Автоматика и телемеханика, № 8, 2021

Нелинейные системы

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

И УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЕЮ

Исследуются динамические свойства реакции одномерной упругой ме-

ханической системы на внешнее тепловое воздействие. Устанавливается,

что динамика объекта управления может быть описана схемой, состоящей

из двух операторов интегрирования, линейного ограниченного оператора

и оператора, отражающего собственные колебательные свойства объек-

та. Кроме того, устанавливается класс обратных связей от выхода систе-

мы к тепловому воздействию, обеспечивающих устойчивость замкнутой

системы.

Ключевые слова: распределенный термомеханический объект, динамиче-

ские свойства, оператор, обратная связь, замкнутая система, устойчи-

вость.

DOI: 10.31857/S0005231021080031

1. Введение

Термомеханические системы, в которых происходят процессы механиче-

ских колебаний и процессы теплопередачи, широко используются в совре-

менной технике, в связи с чем возникает необходимость математического ис-

следования динамических свойств таких систем и отыскания методов управ-

ления ими.

Литература по изучению явления термоупругости достаточно обширна.

После ранних работ [1-3] по изучению этого явления появилась работа [4],

исследовавшая термоупругость как часть общего явления упругости. В со-

временной литературе появились работы [5-7], посвященные изучению раз-

личных свойств термоупругих сред. В [8] развита современная теория тер-

момеханики упругопластического деформирования. В работе [9] изложена

постановка задачи о распространении термоупругих волн в одномерной твер-

дотельной среде.

В настоящей работе исследуются динамические свойства одномерной

упругой механической системы, подверженной внешнему тепловому воздей-

ствию на одной из границ. В качестве исходной основы для составления ма-

тематической модели процессов в такой системе была принята классическая

работа [4]. В частности, при принятом здесь описании процессов было исполь-

зовано, согласно [4, гл. 11 и 12], предположение о пренебрежимости влияния

механических колебаний упругой среды на процесс теплопередачи.

В работе устанавливается, что свойства реакции механических колебаний

объекта на внешнее тепловое воздействие могут быть описаны схемой, со-

стоящей из двух операторов интегрирования, линейного ограниченного опе-

ратора и оператора, отражающего собственные колебательные свойства объ-

екта. Получены оценки нормы каждого из этих операторов. Определяется

пространство управляющих воздействий, для которых выходные координаты

объекта — перемещения сечений и температура — являются ограниченными

функциями времени.

Далее устанавливаются ограничения на свойства внешней обратной свя-

зи от выхода объекта к управляющему воздействию, выполнение которых

обеспечивает устойчивость замкнутой системы (объект, обратная связь).

Эти ограничения получены на основе результатов [10], касающихся методов

управления линейным распределенным объектом общего вида.

2. Уравнения динамики термомеханической системы

как объекта управления

Система уравнений продольных колебаний одномерного упругого объекта

ограниченной длины, подвергающегося тепловому воздействию на одной из

границ, принимается в виде

⎧

⎪

∂²ϕ

∂θ

⎨

=c²

-β

∂t²

∂x²

∂x

(2.1)

⎪

∂θ

∂²θ

⎩

∂t

∂x²

где ϕ(x)(t), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l; a, c, β - положительные константы (см. [4, раз-

делы 11.1 и 12.2]).

Здесь ϕ(x)(t) - перемещение сечения, находящегося на расстоянии x от

места приложения теплового воздействия, θ(x)(t) - температура среды в се-

чении x.

Принимаются нулевые начальные условия по времени и граничные усло-

вия вида

⎧

⎪

∂ϕ

⎨

(0) = 0

∂x

(2.2)

⎪

∂ϕ

⎩

(l) = 0,

∂x

⎧

(

)

⎪

∂θ

⎨

-λ

+ αθ

(0) = u

∂x

(2.3)

(

)

⎪

∂θ

⎩ λ

+ αθ (l) = 0,

∂x

где u - управляющее тепловое воздействие; оно предполагается входящим в

пространство Q_у равномерно ограниченных функций времени со значения-

ми размерности управляющего воздействия и обладающим всеми свойствами

обобщенных оригиналов [11, п. 83]. Ниже, в разделе 6, вводится дополни-

тельное ограничение на выбор управляющего воздействия из условия, чтобы

введенное подпространство U пространства Q_у обладало следующим свой-

ством: для любого u ∈ U решение краевой задачи ((2.1), (2.2)) c управляю-

щим воздействием u является равномерно (по времени) ограниченной вектор-

(

)

ϕ(x)

функцией

θ (x)

3. Выражение для передаточной функции оператора u → θ (x)

Как видно из уравнений (2.1), второе из них вместе с двумя последни-

ми граничными условиями (2.2) может исследоваться отдельно от первого

уравнения. В [10, раздел 2] для граничных условий общего вида

(

)

(

)

(

)

u₁

(3.1)

C₀

(0) + C_l

(l) =

u₂

где q = -^∂θ∂x - тепловой поток; C₀, C_l - 2 × 2-матрицы; u₁, u₂ - управляю-

щие воздействия, получено выражение (в изображениях по Лапласу) для

зависимости θ(x) от воздействий u_j. Для принятого здесь вида гранич-

(

)

∝ 1

ных условий (условия (2.3) настоящей работы) u₁ = u, u₂ = 0, C₀ =

(

)

C_l =

. Поэтому выражение (2.2) из [10] принимает вид

∝ -1

(

)

))

l-x

⁽l-x

(3.2)

θ (x) = cosh

sinh

D_т (ζ)

√

где z - изображение по Лапласу от функции времени z, ζ(p) =

l, D_т (ζ) =

(

)

= 2α cosh ζ + α

+ rζ sinhζ, p ∈ C, C - комплексная плоскость, r = ^αλl.

Под

√p здесь понимается та ветвь квадратного корня из p, для которой

Re p ≥ 0.

В [12, раздел 3] получено необходимое и достаточное условие отсут-

ствия у функции D_т нулей в C⁺ = {p ∈ C : Re p ≥ 0}: выполнение нера-

{

}

(

)

a₁₂

венств

≤ 0 . (Здесь обозначено: a_j = det (C₀)_.j (C_l)_.j (j = 1,2),

a₂

≥ 0, a1a₂

a₁₂ = det((C₀).1 (C_l).2) - det((C₀).2 (C_l).1), (C_i)_.j - j-й столбец матрицы C_i.)

Для системы ((2.1)-(2.3)) имеем: a₁ = -∝², a₂ = 1, a₁₂ = 2 ∝, так что это

условие выполнено, и нули p_n функции D_т имеют вид

)₂

⁽τ_n

(3.3)

p_n = -a

(p ∈ n ≥ 0),

где τ_n - корни уравнения

τ² - r

(3.4)

τ cot τ =

(Достаточно считать, что τ > 0. Число τ_n - n-й корень уравнения (3.4) -

заключено в интервале (n, (n + 1)) π.)

Введем в рассмотрение пространство Q_т равномерно ограниченных функ-

ций времени со значениями размерности θ, обладающих всеми свойствами

обобщенных оригиналов [11, п. 83]. Норма в Q_т: ∥f∥Qт = supt≥0 |f (t)|.

Из результатов [12] следует, что оператор V_т (x), переводящий воздей-

ствие u в температуру θ (x), входит в пространство B_т линейных ограни-

ченных операторов, отображающих пространство Q_у в Q_т.

4. Оценка сверху нормы оператора V_т (x) : u → θ (x)

Для оценки сверху нормы оператора V_т (x) могут быть использованы ре-

зультаты [12, раздел 3]. В этом разделе содержатся оценки сверху норм опера-

торов R_H (ξ) и R_S (ξ), имеющих передаточные функции соответственноHξ(ζ)D

т(ζ)

(

)

(

)

S_ξ(ζ)

. (Здесь обозначено: H_ξ (ζ) = cosh

, Sξ (ζ) =√

sinh

ζ , ξ ∈ [0,l],

Dт(ζ)

ϑa

ϑ - фиксированная константа, имеющая размерность времени.)

)2a

В выражения для этих оценок входят параметры β₁ =

, β₁₂ =

a₂

)a₁₂

и C = β²¹² - 2|β₁|. Для системы ((2.1)-(2.3)) имеем: β1 = -r2,

a₂

β²¹² = 2r, т.е. C = 2r² > 0. Следовательно, эти оценки согласно [12, раздел 3]

могут быть представлены в виде

(

)

(4.1)

∥R_H (ξ)∥Bт ≤

r_т +

(

))

(4.2)

∥R_S (ξ)∥Bт ≤

√

r_т + min

aϑ

π³

где r_т =

, τ₀ - минимальный из корней уравнения (3.4).

τ²⁰+r²

[

]

[

]

(Число τ₀ заключено в пределах

r,π2

при r ≤π2 и в пределах

, min (r, π)

при r ≥π2 .)

Опираясь на оценки (4.1) и (4.2), из (3.2) получаем оценку сверху для

нормы оператора V_т (x) в пространстве B_т:

√

(4.3)

∥V_т (x)∥Bт ≤ ∥R_H (ξ)∥Bт +

aϑ∥R_S (ξ)∥

≤

Bт

[

)]

⁽1

≤

r_т (r + 1) + min

π³

5. Выражение для передаточной функции оператора u → ϕ (x)

Выполнив преобразование Лапласа первого из уравнений системы (2.1) по

времени при нулевых начальных условиях и первых двух граничных услови-

ях (2.2), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

∂²ϕ

∂θ

(5.1)

c²

(x) (p) - p²ϕ (x) (p) - β

(x)(p) = 0

∂x²

∂x

с граничными условиями

⎧

⎪

∂ϕ

⎨

(0) = 0,

∂x

(5.2)

⎪

⎩ ∂

(l) = 0.

∂x

Исследование зависимости решения краевой задачи ((5.1), (5.2)) от u

(влияющего на ϕ (x) через θ (x) согласно (3.2) и (5.1)) приводит к следую-

щему выводу:

Теорема 1. Зависимость ϕ(x) от u имеет вид

Φ (x) u

(5.3)

ϕ(x) = β

γ Dт◦ζ

где

(

⁽px⁾

⁽p(l - x)⁾⁾

Φ(x)(p) =

cosh

- A_c(ζ(p))cosh

pσ(p)

(

)

(

)

l-x

^√a

l-x

cosh

ζ(p)

sinh

ζ(p)

A_c(ζ) = cosh ζ +

sinhζ, σ(p) = sinh

p, γ(p) = ap - c².

В точке p_ос =c2aплоскостиCфункцияΦ(x),какнетруднопроверить,

обращается в нуль, и поэтому точка p_ос является устранимой особой точкой

[11, п. 22 ] ϕ (x) как функции на C.

Из (5.3) видно, что канал воздействий от u к ϕ (x) обладает двойным

интегрирующим свойством и что функция

Φ(x)(p)

(5.4)

Ψ(x)(p) = p

γ(p)D_т(ζ(p))

не имеет полюсов в C⁺ = {p ∈ C : Re p > 0}; она имеет простые полюса в

нулях функции Dт◦ζ, а также в нулях функции σ, т.е. в точках ±iω_k, где

ω_k = kπ^cl (k ≥ 0).

Введем в рассмотрение пространство (QL₁)_у = Q_у ∩ L_1y, где L_1y - про-

странство функций f со значениями размерности u, обла∫ающими всеми

∞

свойствами обобщенных оригиналов и конечным значением

|f(t)|dt. Нор-

ма в пространстве (QL₁)_у:

⎛

⎞

∞

∫

|f(t)| dt^⎠ ,

∥f∥(QL1)_у =max⎝∥f∥Qу^,ϑ11

где ϑ₁ - фиксированная константа, имеющая размерность времени.

Простейшим примером функции из (QL₁)_у может служить импульс раз-

мерности u:

⎧

⎨ 0 при t < 0,

(5.5)

v₁(t) =

при t ∈ [0, δ] ,

⎩

при t > δ.

Ниже аргумент x при функциях и операторах будем для краткости опус-

кать.

Функцию Ψ будем рассматривать как передаточную функцию операто-

ра V_Ψ, отображающего функцию u ∈ (QL₁)_у в пространство Q_Ψ равномерно

ограниченных функций времени со значениями размерности^tx θ, обладающих

свойствами обобщенных оригиналов.

Ниже получается представление оператора V_Ψ в виде суммы оператора

d-1 интегрирования в пространстве Or обобщенных оригиналов [11, п. 83],

линейного оператора B_Ψ : Q_у → Q_Ψ и линейного оператора Ω_Ψ : L_1y → Q_Ψ,

отражающего собственные колебательные свойства объекта. Затем получает-

ся представление для оператора V_м, отражающего реакцию координаты ϕ(x)

выхода объекта на входное воздействие u.

6. Представления для операторов V_Ψ и V_м

Теорема 2. Оригинал Ψ как функции от p ∈ C, т.е. импульсная пере-

ходная функция w (V_Ψ) оператора V_Ψ (реакция его на δ-функцию [11, п. 83])

имеет вид

[

]

∑

(6.1) w (V_Ψ) (t) = s (t) b₀ +

ψ_n exp (p_nt) +

(d_k cos ω_kt + f_k sin ω_kt)

n=0

k=1

где

{

при t < 0,

s (t) =

ω_k = kπ

(k ≥ 1),

при t ≥ 0,

cl²g1n (τ_n) + alg2n (τ_n)

b₀ =

ψ_n =

(

)

∝ l(r + 2)

(aτ_n)2 + (cl)2 (Dт)′ (pn)

(

)

(

)

cosh

aτ2nx/cl²

- cosh

aτ2n (l - x) /cl²

(cos τ_n + (r/τ_n) sin τ_n)

g1n =

sinh (aτ2n/cl)

)

⁽l-x

g2n = τ_nsin

τ_n

- rcos

τ_n

(

))

(_kπx)

Fdkcos

kπ

- G_dkcos

d_k = 2(-1)^kl

(

)

(akπ)² + (cl)2 |Dт (ζk)|2

(_kπx)

(

))

Gfkcos_l

-F_fkcos

kπ

l-^x

f_k = 2(-1)^kl

(

)

(akπ)² + (cl)2 |Dт (ζk)|2

Fdk = GdkReAc (ζk) - GfkIm Ac (ζk) , Ffk = GdkIm Ac (ζk) + GfkRe Ac (ζk) ,

Gdk = c²Re Dт (ζk) + aωkIm Dт (ζk) , Gfk = aωkRe Dт (ζk) - c²Im Dт (ζk) .

Из теоремы 2 следует

Теорема 3. Оператор V_Ψ представляется в виде суммы операторов

(6.2)

V_Ψ = b₀d-1 + B_Ψ + Ω_Ψ.

Здесь обозначено: d-1 - оператор интегрирования в пространстве Or обоб-

щенных оригиналов, B_Ψ - линейный оператор Q_у → Q_Ψ, имеющий импульс-

∑_∞

ную переходную функцию w (B_Ψ) (t) = s (t)

ψ_n (τ_n) exp (p_nt), Ω_Ψ - ли-

n=0

нейный оператор L_1y → Q_Ψ, имеющий импульсную переходную функцию

∑

w (Ω_Ψ) (t) = s (t)

(d_kcos ω_kt + f_ksin ω_kt).

k=1

Ниже, см. Приложение 4, будут получены оценки сверху норм операторов

d-1, B_Ψ и Ω_Ψ, что позволит дать оценку нормы оператора V_Ψ.

Введем теперь в рассмотрение пространство U, состоящее из функций

f ∈ (QL₁)_у, у которых первообразная (в пространстве обобщенных ориги-

налов) d-1f также входит в (QL₁)_у. Норма в пространстве U:

(

)



∥f∥_U = max

∥f∥_(QL

ϑ-12

^d-1f

)_у,

(QL₁)_у

где ϑ₂, аналогично ϑ₁, - фиксированная константа, имеющая размерность

времени.

Простейшим примером функции из U может служить двусторонний им-

пульс размерности u:

⎧

⎨

при t ∈ [0, δ),

(6.3)

v₂ (t) =

-1 при t ∈ [δ,2δ),

⎩

при t > 2δ.

Введем также в рассмотрение пространство Q_м, состоящее из равномерно

ограниченных функций времени со значениями размерности ϕ, обладающих

свойствами обобщенных оригиналов. Норма в Q_м аналогична норме в про-

странстве Q_т: ∥f∥Qм=supt≥0|f(t)|^.

Теорема 4. Оператор V_м, переводящий воздействие u ∈ U в ϕ(x) ∈ Q_м

в силу уравнений (2.1) с граничными условиями ((2.2), (2.3)), представля-

ется в виде

(6.4)

V_м = βd-1V_Ψ.

Норма V_м как оператора U → Q_м оценивается сверху следующим обра-

зом:

(6.5)

∥V_м∥ ≤ βϑ₂(M_B + ϑ₁ (b₀ + M_Ω

)).

7. Достаточное условие сохранения причинности и устойчивости объекта

при охвате его обратной связью

Добавим к системе, описываемой уравнениями (2.1) с граничными усло-

виями (2.2), обратную связь, т.е. систему вида

(7.1)

u = F (y,f),

(

)

где y =

, f - внешнее воздействие (будем считать его элементом некото-

рого нормированного пространства F), F - оператор (вообще говоря, нели-

нейный), переводящий пару (y, f) в u - управляющее воздействие для систе-

мы ((2.1)-(2.3)).

(

)

ψ₁

Введем в рассмотрение пространство Q₂ функций y =

, где ψ₁ ∈ Q_м,

ψ₂

(

)

ψ₂ ∈ Q_т; норма в Q₂: ∥y∥Q2 = max N-1м∥ψ₁∥Qм ,N-1т∥ψ₂∥Qт

, где N_м, N_т -

нормировочные коэффициенты, имеющие размерности ϕ и θ соответственно.

Как следует из результатов разделов 4 и 6, для того, чтобы выход y был

ограничен, т.е. входил в пространство Q₂, достаточно, чтобы u входило в про-

странство U. Для обеспечения этого условия оператор F должен отображать

пространство Q₂ × F в U.

Обозначим через F_f отображение y → F (y, f) (при фиксированном f ∈ F)

- оператор, переводящий функцию u ∈ U в пару функций

( чере)V

(

)

V_м (u)

∥V (u)∥_Q

∈ Q₂. За норму оператора V выберем supu∈U

V_т (u)

∥u∥_U

Согласно принципу сжимающих отображений (см., напр., [13, гл. II, § 4])

для существования и единственности решения замкнутой системы ((2.1)-

(2.3), (7.1)) достаточно, чтобы X_f = V ◦ F_f был сжимающим, т.е. удовлетво-

рял неравенству

(7.2)

∥X_f (y₁) - X_f (y₂)∥_Q

≤ L_X∥y₁ - y₂∥

Q₂

с единой для всех y ∈ Q₂ и f ∈ F константой L_X , строго меньшей 1.

Отсюда следует

Теорема 5. При выполнении условий

(7.3)

∥F_f (y₁) - F_f (y₂)∥_U ≤ L_F ∥y₁ - y₂∥

Q₂

(7.4)

∥F_f (0)∥_U ≤ K∥f∥_F,

где L_F - единая для всех y ∈ Q₂ константа (размерности u), удовлетво-

ряющая условию

(7.5)

L_F <

∥V ∥

и K - единая для всех f ∈ F константа, существует оператор A : F → Q₂,

переводящий внешнее воздействие f в решение системы ((2.1)-(2.3), (7.1)).

Оператор A обладает свойствами причинности [14] и ограниченности от-

∥A(f)∥_Q

ношения

² , равномерной по всем f ∈ F.

∥f∥_F

Доказательство существования оператора A и ограниченности отношения

∥A(f)∥_Q

см. в Приложении 6; доказательство причинности оператора A при-

∥f∥_F

водится в [10, приложение, п. 1].

Примером оператора F, отображающего простра((во)Q2 )F в U(мо)ет

ψ₁

служить нелинейный оператор, переводящий пару

,f (где

∈

ψ₂

∈ Q₂, f ∈ F) в функцию

(

)



ψ₁



(7.6)

∥f∥_F

ψ₂

 v

Q₂

где v₂ - см. (6.5).

8. Заключение

В работе для принятой здесь математической модели линейной распре-

деленной термомеханической системы получены операторные соотношения,

описывающие реакции выходных координат системы на управляющее тепло-

вое воздействие. Установлено функциональное пространство управляющих

воздействий, для которого эти реакции являются ограниченными функция-

ми времени, и получены оценки сверху для норм операторов, определяющих

реакции. На основе принципа сжимающих отображений определен класс об-

ратных связей от выходных координат к входному воздействию, для кото-

рого обеспечена устойчивость замкнутой системы управления (объект, об-

ратная связь), т.е. ограниченность реакций выходных координат системы на

внешнее по отношению к ней воздействие. Поскольку полученные оценки

норм операторов выражены как функции параметров объекта управления,

они могут быть вычислены для любого конкретного объекта, и по результа-

там вычислений могут быть определены параметры управляющих устройств,

обеспечивающих устойчивость замкнутой системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Доказательство теоремы 1. Выполним преобразование Лапласа

уравнения (5.1) по пространственной координате x ∈ [0, l] с учетом первого

из граничных условий (5.2) (см. [11, п. 80, формула (7)]:

(

)

(Π.1.1)

c²q² - p²

ϕ (q) (p) - βq θ (q) (p) = z₀

(q) (p),

где f - преобразование Лапласа от функции f (f(x)(p) ∈ C) по x,

z₀ (q) = c²qϕ(0) - βθ (0) , q ∈ C.

Отсюда следует выражение для ϕ (q):

qϕ (0) (p) - bθ (0) (p)

(Π.1.2)

ϕ(q)(p) =

θ (q) (p) +

q² - (p/c)²

где b =^β

c²

Выражение для θ (q) получаем, преобразуя выражение (3.2) для θ по Ла-

пласу по координате x. В силу формул (4) из [11, п. 80] преобразования (по x)

(_l-x

)

(_l-x

)

функций cosh

и sinh

, входящих в (3.2), имеют вид соответствен-

но

ζ/l

cosh ζ-

sinhζ и

sinhζ-

cosh ζ.

q² -(ζ/l)²

Поэтому выражение для θ (q) имеет вид

(

)

(Π.1.3)

θ (q) = A_c (ζ)

- As (ζ)

q² - (ζ/l)²

q² - (ζ/l)² Dт (ζ)

где A_c (ζ) = cosh ζ +^rζ sinh ζ, A_s (ζ) =^rl cosh ζ +^ζl sinh ζ.

При подстановке выражения (П.1.3) для θ (q) в (П.1.2) возникает рацио-

нальная дробь

(

)

ac²

(

)(

) =

pγ(p)_q2-(p/c)2

q² - (ζ(p)/l)²

q² - (p/c)² q² - (ζ(p)/l)²

(

)

γ(p)_q2-(p/c)2

q² - (ζ(p)/l)²

где γ(p) = ap - c².

Используя это соотношение и представление для θ (0) , следующее из (3.2):

θ (0) = Ac(ζ)D

u (cм. пояснения к (П.1.3)), получаем окончательное выражение

т(ζ)

для ϕ (q):

[

(

)

(Π.1.4)

ϕ (q) (p) =

A_c (ζ(p))

γ(p)

q² - (p/c)²

q² - (ζ(p)/l)²

(

)]

u(p)

−

A_s (ζ(p))

q² - (p/c)²

q² - (ζ(p)/l)²

D_т (ζ(p))

+ ϕ(0)(p)

q² - (p/c)²

Отсюда переходим к оригиналам по x:

[

(

)

(

))

⁽c

^√a

(Π.1.5)

ϕ (x) (p) =

A_c (ζ(p))

sinh

ζ(p)

γ(p)

(

)

))]u(p)

(

)

⁽x

A_s (ζ(p)) cosh

- cosh

ζ(p)

+ ϕ(0)(p)cosh

x .

D_т (ζ(p))

Далее, дифференцируя (П.1.5) по x, получаем, что 2-е из граничных усло-

вий (5.2) принимает вид

[

(

)

(Π.1.6)

A_c (ζ(p)) cosh

- cosh ζ(p)

γ(p)

)]

⁽p

^√p

u(p)

A_s (ζ(p))

σ(p) -

sinhζ(p)

D_т (ζ(p))

+ ϕ(0)(p)

σ(p) = 0,

(_p

)

где σ(p) = sinh

Исключая ϕ (0) из (П.1.5) и (П.1.6) и используя выражения для функций

A_c и A_s (см. пояснения к (П.1.3)), получаем окончательное выражение для

ϕ(x) в виде (5.3).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Доказательство теоремы 2.

1. Представим функцию Ψ (см. (5.4)) в виде суммы Ψ₁ + Ψ₂, где

cosh (px/c) - A_c (ζ(p)) cosh (p (l - x) /c)

(Π.2.1)

Ψ₁(p) = c

γ(p)σ(p)D_т (ζ(p))

(

)

(

))

⁽ ar

l-x

(Π.2.2) Ψ₂(p) =

cosh

ζ(p)

√ap sinh

ζ(p)

γ(p)D_т(ζ(p)) l

Для исследования динамических свойств операторов VΨj (j = 1, 2), имею-

щих передаточные функции Ψ_j , будем пользоваться теоремой Коши [11,

п. 71].

Для применения этой теоремы нужно построить правильную систему кон-

туров {G_n, n ≥ n₀} и проверить стремление к нулю значений функций Ψ_j

(j = 1, 2) на этих контурах при n → ∞.

2. Сначала введем в рассмотрение область H₀ = {p ∈ C : |p| > |p_ос|} (где

p_ос - см. раздел 5) и в этой области построим систему контуров в виде прямо-

угольников со сторонами G±гn = {p ∈ C : |Rep| ≤ H_n, Imp = ±L_n} и G±вn =

= {p ∈ C : Rep = ±H_n, |Imp| ≤ L_n}, где числа H_n и L_n выбираются ниже.

При этом, чтобы система контуров {G_n, n ≥ n₀} находилась в области H₀,

число n₀ должно удовлетворять условию min (Hn0 , Ln0 ) > |p_ос|.

3. Величину H_n определяем так, чтобы сторона G-вn прошла через точку

(_τ

)₂

p_en = -a

плоскости C; здесь τ_en - точка максимума функции D_т (iτ) =

[

(_r

)

]

=∝

2cos τ +

-τr

sin τ

(см. пояснения к (3.2)).

[(_r

)

(

)

]

∂

Так как

(D_т (iτ)) =∝

-τr

cos τ -

2+^r

+1r

sin τ

, значение τ_en

∂t

τ²

определяется как решение уравнения

(Π.2.3)

tan τ = τf_D

(τ),

r²-τ²

где f_D (τ) =

. На решениях этого уравнения значения sin τ_en и

r²+(2r+1)τ²

cos τ_en имеют разные знаки, чередующиеся с ростом n; при n → ∞ имеем:

sin τ_en → 1 и cos τ_en → 0.

(_τ

)₂

Таким образом, величина H_n определяется как a

. Так как число τ_en

находится в интервале (τ_n, τn+1) и τ_n ∈ (n, n + 1) π, величина H_n возрастает

с ростом n и имеет порядок роста n².

4. Величина L_n выбирается так, чтобы сторона G±гn не проходила че-

рез(нули ф)ункции σ (см. пояснения к (5.3)). А именно, Ln определяется как

n² +¹²

. (Для того, чтобы система {G_n, n ≥ n₀} контуров была правиль-

ной, значения L_n должны иметь тот же порядок роста, что и H_n.)

5. Оценим значения функций, входящих в выражения (П.2.1) и (П.2.2)

для Ψ_j (j = 1, 2), на сторонах контура G_n, используя свойства гиперболи-

ческих функций комплексного переменного. При этом в силу комплексной

сопряженности чисел на сторонах G+гn и G-гn достаточно ограничиться

верхней половиной плоскости C.

а) В силу выбора L_n на стороне G+гn значени функци)σ (см. пояснения

(

)



к (5.3)) равно i cosh

Rep

, а значения функции

cosh

 (где ξ ∈ [0, l]) не



)



osh((ξ/c)p)



превышают величины cosh

Rep

. Поэтому значения отношения

^c



σ(p)

не превышают 1.

б) Так как модуль комплексного числа ζ(p) (см. пояснения к

(3.2))

√

|p|

равен

l, а аргумент его равен половине аргумента числа p, на сто-

[_π

]

роне G+гn имеем: arg p ∈

-δ_n,π2 + δ_n

, где δ_n = arctan Hn ; следовательно,_L

[_π

]

arg ζ(p) ∈

(

)

|ζ(p)|

δ_n

(Π.2.4)

Re ζ(p) = |ζ(p)|cos arg ζ(p) ≥

√

cos

- sin

L_n

= |ζ(p)|

(√M_n + L_n +√M_n - L_n)√Mn

√

L_n

M_n + L_n

= |ζ(p)|

M_n + L_n + H_n

M_n

√

(Здесь обозначено: M_n =

H2n + L2n и использовано соотношение

√

Mn+Ln

√

Так как на G+гn имеет место соотношение |ζ(p)| ≥Lnal,значенияфунк-

ции Re ζ(p) растут при n → ∞ с порядком роста, не меньшим, чем n.

в) Введя обозначение z₁ (ζ) =^ζr +^rζ , выпишем развернутое выражение для

D_т (ζ):

{

D_т(ζ) = α (2 cosh Re ζ + Re z1(ζ)sinh Re ζ) cos Im ζ -

- Im z₁(ζ)cosh Re ζ sin Im ζ +

[

]}

+ i (2sinhReζ + Rez₁(ζ)coshReζ)sinImζ + Imz₁(ζ)sinhReζ cosImζ

Отсюда следует представление функции

|D_т (ζ)|² в виде суммы

∑₂

j=1

FDj (ζ), где

[

(

)

(Π.2.5)

FD1(ζ) = ∝²

cosh²Re ζcos²Im ζ + sinh²Re ζsin²Im ζ

]

(

)

+ |z₁(ζ)|²

sinh²Re ζcos²Imζ + cosh²Re ζsin²Im ζ

(Π.2.6)

FD2(ζ) = 2∝² (Re z1(ζ) sinh 2Re ζ - Im z1(ζ) sin 2Im ζ) .

Функция FD1(ζ) оценивается снизу функцией

(

)

FD(ζ) =∝2 4 + |z1(ζ)|2 sinh2Reζ.

Для оценки значений функции FD2(ζ) при больших n заметим, что значе-

ния функции z₁(ζ) при росте n cближаются со значениями функции^ζr . Оцен-

ка снизу роста функции Re ζ получена в (П.2.4). Оценка же роста функции

Imζ получается аналогично (П.2.4):

(

)

|ζ(p)|

δ_n

Im ζ(p) = |ζ(p)|sin arg ζ(p) ≤

√

cos

+ sin

|ζ(p)|

M_n + L_n + H_n

√

M_n (M_n + L_n)

Из этой оценки видно, что при достаточно больших n значения функ-

ции FD2(ζ) становятся положительными и потому функция F_D (ζ) становится

оценкой снизу всей функции |D_т(ζ)|².

г) Значения модуля функции A_c (ζ) (см. пояснения к (5.3)), входящей в

выражение (П.2.1) для функции Ψ₁(ζ), оцениваются сверху следующим об-

разом:

(

)

(Π.2.7)

|A_c(ζ)| ≤

cosh Re ζ,

|ζ|



(

)



c(ζ)



и потому

^A

≤

1+^r

coth Re ζ.

Dт(ζ)

∝|z₁(ζ)|

|ζ|

Таким образом, отношениеAc(ζ)D

стремится к нулю при n → ∞.

т(ζ)

Из содержания подпунктов а)-г) следует, что значения функции Ψ₁ на

стороне G+гn стремятся к нулю при n → ∞.

(_l-x

)

д) Модуль функции z₂(p) =^arl cosh

ζ(p)

√ap sinh(l-xl ζ(p)⁾, входя-

щей в выражение (П.2.2) для функции Ψ₂, оценивается сверху функцией

(

)

√

a|p| cosh (Reζ(p)) . Отношение функции |z₂| к F_D(ζ) не превыша-

√

a|p|

ет величиныar/l+

coth (Re ζ(p)), т.е. остается ограниченным при n → ∞.

∝|z₁(ζ(p))|

Поскольку в выражении (П.2.2) для Ψ₂ стоит функция γ c неограниченно

растущим при n → ∞ модулем (см. пояснения к (5.3)), получаем, что значе-

ния функции Ψ₂ на стороне G+гn стремятся к нулю при n → ∞.

6. Оценим значения функций, входящих в выражения для Ψ_j (j = 1, 2),

на стороне G+вn.

а) Значения на G+вn функции

|σ| оцениваются снизу величиной



)

)

_sinh

_{,т.е.величинойsinh}

Re p

H_n

, а значения модуля функции

(

)

(

)

cosh

p (где ξ ∈ [0, l]) не превышают величины cosh

Re p , т.е. величи-

)

ны cosh

H_n

. Поэтому значения модуля отношенияcosh((ξ/c)p)σ(p) на G+вn не

)

превышают величины coth

Hn0

, где n₀ - см. п. 2.

[

]

б)-д). На верхней половине стороны G+вn имеем: arg p ∈

0,π2 - δ_n

, где

[

]

δ_n - см. п. 5б); поэтому arg ζ(p) ∈

,и

0,π4 -δn2

(

)

√

|ζ(p)|

δ_n

H_n

M_n + L_n + H_n

Reζ(p) ≥

√

cos

+ sin

≥

√

M_n (M_n + L_n)

Отсюда видно, что Re ζ(p) → ∞ при n → ∞ c порядком роста, не мень-

шим n. Поэтому справедлив те же выводы относительно стремления к нулю



z₂

при n → ∞ функций

,

и Ψ_j (j = 1,2), что в пп. 5б)-д).

AcDт(ζ)

γDт◦ζ

7. Теперь оценим значения отношений, содержащихся в выражениях для

функций Ψ_j (см. (П.2.1), (П.2.2)) на стороне G-вn контура G_n. Достаточно

провести эту оценку при Im p ≥ 0.



osh((ξ/c)p)



а) Повторяя рассуждения п. 6а), получаем, что отношение

^c



σ(p)

(

)

(ξ ∈ [0, l]) на стороне G-вn оценивается сверху той же величиной coth

Hn0

что и на стороне G+вn.

[_π

]

б) На верхней половине стороны G-вn имеем: arg p ∈

+δ_n,π

, и потому

[_π

]

arg ζ(p) ∈

+ δⁿ2 ^,2

. Вводя в рассмотрение угол θ_n = arc cosHn|p|,имеем:

√

arg p

|p|

(Π.2.8)

Re ζ(p) = |ζ(p)|cos

(1 - cos θ_n

Величина же Im ζ(p) вычисляется следующим образом:

√

arg p

|p|

H_n + |p|

Imζ(p) = |ζ(p)| sin

(1 + cos θ_n) = l

(_τ

)₂

Но так как H_n = a

(см. п. 3 настоящего приложения), получаем:

√

H_n + |p|

(Π.2.9)

Im ζ(p) = τ_en

2H_n

в) Для величины sin²Im ζ(p) (см. (П.2.5)), можно записать:

(Π.2.10)

sin² Im ζ(p) - sin²τ_en =

∫

√

sin τ cos τ dτ ≤

2(Im ζ(p) - τ_en) =

τen

⎛√

⎞

√

|p| - H_n

2τ_en ⎝Hn +^|p|

-1^⎠=τ_en

) =

2H_n

√H_n (√|p| +H_n +^√2Hn

Im²p

=τ_en

√H_n (|p| + H_n)^(√|p|+H_n +^√2Hn

√

Из (П.2.10) видно, что при выполнении условия: Im p <Hnϑ,гдеθ-фик-

сированная константа, имеющая размерность времени, правая часть (П.2.10)

стремится к нулю при n → ∞. А так как при этом |sin τ_en| → 1( см. п. 3), это

означает, что sin²Im ζ(p) также стремится к 1 при n → ∞.

Учитывая этот факт, разобьем верхнюю половину стороны G-вn на зоны:_[

]

√

Λ_n, где Imp ∈

,L_n , и Λ0n, где Imp <Hnθ^.

√

[_π

]

г) В зоне Λ_n имеем: arg p ∈

+δ_n,π - θ0n

, где θ0n = arctan

; сле-

ϑHn

[

]

довательно, arg ζ(p) ∈

. Поэтому

+ δⁿ2 ^,2 - ^θ2

√

(

)

|p|

θ0n

|p|

H_n

Re ζ(p) = |ζ(p)|cos arg ζ(p) ≥ l

sin

M0n

√

где M0n =

H2n + H_n/ϑ. Таким образом, так как |p| ≥ M0n, имеем:

√

M0n -H_n

H_n

(Π.2.11) Re ζ(p) ≥ l

2aϑ (M0n + H_n)

2aϑ (1 + sec ϑ0n)

что означает ограниченность снизу значений функции Re ζ(p) при неограни-

ченном росте n.

Функция же Im ζ(p) в зоне Λ_n оценивается сверху следующим образом:

^√p

θ0n

^√ p

(Π.2.12)

Imζ(p) = |ζ(p)|sin arg ζ(p) ≤ l

cos

(1 + cos θ0n

)≤

√

M_n

≤l

(M0n + H_n).

2aM0n

Теперь, оценивая снизу значения функции |D_т (ζ)|² в зоне Λ_n функцией

FD (ζ) - Im z1 (ζ) sin 2Im ζ

(см. п. 5в), видим, что при достаточно большом n функция |D_т (ζ)|² оценива-

ется снизу функциейFD(ζ)2 .

Поэтому, опираясь на оценку (П.2.7), получаем:

При достаточно большом n имеет место неравенство, аналогичное п. 5г):



(

)

Ac (ζ)



coth Re ζ.

^≤

^Dт (ζ)

∝ |z₁ (ζ)|

|ζ|

Из этого неравенств(в с)лу ограниченности снизу функции Re ζ следует

стремление отношения

◦ ζ к нулю при n → ∞.

Dт

Также, аналогично п. 5д) при достаточно большом n модуль отношения

z₂(p)

оценивается сверху величиной

Dт(ζ(p))

√

ar/l +

a|p|

coth Re ζ(p).

α|z₁ (ζ(p))|

В силу ограниченности снизу функции Re ζ(p) модуль этого отношения

ограничен сверху при неограниченном росте n, и, следовательно, отношение

z₂

стремится к нулю при n → ∞.

γDт◦ζ

д) В зоне Λ0n имеем:

]

⁽π

θ0n

arg p ∈ (π - θ0n, π], arg ζ(p) ∈

;

√

arg p

|p|

θ0n

Re ζ(p) = |ζ(p)|cos

≤l

sin

;

√

arg p

|p|

θ0n

Imζ(p) = |ζ(p)|sin

cos

Учитывая факт стремления к

функции sin² Im ζ при n → ∞, мо-

жем оценить снизу функцию |D_т (ζ)|² в этой зоне функцией FD0 (ζ) -

-2α² Im z₁ (ζ) sin 2 Im ζ, где FD0 (ζ) = α²|z₁ (ζ)|²cosh² Re ζ sin² Im ζ. Из вида

последних двух функций следует, что аналогично случаю зоны Λ_n (см. под-

пункт 7г) при достаточно большом n функция |D_т (ζ)|² оценивается сни-

зу функциейFD0(ζ)2 . Поэтому аналогично подпункту 7г) модуль отноше-

нияAc(ζ)D

при достаточно большом n оценивается сверху модулем функции

т(ζ)

21+r/ζαz

cosh Re ζ и, следовательно, стремится к нулю при n → ∞. Модуль же

1(ζ)

оценивается сверху модулем функции

(ζ)

√ap + ar/l

cosh Re ζ(p)

∝ z1 (ζ(p))

и, следовательно, остается ограниченным при неограниченном росте n. Сле-

стремится к нулю при n → ∞.

довательно, отношени

Dт◦ζ

8. Из изложенного в пп. 2-7 вытекает, что значения функций Ψ_j (j = 1, 2)

на контурах G_n (n ≥ n₀) стремятся к нулю при n → ∞, из чего следует воз-

можность применения теоремы Коши [11, п. 71]. В силу этой теоремы функ-

ция Ψ₁ представляется суммой ряда, составленного из главных частей этой

функции в ее полюсах p_ос и p_n (n ≥ 0), а также в нулях функции σ (см.

раздел 5). Функция же Ψ₂ представляется суммой ряда, составленного из

главных частей этой функции в ее полюсах p_ос и p_n. А именно, так как все

эти полюса - простые, имеем:

∑

b₀

b_1ос

b1n

d_kp + f_kω_k

(Π.2.13)

Ψ₁(p) =

p-p_ос

p-p_n

p² + ω²

n=0

k=1

∑

b_2ос

b2n

(Π.2.14)

Ψ₂(p) =

p-p_ос

p-p_n

n=0

где

b₀ = resΨ1, bjос = resΨj, bjn = resΨ (n ≥ 0,j = 1,2),

pос

pⁿ j

d_k = 2resΨ1, fk = -2Im resΨ1.

iω_k

Ниже, в Приложении 3, приводится вычисление значений коэффициентов

b₀, b_jn (n ≥ 0,j = 1,2), d_k и f_k (k ≥ 1) согласно [11, п. 23].

Складывая (П.2.13) и (П.2.14), на основе результатов вычислений в При-

ложении 3, получаем разложение для функции Ψ:

∑

b₀

ψ_n

d_kp + f_kω_k

(Π.2.15)

Ψ(p) =

p-p_n

p² + ω²

n=0

k=1

где

∑

cl²g1n + alg2n

b₀ =

ψ_n =

b_jn =

(

)

∝ l(r + 2)

j=1

(aτ_n)2 + (cl)2 (Dт)′ (pn)

(

)

(

)

cosh

aτ2nx/cl²

- cosh

aτ2n (l - x) /cl²

(cos τ_n + (r/τ_n) sin τ_n)

g1n =

sinh (aτ2n/cl)

)

⁽l-x

g2n = τ_nsin

τ_n

- rcos

τ_n

Выражения для коэффициентов b₀ и b_jn получены в Приложении 3, пп. 1

и 3 приложения соответственно; выражения для коэффициентов d_k и f_k по-

лучены в п. 5 того же Приложения; выражение для (D_т)^′ (p_n) получено в п. 4

того же Приложения. Поскольку значения (D_т)^′ (p_n) как функции n ограни-

, значения функции ψ_n оцениваются сверху сле-

чены снизу константой

дующим образом:

]

)√

^[ hc

⁽ hc

(Π.2.16)

ψ_n ≤

τ2n + r²

∝τ2n a

aτ_n

(

)

aτ²⁰

где h = coth

. Учитывая, что τ_n ≥ τn (см. раздел

3), получаем,

что ψ_n стремится к нулю при n → ∞. Следовательно, ряд R_ψ (t) =

∑_∞

= s(t)

ψ_n exp (p_nt) сходится в пространстве L₁ (R⁺) суммируемых на

n=0

R⁺ = {t ∈ Re : t > 0} функций времени. Сумма этого ряда представляет со-

бой импульсную переходную функцию оператора B_ψ, имеющего передаточ-

∑_∞

ψn

ную функцию

n=0

p-pn

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Вычисление выражений для b₀, bjос, b_jn (j = 1, 2; n ≥ 0), d_k, f_k (k ≥ 1) и

(D_т)^′ (p_n) (p_n) .

1 - limp→0 A_c(p)

(Π.3.1)

b₀ = resΨ1 = -

l limp→0 D_т(p)

∝ l(r + 2)

2. Вследствие того, что p_ос - устранимая особая точка функции

(Π.3.2)

b_2ос = resΨ2 = - resΨ1 = -b1ос.

pос

g1n

(Π.3.3)

b1n = resΨ1 =

(aτ_n)2 + (cl)2 (Dт)′ (pn)

(

)

(

)

cosh

aτ2nx/cl²

- cosh

aτ2n (l - x) /cl²

(cos τ_n + (r/τ_n) sin τ_n)

где g1n =

;

sinh(aτ2n/cl)

g2n

(Π.3.4)

b2n = resΨ2 =

(aτ_n)2 + (cl)2 (Dт)′ (pn)

)

⁽l-x

где g2n = τ_nsin

τ_n

- rcos

τ_n

4. Для вычисления величины (D_т)^′ (p_n) , входящей в выражения для b_jn

(j = 1, 2), запишем (см. пояснения к (3.2)):

(

)

∂D_т

⁽ζ

=α

sinhζ + α

cosh ζ,

δζ

ζ²

ζ^′ (p_n) =

2√apn =-i2aτn

(D_т)^′ (p_n) =∂Dт

(ζ (p_n)) ζ^′ (p_n) =

δζ

[(

)

]

∝l

⁽τ_n

sin τ_n +

cos τ_n

aτ_n

2τ2n

τ_n

Учитывая соотношение (3.4) (см. раздел 3), из которого следует:

rτ_n

τ2n - r

sin τ_n = 2

и cos τ_n =

τ2n + r²

получаем окончательно:

[

)₂

(

)₂ ]

∝l

⁽ r

τ2n - r²

(Π.3.5)

(D_т)^′ (p_n) =

1 + 2r +

a(τ2n + r²)

τ_n

2rτ2n

Как нетрудно убедиться, значения функции (D_т)^′ (p_n) монотонно убывают

с ростом n и потому превышают ее значение при n = ∞, т.е. величину

5. Вычисление выражений для коэффициентов d_k и f_k начинаем с вычис-

ления res Ψ₁.

iω_k

Поскольку для σ (см. пояснения к (5.3)) имеет место выражение

)

⁽l

σ^′ (iω_k) =

cos

ω_k

(-1)^k,

получаем:

[

(

)]

(

)

(-1)^kc

l-x

(Π.3.6) res

Ψ₁ =

cos

kπ

- Ac (ζ_k)cos

kπ

iω_k

(iaω_k - c²) lD_т (ζ_k)

где

√

ω_k

kπ cl

ζ_k = ζ (iω_k) = l i

= yk (1 + i), y_k =

[

]

A_с (ζ_k) = h_cck +

(h_csk + h_sck) + i h_ssk +

(h_csk - h_sck) ,

2y_k

{

y_k

D_т (ζ_k) =∝

2h_cck +

(h_sck - h_csk) +

(h_csk + h_sck) +

2y_k

[

]}

y_k

+ i 2h_ssk +

(h_sck + h_csk) +

(h_csk - h_sck)

2y_k

h_cck = cosh y_k cos y_k, h_csk = cosh y_k sin y_k,

h_sck = sinhy_k cos y_k, h_ssk = sinh y_k sin y_k.

Таким образом, получаем выражения для d_k и f_k (см. пояснения к (П.2.12))

в виде

I_kG_fk - R_kG_dk

(Π.3.7)

d_k = 2(-1)^k c

G2dk + G²

(

))

(_kπx)

Fdkcos

kπ

- G_dkcos

= 2(-1)^kl

(

)

(akπ)² + (cl)2 |Dт (ζk)|2

(Π.3.8)

f_k = 2(-1)^k c² R^kG^fk -IkG^dk

G2dk + G²

(_kπx)

(

))

Gfkcos_l

-F_fkcos

kπ

l-^x

= 2(-1)^kl

(

)

(akπ)² + (cl)2 |Dт(ζk)|

где

(

)

(

)

(

x⁾

l-x

R_k = cos kπ

-Re A_c (ζ_k) cos kπ

I_k = Im A_c (ζ_k) cos kπ

Gdk = kπ

ImD_т (ζ_k) + c²ReD_т (ζ_k) , G_fk = kπ

ReD_т (ζ_k) - c²Im D_т (ζ_k) ,

Fdk = GdkRe Ac (ζk) + GfkIm Ac (ζk) , Ffk = GdkIm Ac (ζk) + GfkRe Ac (ζk) .

(Здесь использовано соотношение

)

)₂

((a

G2dk + G2fk = c²

kπ

+c²

|D_т (ζ_k)|².)

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

1. Оценка нормы оператора d-1: (QL₁)_у → Q_у.

Если f ∈ (QL₁)_у, то функция d-1f ограничена, т.е. входит в простран-

∫_∞

ство Q_у, и норма ее в этом пространстве не превышает

|f (t)|dt. Поэтому

норма d-1 как оператора (QL₁)_у → Q_у не превышает числа ϑ₁.

2. Оценка нормы оператора B_Ψ.

√

Мажорируя в (П.2.16) при τ_n ≥ τ₀ функцию ρ (τ_n) =

τ2n + r² линейной

, можем оценить

функцией от τ_n вида v (τ_n) = τ_n - τ₀ + ρ (τ₀) = τ_n

+ρ(τ₀)

сверху сумму ряда R_ψ (t) (см. П.2) в пространстве L_1у суммой числового ряда



[

)

]

∑ψn

rl²

⁽a

(Π.4.1)

M_ψ =



hc +

v (τ_n)

_p

^≤

∝a²τ4n

τ_n

n=0

⎛

⎞

∑

s_j

⎝₁₊

⎠_,

∝ aτ³

τ^п

j=1

, h - см. пояснения к (П.2.15).

где s₁ = 2h^cla

+ρ(τ₀)

τ₀+ρ(τ₀)

∑_∞

Используя формулу

(см. [15, п. 1.1.3.1, формула (16)]) и

n=1 n⁴

неравенства

∫

∑

≤1+

(j ≥ 2),

n^j

ξ^j

j-1

n=1

получаем оценку сверху для M_ψ:

[

)

)]

⁽ 1

(Π.4.2)

M_B = 2

+h₁

+h₂

αa τ³⁰

2τ³

τ⁴⁰

τ⁵⁰

4τ⁵

(_a

)

√

, h = coth

τ²⁰

,ρ=

r² + τ²⁰, τ₀ - см. раз-

+ρ

τ₀+ρ

дел 4.

Величина M_B служит оценкой сверху для нормы оператора B_Ψ.

3. Оценка нормы оператора Ω_Ψ: L_1у → Q_у.

Выход оператора Ω_Ψ при входном воздействии u определяется сверткой

(см. [16, гл. 1, § 4, п. 7]) функций u и w (Ω_Ψ) - импульсной переходной функ-

ции оператора Ω_Ψ:

∫^t

(Π.4.3)

Ω_Ψ (u)(t) = w (Ω_Ψ

)(t - τ)u(τ)dτ.

Из (П.4.3) следует: если функция w (Ω_Ψ) входит в пространство Q_у, а

функция u входит в пространство L_1у, то выход оператора Ω_Ψ входит в

пространство Q_у, и норма его в этом пространстве не превышает величины

∥w (Ω_Ψ)∥Qу ∥u∥

L_1у

Покажем, что функция w (Ω_Ψ) входит в пространство L_1у, и оце-

ним ее норму в этом пространстве исходя из выражения w(Ω_Ψ)(t) =

∑_∞

= s(t)

(d_k cos ω_kt + f_k sin ω_kt) (см. формулировку теоремы 3).

k=1

Каждое слагаемое правой части этого выражения может быть представ-_√

лено в виде M_ksin (ω_kt + χ_k), где M_k = d2k + ω2k, sin χ_k =dkM_k ,cosχk

M_k

Следовательно, это слагаемое входит в пространство Q_у и имеет в нем нор-

му, равную M_k.

Из представлений (П.3.7) и (П.3.8) для d_k и f_k соответственно следует:

√

(Π.4.4) M_k = 2

(

) (R_kG_dk + I_kG_fk)² + (I_kG_dk - R_kG_fk)² =

l G2dk +G²

√

R2k + I2k

cv_k

√

G2dk + G²

|D_т (ζ_k)| (akπ)² + (cl)²,

где

v_k =

√

(

)

(

x⁾

x⁾⁽

l-x

= cos² kπ

+ |A_c(ζ_k)|²cos² kπl-x

-2ReA_c(ζ_k)cos kπ

cos kπ

Величина v_k оценивается сверху величиной

√

ρ_k =

1 + |Ac (ζ_k)|² + 2|ReAc (ζ_k)|.

Для оценки сверху величины M_k выпишем выражение для |D_т (ζ_k)|², ис-

пользуя пояснения к (П.3.6):

{

(

)

y2k

r²

)(

)

(Π.4.5)

|D_т (ζ_k)|² = ∝²

h2cck + h2ssk

+ 2

h2csk + h2sck

r²

2y²

y_k

[h_cck (h_sck - h_csk) + h_ssk (h_csk + h_sck)] +

}

[h_cck (h_csk + h_sck) + h_ssk (h_csk - h_sck)]

y_k

[

(

)

=∝²

cosh²y_k cos²y_k + sinh²y_k sin²y_k

(

)(

)

y2k

r²

+ 2

cosh²y_k sin²y_k + sinh²y_k cos²yk

r²

2y²

]

y_k

(sinh 2y_k - sin 2y_k) +

(sinh 2y_k + sin 2y_k)

y_k

Так как sinh 2y_k > 2y_k > sin 2y_k, правая часть (П.4.5) положительна и мо-

жет быть оценена снизу функцией

[(

)

)₂

⁽y_k

⁽ r⁾

(Π.4.6)

∝²

4+2

sinh²y_k +

y_k

]

(

)

y_k

+ 2

(sinh2y_k - |sin 2y_k|)

y_k

Удерживая в (П.4.6) лишь слагаемое с наибольшей скоростью роста по k,

получаем оценку снизу для функции |D_т (ζ_k)|:

√

(√

)

√

y_k

∝

kπ cl

(Π.4.7)

|D_т (ζ_k)| ≥

2∝

sinhy_k =

kπ

sinh

Функция же |A_c (ζ_k)|² представляется в виде

⁽ r

)₂ (

)

|A_c (ζ_k)|² = h2cck + h2ssk +1

h2csk + h2sck

y_k

[h_cck (h_csk + h_sck) + h_ssk (h_csk - h_sck)]

y_k

и оценивается сверху функцией

(

)

⁽ r

1 r

cosh²y_k +

(sinh2y_k - sin 2y_k) ≤

y_k

2y_k

(

)

⁽ r

1 r

≤

cosh²y_k +

y_k

2y_k



а функция |Re A_c (ζ_k)| =

h_cck +1r2y

(h_csk + h_sck) оценивается сверху функ-

(

)

цией

√ r

cosh y_k.

2 yk

Таким образом, величина M_k оценивается сверху следующим образом:

cρ_k

rμ_k

^√c

(Π.4.8)

M_k ≤ 2

≤2

kπa|D_т (ζ_k)|

∝ (kπ)

где

ρ_k

μ_k =

sinhy_k

√

)

(

)

(

)

⁽ r

√

1 r

= coth y_k

+ 2+

+ 1+

y_k

y_k cosh y_k

2 y_k cosh²y_k

(μ_k - убывающая функция k, стремящаяся к 1 при k → ∞).

Норма функции w (Ω_Ψ) в пространстве Q_у оценивается суммой числового

∑_∞

ряда

M_k.

k=1

∑_∞

С учетом оценки сверху суммы числового ряда

величиной 1 +

∫_∞

k=1 k3/2

, равной 3, из (П.4.8) получаем: ∥w (Ω_Ψ)∥ оценивается сверху ве-_Q

x3/2

√_c

личиной M_Ω = 6rμ1

. Если функция u входит в пространство L_1у, то в

απ3/2

силу (П.4.3)

(Π.4.9)

∥Ω_Ψ (u)∥QΨ ≤ M_Ω∥u∥

L_1у

Следовательно, норма оператора Ω_Ψ: (QL₁)_у → Q_Ψ не превышает отно-

∥u∥_L

1у

шения MΩ∥u∥

, т.е. величины ϑ₁M_Ω (см. раздел 5).

(QL1)у

Таким образом, норма V_Ψ как операторa (QL₁)_у → Q_Ψ может быть оцене-

на сверху величиной M_B + ϑ₁ (b₀ + M_Ω).

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Доказательство теоремы 4.

Представление (6.4) для оператора V_M следует из (5.3) и (5.4). В силу

коммутирования сверточных операторов [16, гл. 1, § 4, п. 7] d-1 и V_Ψ имеем:

(

)

(Π.5.1)

d-1 (V_Ψ (u)) = V_Ψ

d-1 (u)

Поэтому, если u ∈ U (см. раздел 6), то его первообразная d-1u входит в

(QL₁)_у, и функция d-1 (V_Ψ (u)) входит в пространство Q_Ψ (см. конец разде-

ла 5).

Таким образом, в силу (6.4) оператор V_м отображает пространство U в Q_м

(см. раздел 6), и норма его, вычисляемая как

(



)

⎛



(

)

⎞

_d-1 (V_Ψ (u))

VΨ

d-1 (u)



Q_Ψ

sup

= β sup

⎝

(

)⎠,

u∈U

∥u∥_U

u∈U max

∥u∥_(QL

,ϑ-12∥d-1 (u)∥

)у

(QL₁)_у

оценивается сверху величиной βϑ₂ [M_B + ϑ₁ (b₀ + M_Ω)] .

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Доказательство теоремы 5.

При выполнении условий (7.3) и (7.5) в силу линейности оператора V по-

лучаем выполнение неравенства (7.2) с единой для всех y ∈ Q и f ∈ F кон-

стантой L_X = L_F ∥V ∥, строго меньшей 1. Поэтому отображение X_f = V ◦ F

является сжимающим и потому имеет неподвижную точку; это и означает су-

ществование и единственность решения системы ((2.1)-(2.3), (7.1)) при каж-

дом f ∈ F, т.е. существование оператора A : F → Q₂, переводящего внешнее

воздействие f в решение этой системы относительно y. Оценку сверху нормы

этого оператора можно получить из (7.3) и (7.4): при y = A (f) имеют место

соотношения

(Π.6.1)

∥y∥Q2 = ∥X_f (y)∥_Q

≤ ∥X_f(y) - X_f (0)∥_Q

+ ∥X_f (0)∥

≤

Q₂

≤ L_X∥y∥Q2 + K ∥V ∥ · ∥f∥_F,

а так как L_X < 1, получаем:

∥A(f)∥Q2

(Π.6.2)

≤

∥f∥_F

1-L_X

Автор благодарен Л.А. Черемушкиной за творческую помощь в выполне-

нии работы, в частности, за подбор литературы по явлению термоупругости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. Киев: Наук. думка, 1964.

2. Lord H.W., Shulman Y. A generalized dynamical theory of thermoelasticity //

J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. P. 299-309.

3. Nayfeh A.H., Nemat-Nasser S. Thermoelastic waves in solids with thermal

relaxation // Acta Mechanica. 1971. V. 12. P. 53-69.

4. Новацкий В. Теория упругости. Перевод с польского. М.: Мир, 1975.

Novacki W. Teoria sprežystosci. Warszawa: Paсstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1970.

5. Jordan P.M., Puri P. On the propagation of plane waves in type - I11 thermoelastic

media // Proc. Royal Soc. Lond. 2004. V. 460. P. 3203-3221.

6. Роговой А.А., Столбова О.С. Эволюционная модель термоупругости при конеч-

ных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49.

№ 3. С. 184-196.

7. Бабенков М.Б. Анализ распространения гармонических возмущений в термо-

упругой среде с релаксацией теплового потока // Прикладная механика и тех-

ническая физика. 2013. Т. 54. № 2. С. 126-137.

8. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформиро-

вания. М.: Наука, 2013.

9. Торсукова Е.Б., Христич Д.В. Постановка связанной динамической задачи тер-

моупругости для стержня // Вестник Тулгу. Серия «Дифференциальные урав-

нения и прикладные задачи». 2016. Вып. 1. С. 88-92.

10. Солнечный Э.М. Исследование условий причинности и устойчивости системы

управления линейным распределенным объектом // АиТ. 2006. № 4. С. 53-85.

11. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного перемен-

ного. М.: Лань, 2002.

12. Солнечный Э.М. О причинности системы теплопроводности с нелинейной об-

ратной связью по граничным условиям // АиТ. 2002. № 9. С. 15-26.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального

анализа. М.: Наука, 1968.

14. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и опе-

раторные дифференциальные уравнения. Перевод с немецкого. М.: Наука, 1978.

Gajewski H., Gröger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und

Operatordifferenzialgleichungen. Berlin: Akademie-Verlag, 1974.

15. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и

учащихся втузов. Совм. изд. Лейпциг: Тойбнер; М.: Наука, 1981.

16. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука,

1976.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.Г. Кушнером.

Поступила в редакцию 04.11.2018

После доработки 22.08.2020

Принята к публикации 15.01.2021