Автоматика и телемеханика, № 2, 2021

Д.А. КУЛИКОВ, канд. физ.-мат. наук (kulikov_-d_-a@mail.ru)

(Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова)

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ СЛАБОДИССИПАТИВНОГО

ВАРИАНТА НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ¹

Рассматривается периодическая краевая задача для нелокального

уравнения Гинзбурга-Ландау в слабодиссипативном его варианте. Изу-

чен вопрос о существовании, устойчивости и локальных бифуркациях од-

номодовых периодических решений. Показано, что в окрестности одномо-

довых периодических решений может существовать трехмерный локаль-

ный аттрактор, заполненный пространственно неоднородными периоди-

ческими по времени решениями. Для них получены асимптотические

формулы. Результаты получены на базе использования и развития ме-

тодов теории бесконечномерных динамических систем. В особом вариан-

те рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения с частными

производными изучен вопрос о существовании глобального аттрактора.

Для этого варианта нелинейной краевой задачи найдены ее решения в

виде рядов.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение с частными про-

изводными, локальные, глобальные аттракторы, устойчивость, бифурка-

ции.

DOI: 10.31857/S0005231021020069

1. Введение

Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау одно из самых изучаемых

уравнений математической физики. Оно используется в различных областях

физики, а также химической кинетике. В обзоре [1] приведен широкий спектр

приложений, где встречается, используется это уравнение. Конечно, этот спи-

сок далеко не полон, но достаточно убедительно демонстрирует актуальность

изучения данного уравнения. Вывод этого уравнения на физическом уровне

строгости был дан в [2].

Обычно это уравнение приводят в следующем виде:

v_τ = (α + iβ)v - (b₁ + ic₁)v|v|² + (a₁ + id₁)Δv,

где v = v(τ, x), x = (x₁, . . . , x_n), α, β, a₁, b₁, c₁, d₁ ∈ R, a₁ ≥ 0, a²¹ + d²¹ = 0,

α > 0, b > 0, Δu = ux1x₁ + ... + uxnxn, т.е. Δ оператор Лапласа. Обычно,

n = 1,2,3. Наиболее изучаемый вариант данного уравнения соответствует вы-

бору n = 1. Далее n = 1.

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российским фондом фундаментальных

исследований в рамках научного проекта (грант № 18-01-00672).

После замены v = η exp(iβτ)u и последующей нормировки времени τ = γt,

если γα = 1, bγη² = 1, получаем новый нормированный вариант уравнения

u_t = u - (1 + ic)u|u|² + (a + id)u_xx,

где a = γa₁, d = γd₁, u = u(t, x). Подчеркнем, что в большинстве случаев изу-

чается вариант этого уравнения, когда a > 0 [1-6]. Отдельного внимания за-

служивает вариант, когда a = 0. Такой вариант уравнения Гинзбурга-Ландау

встречается, например, в нелинейной оптике, используется в гидродинамике

(см., например, [7-10]). Другой частный случай, когда c = d = 0, a > 0, встре-

чается в теории конденсированных сред (см., например, [1, 5]). Отметим, что,

конечно, изучается и вариант когда n ≥ 2, т.е. число пространственных пере-

менных больше одной. Так, например, в [3, 9] был изучен вопрос о влиянии

геометрической размерности на характер динамики решений этого уравне-

ния. Отметим также, что при a > 0 и соответствующем выборе краевых усло-

вий получаем краевую задачу, которую можно включить в класс абстракт-

ных нелинейных уравнений, изученных в [11]. При a = 0 краевые задачи для

этого уравнения могут быть, скорее, проинтерпретированы как гиперболиче-

ские и включены в классы уравнений, изученных в [12, 13], посвященных до-

казательству локальной разрешимости соответствующих начально-краевых

задач. Отметим еще, что уравнение Гинзбурга-Ландау при a = 0 часто назы-

вают и иначе: обобщенное нелинейное уравнение Шредингера.

В связи с изучением такого явления, как ферромагнетизм, появился но-

вый вариант уравнения Гинзбурга-Ландау [14-16], который принято назы-

вать нелокальным уравнением Гинзбурга-Ландау





∫l

v_τ = (α + iβ)v + (γ + iδ)v_yy - (α₁ + iβ₁)v|v|² - (α₂ + iβ₂)v 1

|v|²dy .

-l

Его, как правило, рассматривают с периодическими краевыми условиями

v(τ, y + 2l) = v(τ, y).

Здесь α, β, α₁, β₁, α₂, β₂, γ, δ ∈ R, α > 0, γ ≥ 0, α₁, α₂ ≥ 0, α₁ + α₂ > 0, l > 0.

Замены, аналогичные предыдущим, а также замена y = lx/π позволяют

предыдущую краевую задачу для функции v(τ, y) свести к нормированной

краевой задаче





∫

(1.1)

u_t = u + (a - id)u_xx - (b + ic)u|u|² - (b₁ + ic₁)u1

|u|²dx ,

2π

-π

(1.2)

u(t, x + 2π) = u(t, x),

где b₁ + b = 1. Далее ограничимся слабодиссипативным вариантом уравне-

ния (1.1), когда a = 0 (d = 0).

Для анализа динамики решений эволюционной краевой задачи (1.1), (1.2)

будут использованы такие методы анализа систем с распределенными па-

раметрами, как метод интегральных многообразий и нормальных форм. Во

многих случаях использование этих методов позволяет свести соответствую-

щую бесконечномерную задачу к анализу конечномерной динамической си-

стеме, для которой используют, обычно, название нормальная форма. Есте-

ственно, что существуют и иные подходы к анализу систем с распределенны-

ми параметрами. Например, в [17, 18] для анализа систем с распределенными

параметрами также используется сведение к конечномерным динамическим

системам. Такой вариант может оказаться эффективным при наличии сим-

метрии в анализируемых динамических системах.

2. Постановка задачи

В работе будет изучаться краевая задача

(2.1)

u_t = u - (b₁ + ic₁)uV (u) - (b + ic)u|u|² - idu_xx,

(2.2)

u(t, x + 2π) = u(t, x),

∫_π

где b₁, b, c₁, c ∈ R, b₁, b ≥ 0, b₁ + b = 1, d > 0, V (u) =

|u(t, x)|²dx. На

2π

-π

протяжении большей части работы будем рассматривать вариант интегро-

дифференциального уравнения (2.1) в случае, когда b > 0. Случай b = 0 яв-

ляется особым и будет рассмотрен отдельно в предпоследнем разделе данной

работы.

Если дополнить краевую задачу (2.1), (2.2) начальным условием

(2.3)

u(0, x) = f(x),

где комплекснозначная функция f(x) имеет период 2π и справедливо вклю-

чение f(x) ∈ W²²[-π, π] при x ∈ [-π, π], а через W²²[-π, π] обозначено соот-

ветствующее пространство Соболева [19], то из [12, 13] вытекает, что для

начально-краевой задачи (2.1)-(2.3) справедливы утверждения:

1) она локально корректно разрешима;

2) ее решения порождают локальный гладкий поток.

Это дает основание использовать при анализе краевой задачи (2.1), (2.2)

понятия и методы теории динамических систем с бесконечномерным фа-

зовым пространством. В данном случае в качестве фазового простран-

ства (пространства начальных условий) естественно выбрать пространство

H₂ : f(x) ∈ H₂, если f(x) имеет период 2π и при x ∈ [-π,π] справедливо

включение f(x) ∈ W²²[-π, π].

Лемма 1. Решения краевой задачи (2.1), (2.2) диссипативны в норме про-

странства L₂(-π,π): с течением времени они попадают в шар Q(R) про-

странства L₂(-π,π), где R = 2(1 + δ)π,δ любое положительное число.

Справедливость этого утверждения проверяется следующим образом. До-

множим, уравнение (2.1) на u(t, x), а сопряженное ему уравнение на u(t, x).

После их сложения и интегрирования по x от -π до π получим равенство

[

]

ρ_t = 2 ρ-

b₁ρ²

- bρ₁

2π

∫_π

где ρ =

|u|²dx, ρ₁ =

|u|⁴dx, т.е. ρ(t), ρ₁(t)

функции переменной t.

-π

В силу неравенства Коши-Буняковского

[

]

(

)

ρ_t ≤ 2ρ 1-

(b + b₁)ρ

≤ 2ρ

< 0,

2π

если ρ = ρ(t) > 2π, т.е. с течением времени для ρ(t) будет выполнено неравен-

ство ρ(t) ≤ 2(1 + δ)π, где δ сколь угодно малая положительная постоянная.

Далее в работе будут рассмотрены вопросы, касающиеся существования и

устойчивости инвариантных многообразий нелинейной краевой задачи (2.1),

(2.2), а также формирующих их решений.

3. Одномодовые периодические решения

Элементарно проверяется, что краевая задача (2.1), (2.2) имеет счетное

семейство t периодических решений

(3.1)

u_n(t,x) = exp(iσ_n

t + inx),

где σ_n = -(c₁ + c) + dn², n = 0, ±1, ±2, . . . Особую роль для приложений иг-

рает пространственно однородное решение u(t, x) = u₀(t) = exp(iσ₀t), σ₀ =

= -(c₁ + c). При проверке того, что любая функция из семейства (3.1) удовле-

творяет краевой задаче (2.1), (2.2), используется равенство b₁ + b = 1. Реше-

ние u₀(t) принято называть циклом Андронова-Хопфа или пространственно

однородным периодическим решением.

Для решений краевой задачи (2.1), (2.2) справедлив “принцип самоподо-

бия” (см., например, [9]). Суть его заключается в том, что замена

(3.2)

u(t, x) = w(t, y) exp(iω_n

t + inx),

где ω_n = dn², y = x + 2dnt, переводит уравнение (2.1) в то же самое урав-

нение для функции w(t, y), где функция w(t, y) по переменной y имеет

период 2π. Такая задача для w(t, y), естественно, имеет решение w₀(t) =

= exp(iσ₀t), которому соответствует уже семейство t периодических решений

u_n(t,x) (см. (3.1),(3.2)) основной краевой задачи (2.1), (2.2). Поэтому для изу-

чения вопроса об устойчивости решений u_n(t, x) достаточно рассмотреть со-

ответствующий вопрос для одного представителя этого семейства: u₀(t, x) =

= u₀(t) = exp(iσ₀t). Далее вместо σ₀ будем писать просто σ. Иначе, рассмот-

рим вопрос об устойчивости пространственно однородного решения u₀(t).

В краевой задаче (2.1), (2.2) положим

(3.3)

u(t, x) = u₀

(t)(1 + v(t, x)) = exp(iσt)(1 + v(t, x)).

Замена (3.3) позволяет получить новую краевую задачу для функции v(t, x)

∫

(3.4)

v_t = -(b₁ +ic₁)

(v + v)dx - (b + ic)(v + v) - idv_xx + F₂(v) + F₃

(v),

2π

−π

(3.5)

v(t, x + 2π) = v(t, x),

где





∫

F₂(v) = -(b₁ + ic₁)

v(v+v)dx+vvdx-(b+ic)(2vv+v2_),

2π

-π

∫π

F₃(v) = -(b₁ + ic₁)

|v|²dx - (b + ic)v²v.

2π

-π

Теперь у краевой задачи (3.4), (3.5) анализу подлежит вопрос об устойчи-

вости нулевого решения. Для этого можно рассмотреть линеаризованный ее

вариант

(3.6)

v_t

= Av, v(t, x + 2π) = v(t, x),

где

∫

Av = -(b₁ + ic₁)

(v + v)dx - (b + ic)(v + v) - idv_xx.

2π

-π

В свою очередь, устойчивость решений линейной краевой задачи (3.6) можно

свести к аналогичному вопросу для следующей краевой задачи:

(3.7)

w_t

= Bw, w(t,x + 2π) = w(t,x),

где

w = w(t,x) = colon(w₁,w₂), w₁ = Rev(t,x), w₂ = Imv(t,x),





∫

b₁

-

w₁dx - 2bw₁ + dw_2xx











-π



Bw =



∫

.



c₁



-

w₁dx - 2cw₁ - dw_1xx

-π

Следовательно, вопрос об устойчивости решений линейной краевой задачи

(3.7) может быть сведен к анализу расположений точек спектра линейного

дифференциального оператора Bf, где f = f(x) = colon(f₁(x), f₂(x)), опре-

деленного на достаточно гладких 2π периодических вектор-функциях f(x).

Собственные элементы такого линейного оператора следует искать в виде

h_k(x) = h_k exp(ikx), k ∈ Z, h_k = colon(q₁,q₂),

где q₁, q₂ ∈ C(R), так как семейство функций {exp(ikx)} формирует полную

ортогональную систему функций в L₂(-π, π). В свою очередь, соответствую-

щие собственные значения λ_k определяются как собственные значения счет-

ного семейства матрицы

(

)

(

)

-2

-2b

-dk²

B₀ =

B_k =

k = ±1,±2,...

−2(c₁ + c)

-2c + dk²

Элементарные вычисления показывают, что λ_0,1 = 0, λ_0,2 = -2, а осталь-

ные λ_k (k = ±1, ±2, . . .) находятся как корни характеристических уравнений

λ^2k + 2bλ_k + q_k = 0, q_k = dk²(dk² - 2c).

Лемма 2. Пусть d - 2c > 0, тогда все корни семейства характеристи-

ческих уравнений для λ_k лежат в полу√оскости комплексной плоскости,

выделяемой неравенством Re λ_k ≤ -b +

b² - d(d - 2c) < 0, т.е. величиной,

не зависящей от k = ±1,±2,... При d - 2c < 0 есть собственные значе-

ния, лежащие в правой полуплоскости комплексной плоскости. Наконец,

при d = 2c получаем λ_1,1 = λ_-1,1 = 0 (λ_1,2 = λ_-1,2 = -b).

Из леммы 2 и полноты системы собственных функций вытекает, что спра-

ведливо утверждение.

Теорема 1. Пусть d > 2c, тогда решение u₀(t) устойчиво (цикл, по-

рождаемый этим решением, орбитально асимптотически устойчив). При

d < 2c периодическое решение u₀(t) неустойчиво.

Отметим, что вместе с решением u₀(t) краевая задача (2.1), (2.2) имеет

семейство решений u₀(t + α), α ∈ R. Этим объясняется наличие в спектре

устойчивости при всех значениях параметров у оператора A (B) собственного

числа λ_0,1 = 0.

При d = 2c возникает критический случай в задаче об устойчивости про-

странственно однородного цикла. Нетрудно проверить, что линейный диф-

ференциальный оператор

∫

A₀f = -2icf^′′ - (b₁ + ic₁)

(f + f)dx - (b + ic)(f + f)

2π

-π

имеет трехкратное нулевое собственное число. Ему отвечают собственные

функции

h₀(x) = i, h₁(x) = (-c + ib)cos x, h₂(x) = (-c + ib)sin x.

В разделе 4 рассмотрим вопрос о локальных бифуркациях от простран-

ственно однородного цикла, порожденного периодическим решением u₀(t) =

= exp(iσt) при

d = 2c - νε, ν = ±1, ε ∈ (0,ε₀),

0 < ε₀ << 1,

где ν будет выбрано далее. При этом здесь представляют интерес те реше-

ния краевой задачи (2.1), (2.2), которые при ε → 0 стремятся к циклу u₀(t).

Вспомним, что наряду с периодическим решением u₀(t) краевая задача (2.1),

(2.2) имеет решение

u₀(t + α) = exp(iσt)exp(iα), α ∈ R.

Следовательно, можно и целесообразно вместо замены (3.3) выполнить заме-

ну

(3.8)

u(t, x) = exp(iσt) exp(iψ)[1 + v(t, x)],

где ψ = ψ(t, ε) и подходящую функцию ψ(t, ε) со значениями в R выберем в

ходе бифуркационного анализа. В результате замены (3.8) для v(t, x) получим

нелинейную краевую задачу, подобную краевой задаче (3.4), (3.5)

(3.9)

v_t = A(ε)v + F₂(v) + F₃(v) - iψ_t

(1 + v),

(3.10)

v(t, x + 2π) = v(t, x),

где

A(ε)v = A₀v + νεA₁v,

∫

A₀v = -2icv_xx - (b₁ + ic₁)

(v + v)dx - (b + ic)(v + v),

2π

-π

A₁v = iv_xx.

Нелинейные слагаемые F₂(v), F₃(v) были указаны ранее.

4. Вспомогательная бифуркационная задача

Пусть v(0, x) = f(x) ∈ H₂. Если при этом f(x) четная функция, то та-

кое подпространство H₂ обозначим через H_2,ev. В силу специфики структуры

правой части уравнения (3.9) подпространство H_2,ev инвариантно для реше-

ний краевой задачи (3.9), (3.10). Поэтому можно добавить еще одно условие

(4.1)

v(t, -x) = v(t, x).

При этом любое решение краевой задачи (3.9), (3.10), (4.1) будет решением

более общей задачи (3.9), (3.10). Следовательно, можно и полезно сначала

изучить вспомогательную краевую задачу (3.9), (3.10), (4.1). В свою очередь,

краевую задачу (3.9), (3.10), (4.1) можно и естественно заменить на краевую

задачу следующего вида:

(4.2)

v_t = A₀v + ενA₁v + F₂(v) + F₃(v) - iψ_t

(1 + v),

(4.3)

v_x(t,0) = v_x

(t, π) = 0,

где теперь

∫

A₀v = -2icv_x - (b₁ + ic₁)

(v + v)dx - (b + ic)(v + v), A₁v = iv_xx,





∫

[

]

F₂(v) = -

(b₁ + ic₁)v (v + v)dx + vvdx - (b + ic) 2vv + v2 ,

∫π

F₃(v) = -

(b₁ + ic₁)v vvdx - (b + ic)v²v.

100

Приступим к анализу краевой задачи (4.2), (4.3). При ее анализе следу-

ет учесть, что линейный оператор A₀ имеет двукратное нулевое собственное

число (нулевому собственному числу отвечают две собственные функции i,

(-c + ib) cos x).

При ε ∈ (0, ε₀) уже реализуется случай, близкий к критическому, двукрат-

ного нулевого собственного значения спектра устойчивости. Следовательно,

в окрестности нулевого состояния равновесия вспомогательной краевой зада-

чи существует двумерное инвариантное многообразие V₂(ε) [20-22], которое

часто называют центральным. Анализ локальной динамики решений крае-

вой задачи (4.2), (4.3), как известно [21-23], может быть, сведен к анализу

системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений

(4.4)

ψ_t = G₀(ψ,z,ε), z_t = G₁

(ψ, z, ε),

где G₀(ψ, z, ε), G₁(ψ, z, ε) достаточно гладкие функции, которые в данном

случае обладают рядом свойств:

1) G₀(ψ, 0, ε) = G₁(ψ, 0, ε) = 0;

2) G₀(ψ, z, 0) = G₁(ψ, z, 0) = 0;

3) обе эти функции не зависят от ψ, так как в равенстве (3.8) можно ψ

заменить на ψ + α, где α любая действительная постоянная, и получить

то же самое вспомогательное уравнение для ψ + α.

Эти замечания позволяют считать, что еще до детального определения

правых частей системы (4.4) можно считать, что G₀ = εg₀(z, ε), G₁ = εg₁(z, ε),

где по-прежнему g₀(z, ε), g₁(z, ε) - достаточно гладкие функции, для которых

выполнены тождества g₀(0, ε) = 0, g₁(0, ε) = 0. Система дифференциальных

уравнений (4.4) играет во многом определяющую роль. В качественной тео-

рии обыкновенных дифференциальных уравнений ее обычно называют нор-

мальной формой Пуанкаре (Пуанкаре-Дюлака) [22, 23]. Ее конкретный вид

будет определен далее в процессе реализации алгоритма, который является

развитием известного алгоритма Крылова-Боголюбова на случай бесконеч-

номерных динамических систем (см., например, [9]).

Отметим также, что в ситуации общего положения достаточно определить

укороченный вариант правых частей нормальной формы (4.4). Такой вари-

ант нормальной формы получил название укороченной нормальной формы

(“trancated” normal form) [22]. Вместо системы (4.4) далее будет рассматри-

ваться следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

(4.5)

ψ_t = εq₀(z), z_t = εq₁(z), q₀(z) = g₀(z,0), q₁(z) = g₁

(z, 0).

Перейдем к изложению алгоритма построения нормальной формы. Реше-

ния краевой задачи (4.2), (4.3), принадлежащие V₂(ε), можно и целесообразно

искать в виде

(4.6)

v(t, x, ε) = ε^1/2w₁(x, z) + εw₂(x, z) + ε^3/2w₃(x, z) + o(ε^3/2

где z = z(t) - одна из компонент нормальной формы. Положим также

w₁(x,z) = (-c + ib)z cos x,

101

т.е. A₀w₁ = 0. Если теперь подставить сумму (4.6) в нелинейную краевую

задачу (4.2), (4.3) с последующим приравниванием членов при ε и ε^3/2, то

получим уже две линейные неоднородные краевые задачи для определения

w₂(x,z), w₃(x,z)

(4.7)

w_2t = A₀w₂ + F₂(w₁) - iq₀

(z),

(4.8)

w_2x(t,0) = w_2x

(t, π) = 0,

w_3t = A₀w₃ - q₁(z)(-c + ib)cos x + F₂(w₁,w₂) + F₃(w₁) -

(4.9)

- iq₀(z)w₁ + νA₁w₁,

(4.10)

w_3x(t,0) = w_3x

(t, π) = 0.

Отметим, что выше





∫

[

]

F₂(w₁) = -(b₁ +ic₁)

w₁

(w₁ + w₁)dx + w₁w₁dx - (b + ic) 2w₁w₁ + w²





∫

F₃(w₁) = -(b₁ + ic₁)w₁ 1

w₁w₁dx - (b + ic)w²¹w₁,



∫

F₂(w₁,w₂) = -(b₁ + ic₁)

w₁

(w₂ + w₂)dx + w₂ (w₁ + w₁)dx +



∫π

[

]

+ (w₁w₂ + w₁w₂)dx - 2(b + ic) w₁w₂ + w₁w₂ + w₁w₂ .

При формировании краевых задач (4.7), (4.8) и (4.9), (4.10) производные по

переменной t от функций w₁, w₂, w₃ вычислялись в силу нормальной фор-

мы (4.5).

Из условий разрешимости краевой задачи (4.7), (4.8) в классе функций,

явным образом не зависящих от t, определяем, что

[

]

q₀(z) = c(b² + (2b - 1)c²) + 2bc²c1 z2,

а соответствующее решение можно выбрать в следующем виде:

[

]

b² + c²

[ 3c² - b²

b(9c² + b²)

w₂(x,z) =

-bc² -

z² +

-i

z² cos2x.

24c

Условия разрешимости неоднородной краевой задачи (4.9), (4.10) позволяют

найти

q₁(z) =

(νc - lz²)z,

102

где

2(12b + 3)c⁴ - 9b²c² + b

Подчеркнем, что l > 0 при всех c ∈ R, если b ∈ (0,59; 1]. Случай l ≤ 0 реали-

зуется редко и требует отдельного анализа. Далее l > 0.

Рассмотрим теперь второе уравнение нормальной формы (4.5), т.е. урав-

нение

(4.11)

z_t =

(νc - lz²

)z.

Лемма 3. Обыкновенное дифференциальное уравнение (4.11) имеет три

состояния равновесия

√νc

S₀ : z = 0; S_± : z(t) = η_± = ±

если ν > 0 (в данном случае c > 0). При этом S₀ неустойчиво, S_± асимпто-

тически (экспоненциально) устойчивы.

Доказательство леммы 3 стандартно.

Из результатов работ [24-27] вытекает, что для вспомогательной краевой

задачи (4.2), (4.3) справедливо утверждение.

Теорема 2. Существует ε₀ > 0, такое что при всех ε ∈ (0,ε₀) каждо-

му ненулевому состоянию равновесия S_± обыкновенного дифференциального

уравнения (4.11) соответствует пространственно неоднородное состояние

равновесия

S_±(ε) : v_±(x,ε) = ε^1/2η_±(-c + ib)cos x +

[

)

]

(4.12)

b² + c²

( 3c² - b²

b(9c² + b²)

+ εη2± -bc2 -

-i

cos 2x

+ o(ε).

24c

Эти оба состояния равновесия устойчивы в норме фазового пространства

решений вспомогательной краевой задачи (4.2), (4.3).

Отметим, что в данном случае c = 0 (c > 0). При c = 0 все одномодовые

периодические решения устойчивы и, следовательно, необходимые условия в

задаче о локальных бифуркациях не выполнены.

5. Результаты для основной краевой задачи

Полученные результаты в предыдущем разделе автоматически переносят-

ся на краевую задачу (3.9), (3.10), (4.1), т.е. когда дополнительно предполага-

ется четность относительно x функции v(t, x). Вместе с тем решения краевой

задачи (3.9), (3.10) трансляционно инвариантны, т.е. замена x → x + α, α ∈ R

переводит одно решение краевой задачи (3.9), (3.10) в другое. В частности,

решения v_±(x, ε), указанные в рамках теоремы 2, будут решениями краевой

задачи (3.9), (3.10). Итак, справедливо утверждение.

103

Теорема 3. Существует ε₀ > 0, такое что при всех ε ∈ (0,ε₀) нелиней-

ная краевая задача (3.9), (3.10) имеет одномерное притягивающее многооб-

разие V₁(α, ε), сформированное однопараметрическим семейством состоя-

ний равновесия

(5.1)

v(x, ε, α) = v₊

(x + α, ε), α ∈ R,

где для v₊(x, ε) приведена асимптотическая формула (4.12).

Отметим, что в последней теореме использовано решение v₊(x, ε) из тео-

ремы 2. В (5.1) можно в правой части взять v_-(x, ε), т.е. положить

v(x, ε, β) = v_-(x + β, ε),

но замена β = α + π приводит к описания того же однопараметрического се-

мейства.

Основным следствием из теорем 2, 3 является следующая теорема - ос-

новной результат при анализе краевой задачи (2.1), (2.2) в случае, если b > 0

(b ∈ (0, 1]), c > 0.

Теорема 4. При всех ε, указанных в рамках теорем 2, 3 и d = 2c - νε,

краевая задача (2.1), (2.2) при каждом целом n имеет двупараметрическое

семейство устойчивых предельных циклов

[

]

(5.2)

u(t, x, ε, n) = exp(iσ_nt + inx + iεω_nt + iβ_n) 1 + v₊(x + α_n, ε) ,

где

[

] cν

ω_n(ε) = ω(ε) = εω₀ + o(ε), ω₀ = c(b² + (2b - 1)c²) + 2bc²c1

а функция v₊(x, ε) была указана ранее, α_n, β_n произвольные действитель-

ные постоянные.

Замечание 1. Теорема 4 сформулирована при положительных c (d =

= 2c - ε, ν = 1). Если c < 0, то будет иметь место аналогичная теорема, но

при этом d = 2c + ε, ν = -1, ε ∈ (0, ε₀). В рамках доказательства ν следует

заменить на -ν.

Особый случай возникает, если b = 0, т.е. b₁ = 1 (b₁ = 1 - b). Понятно,

что семейство решений (3.1) существует. Все решения семейства (3.1) в си-

туации общего положения будут по t периодическими функциями. Если

dn² - (c₁ + c) = 0 при некоторых ±k, то эти два решения из указанного семей-

ства будут уже состояниями равновесия. При анализе устойчивости решений

(3.1) (если b = 0) получаем характеристическое уравнение

λ² + q_k = 0, q_k = dk²(dk² - 2c)

и п ри любом выборе c, если постоянная k² достаточно велика, спектр устой-

чивости содержит счетный набор корней вида ±iω, т.е. реализуется крити-

ческий случай в задаче об устойчивости этих решений с бесконечномерным

вырождением или эти решения заведомо неустойчивы. Подчеркнем, что, если

d > 0, d - 2c < 0 или d < 0, d - 2c > 0,

то решения семейства (3.1) будут неустойчивыми.

104

При b = c = 0 возникает особый вариант при анализе краевой задачи (2.1),

(2.2), который может быть изучен с использованием другого подхода.

6. Нелокальное уравнение Гинзбурга-Ландау в специальном случае

В этом разделе рассмотрим нелинейную краевую задачу

(6.1)

u_t = u - (1 + ic₁)uV (u) - idu_xx,

(6.2)

u(t, x + 2π) = u(t, x),

которую дополним начальным условием

(6.3)

u(0, x) = f(x).

∫_π

Здесь d, c₁ ∈ R, V (u) =¹

|u(t, x)|²dx, f(x)

комплекснозначная 2π пе-

2π

-π

риодическая функция, принадлежащая при x ∈ [-π, π] пространству Собо-

лева W²²[-π, π]. В иных терминах f(x) ∈ H₂.

Решение смешанной задачи (6.1)-(6.3) можно записать в виде ряда

∑

(6.4)

u(t, x) =

u_n

(t) exp(inx).

n=-∞

Из равенства Парсеваля заключаем, что

∑

V (u) =

|u_n(t)|².

n=-∞

Следовательно, коэффициенты ряда (6.4) можно находить как решения за-

дачи Коши счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(6.5)

u_n = a_nu_n - (1 + ic₁)u_n

(6.6)

u_n(0) = f_n,

где u_n(t) - комплекснозначная функция t, ∫n = 1 + idn2, n = 0, ±1, ±2, . . .

∑_∞

Как и ранее, V (u) =

|u_n(t)|², f_n =

f (x) exp(-inx)dx. Подчерк-

n=-∞

2π

-π

нем, что {f_n} ⊂ l_2,2, т.е. последовательность {f_n} принадлежит гильбертову

пространству бесконечных последовательностей, для которых сходится ряд

∑

∞

n⁴|f_n|². Наконец, при тех t, когда решение задачи Коши (6.5), (6.6)

n=-∞

∑_∞

существует, компоненты {u_n(t)} таковы, что

n⁴|u_n(t)|² < ∞.

n=-∞

Как известно, l_2,2 следует интерпретировать как дискретный аналог про-

странства Соболева H₂. Пусть Z множество целых чисел, Z_∗, Z₀ подмно-

жества Z : Z_∗ ∪ Z₀ = Z. Рассмотрим подпространство l_2,2,0, состоящее из тех

{u_n} ∈ l_2,2, для которых u_k = 0, если k ∈ Z₀. Очевидно, что линейное под-

пространство l_2,2,0 инвариантно для решений задачи (6.5), (6.6) в обычном

смысле, т.е. если f_k = 0, то u_k(t) = 0 при всех рассматриваемых k.

105

Последнее замечание позволяет считать сначала, что f_n = 0 при всех

n ∈ Z, т.е. рассматривается “общий” случай. В частности, u_n(t) = 0 ни при

одном n, если t ∈ I интервалу существования решений. Положим в таком

случае

u_n(t) = ρ_n(t)exp(iϕ_n(t))

и вместо задачи (6.5), (6.6) получим две следующие вспомогательные задачи

Коши:

(6.7)

ρ_n = ρ_n - ρ_nV (ρ), ρ_n(0) = r_n = |f_n|,

(6.8)

ϕn = dn² - c1V (ρ), ϕn(0) = ψn,

∑_∞

где V (ρ) =

ρ^2k, ψ_n = arg f_n. Подчеркнем, что задачу Коши (6.7) можно

k=-∞

изучить отдельно, а затем найти решения задачи Коши (6.8).

Если уравнение с номером m (m ∈ Z) умножить на ρ₀, а уравнение с номе-

ром 0 умножить на ρ_m, то после почленного вычитания получаем равенство

ρ_mρ₀ - ρ₀ρ_m = 0.

(ρm)

Итак, ρ^2d0dt

= 0. Следовательно, ρ_m(t) = r_mρ₀(t)/r₀. В результате полу-

ρ₀

чим уравнение для определения ρ₀(t)

(6.9)

ρ₀ = ρ₀ - ρ³⁰

β,

∑_∞

где β =¹

r^2m. Подчеркнем, что ряд

r^2m сходится в силу пред-

r²

m=-∞

положения о включении {f_n} в l_2,2. Интегрируя уравнение Бернулли (6.9) с

учетом начального условия ρ₀(0) = r₀, получаем, что

∑

exp(t)

ρ₀(t) = r₀√

r^2k.

1 + Q(exp(2t) - 1)

k=-∞

Поэтому

exp(t)

ρ_m(t) = r_m√

ρ_m(0) = r_m, m = 0,±1,±2,...

1 + Q(exp(2t) - 1)

Следовательно, решение смешанной начально-краевой задачи (6.1)-(6.3) име-

ет вид

∑

(6.10)

u(t, x) = V₀(t)

exp(iσ_m(t))r_m

exp(imx),

m=-∞

где

c₁

σ_m(t) = dm²t -

ln(1 + Q(exp(2t) - 1)) + ψ_m,

[

]_-1/2

V₀(t) = exp(t) 1 + Q(exp(2t) - 1)

106

Добавим, что lim_t→∞ V₀(t) = (1/Q^1/2), lim_t→∞ ρ_m(t) = (r_m/Q^1/2). Отметим,

что функцию (6.10) можно записать в виде

∑

(6.11)

u(t, x) = V₀(t)

f_k exp(iϕ_k

(t)) exp(ikx),

k=-∞

где

ϕk(t) = dk²t - c1 ln(1 + Q(exp(2t) - 1))/2.

При этом учтено, что r_k exp(iψ_k) = f_k.

Замечание 2. Формула (6.10) была выведена в предположении, что все

r_m = |f_m| = 0. Если же оказалось, что r_k = 0 при k ∈ Z₀ (некоторому подмно-

жеству Z), то полученную формулу следует модифицировать и суммирование

в ней следует вести по тем m, которые принадлежат Z_∗, т.е. в правой части

остаются только те номера n, для которых соответствующий r_n = 0.

Из предыдущих построений вытекает, что справедливо утверждение.

Теорема 5. Пусть f(x) ∈ H₂, тогда начально-краевая задача (6.1)-(6.3)

имеет решение при всех t ≥ 0 (см. (6.11)). При этом при всех t ≥ 0 функция

u(t, x) обладает следующими свойствами:

1) она непрерывна по совокупности переменных;

2) при любом t₀ ≥ 0 функции одного переменного u_t(t₀, x), u_xx(t₀, x) ∈

∈ L₂(-π,π);

3) u_x(t, x) непрерывны по совокупности переменных;

4) lim

u(t, x) = f(x) в смысле нормы пространства H₂.

t→∞

Проверка свойств опирается на изучение сходимости ряда в правой части

∑_∞

(6.11), а также того обстоятельства, что в данном случае ряд

m⁴r^2m <

m=-∞

< ∞.

Теорема 6. Начально краевая задача (6.1)-(6.3) имеет инвариантное

многообразие V_∞, выделяемое условием f(x) ∈ V_∞, если

∫

|f(x)|²dx = 1, f(x) ∈ H₂.

2π

-π

Все решения начально краевой задачи (6.1)-(6.3) с начальными условиями,

не принадлежащими к V_∞, c течением времени приближаются к этому

многообразию.

Многообразие V_∞ имеет размерность, равную бесконечности (dimV_∞ =

= ∞), и является глобальным аттрактором.

Доказательство теоремы 6 основано на анализе формулы (6.10). Действи-

∑_∞

тельно, если

|f_n|² = 1, то V₀(t) = 1 и правая часть равенства (6.10)

n=-∞

упрощается,

∑

u_∞(t,x) =

r_m exp(i(dm²t - c₁t + ψ_m))exp(imx)

m=-∞

∫_π

и, конечно,

|u(t, x)|²dx = 1 уже при всех t (ψ_m = ϕ_m(0)).

2π

-π

107

Наконец, при t → ∞ функция в правой части (6.10) приближается к функ-

ции

∑

r_m

u_∗(t,x) =

exp(i(dm²t - c₁t + δ_m)) exp(imx),

Q^1/2

m=-∞

∑_∞

где δ_m = -c₁(ln Q)/2 + arg(f_m), Q =

|f_k|², где уже u_∗(t, x) является

k=-∞

решением, принадлежащим V_∞. Подчеркнем, что приближение следует по-

нимать в смысле

lim

||u(t, x) - u_∗(t, x)||H2 = 0.

t→∞

Следствием из последних утверждений является утверждение.

Следствие 1. Решения краевой задачи (6.1), (6.2), принадлежащие V_∞,

можно записать в виде

∑

(6.12)

u(t, x) =

f_n exp(i(dn² - c₁

)t) exp(inx),

n=-∞

∑_∞

где

|f_n|² = 1. Все эти решения устойчивы в смысле определения

n=-∞

Ляпунова в метрике фазового пространства решений краевой задачи (6.1),

(6.2), т.е. H_k.

Каждое решение семейства (6.12) является бесконечной суммой слагаемых

вида f_n exp(iσ_nt) exp(inx), где n ∈ Z, σ_n = dn² - c₁, где любое такое слагаемое

будет периодической функцией периода 2π/σ_n (или не зависит от t, если при

некотором n = k оказалось, что σ_k = 0). Но, с другой стороны, частоты σ_n

(периоды T_n = 2π/σ_n) в ситуации общего положения несоизмеримы и, сле-

довательно, решение u(t, x), принадлежащее V_∞, будет квазипериодической

функцией. Конечно, существует вариант, когда все решения (6.12) будут t-пе-

риодическими функциями. Например, если c₁ = 0.

7. Заключение

В работе рассмотрены два основных варианта постановки периодической

краевой задачи для нелокального уравнения Гинзбурга-Ландау в слабодис-

сипативном варианте, когда коэффициент при u_xx чисто мнимый.

Если b, c = 0, то краевая задача (2.1), (2.2) имеет счетный набор периоди-

ческих решений вида (3.1). При этом дан ответ об их устойчивости и изучен

вопрос об их локальных бифуркациях. Подчеркнем, что в данной ситуации

он мало отличается от ответа на аналогичный вопрос для краевой задачи

(2.1), (2.2) при b₁ = c₁ = 0, т.е. для относительно традиционного варианта

уравнения Гинзбурга-Ландау, а именно уравнения вида

u_t = u - (b + ic)u|u|² - idu_xx,

где b > 0, d = 0, c ∈ R.

108

Иная ситуация при анализе уравнения (2.1) возникает, если b₁ > 0 (b₁ = 1),

но b = c = 0. Тогда, как уже отмечалось, краевая задача (2.1), (2.2) име-

ет глобальный аттрактор V_∞ (dimV_∞ = ∞). Решения u(t, x) ∈ V_∞, конечно,

при всех t ≥ 0 принадлежат H₂, но нормы их в H₂ как функций, завися-

щих от x при всех рассматриваемых √ могут быть велики, хотя их нор-

мы в L₂(-π, π) фиксированы и равны

2π. Действительно, пусть в началь-

∫_π

ной краевой задаче (6.1)-(6.3) f(x) ∈ H₂ и f(x) ∈ V_∞, т.е.

|f(x)|²dx = 2π.

-π

В качестве примера возьмем f(x) = exp(imx). Тогда ей соответствует ре-

шение u(t, x) = exp(iσ_mt) exp(imx), где σ_m = dm² - c₁. При любом t это ре-

√

шение как функция x имеет норму |u(t, x)|L2 =

2π, т.е. принадлежит V_∞.

Однако, |u_xx(t, x)|²

= 2πm⁴, т.е. стремится к бесконечности. Это же заме-

L₂

ч∫ние справедливо и для кинетической энергии, которая пропорциональна

|u_t|²dx = πσ^2m = π(dm² - c₁)² → ∞, если m → ∞.

-π

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Aranson I.S., Kramer L. The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation //

Rev. Modern. Phys. 2002. V. 74. P. 99-143.

Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the Formation of Dissipative Structures in Reaction-

Diffusion Systems // Prog. Ther. Phys. 1975. V. 54. No. 3. P. 687-699.

Bartucelli M., Constantin P., Doerling C.R., Gibbon J.D., Gisselfalt M. On the Pos-

sibility of Soft and Hard Turbulence in the Complex Ginzburg-Landau Equation //

Phys. D. 1990. V. 44. No. 3. P. 421-444.

Kuramoto Y. Chemical oscillations waves and turbulence. Berlin: Springer-Verlag,

1984.

Kulikov A.N., Rudy A.S. States of Equilibrium of Considered Matter with Ginzburg-

Landau ψ⁴-Model // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. V. 15. P. 75-85.

Kulikov A. Bifurcation d’Andronov-Hopf et Systems d’Equation aux derivees par-

tielles singulieres de type parabolique // Caher Mathematiques. 1988. Fasc. 1.

P. 57-60.

Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. John Wiley and Sons Inc., 1974

Scheuer J., Malomed B.A. Stable and Chaotic Solutions of the Complex Ginsburg-

Landau Equation with Periodic Boundary Conditions // Physica D. 2002. V. 161.

No. 1. P. 102-115.

Куликов А.Н., Куликов Д.А. Локальные бифуркации плоских бегущих волн

обобщенного кубического уравнения Шредингера // Дифференц. уравн. Т. 46.

№ 9. C. 1290-1299.

10.

Drazin P.G. Introduction to hydrodynamic stability. Cambridge. Cambridge Univ.

Press, 2002.

11.

Sobolevskii P.E. Equations of a Parabolic Type in a Banach Space // Tr. Mosk. Mat.

Obs. 1961. V. 10. P. 297-350.

12.

Segal I. Nonlinear Semigroups // Ann. Math. 1963. V. 78. No. 2. P. 339-364.

13.

Якубов С.Я. Разрешимость задачи Kоши для абстрактных квазилинейных ги-

перболических уравнений второго порядка и их приложения // Тр. ММО. 1970.

Т. 23. С. 37-60.

Yakubov S.Ya. Solvability of the Сauchy Problem for Abstract Second Order Hy-

perbolic Equations, and Their Applications // Tr. Mosk. Mat. Obs. 1970. V. 23.

P. 37-60.

109

14.

Duan J., Hung V.L., Titi E.S. The Effect of Nonlocal Interactions on the Dynamics

of the Ginzburg-Landau Equation // ZAMP. 1996. V. 47. No. 3. P. 432-455.

15.

Matkowsky B.J., Volpert V.A. Coupled Nonlocal Complex Ginzburg-Landau Equa-

tions in Gasless Combustion // Physica D. 1992. V. 54. No. 3. P. 203-219.

16.

Elmer F.J. Nonlinear and Nonlocal Dynamics of Spatially Extended Systems:

Stationary States, Bifurcations and Stability // Physica D. 1988. V. 30. No. 3.

P. 321-341.

17.

Ахметзянов А.В., Кушнер А.Г., Лычагин В.В. Аттракторы в моделях филь-

трации // ДАН. 2017. Т. 472. № 6. C. 627-630.

Akhmetzyanov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Attractors in the Filtration Mod-

els // Dokl. Ross. Akad. Nauk. 2017. V. 472. No. 6. Р. 627-630.

18.

Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V. Contact Geometry and Non-Linear Differential

Equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007.

19.

Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математиче-

ской физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1959.

20.

Куликов А.Н. Интегральные многообразия гиперболических уравнений в случае

близком к критическому пары чисто мнимых собственных значений // Вестн.

Яросл. ун-та. 1975. В. 13. С. 94-117.

21.

Marsden J., McCracken M. Hopf Bifurcation and Its Applications. New York:

Springer, 1982.

22.

Guckenheimer J., Holmes P.J. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifur-

cations of vector fields. Berlin: Springer-Verlag, 1983.

23.

Chow S.-N., Li C., Wang D. Normal forms and bifurcations of planar vector fields.

Cambridge and New York: Cambridge University Press, 1994.

24.

Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса

точечных отображений: принцип кольца // Дифференц. уравн. 2003. Т. 39. № 5.

C. 584-601.

25.

Куликов А.Н. О бифуркациях инвариантных торов // Межвузовский мат. сбор-

ник “Исследования по устойчивости и теории колебаний”. 1983. С. 112-117.

26.

Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных

уравнений. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 2003.

27.

Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы волновых уравнений. М.: Физ-

матлит, 2004.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.

Поступила в редакцию 04.03.2020

После доработки 05.06.2020

Принята к публикации 09.07.2020

110