Автоматика и телемеханика, № 8, 2021

Робастное, адаптивное и сетевое

управление

(Коми научный центр УрО РАН, Сыктывкар)

АДАПТИВНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ СЛЕЖЕНИЕ

ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВОГО ОБЪЕКТА

С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ В КАНАЛЕ ВЫХОДА

Рассматриваются задачи адаптивного оптимального слежения для ми-

нимально-фазового объекта с дискретным временем, неопределенностью

в канале выхода и ограниченным внешним возмущением. Коэффициен-

ты уравнения линейной стационарной номинальной модели, коэффици-

ент усиления неопределенности и верхняя граница внешнего возмущения

предполагаются неизвестными, а показателем качества служит наихуд-

шая асимптотическая ошибка слежения. Показано, что постановка оп-

тимальной задачи зависит от априорной информации об ограниченном

задающем сигнале. Решение задач базируется на полиэдральном оцени-

вании всех неизвестных параметров и использовании показателя качества

задачи слежения как идентификационного критерия для вычисления те-

кущих оптимальных оценок. Работоспособность и эффективность предло-

женных алгоритмов управления иллюстрируются результатами числен-

ного моделирования.

Ключевые слова: адаптивное робастное управление, оптимальное управ-

ление, ограниченное возмущение, верификация модели.

DOI: 10.31857/S0005231021080055

1. Введение

Первоначальный период бурного развития теории робастного управления

пришелся на 1980-90-е годы. При этом основной поток публикаций относился

к H_∞-постановке задачи, имеющей классические частотные и статистические

интерпретации [1, 2]. Предметом теории робастного управления являются си-

стемы с неопределенностью, под которой понимается не внешнее возмущение

или помеха измерений, а неточность самой модели (немоделируемая дина-

мика, малые нелинейности или нестационарность). В начале 1992 г. вышел

первый спецвыпуск одного из ведущих журналов по теории автоматического

управления IEEE TAC [3], посвященный ставшей сверхактуальной проблеме

идентификации для робастного управления. Три основные проблемы были

таковы: 1) теория робастного управления была детерминированной, а теория

идентификации — в основном стохастической; 2) как вычислять номиналь-

ную модель по данным измерений; 3) как определить доли неопределенности

108

и внешнего возмущения в суммарном возмущении. Эти важнейшие пробле-

мы обсуждались ведущими мировыми экспертами на семинаре по иденти-

фикации систем и робастному управлению [4], на котором специалисты по

идентификации призывали к разработке стохастической теории робастно-

го управления, а специалисты по робастному управлению — к разработке

теории идентификации без привлечения априорных статистических гипотез.

Проблемы идентификации для робастного управления остаются актуальны-

ми до настоящего времени, о чем свидетельствуют, в частности, последующие

регулярные спецвыпуски ведущих мировых журналов [5-7]. Однако до на-

стоящего времени в публикациях по этому направлению задачи оценивания

номинальной модели и квантификации неопределенности и внешнего возму-

щения рассматриваются в стохастической офлайн постановке и вне контекста

задач управления и поэтому не могут быть применены в задачах адаптивного

управления, где указанные оценивание и квантификация должны осуществ-

ляться в онлайн режиме (ограничимся ссылками [8, 9] на публикации двух

ведущих мировых экспертов Л. Льюнга и Г. Гудвина и соавт.).

Многие практические задачи управления формулируются в терминах до-

пусков на отклонения выхода системы управления от задающего сигнала.

Таким задачам соответствует ℓ₁-теория робастного управления, основы кото-

рой были заложены в [10, 11]. Сигнальным пространством в ℓ₁-теории в слу-

чае дискретного времени является пространство ограниченных вещественных

последовательностей ℓ_∞, внешнее возмущение предполагается ограниченным

и качество управления оценивается в терминах супремум нормы этого про-

странства. Оказалось, что в этой теории можно получить более продвинутые

по сравнению с H_∞-теорией результаты по анализу робастной устойчивости,

оценке качества и синтезу оптимального управления [11-14], что открывает

возможности ставить и решать задачи адаптивного робастного управления в

оптимальной постановке. Решению одной из таких задач в рамках ℓ₁-теории

робастного управления посвящена настоящая работа.

Системы с ограниченным внешним возмущением породили множественное

оценивание неизвестных параметров, характеризующих номинальную модель

управляемого объекта. Для моделей, аффинных относительно оцениваемых

параметров, из предположения об ограниченности внешнего возмущения из-

вестной константой следует, что множество параметров, согласованных с дан-

ными измерений на некотором промежутке времени, является ограниченным

многоугольником в пространстве параметров. Сложность описания этих мно-

гоугольников растет с ростом объема данных измерений, и сотни статей по

идентификации таких моделей начиная с 1970-х и до настоящего времени, в

том числе некоторые статьи в недавнем спецвыпуске [7], посвящены построе-

нию более простых для вычислений верхних или нижних аппроксимаций этих

многоугольников. В зарубежной литературе это направление в идентифика-

ции систем получило названия set-membership approach и unknown but bounded

disturbance. Как и в случае H_∞-теории, при наличии неопределенности зада-

чи квантификации неопределенности и внешнего возмущения в рамках это-

го подхода, как правило, рассматриваются при фиксированной номинальной

модели, в офлайн постановке и вне контекста задачи управления. А под опти-

мальной идентификацией может подразумеваться, например, офлайн вычис-

ление модели с минимальной верхней границей неопределенности при фикси-

109

рованной априорной верхней границе внешнего возмущения (или наоборот),

как, например, в [15] для систем с ограниченным внешним возмущением или

в [16] — в H_∞-постановке.

Настоящая работа посвящена решению задачи синтеза адаптивного опти-

мального слежения для минимально-фазового объекта с неопределенностью

в канале выхода и с ограниченным внешним возмущением. Показателем каче-

ства служит наихудшая по возмущениям асимптотическая ошибка слежения.

Коэффициенты уравнения линейной стационарной минимально-фазовой но-

минальной модели, коэффициент усиления неопределенности и верхняя гра-

ница внешнего возмущения предполагаются неизвестными и оцениваются в

режиме онлайн. Для построения адаптивного оптимального управления ис-

пользуется метод рекуррентных целевых неравенств [17], дополненный двумя

ключевыми идеями: 1) выбора показателя качества задачи управления как

идентификационного критерия и 2) использования множественных оценок

неизвестных параметров. Это подход был первоначально предложен для за-

дачи адаптивной оптимальной стабилизации в [18, 19] для систем только с

ограниченным возмущением и был обобщен на робастные системы в [20, 21].

Для рассматриваемой системы с неопределенностью только в канале выхода

показатель качества задачи слежения является дробно-рациональной функ-

цией нормы внешнего возмущения и коэффициента усиления неопределен-

ности, благодаря чему вычисление текущих оптимальных оценок сводится к

задаче линейного программирования, для которой имеется современное эф-

фективное программное обеспечение. Это позволяет довести общий метод

синтеза адаптивного оптимального робастного управления [20, 21] до числен-

ной реализации в более общей и существенно более сложной задаче слежения

и помимо алгоритма полиэдрального оценивания, сохраняющего почти пол-

ную информацию о всех оцениваемых параметрах, предложить новый, менее

затратный для вычислений, алгоритм с заранее выбираемым числом сохра-

няемых в памяти регулятора информационных неравенств. Приведенные в

статье результаты моделирования на примере модели с девятью оцениваемы-

ми параметрами иллюстрируют эффективность обоих алгоритмов.

Подчеркнем важные особенности рассматриваемой задачи.

1) Все неизвестные параметры в рассматриваемой задаче неидентифици-

руемы и решение рассматриваемой оптимальной задачи на базе других иден-

тификационных критериев недостижимо (см. раздел 3.1).

2) Показатель качества в виде наихудшей асимптотической ошибки сле-

жения зависит от верхнего предела модуля задающего сигнала. Поэтому в

условиях неидентифицируемости неизвестных параметров постановка опти-

мальной задачи зависит от априорной информации о задающем сигнале. Эта

зависимость ранее не обсуждалась в работах по идентификации для робаст-

ного управления даже в офлайн постановке.

Обозначения:

|ϕ| - евклидова норма вектора ϕ ∈ Rⁿ, dim ϕ := n - размерность ϕ;

ℓ_∞ - нормированное пространство ограниченных вещественных последова-

тельностей x = (x₀, x₁, x₂, . . .) с нормой ∥x∥ = sup_t |x_t|;

∥x∥_ss = lim supt→+∞ |x_t|;

110

∑+∞

∥G∥ =

|g_k| - индуцированная норма линейной стационарной системы

k=0

∑+∞

G : ℓ_∞ → ℓ_∞ с устойчивой передаточной функцией G(λ) =

g_kλ^k.

k=0

2. Постановка задачи

Пусть управляемый объект описывается моделью с дискретным временем

(2.1)

a(q-1)yt+1 = b(q-1)u_t + vt+1

t = 0,1,2,... ,

где y_t, u_t, v_t ∈ R - соответственно измеряемый выход объекта, управление

и суммарное возмущение в момент времени t, q-1 - оператор сдвига назад

(q-1x_t := xt-1) и

a(λ) = 1 + a₁λ + . . . + a_nλⁿ, b(λ) = b₁ + b₂λ + . . . + b_mλm-1.

Априорная информация об объекте состоит из предположений:

П.1. Неизвестный вектор-столбец коэффициентов модели принадлежит из-

вестному ограниченному многограннику Ξ,

{

}

ξ := (a₁, . . . , a_n, b₁, . . . , b_m)^⊤ ∈ Ξ =

ξ |

ξ≥p

⊂Rn+m,

P ∈Rl×(n+m), p∈R^l,

и для любого ξ ∈ Ξ b₁ = 0, корни полинома b(λ) лежат вне замкнутого единич-

ного круга {z ∈ C | |z| ≤ 1} (такие полиномы называются устойчивыми, а со-

ответствующие им модели - минимально-фазовыми) и sup ∥(a(λ)∥∥1/b(λ)∥ ≤

ξ∈Ξ

≤ C_u < +∞ с известной верхней границей C_u.

П.2. Неизвестное суммарное возмущение v удовлетворяет ограничению

(2.2)

|v_t| ≤ δ_w + δ_yp_t, p_t = max

|y_s

∀t,

t-μ≤s<t

где δ_w ≥ 0 и δ_y ≥ 0 неизвестны и δ_y ≤δy < 1 с известной верхней границейδy.

В терминах ℓ₁-теории робастного управления число δ_w характеризует

ℓ_∞-норму неизвестного ограниченного внешнего возмущения в объекте

управления, а число δ_y - коэффициент усиления неизвестной неопределен-

ности в канале выхода, описываемой в виде линейного нестационарного или

нелинейного строго причинного оператора на пространстве выходов y. Па-

мять μ в ограничении на неопределенность выбирается конструктором исхо-

дя из априорной информации об объекте управления и может быть выбрана

сколь угодно большой, но не бесконечной, без ущерба для гарантируемого

качества управления. Ограниченность памяти неопределенности по выходу

обеспечивает независимость асимптотического качества замкнутой системы

управления от начальных данных [13], что необходимо для синтеза адаптив-

ного управления.

Введем обозначение

θ := (ξ^⊤, δ_y, δ_w)^⊤

для вектора всех неизвестных конструктору параметров модели (2.1).

111

Пусть y^∗ = (y∗1, y∗2, . . .) - ограниченный задающий сигнал задачи слежения

и в момент времени t известно значение y∗t+1. Показателем качества управ-

ления будет служить наихудшая по всем допустимым предположением П.2

возмущениям v асимптотическая ошибка слежения

J^μ(θ,y^∗) := sup

∥y - y^∗∥_ss = sup lim sup |y_t - y^∗t|.

t→+∞

Из уравнения (2.1) следует, что для модели с известным вектором коэф-

фициентов ξ и любыми начальными значениями y-n+1, . . . , y₀, u-m+1, . . . , u₀

регулятор

(2.3)

b(q-1)u_t = (a(q-1) - 1)yt+1 + y∗t+1

обеспечивает равенство

yt+1 - y∗t+1 = vt+1

и, следовательно, является оптимальным для показателя качества J^μ(θ, y^∗)

в силу непредсказуемости возмущения vt+1.

Для формулировки теоремы об оценке показателя качества J^μ(θ, y^∗) при

использовании оптимального регулятора (2.3) понадобится следующее опре-

деление.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность |y^∗t| равно-

мерно часто попадает в окрестности своего верхнего предела, если для лю-

бого ε > 0 существуют число N и подпоследовательность {t_j }∞j=1 последо-

вательности натуральных чисел такие, что

∀j ( tj+1 - t_j ≤ N

∧ |y^∗t

| ≥ ∥y^∗∥_ss - ε ).

Теорема 1. Для модели

(2.1) с известным вектором коэффициен-

тов ξ, удовлетворяющей предположениям П.1, П.2 и замкнутой регулято-

ром (2.3),

δ_w + δ_y∥y^∗∥_ss

J^μ(θ,y^∗) ≤ J(θ,y^∗) :=

1-δ_y

J^μ(θ,y^∗) ↗ J(θ,y^∗) (μ → +∞),

если последовательность |y^∗| равномерно часто попадает в окрестности

своего верхнего предела (знак ↗ обозначает монотонную сходимость сни-

зу).

Теорема 1 следует из теорем 3 и 8 [13], примененных к замкнутой си-

стеме (2.1), (2.3). Отметим, что условие 0 ≤ δ_y < 1 является необходимым и

достаточным условием робастной стабилизируемости модели (2.1) в классе

линейных стационарных регуляторов при μ → +∞ (см. детали в [11]).

Формула для показателя качества J(θ, y^∗) в теореме 1 позволяет сформу-

лировать следующую задачу адаптивного субоптимального робастного сле-

жения.

112

Задача 1. Пусть объект управления удовлетворяет уравнению модели

(2.1) с неизвестным вектором параметров θ и известно значение ∥y^∗∥_ss.

Требуется построить причинную обратную связь, гарантирующую с задан-

ной точностью неравенство

∥y_t - y^∗t∥_ss ≤ J(θ, y^∗).

Значение ∥y^∗∥_ss доступно, например, в случае постоянного или периоди-

ческого задающего сигнала y^∗, но в общем случае может быть неизвестным.

Если известна некоторая верхняя оценка Y^∗ неизвестного (и заведомо не

идентифицируемого) значения ∥y^∗∥_ss, то задача синтеза адаптивного опти-

мального робастного слежения формулируется в виде

Задача 2. Пусть объект управления удовлетворяет уравнению модели

(2.1) с неизвестным вектором параметров θ и известна верхняя граница Y^∗

неизвестного значения ∥y^∗∥_ss. Требуется построить причинную обратную

связь, гарантирующую с заданной точностью неравенство

∗

δ_w + δ_yY

∥y_t - y^∗t∥_ss ≤ J₂(θ, Y^∗) :=

1-δ_y

Если неизвестна и верхняя граница Y^∗, то задача синтеза адаптивного

оптимального робастного слежения формулируется в виде

Задача 3. Пусть объект управления удовлетворяет уравнению модели

(2.1) с неизвестным вектором параметров θ и информация о задающем сиг-

нале y^∗ заключается в его ограниченности. Требуется построить причин-

ную обратную связь, гарантирующую с заданной точностью неравенство

δ_w + δ_y∥y^∗∥

∥y_t - y^∗t∥_ss ≤ J₃(θ, y^∗) :=

1-δ_y

Далее будет описано решение задачи 1. Решение задач 2 и 3 аналогично

(см. замечание 3 в разделе 3.2).

Специфика, нетрадиционность и сложность сформулированных задач за-

ключаются в их оптимальной постановке в условиях неидентифицируемости

не только вектора коэффициентов ξ, но и коэффициента усиления неопре-

деленности δ_y и нормы внешнего возмущения δ_w. Необходимость оценивания

параметров δ_y и δ_w для решения сформулированных задач становится понят-

ной из следующего вопроса. Предположим, что неизвестный объект управ-

ляется оптимальным регулятором, но конструктору это не известно. Как при

априорных предположениях П.1, П.2 конструктор, измеряя выход объекта,

может судить об оптимальности регулятора, если параметры δ_y и δ_w не из-

вестны?

Ответ на этот частный вопрос кроется в понимании используемого подхода

к синтезу адаптивного оптимального управления (см. раздел 3.1), вытекаю-

щего из того, что при априорных предположениях П.1, П.2 исчезает поня-

тие “истинного” вектора коэффициентов ξ номинальной модели. Эти пред-

положения соответствует принципу неопределенности, сформулированному

Р.Е. Калманом в [22, с. 30]:

113

“(2.1) П р и н ц и п н е о п р е д е л е н н о с т и . Неточные (недо-

стоверные) данные → неединственная (недостоверная) система.”

Этот принцип выдвинут как альтернатива стандартной статистической

априорной гипотезе [22, с. 31]:

“(i) Вся неопределенность порождается жестко фиксированным аб-

страктным вероятностным механизмом (зачастую очень простого

вида).

(ii) Все данные получены путем независимого выбора из фиксированной

стационарной генеральной совокупности, управляемой абстрактным ве-

роятностным механизмом.”

3. Синтез адаптивного управления

В этом разделе описано решение всех поставленных задач. Для их реше-

ния используется идентификационный подход, согласно которому по данным

измерений вычисляются оценки неизвестного вектора коэффициентов ξ и в

каждый момент времени применяется оптимальный регулятор (2.3), соответ-

ствующий текущей оценке.

3.1. Выбор идентификационного критерия в оптимальной задаче

в условиях неидентифицируемости объекта

Вся новая информация о векторе ξ, получаемая в момент времени t + 1

после измерения выхода yt+1, заключается в неравенстве



(3.1)

^a(q-1)yt+1 - b(q-1)u_t≤δw + δypt+1,

вытекающем из уравнения модели (2.1) и ограничения на суммарное воз-

мущение (2.2). Каждое неравенство (3.1) состоит из пары линейных нера-

венств относительно вектора параметров θ. Для каждого конкретного век-

тора θ только одно из этих двух линейных неравенств может нарушаться, и

для краткости будем называть его неравенством (3.1), соответствующим

вектору θ. Метод рекуррентных целевых неравенств синтеза адаптивного

управления базируется на следующем простом утверждении.

Утверждение 1. Если для некоторой оценки

^θ=

ξ^⊤,δy,δw)^⊤,

ξ ∈ Ξ,

0≤δy ≤δy,

0≤δw,

неравенства (3.1), соответствующие этому вектору, выполняются при

всех достаточно больших t, то модель (2.1) с вектором параметров

удовлетворяет априорным предположениям П.1, П.2 при всех достаточно

больших t.

Полная информация о неизвестном векторе θ к моменту времени t имеет

вид

{

}



(3.2)

θ ∈ Θmaxt :=

θ∈Θ₀

 |â(q-1)yk+1 - b(q-1)u_k| ≤ δw + δypk+1 ∀k < t

114

где

{

}



Θ₀ :=

ξ ∈ Ξ, 0 ≤ δy ≤ δ_y,δw ≥ 0

— априорное множество допустимых неизвестных параметров. Множество

Θmaxt в любой момент времени t включает те и только те оценки^θ из апри-

орного множества Θ₀, которые согласованы с уравнением модели (2.1), апри-

орными предположениями П.1, П.2 и с измерениями на промежутке [0, t],

и является полиэдром (многогранником) в пространстве оценок^θ. С ростом

времени полиэдры Θmaxt убывают по включению ввиду добавления новых

неравенств.

Утверждение 2. При любом управлении объектом (2.1) на любом про-

межутке [0,t], для любог

ξ ∈ Ξ и любого δy ≥ 0

(3.3)

^θ=

ξ^⊤,δy,δw)^⊤ ∈ Θmaxt

при всех достаточно большихδw.

Утверждение 2 очевидно следует из неограниченного роста правой части

неравенств (3.1) при неограниченном возрастании δ_w и представляет собой

строгое математическое утверждение о неидентифицируемости неизвестно-

го вектора параметров θ при априорных предположениях П.1, П.2. Если пы-

таться решать задачу 1 с помощью какого-либо алгоритма оценивания, обес-

печивающего сходимость оценок к некоторому предельному значению θ_∞, и

использования оптимального регулятора для вычисляемых оценок, то зада-

ча 1 будет решена, если вектор θ_∞ будет удовлетворять неравенствам (3.1)

при всех достаточно больших t и

(3.4)

J (θ_∞, y^∗) ≤ J(θ, y^∗

Поскольку вектор параметров θ управляемой модели неизвестен и никакой

вектор коэффициентов (от которого и зависит выбор регулятора

ξ ∈ Ξ не

может быть сфальсифицирован данными измерений в силу включения (3.3),

т.е. может оказаться вектором коэффициентов ξ управляемой модели, клю-

чевое неравенство (3.4) диктует выбор текущих оптимальных оценок в виде

(3.5)

θ^optt = argmin

J(θ, y^∗

θ∈Θ^max

Таким образом, использование показателя качества J задачи управления как

идентификационного критерия диктуется постановкой задачи адаптивного

оптимального управления, если решение ищется с помощью сходящихся оце-

нок.

3.2. Синтез на основе полиэдрального оценивания

Прямое применение оптимального оценивания (3.5) невозможно ввиду

потенциально не ограниченного роста числа неравенств в описании множе-

ственных оценок Θmaxt и сложности оценки качества нелинейной замкнутой

115

системы с оценками (3.5). Ограниченность числа изменений множественных

оценок и сходимость векторных оценок θ_t за конечное время можно обеспе-

чить за счет введения мертвой зоны при обновлении множественных оценок.

Платой за введение мертвой зоны будет решение только субоптимальной за-

дачи, т.е решение оптимальной задачи с заданной точностью.

Перейдем к описанию рекуррентного алгоритма оценивания и основанного

на нем адаптивного субоптимального управления. Выберем параметр мерт-

вой зоны ε > 0. В каждый момент времени t вычисляются полиэдральная

оценка Θ_t и векторная оценка

θ_t = (ξ^⊤t,δ_y,t,δ_w,t)^⊤

неизвестного вектора θ. Начальной полиэдральной оценкой служит априор-

ное множество Θ₀, а начальной векторной оценкой - вектор θ₀ = (ξ⊤0, 0, 0)^⊤ с

любым ξ₀ ∈ Ξ. После измерения выхода yt+1 в момент t + 1 положим

ϕt := (-yt, -yt-1, . . . , -yt-n+1, ut, . . . , ut-m+1)^⊤, ηt+1 := sign(yt+1 - ϕ^tξt),

pt+1 = max

|y_s|, ψt+1 := (ηt+1ϕ^⊤t, pt+1, 1)^⊤, ζt+1 := ηt+1yt+1.

t-μ≤s<t+1

В этих обозначениях неравенство (3.1), соответствующее вектору θ_t, эквива-

лентно неравенству

(3.6)

ψ⊤t+1θ_t ≥ ζt+1.

Положим

(3.7)

θt+1 := θ_t, Θt+1 := Θ_t, если ψ⊤t+1θ_t ≥ ζt+1 - ε|ψt+1

В противном случае положим

{

}



(3.8)

Θt+1 := Θ_t ∩ Ωt+1, Ωt+1 :=

 ψ⊤t+1θ≥ζt+1 ,

(3.9)

θt+1 := argmin J(θ,y^∗

θ∈Θt+1

Формулы (3.7) и (3.8) имеют простую геометрическую интерпретацию.

Каждое множество Θ_t описывается системой линейных неравенств, состоя-

щей из нескольких неравенств из описания априорного множества Θ₀ и из

нескольких неравенств ψ⊤s+1 θ ≥ ζs+1, т.е. неравенств (3.1), соответствующих

некоторым предыдущим оценкам θ_s, s < t. Неравенство в определении полу-

пространства Ωt+1 является линейным неравенством (3.1), соответствующим

текущей оценке θ_t. Благодаря введению мертвой зоны обновление Θ_t соглас-

но (3.8) производится только в том случае, когда расстояние от вектора θ_t

до полупространства Ωt+1 больше параметра мертвой зоны ε. Обновленная

оценка θt+1 согласно (3.9) является оптимальной относительно идентифика-

ционного критерия J(θ, y^∗) на полиэдре Θt+1.

116

Перед формулировкой теоремы о качестве адаптивного управления на ос-

нове описанного алгоритма оценивания заметим, что уравнение оптимально-

го регулятора (2.3), соответствующего вектору ξ_t оценок неизвестных коэф-

фициентов ξ, благодаря введению обозначения ϕ_t можно кратко записать в

виде уравнения

(3.10)

ϕ⊤tξ_t = y∗t+1

относительно компоненты u_t фазового вектора ϕ_t. Таким образом, управле-

ние u_t будет вычисляться из уравнения (3.10), которое будем называть адап-

тивным регулятором.

Теорема 2. Пусть объект управления удовлетворяет уравнению (2.1)

и априорным предположениям П.1, П.2 с неизвестным вектором пара-

метров θ = (ξ^⊤,δ_y,δ_w)^⊤. Пусть объект управляется адаптивным регуля-

тором (3.10) и используется алгоритм оценивания (3.7)-(3.9) с параметром

мертвой зоны ε ≤ (1 -δy)/(2(2 + C_u)). Тогда при любых начальных данных

в замкнутой системе управления (2.1), (3.10) полиэдральные оценки Θ_t и

векторные оценки θ_t не изменяются при всех достаточно больших t и

(3.11)

∥y_t - y^∗t∥_ss ≤ J(θ_∞, y^∗) + Kθ∞ ε ≤ J(θ, y^∗

) + Kε,

где θ_∞ = (ξ^⊤∞, δ_y,∞, δ_w,∞) - финальное значение оценок θ_t и

1+(2+∥a_∞(λ)/b_∞(λ)∥)∥y^∗∥_ss+(δ_w,∞+δ_y,∞∥y^∗∥_ss)(2+∥(a_∞(λ)-1)/b_∞(λ)∥)

Kθ∞ =

(1 - δ_y,∞ - ε(2 + ∥(a_∞(λ) - 1)/b_∞(λ)∥))²

4(1 + 2∥y^∗∥_ss + C_u + (δ_w,∞ +δy∥y^∗∥_ss)(2 + C_u))

(3.12)

K =

(1 -δy)²

Доказательство теоремы 2. Докажем, что при каждом изменении

оценки θ_t расстояние от θ_t до полупространства Ωt+1 больше ε. Действитель-

но, θ_t изменяется только если

ψ⊤t+1θ_t < ζt+1 - ε|ψt+1|.

Поскольку ψ⊤t+1 θ ≥ ζt+1 для любогоθ ∈ Ωt+1, то

|ψt+1||θ - θ_t| ≥ |ψ⊤t+1(θ - θ_t)| > ε|ψt+1|

и, следовательно, |θ - θ_t| > ε для любогоθ ∈ Ωt+1. Из этого следует, что после

изменения оценки Θ_t на оценку Θt+1 ⊂ Ωt+1 монотонно убывающая по вклю-

чению последовательность оценок Θ_t не будет в дальнейшем пересекаться с

ε-окрестностью точки θ_t ∈ Θ_t, при этом не попадающие в будущие оценки Θ_s,

s > t, ε/2-окрестности оценок θ_t не пересекаются. Тогда число возможных из-

менений оценок Θ_t и θ_t будет заведомо конечным, если оценки θ_t принимают

значения только в ограниченном множестве. Для доказательства ограничен-

ности оценок θ_t заметим, что θ ∈ Ω_t при всех t и поэтому θ ∈ Θ_t при всех t.

Тогда из (3.9) следует J(θ_t, y^∗) ≤ J(θ, y^∗) при всех t, и все оценки θ_t лежат

117

{

}

в ограниченном множестве

θ | J(θ,y^∗) ≤ J(θ,y^∗) . Ввиду конечного числа

изменений оценок θ_t

(3.13)

∃ t_∗ ∀t ≥ t_∗ θ_t = θ_∞ = (ξ^⊤∞,δ_y,∞,δ_w,∞) ∧ ψ⊤t+1θ_∞ ≥ ζt+1 - ε|ψt+1

Неравенства (3.13) гарантируют, что при всех t ≥ t^∗ и μ ≥ max(n, m)



^a_∞(q-1)yt+1 - b_∞(q-1)u_t≤δw,∞ + δy,∞pt+1 + ε|ψt+1| ≤

(

)

(3.14)

δ_w,∞ + δ_y,∞pt+1 + ε

|ytt-n+1| + |utt-m+1| + pt+1 + 1

≤



δ_w,∞ + ε + (δ_y,∞ + 2ε)pt+1 + ε

^utt-m+1

.

Неравенства (3.14) позволяет рассматривать выход y для всех t ≥ t^∗ как вы-

ход модели (2.1) с параметрами ξ_∞, δ_y,∞ + 2ε, δ_w,∞ + ε вместо ξ, δ_y, δ_w со-

ответственно и с дополнительной неопределенностью в канале управления,

соответствующей слагаемому ε|utt-m+1| с коэффициентом усиления ε. Тогда

по теореме 8 [13]

δ_w,∞ + ε + (δ_y,∞ + 2ε + ε∥a_∞(λ)/b_∞(λ)∥)∥y^∗∥_ss

(3.15)

∥y_t - y^∗t∥_ss ≤

1 - (δ_y,∞ + 2ε) - ε∥(a_∞(λ) - 1)/b_∞(λ)∥

Из определения (3.9) оптимальных оценок θ_t и включений θ ∈ Θ_t при всех t

следует ключевое неравенство

(3.16)

J (θ_∞, y^∗) ≤ J(θ, y^∗

Для сравнения верхней оценки (3.15) и J(θ_∞, y^∗) и вычисления постоян-

ной Kθ∞ в (3.11) достаточно воспользоваться неравенством

C₁ + ε₁

C₁

C₂ε₁ + C₁ε₂

ε₁ + C₁ε₂

≤

C₂ - ε₂

C₂

C₂(C₂ - ε₂)

(C₂ - ε₂)²

с параметрами

C₁ = δ_w,∞ + δ_y,∞∥y^∗∥_ss, ε₁ = ε(1 + (2 + ∥a_∞(λ)/b_∞(λ)∥)∥y^∗∥_ss),

C₂ = 1 - δ_y,∞ ≤ 1, ε₂ = ε(2 + ∥(a_∞(λ) - 1)/b_∞(λ)∥).

Формула для постоянной K из неравенства (3.11) следует из формулы

для Kθ∞ после применения неравенств

∥a_∞(λ)/b_∞(λ)∥ ≤ C_u,

∥(a_∞(λ) - 1)/b_∞(λ)∥ ≤ C_u,

ε(2 + C_u) ≤ (1 -δy)/2.

Наконец, из неравенств Kθ∞ ≤ K и (3.16) следует справедливость правого

неравенства в (3.11). Теорема доказана.

118

Замечание 1. Последнее неравенство в (3.11) гарантирует решение за-

дачи 1 с неизвестной верхней оценкой J(θ, y^∗) + Kε. Оно же позволяет оце-

нивать эту неизвестную верхнюю оценку снизу. Действительно, вычисляе-

мые в каждый момент времени текущие оптимальные значения показателя

качества J(θ_t, y^∗), не сфальсифицированные данными измерений на проме-

жутке [0, t], сходятся снизу за конечное, но неизвестное, время к предельно-

му значению J(θ_∞, y^∗). Более того, если на некотором достаточно длинном

интервале времени оценка θ_t не изменяется, то оценка J(θ_t, y^∗) + Kθt ε ста-

новится верной верхней оценкой ошибки слежения, поскольку для оценки θ_t

выполнено уравнение модели, при этом вычисление постоянной Kθt - отно-

сительно простая задача. Если при этом вычисленное значение Kθt ε хуже

желаемой точности, значение параметра мертвой зоны ε можно уменьшить.

Замечание 2. Из способа доказательства конечности числа возможных

изменений оценок Θ_t и θ_t за счет исключения шаров радиуса ε/2 следует

грубая оценка числа возможных коррекций оценок порядка (1/ε)n+m, соот-

ветствующая методу перебора по сетке размером порядка ε. Эта оценка пред-

ставляется излишне грубой по двум причинам. Во-первых, алгоритм оценива-

ния (3.7)-(3.9) осуществляет целенаправленный перебор оценок θ_t в порядке

возрастания согласованного с измерениями показателя качества J(θ_t, y^∗) и,

во-вторых, накопление информации о неизвестных параметрах идет наиболее

эффективно, при этом из полиэдральных оценок исключаются не просто ша-

ры, а “максимальные” не согласованные с измерениями области в простран-

стве оценок^θ. Результаты моделирования подтверждают излишнюю грубость

указанной выше экспоненциальной по размерности dim ξ оценки, однако по-

лучение более адекватной алгоритму (3.7)-(3.9) верхней оценки числа воз-

можных коррекций Θ_t и θ_t является открытой математической задачей.

Замечание 3. Решение задачи 2 обеспечивается тем же алгоритмом оце-

нивания, что и решение задачи 1, после замены показателя качества J(θ, y^∗)

в (3.9) показателем качества J₂(θ, Y ^∗). Для решения задачи 3 показатель ка-

чества J(θ, y^∗) в (3.9) следует заменить показателем качества

δw +^δySt+1

J₃(θ,y^∗) =

St+1 := sup |y^∗k|,

1-δy

k≤t+1

где St+1 вычисляется рекуррентно: St+1 = max(S_t, |y∗t+1|). Последователь-

ность S_t монотонно снизу сходится к ∥y^∗∥, что гарантирует справедливость

аналогичного (3.16) ключевого неравенства для показателя качества J₃(θ, y^∗).

3.3. Синтез на основе полиэдрального оценивания

фиксированной сложности

Показатели качества во всех сформулированных в разделе 2 задачах явля-

ются дробно-линейными функциями вектора θ и, следовательно, их поверхно-

сти уровня — гиперплоскости в пространстве оцениваемых параметров. Это

обстоятельство открывает возможность использования полиэдральных оце-

нок с фиксированным числом линейных неравенств.

Алгоритм полиэдрального оценивания c N неравенствами. Выберем число

N ≥ n + m + 2 = dimθ линейных неравенств (3.6), используемых для описа-

119

ния полиэдральных оценок Θ^Nt , и параметр мертвой зоны ε > 0. В качестве

начальной оценки θ₀ выберем любую из вершин априорного полиэдра Θ₀ ви-

да θ₀ = (ξ⊤0, 0, 0)^⊤. При этом ξ₀ будет одной из вершин априорного множества

коэффициентов Ξ и

J (θ₀, y^∗) = 0 = min J(θ, y^∗).

θ∈Θ₀

В качестве начальной полиэдральной оценки ΘN0 возьмем Rn+m+2, т.е. описа-

ние ΘN0 не содержит ни одного неравенства (3.6). Пусть θ_t - векторная оценка

и Θ^Nt - полиэдральная оценка неизвестного вектора θ в момент t. После из-

мерения выхода yt+1 в момент t + 1 положим

(3.17)

θt+1 := θ_t, ΘNt+1 := Θ^Nt, если ψ⊤t+1θ_t ≥ ζt+1 - ε|ψt+1

В противном случае положим

{



}

(3.18)

θt+1 :=

argmin J(θ, y^∗), Ωt+1 :=

 ψ⊤t+1θ≥ζt+1

θ∈Θ₀∩Θ^Nt ∩Ωt+1

где θt+1 - вершина полиэдра Θ₀ ∩ Θ^Nt ∩ Ωt+1, являющаяся решением задачи

дробно-линейного программирования (3.18). Множественная оценка Θ_t об-

новляется по правилу

(3.19)

ΘNt+1 = Θ^Nt ∩ Ωt+1,

если число неравенств в описании Θ^Nt строго меньше N. Если же число нера-

венств достигло значения N, то новое неравенство (3.6) включается в описа-

ние ΘNt+1 вместо любого из неравенств в описании Θ^Nt , на границе которого

не лежит θt+1. В вырожденном случае, когда вершина θt+1 оказалась на гра-

нице более n + m + 2 неравенств из описания Θ₀ ∩ Θ^Nt ∩ Ωt+1, оценка θt+1

пересчитывается по формуле (3.18) с заменой неравенства, задающего по-

лупространство Ωt+1, на ослабленное неравенство ψ⊤t+1 θ ≥ ζt+1 - ε₁|ψt+1| со

сколь угодно малым ε₁ > 0 для устранения вырожденного случая.

Таким образом, число неравенств в описании Θ^Nt увеличивается на еди-

ницу в некоторые начальные моменты времени и не изменяется, достигнув

значения N. Отметим, что вычисление оценок θt+1 согласно (3.18) - задача

дробно-линейного программирования в Rn+m+2 с не более l + 3 + N + 1 ли-

нейных ограничений (l + 3 - число неравенств в описании априорного множе-

ства Θ₀). Известно (см., например, [23]), что любая задача дробно-линейного

программирования стандартным образом сводится к задаче линейного про-

граммирования посредством добавления одной вещественной переменной, од-

ного линейного неравенства и одного линейного равенства.

Теорема 3. Пусть объект управления удовлетворяет уравнению (2.1)

и априорным предположениям П.1, П.2 с неизвестным вектором парамет-

ров θ = (ξ^⊤,δ_y,δ_w)^⊤. Пусть объект управляется адаптивным регулятором

(3.10) с использованием алгоритма полиэдрального оценивания c N нера-

венствами и ε ≤ (1 -δy)/(2(2 + C_u)). Тогда при любых начальных данных в

замкнутой системе:

120

1) последовательность J(θ_t, y^∗) возрастающая и

(3.20)

J (θ_t, y^∗) = min

J(θ, y^∗) ≤ J(θ, y^∗

)

∀ t;

θ∈Θ₀∩Θ^N

2) если оценки Θ^Nt и θ_t не изменяются при всех достаточно больших t, то

справедливы неравенства (3.11).

Доказательство теоремы 3. Доказательство монотонности последо-

вательности J(θ_t, y^∗) проведем индукцией по времени t. На начальном про-

межутке времени, пока количество неравенств в оценках Θ^Nt не достигло N,

полиэдральные оценки Θ^Nt убывают по включению, и возрастание после-

довательности J(θ_t, y^∗) и равенство в (3.20) прямо следуют из (3.18) и ра-

венств Θt+1 = Θ_t ∩ Ωs+1. Докажем индукционный переход. Пусть возраста-

ние J(θ_t, y^∗) имеет место до момента t включительно, справедливо равенство

в (3.20) и количество линейных неравенств в описании Θ^Nt равно N. В мо-

мент времени t + 1 после вычисления оценки θt+1 согласно формуле (3.18)

неравенство

J (θt+1, y^∗) ≥ J(θ_t, y^∗)

следует из включения Θ₀ ∩ Θ^Nt ∩ Ωt+1 ⊂ Θ^Nt и равенства (3.20), справедливо-

го в силу индукционного предположения. Покажем, что после изменения Θ^Nt

на ΘNt+1

(3.21)

min

J(θ, y^∗) =

min

J(θ, y^∗) = J(θt+1, y^∗)

θ∈Θ₀∩ΘNt+1

θ∈Θ₀∩Θ^Nt ∩Ωt+1

несмотря на замену одного из неравенств полиэдра Θ^Nt на неравенство,

описывающее Ωt+1. Правое равенство в (3.21) является определением θt+1

в (3.18). Пусть Ct+1

- конус с вершиной θt+1, определенный системой

n + m + 2 неравенств из описания Θ₀ ∩ Θ^Nt ∩ Ωt+1, на границе которых ле-

жит θt+1. Тогда Θ₀ ∩ ΘNt+1 ⊂ Ct+1, так как в описание Θ₀ ∩ ΘNt+1 заведомо вхо-

дят неравенства, задающие конус Ct+1. Из включенийθ ∈ Θ₀ ∩ Θ^Nt ∩ Ωt+1⊂

⊂Θ₀ ∩ ΘNt+1 ⊂ Ct+1 следует

J (θt+1, y^∗) =

min

J(θ, y^∗) ≥ min

J(θ, y^∗) ≥ min J(θ, y^∗).

θ∈Θ₀∩Θ^Nt ∩Ωt+1

θ∈Θ₀∩ΘNt+1

θ∈Ct+1

Теперь для доказательства (3.21) достаточно показать, что

(3.22)

min J(θ, y^∗) = J(θt+1, y^∗

θ∈Ct+1

Это равенство следует из того, что линии уровня дробно-линейного показа-

теля качества J(θ, y^∗) - гиперплоскости в Rn+m+2:

J(θ, y^∗) = C

⇔

δw +^δy(∥y^∗∥ss + C) = C.

121

В малой окрестности θt+1 векторы из полиэдра Θ₀ ∩ Θ^Nt ∩ Ωt+1 описываются

только неравенствами из описания конуса Ct+1 и лежат в полупространстве

{

}

θ | J(θ,y^∗) ≥ J(θt+1,y^∗)

Из этого следует, что конус C_t с вершиной θt+1 весь лежит в этом полупро-

странстве и, следовательно, справедливо равенство (3.22).

Доказательство второго утверждения теоремы аналогично доказательству

неравенств (3.11) в теореме 2. Теорема 3 доказана.

Замечание 4. Формально множественными оценками неизвестного век-

тора параметров θ следовало бы называть полиэдры Θ₀ ∩ Θ^Nt , поскольку

argminˆθ∈ΘN J(θ, y^∗) может оказаться вне априорного полиэдра Θ₀. Однако

при достаточно разнообразных возмущениях такое случается на относитель-

но коротком начальном этапе настройки оценок θ_t, когда δ_yt = 0 или δ_wt = 0,

и с некоторого момента полиэдры Θ^Nt фактически оказываются множествен-

ными оценками θ. Алгоритм полиэдрального оценивания с N неравенствами

приведен выше в той форме, в какой он применялся при численном модели-

ровании, описанном в разделе 4, при этом при добавлении нового неравенства

(3.6) в оценку ΘNt+1 из описания Θ^Nt удалялось неравенство, граница которого

наиболее удалена от новой оценки θt+1.

Замечание 5. Второе утверждение теоремы 3 базируется на предполо-

жении о сходимости оценок за конечное время. В [24] была доказана конеч-

ная сходимость конусного алгоритма оценивания (соответствующего случаю

N = dimθ) для размерностей 2 и 3. Этот результат остается справедливым

при любом числе запоминаемых неравенств. Доказательство конечной сходи-

мости для размерностей выше трех остается открытой проблемой.

4. Моделирование

Для численного моделирования выбрана неустойчивая и минимально-

фазовая модель (2.1) с полюсами, т.е. корнями a(λ), равными 0,8, 0,9 и 0,8 ±

± 0,4 i, с нулями, т.е. корнями b(λ), равными 1,1 и 1,2 и с коэффициентом

b₁ = 2. Этим параметрам соответствует (с точностью 10-4) вектор коэффи-

циентов

ξ = (-4,3611, 7,3611, -5,7292, 1,7361, 2, -3,4848, 1,5152)^⊤.

Таким образом, размерность вектора оцениваемых параметров θ равна 9.

Суммарное возмущение v моделируется в виде

(4.1)

v_t = w_t + 0,5κ_t p_t,

где w_t, κ_t - последовательности независимых равномерно распределенных на

отрезке [-1, 1] случайных величин, так что δ_y = 0,5, δ_w = 1. Память неопреде-

ленности μ = 10, параметр мертвой зоны ε = 0,001. Априорные ограничения

на вектор θ имеют вид

(-9, 3, -10, -3, 0,1, -8, -3) ≤ ξ^⊤ ≤ (3, 15, 2, 9, 10, 4, 9),

122

100

500

700

1000

100

200

300

400

500

700

800

900

1000

Рис. 1. Алгоритм (3.9): графики ошибки слежения (a) и J(θ_t, y^∗) (б ).

где неравенство понимается покомпонентно, т.е. вектор ξ лежит в кубе

Rn+m со стороной 12 и

b₁ ≥ 0,1,

0,8 ≥ δ_y ≥ 0, δ_w ≥ 0,

b₁ - b₃ ≥ 0,01, b₁ - b₂ + b₃ ≥ 0,01, b₁ + b₂ + b₃ ≥ 0,01.

Неравенства в нижней строке эквивалентны условию минимально-фазовости

модели, если в правых частях этих неравенств вместо 0,01 поставить нули. За-

мена нуля числом 0,01 в правых частях неравенств нижней строки дает необ-

ходимый отступ от границы множества минимально-фазовых моделей. На-

чальные значения y₁, y₂, y₃, y₄ - случайные из отрезка [-1, 1], u₁, u₂, u₃, u₄ -

нули.

Для иллюстрации поведения адаптивной системы при наихудших возму-

щениях внешнее возмущение и неопределенность на промежутке [500, 700]

имеют максимальную амплитуду,

vt+1 = (δ_w + δ_ypt+1)sign(ξ^⊤tϕ_t),

123

100

500

700

1000

100

200

300

400

500

700

800

900

1000

Рис. 2. Алгоритм (3.18): графики ошибки слежения (a) и J(θ_t, y^∗) (б ).

максимизируя абсолютную величину выхода. Задающий сигнал y^∗t =

= 10 sin(0,001 t) - периодический и ∥y^∗t∥_ss = 10. Пунктирные линии на гра-

фиках ошибки слежения соответствуют неизвестным конструктору адаптив-

ной системы оптимальным асимптотическим границам для ошибки слежения

±J(θ,y^∗) = ±12.

Графики ошибки слежения и значений J(θ_t, y^∗) для алгоритмов оценива-

ния (3.9) и (3.18) приводятся соответственно на рис. 1 и 2 для одинаковых

реализаций случайных начальных данных и w_t и κ_t из (4.1). Использован-

ное при моделировании число запоминаемых неравенств N = 2 dim θ = 18 в

алгоритме оценивания (3.18) соответствует полиэдрам Θ^Nt , в каждом из ко-

торых вершинами являются текущая оценка θ_t и ее девять смежных вершин.

Число коррекций оценок для алгоритмов (3.9) и (3.18) в многочисленных

экспериментах находилось в основном в промежутках 50-70 и 60-80 коррек-

ций соответственно. Время счета в экспериментах на ноутбуке с процессором

4xIntelCore i5-7200U CPU@2,50GHz варьировалось от 1,5 до 3 сек.

124

соответствует J(θ₇₆₅, y^∗) = 10.5314 < 12 = J(θ, y^∗), а последней оценке алго-

ритма (3.18)

(

θ₇₉₈

- 6,1669, 11,3053, -9,1758, 3,0296, 2,7700,

)_⊤

- 5,3721, 2,6408, 0,3120, 3,9614

соответствует меньшее значение J(θ₇₉₈, y^∗) = 10,2939, поскольку в алгорит-

ме (3.18) задействовано меньшее число целевых неравенств. Заметим, что,

несмотря на заметное различие последних оценок алгоритмов (3.9) и (3.18),

эти оценки согласованы с измерениями на финальных промежутках длиной

более 200 тактов и иллюстрируют принцип неопределенности Р.Е. Калмана.

На рис. 3 представлены графики задающего сигнала y^∗ и переходного про-

цесса для алгоритма (3.18). График задающего сигнала позволяет наглядно

увидеть, как в приведенных численных экспериментах значения периодиче-

ского сигнала y^∗ проявляются в виде “пульсации” ошибки слежения в уста-

новившемся режиме.

В целом результаты моделирования показали высокую эффективность

обоих алгоритмов оценивания в задаче адаптивного оптимального слежения с

9 оцениваемыми параметрами. Алгоритм оценивания (3.18) с фиксированным

числом неравенств представляется перспективным и для задач с бóльшим

числом оцениваемых параметров.

5. Заключение

Р.Е. Калман завершил свою работу [22] словами:

“Проблема шума, безусловно, является центральной проблемой всей

прикладной математики. Она должна быть разрешена при помощи ма-

тематики, а не априорной гипотезы”.

Настоящая работа посвящена проблеме оптимального управления в усло-

виях шума и соответствует процитированному в разделе 2 принципу неопре-

деленности. Для минимально-фазового объекта с неизвестным вектором ко-

эффициентов, неопределенностью в канале выхода с неизвестным коэффици-

ентом усиления и ограниченным внешним возмущением с неизвестной верх-

ней границей впервые решена задача адаптивного оптимального робастного

слежения. Показана зависимость постановки оптимальной задачи от априор-

ной информации о задающем сигнале. Решение задачи получено при мини-

мальных априорных предположениях в рамках детерминированной теории

робастного управления в ℓ₁-постановке, не требует использования тестовых

или пробных сигналов и реализует максимальные возможности обратной свя-

зи. Главное достоинство предложенных алгоритмов оценивания заключает-

ся в обеспечении асимптотической субоптимальности адаптивного управле-

ния. Важнейшим, помимо оптимальности, достоинством используемого под-

хода является онлайн верификация не только текущей оценки модели, но

и априорных предположений об управляемом объекте, неопределенности и

внешнем возмущении. Такая верификация не доступна другим методам син-

теза адаптивного управления, в том числе в стохастических постановках. Ре-

зультаты численного моделирования показали эффективность предложенных

126

алгоритмов, и эти алгоритмы представляются перспективными для практи-

ческих приложений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and Optimal Control. Upper Saddle River,

New Jersey. Prentice-Hall, 1996.

Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука,

2002.

Kosut R., Goodwin G., Polis M. (Eds.) Special issue on system identification for

robust control design // IEEE Transactions Automatic Control. 1992. V. 37. No. 7.

Smith R.S., Dahleh M. (Eds.) The Modeling of Uncertainty in Control Systems

(Lecture Notes in Control and Information Sciences). V. 192. London, U.K.: Springer-

Verlag, 1994.

Ljung L., Vicino A. (Eds.) Special Issue on System Identification // IEEE

Transactions on Automatic Control. 2005. V. 50. No. 10.

Soderstrom T., Van Den Hof P., Wahlberg B., Weiland S. (Eds.) Special Issue on

Data-Based Modelling and System Identification // Automatica. 2005. V. 41. No. 3.

Regruto D., Dabbene F. (Eds.) Special Issue on Relaxation Methods in Identification

and Estimation Problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2014. V. 59.

No. 11.

Ljung L., Goodwin G., Agüero J.C., Chen T. Model Error Modeling and Stochastic

Embedding // IFAC-PapersOnLine. 2015. V. 48. No. 28. P. 75-79.

Delgado R.A., Goodwin G.C., Carvajal R., Agüero J.C. A novel approach to model

error modelling using the expectation-maximization algorithm // In IEEE 51st

Conference on Decision and Control (CDC). 2012. P. 7327-7332.

10.

Khammash M., Pearson J.B. Performance robustness of discrete-time systems with

structured uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control. 1991. V. AC-36. No. 4.

P. 398-412.

11.

Khammash M.H. Robust steady-state tracking // IEEE Trans. Automat. Control.

1995 V. 40. No. 11. P. 1872-1880.

12.

Khammash M.H. Robust Performance: Unknown Disturbances and Known Fixed

Inputs // IEEE Transactions on Automatic Control. 1997. V. 42. P. 1730-1P734.

13.

Соколов В.Ф. Асимптотическое робастное качество дискретной системы слеже-

ния в ℓ₁-метрике // АиТ. 1999. № 1. С. 101-112.

Sokolov V.F. Asymptotic Robust Performance of the Discrete Tracking System in

the ℓ₁-metric // Autom. Remote Control. 1999. V. 60. No. 1. Part 2. P. 82-91.

14.

Sokolov V.F. ℓ₁ robust performance of discrete-time systems with structured

uncertainty // Syst. Control Lett. 2001. V. 42(5). P. 363-377.

15.

Smith R. Model Validation and Parameter Identification for Systems in H_∞ and ℓ₁ //

Proc. American Control Conf. 1992. P. 2852-2856.

16.

Bianchi F., Sánchez-Penã R. Robust identification/invalidation in an LPV

framework // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2010. V. 20. P. 301-312.

17.

Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамиче-

скими объектами. М.: Наука. 1981.

18.

Sokolov V.F. Adaptive suboptimal control of a linear system with bounded

disturbances // Syst. Control Lett. 1985. V. 6. P. 93-98.

127

19. Соколов В.Ф. Адаптивное субоптимальное управление в случае ограниченной

помехи // АиТ. 1985. № 9. С. 78-86.

Sokolov V.F. Adaptive Suboptimal Control in the Case of Constrained Noise //

Autom. Remote Control. 1985. V. 46. P. 1. P. 1131-1139.

20. Соколов В.Ф. Адаптивное робастное управление дискретным скалярным объек-

том в ℓ₁-постановке // АиТ. 1998. № 3. С. 107-131.

Sokolov V.F. Adaptive Robust Control of a Discrete Scalar Object in the ℓ₁-state-

ment // Autom. Remote Control. 1998. V. 59. No. 3. P. 2. P. 392-411.

21. Sokolov V.F. Adaptive ℓ₁ robust control for SISO system // Systems Control Lett.

2001. V. 42. P. 379-393.

22. Калман Р.Е. Идентификация систем с шумами // Успехи математических наук.

1985. Т. 40. Вып. 4(244). С. 27-41.

23. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. N.Y. Cambridge University Press.

2004.

24. Соколов В.Ф. Адаптивное минимаксное управление на основе рекуррентного ли-

нейного программирования // АиТ. 1993. № 12. С. 127-139.

Sokolov V.F. Adaptive Minimax Control Based on Recursive Linear Programming //

Autom. Remote Control. 1993. V. 54. No. 12. P. 1835-1845.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Е.Я. Рубиновичем.

Поступила в редакцию 25.11.2019

После доработки 24.09.2020

Принята к публикации 15.01.2021

128