Автоматика и телемеханика, № 10, 2021

(Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет “ЛЭТИ” им. В.И. Ульянова (Ленина)),

Б.С. МАНДРИКОВА (555bs5@mail.ru)

(Институт космофизических исследований и распространения

радиоволн ДВО РАН, Камчатский край, село Паратунка)

ОБНАРУЖЕНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ АНОМАЛЬНЫХ ЭФФЕКТОВ

В СЛОЖНОМ СИГНАЛЕ¹

Предложен метод обнаружения и идентификации аномальных эф-

фектов в сигнале сложной структуры, основанный на нелинейных ап-

проксимирующих схемах в словаре вейвлет-пакетов. С учетом свойств

частотно-временного окна вейвлет-преобразования вводится адаптивный

порог. Повышение эффективности обнаружения разных типов струк-

тур достигается путем применения суперпозиции конструкций вейвлет-

преобразования. На примере данных нейтронных мониторов показано,

что метод позволяет подавить шум и идентифицировать аномальные

эффекты разной формы и длительности. Результаты подтвердили эф-

фективность предлагаемого метода для обнаружения малоамплитудных

Форбуш-эффектов в вариациях космических лучей.

Ключевые слова: анализ данных, нелинейная аппроксимация, вейвлет-

пакеты, вариации космических лучей.

DOI: 10.31857/S0005231021100056

1. Введение

В настоящее время учеными активно ведутся исследования, связанные с

разработкой методов обработки и анализа сложных нелинейных данных [1, 2].

Основная проблема таких исследований заключается в отсутствии априорной

информации о полезном сигнале, сложной структуре изучаемых нестационар-

ных данных и наличии высокого уровня шума [3]. Острая необходимость в

создании методов анализа сложных данных возникает при проведении ряда

фундаментальных и прикладных научных исследований в таких областях,

как биомедицина, геофизика, космофизика и т.д.

Космофизические исследования являются одним из ярких примеров необ-

ходимости создания математических моделей и методов, способных с прием-

лемой точностью и, что не менее важно, скоростью выполнять анализ гео-

физических данных и прогноз космической погоды [4]. Известно, что ано-

мальные события в околоземном космическом пространстве отрицательно,

¹ Работа выполнена в рамках Государственного задания по теме “Физические процессы

в системе ближнего космоса и геосфер при солнечных и литосферных воздействиях” (2021-

2023 гг.), регистрационный номер АААА-А21-121011290003-0.

а в некоторых случаях губительно отражаются на технических и техноген-

ных объектах, а также на здоровье и жизни людей [5]. Изучение динами-

ки космических лучей занимает широкую область в сфере солнечно-земной

физики, а также является одним из факторов мониторинга и прогноза кос-

мической погоды. Исследование вариаций космических лучей проводят по

данным мировой сети нейтронных мониторов [6]. Вариации космических лу-

чей имеют сложную структуру, в которой находят отражение события, воз-

никающие в атмосфере, галактике, а также имеющие внегалактическое про-

исхождение [7]. Помимо полезной информации, в данных нейтронных мони-

торов содержится высокий уровень шума, включающий помехи природно-

го и техногенного характера [8]. Периодические вариации космических лу-

чей соответствуют регулярному ходу, аномальные (спорадические) эффекты

представляют собой Форбуш-эффекты и сильные наземные протонные воз-

растания (GLE-события). Форбуш-эффекты могут иметь разную форму и

длительность и проявляться в виде резкого снижения уровня, его восстанов-

ления, а также мелкомасштабных изменений перед началом магнитных бурь.

Особый интерес представляют своевременное обнаружение и идентификация

малоамплитудных Форбуш-эффектов, служащих предикторами магнитных

бурь [9, 10].

Спектр применяемых в настоящее время методов и подходов к анализу

данных космических лучей весьма широк. Например, метод глобальной съем-

ки [9] или метод кольца станций [10], разработанные учеными ИЗМИРАН,

позволяют оценить свойства углового распределения космических лучей, но

точность методов напрямую зависит от наличия данных определенно распо-

ложенных станций, что, к сожалению, не всегда выполнимо. Также данные

методы включают сложные трудоемкие расчеты и не автоматизируемы. Из-

вестны весьма успешные попытки применения методов машинного обучения

для анализа данных нейтронных мониторов [11-13]. Например, в публика-

циях [11, 12] используются глубокие нейронные сети, позволяющие с учетом

мощностей современных ЭВМ в оперативном режиме выполнять анализ дан-

ных космических лучей. Но весомым недостатком данных методов является

потребность периодической перенастройки параметров системы (например,

переобучения нейронной сети) в связи с существенной зависимостью методов

от внешних условий. Данный фактор сильно влияет на качество и оператив-

ность получаемых результатов.

Учитывая указанные недостатки, в статье предложен подход, основанный

на построении нелинейных адаптивных аппроксимирующих схем. Посколь-

ку распределение вероятности сигнала космических лучей имеет сложную

форму, линейная аппроксимация не является эффективной и лучшие резуль-

таты дают нелинейные пороговые оценки [14, 15]. В качестве аппроксими-

рующих функций в статье используются базисы вейвлет-пакетов. Извест-

но, что вейвлет-фильтрация позволяет эффективно детектировать структу-

ры сложного сигнала и подавить шум [11-15]. Разные вейвлет-базисы по-

разному аппроксимируют сигнал, поэтому выбор наилучшего базиса, в смыс-

ле выделения определенных структур, обеспечивает эффективное решение

поставленной задачи. Но необходимо учитывать, что если сигнал содержит

различные типы структур, локализованные в разные моменты времени, то

нельзя построить базис, адаптированный ко всем структурам. В этом слу-

чае надо использовать большие словари базисов [16], например, как пред-

ложено в [15], можно расширить класс ортогональных функций словарями

линейно независимых функций. Эффективный результат в этом случае дает

аппроксимация с преследованием [17]. Но большая вычислительная слож-

ность данного метода делает его малоэффективным. Алгоритмы согласо-

ванного преследования [18] с использованием стратегии “жадности” позволя-

ют оптимизировать процесс построения базиса и получить достаточно точ-

ные аппроксимации, но в случае высокого уровня шума такое решение за-

дачи, к сожалению, не дает хороших результатов. В этом случае энергия

сигнала мала относительно энергии шума, поэтому такая оценка дает низ-

кий порог и его применение не позволяет подавить весь шум. Поскольку в

настоящее время отсутствует строгий математический аппарат построения

оценок для сигналов с такими свойствами [15], в статье предлагается метод,

основанный на эвристическом подходе. В статье показано, что использова-

ние бóльшего порога увеличивает риск, но позволяет получить более точные

оценки. С учетом свойств частотно-временного окна вейвлет-преобразования

в статье вводится адаптивный порог. Повышение эффективности обнару-

жения разных типов структур достигается путем применения суперпозиции

непрерывного вейвлет-преобразования и нелинейных адаптивных аппрокси-

маций в словаре вейвлет-пакетов. Представленные результаты подтвержда-

ют эффективность предлагаемого метода для задачи обнаружения малоам-

плитудных Форбуш-эффектов разной формы и длительности в вариациях

космических лучей.

2. Предлагаемый метод

2.1. Построение нелинейных аппроксимирующих схем

в словаре вейвлет-пакетов

При нелинейной аппроксимации сигнал f ∈ H (H пространство Гиль-

берта) аппроксимируется M векторами, адаптивно выбранными из ортонор-

мированного базиса B = {g_m}_m∈N пространства H [15]:

∑

(1)

f_M =

〈f,g_m〉 g_m.

m∈I_M

Тогда погрешность аппроксимации есть

∑

ǫ[M] = ∥f - f_M ∥² =

|〈f, g_m〉|².

m ∈I_M

Очевидно, минимизация погрешности ǫ [M] достигается выбором абсолют-

ных значений вейвлет-коэффициентов |〈f, gmk 〉|, наилучшим образом корре-

лирующих с сигналом. Аппроксимация может быть получена путем приме-

нения пороговой функции, и соотношение (1) примет вид

∑

(2)

f_M = f^rB [k]g_m

k=1

где f^rB [k] пороговая функция.

Для оптимизации представления (2) базис B выбирают адаптивно сигна-

лу, используя, например, словари вейвлет-пакетов, которые позволяют по-

строить наилучшие аппроксимации сигналов конечной длины путем мини-

мизации вогнутой функции стоимости [15]. В качестве функции стоимости

может быть использована вогнутая сумма Шура [19]:

((

)

)

(

∑



²

f,g^λm

C f,B^λ

Φ (x) = -x ln x,

∥f∥²

m=1

(

)

и наилучший базис B^α может быть определен как C (f, B^α) = min C

f,B^λ

λ∈Λ

(Λ - словари базисов). Каждый узел дерева вейвлет-пакетов соответству-

ет пространству W^pj, которое определяет ортонормированный базис B^pj.

Пространство W^pj разбивается на ортогональные подпространства [15]

W^pj = W^2pj+1

⊕W^2p+1j+1, и стоимость f в семействе M ≤ N определяется как

(

)

∑_M-1

|(f,gm)|

C (f,B) =

. Тогда наилучший базис O^pj пространства W^pj

m=0

∥f∥²

есть базис [19]:



(

)

(

)

(

)

⋃



O^2pj+1

O^2p+1j+1, если C f,O^2p

+C f,O^2p+1

<C f,B^p

j+1

(3) O^p

(

)

(

)

(

)



Bpj,

если C f, O^2p

+C f,O^2p+1

≥C f,B^p

j+1

Рекурсивное вычисление лучших базисов (3) при движении снизу вверх

по дереву позволяет найти наилучший базис вейвлет-пакетов для сигнала f.

Поскольку не знаем распределения вероятности сигнала, задача состоит

в оценке f ∈ Θ по зашумленным данным: X [m] = f [m] + W [m], где X [m]

регистрируемые данные, f [m] сигнал, W [m] шум. В этом случае риск{}

оценк

F = DX есть r(D,f) = E ∥DX - f∥² (D оператор решения, E

математическое ожидание). Цель авторов минимизировать максимальный

риск (минимаксный риск) [15]:

{

}

r_n(Θ) = inf sup E

∥DX - f∥²

D ∈On f ∈Θ

Донохо и Джонстон в [20] показали, что диагональные пороговые оценки

как в случае белого, так и цветного шума имеют риск, близкий к нижней

границе минимаксного риска:

∑

(4)

F = DX = dm (XB [m])g_m = a[m]XB [m]g_m

при

0≤m≤N,

m=0

X_B [m] = 〈X,g_m〉, f_B [m] = 〈f,g_m〉, W_B [m] = 〈W,g_m〉, a[m] нелинейный про-

ектор:

{ 1, если |fB[m]| ≥ σ,

a [m] =

0, если |f_B[m]| < σ.

Но необходимо учитывать, что риск (4) может быть связан с погрешностью

аппроксимации f в базисе B:

∑

f_M =

f_B [m]g_m, ǫ_n [M] = ∥f - f_M∥² =

|f_B [m]|² .

|f_B[m]|≥σ

|f_B[m]|<σ

Риск оценивается как [15]:

∑ (

)

r_p (f) =

min

|f_B

[m]|², σ²

= ǫn [M] + Mσ².

m=0

Поэтому задача выбора базиса важна и определяет риск получаемой оцен-

ки r_p (f) . Также необходимо учитывать, что применение диагональных поро-

говых оценок (4) требует знания дисперсии сигнала, что не всегда реализуемо

на практике.

В случае жесткой пороговой обработки

{

x, если |x| > T,

d_m (x) = ρ_T (x) =

0, если |x| ≤ T,

для минимизации риска порог T выбирается так, что есть большая веро-

ятность того, что он больше максимальн√о уровня коэффициентов шума

|W_B [m]|. В [20] доказано, что порог T = σ

2lnN дает оптимальную диаго-

нальную оценку в базисе B (см. (4)). Дисперсия шума σ² может быть оцене-

, где M_X медиана множества {|〈X, ψ_j,m〉|}_0≤m<N/2, ψ_j,m

6745

базис пространства W^pj.

Таким образом, если используем вейвлет-пакеты и выбираем порог T выше

максимальной амплитуды коэффициентов шума |〈W, ψ_j,m〉|, то коэффициен-

ты |〈X, ψ_j,m〉|, превышающие данный порог, с высокой вероятностью будут

детектированы. Известно [15], что на мелких масштабах такие коэффициен-

ты возникают в окрестностях резких изменений сигнала. Поэтому, выбирая

такой подход, с большой вероятностью сохраняем коэффициенты в окрестно-

стях аномальных значений анализируемой функции. Также при выборе поро-

га необходимо учесть, что в соответствии со свойствами частотно-временно-

го окна вейвлет-преобразования [14] детектирующая способность вейвлетов

уменьшается с ростом масштаба. Поэтому логично адаптировать порог к мас-

штабу. Получаем следующий алгоритм построения аппроксимирующих схем

в словаре базисов вейвлет-пакетов:

1. Выполняем разложение функции f в вейвлет-пакеты:

⊕

{

(

)}

W^0j : W^0j =

2jⁱ t - m

есть базис пространства Wpi ;_j

Wpij_i

Ψpij_i

m∈N

i=0

2. Определяем ветви дерева, соответствующие структурным компонентам

сигнала, базис O^pj

пространства W^p есть базис:_j



{

(

)}



Ψ^pj

2jⁱ t - m



m∈Z



∑



∑



если

 X, Ψ^pj

² ≥

|〈X, Ψ^2pj

〉|² +

|〈X, Ψ^2p+1j

〉|²,

i,m

+1,m

i+1,m



m∈I^p

2p+1



m∈I^2p

m∈I

O^pj

{

}

{

}

=



Ψ^2p

∪ Ψ^2p+1



j_i+1



m∈Z



∑



∑



сли

 X, Ψ^pj

² <

|〈X, Ψ^2pj

〉|² +

|〈X, Ψ^2p+1j

〉|²,

 е

i,m

+1,m

i+1,m

2p+1

m∈I^p

m∈I_M

где множество индексов I^lM , l = P, 2P, 2P + 1 определяются так:

индекс m ∈ I^lM , если |〈X, Ψ^lj

〉| ≥ Tji , порог Tji = K · σ^l ,_j

i,m

∑

E)2

√1

σ^lj

X,Ψ^l

- X,Ψ^l

j_i,m

m=1

Выполненные в статье оценки показали, что получаемые пороги Tji =

√

= K · σ^l при K = 2,5 превышают оптимальный порог T = σ

2 ln N, что

j_i

увеличивает риск. Но учитывая, что пороговые оценки в словаре вейвлет-

пакетов дают почти минимаксный риск для сигналов с ограниченной вариа-

цией, можно с уверенностью предположить, что потери при используемом

подходе невелики.

На основе алгоритма получаем

∑

(5)

f (t) =

〈X, ψji,m〉 ψj_i,m (t) =

vji,mψj_i,m

(t) ,

(j_i,m) ∈ Q^l

где

(j_i,m) ∈ Q^pM : j_i ∈ O^pj

m∈I^lM.

На рис. 1 представлен результат построения аппроксимирующей схемы с

применением вейвлета Койфлет 2. Построение выполнялось по данным ней-

тронного монитора станции Инувик (68.35N, -133.72W) за период высокой

солнечной активности (2013-2015 гг.). Цифрами в узлах дерева показаны зна-

чения функции стоимости. Выбранные узлы показы серым цветом. Анализ

показывает, что структурные составляющие сигнала включают аппроксими-

рующие (левая ветка дерева) и детализирующие (правая ветка дерева) ком-

поненты 4-го уровня разложения.

На рис. 2 представлены выделенные детализирующие компоненты дерева.

В верхней части рис. 2 показан исходный сигнал. Анализ результатов под-

тверждает эффективность метода, который детектировал особенности малой

2515277344

2671873613

2671589765

283848,66

2672525779

285278,0528

2672385034

140745,2521

142447,336

142830,7168

2664058093

142718,0909

143351,61

143466,6827

2663987661

70431,685

70075,0814

72643,0095

71554,175

71797,435

70134,22

73332,462

2663185284

70752,12

70886,95

72580,17

71370,29

70014,35

70520,33

72783,29

2663

351

356

349

358

360

364

359

354

357

342

362

375

352

1498

3548

48,7

03,3

92,8

94,1

85,6

94,4

51,5

18,7

39,5

74,7

43,5

76,7

07,0

76,2

2,77

Рис. 1. Построенное дерево вейвлет-пакета с применением вейвлета Кой-

флет 2, выделенные компоненты обозначены серым цветом.

Рис. 2. a Oтображение в пространство W^0L; б отображение в пространство

W^0L+1; в отображение в пространство W^1L+1; г отображение в простран-

ство W^2L+2; д отображение в пространство W^3L+2.

амплитуды, незначительно превышающие фоновые вариации космических

лучей и практически неразличимые в шуме.

Пример применения метода для обнаружения Форбуш-эффекта малой ам-

плитуды показан на рис. 3. По данным Центра прогноза космической пого-

ды ИЗМИРАН [16] Форбуш-эффект малой амплитуды произошел 3 марта

(отмечено вертикальной пунктирной линией). На рис. 3,а и 3,б изображены

соответственно данные нейтронного монитора станции Москва за 1-5 мар-

та 2014 г. и их вейвлет-спектр (применялось непрерывное вейвлет-преоб-

разование). На рис. 3,в и 3,г показана выделенная компонента и ее вей-

влет-спектр. Анализ результатов показывает, что из-за наличия высокого

Рис. 3. а

Регистрируемые данные нейтронного монитора ст. Москва, б

вейвлет-спектр сигнала, в

выделенная компонента дерева, г

вейвлет-

спектр компоненты.

уровня шума обнаружить Форбуш-эффект в зашумленных данных не уда-

лось (см. рис. 3,б ). Применение метода позволило детектировать Форбуш-эф-

фект в сигнале (рис. 3,г), что подтверждает эффективность предлагаемого

подхода.

На рис. 4 показан период, содержащий несколько спорадических эффек-

тов. По данным ИЗМИРАН [21] Форбуш-эффекты произошли 18, 20, 25, 29

и 31 марта. Периоды Форбуш-эффектов отмечены на рис. 4 овалами. Резуль-

тат применения метода (рис. 4,б ) показывает его эффективность для зада-

чи обнаружения спорадических эффектов. Отметим, что по данным обра-

ботки в анализируемый период Форбуш-эффект также произошел 14 марта

(рис. 4,б ). Но в базе данных ИЗМИРАН [21] он не указан. По данным про-

гноза космической погоды [22, 23] в связи с пересечением секторной границы

межпланетного магнитного поля (ММП) и из-за прихода ускоренного пото-

ка от слабоконтрастной корональной дыры вертикальная компонента ММП

13 марта приняла значение Bz = -10 нТл, скорость солнечного ветра увели-

чилась от 300 до 600 км/с и 14 марта превысила 650 км/с. По указанным

Рис. 4. а

Данные нейтронного монитора ст. Инувик, б вейвлет-спектр

выделенной компоненты сигнала.

факторам космической погоды можно сделать вывод о высокой возможности

обнаружения спорадических эффектов в космических лучах, что подтвер-

ждает эффективность метода.

2.2. Алгоритм обнаружения аномальных эффектов

на основе суперпозиции конструкций вейвлет-преобразования

По результатам экспериментов спорадические эффекты в вариациях кос-

мических лучей имеют многомасштабную структуру и детектируются в раз-

ных компонентах дерева вейвлет-пакетов. В этом случае эффективность их

обнаружения может быть повышена на основе совмещения нелинейных ап-

проксимирующих схем с непрерывным вейвлет-преобразованием. Учитывая

свойства частотно-временного окна вейвлет-преобразования [14], лучший ре-

зультат в этом случае даст применение адаптивного порога, зависящего от

масштаба. Предлагаемый алгоритм представлен.

1. Построение аппроксимирующей схемы в базисе вейвлет-пакетов (см. (5)):

∑

f (t) =

〈X,ψji,m〉ψj_i,m (t) =

vji,mψj_i,m (t),

(j_i,m) ∈ Q^l

где (j_i, m) ∈ Q^pM : j_i ∈ O^pj

m∈I^lM.

2. Выполнение непрерывного вейвлет-преобразования и применение порого-

вой функции:





ed,l



WΨf_a,b, если

W_Ψf_a,b - W_Ψf^m

≥T^la,

a,b

(6)

P (W_Ψf_a,b) =



ed,l



0,

если

W_Ψf_a,b - W_Ψf^m

<T^la,

a,b

где W_Ψf˜_a,b = |b|-2∫^+∞-∞ f˜(t) Ψ(t-ab ) dt

непрерывное вейвлет-преобразо-

вание, W_Ψf^med,la,b

медианное значение, T^la = U · σ^la

порог, σ^la =

коэффициентами U = 1,5 и U = 2 (см. операции (6) и (7)). В соответствии

с алгоритмом коэффициент U = 1,5 позволяет детектировать вариации, пре-

вышающие по амплитуде от 1,5σ и более, а коэффициент U = 2 от 2σ и бо-

лее. Анализ результатов показывает, что при использовании коэффициента

U = 1,5 (рис. 5,ж и 5,з) детектируются колебания интенсивности космиче-

ских лучей, связанные с суточным ходом. Применение коэффициента U = 2

(рис. 5,д и 5,е) позволяет детектировать аномальные изменения в данных

космических лучей, но суточные вариации также присутствуют. Наилучшие

результаты показывает коэффициент U = 2,5 (рис. 5,в и 5,г) отсутствие

вариаций, связанных с суточным ходом и детектирование спорадических эф-

фектов.

На рис. 6 представлено применение метода с использованием данных стан-

ции Инувик и Туле [6]. В начале анализируемого периода 11 сентября из-за

ускоренного потока от коронального выброса скорость солнечного ветра воз-

росла до 480 км/с (рис. 6,а) [22], южная Bz ММП опустилось до -14 нТл

(рис. 6,б ). Далее, 12 сентября скорость солнечного ветра резко увеличилась

до 800 км/с, южная компонента ММП опустилась до значений Bz = -17 нТл.

По данным космической погоды [22] в течение данного периода зарегистри-

ровано 4 геомагнитных бури: 10, 11, 12 и 13 сентября. Моменты регистрации

магнитных бурь отмечены на рис. 6 вертикальной пунктирной линией. При

идентификации некоторых событий обнаружение аномалии предложенным

методом отстает или опережает на несколько часов время, указанное в [22],

что не является погрешностью метода, поскольку поток космических лучей

приходит на Землю анизотропно и один и тот же Форбуш-эффект на разных

станциях возникает с разной интенсивностью и в разное время. Результаты

подтверждают эффективность метода.

3. Заключение

Эмпирически доказана эффективность предлагаемого метода для обнару-

жения спорадических эффектов в вариациях космических лучей. Рекомендо-

вано использование бóльшего порога, увеличивающего риск, но позволяюще-

го получить более точные оценки. Показано, что применение суперпозиции

вейвлет-пакетов и непрерывного вейвлет-преобразования позволяет повысить

эффективность детектирования Форбуш-эффектов разной структуры. Полу-

ченные результаты представляют интерес в задаче прогноза космической по-

годы.

В дальнейшем планируется продолжить исследование в данном направле-

нии с привлечением данных сети станций высоких и средних широт с целью

оптимизации метода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Цурко В.В., Михальский А.И. Моделирование данных при анализе рисков здо-

ровью и продолжительности жизни человека // АиТ. 2018. № 10. С. 164-182.

Zurko V., Mikhalskii A. Data Modeling for the Analysis of Health Risks and Human

Longevity // Autom. Remote Control. 2018. V. 79. No. 10. Р. 1871-1885.

Агеев И.А., Бурков В.Н. Зинченко В.И., Киселева Т.В. Структурный анализ

временных рядов данных // АиТ. 2005. № 6. С. 161-169.

Ageev I.A., Burkov V.N., Zinchenko V.I., Kiseleva T.V. Structural Analysis of the

Time Data Series // Autom. Remote Control. 2005. V. 66. No. 6. Р. 995-1002.

Щербань И.В., Кириленко Н.Е., Красников С.О. Метод поиска неизвестных вы-

сокочастотных осцилляторов в составе зашумленных сигналов на основе непре-

рывного вейвлет-преобразования // АиТ. 2019. № 7. С. 122-133.

Shcherban I.V., Kirilenko N.E., Krasnikov S.O. A Search Method for Unknown High-

frequency Oscillators in Noisy Signals Based on the Continuous Wavelet Transform //

Autom. Remote Control. 2019. V. 80. No. 7. Р. 1279-1287.

Mandrikova O., Stepanenko A. Automated Method for Calculating the Dst-index

Based on the Wavelet Model of Geomagnetic Field Variations // Comp. Optics.

2020. V. 44. Iss. 5. P. 797-808.

Топтыгин И.Н. Космические лучи в межпланетных магнитных полях. М.: Нау-

ка, 1983.

Real time data base for the measurements of high-resolution Neutron Monitor. [Элек-

тронный ресурс]. www.nmdb.eu (дата обращения 01.11.2020).

Сокуров В.Ф. Физика космических лучей: космическая радиация. Ростов н/Д.:

Феникс, 2005.

Дорман Л.И. Экспериментальные и теоретические основы астрофизики косми-

ческих лучей. М.: Наука, 1975.

Belov A.V., et al. Global Survey Method for the World Network of Neutron Moni-

tors // Geomagn. Aeron. 2018. V. 58. P. 356-372.

10.

Abunina M.A., et al. Ring of Stations Method in Cosmic Rays Variations Research //

Sol. Phys. 2020. V. 69. No. 295.

11.

Mandrikova O.V., Solovev I.S., Zalyaev T.L. Methods of Analysis of Geomagnetic

Field Variations and Cosmic Ray Data // Earth Planet Space. 2014. V. 66. No. 148.

12.

Mandrikova O.V., et al. Methods of Analysis of Geophysical Data During Increased

Solar Activity // Pattern Recognition and Image Analysis (Advances in Mathemat-

ical Theory and Applications). 2016. V. 26. No. 2. P. 406-418.

13.

Мандрикова О.В., Заляев Т.Л. Моделирование вариаций космических лучей на

основе совмещения кратномасштабных вейвлет-разложений и нейронных сетей

переменной структуры // Цифровая обработка сигналов. 2015. № 1. С. 11-16.

14.

Chui C.K. An introduction in wavelets. N.Y.: Acad. Press, 1992.

15.

Mallat S. A wavelet tour of signal processing. London: Acad. Press, 1999.

16.

Herley C., et al. Tilings of the Time-Frequency Plane: Construction of Arbitrary

Orthogonal Bases and Feist Tiling Algorithms // IEEE Trans. Signal Process. Special

Issue on Wavelets and Signal Processing. 1993. P. 3341-3359.

17.

Chen S., Donoho D. Atomic Decomposition by Basis Pursuit // Technical Report.

Stanford University, 1995.

18.

Mallat S.G., Zhang Z.F. Matching Pursuits with Time-frequency Dictionaries //

IEEE Trans. Signal Processing. 1993. V. 41. No. 12. P. 3397-3415.

19.

Coifman R.R., Wickerhauser M.V. Entropy-based Algorithms for Best Basis Selec-

tion // IEEE Trans. Inform. Theory. 1992. V. 38. No. 2. P. 713-718.

20.

Donoho D.L., Johnstone I.M. Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet Shrinkage //

Biometrika. 1994. No. 81. P. 425-455.