Автоматика и телемеханика, № 3, 2021

(Филиал МГУ им. М.В. Ломоносова в г. Севастополе)

D-РАЗБИЕНИЕ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОЧЛЕНА ОТ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ

Предложен метод построения областей устойчивости многочлена, ко-

эффициенты которого полиномиальным образом зависят от двух веще-

ственных параметров. Метод основан на аппроксимации областей D-раз-

биения множеством прямоугольников, на каждом из которых многочлен

имеет одно и то же число нулей в левой полуплоскости.

Ключевые слова: многочлен, устойчивость, D-разбиение, полиномиаль-

ная зависимость.

DOI: 10.31857/S0005231021030028

1. Введение

Одной из задач теории автоматического управления является построение

областей устойчивости многочлена

∑

(1)

a (s, α, β) =

a_k (α,β) s^k,

k=0

коэффициенты которого a_k (α, β) (k = 0, . . . , n) есть функции двух парамет-

ров α и β, определенные на множестве Λ ⊆ R². Решение этой задачи за-

ключается в определении множества устойчивости Λ_s, такого что Λ_s ⊆ Λ и

((α, β) ∈ Λ_s) ⇔ ((a (s, α, β) = 0) ⇒ (Re (s) < 0)).

В случае произвольных функций a_k (α, β) (k = 0, . . . , n) единствен-

ным средством решения поставленной задачи является метод перебора

[1, с. 107-108; 2, с. 136-137]. Метод перебора заключается в том, что вводится

сетка Λ_c, такая что Λ_c ⊆ Λ и множество Λ_c конечно. В каждом узле сетки

(α, β) ∈ Λ_c устойчивость многочлена (1) проверяется с помощью существую-

щих критериев устойчивости, чаще всего с помощью критериев Рауса или

Гурвица. В результате проверки множество Λ_c разбивается на два подмноже-

ства Λ_c = Λ_cs

⋃Λ_cu, где множество Λ_cs состоит из параметров (α,β) устойчи-

вого многочлена, а множество Λ_cu состоит из параметров (α, β) неустойчивого

многочлена. В качестве искомого множества Λ_s принимают множество Λ_cs.

Недостаток метода перебора заключается в том, что Λ_c есть множество ме-

ры нуль и вопрос об устойчивости многочлена (1) в точках множества Λ\Λ_c

остается открытым.

В частных случаях функций a_k (α, β) (k = 0, . . . , n) задача определения

множества устойчивости Λ_s решается аналитически или методом D-разбие-

ния. Для возможности решения задачи аналитическим методом зависимо-

сти a_k (α, β) (k = 0, . . . , n) должны быть настолько простыми, чтобы усло-

вия известных критериев устойчивости определяли граничные точки мно-

жества Λ_s в виде известных кривых, например алгебраических кривых вто-

рого порядка. Наиболее известными такими кривыми являются диаграммы

Вышнеградского. Примеры других кривых приведены в [3, с. 295; 4, с. 406].

Недостаток аналитических методов заключается в узости класса решаемых

задач.

Метод D-разбиения обычно используется для линейных зависимостей

a_k (α,β) = a_k,1α + a_k,2β + a_k,0 (a_k,0,a_k,1, ak,2 ∈ R) (k = 0,... ,n). Обзор со-

временного состояния метода D-разбиения и библиография представлены

в [5]. В случае линейных зависимостей a_k (α, β) может быть найдено пара-

метрическое представление α = α(ω), β = β (ω), ω ∈ [0, +∞), определяющее

множество Γ граничных точек подмножеств множества Λ, все точки (α, β)

каждого из которых соответствуют одному и тому же числу нулей много-

члена (1) в левой полуплоскости. Искомое множество Λ_s есть объединение

найденных подмножеств, для которых число нулей многочлена (1) в левой

полуплоскости равно n (с учетом кратности нулей). Первый недостаток ме-

тода D-разбиения заключается в том, что параметрическое представление

α = α(ω), β = β (ω) найдено только для линейной зависимости коэффициен-

тов многочлена (1) от параметров α и β. Для полиномиальной зависимости

в [6] предложено использовать методы алгебраической геометрии, позволяю-

щие получить в явном виде уравнение кривой D-разбиения и построить на-

бор точек из каждой связной компоненты D-разбиения. Второй недостаток

заключается в том, что функции α(ω) и β (ω) непрерывного аргумента ω ∈

∈ [0, +∞) заменяют сеточными функциями α(ω_q) и β (ω_q) соответственно

(0 ≤ ω₀ < ω₁ < · · · < ω_Q = ω_max). Таким образом, задача построения гранич-

ных точек Γ_s искомого множества Λ_s решается методом перебора, недостаток

которого отмечен выше.

В статье предлагается метод, который в отличие от известных методов

позволяет с заданной точностью ε определить множество устойчивости Λ_s

для полиномиальной зависимости коэффициентов многочлена (1) от двух

параметров и при этом не требует замены бесконечных множеств сеточными.

В предлагаемом методе использована идея метода D-разбиения о построении

множеств, соответствующих одному и тому же числу нулей многочлена (1)

в левой полуплоскости. Построение этих областей в предлагаемом методе

принципиально отличается от метода D-разбиения, так как не требует полу-

чения параметрической зависимости α = α(ω), β = β (ω) и не требует замены

бесконечного множества [0, +∞) сеточным.

2. Постановка задачи

Обозначим p(α^′, α^′′, β^′, β^′′) = {(α, β)|(α, β) ∈ [α^′; α^′′] × [β^′; β^′′]; α^′, α^′′, β^′, β^′′ ∈

∈ Λ; α^′ < α^′′; β^′ < β^′′} прямоугольник со сторонами, параллельными осям

координат, являющийся подмножеством множества Λ.

Рассматривается многочлен (1), коэффициенты которого зависят от пара-

метров α и β полиномиальным образом

n_α,k

n_β,k

∑

(2)

a_k (α,β) =

a_kµνα^µβ^ν

(k = 0,... ,n)

µ=0 ν=0

на прямоугольнике Λ = p(α_min; α_max; β_min; β_max).

Решается задача определения множества устойчивости Λ_s.

Обозначим

(

)

p_s

α^′,α^′′,β^′,β^′′

{

(

))

(

)}

= (α, β) |

(α, β) ∈ p

α^′,α^′′,β^′,β^′′

∧

(a (s, α, β) = 0) ⇒ (Re (s) < 0)

прямоугольник на множестве Λ, в каждой точке которого многочлен (1)

упорядоченное множество прямоугольников

⋃

p_s (α^′,α^′′,β^′,β^′′). Предлагается строить множество Λ_r =

p так, чтобы

p∈Ps

при заданной точности ε построения множества устойчивости Λ_s выполня-

лось неравенство

(3)

ρ (Λ_r, Λ_s

) ≤ ε,

где ρ есть характеристика близости множеств Λ_r и Λ_s. За решение задачи Λ_s

предлагается принять множество Λ_r, которое является подмножеством Λ_s

и в смысле характеристики (3) отличается от Λ_s на величину, не превосхо-

дящую ε. По сути, речь идет о вписывании в множество устойчивости Λ_s

прямоугольников p_s,q (q = 1, . . . , Q_s), на каждом из которых многочлен (1)

устойчив.

Таким образом, решение задачи заключается в определении характеристи-

ки ρ, разработке способа ее вычисления и способа построения прямоугольни-

ков p_s,q (q = 1, . . . , Q_s).

3. Теоретическая часть

Предлагаемый метод определения множества устойчивости Λ_s основан на

построении множества прямоугольников P = {p_q}^Qq=1, такого что:

⋃

1) множество значений параметров Λ =_p∈P p;

2) пересечение каждой пары прямоугольников из множества P есть либо

пустое множество, либо одноточечное множество, либо отрезок;

, на каждом элемен-

те которого выполняются достаточные условия непрерывности и отсутствия

нулей вещественных частей всех нулей многочлена (1);

= P\P_a имеет

√

диаметр d_p = (α^′′ - α^′)² + (β^′′ - β^′)², не превосходящий заданного значе-

ния d_max.

Достаточные условия непрерывности вещественных частей нулей много-

члена (1) на прямоугольнике p дает теорема 1.

Теорема 1. Вещественные части всех нулей многочлена (1) непрерыв-

ны на прямоугольнике p, если каждая из точек (α,β) ∈ p не является реше-

нием уравнения

(4)

a_n

(α, β) = 0.

Доказательство теоремы 1 дано в Приложении.

Достаточные условия отсутствия нулей вещественных частей нулей мно-

гочлена (1) на прямоугольнике p дает теорема 2.

Теорема 2. Вещественные части всех нулей многочлена (1) не обра-

щаются в нуль на прямоугольнике p, если каждая из точек (α, β) ∈ p не

является решением уравнения (4) и совокупности

[

Δ_n-1 (α,β) = 0;

(5)

a₀ (α,β) = 0,

где Δ_n-1 (α, β) есть (n - 1)-й определитель Гурвица.

Доказательство теоремы 2 дано в Приложении.

Следствие. Из теорем 1 и 2 непосредственно следует, что прямо-

угольник p ∈ P_a, если каждая из точек (α, β) ∈ p не является решением

ни одного из уравнений (4), (5).

Левая часть каждого из уравнений (4), (5) есть многочлен вида



m_β



∑∑

 d(α,β) =

d_µν(α,β);

(6)

µ=0 ν=0



 d_µν (α,β) = b_µνα^µβ^ν (b_µν ∈ R; µ= 0,...,m_α; ν= 0,...,m_β).

Достаточные условия отсутствия нулей многочлена (6) на прямоугольнике p

дает теорема 3.

Теорема 3. Многочлен

(6) не имеет нулей на прямоугольнике

p (α^′, α^′′, β^′, β^′′), если выполняется условие





p (α^′, α^′′, β^′, β^′′) ∈ P_m;







∑





d^′µν > 0;



(7)



µ=0 ν=0





m_β



∑∑







d^′′µν < 0,



µ=0 ν=0

где P_m

множество прямоугольников, на каждом из которых каж-

дое слагаемое d_µν(α,β) (µ = 0,... ,m_α; ν = 0,... ,m_β) является монотон-

ной функцией по каждому аргументу, d^′µν = min_1≤k≤4 d_µν(v_k), d^′′µν =

= max_1≤k≤4 d_µν(v_k), v₁ = (α^′,β^′′), v₂ = (α^′′,β^′′), v₃ = (α^′′,β^′), v₄ = (α^′,β^′).

Доказательство теоремы 3 дано в Приложении.

Для построения множеств P_a и P_b будем рассматривать следующие пре-

образования.

Деление прямоугольника p (α^′, α^′′, β^′, β^′′) на два прямоугольника:



{

}

d_α(p, λ): p → p^′α = p (α^′, λ, β^′, β^′′) ; p^′′α = p (λ, α^′′, β^′, β^′′) , λ∈(α′,α′′);

(8)

{

}

d_β (p, λ): p → p^′β = p (α^′, α^′′, β^′, λ) ; p^′′β = p (α^′, α^′′, λ, β^′′) , λ∈(β′,β′′).

(

)

Деление k-го прямоугольника множества P = {p_q = p

α^′q,α^′′q,β^′q,β^′′q

}^Q

на

q=1

два прямоугольника:



{

}



D_α (P,λ,k): p = p_k; d_α (p,λ) = p^′α, p^′′

;



{

}



P → (P\{pk}) ∪ pk = p′α; pQ+1 = p′′

;

λ ∈ (α^′,α^′′);

(9)

{

}



Dβ (P,λ,k): p = pk; dβ (p,λ) = p′β, p′′

;



{

}

P → (P\{p_k}) ∪ p_k = p^′β; p_Q+1 = p^′′

;

λ ∈ (β^′,β^′′).

(

)

Деление k-го прямоугольника множества P = {p_q = p

α^′q,α^′′q,β^′q,β^′′q

по

q=1

стороне с наибольшей длиной на два равновеликих прямоугольника:



(

)

Dα P,(α^′k + α^′′k)/2,k , если α^′′k - α^′k ≥ β^′′k - β^′k;

(10)

D (P,k) =

(

)



D_β P,(β^′k + β^′′k)/2,k , если α′′k - α′k < β′′k - β′k.

Перемещение k-го прямоугольника множества P = {p_q}^Qq=1 в множеств

P =

={p_q}

q=1

(

)

M P

P,k

:p=p_k;

)

(11)

( P)(P\{pk^};pq^=pq+1^{(q=k,...,Q-1)}

{

}

→

P ∪

p_˜Q+1 = p

На основании теорем 1-3 и преобразований (8)-(11) предлагается алго-

ритм построения множеств P_a и P_b:

1. Положим P_a = ∅, P_b = {Λ}, q = 0.

2. Преобразуем множество P_b так, чтобы выполнялось включение P_b ⊆

⊆ P_m. С этой целью последовательно находим: P_b = Dα (P_b,0,1), если α_min <

0 < α_max; P_b = D_β (P_b,0,1), если β_min < 0 < β_max; P_b = D_β (P_b,0,2), если

α_min < 0 < α_max и β_min < 0 < β_max.

3. Положим q := q + 1.

4. Если q > Q_b, заканчиваем выполнение алгоритма.

5. Если на прямоугольнике p_b,q для каждого из уравнений (4), (5) тео-

рем 1 и 2 выполняются условия теоремы 3, то с помощью преобразования (11)

M (P_b, P_a, q) перемещаем прямоугольник p_b,q из множества P_b в множество P_a

и переходим к п. 4.

6. Если d_p,q ≤ d_max, то переходим к п. 3.

7. С помощью преобразования (10) D(P_b, q) производим деление прямо-

угольника p_b,q по стороне с наибольшей длиной на два равновеликих прямо-

угольника и переходим к п. 5.

По построению на каждом прямоугольнике p_a ∈ P_a выполняются условия

теоремы 4.

Теорема 4. Если вещественные части ReS (α,β) всех нулей многочле-

на (1) при полиномиальной зависимости (2) непрерывны и не обращаются

в нуль на прямоугольнике p(α^′,α^′′,β^′,β^′′), то на этом прямоугольнике все

вещественные части ReS (α, β) сохраняют знак.

Доказательство теоремы 4 дано в Приложении.

По теореме 4 во всех точках (α, β) ∈ p_a многочлен (1) имеет одно и то же

число нулей в левой полуплоскости. Проверяя устойчивость многочлена (1) в

одной из точек каждого прямоугольника p_a ∈ P_a, представим множество P_a

в виде P_a = P_r ∪ P_u, где P_r есть множество устойчивых прямоугольников, P_u

есть множество неустойчивых прямоугольников.

Точку (α_g, β_g) будем называть граничной, если она является решением

хотя бы одного из уравнений (4), (5). Граничные точки D-разбиения образу-

ют подмножество множества граничных точек (α_g,β_g). Достаточное условие

принадлежности граничной точки (α_g, β_g) прямоугольнику p (α^′, α^′′, β^′, β^′′)

дает теорема 5.

Теорема 5. Прямоугольник p(α^′,α^′′,β^′,β^′′) содержит граничную точку

(α_g, β_g), если хотя бы один из многочленов уравнений (4), (5) принимает в

точках v₁ = (α^′,β^′′), v₂ = (α^′′,β^′′), v₃ = (α^′′,β^′), v₄ = (α^′,β^′) значения разных

знаков.

Доказательство теоремы 5 дано в Приложении.

Множество P_b представим в виде P_b = P_g ∪ P_x, где P_g есть множество пря-

моугольников, для которых выполняются условия теоремы 5, P_x есть мно-

жество прямоугольников, для которых не выполняются условия теоремы 5.

Множество P_g примем в качестве граничного.

Таким образом множество Λ можно представить в виде Λ = Λ_r ∪ Λ_u ∪ Λ_g ∪⋃

∪Λ_x, где Λ_r =p∈Pr p есть объединение устойчивых прямоугольников, Λ_u =

⋃

p есть объединение неустойчивых прямоугольников, Λ_g =

= p∈Pu

p∈Pg

есть объединение прямоугольников диаметра не более d_max, содержащих по⋃

крайней мере одну граничную точку, Λ_x =

p есть объединение прямо-

p∈Px

угольников диаметра не более d_max, для которых не выполняются условия

принадлежности к одному из множеств P_r, P_u, P_g.

Для искомого множества устойчивости Λ_s справедливы включения

{ Λ_r ⊆Λ_s;

(12)

Λ_s ⊆ Λ_r ∪ Λ_g ∪ Λ_x.

Как было отмечено выше, за область устойчивости будем принимать Λ_r.

Из (12) следует, что Λ_r отличается от Λ_s не более чем на Λ_g ∪ Λ_x. Поэтому

за критерий близости множеств Λ_r и Λ_s предлагается принять

{S(Λg) + S (Λx), если Λr = ∅;

(13)

ρ (Λ_r, Λ_s) =

(S(Λ_g) + S (Λ_x))/S (Λ_r) , если Λ_r = ∅,

где S(Ω) есть площадь множества Ω. Все площади множеств (13) легко вы-

числяются, так как каждое из множеств есть объединение прямоугольников.

Следующая теорема гарантирует, что для любой точки устойчивости

(α₀, β₀) ∈ Λ многочлена a (s, α, β) существует такое d_max, что эта точка будет

накрыта устойчивым прямоугольником p₀ ∈ P_r.

Теорема 6. Если многочлен a(s,α,β) устойчив в точке (α₀,β₀) ∈ Λ, то

существует такое положительное вещественное число d, что для любо-

го d_max ∈ (0; d) существует устойчивый прямоугольник p₀ ∈ P_r, такой что

(α₀, β₀) ∈ p₀.

Доказательство теоремы 6 дано в Приложении.

Объем вычислений предложенного метода определяется числом ариф-

метических операций v₁ и v₂, необходимых для построения соответственно

многочлена Δ_n-1 (α, β) и множества прямоугольников P = P_a ∪ P_b. Значе-

ние v₁ возрастает при увеличении степеней многочленов a (s, α, β), a_k (α, β)

(k = 0, . . . , n) и( за(вис)ит от способа вычисления) определителя(Δn)-1 (α, β).

Значение v₂ =

n³

+ O (n₁) + O (n₂) + O (n₃)

· O(Q), где O

n³

чис-

ло арифметических операций, необходимых для построения таблицы Рауса,

O (n₁), O (n₂), O (n₃) число арифметических операций, необходимых для

проверки выполнения условий (7) для многочленов соответственно уравнений

(4) и (5), n степень многочлена a (s, α, β); n₁, n₂, n₃ число слагаемых мно-

гочленов левых частей соответственно уравнений (4) и (5); O (·) символ “О -

большое” [7, с. 164]; Q число элементов множества P . Значение v₂ возрас-

тает при увеличении степеней многочленов a (s, α, β), a_k (α, β) (k = 0, . . . , n).

Значение Q возрастает при увеличении сложности границы D-разбиения и

уменьшении d_max. Сложность границы D-разбиения определяется степеня-

ми и коэффициентами многочленов уравнений (4) и (5), причем, как по-

казывают примеры 1-3, доминирующей может быть зависимость от коэф-

фициентов. Значение d_max выбирается путем последовательного уменьшения

до достижения заданной точности аппроксимации множества устойчивости

Λ_s множеством прямоугольников Λ_r. При уменьшении d_max сохраняются все

устойчивые прямоугольники, найденные ранее. Величина ρ (Λ_r, Λ_s) есть верх-

няя оценка возможного увеличения площади множества устойчивых прямо-

угольников при дальнейшем уменьшении d_max. Пример 1 иллюстрирует воз-

можность применения предложенного метода с использованием ПЭВМ при

достаточно высоких степенях многочленов a (s, α, β), a_k (α, β) (k = 0, . . . , n).

В примере 1 при d_max = 10^-3 площадь множества устойчивых прямоуголь-

ников при дальнейшем уменьшении d_max может увеличиться не более чем на

61,8 %, а при d_max = 10^-4 может увеличиться не более чем на 3,38 %.

Вычислительные алгоритмы предложенного метода допускают параллель-

ные вычисления, что может быть использовано для снижения времени реше-

ния задачи построения областей устойчивости.

4. Результаты численного эксперимента

Предложенный метод построения областей устойчивости реализован в ви-

де прикладной компьютерной программы в среде разработки Embarcadero

RAD Studio. С помощью разработанной программы решены задачи построе-

ния областей устойчивости различного уровня сложности. На рис. 2, 4 и 6

множество Λ_r выделено белым цветом, множество Λ_u выделено оттенками

+ 13,6791β - 7,91957αβ)s + (503,974 + 9,2091α + 127,124β + 3,95979αβ)s². Ле-

вые части уравнений (4), (5) имеют соответственно вид a₂(α, β) = 503,974 +

+ 9,2091α + 127,124β + 3,95979αβ, a₀(α, β) = 49,6243 + 32,4534α - 22,8882β +

+ 3,95979αβ, Δ₁(α, β) = -53,5986 - 159,577α + 13,6791β - 7,91957αβ. Изобра-

жение множества прямоугольников P при d_max = 10^-4 приведено на рис. 3,

изображение D-разбиения на рис. 4. Множество P содержит 291837 пря-

моугольников, ρ(Λ_r, Λ_s) = 0,078.

В примере 3 решена задача построения областей устойчивос(и в прос)ран-

-α β

стве параметров (α, β) ∈ [-5; 5] × [-5; 5] обратной связи K =

си-

β α

стемы непрерывного времени, заданной матрицами









-30

-20

0,219

0,9346



-41 -12





0,047

0,3835





, B=



,

167

-60

-38

0,6789

0,5194

33,5

-14,5

-11

0,6793

0,831

(

)

0,0346

0,5297

0,0077

0,0668

C =

0,0535

0,6711

0,3834

0,4175

[6, с. 46, пример 4]. Характеристический многочлен этой системы a(s, α, β) =

= (-39,115β² - 146,0203β - 39,115α² - 7,8565α + 49,2585) + (-13,8017β² -

- 101,223β - 13,8017α² - 366,9898α - 116,492)s + (0,1023β² + 13,3905β +

+ 0,1023α² -34,9711α+62,5862)s² +(-0,8821β-0,7704α+3,0635)s³ +s⁴. Левые

части уравнений (4), (5) имеют соответственно вид a₄(α, β) = 1, a₀(α, β) =

= -39,115β² -146,0203β-39,115α² -7,8565α+49,2585, Δ₃(α,β) = -36367,1-

- 39702β - 13793β² - 1521,69β³ + 7,77969β⁴ + 1,24545β⁵ - 137463α - 56555αβ -

-5815,47αβ² -189,119αβ³ +1,08776αβ⁴-86405,5α² -12995,7α²β-506,74α²β²+

+2,4909α²β³ -18159,2α³ -189,119α³β+2,17547α³β² -514,515α⁴ +1,24545α⁴β+

+ 1,08774α⁵. Изображение множества прямоугольников P при d_max = 10^-5

приведено на рис. 5, изображение D-разбиения на рис. 6. Множество P

содержит 16261342 прямоугольника, ρ(Λ_r, Λ_s)= 0,00899.

5. Заключение

В статье предложен новый метод построения областей устойчивости мно-

гочлена в пространстве двух параметров, от которых коэффициенты мно-

гочлена зависят полиномиальным образом. Предложенный метод и разра-

ботанное программное обеспечение могут быть использованы при решении

научных и инженерных задач параметрического анализа и синтеза систем

управления.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Если ∀(α,β) ∈ p имеет место нера-

венство a_n (α, β) = 0, то на прямоугольнике p нули многочлена (1) явля-

ются непрерывными функциями его коэффициентов a_k (k = 0, . . . , n) [8,

с. 252-253]. В свою очередь коэффициенты a_k (k = 0, . . . , n) при полиноми-

альной зависимости (2) являются непрерывными функциями переменных α

и β в R². Тогда по теореме о непрерывности композиции функций [7, с. 492]

нули многочлена (1) являются непрерывными функциями переменных α и

β на прямоугольнике p. Из непрерывности нулей следует непрерывность их

вещественных частей.

Покажем, что в точках (α, β), в которых a_n (α, β) = 0, вещественные ча-

сти нулей многочлена (1) могут иметь бесконечный предел. Сделаем замену

переменной s =^1ξ , которая при ξ = 0 отображает многочлен (1) в функцию

∑n

f (ξ, α, β) = ϕ (ξ, α, β) /ξⁿ, где ϕ (ξ, α, β) =

a_n-k (α,β) ξ^k. В точках (α,β),

k=0

в которых a₀ (α, β) = 0, нули многочлена ϕ (ξ, α, β) есть непрерывные функ-

ции переменных α и β. В силу непрерывности, если

lim

a_n (α,β) = 0,

(α,β)→(α₀,β₀)

то при (α, β) → (α₀, β₀) у многочлена ϕ (ξ, α, β) существует бесконечно ма-

лый нуль ξ. При этом у многочлена (1) существует бесконечно большой нуль

s = ^1ξ, вещественная часть которого может стремиться к бесконечности, т.е.

не являться непрерывной в точке (α₀, β₀). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим утверждения: A точ-

ка (α, β) не является решением совокупности (5), B вещественные части

нулей многочлена (1) не обращаются в нуль в точке (α, β). Справедливо

утверждение (A ⇒ B) ⇔ (¬A ⇒ ¬B), в силу которого доказательство спра-

ведливости требуемого утверждения A ⇒ B заменим доказательством спра-

ведливости равносильного утверждения ¬B ⇒ ¬A. Если имеет место утвер-

ждение ¬B, при котором в точке (α, β) существует нуль s многочлена (1),

вещественная часть которого равна нулю, то имеет место равенство s = iω

(ω ∈ R). При ω = 0 у многочлена (1) с вещественными коэффициентами су-

ществует комплексно-сопряженный нуль s = -iω, отличный от s. По усло-

вию теоремы a_n (α, β) = 0 и тогда имеет место формула Орландо [9, с. 465]:

∏_1,...,n

Δ_n-1 (α,β) = (-1)^n(n+1)/2a^n-1n (α,β)·

(s_k (α, β) + s_q (α, β)). Так как s +

k<q

+ s = 0, то из формулы Орландо следует Δn-1 (α,β) = 0. Если ω = 0, то

многочлен (1) имеет нуль s = 0, откуда следует a₀ (α, β) = 0. Теорема 2 дока-

зана.

Доказательство теоремы 3. По условию теоремы каждое слагае-

мое d_µν (α, β) (µ = 0, . . . , m_α; ν = 0, . . . , m_β) является монотонной функци-

ей по каждому аргументу на прямоугольнике p, следовательно принимает

наибольшее и наименьшее значения в вершинах прямоугольника, так что

d^′µν = min_(α,β)∈p d_µν(α,β), d^′′µν = max_(α,β)∈p d_µν(α,β). Тогда для любой точки

(α, β) ∈ p имеют место неравенства



m_β



∑∑

d(α,β) =

d_µν(α,β) ≥

d^′µν;





µ=0 ν=0

(Π.1)



m_β



∑∑



(α, β) =

d_µν(α,β) ≤

d^′′µν.

d

µ=0 ν=0

Если выполняется первое из неравенств совокупности (7), то из первого нера-

венства системы (П.1) следует, что d (α, β) > 0 для любой точки (α, β) ∈ p и,

следовательно, многочлен d (α, β) не имеет нулей на прямоугольнике p. Если

выполняется второе из неравенств совокупности (7), то из второго неравен-

ства системы (П.1) следует, что d (α, β) < 0 для любой точки (α, β) ∈ p и,

следовательно, многочлен d (α, β) не имеет нулей на прямоугольнике p. Тео-

рема 3 доказана.

Для доказательства теорем 4 и 5 используется теорема П.1.

Теорема П.1 [7, с. 495]. Если функция f : E → R, непрерывная на

связном множестве E, принимает в точках a, b ∈ E значения f (a) = A,

f (b) = B, то для любого числа C, лежащего между A и B, найдется точка

c ∈ E, в которой f (c) = C.

Доказательство теоремы 4. Аналогично, как и при доказатель-

стве теоремы 2, рассмотрим утверждения: A непрерывные вещественные

части ReS (α, β) всех нулей многочлена (1) не обращаются в нуль на прямо-

угольнике p, B все вещественные части ReS (α, β) сохраняют знак на пря-

моугольнике p. Заменим доказательство справедливости требуемого утвер-

ждения A ⇒ B доказательством справедливости равносильного утвержде-

ния ¬B ⇒ ¬A. Предположим, что имеет место утверждение ¬B, при кото-

ром на прямоугольнике p существуют точки (α₁, β₁) и (α₂, β₂), в одной из

которых функции ReS (α, β) положительна, а в другой отрицательна. Ес-

ли в теореме П.1 положить E = p, f = ReS (α, β), a = (α₁, β₁), b = (α₂, β₂),

A = ReS (α₁,β₁), B = ReS (α₂,β₂), C = 0, то будут выполнены все условия

этой теоремы. Тогда по теореме П.1 на прямоугольнике p существует точка

c = (α₀,β₀), в которой ReS (α₀,β₀) = 0. Теорема 4 доказана.

Доказательство теоремы 5. По условию теоремы существует пара

точек, например v₁, v₂, в которых один из многочленов d (α, β) принимает зна-

чения разных знаков. Тогда теорема 5 является прямым следствием теоремы

П.1, если положить E = p, f = d (α, β), a = v₁, b = v₂, A = d (v₁), B = d (v₂),

C = 0. Теорема 5 доказана.

Доказательство теоремы

Рассмотрим многочлен (6), каж-

дое слагаемое которого d_µν (α, β) (µ = 0, . . . , m_α; ν = 0, . . . , m_β ) есть непре-

рывная функция аргументов α и β. В силу непрерывности для точ-

ки (α₀, β₀) ∈ R² и для любого ε > 0 существует круг Vrµν (α₀, β₀) ={

√

}

= (α, β) ∈ R² | (α - α₀)² + (β - β₀)²

≤ r_µν радиуса r_µν > 0 с центром

в точке (α₀, β₀), такой что ∀ (α, β) ∈ Vrµν (α₀, β₀) выполняется неравенство

ν=m_β

|d_µν (α, β) - d_µν (α₀, β₀)| < ε. Если положить r = min {r_µν }µ=mα;

, то на

µ,ν}0

{

√

круге V_r (α₀, β₀) = (α, β) ∈ R² | (α - α₀)² + (β - β₀)² ≤ r выполняется

система неравенств

(Π.2)

|d_µν (α, β) - d_µν (α₀, β₀)| < ε (µ = 0, . . . , m_α; ν = 0, . . . , m_β

Круг V_r (α₀, β₀) есть компакт, в силу чего непрерывная функция d_µν (α, β)

достигает на круге своих наименьшего и наибольшего значений d_µν,min =

= min

d_µν(α,β) = d_µν(α_µν,min,β_µν,min); d_µν,max =

max d_µν (α, β) =

(α,β)∈Vr (α0,β0)

= d_µν(α_µν,max,β_µν,max), где (α_µν,min,β_µν,min) ∈ Vr (α₀,β₀) и (α_µν,max,β_µν,max) ∈

∈ Vr (α₀,β₀). Тогда при (α,β) = (α_µν,min,β_µν,min) неравенства (П.2) принима-

ют вид

(Π.3)

d_µν (α₀,β₀) - d_µν,min < ε(µ = 0,... ,m_α; ν = 0,... ,m_β

при (α, β) = (α_µν,max, β_µν,max) неравенства (П.2) принимают вид

(Π.4)

d_µν,max - d_µν (α₀,β₀) < ε(µ = 0,... ,m_α; ν = 0,... ,m_β

Суммируя неравенства (П.3) по µ = 0, . . . , m_α, ν = 0, . . . , m_β, получим в

∑mα ∑mβ

качестве следствия неравенство

d_µν(α₀,β₀)-

d_µν,min <

µ=0

ν=0

µ=0

ν=0

< (m_α + 1) (m_β + 1) ε, равносильное неравенству

∑

(Π.5)

d_µν,min > d(α₀,β₀) - (m_α + 1) (m_β

+ 1) ε.

µ=0 ν=0

Аналогично из неравенств (П.4) следует неравенство

∑

(Π.6)

d_µν,max < d(α₀,β₀) + (m_α + 1) (m_β

+ 1) ε.

µ=0 ν=0

Если d(α₀, β₀) > 0, то можно положить ε = d(α₀, β₀)(2(m_α + 1)(m_β + 1))^-1,

и тогда из неравенства (П.5) следует, что существует круг V_r′ (α₀, β₀), на

котором выполняется неравенство

∑

d(α₀,β₀)

(Π.7)

d_µν,min >

> 0.

µ=0 ν=0

Если d(α₀, β₀) < 0, то можно положить ε = -d(α₀, β₀)(2(m_α + 1)(m_β + 1))^-1,

и тогда из неравенства (П.6) следует, что существует круг V_r′′ (α₀, β₀), на

котором выполняется неравенство

∑

d(α₀,β₀)

(Π.8)

d_µν,max <

< 0.

µ=0 ν=0

Из устойчивости многочлена a (s, α, β) в точке (α₀, β₀) по критерию

устойчивости Гурвица следует, что все значения a₀ (α₀, β₀), a_n (α₀, β₀),

Δ_n-1 (α₀,β₀) или все положительны, или все отрицательны. Каждая из функ-

ций a₀ (α, β), a_n (α, β), Δ_n-1 (α, β) есть многочлен вида (6), в силу чего для

этих функций существует круг V_r (α₀, β₀), на котором выполняется одно из

неравенств (П.7) или (П.8). Положим d = r, выберем d_max ∈ (0; d) и постро-

им множество прямоугольников P = P_a ∪ P_b. Пусть p есть прямоугольник

из множества P , которому принадлежит точка (α₀, β₀). Если предположить,

что прямоугольник p ∈ P_b, то справедливо неравенство d_p ≤ d_max < d, сле-

довательно p ⊆ V_r (α₀, β₀). Тогда на прямоугольнике p выполняется одно из

неравенств (П.7) или (П.8) и, следовательно, p ∈ P_a. Полученное противоре-

чие доказывает, что p ∈ P_a. На каждом прямоугольнике множества P_a много-

член a (s, α, β) или устойчив, или неустойчив. Поскольку многочлен a (s, α, β)

устойчив в точке (α₀, β₀) ∈ p, то p есть устойчивый прямоугольник, покры-

вающий точку (α₀, β₀). Теорема 6 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и алго-

ритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970.

2. Савин М.М., Елсуков В.С., Пятина О.Н. Теория автоматического управления.

Ростов на Дону: Феникс, 2007.

3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. М.:

Физматлит, 2005.

4. Dorf R., Bishop R. Modern Control Systems. New Jersey: Prentice Hall, 2011.

5. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т., Тремба А.А. Современное состояние метода D-раз-

биения // АиТ. 2008. № 2. С. 3-40.

Gryazina E.N., Polyak B.T., Tremba A.A. D-decomposition Technique State-of-the-

art // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 12. P. 1991-2026.

6. Васильев О.О. Исследование D-разбиений методами вычислительной веще-

ственной алгебраической геометрии // АиТ. 2012. № 12. С. 36-55.

Vasil’ev O.O. Study of D-decompositions by the Methods of Computational Real-

valued Algebraic Geometry // Autom. Remote Control. 2012. V. 73. No. 12.

P. 1978-1993.

7. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М.: МЦНМО, 2012.

8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры. М.: Физматлит,

2000.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010.

Статья представлена к публикации членом редколлегии П.С. Щербаковым.

Поступила в редакцию 11.08.2017

После доработки 10.06.2020

Принята к публикации 09.07.2020