Автоматика и телемеханика, № 3, 2021

Линейные системы

(kamil_aydazade@rambler.ru)

(Институт систем управления НАН Азербайджана;

Институт математики и механики НАН Азербайджана, Баку),

В.М. АБДУЛЛАЕВ, д-р физ.-мат. наук (vaqif_ab@rambler.ru)

(Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности;

Институт систем управления НАН Азербайджана, Баку)

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ

УСЛОВИЙ УПРАВЛЯЕМОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Исследуется задача оптимального управления, описываемая систе-

мой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений c краевыми

условиями, содержащими точечные и интегральные значения фазовой пе-

ременной. В задаче определяются управления, участвующие в дифферен-

циальных уравнениях, и значения правых частей нелокальных краевых

условий. Исследованы необходимые условия существования и единствен-

ности решения краевой задачи, выпуклости целевого функционала, необ-

ходимые условия оптимальности оптимизируемых параметров в задаче

управления. Полученные формулы для градиента целевого функционала

задачи использованы для численного решения иллюстративной задачи.

Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: градиент функционала, выпуклость функционала, нело-

кальные условия, условия оптимальности, многоточечные условия.

DOI: 10.31857/S0005231021030016

1. Введение

Статья посвящена исследованию задачи оптимального управления систе-

мой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с нелокальными

условиями, содержащими слагаемые с точечными и интегральными значе-

ниями фазовой функции.

Изучение нелокальных краевых задач было начато еще в [1-3] и продолже-

но в публикациях многих других исследователей [4-14]. Практическая важ-

ность и необходимость изучения нелокальных краевых задач и соответствую-

щих задач управления объясняется тем, что полученная измерениями ин-

формация о состоянии объекта в какой-либо точке объекта или в какой-либо

момент времени может охватывать состояние нескольких точек или целой

окрестности точки или момента времени замера.

Отметим, что различные постановки задач оптимального управления си-

стемами с многоточечными и промежуточными условиями рассмотрены во

многих публикациях [15-18]. Для этих задач были получены условия опти-

мальности в различных формах [19-21] и предложены численные схемы ре-

шения включая случаи нелокальности самых дифференциальных (интегро-

дифференциальных, нагруженных) уравнений [12, 22].

Данная статья отличается от ранее проведенных исследований в основ-

ном тем, что здесь оптимизируемыми являются сами значения правых частей

нелокальных краевых условий. На практике такая задача возникает, напри-

мер, при управлении динамическим объектом, в граничных точках которого

имеют место нелокальные краевые условия, обусловленные какими-либо фи-

зическими законами, и дополнительно воздействуют источники с оптимизи-

руемыми значениями параметров. В частности, можно привести пример оп-

тимизации напряженного состояния одномерной механической конструкции,

находящейся под оптимизируемой распределенной нагрузкой по всей длине

конструкции и под оптимизируемыми внешними воздействиями на ее концы.

В статье получены условия существования и единственности решения

нелокальной краевой задачи, выпуклости целевого функционала задачи,

необходимые условия оптимальности для рассматриваемой задачи оптималь-

ного управления и оптимизации. Для получения формул для компонент гра-

диента функционала предложено использовать две техники в зависимости

от ранга матрицы коэффициентов при точечных значениях фазовой век-

тор-функции в нелокальных условиях. Одна техника использует идею метода

условного градиента [23, 24], другая метод Лагранжа [24]. Применение ме-

тода Лагранжа приводит к увеличению как числа условий, так и размерности

вектора параметров, требующего определения. Поэтому авторы предпочита-

ют, в зависимости от ранга матрицы условий, первый подход.

Результаты данной статьи могут быть использованы в задачах оптималь-

ного управления, описываемых нелокальными функциональными уравнения-

ми, при применении к ним каких-либо методов аппроксимации (в частности,

методов прямых) по пространственным или временной переменным.

В статье приведены результаты численных экспериментов на примере од-

ной иллюстративной задачи. Для ее численного решения с применением ме-

тодов оптимизации первого порядка использованы полученные в статье фор-

мулы для компонент градиента функционала.

2. Постановка задачи

Рассматривается задача управления объектом, динамика которого описы-

вается линейной системой дифференциальных уравнений:

(2.1)

x(t) = A₁(t)x(t) + A₂(t)u(t), t ∈ [t¹, t^f

с нелокальными (с неразделенными многоточечными и интегральными) усло-

виями и с оптимизируемыми значениями правых частей:

∫

∑

(2.2)

α_ix(tⁱ) +

β_j

(t)x(t)dt = ϑ.

i=1

j=1 t2j-1

Здесь: x(t) ∈ Rⁿ фазовая переменная; u(t) ∈ U ⊂ R^r управляющая век-

тор-функция из класса кусочно-непрерывных функций, допустимые значе-

ния которой принадлежат заданному выпуклому компактному множеству U;

ϑ ∈ V ⊂ Rⁿ вектор, значения которого определяются оптимизируемыми

воздействиями внешних источников, V заданные выпуклое и компактное

множество. Заданными являются: кусочно-непрерывные размерности n × n

A₁(t), размерности n × r A₂(t) и интегрируемые β_j(t) размерности n × n

матричные функции; постоянные матрицы α_i, i = 1, 2, . . . , l₁, размерности

n × n; упорядоченные моменты времени tⁱ,t^j ∈ [t¹,t^f], причем tⁱ ∈ [t^2j-1,t^2j],

i = 1,2,... ,l₁, j = 1,2,... ,l₂, при этом t¹ = t¹, tl1 = t^f; l₁,l₂

целые числа.

Целевым функционалом для нахождения оптимальных управления u(t) и

вектора параметров ϑ является

∫t^f

(2.3)

J (u, ϑ) = f⁰(x(t), u(t), ϑ, t)dt + Φ(x, x, ϑ) → min

u(t)∈U,ϑ∈V

t¹

Здесь f⁰(x, u, ϑ, t), Φ(x, x, ϑ) заданные непрерывно дифференцируемые по

x, x, x,u,ϑ функции и использованы обозначения:

(

)

(

)

t¹, t²,... , tl1

t¹, t²,... , t2l2

(

)_T

(

x¹, x²,... , xl1

= x

(t1),x(t2),...,x(tl1))T ∈ Rl1n,

(

)_T

(

x¹, x²,... , x2l2

= x

(t1),x(t2),...,x(t2l2))T ∈ R2l2n,

“T” знак транспонирования.

Будем предполагать, что в (2.2) имеются n линейно независимых условий.

В случае меньшего числа линейно независимых условий или, вообще, мень-

шего числа условий, например n₁, n₁ < n, тогда соответственно ϑ ∈ Rn1 . Это

значит, что в задаче имеются n - n₁ свободных (незакрепленных) начальных

условий. Тогда в условия (2.2) можно добавить еще оптимизируемые значе-

ния начальных условий для каких-либо n - n₁ компонент фазового векто-

ра x(t), расширив тем самым вектор ϑ ∈ Rn1 до ϑ ∈ Rⁿ.

3. Получение условий оптимальности

Далее будем предполагать, что для всех допустимых управлений u(t) и па-

раметров ϑ задача (2.1), (2.2) имеет решение, причем единственное. Для этого

должно выполняться условие, приведенное в следующей теореме 1. В теоре-

ме 1 матрица F (t, τ) является фундаментальной матрицей решений систе-

мы (2.1), т.е. является решением матричной задачи Коши:

(t, τ) = A₁(t)F (t, τ), t, τ ∈ [t¹, t^f ], F (t¹, t¹) = E,

где E n-мерная единичная матрица.

Теорема 1. Задача (2.1), (2.2) для произвольных кусочно-непрерывных

вектор функций u(t) и вектора параметров ϑ имеет решение, причем един-

ственное, если функции A₁(t), A₂(t) кусочно-непрерывны, β_j(t), j = 1,2,

...,l₂,

интегрируемы и





∫

∑



(3.1)

rank αiF (t

ⁱ,t¹) +

β_j(t)F(t,t¹)dt

= n.

i=1

j=1 t2j-1

Доказательства теорем 1, 2, 3 и 4 приведены в Приложении.

Имеет место следующая теорема 2.

Теорема 2. Пусть допустимые множества U, V и функции

f⁰(x(t),u(t),ϑ,t) и Φ(x, x,ϑ) по x, x, x,u,ϑ выпуклы. Тогда функционал J(u,ϑ)

является выпуклым. В случае если дополнительно одна из функций

f⁰(x(t),u(t),ϑ,t) и Φ(x, x,ϑ) сильно выпукла, то функционал задачи также

является сильно выпуклым.

Исследуем дифференцируемость функционала (2.3) и получим форму-

лы для компонент его градиента по оптимизируемым параметрам u(t) ∈ R^r,

ϑ∈Rⁿ.

∕

Производные ∂f⁰

∂x, ∂f⁰

∂u, ∂f⁰

∂ϑ, ∂Φ

∂xⁱ, ∂Φ

∂x^j будем понимать

как строки соответствующих размерностей. Для произвольных функций f(t),

определенных на отрезке [t¹, t^f ], используем обозначения:

f (t_±) = f(t ± 0) = lim

f (t ± ε), Δf(t) = f(t₊) - f(t_-),

ε→+0

ε≥0

а для удобства записи далее некоторых формул будем считать, что

f (t^f+) = f(t^1-) = 0,

характеристическая функция:

а χ[t2j-1,t2j](t), j = 1,2,... ,l2^,

{

0, t ∈ [t^2j-1, t^2j ],

χ[t2j-1,t2j](t)=

1, t ∈ [t^2j-1, t^2j ],

j = 1,2,...,l₂.

Пусть ранг расширенной матрицы α = [α₁, α₂, . . . , αl1 ] размерности n × l₁n

равен n. Ясно, что

(3.2)

rankα = n ≤ n.

В случае n < n условия (2.2) за счет их линейной комбинации можно при-

вести к такому виду, что последние n - n строк матрицы α = [α₁, α₂, . . . , αl1 ]

будут нулевыми. При этом линейной комбинации подвергнутся и интеграль-

ные слагаемые в условиях (2.2). Но важно, что эти преобразования не нару-

шат выполнения условия (3.1) для существования и единственности решения

краевой задачи (2.1), (2.2) для произвольных пар (u, ϑ). Чтобы не вводить но-

вые обозначения, пусть матрицы α_i, i = 1, 2, . . . , l₁, имеют размерности n × n,

а ранг их расширенной матрицы равен n. Тогда ограничения (2.2) разобьем

на две части: первые n ограничений запишем в виде

∫

∑

(3.3)

α_ix(tⁱ) +

β^1j(t)x(t)dt = ϑ⁽¹⁾,

i=1

j=1 t2j-1

а в последних n - n ограничениях будут отсутствовать точечные значения

функции x(t):

∫

∑

(3.4)

β^2j(t)x(t)dt = ϑ⁽²⁾.

j=1 t2j-1

Здесь матрицы α_i, β^1j(t), i = 1, 2, . . . , l₁, j = 1, 2, . . . , l₂, имеют размерность

n × n, а матрицы β^2j(t), j = 1,2,...,l₂,

размерность (n - n) × n, векторы

(

)

ϑ⁽¹⁾ ∈ Rⁿ, ϑ⁽²⁾ ∈ R^n-n, ϑ =

ϑ⁽¹⁾,ϑ⁽²⁾

∈Rⁿ.

В силу изложенного из расширенной матрицы α можно извлечь матрицу

α ранга n, образованную n столбцами матрицы α:









⌢

1,k₁

⌢

1,k_i

⌢

1,kn

···

s₁

···

s_i

···



⌢







⌢

2,k₁

⌢

2,k_i

⌢

2,kn



···





···



⌢

s₁

s_i





=

.















⌢

n,k₁

⌢

n,k_i

⌢

···

n,kn

···

s₁

s_i

Здесь k_i является номером столбца матрицы αsi , 1 ≤ s_i ≤ l₁, i = 1, 2, . . . , n,

является k_i-м столбцом матрицы αsi .

Пусть

(

)_T

⌢

(

)_T

(

)

xk1(ts1 ),xk2 (ts2),... ,xk¯n (tsn )

^T =

xs1k₁ ,xk22 ,...,xknn

есть n-мерный вектор, состоящий из компонент вектора x(t) и образованный

α значений x_j-х координат n-мерного векто-

ра x(t) в моменты времени tsj , 1 ≤ s_j ≤ l₁, j = 1, 2, . . . , n.

Пусть α и x есть остаточные матрица размера (n×(l₁n-n)) и (l₁n - n)-мер-

ный вектор, полученные удалением из матрицы α n столбцов, а из вектора x

Пусть i-й столбец матрицы

α является g_i-м столбцом матрицы αqi ,

1 ≤ g_i ≤ n, 1 ≤ q_i ≤ l₁, i = 1,2,... ,(l₁n - n):



1,q_(l1n-n)



αg,q11

··· αg,qii

··· α

g_(l1n-n)







2,q_(l1n-n)





αg,q11

··· αg,qii

··· α

g_(l



α=



1n-n)





,









n,q_(l1n-n)

αg,q11

··· αg,qii

··· α

g_(l

1n-n)

(

)_T

(

)_T

x = xg1(tq1),xg2(tq2),... ,x_g

(tq(l1n-n) )

= xq1g₁ , xg22 , . . . , xg(l1n−n)(1

(l1n-n)

Ясно, что (g_i, q_i) = (s_j , k_j ), j = 1, 2, . . . , n, i = 1, 2, . . . , (l₁n - n).

α^-1 обозна-

α^-1 α) размера (n × (l₁n - n))

через B с элементами b_ij .

Далее отдельно рассмотрим случаи, когда n = n и n < n.

Теорема 3. Пусть выполнены условия: функции A₁(t), A₂(t) кусочно-

непрерывны; f⁰(x(t),u(t),ϑ,t) и Φ(x, x,ϑ)

непрерывно дифференцируемые

по x, x, x,u,ϑ; краевая задача (2.1), (2.2) имеет единственное решение при

произвольных функциях u(t) ∈ U и параметраx ϑ ∈ V .

Тогда функционал (2.3) дифференцируем по управлению u(t) и парамет-

рам ϑ правых частей нелокальных краевых условий, а градиент функционала

α = n определяется формулами

)_T

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

(3.5)

grad_uJ(u, ϑ) = -A^T2(t)ψ(t) +

∂u

[

]

∑

∂J(u,ϑ)

∂Φ(x, x,ϑ)

(3.6)

+ Δψki(tsi) c_ik +

∂ϑ_k

∂xsi

i=1

k_i

∫t^f

∂Φ(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt, k = 1, 2, . . . , n,

∂ϑ_k

t¹

где вектор-функция ψ(t), непрерывно-дифференцируемая почти всюду на от-

резке [t¹,t^f ] кроме точек tⁱ, t^j, i = 2,3,... ,l₁ - 1, j = 1,2,... ,2l₂, является

решением сопряженной задачи:

)_T

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

(3.7)

ψ(t) = -A^T1(t)ψ(t) +

∂x

(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

α^-1)^T

+ χ[ˆt2j-1,t2j](t)βj

s_i

+ ψki(tsi-) - ψki(t+i)

∂x

j=1

i=1

k_i

(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

qν

(3.8)

ψ_g

b_iν

) = ψgν(tqν- ) +

+ ψki(tsi-) - ψki(t+i)

∂xsi

i=1

k_i

∂Φ(x, x,ϑ)

ν = 1,2,...,l₁n,

∂xg

(3.9)

ψ_i(t^j+) = ψ_i(t^j-) +∂Φ(x,x,ϑ),

i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,2l₂.

∂x^j

Из теоремы 1 можно получить формулы для более простых частных слу-

чаев, когда ранги каких-либо из матриц α_i, i = 1, 2, . . . , l₁, равны n и они

α.

Следствие 1. Если rankα₁ = n, а следовательно, существует α^-11, то

для компонент градиента функционала по ϑ можно получить формулу

[

]

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.10)

grad_ϑJ(u, ϑ) = -(α^-11)^T ψ(t¹) -

∂x¹

∫

∂Φ^T(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt,

∂ϑ

t¹

где сопряженная краевая задача имеет вид

)_T

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

(3.11)

ψ(t) = -A^T1(t)ψ(t) +

∂x

(

)

∑

(

)_T

∂Φ^T(x, x,ϑ)

α^-11

ψ(t¹) -

+ χ[ˆt2j-1,t2j](t)βj(t)

∂x¹

j=1

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.12)

α^Tl(α-11)Tψ(t1) + ψ(tf ) = -

+α^Tl(α-11)T

∂x^l1

∂x¹

(3.13)

ψ(tⁱ⁺) = ψ(t^i-) + α^Ti(α^-11)^Tψ(t¹) +∂ΦT(x,x,ϑ)

∂xⁱ

∂Φ^T(x, x,ϑ)

− αTi (α^-11)^T

i = 2,3,...,l₁ - 1,

∂x¹

(3.14)

ψ(t^j+) = ψ(t^j-) +∂ΦT(x,x,ϑ),

j = 1,2,...,2l₂.

∂x^j

Следствие 2. Если rankαl1 = n, то для компонент градиента функ-

ционала по ϑ имеет место формула

[

]

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.15)

grad_ϑJ(u, ϑ) = -(α^-1l)T ψ(tf ) -

∂x^l1

∫

∂Φ^T(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt,

∂ϑ

t¹

а сопряженная краевая задача имеет вид:

)_T

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

(3.16)

ψ(t) = -A^T1(t)ψ(t) +

∂x

(

)

∑

∂Φ^T(x, x,ϑ)

)^T

-ψ(t^f ) -

χ[t2j-1,t2j](t)βj(t)(α

∂xl1

j=1

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.17)

ψ(t¹) + α^T1(α^-1l)Tψ(tf ) =

- αT1 (α^-1l

)^T

∂x¹

∂x^l1

(3.18)

ψ(tⁱ⁺) = ψ(t^i-) - α^Ti(α^-1)^Tψ(t^f

l₁

∂Φ^T(x, x,ϑ)

- αTi (α^-1l

)^T

i = 2,3,...,l₁ - 1,

∂xⁱ

∂x^l1

(3.19)

ψ(t^j+) = ψ(t^j-) +∂ΦT(x,x,ϑ),

j = 1,2,...,2l₂.

∂x^j

Следствие 3. Если обратима одна из матриц α_s,2 ≤ s ≤ l₁ - 1, то

]

[(

)

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.20)

grad_ϑJ(u, ϑ) = -(α^-1s)^T ψ(t^s-) - ψ(t^s+)

∂x^s

∫

∂Φ^T(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt,

∂ϑ

t¹

а сопряженная краевая задача имеет вид:

)_T

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

(3.21)

ψ(t) = -A^T1(t)ψ(t) +

∂x

(

)

∑

(

)

∂Φ^T(x, x,ϑ)

)^T

ψ(t^s-) - ψ(t^s+)

+ χ[ˆt2j-1,t2j](t)βj(t)(αs1

∂x^s

j=1

(

)

(3.22)

ψ(t¹) = α^T1(α^-1s)^T

ψ(t^s-) - ψ(t^s+)

∂Φ^T(x, x,ϑ)

α^T1(α^-1s)^T

∂x¹

∂x^s

(

)

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.23)

ψ(t^f ) = -α^Tl(α-1s)T

ψ(t^s-) - ψ(t^s+)

∂x^l1

∂Φ^T(x, x,ϑ)

+α^Tl(α-1s)T

∂x^s

(

)

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.24)

ψ(tⁱ

) = ψ(tⁱ⁺) + αTi (α^-1s)^T

ψ(t^s-) - ψ(t^s+)

∂xⁱ

∂Φ^T(x, x,ϑ)

− αTi (α^-1s)^T

i = 2,3,...,l₁ - 1, i = s,

∂x^s

(3.25)

ψ(t^j+) = ψ(t^j-) +∂ΦT(x,x,ϑ),

j = 1,2,...,2l₂.

∂x^j

Теперь рассмотрим случай, когда rankα = n < n.

Теорема 4. Пусть выполнены все условия, приведенные в теореме 3, и

rankα = n < n.

Тогда функционал (2.3) дифференцируем по управлению u(t) и парамет-

рам ϑ правых частей нелокальных краевых условий, градиент функциона-

ла по управлению u(t) определяется формулой (3.5), а по параметрам ϑ =

= (ϑ₁, ϑ₂) следующими формулами:

[

]

∑

∂J(u,ϑ)

∂Φ(x, x,ϑ)

(3.26)

+ Δψki(tsi) c_ik +

(1)

∂xsi

∂ϑ

k_i

i=1

∫

∂Φ(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt, k = 1, 2, . . . , n,

∂ϑ⁽¹⁾

t¹

∂J(u,ϑ)

∂Φ(x, x,ϑ)

(3.27)

= -λ_k +

∂ϑ^(2)k

∂ϑ⁽²⁾

∫t^f

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt, k = 1, 2, . . . , (n - n),

∂ϑ⁽²⁾

t¹

где ψ(t) ∈ Rⁿ, λ ∈ Rⁿ удовлетворяют условиям сопряженной задачи:

)_T

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

(3.28)

ψ(t) = -A^T1(t)ψ(t) +

∂x

∑

- χ[ˆt2j-1,t2j](t)(βj(t))Tλ+

j=1

∑

α^-1)^T ×

j=1

(

))

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

+ ψki(tsi-) - ψki(t+i)

∂xsi

i=1

k_i

(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

qν

(3.29)

ψ_g

b_iν

) = ψgν(tqν- ) +

+ ψki(tsi-) - ψki(t+i)

∂xsi

i=1

k_i

∂Φ(x, x,ϑ)

ν = 1,2,...,(l₁n - n),

∂xg

(3.30)

ψ_i(t^j+) = ψ_i(t^j-) +∂Φ(x,x,ϑ),

i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,2l₂.

∂x^j

Отметим частный случай, когда n = 0. Получение формул для компонент

градиента по ϑ в этом случае упрощается, так как для всех условий (2.2)

будет использован метод Лагранжа, что приведет, конечно, к увеличению

размерности задачи за счет увеличения размера вектора λ до n, т.е. λ ∈ Rⁿ.

Компоненты градиента функционала, пользуясь выкладками, приведенными

в доказательстве теоремы 4 по отношению условий (3.4), можно получить в

виде

∫t^f

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

∂Φ(x, x,ϑ)

(3.31)

grad_ϑJ(u, ϑ) =

dt +

− λ.

∂ϑ

t¹

Формула для grad_uJ(u, ϑ) будет такой же, как в (3.5), а ψ(t) и λ являются

решением сопряженной краевой задачи с 2n условиями

∑

(3.32)

ψ(t) = -A^T1(t)ψ(t) +

λ+

χ[t2j-1,t2j](t)(βj(t))T

j=1

(∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

∂x

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.33)

ψ(t¹) =

+α^T1

λ,

∂x¹

∂Φ^T(x, x,ϑ)

(3.34)

ψ(t^f ) = -

-α^Tλ

l₁

∂x^l1

и у словиями скачка:

(3.35)

ψ(tⁱ⁺) = ψ(t^i-) +∂ΦT(x,x,ϑ)

+ αTi λ, i = 2,3,... ,l₁

− 1,

∂xⁱ

(3.36)

ψ(t^j+) = ψ(t^j-) +∂ΦT(x,x,ϑ),

j = 1,2,...,2l₂.

∂x^j

Формулы (3.32)-(3.36) отличаются от формул, приведенных в теоремах 3

и 4, размерностью параметров и числом условий, участвующих в сопряжен-

ной задаче. В приведенных в теореме 3 формулах для случая rankα = n = n

число краевых условий для сопряженной переменной было равно n, а неиз-

вестных параметров не имелось. В случае n < n в формулах (3.27), (3.28) и

(3.31)-(3.34) участвует (n - n)-мерный вектор множителей Лагранжа λ, для

определения которого имеются еще дополнительные n - n краевых условий,

общее число которых равно 2n - n.

Замечание. Во многих практических задачах в условии (2.2) оптимизи-

руемыми являются не все компоненты вектора ϑ ∈ Rⁿ, а некоторая его часть.

В этом случае из приведенных формул градиента функционала необходимо

использовать те, которые соответствуют оптимизируемым параметрам.

Теперь сформулируем необходимые условия оптимальности в задаче (2.1)-

(2.3).

Теорема 5. Пусть функционал задачи (2.1)-(2.3) дифференцируем, до-

пустимые множество Uкусочно-непрерывных управлений u(t) и множе-

ство V параметров ϑ правых частей краевых условий (2.2) выпуклы. Тогда

выполнение условий

(3.37)

〈grad_uJ(u^∗, ϑ^∗), u(t) - u^∗

(t)〉 ≥ 0,

(3.38)

〈grad_ϑJ(u^∗, ϑ^∗), ϑ - ϑ^∗

〉 ≥ 0,

почти для всех t ∈ [t¹,t^f ] необходимо и достаточно для оптимальности

тройки (u^∗(t),ϑ^∗,x^∗(t)), где grad_uJ(u^∗,ϑ^∗) определяется из формулы (3.5), а

grad_ϑJ(u^∗, ϑ^∗) определяется в зависимости от ранга расширенной матрицы

α = [α₁,α₂,...,αl1] одной из формул (3.6), (3.10), (3.15), (3.20), (3.26), (3.27)

или (3.31).

Используемое в формулах обозначение 〈·, ·〉 означает скалярное произве-

дение в соответствующих пространствах [24].

Доказательство теоремы следует из выпуклости допустимой обла-

сти V и выпуклости и дифференцируемости целевого функционала J(u, ϑ)

(см. [23, 24]).

4. Схема численного решения задачи и

результаты компьютерных экспериментов

Пользуясь полученными формулами для компонент градиента целевого

функционала, для численного решения задачи можно использовать извест-

ные итерационные методы оптимизации первого порядка. В случае если до-

пустимые множества оптимизируемых управлений U и параметров V имеют

простую структуру (параллелепипед, шар и т.п.), то эффективно использо-

вать метод проекции градиента [23, 24]:

[

]

(4.1)

(u(t))^k+1 = P_U (u(t))^k - α grad_uJ(u^k, ϑ^k) ,

[

]

ϑ^k+1 = P_V ϑ^k - α grad_ϑJ(u^k,ϑ^k) ,

(

)

α_k = arg minJ(P_U u^k - αgrad_uJ(u^k,ϑ^k)

α≥0

P_V (ϑ^k - αgrad_ϑJ(u^k,ϑ^k))), k = 0,1,...

Здесь P_U (u) и P_V (ϑ) операторы проектирования управления u(t) и па-

раметра ϑ на допустимые множества соответственно U и V , α_k ≥ 0 шаг

одномерной минимизации.

В случае если допустимое множество V задано в общем виде с помощью

равенств и неравенств

V = {ϑ ∈ Rⁿ : g_i(ϑ) ≤ 0,h_j(ϑ) = 0,i = 1,2,... ,m₁,j = 1,2,...,m₂},

то можно использовать, например, методы штрафных функций [23, 24]. При

этом в приведенных выше формулах несущественно изменятся только вы-

ражения для компонент градиента функционала по ϑ за счет добавления в

функцию Φ(x, x, ϑ) штрафного члена в качестве слагаемого.

В случае отсутствия ограничений на оптимизируемые параметры можно

использовать какие-либо эффективные численные методы безусловной опти-

мизации, например методы сопряженных градиентов [23, 24].

Для численного решения систем дифференциальных уравнений с многото-

чечными условиями как для прямой задачи (2.1), (2.2), так и для сопряжен-

ной задачи при заданных управлении u(t) и векторе параметров ϑ можно

использовать метод сдвига условий, предложенный в публикациях авторов

[8, 9, 14, 25]. Другой подход к численному решению задачи (2.1), (2.2) за-

ключается в том, что сначала введением новых l₂n фазовых переменных и

добавлением к исходной системе (2.1) l₂n дифференциальных уравнений в

граничных условиях интегральные слагаемые заменяются точечными. Да-

лее, полученная задача относительно системы дифференциальных уравне-

ний (l₂ + 1)n-го порядка с (l₁ + 2l₂) промежуточными значениями фазовой

переменной в краевых условиях, в соответствии с методом, предложенным

в [26], за счет увеличения порядка системы дифференциальных уравнений в

(l₁ +2l₂) раз приводится к двухточечной задаче, для решения которой можно

использовать методы прогонки [26, 27]. Размерность полученной задачи по

сравнению с исходной в итоге увеличивается в (l₁ + 2l₂)(l₂ + 1) раз. При этом

соответственно увеличатся порядки вспомогательных задач Коши, используе-

мых в методах прогонки для решения нелокальных краевых задач. Примене-

ние такого подхода для решения задач оптимального управления, учитывая

необходимость многократного решения прямой и сопряженной краевых за-

дач, как было показано в [22], неэффективно.

Возможен частный, но важный случай, когда A₁(t) = const, t ∈ [t¹, t^f ]. То-

гда и фундаментальная матрица Φ(t, τ) = const, t ∈ [t¹, t^f ], и ее одноразовое

вычисление не требует больших вычислительных затрат и она занимает ма-

лый объем памяти в отличие от хранения фундаментальной матрицы неавто-

номной системы. В этом случае использование формулы Коши для решения

краевых задач (2.1), (2.2) при произвольно заданных допустимых управле-

ниях u(t) и параметрах ϑ приводит к одноразовому решению алгебраиче-

ской системы порядка n, получаемой из краевых условий, и задачи Коши с

использованием начального условия, полученного из алгебраической систе-

мы. Поэтому в случае автономных систем, т.е. A₁(t) = const, использование

каких-либо схем метода прогонки при решении задач оптимального управле-

ния, требующих многократного решения краевых задач, неэффективно.

Задача. Приведем результаты численных экспериментов, полученные

при решении задачи оптимального управления, описываемой системой диф-

ференциальных уравнений

{x₁(t) = 2x₁(t)+x₂(t)+u-6cos(8t)-22sin(8t)-4t²+4t+4,

(4.2)

t∈[0,1],

x₂(t) = tx₁(t)+x₂(t)-(24-2t)cos(8t)-3sin(8t)-2t³ +t² -1,

с нелокальными условиями





∫



x₁(0) + x₁(0,5) + x₂(1) + (x₁(t) + 2x₂(t)) dt = ϑ₁,



0,6

(4.3)



∫



(x₁(t) - x₂(t)) dt = ϑ₂.



0,2

Имеются ограничения на оптимизируемые параметры:

-3 ≤ ϑ₁ ≤ 3,

-2 ≤ ϑ₂ ≤ 2,

-5 ≤ u(t) ≤ 5.

Целевой функционал имеет вид

∫1

[

(4.4) J(u, ϑ) =

[x₁(t) + x₂(t) - u(t)]² dt + δ · (ϑ₁ + 0,24)² + (ϑ₂ + 1,17)² +

]

+ (x₂(0,5) + 1,52)² + (x₁(1) + 0,29)² + (x₂(1) - 2,97)2 → min .

Здесь: l₁ = 3, t¹ = t¹ = 0,

t2_=0,5,tf= t3=1,l2 = 2, t1=0,2,

t2_=0,4,

t3=0,6, t4_{=0,8,δ=0,01.}

Сопряженная задача (3.28) имеет вид





ψ₁(t) = -2ψ₁(t) - tψ₂(t) +





+ λχ[0,2, 0,4](t) + ψ₁(0)χ[0,6, 0,8](t) + 2(x₁(t) + x₂(t) - u(t)),

(4.5)



ψ₂(t) = -ψ₁(t) - ψ₂(t) -





- λχ[0,2, 0,4](t) + 2ψ₁(0)χ[0,6, 0,8](t) + 2(x₁(t) + x₂(t) - u(t)).

В условиях (4.3) каждая из матриц

(

)

(

)

(

)

α₁ =

α₂ =

α₃ =

имеет ранг, равный 1. Расширенная матрица

(

)

α=

тоже имеет ранг, равный 1. Это соответствует рассмотренному выше случаю

в теореме 4. Матрицу α составим из первого столбца и первой строки матри-

цы α₁:

(

)

⌢

= (1),

α=

Это значит, что в формулах (3.29), (3.30) индексы (k_i; s_i), i = 1, и (g_ν ; q_ν ),

ν = 1,2,3,4,5, имеют следующие значения:

(k₁; s₁) = (1; 1), (g₁; q₁) = (2; 1), (g₂; q₂) = (1; 2),

(g₃; q₃) = (2; 2), (g₄; q₄) = (1; 3), (g₅; q₅) = (2; 3).

Тогда для матриц B и C имеем:

(

)

α^-1 α =

-1 0 0 -1

α^-1 = (1).

Для элементов векторов^{∂Φ(x,x,ϑ)},i = 1,2,3, имеем:

∂xⁱ

∂Φ(x, x,ϑ)

= 0,

∂x¹

∂xs1k₁

∂Φ(x, x,ϑ)

= 0,

∂xg12

∂x¹

∂Φ(x, x,ϑ)

= 0,

∂xg22

∂x²

∂Φ(x, x,ϑ)

= 2(x₂(0,5) + 1,52),

∂xg33

∂x²

∂Φ(x, x,ϑ)

= 2(x₁(1) + 0,29),

∂xg44

∂x³

∂Φ(x, x,ϑ)

= 2(x₂(1) - 2,97),

∂xg55

∂x³

∂Φ(x, x,ϑ)

= 0, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4.

∂x^j

Тогда условия (3.29) и (3.30)

(

)

∂Φ(x, x,ϑ)

)+b_1ν

ψgν (tqν+ ) = ψgν (tq

+ ψk1(ts1- ) - ψk1(t+1)

∂xs1

k₁

∂Φ(x, x,ϑ)

ν = 1,2,...,5,

∂xg

ψ_i(t^j+) = ψ_i(t^j-) +∂Φ(x,x,ϑ),

i = 1,2, j = 1,2,3,4,

∂x^j

примут вид:





ψ₁(0) + ψ₂(1) = -2(x₂(1) - 2,97),



ψ₂(0) = 0,





ψ₁(1) = -2(x₁(1) + 0,29),

(4.6)



ψ₁(0,5⁺) = ψ₁(0,5^-) + ψ₁(0),



ψ₂(0,5⁺) = ψ₂(0,5^-) + 2(x₂(0,5) + 1,52),



 ψ_i(t^j+) = ψ_i(t^j-), i = 1,2, j = 1,2,3,4.

Компоненты градиента функционала по u(t) согласно формуле (3.5) опре-

деляются в виде

(4.7)

grad_uJ(u, ϑ) = -ψ₁(t) - 2(x₁(t) + x₂

(t) - u(t)).

Компоненты градиента функционала по вектору ϑ согласно

формулам

(3.26), (3.27)

[

]

∂J(u,ϑ)

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψk1(ts1 ) c₁₁ + ∂Φ(x, x,ϑ)

∂ϑ⁽¹⁾¹

∂xs1k₁

∂ϑ⁽¹⁾

∫1

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt,

∂ϑ⁽¹⁾

∫

∂J(u,ϑ)

∂Φ(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

= -λ +

dt,

(2)

∂ϑ⁽²⁾²

∂ϑ

∂ϑ⁽²⁾

определяются так:

∂J(u,ϑ)

(4.8)

= -ψ₁(0) + 2(ϑ₁ + 0,24),

= -λ + 2(ϑ₂

+ 1,17).

∂ϑ₁

∂ϑ₂

Итерационная процедура метода проекции градиента

(4.1) проводи-

лась с точностью по функционалу ε = 10^-5 из разных начальных точек

(u⁽⁰⁾(t), ϑ⁽⁰⁾). Вспомогательные задачи Коши, используемые методом сдвига

условий [8] как для решения прямой (4.2)-(4.3), так и сопряженной (4.5)-(4.6)

задач, решались методом Рунге-Кутты четвертого порядка с различными

шагами h = 0,01, 0,02, 0,05.

Проводилось сравнение значений компонент градиента по параметрам ϑ,

вычисленных при заданном управлении u = u(t) по формуле (4.8) и с исполь-

зованием конечноразностной центральной схемы:

∂J(u,ϑ)

J (u, ϑ + εe_i) - J(u, ϑ - εe_i)

(4.9)

≈

i = 1,2,

∂ϑ_i

2ε

где векторы e₁ = (1; 0), e₂ = (0; 1).

Таблица 1. Значения функционала и нормированных градиентов функционала по

параметру ϑ, вычисленные в разных точках и шагах интегрирования

Значения

Значения нормированных градиентов

Значения

Шаг

№ параметров

функционала

(differ.)

ϑ⁽⁰⁾

grad^{(analyt.)ϑ,norm.}J(u⁽⁰⁾, ϑ⁽⁰⁾) grad

J (u⁽⁰⁾, ϑ⁽⁰⁾)

ϑ,norm.

(-0,125; 1,5) 0,05

(0,07271; 0,99735)

(0,05452; 0,99990)

390,43906819

0,02

(0,07273; 0,99735)

(0,05992; 0,99892)

392,72670193

0,01

(0,07273; 0,99735)

(0,06772; 0,99835)

397,30552111

(-1,5; 2,5)

0,05

(0,04705; 0,99889)

(0,03482; 0,99969)

669,16154749

0,02

(0,04706; 0,99889)

(0,03899; 0,99971)

672,12173718

0,01

(0,04707; 0,99889)

(0,04235; 0,99975)

678,04614524

Таблица 2. Начальные значения управления, фазовых переменных, нормированных

градиентов, вычисленных по предложенным формулам и по формуле (4.9)

u⁽⁰⁾(t) x⁽⁰⁾¹(t)

x⁽⁰⁾²(t)

ψ⁽⁰⁾¹(t)

ψ⁽⁰⁾²(t) grad^{(analyt.)u,norm.}J grad^{(differ.)u,norm.}J

0,00

2,0000

4,5015

-4,9825

-17,6713

0,0000

0,0328

0,0273

0,10

2,0100

4,2276

-3,4452

-14,7732

1,2205

0,0249

0,0193

0,20

2,0400

3,0911

-3,2437

-12,3997

2,0972

0,0243

0,0184

0,30

2,0900

2,1900

-4,8855

-32,9314

29,5948

0,0615

0,0626

0,40

2,1600

2,5457

-7,7654

-51,3018

59,2537

0,0956

0,1016

0,50

2,2500

4,4944

-10,5185

-63,5013

38,6945

0,1158

0,1024

0,60

2,3600

7,4976

-11,8338

-55,3290

39,1857

0,0994

0,0965

0,70

2,4900

10,4889

-11,2326

-50,5133

51,4172

0,0825

0,0817

0,80

2,6400

12,5467

-9,3378

-47,0810

62,2654

0,0665

0,0680

0,90

2,8100

13,4880

-7,4654

-42,9246

61,0030

0,0528

0,0557

1,00

3,0000

14,0259

-6,7815

-39,6537

59,8498

0,0451

0,0479

Таблица 3. Полученные на двадцатой итерации результаты решения задачи

Полученное решение

u⁽²⁰⁾(t)

x⁽²⁰⁾¹(t)

x⁽²⁰⁾²(t)

ψ⁽²⁰⁾¹(t)

ψ⁽²⁰⁾²(t)

0,00

1,00029

0,00007

0,99999

0,00006

0,00000

0,10

2,55535

-0,58653

3,14206

0,00005

-0,00000

0,20

1,98011

-1,97840

3,95871

0,00008

0,00003

0,30

-0,35852

-3,29485

2,93638

0,00011

0,00002

0,40

-3,01165

-3,67667

0,66486

0,00010

-0,00003

0,50

-4,32748

-2,80734

-1,52043

0,00010

-0,00012

0,60

-3,45330

-1,10499

-2,34852

0,00004

-0,00017

0,70

-0,85264

0,53120

-1,38383

0,00003

-0,00018

0,80

1,97589

1,26644

0,70963

0,00006

-0,00015

0,90

3,40763

0,83674

2,57099

0,00009

-0,00011

1,00

2,67746

-0,29100

2,96806

0,00006

-0,00013

В табл. 1 приведены значения функционала J(u, ϑ) и нормированных ком-

понент градиента для разных точек ϑ и шагов интегрирования h, вычислен-

ные по аналитической формуле (4.8) grad^{(analyt.)ϑ,norm.}J(u, ϑ) и разностной схеме

(4.9)

grad^{(differ.)ϑ,norm.}J(u, ϑ), при u(t) = t² + 2.

1,50E-04

1,00E-04

y₁(t)

x₂(t)

5,00E-05

0,00E+00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 t

-5,00E-05

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 t

-1

-1,00E-04

-2

y₂(t)

x₁(t)

-1,50E-04

-3

-4

-2,00E-04

Графики полученных решений прямой (а) и сопряженной (б ) краевых задач.

В табл.

приведены величины эвклидовых норм градиента функ-

ционала grad_uJ(u) в моменты времени t_i = 0,005i, i = 0, 1, . . . , 200, вы-

численные на первой итерации по аналитической формуле (4.7)

grad

u,norm. J = gradu,norm. J(u,ϑ) и разностной схеме (4.9) gradu,norm. J =

= gradu,norm. J(u,ϑ). В этой же таблице приведены результаты решения пря-

мой и сопряженной краевых задач при начальном управлении u⁰(t) = t² + 2.

В табл. 2 и 3 приведены результаты, полученные при решении задачи при

числе разбиений временнóго интервала N = 200.

В табл. 3 приведены результаты, полученные на двадцатой итерации про-

цедуры (4.1). При этом значение функционала в начальной точке ϑ⁽⁰⁾¹ =

= -0,125; ϑ⁽⁰⁾² = 1,5; u⁰(t) = t² + 2 было равно J(u⁽⁰⁾,ϑ⁽⁰⁾) = 397,30552, а зна-

чение λ = -240,1465. На двадцатой итерации было получено значение функ-

ционала J(u⁽²⁰⁾, ϑ⁽²⁰⁾) = 1,4 · 10^-8, а значения параметров были следующими:

ϑ⁽²⁰⁾¹ = -0,2403, ϑ⁽²⁰⁾² = -1,1719, λ⁽²⁰⁾ = 0,0002.

На рисунке приведены графики полученных решений прямой (a) и сопря-

женной (б ) краевых задач.

5. Заключение

В статье исследована линейная задача оптимального управления динами-

ческим объектом, в которой оптимизируемыми кроме управляющих функ-

ций, участвующих в дифференциальных уравнениях, являются значения

правых частей линейных нелокальных краевых условий. Краевые условия

включают в себя в качестве слагаемых значения фазовой переменной в проме-

жуточных точках и интегральные значения фазовой переменной на несколь-

ких интервалах.

Исследованы условия существования и единственности решения краевой

задачи с неразделенными краевыми условиями, выпуклость целевого функ-

ционала задачи. Применением техники методов Лагранжа и условного гра-

диента сформулированы необходимые условия оптимальности.

Полученные результаты могут быть использованы в исследовании за-

дач управления, описываемых нелинейными системами дифференциальных

уравнений с линейными неразделенными краевыми условиями, включающи-

ми точечные и интегральные значения фазовых переменных и оптимизируе-

мые правые части.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы проводится

непосредственной подстановкой формулы Коши относительно системы (2.1)

∫t

(Π.1)

x(t) = F (t, t¹)x¹ + F (t, τ)A₂

(τ)u(τ)dτ

t¹

в условия (2.2). После несложных преобразований и группировки получим

алгебраическую систему относительно x¹ = x(t¹):

(Π.2)

Lx¹

= D,

∫

∑

L = α_iF(tⁱ,t¹) +

β_j(t)F(t,t¹)dt,

i=1

j=1 t2j-1

∫

∑

D = ϑ - α_i F(tⁱ,τ)A₂(τ)u(τ)dτ -

β_j(t) A₂(τ)u(τ)dτdt.

i=1

t¹

j=1 t2j-1

t¹

Известно, что система уравнений (П.2) имеет решение, причем единствен-

ное, если матрица L обратима, т.е. при выполнении условия (3.1). Ясно,

что rankL не зависит от значений вектора D, а следовательно, не зависит

от вектор-функции u(t) и вектора ϑ. А из-за единственности представления

(П.1) для решения задачи Коши относительно системы (2.1) и задача (2.1),

(2.2) имеет решение, причем единственное, при выполнении условия (3.1).

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть (u¹,ϑ¹) и (u²,ϑ²) две пары

произвольных допустимых управления и параметров, а x¹(t) и x²(t) соот-

ветствующие им решения краевой задачи (2.1), (2.2). Тогда

(Π.3)

x¹(t) = A₁(t)x¹(t) + A₂(t)u¹(t), t ∈ [t¹,t^f

∫

∑

(Π.4)

α_ix¹(t_i) +

β_j(t)x¹(t)dt = ϑ¹,

i=1

j=1 t2j-1

(Π.5)

x²(t) = A₁(t)x²(t) + A₂(t)u²(t), t ∈ [t¹,t^f

∫

∑

(Π.6)

α_ix²(t_i) +

β_j(t)x²(t)dt = ϑ².

i=1

j=1 t2j-1

В силу выпуклости допустимых множеств U и V для произвольного σ ∈

∈ [0; 1] имеет место:

(Π.7)

u(t) = σu¹(t) + (1 - σ)u²(t) ∈ U, ϑ = σϑ¹ + (1 - σ)ϑ²

∈ V.

Обозначим x(t) = σx¹(t) + (1 - σ)x²(t).

Умножим обе части (П.3) на σ, а (П.5) на (1- σ), полученные равенства

почленно сложим и сгруппируем:

σ x¹(t) + (1 - σ) x²(t) =

[

]

[

]

= A₁(t)

σx¹(t) + (1 - σ)x²(t)

+ A₂(t)

σu¹(t) + (1 - σ)u²(t)

Отсюда следует, что x(t) удовлетворяет системе дифференциальных уравне-

ний (2.1).

Умножая обе части (П.4) на σ, а (П.6) на (1-σ), складывая полученные

равенства, после группировки получим:

∑

[

]

α_i

σx¹(tⁱ) + (1 - σ)x²(tⁱ)

i=1

∫

∑

[

]

β_j(t)

σx¹(t) + (1 - σ)x²(t)

dt = σϑ¹ + (1 - σ)ϑ².

j=1 t2j-1

Учитывая обозначения (П.7), отсюда следует, что тройка (x(t), u(t), ϑ) удов-

летворяет условиям (2.2).

В силу выпуклости функций f⁰(x(t), u(t), ϑ, t) и Φ(x, x, ϑ) по аргументам

x, x, x,u,ϑ, имеем:

(

)

(Π.8)

J (u, ϑ) = J σu¹(t) + (1 - σ)u²(t), σϑ¹ + (1 - σ)ϑ²

∫t^f

(

)

= f⁰ σx¹(t) + (1 - σ)x²(t),σu¹(t) + (1 - σ)u²(t),σϑ¹ + (1 - σ)ϑ² dt +

t¹

(

)

+ Φ σx¹ + (1 - λσ)x²,σx¹ + (1 - λσ)x²,σϑ¹ + (1 - σ)ϑ²

≤

∫t^f

(

)

∫

(

)

≤ σ f⁰ x¹(t),u¹(t),ϑ¹ dt + (1 - σ) f⁰ x²(t),u²(t),ϑ² dt +

t¹

(

)

(

)

+ σΦ x¹, x¹,ϑ¹

+ (1 - σ)Φ x², x², ϑ²

(

)

(

)

= σJ u¹,ϑ¹

+ (1 - σ)J u², ϑ² .

Отсюда следует выпуклость функционала J(u, ϑ). Ясно, что если одна из

функций Φ(x, x, ϑ), f⁰(x(t), u(t), ϑ, t) будет строго выпуклой, то знак неравен-

ства в (П.8) будет строгим. Следовательно, и функционал задачи (2.1)-(2.3)

будет строго выпуклым. Отсюда следует справедливость утверждения теоре-

мы. Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы

Пусть x(t) ∈ Rⁿ является реше-

нием краевой задачи (2.1), (2.2) при некоторых допустимых управлении

u(t) ∈ U, векторе параметров ϑ ∈ V , а x¹(t) = x(t) + Δx(t) решение задачи

(2.1), (2.2), соответствующее приращенным допустимым управлению u¹(t) =

= u(t) + Δu(t) ∈ U и вектору ϑ¹ = ϑ + Δϑ ∈ V :

(Π.9)

x¹(t) = A₁(t)x¹(t) + A₂(t)u¹(t), t ∈ [t¹,t^f

∫

∑

(Π.10)

α_ix¹(tⁱ) +

β_j(t)x¹(t)dt = ϑ¹.

i=1

j=1 t2j-1

Из (2.1), (2.2) и (П.9), (П.10) следует, что имеет место:

(Π.11)

Δ x(t) = A₁(t)Δx(t) + A₂(t)Δu(t), t ∈ [t¹,t^f

∫

∑

(Π.12)

α_iΔx(tⁱ) +

β_j

(t)Δx(t)dt = Δϑ.

i=1

j=1 t2j-1

Тогда для приращения функционала (2.3) имеем

(Π.13)

ΔJ(u,ϑ) = J(u¹,ϑ¹

) - J(u,ϑ) =

∫t^f

[

]

f⁰(x¹(t),u¹(t),ϑ¹,t) - f⁰(x(t),u(t),ϑ,t) dt + Φ(x¹, x¹,ϑ¹) - Φ(x, x,ϑ) =

t¹

∫t^f

[∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

Δx(t) +

Δu(t) +

∂x

∂u

t¹

]

∂f⁰(x(t), u(t), ϑ, t)

Δϑ dt +

∂ϑ

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

Δx(tⁱ) +

Δx(t^j) +∂Φ(x,x,ϑ)Δϑ + R,

∂xⁱ

∂x^j

∂ϑ

i=1

j=1

(

)

R = o ∥Δx(t)∥_C1,n_[t1_,tf] ,∥Δu(t)∥_Lr

[t¹,t^f ]

,∥Δϑ∥_Rn

Здесь R является остаточным членом. При принятых предположениях на

данные задачи (2.1), (2.2), пользуясь известной техникой [24], можно полу-

чить оценку вида

∥Δx(t)∥_C1,n_[t1_,tf_] ≤ c1 ∥Δu(t)∥_Lr

+ c2 ∥Δϑ∥_Rn ,

[t¹,t^f ]

где положительные c₁, c₂ не зависят от x(t). Отсюда с учетом (П.13) следует

дифференцируемость функционала J(u, ϑ) как по u(t), так и по ϑ.

Объединим и упорядочим множества точек t_i, i = 1, 2, . . . , l₁, и t_j , j =

= 1, 2, . . . , 2l₂, обозначая полученный набор точек через

ts, s = 1, 2, . . .

...,(l₁ + 2l₂).

Перенесем правую часть (П.11) влево, умножим слева скалярно обе ча-

сти полученного равенства на пока произвольную непрерывно дифферен-

цируемую на интервалах (t_i, t_i+1), i = 1, 2, . . . , (l₁ + 2l₂ - 1), n-мерную век-

тор-функцию ψ(t). Интегрируя по частям полученное равенство и используя

обозначения

ψ(tⁱ⁺) = lim

ψ(t_i + ε), ψ(t^i-) = lim

ψ(t_i - ε),

ε→+0

получим:

∫t^f

[

]

0 = ψ^T(t) Δx(t) - A₁(t)Δx(t) - A₂(t)Δu(t) dt =

t¹

∫

∑

[

]

ψ^T(t)Δ x(t) - ψ^T(t)A₁(t)Δx(t) - ψ^T(t)A₂(t)Δu(t)

dt =

i=1

∫t^f

[

]

= ψ^T(t^f)Δx(t^f) - ψ^T(t¹)Δx(t¹) +

- ψ^T(t) - ψ^T(t)A₁(t) Δx(t)dt +

t¹

∫t^f

[

]

∑

[

]_T

− ψ^T(t)A₂(t) Δu(t)dt +

ψ(t^i-) - ψ(tⁱ⁺)

Δx(tⁱ) +

i=2

t¹

∑[

]_T

ψ(t^j-) - ψ(t^j+)

Δx(t^j).

j=1

Прибавив к (П.13) полученное выражение, равное нулю, после несложных

преобразований будем иметь:

∫t^f

[

]

(Π.14)

ΔJ(u,ϑ) =

- ψ^T(t) - ψ^T(t)A₁(t) + ∂f0(x(t),u(t),ϑ,t)

Δx(t)dt +

∂x

t¹

∫t^f

[

]

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

-ψ^T(t)A₂(t) +

Δu(t)dt +

∂u

t¹ 



∫t^f



∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

∂Φ(x, x,ϑ)



dt +

Δϑ +

∂ϑ

t¹



∑

∂Φ(x, x,ϑ)

Δx(tⁱ) +

Δx(t^j) + ψ^T(t^f)Δx(t^f ) -



∂xⁱ

∂x^j

i=1

j=1

∑

[

]_T

- ψ^T(t¹)Δx(t¹) +

ψ(t^i-) - ψ(tⁱ⁺)

Δx(tⁱ) +

i=2



[

]_T



∑

ψ(t^j-) - ψ(t^j+)

Δx(t^j)

+ R.



j=1

Займемся слагаемыми, находящимися внутри фигурной скобки.

В (П.14) используем условия (П.12) для получения зависимости каких-ли-

бо n компонент (nl₁)-мерного вектора

(

)

Δx(t) = Δx = Δx₁(t¹),Δx₂(t¹),... ,Δx_n(t¹),... ,Δx_i(t^j),... ,Δx_n(tl1 ) ,

через остальные n(l₁ - 1) компонент.

Далее для простоты изложения технических деталей совместно с матрич-

ными операциями будем использовать покомпонентные записи формул.

Тогда соотношение (П.12) можно записать в виде:

∫

∑

⌢

x + αΔx +

β_j(t)Δx(t)dt = Δϑ.

j=1 t2j-1

Отсюда, учитывая (3.2), имеем

∫

∑

⌢

(Π.15)

α^-1 αΔx -

⁻¹β_j

(t)Δx(t)dt.

j=1 t2j-1

α^-1 α, (П.15) примет

вид

∫

∑

⌢

(Π.16)

x = CΔϑ + BΔx -

⁻¹β_j

(t)Δx(t)dt

j=1 t2j-1

или в покомпонентной форме:

∑

(Π.17)

xi = Δxk_i(tsi) =

c_ikΔϑ_k + b_iνΔxgν (tqν

k=1

ν=1

∫

∑∑

⌢

⁻¹β^jik(t)Δx_k(t)dt, i = 1,2,... ,n,

1 ≤ g_ν ≤ n.

j=1 k=1 t2j-1

Шестое и седьмое слагаемые в (П.14) запишем так:

∑

ψ^T(t^f )Δx(t^f) =

ψ_j(t^f)Δx_j(t^f ), ψ^T(t¹)Δx(t¹) =

ψ_j(t¹)Δx_j(t¹).

j=1

Объединяя в (П.14) четвертое и восьмое слагаемые и учитывая (П.17),

получим:

[

]

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψ_j(tⁱ) Δx_j(tⁱ) =

∂x

i=1 j=1

[

]

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψki(tsi ) Δx_k

(tsi) +

∂xsi

i=1

k_i

[

]

∑

[∂Φ(x, x,ϑ)

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψgν(tqν ) Δxgν (tqν ) =

s_i

+ Δψki(tsi)

∂xg

∂x

k_i

ν=1

i=1





∫

∑

∑∑



⌢

⁻¹β^jik(t)Δx_k(t)dt +

 cikΔϑk + biν Δxgν (tqν ) -

k=1

ν=1

j=1 k=1ˆ

t^2j-1

]

∑

[∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψgν(tqν ) Δxgν (tqν ).

∂xg

ν=1

Из (П.14) с учетом полученного соотношения имеем:

∫t^f

[

(Π.18)

ΔJ(u,ϑ) =

- ψ^T(t) - ψ^T(t)A₁(t) + ∂f0(x(t),u(t),ϑ,t)

∂x

t¹



(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

∑

+ Δψki(tsi )

α^-1β_j(t) Δx(t)dt +

∂xsi

i=1

k_i

j=1

∫t^f

[

]

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

-ψ^T(t)A₂(t) +

Δu(t)dt +

∂u

t¹



(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψki(tsi) c_ik + ∂Φ(x, x,ϑ) +



∂ϑ_k

∂xsik_i

k=1

i=1



∫t^f



∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

dt Δϑ_k +

∂ϑ_k



t¹

[

(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

b_iν

+ Δψki(tsi)

s_i

∂x

ν=1

i=1

k_i

]

(

)

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψgν(tqν ) Δxgν (tqν ) +

∂xg

[

]

∑∑

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψ_i(t^j) Δx_i(t^j) + R.

∂x

j=1 i=1

В силу произвольности вектор-функции ψ(t) потребуем, чтобы выражения

в первой и в двух последних квадратных скобках (П.18) были равны нулю.

Из первого требования получим сопряженную систему дифференциальных

уравнений (3.7), а из других двух требований получим выражения:

[

]

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

b_iν

+ Δψki(tsi )

∂xsi

i=1

k_i

[

]

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψgν(tqν )

= 0, ν = 1, 2, . . . , l₁n,

∂xg

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψ_i(t^j) = 0, i = 1,2,... ,n, j = 1,2,... ,2l₂.

∂x^j

Отсюда следуют условия (3.8), (3.9).

Тогда искомые компоненты градиента функционала по u(t) и ϑ будут опре-

деляться из (П.18) как линейные части приращения функционала при Δu(t)

и Δϑ формулами (3.5), (3.6).

Таким образом, теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Займемся условиями оптимальности

пары (u, ϑ) при замененных условиях (2.2) на условия (3.3), (3.4). В отличие

от приведенных выше выкладок для случая n = n, далее для учета усло-

вий (3.4) будет использован метод Лагранжа и введен (n - n)-мерный допол-

нительный вектор параметров множителей Лагранжа.

Снова, используя метод приращения оптимизируемых параметров (u, ϑ),

для приращения функционала получим формулу (П.6). Условие (3.4) в при-

ращениях примет вид

∫

∑

(Π.19)

β^2j(t)Δx(t)dt = Δϑ⁽²⁾.

j=1 t2j-1

Перенесем все члены в (П.19) влево, умножим полученное выражение на

пока произвольный вектор λ ∈ R^n-n и прибавим к (П.14). Для приращения

функционала получим:



∫t^f

(Π.20)

ΔJ(u,ϑ) =

-ψ˙T_(t)-ψT(t)A1(t) +∂f0(x(t),u(t),ϑ,t)

∂x

t¹



∑

- λ^T χ[ˆt2j-1,t2j](t)βj(t)Δx(t)dt +

j=1

∫t^f

[

]

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

-ψ^T(t)A₂(t) +

Δu(t)dt +

∂u

t¹



∫t^f



∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

∂Φ(x, x,ϑ)



dt +

Δϑ⁽¹⁾ +

∂ϑ⁽¹⁾

t¹





∫t^f



∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

∂Φ(x, x,ϑ)



dt +

- λ^T Δϑ⁽²⁾ +

∂ϑ⁽²⁾

t¹



∑

∂Φ(x, x,ϑ)

Δx(tⁱ) +

Δx(t^j) + ψ^T(t^f )Δx(t^f ) -

+

∂xⁱ

∂x^j

i=1

j=1

∑

[

]_T

- ψ^T(t¹)Δx(t¹) +

ψ(t^i-) - ψ(tⁱ⁺)

Δx(tⁱ) +

i=2



∑[

]_T



ψ(t^j-) - ψ(t^j+)

Δx(t^j)

+ R.



j=1

Займемся слагаемыми, находящимися внутри фигурных скобок, учиты-

вая, что ранг расширенной матрицы α = [α₁, α₂, . . . , αl1 ] в условиях (3.3) ра-

вен n. Из выражения в приращениях

∫

∑

α_iΔx(tⁱ) +

β^1j(t)Δx(t)dt = Δϑ⁽¹⁾,

i=1

j=1 t2j-1

полученного из (3.3), выразим какие-либо n компонент nl₁-мерного вектора

Δx(t) через остальные nl₁ - n компонент. Как это было сделано выше, вы-

α размера n × n. Пусть

оставшиеся nl₁ - n столбцов матрицы α образуют матрицу α. Соответствую-

x(t), оставшиеся

элементы образуют вектор Δx(t). Тогда имеем:

∫

∑

α^-1

β^1j(t)Δx(t)dt,

j=1 t2j-1

∫

∑

⌢

x = CΔϑ + BΔx -

⁻¹β^(1)j(t)Δx(t)dt

j=1 t2j-1

или в покомпонентной форме:

∑

(Π.21)

x_i = Δxki(tsi) =

c_ikΔϑ_k +

b_iνΔxgν (tqν

k=1

ν=1

∫

∑∑

⌢

⁻¹β^(1)jik(t)Δx_k(t)dt, i = 1,2,... , n,

1 ≤ g_ν ≤ n.

j=1 k=1 t2j-1

Учитывая (П.21), в (П.20) получим:



∫t^f

(Π.22)

ΔJ(u,ϑ) =

-ψ˙T_(t)-ψT(t)A1(t) +∂f0(x(t),u(t),ϑ,t)

∂x

t¹

∑

- λ^T χ[ˆt2j-1,t2j](t)βj(t) +

j=1

(

))

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

))^T

+ (ψki (tsi-) - ψki (t+i

∂xsi

i=1

k_i



∑

α^-1β^1j(t) Δx(t)dt +

j=1

∫t^f

[

]

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)

-ψ^T(t)A₂(t) +

Δu(t)dt +

∂u

t¹



[

]

∑



∂Φ(x, x,ϑ)



+ Δψki(tsi) c_ik +

∂xsi

k=1

i=1

k_i



∫

∂Φ(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)



dt Δϑ(

∂ϑ⁽¹⁾

t¹





∫

∑



∂Φ(x, x,ϑ)

∂f⁰(x(t),u(t),ϑ,t)



-λk +

dt Δϑ(

(2)

∂ϑ

k=1

t¹

[

(

)

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

b_iν

s_i

+ Δψki(tsi)

∂x

ν=1

i=1

k_i

(

)]

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψgν(tqν ) Δxgν (tqν ) +

∂xg

[

]

∑∑

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψ_i(t^j) Δx_i(t^j) + R.

∂x

j=1 i=1

В силу произвольности вектор-функции ψ(t) и вектора λ потребуем от

них, чтобы выражение в первой квадратной скобке (П.22) было равно нулю,

откуда получим сопряженное дифференциальное уравнение (3.28). А в силу

произвольности компонент остаточного вектора Δx(t) и приращений Δx(tⁱ),

j = 1,2,...,2l₂, потребуем, чтобы выражения в двух последних квадратных

скобках (П.22) были равны нулю:

[

]

[

]

∑

∂Φ(x, x,ϑ)

b_iν

+ Δψki(tsi) +

+ Δψgν(tqν )

= 0,

∂xsi

∂xg

k_i

i=1

ν = 1,2,...,(l₁n - n),

∂Φ(x, x,ϑ)

+ Δψ_i(t^j) = 0, i = 1,2,... ,n, j = 1,2,... ,2l₂.

∂x^j

Отсюда получим краевые условия (3.29)-(3.30) для сопряженного уравнения

(3.28).

Из (П.22) ясно, что формула для градиента функционала по u(t) будет

такой же, как в (3.5), а компоненты градиента по ϑ определяются формулами

(3.26), (3.27). Таким образом, теорема 4 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nicoletti О. Sulle condizioni iniziali che determiniano gli integrali della diffenziali

ordinazie. Atti della R. Acc. Sc. Torino, 1897.

2. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференци-

альных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград,

1917.

3. De la Vallee-Poussin, Ch.J. Sur l’équation différentielle linéare du second ordre.

Détermination d’une integrale par deux valeurs assignées. Extension aux équations

d’orde n // J. Math. Pures Appl. 1929. V. 8. No. 9.

4. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных

уравнений // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Нов. дости-

жения. 1987. Т. 30. С. 3-103.

Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с на-

груженными уравнениями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 21. № 1. С. 92-101.

Dzhumabaev D.S., Imanchiev A.E. The Correct Solvability of a Linear Multipoint

Boundary Value Problem // Math. J. 2005. V. 5. No. 15. P. 30-38.

Асанова А.Т., Иманчиев А.Е., Кадирбаева Ж.М. О разрешимости нелокальной

задачи для системы дифференциальных уравнений соболевского типа с много-

точечным условием // Изв. вузов. Матем. 2019. № 12. C. 3-15.

Aida-zade K.R., Abdullaev V.M. On the Solution of Boundary Value Problems with

Nonseparated Multipoint and Integral Conditions // Diff. Equations. 2013. V. 49.

No. 9. P. 1114-1125.

Abdullaev V.M., Aida-zade K.R. Numerical Method of Solution to Loaded Nonlocal

Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations // Comput. Math.

Math. Phys. 2014. V. 54. No. 7. P. 1096-1109.

10.

Assanova A.T. Solvability of a Nonlocal Problem for a Hyperbolic Equation with

Integral Conditions // Electr. J. Differ. Equat. 2017. V. 170. P. 1-12.

11.

Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. Об одном подходе к синтезу управления про-

цессами с распределенными параметрами // АиТ. 2012. Т. 73. № 9. С. 3-19.

Aida-zade K.R., Abdullaev V.M. On an Approach to Designing Control of the

Distributed-Parameter Processes // Autom. Remote Control. 2012. V. 73. No. 9.

P. 1443-1455.

12.

Айда-заде К.Р., Абдуллаев В.М. Оптимизация размещения точек контроля при

синтезе управления процессом нагрева // АиТ. 2017. Т. 78. № 9. С. 49-66.

Aida-zade K.R., Abdullayev V.M. Optimizing Placement of the Control Points at

Synthesis of the Heating Process Control // Autom. Remote Control. 2017. V. 78.

No. 9. P. 1585-1599.

13.

Айда-заде К.Р., Гашимов В.А. Оптимизация размещения точек контроля в од-

ной задаче синтеза граничного управления процессом нагрева стержня // АиТ.

2018. Т. 79. № 9. С. 122-142.

Aida-zade K.R., Hashimov V.A. Optimization of Measurement Points Positioning in

a Border Control Synthesis Problem for the Process of Heating a Rod // Autom.

Remote Control. 2018. V. 79. P. 1643-1660.

14.

Mardanov M.J., Sharifov Y.A., Zeynalli F.M. Existence and Uniqueness of the Solu-

tions to Impulsive Nonlinear Integro-Differential Equations with Nonlocal Boundary

Conditions // Proc. Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of

Sciences of Azerbaijan. 2019. V. 45. No. 2. P. 222-232.

15.

Sharifov Y.A., Mammadova N.B. Optimal Control Problem Described by Impul-

sive Differential Equations with Nonlocal Boundary Conditions // Differ. Equations.

2014. V. 50. No. 3. P. 403-411.

16.

Devadze D., Beridze V. Optimality Conditions and Solution Algorithms of Opti-

mal Control Problems for Nonlocal Boundary-Value Problems // J. Math Sci. 2016.

V. 218. P. 731-736.

17.

Зубова С.П., Раецкая Е.В. Алгоритм решения линейных многоточечных задач

управления методом каскадной декомпозиции // АиТ. 2017. Т. 78. № 7. С. 22-38.

Zubova S.P., Raetskaya E.V. Algorithm to solve linear multipoint problems of control

by the method of cascade decomposition // Autom. Remote Control. 2017. V. 78.

No. 7. P. 1189-1202.

18.

Дмитрук А.В., Каганович А.М. Принцип максимума для задач оптимального

управления с промежуточными ограничениями // В сб. “Нелинейная динамика

и управление”. М: Физматлит, 2008. Вып. 6. С. 101-136.

19. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир,

1972.

20. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условия-

ми // Прикл. матем. механика. 1981. Т. 45. Вып. 2. C. 215-222.

21. Васильева О.О., Мизуками К. Динамические процессы, описываемые краевой

задачей: необходимые условия оптимальности и методы решения // Изв. РАН.

Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 95-100.

22. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. Подход к численному решению задач опти-

мального управления нагруженными дифференциальными уравнениями с нело-

кальными условиями // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 5.

С. 739-751.

23. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Ленанд, 2019.

24. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002. C. 824.

25. Aida-zade K.R., Abdullayev V.M. Solution to a Class of Inverse Problems for System

of Loaded Ordinary Differential Equations with Integral Conditions // J. Inverse Ill-

Posed Probl. 2016. V. 24. No. 5. P. 543-558.

26. Moszynski K. A Method of Solving the Boundary Value Problem for a System of

Linear Ordinary Differential Equation // Algorytmy. Varshava. 1964. V.11. № 3.

P. 25-43.

27. Абрамов А.А. Вариант метода прогонки // Журн. вычисл. матем. и математ.

физ. 1961. Т. 1. № 2. С. 349-352.

Статья представлена к публикации членом редколлегии М.М. Хрусталевым.

Поступила в редакцию 19.07.2020

После доработки 28.09.2020

Принята к публикации 28.10.2020