Автоматика и телемеханика, № 4, 2021

Нелинейные системы

(Казанский национальный исследовательский технический

университет им. А.Н. Туполева КАИ)

ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

И НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ¹

Рассматриваются непрерывные системы с дискретным управлением с

неопределенными нелинейностями, подверженные воздействию ограни-

ченных внешних возмущений. На основе метода квадратичных функций

Ляпунова, матричных систем сравнения и техники дифференциальных

линейных матричных неравенств развивается подход к задачам оцени-

вания состояния, подавления начальных отклонений и неопределенных

возмущений с помощью обратной связи по состоянию, доступному в дис-

кретные моменты времени. Предлагается способ синтеза периодического

и апериодического дискретного управления, обеспечивающий на конеч-

ном интервале принадлежность заданному множеству траекторий исход-

ной системы при любых возмущениях, ограниченных по L_∞ норме.

Ключевые слова: непрерывные системы с липшицевыми нелинейностями,

неопределенные возмущения, оценивание состояния, дискретное управле-

ние, дифференциальные линейные матричные неравенства.

DOI: 10.31857/S0005231021040048

1. Введение

В обширной литературе по синтезу управления область, которой уделя-

ется мало внимания, это управление системами с дискретными данными.

В этой задаче объект с непрерывным временем обычно управляется алго-

ритмом обратной связи с дискретным временем. Устройство дискретизации

и квантования обеспечивает согласование между непрерывным временем и

дискретным временем. Одним из способов решения проблемы дискретного

управления является реализация алгоритма непрерывного управления с до-

статочно малым периодом дискретизации. Однако аппаратное обеспечение,

используемое для дискретизации и проведения измерений на объекте или

вычисления управляющего воздействия с обратной связью, может сделать

невозможным сокращение периода выборки до уровня, который гарантиру-

ет приемлемые характеристики замкнутой системы. В этом случае становит-

ся интересным исследовать применение алгоритмов дискретного управления,

основанных на модели процесса с непрерывным временем.

¹ Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(проект № 18-08-01045а).

В последнее время дискретное управление широко применяется в циф-

ровых и сетевых системах [1-6]. Большое внимание уделяется анализу их

устойчивости [7-21]. Как отмечено в [1], существуют три основных подхода

к анализу устойчивости и синтезу системы с дискретными данными, осно-

ванные на технике линейных матричных неравенств (ЛМН). Первый подход

связан с представлением системы с дискретными данными в виде системы с

запаздыванием [1, 2, 5-7]. Такой подход в основном применяется для линей-

ных систем с дискретными данными при постоянной или изменяющейся во

времени дискретизацией. Условия устойчивости таких систем получены с по-

мощью функционалов Ляпунова-Красовского или функций типа Ляпунова-

Разумихина [2].

Во втором подходе [8, 9, 13, 17 и др.] исходная система с дискретными

данными представляется как система с импульсами. Выбирая кусочно-зави-

симый от времени функционал Ляпунова-Красовского или разрывный функ-

ционал Ляпунова-Красовского, можно получить менее консервативные усло-

вия устойчивости [14, 15, 18, 21, 22].

Следует отметить, что, хотя некоторые менее консервативные критерии

устойчивости могут быть получены с использованием вышеупомянутых двух

подходов, выбранные функционалы Ляпунова-Красовского обычно сложны.

Так как полученные ЛМН требуют при решении большего количества ска-

лярных и матричных переменных, общая вычислительная сложность крите-

риев устойчивости определенно намного выше.

Третий подход - это подход с дискретным временем [1, 2, 10-12, 17, 19, 20],

при котором система с дискретными данными эквивалентно преобразуется в

конечномерную систему с дискретным временем, в которой сохраняется ин-

формация о состоянии системы между моментами дискретизации. Системы с

апериодическими дискретными данными также изучались в дискретной вре-

менной области. В частности, линейные системы с постоянными коэффици-

ентами с апериодической дискретизацией были проанализированы с исполь-

зованием модели линейной системы с дискретным временем с переменным

параметром. Эффект дискретизации может быть смоделирован с помощью

оператора, а проблема устойчивости может быть решена в рамках подхо-

да устойчивости входа/выхода [1, 2, 19]. В данной статье используется вто-

рой подход для решения задачи оценивания состояния и синтеза дискретного

управления.

Как было отмечено в обзоре [1], несмотря на то что в публикациях были

представлены значительные достижения в этой области, проблемы, связан-

ные как с основами таких систем, так и с выводом конструктивных методов

анализа устойчивости, остаются открытыми даже для случая линейной си-

стемы. Следует также отметить, что не все предлагаемые в литературе кри-

терии устойчивости, представленные в виде ЛМН, могут быть применены

для синтеза дискретного управления.

Обычно в основу способов синтеза дискретного управления полагается

обеспечение устойчивости (асимптотической, экспоненциальной) [6-8, 10, 12,

17, 23] или оптимального качества по H₂ или H_∞ критериям исходной непре-

рывной системы [24-28]. При этом рассматриваются, как правило, линейные

системы без учета возмущений. В [29] показатели H₂ и H_∞ качества опреде-

ляются и выражаются через дифференциальные линейные матричные нера-

венства (ДЛМН). На основе принципа оптимальности Беллмана, выражен-

ного в терминах уравнения динамического программирования, связанного

с интервалом времени, соответствующим двум последовательным моментам

выборки, предлагаются способы синтеза оптимальных H₂ и H_∞ регуляторов

полного порядка с обратной связью по выходу периодических дискретных

данных для линейных инвариантных систем с непрерывным временем. Зада-

чи синтеза оптимальных регуляторов решаются путем преобразования всех

ограничений в ЛМН и использования методов полуопределенного програм-

мирования. В [30] предложены способы синтеза стабилизирующих динамиче-

ских регуляторов с обратной связью по выходу для класса линейных аперио-

дических импульсных систем. Условия синтеза сформулированы в виде ЛМН,

зависящих от времени, которые могут быть решены численно с использовани-

ем методов релаксации матричных сумм квадратов. Полученные результаты

применены для синтеза динамических регуляторов с обратной связью по вы-

ходу для систем с апериодическими дискретными данными. В [31] подход с

использованием векторной функции Ляпунова для 2D систем используется

для получения условий устойчивости импульсной системы, а затем решается

задача синтеза робастного управления на основе наблюдателя для линейных

систем с дискретными данными.

Цель данной статьи представить способы оценивания состояния и синте-

за дискретного управления для класса непрерывных систем с липшицевыми

нелинейностями и неопределенными ограниченными по норме возмущения-

ми. При этом исходная непрерывная модель представляется в виде системы

с импульсным изменением координат состояния. Предложенный в [32, 33]

и развитый в [34, 35] подход с использованием функции Ляпунова с изме-

няющимися коэффициентами и ДЛМН применяется для решения задач оце-

нивания состояния, анализа ограниченности на конечном интервале и син-

теза дискретного управления одного класса нелинейных систем при учете

неопределенных возмущений. В результате задачи оценивания состояния и

синтеза дискретного управления сводятся к совокупности задач оптимиза-

ции с ЛМН, получающихся при кусочно-линейной аппроксимации решения

ДЛМН [36]. Рассматриваются случаи периодического и апериодического дис-

кретного управления. На примере линейной системы второго порядка прово-

дится сопоставление предлагаемого подхода с другими известными методами.

Результаты применяются для стабилизации однозвенного манипулятора с по-

мощью как периодического, так и апериодического дискретного управления.

2. Непрерывная система с дискретным управлением

Рассматривается система с дискретным управлением

(1)

x(t) = A(t)x(t) + D(t)w(t) + Φ(t)ϕ(t, x(t)) + B(t)u(t),

где x ∈ Rⁿ

вектор состояния, w(t) ∈ W ⊂ R^r

вектор неопределенных

внешних возмущений, u ∈ R^m, u(t) = K(t_k)x(t_k), t ∈ [t_k, t_k+1) вектор управ-

ления в форме обратной связи по состоянию, измеряемому в дискретные

моменты времени t_k ∈ Θ = {t₀, t_k = t_k-1 + h_k, k = 1, . . . , N - 1}, h_k

шаг

выборки измерений, A ∈ R^n×n, B ∈ R^n×m, D ∈ R^n×r, Φ ∈ R^n×q

извест-

ные матрицы с постоянными или непрерывными и ограниченными элемен-

тами при всех t ∈ T , T = [t₀, t_N ], t₀, t_N

начальный и конечный моменты

времени.

Нелинейная векторная функция ϕ(t, x) является непрерывной и удовлет-

воряет ограничению

(2)

∥ϕ(t, x)∥² ≤ µ₀ + µ₁ ∥C_f (t)x∥2 ∀t ∈ T, x ∈ Rn,

где C_f (t)x ∈ R^q×n

известная матрица с ограниченными элементами при

всех t ∈ T . Здесь и далее ∥·∥ означает евклидову норму вектора, µ₀, µ₁ ≥ 0

заданные константы.

Предположим, что неопределенные возмущения являются непрерывными

и ограниченными в каждый момент времени функциями:

(3)

W = {w(t) ∈ R^r

: ∥w(t)∥ ≤ 1 ∀t ∈ T}.

3. Задача оценивания состояния

Пусть в начальный момент времени состояние системы x(t₀) = x₀ принад-

лежит заданному эллипсоиду

{

}

(4)

E(Q₀) =

x∈Rⁿ :x^TQ^-10x≤1

где Q₀

заданная положительно определенная матрица, индекс T знак

транспонирования.

Требуется найти оценку в виде эллипсоида, ограничивающего множе-

ство состояний исходной системы (1) на рассматриваемом интервале [t₀, t_N ].

В дальнейшем будет предложен способ синтеза дискретного управления, обес-

печивающего минимизацию следа матрицы эллипсоида, ограничивающего со-

стояние или выход рассматриваемой системы.

Задача оценивания состояния решается с использованием второго под-

хода, при котором исходная система с дискретным управлением представ-

ляется как импульсная система [1]. Определим переменные u(t) = Kx(t_k) и

z(t) = (x^T(t), u^T(t))^T. Тогда систему (1) можно представить как систему с

импульсами

(5)

Ż(t) = A_z(t)z(t) + D_z(t)w(t) + Φ_z(t)ϕ(t, x(t)), t = t_k,

(6)

z(t_k) = J_z(t_k)z(t_k - 0), t = t_k

∈ Θ,

где

[

]

[

]

A(t) B(t)

D(t)

A_z(t) =

D_z(t) =

[

]

[

]

Φ(t)

Φ_z(t) =

J_z(t_k) =

K(t_k)

При этом z(t₀) = z₀ = (x^T0, u^T0) ∈ E(Q_z0), где Q_z0 = diag(Q₀, KQ₀K^T), x(t) =

= Cz(t), C = ( I_n

0m ), In единичная (n×n)-матрица. Обозначим Cfz(t) =

= [C_f (t), 0]. В дальнейшем для краткости опускаем зависимость от t или t_k

у матриц A_z(t), D_z(t), Φ_z(t), C_fz(t), J_z(t_k).

На интервалах непрерывности [t_k, t_k+1) (k = 0, 1, . . . , N - 1) для оценива-

ния состояния будут использоваться теоремы 1 и 2 из [34], которые здесь

приводятся для указанных интервалов.

Теорема 1 [34]. Если существует решение Q(t) = Q(t,t_k,Q_k) > 0 диф-

ференциального матричного уравнения

dQ(t)/dt = A_z(t)Q(t) + Q(t)A^Tz + αQ(t) +

D_zD^Tz +

α - µ₀/β

(7)

µ₁

+ βΦ_zΦ^Tz +

Q(t)C^TfzC_fzQ(t)

при t ∈ [t_k,t_k+1) и β > 0, α > µ₀/β, то эллипсоид E(Q(t)) является ограни-

чивающим для траекторий системы (5), стартующих из начального эллип-

соида E(Q_k), т.е.

z(t, t_k, z(t_k)) ∈ E(Q(t)) при всех t ∈ [t_k, t_k+1).

Здесь Q(t₀) = Q_z0, β, α свободные параметры, которые в общем случае

могут зависеть от времени.

Доказательство теоремы 1 представлено в [34]. Там же были доказаны

утверждения о существовании и ограниченности положительно определен-

ных решений уравнения (7) при фиксированных значениях параметров α и β.

Вопрос же выбора значений α и β не был рассмотрен. Однако ими можно рас-

порядиться для получения оценки, оптимальной в каждый момент времени

по критерию следа матрицы Q(t) = Q(t, t_k, Q_k), определяющего сумму длин

полуосей ограничивающего эллипсоида E(Q(t)). Это обеспечивается миними-

зацией следа матрицы правой части (7) по β, α при всех t ∈ [t_k, t_k+1).

Лемма. Пусть матрицы Φ_z, D_z имеют хотя бы по одному ненулевому

элементу при всех t ∈ [t_k, t_k+1). Тогда если существует на [t_k, t_k+1) решение

Q(t) = Q(t, t_k, Q_k) > 0 уравнения (7), где

√

Q(t))

µ₀trace(Q(t)) + µ₁trace(Q(t)C^TfzC_fz

β(Q(t)) =

trace(Φ_zΦ^Tz)

(8)

√

µ₀

trace(D_z D^Tz)

α(Q(t)) =

β(Q(t))

trace(Q(t))

то эллипсоид E(Q(t)), ограничивающий состояния системы (5), будет оп-

тимальным по критерию trace(Q(t)) → min при каждом t ∈ [t_k,t_k+1).

Q(t),β(t)

Доказательство леммы дано в Приложении.

100

Замечание 1. При подстановке выражений (8) уравнение (7) становится

существенно нелинейным. При практических применениях оно может быть

решено численно. Исследование же вопросов существования и свойств реше-

ний этого уравнения выходит за рамки данной статьи. Здесь предлагается

ограничиться заданием на каждом интервале [t_k, t_k+1) фиксированных зна-

чений параметров β(Q(t_k)), α(Q(t_k)), определяемых по формулам (8) в мо-

менты t_k, k = 0, . . . , N - 1. В этом случае согласно леммам 1 и 2 из [34] (7)

будет являться матричной системой сравнения (МСС) для (5), а ее решение

Q(t) = Q(t, t_k, Q_k) при условии Q(t_k) = Q_k > 0 будет положительно опреде-

ленным. Ясно, что такое решение будет определять эллипсоид E(Q(t)), огра-

ничивающий траектории системы (5), стартующие из эллипсоида E(Q(t_k)),

который, однако, не будет оптимальным при всех t ∈ [t_k, t_k+1). Поэтому для

оценивания состояния здесь будет использоваться подход, основанный на чис-

ленном решении задачи оптимизации с ДЛМН.

Теорема 2 [34]. Если при некотором заданном α > 0 существует реше-

ние Q(t) = Q(t,t_k,Q_k) > 0, β(t) > α/µ₀ дифференциального матричного нера-

венства





-dQ(t)/dt + A_zQ(t) + Q(t)A^Tz + αQ(t) + βΦ_z Φ^Tz D_z Q(t)C^Tfz







D^Tz

-αI











(9)



β(t)



≤0



C_fzQ(t)





µ₁







β(t)

µ₀

при t ∈ [t_k,t_k+1), то эллипсоид E(Q(t)) является ограничивающим для тра-

екторий системы (5), стартующих из начального эллипсоида E(Q_k).

Доказательство теоремы 2 представлено в [34].

Как отмечено в [34], положительно определенное решение уравнения (7)

при некоторых α > 0, β(t) ≥ µ₀/α на рассматриваемом интервале времени

(в данном случае [t_k, t_k+1)) будет являться решением дифференциального

матричного неравенства (9) при тех же значениях β, α. При тех же β, α мо-

гут существовать и другие решения (9), которые будут определять эллипсоид,

ограничивающий траектории системы (5). При фиксированном α > 0 нера-

венство (9) становится линейным по переменным Q(t) и β(t) и оптимальный

ограничивающий эллипсоид будет определяться из решения следующей зада-

чи оптимизации trace(Q(t)) → min при ограничениях Q(t) > 0, β(t) > µ₀/α

Q(t),β(t)

и ДЛМН (9). Такое оптимальное решение будет зависеть от параметра α.

Чтобы решение было оптимальным и по α, следовало бы добавить еще од-

номерную оптимизацию по α из заданного диапазона. Однако это еще более

усложняет задачу нахождения оптимального ограничивающего эллипсоида.

Поэтому значение параметра α предлагается вычислять только в дискретные

моменты t_k из (8) по известной в этот момент матрице Q(t_k), а затем при

α_k = α(Q(t_k)) решать задачу оптимизации trace(Q(t)) → min при ограни-

Q(t),β(t)

чениях Q(t) > 0, β(t) > µ₀/α_k и ДЛМН (9). Далее будет показано, каким об-

101

разом эта задача оптимизации сводится в результате дискретизации к сово-

купности задач оптимизации с ограничениями в виде ЛМН.

В моменты t_k, k = 1, . . . , N, поведение системы представлено линейным

разностным уравнением (6). В этом случае для оценивания состояния будет

использоваться теорема 1 из [35], которая здесь приводится применительно

к линейному разностному уравнению (6).

Теорема 3. Чтобы эллипсоид E(Q(t_k+1)) ограничивал состояния систе-

мы в момент t_k+1 при условии, что z(t_k+1 - 0) ∈ E(Q(t_k+1 - 0)), достаточ-

но, чтобы существовало решение Q(t_k+1) > 0 разностного линейного мат-

ричного неравенства (РЛМН)

(

)

Q(t_k+1)

J_zQ(t_k+1 - 0)

(10)

≥ 0.

Q(t_k+1 - 0)J^Tz Q(t_k+1 - 0)

Доказательство теоремы 3 для более общего случая дискретной системы

с неопределенными возмущениями представлено в [35].

Рассмотрим теперь ряд случаев относительно параметра выборки h_k:

1. Все значения h_k равны h_k = h > 0, k = 1, . . . , N, h постоянный период

выборки;

2. Все значения h_k > 0, k = 1, . . . , N , известны (переменный период выбор-

ки);

3. Значения h_k > 0, k = 1, . . . , N, неизвестны и могут изменяться в интер-

вале [h_min, h_max], где 0 < h_min < h_max, h_min, h_max известны.

Рассмотрим сначала случай 1 с периодическими выборками (импульса-

ми), т.е. t_k+1 - t_k = h = const. Случай 2 при переменных, но известных h_k

рассматривается аналогично.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Эллипсоид E(Q(t)), где Q(t) = Q(t,t₀,Q_z0) решение мат-

ричной системы дифференциальных уравнений (7) с РЛМН (10) или зада-

чи оптимизации trace(Q(t, t₀, Q_z0)) → min с ограничениями ДЛМН

(9) и

РЛМН (10) будет ограничивающим для состояний системы (5), (6), а эл-

липсоид с матрицей CQ(t, t₀, Q_z0)C^T будет ограничивающим для состояний

исходной системы (1) с дискретным управлением при всех нелинейностях

из (2) и возмущениях из (3).

Доказательство основывается на последовательном применении теорем 1

и 2 на интервалах непрерывности [tk, tk+1) (k = 0, 1, . . . , N - 1) для по-

лучения матрицы Q(t, t_k, Q(t_k)) > 0 эллипсоида, ограничивающего состоя-

ние z(t, t_k, x(t_k)) системы (5), (6) с начальными данными из эллипсоида

с матрицей Q(t_k) при всех нелинейностях из (2) и возмущениях из (3),

и применении теоремы 3 в точках t_k+1, (k = 0, 1, . . . , N - 1) для получе-

ния матрицы Q(t_k+1) > 0, ограничивающей состояние z(t_k+1, t_k, x(t_k)) систе-

мы (5), (6) после импульса при условии z(t_k+1 - 0, t_k, x(t_k)) ∈ E(Q(t_k+1 - 0)).

Здесь Q(t_k+1 - 0) = Q(t_k + h, t_k, Q_k)

матрица эллипсоида, ограничиваю-

щего состояние системы (5), (6) непосредственно перед импульсом в мо-

мент t_k+1. Она определяется как решение дифференциального матричного

102

уравнения (7) или задачи оптимизации trace(Q(t, t_k, Q_k)) → min с ДЛМН (9)

на [t_k, t_k+1).

Таким образом, в случае периодического дискретного управления со-

стояние системы (5), (6) с начальными данными из эллипсоида E(Q_z0)

будет ограничено эллипсоидом с матричной функцией Q(t, t₀, Q_z0), яв-

ляющейся решением МСС (7) с РЛМН (10) или задачи оптимизации

trace(Q(t, t₀, Q_z0)) → min с ограничениями ДЛМН (9) и РЛМН (10) при t ∈ T .

При численном решении задачи оптимизации проводится дискретизация

ДЛМН (9) на рассматриваемом интервале [t₀, t_N ]. Производная dQ(t)/dt на

интервале [t_k, t_k+1) считается постоянной и представляется как dQ(t)/dt =

= Z(t_k), где t_k = t₀ + kh, k = 1, . . . , N, и N есть целая часть отношения

(t_N - t₀)/h. Тогда для t ∈ [t_k, t_k+1) матрица Q(t) определится как

(11)

Q(t) = Q(t_k) + (t - t_k)Z(t_k

причем Q(t₀) = Q_z0. Для того чтобы матрица Q(t) удовлетворяла неравен-

ству Q(t) > 0 и ДЛМН (9) при всех t ∈ [t_k, t_k+1), необходимо и достаточ-

но, чтобы она удовлетворяла им в двух крайних точках t ∈ {t_k, t_k + h}, т.е.

при каждом k = 0, . . . , N - 1 одновременно должны выполняться неравен-

ства [36]:

(12)

Q(t_k) > 0, Q(t_k

+ h) > 0,





-Z(t_k)+AzQ(tk)+Q(tk)A^z +αkQ(tk)+βΦzΦ^z Dz Q(tk)C







D^Tz

-α_kI











(13)

β(t_k)

≤ 0,





C_fzQ(t_k)





µ1





β(t_k)

µ0





-Z(t_k)+AzQ(tk +h)+Q(tk +h)A^z+

Dz Q(tk + h)Cfz



+ αQ(t_k + h) + βΦz Φ^z















D^Tz

-α_kI





(14)



≤ 0,



β(t_k)





C_fzQ(t_k + h)





µ1







β(t_k)

µ0

где Q(t_k + h) = Q(t_k) + hZ(t_k) = Q(t_k+1 - 0), α_k = α(Q(t_k)) из (8) и матрицы

A_z, D_z, Φ_z, C_fz берутся в момент t_k.

В результате линейной аппроксимации (11) решения ДЛМН (9) нахож-

дение матрицы Q(t) > 0 эллипсоида, ограничивающего состояния системы,

сводится к последовательному решению совокупности задач оптимизации:

trace(Q(t_k+1)) →

min

при ЛМН ограничениях (10), (12)-(14)

Q(t_k+1)>0,β(t_k+1)≥µ₀/α_k

для k = 0, . . . , N - 1. На первой итерации при k = 0 по заданной матри-

це Q(t₀) = Q₀ и α₀ в результате решения указанной задачи оптимизации с

103

ЛМН вычисляются матрицы Q(t₀ + h) и Q(t₁) с минимальным следом, кото-

рые определяют матрицу эллипсоида, ограничивающего состояния системы

(5), (6) на интервале [t₀, t₁]. Затем при k = 1, 2, . . . , N - 1 по матрице Q(t_k)

вычисляются α_k и матрицы Q(t_k + h) и Q(t_k+1), которые определяют матри-

цу эллипсоида, ограничивающего состояния системы (5), (6) на последующих

интервалах [t_k, t_k+1].

Для численного решения на каждой итерации задач оптимизации с ЛМН

используются программные средства полуопределенного программирования

(CVX, Sedumi, Yalmip и др.). Они позволяют решать такую задачу для си-

стемы размерности порядка 20 за доли секунды. Общее время, требуемое для

численного решения всей совокупности задач и получения эллипсоидальных

оценок, будет зависеть от длительности рассматриваемого интервала времени

и шага дискретизации ДЛМН.

Замечание 2. С целью более точной аппроксимации решения зада-

чи оптимизации с ДЛМН на интервалах [t_k, t_k+1) рекомендуется решать

задачу с шагом h_ki = h/M, где M > 1 количество промежуточных то-

чек дискретизации интервала [tk, tk+1). В этом случае значение матри-

цы Q(t_k + h) = Q(t_k+1 - 0) определится как Q(t_k + h) = Q(t_k) + hZ_ks, где

∑

Z_ks =

Z(t_ki)/M среднее значение производной на интервале [t_k, t_k+1),

i=0

t_ki = t_k + ih_ki.

Рассмотрим теперь случай 3, когда система (5), (6) является апериоди-

ческой, т.е. импульсы происходят в нерегулярные моменты времени. Пусть

выполнено ограничение в виде интервала времени для последовательности

моментов импульсов, т.е. t_k+1 - t_k = h_k ∈ [h_min, h_max]. Пусть t ∈ [t_k, t_k+1] и θ ∈

∈ [0, h_max - h_min].

Так же как в случае 1, при t ∈ [t_k, t_k+1) = [t_k, t_k + h_min + θ) может быть по-

{

)

лучена оценка в виде эллипсоида E(t) =

x : x^TQ^-1(t)x ≤ 1

, если при неко-

торых β(t_k) > 0, α(t_k) ≥ µ₀/β(t_k) найдется положительно определенное ре-

шение Q(t) > 0 матричной системы сравнения (7) или дифференциального

линейного матричного неравенства (9) при t ∈ [t_k, t_k+1), k = 0, 1, 2, . . . , N - 1.

Однако момент возникновения каждого следующего импульса t_k+1 является

неопределенным и может изменяться в интервале [t_k + h_min, t_k + h_max]. В дан-

ном случае эллипсоид, ограничивающий состояние системы в момент t_k+1,

должен гарантированно содержать все эллипсоиды, которые будут получены

при импульсном воздействии из эллипсоидов, ограничивающих состояния до

момента t_k+1 при всех t_k+1 = t_k + h_k ∈ [t_k + h_min, t_k + h_max]. Поэтому (10) за-

меняется неравенством

(15)

Q(t_k+1) ≥ JQ(t_k + h_min + θ)J^T,

которое должно быть выполнено при любом θ ∈ [0, h_max - h_min]. Проверка

этого неравенства затруднена, однако при использовании линейной аппрок-

симации решения задачи оптимизации trace(Q(t)) → min при ДЛМН ограни-

чениях (9) в виде Q(t_k + h_min + θ) = Q(t_k) + (h_min + θ)Z(t_k) матричное нера-

венство (15) будет линейным по переменной θ ∈ [0, h_max - h_min]. Поэтому оно

будет выполнено при любых θ ∈ [0, h_max - h_min] тогда и только тогда, когда

104

выполняется одновременно в двух крайних точках рассматриваемого интер-

вала, т.е. при θ ∈ {0, h_max - h_min}:

(16)

Q(t_k+1) ≥ JQ(t_k + h_min)J^T, Q(t_k+1) ≥ JQ(t_k + h_max)J^T.

Здесь матрицы Q(t_k + h_min), Q(t_k + h_max) определяются из (11), вычисленных

при t = t_k + h_min и t = t_k + h_max соответственно.

Таким образом, в случае апериодического дискретного управления состоя-

ние системы (5), (6) с начальными данными из эллипсоида E(Q_z0) будет

ограничено эллипсоидом с матричной функцией Q(t, t_k, Q_k) на интервалах

непрерывности [t_k, t_k+1) и эллипсоидом с матрицей Q_k+1 при t = t_k+1. Мат-

рица Q(t, t_k, Q_k) определяется из (11), где Z(t_k), а также матрицы Q(t_k +h_k) и

Q_k+1 вычисляются в задаче оптимизации trace(Q(t_k+1)) →

min

Q(t_k+1)>0,β_k>µ₀/α_k

с ЛМН ограничениями (12)-(14) и (16).

Отметим, что оценку для вектора состояния x(t) исходной системы (1) с

дискретным управлением, с нелинейностями из (2) и возмущениями из (3)

при x(t₀) из (4) будет определять эллипсоид с матрицей CQ(t, t₀, Q_z0)C^T.

4. Задача об ограниченности относительно заданных множеств

{

}

Обозначим множество начальных состояний E(R₀) =

x ∈ Rⁿ: x^TR^-10x ≤ 1

{

}

и множество допустимых траекторий E(R(t)) =

x ∈ Rⁿ : x^TR^-1(t)x ≤ 1

R₀,R(t) известные симметрические положительно определенные матрицы,

t ∈ T. Так же как в [32], вводится определение.

Определение. Будем говорить, что система с дискретными данны-

ми (5), (6) обладает на t ∈ T свойством ограниченности относительно за-

данных множеств {E(R₀), E(R(t))}, если для всех z₀ ∈ E(R₀) существуют

на t ∈ T решения z(t) = z(t,t₀,x₀) системы (5), (6) с начальными данны-

ми z(t₀) = z₀, для которых имеет место z(t,t₀,z₀) ∈ E(R(t)) при всех t ∈ T,

всех нелинейностях из (2) и возмущениях из (3).

Отметим, что аналогичное определение было введено в [32] для линей-

ных неавтономных систем, где были получены необходимые и достаточные

условия в терминах разрешимости дифференциальных линейных матрич-

ных неравенств. Такое же динамическое свойство изучалось применительно

к непрерывным в [34] и дискретным в [35] нелинейным липшицевым систе-

мам с неопределенными возмущениями. Особенностью данного динамическо-

го свойства является то, что оно определяет как качественное поведение, так

и дает количественные оценки, поскольку в его определении указываются

конкретные множества начальных данных и множества, которым должны

принадлежать траектории системы с этими начальными данными.

С учетом полученных выше эллипсоидальных оценок состояния для систе-

мы с дискретными данными (5), (6), приходим к следующему утверждению.

Теорема 5. Система (5), (6) с периодическими (апериодическими) им-

пульсами обладает на [t₀, t_N ] свойством ограниченности относительно

заданных множеств {E(R₀), E(R(t))}, если существует решение Q(t) =

105

= Q(t,t₀,Q_z0) МСС (7) с РЛМН (10) или ДЛМН (9) с РЛМН (10) (соот-

ветственно задачи оптимизации trace(Q(t_k+1)) →

min

с ЛМН

Q(t_k+1)>0,β≥µ₀/α_k

ограничениями (12)-(14) и (16)) с начальными данными Q₀ ≥ R₀, удовле-

творяющее неравенству Q(t) ≤ R(t) для всех t ∈ T .

При выполнении условий теоремы 5 исходная система (1) с дискретным

управлением будет обладать ограниченностью относительно заданных мно-

жеств {E(CR₀C^T), E(CR(t)C^T)}.

5. Задача синтеза дискретного управления, обеспечивающего

ограниченность непрерывной системы

Рассмотрим систему (1) с управлением, которое должно удовлетворять

ограничению

{

}

(17)

u(t) ∈ u : u^TU^-1u ≤ 1

t∈T,

где U заданная симметрическая положительно определенная (m × m)-мат-

рица.

Задача состоит в нахождении управления в виде обратной связи по со-

стоянию, доступному в дискретные моменты времени t_k, k = 0, 1, . . . , N - 1:

(18)

u(t) = K(t_k)x(t_k), t ∈ [t_k, t_k+1

k = 0,1,...,N - 1,

стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклоне-

ния и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограни-

чивающего эллипсоида для состояний или обеспечивающего ограниченность

замкнутой системы. Здесь K матрица коэффициентов усиления дискрет-

ного регулятора.

Задача синтеза с учетом рассмотренного в разделе 3 способа численного

решения ДЛМН (9) сводится к задаче оптимизации критерия при ограниче-

ниях в виде разностных линейных матричных неравенств. В качестве крите-

рия берется след матрицы, определяющий размер ограничивающего состоя-

ния эллипсоида в дискретные моменты времени t_k, k = 1, 2, . . . , N.

Представим исходную систему с дискретным управлением (18) в виде (5) с

импульсами (6). Искомая матрица коэффициентов усиления регулятора вхо-

дит только в разностное уравнение для импульсов (6). Представим его в виде

(

)

(19)

z(t_k) = J_zz(t_k - 0) =

J + BK(t_k)C z(t_k - 0), t_k

∈ Θ,

где

(

)

(

)

(

)

J =

C =

z(t₀ - 0) = z(t₀) ∈ E(Q_z0),

Q_z0 > 0

заданная матрица эллипсоида, ограничивающего начальные состо-

яния.

106

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть при Q(t₀-0) = Q_z0, α_k = α(Q(t_k-0)) из (8) и всех t_k,

k = 0,1,... ,N -1, найдутся решения Q(t_k), Q(t_k+1-0) = Q(t_k+h) = Q(t_k)+

+ hZ(t_k), Y (t_k) задачи

trace[Q(t_k+1 - 0)] → min

при ограничениях (12)-(14) и

(

)

Q(t_k)

JQ(t_k - 0)C^T +BY_k)

(20)

≥0

CQ(t_k - 0

J^T + Y^Tk

CQ(t_k - 0)C^T

(

)

Y_k

(21)

≥ 0,

Y^Tk

CQ(t_k - 0)C^T

где минимизация проводится по матричным переменным Q(t_k), Y_k ∈ R^m×n,

Z(t_k) ∈ R^n×n, скалярной переменной β(t_k) > µ₀/α_k, определяет согласно (11)

матрицу Q(t) ограничивающего эллипсоида для вектора состояния z(t)

и зависимую от времени матрицу коэффициентов дискретного управле-

ния по состоянию K(t_k) = Y_k(CQ(t_k - 0)C^T)^-1. Если, кроме того, матри-

ца Q(t) удовлетворяет дополнительно ограничениям Q_z0 ≥ R₀ и Q(t) ≤ R(t)

для всех t ∈ [t₀, t₀ + Nh], где R₀ и R(t)

заданные положительно опре-

деленные симметрические матрицы, то искомое управление

(18) обес-

печивает ограниченность замкнутой системы относительно множеств

{E(R₀), E(R(t))}.

Доказательство теоремы 6 дано в Приложении.

В случае апериодического дискретного управления (t_k+1 - t_k = h_k ∈

∈ [h_min, h_max]) с учетом полученных в разделе 3 оценок состояния задача син-

теза сводится к подобной задаче оптимизации trace[Q(t_k+1 - 0)] → min при

ЛМН ограничениях (12)-(14) и (20), (21) с той лишь разницей, что добавля-

ются дополнительные ограничения на матрицу Q(t_k+1 - 0):

(22)

Q(t_k+1 - 0) ≥ Q(t_k) + h_minZ(t_k), Q(t_k+1 - 0) ≥ Q(t_k) + h_maxZ(t_k

Замечание 3. С целью уменьшения погрешности при линейной аппрок-

симации решения задачи оптимизации с шагом, равным периоду дискретного

управления, предлагается аппроксимировать решение задачи оптимизации на

каждом дискретном интервале [t_k, t_k+1) с более мелким шагом, чем период

дискретного управления, т.е. h_i = (t_k+1 - t_k)/M = h/M, где M количество

промежуточных точек интервала [t_k, t_k+1). В результате исходная задача оп-

тимизации заменяется следующей:

trace (Q (t_k+1 - 0)) → min с ЛМН ограничениями

(

)

(

)

Q (t_kj) = Q

t_k(j-1)

+ (j - 1) h_iZ

t_k(j-1)

> 0,

107



^-Z(t_k(j-1)) + A_zQ(t_k(j-1)) + Q(t_k(j-1))A^Tz+

D_z Q(t_k(j-1))C^Tfz







+ α_kjQ(t_k(j-1)) + βΦ_zΦ^T











D^Tz

-α_kjI







≤ 0,



β_kj





C_fzQ(t_k(j-1))





µ₁







β_kj

µ₀





-Z(t_k(j-1)) + A_zQ(t_kj) + Q(t_kj)A^Tz



D_z Q(t_kj)C^Tfz





+ α_kjQ(t_kj) + βΦ_zΦ^T













D^Tz

-α_kjI







≤ 0,



β_kj







C_fzQ(t_kj)







µ₁





β_kj



µ₀

при всех j = 1, 2, . . . , M и ЛМН

(

)

Q(t_k)

JQ(t_k - 0

C^T +BY_k)

≥ 0,

CQ(t_k - 0

J^T + Y^Tk

CQ(t_k - 0

C^T

где t_kj = t_k(j-1) +(j -1)h_i, α_kj = α(Q(t_kj )) и матрицы A_z, D_z, Φ_z, C_fz берутся

в момент t_kj.

6. Численные примеры

Для сравнения рассмотрим часто встречающийся пример из [6] линейной

системы с дискретным управлением со значениями параметров:

[

]

[

]

[

]

K =

-3,75

-11,5

-0,1

0,1

Среди разрабатываемых подходов [6, 7, 9, 14, 16, 17] наибольшая верх-

няя оценка h = 1,7294 периода дискретного управления с постоянными ко-

эффициентами K была получена в [18] с использованием так называемого

петлевого функционала с граничными условиями. Применение предложен-

ного здесь подхода при численном решении МСС (7), принимающей вид

dQ(t)/dt = A_zQ + QA^Tz для линейной системы без возмущений, с РЛМН (10),

получена такая же верхняя граница рассматриваемого дискретного управле-

ния, при котором эллипсоидальные оценки множества решений с начальными

данными из заданного эллипсоида через некоторый промежуток времени стя-

гиваются к началу координат, что соответствует поведению асимптотически

устойчивой системы.

108

-1

-2

-3

-2

-1

x₁

Рис. 1. Эллипсоидальные оценки множества состояний системы с периодиче-

ским (h = 1,7294) дискретным управлением.

Следует отметить, что в [18] с помощью достаточно сложного, так назы-

ваемого петлевого функционала анализ асимптотической устойчивости ли-

нейной автономной системы без возмущений сводился к разрешимости задачи

оптимизации с ЛМН, в которой наряду с обычными переменными появляет-

ся большое количество вспомогательных матричных переменных. При этом

существенно возрастает размерность ЛМН. В отличие от [18] предлагаемый

подход применительно к линейным системам без возмущений позволяет све-

сти задачу оценивания состояния (а также анализа асимптотической устой-

чивости) к совокупности задач оптимизации с ЛМН, в которых отсутствуют

какие-либо вспомогательные переменные, что приводит к сокращению вы-

числений.

На рис. 1 толстыми сплошными линиями показаны эллипсы, ограничи-

вающие состояния рассматриваемой системы в дискретные моменты време-

ни t_k = kh, k = 1, . . . , N , при h = 1,7294, а тонкими сплошными линиями

в [роме ]уточные моменты времени. Начальный эллипс с матрицей Q0 =

показан штриховой линией.

Пусть теперь период дискретного управления задан как h = 5 c. В резуль-

тате решения задачи оптимизации trace(Q(t_k+1)) → min с ЛМН ограниче-

ниями (12)-(14) и (22) при каждом k = 0, 1, . . . , 19 были получены коэффи-

циенты усиления K(t_k) дискретного управления, которое обеспечивает огра-

ниченность на интервале [0, 70 c] траекторий рассматриваемой системы, с

начальными данными из эллипса с матрицей Q₀ (показан на рис. 2,а тол-

стой штриховой линией). Тонкими сплошными линиями показаны эллипсы,

ограничивающие состояния в точках дискретизации t_k указанного интервала

времени. При этом эллипсы сначала при каждом t_k ∈ [0, 25 c) расширяются

(по критерию trace(Q(t_k)), а во второй части интервала [0, 70 c] медленно

сжимаются.

109

1,5

1,0

0,5

-0,5

-1,0

-1,5

-6

-4

-2

-3

-2

-1

x₁

Рис. 2. Эллипсоидальные оценки множества состояний системы с периодиче-

ским (h = 5 с) дискретным управлением.

-0,2

-0,6

K₁(t)

K₂(t)

-1,0

-1,4

Рис. 3. Изменения коэффициентов усиления периодического (h = 5 с) дискрет-

ного управления.

С использованием замечания 2 при h_i = h/5 = 1 c были получены коэффи-

циенты дискретного управления и эллипсоидальные оценки состояния, кото-

рые представлены на рис. 2,б . Штриховой линией показан начальный эллипс,

а тонкими сплошными линиями эллипсы, ограничивающие состояния в

дискретные t_k и промежуточные t_ki моменты времени рассматриваемого ин-

тервала [0, 70 c].

Сравнивая рис. 2,а и 2,б , можно отметить, что полученное периодическое

дискретное управление обеспечивает после t = 5 c постепенное сжатие эллип-

соидальных оценок, причем более эффективное (по критерию следа матрицы

эллипса) при использовании замечания 2. На рис. 3 изображены графики из-

менения коэффициентов усиления дискретного управления.

110

Рис. 4. Изменения координат состояния рассматриваемой системы (а) с пе-

риодическим, (б ) с апериодическим дискретным управлением.

h(t)

120

Рис. 5. Изменение шага дискретизации в системе с апериодическим дискрет-

ным управлением.

В результате решения задачи оптимизации из теоремы 6 для системы с

апериодическим дискретным управлением (h_min = 0,01 c; h_max = 10 c) полу-

чены коэффициенты усиления K = [ -0,0617

-0,4326 ], при которых обес-

печивается сначала расширение, а после 10 с медленное сжатие эллипсои-

дальных оценок. На рис. 4,a показаны изменения координат состояния рас-

сматриваемой системы с полученным периодическим (h = 5 с) дискретным

управлением, а на рис. 4,б

с апериодическим дискретным управлением

при изменении шага дискретизации h_k ∈ [h_min, h_max], задаваемого с помощью

датчика случайных чисел (показано на рис. 5).

7. Приложение к однозвенному манипулятору

Рассматривается манипулятор с одним звеном, который через редуктор

соединен с выходным валом двигателя постоянного тока [37]. Предполагается,

что движение манипулятора происходит в вертикальной плоскости (рис. 6).

111

q₁

m₁g

Рис. 6. Кинематическая схема однозвенного манипулятора.

Обозначим θ₁ угол отклонения от вертикальной оси,˙θ1 = dθ1/dt уг-

ловая скорость звена манипулятора. Предполагается, что известны значения

θ₁,

θ₁ только в дискретные моменты времени t_k ∈ Θ.

Уравнение динамики манипулятора имеет вид

(23)

(m₁l²¹ + I_p1)θ1 = -m₁gl₁ sin θ₁ + T₁ - B_θ1

˙θ₁ - w₁.

Здесь m₁, l₁, I_p1 масса, расстояние до центра масс и момент инерции зве-

на, B_θ1

коэффициент пропорциональности момента вязкого трения, w₁

неопределенное возмущение, вызванное моментами сопротивления, сухого

трения и других неучтенных моментов, T₁ момент, создаваемый двига-

телем постоянного тока.

Пренебрегая электромагнитными переходными процессами в якорной об-

мотке двигателя и полагая, что момент двигателя пропорционален напряже-

нию якорной обмотки, выражение для момента представляется в виде

K_gK_m

(K_gK_m)

(24)

T₁ =

V₁ -

θ₁,

где K_g, K_m, R коэффициенты редукции, пропорциональности и активное

сопротивление обмотки двигателя, V₁ управляющее напряжение. Таким об-

разом, момент, приложенный к звену, является функцией входного напряже-

ния якорной обмотки двигателя. Второй член пропорционален угловой скоро-

сти со знаком минус потому, что ЭДС вращения вызывает противодействую-

щий момент по сравнению с моментом, создаваемым входным напряжением.

Положение равновесия для манипулятора определяется из уравнения

-m₁gl₁ sin θ₁ + T₁ = 0.

Если требуется стабилизировать манипулятор в заданном положении θ₁₀,

то необходимо приложить управляющий момент T₀ = m₁gl₁ sin θ₁₀. Тогда

из (24) получаем выражение для установочного значения напряжения для

выбранного положения:

V₀ = m₁gl₁ sinθ₁₀

K_gK_m

112

Введем обозначения для отклонений от невозмущенного движения θ₁₀ и от

установочных значений момента и напряжения:

θ=

θ=θ₁ -θ₁₀,

θ₁,

θ=θ1, T = T₁ - T₀, V = V₁ - V₀.

После подстановки (24) в (23) с учетом обозначения β = K_gK_m получаем

уравнение движения манипулятора в отклонениях от требуемого положения

равновесия θ₁₀:

(

)

β²

-m₁gl₁[sin(θ + θ₁₀) - sin(θ₁₀)] - B_θ1 +

˙θ+^βRV -w

θ=

m₁l²¹ + I_p1

Определим вектор состояния x = (θ,˙θ)T и управление u(tk) = V (tk) =

= K(t_k)x(t_k). Тогда исходное уравнение представляется в виде (1), где









,

 m₁gl₁

B_θ1 +β2R

m₁l²¹ + I_p1



























, D1 =



-1

, Φ= -m1gl1

,

R(m₁l²¹ + I_p1)

m₁l²¹ + I_p1

(

)

C_f =

ϕ(θ) = sin(θ + θ₁₀) - sin(θ₁₀) - θ.

Моделирование системы с регуляторами проводилось при значениях пара-

метров: l = 0,5; I_P = 0,05; g = 9,8; R = 2,6; K_g = 3,7; K_m = 3,835; B_θ = 0,025.

Пусть требуется стабилизировать звено манипулятора в вертикальном по-

ложении θ₁₀ = π. При таком θ₁₀ нелинейность ϕ(θ) удовлетворяет условию (2)

при µ₀ = 0, µ₁ ≤ 1.

С использованием теоремы 6 в результате решения совокупности задач

оптимизации с ЛМН при α = 0,0043, β = 1,0296 было получено периодиче-

ское с h = 2 c дискретное управление с постоянными коэффициентами уси-

ления K = [ -3,2518

-0,0025] , которое обеспечивает на конечном интерва-

ле [0 100 c] стабилизацию манипулятора с начальными данными из эллипса

[

]

с матрицей Q₀ =

. На рис. 7 представлены эллипсоидальные оценки

состояния однозвенного манипулятора с периодическим дискретным управ-

лением. Начальный эллипс с матрицей Q₀ обозначен толстой штриховой ли-

нией. Тонкими сплошными линиями показаны эллипсы, ограничивающие со-

стояние в дискретные [ оменты времени t] k = 1, 2, . . . , 50. Предельный эл-

0,1193

-0,0159

липс с матрицей Q₀ =

, к которому стягиваются оценки

-0,0159

0,5904

состояния при t ≥ 90 c, обозначен толстой сплошной линией.

113

h(t)

Рис. 9. Изменение шага дискретизации в системе с апериодическим дискрет-

ным управлением.

u(t)

-2

Рис. 10. Изменение апериодического дискретного управляющего сигнала.

На рис. 9 и 10 представлены соответственно изменения шага дискретиза-

ции и управляющего сигнала в системе с апериодическим дискретным управ-

лением при действии возмущений.

8. Заключение

Для непрерывных систем с липшицевыми нелинейностями, неопределен-

ными возмущениями и дискретным управлением предложены способы оце-

нивания состояния в виде эллипсоидов, ограничивающих состояния для про-

цессов с начальными данными из заданного эллипсоида. Исходная система с

дискретным управлением представлена как импульсная система. С исполь-

115

зованием квадратичной функции Ляпунова с изменяющимися параметра-

ми получены условия ограниченности на конечном интервале в виде разре-

шимости дифференциального матричного уравнения и задачи оптимизации

с дифференциально-разностными линейными матричными неравенствами.

При кусочно-линейной аппроксимации решения ДЛМН задачи оценивания

состояния и синтеза как периодического, так и апериодического дискретного

управления сведены к совокупности задач оптимизации с ЛМН, для числен-

ного решения которых применены методы полуопределенного программиро-

вания. Для сравнения рассмотрен пример линейной системы второго порядка

без возмущений. Для него известными методами была ранее получена верх-

няя граница периода дискретного управления с постоянными коэффициен-

тами, при которых обеспечивается асимптотическая устойчивость. Такая же

верхняя граница получена с применением предложенного подхода при сокра-

щении количества варьируемых переменных в задаче оптимизации. Кроме

того, данный подход позволяет получать на конечном интервале времени эл-

липсоидальные оценки множества состояний исходной нелинейной системы

с дискретным управлением и неопределенными возмущениями, синтезиро-

вать дискретное управление, обеспечивающее свойство ограниченности отно-

сительно заданных множеств. Результаты применены для оценивания состоя-

ния и синтеза периодического и апериодического дискретного управления,

обеспечивающего стабилизацию на конечном интервале времени однозвенно-

го манипулятора, представленного нелинейной моделью с неопределенными

возмущениями.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство леммы. Чтобы скалярная переменная trace(Q(t)),

зависящая от времени и параметров, принимала наименьшее значение при

каждом t ∈ [t_k, t_k+1), достаточно, чтобы ее производная d(trace(Q(t)))/dt бы-

ла минимальной по параметрам β > 0, α > µ₀/β при всех t ∈ [t_k, t_k+1). По-

скольку d(trace(Q(t)))/dt = trace(dQ(t)/dt), то приходим к следующей задаче

оптимизации:

(

)

µ₁

(Π.1) trace A_zQ + QA^Tz + αQ +

D_zD^Tz +βΦ_zΦ^Tz +

QC^TfzC_fzQ

→

αβ - µ₀

→ min.

α,β

Так как trace(A_zQ + QA^Tz) не зависит от α и β, то минимум для (П.1) (если

существует) будет отличаться от минимума функции F (α, β) = αtrace(Q)+

+ βαβ-µ

C_fzQ) на постоянную при

trace(D_zD^Tz) + βtrace(Φ_zΦ^Tz) +µ1β^trace(Q

каждом t величину trace(A_zQ + QA^Tz). По условиям леммы матрицы Φ_z

и D_z имеют хотя бы по одному ненулевому элементу при каждом t ∈

∈ [t_k, t_k+1). Величины trace(D_zDTz ) и trace(Φ_zΦTz ) будут положительными

при всех t ∈ [t_k, t_k+1), так как они представляют собой квадрат нормы Фро-

бениуса для матриц D^Tz и Φ^Tz соответственно. Матрица Q(t) является по-

ложительно определенной при всех t ∈ [t_k, t_k+1), так что trace(Q(t)) > 0 и

trace(QC^TfzC_fzQ) ≥ 0. Функция F (α, β) определена, непрерывна, непрерывно

116

дифференцируема, ограничена снизу F (α, β) > 0 в открытой выпуклой обла-

сти β > 0, α > µ₀/β. Проверим условие выпуклости функции F (α, β) по α, β.

Для этого вычислим частные производные второго порядка для F (α, β) по

параметрам β, α:

(Π.2)

∂ trace(dQ(t)/dt)/∂α = trace(Q(t)) -

trace(D_zD^Tz

(αβ - µ₀)²

µ₁

(Π.3)

∂ trace(dQ(t)/dt)/∂β = -

trace(QC^TfzC_fz

Q) -

β²

µ₀

−

trace(D_zD^Tz) + trace(Φ_zΦ^Tz),

(αβ - µ₀)²

2β

∂²trace(dQ(t)/dt)/∂α² =

trace(D_zD^Tz),

(αβ - µ₀)³

2βµ₀

∂²trace(dQ(t)/dt)/∂α∂β = ∂²trace(dQ(t)/dt)/∂β∂α =

trace(D_zD^Tz),

(αβ - µ₀)³

2µ₁

2µ₀α

∂²trace(dQ(t)/dt))/∂β² =

trace(QC^TfzC_fzQ) +

trace(D_zD^Tz).

β³

(αβ - µ₀)³

Легко видеть, что матрица вторых производных (гессиан)

[

]

β³

µ₀β

∇²F(α,β) =

trace(D_zD^Tz)

(αβ - µ₀)³

µ₀β µ₀α

[

]

2µ₁trace(QC^TfzCfzQ)/β3

является положительно определенной при всех β > 0, α > µ₀/β. Согласно

теореме 5 из [38, c. 163], функция F (α, β) является выпуклой по парамет-

рам β, α из области определения. Известно, что если выпуклая функция

имеет минимум внутри открытой выпуклой области, то этот минимум бу-

дет глобальным. Для нахождения минимума определим стационарные точ-

ки, используя необходимые условия экстремума функции [38]. Приравнивая

производные (П.2), (П.3) нулю, получаем:

(Π.4)

trace(Q(t)) =

trace(D_zD^Tz

(αβ - µ₀)²

µ₁

µ₀

(Π.5)

trace(Φ_zΦ^Tz) =

trace(QC^TfzC_fzQ) +

trace(D_zD^Tz

β²

(αβ - µ₀)²

Уравнение (П.5) c учетом (П.4) принимает вид

[

]

trace(Φ_zΦ^Tz) =

µ₀trace(Q(t)) + µ₁trace(QC^TfzC_fzQ)

β²

Отсюда находится β(Q(t)) как в (8). Далее из первого уравнения находим

(αβ - µ₀)² =β2trace(Dz D^z)trace(Q(t)) и, извлекая квадратный корень из обеих частей,

117

получаем второе в (8) выражение для α(Q(t)). Так что (8) является един-

ственным решением уравнений (П.2), (П.3) при β > 0, α > µ₀/β.

Выше было показано, что матрица вторых частных производных является

положительно определенной при всех β > 0, α > µ₀/β, а значит, и для β, α

из (8). Таким образом, согласно достаточным условиям [38] полученные выра-

жения (8) действительно доставляют глобальный минимум d(trace(Q(t)))/dt

при каждом t ∈ [t_k, t_k+1), что завершает доказательство леммы.

Доказательство теоремы 6. В случае периодического дискрет-

ного управления (h_k = h = const > 0), как показано в разделе 3, задача по-

строения оценки состояния сводится к совокупности задач оптимизации

trace(Q(t_k+1 - 0)) → min с ЛМН ограничениями (10), (12)-(14) для всех k =

= 0, . . . , N - 1. С учетом (19) матричное неравенство (10) здесь принимает

вид

(

)

Q(t_k)

J + BK(t_k)C)Q(t_k - 0)

≥ 0.

Q(t_k - 0)

J + BK(t_k)C)^T

Q(t_k - 0)

Далее, умножая последнее неравенство слева на матрицу diag(I, C), а

справа на diag(I, C^T) и вводя замену Y_k = K(t_k)CQ(t_k - 0)C^T, приходим

к РЛМН (20) относительно матричных переменных Q(t_k), Q(t_k+1 - 0) и Y_k.

Ограничение на управление (17) обеспечивается ЛМН (21). Отметим, что

параметр α_k при каждом k = 0, 1, 2, . . . , N - 1 определяется из (8) по извест-

ной после k-й итерации матрице Q(t_k - 0), а матрица CQ(t_k - 0)C^T будет

положительно определенной, так как является верхним левым блоком раз-

мерности (n × n)-матрицы Q(t_k - 0). Теорема 6 доказана.

Автор выражает благодарность А.И. Матасову за ряд ценных замечаний

по статье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hetel L., Fiter C., Omran H., Seuret A., Fridman E., Richard J.-P., Niculescu S.

Recent Developments on the Stability of Systems with Aperiodic Sampling: an

Overview // Automatica. 2017. V. 76. P. 309-335.

2. Seuret A. Contributions to the Stability Analysis and Control of Networked Systems.

Automatic Control Engineering. Université Toulouse 3 Paul Sabatier, 2017.

3. Hespanha J.P., Naghshtabrizi P., Xu Y. A Survey of Recent Results in Networked

Control Systems // Proc. IEEE. 2007. V. 95 (1). P. 138-162.

4. Zhang X.-M., Han Q.-L., Yu X. Survey on Recent Advances in Networked Control

Systems // IEEE Trans. Ind. Inf. 2016. V. 12. P. 1740-1752.

5. Lee T., Wu Z.-G., Park J. Synchronization of a Complex Dynamical Network with

Coupling Time-Varying Delays via Sampled-Data Control // Appl. Math. Comput.

2012. V. 219 (3). P. 1354-1366.

6. Fridman E., Seuret A., Richard J.-P. Robust Sampled-Data Stabilization of Linear

Systems: An Input Delay Approach // Automatica. 2004. V. 40. P. 1441-1446.

7. Fridman E. A Refined Input Delay Approach to Sampled-Data Control // Automat-

ica. 2010. V. 46. P. 421-427.

118

Naghshtabrizi P., Hespanha J., Teel A. On the Robust Stability and Stabilization of

Sampled-Data Systems: A Hybrid System Approach. // Proc. 45th IEEE Conf. on

Decision and Control, San Diego, CA, USA, 13-15 December 2006. P. 4873-4878.

Naghshtabrizi P., Hespanha J.P, Teel A.R. Exponential Stability of Impulsive Sys-

tems with Application to Uncertain Sampled-Data Systems // Syst. Control Lett.

2008. V. 57. P. 378-385.

10.

Suh Y. Stability and Stabilization of Nonuniform Sampling Systems // Automatica.

2008. V. 44. P. 3222-3226.

11.

Fujioka H. A Discrete-time Approach to Stability Analysis of Systems with Aperi-

odic Sample-and-hold Devices // IEEE Trans. Automat. Control. 2009. V. 54 (10).

P. 2440-2445.

12.

Oishi Y., Fujioka H. Stability and Stabilization of Aperiodic Sampled-Data Con-

trol Systems Using Robust Linear Matrix Inequalities // Automatica. 2010. V. 46.

P. 1327-1333.

13.

Chen W.-H., Zheng W.X. Input-to-State Stability for Networked Control Systems

via an Improved Impulsive System Approach // Automatica. 2011. V. 47. P. 789-796.

14.

Seuret A. A Novel Stability Analysis of Linear Systems under Asynchronous Sam-

pling // Automatica. 2012. V. 48. P. 177-182.

15.

Zhang C.-K., Jiang L., He Y., Wu H., Wu M. Stability Analysis for Control Sys-

tems with Aperiodically Sampled Data Using an Augmented Lyapunov Functional

Method // IET Control Theory Appl. 2012. No. 7. P. 1219-1226.

16.

Seuret A., Peet M.M. Stability Analysis of Sampled-Data Systems Using Sum of

Squares // IEEE Trans. Automat. Control. 2013. V. 58 (6). P. 1620-1625.

17.

Briat C. Convex Conditions for Robust Stability Analysis and Stabilization of Linear

Aperiodic Impulsive and Sampled-Data Systems under Dwell-Time Constraints //

Automatica. 2013. V. 49. P. 3449-3457.

18.

Seuret A., Briat C. Stability Analysis of Uncertain Sampled-Data Systems with

Incremental Delay Using Looped Functionals // Automatica. 2015. V. 55. P. 274-278.

19.

Omran H., Hetel L., Petreczky M., Richard J.P., Lamnabhi-Lagarrigue F. Stability

Analysis of Some Classes of Input-Affine Nonlinear Systems with Aperiodic Sampled-

Data Control // Automatica. 2016. V. 70. P. 266-274.

20.

Jiang X., Yin Z., Wu J. Stability Analysis of Linear Systems Under Time-Varying

Samplings by a Non-Standard Discretization Method. // Electronics. 2018. V. 7 (10).

P. 1-11.

21.

Xiao S.-P., Lian H., Teo K., Zeng H.-B., Zhang X.-H. A New Lyapunov Functional

Approach to Sampled-Data Synchronization Control for Delayed Neural Networks //

J. Franklin Inst. 2018. P. 8857-8873.

22.

Park J.M., Park P.G. An Improved Stability Criterion for Linear Systems with

Multi-Rate Sampled Data // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2020. V. 38.

P. 100947.

23.

Sevim U., Goren-Sumer L. Singular Value Assignment for Nonuniformly Sampled

Systems: Stabilization and Control. arXiv:1706.00967v2 [math.DS] 29 Jun 2020.

24.

Khargonekar P.P., Sivashankar N. H₂ optimal Control for Sampled-Data Systems //

Syst. Control Lett. 1991. V. 17. No. 6. P. 425-436.

25.

Hu L.S., Lam J., Cao Y.Y., Shao H.H. An LMI Approach to Robust H₂ Sampled-

Data Control for Linear Uncertain Systems // IEEE Trans. Syst., Man and Cyber-

netics, Part B: Cybernetics. 2003. V. 33. No. 1. P. 149-155.

26.

Kim J.H., Hagiwara T. Extensive Theoretical/Numerical Comparative Studies on

H₂ and Generalized H₂ Norms in Sampled-Data Systems // Int. J. Control. 2017.

V. 90. No. 11. P. 2538-2553.

119

27.

Kim J.H., Hagiwara T. Upper/Lower Bounds of Generalized H₂ Norms in Sampled-

Data Systems with Convergence Rate Analysis and Discretization Viewpoint // Syst.

Control Lett. 2017. V. 107. P. 28-35.

28.

Бирюков Р.С. Обобщенное H₂-управление линейным непрерывно-дискретным

объектом на конечном горизонте // АиТ. 2020. № 8. С. 40-53.

Birukov R.S. Generalized H₂-optimal Control of Continuous-Discrete Linear Plant

on a Finite Horizont // Autom. Remote Control. 2020. V. 81. No. 8. P. 1394-1404.

29.

Geromel J.C., Colaneri P., Bolzern P. Differential Linear Matrix Inequality in Op-

timal Sampled-Data Control // Automatica. 2019. V. 100. P. 289-298.

30.

Holicki T., Carsten W., Scherer C.W. Output Feedback Synthesis for a Class of

Aperiodic Impulsive Systems. arXiv:1910.03486v3 [math.OC] 21 Jun 2020.

31.

Rios H., Hetel L., Efimov D. Robust Output-feedback Control for Uncertain Linear

Sampled-Data Systems: A 2D Impulsive System Approach // Nonlinear Analysis:

Hybrid Systems, 2019. P. 177-201.

32.

Amato F., Ambrosino R., Ariola M., Cosentino C., De Tommasi G. Finite Time

Stability and Control. London: Springer-Verlag, 2014.

33.

Amato F., De Tommasi G., Pironti A. Finite-time Stability: an Input-output Ap-

proach. N.Y.: Wiley, 2018.

34.

Маликов А.И. Оценивание состояния и стабилизация непрерывных систем с

неопределенными нелинейностями и возмущениями // АиТ. 2016. № 5. С. 19-36.

Malikov A.I. State Estimation and Stabilization of Continuous Systems with Uncer-

tain Nonlinearities and Disturbances // Autom. Remote Control. 2016. V. 77. No. 5.

P. 764-778.

35.

Маликов А.И. Оценивание состояния и стабилизация дискретных систем с

неопределенными нелинейностями и возмущениями // АиT. 2019. № 11. С. 59-82.

Malikov A.I. State Estimation and Stabilization of Discrete-time Systems with Un-

certain Nonlinearities and Disturbances // Autom. Remote Control. 2019. V. 80.

No. 11. P. 1976-1995.

36.

Маликов А.И., Дубакина Д.И. Численные способы решения задач оптимизации

с дифференциальными линейными матричными неравенствами // Изв. ВУЗов.

Математика. 2020. № 4. С. 74-86.

Malikov A.I., Dubakina D.I. Numerical Methods for Solving Optimization Problems

with Differential Linear Matrix Inequalities // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 2020.

No. 4. P. 74-86.

37.

Маликов А.И. Синтез наблюдателей состояния по результатам измерений для

нелинейных липшицевых систем с неопределенными возмущениями //АиT.

2017. № 5. С. 16-35.

Malikov A.I. State Observer Synthesis by Measurement Results for Nonlinear Lips-

chitz Systems with Uncertain Disturbances // Autom. Remote Control. 2017. V. 78.

No. 5. P. 782-797.

38.

Васильев В.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.И. Матасовым.

Поступила в редакцию 11.09.2020

После доработки 21.11.2020

Принята к публикации 08.12.2020

120