Автоматика и телемеханика, № 7, 2021

А.В. МОЛОДЕНКОВ, д-р техн. наук (molalexei@yandex.ru)

(Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО

В СМЫСЛЕ КОМБИНИРОВАННОГО ФУНКЦИОНАЛА РАЗВОРОТА

ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА¹

В кватернионной постановке рассматривается задача оптимального

управления пространственной переориентацией космического аппарата

как твердого тела с одной осью симметрии без ограничения на функ-

цию управления. В качестве критерия оптимальности используется ком-

бинированный функционал, который объединяет время и энергию, за-

траченные на разворот космического аппарата. На основании принципа

максимума Л.С. Понтрягина для этой задачи получены новые аналитиче-

ские решения в классах конических и обобщенных конических движений.

Приводятся численные примеры.

Ключевые слова: оптимальное управление, космический аппарат, осесим-

метричное твердое тело, аналитическое решение.

DOI: 10.31857/S0005231021070059

1. Введение

Построение управления угловым движением космического аппарата (КА)

как твердого тела в традиционной постановке включает задачи программно-

го углового движения (разворота), программного управления и построения

управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. За-

дача построения программного углового движения и программного управле-

ния во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального

управления. Точное аналитическое решение этой задачи для наиболее ча-

сто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных

условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в

случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной дина-

мической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения

задачи (например, [1-13]); в общем случае приходится рассчитывать только

на приближенные численные методы. Между тем аналитическое решение за-

дачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет

не только теоретический, но и большой практический интерес, так как поз-

воляет использовать на борту КА готовые законы программного управления

и изменения оптимальной траектории.

В статье (разделы 2-6) в традиционной постановке рассматривается зада-

ча оптимального разворота КА как твердого тела с одной осью симметрии

¹ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных

исследований (проект № 19-01-00205).

при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой

скорости КА без ограничения на управление. В качестве критерия оптималь-

ности используется комбинированный функционал, который объединяет вре-

мя и энергию, затраченные на переориентацию КА. С помощью замен пере-

менных исходная задача упрощается (в отношении динамических уравнений

Эйлера) до задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим

распределением масс, содержащей одно дополнительное скалярное диффе-

ренциальное уравнение. С использованием кватернионов на основании прин-

ципа максимума Л.С. Понтрягина получено точное аналитическое решение

этой задачи в классе конических движений. Представлено явное выражение

для оптимального управления и постоянного по модулю оптимального векто-

ра угловой скорости КА. Траектория движения осесимметричного КА пред-

ставляет собой регулярную прецессию (в этом отличие предлагаемого реше-

ния от [4]). Векторы начального и конечного значений угловой скорости КА

должны принадлежать конической поверхности, порождаемой произвольно

заданными постоянными условиями задачи. В разделах 7, 8 статьи получе-

но аналитическое решение модифицированной задачи оптимального в смысле

комбинированного функционала разворота КА при произвольных граничных

условиях по угловому положению и угловой скорости КА. В классе обоб-

щенных конических движений произведена модификация традиционной за-

дачи оптимального разворота, которая позволила получить аналитические

решения для уравнений движения, содержащие произвольные постоянные и

две произвольные скалярные функции (параметры обобщенного конического

движения). Относительно этих функций и их производных формулируется

и решается оптимизационная задача, в которой в качестве управлений вы-

ступают вторые производные от этих двух функций. Полученное аналити-

ческое решение модифицированной задачи может рассматриваться как при-

ближенное (квазиоптимальное) решение традиционной задачи оптимального

разворота КА. Следует отметить, что для случаев аналитической разрешимо-

сти традиционной задачи оптимального разворота при сферической симмет-

рии КА, когда наложены ограничения на краевые условия задачи плоский

эйлеров разворот, коническое движение, решения традиционной и моди-

фицированной задач полностью совпадают [8-11]. В разделе 9 приводятся:

численный пример решения задачи оптимальной переориентации КА с одной

осью симметрии в классе конических движений (в виде регулярной прецес-

сии); примеры, показывающие близость решений традиционной и модифици-

рованной задач оптимального разворота КА при произвольных граничных

условиях.

Статья продолжает исследования, начатые в [11-13]. Отметим, что в

[12, 13] были получены аналитические решения традиционной и модифици-

рованной задач оптимальных по быстродействию и в смысле минимума энер-

гетических затрат разворотов осесимметричного КА в классах конических и

обобщенных конических движений. В [11] найдено аналитическое решение

задачи оптимального в смысле комбинированного функционала разворота

сферически-симметричного твердого тела.

2. Постановка задачи

Движение КА как твердого тела с одной осью симметрии вокруг центра

масс описывается дифференциальными уравнениями [1]:

(2.1)

=L◦w,

I₁w˙₁ = M₁,

(2.2)

I₂w˙₂ = M₂ - (I₁ - I₂) w₁w₃,

I₂w˙₃ = M₃ + (I₁ - I₂) w₁w₂.

Здесь фазовыми координатами являются L(t) нормированный кватернион

поворота КА:

L(t) = l₀(t) + l₁(t)i₁ + l₂(t)i₂ + l₃(t)i₃ = [l₀(t), l₁(t), l₂(t), l₃(t)]^T ,

∥L∥ = l²⁰ + l²¹ + l²² + l²³ = 1,

где i₁, i₂, i₃ - орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Га-

мильтона), которые можно идентифицировать с ортами i₁, i₂, i₃ жестко свя-

занного с КА трехмерного векторного пространства, и w(t) - вектор угловой

скорости КА:

w(t) = w₁(t)i₁ + w₂(t)i₂ + w₃(t)i₃ = [w₁(t), w₂(t), w₃(t)]^T,

причем символ “◦” означает кватернионное умножение, а управление век-

тор M(t) действующего на КА внешнего момента

M(t) = M₁(t)i₁ + M₂(t)i₂ + M₃(t)i₃ = [M₁(t), M₂(t), M₃(t)]^T.

Фазовые координаты и управление подчинены требованиям задачи понтря-

гинского типа (L(t), w(t) - непрерывные функции, M(t) - кусочно-непрерыв-

ная функция). В динамических уравнениях Эйлера (2.2) для КА с одной осью

симметрии (направленной в данном случае вдоль орта i₁ связанной с КА си-

стемы координат) I₁, I₂ - главные центральные моменты инерции твердого

тела, I₁, I₂ = const > 0.

Заданы произвольные граничные условия по угловому положению

(2.3)

L(0) = L₀, L(T ) = L_T

и у гловой скорости КА

(2.4)

w(0) = w₀, w(T ) = w_T .

Требуется определить оптимальное управление M^опт(t) системой (2.1),

(2.2) при условиях (2.3)-(2.4), доставляющее минимум функционалу

∫T

(

)

(2.5)

J =

1 + aM²

dt,

где a = const > 0, время Т не задано. Функционал (2.5) представляет собой

комбинацию двух критериев с размерным весовым множителем a: времени и

энергии, затраченных на разворот КА.

3. Переход к безразмерным переменным

Перейдем от размерных переменных в задаче к безразмерным по форму-

лам

((

)∕

)_1/2

I^масш =

I²¹ + 2I²²

I^{безразk} = I_k/I^масш, k = 1,2;

w^безраз = (I^масш)^1/2 a^1/4w, t^безраз = (I^масш)^-1/2 a^-1/4t,

M^безраз = a^1/2M, J^безраз = (I^масш)^-1/2 a^-1/4J,

при этом вид выражений (2.1)-(2.4) не изменится, а функционал (2.5) примет

вид

∫T

(

)

(3.1)

J =

1+M²

dt.

Далее будем иметь в виду постановку задачи (2.1)-(2.4), (3.1) в безразмер-

ных переменных, и верхние индексы у них будут опущены. Таким образом,

безразмерная задача явно не зависит от параметра а. Зависимость возникнет

лишь при обратном переходе к размерным переменным.

4. Замены переменных в задаче с осевой симметрией КА

С целью упрощения (в отношении динамических уравнений Эйлера) за-

дачи (2.1)-(2.4), (3.1) осуществим замены переменных, сводящие исходную

задачу к задаче оптимального разворота КА со сферическим распределе-

нием масс, содержащей одно дополнительное скалярное дифференциальное

уравнение. Для этого перепишем уравнения (2.2) в виде

w₁ = m₁,

w₂ = b₁m₂ - bw₁w₃,

w₃ = b₁m₃ - bw₁w₂,

где

m₁ = M₁/I₁, m₂ = M₂/I₁, m₃ = M₃/I₁, b = (I₁ - I₂)/I₂, b₁ = I₁/I₂.

Заменим переменные w₁, w₂, w₃ на новые ω₁, ω₂, ω₃:









w₁

b^-11

ω₁



(4.1)

 w₂

=0

cos(θ(t))

-sin(θ(t))



ω₂

.

w₃

ω₃

sin(θ(t)) cos(θ(t))

Тогда получим для уравнений Эйлера (2.2) в кватернионной записи

(4.2)

ω=B◦b₁

m ◦ B,

(4.3)

B(t) = exp {i₁

θ(t)/2} ,

где “∼” - сопряжение кватерниона, “exp { . }” - кватернионная экспонента,

вектор m = [m₁, m₂, m₃]^T,

∫t

(4.4)

θ(t) = b₂ ω₁

(τ) dτ,

b₂ = bb^-11 = 1 - I₂/I₁ = 1 - b^-11.

Отметим, что |B(t)| = 1, ∀t.

Кватернионное уравнение углового движения КА (2.1) при этом запишется

так:

(

)

(4.5)

2L=L◦B◦

b^-11ω₁i₁ + ω₂i₂ + ω₃i₃

◦B,

где кватернион B определяется (3.3).

С учетом начального условия по угловой скорости КА (1.5) уравнение (3.2)

можно переписать следующим образом:

(4.6)

β◦b₁

m◦β,









 ∫ t

∫



(4.7)

β(t) = exp

i₁b₂

 m₁(ξ)dξ + w01dτ/2





Нелинейное выражение, стоящее в правой части (4.5) и зависящее только

от переменных m_k(t), k = 1, 3, примем за новое управление u(t):

(4.8)

β◦b₁

m◦β,

где β определяется (4.7). Отметим, что u₁(t) = b₁m₁(t), и поэтому в замене

переменных (4.8) всегда можно совершить обратный ход: по новой векторной

переменной u(t) (когда она будет известна) восстановить управление m(t)

задачи (2.1)-(2.4), (3.1).

Модуль вектора нового управления связан с модулем вектора управляю-

щего момента КА так:



|u| =

β◦b₁m◦β=b1

β |m| |β| = b1 |m| = b1 |M| /I1 = |M| /I2

Исходя из (3.5), осуществим еще одну замену переменных:

(4.9)

L=Λ◦B

где Λ = Λ(t) - новая кватернионная переменная, описывающая угловое по-

ложение КА, при этом, так как

∥B(t)∥ = |B(t)|² = 1, ∀t,

то

∥L(t)∥ = ∥Λ(t)∥ = 1, ∀t.

С учетом всех указанных выше замен переменных задача оптимального

разворота КА (2.1)-(2.4), (3.1) примет вид

(4.10)

2Λ

=Λ◦ω,

(4.11)

ω= u,

(4.12)

θ=b₂ω₁,

(4.13)

θ (0) = 0,

(4.14)

ω (0) = ω₀ = b₁w01 i₁ + w02 i₂ + w03 i₃, Λ (0) = Λ₀ = L₀,

ω (T ) = ω_T = B (θ(T )) ◦ (b₁wT1 i₁ + wT2 i₂ + wT3 i₃) ◦ B (θ(T )) ,

(4.15)

Λ(T) = Λ_T = L_T ◦ B(θ(T)),

∫T

(

)

(4.16)

J =

1+I²²u²

dt → min,

где w01 , w02 , w03 , wT1 , wT2 , wT3 компоненты вектора

w(t) = [w₁(t), w₂(t), w₃(t)]^T

в начальный и конечный моменты времени соответственно, а кватернион

B (θ(T )) определяется по формуле (4.3).

Согласно (4.9), (4.15) задачу (4.10)-(4.16) можно переформулировать так:

в восьмимерном фазовом пространстве Λ × ω × θ управляемую систему

(4.10)-(4.12) необходимо оптимально в смысле функционала (4.16) переве-

сти из начального состояния (3.14) на многообразие, которое определяется

соотношениями

vect( Λ ◦B (θ) ◦LT ) = 0,

(4.17)

ω - B (θ) ◦ (b₁wT1i₁ + wT2i₂ + wT3i₃) ◦ B(θ) = 0,

где “vect ( . )” обозначает векторную часть кватерниона.

Из этой задачи найдем оптимальные управление u^опт и траекторию Λ^опт,

ω^опт. Как видно, векторное дифференциальное уравнение (4.11) имеет струк-

туру, соответствующую динамическим уравнениям Эйлера для сферически-

симметричного твердого тела. Это существенно облегчает исследование за-

дачи.

Далее будем рассматривать задачу (4.10)-(4.16) ((4.17)).

5. Применение принципа максимума

Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтрягина [1, 14]. Вве-

дем вспомогательные функции Ψ(t) (кватернион) и ϕ(t) (вектор), со-

ответствующие фазовым координатам Λ(t) и ω(t). Составим функцию

Гамильтона-Понтрягина

(

)

(5.1)

H = -ψ^∗

1+I²²u²

+ (Ψ,Λ ◦ ω) /2 + (ϕ,u) + b₂ω₁

ρ,

где постоянная ψ^∗ ≥ 0, а “( . , . )” означает скалярное произведение векторов.

Будем рассматривать невырожденные решения краевой задачи принципа

максимума, для которых ψ^∗ > 0. В силу однородности функции Гамильтона-

Понтрягина Н [14] в (5.1) положим ψ^∗I²² = 1.

Сопряженная система:



 2Ψ=Ψ◦ω,

ρ = 0,

(5.2)

(

)∕



ϕ = -vect

Λ◦Ψ

2-b₂ρi₁.

Как видно, уравнения для переменных Ψ и Λ совпадают с точностью до

константы. Используя это и введя обозначение [1]

(5.3)

p = vect(Λ ◦ Ψ) = Λ ◦ c_v

◦ Λ,

где c_v - произвольная векторная постоянная, сопряженную систему запишем

так:

{

p = Λ ◦ c_v ◦ Λ, ρ = ρ₀ = const,

(5.4)

ϕ = -p/2 - b₂ρ0 i₁.

Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на само-

сопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (4.10)

(замена кватернионной сопряженной переменной Ψ на векторную перемен-

ную p (5.3)), позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой

после применения принципа максимума, на четыре единицы.

Условие максимума функции Гамильтона-Понтрягина (5.1) дает следую-

щую структуру оптимального управления:

(5.5)

u^опт

= ϕ/2.

Как видно, вектор-функция управления в задаче носит непрерывный харак-

тер.

Из (4.11), (4.12), (5.4), (5.5) имеем:

(5.6)

p = [p,ω],

(5.7)

p = -4ω + 2b₂ρ₀i₁,

где “[ . , . ]” означает векторное произведение.

Подставляя (5.7) в (5.6), получим

(5.8)

ω= [ω - b₂ρ₀i₁

/2, ω].

Таким образом, оптимальная угловая скорость твердого тела на всем ин-

тервале времени движения удовлетворяет векторному дифференциальному

уравнению третьего порядка (5.8). Решение поставленной задачи оптималь-

ного управления сводится тем самым к решению краевой задачи (4.11), (5.8),

(4.13)-(4.16).

Из постановки задачи видно, что конечные значения фазовых координат

Λ(t), ω(t) не являются фиксированными величинами, а принадлежат мно-

гообразию, определяемому выражениями (4.5), (4.15), (4.16). Поэтому для

фазовых координат Λ(t), ω(t) θ(t) и сопряженных переменных Ψ(t), ϕ(t), ρ₀

в момент времени t = T выполняются условия трансверсальности

(5.9)

scal(Λ

◦ Ψ(t)) = 0,

где “scal ( . )” обозначает скалярную часть кватерниона, и

(5.10)

ρ₀ + p₁ (T)/2 + ϕ₂ (T) ω₃ (T) - ϕ₃ (T)ω₂

(T) = 0,

полное построение которых приведено в [12,13].

Относительно условия (5.9) отметим, что оно выполняется автоматиче-

ски при переходе к вектору сопряженных переменных p (5.3). Условие (5.10)

вытекает из первого интеграла задачи (4.11)-(4.17), (5.2)-(5.8), который спра-

ведлив для оптимального управления и оптимальной траектории и получа-

ется на основе выражений (4.12), (5.4)-(5.6). Покажем это.

Из (4.12), (5.5) следует, что [ ω, ϕ] = 0, ∀t ∈ [0, T ]. Тогда с учетом выраже-

ния для ϕ˙ (5.4) и p (5.6) можем записать

ω^•2ϕ₃ - ω^•3ϕ₂ + ω₂ϕ^•3 - ω₃ϕ^•2 = p^•1/2

или

(5.11)

p₁(t)/2 + ω₃(t)ϕ₂(t) - ω₂(t)ϕ₃(t) = const = ρ₀

∀t ∈ [0, T].

Это выражение и есть первый интеграл задачи (4.11)-(4.17), (5.2)-(5.8).

Отметим, что функция Гамильтона-Понтрягина (5.1) для оптимального

процесса управления может быть представлена в виде

(5.12)

H = -I^-22 + ω ² - (2ω + b₂ρ₀i₁, ω) + b₂ω₁ρ₀

= 0, t ∈ [0, T ].

6. Аналитическое решение задачи оптимального разворота КА

в классе конических движений

Будем искать решение уравнений (4.11), (5.8) в классе конических движе-

ний. Для этого оптимальную угловую скорость КА представим в виде

(6.1)

ω(t) = i₁γ + α e_δ ◦ (i₂ sin Ωt + i₃ cos Ωt) ◦ e_δ,

где α, δ, γ, Ω - неопределенные постоянные, а e_δ = exp{i₁δ/2}.

Последовательно дифференцируя (6.1) три раза по переменной t, получим:

(6.2)

ω= αΩe_δ ◦ (i2 cosΩt - i3 sinΩt) ◦ e_δ,

(6.3)

ω = -αΩ²e_δ ◦ (i2 sinΩt + i3 cosΩt) ◦ e_δ,

(6.4)

ω= -αΩ³e_δ ◦ (i₂ cos Ωt - i₃ sin Ωt) ◦ e_δ.

Подставляя (6.1)-(6.4) в (5.8) и учитывая выражения (4.12), (5.5), (5.11), убе-

димся в выполнении равенства в (5.8); при этом

(6.5)

γ = Ω - b₂α²/((1 + b₂)Ω), ρ₀ = 2α²Ω/(1 + b₂

Отметим, что

ω= [ω - b₂ρ₀i₁/2, ω] = ((ω - b₂ρ₀i₁/2) ◦ ω - ω ◦ (ω - b₂ρ₀i₁/2))/2.

Траектория движения КА при угловой скорости (5.1) из (3.10) находится

явно и имеет вид регулярной прецессии

(6.6)

Λ(t) = Λ₀ ◦ e_δ ◦ exp{(i₃α + i₁(γ - Ω))t/2} ◦ exp{i₁

(Ωt + δ)/2}.

Вектор оптимального управления u определяется из формул (4.11), (6.2).

Подставляя в выражение для функции Гамильтона-Понтрягина (5.12)

формулы (6.1)-(6.4), получим дополнительное условие

(6.7)

α²Ω² = I^-22

/3.

Возвращаясь к исходным безразмерным переменным задачи (2.1)-(2.4),

(3.1), запишем окончательные выражения для вектора оптимальной угловой

скорости

(6.8)

w(t) = i₁b^-11γ + α(i₂ sin((Ω - b₂γ)t + δ) + i₃ cos((Ω - b₂

γ)t + δ)),

кватерниона оптимальной траектории

(6.9)

L(t) = L₀ ◦ e_δ ◦ exp{(i₃α + i₁

(γ - Ω))t/2} ◦

◦ exp{i₁((b₂γ + Ω)t + δ))/2}

и в ектора оптимального управляющего момента КА

(6.10)

M(t) = I₂αΩ (i₂ cos((Ω - b₂γ)t + δ) - i₃ sin((Ω - b₂

γ)t + δ)) ,

где γ определяется первым из выражений (6.5).

При t = 0 из (6.7) имеем

(6.11)

w(0) = i₁b^-11(Ω - b₂α²/((1 + b₂)Ω)) + α(i₂ sin δ + i₃

cos δ).

При t = T из (6.7), (6.8), (2.3) имеем:

(6.12)

w(T ) = i₁b^-11(Ω - b₂α²/((1 + b₂)Ω)) + α(i₂ sin((Ω - b₂

γ)T + δ)) +

+ i3 cos((Ω - b₂γ)T + δ)),

(

(6.13)

vect

eδ ◦ exp{(i3α - i1b2α²/((1 + b2)Ω))T/2} ◦

◦ exp{i₁(ΩT(1 + b₂) - b²²α²T/((1 + b₂)Ω)) + δ)/2} ◦ LT ◦ L₀) = 0.

В выражения (6.10)-(6.12) входят три произвольные постоянные α, δ, Ω и

неизвестное время переориентации Т. Определяя их из условия (6.7) и си-

стемы трех нелинейных алгебраических уравнений (6.13), удовлетворим гра-

ничные условия по угловому положению КА (2.3) (α, δ, Ω, T будут зависеть

от компонент кватернионов L₀, L_T и главных центральных моментов инер-

ции КА (твердого тела) I₁, I₂). Из-за недостаточного количества произволь-

ных постоянных в решении задачи на величины w₀, w_T (2.4) налагаются

требования вида (6.11), (6.12).

Таким образом, в случаях, когда на граничные условия по угловой скоро-

сти КА наложены ограничения вида (6.11), (6.12) (это означает, что вектор

угловой скорости w(t) на всем интервале времени движения принадлежит

некоторой конической поверхности, определяемой в пространстве заданны-

ми постоянными задачи I₁, I₂, L₀, L_T ), траектория углового движения осе-

симметричного КА находится в классе конических движений и определяется

явными аналитическими выражениями (6.8), (6.9), управляющий момент КА

определяется (6.10).

Оптимальное значение функционала качества в безразмерных переменных

(3.1) составляет величину

∫T

(6.14)

J =

(1 + M²)dt = (1 + I²²α²Ω²

)T = 4T/3.

Из выражений (4.4), (4.6), (4.9), (4.10), (5.3), (5.5), (5.7), (6.5), (6.8) и (6.9)

можно найти сопряженные переменные. Тем самым, задача при существую-

щих ограничениях решена полностью.

Приведем алгоритм решения задачи оптимального разворота осесиммет-

ричного КА (2.1)-(2.4), (3.1) в безразмерных переменных в классе конических

движений:

Шаг 1. По заданным кватернионам L₀, L_T (2.3), главным центральным

моментам инерции КА (твердого тела) I₁, I₂ и формулам (6.7), (6.13) опре-

деляются величины α, δ, Ω и времени переориентации Т.

Шаг 2. Используя α, δ, Ω, I₁, I₂, Т, по формуле (6.11)

w^выч0 = i₁(Ω - b₂α²/((1 + b₂)Ω))I₂/I₁ + α(i₂ sinδ + i₃ cos δ)

и формуле (6.12)

w^вычT = i₁(Ω - b₂α²/((1 + b₂)Ω))I₂/I₁ + α(i₂ sin((Ω - b₂γ)T + δ)) +

+ i3 cos((Ω - b₂γ)T + δ)), b₂ = 1 - I₂/I₁

вычисляются значения векторов w^выч0, w^выч0.

Шаг 3. Полученные значения w^выч0, w^вычT сравниваются с заданными в

(2.4) величинами w₀, w_T .

Шаг 4. Если равенство на шаге 3 алгоритма выполняется, то оптималь-

ное решение задачи находится в классе конических движений; при этом угло-

вая скорость КА, траектория его углового движения, вектор управляющего

момента и значение функционала оптимизации вычисляются по формулам

(6.8)-(6.10), (6.14) и шагу 1 алгоритма.

Шаг 5. Сопряженные переменные задачи находятся по формулам (4.4),

(4.6), (4.9), (4.10), (5.3), (5.5), (5.7), (6.5), (6.8) и (6.9).

7. Модифицированная задача оптимального разворота твердого тела

Движение КА по-прежнему описывается соотношениями (2.1)-(2.4), (3.1)

при этом начальное и конечное значения по угловому положению и угловой

скорости КА произвольны. Далее будем рассматривать приведенную задачу

(4.10)-(4.17).

Одной из основных проблем при построении аналитического решения в

задаче оптимального разворота твердого тела (КА) является разрешимость

классической задачи Дарбу аналитического определения Λ(t) из уравнения

(4.10) при известных Λ₀, ω(t).

Для кватернионного дифференциального уравнения (4.10) при условии,

что вектор угловой скорости ω(t) задается выражением

(7.1)

ω(t) = i₁ f˙(t) sin g(t) + i₂ f˙(t) cos g(t) + i₃

ġ(t),

в котором f(t) и g(t) - произвольные функции времени, известно решение [15],

удовлетворяющее начальному условию (4.16)

Λ(t) = Λ₀ ◦ exp{-i₃g(0)/2} ◦ exp{-i₂f(0)/2} ◦ exp{i₂f(t)/2} ◦

(7.2)

◦ exp{i₃g(t)/2}.

Формулы (7.1), (7.2) включают в себя все известные точные аналитические

решения традиционной задачи оптимального разворота КА при его сфериче-

ской симметрии, когда вектор угловой скорости на всем интервале времени

движения КА постоянен по направлению или описывает в пространстве кру-

говой конус [1-3, 5, 6, 8-11].

Заметим [15], что задачу Дарбу с произвольно заданным вектором угло-

вой скорости ω(t) с помощью замен переменных можно свести к решению

уравнения типа (4.10) с угловой скоростью

ω^∗(t) = -(i₁f˙(t)sin g(t) + i₂f˙(t)cos g(t) + i₃ ġ(t)),

отличающейся от (7.1) только знаком. При этом явное аналитическое решение

этой задачи, как и при произвольном векторе ω(t), не известно.

Выражение (7.1) и решение (7.2) можно обобщить, добавив поворот на

постоянный угол вокруг некоторой оси. Такой поворот задается с помощью

кватерниона K, ∥K∥ = 1. Тогда вектор ω и кватернион Λ будут определяться

соотношениями

(7.3)

ω = K ◦ (i₁f˙(t)sing(t) + i₂f˙(t)cosg(t) + i₃

ġ(t)) ◦ K,

Λ = Λ₀ ◦ K ◦ exp{-i₃g(0)/2} ◦ exp{i₂(f(t) - f(0))/2} ◦

(7.4)

◦ exp{i₃g(t)/2} ◦ K.

Будем рассматривать вторые производные от функций f и g в качестве

управляющих параметров. Тогда если ввести обозначения

(7.5)

=f₁,

ġ=g₁,

то можно составить систему дифференциальных уравнений, описывающих

управляемую систему:

(7.6)

=f₁,

ġ=g₁,

1 = ν1,

ġ₁ = v₂,

где f, f₁, g, g₁ - фазовые координаты, v₁, v₂ - управляющие параметры. Огра-

ничимся случаем, когда кватернион K представляется в виде произведения

(7.7)

K = K₂ ◦ K₁, K₁ = exp{i₁α₁/2}, K₂ = exp{i₂α₂

/2},

где α₁, α₂ - некоторые постоянные. Отметим, что кватернионы K₁ и K₂ опре-

деляют поворот вектора ω (7.1) вокруг осей i₁, i₂. Поворот вокруг оси i₃ уже

включен в формулу (7.3), если учесть, что в функцию g(t) входит аддитивная

постоянная. Сопряженный кватернионK будет представляться так:

(7.8)

E₁ ◦

E₂,

E₁ = exp{-i₁α₁/2},

E₂ = exp{-i₂α₂

/2}.

Условия того, что выражения для ω, Λ (6.3), (6.4) удовлетворяют граничным

условиям (4.14), (4.15) ((4.17)) с учетом (7.7), (7.8), запишутся как

K ◦ (i₁f₁(0)sing(0) + i₂f₁(0)cosg(0) + i₃g₁(0)) ◦ K -

(7.9)

- b₁w01i₁ + w02i₂ + w03i₃ = 0,

K ◦ (i₁f₁(T)sing(T) + i₂f₁(T)cosg(T) + i₃g₁(T)) ◦ K -

(7.10)

- B (θ(T)) ◦ (b₁wT1i₁ + wT2i₂ + wT3i₃) ◦ B(θ(T)) = 0,

vect(L₀ ◦K ◦ exp{-i₃g(0)/2} ◦ exp{i₂(f(T ) - f(0))/2} ◦

(7.11)

◦ exp{i₃g(T)/2} ◦ K ◦ B(θ(T)) ◦ L_T ) = 0.

С учетом (7.7), компоненты вектора ω (7.3) имеют в явной форме вид

ω₁ = f₁ sin g cos α₂ - g₁ sinα₂,

(7.12)

ω₂ = f₁(sin g sin α₁ sin α₂ + cos g cos α₁) + g₁ sinα₁ cos α₂,

ω₃ = f₁(sin g cos α₁ sin α₂ - cos g sin α₁) + g₁ cos α₁ cos α₂.

Компоненты вектора управления u, который согласно (5.11) является произ-

водной по времени от вектора ω, определяется по формулам

u₁ = ω₁ = (v₁ sin g + f₁g₁ cos g)cos α₂ - v₂ sinα₂,

u₂ = ω₂ = v₁(sin g sin α₁ sin α₂ + cos g cos α₁) +

(7.13)

+ f₁g₁(cos g sinα₁ sin α₂ - sing cos α₁) + v₂ sin α₁ cos α₂,

u₃ = ω₃ = v₁(sin g cos α₁ sin α₂ - cosg sin α₁) +

+ f₁g₁(cos g cos α₁ sin α₂ + sin g sin α₁) + v₂ cos α₁ cos α₂.

Тогда для управляемой системы (7.6) можно сформулировать следующую

задачу оптимального управления, решение которой можно рассматривать

(с учетом замен переменных раздела 4) как приближенное (квазиоптималь-

ное) решение задачи (4.10)-(4.16) ((2.1)-(2.4), (3.1)): требуется найти опти-

мальные управления ν₁(t), ν₂(t), которые переводят управляемую систему

(7.6) из начального состояния

(7.14)

f = f(0), f₁ = f₁(0), g = g(0), g₁ = g₁

(0)

в конечное состояние

(7.15)

f = f(T), f₁ = f₁(T), g = g(T), g₁ = g₁

(T ),

удовлетворяющие соотношениям (7.9)-(7.11), в которых α₁, α₂ выступают

как параметры, подлежащие определению, и доставляют минимум комбини-

рованному функционалу, где время Т не задано,

∫T

(7.16)

J =

(1 + ν²¹ + ν²²

)dt.

Такую задачу оптимального управления будем называть модифицирован-

ной задачей оптимального разворота осесимметричного КА.

8. Решение задачи с помощью принципа максимума

Функция Гамильтона-Понтрягина для поставленной задачи оптимального

управления имеет вид

(8.1)

H = -(1 + ν²¹ + ν²²) + ψ₁f₁ + ψ₂g₁ + ψ₃ν₁ + ψ₄ν₂,

где ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄ - сопряженные переменные, удовлетворяющие системе

уравнений:

(8.2)

dψ₁/dt = 0, dψ₂/dt = 0, dψ₃/dt = -ψ₁, dψ₄/dt = -ψ₂.

Общее решение уравнений (8.2), содержащее произвольные постоянные

c₁,... ,c₄, имеет вид

(8.3)

ψ₁ = c₁, ψ₂ = c₂, ψ₃ = -c₁t + c₃, ψ₁ = -c₂t + c₄.

Из условия максимума для функции Гамильтона-Понтрягина (8.1) опре-

деляется оптимальное управление

(8.4)

ν₁ = ψ₃/2 = (-c₁t + c₃)/2, ν₂ = ψ₄/2 = (-c₂t + c₄

)/2.

После подстановки (8.4) в систему уравнений (7.6) находится общее реше-

ние для фазовых координат, содержащее восемь произвольных постоянных

c₁,... ,c₈:

f = -c₁t³/12 + c₃t²/4 + c₅t + c₇, g = -c₂t³/12 + c₄t²/4 + c₆t + c₈,

(8.5)

f₁ = -c₁t²/4 + c₃t/2 + c₅, g₁ = -c₁t²/4 + c₄t/2 + c₆.

Так как в поставленной задаче оптимального управления конечный мо-

мент времени Т не задается, то функция Гамильтона-Понтрягина (8.1) при

t = T должна обращаться в нуль

H = -(1 + ν²¹(T) + ν²²(T)) + c₁f₁(T) + c₂g₁(T) +

(8.6)

+ ψ₃(T)ν₁(T) + ψ₄(T)ν₂(T) = 0.

Для системы уравнений (7.6), (8.2) функция Н является первым интегра-

лом. По этой причине условие (8.6) выполняется для всех t ∈ [0, T ].

В связи с тем, что c₇ входит в функцию f как аддитивная постоянная, из фор-

мулы (7.4) видно, что эта постоянная не оказывает влияние; поэтому c₇ можно

положить равной нулю. Таким образом, для определения десяти неизвестных

постоянных задачи c₁, . . . , c₆, c₈, T и α₁, α₂ служат девять уравнений систе-

мы (7.9)-(7.11) и условие (8.6). Если формулы (8.5) подставить в (7.3), (7.4),

то будут получены аналитические выражения для определения законов из-

менения оптимальной угловой скорости и оптимальной траектории твердого

тела. Эти выражения определят оптимальный в смысле минимума комбини-

рованного функционала (7.16) разворот твердого тела в классе обобщенных

конических движений. Далее по формулам (4.1), (4.4), (4.10) вычисляются

вектор безразмерной угловой скорости w и кватернион ориентации КА L. По

формулам (7.13) определяются компоненты вектора u. Из выражений (4.2),

(4.4), (4.7), (4.8) следует, что безразмерный управляющий момент M выра-

жается через вектор u так

(8.7)

M=I₂B

(θ) ◦ u ◦ B(θ).

Формула (8.7) определяет аналитическое решение для управляющего момен-

та, соответствующего решению модифицированной задачи. Модифицирован-

ная задача оптимального разворота КА тем самым решена полностью. Полу-

ченные таким способом кватернион L и векторы w, M можно рассматривать

как приближенное решение традиционной задачи оптимального разворота

осесимметричного КА (твердого тела).

Следует отметить, что при сферической симметрии КА (I₁ = I₂ = I₃)

квадрат модуля безразмерного управляющего момента традиционной задачи

выражается через управляющие параметры и фазовые координаты модифи-

цированной задачи следующим образом:

(8.8)

M² = v²¹ + f²¹g²¹ + v²².

Если в задаче оптимального разворота сферически-симметричного КА векто-

ры граничных условий по угловой скорости ω₀, ω_T положить параллельными

vect(Λ0 ◦ Λ_T ) (плоский эйлеров разворот КА), то решения задач в традици-

онной и модифицированной постановках полностью совпадут. То же самое

можно сказать и о случае, когда решение традиционной задачи оптимально-

го разворота сферически-симметричного КА получено в классе конических

движений [11]. В этих случаях слагаемое f²¹g²¹ в (8.8) обращается в нуль и

функционал (7.16) полностью переходит в функционал (3.1) традиционной

задачи.

9. Численные примеры

В данном разделе на примере осесимметричного КА “Спейс Шаттл” [16]

приводятся результаты численных решений задачи оптимального разворота

в традиционной и модифицированной постановке для нескольких вариантов

граничных условий по угловому положению и угловой скорости КА. Ниже

на рисунках представлены графики изменения во времени компонент угло-

вой скорости w_i(t), i = 1, 3, векторной части кватерниона ориентации L_i(t),

i = 1,3 и компонент вектора управляющего момента M_i(t), i = 1,3 КА.

На рис. 1 приведены результаты решения задачи в традиционной поста-

новке в классе конических движений по формулам раздела 6.

Расчеты проводились для значений:

I₁ = 3400648 кг · м², I₂ = 21041672 кг · м², I₃ = I₂ = 21041672 кг · м²

или I₁ = 0,1967, I₂ = 1,2168, I₃ = I₂ (безразмерные моменты инерции);

L₀ = [0,79505, 0,29814, -0,39752, 0,34783]T,

(9.1)

L_T = [0,84434, 0,39846, -0,3260, 0,14848]T,

w₀ = [-0,02249, -0,21699, -0,61494]T,

w_T = [-0,02249, -0,14018, -0,63685]T,

где граничные условия по угловой скорости КА удовлетворяют ограничениям

раздела 6.

Вначале по формулам (6.7), (6.13), находились величины α, δ, Ω, T (α =

= 0,65210, δ = 3,48082, Ω = -0,72761, T = 0,74469), затем по формулам (6.8)-

(6.10) определялись векторы w, M и кватернион L.

На рис. 2 приведены результаты решения модифицированной задачи оп-

тимального разворота КА при произвольно выбранных граничных условиях

по угловому положению и угловой скорости КА по формулам разделов 7, 8.

Расчеты проводились для значений угловой скорости:

(9.2)

w₀ = [0,27388, -0,23883, -0,3]T, wT = [0, 0, -0,59]T;

граничные условия по угловому положению КА задавались (9.1)

Значения постоянных α₁, α₂, c₁, . . . , c₆, c₈, входящих в аналитическое ре-

шение задачи, таковы:

α₁ = -1,22190, α₂ = -0,89091, C₁ = -0,44648, c₂ = -3,82943,

c₃ = -0,63861, c₄ = -2,71375, c₅ = -0,37172,

c₆ = 0,28961, c₈ = -0,20978.

С граничными условиями (9.1), (9.2) при помощи универсальной програм-

мы численного решения, описанной в [17], также решалась задача оптималь-

ного разворота КА в традиционной постановке (2.1)-(2.4), (3.1) в безразмер-

ных переменных. Графики решения двух задач практически совпали. Для

примера в табл. 1 приведем значения компонент вектора M(t) на концах и в

100

Таблица 1

M^{традиц1}

M^{традиц2}

M^{традиц3}

M^модиф1

M^модиф2

M^модиф3

-0,1574

0,8887

-0,6587

-0,2123

0,8856

-0,7918

0,4925

-0,0792

0,2893

-0,3699

0,4840

-0,0521

0,3001

-0,3691

T = 0,9850

0,1460

-0,2898

-0,0539

T = 0,9679

0,0881

-0,3024

0,0072

Таблица 2

M^{традиц1}

M^{традиц2}

M^{традиц3}

M^модиф1

M^модиф2

M^модиф3

0,0074

-0,0655

-0,9978

0,0091

-0,0907

-1,2121

0,9356

0,0000

-0,0003

0,0000

0,8486

-0,0002

0,0076

-0,0006

T = 1,8713

-0,0074

0,0850

0,9963

T = 1,6972

-0,0086

0,0925

1,2121

промежуточных точках интервала времени движения КА [0, T ] в этих двух

решениях.

Значение функционала (3.1) для традиционной задачи в рассматриваемом

примере составляет 1,35662. Значение того же функционала вычисленного

на основе решения модифицированной задачи составляет J = 1,35928. Дру-

гими словами, в рассматриваемом примере расхождение между величинами

функционала (3.1) для традиционной и модифицированной задачи составля-

ет менее 0,00266. Таким образом, построено управление, которое сообщает

функционалу значение, близкое к оптимальному для традиционной задачи.

Из таблицы видно, что построенные управляющие моменты для этих двух

задач близки друг к другу.

На рис. 3 приведены результаты решения модифицированной задачи оп-

тимального разворота КА “Спейс Шаттл” в важном с практической точки

зрения случае разворота из положения покоя в положение покоя. По форму-

лам разделов 7, 8 расчеты проводились для граничных условий по угловому

положению (9.1) и угловой скорости КА

(9.3)

w₀ = w_T = [0, 0, 0]^T.

Значения постоянных α₁, α₂, c₁, . . . , c₆, c₈, входящих в аналитическое реше-

ние задачи, таковы:

α₁ = -1,47437, α₂ = -0,55315, c₁ = -2,35673, c₂ = 0,01373,

c₃ = -1,99997, c₄ = 0,01165, c₅ = 0,0, c₆ = 0,0, c₈ = -0,05078.

Также с граничными условиями (9.1), (9.3) численно решалась задача оп-

тимального разворота КА в традиционной постановке (2.1)-(2.4), (3.1). Гра-

фики решения двух задач практически совпали. Для примера в табл. 2 при-

ведены значения компонент вектора M(t) на концах и в середине интервала

времени движения КА [0, T ] в этих двух решениях.

Величина функционала (3.1) для традиционной задачи в рассматриваемом

примере составляет 2,49504. Значение того же функционала, вычисленного

на основе решения модифицированной задачи, составляет J = 2,53333. Таким

образом, расхождение между величинами функционала (2.6) для традицион-

ной и модифицированной задач составляет 0,03826.

104

Следует отметить, что кватернион ориентации КА L(t) может быть дву-

значным [1], т.е. L и -L соответствуют одному и тому же угловому положе-

нию КА в пространстве.

10. Заключение

Представленное в статье аналитическое решение традиционной задачи оп-

тимального разворота осесимметричного КА (твердого тела) в классе кониче-

ских движений (в виде регулярной прецессии) может найти свое применение

при построении систем управления КА, как и известное аналитическое реше-

ние задачи оптимального разворота сферически-симметричного КА, полу-

ченное в классе плоских эйлеровых разворотов. Решение модифицированной

задачи оптимального разворота осесимметричного КА можно использовать

для этих же целей как аналитическое приближенное (квазиоптимальное) ре-

шение задачи оптимального управления при произвольных граничных усло-

виях. Также отметим, что аналитическое решение модифицированной задачи

оптимального разворота осесимметричного КА при произвольных граничных

условиях, полученное на основе решения приведенной задачи (4.10)-(4.16),

оказалось существенно точнее, чем решение [18] (применительно к осевой

симметрии КА), где квазиоптимальный управляющий момент КА строился

на основе обратной задачи динамики КА по результатам решения модифи-

цированной задачи без приведения с помощью замен переменных системы

уравнений Эйлера для осесимметричного твердого тела к такой же системе

для тела со сферической динамической симметрией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориента-

ции твердого тела. М.: Наука, 1973.

2. Scrivener S.L., Thompson R.C. Survey of Time-Optimal Attitude Maneuvers //

J. Guidance, Control Dynam. 1994. V. 17. No. 2. Р. 225-233.

3. Петров Б.Н., Боднер В.А., Алексеев К.Б. Аналитическое решение задачи управ-

ления пространственным поворотным маневром // ДАН СССР. 1970. Т. 192. № 6.

С. 1235-1238.

4. Бранец В.Н., Черток М.Б., Казначеев Ю.В. Оптимальный разворот твердого

тела с одной осью симметрии // Космич. исслед. 1984. Т. 22. Вып. 3. С. 352-360.

5. Сиротин А.Н. Оптимальное управление переориентацией симметричного твер-

дого тела из положения покоя в положение покоя // Изв. АН СССР. МТТ. 1989.

№ 1. 36-47.

6. Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ори-

ентацией твердого тела: уравнения движения, постановка задач, программное

движение и управление // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 4. С. 7-14.

7. Levskii M.V. Pontryagin’s Maximum Principle in Optimal Control Problems of Ori-

entation of a Spacecraft // J. Comput. Sci. Int. 2008. V. 47. No. 6. P. 974-986.

8. Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. A New Class of Analytic Solutions in the Optimal

Turn Problem for a Spherically Symmetric Body // Mechan. Solid. 2012. V. 47. No. 2.

P. 167-177.

105

Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Optimal Slew Problem

of a Spherically Symmetric Spacecraft in the Class of Conical Motion // J. Comput.

Sci. Int. 2013. V. 52. No. 3. P. 491-501.

10.

Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Time-Optimal Slew

Problem of a Spherically Symmetric Spacecraft in the Class of Conical Motion //

J. Comput. Sci. Int. 2014. V. 53. No. 2. P. 159-171.

11.

Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Optimal Attitude Ma-

neuver Problem with a Combined Objective Functional for a Rigid Body in the Class

of Conical Motions // Mechan. Solid. 2016. Vol. 51. No. 2. P. 135-147.

12.

Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Optimal Slew Problem

for an Axisymmetric Spacecraft in the Class of Conical Motions // J. Comput. Sci.

Int. 2016. V. 55. No. 6. P. 969-985.

13.

Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. Analytical Solution of the Minimum Time Slew

Maneuver Problem for an Axially Symmetric Spacecraft in the Class of Conical

Motions // J. Comput. Sci. Int. 2018. V. 57. No. 2. P. 302-318.

14.

Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Матема-

тическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

15.

Molodenkov A.V. On the solution of the Darboux problem // Mechan. Solid. 2007.

V. 42. No. 2. P. 167-176.

16.

Li. F., Bainum P.M. Numerical Approach for Solving Rigid Spacecraft Minimum

Time Attitude Maneuvers // J. Comput. Sci. Int. 1990. V. 13. No. 1. P. 38-45.

17.

Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. Численное решение задачи оптимальной пе-

реориентации вращающегося космического аппарата // Мехатроника, автома-

тизация, управление. 2008. № 6. С. 66-70.

18.

Molodenkov A.V., Sapunkov Ya.G. Analytical Approximate Solution of the Problem

of a Spacecraft’s Optimal Turn with Arbitrary Boundary Conditions // J. Comput.

Sci. Int. 2015. V. 54. No. 3. P. 458-468.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Поступила в редакцию 07.07.2019

После доработки 24.02.2021

Принята к публикации 16.03.2021

106