеством. Понятие инвариантного эллипсоида является более полезным

и робастным по сравнению с множеством достижимости: в последнем пред-

полагается, что начальные условия нулевые, однако малое отклонение в на-

чальном условии может привести к тому, что траектория выйдет за пределы

достижимого множества.

Именно достижимые множества дают наиболее полное описание динами-

ческой системы, однако они весьма сложны для изучения. Среди различ-

ных подходов к их исследованию отметим следующий. Поскольку дости-

жимое множество представляет собой множество точек фазового простран-

ства, в которые может перейти динамическая система из начала коорди-

нат при некоторых допустимых возмущениях, то можно возмущения w рас-

сматривать в качестве управлений. При этом придем к задаче классическо-

го оптимального управления о попадании в начало координат. Структура

достижимых множеств рассматривалась в ряде работ начиная с середины

прошлого столетия. Наиболее полные результаты приведены в монографии

А.М. Формальского [48], где исследованы не только ограничения (35), но и

многие другие (например, возмущения, ограниченные в L₁- и L₂-нормах, а

также их комбинации). Различные факты о строении достижимых множеств

получены в книге А.Б. Куржанского [28].

Инвариантные эллипсоиды можно рассматривать как характеристику

влияния внешних возмущений на траектории динамической системы. А имен-

но, в рамках задачи анализа проблема состоит в оценке степени влияния

внешних возмущений на вектор выхода системы. В этой связи естественно

интересоваться минимальными в некотором смысле эллипсоидами, содержа-

щими выход системы.

Нетрудно видеть, что если E_x инвариантный эллипсоид (31) с матри-

цей P , то выход системы (30) при x₀ ∈ E_x принадлежит эллипсоиду

{

}

(32)

E_z =

z ∈ R^l: z^⊤(CPC^⊤)^-1z ≤ 1

В частности, в случае одномерного выхода (l = 1) этот эллипсоид является

√

полосой E_z = {z ∈ R: |z| ≤

CPC^⊤}, в которой будет находиться выход z

системы.

Эллипсоид (32) будем называть ограничивающим (по выходу). Как отме-

чалось выше, его минимальность можно понимать в разных смыслах; здесь

рассматривается линейная функция f(P ) = tr CP C^⊤, которая соответствует

сумме квадратов его полуосей.

Выбор линейного (или линеаризуемого) критерия минимальности эллип-

соида позволяет свести проблему к стандартной задаче полуопределенного

программирования и тем самым существенно упростить результаты. Заме-

тим, что в случае одномерного выхода все эти критерии совпадают.

5.1.1. L₂-ограниченные внешние возмущения. Рассмотрим систему (30) с

возмущениями, ограниченными в L₂-норме:

∫∞

(33)

∥w∥²² = w^⊤

(t)w(t)dt ≤ 1.

Будем полагать, что система устойчива (матрица A гурвицева), а C мат-

рица полного ранга.

Условие x(0) = 0 не является ограничительным, поскольку при x(0) = 0

решение системы представимо в виде x(t) = e^Atx(0) + x₀(t), где x₀(t) ре-

шение при нулевых начальных условиях.

Множество

{

}

R(T ) =

x(T ) : x(t) решение (30) при некотором w : ∥w∥₂ ≤ 1

называется множеством достижимости в момент T ≥ 0, а их объединение

⋃

R = R(T)

T≥0

для всех T ≥ 0 просто множеством достижимости.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 12. Если пара (A,D) управляема, то множество R(T) явля-

ется эллипсоидом

{

}

R(T ) = x: x^⊤W^-1c(T )x ≤ 1 ,

с матрицей

∫T

W_c(T) = e^Aτ DD^⊤eA⊤τ dτ ≻ 0.

Если матрица A устойчива (гурвицева), то множество R представляет

собой эллипсоид

{

}

R= x: x^⊤W^-1x≤1 ,

∫

где W = e^Aτ DD^⊤eA⊤τ dτ ≻ 0 грамиан управляемости, т.е. решение урав-

нения Ляпунова

AW + W A^⊤ = -DD^⊤.

Таким образом, множество достижимости для устойчивых систем с

L₂-ограниченным внешним возмущением имеет очень простой вид оно яв-

ляется эллипсоидом. Очевидно, что если ввести в рассмотрение выходную

величину

z = Cx,

то соответствующее множество выходов также является эллипсоидом

{

}

(34)

z: z^⊤(CWC^⊤)^-1z ≤ 1

с матрицей CW C^⊤ ≻ 0, поскольку C матрица полного ранга. В частности,

для системы со скалярным выходом z = c^⊤x этот эллипсоид cхлопывается в

отрезок:

√

|z| ≤

c^⊤Wc.

Естественно искать такое управление, которое обеспечивает минимум выхода

при всех допустимых возмущениях того или иного типа. В частности, для

систем с L₂-ограниченными возмущениями, критерием оптимальности при

выборе обратной связи может служить размер эллипсоида (34).

Аналогичные результаты верны и для дискретных систем.

5.1.2. L_∞-ограниченные внешние возмущения. Впервые задача об опти-

мальном подавлении неслучайных ограниченных возмущений была сформу-

лирована в работе Е.Д. Якубович, а ее полное решение было построено в рабо-

тах А.Е. Барабанова и О.Н. Граничина и позже М. Далеха и Дж. Пирсона.

Впоследствии эта теория получила название l₁-оптимизации. Однако методы

l₁-оптимизации имеют ряд существенных недостатков: ее применение к за-

даче синтеза оптимального управления часто приводит к регуляторам очень

высокого порядка; отметим и асимптотический характер получающихся оце-

нок.

Существует иной подход к данной проблематике, основанный на методе

инвариантных множеств. Инвариантные множества довольно широко исполь-

зуются в различных задачах гарантированного оценивания, фильтрации и

минимаксного управления в динамических системах при наличии неопреде-

ленностей в измерениях. Принципиальными в этом направлении можно счи-

тать работы Ф. Швеппе [139], Д. Бертсекаса [78, 79], А.Б. Куржанского [28]

и Ф.Л. Черноусько [59], см. также [27]. Инвариантные множества во мно-

гих случаях оказываются удобными аппроксимациями областей достижимо-

сти динамических систем; это позволяет их широко использовать в задачах

анализа. Концепция инвариантности также активно применяется и в других

разделах теории систем и автоматического управления (см. обзорную статью

Ф. Бланкини [80] и монографию Ф. Бланкини и С. Миани [81]). Среди раз-

личных форм инвариантных множеств особо выделяют эллипсоиды из-за их

простой структуры и прямой связи с квадратичными функциями Ляпунова.

Ввиду этого, в рамках эллипсоидального описания, в качестве технического

средства может быть использован аппарат линейных матричных неравенств

и полуопределенного программирования.

Вопросам использования ЛМН-техники в целях подавления возмущений

посвящены работы [4, 37, 64, 82, 84], см. также библиографию в [37]. В запад-

ной литературе этот круг вопросов называется peak-to-peak gain minimization.

Это означает, что целью является уменьшение максимального (пикового) зна-

чения выхода при ограниченных максимальных значениях возмущений (речь

идет о системах с одним входом - одним выходом; эллипсоидальная техника

обобщает этот подход на многомерный случай).

Систематическое использование техники ЛМН позволяет переформулиро-

вать проблему подавления ограниченных внешних возмущений в терминах

инвариантных эллипсоидов. Применение этой концепции позволяет свести

синтез оптимального регулятора к поиску наименьшего инвариантного эл-

липсоида замкнутой динамической системы. Такой подход приводит к про-

стым оптимальным регуляторам; он имеет большой потенциал и возможно-

сти для обобщений, в равной мере распространим как на непрерывный, так

и на дискретный варианты задачи. Систематическое изложение результатов

об управлении в линейных системах с неопределенностью при внешних воз-

мущениях можно найти в [37].

ЛМН-подход к подавлению L_∞-ограниченных внешних возмущений не

свободен и от недостатков: ему присущ определенный консерватизм, обуслов-

ленный тем, что достижимые множества не являются эллипсоидами.

Итак, вновь рассмотрим систему (30) с измеримым по t внешним возму-

щением, ограниченным в каждый момент времени:

(35)

∥w(t)∥ ≤ 1 для всех t ≥ 0.

Отметим, что никаких других ограничений на возмущение w(t) не наклады-

вается; так, оно не предполагается ни случайным, ни гармоническим. Будем

полагать, что система (30) устойчива (т. е. матрица A гурвицева), пара (A, D)

управляема, C матрица полного ранга.

Разумеется, если матрица A устойчива, то все решения системы (30) при

допустимых возмущениях w(t) ограничены:

lim sup ∥x(t)∥ ≤ r.

t≥0

Наименьшее такое число r в западной литературе называют “peak-to-peak

gain”

коэффициент усиления от возмущений (ограниченных единицей) к

норме состояния системы (см. [93]). Можно, однако, интересоваться более

точным описанием системы с помощью инвариантных эллипсоидов. Для рас-

сматриваемого простейшего случая в [64, 84] была установлена справед-

ливость следующей теоремы.

Теорема 13. Эллипсоид (31) является инвариантным по состоянию

для динамической системы (30), (35) тогда и только тогда, когда его мат-

рица P ≻ 0 удовлетворяет ЛМН

(36)

AP + P A^⊤ + αP +

DD^⊤

≼0

при некотором α > 0.

Как отмечалось выше, степень влияния L_∞-ограниченных внешних воз-

мущений w на выход z системы сводится к нахождению ограничивающего

эллипсоида (32), минимального по тому или иному критерию. В частности,

для скалярного выхода оценивается максимальное по модулю значение z.

5.2. Синтез

При синтезе управления обычно желательно обеспечивать малость выхо-

да при всех допустимых возмущениях из данного класса. В частности, для

систем с L₂- или L_∞-ограниченными возмущениями в качестве критерия оп-

тимальности при выборе обратной связи нередко принимается размер инва-

риантного эллипсоида.

Будем рассматривать систему управления

x = Ax + B₁u + Dw, x(0) = 0,

(37)

z = Cx + B₂u,

где A ∈ R^n×n, B₁ ∈ R^n×p, D ∈ R^n×m, C ∈ R^l×n, B₂ ∈ R^l×p, с вектором состоя-

ния x(t) ∈ Rⁿ, вектором выходных переменных выходом z(t) ∈ R^l, вектором

управления u(t) ∈ R^p и вектором внешних возмущений w(t) ∈ R^m, ограничен-

ным в L₂- или L_∞-норме.

Однако прежде, чем переходить к L₂- и L_∞-ограниченным возмущениям,

кратко обсудим подходы к решению задачи синтеза при случайных внеш-

них возмущениях, а именно, рассмотрим задачу о выборе регулятора, в мак-

симальной степени подавляющего случайные помехи. Вновь ограничившись

дискретным случаем, рассмотрим систему

x_k+1 = Ax_k + Bu_k + Dw_k, x₀ = 0,

со случайными возмущениями w_k, удовлетворяющими прежним предположе-

ниям о несмещенности, ограниченности ковариаций и некорррелированности.

Целью является выбор регулятора в форме линейной обратной связи по со-

стоянию

u_k = Kx_k,

которая делает систему устойчивой и при этом минимизирует средний раз-

брос траекторий на бесконечности, т.е. минимизирует след предельной мат-

рицы ковариаций W . Поскольку матрица замкнутой системы имеет вид

A + BK, получаем для W уравнение

(A + BK)W (A + BK)^⊤ - W = -DΣD^⊤,

которое после стандартной замены Y = KW переходит в линейное матричное

неравенство относительно матриц W , Y :

AW A^⊤ + BY A^⊤ + AY^⊤B^⊤ - W = -DΣD^⊤, W ≻ 0.

Минимизируя какую-либо заданную характеристику матрицы W (напри-

мер, tr W или CW C^⊤ при наличии скалярного выхода y = Cx) при этих огра-

ничениях, можно найти решениеW

Y , а по нему оптимальный регулятор

YW-1.

Как будет видно далее, случайность помех не вносит принципиальной раз-

ницы в решение задачи о синтезе регулятора, когда целью является миними-

зация отклонений от равновесия в среднем.

5.2.1. L₂-ограниченные внешние возмущения. Как известно, для возму-

щений, ограниченных в L₂-норме, естественной мерой их влияния являет-

ся H_∞-норма выхода. Обратимся к системе (37) с внешними возмущениями,

удовлетворяющими условию (33): в простейшей постановке задача H_∞-опти-

мизации заключается в выборе регулятора в форме статической линейной

обратной связи по состоянию

(38)

u = Kx,

который минимизирует H_∞-норму передаточной функции H(s) замкнутой

системы.

Введем в рассмотрение функционал

∞

∫

(39)

J = sup

z^⊤z dt = sup

∥z∥²²

∥w∥₂≤1

и будем искать его минимум по всем стабилизирующим регуляторам ви-

да (38); решение этой задачи и дает H_∞-оптимальный регулятор. Обратим

внимание, что в (37) управление включено в уравнение для выхода для того,

чтобы ограничить величину используемого управления. ЛМН-подход к ре-

шению этой задачи опирается на описание достижимого множества и сводит

исходную задачу к полуопределенному программированию.

Проделывая стандартные преобразования, делая описанные выше заме-

ны переменных и используя лемму Шура (подробности можно найти в [37]),

приходим к следующему результату.

Теорема 14. Пуст

Y , γ решение задачи





AP + P A^⊤ + B₁Y + Y^⊤B^⊤1 D P C^⊤ Y^⊤B^⊤2









D^⊤

-γI





min γ при



≼0, P ≻0,





-I





B₂Y

-I

относительно матричных переменных P = P^⊤, Y и скалярной перемен-

ной γ.

Тогда стабилизирующий регулятор с матрицейK

P^-1 минимизиру-

ет функционал (39) на решениях системы (37):

J_min = γ,

а квадратичная форма V (x) = x^⊤

P^-1x является функцией Ляпунова для за-

мкнутой системы.

Выше предполагалось, что состояние системы известно, однако аналогич-

ная техника применима и для задачи управления по выходу; кроме того,

возможен и ряд других, более общих постановок задачи, а также ее дис-

кретные аналоги. Дальнейшее развитие этой линии исследований можно

найти в работах Д.В. Баландина и М.М. Когана и их учеников, см., напри-

мер, [8, 10, 12, 23, 68, 70]. В частности, в рамках этого подхода возможен учет

неопределенности в начальном условии; иногда неопределенность в началь-

ном условии и внешнем возмущении объединяется в одно ограничение вида

∥x₀∥² + ∥w∥² ≤ γ, где ∥ · ∥ некоторые нормы.

Проблематика построения оптимальных регуляторов по отношению к

обобщенной H₂-норме, которые обеспечивают минимум максимального по

времени значения евклидовой нормы выхода при внешнем возмущении из

класса L₂, освещена в публикациях [11, 69], см. также ссылки в них.

5.2.2. L_∞-ограниченные внешние возмущения. В рамках рассматриваемо-

го подхода эффективно решается задача синтеза обратной связи для систем,

подверженных воздействию произвольных ограниченный внешних возмуще-

ний; см. [32, 131]. Для компенсации влияния таких возмущений на выход

системы строится регулятор в виде статической линейной обратной связи

по состоянию. Искомый оптимальный регулятор, минимизирующий влияние

возмущений, задается наименьшим ограничивающим эллипсоидом по выходу

для замкнутой системы.

Итак, целью является нахождение регулятора K в форме статической ли-

нейной обратной связи по состоянию

(40)

u = Kx,

который стабилизирует замкнутую систему (37) при внешних возмущени-

ях, удовлетворяющих условиям (35), и оптимально (например, в смысле ми-

нимальности следа ограничивающего эллипсоида для выхода системы) по-

давляет воздействие внешних возмущений. Заметим, что наличие ненулевой

компоненты B₂u в выходе системы (37) позволяет при минимизации выхода

избежать появления больших значений управления.¹

В следующей теореме поиск оптимального регулятора сводится к задаче

полуопределенного программирования и одномерной минимизации.

Теорема 15. Пуст

Z решение задачи

[

]

min tr CP C^⊤ + CY^⊤B^⊤2 + B₂Y C^⊤ + B₂ZB^⊤

¹ Как известно, если управление и возмущение приложены “в одной точке”, т. е. матрицы

B1 и D совпадают, то за счет огромного управления выход системы можно сделать сколь

угодно малым.

при ограничениях

AP + P A^⊤ + B₁Y + Y^⊤B^⊤1 + αP +

DD^⊤ ≼ 0,

( Z Y)

≽ 0, P ≻ 0,

Y^⊤ P

относительно матричных переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^p×n, Z = Z^⊤ ∈

∈ R^p×p и скалярного параметра α > 0.

Тогда регулятор (40) с матрицей

P^-1

стабилизирует систему (37), (35) и оптимально подавляет внешние воз-

мущения, при этом матрица минимального (по критерию следа) ограни-

чивающего эллипсоида для выхода z замкнутой системы с x₀ = 0 дается

выражением

PC^⊤ +CY⊤B^⊤2 +B

YC^⊤ +B

ZB^⊤2.

Обсуждаемая ЛМН-техника может быть распространена на задачу син-

теза статической обратной связи по выходу [34], использующую оценку со-

стояния, получаемую с помощью наблюдателя Люенбергера, на задачу по-

строения линейного динамического регулятора по выходу [9, 50], а также на

задачу фильтрации [33] для случая, когда все параметры модели не зависят

от времени; в этом случае ищется оценка состояния, такая, что ее ошибка

гарантированно заключена в единый эллипсоид для всех моментов времени,

т.е. оценка является равномерной. В классе линейных стационарных филь-

тров и равномерных оценок проблема оказывается полностью разрешимой,

т.е. построен оптимальный фильтр и получена оптимальная оценка состоя-

ния.

5.3. Робастное подавление L_∞-ограниченных внешних возмущений

Вышеприведенные результаты оказываются распространимыми на слу-

чай робастного подавления внешних возмущений, когда в матрицах системы

содержится структурированная матричная неопределенность. Ограничимся

случаем L_∞-ограниченных возмущений и задачей анализа.

В простейшем случае рассматривается система

x = (A + ΔA)x + (D + ΔD)w, x(0) = x₀,

(41)

z = Cx,

где A ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, C ∈ R^l×n, с состоянием x(t) ∈ Rⁿ, выходом z(t) ∈ R^l

и внешним возмущением w(t) ∈ R^m, удовлетворяющим ограничению (35).

При этом системные неопределенности ΔA и ΔD имеют структуру

(42)

ΔA = F_AΔ_AH_A, ΔD = F_DΔ_DH_D,

где матричные неопределенности Δ_A ∈ RpA×qA и Δ_D ∈ RpD×qD удовлетворя-

ют ограничениям

(43)

∥Δ_A∥ ≤ 1,

∥Δ_D

∥ ≤ 1,

а F_A ∈ Rn×pA, F_D ∈ Rn×pD, H_A ∈ RqA×n, H_D ∈ RqD×m заданные постоянные

матрицы. Будем полагать, что матрица A гурвицева, пара (A, D) управляема,

C матрица полного ранга.

Для неопределенной системы определение инвариантного эллипсоида пре-

терпевает следующее естественное изменение.

Определение 2. Эллипсоид с центром в начале координат

{

}

E_x = x ∈ Rⁿ : x^⊤P^-1x ≤ 1 , P ≻ 0,

называется инвариантным для системы (41)-(43), если из условия x(0) ∈ E_x

следует x(t) ∈ E_x для всех моментов времени t ≥ 0 при всех допустимых

возмущениях w(t) и всех допустимых неопределенностях Δ_A, Δ_D.

В [131] установлена справедливость следующей теоремы.

Теорема 16. Эллипсоид E_x является инвариантным для динамической

системы (41), (35), (42), (43), если его матрица P ≻ 0 удовлетворяет ЛМН





AP + P A^⊤ + αP + ε₁F_AF^⊤A + ε₂F_DF^⊤D D P H^⊤A









D^⊤

-αI

H^⊤D







≼0





H_AP

-ε₁I





H_D

-ε₂I

при некоторых α,ε₁,ε₂ ∈ R.

Помимо ЛМН-техники, в качестве технического средства здесь использу-

ется упоминавшаяся выше лемма Питерсена.

Задачи робастного анализа и синтеза ставятся и решаются в публикаци-

ях [54, 131], робастной фильтрации в [49]. В [56] ставится и решается задача

построения нехрупкого регулятора, выдерживающего возмущения в матри-

цах системы.

В завершение раздела отметим, что ЛМН-техника позволяет синтезиро-

вать управление в системах, подверженным воздействию внешних возмуще-

ний, исходя из инженерных критериев качества, в частности, таких, как вре-

мя установления, а решать задачи подавлению внешних ограниченных воз-

мущений с помощью т. н. комбинированной обратной связи вида

u=Kx+K₁w,

где наряду со статической линейной обратной связью по состоянию вводится

линейная обратная связь по вектору возмущений или по части его компонент,

мгновенные значения которых известны.

6. Ненулевые начальные условия

Остановимся подробнее на переходных процессах в системах с ненулевыми

начальными условиями при отсутствии внешних возмущений.

Рассмотрим простейший случай системы

(44)

x = Ax, x(0) = x₀

с гурвицевой матрицей A ∈ R^n×n, так что x(t) → 0 с ростом t. Однако ока-

зывается, что решение такой системы может сильно отклоняться от нуля в

конечные моменты времени; например, см. [35], где приведен исторический

обзор работ в этом направлении и обсуждается связь со схожим явлением пе-

ререгулирования. Этот эффект отклонения, называемый всплеском, крайне

нежелателен по многим естественным причинам. Среди них возможная

неустойчивость вычислительных схем численных методов, нарушение адек-

ватности линеаризованной модели исходно нелинейной системы в окрестно-

сти рабочей точки, опасные режимы функционирования или разрушение тех-

нических систем, немонотонное поведение некоторых методов оптимизации

и др. Техника линейных матричных неравенств предоставляет возможность

эффективно получать верхние оценки величины всплеска и строить управ-

ление в виде обратной связи, минимизирующей эту оценку.

Для системы (44) введем величину

∥x(t)∥

η(A, x₀) = max

t≥0

∥x(0)∥

и если она больше единицы, будем говорить о наличии всплеска.

Естественно полагать, что начальные условия могут быть известны лишь

с точностью до некоторого множества B, т.е. в задаче о всплеске имеем еще

один источник неопределенности в начальных условиях. Такая неопреде-

ленность естественным образом возникает в самых разных ситуациях, на-

пример, в задачах стабилизации и управления при помощи наблюдателя с

неизвестным начальным состоянием, или же в системах с переключениями,

когда к моменту переключения система приходит в некоторую точку фазо-

вого пространства.

В этом случае интерес представляет собой оценка величины

∥x(t)∥

(45)

η(A) = maxη(A, x0) = maxmax

x₀∈B

t≥0

∥x(0)∥

Поскольку решение линейно зависит от начальных условий, то без потери

общности считаем, что B единичный шар, т.е. ∥x₀∥ ≤ 1.

Решение системы (44) имеет вид

x(t) = e^Atx₀,

поэтому, меняя местами max

и max в (45), получаем

x₀∈B

t≥0

η(A) = max ∥e^At∥

t≥0

(где ∥·∥ операторная норма матрицы), т.е. величина отклонения напрямую

связана с оценкой матричной экспоненты. В практических задачах стабили-

зации величина ∥e^At∥ может принимать очень большие значения на конечных

интервалах времени, но до недавних пор регулярные способы ее оценивания

отсутствовали, как и методы подавления этих эффектов.

Получение численной верхней оценки для величины η(A) с помощью ли-

нейных матричных неравенств может быть осуществлено следующим обра-

зом.

Рассмотрим систему (44) с устойчивой матрицей A ∈ R^n×n. Ее устойчи-

вость эквивалентна существованию квадратичной функции Ляпунова

V (x) = x^⊤P^-1x

с матрицей P ≻ 0, удовлетворяющей неравенству Ляпунова

AP + P A^⊤ ≺ 0,

которое является ЛМН относительно матричной переменной P = P^⊤.

Рассмотрим эллипсоид

{

}

E = x∈Rⁿ: x^⊤P^-1x≤1

с центром в начале координат и задаваемый матрицей P . По определению

функции Ляпунова если x₀ ∈ E, то x(t) ∈ E для всех t > 0. В частности, если

этот эллипсоид содержит единичный шар B = {x ∈ Rⁿ : ∥x∥ ≤ 1}, что можно

записать как P ≽ I, то из x₀ ∈ B следует x(t) ∈ E для всех t > 0. Послед-

√

нее означает, что ∥x(t)∥ ≤

λ_max(P) для всех t > 0, т.е. норма решения не

превосходит корня из длины большой полуоси эллипсоида.

Таким образом, чтобы получить наилучшую верхнюю границу для ∥x(t)∥,

необходимо минимизировать большую полуось эллипсоида, задаваемого мат-

рицей P , которая удовлетворяет неравенству Ляпунова и условию P ≽ I. Эта

минимизация эквивалентна минимизации скалярной величины γ в матрич-

ном неравенстве P ≼ γI.

Получаем следующий результат.

Теорема 17. Пусть γ является решением задачи полуопределенного

программирования

(46)

min γ при ограниченииях AP + P A^⊤

≺ 0, I ≼ P ≼ γI,

относительно переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n и γ ∈ R.

Тогда для траекторий системы (44) имеем

max

max∥x(t)∥ ≤ ηupp(A) = γ1/2

∥x₀∥≤1

t≥0

для всех начальных условий ∥x₀∥ ≤ 1.

Таким образом, получена верхняя оценка величины операторной нормы

матричной экспоненты.

По-видимому, первой работой, где была предложена эта идея, являет-

ся [105]; в несколько иных постановках и формулировках, в том числе, и

применительно к задачам синтеза (см. ниже), этот результат приводится

в [7, 35, 151].

Совершенно аналогично получение верхней оценки всплеска дается для си-

стем дискретного времени; разница заключается лишь в рассмотрении квад-

ратичной функции Ляпунова

V (x_k) = x⊤k P^-1x_k

и использовании дискретного неравенства Ляпунова AP A^⊤ - P ≺ 0; все

остальные рассуждения и формулировки остаются теми же. По-видимому,

первой работой по получению верхних оценок всплеска в дискретных си-

стемах является [22]; уточнения и развитие этого подхода обсуждаются в

[1, 140, 141].

Естественно задаться вопросом о точности оценок, получаемых таким пу-

тем. Насколько известно авторам, теоретические результаты в этом направле-

нии отсутствуют, но численные эксперименты, проведенные в [1], свидетель-

ствуют о невысоком консерватизме оценок. А именно, случайным образом

генерировались шуровские матрицы A, для них с помощью дискретной вер-

сии теоремы 17 вычислялась верхняя оценка; непосредственным возведением

в степень также вычислялось истинное значение для max_k ∥A^k∥. Для подав-

ляющей доли реализаций оценка превосходила истинную величину всплеска

не более чем на 10-20%, а максимальная ошибка составляла 75%, так что

техника LMI, по-видимому, дает приемлемые верхние оценки всплеска.

Интересно заметить, что анализ эффектов всплеска с помощью линей-

ных матричных неравенств дает простые необходимые и достаточные условия

отсутствия всплеска в линейных системах при любых начальных условиях.

В самом деле, всплеск не наблюдается тогда и только тогда, когда решением

задачи из теоремы 17 является γ = 1, что эквивалентно наличию у системы

квадратичной функции Ляпунова с матрицей P = I, см. (46). Таким образом,

для непрерывной системы с матрицей A всплеска нет тогда и только тогда,

когда A + A^⊤ ≺ 0. Соответственно для дискретных систем необходимым и

достаточным условием отсутствия всплеска является AA^⊤ ≺ I. В частности,

можно показать, что матрицы во фробениусовой форме этим условиям не

удовлетворяют, т.е. для систем в канонической управляемой форме всегда

найдутся начальные условия, дающие всплеск.

Аппарат линейных матричных неравенств применим и к синтезу обратной

связи, минимизирующей всплеск решений замкнутой системы. Такие резуль-

таты в различных постановках получены в [7, 35, 105, 151] для непрерывных

систем и в [1, 22, 140, 141] для дискретного времени. Техника решения со-

вершенно аналогична той, которая неоднократно обсуждалась выше, с ис-

пользованием вспомогательной матричной переменной (раздел 3). Так, если

в непрерывной системе

(47)

x = Ax + Bu

с матрицами A ∈ R^n×n, B ∈ R^n×p, ищется обратная связь по состоянию

u = Kx, то замкнутая система с матрицей A + BK обладает квадратичной

функцией Ляпунова с положительно определенной матрицей P , удовлетво-

ряющей неравенству

(A + BK)P + P (A + BK)^⊤ ≺ 0.

Введение новой переменной Y = KP приводит последнее неравенство к виду,

линейному по P и Y :

AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ ≺ 0,

которое и используется в оптимизационной задаче из теоремы 17 вместо пер-

вого ограничения из (46). Приведем окончательный результат (см., напри-

мер, [35], где он приведен в несколько иной формулировке).

Теорема 18. Пуст

Y, γ

решение задачи полуопределенного про-

граммирования

(48)

min γ при ограниченииях AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤

≺ 0, I ≼ P ≼ γI,

относительно переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n, Y ∈ R^n×p, γ ∈ R.

Тогда для траекторий системы (47) с управлением

u =Kx,

P^-1,

имеем

max

max∥x(t)∥ ≤ ηupp(A) = γ1/2

∥x₀∥≤1

t≥0

для всех начальных условий ∥x₀∥ ≤ 1.

Совершенно аналогично задача синтеза управления, подавляющего

всплеск, решается для дискретных систем, см. [1, 22, 140, 141].

Следует отметить, что величина всплеска в устойчивой системе может

быть очень большой даже для невысокой размерности; при этом обратная

связь, построенная в теореме 18 часто дает значительное подавление всплес-

ка. Так, в [1] приведен пример устойчивой дискретной системы четвертого

порядка, для которой указанная обратная связь уменьшает оценку всплеска

в 10⁴ раз.

Задача о всплеске может решаться и в робастной постановке, когда мат-

рица системы содержит ограниченную по норме неопределенность вида

(49)

A + FΔH,

∥Δ∥ ≤ δ,

где номинальная матрица A ∈ R^n×n устойчива, F ∈ R^n×p и H ∈ R^q×n из-

вестные матрицы, а δ > 0 некоторый уровень неопределенности, не пре-

вышающий радиуса квадратичной устойчивостии матричного семейства (49)

(см. раздел 4). Иными словами, с помощью линейных матричных неравенств

можно исследовать эффекты всплеска при наличии неопределенности как в

начальных условиях, так и в матрице системы, получая верхнюю оценку для

величины

η = max

max

max ∥x(t)∥.

∥Δ∥≤δ

∥x₀∥≤1

t≥0

Технически дело сводится к использованию в теоремах 17 и 18 неравенства

Ляпунова (первое неравенство в (46) или (48)), модифицированного на случай

системы с матрицей вида (49). Такая модификация проводится на основе

леммы Питерсена, см. раздел 4. Приведем результат, полученный в [20].

Теорема 19. Пуст

P решение задачи выпуклой оптимизации

)

⊤

(AP + P A^⊤ + εδ²F F^⊤ P H

min ∥P ∥ при ограниченииях

≺ 0, P ≽ I,

-εI

относительно матричной переменной P = P^⊤ ∈ R^n×n и скалярной перемен-

ной ε.

Тогда для решений системы

x = (A + FΔH)x

при всех ∥x₀∥ ≤ 1 и всех допустимых неопределенностях ∥Δ∥ ≤ δ справед-

лива оценка отклонения

√

η≤

P∥.

В работе [20] также формулируется и решается задача синтеза управления,

минимизирующего величину отклонения робастно против всех неопределен-

ностей ∥Δ∥ ≤ δ. Соответствующая задача для систем дискретного времени

решалась в [1, 21].

Наконец, наряду с неизвестными начальными условиями можно рассмат-

ривать наличие неизвестных ограниченных внешних возмущений и оценивать

сверху величину всплеска в таких условиях. По-существу, такая задача реша-

ется с использованием идеологии инвариантных эллипсоидов, рассмотренной

в разделе 5. Действительно, эллипсоидальная неопределенность в начальных

условиях вида x₀ ∈ E₀, где E₀ эллипсоид с матрицей P₀ ≻ 0 (в частности,

P₀ = I), может быть учтена путем добавления условия P ≽ P₀ к неравен-

ству (36) из теоремы 13 с последующей минимизацией большой полуоси эл-

липсоида с матрицей P . Подробности можно посмотреть в приведенных выше

работах по подавлению внешних возмущений.

7. Разреженное управление

Идеи разреженности широко используются в обработке сигналов и изоб-

ражений, распознавании образов и многих других областях. Одной из первых

областей применения концепции разреженности является ℓ₁-оптимизация,

успешно развиваемая в различных направлениях, таких как compressed

sensing, ℓ₁-фильтрация и др. (см., например, [89, 111, 146]).

Математически задача сводится к минимизации числа ненулевых компо-

нент вектора, определяемого так называемой ℓ₀-(квази)нормой, при выпук-

лых ограничениях. Вместо этой трудной задачи обычно рассматривается ре-

зультат ее овыпукления, получаемый при минимизации ℓ₁-нормы. При этом,

как правило, строгие оценки точности получающегося решения отсутствуют,

однако его качество обычно достаточно высоко. Однако насколько можно

судить, идеи разреженности не нашли широкого применения в управлении;

среди немногочисленных публикаций по построению разреженной обратной

связи можно упомянуть [113, 114], в которых разреженная структура ого-

ворена заранее; особое внимание в этих работах уделено оптимизационным

алгоритмам.

Прозрачная мотивация использования идей разреженности при синтезе

управления предлагается так называемой C³-парадигмой. Она включает в се-

бя триаду Control, Communication, Computation, компоненты которой анали-

зируются с единой точки зрения [95, 103, 116]. В рамках этого подхода умень-

шение числа задействуемых при построении управления состояний системы

естественно трактовать как число сенсоров или измеряющих устройств, чис-

ло используемых управлений связано с числом необходимых управляющих

устройств, а уменьшение числа требуемых выходов системы эквивалентно

минимизации количества информации, передаваемой по каналу управления.

Обсуждаемый далее подход отличается простотой: исходные задачи сво-

дятся к решению маломерных задач полуопределенного программирования,

а для их численного решения могут быть использованы стандартные вы-

числительные средства. Начало этой линии исследований было положено в

публикациях [38, 129].

Пусть X ∈ R^n×p; введем в рассмотрение следующие специальные матрич-

ные нормы:

∑

∥X∥r1 =

max

|x_ij |,

∥X∥c1 =

max

|x_ij |.

1≤j≤p

1≤i≤n

i=1

j=1

Первая из них иногда называется rx-нормой или ℓ_1,∞-нормой; ее основ-

ное применение восстановление строчно-разреженных решений матричных

уравнений [148]; аналогично, r₁-норма восстанавливает столбцово-разрежен-

ные решения.

Итак, обсудим специфику обсуждаемого подхода, который позволяет ре-

гулярным образом строить разреженные регуляторы. Рассмотрим линейную

систему в непрерывном времени

(50)

x = Ax + Bu

с фазовым состоянием x ∈ Rⁿ и управлением u ∈ R^m, так что A ∈ R^n×n,

B ∈ R^n×m, и пара (A,B) управляема. Задача состоит в синтезе разреженного

стабилизирующего управления

u = Kx,

под которым понимается наличие у вектора управления нулевых компонент.

Эта задача эквивалентна нахождению строчно-разреженной матрицы стаби-

лизирующего регулятора K ∈ R^m×n, т.е. имеющей некоторое количество ну-

левых строк.

Понятно, что за исключением вырожденных случаев управляемую систе-

му всегда можно стабилизировать скалярным управлением. Соответственно

оптимальное решение может быть найдено обнулением всех строк матриц ре-

гулятора K, кроме одного. Это означает, что надо перебрать лишь m строк

матрицы, а не их всевозможные комбинации. С другой стороны, подобный

метод “грубой силы” потребует полного комбинаторного перебора, тогда как

обсуждаемый подход гораздо более прост и весьма эффективен.

Теорема 20. Решени

Y задачи полуопределенного программирова-

ния

min ∥Y ∥r1 при ограничениях AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ ≺ 0, P ≻ 0,

относительно матричных переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n и Y ∈ R^m×n опреде-

ляет строчно-разреженный стабилизирующий регулятор

K_sp

P^-1

для системы (50).

Теорема 20 позволяет определить управления, стабилизирующие систему;

эти управления определяются номерами ненулевых строк матрицы K_sp. При

этом, вообще говоря, нельзя гарантировать, что получившееся решение обя-

зательно окажется разреженным, однако ее наличие можно ожидать.

Рассмотрим задачу синтеза линейной обратной связи u = Kx для системы

(51)

x = Ax + u

по неполному вектору состояния x, т.е. использующей минимальное чис-

ло компонент вектора состояния. Легко видеть, что столбцово-разреженная

структура матрицы регулятора приводит к “исключению” компонент вектора

состояния. Таким образом, требуется синтезировать столбцово-разреженный

стабилизирующий регулятор K, т.е. имеющий некоторое количество нулевых

столбцов.

Теорема 21. РешениеQ

Y задачи

min ∥Y ∥c1 при ограничениях A^⊤Q + QA + Y + Y^⊤ ≺ 0, Q ≻ 0,

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n и Y ∈ R^n×n опреде-

ляет столбцово-разреженный регулятор

K_sp =Q-1

реализующий стабилизирующую статическую обратную связь u = K_spx по

неполному вектору состояния системы (51).

Иными словами, определены состояния, достаточные для построения об-

ратной связи; они соответствуют номерам ненулевых столбцов матрицы K_sp.

Заметим, что иногда некоторые компоненты вектора x трудны для изме-

рения. В этом случае вместо c₁-нормы можно воспользоваться взвешенной

c₁-нормой

∑

∥X∥c1,w =

w_j max

|x_ij |, w_j ≥ 0,

1≤i≤m

j=1

где большие веса соответствуют “дорогим” компонентам вектора состояния.

В качестве обобщения полученного результата рассмотрим задачу построе-

ния статической линейной обратной связи по выходу для системы

x = Ax + u,

(52)

y = Cx,

где C ∈ R^l×n, а пара (A, C) управляема. Как известно, для системы (52) суще-

ствует стабилизирующая обратная связь по выходу, т.е. найдется K такое, что

матрица A + KC устойчива. Задача состоит в нахождении стабилизирующей

статической линейной обратной связи по неполному вектору выхода.

Теорема 22. РешениеQ

Y задачи

min ∥Y ∥c1 при ограничениях A^⊤Q + QA + Y C + C^⊤Y^⊤ ≺ 0, Q ≻ 0,

относительно матричных переменных Q = Q^⊤ ∈ R^n×n и Y ∈ R^n×l опреде-

ляет столбцово-разреженный регулятор

K_sp =Q-1

реализующий обратную связь u = K_spy по неполному вектору выхода систе-

мы (52).

В рассмотренных задачах структура системы была фиксирована, т.е. мат-

рицы A, B и C заданы. Предположим теперь, что точное измерение всего

вектора состояния x доступно, и задача состоит в конструировании линей-

ного маломерного выхода y = Cx и построении для него линейной обратной

связи u = Ky. Чтобы решить эту задачу, рассмотрим структуру матрицы

стабилизирующего регулятора по состоянию K_sp для системы (50):

K_sp

P^-1.

Ясно, что, изменив r₁-норму в задании целевой функции в теореме 20 на

c₁-норму, естественно ожидать появления нулевых столбцов в матриц





× × ···

× 0 × 0 ×









P^-1x =×0×0×× × ···

×x.





× 0 × 0 ×

× × ···

Сформируем матрицуK, состоящую из ненулевых столбцов матриц

Y, и

матриц

C,состоящуюизстрокматриц

P^-1 с теми же номерами. При этом

имеем

u=Kx=

Cx=Ky.

В результате приходим к следующему результату.

Теорема 23. Пуст

Y решение задачи

min ∥Y ∥c1 при ограничениях AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ ≺ 0, P ≻ 0,

относительно матричных переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n и Y ∈ R^m×n.

Обозначим черезK матрицу, состоящую из ненулевых столбцов матри-

Y,ачере

C матрицу, состоящую из стро

P^-1 с теми же номерами.

Тогда стабилизирующей обратной связью по маломерному выходу

системы (50) служит

u=Ky.

Действуя аналогичным образом, нетрудно организовать нулевые строки в

регулятореK по построенному выходу системы. Это достигается с помощью

соответствующей r₁-оптимизации и позволит уменьшить число управлений,

достаточное для стабилизации системы.

Теорема 24. Пусть P_r и Y_r решение задачи полуопределенного про-

граммирования

min ∥Y ∥r1 при ограничениях AP + P A^⊤ + BY + Y^⊤B^⊤ ≺ 0, P ≻ 0,

относительно матричных переменных P = P^⊤ ∈ R^n×n и Y ∈ R^m×n, где

матрица Y имеет столбцово-разреженную структуру как решение задачи

из теоремы 23.

Обозначим черезKsp матрицу, состоящую из ненулевых столбцов мат-

рицы Y_r, а через C_r матрицу, состоящую из строк P^-1r с теми же но-

мерами.

Тогда стабилизирующая обратная связь по маломерному выходу

y=C_rx

системы (50) дается как

u=Kspy,

где регуляторKsp строчно-разреженный.

Различные обобщения и приложения описанной выше техники можно най-

ти в работах [13, 121, 136, 149].

К дальнейшим направлениям исследований, прежде всего, следует отнести

иные задачи оптимального управления, такие как H_∞-оптимизация; они так-

же могут быть поставлены и решены в рамках “разреженного” подхода. Эта

же техника (с небольшими модификациями) применима к задачам фильтра-

ции, подавления ограниченных внешних возмущений и другим классическим

задачам теории управления. Кроме того, на основе использования дискрет-

ного неравенства Ляпунова аналогично может быть исследован случай дис-

кретного времени. Наконец, полученные результаты распространимы и на

робастные версии задач, в частности, для системы вида

x = (A + FΔH)x + Bu

с матричной неопределенностью Δ ∈ R^p×q, ограниченной в спектральной нор-

ме ∥Δ∥ ≤ 1, и заданными матрицами F и H соответствующих размерностей.

В завершение раздела заметим, что разреженное управление иногда по-

нимается не в форме обратной связи, а как программное управление, см.

подобнее [122, 132, 134].

8. Некоторые задачи для нелинейных систем

Как уже отмечалось выше, настоящий обзор в основном посвящен технике

ЛМН для линейных систем. Нелинейные проблемы гораздо более сложны и

разнообразны, и авторы не имеют возможности на них остановиться подроб-

но. Ниже будут рассмотрены лишь отдельные задачи для систем, в том или

ином смысле близких к линейным.

8.1. Абсолютная устойчивость

Как уже отмечалось, одна из первых постановок задач о робастной устой-

чивости для нелинейных систем связана с идеями абсолютной устойчивости.

Рассмотрим нелинейную динамическую систему

x = Ax + bϕ(σ),

(53)

σ = c^⊤x,

где A постоянная матрица, b, c постоянные вектор-столбцы, а ϕ(σ)

вектор-функция скалярной переменной σ. Проверка устойчивости систе-

мы (53) в случае секторных ограничений

ϕ(σ)

ϕ(0) = 0,

0≤

≤ k, σ = 0,

накладываемых на нелинейность ϕ, приводит к проблеме абсолютной устой-

чивости, восходящей к классическим работам А.И. Лурье и В.Н. Постнико-

ва [29], М.А. Айзермана и Ф.Р. Гантмахера [2], Е.С. Пятницкого с соавтора-

ми [42, 44], В.М. Попова [41]. В этих работах использовалась техника функций

Ляпунова не только квадратичных, но и типа квадратичная функция плюс

интеграл от нелинейности. Систематическое использование ЛМН-техники

применительно к подобным задачам началось с работ В.А. Якубовича [61, 62].

C тех пор эта тематика активно развивалась; не имея возможности на этом

остановиться, отсылаем читателя к работам [14, 19, 84, 108, 109] и цитируе-

мым в них исследованиям. Отметим также публикации [43, 45, 46], посвящен-

ные численным методам построения функций Ляпунова в задаче абсолютной

устойчивости.

8.2. Ограниченные внешние возмущения

Остановимся прежде всего на проблеме влияния ограниченных внешних

возмущений на нелинейные системы, близкие к линейным.

Рассмотрим нелинейную стационарную динамическую систему в непре-

рывном времени

x = Ax + Φϕ(x) + Dw, x(0) = 0,

(54)

z = Cx,

где A ∈ R^n×n, Φ ∈ R^n×k, D ∈ R^n×m, C ∈ R^l×n, x(t) ∈ Rⁿ состояние системы,

z(t) ∈ R^l выход системы, w(t) ∈ R^m внешнее возмущение, ограниченное

в каждый момент времени:

(55)

∥w(t)∥ ≤ 1 для всех t ≥ 0,

а векторная функция ϕ: Rⁿ → R^k удовлетворяет ограничению

(56)

∥ϕ(x)∥² ≤ µ₀ + µ₁∥x∥² для всех x ∈ Rⁿ

с заданными параметрами µ₀, µ₁ ≥ 0 (отметим, что при µ₀ = 0 появляется

секторная нелинейность). Будем полагать, что матрица A гурвицева, пара

(A, D) управляема, C матрица полного ранга.

Для этой ситуации удается выписать инвариантный эллипсоид, используя

ту же технику, что и для линейного случая. Достаточное условие инвари-

антности эллипсоида для системы (54) может быть установлено в терминах

ЛМН и полуопределенного программирования, см. [39]. Другие результаты в

этом направлении содержатся в [65, 94, 133].

Сходным образом решается и задача синтеза. Рассмотрим непрерывную

систему управления

x = Ax + Φϕ(x) + B₁u + Dw, x(0) = 0,

z = Cx + B₂u,

где A ∈ R^n×n, Φ ∈ R^n×k, B₁ ∈ R^n×p, B₂ ∈ R^n×l, D ∈ R^n×m, C ∈ R^l×n, x(t) ∈

∈ Rⁿ состояние системы, z(t) ∈ R^l

регулируемый выход, u(t) ∈ R^p

управление, w(t) ∈ R^m внешнее возмущение, удовлетворяющее ограниче-

нию (55), векторная функция ϕ: Rⁿ → R^k удовлетворяет ограничению (56);

пара (A, B₁) управляема, пара (A, C) наблюдаема. Поиск регулятора K в

форме статической линейной обратной связи по состоянию u = Kx, стабили-

зирующего замкнутую систему и, в смысле минимальности ограничивающего

эллипсоида для выхода z, подавляющего воздействие внешних возмущений,

сводится к задаче полуопределенного программирования и одномерной ми-

нимизации [39].

Методам синтеза управления для нелинейных систем, также использую-

щим линейные матричные неравенства, посвящена работа [30].

8.3. Мультипликативные возмущения

Перейдем к системам с мультипликативным возмущением. Во многих за-

дачах уровень внешних возмущений может зависеть от состояния системы.

В частности, нередка ситуация, когда внешние возмущения растут не быст-

рее, чем линейная функция от вектора состояния системы.

Например, взглянем с несколько иной, чем прежде, точки зрения на систе-

мы с ограниченными в норме неопределенностями и ограниченными внешни-

ми возмущениями:

(

)

(57)

A + ΔA(t)

x + Dw(t),

где

∥ΔA(t)∥ ≤ δ,

∥w(t)∥ ≤ 1 для всех t ≥ 0.

Обратим внимание, что, в отличие от робастных постановок задач (см., на-

пример, [49, 131]), здесь предполагается, что матричная неопределенность

зависит от времени t.

Будем трактовать величину ΔA(t)x + Dw(t) как внешнее возмущение, ко-

торое уже будет зависеть от состояния системы. При этом, очевидно, скорость

роста ее нормы не превосходит скорости роста нормы состояния системы.

Обсужденные выше подходы, основанные на технике линейных матрич-

ных неравенств, могут быть распространены на динамические системы с

внешними возмущениями указанной структуры.

Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему в непрерыв-

ном времени

x = Ax + Dw, x(0) = 0,

(58)

z = Cx,

где A ∈ R^n×n, D ∈ R^n×m, C ∈ R^l×n, x(t) ∈ Rⁿ состояние системы, z(t) ∈

∈ R^l выход системы, w(t) ∈ R^m внешнее возмущение, удовлетворяющее

ограничению

∥w(t)∥² ≤ γ₀ + γ₁∥x(t)∥² для всех t ≥ 0

с известными параметрами γ₀ ≥ 0 и γ₁ > 0 (в частности, для системы (57)

имеем γ₀ = ∥D∥, γ₁ = δ). Будем полагать, что матрица A гурвицева, пара

(A, D) управляема, C матрица полного ранга.

В отличие от предыдущих результатов этого раздела, условия инвариант-

ности эллипсоида для системы (58) являются необходимыми и достаточными.

Аналогичным образом решается и задача синтеза для системы с мультипли-

кативным возмущением [39].

Рассмотренный подход может быть применен и к другим задачам управ-

ления, связанным с подавлением внешних возмущений, в частности при

синтезе обратной связи по измеряемому выходу, см. подробнее [37], а также

на их различные робастные постановки.

8.4. Билинейные системы

Задачам, связанным со стабилизацией билинейных систем управления, по-

священо множество работ; большая их часть была инициирована появлением

монографии [119]. Среди разнообразных подходов к решению соответствую-

щих задач отметим поиск линейных преобразований, переводящих билиней-

ную систему в управляемую линейную [87]; вопросам стабилизации билиней-

ных систем управления с помощью релейных управлений посвящена публи-

кация [17]; в работе [144] для стабилизации билинейных систем используются

квадратичные функции Ляпунова.

В [110] на основе ЛМН-техники и квадратичных функций Ляпунова для

билинейной системы управления строился так называемый эллипсоид стаби-

лизируемости такой, что траектории замкнутой системы, начинаясь внутри

эллипсоида, асимптотически стремятся к нулю. В дальнейшем это позволило

эффективно конструировать невыпуклые области стабилизируемости били-

нейных систем управления.

Публикации [51, 52] развивают этот подход: в них рассматривается били-

нейная система управления, подверженная воздействию произвольных огра-

ниченных внешних возмущений, и вводится концепция эллипсоида стабили-

зируемости, обладающего тем свойством, что траектории замкнутой систе-

мы, начинаясь внутри эллипсоида, его не покидают (они будут входить во

множество достижимости или стремиться к точке на его границе). В пуб-

ликации [53] рассматривается билинейная система управления, подвержен-

ная воздействию произвольных ограниченных внешних возмущений и содер-

жащая структурированную матричную неопределенность. В статье ставят-

ся и решаются задачи робастного управления билинейными системами при

внешних возмущениях; в частности, предложен подход к конструктивному

построению эллипсоида робастной стабилизируемости и области робастной

стабилизируемости.

9. Заключение

В обзоре рассмотрены основные методы использования линейных матрич-

ных неравенств для учета разного рода неопределенностей в задачах управ-

ления. Видно, что это очень удобный и универсальный аппарат, позволяющий

охватить многие задачи анализа и синтеза. Данный обзор ограничивается в

основном линейными системами; нелинейный случай затронут лишь кратко;

рассмотрены отнюдь не все виды неопределенностей. Обзор литературы так-

же не претендует на полноту; все богатство обозначенной темы невозможно

исчерпать в одном обзоре.

Авторы благодарны рецензентам за полезные замечания и библиографи-

ческие указания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Агиевич В.Н., Парсегов С.Э., Щербаков П.С. Верхние оценки всплеска в ли-

нейных дискретных системах // АиТ. 2018. № 11. С. 32-46.

Ahiyevich V.N., Parsegov S.E., Shcherbakov P.S. Upper Bounds on Peaks in

Discrete-Time Linear Systems // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 11.

P. 1976-1988.

Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых си-

стем. М.: АН СССР, 1963.

Афанасьев В.Н. Управление неопределенными динамическими объектами. М.:

Физматлит, 2008.

Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных

матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.

Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез оптимальных линейно-квадратичных зако-

нов управления на основе линейных матричных неравенств // АиТ. 2007. № 3.

С. 3-18.

Balandin D.V., Kogan M.M. Synthesis of Linear Quadratic Control Laws on Ba-

sis of Linear Matrix Inequalities // Autom. Remote Control. 2007. V. 68. No. 3.

P. 371-385.

Баландин Д.В., Коган М.М. Линейно-квадратичные и γ-оптимальные законы

управления по выходу // АиТ. 2008. № 6. С. 5-14.

Balandin D.V., Kogan M.M. Linear-Quadratic and γ-Optimal Output Control

Laws // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 6. P. 911-919.

Баландин Д.В., Коган М.М. Метод функций Ляпунова в синтезе законов управ-

ления при интегральном и фазовых ограничениях // Дифференц. уравнения.

2009. Т. 45. № 5. С. 655-664.

Balandin D.V., Kogan M.M. Lyapunov Function Method for Control Law Synthesis

under One Integral and Several Phase Constraints // Different. Equat. 2009. V. 45.

No. 5. P. 670-679.

Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H_∞-оптимальное управление как ком-

промисс между H_∞-оптимальным и γ-оптимальным управлениями // АиТ.

2010. № 6. С. 20-38.

Balandin D.V., Kogan M.M. Generalized H_∞-Optimal Control as a Trade-Off Be-

tween the H_∞-Optimal and γ-Optimal Controls // Autom. Remote Control. 2010.

V. 71. No. 6. P. 993-1010.

Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез субоптимального регулятора по выходу

для гашения ограниченных возмущений // АиТ. 2011. № 4. P. 3-10.

Balandin D.V., Kogan M.M. Synthesis of a Suboptimal Controller by Output for

Dampening Limited Disturbances // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 4.

P. 677-683.

10.

Баландин Д.В., Коган М.М., Кривдина Л.Н., Федюков А.А. Синтез обобщен-

ного H_∞-оптимального управления в дискретном времени на конечном и бес-

конечном интервалах // АиТ. 2014. № 1. С. 3-22.

Balandin D.V., Kogan M.M., Krivdina L.N., Fedyukov A.V. Design of Generalized

Discrete-Time H_∞-Optimal Control Over Finite and Infinite Intervals // Autom.

Remote Control. 2014. V. 75. No. 1. P. 1-17.

11.

Баландин Д.В., Коган М.М. Оптимальное по Парето обобщенное H₂-управле-

ние и задачи виброзащиты // АиТ. 2017. № 8. С. 76-90.

Balandin D.V., Kogan M.M. Pareto Optimal Generalized H₂-Control and Vibro-

protection Problems // Autom. Remote Control. 2017. V. 78. No. 8. P. 1417-1429.

12.

Баландин Д.В., Коган М.М. Многокритериальные робастные обобщенные H₂

и γ₀ управления с приложением к стабилизации ротора в электромагнитных

подшипниках // АиТ. 2018. № 6. С. 49-68.

Balandin D.V., Kogan M.M. Multicriteria Robust Generalized H₂ and γ₀ Con-

trollers with Application to Stabilization of a Rotor in Electromagnetic Bearings //

Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 6. P. 996-1012.

13.

Быков А.В., Щербаков П.С. Синтез разреженной обратной связи в линейных

дискретных системах // АиТ. 2018. № 7. С. 3-21.

Bykov A.V., Shcherbakov P.S. Sparse Feedback Design in Discrete-Time Linear

Systems // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 7. P. 1175-1190.

14.

Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с

неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

15.

Гусев С.В., Лихтарников А.Л. Очерк истории леммы Калмана-Попова-Яку-

бовича и S-процедуры // АиТ. 2006. № 10. С. 77-121.

Gusev S.V., Likhtarnikov A.L. Kalman-Popov-Yakubovich Lemma and the S-Pro-

cedure: A Historical Essay // Autom. Remote Control. 2006. V. 67. No. 11.

P. 1768-1810.

16.

Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: Управление при

неопределенности. М.: Наука, 1997.

17.

Емельянов С.В., Крищенко А.П. Стабилизируемость билинейных систем кано-

нического вида // ДАН. 2012. Т. 445. № 6. С. 636-639.

Emel’yanov S.V., Krishchenko A.P. Stabilizability of Bilinear Systems of Canonical

Form // Dokl. Math. 2012. V. 86. P. 591-594.

18.

Каменецкий В.А., Пятницкий Е.С. Градиентный метод построения функций

Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // АиТ. 1987. № 1. C. 3-12.

Kamenetskii V.A., Pyatnitskii E.S. Gradient Method of Constructing Lyapunov

Functions in Problems of Absolute Stability // Autom. Remote Control. 1987. V. 48.

No. 1. Part 1. P. 1-9.

19.

Каменецкий В.А. Системы с переключениями, системы Лурье, абсолютная

устойчивость, проблема Айзермана // АиТ. 2019. № 8. С. 9-28.

Kamenetskiy V.A. Switched Systems, Lur’e Systems, Absolute Stability, Aizerman

Problem // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 8. P. 1375-1389.

20.

Квинто Я.И., Хлебников М.В. Верхние оценки больших отклонений в линей-

ных системах при наличии неопределенности // Проблемы управления. 2018.

№ 3. С. 2-7.

Kvinto Y.I., Khlebnikov M.V. Upper Bounds on Large Deviations in Linear Systems

in the Presence of Uncertainty // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 5.

P. 927-935.

21.

Квинто Я.И., Хлебников М.В. Верхние границы максимального отклонения

траектории в линейных дискретных системах: робастная постановка // Управ-

ление большими системами. 2019. Вып. 77. С. 70-84.

22.

Коган М.М., Кривдина Л.Н. Синтез многоцелевых линейных законов управ-

ления дискретными объектами при интегральных и фазовых ограничениях //

АиТ. 2011. № 7. С. 83-95.

Kogan M.M., Krivdina L.N. Synthesis of Multipurpose Linear Control Laws of

Discrete Objects under Integral and Phase Constraints // Autom. Remote Control.

2011. V. 72. No. 7. P. 1427-1439.

23.

Коган М.М. Обобщенная H_∞-норма в анализе и синтезе робастных систем

управления // Известия РАН. ТиСУ. 2015. № 6. С. 3-16.

24.

Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с

неопределенностью. М.: Физматлит, 2007.

25.

Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме га-

рантированного результата. М.: Наука, 1985.

26.

Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные ре-

зультаты в задачах управления и идентификации. Киев: Наук. думка, 2006.

27.

Кунцевич В.М., Пшеничный Б.Н. Минимальные инвариантные множества ди-

намических систем с ограниченными возмущениями // Кибернетика и систем-

ный анализ. 1996. № 1. С. 74-81.

28.

Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.:

Наука, 1977.

29.

Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем //

Прикладная математика и механика. 1944. № 8. Вып. 3. С. 246-248.

30.

Маликов А.И. Оценивание состояния и стабилизация дискретных систем

с неопределенными нелинейностями и возмущениями // АиТ. 2019. № 11.

С. 59-82.

Malikov A.I. State Estimation and Stabilization of Discrete-Time Systems with

Uncertain Nonlinearities and Disturbances // Autom. Remote Control. 2019. V. 80.

No. 11. P. 1976-1995.

31.

Мейлахс А.М. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях

неопределенности // АиТ. 1975. № 2. C. 182-184.

Meilakhs A.M. Stabilization of Linear Controlled Systems under Uncertainty Con-

ditions // Autom. Remote Control. 1975. V. 36. No. 2. 349-351.

32.

Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних воз-

мущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // АиТ. 2007. № 3.

С. 106-125.

Nazin S.A., Polyak B.T., Topunov M.V. Rejection of Bounded Exogenous Distur-

bances by the Method of Invariant Ellipsoids // Autom. Remote Control. 2007.

V. 68. No. 3. P. 467-486.

33.

Поляк Б.Т., Топунов М.В. Фильтрация при неслучайных возмущениях: метод

инвариантных эллипсоидов // ДАН. 2008. Т. 418. № 6. С. 749-753.

Polyak B.T., Topunov M.V. Filtering under Nonrandom Disturbances: The Method

of Invariant Ellipsoids // Dokl. Math. 2008. V. 77. No. 1. P. 158-162.

34.

Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений:

управление по выходу // АиТ. 2008. № 5. С. 72-90.

Polyak B.T., Topunov M.V. Suppression of Bounded Exogenous Disturbances: Out-

put Feedback // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 5. P. 801-818.

35.

Поляк Б.Т., Тремба А.А., Хлебников М.В., Щербаков П.С., Смирнов Г.В. Боль-

шие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях //

АиТ. 2015. № 6. С. 18-41.

Polyak B.T., Tremba A.A, Khlebnikov M.V., et al. Large Deviations in Linear Con-

trol Systems with Nonzero Initial Conditions // Autom. Remote Control. 2016.

V. 76. No. 6. P. 957-976.

36.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автома-

тического управления. М.: ЛЕНАНД, 2019.

37.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными система-

ми при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.:

ЛЕНАНД, 2014.

38.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Разреженная обратная связь в

линейных системах управления // АиТ. 2014. № 12. С. 13-27.

Polyak B.T., Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. Sparse Feedback in Linear Control

Systems // Autom. Remote Control. 2014. V. 75. No. 12. P. 2099-2111.

39.

Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Нелинейные системы с ограни-

ченными или мультипликативными возмущениями / Проблемы устойчивости

и управления. Сб. научн. статей, посв. 80-летию акад. В.М. Матросова. М.:

Физматлит, 2013. C. 271-299.

40.

Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука,

2002.

41.

Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического

регулирования // АиТ. 1961. № 8. С. 961-979.

42.

Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем ав-

томатического регулирования (обзор) // АиТ. 1968. № 6. C. 5-36.

Pyatnitskii Ye.S. New Research on Absolute Stability of Automatic Control Systems

(review) // Autom. Remote Control. 1968. V. 29. No. 6. P. 855-881.

43.

Пятницкий Е.С., Скородинский В.И. Численные методы построения функций

Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных проце-

дур // АиТ. 1983. № 11. С. 52-63.

Pyatnitskii E.S., Skorodinskii V.I. Numerical Methods of Designing Lyapunov Func-

tions and Absolute Stability Criteria as Numerical Procedures // Autom. Remote

Control. 1983. V. 44. No. 11. P. 1427-1437.

44.

Пятницкий Е.С. Избранные труды. Теория управления. Т. 1-3. М.: Наука,

2004.

45.

Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления с

несколькими нелинейными стационарными элементами // АиТ. 1987. № 5.

С. 66-74.

Rapoport L.B. Absolute Stability of Control Systems with Several Nonlinear Sta-

tionary Elements // Autom. Remote Control. 1987. V. 48. No. 5. Part 1. P. 623-630.

46.

Рапопорт Л.Б. Расширение S-процедуры и анализ многомерных систем управ-

ления с помощью линейных матричных неравенств // АиТ. 2005. № 1. С. 37-48.

Rapoport L.B. Extension of the S-Procedure and Analysis of the Multidimensional

Control Systems Using Linear Matrix Inequalities // Autom. Remote Control. 2005.

V. 66. No. 1. P. 31-42.

47.

Рапопорт Л.Б. Полуопределенная релаксация и новые условия знакоопреде-

ленности квадратичной формы при квадратичных ограничениях // АиТ. 2018.

№ 11. С. 150-158.

Rapoport L.B. Semidefinite Relaxation and New Conditions for Sign-Definiteness

of the Quadratic Form Under Quadratic Constraints // Autom. Remote Control.

2018. V. 79. No. 11. P. 2073-2079.

48.

Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными

ресурсами. М.: Наука, 1974.

49.

Хлебников М.В. Робастная фильтрация при неслучайных возмущениях: метод

инвариантных эллипсоидов // АиТ. 2009. № 1. С. 147-161.

Khlebnikov M.V. Robust Filtering under Nonrandom Disturbances: The Invariant

Ellipsoid Approach // Autom. Remote Control. 2009. V. 70. No. 1. P. 133-146.

50.

Хлебников М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: линейный

динамический регулятор по выходу // АиТ. 2011. № 4. C. 27-42.

Khlebnikov M.V. Suppression of Bounded Exogenous Disturbances: A Linear Dy-

namic Output Controller // Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 4. P. 699-712.

51.

Хлебников М.В. Оптимизация билинейной системы управления при внешних

возмущениях: I // АиТ. 2019. № 2. С. 46-63.

Khlebnikov M.V. Optimization of Bilinear Control Systems Subjected to Exogenous

Disturbances: I // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 2. P. 234-249.

52.

Хлебников М.В. Оптимизация билинейной системы управления при внешних

возмущениях: II // АиТ. 2019. № 8. С. 29-43.

Khlebnikov M.V. Optimization of Bilinear Control Systems Subjected to Exogenous

Disturbances: II // Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 8. P. 1390-1402.

53.

Хлебников М.В. Оптимизация билинейной системы управления при внешних

возмущениях: III // АиТ. 2020. № 6. С. 47-61.

Khlebnikov M.V. Optimization of Bilinear Control Systems Subjected to Exogenous

Disturbances. III // Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 6. P. 1003-1016.

54.

Хлебников М.В., Поляк Б.Т., Кунцевич В.М. Оптимизация линейных систем

при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсои-

дов) // АиТ. 2011. № 11. С. 9-59.

Khlebnikov M.V., Polyak B.T., Kuntsevich V.M. Optimization of Linear Systems

Subject to Bounded Exogenous Disturbances: The Invariant Ellipsoid Technique //

Autom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 11. P. 2227-2275.

55.

Хлебников М.В., Щербаков П.С. Лемма Питерсена о матричной знакоопреде-

ленности и ее обобщения // АиТ. 2008. № 11. С. 125-139.

Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. Petersen’s Lemma on Matrix Uncertainty and

Its Generalization // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 11. P. 1932-1945.

56.

Хлебников М.В., Щербаков П.С. Инвариантность и нехрупкость при подавле-

нии внешних возмущений // АиТ. 2015. № 5. С. 175-190.

Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. Invariance and Nonfragility in the Rejection of

Exogenous Disturbances // Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 5. P. 872-884.

57.

Хлебников М.В., Щербаков П.С. Задача линейно-квадратичного управления.

II // АиТ. 2019. № 10. С. 115-131.

Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. Linear Quadratic Regulator: II // Autom. Re-

mote Control. 2019. V. 80. No. 10. P. 1847-1860.

58.

Хлебников М.В., Щербаков П.С., Честнов В.Н. Задача линейно-квадратичного

управления. I // АиТ. 2015. № 12. С. 65-79.

Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S., Chestnov V.N. Linear-Quadratic Regulator.

I // Autom. Remote Control. 2015. V. 76. No. 12. P. 2143-2155.

59.

Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.:

Наука, 1988.

60.

Чурилов А.Н., Гессен А.В. Исследование линейных матричных неравенств. Пу-

теводитель по программным пакетам. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2004.

61.

Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в

теории автоматического регулирования // ДАН СССР. 1962. Т. 143. № 6.

С. 1304-1307.

Yakubovich V.A. Solution of Certain Matrix Inequalities Encountered in Nonlinear

Control Theory // Sov. Math. Dokl. 1964. V. 5. P. 652-656.

62.

Якубович В.А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелиней-

ных регулируемых систем. I // AиТ. 1964. № 7. С. 1017-1029.

63.

Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журн.

1973. Т. 14. № 2. С. 384-419.

64.

Abedor J., Nagpal K., Poolla K. A Linear Matrix Inequality Approach to Peak-to-

Peak Gain Minimization // Int. J. Robust Nonlin. Control. 1996. V. 6. P. 899-927.

65.

Amato F., Cosentino C., Merola A. On the Region of Attraction of Nonlinear

Quadratic Systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 2119-2123.

66.

Anderson B.D.O., Moore J.B. Linear Optimal Control. N.Y.: Prentice-Hall, 1971.

67.

Arzelier D., Peaucelle D., Henrion D. Some Notes on Standard LMI Solvers. URL

http://homepages.laas.fr/publis/prague102.pdf (2018).

68.

Balandin D.V., Kogan M.M. LMI-based H_∞-Optimal Control with Transients //

Int. J. Control. 2010. V. 83. Iss. 8. P. 1664-1673.

69.

Balandin D.V., Kogan M.M. Multi-Objective Generalized H₂ Control // Automat-

ica. 2019. V. 99. P. 317-322.

70.

Balandin D.V., Kogan M.M. Multi-Objective Robust Generalised H₂ Control //

Int. J. Syst. Sci. 2020. V. 51. Iss. 10. P. 1873-1882.

71.

Barmish B.R., Corless M., Leitman G. A New Class of Stabilizing Controllers for

Uncertain Dynamical Systems // SIAM J. Control Optim. 1983. V. 21. No. 2.

P. 246-255.

72.

Barmish B.R. Necessary and Sufficient Conditions for Quadratic Stabilizability of

an Uncertain System // J. Optim. Theory Appl. 1985. V. 46. No. 4. P. 399-408.

73.

Barmish B.R. New Tools for Robustness of Linear Systems. MacMillan, 1993.

74.

Bašar T., Bernhard P. H_∞-Optimal Control and Related Minimax Design Prob-

lems: A Dynamic Game Approach. Boston: Birkhäuser, 1995.

75.

Bellman R. Notes on Matrix Theory. X. A Problem in Control // Quarterly of

Appl. Math. 1957. V. 14. No. 4. P. 417-419.

76.

Bernhard P. Survey of Linear Quadratic Robust Control // Macroeconom. Dynam.

2002. No. 6. P. 19-39.

77.

Bernussou J., Peres P.L.D., Geromel J.C. A Linear Programming Oriented Proce-

dure for Quadratic Stabilization of Uncertain Systems // Syst. Control Lett. 1989.

V. 13. P. 65-72.

78.

Bertsekas D.P., Rhodes I.B. On the Minimax Reachability of Target Sets and Target

Tubes // Automatica. 1971. V. 7. P. 233-247.

79.

Bertsekas D.P., Rhodes I.B. Recursive State Estimation for a Set-Membership De-

scription of Uncertainty // IEEE Trans. Autom. Control. 1971. V. 16. P. 117-128.

80.

Blanchini F. Set Invariance in Control // Automatica. 1999. V. 35. No. 11. P. 1747-

1767.

81.

Blanchini F., Miani S. Set-Theoretic Methods in Control. Birkhäuser, 2008.

82.

Blanchini F., Sznaier M. Persistent Disturbance Rejection via Static State Feed-

back // IEEE Trans. Autom. Control. 1995. V. 40. P. 1127-1131.

83.

Borchers B. CSDP, a C Library for Semidefinite Programming // Optim. Methods

Software. 1999. V. 11. No. 1. P. 613-623.

84.

Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., et al. Linear Matrix Inequalities in System and

Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

85.

Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge: Cambridge Univ.

Press, 2004.

86.

Caverly R.J., Forbes J.R. LMI Properties and Applications in Systems, Stability,

and Control Theory // arXiv:1903.08599v2 [cs.SY] 12 Jun 2019

87.

Čelikovský S. On the Stabilization of the Homogeneous Bilinear Systems // Syst.

Control Lett. 1993. V. 21. No. 6. P. 503-510.

88.

Chernousko F., Polyak B. (eds.) Special Issue on Set-Membership Modelling of Un-

certainties in Dynamical Systems // Math. Comp. Modelling Dynam. Syst. 2005.

V. 11. Iss. 2. P. 123-124.

89.

Donoho D.L. Compressed Sensing // IEEE Trans. Inform. Theory. 2006. V. 52.

P. 1289-1306.

90.

Douglas J., Athans M. Robust Linear Quadratic Designs with Real Parameter Un-

certainty // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V. 39. No. 1. P. 107-111.

91.

Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-Space Solution to

Standard H² and H^∞ Control Problem // IEEE Trans. Autom. Control. 1989.

V. 34. No. 8. P. 831-847.

92.

Ebihara Y., Peaucelle D., Arzelier D. S-Variable Approach to LMI-Based Robust

Control. London: Springer, 2014.

93.

Elia N., Dahleh M.A. Minimization of the Worst-Case Peak to Peak gain via Dy-

namic Programming: State Feedback Case // IEEE Trans. Autom. Control. 2000.

V. 45. P. 687-701.

94.

Fiacchini M., Alamo T., Camacho E.F. On the Computation of Convex Robust

Control Invariant Sets for Nonlinear Systems // Automatica. 2010. V. 46. P. 1334-

1338.

95.

Fradkov A.L. Cybernetical Physics: From Control of Chaos to Quantum Control.

Springer, 2007.

96.

Francis B.A. A Course in H_∞ Control Theory // Lecture Notes in Control and

Information Sciences. V. 88. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

97.

Fu M., Dasgupta S. Parametric Lyapunov Functions for Uncertain Systems: The

Multiplier Approach // Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Control.

SIAM, 2000. P. 95-108.

98.

Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to H_∞ Control //

Int. J. Robust Nonlinear Control. 1994. V. 4. No. 4. P. 421-448.

99.

Gahinet P., Apkarian P., Chilali M., et al. Affine Parameter-Dependent Lyapunov

Functions and Real Parametric Uncertainty // IEEE Trans. Automat Control. 1996.

V. 41. No. 3. P. 436-442.

100.

Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., et al. LMI Control Toolbox For Use with

Matlab. Natick: The MathWorks Inc., 1995.

101.

El Ghaoui L., Niculescu S. Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Con-

trol. SIAM, 2000.

102.

Glover D., Schweppe F. Control of Linear Dynamic Systems with Set Constrained

Disturbances // IEEE Trans. Autom. Control. 1971. V. 16. P. 411-423.

103.

Graham S., Kumar P.R. The Convergence of Control, Communication, and Com-

putation / M. Conti, S. Giordano, E. Gregori, S. Olariu, eds. Personal Wireless

Communications, Lecture Notes in Computer Science. V. 2775. Berlin: Springer-

Verlag, 2003. P. 458-475.

104.

Grant M., Boyd S. CVX: Matlab Software for Disciplined Convex Programming,

version 2.1. URL http://cvxr.com/cvx

105.

Hinrichsen D., Plischke E., Wurth F. State Feedback Stabilization with Guaranteed

Transient Bounds // Proc. 15th Int. Symp. Math. Theory Networks & Syst. South

Bend, USA, August 12-16, 2002.

106.

Hollot C.V, Barmish B.R. Optimal Quadratic Stabilizability of Uncertain Linear

Systems // Proc. 18th Allerton Conf. Commun. Control and Computing. Monticel-

lo, USA, 1980. P. 697-706.

107.

Hosoe Y., Peaucelle D. S-Variable Approach to Robust Stabilization State Feedback

Synthesis for Systems Characterized by Random Polytopes // Proc. 2016 Eur.

Control Conf. (ECC 2016). Aalborg, Denmark, June 29 - July 1, 2016. P. 2023-

2028.

108.

Isidori A. Nonlinear Control Systems. London: Springer-Verlag, 1995.

109.

Khalil Н.К. Nonlinear Systems. N.Y.: Prentice Hall, 2002.

110.

Khlebnikov M.V. Quadratic Stabilization of Bilinear Control Systems // Proc. 14

Eur. Control Conf. (ECC’15). Linz, Austria, July 15-17, 2015. IEEE Catalog Num-

ber(USB): CFP1590U-USB. P. 160-164.

111.

Kim S.-J., Koh K., Boyd S., Gorinevsky D. ℓ₁ Trend Filtering // SIAM Rev. 2009.

V. 51. No. 2. P. 339-360.

112.

Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston:

Birkhäuser, 1997.

113.

Lin F., Fardad M., Jovanović M. Sparse Feedback Synthesis via the Slternating Di-

rection Dethod of Multipliers // Proc. 2012 Amer. Control Conf. Montreal, Canada,

June 25-27, 2012. P. 4765-4770.

114.

Lin F., Fardad M., Jovanović M. Augmented Lagrangian Approach to Design of

Structured Optimal State Feedback Gains // IEEE Trans. Autom. Control. 2011.

V. 56. No. 12. P. 2923-2929.

115.

Löfberg J. YALMIP: Software for Solving Sonvex (and Nonconvex) Optimization

Problems. URL http://control.ee.ethz.ch/~joloef/wiki/pmwiki.php

116.

Matveev A.S., Savkin A.V. Estimation and Control over Communication Networks.

Boston: Birkhäuzer, 2008.

117.

Mittelmann H.D. An Independent Benchmarking of SDP and SOCP Solvers //

Math. Progr. 2002. V. 95. No. 2. P. 407-430.

118.

Mittelmann H.D. Decision Tree for Optimization Software. URL http://plato.

la.asu.edu/bench.html

119.

Mohler R.R. Bilinear Control Processes. N.Y.: Academic Press, 1973.

120.

The MOSEK Optimization Software. URL http://www.mosek.com

121.

Nagahara M., Chatterjee D., Challapalli N., Vidyasagar M. CLOT Norm Minimi-

zation for Continuous Hands-Off Control // Automatica. 2020. V. 113. Art. 108679.

122.

Nagahara M., Quevedo D.E., Nesic D. Maximum Hands-Off Control: A Paradigm

of Control Effort Minimization // IEEE Trans. Autom. Control. 2016. V. 61. No. 3.

P. 735-747.

123.

Nesterov Yu., Nemirovsky A. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Pro-

gramming. Philadelphia: SIAM, 1994.

124.

De Oliveira M.C., Bernussou J., Geromel J.C. A New Discrete-Time Robust Sta-

bility Condition // Syst. Control Lett. 1999. V. 37 No. 4. P. 261-265.

125.

Peaucelle D., Ebihara Y. Affine Versus Multi-Affine Models for S-Variable LMI

Conditions // IFAC-PapersOnLine. 2018. V. 51. No. 25. P. 453-458.

126.

Petersen I.R. A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Systems // Syst.

Control Lett. 1987. V. 8. P. 351-357.

127.

Petersen I.R., McFarlane D.C. Optimal Guaranteed Cost Control and Filtering

for Uncertain Linear Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V. 39. No. 9.

P. 1971-1977.

128.

Petersen I., Tempo R. Robust Control of Uncertain Systems: Classical Results and

Recent Developments // Automatica. 2014. V. 50. P. 1315-1335.

129.

Polyak B.T., Khlebnikov M.V., Shcherbakov P.S. An LMI Approach to Structured

Sparse Feedback Design in Linear Control Systems // Proc. 12 Eur. Control Conf.

(ECC’13). Zürich, Switzerland, July 17-19, 2013. P. 833-838.

130.

Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Stability and Performance of Complex Systems

Affected by Parametric Uncertainty / Encyclopedia Syst. Control. Second ed.

Springer, 2020.

131.

Polyak B.T., Shcherbakov P.S., Topunov M.V. Invariant Ellipsoids Epproach to

Robust Rejection of Persistent Disturbances // Proc. 17th IFAC World Congr.

Seoul, Korea, July 6-11, 2008. P. 3976-3981.

132.

Polyak B., Tremba A. Sparse Solutions of Optimal Control via Newton Method for

Under-Determined Systems // J. Global Optim. URL https://doi.org/10.1007/

s10898-019-00784-z, published on-line May 24, 2019.

133.

Poznyak A., Polyakov A., Azhmyakov V. Attractive Ellipsoids in Robust Control.

Springer, 2014.

134.

Rao C.V. Sparsity of Linear Discrete-Time Optimal Control Problems with ℓ₁ Ob-

jectives // IEEE Trans. Autom. Control. 2018. V. 63. No. 2. P. 513-517.

135.

Rodrigues L.A., Oliveira R.C.L.F., Camino J.F. Parameterized LMIs for Robust

H₂ and H_∞ State Feedback Control of Continuous-Time Polytopic Systems // Int.

J. Robust Nonlinear Control. 2018. V. 28. Iss. 3. P. 940-952.

136.

Romao L., Margellos K., Papachristodoulou A. Distributed Actuator Selection:

Achieving Optimality via a Primal-Dual Algorithm // IEEE Control Syst. Lett.

2018. V. 2. No. 4. P. 779-784.

137.

Safonov M.G. Stability and Robustness of Multivariable Feedback Systems. Cam-

bridge: MIT Press, 1980.

138.

Scherer C., Weiland S. Linear Matrix Inequalities in Control. URL https://www.

imng.uni-stuttgart.de/mst/files/LectureNotes.pdf

139.

Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. N.J.: Prentice Hall, 1973.

140.

Shcherbakov P. On Peak Effects in Discrete Time Linear Systems // Proc. 2017

25th Mediterranean Conf. Control Automation (MED 2017). Valletta, Malta, July

3-6, 2017. P. 376-381.

141.

Shcherbakov P., Parsegov S. Solutions of Discrete Time Linear Systems: Upper

Bounds on Deviations // Proc. Int. Conf. System Theory, Control and Computing

(ICSTCC 2018). Sinaia, Romania, October 10-12, 2018. P. 152-157.

142.

Skelton R.E., Iwasaki T., Grigoriadis D.E. A Unified Agebraic Approach to Control

Design. CRC Press, 1997.

143.

Sturm J.F. Using SeDuMi 1.02, a Matlab Toolbox for Optimization over Symmetric

Cones // Optim. Methods Software. 1999. No. 11-12. P. 625-653. URL http://

sedumi.ie.lehigh.edu

144.

Tarbouriech S., Queinnec I., Calliero T.R., Peres P.L.D. Control Design for Bilinear

Systems with a Guaranteed Region of Stability: An LMI-Based Approach // Proc.

17th Mediterranean Conf. Control Automation (MED’09). Thessaloniki, Greece,

June 24-26, 2009. P. 809-814.

145. Thorp J.S., Barmish B.R. On Guaranteed Stability of Uncertain Linear Systems

via Linear Control // J. Optimiz. Theory Appl. 1981. V. 35. No. 4. P. 559-579.

146. Tibshirani R. Regression Shrinkage and Selection via the Lasso // J. Royal Statist.

Soc. 1996. V. 58. No. 1. P. 267-288.

147. Toh K.C., Todd M.J., Tütüncü R.H. SDPT3 - A MATLAB Software Package for

Semidefinite Programming, version 1.3 // Optim. Methods Software. 1999. V. 11.

No. 1-4. P. 545-581.

148. Tropp J.A. Algorithms for Simultaneous Sparse Approximation. Part II: Convex

Relaxation // Signal Proc. (special issue “Sparse approximations in signal and image

processing”). 2006. V. 86. P. 589-602.

149. Wang Y., Lopez J.A., Sznaier M. Convex Optimization Approaches to Information

Structured Decentralized Control // IEEE Trans. Autom. Control. 2018. V. 63.

No. 10. P. 3393-3403.

150. Weinmann A. Uncertain Models and Robust Control. Springer-Verlag, 1994.

151. Whidborne J.F., McKernan J. On Minimizing Maximum Transient Energy

Growth // IEEE Trans. Autom. Control. 2007. V. 52. No. 9. P. 1762-1767.

152. Willems J.S. The Analysis of Feedback Systems. Cambridge: MIT Press, 1971.

153. Willems J.S. Least Squares Stationary Optimal Control and the Algebraic Riccati

Equation // IEEE Trans. Autom. Control. 1971. V. 16. No. 6. P. 621-634.

154. Yu L., Han Q.-L., Sun M.-X. Optimal Guaranteed Cost Control of Linear Uncertain

Systems with Input Constraints // Int. J. Control Autom. Syst. 2005. V. 3. No. 3.

P. 397-402.

155. Zhou K., Doyle J., Glover K. Robust and Optimal Control. N.J.: Prentice Hall,

1996.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 30.07.2020

После доработки 08.09.2020

Принята к публикации 10.09.2020