Автоматика и телемеханика, № 1, 2021

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

КРИТЕРИЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ПЕРИОДИЧЕСКОГО СЕЛЕКТОРНО-ЛИНЕЙНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

Рассмотрено периодическое селекторно-линейное дифференциальное

включение. Доказано, что для равномерной асимптотической устойчиво-

сти такого включения необходимо и достаточно существования периоди-

ческой по времени функции Ляпунова квазиквадратичного вида. Получе-

ны оценки функции Ляпунова, которые гарантируют ее положительную

определенность и существование у нее бесконечно малого высшего преде-

ла.

Ключевые слова: периодическое селекторно-линейное дифференциальное

включение, функция Ляпунова.

DOI: 10.31857/S0005231021010049

1. Введение

Изучение систем управления привело к применению теории дифференци-

альных включений. Использованию дифференциальных включений в теории

систем управления посвящена монография [1].

В некоторых случаях, например, таких как задача абсолютной устойчиво-

сти, исследование линейных нестационарных систем, матрица правой части

которых удовлетворяет интервальным ограничениям, исследование устойчи-

вости систем управления, которые содержат элементы с неполной инфор-

мацией, могут быть использованы селекторно-линейные дифференциальные

включения.

Автономным селекторно-линейным включением называется включение

вида

(1)

x ∈ F(x), F(x) = {y : y = Ax, A ∈ Ψ},

где x, y ∈ Rⁿ, Ψ - множество в пространстве (n × n)-матриц. Включение ви-

да (1) называют селекторно-линейным включением, поскольку многозначное

отображение F (x) в (1) представляет собой объединение линейных однознач-

ных отображений (селекторов) Ax, A ∈ Ψ. В случае автономного селекторно-

линейного включения правая часть включения (1) F (x), матрица A, мно-

жество Ψ не зависят от времени. Говорят, что селекторно-линейное вклю-

чение (1) асимптотически устойчиво, если его тривиальное решение x ≡ 0

асимптотически устойчиво.

Автономным селекторно-линейным включениям посвящен ряд публика-

ций. В [2] для автономного селекторно-линейного дифференциального вклю-

чения, у которого множество Ψ является выпуклым многогранником, разра-

ботан итерационный алгоритм построения фунции Ляпунова из класса квад-

ратичных форм. В [3, 4] для автономных селекторно-линейных дифференци-

альных включений, у которых множество Ψ является компактом, получены

необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого

решения в виде существования функций Ляпунова различного вида. В [5-8]

получены различные алгебраические критерии асимптотической устойчиво-

сти автономных селекторно-линейных дифференциальных включений, у ко-

торых множество Ψ является выпуклым многогранником.

В публикациях [9-11], посвященных периодическим по времени дифферен-

циальным включениям, в основном рассматриваются вопросы существова-

ния периодических решений. Немного публикаций посвящено исследованию

свойств решений и вопросу устойчивости периодических по времени диф-

ференциальных включений. Так, например, в [12, 13] исследуются свойства

слабой асимптотической и слабой экспоненциальной устойчивости положения

равновесия периодического по времени дифференциального включения. Со-

гласно приведенным в [12, 13] определениям положение равновесия рассмат-

риваемого периодического дифференциального включения слабо асимптоти-

чески (слабо экспоненциально) устойчиво, если существует хотя бы одно ре-

шение включения, удовлетворяющее условиям обычных определений асимп-

тотической (экспоненциальной) устойчивости положения равновесия диффе-

ренциального включения. В [12, 13] разработан метод исследования слабой

асимптотической и слабой экспоненциальной устойчивости положения рав-

новесия периодического по времени дифференциального включения, состоя-

щий в построении включения первого приближения и исследовании свойств

его решений.

В [14] рассмотрен ряд примеров, приводящих к системам с периодиче-

ски меняющимися параметрами. В [15, 16] решены задачи абсолютной и

робастной устойчивости систем управления с периодически изменяющими-

ся параметрами. В частности, установлено, что рассматриваемые системы

управления с периодическими параметрами эквивалентны, в смысле совпаде-

ния множеств абсолютно непрерывных решений, периодическим по времени

селекторно-линейным дифференциальным и разностным включениям. В [17]

для периодических селекторно-линейных дифференциальных включений с

помощью вариационного подхода были получены критерии асимптотической

устойчивости в общей форме, в виде некоторых предельных соотношений.

Настоящая статья посвящена получению критерия асимптотической устойчи-

вости периодических селекторно-линейных дифференциальных включений с

помощью метода функций Ляпунова.

2. Постановка задачи

Рассмотрим селекторно-линейное периодическое дифференциальное

включение вида

(2)

x ∈ F(t,x), F(t,x) = {y : y = B(t)x, B(t) ∈ Ω(t)}, Ω(t + T) = Ω(t),

где x, y ∈ Rⁿ, F : Rⁿ⁺¹ → Rⁿ - многозначное отображение, функция x(t) ≡ 0 -

положение равновесия дифференциального включения (2). Ω(t) - выпук-

лое, компактное множество действительных (n × n)-матриц. Предполага-

ется, что элементы матрицы B(t) являются периодическими с перио-

дом T > 0, ограниченными и измеримыми функциями. Решением вклю-

чения (2) будем называть абсолютно непрерывную вектор-функцию x(t),

определенную на интервале или отрезке I, которая почти всюду на I

удовлетворяет

(2). Многозначная функция F (t, x) в некоторой обла-

сти G = {0 ≤ t ≤ T, x ∈ G_R, G_R = {x₀ : ∥x₀∥ ≤ R}} удовлетворяет основным

условиям [18, с. 60], т.е. при всех (t, x) ∈ G множество F (t, x) ⊂ Rⁿ непустое,

ограниченное, замкнутое, выпуклое и функция F (t, x) полунепрерывна свер-

ху [18, с. 52] по (t,x). В силу периодичности по t многозначной функции

F (t, x) при исследовании свойств решений x(t, t₀, x₀) включения (2) без огра-

ничения общности можно считать, что t₀ ∈ [0, T ].

Определение 1. Включение (2) называется равномерно устойчивым,

если для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0, такое, что как только на-

чальные условия x(t₀) = x₀ удовлетворяют условию ∥x₀∥ < δ(ε), решение

x(t, t₀, x₀) включения (2) с начальным условием x₀ удовлетворяет неравен-

ству ∥x(t,t₀,x₀)∥ < ε при всех t ≥ t₀ ≥ 0 и при любой матрице B(t) ∈ Ω(t).

Определение 1 требует наличия такой окрестности нуля, что решения, на-

чинающиеся в этой окрестности, существуют для всех t ≥ 0.

Определение 2. Включение (2) называется равномерно асимптоти-

чески устойчивым если выполнены условия определения 1 и равномерно от-

носительно B(t) ∈ Ω(t), t₀ ≥ 0 и x₀ из всякого шара G_R = {x₀ : ∥x₀∥ ≤ R}

выполняется предельное соотношение lim_t→∞ x(t, t₀, x₀) = 0, т.е. для

любых η > 0 и R > 0 существует такое τ(η, R) ≥ 0, что при всех

t ≥ t₀ + τ(η,R) для решений x(t,t₀,x₀) включения (2) выполняется неравен-

ство ∥x(t,t₀,x₀)∥ < η при любом выборе B(t) ∈ Ω(t), начального момента

времени t₀ и начального условия x₀ ∈ G_R.

Определение 3. Включение (2) называется равномерно экспоненци-

ально устойчивым, если существуют такие числа α > 0 и β ≥ 1, что для

любого решения x(t, t₀, x₀) включения (2) выполнено неравенство

∥x(t, t₀, x₀)∥ ≤ β ∥x₀∥ exp(-α(t - t₀))

при любой матрице B(t) ∈ Ω(t) и любых t₀ ≥ 0 и x₀ ∈ Rⁿ.

Заметим, что определение неравномерной асимптотической устойчивости

отличалось бы от определения 2 тем, что число δ зависело бы от B(t) ∈ Ω(t) и

t₀ ≥ 0, а величина τ зависела бы от B(t) ∈ Ω(t), t₀ ≥ 0 и x₀ ∈ Rⁿ. Определение

неравномерной экспоненциальной устойчивости отличалось бы от определе-

ния 3 тем, что числа α и β зависели бы от B(t) ∈ Ω(t), t₀ ≥ 0 и x₀ ∈ Rⁿ.

В [17] для включения (2) доказана эквивалентность свойств равномерной

асимптотической устойчивости и равномерной экспоненциальной устойчиво-

сти и с использованием вариационного подхода получено необходимое и до-

статочное условие равномерной асимптотической устойчивости в виде неко-

торого предельного соотношения.

В настоящее время основными методами анализа устойчивости дифферен-

циальных включений являются метод функций Ляпунова и метод, основан-

ный на исследовании первого приближения. В качестве первого приближе-

ния могут рассматриваться, например, выпуклые процессы многозначные

отображения специального вида [12, 13]. Центральное место в рамках мето-

да функций Ляпунова занимает вопрос о построении функций Ляпунова с

требуемыми свойствами, гарантирующими выполнение всех условий соответ-

ствующего определения устойчивости того или иного типа. Задача состоит в

выделении класса функций Ляпунова, определяющих необходимые и доста-

точные условия равномерной асимптотической устойчивости включения (2).

3. Основной результат

Нестационарная функция Ляпунова v(t, x), которая строится далее, явля-

ется локально липшицевой, периодической (с периодом T ) по t ≥ 0, выпуклой

по x₀ ∈ Rⁿ и, вообще говоря, не является непрерывно дифференцируемой по

совокупности переменных (t, x), что обычно предполагается в классических

теоремах Ляпунова для нестационарного случая. По этой причине необходи-

мо использовать понятие обобщенной производной функции Ляпунова v(t, x)

в силу дифференциального включения (2).

Под производной функции Ляпунова v(t, x) в силу включения (2) будем

понимать функцию

(3)

w(t, x) = max

D^+y

v(t, x),

y∈F (t,x)

где функция

(4)

D^+yv(t,x) = lim h^-1

[v(t + h, x + hy) - v(t, x)]

h→+0

непрерывна по y, поскольку функция v(t, x) удовлетворяет локальному усло-

вию Липшица.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы включение (2) было равномерно асимптоти-

чески устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовала периоди-

ческая по t с периодом T функция Ляпунова v(t, x) вида

v(t, x) = x^′L(t, x)x,

(5)

L^′(t,x) = L(t,x) = L(t,µx), x = 0, µ = 0, v(t,0) ≡ 0,

L(t + T, x) = L(t, x),

удовлетворяющая локальному условию Липшица при t ≥ 0, x ∈ Rⁿ, строго

выпуклая по x ∈ Rⁿ, положительно однородная (второй степени), произ-

водная которой в силу включения (2) удовлетворяет неравенству

∑

(6)

w(t, x) = max

D^+yv(t,x) ≤ -γ ∥x∥² , γ > 0,

∥x∥² =

x²ⁱ

y∈F (t,x)

i=1

при всех t ≥ 0, x ∈ Rⁿ.

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Функция Ляпунова (5) является выпуклой, и, вообще говоря, не являет-

ся непрерывно дифференцируемой. Поэтому применение такой функции при

исследовании устойчивости включения (2) связано с использованием обобще-

ния классических теорем прямого метода Ляпунова. Применительно к слу-

чаю выпуклых функций Ляпунова такое обобщение сводится к тому, что

вместо производной гладкой функции v(t, x) в силу системы необходимо рас-

сматривать одностороннюю производную по направлению векторного поля

в соответствии с формулами (3), (4), поскольку выпуклая функция v(t, x),

вообще говоря, может не быть непрерывно дифференцируемой функцией,

но имеет производные по любому направлению. В выпуклом случае произ-

водная (3), (4) в обобщенных теоремах Ляпунова второго метода Ляпуно-

ва играет ту же роль, что и производная в силу системы в случае гладких

функций Ляпунова. При построении функции Ляпунова с помощью фор-

мулы (П.2) определяется функция S(t, t₀, x₀), а затем с помощью форму-

лы (П.11), в виде интеграла, определяется функция Ляпунова v(t, x). Такая

конструкция обеспечивает строгую выпуклость, положительную определен-

ность v(t, x) и отрицательную определенность ее производной w(t, x). Свой-

ство L^′(t, x) = L(t, x) = L(t, µx) непосредственно вытекает из выбранной кон-

струкции функции Ляпунова. Оценка (6) гарантирует отрицательную опре-

деленность производной w(t, x), что в соответствии с методом Ляпунова, при-

мененным к включению (2), обеспечивает его равномерную асимптотическую

устойчивость.

В отличие от классических теорем об асимптотической устойчивости [19],

в которых требуется положительная определенность функции Ляпунова и

существование у нее бесконечно малого высшего предела, в теореме ничего

не говорится о таких свойствах функции v(t, x). Это связано с тем, что в

условиях теоремы указанные свойства функции v(t, x) вида (5) вытекают из

следующей леммы.

Лемма. Пусть непрерывная при t ≥ 0, x ∈ Rⁿ периодическая по t функ-

ция v(t, x) строго выпукла и положительно однородна (степени s ≥ 2) по

x₀ ∈ Rⁿ (т.е. v(t,µx) = µ^sv(t,x) при всех t ≥ 0, x ∈ Rⁿ, µ > 0). Тогда суще-

ствуют такие константы λ₂ ≥ λ₁ > 0, что справедливы неравенства

(7)

λ₁ ∥x∥^s ≤ v(t,x) ≤ λ₂ ∥x∥^s

при всех t ≥ 0, x₀ ∈ Rⁿ.

Доказательство леммы приведено в Приложении.

В условиях леммы свойства положительной определенности и существо-

вания бесконечно малого предела функции v(t, x) вытекают непосредственно

из оценок (7).

4. Заключение

В публикациях, посвященных автономным селекторно-линейным диффе-

ренциальным включениям (1) со стационарным множеством Ψ, использова-

лись стационарные функции Ляпунова. В данной статье впервые рассмотре-

ны периодические селекторно-линейные дифференциальные включения (2),

где Ω(t) - периодическое, выпуклое, компактное множество действительных

(n × n)-матриц. В [15] в связи с задачей абсолютной устойчивости был рас-

смотрен частный случай таких включений. Задача построения нестационар-

ной функции Ляпунова для включения (2) ранее не рассматривалась.

Доказано, что для равномерной асимптотической устойчивости таких

включений необходимо и достаточно существования единой, нестационарной

(периодической по времени) функции Ляпунова квазиквадратичного вида.

Получены оценки выбранной функции Ляпунова, которые гарантируют ее

положительную определенность и существование у нее бесконечно малого

высшего предела.

Класс функций Ляпунова (5) является обобщением на случай включе-

ния (2) квадратичных функций Ляпунова v(t, x) = x^′P (t)x, P (t) = P (t + T ),

определяющих необходимые и достаточные условия экспоненциальной устой-

чивости линейных периодических систем вида

x = A(t)x с однозначной

правой частью [19], и обобщением квазиквадратичных функций Ляпунова

v(x) = x^′P (x)x, построенных для автономного селекторно-линейного вклю-

чения в (3).

В [17] для включения (2) установлена эквивалентность свойств равномер-

ной асимптотической устойчивости и равномерной экспоненциальной устой-

чивости. Таким образом, доказанная в Приложении теорема является также

критерием равномерной экспоненциальной устойчивости включения (2).

Полученный результат может найти применение при изучении устойчиво-

сти систем управления с периодическими параметрами, в частности следя-

щих систем, элементы которых работают на переменном токе, систем управ-

ления с амплитудно-импульсной модуляцией и систем, используемых при ре-

шении задач, связанных с исследованием вибраций фрезерных станков.

Дальнейшее исследование рассмотренного в данной статье включения (2)

может быть связано с получением условий слабой асимптотической и сла-

бой экспоненциальной устойчивости. Представляет также интерес выделение

класса функций Ляпунова, устанавливающих необходимые и достаточные

условия асимптотической устойчивости периодических селекторно-линейных

разностных включений.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы. Из условий леммы следует, что v(t,0) ≡ 0

для всех t ≥ 0 в силу положительной однородности функции v(t, x). Так

как функция v(t, x) строго выпукла по x ∈ Rⁿ, то при любых x = 0 и µ

(0 < µ < 1) выполнено неравенство v(t, µx + (1 - µ)0) < µv(t, x) + (1 - µ)v(t, 0)

или v(t, µx) < µv(t, x). Последнее неравенство можно переписать в виде

µ(1 - µ^s-1)v(t, x) > 0. Следовательно, v(t, x) > 0 для всех x = 0 и t ≥ 0.

Пусть t ∈ [0, T ]. Так как функция v(t, x) непрерывна, то функции w₁(x) =

= min_t∈[0,T] v(t,x), w₂(x) = max_t∈[0,T] ν(t,x) непрерывны и положительно

определены в Rⁿ, причем для всех x ∈ Rⁿ, t ∈ [0, T ] справедливы неравенства

w₁(x) ≤ v(t,x) ≤ w₂(x). В силу периодичности функции v(t,x) по t последние

неравенств

(

)

(

)

w₁(x) = w₁

∥x∥^x

= ∥x∥^s

w₁

, x = 0. Аналогичное равенство выпол-

∥x∥

нено для функции w₂(x). В силу непрерывности функций w₁(x), w₂(x) в Rⁿ

и компактности единичной сферы Sⁿ = {x : ∥x∥ = 1} следует неравенство (7),

где λ₁ = min_x∈Sn w₁(t, x), λ₂ = max_x∈Sn w₂(t, x), λ₂ ≥ λ₁ > 0. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Необходимость. Рассмотрим систему

дифференциальных уравнений

(Π.1)

x = B(t)x, x₀ ∈ Rⁿ,

B(t) ∈ Ω(t), Ω(t + T ) = Ω(t).

Заметим, что любое решение x_B(t, t₀, x₀) включения (2) при x_B(t₀) = x₀

и B(t) ∈ Ω(t), t ≥ t₀ можно представить в виде x_B(t,t₀,x₀) = Φ_B(t,t₀)x₀, где

Φ_B(t,t₀) - матрицант системы (П.1).

Рассмотрим функцию

(Π.2)

S(t, t₀, x₀) = max

∥x_B(t,t₀,x₀)∥² = max

∥Φ_B(t, t₀)x₀∥² .

B(t)∈Ω(t)

Функцию S(t, t₀, x₀) можно записать в виде

(Π.3)

S(t, t₀, x₀) =

max

∥x∥² = H²(X(t, t₀, x₀

), 0),

x∈X(t,t₀,x₀)

где X(t, t₀, x₀) - сечение в момент t ≥ t₀ интегральной воронки включения (2),

выпущенной из точки (t₀, x₀), H(X(t, t₀, x₀), 0) - хаусдорфово расстояние от

сечения X(t, t₀, x₀) до нуля. Функция S(t, t₀, x₀) определена при при всех

x₀ ∈ Rⁿ и t ≥ t₀ ≥ 0, поскольку множество решений {x(t,t₀,x₀)} включе-

ния (2) компактно [20] на любом конечном интервале [t₀, t]. Из неравенства

√

√



S(t, t₁, x₁) -

S(t, t₀, x₀) ≤ H(X(t,t1,x1),X(t,t0,x0)),

вытекающего из (П.3) и теорем 15, 18 в [20], следует, что функция S(t, t₀, x₀)

непрерывна по (t₀, x₀), t ≥ 0, x₀ ∈ Rⁿ при всяком фиксированном t ≥ t₀ и

непрерывна по t ≥ t₀ при фиксированных (t₀, x₀).

Докажем, что функция S(t, t₀, x₀) строго выпукла по x₀ ∈ Rⁿ. Пусть

x₀ = y₀, λ ∈ (0,1). Условие строгой выпуклости функции S(t,t₀,x₀) имеет вид

S(λx₀ + (1 - λ)y₀) = max

∥Φ_B(t, t₀)(λx₀ + (1 - λ)y₀)∥² <

B(t)∈Ω(t)

(Π.4)

< λ max

∥Φ_B(t,t₀)x₀∥² + (1 - λ) max

∥Φ_B(t,t₀)y₀∥² .

B(t)∈Ω(t)

Покажем, что неравенство (П.4) выполнено. Заметим, что справедливо

неравенство

∥Φ_B(t, t₀)(λx₀ + (1 - λ)y₀)∥² ≤

(Π.5)

≤ (λ ∥Φ_B(t, t₀)x₀∥ + (1 - λ) ∥Φ_B(t, t₀)y₀∥)² .

Оценим правую часть неравенства (П.5). Так как x₀ = y₀, выполнено нера-

венство

(

)₂

(Π.6)

∥Φ_B(t,t₀)x₀∥² - ∥Φ_B(t,t₀)y₀∥²

> 0.

Из условия λ ∈ (0, 1) и неравенства (П.6) следует

2λ(1 - λ) ∥Φ_B(t, t₀)x₀∥ ∥Φ_B(t, t₀)y₀∥ -

(

)

(Π.7)

- λ(1 - λ)

∥Φ_B(t,t₀)x₀∥² + ∥Φ_B(t,t₀)y₀∥2

< 0.

Преобразуя неравенство (П.7), получим

(λ ∥Φ_B(t, t₀)x₀∥ + (1 - λ) ∥Φ_B(t, t₀)y₀∥)² <

(Π.8)

< λ∥Φ_B(t,t₀)x₀∥² + (1 - λ)∥Φ_B(t,t₀)y₀∥2 .

Из (П.8) и (П.5) следует неравенство (П.4), что и доказывает строгую

выпуклость функции S(t, t₀, x₀) по x₀.

Из обобщенной теоремы Филиппова [21] следует, что функция S(t, t₀, x₀)

является локально Липшицевой по (t₀, x₀) равномерно по t ≥ t₀.

Как уже отмечалось выше, для включения (2) равномерная абсолют-

ная устойчивость эквивалентна равномерной экспоненциальной абсолютной

устойчивости. Поэтому для ее решений x_B(t, t₀, x₀) справедлива оценка

(Π.9)

∥x_B(t,t₀,x₀)∥ ≤ β ∥x₀∥ exp(-α(t - t₀)), t ≥ t₀,

где числа α > 0, β ≥ 1 не зависят от B(t) ∈ Ω(t), t ≥ t₀, x₀ ∈ Rⁿ. Из (П.2)

и (П.9) следует неравенство

(Π.10)

S(t, t₀, x₀) ≤ β² ∥x₀∥² exp(-2α(τ - t₀)), τ ≥ t₀.

В каждой точке (t₀, x₀), x₀ ∈ Rⁿ, t₀ ≥ 0 функцию Ляпунова v(t₀, x₀) опре-

делим соотношением

∫

(Π.11)

v(t₀, x₀) =

S(τ, t₀, x₀)dτ, T₁ > α^-1

ln β.

t₀

Из строгой выпуклости функции S(t, t₀, x₀) по x₀ следует строгая выпук-

лость функции v(t₀, x₀) по x₀ ∈ Rⁿ при всяком фиксированном t₀ ≥ 0. В си-

лу (П.3) S(τ, t₀, 0) ≡ 0, 0 ≤ t₀ ≤ τ.

Пусть B₁(τ, t₀, x₀) ∈ Ω(τ)

- решение вариационной задачи (П.3), а

ΦB1(τ,t₀,x₀) - матрициант системы (П.1) при B(τ) = B₁(τ,t₀,x₀). Тогда при

x₀ = 0

S(t, t₀, x₀) = x^′0Φ^′B

(Π.12)

(τ, t₀, x₀)ΦB1 (τ, t₀, x₀)x₀ = x^′0P (τ, t₀, x₀)x₀,

P^′(τ,t₀,x₀) = P(τ,t₀,x₀).

Из (П.11), (П.12) следует, что v(t₀, 0) ≡ 0 при всех t₀ ≥ 0 и

_t



∫

v(t₀, x₀) = x^′0 

P (ξ, t₀, x₀)dξ x₀ = x^′0L(t₀, x₀)x₀,

(Π.13)

t₀

L^′(t₀,x₀) = L(t₀,x₀).

Пусть XB1 (t, t₀, x₀) - сечение в момент t ≥ t₀ интегральной воронки вклю-

чения (2), выходящей из точки (t₀, x₀). В силу периодичности включения (2)

XB1(t,t₀,x₀) = XB1 × (t + T,t₀ + T,x₀) (см. [22]). Из (П.11)-(П.13) и послед-

него равенства следует, что L(t₀, x₀) = L(t₀ + T, x₀) при всех x₀ ∈ Rⁿ, t₀ ≥ 0.

Так как S(τ, t₀, µx₀) = µ²S(τ, t₀, x₀), то v(t₀, µx₀) = µ²v(t₀, x₀) и

(Π.14)

v(t, x) = x^′L(t, x)x = x^′

L(t, µx)x, x = 0, µ = 0, t ≥ 0.

Пусть x = 0, τ₁ = ∥x∥^-1, τ₂ = - ∥x∥^-1. Тогда функцию v(t, x) можно предста-

вить в виде v(t, x) = x^′L₁(t, x)x, где

(Π.15)

L₁(t,x) = 2^-1[L(t,τ₁x) + L(t,τ₂

x)].

При этом матрица L₁(t, x) удовлетворяет условию L₁(t, µx) = L₁(t, x) =

= L^′1(t,x) при всех x = 0, µ = 0, t ≥ 0.

Следовательно, можно считать, что матрица L(t, x) в (П.14) удовлетворя-

ет равенствам L(t, x) = L(t, µx) = L^′(t, x) при всех x = 0, µ = 0, t ≥ 0. Таким

образом, функция v(t, x), определенная в соответствии с (П.11), может быть

представлена в виде (5).

Перейдем к доказательству неравенства (6). Так как функция S(t, t₀, x₀)

удовлетворяет локальному условию Липшица по (t₀, x₀) равномерно по t ≥ t₀,

то функция v(t, x) также удовлетворяет локальному условию Липшица. По-

этому для любых x₀ ∈ Rⁿ, t₀ ≥ 0, y ∈ F (t₀, x₀) справедливо соотношение

D^+yv(t₀,x₀) = lim

h^-1[v(t₀ + h,x₀ + hy) - v(t₀,x₀)] =

h→+0

= lim

h^-1[v(t₀ + h,x₀ + hy + o(h)) - v(t₀,x₀)] =

(Π.16)

h→+0

= lim

h^-1[v(t₀ + h,x_Λ(t₀ + h,t₀,x₀)) - v(t₀,x₀)],

h→+0

где y ∈ F (t₀, x₀), o(h) выбрано из условия x₀ + hy + o(h) = x_Λ(t₀ + h, t₀, x₀),

а x_Λ(t,t₀,x₀) - решение включения (2) при B(t) ≡ Λ = const.

Из (П.11) и (П.16) следует

h^-1[v(t₀ + h,x_Λ(t₀ + h,t₀,x₀)) - v(t₀,x₀)] =







∫



(Π.17)

=h^-1

S(τ, t₀ + h, x_Λ(t₀ + h, t₀, x₀))dτ -

S(τ, t₀, x₀)dτ





t₀

при h > 0. Заметим, что сечения X(t, t₀, x₀) интегральной воронки включе-

ния (2) удовлетворяют полугрупповому свойству обобщенных динамических

систем [23], из которого вытекает включение

(Π.18)

X(τ, t₀ + h, x_Λ(t₀ + h, t₀, x₀)) ⊂ X(τ, t₀, x₀

Из (П.18) и определения S(τ, t₀, x₀) следует неравенство

S(τ, t₀ + h, x_λ(t₀ + h, t₀, x₀)) ≤ S(τ, t₀, x₀), τ ≤ t₀, h > 0.

Из (П.17) и последнего неравенства следует

h^-1[v(t₀ + h,x_Λ(t₀ + h,t₀,x₀)) - v(t₀,x₀)] ≤







∫



≤h^-1

S(τ, t₀, x₀)dτ -

S(τ, t₀, x₀)dτ





(Π.19)

t₀+h

t₀







∫



=h^-1

S(τ, t₀, x₀)dτ -

S(τ, t₀, x₀)dτ





t₀

при h > 0. Из (П.16) и (П.19) получим

w(t₀, x₀) = max

D^+yv(t₀,x₀) ≤

y∈F (t₀,x₀)





(Π.20)



∫



≤ lim

h^-1

S(τ, t₀, x₀)dτ -

S(τ, t₀, x₀)dτ

h→+0





t₀

В силу непрерывности функции S(τ, t₀, x₀) по τ и неравенства (П.20) мож-

но перейти к обычному пределу при h → +0. Поэтому из (П.10) и (П.20)

получим следующее неравенство: w(t, x) ≤ S(t₀ + T₁, t₀, x₀) - S(t₀, t₀, x₀) ≤

≤ -(1 - β² exp(-2αT₁))∥x₀∥², из которого в силу произвольности x₀ ∈ Rⁿ и

t₀ ≥ 0 следует оценка (6) при γ = 1 - β² exp(-2αT₁) > 0.

Достаточность. Рассмотрим любое абсолютно непрерывное решение

x(t) = x_B(t, t₀, x₀) включения (2), где x₀ принадлежит шару произвольно-

го радиуса ρ(∥x₀∥ ≤ ρ) и 0 ≤ t₀ ≤ t ≤ T₁. Поскольку функция v(t, x) удо-

влетворяет локальному условию Липшица при всех x ∈ Rⁿ, t ≥ 0, функция

V (t) = v(t, x(t)) будет локально липшицевой, а значит, и абсолютно непрерыв-

ной при t ≥ 0. В силу этого свойства функции V (t) почти всюду на отрезке

[t₀, T₁] справедливы равенства

= lim

h^-1[V (t + h) - V (t)] = lim h^-1[V (t + h) - V (t)] =

h→+0

(Π.21)

= lim h^-1[v(t + h, x(t + h)) - v(t, x(t))] =

h→+0

= lim

h^-1[v(t + h,x(t) + h x(t)) - v(t,x(t))] = D^+˙x(t)v(t,x(t)),

h→+0

где x(t) ∈ F (t, x(t)) - производная исходной функции x(t).

Из (П.21) с учетом (3), (4) и (6) получим неравенство

= D^+˙x(t)v(t,x(t)) ≤ max

D^+yv(t,x(t)) =

(Π.22)

y∈F (t,x(t))

= w(t,x) ≤ -γ ∥x(t)∥² , γ > 0,

которое справедливо почти при всех t ≥ 0.

Из леммы следует, что в условиях теоремы функция v(t, x) вида (5) удо-

влетворяет неравенствам λ₁ ∥x∥² ≤ v(t, x) ≤ λ₂ ∥x∥² при всех t ≥ 0, x ∈ Rⁿ.

Из этих неравенств и (П.22) для решений включения (2) вытекает экспонен-

√

циальная оценка (П.9) при α = γ/2λ₂ > 0 и β =

λ₂/λ₁ ≥ 1. Следователь-

но, в условиях теоремы включение (2) является равномерно асимптотически

устойчивым. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Han Z., Cai X., Huang J. Theory of Control Systems Described by Differential

Inclusions. Springer, 2016.

Kamenetsky V.A., Pyatnitskii E.S. An Iterative Method of Lyapunov Function Con-

struction for Differential Inclusions // Systems & Control Letters. 1987. No. 8.

P. 445-451.

Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Критерии устойчивости селекторно-

линейных дифференциальных включений // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297.

№ 1. С. 37-40.

Molchanov A.P., Pyatnitskii E.S. Criteria of Asymptotic Stability of Differential

and Difference Inclusions Encountered in Control Theory // Systems & Control

Letters. 1989. No. 13. P. 59-64.

Rapoport L.B., Pyatnitskii E.S. Criteria of Asymptotic Stability of Differential In-

clusions and Periodic Motions of Time-Varying Nonlinear Control Systems // IEEE

Trans. Circ. Syst. I: Fundamental Theory and Applications. 1996. V. 43. No. 3.

P. 219-229.

Rapoport L.B. Asymptotic Stability and Periodic Motions of Selector-Linear Differ-

ential Inclusions // In: Garafalo F., Glielmo L. (eds) Robust Control Via Variable

Structure and Lyapunov Techniques. Lecture Notes in Control and Information

Sciences. Springer. Berlin Heidelberg. 1996. V. 217. P. 269-285.

Иванов Г.Г., Алферов Г.В., Ефимова П.А. Устойчивость селекторно-линейных

дифференциальных включений // Вестн. Пермского университета. Математи-

ка. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2(37). С. 25-30.

Kadry S., Alferov G., Ivanov G., Sharlay A. About Stability of Selector Lin-

ear Differential Inclusions // AIP Conference Proceedings. 2004. 150013 (2018);

https://doi.org/10.1063/1.5079216.

Li G., Xue X. On the Existence of Periodic Solutions for Differential Inclusions //

J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 276. Iss. 1. P. 168-183.

10.

Filippakis M., Gasinski L., Papageorgiou N.S. Existence Theorems for Periodic Dif-

ferential Inclusions in RN // ACTA MATH APPL SIN-E. 2004. V. 20. No. 2.

P. 179-190.

11.

Filippakis M., Gasinski L., Papageorgiou N.S. Periodic Solutions for Differential

Inclusions in R^N // Archivum Mathematicum. 2006. V. 42. No. 2. P. 115-123.

12.

Smirnov G.V. Weak Asymptotic Stability at First Approximation for Periodic Dif-

ferential Inclusions // Nonlinear Differential Equations and Applications. 1995. V. 2.

No. 4. P. 445-461.

13.

Gama R., Smirnov G.V. Weak Exponential Stability for Time-Periodic Differen-

tial Inclusions Via First Approximation Averaging // Set-Valued and Variational

Analysis. 2013. V. 21. Iss. 2. P. 191-200.

14.

Шильман С.В. Метод производящих функций в теории динамических систем.

М.: Наука, 1978.

15.

Молчанов А.П., Морозов М.В. Абсолютная устойчивость нелинейных неста-

ционарных систем управления с периодической линейной частью // АиТ. 1992.

№ 2. С. 49-59.

Molchanov A.P., Morozov M.V. Absolute Stability of Nonlinear Nonstationary Con-

trol Systems with Periodic Linear Sections // Autom. Remote Control. 1992. V. 53.

No. 2. Part 1. P. 189-198.

16.

Морозов М.В. Критерии робастной устойчивости нестационарных систем с ин-

тервальными ограничениями // Тр. ИСА РАН. 2016. Т. 66. Вып. 4. С. 4-9.

17.

Морозов М.В. Свойства селекторно-линейных периодических дифференциаль-

ных включений // Тр. ИСА РАН. 2020. Т. 70. Вып. 1. С. 99-105.

18.

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.

М.: Наука, 1985.

19.

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

20.

Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных

включений (обзор) // Summer School on Ordinary Differential Equations. Brno.

1975. C. 29-67.

21.

Frankowska H. Contingent Cones to Reachable Sets of Control Systems // Siam J.

Control Optim. 1989. V. 27. No. 1. P. 170-198.

22.

Kloeden P.E. Asymtotic Invariance and Limit Sets of General Control Systems //

J. Differential Equations. 1975. V. 19. No. 1. P. 91-105.

23.

Roxin E.O. Stability of General Control Systems // J. Differential Equations. 1965.

V. 1. No. 2. P. 115-150.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Л.Б. Рапопортом.

Поступила в редакцию 19.05.2020

После доработки 07.07.2020

Принята к публикации 09.07.2020