Автоматика и телемеханика, № 1, 2021

(Санкт-Петербургский государственный университет)

ОБ АДАПТИВНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ДВУХТОЧЕЧНОЙ

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В УСЛОВИЯХ ЧАСТИЧНОЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОЛЯ

Рассматривается построение адаптивного алгоритма решения краевой

задачи, обеспечивающей попадание траектории, выпущенной из некото-

рой точки, в мишень конечного размера на заданный момент времени, в

условиях частичной неопределенности возмущающего поля. Несмотря на

то, что некоторая составляющая возмущающего поля неизвестна в явном

виде, но существенна для обеспечения попадания в мишень заданного

размера, при выполнении ряда условий, построена итерационная проце-

дура решения поставленной задачи за конечное число шагов. Алгоритм

основан на использовании пробных траекторий, допускающих в качестве

обратной связи измерение их отклонений от центра мишени, что оказыва-

ется достаточным для компенсации неполноты информации относительно

внешнего поля возмущений.

Ключевые слова: адаптивное управление, двухточечные краевые задачи,

условия неопределенности, дифференциальные уравнения.

DOI: 10.31857/S0005231021010062

1. Введение

Примерами адаптивного подхода к решению двухточечной краевой зада-

чи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) могут служить

метод пристрелки [1], а также использование таблиц стрельбы в рамках ме-

тодологии решения задач внешней баллистики (ЗВБ) [2, 3], когда некоторая

составляющая внешнего поля, влияющая на изменение траектории движе-

ния и существенная для обеспечения требуемой точности, не поддается точ-

ному описанию. В этом случае отсутствие указанной информации пытаются

компенсировать использованием “пробных траекторий”, когда, исходя из от-

клонений траекторий, отвечающих всему внешнему полю, ставят вопрос о

решении некоторой двухточечной краевой задачи, не прибегая при этом к

восстановлению явной структуры всего существенного поля, воздействую-

щего на траекторию движения, а лишь используя определенную модель с

неизвестными коэффициентами, подлежащими определению опытным путем.

Приведенные соображения лежат в основе полуэмпирических таблиц стрель-

бы, широко используемых в теории и практике науки о внешней баллисти-

ке [4, 5]. Слово “полуэмпирический” в их названии подчеркивает тот факт,

что указанные таблицы не претендуют на построение математически строго

обоснованных конечносходящихся алгоритмов (КСА) [6], отвечающих реше-

нию ЗВБ, а лишь только “подсказывают” рекомендуемую последовательность

119

действий, разработанных частично эмпирическим путем и доказавших свою

эффективность на практике. Понятно, что такой подход имеет изъяны не

только с теоретической, но и практической точки зрения. В частности, по-

добные таблицы жестко привязаны к конкретным внешним условиям, что

существенно ограничивает географию их применения. Кроме того, наличие

большого количества учитываемых в таблицах факторов, вызванных стрем-

лением увеличить точность попадания, может привести к тому, что возмож-

ные ошибки в определении параметров одного из них, становятся по своей

значимости сопоставимыми с влиянием непосредственно других факторов на

траекторию движения. В связи с вышесказанным возникает обоснованное

стремление сформулировать и математически строго обосновать, при выпол-

нении определенных условий, КСА решения ЗВБ, адаптированный примени-

тельно к широкому классу неизвестных внешних возмущений и не требующий

детальной априорной информации о структуре возмущающего поля. Иссле-

дованию обозначенной проблемы в рамках определенных, наложенных ниже

ограничений, посвящена данная статья.

2. Постановка задачи

Рассмотрим систему ОДУ

(1)

= F(x),

(

)

где x =

, r ∈ Rⁿ, v ∈ Rⁿ. Здесь r имеет смысл координаты, а v - скорости

материальной точки, в то время как функция F (x) определяет ее ускорение,

при этом предполагается, что F (x) ∈ C¹(R²ⁿ). Относительно (1) поставим

следующую краевую задачу:

(2)

r(0) = 0, r(T ) ∈ R_c,

где величина T задана, R_c представляет собой шар с центром в точке r_c и

радиусом d, определяемый нормой вектора b с элементами (b₁, . . . , b_n):

∥b∥₁ = max|bi|.

Кроме того, в дальнейшем будет использоваться согласованная с ней нор-

ма матрицы A:

∑

|||A|||₁ = max

|a_ij |,

j=1

где a_ij - элементы матрицы A[n × n].

Наряду с (1) рассмотрим “укороченное” уравнение

(3)

=F₀

(x),

120

где F₀ отвечает явно заданной части внешнего поля, предполагается, что

F₀(x) ∈ C¹(R²ⁿ), остальная часть поля F - F₀ является “малой” в определен-

ном далее смысле и, вообще говоря, не известна в явном виде, хотя относи-

тельно нее существует некоторая приведенная ниже оценка сверху.

Для уравнения (3) поставим следующую краевую задачу:

(4)

r(0) = 0, r(T ) = r_c.

(

)

r(t)

Предположим, что задача (3), (4) разрешима, и обозначим через x(t) =

v(t)

одно из ее решений. Введем в рассмотрение вектор y(t) = x(t) - x(t), поло-

(

)

δr(t)

жим y(t) =

, δr ∈ Rⁿ, δv ∈ Rⁿ и запишем вместо (1) уравнение в ва-

δv(t)

риациях

(5)

= A(t)y + εf(t, y),

(x(t)), пред-

ставляет собой матрицу Якоби, вычисленную на траектории решения зада-

чи (3), (4), и является непрерывной в силу указанной выше гладкости функ-

ции F₀, вектор-функция f(t, y) = F (x(t) + y) - F₀(x(t)) - A(t)y непрерывна

по t и непрерывно дифференцируема по y в силу предположенной выше глад-

кости функций F₀(x) и F (x), при этом f(t, y), вообще говоря, не обязательно

должна допускать представление в явном виде, ε - малый параметр, харак-

теризующий малость поля f(t, y) в малой окрестности траектории x(t). Со-

ответственно задача (2) для уравнения (5) перепишется следующим образом:

(6)

δr(0) = 0, δr(T) ∈ R₀,

где R₀ - шар в норме ∥ · ∥₁ с центром в нуле и диаметром d = O(ε^γ ), γ ≥ 1.

Смысл последнего условия относительно d означает, что размер мишени мо-

жет быть величиной сколь угодно большого порядка малости относительно

величины отклонения траектории от центра мишени под воздействием неиз-

вестной составляющей возмущающего поля.

Используя метод вариации произвольных постоянных, введем в рассмот-

рение функцию z(t) исходя из соотношения y(t) = B(t)z(t), где B(t) - матрица

фундаментальных решений линейной части системы (5), отвечающей ε = 0,

при этом B(0) = E, где E - единичная матрица. Таким образом, относительно

z(t) получим уравнение

(7)

= εB^-1

(t)f(t, B(t)z(t)) = εg(t, z),

где

(p(t))

z(t) =

p ∈ Rⁿ, q ∈ Rⁿ, g(t,z)

q(t)

121

введенное для краткости обозначение, при этом матрица фундаментальных

решений имеет структуру

)

(B₁(t) B₂(t)

B(t) =

B₃(t) B₄(t)

где каждая из матриц B_i(t) имеет размерность [n × n]. Соответственно, за-

дача (2) для уравнения (7) примет следующий вид:

(8)

p(0) = 0, B₁(T )p(T ) + B₂(T )q(T ) ∈ R₀.

Дополнительно потребуем существования матрицы B^-12(T ) и справедливости

оценки



∂gi



(9)

≤ K(t),



∂z_j

где K(t) - известная непрерывная функция. Кроме того, введем в рассмот-

рение следующие обозначения:

(10)

δz(t) = z(t) - z(0), δp(t) = p(t) - p(0), δq(t) = q(t) - q(0),

при этом p(0) ≡ 0 и в дальнейшем для удобства будем обозначать q(0) через q₀.

Таким образом, окончательно исходная задача (1), (2) сводится к следующей:

требуется выяснить условия существования КСА решения задачи (7), (8) для

всех достаточно малых ε на основе измерений отклонения траектории систе-

мы (5), а именно вектора δr от нулевой точки на момент времени T .

Наряду с основной задачей (8) рассмотрим вспомогательную краевую за-

дачу

(11)

p(0) = 0, B₁(T )p(T ) + B₂

(T )q(T ) = 0

для уравнения (7), при этом имеет место

Теорема 1. Для всех достаточно малых ε решение задачи (7), (11) су-

ществует и единственно.

Основной результат данной работы использует утверждение теоремы 1, до-

казательство которой приводится в Приложении.

3. Основной результат

Введем в рассмотрение следующий итерационный процесс:



(12)

q^k+10 = q^k0 - B^-12(T)δr(T)

k = 0,1,...,

q^k



при этом q⁰⁰ = 0, δr(T )

обозначает значение величины δr, отвечающей на-

q^k

чальной скорости q^k0 и вычисленной на момент времени T .

122

Теорема 2. Для всех достаточно малых ε итерационный процесс (12)

является КСА решения задачи (7), (8) при d = O(ε^N ), где N > 1 - любое

конечное число.

Доказательство теоремы 2 дано в Приложении.

Таким образом, алгоритм (12) заключается в осуществлении процедуры

перенацеливания, т.е. выбора на каждом последующем шаге скорректиро-

ванной начальной скорости по результатам измерения отклонения пробной

траектории на момент времени T от центра мишени, отвечающей значению

начальной скорости на предыдущем шаге.

4. Иллюстрирующий пример

Рассмотрим пример возмущенной системы, отвечающей (1), но уже запи-

санной в квазилинейной форме

(13)

x = Ax + b + εf(x),

где



0 0 1 0

1

x = (r₁,r₂,v₁,v₂)^T, b = (0,0,0,-g)^T, g = 10, A = 0

,

(

)

√

f (x) =

0, 0, - v²¹ + v²²v₁, - v²¹ + v²²v₂

Поставим для (13) краевую задачу, соответствующую (4):

(14)

r₁(0) = r₂(0) = 0, r_c1 = 12000, r_c2

= 4500, T = 30.

Нетрудно проверить, что решение задачи (13), (14) при отсутствии возмуще-

ний (ε = 0) обеспечивается значениями v₁(0) = 400 и v₂(0) = 300. Разложим

уравнение (13) в окрестности указанного невозмущенного решения. Соответ-

ственно, уравнение в вариациях примет вид

δr₁ =δv₁, δr₂ =δv₂,

√

δv₁ = -ε

(v₁(t) + δv₁)² + (v₂(t) + δv₂)²(v₁(t) + δv₁),

√

δv₂ = -ε

(v₁(t) + δv₁)² + (v₂(t) + δv₂)²(v₂(t) + δv₂),

где

v₁(t) = 400,

v₂(t) = 300 - 10t,

при этом



1 0 t

(₁

)

0

t

B(t) =



 и B^-12(t) =^t

123

Величина d_k для различных k и ε

-4

10^-8

10^-7

10^-6

10^-5

0,91

9,12

90,53

839,16

4991,85

0,00012

0,01

1,20

101,94

3052,98

1,6 · 10^-8

0,0002

0,016

12,75

2029,26

2,2 · 10^-8

0,0002

1,601

1402,47

3,9 · 10^-11

2,85 · 10^-6

0,201

991,13

3,76 · 10^-8

0,025

710,3

2 · 10^-9

0,0031

513,77

соответственно. Тогда итерационный процесс (12), обеспечивающий коррек-

тировку начальных скоростей в данной задаче, примет вид



δv^k+11(0) = δv^k1(0) -

δr₁(T)

δv^k1(0), δv^k2(0)



δv^k+12(0) = δv^k2(0) -

δr₂(T)

k = 0,1,2,...



δv^k1(0), δv^k2(0)

при этом

δv⁰¹(0) = δv⁰²(0) = 0.

Введем в рассмотрение величину

√

d_k =

[δr^k1(T )]² + [δr^k2(T )]²,

где



δr^k1(T) = δr₁(T)

δr^k2(T) = δr₂(T)



δv^k1(0),δv^k2(0)

δv^k1(0), δv^k2(0)

представляют собой отклонения компонент траектории материальной точки

от центра мишени на момент времени T , отвечающие k-й итерации и вариа-

циям начальных скоростей δv^k1(0) и δv^k2(0).

Из анализа приведенных в таблице значений d_k видно, что сходимость

итерационного процесса выглядит обоснованной начиная с ε = 10^-5, при этом

точность проводимых вычислений отвечает 10^-12.

5. Заключение

Приведенное в статье решение поставленной задачи не является типичным

при сравнении с классическими подходами к решению задач адаптивного

управления, поскольку в ее постановке отсутствует набор конечного числа

неизвестных параметров, обусловленный выбором конкретной динамической

модели. Кроме того, наряду с задачей (2) для уравнения (1) не меньший

интерес представляет следующая краевая задача:

(15)

r(0) = 0, r(T ) ∈ R_c,

∥v(0)∥ = v^∗,

124

где величина T не фиксирована и подлежит определению, ∥ · ∥ представля-

ет собой евклидову норму вектора. Смысл задачи (15) заключается в том,

что не всегда начальное значение скорости может варьироваться относитель-

но произвольным образом, в данной постановке величина вектора началь-

ной скорости жестко фиксирована. Примечательно, что разрешимость за-

дачи (3), (15) в случае когда r(T ) = r_c на основе методов функционального

анализа была исследована сравнительно недавно [7-10], включая построение

конструктивных методов ее решения. Проблема существования КСА реше-

ния задачи (1), (15) может быть поставлена аналогично тому, как это бы-

ло сделано ранее, тем не менее соответствующая постановка представляется

существенно более сложной. С другой стороны, не исключено, что в опре-

деленных условиях в основе ее решения может быть использован в каче-

стве вспомогательного алгоритм (12) с последующим варьированием полу-

чаемой промежуточной скорости для обеспечения ее требуемой нормиров-

ки и одновременной корректировкой величины T c целью сохранения “под-

корректированных” траекторий на момент времени T в последовательности

вложенных шаров, аналогичной описанной в процессе доказательства теоре-

мы 2 (см. Приложение), причем радиусы шаров относительно центра мишени

стремятся к нулю. Здесь же возникает вопрос и о целесообразности измере-

ния не только уклонений пробных траекторий, но и использования оценок

флуктуации их скоростей на определенные моменты времени. Кроме того,

не менее важной при построении КСА решения задачи (15) является про-

блема робастности, связанная как с возможной ошибкой в определении вели-

чины v^∗, так и с допустимыми отклонениями при выборе последовательно-

сти промежуточных значений T , что также является предметом дальнейших

исследований.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Лемма 1. Пусть z(t) - решение системы (7). Тогда имеет место оценка







∫

∂δzi(t)



(Π.1)

exp2εn K(τ)dτ

−1

≤

∂z_j(0)

относительно всех i, j, равных 1,... ,2n.

Доказательство леммы. Рассмотрим систему (7) и введем в рас-

смотрение вектор

)

( ∂z₁(t)

∂z_2n(t)

,...,

∂z_k(0)

где k фиксированно. Известно [11], что s_i, i = 1, . . . , 2n удовлетворяют сле-

дующей линейной системе ОДУ:

∑

ds_i

(∂g_i)

(Π.2)

=ε

s_j,

∂z_j

j=1

125

где частные производные вычисляются исходя из (7) и, кроме того,

{

1, i = k,

(Π.3)

s_i(0) =

0, i = k.

Рассмотрим



∂zi(t)



∥s(t)∥₁ = max



,

∂z_k(0)

при этом в силу (Π.3) |s_i(0)| ≤ 1. Таким образом, из (Π.2) следует оценка

∫t

∥s(t)∥₁ ≤ 1 + 2εn K(τ)∥s(τ)∥₁ dτ.

Из последнего соотношения в силу леммы Гронуолла [12] вытекает неравен-

ство





∫

(Π.4)

∥s(t)∥₁ ≤ exp2εn K(τ) dτ .

Введем в рассмотрение величину

∂δz_i(t)

e_i =

∂z_k0

где

δz_i(t) = z_i(t) - z_i(0).

Соответственно e_i(0) = 0 для любых i и k. С другой стороны,

∑

de_i

(∂g_i) ∂zj

=ε

∂z_j

∂z_k(0)

j=1

и в силу (Π.4) справедливо неравенство









∫t

∫

|e_i| ≤

2εnK(τ) exp2εn K(s)ds dτ = exp 2εn K(τ) dτ - 1.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Разрешимость краевой задачи (7), (11)

эквивалентна разрешимости относительно q₀ следующего уравнения:



(Π.5)

0 = B₂(T)q₀ + B₁(T)δp(T)

+ B₂(T)δq(T)



q₀

126



где символы δp(T )

и δq(T)

бозначают величины соответствующих ком-



 о

q₀

понент (10), отвечающих начальному условию q₀ и вычисляемых на момент

времени T . Соотношение (Π.5) можно переписать следующим образом:



(Π.6)

q₀ = -B^-12(T)B₁(T)δp(T)

- δq(T)

= F(q₀



q₀

где под F (q₀) понимается обозначение правой части (Π.6). Заметим, что в

силу формулы Тейлора для случая функций нескольких переменных можно

записать

F (q₁) - F (q₂) =

)

(∂δp(T)



(∂δq(T)



= -B^-12(T)B₁(T)

(q₁ - q₂) -

q₁ - q₂),



 (

∂q₀

где соответствующие частные производные вычисляются вдоль траекто-

рий (7), отвечающих некоторым начальным условиям q, расположенным на

прямой, соединяющей точки q₁ и q₂. Соответственно, в силу леммы имеет

место оценка

]

[







∥F (q₁) - F (q₂)∥₁ ≤ n

B^-12(T)B₁(T)

+1 ×









∫

×exp 2εn K(τ)dτ - 1 ∥q₁ - q₂∥₁ = C₁(ε)∥q₁ - q₂∥₁,

где C₁(ε) - введенное для краткости обозначение. Поскольку C₁(ε) → 0 при

ε → 0, то для всех достаточо малых ε таких, что выполняется неравенство

C₁(ε) < 1, уравнение (Π.6) в силу принципа сжимающих отображений [13]

имеет единственное решение, что доказывает теорему 1.

Доказательство теоремы 2. Обозначим начальное значение, обеспе-

чивающее решение задачи (7), (11), через q^∗0, существование и единственность

которого следует из теоремы 1. Соответственно имеет место соотношение



(Π.7)

0 = B₂(T)q^∗0 + B₁(T)δp(T)

+ B₂(T)δq(T)



q^∗0

q^∗

Имея в виду рассматриваемый алгоритм пристрелки (12), можем записать



(Π.8)

δr(T)

= B₂(T)q^k0 + B₁(T)δp(T)

+ B₂(T)δq(T)



q^k0

q^k

Введем в рассмотрение обозначение δq^k0 = q^k0 - q^∗0. С учетом процедуры (12)

справедливо равенство



(Π.9)

δq^k+10 = δq^k0 - B^-12(T)δr(T)

q^k

127

Вычитая (Π.7) из (Π.8) получим



[



]



δr(T)

= B₂(T)δq^k0 + B₁(T) δp(T)

- δp(T)



q^k0

q^∗

(Π.10)

[



]



+ B₂(T) δq(T)

- δq(T)



q^k0

q^∗

или

[

]



δq^k0 = B^-12(T)δr(T)

- B^-12(T)B₁(T) δp(T)

- δp(T)



q^k0

q^∗

(Π.11)

[



]



- δq(T)



q^k0

q^∗

Из (Π.9) и (Π.11) следует, что

[

]

[

]

δq^k+10 = -B^-12(T)B₁(T) δp(T)|_qk

- δp(T)|_q∗

- δq(T)|_qk

- δq(T)|_q∗

откуда, повторяя предыдущие рассуждения, приходим к оценке









∫

]

[







∥δq^k+10∥₁ ≤ n

B^-12(T )B₁(T )

+ 1exp 2εn K(τ) dτ - 1 ∥δq^k0∥₁,

или с учетом предыдущих обозначений

(Π.12)

∥δq^k+10∥₁ ≤ C₁(ε)∥δq^k0 ∥₁.

С другой стороны, из (Π.11) вытекает соотношение

δq^k0 = h + Dδq^k0,

где вектор

h = B^-12(T)δr(T)|_qk,

матрица

)

(∂δp(T)



(∂δq(T)



D = -B^-12(T)B₁(T)



∂q₀

Соответственно, имеет место оценка

|||D|||₁ ≤ C₁(ε).

128

Тогда в случае достаточно малых ε, когда |||D|||₁ < 1, можно записать цепочку

неравенств [14]

|||D|||₁

∥δq^k0∥₁ - ∥h∥₁ ≤ ∥δq^k0 - h∥₁ ≤

∥h∥₁,

1 - |||D|||₁

или

∥δq^k0∥₁ ≤

∥h∥₁ ≤

1 - |||D|||₁

(Π.13)















B^-12(T)





















≤

r(T )

=C₂

r(T )

δ





δ



 ,

1 - |||D|||₁

q^k0

где C₂ - введенное для краткости обозначение. Аналогично (Π.10) имеет ме-

сто соотношение

[

]



δr(T)

= B₂(T)δq^k+10 + B₁(T) δp(T)

- δp(T)



q^k+10

q^∗

[

]



+ B₂(T) δq(T)

- δq(T)



q^k+10

q^∗

С учетом (Π.12), (Π.13) имеет место последовательность оценок













δr(T)



≤





q^k+10











∫



(

)



exp2εn K(τ)dτ - 1

≤|||B2(T)|||1 +n|||B1(T)|||1 +|||B2(T)|||1













× ∥δq^k+10∥₁ = C₃∥δq^k+10∥₁ ≤ C₃ C₁(ε)∥δq^k0 ∥₁ ≤ C₃ C₂ C₁(ε)δr(T)



q^k0

где C₃ - соответствующее обозначение. Тогда, если C₃ C₂ C₁(ε) < 1, что имеет

место при всех достаточно малых ε, итерационный процесс (12) является КСА

решения задачи (7), (8). Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

2. Лысенко Л.Н. Внешняя баллистика. М.: МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2018.

3. Коновалов А.А., Николаев Ю.В. Внешняя баллистика. М.: ЦНИИ информации,

1979

4. Козлитин И.А. Полуэмпирическая баллистическая модель с четыремя степеня-

ми свободы // Электронные информационные системы. 2018. № 2. С. 83-100.

129

5. Козлитин И.А. Восстановление входных параметров расчета внешней балли-

стики тела по результатам траекторных измерений // Матем. моделирование.

2017. Т. 29. № 9. С. 121-134.

6. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамиче-

скими объектами. М.: Наука, 1981.

7. Вавилов С.А. О разрешимости одного класса краевых задач // ДАН СССР.

1989. Т. 305. № 2. С. 268-270.

8. Вавилов С.А. Исследование разрешимости одного класса краевых задач со сво-

бодной границей // Диффер. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2075-2081.

9. Vavilov S.A. On the Solvability of One Class of Boundary Value Problems // Differ.

Integral Equat. 1990. V. 3. No. 1. P. 175-179.

10. Stepanov E., Vavilov S.A. The Main Problem of External Ballistics // Comput.

Math. Appl. 1997. V. 33. No. 5. P. 95-101.

11. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,

1970.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,

1967.

13. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

14. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир,

1969.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.М. Хрусталевым.

Поступила в редакцию 15.11.2019

После доработки 21.06.2020

Принята к публикации 09.07.2020

130