Автоматика и телемеханика, № 1, 2021

(alexander.yurchenkov.@yandex.ru)

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва;

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва)

ЛЕММА ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ АНИЗОТРОПИЙНОЙ НОРМЫ

ДЛЯ СИСТЕМ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ШУМАМИ

ПРИ НЕЦЕНТРИРОВАННОМ ВОЗМУЩЕНИИ¹

Рассмотрена дискретная линейная нестационарная система с мульти-

пликативными шумами, на которую действует окрашенное внешнее воз-

мущение с ненулевым первым моментом. Мультипликативные шумы мо-

делируются в виде линейных комбинаций детерминированных матриц с

взаимно независимыми случайными коэффициентами. Для указанной си-

стемы описан способ вычисления анизотропийной нормы, использующий

реализацию в пространстве состояний, в терминах уравнений Риккати.

Ключевые слова: мультипликативные шумы, нестационарная система,

нецентрированные возмущения, анизотропия, анизотропийная норма.

DOI: 10.31857/S0005231021010037

1. Введение

В теории управления одна из центральных проблем связана с решением

задачи подавления влияния внешних возмущений. Интерес к упомянутой за-

даче появился еще в середине XX в. [1]. Позднее была сформулирована и

решена задача о подавлении ограниченных возмущений [2-4]. Синтезируе-

мые оптимальные регуляторы при указанном подходе не лишены недостат-

ков они имеют большой порядок. Более того, как указано в [5], построе-

ние оптимальных регуляторов для непрерывных систем в случае ограничен-

ных внешних возмущений вызывает дополнительные сложности. В рамках

H₂-оптимизации возмущение предполагается случайным с известными стати-

стическими характеристиками, при решении задач H_∞-оптимизации внешнее

возмущение выбирается из класса квадратично интегрируемых (для непре-

рывных систем) или квадратично суммируемых (для дискретных систем)

функций времени [6]. Принадлежность возмущений к тому или иному классу

влияет на выбор критерия оптимальности, а с ним и на выбор регуляторов.

При этом H_∞-регуляторы вносят излишний консерватизм в динамику систе-

мы со слабо окрашенными возмущениями на входе, тогда как H₂-регуляторы

не обеспечивают робастность по отношению к неопределенностям в системе

и сильно окрашенным возмущениям.

Наряду с работами по смешанному H₂/H_∞ критерию [7, 8], около четвер-

ти века назад появились первые исследования, использующие стохастический

¹ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проекты № 18-31-00067 мол_а, 18-07-00269 А).

подход к H_∞-оптимизации [9-12]. Введенное понятие анизотропии случайно-

го вектора позволило ввести меру неопределенности возмущения, таким обра-

зом смягчая требования точного знания статистических характеристик внеш-

него возмущения и не внося излишний консерватизм, свойственный H_∞-опти-

мальным регуляторам. Средняя анизотропия (в пределе на единицу времени

неограниченно растущих фрагментов) стационарных гауссовских последова-

тельностей и связанная с ней анизотропийная норма линейных стационар-

ных систем позволили ставить и решать задачи анизотропийного анализа и

синтеза для таких систем в установившемся режиме, что впоследствии было

обобщено в [13, 14] и на нестационарные постановки на конечных интервалах.

За последние несколько лет значительно возрос интерес к моделям систем

с мультипликативными шумами, поскольку такие модели эффективно опи-

сывают динамику популяций, химических реакций, финансовой математики,

биомеханические системы [15, 16], а также работу сети датчиков со случай-

ными отказами [17]. Были решены задачи анализа и фильтрации в рамках

H₂ и H_∞ теорий как для непрерывных, так и для дискретных систем [18-21].

Также были предприняты попытки использования анизотропийного анализа

и синтеза для систем с мультипликативными шумами в публикации [22], но

приведенные там результаты нуждаются в разработке численного алгоритма

для решения полученной системы уравнений. В [23, 24] был рассмотрен во-

прос анизотропийного анализа стационарных систем с мультипликативными

шумами, на основе которого был предложен синтез управления по состоя-

нию и выходу в [25, 26]. Упомянутые публикации рассматривали мажоран-

ту анизотропийной нормы замкнутой системы, поэтому результаты носили

оценочный характер. В [27] был предложен метод анизотропийного анализа

стохастической системы, на основе которого в данной статье будет исследо-

ван вопрос вычисления анизотропийной нормы нестационарной системы с

мультипликативными шумами на конечном горизонте при ненулевом сред-

нем возмущения. Также вопрос анализа для нецентрированных возмущений

ранее уже рассматривался в [28-30], но для обыкновенных систем без муль-

типликативного шума.

Статья организована следующим образом: в разделе 2 содержатся основ-

ные сведения и обозначения, необходимый минимум из анизотропийной тео-

рии управления, в разделе 3 ставится и решается задача вычисления анизо-

тропийной нормы, раздел 4 содержит численный пример, в разделе 5 дается

краткое заключение.

2. Элементы анизотропийной теории

Рассмотрим сначала класс тех случайных векторов W со значениями в R^m,

которые отличны от нуля с вероятностью единица и при этом единичный

случайный вектор направления ξ = W/|W | имеет абсолютно непрерывное ве-

роятностное распределение Q на единичной сфере S_m в R^m. Для любого та-

кого W определен функционал анизотропии [10]:

∫

(1)

A_o(W) = D(Q||U_m) = E [ln g(ξ)] = g(s)ln g(s)U_m

(ds),

где E [·] математическое ожидание, D(Q||U_m) относительная энтропия Q

относительно равномерного распределения U_m на S_m (совпадающая со взя-

той с противоположным знаком дифференциальной энтропией Q относитель-

но U_m) и g =^dQ производная Радона Никодима (плотность распределе-_dU

ния вероятности для единичного случайного вектора ξ относительно U_m).

Таким образом, A_o(W ) характеризует неравномерность распределения слу-

чайного вектора W по направлениям. Величина A_o(W ) всегда неотрицатель-

на, причем равенство ее нулю достигается лишь в случае, когда единичный

вектор направления ξ равномерно распределен на сфере S_m.

Однако вместо величины (1) обычно используют ее верхнюю границу

A(W ), введенную в [13, 14] (как многомерную версию рассмотренного в [31]

функционала энергии-энтропии) для более узкого класса абсолютно непре-

рывно распределенных случайных векторов W в R^m с конечными вторыми

моментами следующим образом:

)

( 2πe

[

]

(2)

A(W ) = inf

D(f||p_m,λ) =

|W |²

− h(W ),

λ>0

где f плотность распределения вероятност∫й вектора W относительно лебе-

говой меры в R^m, h(W ) = -E [ln f(W )] = -Rm f(w) ln f(w)dw дифферен-

циальная энтропия, λ положительный параметр, определяющий плотность

(

)

|x|²

p_m,λ(x) = (2πλ)^-m/2 exp

x∈R^m,

2λ

изотропного гауссовского распределения в R^m с нулевым средним и скаляр-

ной ковариационной матрицей λI_m, где I_m единичная матрица порядка m.

Величину A(W ) называют анизотропией случайного вектора W , причем эта

величина имеет простой содержательный смысл: она показывает насколько

“велико” отклонение распределения вектора W от класса изотропных гауссов-

ских распределений в R^m. Если случайный вектор имеет гауссовское распре-

деление с нулевым средним и ковариационной матрицей Σ, то анизотропия

такого вектора может быть посчитана согласно формуле из [14]:

)

(mΣ

A(W ) = -

ln det

tr Σ

здесь и далее tr (·) обозначает след соответствующей матрицы.

В [28] определение анизотропии вектора (2) применялось к нецентрирован-

ным возмущениям. Если случайный m-мерный вектор распределен по нор-

мальному закону с математическим ожиданием µ и ковариационной матри-

цей Σ, то его анизотропию можно вычислить следующим образом [29]:

(

)

mΣ

(3)

A(W ) = -

ln det

tr Σ + |µ|²

В анизотропийной теории используют свой критерий качества анизотро-

пийную норму. Чтобы ввести это понятие, рассмотрим произвольную матри-

цу F из пространства R^p×m. Эта матрица будет играть роль линейного опе-

ратора для случайного m-мерного вектора W ∈ L^m2. Здесь и далее через L^m2

обозначается гильбертово пространство случайных векторов со значениями

в R^m и конечными вторыми моментами. Рассмотрим коэффициент усиления

∥FW∥

(4)

Q(F, W ) =

∥W ∥

√ [

]

где F W ∈ L^p2,

∥x∥ = E |x|² для случайного вектора x и

∥X∥ =

√

tr E [X^TX] для случайной матрицы X. В данной статье предполагает-

ся, что матрица F и вектор W взаимно независимы, вследствие чего имеет

место равенство E [F W ] = E [F ] E [W ], а также используется инвариантность

следа произведения матриц относительно их циклической перестановки:

[

]

[

]

(

[

]

[

])

∥F W ∥² = tr E

W^TF^TFW

= tr E

F^TFWW^T

= tr

F^TF

WW^T

Последнее равенство, являющееся следствием предположения о независимо-

сти F и W , позволяет привести (4) к виду

√

tr (ΛΣ)

(5)

Q(F, W ) =

tr Σ

[

]

[

]

где Λ = E

F^TF

,Σ=E

WW^T

. Максимальное значение Q(F,W) совпадает

со стохастической операторной нормой матрицы F :

max

Q(F, W ) = ∥F ∥_∞ = σ(F ),

W ∈L^m

√

где σ(F ) = max_1≤k≤m

λ_k(Λ) стохастическая интерпретация максимально-

го сингулярного значения F . Этот случай реализуется, если вектор W имеет

направление, совпадающее с направлением собственного вектора матрицы Λ,

отвечающего максимальному собственному значению этой матрицы.

В некотором смысле

“нейтральное” значение коэффициент усиления

Q(F, W ) принимает для случайных векторов W с изотропными вероятност-

ными распределениями. В этом случае он совпадает с масштабированным

стохастическим аналогом фробениусовой нормы матрицы F :

√

tr Λ

Q(F, W ) =

√m∥F∥2 =

такое значение достигается на векторах с равномерным распределением на

единичной сфере.

Введем множество векторов с ограниченным уровнем анизотропии:

{

}

(6)

W_a = W ∈ L^m2 : A(W) ≤ a .

Аналогично [11] показывается, что при увеличении уровня анизотропии a от 0

до ∞ в пределах от ∥F ∥₂ /√m до ∥F∥∞ изменяется соответствующее макси-

мальное значение коэффициента усиления (4), описываемое анизотропийной

нормой. Сама анизотропийная норма вводится следующим образом:

(7)

|||F |||_a = sup

Q(F, W ).

W ∈Wa

Для случая нецентрированного вектора W с произвольной матрицей Σ опти-

мизационная задача (7) рассматривается при дополнительных ограничениях

на первые два момента, см. [28]. Представим вектор W в виде суммы центри-

рованного вектораW и постоянного вектора µ = E [W ]. Тогда коэффициент

усиления Q(F, W ) принимает вид:

[

]

[

]

|FW|²

+ E |Fµ|

√

(8)

Q(F, W ) =

[

]

|W|²

+ |µ|²

Соответственно в [28] показано, что анизотропийная норма для системы F

с дополнительными ограничениями на первые два момента относительно

внешнего возмущения будет равняться следующему:

[

]

utr (ΛΣ) + E |F µ|2

√

(9)

|||F |||_a = sup

W ∈Wa

tr Σ + |µ|²

при дополнительном ограничении на первые два момента:

|µ| ≥ τ, tr Σ ≤ σ,

где τ ∈ [0; 1) представляет собой заданный параметр нецентрированности,

|µ|

описывающий условие

√

≥τ.

|µ|²+tr Σ

В [28] было показано, что при введенных ограничениях на первые два мо-

мента возможно масштабированием добиться выполнения условия σ + τ² = 1,

поскольку анизотропия последовательности инвариантна относительно пово-

рота системы координат и масштабирования. Тогда условие (9) можно при-

вести к виду

{(

[

]

)_1/2 

(10)

|||F |||a,τ = sup tr (ΛΣ) + E |Fe0|2 τ2

-

Σ,e₀

}

ln det(mΣ) ≤ a, σ + τ² = 1 ,

где τ = |µ|, e₀ направляющий единичный вектор среднего. Поскольку це-

левой функционал в (10) зависит от двух параметров Σ и e₀, то поиск су-

премума может быть разделен на поиск супремума каждого слагаемого в от-

дельности. Второе слагаемое достигает своего максимального значения, когда

единичный вектор e₀ совпадает с собственным вектором матрицы E[F^TF ], от-[

]

вечающим максимальному собственному числу, при этом E |F e₀|2 = σ2(Λ).

Первое слагаемое tr (ΛΣ) при условии -

ln det(mΣ) ≤ a, tr Σ + τ² = 1 пред-

ставляет собой задачу условной максимизации, которая может быть решена

методом множителей Лагранжа. Подробно решение описано в [28], здесь же

приводится только результат.

Теорема 1

[28]. Если анизотропия внешнего возмущения с ненулевым

средним µ не превосходит порогового значения a, то для некоторого по-

ложительного параметра τ ∈ [0; 1) анизотропийная норма системы F при

дополнительных ограничениях на возмущение вида |µ| ≥ τ, tr Σ ≤ 1 - τ² мо-

жет быть вычислена с помощью следующих функций:

(

)

|||F |||_a,τ = N

A^-1τ(a),τ

где

(

)

(11)

Φ(q) =

(I_m - qΛ)^-1

(

)

(12)

Ψ(q) =

ln det

(I_m - qΛ)^-1

(

)

Φ(q)

(13)

A_τ (q) =

- Ψ(q)

1-τ²

)_1/2

(Φ(q) - 1

(14)

N_τ (q) =

(1 - τ²) + ∥F ∥^2∞ τ²

qΦ(q)

[

)

параметр q ∈

0; ∥F ∥^-2

, m размерность возмущения, Λ = F^TF, в случае

∞

случайной матрицы F , Λ = E[F^TF ].

3. Основной результат

3.1. Постановка задачи

Рассмотрим линейную дискретную нестационарную систему с мультипли-

кативными шумами с нулевыми начальными условиями x(0) = 0 на конечном

временном интервале:

{

x_k+1 = A_kx_k + B_kw_k,

(15)

F ∼

z_k = C_kx_k + D_kw_k,

где A_k ∈ L^n×n2, B_k ∈ L^n×m2, C_k ∈ L^p×n2, D_k ∈ L^p×m2, индекс времени принадле-

жит интервалу k ∈ {0, . . . , N}. Каждая из матриц в (15) представляет собой

линейную комбинацию зависящих от времени детерминированных матриц со

случайными коэффициентами:

∑

A_k = ξ^Ai,kA_i,k, B_k =

ξ^Bi,kB_i,k,

i=0

∑

C_k = ξ^Ci,kC_i,k, D_k =

ξ^Di,kD_i,k.

i=0

Слагаемые A_i,k ∈ R^n×n, B_i,k ∈ R^n×m, C_i,k ∈ R^p×x и D_i,k ∈ R^p×m

неслу-

чайные действительные матрицы; одномерные случайные величины ξ^Ωi,k,

Ω = {A,B,C,D}, i = 0,M, нормально распределены, имеют нулевое среднее

и единичную дисперсию; величины ξ^Ω0,k = 1 по обозначению. Последнее усло-

вие приводит к соотношениям

E[A_k] = A_0,k, E[B_k] = B_0,k,

E[C_k] = C_0,k, E[D_k] = D_0,k,

которые будут в дальнейшем использованы. Все случайные величины ξ^Ωi,k по-

лагаются независимыми в совокупности для всех значений индексов i = 0, M,

k = 0,N, Ω = {A,B,C,D}, т.е. E[ξ^αi,kξ^βj,t] = (δ_i,jδ_k,tδ_α,β), где δ_i,j, δ_k,t и δ_α,β

символы Кронекера.

(

)_T

(

Введем обозначение W_0:N =

w^T0,··· ,w^TN

, Z_0:N =

z^T0,··· ,z^TN

)^T, тогда

систему (15) можно переписать в виде

Z_0:N = F_0:NW_0:N,

где F_0:N блочно-нижнетреугольная матрица с блоками



{

CkTk,jBj, если k > j,

I_n,

k = j + 1,

f_k,j =

D_k,

если k = j,

T_k,j =



A_k-1T_k-1,j,

k > j + 1.

если k < j,

Рассмотрим задачу вычисления анизотропийной нормы (9) системы (15)

с некоррелированными мультипликативными шумами и нецентрированным

возмущением из класса (6) при условии |E(W )| > τ.

3.2. Критерий изометричности

В дальнейшем для некоторой вспомогательной системы, описываемой

уравнениями типа (15) на том же временном интервале, понадобится исполь-

зование условия изометричности, означающей равенство норм входа и выхода

(для удобства формулируемое далее в терминах исходной системы):

∥Z_0:N ∥ = ∥F_0:N W_0:N ∥ = ∥W_0:N ∥ .

Последнее равенство с учетом взаимной независимости W и F будет вы-

полняться, если E[F^T0:N F_0:N ] = Λ_0:N является единичной матрицей соответст-

вующей размерности. Критерий изометричности можно получить в терминах

матриц исходной системы (15).

Лемма 1. Чтобы система с мультипликативными шумами вида (15)

была изометричной, необходимо и достаточно, чтобы для всех значений

k = 0,N матрицы реализации в пространстве состояний этой системы

удовлетворяли уравнениям

∑(

)

(16)

B^Ti,kQ_k+1B_i,k + D^Ti,kD_i,k

=I_m,

i=0

(

)

(17)

P_k

A^T0,kQ_k+1B_0,k + C^T0,kD_0,k

= 0,

где грамианоподобные матрицы P_k и Q_k+1 удовлетворяют рекуррентным

соотношениям

(18)

P_k+1 = A_0,kP_kA^T0,k + B_0,kB^T0,k,

∑(

)

(19)

Q_k =

A^Ti,kQ_k+1A_i,k + C^Ti,kC_i,k

i=0

с граничными условиями P₀ = 0, Q_N+1 = 0.

Доказательства леммы 1 и последующих леммы 2 и теоремы 2 приводятся

в Приложении.

3.3. Наихудшее возмущение

Рассмотрим концепцию так называемого наихудшего возмущения, пред-

ложенная еще в [11], суть которой заключается в поиске такого линейного

динамического объекта, генерирующего возмущение из класса (6), на кото-

ром достигается супремум выражения (9).

На каждом шаге вектор наихудшего возмущения w_k имеет вид

(20)

w_k = L_kξ_k + S^1/2kv_k + ν_k,

где L_k ∈ R^m×n, S_k ∈ R^m×m, ν_k ∈ R^m некоторые подлежащие определению

величины, v_k гауссовский “белый шум”, ξ_k состояние следующей системы:

(21)

ξ_k+1 = (A_0,k + B_0,kL_k)ξ_k + B_0,kS^1/2kv_k.

Последнее слагаемое ν_k в (20) обеспечивает выполнение условия |E(W )| > τ.

Если обозначить в качестве Σ_0:N ковариаци[нную ма)рицу последовательно-

сти {w_k}, то для некоторого параметра q ∈

0, ∥F ∥^-2

будет верно соотноше-

∞

ние

Σ^-10:N + qΛ_0:N = I_m

или

(22)

Σ_0:N = (ImN - qΛ_0:N)^-1,

где m_N = m(N + 1). Соотношение (22) соответствует условию изометрично-

сти системы

]

[√qF_0:N

Θ=

G-1

0:N

где F_0:N и G_0:N переходные матрицы системы (15) и (20) соответственно.

Следующая лемма 2 позволяет рассчитать параметры L_k, S_k, соответствую-

щие наихудшему возмущению (20).

Лемма 2. Для нестационарной системы с мультипликативными шу-

мами на конечном временном интервале (15) наихудшее возмущение гене-

рируется фильтром

{

1/2

ξ_k+1 = (A_0,k + B_0,kL_k)ξ_k + B_0,kS_k

v_k,

(23)

G∼

w_k = L_kξ_k + S^1/2kv_k + ν_k,

где ξ₀ = 0, а матрицы которого соответствуют решениям уравнений

∑

(24)

R_1,k =

A^Ti,kR_1,k+1A_i,k + q

C^Ti,kC_i,k, R_1,M+1

= 0,

i=0

(25)

R_2,k = A^T0,kR_2,k+1A_0,k + L^TkS^-1kL_k, R_2,M+1

= 0,

(

)_-1

∑

(26)

S_k = I_m - q D^Ti,kD_i,k - B^Ti,kR_1,k+1B_i,k - B^T

0,k

R_2,k+1B_0:k

i=0

(

)

(27)

L_k = S_k

qD^T0,kC_0,k + B^T0,kR_1,k+1A_0,k + B^T0,kR_2,k+1A_0,k

для некоторого значения параметра q, удовлетворяющего условию A_τ (q) = a.

3.4. Вычисление анизотропийной нормы

Чтобы воспользоваться теоремой 1, необходимо получить выражения для

специальных функций (11)

(14) через матрицы пространства состояний си-

стемы (15). Сформулируем этот результат в следующем виде.

Теорема 2. Для системы (15) анизотропийная норма при ненулевом

среднем возмущения, анизотропия которого не превышает значения a, мо-

жет быть вычислена согласно выражению |||F |||_a,τ = N_τ (A^-1τ(a)), где A_τ (q)

и N_τ(q) определяются согласно (13) и (14) соответственно, функции Φ(q)

и Ψ(q) имеют вид

∑

(28)

Φ(q) =

tr (L_kΥ_kL^Tk + S_k

k=0

∑

(29)

Ψ(q) =

ln det S_k,

k=0

где S_k, L_k связаны с уравнениями (24)

(27), матрицы Υ_k удовлетворяют

уравнению

Υ_k+1 = (A_0,k + B_0,kL_k)Υ_k(A_0,k + B_0,kL_k)^T + B_k,0S_kB^Tk,0

с начальным условием Υ₀ = 0.

Замечание. Чтобы воспользоваться результатом теоремы 2, необходимо

вычислить значение стохастической операторной нормы системы F , опреде-

лив границу параметра q; далее численно найти значение параметра q^∗, для

которого выполнено A_τ (q^∗) = a, при фиксированном τ (это можно сделать,

например, с помощью метода Ньютона), и вычислить N_τ (q^∗) = |||F |||_a,τ .

4. Численный пример

Работоспособность алгоритма вычисления анизотропийной нормы проил-

люстрирована далее. В качестве объекта анализа выбрана видоизмененная

модель из [17]. Динамика модели описывается разностными уравнениями

{

(

)

(

)

k+1 =

A_0,k + ξ^AkA_1,k

x_k +

B_0,k + ξ^BkB_1,k

w_k,

F ∼

(

)

(

)

z_k =

C_0,k + ξ^CkC_1,k

x_k +

D_0,k + ξ^DkD_1,k

w_k,

где условия относительно случайных величин ξ^∗k как и в системе (15), а мат-

рицы имеют вид:

[

]

[

]

-0,4

A_0,k =

A_1,k =

0,6

0,7 sin(6k)

[

]

0,5

B_0,k =

B_1,k = 0_2×1,

]

C_0,k =

[0,3 0,2 sin(6k)

C_1,k =

D_0,k = 1, D_1,k = 0.

Поверхность, описывающая анизотропийную норму системы F в зависимо-

сти от параметров τ и a, представлена на рисунке. Для N = 10 были посчита-

ны масштабированная H₂- и H_∞-норма, они оказались равны ∥F ∥₂ = 1,0611 и

∥F ∥_∞ = 1,1235 соответственно. На рисунке можно заметить, что при фикси-

рованном параметре τ анизотропийная норма с ростом анизотропии a также

будет увеличиваться, приближаясь к значению H_∞-нормы, при стремлении

параметров a и τ к нулю значение анизотропийной нормы близко к масшта-

бированной H₂-норме.

|||F |||_{a, t}

1,13

1,12

1,11

1,10

1,09

1,08

1,07

1,06

1,0

0,4

0,6

0,8

0,2

Анизотропийная норма |||F |||_a,τ .

5. Заключение

В статье решается задача анизотропийного анализа для системы с мульти-

пликативными шумами при нецентрированном возмущении. Получены фор-

мулы вычисления анизотропийной нормы с помощью специальных функций

и в пространстве состояний, основанные на лемме о вещественной ограни-

ченности. Рассмотрен иллюстративный пример. Полученный результат мо-

жет быть в дальнейшем применен к решению задачи фильтрации в рамках

анизотропийной теории для систем с мультипликативными шумами.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы 1. Для доказательства рассмотрим блочную

матрицу E[F^T0:N F_0:N ] = Λ_0:N , которая для изометричной системы будет еди-

ничной порядка m(N + 1). Блоки этой матрицы имеют вид

∑

λ_i,j =

E[f^Tk,if_k,j],

k=max{i,j}

последний блок матрицы равен

∑

λ_N,N = E[D^TN D_N] = D^Ti,ND_i,N = I_m

i=0

вследствие взаимной независимости величин ξ^Di,k и ξ^Dj,k, блок с номером N - 1

соответственно равен

∑(

)

λ_N-1,N-1 =

D^Ti,N-1D_i,N-1 + B^Ti,N-1C^Ti,NC_i,NB_i,N-1

=I_m,

i=0

где

∑

C^Ti,NC_i,N = Q_N,

i=0

очевидно, что для последнего блока λ_N,N необходимым является условие

Q_N+1 = 0. Далее по индукции легко показать, что соотношения (16) и (19)

выполнены.

Рассмотрим элемент λ_i,j, где i < j,

[

(

)]

λ_i,j = E B^Ti-1T^Ti-1,j-1

C^Tj-1D_j-1 + A^Tj-1Q_jB_j-1

это равенство может быть приведено к виду

(

)

λ_i,j = B^T0,i-1A^T0,i ··· A^T0,j-2

C^T0,j-1D_0,j-1 + A^T0,j-1Q_jB_0,j-1

из-за предположения о независимости в совокупности величин ξ^Ωi,k, Ω =

= {A, B, C, D}. Первые j - 1 элементов j-го столбца матрицы Λ_0:N имеют

вид:

[A_0,j-2A_0,j-3 · · · A_0,1B_0,0, . . . , A_0,j-4B_0,j-3, B_0,j-2]^T ×

(

)

C^T0,j-1D_0,j-1 + A^T0,j-1Q_jB_0,j-1

=0_m(j-1)×m,

умножив последнее равенство на

[A_0,j-2A_0,j-3 · · · A_0,1B_0,0, . . . , A_0,j-4B_0,j-3, B_0,j-2],

получаем выражение, аналогичное (17), с обозначением

P_j-1 = B_0,j-2B^T0,j-2 + A_0,j-2P_j-2A^T0,j-2,

совпадающее с (18).

Лемма 1 доказана.

Доказательство леммы 2. Доказательство основывается на обрати-

мости матрицы S_k вследствие ее пол[√qFT, G-T]пределенности [27]. Далее

следует применить лемму 1 к системе

с учетом обозначений (27)

и (26), параметр q определяется в соответствии (22).

Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы

2. Доказательство теоремы повторяет

предложенные в [28] рассуждения о вычислении анизотропийной нормы слу-

чайной матрицы.

Рассмотрим фильтр (23), генерирующий возмущение, на котором дости-

гается супремум коэффициента усиления (8). Поскольку будет верно соот-

ношение (22), будет достаточным связать вычисление специальных функций

Φ(q) и Ψ(q) с ковариационной матрицей возмущения Σ_0:N (q). Рассмотрим

отдельные блоки симметричной матрицы G_0:N G^T0:N :





L_iΔ_i,j+1B_0,jS^1/2j,i > j,

g_i,j =

S^1/2j,i = j,



0, i < j,

где Δ_i,j = (A_0,i-1 + B_0,i-1L_i-1)Δ_i-1,j с граничным условием Δ_i,i = I_n. Исходя

из такого представления, получаем





∑

tr Σ_0:N = tr block

g_i,kg^T

= tr (L_kΥ_kL^Tk + S_k).

0≤i,0≤j 

^j,k

k=0

Последнее равенство означает справедливость формулы (28). Чтобы доказать

(29), используем инвариантность определителя матрицы при ее транспони-

ровании:

∏

det(G_0:N G^T0:N ) = det(G^T0:N G_0:N ) = (det G_0:N )² =

det S_k.

k=0

Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах

с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. Т. 5. С. 339-342.

Уланов Г.М. Динамическая точность и компенсация возмущений в системах ав-

томатического управления. М.: Машиностроение, 1971.

Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дис-

кретных систем // АиТ. 1975. № 9. С. 73-79.

Yakubovich Ye.D. Solving One Problem of Optimal Control for a Discrete Linear

System // Autom. Remote Control. 1975. V. 36. No. 9. P. 1447-1453.

Vidyasagar M. Optimal Rejection of Persistent Bounded Disturbances // IEEE

Trans. Automat. Control. 1986. V. 31. P. 527-535.

Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних воз-

мущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // АиТ. 2007. № 3.

С. 106-125.

Nazin S.A., Polyak B.T., Nopunov M.V. Rejection of Bounded Exogenous Distur-

bances by the Method of Invariant Ellipsoids // Autom. Remote Control. 2007. V. 68.

No. 3. P. 467-486.

Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space Solutions to

Standard H₂ and H_∞ Control Problems // IEEE Trans. Autom. Control. 1989.

V. 34. No. 8. P. 831-847.

Doyle J.C., Zhou K., Bodenheimer B. Optimal Control with Mixed H₂ and H_∞

Performance Objectives // Proc. ACC. Pittsburg, 1989. P. 2065-2070.

Steinbuch M., Bosgra O.H. Necessary Conditions for Static and Fixed Order Dy-

namic Mixed H₂/H_∞ Optimal Control // Proc. ACC. Boston, 1991. P. 1137-1142.

Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdyukov A.P. Stochastic Approach to H_∞-Op-

timization // Proc. 33rd IEEE Conf. Decision and Control. 1994. V. 3. P. 2249-2250.

10.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy of Signals and the

Entropy of Linear Stationary Systems // Doklady Math. 1995. V. 51. P. 388-390.

11.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. On Computing the Anisotropic

Norm of Linear Discrete-time-invariant Systems // Proc. 13 IFAC World Congr.

1996. P. 179-184.

12.

Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space Solution to

Anisotropy-based Stochastic H_∞-Optimization Problem // Proc. 13 IFAC World

Congr. 1996. P. 427-432.

13.

Vladimirov I., Diamond P., Kloeden P. Anisotropy-based Robust Performance Anal-

ysis of Linear Discrete Time Varying Systems // CADSMAP Research Report, 2001

(http://www.maths.uq.edu.au/research/research_centres/cadsmap/reports.html).

14.

Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного

качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном

интервале // АиТ. 2006. № 8. С. 92-111.

Vladimirov I.G., Diamond P., Kloeden P. Anisotropy-based Robust Performance

Analysis of Finite Horizon Linear Discrete Time Varying Systems // Autom. Remote

Control. 2006. V. 67. No. 8. P. 1265-1282.

15.

Gershon E., Shaked U., Yaesh I. H_∞ Control and Filtering of Discrete-Time Stochas-

tic Systems with Multiplicative Noise // Automatica. 2001. V. 37. P. 409-417.

16.

Gershon E., Shaked U., Yaesh I. H_∞ Control and Estimation of State-multiplicative

Linear Systems // Lecture Notes in Control and Information Sciences, V. 318.

Springer-Verlag, 2005.

17.

Shen B., Wang Z., Hung Y.S. Distributed H_∞-consensus Filtering in Sensor Net-

works with Multiple Missing Measurements: The Finite-horizon Case // Automatica.

2010. V. 46. P. 1682-1688.

18.

Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискрет-

ными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами

с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2003. № 10.

С. 50-65.

Dombrovskii V.V., Lyashenko E.A. A Linear Quadratic Control for Discrete Systems

with Random Parameters and Multiplicative Noise and Its Application to Investment

Portfolio Optimization // Autom. Remote Control. 2003. V. 64. No. 10. P. 1558-1570.

19.

Barbosa K.A., de Souza C.E., Trofino A. Robust filtering for uncertain linear systems

with state-dependent noise // Proc. IEEE Conf. Decision and Control. 2003. V. 1.

P. 880-885.

20.

Stoica A.-M., Dragan V., Yaesh I. Kalman-Type Filtering for Stochastic Systems

with State-Dependent Noise and Markovian Jumps // Proc. 15th IFAC Symp. Syst.

Ident. 2009. P. 1375-1380.

21.

Dragan V., Morozan T., Stoica A.-M. Matematical Methods in Robust Control of

Discrete-Time Linear Stochastic Systems. Springer, 2010.

22.

Stoica A.-M., Yaesh I. On the anisotropic norm of discrete time stochastic systems

with state dependent noises // Ann. Acad. Rom. Sci. 2012. Ser. Math. Appl. V. 4.

P. 209-220.

23.

Kustov A.Yu., Kurdyukov A.P., Yurchenkov A.V. On the Anisotropy-Based Bounded

Real Lemma Formulation for the Systems with Disturbance-Term Multiplicative

Noise // IFAC-PapersOnLine, 2016, V. 49(13). P. 65-69.

24.

Кустов А.Ю. Условия ограниченности анизотропийной нормы системы с муль-

типликативными шумами // Матер. 13-й Междунар. конф. “Устойчивость и ко-

лебания нелинейных систем управления” (конф. Пятницкого). М.: ИПУ РАН,

2016. С. 235-237.

25.

Юрченков А.В. Вычисление границы анизотропийной нормы для дискретной

системы с мультипликативными шумами // Математика и математическое мо-

делирование. 2017. № 4. С. 28-41.

26.

Yurchenkov A.V. Anisotropy-Based Controller Design for Linear Discret-Time Sys-

tems with Multiplicative Noise // J. of Comput. and Syst. Sci. Int. 2018. V. 57.

No. 6. P. 864-873.

27.

Kustov A.Yu. State-Space Formulas for Anisotropic Norm of Linear Discrete Time

Varying Stochastic Systems // Proc. 15th Int. Conf. on Electrical Eng., Comp. Sci-

ence and Aut. Control (CCE). 2018. P. 6.

28.

Кустов А.Ю., Тимин В.Н. Анизотропийный анализ нестационарных систем на

конечном интервале времени при нецентрированном возмущении // АиТ. 2017.

№ 6. С. 18-35.

Kustov A.Yu., Timin V.N. Anisotropy-based Analysis for Finite Horizon Time-

varying Systems with Non-centered Disturbances // Autom. Remote Control. 2017.

V. 78. No. 6. P. 974-988.

29.

Kustov A.Yu. Anisotropy-based Analysis and Synthesis Problems for Input Distur-

bances with Nonzero Mean // Proc. 15th Int. Carpathian Control Conf. (ICCC-

2014). 2014. P. 291-295.

30.

Yurchenkov A.V. On the Control Design for Linear Time-Invariant Systems

with Moments Constraints of Disturbances in Anisotropy-based Theory // IFAC-

PapersOnLine. 2018. V. 51. No. 32. С. 160-165.