Автоматика и телемеханика, № 12, 2021
Оптимизация, системный анализ
и исследование операций
© 2021 г. А.З. МЕЛИКОВ, чл.-корр. НАН Азербайджана, д-р техн. наук
(agassi.melikov@gmail.com),
М.О. ШАХМАЛЫЕВ (mamed.shahmaliyev@gmail.com)
(Институт систем управления НАН Азербайджана, Баку),
С.С. НАИР (saji72nair@gmail.com)
(Государственный инженерный колледж, Триссур, Индия)
МАТРИЧНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
C ПОРТЯЩИМИСЯ ЗАПАСАМИ
Изучаются марковские модели систем обслуживания с портящимися
запасами и бесконечным буфером при использовании двух политик по-
полнения запасов: в одной из них объем заказов является постоянной
величиной, а другая зависит от текущего уровня запасов. Заявки могут
присоединяться к очереди даже тогда, когда уровень запасов равен нулю.
После завершения обслуживания заявки либо получают запасы, либо ухо-
дят из системы, не получив их, при этом длительность их обслуживания
зависит от того, получила ли заявка запасы или нет. Получены условия
эргодичности построенных двумерных цепей Маркова, и для вычисления
их стационарных распределений используется матрично-геометрический
метод. Найдены формулы для нахождения характеристик системы при
использовании указанных политик пополнения запасов и даны результа-
ты численных экспериментов.
Ключевые слова: система обслуживания-запасания, портящиеся запасы,
политика пополнения запасов, матрично-геометрический метод.
DOI: 10.31857/S0005231021120102
1. Введение
В последние три десятилетия системы обслуживания-запасания (Queuing-
Inventory Systems, QIS) широко исследуются различными авторами. Совре-
менное состояние теории QIS и ее приложения подробно описаны в недавней
обзорной работе [1]. Важным подклассом QIS являются системы с портящи-
мися запасами (Perishable QIS, PQIS), в которых время жизни (годности)
запасов является конечной случайной величиной (с.в.). Обзорная работа [2]
и монография [3] посвящены исключительно изучению PQIS.
Среди работ, опубликованных после [2, 3], следует отметить [4-17]. Вкрат-
це рассмотрим обзор их результатов. Для краткости изложения здесь исполь-
154
зуются модифицированные обозначения Кендалла, которые были предложе-
ны для обозначения моделей систем массового обслуживания (СМО). Более
конкретно, в известные символические обозначения добавляются новые ком-
поненты, которые указывают используемую политику пополнения запасов
(ППЗ)1, тип функции распределения (ф.р.) времени жизни запасов (символ
∞ в соответствующей позиции означает, что запасы являются долговечными)
и тип ф.р. времени поставки запасов (0 в соответствующей позиции означает,
что время поставки запасов равно нулю).
В [4-6] изучены Марковские модели управления запасами с мгновенным
обслуживанием. В [7] изучена модель типа M/M/1/N/(s, Q)/M/M с нетерпе-
ливыми заявками. Для решения задачи минимизация суммарных штрафов
(Total Cost, TC) в системе используется метод, основанный на марковских
процессах принятия решений, при этом управляемым параметром является
скорость обслуживания сервера. Оптимальная скорость сервера выбирается
из заданного конечного (дискретного) множества. Отметим, что такой подход
минимизации TC ранее был использован в [18] для модели QIS с терпеливыми
заявками, где управляемым параметром является объем поставок. В [8] изу-
чена модель MAP/M/1/N/(s, Q)+(s, S)/M/PH с обратной связью и отдыхами
сервера, здесь символ “+” указывает, что в зависимости от состояния системы
используется либо (s, Q), либо (s, S )-политика. Для изучения данной систе-
мы используется матрично-геометрический метод (Matrix-Geometric Method,
MGM) [19], получены формулы для вычисления характеристики системы и
решена задача минимизации TC. В [9] изучена модель M/M/1/N/(s, Q)/M/M
с ненадежным сервером, где поступающие заявки в зависимости от статуса
сервера и уровня запасов могут либо просоединяться в очередь, либо по-
кидать систему. Стационарное распределение находится с использованием
MGM и решается задача минимизации TC. В [10-12] предложены модели
PQIS, которые могут быть использованы для моделирования процессов бро-
нирования, отмены и продажи авиа/ж.д./автобусных билетов. В [13] изуче-
на модель M/M/1/0/(s, Q)/M/M с повторными заявками и рабочими отды-
хами сервера. Аналогичная модель с ненадежным сервером изучена в [14].
В обеих работах для расчета характеристик изучаемых систем используется
MGM. В [15] исследуется модель M/M/1/0/(s, Q)/M/M с повторными заяв-
ками. Найдено условие эргодичности системы, для расчета ее стационарного
распределения используется MGM. Похожая модель M/M/1/0/(s, S )/M/M
изучена в [16]. Марковская модель M/M/1/N/(s, S )/M/M с многократными
отдыхами сервера изучена в [17]. Заявки, которые поступают во время от-
сутствия запасов, согласно схеме Бернулли либо присоединяются к очереди,
либо покидают систему. Обслуживание заявок прекращается, если уровень
запасов опускается ниже критического уровня. Для изучения системы ис-
пользуется MGM и приводятся результаты объемных вычислительных экс-
периментов.
1 Различные авторы используют разные обозначения для одних и тех же ППЗ. Во избе-
жание недоразумений здесь для ППЗ, в которой объем заказа равен Q = S - s, использует-
ся обозначение (s, Q), а обозначение (s, S) используется для ППЗ, в которой объем заказа
равен S - m, где m указывает на текущий уровень запасов в момент выполнения заказа.
155
Почти во всех работах по QIS предполагается, что после завершения обслу-
живания все заявки получают запасы. Однако это предположение не всегда
удовлетворяется в реальных системах. Кажется, первой работой, где учи-
тывается этот факт, является [20]. В указанной работе изучаются модели
M/M/1/∞/(s, S)/∞/M и M/M/1/∞/(s, Q)/∞/M, где принимается принци-
пиальное допущение о том, что заявки не принимаются в систему, если в
моменты их поступления уровень запасов равень нулю. Доказано, что стацио-
нарное распределение системы определяется как произведение маргинально-
го рaспределения числа заявок в СМО типа M/M/1/∞ и числа товаров на
складе. Интересным результатом этой работы является то, что условие эр-
годичности системы совпадает с соответствующим условием для СМО типа
M/M/1/∞, т.е. оно не зависит ни от типа ППЗ, ни от параметра времени
выполнения заказов. Аналогичные результаты получены недавно в [21] для
модели с отдыхами сервера и случайными объемами поставок.
Обобщение модели [20] для систем с портящимися запасами было пред-
ложено в [22]. Другими и при этом принципиальными отличиями модели,
изученной в [22], от указанной в статье [20], являются следующие: (i) заяв-
ки могут приниматься в систему даже тогда, когда уровень запасов равен
нулю; (ii) заявки в очереди являются нетерпеливыми; (iii) длительности об-
служивания заявок зависят от того, получают они запасы или нет. В [22]
был предложен приближенный метод расчета характеристик системы. На-
ряду с низкой вычислительной сложностью и высокой точностью указанного
метода следует отметить, что его корректное применение требует выполнения
определенных соотношений между исходными параметрами системы. Одна-
ко если необходимые соотношения не выполняются, то точность разработан-
ных алгоритмов ухудшается. Поэтому возникает необходимость разработки
универсального метода, применение которого не требует выполнения опре-
деленных соотношений между исходными параметрами системы. В связи с
этим в данной работе предлагается матрично-геометрический метод.
Еще одно отличие изучаемой модели состоит в том, что здесь, как и в [7,
15, 16], допускаются порчи запасов даже в период их отпуска по заявкам.
2. Описание моделей
Рассмотрим модели M/M/1/∞/(s, S)/M/M и M/M/1/∞/(s, Q)/M/M.
В обеих моделях интенсивность поступающего пуассоновского потока рав-
на λ. Для простоты полагаем, что заявки требуют запаса единичного раз-
мера; уровень запасов уменьшается также в результате их порчи, при этом
время жизни запасов имеет экспоненциальную ф.р. с параметром γ, γ > 0.
Если в момент поступления заявки сервер является свободным и уровень
запасов положительный, то она принимается на обслуживание; иначе заявки
становятся в очередь бесконечной длины. Заявки присоединяются к очереди
согласно схеме Бернулли даже тогда, когда уровень запасов равен нулю, т.е.
если в момент поступления очередной заявки в системе отсутствуют запасы,
то она либо с вероятностью ϕ1 становится в очередь, либо с вероятностью ϕ2
156
покидает систему, при этом ϕ1 + ϕ2 = 1. Считается, что если уровень запасов
равен нулю, то лишь заявка в начале очереди является нетерпеливой, т.е. в
таких случаях заявка во главе очереди ожидает некоторое случайное время,
которое имеет экспоненциальную ф.р. со средним τ-1.
После завершения обслуживания заявка согласно схеме Бернулли либо с
вероятностью σ1 отказывается получить товар, либо с вероятностью σ2 полу-
чает товар, σ1 + σ2 = 1. При этом если заявка отказывается получить товар,
то время ее обслуживания имеет экспоненциальную ф.р. со средним μ-11; ина-
че время ее обслуживания также имеет экспоненциальную ф.р, но со сред-
ним μ-12. Изучаются две ППЗ: (s, S ) и (s, Q), при этом в обеих ППЗ время
выполнения заказа имеет экспоненциальную ф.р. со средним ν-1.
3. Расчет вероятностей состояний системы при
использовании (s, S) политики
Работа системы описывается двумерной цепью Маркова (Two Dimensional
Markov Chain, 2-D MC) с состояниями вида (n, m), где n указывает число
заявок в системе, n = 0, 1, . . . , а m обозначает уровень запасов на складе си-
стемы, m = 0, 1, . . . , S. Пространство состояний этой цепи определяется так:
⋃
E = L(n),
n=0
где множество L (n) = {(n, 0) , (n, 1) , . . . , (n, S)} называется n-й уровень.
Перенумеруем все состояния системы лексикографичским способом,
т.е. состояния нумеруются согласно порядку (0, 0) , (0, 1) , . . . , (0, S) , (1, 0) ,
(1, 1) , . . . , (1, S) , . . . Тогда исходя из описания системы заключаем, что по-
лученная 2-D MC представляет собой не зависящий от уровня квази-процесс
размножения и гибели (Level Independent Quasi-Birth-Death Process, LIQBD)
со следующим генератором:
⎛
⎞
B A0
⎜
⎟
A2
A1
A0
⎜
⎟
(3.1)
G=⎜
A2
A1
A0
⎟.
⎜
⎟
⎝
⎠
Блочные матрицы B, Ak, k = 0, 1, 2, являются квадратнымис размерно-
k)
стью S + 1, и их элементы B = ∥bij ∥, i, j = 0, 1, . . . , S, Ak =
a(
, k = 0,1,2,
ij
i, j = 0, 1, . . . , S, определяются как
⎧
⎪ν,
если i ≤ s, j = S,
⎪
⎪iγ,
если i > 0, j = i - 1,
⎨
- (ν + λϕ1) ,
если i = j = 0,
(3.2)
bij =
⎪− (ν + iγ + λ) , если
0 < i ≤ s, i = j,
⎪
⎪- (iγ + λ) ,
если s < i ≤ S, i = j,
⎩
0,
в других случаях;
157
⎧
⎨λϕ1, если i = j = 0,
(0)
(3.3)
a
ij
=⎩λ,еслиi=0,i=j,
0,
в других случаях;
⎧
⎪ν,
если
0 ≤ i ≤ s, j = S,
⎪
⎨iγ,
если
i > 0, j = i - 1,
(3.4)
a(1)ij =
−(τ + ν + λϕ1),
если
i = j = 0,
⎪
⎪-(ν + iγ + λ + μ1σ1 + μ2σ2), если
i > 0, i = j,
⎩
0,
в других случаях;
⎧
⎪τ,
если i = j = 0,
⎨
μ1σ1, если i = 0, i = j,
(3.5)
a(2)ij =
⎪μ2σ2, если i > 0, j = i - 1,
⎩
0,
в других случаях.
Теорема 1. При использовании (s,S)-политики система является эрго-
дичной тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:
(3.6)
λ(1 - (1 - ϕ1) π (0)) < τπ (0) + (μ1σ1 + μ2σ2
)(1 - π (0)) ,
где
(
)-1
∑
∑
π(0) =
1+ am +
bm
;
m=1
m=s+2
∏
∏
Λi-1 + ν
Λi-1 + ν
am =
;
bm =
;
Λi = μ2σ2 + iγ, i = 1,... ,S.
Λi
Λm
Λi
i=1
i=1
Доказательство. Стационарное распределение, которое соответству-
ет генератору A = A0 + A1 + A2, обозначим через π = (π (0) , π (1) , . . . , π (S)),
т.е. эти величины удовлетворяют следующей системе уравнений:
(3.7)
πA = 0, πe = 1,
где 0 - нулевой вектор-строка размерности S + 1 и e - вектор-столбец раз-
мерности S + 1, все компоненты которых равны единице. Иными словами,
величины π (m), m = 0, 1, . . . , S, представляют собой вероятности того, что
уровень запасов равен m, m = 0, 1, . . . , S.
Из соотношений (3.3)-(3.5) заключаем, что элементы генератора A =
= ∥aij ∥, i, j = 0, 1, . . . , S, определяются как
⎧
⎪-ν
если i = j = 0,
⎪
⎪ν
если
0 ≤ i ≤ s, j = S,
⎨
μ2σ2 + iγ
если
i > 0, j = i - 1,
(3.8)
aij =
⎪− (μ2σ2 + iγ + ν) если
0 < i ≤ s, j = i,
⎪
⎪- (μ2σ2 + iγ)
если i > s, j = i,
⎩
0
в других случаях.
158
Из соотношений (3.8) заключаем, что система уравнений (3.7) имеет сле-
дующий явный вид:
(ν + (mγ + μ2σ2) (1 - δm,0)) π(m) =
(3.9)
= ((m + 1) γ + μ2σ2)π (m + 1) ,
0 ≤ m ≤ s;
(mγ + μ2σ2) π(m) = ((m + 1) γ + μ2σ2) π (m + 1) (1 - δm,S ) +
∑
(3.10)
+ν π(k)δm,S, s + 1 ≤ m ≤ S .
k=0
Здесь и далее δx,y обозначают символы Кронекера. Из уравнений (3.9)
и (3.10) величины π(m), m = 1, . . . , S, выражаются через π(0) следующим
образом:
{ amπ (0) , если 1 ≤ m ≤ s + 1,
(3.11)
π(m) =
bmπ (0) , если s + 1 < m ≤ S.
Величина π(0) определяется из условия нормировки, т.е. π(0)+π(1)+. . . +
+ π(S) = 1.
Согласно [19] (гл. 3, стр. 81-83) изучаемый LIQBD является эргодичным
тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:
(3.12)
πA0e < πA2
e.
С учетом соотношений (3.3), (3.5) и (3.11) после выполнения определенных
преобразований из (3.12) получим соотношение (3.6).
Замечание 1. Условие эргодичности (3.6) имеет вероятностный смысл.
Действительно, левая часть неравенства (3.6) представляет собой взвешен-
ную общую интенсивность поступления заявок в систему при условии отсут-
ствия запасов и при их наличии, а правая часть (3.6) определяет взвешенную
общую интенсивность ухода заявок из системы в результате нетерпеливости
заявок из-за отсутствия запасов системы (см. первое слагаемое в правой ча-
сти (3.6)) и после их обслуживания с получением запасов и без их получения
(см. второе слагаемое в правой части (3.6)). Следовательно, условие (3.6) фи-
зически означает следующее: взвешенная общая интенсивность поступления
заявок в систему должна быть меньше, чем взвешенная общая интенсивность
ухода заявок из системы. Условие (3.6) может быть заменено грубым, но в
то же время легко проверяемым условием λ < min (τ, μ1σ1 + μ2σ2).
Замечание 2. В частном случае, когда ϕ1 = 0 и τ = 0, из (3.6) при σ2 = 0
находим классическое условие эргодичности одноканальной марковской си-
стемы обслуживания. Кроме того, если положить σ2 = 1, то находим, что при
ϕ1 = 0 и τ = 0 условие эргодичности системы не зависит от размера склада
системы (S), а также не зависит ни от интенсивностей порчи запасов (γ) и
ни от интенсивности их пополнения (ν). Эти результаты полностью соответ-
ствуют результатам работ [20, 21].
159
Стационарное распределение, соответствующее генератору G, обозначим
через p = (p0, p1, p2, . . .), где pn = (p (n,0) , p (n, 1) , . . . , p (n, S)), n = 0, 1,
При выполнении условия эргодичности (3.6) искомое стационарное распре-
деление определяется как
(3.13)
pn = p0Rn
,
n ≥ 1,
где R является неотрицательным и минимальным решением следующего
квадратичного матричного уравнения:
(3.14)
R2A2 + RA1 + A0
= 0.
Вероятности p0 граничных состояний вычисляются из следующей системы
уравнений:
(3.15)
p0 (B + RA2
) = 0,
(3.16)
p0 (I - R)-1
e = 1,
где I обозначает единичную матрицу размерности S + 1.
4. Расчет вероятностей состояний системы при
использовании (s, Q)-политики
Пространство состояний данной модели также задается с помощью мно-
жества Е, но здесь элементы генератораG полученной LIQBD вычисляются
так:
⎛
⎞
˜ A0
⎜
⎟
A2
A1
A0
⎜
⎟
G=
⎜
⎟.
(4.1)
A2
A1
A0
⎜
⎟
⎝
⎠
Элементы матрицB
A1 вычисляются как
⎧
⎪ν,
если j = i + S - s,
⎪
⎪iγ,
если i > 0, j = i - 1,
⎨
- (ν + λϕ1) ,
если i = j = 0,
(4.2)
bij =⎪
− (ν + iγ + λ) , если
0 < i ≤ s, i = j,
⎪
⎪
(iγ + λ) ,
если s < i ≤ S, i = j,
⎩-
0,
в других случаях;
⎧
⎪ν,
если
0 ≤ i ≤ s, j = i + S - s,
⎪
⎨iγ,
если
i > 0, j = i - 1,
(4.3)
ã(1)ij =
− (τ + ν + λϕ1) ,
если
i = j = 0,
⎪
⎪- (ν + iγ + λ + μ1σ1 + μ2σ2) , если
i > 0, i = j,
⎩
0,
в других случаях.
160
Теорема 2. При использовании (s,Q)-политики система является эр-
годичной тогда и только тогда, когда выполняется соотношение (3.6), где
(
)-1
∑
∑
∑
π(0) = c0
cm +
dm +
fm
;
m=0
m=s+1
m=S-s+1
∏
∑
Λi
Λs+1
ν
cm =
;
dm =
;
fm =
ci.
ν+Λi-1
Λm
Λ
i=m+1
m i=m-S+s
Доказательство. Элементы генератора
A=A0
A1 + A2 определя-
ются так:
⎧
⎪-ν
если i = j = 0,
⎪
⎪ν
если
0 ≤ i ≤ s, j = i + S - s,
⎨
μ2σ2 + iγ
если
i > 0, j = i - 1,
(4.4)
ãij =
⎪−(μ2σ2 + iγ + ν) если
0 < i ≤ s, j = i,
⎪
⎪-(μ2σ2 + iγ)
если i > s, j = i,
⎩
0
в других случаях.
Из соотношений (4.4) заключаем, что система уравнений (3.7), соответ-
ствующая генератор
A, имеет следующий явный вид:
(ν + (mγ + μ2σ2) (1 - δm,0)) π(m) =
(4.5)
= ((m + 1) γ + μ2σ2)π (m + 1) ,
0 ≤ m ≤ s;
(mγ + μ2σ2) π(m) = ((m + 1) γ + μ2σ2) π (m + 1) (1 - δm,S) +
(4.6)
+ νπ (m - S + s)δm,S, s + 1 ≤ m ≤ S.
Из (4.5) и (4.6) вероятности π(m), m = 1, . . . , S, выражаются через вели-
чины π(s + 1) следующим образом:
⎧
⎨cmπ(s + 1), если
0 ≤ m ≤ s,
(4.7)
π(m) =
dmπ(s + 1), если s + 1 ≤ m ≤ S - s,
⎩
fmπ(s + 1), если S - s + 1 ≤ m ≤ S,
где
∏
∑
Λi
Λs+1
ν
cm =
;
dm =
;
fm =
ci.
ν+Λi-1
Λm
Λ
i=m+1
m i=m-S+s
Значение π (s + 1) вычисляется через условие нормировки:
(
)-1
∑
∑
∑
π(s + 1) =
cm +
dm +
fm
m=0
m=s+1
m=S-s+1
161
Далее с учетом соотношений (3.3), (3.5) и (4.7) после выполнения опреде-
ленных преобразований из (3.12) получаем, что теорема 2 верна.
Стационарное распределение исходной модели опять определяется с помо-
щью системы уравнений (3.15), (3.16).
Замечание 3. Из теорем 1 и 2 заключаем, что в отличие от [20, 21] в
исследуемых моделях условия эргодичности зависят от размера склада си-
стемы, интенсивности порчи запасов и времени пополнения заказов.
5. Расчет характеристик системы
При использовании обеих ППЗ усредненные характеристики исследуемой
PQIS находятся через вероятности состояний системы. В качестве основных
выбираются следующие характеристики:
• средний уровень запасов на складе (Sav)
∑
(5.1)
Sav =
m
p (n, m) ;
m=1
n=0
• средний объем одного заказа при использовании (s, S)-политики (Vav)
∑
∑
(5.2)
Vav =
m
p (n, S - m) ;
m=S-s n=0
Замечание 4. Средний объем одного заказа при использовании
(s, Q)-политики пополнения запасов является постоянной величиной и равен
Q = S - s.
• средняя длина очереди заявок (Lav)
∑ S∑
(5.3)
Lav = n
p (n, m) ;
n=1
m=0
• средняя интенсивность заказов (RR)
∑
(5.4)
RR = γ (s + 1) p (0,s + 1) + (μ2σ2 + sγ)
p (n, s + 1) ;
n=1
• средняя интенсивность порчи запасов (Γav)
(5.5)
Γav = γSav;
• вероятность потери заявок из-за отсутствия запасов (P L)
∑
(5.6)
PL=ϕ2
p (n, 0) .
n=0
162
6. Численные результаты
Цель выполнения вычислительных экспериментов заключается в изуче-
нии поведения характеристик рассматриваемых моделей (5.1)-(5.6), а также
суммарных штрафов (Total Cost, TC) относительно изменения значений ис-
ходных параметров при использовании различных ППЗ.
Отметим, что при использовании обеих ППЗ TC определяются как
(6.1)
TC (s) = (K + crVav)RR + chSav + cpsΓav + clλPL + cwLav,
где K - фиксированная цена одного заказа, cr - цена единицы объема заказа;
ch - цена хранения единицы объема запасов за единицу времени; cps - цена
порчи единицы запаса; cl - штрафы за потери одной заявки; cw- цена за
единицу времени ожидания в очереди одной заявки.
Некоторые результаты этих экспериментов для модели с максимальным
размером склада S = 20 показаны в табл. 1-9, где в каждом столбце верх-
Таблица 1. Зависимость характеристик моделей от параметра λ
λ
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
1
6,9467
0,3333
0,5691
0,0872
2042,15
7,8353
0,3333
0,5240
0,0803
8,0499
2045,36
1,2
6,9245
0,4286
0,6410
0,0902
2131,46
7,8195
0,4286
0,5898
0,0830
8,0763
2115,15
1,4
6,9024
0,5385
0,7123
0,0931
2220,67
7,8047
0,5326
0,6519
0,0855
8,1013
2181,53
1,6
6,8805
0,6667
0,7830
0,0960
2309,91
7,7883
0,6667
0,7199
0,0883
8,1287
2255,10
1,8
6,8587
0,8182
0,8534
0,0989
2399,31
7,7728
0,8182
0,7841
0,0909
8,1547
2325,53
2
6,8371
1
0,9232
0,1018
2489,12
7,7574
1
0,8478
0,0935
8,1805
2396,52
Таблица 2. Зависимость характеристик моделей от параметра μ1
μ1
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
3
6,9379
0,3682
0,5973
0,0844
2076,47
7,8291
0,3683
0,5500
0,0814
8,0606
2072,63
3,2
6,9398
0,3606
0,5913
0,0811
2069,19
7,8304
0,3608
0,5445
0,0811
8,0581
2066,63
3,4
6,9416
0,3534
0,5855
0,0879
2062,13
7,8317
0,3535
0,5392
0,0809
8,0559
2061,08
3,6
6,9433
0,3468
0,5802
0,0877
2055,62
7,8329
0,3465
0,5340
0,0807
8,0539
2055,68
3,8
6,9450
0,3398
0,5744
0,0874
2048,61
7,8341
0,3398
0,5289
0,0805
8,0518
2050,45
4
6,9467
0,3333
0,5691
0,0870
2042,14
7,8353
0,3333
0,5240
0,0803
8,0499
2045,36
163
Таблица 3. Зависимость характеристик моделей от параметра μ2
μ2
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
3
6,9575
0,4283
0,5962
0,0858
2080,52
7,8429
0,4288
0,5498
0,0790
8,0371
2075,91
3,2
6,9550
0,4051
0,5884
0,0861
2069,68
7,8412
0,4055
0,5424
0,0793
8,0400
2067,32
3,4
6,9527
0,3843
0,5829
0,0864
2060,61
7,8395
0,3846
0,5362
0,0796
8,0428
2060,12
3,6
6,9505
0,3656
0,5766
0,0867
2053,11
7,8380
0,3658
0,5312
0,0798
8,0453
2054,15
3,8
6,9485
0,3487
0,5720
0,0870
2046,99
7,8366
0,3488
0,5271
0,0801
8,0477
2049,26
4
6,9467
0,3333
0,5691
0,0872
2042,14
7,8353
0,3333
0,5240
0,0803
8,0499
2045,36
Таблица 4. Зависимость характеристик моделей от параметра τ
τ
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
1
6,9448
0,3483
0,5764
0,0874
2051,30
7,8338
0,3471
0,5289
0,0804
8,0522
2050,61
1,2
6,9452
0,3448
0,5748
0,0873
2049,18
7,8342
0,3439
0,5278
0,0804
8,0517
2049,40
1,4
6,9456
0,3416
0,5732
0,0873
2047,23
7,8345
0,3411
0,5268
0,0803
8,0512
2048,33
1,6
6,9460
0,3386
0,5718
0,0873
2045,41
7,8348
0,3382
0,5258
0,0803
8,0507
2047,23
1,8
6,9464
0,3359
0,5704
0,0872
2043,72
7,8350
0,3358
0,5249
0,0803
8,0503
2046.31
2
6,9467
0,3333
0,5691
0,0872
2042,14
8,8353
0,3333
0,5240
0,0803
8,0499
2045,36
Таблица 5. Зависимость характеристик моделей от параметра ν
ν
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
2
5,5928
0,3333
0,4598
0,1778
1656,16
6,5507
0,3333
0,4241
0,1640
10,1186
1735,25
2,2
5,9107
0,3333
0,4856
0,1531
1746,62
6,8595
0,3333
0,4474
0,1411
9,6272
1810,19
2,4
6,2024
0,3333
0,5091
0,1324
1829,72
7,1388
0,3333
0,4688
0,1219
9,1797
1877,75
2,6
6,4707
0,3333
0,5308
0,1148
1906,22
7,3925
0,3333
0,4886
0,1057
8,7706
1938,95
2,8
6,7181
0,3333
0,5507
0,0999
1976,83
7,6237
0,3333
0,5070
0,0920
8,3953
1994,58
3
6,9467
0,3333
0,5691
0,0872
2042,14
7,8553
0,3333
0,5240
0,0803
8,0499
2045,36
164
Таблица 6. Зависимость характеристик моделей от параметра γ
γ
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
2
8,1789
0,3333
0,5214
0,0380
1804,37
8,9524
0,3333
0,4818
0,0352
6,1934
1731,77
2,2
7,9023
0,3333
0,5326
0,0469
1859,29
8,7061
0,3333
0,4915
0,0433
6,6077
1801,47
2,4
7,6420
0,3333
0,5429
0,0564
1910,14
8,4720
0,3333
0,5005
0,0520
6,9988
1867,40
2,6
7,3967
0,3333
0,5524
0,0663
1957,33
8,2493
0,3333
0,5089
0,0611
7,3685
1929,86
2,8
7,1653
0,3333
0,5611
0,0766
2001,23
8,0373
0,3333
0,5167
0,0705
7,7184
1989,10
3
6,9467
0,3333
0,5691
0,0872
2042,14
7,8353
0,3333
0,5340
0,0803
8,0499
2045,36
Таблица 7. Зависимость характеристик моделей от параметра ϕ1
ϕ1
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
0
6,9497
0,3106
0,5575
0,0870
2027,59
7,8367
0,3125
0,5164
0,0801
8,0461
2037,24
0,2
6,9485
0,3193
0,5620
0,0870
2033,25
7,8367
0,3204
0,5193
0,0802
8,0476
2040,35
0,4
6,9473
0,3285
0,5667
0,0871
2039,13
7,8358
0,3289
0,5224
0,0802
8,0491
2043,64
0,6
6,9461
0,3378
0,5713
0,0872
2044,91
7,8348
0,3375
0,5255
0,0803
8,0506
2046,95
0,8
6,9447
0,3489
0,5766
0,0874
2051,50
7,8338
0,3476
0,5291
0,0804
8,0523
2050,78
1
6,9434
0,3601
0,5818
0,0875
2057,98
7,8328
0,3579
0,5326
0,0805
8,0539
2054,61
Таблица 8. Зависимость характеристик моделей от параметра σ1
σ1
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
0
6,8993
0,3333
0,6488
0,0935
2132,41
7,8017
0,3333
0,5967
0,0860
8,1063
2115,75
0,2
6,9308
0,3333
0,5998
0,0893
2072,39
7,8240
0,3333
0,5484
0,0822
8,0688
2068,87
0,4
6,9627
0,3333
0,5423
0,0851
2011,74
7,8466
0,3333
0,4995
0,0784
8,0309
2021,73
0,6
6,9948
0,3333
0,4884
0,0808
1950,43
7,8693
0,3333
0,4500
0,0745
7,9927
1974,14
0,8
7,0273
0,3333
0,4335
0,0764
1888,47
7,8922
0,3333
0,3999
0,0705
7,9542
1926,08
1
7,0602
0,3333
0,3782
0,0720
1825,83
7,9153
0,3333
0,3333
0,0665
7,9153
1877,54
165
Таблица 9. Зависимость характеристик моделей от параметра s
s
Sav
Lav
RR
PL
Vav
TC
3
6,2553
0,3333
0,5209
0,1108
1907,38
6,6468
0,3333
0,5053
0,1074
6,8351
1780,71
4
6,5519
0,3333
0,5290
0,0996
1955,25
7,0966
0,3333
0,5056
0,0952
7,3077
1874,02
5
6,7778
0,3333
0,5457
0,0922
2000,48
7,4889
0,3333
0,5127
0,0866
7,7020
1962,11
6
6,9467
0,3333
0,5691
0,0872
2042,15
7,8353
0,3333
0,5240
0,0803
8,0499
2045,36
7
7,0667
0,3333
0,5986
0,0839
2080,25
8,1440
0,3333
0,5383
0,0754
8,3598
2124,23
8
7,1211
0,3333
0,6322
0,0823
2113,55
8,4206
0,3333
0,5548
0,0717
8,6372
2199,15
9
7,1775
0,3333
0,6764
0,0810
2147,49
8,6688
0,3333
0,5732
0,0686
8,8861
2270,43
няя строка соответствует (s, Q)-политике, а нижняя — (s, S)-политике попол-
нения запасов (поскольку характеристики (5.5) и (5.1) отличаются друг от
друга лишь постоянным множителем, то в таблицах значения характеристи-
ки (5.5) не приводятся). В табл. 1-8 принимается, что s = 6; в качестве базо-
вых принимаются следующие значения исходных данных (т.е. в каждой таб-
лице при изменении значений конкретного параметра значения других пара-
метров остаются неизменными): λ = 1; μ1 = μ2 = 4; ν = γ = 3; τ = 2; ϕ1 = 0,5;
σ1 = 0,3. Коэффициенты в выражении функционала (6.1) выбирались так:
K = 750, cr = 35, ch = 50, cl = 75, cw = 30, cps = 50.
Из-за ограниченности объема работы здесь не приводится подробный ана-
лиз результатов численных экспериментов; лишь отметим, что все результаты
полностью соответствуют теоретическим ожиданиям, при этом сравнитель-
ный анализ значений суммарных штрафов при различных ППЗ показывает,
что они существенным образом зависят от значений многочисленных исход-
ных параметров, и потому невозможно предсказать эффективность той или
иной ППЗ без выполнения соответствующих вычислительных эксперимен-
тов (хотя наблюдается монотонность характеристик относительно изменения
конкретных параметров).
7. Заключение
В работе изучаются марковские модели систем обслуживания-запасания
с бесконечным размером буфера, нетерпеливыми заявками и портящимися
запасами при использовании двух политик пополнения запасов — с фиксиро-
ванным и переменным объемом заказов. Отличительной особенностью изу-
чаемых моделей является то, что заявки могут приниматься в систему даже
тогда, когда уровень запасов равен нулю. Считается, что после завершения
166
обслуживания часть заявок согласно схеме Бернулли либо покидает систему
без получения товаров, либо получают товары. Математическими моделя-
ми изучаемых систем при обеих ППЗ являются двумерные цепи Маркова,
которые имеют трехдиагональные генераторы. Найдены условия эргодично-
сти этих цепей и показано, что в частном случае из них получаются ранее
известные результаты для подобных моделей.
Здесь предполагалось, что время жизни запасов является непрерывной
случайной величиной с заданной функцией распределения, и таким образом,
не учитываются их мгновенные порчи из-за внезапных событий, например
в результате небрежного отношения сотрудников склада к своей работе. Та-
кие ситуации могут быть учтены с помощью введения потока “катастрофиче-
ских” заявок, которые не требуют обслуживания, а их появление приводит к
мгновенному уменьшению уровня запасов (этот поток можно называть “нега-
тивные пополнения”, как аналог негативных заявок). Эти модели являются
объектами дальнейших исследований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Krishnamoorthy A., Shajin D., Narayanan W. Inventory with positive service time:
a survey / Advanced Trends in Queueing Theory. Series of Books “Mathematics and
Statistics” Sciences. Anisimov V., Limnios N. (Eds.). ISTE & Wiley. London. 2021.
Vol. 2. P. 201-238.
2.
Bakker M., Riezebos J., Teunter R.H. Review of inventory systems with deterioration
since 2001 / Eur. J. Oper. Res. 2012. V. 221. P. 275-284.
3.
Nahmias S. Perishable Inventory Theory. Heidelberg: Springer, 2011.
4.
Ko S.S., Kang J., Kwon E-J. An (s, S) inventory model with level-dependent G/M/1
type structure / J. Ind. & Manag. Opt. 2016. V. 12. Iss. 2. P. 609-624.
5.
Ko S.S. A nonhomogeneous quasi-birth-death process approach for an (s,S) policy
for a perishable inventory system with retrial demands / J. Ind. & Manag. Opt.
6.
Kocer U.U., Yalcin B. Continuous review (s, Q) inventory system with random
lifetime and two demand classes / OPSEARCH. 2020. V. 57. P. 104-118.
7.
Al Hamadi H.M., Sangeetha N., Sivakumar B. Optimal control of service parameter
for a perishable inventory system maintained at service facility with impatient
customers / Ann. Oper. Res. 2015. V. 233. P. 3-23.
8.
Amirthakodi M., Radhamani V., Sivakumar B. A perishable inventory system with
service facility and feedback customers / Ann. Oper. Res. 2015. V. 233. P. 25-55.
9.
Jeganathan K., Yadavalli V.S.S. A finite source perishable inventory system with
second optional service and server interruptions / ORiON. 2016. V. 32. Iss. 1.
P. 23-53.
10.
Krishnamoorthy A., Shajin D., Lakshmy B. On a queueing-inventory with
reservation, cancellation, common life time and retrial / Ann. Oper. Res. 2016.
V. 247. P. 365-389.
167
11.
Krishnamoorthy A., Shajin D., Lakshmy B. G/M/1 type queueing-inventory system
with postponed, cancellation and common life time / Indian J. Pure & Appl. Math.
2016. V. 47. Iss. 2. P. 357-388.
12.
Shajin D., Krishnamoorthy A., Manikandan R. On a queueing-inventory system with
common life time and Markovian lead time process / Oper. Res.
13.
Laxmi P.V., Soujanya M.L. Perishable inventory model with retrial demands,
negative customers and multiple working vacations / Int. J. Math. Model. & Comput.
2017. V. 7. Iss. 4. P. 239-254.
14.
Laxmi P.V., Soujanya M.L. Perishable inventory system with service interruptions,
retrial demands and negative customers / Appl. Math. & Comput. 2015. V. 262.
P. 102-110.
15.
Reshmi P.S., Jose K.P. A queueing-inventory system with perishable items and
retrial of customers / Malaya J. Mat. 2019. V. 7. Iss. 2. P. 165-170.
16.
Reshmi P.S., Jose K.P. A production inventory model with deteriorating items and
17.
Jajaraman B., Sivakumar B., Arivarignan G. A Perishable Inventory System with
Postponed Demands and Multiple Server Vacations / Modeling and Simulation
Engineering (Hindawi Publishing Corporation). V. 2012. Article ID 620960. 17 pages.
18.
Melikov A.Z., Molchanov A.A. Stock optimization in transport/storage systems /
Cybernetics. 1992. V. 27. Iss. 3. P. 484-487.
19.
Neuts M.F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: An Algorithmic
Approach. Baltimore: John Hopkins University Press, 1981.
20.
Krishnamoorthy A., Manikandan R., Lakshmy B. Revisit to queueing-inventory
system with positive service time / Ann. Oper. Res. 2015. V. 233. P. 221-236.
21.
Zhang Y., Yue D., Yue W. A queueing-inventory system with random order size
policy and server vacations / Ann. Oper. Res.
22.
Melikov A.Z., Shahmaliyev M.O. Markov models of inventory management systems
with a positive service time / J. Comp. & Sys. Sci. Int. 2018. V. 57. Iss. 5. P. 767-783.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Ляховым.
Поступила в редакцию 22.03.2021
После доработки 05.06.2021
Принята к публикации 30.06.2021
168
