Автоматика и телемеханика, № 1, 2021

Линейные системы

С.А. ЗАГРЕБИНА, д-р физ.-мат. наук (zagrebinasa@susu.ru),

Н.А. МАНАКОВА, д-р физ.-мат. наук (manakovana@susu.ru),

М.А. САГАДЕЕВА, канд. физ.-мат. наук (sagadeevama@susu.ru),

Г.А. СВИРИДЮК, д-р физ.-мат. наук (sviridiukga@susu.ru)

(Южно-Уральский государственный университет

(национальный исследовательский университет), Челябинск)

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО

ИЗМЕРЕНИЯ, ИСКАЖЕННОГО ИНЕРЦИОННОСТЬЮ,

РЕЗОНАНСАМИ И ДЕГРАДАЦИЕЙ

ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА¹

Задача оптимальных измерений состоит в минимизации разности зна-

чений виртуального наблюдения, т.е. полученного с помощью расчетной

модели, и экспериментальных данных. При исследовании задачи опти-

мального измерения можно выделить три части: математическая модель

оптимального измерения, алгоритмы численных исследований этой моде-

ли и программы, их реализующие. Описаны первые две части исследо-

вания задачи оптимального измерения. Приводится описание математи-

ческой модели оптимального измерения при наличии помех разного ви-

да, описываются приближения оптимального измерения и доказывается

их сходимость к точному. Описывается алгоритм численного нахождения

приближений оптимального измерения.

Ключевые слова: приближения оптимального измерения, система леон-

тьевского типа, вырожденный поток матриц, квадратичный функционал,

задача оптимального управления, метод градиентного спуска.

DOI: 10.31857/S0005231021010025

1. Введение

В теории динамических измерений актуальной проблемой является зада-

ча восстановления измерения по наблюдению. Традиционным подходом [1]

решения данной задачи является метод, основанный на теории обратных за-

дач [2-4]. Другим подходом [5, 6] является метод исследования, основанный

на теории автоматического управления [7-9]. В последнее время возник [10]

и активно развивается [11-13] подход, основанный на теории оптимального

управления решениями уравнений леонтьевского типа [14, 15]. В основе это-

го подхода лежит поиск оптимума функционала штрафа от нормы разности

реального (т.е. зафиксированного на измерительном приборе) и виртуально-

го (т.е. найденного посредством вычислительного алгоритма) наблюдений.

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего обра-

зования Российской Федерации (грант № FENU-2020-0022 (2020072ГЗ)).

Данную задачу называют задачей оптимального измерения, а найденный

таким образом оптимум объявляется оптимальным измерением. К настоя-

щему времени в рамках теории оптимальных измерений исследованы случаи,

когда измерение искажено инерционностью измерительного устройства [16],

резонансами в его цепях [17] или его деградацией [18]. В настоящей статье

рассматривается случай, когда измерение искажено всеми тремя помехами

одновременно.

Пусть L и M - квадратные матрицы порядка n, f(t) = col(f₁(t), f₂(t),

...,f_n(t))

некоторая вектор-функция. Рассмотрим линейное неоднородное

уравнение вида

L x(t) = Mx(t) + f(t),

причем допускаем возможность det L = 0. Заметим, что первым такие урав-

нения начал изучать В. Леонтьев [19]. Поэтому будем называть эти урав-

нения уравнениями леонтьевского типа, считая синонимами позже появив-

шиеся термины “дифференциально-алгебраические уравнения” [20], “алгебро-

дифференциальные системы” [21], “дескрипторные системы” [22] и т.д.

Математическая модель (ММ) измерительного устройства (ИУ) описыва-

ется системой уравнений леонтьевского типа вида

(1)

L x(t) = a(t)Mx(t) + Du(t),

y(t) = b(t)Nx(t) + F u(t),

где D, N, F

- квадратные матрицы порядка n, x(t) = col(x₁(t), x₂(t), . . .

...,x_n(t)), y(t)=col(y₁(t),y₂(t),... ,y_n(t)) и u(t)=col(u₁(t),u₂(t),...,u_n(t)) -

вектор-функции, a(t) и b(t) - функции. Здесь матрицы L, M, D, N и F ха-

рактеризуют конструкцию ИУ, вектор-функция x = x(t) характеризует со-

стояние ИУ, функции a = a(t) и b = b(t) описывают деградацию ИУ при дли-

тельной эксплуатации (например, при эксплуатации в околоземном простран-

стве), вектор-функция u = u(t) соответствует входному сигналу (измерению),

а вектор-функция y = y(t) соответствует выходному сигналу (наблюдению).

В MM (1) измерение и наблюдение имеют одинаковую размерность, но на

практике размерность наблюдения может быть меньше.

Дополним MM (1) начальным условием Шоуолтера-Сидорова [23, 24]

[

]_p+1

(2)

lim

R^Lµ(M)

(x(t) - x₀

) = 0,

t→0+

где R^Lµ(M) = (µL - M)^-1L - правая L-резольвента матрицы M, x₀ ∈ Rⁿ -

некоторый вектор, а параметр p будет описан далее.

Главной частью рассматриваемой математической модели ИУ является

функционал штрафа

∫τ

∫

(3)

J (u) = ε

||y(t) - y(t)||²dt + (1 - ε)

〈Cx(t), x(t)〉dt.

Здесь || · || и 〈·, ·〉 - евклидовы норма и скалярное произведение в Rn,

x(t) и y(t) линейно зависят от u(t). Отметим, что в отличие от предыду-

щих исследований задачи оптимального измерения [11-18] предлагается бо-

лее простой вид функционала штрафа, что, с одной стороны, позволяет

найти решение, а с другой - упрощает численный метод нахождения это-

го решения. Используя априорную информацию, в пространстве измерений

U = {u ∈ L₂((0,τ);Rⁿ) : u^(p) ∈ L₂((0,τ);Rⁿ)} выделим выпуклое и замкнутое

подмножество U_∂ ⊂ U, которое называется множеством допустимых изме-

рений. Минимизируя первое слагаемое функционала (3) на множестве U_∂, бу-

дем добиваться минимизации воздействия инерционности ИУ на измерение.

А минимизируя второе слагаемое, будем снижать воздействие резонансов в

цепях ИУ. Заметим, что квадратная симметрическая матрица C порядка n

характеризует взаимовлияние резонансов в цепях ИУ. Константа ε ∈ (0, 1)

выбирается таким образом, чтобы учесть предпочтения исследователя. На-

конец, y(t) - наблюдение, полученное в результате вычислительного или на-

турного эксперимента. Итак, задача поиска оптимального измерения v(t)

заключается в поиске минимума

(4)

J (v) = min

J (u).

u∈U_∂

Таким образом, математической моделью ИУ является задача оптималь-

ного измерения (1)-(4). Исследование этой задачи можно представить тремя

частями. В первой части создается математическая модель ИУ, ставится за-

дача нахождения оптимального измерения и приводятся условия, при кото-

рых существует единственное решение данной задачи. Именно такое решение

называется точным оптимальным измерением. Во второй части конструи-

руются алгоритмы построения приближений решения задачи оптимально-

го измерения и формулируются условия, при которых построенная после-

довательность приближений решения сходится к точному решению. И на-

конец, в третьей части исследования задачи оптимального измерения на ос-

нове алгоритмов второй части создаются программы, проводятся процеду-

ры проверки для отладки этих программ и ставятся вычислительные экс-

перименты по восстановлению искаженного измерения, полученного в ходе

эксперимента.

Основная цель данной статьи - описание второй части исследования зада-

чи оптимального измерения. В статье построены приближения оптимального

измерения и обоснована сходимость этих приближений к точному оптималь-

ному измерению. Также статья содержит описание алгоритма нахождения

приближений решения этой задачи. Отметим, что в отличие от более ранних

работ [11-18] для поиска минимума в статье предлагается использовать метод

градиентного спуска, что стало возможно благодаря упрощению вида функ-

ционала (3). По сути, в данной статье развиваются положения обзора [25].

Статья кроме введения и списка литературы состоит из трех частей. В пер-

вой из них приводятся теоретические результаты о существовании точного

решения этой задачи, т.е. приводится описание первой части исследования

задачи оптимального измерения на основе результатов [18]. Во второй части

описываются приближения оптимального измерения и приводятся резуль-

таты о сходимости этих приближений решения к точному. В третьей части

приводится описание численного алгоритма нахождения оптимального из-

мерения, искаженного инерционностью, резонансами и деградацией измери-

тельного устройства.

2. Точное оптимальное измерение

Пусть L и M - квадратные матрицы порядка n. Назовем матрицу M ре-

гулярной относительно матрицы L (коротко, L-регулярной), если существу-

ет число α ∈ C, такое что det(αL - M) = 0. Понятно, что число α ∈ C, та-

кое что det(αL - M) = 0, существует, если det L = 0. Однако внимательный

анализ реальных ИУ [26, 27] показывает, что случай det L = 0 встречает-

ся довольно часто. Итак, пусть матрица M L-регулярна, тогда [28, гл. 12]

существуют такие невырожденные матрицы A и B порядка n, что BLA =

{₀

}

= diag

Jp1 ,Jp2,... ,

Jpl,I_n-m

, BMA = diag{I_m,S}, где

Jpk - жорданова клет-

∑_l

ка порядка p_k с нулями на главной диагонали,

p_k = m, I_k - единичная

k=1

матрица порядка k, S - квадратная матрица порядка n - m. Возьмем число

p = max{p₁,p₂,...,p_l} и назовем L-регулярную матрицу M (L,p)-регулярной.

Фиксируем число τ ∈ R₊ и введем в рассмотрение пространство измере-

ний U = {u ∈ L₂((0,τ);Rⁿ) : u^(p) ∈ L₂((0,τ);Rⁿ)}, пространство наблюдений

Y = L₂((0,τ);Rⁿ) и пространство состояний X = Y.

Теорема 1. Пусть матрица M (L,p)-регулярна, p ∈ {0,1,...,n}. Тогда

для любых x₀ ∈ Rⁿ, a ∈ C([0, τ]; R₊) ∩ C^p((0, τ); R₊), b ∈ C([0, τ]; R₊) и u ∈ U ,

существует единственное решение y ∈ Y задачи (1), (2), которое имеет вид

(5)

y(t) = b(t)Nx(t) + F u(t),

где

∫^t

x(t) = X(t, 0)x₀ + X(t, s)L^-11QDu(s)ds +

(6)

(

)_q

∑

Du(t)

+ H^qM^-10(Q - I_n)

a(t) dt

a(t)

q=0

((

)_-1

∫t

Здесь X(t, s) = lim

L-¹

a(r)dr M

L вырожденный поток [15],

k→∞

т.е. X(t, r)X(r, s) = X(t, s) при всех t, r, s ∈ R таких, что t ≥ r ≥ s, причем

X(t, t) = I_n при всех t ∈ R;

(

)_k

(

)_k

P = lim

k (kL - M)^-1 L

Q = lim

kL(kL - M)^-1

k→∞

)

-1

M^-10 = lim

L - M (I_n - Q), L₀ = L(I_n - P),

k→∞

(

)_-1

H =M^-10L₀,

L^-11 = lim

L-

M Q.

k→∞

Утверждение теоремы 1 следует из аналогичного утверждения из [29] с

учетом ослабления требований на пространства. Заметим, что (6), по сути,

заменяет в системе (1) первое уравнение.

Теперь сформулируем теорему о существовании решения задачи опти-

мального измерения (1)-(4).

Теорема 2. Пусть матрица M (L,p)-регулярна, p ∈ {0,1,...,n}. Тогда

для любых x₀ ∈ Rⁿ, y ∈ Y, a ∈ C([0, τ]; R₊) ∩ C^p((0, τ); R₊) и b ∈ C([0, τ]; R₊)

существует единственное измерение v ∈ U_∂, для которого выполнено (4).

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству соответствующего

утверждения из [29] с учетом корректировки вида функционала (5).

Вектор-функцию v = v(t), существующую по теореме 2, будем в дальней-

шем называть точным оптимальным измерением. Строго говоря, после за-

мены u(t) = v(t) формула (6) уже не будет решением системы уравнений

L x(t) = a(t)Mx(t) + Dv(t)

даже в обобщенном смысле. Однако при подстановке (6) в (5) и замене

u(t) = v(t) получим вектор-функцию y = y(t), которую назовем точным оп-

тимальным наблюдением. Заметим, что вектор-функции v = v(t) и y = y(t),

полученные в результате применения теоремы 1 и теоремы 2, являются вир-

туальным точным оптимальным измерением и виртуальным точным оп-

тимальным наблюдением. Алгоритмы конструктивного построения v и y бу-

дут предложены ниже.

Однако прежде чем перейти к построению алгоритмов, сделаем пару за-

мечаний, которые упростят решение данной задачи.

Замечание 1. Без потери общност( можно счи)ать detM = 0. Действи-

∫

тельно, сделаем в (1) замену x(t) = exp α

a(τ)dτ z(t) и получим

LŻ = a(t)(M - αL)z(t) + Dv(t),

w(t) = b(t)Nz(t) + F v(t),

(

)

(

)

∫

где v(t) = exp

-α

a(τ)dτ u(t) и w(t) = exp

-α

a(τ)dτ y(t). Переобо-

значив M - αL через M, получим требуемое.

Замечание 2. Вместо решения (6), где x₀ не зависит от функции управ-

ления, будем рассматривать решение в виде

∫t

(

)_q

∑

Du(t)

(7) x(t) = X(t, s)L^-11QDu(s)ds +

H^qM^-10(Q - I_n)

a(t) dt

a(t)

q=0

которое получится, если в (2) взять x₀ ∈ ker[R^Lµ(M)]^p = ker X(t, 0). Подставив

(7) вместо (6) в (5) и (3), можем найти (4).

Теорема 3. Пусть матрица M (L,p)-регулярна, p ∈ {0,1,...,n}, при-

чем det M = 0. Тогда для любых x₀ ∈ ker[R^Lµ(M)]^p, y ∈ Y, a ∈ C([0, τ]; R₊) ∩

∩C^p((0,τ);R₊) и b ∈ C([0,τ];R₊) существует единственное v ∈ U_∂, для ко-

торого выполнено (4).

3. Приближения оптимальные измерения

Пусть L, M, D, N и F - квадратные матрицы порядка n, причем мат-

рица M (L, p)-регулярна, p ∈ {0, 1, . . . , n}, и det M = 0. Пусть вектор x₀ ∈

∈ ker[R^Lµ(M)]^p, причем заметим, что ker[R^Lµ(M)]^p не зависит от µ ∈ C, таких

что det(µL - M) = 0 [15]. Приступим к описанию приближений оптимального

измерения.

3.1. Первое приближение оптимального измерения

Пространство U представим в виде

⊕

U= U_j,

j=1

где

{

}

U_j = u^j ∈ L₂((0,τ);R) :(u^j)^(p) ∈ L₂((0,τ);R)

По построению пространство U_j - гильбертово и сепарабельно, j = 1, 2, . . . , n.

Обозначим через {ϕ_i} ортонормированную последовательность базисных век-

торов. Понятно, что эта последовательность может быть выбрана в каж-

дом U_j одинаковой. Построим конечномерный линеал

U^kj = span {ϕ_i : i = 1,2,... ,k}

и подпространство

⊕

U^k = U^kj.

j=1

Найдем подмножество U^k∂ = U^k ∩ U_∂. Подмножество U^k∂ ⊂ U_∂ может оказаться

пустым, однако в любом случае оно замкнуто и выпукло. Понятно, что все

члены последовательности {U^k∂ } не могут оказаться пустыми множествами

из-за очевидной монотонности этой последовательности и того, что

lim

U^k∂ = U_∂.

k→∞

Возьмем вектор u_k ∈ U^k∂ и построим вектор-функцию

∫t

(

)_q

∑

Du_k(t)

(8) x_k(t) = X(t, s)L^-11Qu_k(s)ds +

H^qM^-1(Q - I_n)

a(t) dt

a(t)

q=0

(9)

y_k(t) = b(t)Nx_k(t) + Fu_k

(t).

Теперь подставим x_k и y_k в функционал штрафа J и найдем его минимум

(10)

J (v_k) = min

J (u_k

u_k∈U^k

∂

Если U^k∂ = ∅, то такой вектор v_k существует и единственен в силу теоремы 3.

Если окажется U^k∂ = ∅, то число k необходимо увеличить, чтобы получить

U^k∂ = ∅ (см. рассуждения выше). Для того чтобы гарантировать U^k∂ = ∅ для

любого k ∈ N, далее будем требовать выполнения условия 0 ∈ U_∂. Действи-

тельно, так как 0 ∈ U^k для всех k ∈ N, то при выполнении этого условия

0 ∈ U^k∂, т.е. U^k∂ = ∅. Это требование в дальнейшем возможно будет ослаблено.

Вектор v_k ∈ U^k∂ будем называть первым приближением оптимального из-

мерения.

Лемма 1. Пусть матрица M такая, что detM = 0, (L,p)-регуляр-

на, p ∈ {0, 1, . . . , n}. Пусть 0 ∈ U∂, вектор-функция

y ∈ Y, функции a ∈

∈ C([0,τ];R₊) ∩ C^p((0,τ);R₊) и b ∈ C([0,τ];R₊), а вектор x₀ ∈ ker[R^Lµ(M)]^p.

Тогда lim_k→∞ v_k = v.

Доказательство. По построению набор множеств {U^k∂} таков, что

U^k∂ ⊂ U^k+1∂, т.е. является исчерпанием множества допустимых измерений U_∂.

Тогда решения v_k и v_k+1 задачи (8)-(10), найденные на множествах U^k∂ и U^k+1∂,

таковы, что выполнено неравенство

J (v_k) ≥ J(v_k+1).

Следовательно, {J(v_k) : v_k ∈ U_∂} образуют невозрастающую ограниченную

последовательность, и в силу того что функционал (3) непрерывный и квад-

ратичный, получаем утверждение леммы 1.

3.2. Второе приближение оптимального измерения

Начнем построение следующего приближения решения. В условиях лем-

мы 1 можем написать

(

)_l

(

)_l

P = lim

l(lL - M)^-1L

Q = lim

lL(lL - M)^-1

l→∞

(

)

-1

L^-11 = lim

L-

M Q, H = M^-1L(I_n - P).

l→∞

Отсюда

(11)

x_kl

(t) =





-1

∫^t

∫

^l(

)



^-1(

)_l



L-

a(r)drM L L -1M

lL(lL-M)^-1

u_k(s)ds +

)_q

∑

((

)_l

)(1

Du_k(t)

+ H^qM^-1

lL(lL - M)^-1

−I_n

a(t) dt

a(t)

q=0

(12)

y_kl(t) = b(t)Nx_kl(t) + Fu_k

(t).

Подставив

(11) и

(12) в функционал штрафа

(3), построим функцио-

нал J_l(u_k). Минимизируя этот функционал на множестве U^k∂, получим

J (v_kl) = min

J_l(u_k).

u_k∈U^k

∂

Вектор v_kl ∈ U^k∂ будем называть вторым приближением оптимального

измерения.

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда lim

v_kl = v_k.

l→∞

Доказательство. В силу теоремы 1 и того, как задаются матрицы в

решении (6), для функции (11) справедлива оценка

∃C > 0

∀t ∈ [0,τ]

∥x_kl(t) - x_k(t)∥ ≤

откуда для x_kl из (11) и y_kl из (12) получим, что

lim

x_kl = x_k

lim

y_kl = y_k.

l→∞

И в силу непрерывности и квадратичности функционала

(3) получим

lim

v_kl = v_k. Лемма 2 доказана.

l→∞

3.3. Третье приближение оптимального измерения

В заключительной части для построения третьего приближения оптималь-

ного измерения опишем способы вычисления первого слагаемого в (11) (инте-

грала) и второго слагаемого (суммы производных). Для вычисления интегра-

ла воспользуемся схемой Гаусса, поделив отрезок [0, τ] на m частей. При этом

не исключается возможность найти интеграл в явном виде. Во втором слагае-

мом заменим производные разностными формулами, причем не исключается

возможность, что производные посчитаются в явном виде. После чего вместо

формул (11) и (12) получаем приближенные значения векторов x_klm = x_klm(t)

и y_klm = y_klm(t). Подставив их в функционал штрафа и минимизируя его на

множестве U^k∂, получим

(13)

J (v_klm) = min

J_lm(u_k

u_k∈U^k

∂

Вектор v_klm ∈ U^k∂ будем называть третьим приближением оптимального

измерения.

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда lim

v_klm = v_kl.

m→∞

Доказательство. Воспользуемся квадратурной формулой Гаусса для

вычисления интегральных слагаемых и формулой численного дифференци-

рования для вычисления слагаемого с производными в x_kl из (11). Для вычис-

ления J_lm(u_k) зафиксируем количество узлов m формулы Гаусса, вычислим

узлы τ_j и веса w_j для этой формулы на отрезке [0, τ] и получим

∑[

]

(14) J_lm(u_k) =

ε∥y_klm(τ_j) - y(τ_j)∥² + (1 - ε) 〈Cx_klm(τ_j ), x_klm(τ_j )〉 w_j.

j=0

Здесь y_klm(τ_j ) получено после подстановки вместо x_kl в (12) вектора

τ_j

(15) x_klm(τ_j ) =





(

)-1^

^l(

∑

)^-1(

)





L-

a(s_r)̟_rM L L -1M

lL(lL-M)^-1

l u_k(τ_κ)×

κ=0

r=0

∑

((

)_l

∑

(

)(m)q

τ )

×w_κ +

H^qM^-1

lL(lL - M)^-1

−I_n

d_qιA_q τ_j + ι

q=0

ι=-r

где s_r и ̟_r (r = 0, . . . , j - κ) - узлы и веса квадратурной формулы Гаусса на

отрезке [τ_κ, τ_j ], d_qι - коэффициенты формулы численного дифференцирова-

)_̃r

(τ

ния порядка точности

(r ≤ ι ≤ ν, r + ν + 1 = q + r), а значения вектор-

функции A_q : [0, τ] → Rⁿ специальным образом строятся по значениям функ-

ций a(t) и Du_k(t).

Сходимость x_klm → x_kl при m → ∞ следует из сходимости формулы Гаусса

и точности формулы численного дифференцирования. Откуда, аналогично

рассуждениям в доказательствах лемм 1 и 2, получаем, что lim

v_klm = v_kl.

m→∞

Лемма 3 доказана.

Наконец, из лемм 1, 2 и 3 вытекает справедливость следующего утвержде-

ния.

Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда

lim

v_klm = v.

k→∞

l→∞

m→∞

4. Алгоритм нахождения приближения оптимального измерения

Опишем алгоритм численного нахождения приближения оптимального из-

мерения. Для этого в качестве конечномерных пространств U^k возьмем про-

странства вектор-многочленов u_k = u_k(t), имеющих вид





∑

(16)

u_k(t) = col c_1itⁱ,

c_2itⁱ,... ,

c_niti .

i=0

j=0

Определим множество U^k∂ с помощью условия ∥u_k∥ ≤ R при некотором

R > 0.

Сам алгоритм численного нахождения приближения оптимального изме-

рения состоит из семи этапов, последний из которых состоит в минимизации

методом градиентного спуска.

Этап 1. Ввод начальных данных: размерности модели n, матриц L, M,

D, N и F, функций a(t) и b(t), длины отрезка интегрирования τ, парамет-

ра ε, определяющего приоритеты оптимизации, вектор-функции наблюде-

ния y(t), старшего порядка k вектор-многочленов (16), константы R, опре-

деляющей U^k∂, точности вычислений δ.

Этап 2. Проверка условия detM = 0 при заданной точности δ. Если это

условие не выполнено, то выбрать α так, чтобы det(M - αL) = 0, провести

замену из замечания 1 и продолжить выполнение алгоритма.

Этап

3. Найти порядок полюса p в бесконечно удаленной точке для

матриц-функции (µL - M)^-1.

Этап 4. Найти значение l, для которого можно вычислять второе прибли-

жение оптимального управления: l = max{l₁, l₂, p + 1}, где l₁, l₂ определяются

следующим образом:

∑

l₁ =

|d_i| + 1,

l₂ =

|d_i|(p + 1)^n-1 + 1,

dp^p

i=0

{

}

∑

где d = max

|d_i|

, а d_i - коэффициенты полинома det(µL - M) и d_q -

i=0

его старший ненулевой коэффициент.

Этап 5. Задав количество узлов m квадратурной формулы Гаусса, найти

узлы τ_j и веса w_j на отрезке [0, τ], а также узлы s_r и веса ̟_r формулы Гаусса

на отрезке [τ_κ, τ_j ]. Вычислить значения a(s_r), y(τ_j ), а также коэффициенты

численного дифференцирования d_qι и значения a(τ_j + ι^τm ) и Du_k(τ_j + ι^τm ).

Этап 6. В качестве начальных значений c^(0)ji возьмем нулевые значения

и для них вычислим x_klm по формуле (15), y_klm, подставив x_klm вместо x_kl

в (12), и J_lm(u_k) по формуле (14).

Этап 7. Решается задача (13), (14) с u_k из (16) относительно коэффи-

циентов c_ji как задача выпуклого программирования на множестве U^k∂. Для

решения этой задачи будем использовать алгоритм скорейшего градиентного

спуска. Распишем его по шагам.

Шаг 1. Задать относительный шаг дифференцирования Δ и положить

счетчик числа итераций ℓ = 0.

Шаг 2. Определить направление градиента по коэффициентам c_ji штраф-

ного функционала J_lm(u_k) = J(c₁₀, . . . , c_1k, c₂₀, . . . , c_2k, c₃₀, . . . , c_nk) по форму-

ле

(

)

∂J(c^(ℓ))

∇J(c^(ℓ)) =

,...,

∂c₁₀

∂c_1k

∂c₂₀

∂c_nk

(

)

в точке c^(ℓ) = c^(ℓ)10, . . . , c^(ℓ)1k, c^(ℓ)20, . . . , c^(ℓ)2k, c^(ℓ)30, . . . , c^(ℓ)

. Для нахождения зна-

чений частных производных∂J(c(ℓ)) воспользуемся стандартной разностной_∂c

формулой с заданным шагом Δ.

Шаг 3. Проверить условие продолжения поиска



∇J(c^(ℓ))>δ и uk ∈Uk∂.

Если условие нарушено, то расчет окончен и c^∗ = c^(ℓ), иначе перейти к сле-

дующему шагу.

Шаг 4. Найти шаг h_ℓ по формуле

(

)

^(ℓ)), ∇J(c^(ℓ))

∇J(c

h_ℓ =

(

H_J(c^(ℓ))∇J(c^(ℓ)),∇J(c^(ℓ))

используя результаты вычислений шага 2 и стандартные разностные форму-

лы с заданным относительным шагом дифференцирования Δ для вычисле-

ний элементов матрицы Гессе H_J (c^(ℓ)) в точке c^(ℓ).

Шаг 5. Определить координаты следующей точки

c^(ℓ+1) = c^(ℓ) - h_ℓ∇J(c^(ℓ)),

положить ℓ = ℓ + 1 и перейти к шагу 2.

В результате приближение оптимального измерения, найденное численно,

будет иметь вид





∑

v_klm(t) = col c^∗1itⁱ,

c^∗2itⁱ,... ,

c^∗niti .

i=0

j=0

5. Заключение

В статье описана математическая модель измерительного устройства, ко-

торая позволяет находить измерение по наблюдению. При этом данная мо-

дель учитывает помехи, воздействующие на ИУ разного вида, а именно: инер-

ционность ИУ, резонансы в его цепях, а также воздействие деградации ИУ в

процессе его эксплуатации. В статье представлен и обоснован алгоритм чис-

ленного нахождения приближений оптимального измерения. В дальнейшем

планируется выполнение третьей части исследования задачи оптимального

измерения, т.е. реализация данного алгоритма в виде программы и проведе-

ние вычислительных экспериментов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грановский В.А. Динамические измерения. Основы метрологического обеспече-

ния. Л.: Энергоатомиздат, 1984.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,

1979.

3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и

ее приложения. М.: Наука, 1978.

4. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи ма-

тематической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

5. Шестаков А.Л. Модальный синтез измерительного преобразователя // Пробле-

мы управления и информатики. 1995. № 4. С. 67-75.

6. Шестаков А.Л. Методы теории автоматического управления в динамических

измерениях. Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2013.

Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления.

М.: Наука, 1970.

Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.

М.: Наука, 1977.

Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машино-

строение, 1976.

10.

Шестаков А.Л., Свиридюк Г.А. Новый подход к измерению динамически иска-

женных сигналов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программи-

рование. 2010. № 16 (192). С. 116-120.

11.

Shestakov A.L., Sviridyuk G.A., Keller A.V. The Theory of Optimal Measure-

ments // J. Comp. Eng. Math. 2014. V. 1. No. 1. P. 3-15.

12.

Shestakov A.L., Sviridyuk G.A., Keller A.V. Optimal Measurements // XXI IMEKO

World Congr. “Measurement in Research and Industry”. 2015. ID 116100.

13.

Shestakov A.L., Sagadeeva M.A., Manakova N.A., Keller A.V., Zagrebina S.A.,

Zamyshlyaeva A.A., Sviridyuk G.A. Optimal Dynamic Measurements in Presence

of the Random Interference // J. Phys.: Conf. Series. 2018. V. 1065. No.

21.

ID 212012.

14.

Keller A.V. On the Computational Efficiency of the Algorithm of the Numerical

Solution of Optimal Control Problems for Models of Leontieff Type // J. Comp.

Eng. Math. 2015. V. 2. No. 2. P. 39-59.

15.

Keller A.V., Sagadeeva M.A. Degenerate Matrix Groups and Degenerate Ma-

trix Flows in Solving the Optimal Control Problem for Dynamic Balance Models

of the Economy // Semigroups of Operators - Theory and Applications. SOTA

2018. Springer Proc. in Mathematics & Statistics. V. 325. Cham: Springer, 2020.

P. 263-277.

16.

Шестаков А.Л., Келлер А.В., Назарова Е.И. Численное решение задачи опти-

мального измерения // АиТ. 2012. № 1. С. 107-115.

Shestakov A.L., Keller A.V., Nazarova E.I. Numerical Solution of the Optimal Mea-

surement Problem // Autom. Remote Control. 2012. V. 73. No. 1. P. 97-104.

17.

Keller A.V., Shestakov A.L., Sviridyuk G.A., Khudyakov Y.V. The Numerical Al-

gorithms for the Measurement of the Deterministic and Stochastic Signals // Semi-

groups of Operators - Theory and Applications. SOTA 2013. Springer Proc. in Math-

ematics & Statistics. V. 113. Cham: Springer, 2015. P. 183-195.

18.

Sagadeeva M.A. Mathematical Bases of Optimal Measurements Theory in Nonsta-

tionary Case // J. Comp. Eng. Math. 2016. V. 3. No. 3. P. 19-32.

19.

Леонтьев В.В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты, политика.

М.: Политиздат, 1990.

20.

Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы.

Новосибирск: Наука, 2000.

21.

März R. On Initial Value Problems in Differential-algebraic Equations and Their

Numerical Treatment // Computing. 1985. V. 35. No. 1. P. 13-37.

22.

Белов А.А., Курдюков А.П. Дескрипторные системы и задачи управления.

М.: Физматлит, 2015.

23.

Shestakov A.L., Sviridyuk G.A., Khudyakov Y.V. Dynamical Measurements

in the View of the Group Operators Theory // Semigroups of Operators - Theory

and Applications. SOTA 2013. Springer Proc. in Mathematics & Statistics. V. 113.

Cham: Springer, 2015. P. 273-286.

24.

Келлер А.В., Загребина С.А. Некоторые обобщения задачи Шоуолтера - Сидо-

рова для моделей соболевского типа // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделиро-

вание и программирование. 2015. Т. 8. № 2. С. 5-23.

25. Shestakov A.L., Keller A.V., Zamyshlyaeva A.A., Manakova N.A., Zagrebina S.A.,

Sviridyuk G.A. The Optimal Measurements Theory as a New Paradigm in the Metrol-

ogy // J. Comp. Eng. Math. 2020. V. 7. No. 1. P. 3-23.

26. Khudyakov Yu.V. On Mathematical Modeling of the Measurement Transducers //

J. Comp. Eng. Math. 2016. V. 3. No. 3. P. 68-73.

27. Khudyakov Yu.V. On Adequacy of the Mathematical Model of the Optimal Dynamic

Measurement // J. Comp. Eng. Math. 2017. V. 4. No. 2. P. 14-25.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.

29. Сагадеева М.А. Построение наблюдения для задачи оптимального динамическо-

го измерения по искаженным данным // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. модели-

рование и программирование. 2019. Т. 12. № 2. С. 82-96.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Кибзуном.

Поступила в редакцию 30.07.2020

После доработки 03.09.2020

Принята к публикации 10.09.2020