Автоматика и телемеханика, № 2, 2021

Нелинейные системы

А.П. ПРЕСНОВА (presnova.a.p@yandex.ru)

(Национальный исследовательский университет

“Высшая школа экономики”, Москва)

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ,

ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ МОДЕЛЯМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА

“РАСШИРЕННОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ”¹

Проблема оптимального управления формулируется для класса ди-

намических систем, нелинейные объекты которых представимы в виде

объектов с линейной структурой и параметрами, зависящими от состоя-

ния. Линейность структуры преобразованной нелинейной системы и квад-

ратичный функционал качества позволяют при синтезе оптимального

управления, т.е. параметров регулятора, перейти от необходимости по-

иска решений уравнения Гамильтона-Якоби к уравнению типа Риккати

с параметрами, зависящими от состояния. Основная проблема реализа-

ции оптимального управления связана с проблемой поиска решения та-

кого уравнения в темпе функционирования объекта. Предложен алгорит-

мический метод параметрической оптимизации регулятора, основанный

на использовании необходимых условий оптимальности рассматриваемой

системы управления. Построенные алгоритмы могут использоваться как

для оптимизации самих нестационарных объектов, если для этой цели вы-

делены соответствующие параметры, так и для оптимизации всей управ-

ляемой системы с помощью соответствующей параметрической настрой-

ки регуляторов. Эффективность разработанных алгоритмов продемон-

стрирована на примере медикаментозного лечения пациентов при нали-

чии ВИЧ.

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, метод рас-

ширенной линеаризации, оптимальное управление, уравнение Гамильто-

на-Якоби-Беллмана, уравнение Риккати с параметрами, зависящими от

состояния, параметрическая оптимизация.

DOI: 10.31857/S0005231021020057

1. Введение

Проблема линеаризации является одной из самых богатых областей иссле-

дований систем управления за последние четыре десятилетия. Самым распро-

страненным методом анализа и синтеза систем с аналитическими (гладкими)

функциями является линеаризация, основанная на разложении нелинейной

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 19-08-00535).

функции в окрестностях точки, определяющей заданный режим, в ряд Тейло-

ра и отбрасыванием нелинейных членов. Начиная с работ А.М. Ляпунова [1],

основные результаты оценки устойчивости нелинейной системы по первому

приближению, а также синтеза управления по первому приближению [2] ос-

нованы на изучении расположения корней характеристического уравнения

системы первого приближения (“некритические задачи”). Однако для “кри-

тических задач” рассмотрения первого приближения недостаточно, управле-

ния же, синтезированные по первому приближению, могут и не обеспечить

устойчивости нелинейной системе.

В отличие от этого метода развиваются методы эквивалентного представ-

ления нелинейных систем, например, метод линеаризации обратной связью

(exact linearization) [3-6] или метод “расширенной линеаризации” (extendent

linearization) [7-10], который и используется в данной статье.

Впервые проблема управления нелинейными объектами с их эквивалент-

ным представлением в виде линейных моделей (State Dependent Coefficient,

SDC) с параметрами, зависящими от состояния, и функционалами, матрицы

штрафа которых также зависят от состояния объекта, была сформулирова-

на в начале 60-х гг. XX столетия в [7]. С конца 90-х гг. прошлого столетия

метод привлекает все большее внимание со стороны ученых и практиков. Пре-

образование исходного нелинейного дифференциального уравнения, которое

описывает исходную систему управления, в систему с линейной структурой,

но с параметрами, зависящими от состояния, и использование квадратичного

функционала качества позволяют при синтезе управления осуществить пере-

ход от уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана к уравнению типа Риккати

с параметрами, зависящими от состояния (State Dependent Riccati Equation,

SDRE). Это и составляет основу SDRE-метода синтеза оптимальных нели-

нейных систем управления [8-10]. Следует отметить, что до настоящего вре-

мени остается ряд вопросов, связанных с неоднозначностью представления

нелинейного объекта в виде модели с линейной структурой и с параметра-

ми, зависящими от состояния. Синтезированные управления с использовани-

ем SDC-модели и квадратичным критерием качества обеспечивают устойчи-

вость модели при любых начальных условиях. Но этого может не быть при

приложении синтезированного таким образом управления к исходной нели-

нейной системе. Таким образом, в общей постановке задачи синтеза не реше-

на задача о глобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы

с управлением, синтезированным с использованием ее модели с параметра-

ми, зависящими от состояния. Основная же проблема реализации регулятора,

полученного на основе SDRE-метода, заключается в сложности нахождения

решения алгебраического матричного уравнения Риккати с параметрами, за-

висящими от состояния, в темпе функционирования системы.

Материал статьи размещен в следующем порядке: во втором разделе осу-

ществлена постановка задачи управления нелинейным объектом, описывае-

мым системой обыкновенных дифференциальных уравнений, задан квадра-

тический функционал качества. Для синтеза оптимальных управлений ис-

пользован метод динамического программирования. В третьем разделе об-

суждается метод “расширенной линеаризации”, используемый для синтеза оп-

тимального управления в задаче с заданным временем переходного процесса

и синтеза субоптимального управления в задаче с неограниченным временем

окончания переходного процесса. Реализация синтезированного управления

наталкивается на сложность реализации решений матричного уравнения ти-

па Риккати с параметрами, зависящими от состояния системы. В статье для

решения этой проблемы предлагается использовать один из методов алгорит-

мического конструирования систем с неполной информацией [11]. В четвер-

том разделе излагается метод алгоритмического конструирования системы

с параметрической оптимизацией, основанный на применении функции до-

пустимых управляющих воздействий (гамильтонианов). В пятом разделе де-

монстрируется применение полученных теоретических результатов с исполь-

зованием математической модели, описывающей поведение иммунной систе-

мы человека при наличии вируса ВИЧ, в задаче управления подачей пре-

паратов ВААРТ. Представлены результаты математического моделирования

построенной системы.

2. Задача оптимального управления нелинейным

детерминированным объектом

Пусть детерминированная управляемая нелинейная система описывается

обыкновенным дифференциальным уравнением

(2.1)

x(t) = f(x(t)) + g(x(t))u(t), x(t₀) = x₀.

Здесь x(·) = {x(t) ∈ Rⁿ, t ∈ [t₀, t_f ]} - состояние системы; x ∈ Ω_x, x₀ ∈ X₀ ⊂

⊂Ω_x - множество возможных начальных условий системы; u(·) = {u(t) ∈ R^r,

t ∈ [t₀,t_f]} - управление; вектор-столбец f(x(t)) и матрица g(x(t)) - непре-

рывные функции соответствующих размеров.

Предположение 1. Вектор-функция f(x(t)) - непрерывная диффе-

ренцируемая по x ∈ Ω_x, т.е. f(x(t)) ∈ C¹(Ω_x). Кроме того, будем полагать,

что функции f(x(t)), g(x(t)) такие, что из любых начальных условий (t₀, x₀) ∈

∈ R⁺ × Ω_x исходит одно и только одно решение уравнения (2.1).

2.1. Задача с заданным временем окончания переходного процесса

Введем функционал качества

∫

{

}

(2.2)

J (x(·), u(·)) =

x^T(t_f)Fx(t_f ) +

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)

dt.

t₀

Здесь R = R^T - положительно определенная матрица, матрицы F = F^T и

Q = Q^T, по крайней мере, положительно полуопределенные.

Предположение 2. Пусть f(x(t)), g(x(t)) - достаточно гладкие функ-

ции такие, что функция Беллмана V (t, x(t)), определенная как





∫



{

}



(2.3)

= inf

x^T(tf )F x(tf ) +

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)

dt,

u(·)∈U 2

дифференцируемая функция при любых допустимых управлениях u(·) ∈

∈ L2 [t₀,t_f].

В силу сделанных выше предположений значение функции V (t, x(t)) есть

решение задачи динамического программирования, связанное с дифферен-

циальным уравнением первого порядка в частных производных Гамильтона-

Якоби-Беллмана [12, 13]

(

)

∂V (t,x(t))

(2.4)

+ minH t,x(t),u(t),

= 0,

∂t

u∈U

∂x

где H - гамильтониан

(

)

∂V (t,x(t))

H t,x(t),u(t),

∂x

(2.5)

{

}

∂V (t,x(t))

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)

{f(x(t)) + g(x(t))u(t)} .

∂x

Функция H (t, x(t), u(t), ∂V (t, x(t))/∂x) определена и непрерывна для t ∈

∈ [t₀,t_f ].

Оптимальное управление u⁰(t) в задаче (2.1)-(2.2) является точкой ста-

ционарности гамильтониана (2.5) и определяется соотношением



(

)

(

)

∂V (t,x(t))

∂Ht,x(t),u(t),∂V(t,x(t))



∂²H t,x(t),u(t),

∂x

= 0,

= R ≻ 0,



∂u



∂u²

откуда

}_T

{∂V (t,x(t))

(2.6)

u⁰(t) = -R^-1g^T(x(t))

∂x

где вектор {∂V (t, x(t))/∂x}T является решением уравнения Гамильтона-

Якоби-Беллмана:

∂V (t,x(t))

f (x(t)) -

∂t

∂x

}_T

1 ∂V (t,x(t))

{∂V (t,x(t))

(2.7)

g(x(t))R^-1g^T(x(t))

x^T(t)Qx(t) = 0,

∂x

V (t_f , x(t_f )) =

x^T(t_f )Fx(t_f ).

Исходная система (2.1) с управлением (2.6) имеет вид

{∂V (t,x(t))}T

(2.8)

x(t) = f(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))

x(t₀) = x₀.

∂x

Лемма 1. Если существует оптимальное управление в задаче (2.1)-

(2.2), то оно единственно и определяется уравнением (2.8), где вектор

{∂V (t, x(t))/∂x}^T является решением уравнения (2.7) [14].

Основная трудность реализации управлений в виде (2.6) заключается в

нахождении вектора {∂V (t, x(t))/∂x}^T, удовлетворяющего скалярному урав-

нению в частных производных (2.7). В случае успешного решения уравнения

(2.7) управление u(·) осуществляется с использованием принципа обратной

связи по состоянию, т.е. u(t) = u(t, x(t)).

В дальнейшем потребуется знание о поведении га(мильтониана, соотве)т-

ствующее оптимальному управляемому процессу ξ =

x(t), u⁰(t), t ∈ [t₀, t_f ]

Лемма 2 [13]. Поведение гамильтониана

(

)

∂V (t,x(t))

H t,x(t),u(t),

∂x

(2.9)

[

]

∂V (t,x(t))

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)

[f(x(t)) + g(x(t))u(t)] ,

∂x

(

)

соответствующее управляемому процессу ξ =

x(t), u⁰(t), t ∈ [t₀, t_f ]

, где

x(t) = f(x(t)) + g(x(t))u⁰(t), x(t₀) = x₀,

}_T

{∂V (t,x(t))

u⁰(t) = -R^-1g^T(x(t))

∂x

определяется решением уравнения

(

)

∂V (t,x(t))

- H t,x(t),u⁰(t),

= 0,

∂t

∂x

(2.10)

V (t_f , x(t_f )) =

x^T(t_f )Fx(t_f ).

2.2. Задача с неопределенным временем окончания переходного процесса

В случае, когда t ∈ [t₀, t_f ), t_f → ∞, функционал качества записывается в

виде

∫

{

}

(2.11)

J (x(·), u(·)) = lim

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)

dt.

tf →∞ 2

t₀

Здесь Q = Q^T и R = R^T - положительно определенные матрицы.

В этом случае {∂V (x(t))/∂t} = 0 и оптимальное управление и соответст-

вующая траектория системы (2.1) имеют вид

}_T

{∂V (x(t))

(2.12)

u(t) = -R^-1g^T(x(t))

∂x

}_T

{∂V (x(t))

(2.13)

x(t) = f(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))

x(t₀) = x₀,

∂x

где {∂V (x(t))/∂x}^T ищется решением уравнения

∂V (x(t))

1 ∂V (x(t))

{∂V (x(t))}T

f (x(t)) -

g(x(t))R^-1g^T(x(t))

∂x

(2.14)

x^T(t)Qx(t) = 0.

Таким образом, проблема нахождения управления (2.12) полностью зави-

сит от успешного решения уравнения в частных производных (2.14).

Лемма 3.(Значение гамильто)ниана, соответствующее управляемому

процессу ξ =

x(t), u⁰(t), t ∈ [t₀, t_f )

, на всем интервале управления посто-

янно, т.е.

(

)

∂V (x(t))

H x(t),u⁰(t),

∂x

}_T

∂V (x(t))

1 ∂V (x(t))

{∂V (x(t))

(2.15)

f (x(t)) -

g(x(t))R^-1g^T(x(t))

∂x

x^T(t)Qx(t) = 0.

3. Метод “расширенной линеаризации” в задаче синтеза управлений

3.1. SDC-представление нелинейной системы

Будем искать решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (2.14),

применив к исходной нелинейной модели управляемого объекта метод “рас-

ширенной линеаризации”. Для этого необходимо сделать несколько предпо-

ложений [8].

Предположение 3. Положим, что при x = 0 выполняются следующие

условия: f(0) = 0 и, кроме этого, g(x(t)) = 0, ∀x(t) ∈ Ω_x.

Учитывая сделанные предположения, представим исходную систему (2.1)

с помощью метода “расширенной линеаризации” в виде системы с линей-

ной структурой, параметры которой зависят от состояния объекта (SDC-

представление, State Dependent Coefficient factorization [8-10]). Для этого

представим вектор f(x(t)) в виде

(3.1)

f (x(t)) = A(x(t))x(t).

При таком представлении уравнение объекта (2.1) примет вид

(3.2)

x(t) = A(x(t))x(t) + g(x(t))u(t), x(t₀) = x₀.

Такую запись нелинейной управляемой системы (2.1) в виде (3.2) называ-

ют SDC-представлением [8, 9].

Естественно, что такое представление (3.2) для систем, порядок которых

выше первого, не является единственным. Предположим, что в общем случае

матрица-функция f(x(t)) может быть p способами преобразована в произве-

дение матрицы A_i(x(t)) с параметрами, зависящими от состояния, на вектор

состояния x(t), т.е.

(3.3)

f (x(t)) = A_i

(x(t))x(t), i = 1, . . . , p.

Необходимо учесть, что не все полученные таким образом p представлений

вектора f(x(t)) можно использовать при построении системы, эквивалентной

исходной. Модель с параметрами, зависящими от состояния, полученная с

помощью данного преобразования (3.3), должна быть управляема.

Предположение 4. Будем считать, что представление исходной нели-

нейной системы в виде системы с линейной структурой, но с параметрами,

зависящими от состояния, является управляемым в области допустимых зна-

чений [t₀, t_f ] × Ω_x, т.е. пара 〈A_j(x(t)), g(x(t))〉 является поточечно управляе-

мой для всех (t, x) ∈ [t₀, t_f ] × Ω_x.

Следует отметить, что в настоящее время отсутствуют критерии для опре-

деления таких структурных свойств, как управляемость и наблюдаемость

моделей систем, полученных с использованием метода “расширенной лине-

аризации”. Для полученных моделей систем можно провести “поточечную”

проверку на управляемость в некоторой области исследуемого состояния си-

стемы [10, 15].

Сделанные выше предположения 3 и 4 позволят при использовании метода

“расширенной линеаризации” получить представление исходной нелинейной

системы (2.1) в виде модели (3.2), которая имеет линейную структуру и яв-

ляется управляемой.

3.2. Задача с заданным временем окончания переходного процесса

Модифицированное уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (2.7) имеет

вид

dV (t, x(t))

1 ∂V (t,x(t))

{∂V (t,x(t))}T

g(x(t))R^-1g^T(x(t))

∂x

(3.4)

x^T(t)Qx(t),

V (t_f , x(t_f )) =

x^T(t_f )Fx(t_f ).

Определим функцию V (t, x(t)) с точностью до положительно определен-

ной симметрической матрицы S(x(t)) в виде

(3.5)

V (t, x(t)) =

x^T

(t)S(x(t))x(t).

Перепишем (3.4) с учетом (3.5)

dV (t, x(t))

[

]

x^T(t)

S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t)) + Q

x(t),

(3.6)

V (t_f , x(t_f )) =

x^T(t_f )Fx(t_f ).

С учетом того, что {∂V (t,x(t))/∂x}^T = S(x(t))x(t), управление (2.6) при-

нимает вид

(3.7)

u⁰(t) = -R^-1g^T

(x(t))S(x(t))x(t),

а уравнение модели (3.2) с управлением (3.7) может быть записано как

[

]

(3.8)

x(t) =

(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t))

x(t), x(t₀) = x₀.

Получим выражение для полной производной по времени от функции

V (t, x(t)), используя ее представление в виде (3.5), а также учитывая вы-

ражение (3.8):

dV (t, x(t))

[ dS(x(t))

x^T(t)

+ S(x(t))A(x(t)) + A^T(x(t))S(x(t)) -

]

(3.9)

- 2S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t)) x(t),

V (t_f , x(t_f )) =

x^T(t_f )Fx(t_f ).

Приравнивая правые части выражений (3.6) и (3.9), получим

dS(x(t))

+ S(x(t))A(x(t)) + A^T(x(t))S(x(t)) -

(3.10)

- S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t)) + Q = 0,

S(x(t_f )) = F.

Здесь

∑

dS(x(t))

∂S(x(t)) dx_i(t)

∂x_i

i=1

Выражение (3.10) есть уравнение Риккати с параметрами, зависящими от

состояния, и заданным краевым условием на правом конце.

Теорема 1. Даны управляемая модель (3.8) системы (2.1) и функцио-

нал (2.2). Обозначим через J⁰(t, x(t)) минимальную величину, достигаемую

функционалом J(x(·), u(·)) при оптимальном управлении u⁰(t), реализован-

ном с использованием обратной связи. Эта величина равна

J⁰(t,x(t)) =

x^T(t)S(x(t))x(t), t₀ ≤ t ≤ t_f .

Теорема 2. Модель нелинейной системы (2.1), описываемая уравнением

[

]

x(t) =

A(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t))

x(t), x(t₀) = x₀,

в котором матрица S(x(t)) является симметрической положительно опре-

деленной и находится решением дифференциального уравнения типа Рик-

кати с параметрами, зависящими от состояния (3.10), асимптотически

устойчива.

Доказательства теорем 1 и 2 содержатся в Приложении.

Следует отметить, что асимптотическая стабилизация может не иметь ме-

сто в исходной нелинейной системе (2.1) с синтезированным SDRE-методом

оптимальным управлением вида (3.7) и произвольным начальным состояни-

ем x₀ (глобальная асимптотическая стабилизация).

3.3. Задача с неопределенным временем окончания переходного процесса

(субоптимальное управление)

Как это было сделано выше, определим функцию {∂V (x(t))/∂x}^T с точ-

ностью до значения матрицы S

^⌢(x(t)) в виде

(3.11)

{∂V (x(t))/∂x}^T = S^⌢

(x(t))x(t),

где S

^⌢(x(t)) - симметрическая положительно определенная матрица.

Заменяя в уравнении Гамильтона-Якоби-Беллмана (2.14) {∂V (x(t))/∂x}^T

на S

^⌢(x(t))x(t) и учитывая, что f(x(t)) = A(x(t))x(t), получим

[

x^T(t) A^T(x(t))S^⌢(x(t)) + ⌢(x(t))A(x(t)) -

]

-S

^⌢(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))⌢(x(t)) + Q x(t) = 0

откуда, учитывая что x(t) есть решение уравнения (3.2) с начальным усло-

вием x(t₀) = 0, имеем

A^T(x(t))S^⌢(x(t)) + ⌢(x(t))A(x(t)) -

(3.12)

-S

^⌢(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))⌢(x(t)) + Q = 0.

Управление для рассматриваемой задачи принимает вид

(3.13)

u⁰(t) = -R^-1g^T(x(t))S^⌢

(x(t))x(t).

Запишем исходную систему (2.1) с субоптимальным управлением (3.13)

(3.14)

x(t) = f(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))S^⌢(x(t))x(t), x(t₀) = x₀.

Отметим справедливость сформулированной выше теоремы 1 об асимпто-

тической устойчивости модели с параметрами, зависящими от состояния, и

сделанного замечания относительно глобальной устойчивости исходной нели-

нейной системы.

Для рассматриваемой модели (3.8) исходного объекта (2.1) в случае с от-

крытым интервалом управления можно, используя теоремы 1 и 2, сформу-

лировать соответствующие теоремы о конечном значении функционала при

оптимальном управлении и устойчивости.

Теорема 3. Даны управляемая модель (3.8) системы (2.1) и функцио-

нал (2.11). Обозначим через J⁰(x(·)) минимальную величину, достигаемую

функционалом J(x(·), u(·)) при оптимальном управлении, реализованном с

использованием обратной связи. Эта величина равна

J⁰(x(t₀)) =

x^T0S^⌢(x₀)x₀,

где положительно определенная симметрическая матрица определяется ре-

шением алгебраического уравнения типа Риккати с постоянными парамет-

рами

A^T(x₀)S^⌢(x₀) + ⌢(x₀)A(x₀) - ⌢(x₀)g(x₀)R^-1g^T(x₀)⌢(x₀) + Q = 0.

Теорема 4. Модель нелинейной системы (2.1), описываемая уравнением

[

]

x(t) = A(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))S^⌢(x(t)) x(t), x(t₀) = x₀,

в котором матрица S

^⌢(x(t)) является симметрической положительно опре-

деленной и находится решением алгебраического уравнения типа Риккати

с параметрами, зависящими от состояния (3.12), асимптотически устой-

чива с положением равновесия в точке x = 0.

Доказательства теорем 3 и 4 аналогичны доказательствам теорем 1 и 2.

Однако отметим, асимптотическая стабилизация может не иметь место в

исходной нелинейной системе (2.1) с синтезированным SDRE-методом субоп-

тимальным управлением вида (3.13) и произвольным начальным состояни-

ем x₀ (глобальная асимптотическая стабилизация).

В заключение данного раздела отметим, что выражения для оптимально-

го (3.7) и субоптимального (3.13) управлений нелинейной системой получены.

Однако проблема реализации таких управлений наталкивается на проблему

поиска решения уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния

системы (3.10) или (3.12), в темпе функционирования системы управления.

Поиск решения этой проблемы, описанный в следующем разделе статьи, ос-

нован на установленных закономерностях поведения гамильтониана при оп-

тимальном управлении и соответствующем состоянии нелинейного объекта

(леммы 2 и 3).

4. Конструирование алгоритмов оптимизации нелинейных

неопределенных систем управления

Представлен новый метод формирования алгоритмов оптимизации нели-

нейных неопределенных систем управления, основанный на применении

функций допустимых значений управляющих воздействий (гамильтонианов)

[16]. Под термином “неопределенные системы” понимаются системы с непол-

ной информацией о параметрах и действующих возмущениях [11].

4.1. Общая структура алгоритмов параметрической оптимизации

нелинейных неопределенных систем

Пусть нелинейный управляемый объект описывается дифференциальным

уравнением вида

(4.1)

x(t)

f (x(t), u(t), η(t), a(t)), x(t₀) = x₀,

здесь x(·) = {x(t) ∈ Rⁿ, t ∈ [t₀, t_f )} - состояние объекта; u(·) = {u(t) ∈ R^r,

{

}

t ∈ [t₀,t_f)} - управляющие воздействия; η(·) =

η(t) ∈ Δ ⊂ R^k, t ∈ [t₀, t_f )

вектор параметров объекта, подвергающхся ∕озействию неконтролируе-

мых возмущений, при этом известно, что

dη(t)

dt≤maxη∈Δ |dη(t)/dt| = σ,

σ_i > 0, i = 1,... ,k; вектор параметров объекта, оптимизирующих работу си-

стемы: a(·) = {a(t) ∈ A ⊂ R^p, t ∈ [t₀, t_f )}. Отметим, что в общем случае k ≥ p.

Выделенные для параметрической оптимизации параметры системы могут

находиться как в самом объекте, так и в регуляторе.

Как следует из лемм 1 и 2, поведение гамильтонианов при оптимальных

управлениях u⁰(t) и соответствующих траекториях x(t) определяется вполне

определенными выражениями. Это свойство гамильтонианов положим в ос-

нову конструкции алгоритмов оптимизации системы управления.

Сформулируем необходимые условия, при которых функционал качества

достигает минимального значения, основываясь на поведении гамильтониана

вдоль оптимальной траектории. Рассмотрим вначале случай, когда k = p и

параметры a(t) могут “парировать” возмущения η(t), т.е. возможно выполне-

ние условия a(t) - η(t) = 0.

Пусть скалярная функция ϕ(t) соответст(ует значению гамил)ьтониана

при оптимальном управляемом процессе ξ =

x(t), u⁰(t), t ∈ [t₀, t_f )

на всем

интервале управления, т.е.

(

)

∂V (x(t))

ϕ(t) = -H x(t), u⁰(t),

∂x

(

)

где H x(t), u⁰(t),^∂V(x(t))

- значение гамильтониана в каждый момент вре-

∂x

мени управления при отсутствии параметрических возмущений (или при пол-

ном их парировании) при оптимальном управлении и соответствующей тра-

ектории системы (4.1).

Введем скалярную функцию ℜ(·) такую, что

(

)

(

)

∂V (x(t))

ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

= H x(t),u(t),

,η(t),a(t)

+ ϕ(t).

∂x

Таким образом, условие, которое достигается при a(t) - η(t) = 0,

(

)

∂V (x(t))

(4.2)

ℜ x(t),u⁰(t),

∂x

есть необходимое условие оптимальности системы управления.

Предположение 5. Необходимые условия оптимальности в задачах

(2.1), (2.2) и (2.1), (2.11), а именно условия вида (4.2), являются и доста-

точными условиями оптимальности.

Это предположение выполняется в случае, когда

а) задача унимодальная, т.е. функционал имеет только один минимум и

отсутствуют другие точки стационарности гамильтониана;

б) исследователь располагает информацией об области нахождения глав-

ного экстремума (минимума) функционала качества, которая соответствует

заданной области допустимых управлений, так что можно рассматривать за-

дачу с одним глобальным минимумом.

Необходимые и достаточные условия оптимальности (4.2) будут исполь-

зоваться в качестве основы при конструировании алгоритмов оптимизации

неопределенных систем [11].

Таким образом, в случае, когда a(t) - η(t) = 0, условие (4.2) выполняться()

не будет, т.е. ℜ x(t), u(t),^{∂V(x(t))∂x} , η(t), a(t)

= 0.

Теорема 5. Пусть неопределенная нелинейная динамическая система

описывается уравнением

x(t)

f (x(t), u(t), η(t), a(t)), x(t₀) = x₀,

где x(t) ∈ Rⁿ -сост∕яние объекта u(t)∕∈ r - управляющие воздействия;

≤maxη∈Δ

η(t) ∈ Δ ⊂ R^k,

dη(t)

dt=σ,σi > 0, i = 1,... ,k - век-

тор параметров объекта, подвергающихся воздействию неконтролируемых

возмущений; a(t) ∈ A ⊂ R^p - вектор параметров объекта, оптимизирую-

щих работу системы. Предполагается также, что при p = k во внутрен-

ней области множества значений параметров A, при соответствующем

u⁰(t) ∈ U, существуют такие значения a⁰(t) ∈ A, при которых достигает-

ся заданная цель параметрического управления, т.е.

[

]

[

]

a⁰(t) = arg minJ(x(t),u⁰(t),η(t),a(t)) = arg

J (x⁰(t), u⁰(t), η(t), a⁰(t))

∈ A,

a∈A

что соответствует выполнению условия

(

)

∂V (x(t))

ℜ x⁰(t),u⁰(t),

,η(t),a⁰(t)

= 0.

∂x

Алгоритм



(

)

∂H x(t),u(t),∂V(x(t))∂x,η(t),a(t)



a(t) = -



∂a



(4.3)

(

)

∂V (x(t))

× ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

∂x

a(t₀) = a₀

обеспечивает исходной системе асимптотическое свойство параметриче-

ской оптимизации в смысле заданного функционала качества J(x(t), u(t))

при выполнении условия



(

)

(

)



∂H x(t),u(t),^{∂V(x(t))∂x},η(t),a(t)

∂V (x(t))



(4.4)

ℜ² x(t),u(t),

,η(t),a(t)



∂x

∂a





(

)



(



) ∂H x(t),u(t), ^{∂V(x(t))∂x},η(t),a(t)



∂V (x(t))



ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

σ.



∂x

∂η



Отметим, что назначение начального условия a(t₀) для алгоритма (4.3) па-

раметрической оптимизации зависит от априорной информации о состоянии

в данный момент времени возмущенных параметров η(t₀).

Дадим пояснение о возможности реализации алгоритма (4.3). Как видно,

этот алгоритм содержит неизмеряемую информацию о возмущенных пара-

метрах η(t). Вся информация о возмущенных параметрах и параметрах оп-

тимизации содержится в выражении, описывающем гамильтониан системы.

Действительно:

(

)

∂V (x(t))

H x(t),u(t),

,η(t),a(t)

∂x

∂V (x(t))

= L(x(t),u(t)) +

f (x(t), u(t), η(t), a(t)) =

∂x

∂V (x(t))

= L(x(t),u(t)) +

{dx(t)/dt} ,

∂x

так как dx(t)/dt

f (x(t), u(t), η(t), a(t)). Здесь L(x(t), u(t)) - интегрант функ-

ционала (2.2) или (2.11). Таким образом, для реализации алгоритма (4.3)

необходимо располагать информацией о dx(t)/dt.

Как выше отмечалось, количество параметров системы, подвергающихся

возмущениям, может быть больше, чем параметров, на которые возлагается

задача уменьшения наилучшим образом влияния этих возмущений, т.е. в этом

случае k > p. Условие успешной параметрической оптимизации системы в

этом случае формулируется следующей теоремой.

Теорема 6. Пусть вектор параметров объекта, подвергающихся воз-

ейст∕и неконтроируе∕ыхвозмущений, отвечает условию η(t) ∈ Δ ⊂ Rk,

dη(t)

≤maxη∈Δ

dη(t)

dt=σ,σi > 0, i = 1,... ,k, а вектор параметров

объекта, оптимизирующих работу системы, есть a_p(t) ∈ A_p ⊂ R^p, p < k.

Предполагается, что в области множества значений параметров A_p, выде-

ленных в системе управления для ее оптимизации, при соответствующем

u^0p(t) ∈ U существуют такие значения a^0p(t) ∈ A_p, при которых достигает-

ся заданная цель параметрического управления, т.е.

[

]

a^0p(t) = arg min

J_p(x_p(t),u^0p(t),η(t),a_p(t))

(4.5)

a₀∈A

[

]

= arg

J_p(x^0p(t),u^0p(t),η(t),a^0p(t))

∈A_p,

что соответствует выполнению условия

(

)

∂V (x(t))

(4.6)

ℜ_p x^0p(t),u^0p(t),

,η(t),a^0p(t)

= 0.

∂x

Алгоритм



(

)



∂H x_p(t),u^0p(t),^{∂V(x(t))∂x},η(t),a_p(t)



a_p(t) = -



∂a_p



(

)

∂V (x(t))

× ℜ_p x_p(t),u_p(t),

,η(t),a_p(t)

∂x

обеспечивает исходной системе асимптотическое свойство параметриче-

ской оптимизации в смысле заданного функционала качества J_p(x_p(t), u^0p(t)),

(p < k) при выполнении условия



(

)

(

)



∂H x_p(t),u^0p(t),^{∂V(x(t))∂x},η(t),a_p(t)



∂V (x(t))



ℜ^2p x_p(t),u^0p(t),

,η(t),a_p(t)



∂x

∂a_p





(

)



∂V (x(t))



ℜ_p x_p(t),u^0p(t),

,η(t)



∂x



(

)



∂V (x(t))



∂H x_p(t),u^0p(t),

,η(t),a_p(t)



∂x

a_p(t)

σ>0.



∂η



Таким образом, выполнение условия (4.5) обеспечивает существование

необходимого условия оптимальности (4.6), которое используется в струк-

туре алгоритма параметрической оптимизации. Доказательство теоремы 6

аналогично доказательству теоремы 5.

Назначение начального условия a_p(t₀) так же, как и для алгоритма (4.3),

зависит от априорной информации о состоянии в данный момент времени

возмущенных параметров η(t₀).

4.2. Алгоритмы оптимизации нелинейных систем, линеаризованных

с помощью метода “расширенной линеаризации”

Полученные в разделе

4.1

алгоритмы параметрической оптимизации

неопределенных нелинейных динамических систем применимы для поиска

субоптимального решения задачи построения нелинейной системы управле-

ния, рассмотренной в разделе 3.2 статьи, а именно, для нахождения матрицы

^⌢(

x(t)), минуя проблемы нахождения решения уравнения Риккати с парамет-

рами, зависящими от состояния (3.5). Для этого представим матрицу S

^⌢(x(t))

в виде

(4.7)

S(x(t)) = S₀

+ s(t),

здесь матрица S₀ находится из решения уравнения Риккати с постоянными

параметрами (при x(t₀) = x₀)

(4.8)

S(x₀)A(x₀) + A^T(x₀)S(x₀) - S(x₀)g(x₀)R^-1g^T(x₀)S(x₀

) + Q = 0,

а матрица s(t) - матрица настраиваемых параметров.

В соответствии с изложенным выше способом представления матрицы

S(x(t)) (4.7) запишем алгоритм для нахождения s(t)

{∂H (x(t), u(t), [S₀ + s(t)] x(t))}T

s(t) = -

ℜ(x(t),u(t),[S₀ +s(t)]x(t)) ,

(4.9) dt

∂s

s(t₀) = 0,

здесь

ℜ (x(t), u(t), [S₀ + s(t)] x(t)) =

(

)

= H (x(t),u(t),[S₀ + s(t)]x(t)) - H

x⁰(t),u⁰(t),S(x⁰)x⁰(t)

H (x(t), u(t), [S₀ + s(t)] x(t)) =

{

x^T(t) Q - [S₀ + s(t)]^T g(x(t))R^-1g^T(x(t))[S₀ + s(t)]+

}

+ 2[S₀ + s(t)]T A(x(t)) x(t),

S(x⁰) - матрица, при которой выполняется условие

(

)

∂V (x(t))

ℜ x⁰(t),u⁰(t),

,η(t),a⁰(t)

= 0.

∂x

{

∕

}_T

Функция чувствительности

∂H (x(t),u(t),[S₀ + s(t)]x(t))

∂s

определяет-

ся выражением

{∂H (x(t),u(t),[S₀ + s(t)] x(t))}T

∂s

[

]

-g(x(t))R^-1g^T(x(t))(S₀ + s(t)) + A(x(t))

x(t)x^T(t).

С учетом (3.7) и (4.7) управление с параметрической оптимизацией при

использовании данного алгоритма принимает вид

(4.10)

u(t) = -R^-1g^T(x(t))[S₀

+ s(t)]x(t).

Система (2.1) с управлением (4.10) принимает вид

(4.11)

x(t) = f(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t)) [S₀ + s(t)] x(t), x(t₀) = x₀,

где матрица S₀ определяется решением уравнения (4.8), а матрица s(t) нахо-

дится с использованием алгоритма (4.9).

Таким образом, для исходной нелинейной системы (2.1) решена задача

синтеза субоптимального управления с параметрической оптимизацией регу-

лятора в случае незаданного времени переходного процесса.

5. Демонстрация работы алгоритма параметрической оптимизации

в задаче управления нелинейной системой

Для проверки возможности использования рассмотренных в статье под-

ходов построения систем управления с параметрической неопределенностью

и проверки работоспособности алгоритмов параметрической оптимизации в

этом разделе представлены результаты конструирования системы медика-

ментозного лечения иммунного заболевания ВИЧ. В качестве объекта иссле-

дования была выбрана модель поведения иммунной системы человека при

наличии в ней ВИЧ, предложенная в [17-19]. Модель образуют пять диффе-

ренциальных уравнений:

i(t) = λ - di(t) - β(1 - ηu(t))i(t)y(t),

y(t) = β(1 - ηu(t))i(t)y(t) - ay(t) - p₁z₁(t)y(t) - p₂z₂(t)y(t),

(5.1)

z₁(t) = c₁z₁(t)y(t) - b₁z₁(t),

w(t) = c₂i(t)y(t)w(t) - c₂qy(t)w(t) - b₂w(t),

z₂(t) = c₂qy(t)w(t) - hz₂(t),

здесь обозначены: i - незараженные Т-клетки иммунной системы, Т-хелперы;

y - зараженные Т-хелперы (вирусы); z₁ - Т-киллеры; w - В-лимфоциты; z₂ -

иммуноглобулины, клетки-памяти; λ - скорость производства Т-хелперов в

организме. Управление системой (5.1) осуществляется подачей лекарствен-

ных препаратов (u - доза вводимого препарата), максимальная эффектив-

ность которых выражается коэффициентом η. Значения параметров, исполь-

зованных при построении и проведении математического моделирования,

приняты из [18]. Параметры являются безразмерными и усредненными, так

как сама модель описывает поведение иммунной системы на качественном

уровне и является безразмерной.

Для примера был рассмотрен очень слабый пациент, имеющий вирус ВИЧ.

Для такого состояния начальные значения примем равными: i = 0,2, y = 2,

z₁ = 0,08, w = 0,01, z₂ = 0,01. Для рассматриваемой модели иммунной систе-

мы значение концентрации здоровых клеток иммунной системы для нормаль-

ной жизнедеятельности должно быть в диапазоне 8-10. Значения i ≤ 1 гово-

рят о том, что иммунная система не справляется с инфекциями, попадающи-

ми в организм, и состояние пациента близко к стадии наступления СПИДа.

Перепишем систему (5.1) в следующем виде:

x(t) = f(x(t)) + g(x(t))u(t),

(5.2)

x(t₀) = x₀,

где x^T(t) = [i(t)y(t)z₁(t)w(t)z₂(t)],





[-d - βy(t)] i(t)





βi(t)y(t) - ay(t) - p₁z₁(t)y(t) - p₂z₂(t)y(t)









f (x(t)) =



c₁z₁(t)y(t) - b₁z₁(t)

,





 c₂i(t)y(t)w(t) - c₂qy(t)w(t) - b₂w(t)



c₂qy(t)w(t) - hz₂(t)





βηi(t)y(t)





-βηi(t)y(t)









g(x(t)) =



.









Перепишем систему

(5.2)

в SDC-представлении, учитывая что

( 10

0)^T точка равновесия системы (5.1)

x(t) = A(x(t))x(t) + g(x(t))u(t), x(t₀) = x₀,

здесь

A(x(t)) =





-d - βy

-10β





βy

10β - (a + p₁z₁ + p₂z₂)









=

c₁y-b₁

,





 c₂yw

10c₂y - c₂qy - b₂



c₂qyw -h_z

где переменные i, y, z₁, w, z₂, как и в

(5.1), зависят от времени, т.е.

i(t), y(t), z₁(t), w(t), z₂(t).

разделе статьи (4.7)-(4.11) методу поиска субоптимального решения задачи

построения нелинейной системы управления.

В статье приведены результаты моделирования исходной системы (5.1)

в отсутствие каких-либо управляющих воздействий (без лечения, u = 0) и

с управлениями, синтезированными с использованием алгоритма (4.9), см.

рис. 1 и 2.

Результаты компьютерного моделирования подтверждают эффективность

полученного алгоритмического метода синтеза управлений с параметриче-

ской оптимизацией. Как видно из приведенных результатов моделирования,

разработанное целенаправленное воздействие на иммунную систему, помога-

ет ей установить приемлемый уровень собственных клеток и контролировать

концентрацию зараженных.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Подставим в подынтегральную часть

функционала

∫

{

}

J (x(·), u(·)) =

x^T(t_f)Fx(t_f ) +

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)

t₀

[

]

выражение d

x^T(t)S(x(t))x(t)

/dt, компенсировав вне интеграла следующим

[

]

соотношением 0,5

x^T(t)S(x(t))x(t) - x^T(t_f )S(x(t_f ))x(t_f )

. Получим

[

]

J (x(·), u(·)) =

x^T(t_f )Fx(t_f ) +

x^T(t)S(x(t))x(t) - x^T(t_f)S(x(t_f ))x(t_f )

∫

{

[

]

}

x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t) + d

x^T(t)S(x(t))x(t)

/dt

dt.

Принимая во внимание то, что

[

]

(Π.1)

x(t) =

(x(t)) - g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t))

x(t), x(t₀) = x₀

и что S(x(t_f )) = F , имеем

J⁰(t,x(t)) =

x^T(t)S(x(t))x(t), t₀ ≤ t ≤ t_f .

Доказательство теоремы 2. Для доказательства теоремы об асимп-

тотической устойчивости модели (П.1) введем в рассмотрение функцию Ля-

пунова V_L(x(t)) такую, что

(Π.2)

ω₁ {|x|} ≤ V_L(x(t)) ≤ ω₂ {|x|} , dV_L(x(t))/dt ≤ -ω₃

{|x|} , ∀x,

где ω_i {|x|}, i = 1, 2, 3

- скалярные неубывающие функции такие, что

ω_i(0) = 0, ω_i {|x|} > 0. Используя вторую теорему Ляпунова, получим, что

при выполнении условия

dV_L(x(t))

∂V_L(x(t)) dx(t)

(Π.3)

≤ -ω₃

{|x|}

∂x

система будет устойчива. Назначим V_L(x(t)) в виде

V_L(x(t)) = x^T(t)S(x(t))x(t),

где S(x(t)) - положительно определенная симметрическая матрица, являю-

щаяся решением уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состоя-

ния,

dS(x(t))

+ S(x(t))A(x(t)) + A^T(x(t))S(x(t)) -

(Π.4)

- S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t)) + Q = 0,

S(x(t_f )) = F.

Определим ω₃ {|x|} в виде ω₃ {|x|} = x^T(t)Qx(t), ∀x = 0. Тогда с учетом (П.1)

должно выполняться условие (П.3)

dV_L(x(t))

[ dS(x(t))

= x^T(t)

+ S(x(t))A(x(t)) + A^T(x(t))S(x(t)) -

]

- S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t)) + Q x(t) -

- x^T(t)S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t))x(t) ≤ 0.

Учитывая (П.4), будем иметь

x^T(t)S(x(t))g(x(t))R^-1g^T(x(t))S(x(t))x(t) ≥ 0.

Это условие выполняется при всех x(t) = 0. Следовательно, модель (П.1)

нелинейной системы (2.1) является асимптотически устойчивой.

Доказательство теоремы 5. Для построения алгоритма парамет-

рической оптимизации системы

(Π.5)

x(t)

f (x(t), u(t), η(t), a(t)), x(t₀) = x₀,

введем функцию Ляпунова

(Π.6)

V_L

(η(t), a(t)) =

{ (

)

(

)}₂

∂V (x(t))

ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

- ℜ x⁰(t),u⁰(t),

∂x

(

)

∂V (x(t))

ℜ²

x(t), u(t),

,η(t),a(t)

∂x

Тогда для асимптотической параметрической оптимизации ее производная

должна быть отрицательной для случая a(t) - η(t) = 0:

(Π.7)

V_L

(η(t), a(t)) =

(

)

∂V (x(t))

= ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

∂x



(

)

∂H x(t),u(t),^{∂V(x(t))∂x},η(t),a(t)

×

η(t) +

∂η

(

)



∂V (x(t))

∂H x(t),u(t),

,η(t),a(t)

∂x

a(t) < 0,

∂a

так как^∂H∂t =∂H0∂t=0,∂∂ηt) =0и∂∂at) =0.

Назначим алгоритм параметрической оптимизации в виде



(

)

∂H x(t),u(t),∂V(x(t))∂x,η(t),a(t)



a(t) = -



∂a



(

)

∂V (x(t))

×ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

∂x

a(t₀) = a₀.

При таком назначении алгоритма параметрической оптимизации из усло-

вия (П.14) получим

(

)

(

) ∂H x(t),u(t), ^{∂V(x(t))∂x},η(t),a(t)d

∂V (x(t))

ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

η(t) -

∂x

∂η

(

)

(

) ∂H x(t),u(t), ^{∂V(x(t))∂x},η(t),a(t)

∂V (x(t))

-ℜ²

x(t), u(t),

,η(t),a(t)

∂x

∂a



(

)

∂Hx(t),u(t),∂V(x(t)),η(t),a(t)



∂x

< 0.

×

∂a



Учитывая, что на скорос∕ь изменения озму∕а щих воздействий нало-

жено ограничение, т.е.

dη(t)

≤maxη∈Δ

dη(t)

dt=σ,σi > 0, i = 1,... ,k,

можно записать условие успешного выполнения процесса оптимизации:



(

)

(

)



∂H x(t),u(t),∂V(x(t))∂x,η(t),a(t)



∂V (x(t))



ℜ²

x(t), u(t),

,η(t),a(t)



∂x

∂a





(

)



(



) ∂H x(t),u(t), ^{∂V(x(t))∂x},η(t),a(t)



∂V (x(t))



ℜ x(t),u(t),

,η(t),a(t)

σ.



∂x

∂η



Заключение

В статье для нелинейных динамических систем, представимых моделя-

ми, построенными с использованием метода “расширенной линеаризации”,

и квадратических функционалов качества произведен синтез управляющих

воздействий, реализация которых требует получения решения уравнения

Гамильтона-Якоби-Беллмана. Линейная структура моделей и квадратиче-

ский функционал качества позволяют перейти от уравнения в частных произ-

водных к уравнению типа Риккати с параметрами, зависящими от состояния.

Основная проблема реализации оптимального управления связана с пробле-

мой поиска решения такого уравнения в темпе функционирования объекта.

В статье предложен алгоритмический метод параметрической оптимизации

регулятора, основанный на использовании необходимых условий оптималь-

ности, выраженных в виде поведения гамильтониана на оптимальной траек-

тории системы управления. Построенные алгоритмы могут использоваться

как для оптимизации самих нестационарных объектов, если для этой цели

выделены соответствующие параметры, так и для оптимизации всей управ-

ляемой системы с помощью соответствующей параметрической настройки ре-

гуляторов. Эффективность разработанных алгоритмов продемонстрирована

на примере медикаментозного лечения пациентов при наличии ВИЧ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: УРСС, 2004.

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Изд-во

физ.-мат. лит-ры, 1959.

Isidori A. Nonlinear Control Systems. London: Springer, 1995.

Khalil H.K. Nonlinear Systems. New York: Prentice Hall, 2002.

Mehra R., Chinde V., Kazi K., and Singh N.M. Feedback Linearization of Single-

Input and Multi-Input Control System // Proc. 19th World Congress IFAC. Cape

Town, 2014. P. 5479-5484.

Афанасьев В.Н., Орлов П.В. Субоптимальное управление нелинейным объек-

том, линеаризуемым обратной связью // Изв. РАН ТиСУ. 2011. № 3. С. 13-22.

Pearson J.D. Approximation Methods in Optimal Control // J. Electron. Control.

1962. № 12. Р. 453-469.

Cimen T.D. State-Dependent Riccati Equation (SDRE) Control: A Survey // Proc.

17th World Conf. IFAC. Seoul, 2008. P. 3771-3775.

Mracek C.P., Cloutier J.R. Missile longitudinal autopilot design using the state-

dependent Riccati equation method // Proc. Int. Conf. on Nonlinear Problems in

Aviation and Aerospace. Daytona Beach, 1996. P. 387-396.

10.

Афанасьев В.Н. Управление нелинейными неопределенными динамическими

объектами. М.: URSS, 2015.

11.

Афанасьев В.Н. Динамические системы с неполной информацией: Алгоритми-

ческое конструирование. М.: Наука. Физматлит, 2008.

12.

Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в част-

ных производных. М.: Изд-во Мир, 1974.

13.

Васильев Ф.П. Методы оптимизации. Кн. 1. М.: МЦНМО, 2011.